Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
|
|
- Κίρκη Μιαούλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
2 ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò ôçò, ii) üôáí äåí åßíáé ãíùóôüò ï ôýðïò ôçò óõíüñôçóçò, áëëü ìüíïí ïé ôéìýò ôçò óå ïñéóìýíá óçìåßá, êáé iii) óôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí. áõôþ èá åîåôáóôåß óôá ìáèþìáôá ðïõ áêïëïõèïýí. Ç ðåñßðôùóç 6.1 ÓõíáñôÞóåéò ìéáò ìåôáâëçôþò Õðïëïãéóìüò ìå ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò óôù fx) ìßá óõíå Þò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï [a; b] êáé ðáñáãùãßóéìç ãéá êüèå x a; b). Ôüôå, áí x 0, x 1, : : :, x n åßíáé n + 1 äéáöïñåôéêü óçìåßá ôïõ [a; b], üðùò åßíáé Þäç ãíùóôü éó ýåé ï ðáñáêüôù ôýðïò ðáñåìâïëþò ôïõ Newton fx) P n x) = f [x 0 ] + f [x 0 ; x 1 ] x x 0 ) + : : : ) +f [x 0 ; x 1 ; : : : ; x n ] x x 0 ) x x n 1 ) : 1
3 2 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Äéáêñßíïíôáé ôþñá ïé ðáñáêüôù åéäéêýò ðåñéðôþóåéò ãéá ôïí áñéèìü ôùí óçìåßùí ðáñåìâïëþò. Óçìåßá ðáñåìâïëþò : x 0, x 1 óôù a = x 0 êáé b = x 1 : ôüôå áðü ôïí ôýðï 6:1:1 1) ðñïêýðôåé fx) P 1 x) = f x 0 ) + f [x 0 ; x 1 ] x x 0 ) ; ïðüôå f ) P 1 ) = f [x 0 ; x 1 ] ) ìéá Ýêöñáóç ðïõ åßíáé áíåîüñôçôç áðü ôï óçìåßï î. Áí: i) î = x 0 êáé h = x 1 x 0, áðü ôïí ôýðï 6:1:1 2) ðñïêýðôåé f fî + h) fî) î) f[î; î + h] = ; ) h ðïõ åßíáé ãíùóôüò ùò ï ðñïò ôá åìðñüò ôýðïò forward-dierence formula) ðñïóýããéóçò ôçò 1çò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò. ii) î = x 1, ôüôå f fî) fî h) î) f[î h; î ] = h ) ãíùóôüò ùò ï áíüäñïìïò ôýðïò backward-dierence formula) ðñïóýããéóçò ôçò 1çò ðáñáãþãïõ. iii) î = x 0 + x 1 ) =2, ïðüôå ôá óçìåßá x 0 êáé x 1 âñßóêïíôáé óõììåôñéêü åêáôýñùèåí ôïõ óçìåßïõ î, ìå x 0 = î h, x 1 = î + h êáé h = x 1 x 0 ) =2. Ôüôå f î) f[î h; î + h] = fî + h) fî h) 2h ) ãíùóôüò ùò ï ìå êåíôñéêýò äéáöïñýò ôýðïò central-dierence formula) ðñïóýããéóçò ôçò ðñþôçò ðáñáãþãïõ.
4 Õðïëïãéóìüò ìå ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò 3 Áðü ôïõò ôýðïõò 6:1:1 3) - 6:1:1 5) ðñïêýðôåé üôé, üôáí ôá óçìåßá x 0 êáé x 1 åßíáé áñêåôü êïíôü, ôüôå ç f [x 0 ; x 1 ] äßíåé ìßá ðïëý êáëýôåñç ðñïóýããéóç ôçò ðáñáãþãïõ f î) óôï ìýóïí î = x 0 + x 1 ) =2 ðáñü óôá Üêñá óçìåßá x 0 êáé x 1, Ýíá óõìðýñáóìá ðïõ Üëëùóôå óõìöùíåß êáé ìå ôï Èåþñçìá ôçò ÌÝóçò ÔéìÞò. Óçìåßá ðáñåìâïëþò : x 0, x 1 x 2 óôù a = x 0 êáé b = x 2. Ôüôå P 2 x) = f x 0 ) + f [x 0 ; x 1 ] x x 0 ) +f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] x x 0 ) x x 1 ) ; ) ïðüôå f ) P 2) = f [x 0 ; x 1 ] + f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] 2 x 0 x 1 ) : ) 1 Äéáêñßíïíôáé ôþñá ïé ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò ãéá ôï î. Áí i) î = x 0, x 1 = î + h êáé x 2 = î + 2h, ôüôå áðü ôçí 6:1:1 7) ðñïêýðôåé f î) 3fî) + 4fî + h) fî + 2h) : ) 2h ii) î = x 1, x 0 = î h êáé x 2 = î + h, ôüôå ÔåëéêÜ, áí f î) fî h) + fî + h) : ) 2h iii) î = x 2, x 0 = î 2h êáé x 1 = î h, ôüôå f î) fî 2h) 4fî h) + 3fî) 2h ) üðïõ ðñïöáíþò üôé ï ôýðïò 6:1:1 10) ðñïêýðôåé áðü ôïí 6:1:1 8) èýôïíôáò üðïõ h ôï h. ÅðïìÝíùò ôåëéêü ïé äéáöïñåôéêïß ôýðïé õðïëïãéóìïý ôçò 1çò ðáñáãþãïõ óôçí ðåñßðôùóç áõôþ åßíáé ïé 6:1:1 8) êáé 6:1:1 9), ðïõ åßíáé ãíùóôïß êáé óáí ïé ôýðïé ôùí 3 óçìåßùí. 1 Ïé ôýðïé 6:1:1 8) - 6:1:1 10) íá ðáñáëåéöèïýí óå ðñþôç áíüãíùóç.
5 4 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ðáñáãùãßæïíôáò ôþñá ôçí 6:1:1 6), Ý ïõìå f ) P 2 ) = 2f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] : ) Áí î = x 1, x 0 = î h êáé x 2 = î + h, ôüôå áðü ôçí 6:1:1 11) ðñïêýðôåé f fî h) 2fî) + fî + h) î) h ) ðïõ åßíáé ãíùóôüò ùò ï ìå êåíôñéêýò äéáöïñýò ôýðïò central-dierence formula) ðñïóýããéóçò ôçò 2çò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò. Ðñïóåããßóåéò ðáñáãþãùí áíþôåñçò ôüîçò ðñïêýðôïõí áíüëïãá èåùñþíôáò ìåãáëýôåñïõ âáèìïý ðïëõþíõìá ðáñåìâïëþò Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor Åßíáé Þäç ãíùóôü üôé, áí f a; b) åßíáé ìéá óõíüñôçóç ðáñáãùãßóéìç ìý ñé êáé - ôüîç óôï a; b), ôüôå, áí a; b), éó ýåé ï ðáñáêüôù ôýðïò ôïõ Taylor 2 fx) f) + f ) 1! x ) + f ) x ) 2 2! + : : : + f ) ) x ) ; )! üôáí ïé áñéèìïß f), f ), : : :, f ) ) åßíáé ïé óõíôåëåóôýò ôïõ ðïëõùíýìïõ óôï. óôù ôþñá üôé óôïí ôýðï 6:1:2 1) ôá x êáé î áíôéêáèßóôáíôáé áðü ôá x + h êáé x áíôßóôïé á ìå h > 0. Ôüôå fx + h) fx) + h 1! f x) + h2 2! f x) + h3 3! f x) + : : : + h! f ) x): ) 2 ¼ôáí = 0, ï ôýðïò 6:1:2 1) ãñüöåôáé óôçí ðáñáêüôù ìïñöþ fx) f0) + f 0) 1! x + f 0) 2! x 2 + : : : + f ) 0)! ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí ôýðïò ôïõ Maclaurin, åíþ ïé áñéèìïß f0), f 0), : : :, f ) 0) åßíáé ïé áíôßóôïé ïé óõíôåëåóôýò ôïõ ðïëõùíýìïõ. x
6 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 5 Ï ôýðïò 6:1:2 2), üôáí ôï h áíôéêáôáóôáèåß ìå ôï h, ãñüöåôáé fx h) fx) h 1! f x) + h2 2! f x) h3 3! f x) Ðñïóåããßóåéò 1çò ðáñáãþãïõ + : : : + 1) h óôù ï ôýðïò 6:1:2 2) óôç ìïñöþ ÐáñáôÞñçóç ! f ) x): ) fx + h) = fx) + h 1! f x) + O h 2) : ) Óôçí 6:1:2 4) ï üñïò O h 2) èá óõìâïëßæåé óôï åîþò êüèå ðáñüóôáóç ìå üñïõò h âáèìïý ìåãáëýôåñïõ Þ ßóïõ ôïõ h 2. ÅðåéäÞ ôüôå ï óõìâïëéóìüò óõìðåñéëáìâüíåé êáé ôçí ðåñßðôùóç ôïõ áèñïßóìáôïò ôùí Üðåéñùí üñùí äçëáäþ ôçò óåéñüò, ç 6:1:2 4) êáé êüèå áíüëïãç áõôþò Ýêöñáóç èá ãñüöåôáé ìå ßóïí, äéáöïñåôéêü èá ñçóéìïðïéåßôáé ôï óýìâïëï ôïõ êáôü ðñïóýããéóç ßóïí ). Ëýíïíôáò ôçí 6:1:2 4) ùò ðñïò f x) Ý ïõìå f fx + h) fx) x) = + O h) ; ) h ðïõ óõìðßðôåé ìå ôçí 6:1:1 3), üôáí x =. Óôçí 6:1:2 5) ï üñïò O h) äçëþíåé üôé ç ðñïóýããéóç åßíáé 1ïõ âáèìïý, äçëáäþ éóïýôáé ìå ôï âáèìü ôïõ üñïõ h. ¼ìïéá áðü ôïí ôýðï 6:1:2 3) ðñïêýðôåé üôé ïðüôå ëýíïíôáò ùò ðñïò f x) Ý ïõìå fx h) = fx) h 1! f x) + O h 2) ; f fx) fx h) x) = + O h) ; ) h äçëáäþ ç 6:1:1 4) ìå x = êáé ðñïóýããéóç åðßóçò 1ïõ âáèìïý. Áí ç 6:1:2 2) ãñáöåß ùò åîþò: fx + h) = fx) + h 1! f x) + h2 2! f x) + h3 3! f x) + O h 4) )
7 6 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò êáé 6:1:2 3) ùò: fx h) = fx) h 1! f x) + h2 2! f x) h3 3! f x) + O h 4) ; ) ôüôå áöáéñþíôáò êáôü ìýëç ôéò 6:1:2 7) êáé 6:1:2 8) ðñïêýðôåé üôé fx + h) fx h) = 2h f x) + O h 3) ; ïðüôå f fx + h) fx h) x) = 2h äçëáäþ ç 6:1:1 5) ìå x = êáé ðñïóýããéóç 2ïõ âáèìïý. + O h 2) ; ) ÐñïóÝããéóç 2çò ðáñáãþãïõ ÐñïóèÝôïíôáò êáôü ìýëç ôéò 6:1:2 7) êáé 6:1:2 8) ðñïêýðôåé fx + h) + fx h) = 2fx) + h 2 f x) + O h 4) ; ïðüôå äéáéñþíôáò êáôü ìýëç ìå h 2 ôåëéêü Ý ïõìå f x) = fx + h) 2 fx) + fx h) h 2 + O h 2) ; ) äçëáäþ ç 6:1:1 12) ìå x = êáé ðñïóýããéóç 2ïõ âáèìïý. ÓõíäõÜæïíôáò êáôüëëçëá ôéò 6:1:2 2) êáé 6:1:2 3) ðñïêýðôïõí ðñïóåããßóåéò ãéá êüèå ðáñüãùãï ôçò f. ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç fx) = e x2 êáé = 1: Ôüôå ïé ôýðïé 6:1:1 3) êáé 6:1:1 12), üôáí h = 0:1; 0:01 êáé 0:001; äßíïõí ôá áðïôåëýóìáôá ôïõ Ðßíáêá f 1) 0: êáé f 1) 0: Ïé èåùñçôéêýò ôéìýò åßíáé
8 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 7 Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá : ðñïóýããéóç 1çò êáé 2çò ðáñáãþãïõ h f 1) áðüëõôï óöüëìá f 1) áðüëõôï óöüëìá E Å E Å E-06 ÁóêÞóåéò 1. Íá õðïëïãéóôåß ìå áêñßâåéá 6 äåêáäéêþí øçößùí ç 1çò êáé ç 2çò ôüîçò ðáñüãùãïò ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí i) ln e 2x 2 ) iii) x ln x) x ii) x ln x iv) e x=3 + x 2. óôï óçìåßï = 1:5, üôáí h = 0:1, 0:01 êáé 0: ¼ìïéá ôùí óõíáñôþóåùí i) x cos x x 2 sin x ii) tan x óôï óçìåßï î = ð=4. 3. Ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor íá õðïëïãéóôïýí ðñïóåããßóåéò ôùí ðáñáãþãùí f 3) ) êáé f 4) ). 6.2 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor óôù u = ux; t) ìéá óõíüñôçóç äýï ìåôáâëçôþí üðïõ ôï x óõìâïëßæåé óõíþèùò ôç ìåôáâëçôþ ôïõ äéáóôþìáôïò êáé ôï t ôïõ ñüíïõ. Ôüôå ï ôýðïò 6:1:2 1) ãñüöåôáé ux + h; t) ux; t) + h 1! + : : : + h2 2 u ;
9 8 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò üôáí h > 0 ç áýîçóç ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôßóôïé á ux; t + `) ux; t) + `2 2 u 2 + : : : + u ; üôáí ` > 0 ç áýîçóç ôçò t. ÈÝôïíôáò üðïõ h ôï h, áíôßóôïé á üðïõ ` ôï `, ðñïêýðôïõí áíüëïãïé ôýðïé ôçò 6:1:2 3). ¼ìïéá ôüôå ìå ôçí ÐáñÜãñáöï áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýïõí ãéá ôçí 1ç ìåñéêþ ðáñüãùãï ùò ðñïò x = ux + h; t) ux; t) h + Oh) ) = = ux; t) ux h; t) + Oh) ) h ux + h; t) ux h; t) 2h + O h 2) ) ìå áíüëïãåò åêöñüóåéò ãéá åíþ ãéá ôç 2ç ìåñéêþ ðáñüãùãï ùò ðñïò x ç ðñïóýããéóç áíôßóôïé 2 u ux + h; t) 2ux; t) + ux h; t) h 2 u ux; t + `) 2ux; t) + ux; t `) `2 + O h 2) ; ) + O `2) : ) ÓõíäõÜæïíôáò êáôüëëçëá ôçí 6:2:1 1), áíôßóôïé á 6:2:1 2) åßíáé äõíáôüí íá ðñïêýøïõí êáé Üëëåò ðñïóåããßóåéò 3 ãéá ôéò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ôçò u. Äßíåôáé óôç óõíý åéá ìéá óçìáíôéêþ åöáñìïãþ ôïõ ôýðïõ 6:2:1 5) óôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí. 3 Åêôüò áðü ôéò ìéêôýò ðáñáãþãïõò ðïõ õðïëïãßæïíôáé óôçí ÐáñÜãñáöï
10 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 9 x 0 x 1 x 2 x N1 x N... Ó Þìá : äéáìýñéóç ôïõ [a; b]. Ôá x 0 êáé x N åßíáé ôá óõíïñéáêü, åíþ ôá x 1 ; : : : ; x N 1 ôá åóùôåñéêü óçìåßá x 1 x 0 x 1 x N1 x N x N1 o... Ó Þìá : äéáìýñéóç ôïõ [a; b]. Ôá óçìåßá x 1 êáé x N+1 åßíáé åêôüò ôïõ äéáóôþìáôïò [a; b] o ÓõíïñéáêÝò óõíèþêåò Óôïí ðñïóåããéóôéêü õðïëïãéóìü ôçò ëýóçò ìéáò äéáöïñéêþò åîßóùóçò ç ðáñüãùãïò ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôþ x áíüëïãá ìå ôçí ôüîç ôçò áíôéêáèßóôáôáé ìå ôéò ðñïóåããßóåéò 6:2:1 3) - 6:2:1 6) ê.ëð. Áõôü óçìáßíåé ôüôå üôé ôï äéüóôçìá [a; b] ðñýðåé íá õðïäéáéñåèåß óå åðß ìýñïõò éóïáðý ïíôá õðïäéáóôþìáôá áðü ôá óçìåßá Ó ) a = x 0 < x 1 < x 2 < : : : < x N 1 < x N = b ) êáé óôç óõíý åéá óå êüèå Ýíá áðü áõôü íá åöáñìïóôåß ï áíüëïãïò ðñïóåããéóôéêüò ôýðïò. Ôï ðñüâëçìá ôüôå ìå ôéò ôéìýò ôçò óõíüñôçóçò äçìéïõñãåßôáé, üôáí ç áíôéêáôüóôáóç ôùí ðáñáãþãùí ãßíåôáé óôá Üêñá óçìåßá x 0 êáé x N Þ óå ãåéôïíéêü ôùí. Ãéá ðáñüäåéãìá, Ýóôù üôé áðáéôåßôáé ç ðñïóýããéóç ôçò u xx óôï óçìåßï x 0. Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 6:2:1 6) Ý ïõìå u xx x=x0 = u x 0 h; t) 2u x 0 ; t) + u x 0 + h; t) h 2 üðïõ üìùò ôï óçìåßï x 0 h åßíáé åêôüò ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý [a; b] Ó ). ÁíÜëïãï ðñüâëçìá õðüñ åé êáé óôï óçìåßï x N. Ãéá ôçí áíôéìåôþðéóç áõôþí ôùí ðñïâëçìüôùí ðñýðåé íá åßíáé ãíùóôþ ç óõìðåñéöïñü ôçò óõíüñôçóçò u óôá óõíïñéáêü óçìåßá x 0 êáé x N. Áõôü ãßíåôáé ìå ôéò ëåãüìåíåò óõíïñéáêýò óõíèþêåò boundary conditions) ôïõ ðñïâëþìáôïò ðïõ áíáöýñåôáé ç äéáöïñéêþ åîßóùóç.
11 10 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ïé êõñéüôåñåò áðü áõôýò åßíáé: Neumann óõíïñéáêýò óõíèþêåò u x x=x0 = 0 êáé u x x=xn = 0: Ôüôå áðü ôçí 6:2:1 5) ðñïêýðôïõí ôá åîþò Ó ): u x x=x0 = u x 0 + h; t) u x 0 h; t) 2h u x 0 h; t) = u x 0 + h; t) ; êáé = 0; ïðüôå ) u x x=xí = u x Í + h; t) u x Í h; t) 2h = 0; ïðüôå u x N + h; t) = u x N h; t) : Dirichlet óõíïñéáêýò óõíèþêåò u x 0 ) = v 0 êáé u x N ) = v 1 ; üôáí v 0 êáé v 1 ãíùóôýò ôéìýò. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ, åöüóïí äåí åßíáé ãíùóôýò Üëëåò óõíèþêåò, ç ðñïóýããéóç ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí ãßíåôáé ìüíï óôá åóùôåñéêü óçìåßá Ó ). ÐáñÜäåéãìá Ç åîßóùóç äéüäïóçò èåñìüôçôáò óå ìßá äéüóôáóç = ux; 2 üðïõ a < x < b; t > 0; ) üôáí a èåôéêþ óôáèåñü êáé ux; t) ìéá åðáñêþò äéáöïñßóéìç óõíüñôçóç üðïõ ç t óõìâïëßæåé ôç ìåôáâëçôþ ôïõ ñüíïõ êáé ç x ôïõ äéáóôþìáôïò. Óôç öõóéêþ ç óõíüñôçóç u ïñßæåé ôç ìåôáâïëþ ôçò èåñìïêñáóßáò, åíþ ç óôáèåñü a ôï óõíôåëåóôþ èåñìéêþò äéü õóçò. Ç åîßóùóç èåñìüôçôáò åßíáé èåìåëéþäïõò óçìáóßáò óå äéáöüñïõò ôïìåßò ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí üðùò: óôá ìáèçìáôéêü ùò ôï ðñüôõðï ôçò ëýóçò
12 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 11 0 U 1 n n U 2 n U N Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ïé ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò U n m; m = 0; : : : ; N ôçò óõíüñôçóçò ux; t) óôá óçìåßá 6:2:1 12), üôáí ëçöèïýí õð' üøéí ïé óõíïñéáêýò óõíèþêåò 6:2:1 11), äçëáäþ U n 0 = 0 êáé U n N = 0 ðáñáâïëéêþí PDE's, óôç èåùñßá ðéèáíïôþôùí, óôá ïéêïíïìéêü ìáèçìáôéêü ê.ëð. Ãéá ôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôçò 6:2:1 10) èåùñïýíôáé ïé ðáñáêüôù óõíïñéáêýò óõíèþêåò Dirichlet boundary conditions) u a; t) = u b; t) = 0; üôáí t > 0; ) Ãéá ôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôçò 6:2:1 10) ôï äéüóôçìá [a; b] ôçò ìåôáâëçôþò x õðïäéáéñåßôáé óå N ßóá õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò h ìå h = b a)=n Ó ) áðü ôá óçìåßá a = x 0 < x 1 < x 2 < : : : < x N 1 < x N = b: ) óôù ãéá åõêïëßá üôé ç ôéìþ ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôçò ux; t) óôá óçìåßá x m ; m = 0; 1; : : : ; x N, äçëáäþ ç u x m ; t) óõìâïëßæåôáé óôï åîþò ìå U n m ãéá êüèå m = 0; 1; : : : ; N: ÅðåéäÞ óýìöùíá ìå ôçí 6:2:1 11) äßíïíôáé ïé óõíïñéáêýò ôéìýò óôá óçìåßá x 0 = a êáé x N = b, ç 6:2:1 10) åöáñìüæåôáé óå êüèå ñïíéêþ óôéãìþ ôçò ìïñöþò t = n` üðïõ ` ôï âþìá ôïõ ñüíïõ êáé n = 1; 2; : : : óå üëá ôá åóùôåñéêü óçìåßá Ó ) ôçò äéáìýñéóçò 6:2:1 12). Ôüôå óýìöùíá ìå ôçí 6:2:1 6) Ý ïõìå ôï ðáñáêüôù óýóôçìá N äéáöïñéêþí
13 12 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò åîéóþóåùí 1çò ôüîçò: x = x 1 : d U n 1 dt = 0 {}}{ U n 0 2U n 1 + U n 2 h 2 x = x 2 : d U n 2 dt = U n 1 2U n 2 + U n 3 h ) x = x N 1 : x = x N : d U n N 1 dt d U n N dt = U n N 2 2U n N 1 + U n N h 2 = U n N 1 2U n N + h 2 0 {}}{ UN+1 n Ôï óýóôçìá áõôü ãñüöåôáé óå äéáíõóìáôéêþ ìïñöþ ùò åîþò: dut) dt = AUt); ) üôáí Ut) = [U 1 t); : : : ; U N t)] T åßíáé ôï äéüíõóìá ôùí ðñïóåããéóôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò 6:2:1 10) óå åðßðåäï ñüíïõ t êáé A Ýíáò ôñéäéáãþíéïò ðßíáêáò ôçò ìïñöþò A = h : Áðü ôç ëýóç ôïõ óõóôþìáôïò 6:2:1 14) ðñïêýðôïõí ôüôå ïé ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò ôçò u óôá óçìåßá 6:2:1 12). Ç ëýóç ôçò 6:2:1 10) ãéá ôéò äéüöïñåò ôéìýò ôïõ t èá äïèåß óå ìüèçìá, ðïõ áêïëïõèåß.
14 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 13 ÁóêÞóåéò 1. Ç ãñáììéêþ ìïñöþ ôçò åîßóùóçò äéü õóçò-ìåôáöïñüò diusion-convection) óå ìßá äéüóôáóç Ý åé 2 üðïõ 0 < x < b êáé t > 0 üðïõ ì > 0 åßíáé ç ðáñüìåôñïò ìåôáöïñüò convection parameter). Ïé óõíïñéáêýò óõíèþêåò, üôáí t > 0, t) u0; t) = vt) êáé = Ìå õðïëïãéóìïýò áíüëïãïõò ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò äåßîôå üôé ç äéáíõóìáôéêþ ìïñöþ ôçò ëýóçò ôçò åîßóùóçò 6:2:1 15) åßíáé üðïõ dut) = A Ut) + b ìå U0) = g dt ìh ìh ìh A = ìh ìh 2 2 êáé b = h 2 [ ìh ) U t n`); 0; : : : ; 0] T. 2. Ìå ôïí ôýðï 6:1:2 1) áíôéêáèéóôþíôáò êáôüëëçëá ôï h ìå 2h êáé ôï h ìå 2h äåßîôå üôé êáé óôç óõíý åéá üôé ux + 2h; t) 2ux; t) + ux 2h; t) = 4h h O h 4 4 = 1 [ux + 2h; t) 4ux + h; t) + 6ux; t) h4 4ux h; t) + ux 2h; t)] + O h 2) :
15 14 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor ãéá äýï ìåôáâëçôýò Ï ôýðïò ôïõ Taylor ãéá ôçí ðåñßðôùóç ìéáò óõíüñôçóçò, Ýóôù u = ux; t), üôáí ôï áíüðôõãìá ãßíåôáé êáé ãéá ôéò äýï ìåôáâëçôýò x êáé ` ãñüöåôáé ux + h; t + `) = ux; t) + 1 1! + 1 2! ) h 2 + u + 2 h 3 + u 2 + 3h : : : : ) Áðü ôçí 6:2:2 1) åýêïëá áðïäåéêíýåôáé ôüôå ìå êáôüëëçëïõò óõíäõáóìïýò ôùí ðñïóþìùí ôùí h êáé ` üôé 2 = 1 [ux + h; t + `) ux + h; t `) 4h` ux h; t + `) + ux h; t `)] 4 Óôçí 6:2:2 1) èýôïíôáò êáôüëëçëá üðïõ h ôï h êáé üðïõ ` ôï `, ðñïêýðôïõí ïé ó Ýóåéò ux h; t + `) = ux; t) + 1 h ux + ` ut) 1! + 1 2! h 2 uxx 2h` uxt + `2 utt) + : : : ; ux + h; t `) = ux; t) + 1 1! h u x ` ut) + 1 2! h 2 uxx 2h` uxt + `2 utt) + : : : ; ux h; t `) = ux; t) + 1 1! h u x ` ut) + 1 2! h 2 uxx + 2h` uxt + `2 utt) + : : : :
16 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 15 u x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ç ìïñöþ ôïõ êýìáôïò ux; t) = 4 tan 1 [expx t)], üôáí t = 1; 2; 3 êáé x [ 5; 10] ) h + `) 4 +O : ) hl ÓõíäõÜæïíôáò êáôüëëçëá ôçí 6:2:2 1) åßíáé äõíáôüí íá ðñïêýøïõí êáé Üëëåò áíþôåñçò ôüîåéò ðñïóåããßóåéò ôùí ìåñéêþí ìéêôþí ðáñáãþãùí ôçò u. ÐáñÜäåéãìá Ç óõíüñôçóç ux; t) = 4 tan 1 [expx t)] ) ðåñéãñüöåé Ýíá êýìá, ðïõ äéáäßäåôáé Ó ) ùñßò íá áëëüæåé ìïñöþ soliton). Ôüôå u xt = 4 et+x e 2t + e 2x) e 2t + e 2x ) 2 ; ïðüôå u xt x=0; t=1 = 0: : Åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï 6:2:2 2) ãéá h = ` = 0:01, üôáí x = 0; t = 1 Ý ïõìå u xt x=0; t=1 = 1 [u0 + 0:01; 1 + 0:01) u0 + 0:01; 1 0:01) 4h`
17 16 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò u0 0:01; 1 + 0:01) + u0 0:01; 1 0:01)] = 0: : ñá õðüñ åé óöüëìá óôçí ðñïóýããéóç: e = ÁóêÞóåéò 1. ¼ìïéá ìå ôç óõíüñôçóç ux; t) ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò ç óõíüñôçóç vx; t) = 4 tan 1 {exp[ x t)] } ðåñéãñüöåé Ýíá êýìá soliton. Åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï 6:2:2 2) ãéá h = ` = 0:01, üôáí x = 0; t = 1 íá õðïëïãéóôåß ç u xt x=0; t=1 êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ìå ôçí áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ. Óôç óõíý åéá íá ãßíåé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò óõíüñôçóçò ux; t) + vx; t), üôáí x [ 5; 10] êáé t = 1; 2; 5. Ôé ðáñáôçñåßôå; 2. óôù ç óõíüñôçóç [ ] u x; y) = 4 tan 1 exp x) + tan 1 exp y) : ) ¼ìïéá ìå ôïí ôýðï 6:2:2 2) ãéá h = k = 0:01, üôáí x = y = 1 íá õðïëïãéóôåß ç u xy x=1; y=1 êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ìå ôçí áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ. 3. ¼ìïéá ôçò ) u x; y) = 4 tan 1 exp 3 x 2 + y ) Óçìåßùóç Ç 6:2:2 4), áíôßóôïé á ç 6:2:2 5), üôáí åßíáé ç ëýóç ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = 0 ôçò äéäéüóôáôçò çìéôïíïåéäïýò äéáöïñéêþò åîßóùóçò ôïõ Gordon sine- Gordon equation) u x; y) sin óôçí ðåñßðôùóç üðïõ = 0 êáé x; y) = 1 äçìéïõñãïýí ìå ôçí ðüñïäï ôïõ ñüíïõ 5 ÂëÝðå äçìïóßåõóç A. G. Bratsos [5].
18 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 17 äýï åõèýãñáììá êýìáôá ðïõ áðïìáêñýíïíôáé ìåôáîý ôïõò êáôü ôç äéåýèõíóç y = x Ó ), áíôßóôïé á Ýíá êõêëéêü êýìá ðïõ áëëüæåé ìïñöþ Ó êáé ). a) b) Ó Þìá : Åîßóùóç êýìáôïò 6:2:2 4), üôáí x; y [ 6; 6] ôçí a) ñïíéêþ óôéãìþ t = 0 êáé b) t = 7 a) b) Ó Þìá : Åîßóùóç êýìáôïò 6:2:2 5): ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç ôçò óõíüñôçóçò z = sin 1 2 ux; y), üôáí x; y [ 7; 7] ôçí a) ñïíéêþ óôéãìþ t = 0 êáé b) t = 5:6
19 18 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò a) b) Ó Þìá : Åîßóùóç êýìáôïò 6:2:2 5): ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç ôçò óõíüñôçóçò z = sin 1 2 ux; y), üôáí x; y [ 7; 7] ôçí a) ñïíéêþ óôéãìþ t = 8:4 êáé b) t = 11:2 6 6 Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç Þ áíáðáñáãùãþ ôïõ ðáñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ Êáè. Á. ÌðñÜôóïõ. bratsos@teiath.gr URL:
20 Âéâëéïãñáößá [1] Aêñßâçò, Ã., ÄïõãáëÞò, Â. 1995), ÅéóáãùãÞ óôçí ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ÁèÞíá, ISBN 978{960{524{022{6. [2] ÌðñÜôóïò, Á. 2011), ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 978{960{351{874{7. [3] ÌðñÜôóïò, Á. 2002), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 960{351{453{5/978{960{351{453{4. [4] ÓôåöáíÜêïò,., Ðñïãñáììáôéóìüò Ç/Õ ìå MATLAB, Ãêïýñäáò ÅêäïôéêÞ, ISBN 978{960{387{856{8. [5] Bratsos, A. G., The solution of the two-dimensional sine-gordon equation using the method of lines, J. Comput. Appl. Math., vol. 206 No ), pp. 251{277. [6] Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas 2000), Numerical Analysis 7th ed.), Brooks/Cole, ISBN 978{0{534{38216{2. [7] Conte, S. D., Carl de Boor 1981), Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic Approach 3rd ed.), McGraw-Hill Book Company, ISBN 978{0{07{012447{9. [8] Don, E., Schaum's Outlines { Mathematica 2006), Åêäüóåéò ÊëåéäÜñéèìïò, ISBN 978{960{461{000{6. [9] Kendell A. Atkinson 1989), An Introduction to Numerical Analysis 2nd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0{471{50023{2. 19
21 20 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò [10] Leader, Jeery J. 2004), Numerical Analysis and Scientic Computation, Addison Wesley, ISBN 978{0{201{73499{7. [11] Schatzman, M. 2002), Numerical Analysis: A Mathematical Introduction, Clarendon Press, Oxford, ISBN 978{0{19{850279{1. [12] Stoer, Josef; Bulirsch, Roland 2002), Introduction to Numerical Analysis 3rd ed.), Springer, ISBN 978{0{387{95452{3. [13] Sli, E. and Mayers, D. 2003), An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978{0{521{00794{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Page
22 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
23 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, Αθανάσιος Μπράτσος. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων». Έκδοση: 1.0. Αθήνα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 8: Τριπλά Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.
Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 4: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραEstimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÐñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο
Διαβάστε περισσότεραΠΙΝΑΚΕΣ. Θερμοδυναμική 2012 Σελίδα 292
ΠΙΝΑΚΕΣ 2012 Σελίδα 292 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες: Ιδανικά αέρια Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 1: Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα 1: Μετασχηματισμός aplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 3: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß
ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση
Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 1: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΒάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικό Σχέδιο - CAD
Τεχνικό Σχέδιο - CAD Προσθήκη Διαστάσεων & Κειμένου ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Εντολές προσθήκης διαστάσεων & κειμένου Στο βασική (Home)
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων
Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 9: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας
Διαβάστε περισσότεραΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Ενότητα 8: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΤΑΤΜΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6: 1η εργαστηριακή άσκηση και προσομοίωση με το SPICE Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων Ενότητα 1
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Διαβάστε περισσότερα