2.4 Το λογισμικό GeoGebra
|
|
- Βηθζαθά Βιτάλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 2.4 Το λογισμικό GeoGebra Το Geogebra είναι ένα πρόσφατα δημοσιευμένο λογισμικό που συνδέει την γεωμετρία την άλγεβρα και το λογισμό. Αναπτύχθηκε για τη διδασκαλία των μαθηματικών στα σχολεία απ τον Markus Hohenwarter και από μια διεθνή ομάδα προγραμματιστών. Έχει μεταφραστεί σε 36 γλώσσε και είναι ελεύθερο λογισμικό. Το Geogebra συνδέει με άμεσο και αυτόματο τρόπο του δύο τύπου λογισμικών (όπω δείχνει και το όνομα του: Geometry και algebra). Προσπαθεί να συνδυάσει την ευκολία χρήση των DGS με τι μεγάλε υπολογιστικέ δυνατότητε των CAS. Η βασική ιδέα του λογισμικού είναι να ενταχθούν η γεωμετρία, η άλγεβρα, και ο λογισμό, που σε άλλα λογισμικά αντιμετωπίζονται ξεχωριστά, σε ένα ενιαίο, εύκολο στη χρήση, πακέτο για τη μάθηση και τη διδασκαλία των μαθηματικών που ξεκινάει από το Δημοτικό και φτάνει μέχρι το Πανεπιστήμιο. Η αμφίδρομη επικοινωνία μεταξύ τη γεωμετρία και τη άλγεβρα στην ίδια αλληλεπιδραστική οθόνη παρέχει μεγάλε δυνατότητε στη μαθηματική εκπαίδευση. Αμφίδρομη επικοινωνία σημαίνει ότι με την πληκτρολόγηση μια εξίσωση στο παράθυρο τη άλγεβρα εμφανίζεται το γράφημα τη εξίσωση στο (δυναμικό) παράθυρο των γραφημάτων. Ομοίω, σύροντα με το ποντίκι το γράφημα στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων, η εξίσωση του γραφήματο αλλάζει αναλόγω. Επομένω το Geogebra προσφέρει μια στενή διασύνδεση ανάμεσα στι δυνατότητε απεικόνιση των CAS και στη δυναμική μεταβολή των DGS. Σχήμα 9: Η οθόνη αλληλεπίδραση του Geogebra H Lu (2008) αναφέρει ότι οι Edwards and Jones (2006) θεωρούν ότι το Geogebra έχει ένα σημαντικό γνώρισμα: Οι δραστηριότητέ του απαιτούν υψηλό επίπεδο σκέψη και επιτρέπουν στου μαθητέ να εμπλακούν με τι δυνατότητε που προσφέρει το λογισμικό, όπω μάθηση διαμέσου ανατροφοδότηση, μεταβάλλοντα παραμέτρου, βλέποντα τα αποτελέσματα των μεταβολών, βλέποντα μοντέλα, κάνοντα διασυνδέσει, δουλεύοντα με δυναμικέ εικόνε κλπ. Υπάρχει μια αυξανόμενη πεποίθηση μεταξύ των εκπαιδευτικών στα μαθηματικά ότι το GeoGebra έχει τη δυνατότητα να μεταμορφώσει την εκπαίδευση στα μαθηματικά (Sangwin, 2007, Jones και Edwards, 2006). Δεν πρέπει να ξεχνάμε, ωστόσο, ότι οι εκπαιδευτικοί διαδραματίζουν ζωτικό ρόλο στην ενίσχυση τη μάθηση, και η τεχνολογία δεν μπορεί να αντικαταστήσει του εκπαιδευτικού (Sutherland et al., 2004). Αριστοτέλη Βλάχο 23
2 Σημείωση Η έρευνα τη Lu (2008) έχει ω στόχο να παρέχει την πρώτη αυστηρή αξιολόγηση αυτού του ελεύθερου λογισμικού Geogebra και πώ μπορεί να στηρίξει ή να ενισχύσει τη διδασκαλία των μαθηματικών. Η σημασία αυτή τη έρευνα δεν είναι μόνο η έρευνα για τον τρόπο χρήση του GeoGebra και πώ μπορεί να ενσωματωθεί στη διδασκαλία είτε τη γεωμετρία, είτε τη άλγεβρα χωριστά, αλλά το πιο σημαντικό, πώ η διδασκαλία τη γεωμετρία και τη άλγεβρα μπορεί να συνδυασθεί με τη βοήθεια του GeoGebra, συμβάλλοντα έτσι στην καλύτερη κατανόηση των μεταξύ του σχέσεων από του μαθητέ. Τα αποτελέσματα τη έρευνα περιγράφονται αναλυτικά στην εργασία "Linking Geometry and Algebra: A multiplecase study of Upper-Secondary mathematics teachers conceptions and practices of GeoGebra in England and Taiwan". 2.5 Διευκολύνσει που παρέχει το Geogebra Θα περιγράψουμε κάποια χαρακτηριστικά του Geogebra τα οποία συνθέτουν ένα εύχρηστο λογισμικό πακέτο για τη διδασκαλία των μαθηματικών στη Μέση Εκπαίδευση Η οθόνη διεπαφή Η διευθέτηση σχεδόν όλων των δυνατοτήτων ενό λογισμικού στην στάνταρ (αρχική) οθόνη τακτοποιημένων με ένα λειτουργικό και εύχρηστο τρόπο είναι ένα από τα βασικά πλεονεκτήματα ενό εκπαιδευτικού λογισμικού. Στην αρχική οθόνη του Geogebra βρίσκονται το παράθυρο τη άλγεβρα, το παράθυρο των γραφικών (τα δύο περισσότερο χρησιμοποιούμενα) και το παράθυρο του Λογιστικού φύλλου 1. Η γραμμή εισαγωγή δεδομένων και ο κατάλογο των εντολών του λογισμικού βρίσκονται επίση στην στάνταρ προβολή τη οθόνη. Η προβολή τη οθόνη μπορεί να εμπλουτισθεί περαιτέρω από το μενού Προβολή ανάλογα με το τι θέλουμε να κάθε φορά να φαίνεται. 1 Δεν κρίθηκε απαραίτητο στη διδασκαλία των εννοιών του λογισμού. Στα κελιά του λογιστικού φύλλου καταχωρούνται αντικείμενα (όπω συντεταγμένε σημείων, συναρτήσει, εντολέ κλπ) και άμεσα αποκτούν τη διεύθυνση του αντίστοιχου κελιού που είναι μοναδική (π.χ. κελί A 1, κελί Β 3 ). Αυτή η διεύθυνση μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε εκφράσει και εντολέ ώστε αυτόματα να ταυτοποιηθεί το αντίστοιχο περιεχόμενο του κελιού. Σχήμα 10: Η χωροθέτηση τη οθόνη του Geogebra Αριστοτέλη Βλάχο 24
3 Ενεργοποιώντα το εργαλείο με το ποντίκι μπορούμε να μετακινήσουμε αντικείμενα στο παράθυρο γραφικών σύροντά τα με το ποντίκι. Ταυτόχρονα ενημερώνεται δυναμικά (αυτόματα) και η αλγεβρική αναπαράσταση στο παράθυρο τη άλγεβρα Οργάνωση εργαλειοθήκη Κάθε εικονίδιο στη γραμμή εργαλείων περιέχει έναν κατάλογο από παρόμοια εργαλεία. Για να τα δούμε και να επιλέξουμε κάποιο κάνουμε κλικ στο μικρό βέλο κάτω δεξιά του εικονιδίου. Σχήμα 11: Οι ομάδε εργαλείων του Geogebra Η γραμμή εισαγωγή δεδομένων Χρησιμοποιώντα τη γραμμή εισαγωγή δεδομένων μπορούμε να εισάγουμε αλγεβρικέ εκφράσει όπω αριθμού, γωνίε, διανύσματα, κωνικέ τομέ, συναρτήσει, παραμετρικέ καμπύλε. Τι εισαγωγέ τι υλοποιούμε με τη βοήθεια συντεταγμένων ή εξισώσεων. Με το πάτημα του Enter εμφανίζεται ταυτόχρονα η γραφική του αναπαράσταση στο παράθυρο των γραφικών. Για παράδειγμα η εισαγωγή f(x) = x^2 μα δίνει τον τύπο τη συνάρτηση f στο παράθυρο τη άλγεβρα και τη γραφική τη παράσταση στο παράθυρο γραφικών. Σημείωση Αν θέλουμε να αποκρύψουμε την αλγεβρική αναπαράσταση ενό αντικειμένου μπορούμε να το προσδιορίσουμε ω βοηθητικό αντικείμενο κάνοντα δεξί κλικ στο αντικείμενο και επιλέγοντα ιδιότητε στο παράθυρο διαλόγου. Κατόπιν επιλέγουμε βοηθητικό αντικείμενο. Μπορούμε να αποκρύψουμε την προβολή των βοηθητικών αντικειμένων απ το μενού Προβολή στη γραμμή Μενού Επαναπροσδιορισμό αντικειμένου Κάνοντα διπλό κλικ σε οποιαδήποτε αναπαράσταση ενό μαθηματικού αντικειμένου, στο παράθυρο διαλόγου που αναδύεται μπορούμε να επαναπροσδιορίσουμε τον αλγεβρικό τύπο του αντικειμένου. Είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο διότι: Αριστοτέλη Βλάχο 25
4 δίνει τη δυνατότητα να επαναφέρουμε ένα αντικείμενο στην αρχική του θέση στην οθόνη, στην περίπτωση που το μετακινήσαμε για την ανάγκη κάποια διερεύνηση. Όταν έχουμε υλοποιήσει κάποια πολύπλοκη κατασκευή με αφετηρία κάποιο συγκεκριμένο μαθηματικό αντικείμενο, π.χ. μια συνάρτηση f, (για να διερευνήσουμε κάποιο αποτέλεσμα που μα ενδιαφέρει), τότε με τον επαναπροσδιορισμό του αντικειμένου μπορούμε να αλλάξουμε και να εισαγάγουμε οποιοδήποτε τύπο στην f ώστε να δούμε το αποτέλεσμα τη κατασκευή για τη νέα συνάρτηση χωρί να χρειαστεί να κάνουμε την ίδια κατασκευή εξαρχή Προσαρμογή τη εργαλειοθήκη Η εργαλειοθήκη μπορεί να προσαρμοσθεί επιλέγοντα προσαρμογή εργαλειοθήκη απ το μενού Εργαλεία τη γραμμή των μενού. Αυτό χρησιμεύει όταν θέλω να αποκρύψω κάποια εργαλεία όταν εξάγω δραστηριότητε Geogebra στο Διαδίκτυο ω δυναμικά φύλλα εργασία με την έννοια ότι καθορίζουμε μόνοι μα πόσα εργαλεία θεωρούμε ότι πρέπει να έχει στη διάθεσή του ο χρήστη για να ικανοποιηθούν οι εκπαιδευτικοί στόχοι τη συγκεκριμένη δραστηριότητα Δυναμικά φύλλα εργασία (dynamic worksheet) Το Geogebra δίνει τη δυνατότητα στου καθηγητέ να αναπτύξουν δυναμικά φύλλα εργασία (dynamic worksheet). Αυτά τα φύλλα εργασία μπορούν να εξαχθούν εύκολα ω δυναμική ιστοσελίδα, η οποία περιέχει ένα διαδραστικό applet μαζί με ασκήσει διερεύνηση για του μαθητέ. Μετά απ το ανέβασμα των φύλλων εργασία στο Διαδίκτυο, οι μαθητέ έχουν τη δυνατότητα να έχουν πρόσβαση σε αυτά απ το σχολείο όσο και από το σπίτι και επομένω δεν χρειάζεται να είναι καν εγκατεστημένο το Geogebra στου υπολογιστέ του. Αυτά τα φύλλα εργασία είναι πλήρω δυναμικά, πράγμα που σημαίνει ότι τα σημεία μπορούν να μετακινηθούν κατά μήκο των γραφικών παραστάσεων, οι παράμετροι να αλλάξουν με την βοήθεια ειδικών δρομέων (sliders), και το κείμενο να καταγράφει αυτόματα τι αλλαγέ. Στα εξαγόμενα δυναμικά φύλλα εργασία μπορούμε να εισάγουμε : τίτλο, συγγραφέα, ημερομηνία και κάποιο κείμενο πάνω και κάτω απ το java-applet. Για παράδειγμα μια περιγραφή τη κατασκευή και κάποιε δραστηριότητε - ασκήσει για το χρήστη. Επίση μπορούμε να προσθέσουμε κάποιε λεπτομέρειε αλλά και να τροποποιήσουμε τι διευκολύνσει για το χρήστη όπω την εμφάνιση ή όχι τη εργαλειοθήκη ή τη γραμμή εισαγωγή δεδομένων. 2.6 Tο Geogebra στη διδασκαλία του Λογισμού Η διδασκαλία των εννοιών του λογισμού με GeoGebra είναι μια περιοχή που βρίσκεται σε ευρεία ανάπτυξη. Μια περιγραφή των πιθανών εφαρμογών του Geogebra στη διδασκαλία του Λογισμού δόθηκε στο 11 th International Congress on Mathematical Education in Mexico από του Hohenwarter et.al. (2008), και τα αναφέρουμε αμέσω παρακάτω. Οι εικόνε είναι από την αντίστοιχη παρουσίαση των Hohenwarter et.al. Σε κάποιε περιπτώσει δίνουμε κάποιε επιπλέον εικόνε και κάποιε πρόσθετε παρατηρήσει. Παράδειγμα 1: Τέμνουσα και εφαπτομένη μια συνάρτηση Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει, με την οπτικοποίηση, στην υποστήριξη τη Αριστοτέλη Βλάχο 26
5 κατανόηση του πηλίκου διαφορά, τη σχέση μεταξύ τη τέμνουσα και τη εφαπτομένη, και των οριακών διαδικασιών. Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση μια συνάρτηση f(x), καθώ και δύο κινητά σημεία Α = (a, f(a)) και Β = (b, f(b)) που βρίσκονται στο γράφημα τη f. Οι τιμέ του πηλίκου διαφορά f ( b) f ( a) b a εμφανίζονται ω δυναμικό κείμενο, το οποίο προσαρμόζεται όταν τα Α ή Β μετακινούνται με το ποντίκι. Επιπλέον, εμφανίζονται η τέμνουσα ΑΒ καθώ και κλίση τη m. Αυτή η δυναμική εικόνα μπορεί να χρησιμοποιηθεί από του μαθητέ για να διερευνήσουν το πηλίκο διαφορά ω αριθμητική προσέγγιση τη κλίση τη εφαπτομένη σύροντα το σημείο Β κατά μήκο τη καμπύλη τη f(x) προ το σημείο Α. Οι μαθητέ βιώνουν ότι όταν ταυτίζονται τα δύο σημεία σε ένα, η τέμνουσα εξαφανίζεται και το πηλίκο διαφορά δεν ορίζεται. Αυτό το «πρόβλημα» είναι ένα καλό σημείο εκκίνηση για ενδιαφέρουσε συζητήσει στην τάξη: Γιατί η τέμνουσα εξαφανίζεται; Πώ μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα για να πάρουμε μια τιμή για την κλίση; Για να απεικονίσουμε την ειδική περίπτωση τη τέμνουσα που «γίνεται» εφαπτομένη, η εφαπτομένη μπορεί να εμφανιστεί χρησιμοποιώντα το checkbox: Tangent πάνω δεξιά (το οποίο εμφανίζει ή αποκρύπτει την εφαπτομένη) Σχήμα 12: Τέμνουσα και εφαπτομένη μια συνάρτηση f Τέτοιε εξερευνήσει επιτρέπουν μια πιο ουσιαστική εισαγωγή τη αφηρημένη έννοια του ορίου του πηλίκου διαφορών. Σε επόμενη παράγραφο θα περιγράψουμε και πω μπορεί να υλοποιηθεί στο Geogebra η διαισθητική ερμηνεία τη εφαπτομένη μια συνάρτηση στο x ω τη καλύτερη γραμμική προσέγγιση τη συνάρτηση στη γειτονιά του x, (κοίτα τo σχήμα) που προτείνουν οι Downs & Mamona-Downs (2000). Αριστοτέλη Βλάχο 27
6 Σχήμα 13: Η εφαπτομένη ω η καλύτερη «τοπική» προσέγγιση μια συνάρτηση f Παράδειγμα 2: Χάραξη τη συνάρτηση κλίση μια συνάρτηση Το GeoGebra επιτρέπει στου μαθητέ να οπτικοποιήσουν την έννοια τη κλίση μια συνάρτηση f ω συνάρτηση του x. Παρακάτω θα περιγράψουμε μία τέτοια διαδικασία. Η δυνατότητα που παρέχει το Geogebra του επαναπροσδιορισμού του αντικειμένου κάθε φορά, επιτρέπει να χρησιμοποιηθεί αυτή η δυναμική εικόνα για να διερευνήσει ο μαθητή εύκολα και γρήγορα όλε τι βασικέ συναρτήσει και τι παραγώγου του (Tall, 1985d, Little, 2009). Επιπλέον, μπορεί να βοηθήσει του μαθητέ να εξερευνήσουν κάποιου κανόνε για την παράγωγο συνάρτηση, όπω για παράδειγμα γιατί οι σταθεροί όροι στον τύπο μια συνάρτηση δεν έχουν καμία επίπτωση στην παράγωγο. Με κατευθυντήριε ερωτήσει οι μαθητέ μπορούν να αναλύσουν συστηματικά τι παραγώγου διαφόρων πολυωνυμικών συναρτήσεων όπω f(x) = x + 2, f(x) = x 2, f(x) = x 3, f(x) = 4x 2. Μετά την καταγραφή των ευρημάτων του σε μορφή πίνακα θα μπορούσαν να είναι σε θέση να εντοπίζουν ένα υπόδειγμα και να ανακαλύπτουν μόνοι του ορισμένου βασικού κανόνε παραγώγιση. Σχήμα 14: Χαράσσοντα τη συνάρτηση κλίση τη sinx Παρατήρηση Η τοποθέτηση πλέγματο και η ρύθμιση τη πυκνότητά του μπορεί να βοηθήσει τι διερευνήσει για την εύρεση ενό αλγεβρικού τύπου για την παράγωγο συνάρτηση και τη δημιουργία εικασιών για ορισμένου απλού κανόνε παραγώγιση κυρίω μονωνύμων αx ν αλλά όχι μόνο. Ο Tall, όπω θα περιγράψουμε σε επόμενη παράγραφο, προτείνει αρχικά τον υπολογισμό μια «πρακτική» κλίση τη καμπύλη με τη βοήθεια μια τέμνουσα ΑB για μία πολύ κοντινή απόσταση h των σημείων Α, Β. Η «πρακτική» αυτή κλίση είναι μία πολύ ικανοποιητική προσέγγιση τη Αριστοτέλη Βλάχο 28
7 θεωρητική κλίση σε ένα σημείο μια καμπύλη, όπω διαπιστώνεται με τη βοήθεια τη μεγέθυνση του λογισμικού. Έτσι αποφεύγει αρχικά την εισαγωγή τη δυσνόητη οριακή διαδικασία και την εισάγει αργότερα με το ειδικό παράδειγμα τη συνάρτηση f(x) = 1/x. Παράδειγμα 3: Παράγωγοι, ρίζε, ακρότατα Εδώ οι μαθητέ μπορούν να δημιουργήσουν ένα πολυώνυμο π.χ. f(x) = αx 3 +βx 2 +γx+δ με του συντελεστέ να μεταβάλλονται από sliders. Οι μαθητέ μπορούν να δουν πω επηρεάζουν το γράφημα οι μεταβολέ των συντελεστών. Επίση αν σχεδιάσουν και τι δύο πρώτε παραγώγου μπορούν να δουν πώ συνδέονται τα γραφήματά του. Για παράδειγμα η μεταβολή του συντελεστή δ δεν επηρεάζει καθόλου τι παραγώγου. Επίση όπου μία καμπύλη έχει ακρότατο η παράγωγό τη έχει μία ρίζα. Μια συστηματική ανάλυση τέτοιων χαρακτηριστικών των πολυωνύμων και των παραγώγων του θα μπορούσε ενδεχομένω να βοηθήσει του μαθητέ να κατανοήσουν καλύτερα του αλγεβρικού χειρισμού των συναρτήσεων, να οπτικοποιήσουν τα χαρακτηριστικά ορισμένων συναρτήσεων, και να βελτιώσουν τι δεξιότητέ του στον σχεδιασμό γραφημάτων συναρτήσεων και των παραγώγων του. Σχήμα 15: Παράγωγοι, ρίζε, ακρότατα Παράδειγμα 4: Δυναμικό πολυώνυμο Taylor Οι φοιτητέ μπορούν να οπτικοποιήσουν το προσεγγιστικό πολυώνυμο Taylor βαθμού n για μια συνάρτηση γύρω από ένα σημείο προσέγγιση Α που κινείται στον άξονα των x. Χρησιμοποιώντα ένα slider για το ν οι φοιτητέ μπορούν να αλλάξουν τον βαθμό (και άρα το πλήθο των όρων) του προσεγγιστικού πολυωνύμου Taylor και επομένω να αλλάξουν την ακρίβεια τη προσέγγιση γύρω απ το Α. Αφού το σημείο Α μπορεί να συρθεί κατά μήκο του άξονα η αρχική συνάρτηση μπορεί να προσεγγισθεί σε διαφορετικά σημεία. Ταυτόχρονα το δυναμικό κείμενο που εμφανίζει την εξίσωση του αντίστοιχου πολυωνύμου Taylor, προσαρμόζεται αυτόματα σ όλε τι τροποποιήσει του δυναμικού διαγράμματο. Επιπλέον το ότι μια συνάρτηση μπορεί να επαναπροσδιορισθεί (να αλλάξει ο τύπο τη ) ανά πάσα στιγμή, επιτρέπει την γρήγορη διερεύνηση των πολυωνύμων Taylor για διαφορετικέ συναρτήσει που μα ενδιαφέρουν. Η ενσωμάτωση των πολλαπλών αναπαραστάσεων (δυναμική απεικόνιση-γράφημα, αλγεβρική αναπαράσταση- εξίσωση) στα μαθήματα του λογισμού βοηθούν του φοιτητέ να καταλάβουν καλύτερα την έννοια των Αριστοτέλη Βλάχο 29
8 προσεγγίσεων Taylor και συγκεκριμένα του σημείου προσέγγιση και του βαθμού ακρίβεια τη προσέγγιση. Σχήμα 16: Δυναμικό πολυώνυμο Taylor Παράδειγμα 5: Άνω και Κάτω αθροίσματα Το παρακάτω σχήμα οπτικοποιεί δυναμικά την ιδέα του ολοκληρώματο Riemann χρησιμοποιώντα κατώτερα και ανώτερα αθροίσματα. Εκτό από τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση f, δύο σημεία a και b μπορεί να μετακινηθούν κατά μήκο του άξονα των x, προκειμένου να τροποποιήσει το διάστημα που μελετάμε. Χρησιμοποιώντα ένα slider για το n = πλήθο ορθογωνίων, οι μαθητέ μπορούν να αλλάξουν τον αριθμό των ορθογωνίων (με ίσε βάσει ) που χρησιμοποιούν για να υπολογίσουν το άνω και κάτω άθροισμα για τη συνάρτηση στο συγκεκριμένο διάστημα. Οι τιμέ του άνω και κάτω αθροίσματο, καθώ και η διαφορά του εμφανίζονται ω δυναμικό κείμενο που προσαρμόζεται αυτόματα σε τροποποιήσει. Οι μαθητέ μπορούν να εμφανίσουν ή να κρύψουν διάφορε συνιστώσε τη κατασκευή, προκειμένου να εστιάσουν σε ένα συγκεκριμένο έργο. Χρησιμοποιώντα αυτό το δυναμικό σχήμα, οι μαθητέ μπορούν να εξερευνήσουν διάφορε πτυχέ του ολοκληρώματο Riemann και καθοδηγούμενοι από ερωτήσει και δραστηριότητε όπω για παράδειγμα οι ακόλουθε : 1. Χρησιμοποιήστε το slider n για να δείτε πώ κατασκευάζονται τα ορθογώνια για το κάτω και άνω άθροισμα. a) Εκφράστε το πλάτο ενό ορθογωνίου σε σχέση με το διάστημα μήκου b-a και το πλήθο n των ορθογωνίων. b) Περιγράψτε πώ βρίσκεται το ύψο ενό ορισμένου ορθογωνίου για το κάτω ή άνω άθροισμα. 2. Περιγράψτε τι συμβαίνει με τι τιμέ των κάτω και άνω αθροισμάτων όταν αυξηθεί ο αριθμό των ορθογωνίων. 3. Φανταστείτε ότι το slider n γίνεται απείρω μεγάλο, που σα επιτρέπει να δημιουργήσετε έναν άπειρο αριθμό ορθογωνίων για τον υπολογισμό του κάτω και άνω αθροίσματο. a) Τι συμβαίνει με το πλάτο ενό ορθογωνίου όταν το n πηγαίνει στο άπειρο; b) Τι θα συμβεί με τι τιμέ του κάτω και πάνω αθροίσματο όταν n τείνει στο άπειρο; Αριστοτέλη Βλάχο 30
9 Σχήμα 17: Άνω και κάτω αθροίσματα (εμβαδών ορθογωνίων) Παράδειγμα 6: Χάραξη τη συνάρτηση εμβαδού Το παράδειγμα που παρουσιάζεται εδώ είναι παρόμοιο με τη χάραξη τη συνάρτηση κλίση στο παράδειγμα 2. Ερευνούμε τη συνάρτηση εμβαδού ω έναν τρόπο για να συνδέσουμε την ιδέα του ορισμένου ολοκληρώματο με την αντιπαράγωγο. Δύο μετακινούμενα σημεία Α και Β τη γραφική παράσταση μια συνάρτηση f καθορίζουν ένα διάστημα που οριοθετεί την περιοχή μεταξύ τη καμπύλη τη συνάρτηση και στον άξονα των x (κοίτα το σχήμα). Η τιμή αυτή του εμβαδού χρησιμοποιείται για τη δημιουργία ενό επιπλέον σημείου με τετμημένη, ίδια με του σημείου Β και τεταγμένη την τιμή του εμβαδού. Αυτό το σημείο δημιουργεί το ίχνο τη συνάρτηση εμβαδού για την f. Και πάλι, η αρχική συνάρτηση f μπορεί να τροποποιηθεί ανά πάσα στιγμή, το οποίο επιτρέπει στου μαθητέ να βρουν πειραματικά τη συνάρτηση εμβαδού για μια ποικιλία γραφημάτων συναρτήσεων πριν από τη συζήτηση για την αντιπαράγωγο. Παρόμοια με το παράδειγμα 2, οι μαθητέ θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν και πάλι αυτή τη δυναμική εικόνα για να βρουν την εξίσωση τη συνάρτηση εμβαδού για διάφορα πολυώνυμα και να ελέγχουν τι εικασίε του χρησιμοποιώντα το GeoGebra. Καθοδηγούμενοι από μία συστηματική ανάλυση πολλών παραδειγμάτων διαφόρων τύπων συναρτήσεων οι μαθητέ πιθανό να οδηγηθούν στην ανακάλυψη κάποιων βασικών κανόνων ολοκλήρωση. Σχήμα 18: Χαράσσοντα τη συνάρτηση εμβαδού 2.7 Βιώματα απ τη χρήση του GeoGebra -Τρόποι διδασκαλία Το 2006, στην Αυστρία (Embacher 2006) δοκιμάσθηκε σε σχολεία Β/θμια εκπαίδευση ένα περιβάλλον μάθηση που περιλάμβανε διαφόρων ειδών μορφωτικά εκπαιδευτικά μέσα (π.χ.«παραδοσιακά» φύλλα εργασία σε χαρτί, διαδραστικά applets κατασκευασμένα στο Geogebra, κουίζ). Με την υποστήριξη των καθηγητών οι σπουδαστέ καθοδηγούνται προ την ανακάλυψη των εννοιών τη παραγώγου ή Αριστοτέλη Βλάχο 31
10 του ολοκληρώματο. Συνολικά, οι συμμετέχοντε μαθητέ βρήκαν το δυναμικό και διαδραστικό υλικό χρήσιμο για να κατανοήσουν και να οπτικοποιήσουν (visualize) δύσκολε μαθηματικέ έννοιε. Οι ακόλουθε δηλώσει των μαθητών μετά από την ασχολία του με το διαδραστικό υλικό του GeoGebra για το λογισμό για μία εβδομάδα ήταν χαρακτηριστικέ : 1. «Είναι χρήσιμο να βλέπει τι αλλάζει όταν εσύ αλλάξει κάτι άλλο». 2. «Αν μετακινήσει το Β σημείο προ το σημείο Α, συνειδητοποιεί ότι η τέμνουσα γίνεται η εφαπτομένη γραμμή. Με ένα σχέδιο σε χαρτί ποτέ δεν ήμουν σε θέση να διαισθανθώ (απεικονίσω νοερά) με τι θα μοιάζουν αυτέ (what this would look like)». 3. «Μπορεί να πειραματιστεί πολύ και να δοκιμάσει πολλά πράγματα για να βρει λύση στα προβλήματα». Ενώ το Geogebra χρησιμοποιείται ευρέω στη μέση εκπαίδευση, ιδίω στην Ευρώπη, αναδύεται και η χρήση του στο Πανεπιστήμιο. Αρκετοί εκπαιδευτικοί στι ΗΠΑ έχουν δημοσιεύσει διαδραστικό υλικό για τον λογισμό πανεπιστημιακού επιπέδου στο Διαδίκτυο. Έχουν αναφερθεί ότι η δημιουργία αυτού του υλικού στο GeoGebra ήταν ευκολότερη και λιγότερο χρονοβόρα από ότι με άλλα λογισμικά (Hohenwarter, Preiner & Taeil, 2007), για παράδειγμα: «Δεν ξέρω πώ να κάνουμε (κάποια συγκεκριμένη εργασία) στο Maple, αλλά (με το Geogebra) απλά ανέβασα ένα applet που την κάνει. Τη Δευτέρα, είδα μια παρουσίαση [...] του GeoGebra, και μου πήρε περίπου 20 λεπτά για να καταλάβω (τη συγκεκριμένη εργασία) σε αυτό το πρόγραμμα και δημιούργησα τη σελίδα: (Ben Ford, Sonoma State University, California) Συμπερασματικά, το δυναμικό λογισμικό μαθηματικών όπω το GeoGebra μπορεί να προσφέρει πολλέ διευκολύνσει στη διδασκαλία του λογισμού και να διερευνήσει βασικέ έννοιε του λογισμού. Σε μελλοντικέ επεκτάσει το λογισμικό Geogebra θα περιλαμβάνει περισσότερα χαρακτηριστικά των CAS που θα αυξήσει περισσότερο πιθανέ εφαρμογέ του στην μάθηση και τη διδασκαλία του λογισμού. Καταλήγοντα οι Hohenworter et.al. (2008) τονίζουν τον ολοένα και πιο σημαντικό ρόλο των ελεύθερων (ανοικτού κώδικα) λογισμικών στη διδασκαλία των μαθηματικών σε παγκόσμια κλίμακα. Τα «ανοιχτού κώδικα» λογισμικά πακέτα δίνουν τη δυνατότητα στου καθηγητέ και μαθητέ να έχουν πρόσβαση στο σχολείο, στο σπίτι ή οπουδήποτε αλλού χωρί κανέναν περιορισμό, αλλά κυρίω, παρέχουν ένα μέσο για την ανάπτυξη και την αλληλοϋποστήριξη ολόκληρων κοινοτήτων χρηστών σε παγκόσμιο επίπεδο. Η συνεργασία αυτή συμβάλλει στην ίση πρόσβαση στου τεχνολογικού πόρου και στον εκδημοκρατισμό τη μάθηση και τη διδασκαλία των μαθηματικών. Παρέχοντα αυτέ τι δυνατότητε των δυναμικών και διαδραστικών εικόνων, το GeoGebra μπορεί να ενσωματωθεί στι αίθουσε διδασκαλία των μαθηματικών με διάφορου τρόπου όπω υποστηρίζει ο Little (2008): Είτε στην αίθουσα με έναν υπολογιστή και προβολέα, όπου ο καθηγητή εμφανίζει προκατασκευασμένα ημιτελή σχήματα παρακινώντα έτσι την διαλογική επικοινωνία με του μαθητέ είτε στο εργαστήριο υπολογιστών όπου οι μαθητέ μπορούν ατομικά να πειραματίζονται και να εξερευνούν για να ανακαλύψουν εκ νέου μαθηματικέ έννοιε με διάφορου τρόπου χρησιμοποιώντα τη δυνατότητα των δυναμικών μεταβολών του λογισμικού. Αριστοτέλη Βλάχο 32
Geogebra. Μακρή Βαρβάρα. Λογισµικό Geogebra
Λογισµικό Geogebra 1 Τι είναι το πρόγραµµα Geogebra; Το πρόγραµµα GeoGebra, είναι ένα δυναµικό µαθηµατικό λογισµικό που συνδυάζει Γεωµετρία, Άλγεβρα και λογισµό. Αναπτύσσεται από τον Markus Hohenwarter
Διαβάστε περισσότεραΓρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:
Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας
Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΤο σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.
9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη
Διαβάστε περισσότεραΗ λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της
ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της Η διδασκαλία της λογαριθµικής συνάρτησης, στο σχολικό εγχειρίδιο της Β Λυκείου, έχει σαν βάση την εκθετική συνάρτηση και την ιδιότητα
Διαβάστε περισσότεραΦύλλο Εργασίας για την y=αx 2
Πρόβλημα Σε ένα τετραγωνικό περιβόλι πλευράς 10m πρόκειται να χτιστεί μια αποθήκη σχήματος ορθογωνίου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Α) Να βρεθούν οι διαστάσεις της αποθήκης συναρτήσει του x, αν γνωρίζετε
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).
λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο πολλές φορές και σε διαφορετικές τάξεις ή ανταλλάξει ιδέες µε άλλους συναδέλφους
Διαβάστε περισσότεραΤο σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Geogebra.
9.3. Σενάριο 9. Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx +βx+γ Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ +βχ+γ (γραφική παράσταση, μονοτονία, ακρότατα). Θέμα: Το προτεινόμενο θέμα αφορά την κατασκευή
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.
Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη
Διαβάστε περισσότεραΓραφήματα οικογένειας παραβολών
Γραφήματα οικογένειας παραβολών Η βολή ενός αντικειμένου στον αέρα έχει ως αποτέλεσμα μια καμπυλωμένη τροχιά, η οποία είναι πάντοτε μια παραβολή. Η παραβολή είναι το γράφημα μιας δευτεροβάθμιας συνάρτησης,
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).
τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο
Διαβάστε περισσότεραΕικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra.
Σενάριο 4. Η µέτρηση του εµβαδού ενός παραβολικού οικοπέδου Γνωστική περιοχή: Μαθηµατικά Γ' Λυκείου. Παραβολή. Τετραγωνική συνάρτηση. Εµβαδόν. Ορισµένο ολοκλήρωµα Θέµα: Οι τέσσερις πλευρές ενός οικοπέδου
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική Απειροστικού Λογισμού
Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 6: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία των ολοκληρωμάτων. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Ένας μαθητής κατά την μελέτη της ολοκλήρωσης
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
ΣΕΝΑΡΙΟ του Κύπρου Κυπρίδηµου, µαθηµατικού ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Περίληψη Στη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές καλούνται να διερευνήσουν το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = αx 2 + βx + γ. Προτείνεται να διδαχθεί
Διαβάστε περισσότερα5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα
5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι
Διαβάστε περισσότεραΣύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0
Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Παράθυρα των εγγράφων Επιφάνεια του σχεδίου. Σχεδιάστε εδώ νέα αντικείμενα με τα εργαλεία σημείων, διαβήτη, σχεδίασης ευθύγραμμων αντικειμένων και κειμένου.
Διαβάστε περισσότεραΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ
ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ Γνωστική Περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου Θέμα Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι γνωστό στους μαθητές από το Γυμνάσιο. Το προτεινόμενα θέμα αφορά την
Διαβάστε περισσότεραΖάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)
Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β
Διαβάστε περισσότερα1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία
1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία Θέµα- Σκεπτικό της δραστηριότητας. Η ιδέα πάνω στην οποία έχει στηριχτεί ο σχεδιασµός
Διαβάστε περισσότεραΗ προέλευση του Sketchpad 1
Η προέλευση του Sketchpad 1 Το The Geometer s Sketchpad αναπτύχθηκε ως μέρος του Προγράμματος Οπτικής Γεωμετρίας, ενός προγράμματος χρηματοδοτούμενου από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΝSF) υπό τη διεύθυνση
Διαβάστε περισσότεραΣε ποιους απευθύνεται: Χρόνος υλοποίησης: Χώρος υλοποίησης: Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Στόχοι:... 4
Περιεχόμενα Νικόλαος Μανάρας... 2 Σενάριο για διδασκαλία/ εκμάθηση σε μια σύνθεση μεικτής μάθησης (Blended Learning) με τη χρήση του δυναμικού μαθηματικού λογισμικού Geogebra σε διαδραστικό πίνακα και
Διαβάστε περισσότεραΒοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.
Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΝα επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.
Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη
Διαβάστε περισσότεραΛογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου
Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr
Διαβάστε περισσότεραΚατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης
ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ Β ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΚΣΕ 4 ου ΣΕΚ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ: ΜΗΤΡΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Κατακόρυφη - Οριζόντια
Διαβάστε περισσότεραΣτον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)......
4. Βασικά Στοιχεία ιδακτικής της Άλγεβρας µε τη χρήση Ψηφιακών Τεχνολογιών Οι ψηφιακές τεχνολογίες που έχουν µέχρι τώρα αναπτυχθεί για τη διδασκαλία και τη µάθηση εννοιών της Άλγεβρας µπορούν να χωριστούν
Διαβάστε περισσότεραCabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας
Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή
Διαβάστε περισσότεραΣενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.
Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον
Διαβάστε περισσότερα«Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή»
Ψηφιακό σχολείο: Το γνωστικό πεδίο των Μαθηματικών «Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή» ΕΛΕΝΗ ΚΑΛΑΪΤΖΙΔΟΥ Πληροφορικός ΠΕ19 (1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο
Διαβάστε περισσότεραΕπιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ
ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών
Διαβάστε περισσότεραΛογισμικό για Μαθηματικά
Λογισμικό για Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 6 Αυγούστου 2012 Λογισμικό 2 Λογισμικό Με τον όρο λογισμικό υπολογιστών, ή λογισμικό (software), ορίζεται η συλλογή από προγράμματα
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
184 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ιωάννου Στυλιανός Εκπαιδευτικός Μαθηματικός Β θμιας Εκπ/σης Παιδαγωγική αναζήτηση Η τριγωνομετρία
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης
Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Υποδειγματικό Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΖΑΝΤΖΟΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ
ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Τι
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.
Διαβάστε περισσότερα1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ
176 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Σωτηρόπουλος Παναγιώτης 1 -
Διαβάστε περισσότεραδίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.
3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν
Διαβάστε περισσότεραΝα επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β.
Ενότητα 1 Εξισώσεις Ανισώσεις α βαθμού Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, με βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β. Να επιλύουμε την ανίσωση
Διαβάστε περισσότεραΕπιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ
ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Τι είναι η Δυναμική Γεωμετρία Το βασικό της χαρακτηριστικό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να
Διαβάστε περισσότεραΓ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη
Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ
ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ 2. Εκπαιδευτικό Λογισμικό για τα Μαθηματικά 2.1 Κύρια χαρακτηριστικά του εκπαιδευτικού λογισμικού για την Διδακτική των Μαθηματικών 2.2 Κατηγορίες εκπαιδευτικού λογισμικού για
Διαβάστε περισσότεραCabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας απευθύνεται σε μαθητές και δασκάλους όλων των βαθμίδων!
Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας απευθύνεται σε μαθητές και δασκάλους όλων των βαθμίδων! Επ ιτρέπ ει τη σχεδίαση και το χειρισμό γεωμετρικών αντικειμένων απ ό τα απ λά έως τα π ιο π ερίπ λοκα
Διαβάστε περισσότεραΕκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου
Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες Ιανουάριος 2011 1. Τίτλος Αναλογίες 2. Ταυτότητα Συγγραφέας: Γνωστική περιοχή των μαθηματικών: Άλγεβρα, Γεωμετρία Θέμα: Αναλογίες Συντεταγμένες στο επίπεδο 3. Σκεπτικό 2
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση
Μία διδακτική προσέγγιση ΣΕΝΑΡΙΟ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.)
Διαβάστε περισσότεραΗ συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ
Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι
Διαβάστε περισσότερα1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση
1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση Στη βασική παιδεία, τα μαθηματικά διδάσκονται με στατικά μέσα α) πίνακα/χαρτιού β) κιμωλίας/στυλού γ) χάρτινου βιβλίου.
Διαβάστε περισσότερα4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης
4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή πραγματεύεται την έννοια της μονοτονίας συνάρτησης και ακολούθως εισάγει το θεώρημα της μονοτονίας
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει
Διαβάστε περισσότερα«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano»
«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» Ιορδανίδης Ι. Φώτιος Καθηγητής Μαθηματικών, 2 ο Γενικό Λύκειο Πτολεμαΐδας fjordaneap@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το θεώρημα του Bolzano
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά
Διαβάστε περισσότεραΣενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων. Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ. Γραφική παράσταση τριωνύµου
Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ Γραφική παράσταση τριωνύµου Εξισώσεις κίνησης. Θέµα: To προτεινόµενο θέµα αφορά την µελέτη της µεταβολής
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου
ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου Αθήνα, Φεβρουάριος 2008 ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου 1.
Διαβάστε περισσότεραΦεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότερα4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού
4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού χωρίς την απόδειξή του. Στόχοι της δραστηριότητας
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές πολυμέσων για τη διδασκαλία των Μαθηματικών
Εφαρμογές πολυμέσων για τη διδασκαλία των Μαθηματικών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών «Γραφικές Τέχνες Πολυμέσα» Θεματική Ενότητα «Πληροφορική Πολυμέσα» ΓΤΠ61 Δούκα Δέσποινα 26/4/2015 Τι είναι τα πολυμέσα
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.
α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραμε παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).
Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότεραGeoGebra4. Τετράδιο εργασίας 3 ο. Εισαγωγή αλγεβρικών δεδομένων Συναρτήσεις και Βασικές αρχές. Σταμάτης Μακρής Μαθηματικός
GeoGebra4 Τετράδιο εργασίας 3 ο Εισαγωγή αλγεβρικών δεδομένων Συναρτήσεις και Βασικές αρχές Επίσημη μετάφραση των οδηγιών για τη χρήση του λογισμικού GeoGebra που αναπτύχθηκαν από το Πανεπιστήμιο του Limerick
Διαβάστε περισσότεραΔρ Μιχάλης Τζούμας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Διδάσκοντας στην τάξη με το Geogebra
Δρ Μιχάλης Τζούμας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Διδάσκοντας στην τάξη με το Geogebra Αγρίνιο, 2015 Διδάσκοντας στην τάξη με το Geogebra 3 Μιχάλης Τζούμας Αγρίνιο 2015 ISBN: 978-960-85583-7-3 Εκδόσεις:
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου
ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»
ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)
6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,
Διαβάστε περισσότερα2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.
Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ
Διαβάστε περισσότερα3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι
Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ Γ Ι Α Τ Ο M O D E L L U S 0.0 4. 0 5 Για να κατεβάσουμε το πρόγραμμα Επιλέγουμε Download στη διεύθυνση: http://modellus.co/index.php/en/download. Στη συνέχεια εκτελούμε το ModellusX_windows_0_4_05.exe
Διαβάστε περισσότεραΚαθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.
Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτικές ενότητες Στόχος
Η διδασκαλία του τριγωνομετρικού κύκλου με τον παραδοσιακό τρόπο στον πίνακα, είναι μία διαδικασία όχι εύκολα κατανοητή για τους μαθητές, με αποτέλεσμα τη μηχανική παπαγαλίστικη χρήση των τύπων της τριγωνομετρίας.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima
Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί
Διαβάστε περισσότεραΗ διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες
ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου
Διαβάστε περισσότερα1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.
Διαβάστε περισσότερα1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες
1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή είναι μια εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες. Η εισαγωγή αυτή επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.
Διαβάστε περισσότερα4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα
4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή αφορά στην εισαγωγή των εννοιών του ολικού και του τοπικού ακροτάτου. Στόχοι της δραστηριότητας Μέσω αυτής της
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )
Διαβάστε περισσότεραΠεριγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan)
On-the-fly feedback, Upper Secondary Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) Τάξη: Β Λυκείου Διάρκεια ενότητας Μάθημα: Φυσική Θέμα: Ταλαντώσεις (αριθμός Χ διάρκεια μαθήματος): 6X90
Διαβάστε περισσότεραΈκδοση 1 η. Σταύρος Κόλλιας
Έκδοση 1 η Σταύρος Κόλλιας Το βιβλίο αυτό γράφτηκε στο πλαίσιο μιας ενημέρωσης, για το Geogebra, που οργάνωσε το παράρτημα της μαθηματικής εταιρείας του νομού Κορινθίας, στους συνάδελφους μαθηματικούς.
Διαβάστε περισσότεραΗ Έννοια κι η Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους με τη Βοήθεια του Λογισμικού Geogebra
Η Έννοια κι η Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους με τη Βοήθεια του Λογισμικού Geogebra Κιούφτη Ροϊδούλα 1 1 Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, rkioufti@hotmail.com
Διαβάστε περισσότεραΠιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.
i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα
Τράπεζα θεμάτων ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα ΘΕΜΑ 2 (16950) α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να
Διαβάστε περισσότεραΣενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών).
Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Θέµα: Η διερεύνηση µερικών βασικών ιδιοτήτων των παραλληλογράµµων από τους µαθητές µε χρήση
Διαβάστε περισσότεραΒ Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια
Διαβάστε περισσότερα4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66
Περιεχόμενα Ευρετήριο Πινάκων... 7 Ευρετήριο Εικόνων... 8 Εισαγωγή... 9 Κεφάλαιο 1-Περιβάλλον Εργασίας - Στοιχεία Εντολών... 13 1.1 Το Πρόγραμμα... 14 1.2.1 Εισαγωγή Εντολών... 22 1.2.2 Εισαγωγή Εντολών
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας
Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας Τίτλος : Δύο δραστηριότητες σε ευθεία-κύκλο. α) Η «χρυσή ευθεία» β) οι γεωμετρικοί τόποι μιας οικογένειας κύκλων. Τάξη: Δίωρο μάθημα σε μαθητές Β λυκείου σε αίθουσα
Διαβάστε περισσότεραΝα υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Διαβάστε περισσότερα