ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ"

Transcript

1 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ Κωδικός βιβλίου: ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ε Κ ε Ψ Ζ Ο Ι Θ ε Η μα ε4 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ISBN ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΧΝΟΛΟΙΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ ΚΙ ΚΟΣΩΝ (0) «ΙΟΦΝΤΟΣ»

2 ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ EΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου ΝΟΧΟΣ ΡΟΥ: ΛΛΗΝΙΚΗ ΘΗΤΙΚΗ ΤΙΡΙ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΧΝΟΛΟΙΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ ΚΙ ΚΟΣΩΝ «ΙΟΦΝΤΟΣ»

3 ΣΤΟΙΧΙ ΡΧΙΚΗΣ Κ ΟΣΗΣ ΛΛΗΝΙΚΗ ΘΗΤΙΚΗ ΤΙΡΙ Ο ΣΥΡΦΗΣ ργυρόπουλος Ηλίας ιδάκτωρ αθηματικών.. Πολυτεχνείου Καθηγητής /θμιας κπαίδευσης λάμος Παναγιώτης ιδάκτωρ αθηματικών.. Πολυτεχνείου Κατσούλης εώργιος αθηματικός αρκάτης Στυλιανός πίκουρος Καθηγητής Τομέα αθηματικών.. Πολυτεχνείου Σίδερης Πολυχρόνης αθηματικός, τ. Σχολικός Σύμβουλος Ιστορικά Σημειώματα: ανδουλάκης Ιωάννης ιδάκτωρ Πανεπιστημίου. Lomonosov όσχας Ιόνιο Πανεπιστήμιο Φιλολογική πιμέλεια: ημητρίου λένη πιλογή εικόνων: Παπαδοπούλου πία ικονογράφηση - Σελιδοποίηση: λεξοπούλου Καίτη ΣΤΟΙΧΙ ΠΝΚ ΟΣΗΣ Η επανέκδοση του παρόντος βιβλίου πραγματοποιήθηκε από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών & κδόσεων «ιόφαντος» μέσω ψηφιακής μακέτας, η οποία δημιουργήθηκε με χρηματοδότηση από το ΣΠ / Π «κπαίδευση & ιά ίου άθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ». Οι αλλαγές που ενσωματώθηκαν στην παρούσα επανέκδοση έγιναν με βάση τις διορθώσεις του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.

4 ΠΡΟΛΟΟΣ γαπητοί αθητές, το τεύχος που κρατάτε στα χέρια σας περιέχει τις λύσεις των ασκήσεων του σχολικού σας βιβλίου. ν χρησιμοποιηθεί σωστά μπορεί να αποτελέσει πολύτιμη βοήθεια στην προσπάθειά σας vα καταλάβετε τις γεωμετρικές έννοιες που εισάγονται στο βιβλίο σας και να τις χρησιμοποιήσετε δημιουργικά. Σε καμμία περίπτωση το τεύχος των λύσεων δεν πρέπει να χρησιμοποιείται στην πρώτη δυσκολία που παρουσιάζει μία άσκηση ή για να καλύψει την "επιμέλεια" ενός μαθητή προς τον καθηγητή του στο σχολείο. ια να χρησιμοποιήσετε σωστά τις λύσεις των ασκήσεων πρέπει να ακολουθήσετε μια συγκεκριμένη μεθοδολογία. ρχικά, προσπαθήστε να λύσετε την άσκηση με διαφορετικούς τρόπους αντιμετώπισης. ν αποτύχετε κάντε μία επανάληψη στην αντίστοιχη θεωρία για να διαπιστώσετε ότι δεν έχετε κενά. Κατόπιν, ξαναπροσπαθήστε την άσκηση διαβάζοντας και την υπόδειξη που βρίσκεται στο τέλος του σχολικού βιβλίου. ν πάλι δυσκολεύεστε να λύσετε την άσκηση, τότε διαβάστε την ολοκληρωμένη λύση της. Φροντίστε να εντοπίσετε τα κύρια βήματα της λύσης, καθώς και τα κενά που σας οδήγησαν στο να μην αντιμετωπίζετε σωστά την άσκηση. Προσπαθήστε να διορθώσετε τα κενά αυτά και να ξαναλύσετε την άσκηση, χωρίς όμως να επαναλαμβάνετε τη λύση με στείρα απομνημόνευση, αλλά υλοποιώντας τα κύρια βήματά της. Τέλος, δοκιμάστε να λύσετε την άσκηση με διαφορετικό και ίσως καλύτερο τρόπο. Πρέπει να τονισθεί ότι οι λύσεις είναι προτεινόμενες, με την έννοια ότι είναι δυνατόν και ελπίζουμε να βρεθούν κομψότερες από τους μαθητές. Σημαντική είναι η προσπάθεια που έχει καταβληθεί, ώστε η κάθε άσκηση να προωθεί συγκεκριμένες αντιλήψεις και συνήθειες στο μαθητή, ενώ το σύνολο των ασκήσεων σε κατηγορία και διαβάθμιση οδηγούν τον μαθητή στην καλλιέργεια συγκεκριμένων ικανοτήτων. ια να επιτευχθούν οι στόχοι αυτοί, είτε μέσα στη λύση της κάθε άσκησης, είτε μετά την ολοκλήρωσή της, αναγράφεται ο διδακτικός της στόχος, ενώ οι ασκήσεις χωρίστηκαν στις παρακάτω κατηγορίες, δίνοντας φυσικά βαρύτητα στη διαβάθμιση των ασκήσεων κάθε κατηγορίας: ) σκήσεις μπέδωσης: Οι ασκήσεις αυτές εισάγονται αμέσως μετά τη Θεωρία και τις φαρμογές, με σκοπό την εμπέδωση των εννοιών από τους μαθητές και τη χρήση τους σε απλές ασκήσεις. ) ποδεικτικές σκήσεις: ίναι ασκήσεις που ταιριάζουν στη φύση της εωμετρίας, καλλιεργώντας την αποδεικτική διαδικασία στους μαθητές.

5 ) Σύνθετα θέματα: ίναι θέματα που συνδυάζουν περισσότερες από μία γεωμετρικές έννοιες ή γνώσεις, είτε από το ίδιο κεφάλαιο, είτε από διαφορετικά, αναδεικνύοντας την κριτική σκέψη και συνδυαστική ικανότητα των μαθητών. 4) ενικές σκήσεις: ίναι ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας, που παρατίθενται στο τέλος κάθε Κεφαλαίου και απευθύνονται σε μαθητές με ιδιαίτερο ζήλο και αγάπη προς τη εωμετρία. 5) ραστηριότητες: ίναι αντικείμενο μελέτης ομάδας μαθητών ή και ενός, εφόσον του παρέχεται το κατάλληλο χρονικό διάστημα, ενώ θα πρέπει να δοθεί κάθε δυνατή βοήθεια και υποδείξεις από τον καθηγητή. Κάθε κεφάλαιο, τέλος, πλαισιώνεται από ερωτήσεις κατανόησης που συντελούν στη σωστή επανάληψη και καλύτερη οργάνωση της ύλης.

6 ΠΡΙΧΟΝ ΚΦΛΙΟ... 7 ΚΦΛΙΟ... 7 ΚΦΛΙΟ ΚΦΛΙΟ ΚΦΛΙΟ ΚΦΛΙΟ ΚΦΛΙΟ ΚΦΛΙΟ ΚΦΛΙΟ ΚΦΛΙΟ ΚΦΛΙΟ... 0 ΚΦΛΙΟ... 9

7

8 ΚΦΛΙΟ ΠΡΤΗΡΗΣΙΣ - ΥΠΟΙΞΙΣ πό τρία διαφορετικά συνευθειακά σημεία το ένα βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων. ια την επίλυση σχετικών ασκήσεων διακρίνουμε περιπτώσεις. (σκήσεις:.-.0 ποδεικτικές, Σύνθετα ) ν δύο τμήματα και έχουν κοινό μέσο Ο τότε Ο = Ο και Ο = Ο. ια να αποδείξουμε ότι δυο τμήματα έχουν κοινό μέσο, θεωρούμε το μέσο του ενός και αποδεικνύουμε ότι είναι μέσο και του άλλου τμήματος. (σκήσεις: ενικές ) ια να υπολογίσουμε την παραπληρωματική ϕ ή την συμπληρωματική θ μιας γωνίας ˆω θέτουμε: και. (σκήσεις:.9 ποδεικτικές, )

9 σκήσεις μπέδωσης. i) Έξι ευθύγραμμα τμήματα, τα,,,, και. ii) Τα τμήματα που έχουμε στο σχήμα είναι τα,, AM, Κ,,, Κ,, Κ και το Κ που δεν είναι σχεδιασμένο. Κ. i) Τα σημεία τομής είναι τρία, τα, και. ii) Ορίζονται τρία ευθύγραμμα τμήματα, τα,,, και ημιευθείες, οι εξής: Ax, x, Ay, Ay, By, By, Bz, Bz, x, x, z, z. z B y' x y z' x'. ίναι = + = + =, αφού =. ε 4. = + + Ν + Ν = + Ν = = ( + Ν) = Ν, αφού = και Ν = Ν. Ν ε ποδεικτικές σκήσεις. i) Έχουμε = + Ζ + Ζ και = Ζ Ζ, E Z + οπότε + = Ζ ( =, Ζ = Ζ) Ζ =. ii) Έχουμε + = ( + ) + = ( + ) + = +.. i) Έχουμε = + Άρα = ( = ) = =. 8

10 .-.0 ii) Έχουμε = + + Άρα + = =. = ε. α) i) ν το είναι μεταξύ των και τότε = +. ii) ν το είναι μεταξύ των και τότε <, οπότε < +. iii) ν το A είναι μεταξύ των και τότε <, οπότε < +. Άρα πάντα έχουμε +. β) ια τα,, ισχύει + () ενώ για τα,, ισχύει B+ B (). πό (), () προκύπτει ότι + +. Σύνθετα Θέματα. i) ν το είναι μεταξύ των και τότε: ii) + = + = + = =. B B ν το είναι στην προέκταση του, π.χ. προς το μέρος του, τότε: = = = =.. ν παραστήσουμε με ε, ε, ε και ε 4 τις τέσσερις ευθείες οδούς αρκεί να βρούμε πόσα είναι τα σημεία τομής των ευθειών αυτών. Σε κάθε μια ευθεία, π.χ. την ε, οι άλλες ( 4 ) = ευθείες ορίζουν ( 4 ) = σημεία. Άρα συνολικά θα ορίζονταν 4( 4 ) = σημεία. λλά κάθε σημείο το υπολογίσαμε φορές, π.χ. το ως σημείο της ε και της ε. Άρα τελικά ορίζονται 44 ( ) = = 6 σημεία. πομένως χρειάζονται 6 τροχονόμοι. Όμοια οι ν ευθείες ορίζουν νν ( ) σημεία. ε 4 ε ε ε 9

11 σκήσεις μπέδωσης. Έχουμε xôz= yôt t z y ή yôz + zôt. O x ΆραxÔy= zôt.. ίναιω+ ˆ ορθή+ ˆ = ορθές, ωω οπότεω= ˆ ορθήήω= ˆ ορθής.. Όταντορολόιδείχνειεννέαηώραακριβώςοιδείκτεςσχηματίζουνορθή γωνία.οιδείκτεςθασχηματίζουνκαιπάλιορθήγωνίαμετάαπό6ώρες. Τότετορολόιδείχνειτρειςηώραακριβώς. ποδεικτικές σκήσεις.έστωxôy, yôzδύοεφεξήςγωνίεςκαιο, Οοιδιχοτόμοιτουςαντίστοιχα. z E y xôy yôz Τότε Ô= Ô y+ yô = +. Άρα Ο ˆ xoy ˆ + yoz ˆ =. O x. Έχουμε: Ô Ô Άρα. Έχουμε: Ô = Ô + Ô Ô = Ô Ô Άρα Ο Ο+Ο ˆ ˆ. Ô Ô ( Ô = Ô) Ô = Ο 0

12 .7-.8 Σύνθετα Θέματα. Έχουμε: Ο = Οx+ xoy + yo Άρα Ο = xoy Οx Οy Ο + Ο =xoy (γιατί Οx = Οx, yo Ο= y) Ο + Ο xoy =. B y O E y O x x. Έχουμε: ˆ ˆ ˆ Ο Ο ˆ ˆ Ο ˆ B O E O.7-.8 σκήσεις μπέδωσης. Υπάρχουν άπειροι κύκλοι ακτίνας ρ που διέρχονται από το Κ. Τα κέντρα τους βρίσκονται στον κύκλο με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. O ρ O ρ Κ. Τα σημεία που είναι εσωτερικά του κύκλου (Ο, R) και εξωτερικά του κύκλου (Ο, ρ) φαίνονται στο διπλανό σχήμα. R O ρ

13 .9 ποδεικτικές σκήσεις. πειδή η ε διέρχεται από το κοινό κέντρο Ο των κύκλων τα τμήματα και είναι διάμετροι αυτών με κοινό μέσον το Ο και επομένως έχουμε: Ο = Ο και Ο = Ο. ε αφαίρεση αυτών κατά μέλη προκύπτει: Ο Ο = Ο Ο =, σύμφωνα με το σχήμα. πίσης έχουμε: = + = + = Ο. Έστω, δύο διάμετροι ενός κύκλου (Ο, R) τέτοιες ώστε Ο = Ο. Τότε η Ο είναι διχοτόμος της ευθείας γωνίας Ο, επομένως κάθε μια από τις Ο, Ο είναι ορθή γωνία. Η Ο, ως κατακορυφήν της Ο, είναι κι αυτή ορθή. Όμοια και η Ο 4. Έτσι οι επίκεντρες γωνίες Ο, Ο, Ο και Ο 4 είναι ίσες, οπότε και τα αντίστοιχα τόξα αυτών είναι ίσα, δηλαδή = = = και επειδή τα τόξα αυτά αποτελούν ολόκληρο τον κύκλο προκύπτει το ζητούμενο. Ο 4.9 σκήσεις μπέδωσης. Έστω ημικύκλιο κέντρου Ο, δύο σημεία, αυτού και το σημείο του ώστε =. Ρ i) ια σημείο Ρ του ημικυκλίου, που δεν ανήκει στο έχουμε: Ρ = Ρ και Ρ = Ρ +. ε πρόσθεση αυτών κατά μέλη και λαμβάνοντας υπόψη ότι = προκύπτει Ρ Ρ Ρ Ρ + = = Ρ + Ρ ( ). Ο Σ

14 .9 ii) Έστω σημείο Σ του τόξου. Έχουμε (βλέπε σχήμα) Σ = Σ + και Σ = Σ. ε αφαίρεση αυτών κατά μέλη, λαμβάνοντας πάλι υπόψη ότι = προκύπτει: Σ Σ Σ Σ = = Σ Σ ( ).. α) ίναι =80 και + =80, από τις οποίες με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε αντίστοιχα οπότε και ( ) = 0 και = 50, = 0, ( ) = 50. β) Η Ô είναι επίκεντρη και βαίνει στο, άρα ( Ο ) = ( ) =0. Όμοια ( Ô ) =50.. Έστω ˆω και ˆφ δύο συμπληρωματικές γωνίες με ω= ϕ. Πρέπει ω+ ϕ =90 ή ϕ+ ϕ = 90 ή ϕ= 90. Άρα ϕ=0, οπότε ω= ίναι ω= oρθής = 90 = 08. Άρα η παραπληρωματική της ˆω είναι 5 5 ϕ= = 7. Η γωνία ˆω δεν έχει συμπληρωματική, αφού είναι αμβλεία γωνία. A Ο B ποδεικτικές σκήσεις. Έστω ϕ η παραπληρωματική της ω και θ η συμπληρωματική της. Τότε ϕ= 80 ω, θ = 90 ω και ϕ = θ. Άρα 80 ω= 90 ( ω) ή 80 ω= 70 ω ή ω= 90. Άρα ω=45.. Έστω ω η συμπληρωματική της ϕ. Τότε ϕ = 90 ω και ϕ = ω 0. Άρα 90 ω= ω 0 ω= 0 ω = 55. Άρα ω=55 και ϕ=5. Ο Ο Ο Ο. Έχουμε = = =. Θέτουμε 4 Ο Ο Ο Ο = = = =λ, οπότε 4

15 ενικές σκήσεις Ο = λ Ο = λ Ο = λ Ο = 4λ ε πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι Ο B A Ο + Ο + Ο + Ο = 0λ 60 = 0λ. Άρα. πομένως Ο=6, Ο= 6 ( ) = 7, Ο = 6 ( ) = 08 και Ο= 46 ( ) = 44. ενικές σκήσεις. Έστω Ο το μέσο του. Τότε Ζ = ΟΖ Ο () λλά + ΟΖ = Ο + Ζ = + = = () και Ο = Ο = = = () πό (), (), () προκύπτει ότι Ζ =.. Έστω Ο το μέσο του Ζ. Τότε Ο = ΟΖ. ια να είναι το Ο μέσο και του αρκεί = Ζ (αφού Ο = ΟΖ). Ο Ζ Πράγματι Ζ Ζ = = = = =. Ο Ζ. Έχουμε: = + = = + = = = = + = + >. ε 4

16 ενικές σκήσεις 4. Έχουμε =60, οπότε = = 60. Άρα οι επίκεντρες γωνίες είναι: Ο=50 ˆ πομένως και Ο=60 ˆ. Ο+ Οx = Ο + Ο ˆ 60 ˆ ˆ ˆ (Οx διχοτόμος Ο ˆ ) = 50 + Ο + Οx = 80, δηλαδή OA, Οx αντικείμενες ημιευθείες. x O ή φού ημικύκλιο και μέσο, είναι 80 = = 90. B Άρα Κ Κ = = + = + K M O A = Κ Κ = = = 90 = 45. z E y x 5

17

18 ΚΦΛΙΟ ΠΡΤΗΡΗΣΙΣ - ΥΠΟΙΞΙΣ Ένα σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο ενός τμήματος αν ισαπέχει από τα άκρα του. ντίστοιχα ένα εσωτερικό σημείο γωνίας ανήκει στη διχοτόμο της αν ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. (σκήσεις:.4 Σύνθετα ) ν δύο σημεία μιας ευθείας ε ισαπέχουν από τα άκρα ευθύγραμμου τμήματος η ευθεία ε είναι μεσοκάθετος του τμήματος. (σκήσεις:. μπέδωσης ) Σε ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες, οπότε και οι αντίστοιχες εξωτερικές γωνίες του τριγώνου είναι ίσες (παραπληρώματα ίσων γωνιών). (σκήσεις:.4 Σύνθετα και. μπέδωσης 8) ια να συγκριθούν ανισοτικά δύο τρίγωνα πρέπει να έχουν απαραίτητα δυο πλευρές ίσες. (σκήσεις:. ποδεικτικές, 7) Όταν η διάμεσος είναι βασικό στοιχείο σε μια άσκηση, συχνά χρειάζεται να την προεκτείνουμε. (σκήσεις:. ποδεικτικές και ενικές 7)

19 Τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Π--Π). ( =, =, = ). Άρα =.. Τα τρίγωνα ΚΛ, Λ, Κ είναι ίσα. (Π--Π) (Κ = Λ =, Λ = = Κ ως άθροισμα ίσων τμημάτων και ΚΛ ˆ =Λ ˆ =Κ ˆ ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών). Άρα ΚΛ = Λ = Κ. Κ ω ω Λ. Τα τρίγωνα και είναι ίσα (Π--Π) ( =, = ˆ ˆ και = ως μισά ίσων πλευρών). Άρα =. ' ' ' ' 4. Τα τρίγωνα και Ζ είναι ίσα, αφού =, = και Ζ = (Π--Π). Άρα =Ζ. ˆ ˆ ποδεικτικές σκήσεις. Τα τρίγωνα Κ και Κ είναι ίσα αφού Κ = Κ, Κ = Κ και Κ = Κ ως κατακορυφήν. Άρα Κ = Κ () Όμοια τα τρίγωνα Κ και ΖΚ είναι ίσα, οπότε Ζ Κ = Κ () Προσθέτοντας τις () και () κατά μέλη προκύπτει ότι Ζ =. Ζ E Ζ Κ 8

20 .-.4. Τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Π--Π) ( =, = αφού = και = ως άθροισμα ίσων τμημάτων). Άρα =.. Το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές, οπότε ˆ ˆ = και επομένως ˆ ˆ = ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών. Έτσι τα τρίγωνα Ο και Ο είναι ίσα (ΠΠ), οπότε Ο=Ο. ˆ ˆ Ο Ο Σχόλιο: Στις παραπάνω ασκήσεις χρησιμοποιούμε ισότητες τριγώνων για να αποδείξουμε ισότητες τμημάτων ή γωνιών..-.4 σκήσεις μπέδωσης. Τα τρίγωνα και είναι ίσα (Π--Π). E α) Τα τρίγωνα και είναι ίσα ( =, = ˆ ˆ, Ι = = = ). ' Άρα =. πίσης τα τρίγωνα και E' είναι ίσα (-Π-). Ι' Άρα =. ' ' ' β) Τα τρίγωνα Ι και Ι είναι ίσα γιατί = (από το (α)), = ˆˆ και = (-Π-). Άρα Ι = Ι. Όμοια, από την ισότητα των τριγώνων Ι και Ι προκύπτει ότι Ι = Ι. 9

21 . i) Τα τρίγωνα και είναι ίσα γιατί =, = και ˆ = ˆ (Π--Π). Άρα =. ˆ ˆ.-.4 ii) Τα τρίγωνα και είναι ίσα γιατί =, = ˆ ˆ και = ˆ ˆ από το (α) (-Π-). Άρα α=α και γ=γ.. Τα τρίγωνα και είναι ίσα (Π--Π). Άρα =. Όμοια τα τρίγωνα και είναι ίσα. Άρα =. πομένως τα τρίγωνα και έχουν τις πλευρές τους ίσες. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα (Π-Π-Π). B B B M ποδεικτικές σκήσεις. Έστω και οι διχοτόμοι των γωνιών ˆ και ˆ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα και είναι ίσα γιατί έχουν: =, ˆ κοινή και ˆ ˆ = (μισά ίσων γωνιών). πό την ισότητα αυτή προκύπτει το ζητούμενο.. Τα τρίγωνα Ο και Ο είναι ίσα, γιατί έχουν: Ο = Ο και Ο = Ο, ως ακτίνες, και Ο ˆ ˆ =Ο, ως κατακορυφήν. πό την ισότητα αυτή προκύπτει ότι =. Όμοια βρίσκουμε ότι = και =. Έτσι τα τρίγωνα και έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες, επομένως είναι ίσα.. Τα τρίγωνα και είναι ίσα, γιατί έχουν: =, κοινή και =. ˆ ˆ πό την ισότητα αυτή προκύπτει ότι =, οπότε και τα τρίγωνα και είναι ίσα (Π-Π-Π). Άρα =. ˆ ˆ Ο 0

22 .5-.6 Σύνθετα Θέματα. i) Τα τρίγωνα και A είναι ίσα ( =, = ˆ ˆ A, ˆ ˆ = ) (-Π-). Θ A Θ' Άρα =. Θ A Θ' ii) Τα τρίγωνα και B Θ B είναι ίσα ( =, =, ˆ Θ' Θ ˆ Θ' = ' ') (Π--Π). Άρα ˆ = ˆ. iii) Τα τρίγωνα Θ B και Θ είναι ίσα B ( =, ˆ ˆ = και ˆ = ˆ από το (β)) (-Π-). δ) πό το (γ) προκύπτει ότι Θ = Θ. πίσης Θ = Θ. Άρα Θ = Θ ή Θ = Θ.. Έστω ε η μεσοκάθετος του και Ο το σημείο (ε ) (ε ) Ο τομής των ε και ε. πειδή ε μεσοκάθετος του Ο, θα είναι Ο = Ο (). Όμοια Ο = Ο (). (ε) (ε ) (ε) λλά το Ο ανήκει και στη μεσοκάθετο του. (ε ) Ο Ο Άρα Ο = Ο (). πό τις (), () και () προκύπτει ότι (ε) (ε) Ο = Ο, δηλαδή το Ο ανήκει και στη μεσοκάθετο του.. i) πειδή το ανήκει στη μεσοκάθετο του είναι =. Άρα το τρίγωνο είναι ω ισοσκελές. ω ii) Τα τρίγωνα και είναι ίσα, γιατί =, = και ˆ = ˆ ω ω ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών ω ω ( == ˆ ˆ ˆ =ω )(Π--Π). Άρα =, δηλαδή το τρίγωνο ω ω είναι ισοσκελές. ω ω.5-.6 σκήσεις μπέδωσης. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και τα ύψη του και. Τα τρίγωνα και είναι ίσα ( ˆ κοινή, == ˆ ˆ 90, = ). Άρα =.

23 . Έστω ισοσκελές τρίγωνο μέσα των, αντίστοιχα Έστω ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα με =. ν, τα αντίστοιχα ύψη, τότε τα τρίγωνα και είναι ίσα. ( =, =, ˆ ˆ = ˆ ˆ = 90 ). Άρα =. ( = ) και, τα i) ν Κ, τα τρίγωνα Κ και είναι ίσα ( Κ== ˆ ˆ 90, = ˆ ˆ και = ως μισά ίσων πλευρών). Άρα Κ =. ii) ν Ζ και Η, τα τρίγωνα Η και Ζ είναι ίσα ( ˆ κοινή, Ζ=Η= ˆ ˆ 90, = ). Άρα Ζ = Η.. Έστω ευθεία ε που διέρχεται από το μέσο του. ν ε και ε τα τρίγωνα και είναι ίσα ( =, ˆ ˆ =, == ˆ ˆ 90 ). Άρα =. Η ' K ' ' Ζ M ε ' Σχόλιο: Παρατηρήστε ότι αν το ανήκει στην πλευρά τότε και το ανήκει στην πλευρά. ποδεικτικές σκήσεις. Έστω και. Τα τρίγωνα και είναι ίσα (AM κοινή, == ˆ ˆ 90, ˆ ˆ =, αφού AM διάμεσος και διχοτόμος). Άρα i) = και ii) ˆ =, ˆ δηλαδή η AM είναι διχοτόμος της γωνίας. ˆ Σχόλιο: ποφύγαμε να συγκρίνουμε τα τρίγωνα και γιατί δεν έχουμε αποδείξει ακόμη ότι τα, είναι προς το ίδιο μέρος της. υτό προκύπτει μετά τη διαπίστωση ότι οι γωνίες ˆ, ˆ είναι οξείες.

24 . Τα τρίγωνα και.5-.6 είναι ίσα ( = ˆ ˆ = 90, =, = ). Άρα ˆ ˆ = (). B B' ' M' ' πίσης τα τρίγωνα και είναι ίσα ( =, ˆ ˆ = από () και = ως μισά ίσων πλευρών). Άρα = () και = ˆ ˆ (). πό τις (), () και την υπόθεση ( α=α), προκύπτει ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα (Π--Π).. Τα τρίγωνα και είναι ίσα ( =, =, = ˆ ˆ = 90 ). Άρα (). Όμοια από τα τρίγωνα και προκύπτει ότι = ˆ ˆ (). πό τις (), () και την υπόθεση ( α=α), προκύπτει ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα (-Π-). A A' 4. Τα τρίγωνα και έχουν = = ˆ ˆ 90, κοινή και ˆ ˆ =, άρα είναι ίσα, οπότε = (). Τα τρίγωνα και Ζ έχουν == ˆ ˆ 90, = (από ()) και ˆ κοινή, άρα είναι ίσα, οπότε Ζ =, δηλαδή το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές. Ζ 5. i) πειδή = θα είναι ΟΚ = ΟΛ, οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΚ και ΟΛ είναι ίσα γιατί έχουν Ο κοινή και ΟΚ = ΟΛ. ii) πό την προηγούμενη ισότητα τριγώνων προκύπτει ότι Κ = Λ (). Όμως τα Κ, Λ είναι μέσα των ίσων χορδών και, οπότε Κ = Λ () και Κ = Λ (). πό τις (), () προκύπτει = και από τις (), () ότι =. Κ Ο Λ

25 Σύνθετα Θέματα.7. i) Τα τρίγωνα και Ζ είναι ορθογώνια ' ( =Ζ= ˆ ˆ 90 ) και έχουν = ( σημείο της ' μεσοκαθέτου), = Ζ (αποστάσεις σημείου της διχοτόμου), άρα είναι ίσα. ' Z' ' ii) ια τους ίδιους λόγους και τα τρίγωνα ε Z και Ζ είναι ίσα. Z' M iii) πό τις παραπάνω ισότητες τριγώνων προκύπτουν: = Ζ και Ζ =. ε Z Προσθέτοντας κατά μέλη τις ισότητες αυτές παίρνουμε: M +Ζ =Ζ+ ++ Ζ = = Ζ Ζ = + Ζ = Ζ = Ζ, οπότε: = + = Ζ + Ζ = και ΖΖ = Ζ Ζ = =.. Έστω ότι γ=γ. Προεκτείνουμε τις, ' κατά τμήματα = α και =α αντίστοιχα. γ α γ' ' α' Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα β α και έχουν τις ' β' ' α' γ α γ' α' ' κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία και επομένως είναι ίσα. πό την ισότητα αυτή προκύπτει ότι β ˆ = α ˆ () και ' β' =, ˆ ˆ οπότε ' α' ' και ˆ ˆ = () (γιατί τα τρίγωνα, είναι ισοσκελή). πό τις () και () προκύπτει =, ˆ ˆ οπότε τα τρίγωνα και έχουν = ˆ ˆ = 90, = και =, ˆ ˆ επομένως είναι ίσα..7 σκήσεις μπέδωσης. Έστω τρίγωνο \\ \\ μ με σταθερή την πλευρά = α ' ' και τη διάμεσο AM με γνωστό μήκος μ. πειδή M μ το απέχει από το σταθερό σημείο σταθερή ' ' απόσταση μ, βρίσκεται στον κύκλο (, μ). M ντίστροφα: Έστω σημείο του κύκλου ' (, µ ) τότε =µ, ως ακτίνα του κύκλου, και διάμεσος του. Το δεν είναι ' σημείο της ευθείας. πομένως γ.τ. του είναι ο κύκλος (, μ) χωρίς τα σημεία του και. \\ \\ 4

26 ν είναι ένα σημείο του ζητούμενου γ.τ., θα είναι OM = R και επομένως το ανήκει στον κύκλο (O, R). ντίστροφα: ν είναι ένα σημείο του (O, R) και Ν η τομή του Ο με τον (O, R) τότε ON = R, οπότε N M = R R = R, δηλαδή ON = N M. Άρα ο γ.τ. του είναι ο κύκλος (O, R). M Ν RO Ν M Σχόλιο: Στα προβλήματα γ.τ. εξετάζουμε ευθύ και αντίστροφο σκήσεις μπέδωσης. Οι ζητούμενοι άξονες συμμετρίας φαίνονται στα επόμενα σχήματα: ΗΘΤ ΧΨ. Σύμφωνα με την εφαρμογή της.8 το συμμετρικό ενός σημείου του τριγώνου είναι σημείο του τριγώνου και αντίστροφα. Άρα τα τρίγωνα, είναι συμμετρικά ως προς το Ο. ξάλλου από A B = AB, = και = προκύπτει ότι =. Ο. Έστω, σημεία των Ax, Ay αντίστοιχα και, τα συμμετρικά αυτών ως προς το Ο. Σύμφωνα με την προηγούμενη άσκηση είναι =, οπότε x ˆ y = x ˆy. B Ο x y y x 5

27 Σύμφωνα με την εφαρμογή της.9 είναι BA = BA και =, οπότε τα τρίγωνα και είναι ίσα (Π-Π-Π). B A ' 5. Έστω Ο η διχοτόμος της xoy ˆ και σημείο της xoy, ˆ π.χ. της xo. ˆ ν είναι το συμμετρικό του ως προς την O τότε το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές, οπότε έχουμε: Ο ˆ = Ο ˆ Ο ˆx = Ο ˆy. Το επομένως είναι σημείο της Ο ˆ y, δηλαδή της xoy. ˆ Άρα η Ο είναι άξονας συμμετρίας. x O ' y 6. i) πειδή συμμετρικό του ως προς ε, η ε είναι μεσοκάθετη του MM, οπότε Ο = Ο (). ια τους ίδιους λόγους είναι και Ο = Ο (). πό τις () και () προκύπτει. M ε Ο 4 ii) Η ε είναι άξονας συμμετρίας του MM, οπότε, οπότε έχουμε: M'' Ο ˆ =Ο ˆ +Ο ˆ +Ο ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ +Ο 4 = Ο + Ο = ( Ο +Ο ) = αφού οι ε, ε είναι κάθετες. Η ισότητα Ο = σημαίνει ότι τα, Ο, είναι συνευθειακά. Σχόλιο: πό την άσκηση αυτή συμπεραίνουμε ότι: αν ένα σχήμα έχει δύο κάθετους άξονες συμμετρίας, τότε το σημείο τομής τους είναι κέντρο συμμετρίας του σχήματος. M' ε' 6

28 .0-. σκήσεις μπέδωσης.0-.. πειδή η ˆB είναι εξωτερική γωνία στο τρίγωνο είναι B ˆ ˆ > (). πό υπόθεση όμως B ˆ ˆ > (). ε πρόσθεση των () και () κατά μέλη προκύπτει ˆ B ˆ > 80 B > 90.. Το είναι ισοσκελές, οπότε ˆ ˆ = και αφού = ˆ ˆ θα είναι ˆ ˆ =. πό την τελευταία ισότητα προκύπτει =. πειδή τα σημεία και ισαπέχουν από το και, η ευθεία είναι μεσοκάθετος του.. i) πειδή +< ˆ ˆ 80 και = ˆ ˆ θα είναι =< ˆ ˆ 90. ii) Έστω το ύψος. ν θα είχαμε ˆ =, ˆ δηλαδή 90 = ˆ άτοπο. ν το ήταν σημείο της προέκτασης της προς το θα είχαμε > > ˆ ˆ ˆ 90 άτοπο. Άρα το είναι εσωτερικό σημείο της πλευράς. 4. ν το βρίσκεται μεταξύ των, τότε η ˆ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου, οπότε ˆ >. ˆ Ομοίως για τις άλλες περιπτώσεις. A X 7

29 ίναι > ˆ ˆ (), αφού ˆ εξωτερική γωνία στο τρίγωνο. Όμως = ˆ ˆ (). πό (), () παίρνουμε > ˆ ˆ, οπότε από το τρίγωνο προκύπτει >. 6. Φέρνουμε. πειδή διχοτόμος θα είναι = (). Όμως από το ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει < (). πό (), () παίρνουμε <. είναι ίσα (Π--Π), επο- 7. Τα τρίγωνα Ο μένως ˆ ˆ =. ίναι και ˆ ˆ και ΟΛ = αφού Ο = Ο, οπότε =. ˆ ˆ Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Ο Λ Κ Λ 8. πειδή = ˆ ˆ θα είναι ˆ ˆ εξ = εξ, οπότε και ˆ ˆ = και επομένως =. Έτσι τα τρίγωνα Κ και Λ έχουν Κ = Λ, = και Κ ˆ = Λ, ˆ οπότε είναι ίσα και επομένως Κ = Λ. 8

30 .0-. ˆ ˆ 9. i) ίναι ˆ ˆ = = =, οπότε το τρίγωνο Ι είναι ισοσκελές. ii) Τα τρίγωνα Ι και Ι είναι ίσα (Π-Π-Π), Ι αφού έχουν Ι = Ι, = και ˆ ˆ = ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = = = ). M 0. ε εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας στα τρίγωνα ΠΚ Κ, ΠΚ Κ και ΠΚ Κ (σχ. ιβλίου) παίρνουμε αντίστοιχα ΚΚ <, ΚΚ < 7 και ΚΚ < 6. Προσθέτοντας αυτές κατά μέλη βρίσκουμε ΚΚ +ΚΚ +ΚΚ < 46. πομένως ο χιλιομετρητής θα έπρεπε να γράψει απόσταση μικρότερη του 46 και όχι 48. ποδεικτικές σκήσεις α. πό την µ α < προκύπτουν < και <. π αυτές παίρνουμε αντίστοιχα ˆ< ˆ και ˆ< ˆ, απ όπου με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει: +<. ˆ ˆ ˆ α α Όταν µ α = ή µ α > ισχύουν αντίστοιχα += ˆ ˆ ˆ ή +>. ˆ ˆ ˆ. Τα τρίγωνα και έχουν δύο πλευρές ίσες ( = κοινή, = ) και τις τρίτες άνισες ( < ), οπότε (εφαρμογή.) οι απέναντι γωνίες θα είναι ομοίως άνισες ˆ ˆ >.. α) Προεκτείνουμε τη διάμεσο AM κατά ίσο τμήμα. Τα τρίγωνα και είναι ίσα (ΠΠ), οπότε = και ˆ = ˆ (). Στο τρίγωνο είναι > (γιατί > ), οπότε ˆ >, ˆ από την οποία σύμφωνα με την () προκύπτει ˆ >. ˆ β) ε εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο παίρνουμε: < < + B A A A μ α μ α A' 9

31 .0-. β γ β+γ β γ< µ α <β+γ <µ α <. γ) Σύμφωνα με το β) έχουμε: β+γ γ+α α+β µ α <, µ β < και µ γ <. ε πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει: µ α +µ β +µ γ <α+β+γ= τ. 4. ν τα Σ, Ο, δεν είναι συνευθειακά με εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο ΣΟπαίρνουμε: ΣΟ Ο<Σ <ΣΟ+Ο ΣΟ Ο <Σ<ΣΟ +Ο. ν τότε: Σ = Σ < Σ και αν είναι Σ < Σ = Σ. Σ Ο 5. Στο τρίγωνο η διχοτόμος είναι και ύψος, επομένως είναι ισοσκελές, δηλαδή = = = (). ε εφαρμογή της τριγ. ανισότητας στο τρίγωνο βρίσκουμε < + < + <. 6. Θεωρούμε το μέσο του τόξου, οπότε = = και = =. Τότε, λόγω της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο, έχουμε ότι: + > ή >. 7. Έστω ότι >, οπότε η επίκεντρη γωνία Ο ˆ είναι μεγαλύτερη της Ο. ˆ Τα τρίγωνα Ο και Ο έχουν δύο ζεύγη πλευρών ίσα ( Ο = Ο = Ο = Ο = R) και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες, οπότε >. (εφ..). Το αντίστροφο αποδεικνύεται εύκολα με απαγωγή σε άτοπο. () Ο Ο 0

32 Σύνθετα Θέματα.0-.. i) ε εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας στα τρίγωνα Ο, Ο, Ο και Ο παίρνουμε αντίστοιχα: AB < OA + OB, < Ο + Ο, < Ο + Ο και < Ο + Ο από τις οποίες με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο. ii) ν το Ο δεν είναι σημείο της από το τρίγωνο Ο προκύπτει ότι: Ο + Ο > και αν το Ο είναι σημείο της θα είναι Ο + Ο (). Όμοια παίρνουμε Ο + Ο (). πό (), () προκύπτει Ο+Ο+Ο+Ο + η οποία σημαίνει ότι ελάχιστη τιμή του αθροίσματος Ο + Ο + Ο + Ο είναι η + και συμβαίνει όταν το Ο είναι σημείο της και της, δηλαδή όταν Ο Κ.. φού το τρίγωνο είναι ισοσκελές, E θα είναι ˆ = ˆ και επειδή τα τρίγωνα και είναι ίσα, θα Κ είναι ˆ =. ˆ M B πομένως ˆ = ˆ E και ˆ =, ˆ οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. B Κ ii) ν φέρουμε τη διάμεσο Κ του ισοσκελούς M τριγώνου θα είναι ύψος B και διχοτόμος, όμοια και η Κ, οπότε τα σημεία, Κ, είναι συνευθειακά.. i) ίναι < + (από το Ο B τρίγωνο ) < + (από το τρίγωνο ) και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει Ο το ζητούμενο. ii) ίναι Ο + Ο > και Ο+Ο> και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο. iii) Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο ανισότητες (ii) έχουμε ότι: ++ + < +. πίσης προσθέτοντας κατά μέλη τις < +, < +, < + και < + καταλήγουμε ότι + <++ +. Κ Ο

33 πό το φέρουμε κάθετες στις Οx, Oy που τις τέμνουν στα σημεία, αντίστοιχα και παίρνουμε τμήματα = και = (συμμετρικά). Τότε η περίμετρος του είναι ++ > = Ο. '' y Σχόλιο: Τα σημεία, Ο, είναι συνευθειακά. (Άσκηση ). O A x. σκήσεις μπέδωσης '. πειδή κάθετος στην και < θα είναι < (). πίσης κάθετος στην και <. Άρα συνεπάγεται ότι < (). πό (), () προκύπτει ότι <.. Το Η είναι μεσοκάθετος του (σχ. ιβλίου), άρα =. Τα τμήματα και είναι πλάγια και επειδή Η < Η και Η κάθετος προκύπτει ότι <.. i) Έστω Ρ το ίχνος της καθέτου από το Ρ στην ε. ν το Ρ δεν ταυτίζεται με το τότε θα είναι Ρ = Ρ > ΡΡ. ii) Θα πρέπει το Ρ να ταυτίζεται με το, επομένως η ε να είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα Ρ, στο σημείο σκήσεις μπέδωσης Ρ Ρ' ε. Οι χορδές είναι ίσες γιατί έχουν ίσα αποστήματα, αφού το απόστημα κάθε χορδής ισούται με την ακτίνα ρ του μικρού κύκλου.. Έστω το σημείο επαφής της ε με τον κύκλο. Η Ο είναι διχοτόμος της Ο ˆ και η Ο διχοτόμος της Ο ˆ, oπότε Ο Ο Ο ˆ = 90 (διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών). ε Ο ε

34 Υπάρχουν δύο δυνατές περιπτώσεις: ια το Σχ. έχουμε ότι: Ρ+ + Ρ=Ρ ++ +Ρ Ρ = Ρ. ια το Σχ. έχουμε ότι: Ρ+ + Ρ=Ρ+++ +Ρ= ( Ρ+ ). Ρ Ρ B ποδεικτικές σκήσεις Σχήμα Σχήμα. Στο τρίγωνο Ο η Ο είναι ύψος και διάμεσος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, δηλαδή Ο = Ο (). Όμως και Ο = Ο () (ως ακτίνες). ε αφαίρεση των () και () κατά μέλη προκύπτει =. Ο. Φέρουμε τη Ο, οπότε οι γωνίες Ο ˆ και Ο ˆ είναι ίσες. Το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές, οπότε η MB είναι και διχοτόμος, άρα Ο ˆ =. ˆ Άρα ˆ =. ˆ Ο \ \. Τα ευθύγραμμα τμήματα Ρ και Ρ είναι ίσα, ως εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από ένα σημείο προς τον κύκλο. πομένως το τρίγωνο Ρ είναι ισοσκελές, οπότε Ρ ˆ = Ρ. ˆ πίσης, η ΡΟ είναι μεσοκάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα, οπότε = και επομένως ˆ =. ˆ φαιρώντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες ισότητες προκύπτει Ρ ˆ = Ρ. ˆ Ρ Ο

35 Ο \\ \\.6 σκήσεις μπέδωσης.6. i) Ο ένας κύκλος εσωτερικός του άλλου. ii) φάπτονται εσωτερικά. iii) Τέμνονται. iv) φάπτονται εξωτερικά. v) Ο ένας κύκλος εξωτερικός του άλλου. Ο. Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά.. Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. Ο Ο ποδεικτικές σκήσεις Ο \\ \\. i) ια να τέμνονται οι κύκλοι ( Ο, R) και ( Ρ, ΡΟ ) πρέπει να ισχύει: R ΡΟ<ΡΟ<ΡΟ+ R, γιατί ΡΟ < R. Η δεξιά ανισότητα προφανώς ισχύει. ια την αριστερή έχουμε: R ΡΟ < ΡΟ R < ΡΟ ΡΟ > R που ισχύει αφού Ρ εξωτερικό σημείο του (O, R). ii) πειδή ( Ο ) = R > R το είναι εξωτερικό σημείο του (O, R), άρα η Ο τέμνει τον (O, R) στο. Ο Ρ Όμοια η Ο τέμνει τον (O, R) στο. iii) πειδή ( Ο ) = R και ( Ο ) = R το είναι μέσο της χορδής Ο του κύκλου ( Ρ, ΡΟ ), οπότε Ρ Ο, επομένως Ρ εφαπτόμενη του (O, R). Όμοια αποδεικνύεται ότι και η Ρ είναι εφαπτόμενη του (O, R). Ο Ρ. i) πειδή ΟΟ > R+ R ο ένας κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου. ii) Έστω ότι το δεν συμπίπτει με το ή το δεν συμπίπτει με το Ν. Τότε σύμφωνα με το σχόλιο της M' O M N O N' 4

36 έχουμε: ΟΟ < O++Ο M' ή R+Ν+ O RM < NR++ RN' O ή Ν<. Όταν και Ν τότε Ν =. Άρα γενικά Ν. Έστω πάλι ότι το δεν συμπίπτει με το ή το με το Ν τότε: < Ο + ΟΟ + Ο ή <Ο +ΟΟ +ΟΝ ή < Ν. Όταν και Ν τότε = Ν, γενικά λοιπόν θα ισχύει Ν.. Η ΚΡ είναι διχοτόμος της γωνίας Ρ ˆ και η ΡΛ διχοτόμος της Ρ. ˆ Όμως οι γωνίες AΡˆ και Ρˆ είναι εφεξής και παραπληρωματικές, επομένως ΚΡΛ ˆ = 90. Ρ \ \ Κ \ \ Λ 4. Η απάντηση είναι καταφατική και οι κύκλοι φαίνονται στο διπλανό σχήμα σκήσεις μπέδωσης. Κατασκευάζουμε γεωμετρικά μια ορθή γωνία xoy ˆ και στη συνέχεια κατασκευάζουμε τη διχοτόμο Οδ αυτής. Τότε (xo ˆ δ ) = 45. y x O δ x. Έστω γωνία xoy. ˆ Κατασκευάζουμε τη διχοτόμο Οδ αυτής και στη συνέχεια τις διχοτόμους Οδ και Οδ των xοδ ˆ και δο ˆ y αντίστοιχα. y δ δ δ O x 5 α α

37 δ δ.7-.8 O x. Θεωρούμε τμήμα = α και γράφουμε τους κύκλους (, α ) και (, α ). ν είναι ένα κοινό σημείο των κύκλων αυτών το τρίγωνο είναι το ζητούμενο. Πράγματι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο με = α, από υπόθεση, = = α, ως ακτίνες των κύκλων (, α ) και (, α ). πειδή α α<α<α+α, οι κύκλοι τέμνονται και το πρόβλημα έχει πάντα λύση. Το τρίγωνο με το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων (, α ) και (, α ) είναι ίσο με το, επομένως η λύση είναι μοναδική. α α α 4. Θεωρούμε τμήμα = α και κατασκευάζουμε την μεσοκάθετο ε αυτού. ν η ε τέμνει τη στο και πάνω σ αυτήν πάρουμε σημείο ώστε = υ, τότε το είναι το ζητούμενο. Πράγματι, = και προφανώς = α και = υ. Το πρόβλημα έχει πάντα μοναδική λύση. M ε υ 5. α) Κατασκευάζουμε ορθή γωνία x ˆ y και πάνω στις πλευρές της x, Ay παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία, ώστε = β και = γ. Το πρόβλημα έχει πάντα μοναδική λύση. y γ β x β) Κατασκευάζουμε ορθή γωνία x ˆ y και πάνω στην Ay παίρνουμε σημείο ώστε = γ. Στη συνέχεια γράφουμε τον κύκλο (, α ) που τέμνει την x στο. Το τρίγωνο είναι προφανώς το ζητούμενο και υπάρχει λύση όταν α>γ. y γ α x 6

38 x ενικές σκήσεις ενικές σκήσεις. i) Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο ώστε =. Τότε τα τρίγωνα και είναι ίσα, οπότε = ˆ ˆ () και = (). Όμως από υπόθεση + ˆ ˆ = 80 η οποία, λόγω της (), γίνεται ˆ ˆ 80 ˆ += = 80 = ˆ ˆ εξ B δηλαδή ˆ = ˆ εξ και επομένως = η οποία με τη βοήθεια της () δίνει =. ii) ν δύο τρίγωνα είναι τέτοια ώστε: μια πλευρά και μια προσκείμενη σ αυτή γωνία του ενός να είναι ίση με μια πλευρά και μια προσκείμενη γωνία του άλλου, αντίστοιχα και οι μη προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες των τριγώνων είναι παραπληρωματικές. Τότε, οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες προσκείμενες γωνίες είναι ίσες.. πειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο τα τρίγωνα ' και είναι ισόπλευρα και ίσα μεταξύ τους, οπότε θα είναι ˆ ˆ = =ϕ (). Τα τρίγωνα και έχουνε =, = και ˆ = ˆ = ˆ + ϕ, ˆ άρα είναι ίσα και επομένως =. Όμοια αποδεικνύεται ότι =. ' '. Έστω ότι η χορδή είναι μεγαλύτερη της. εταφέρουμε την σε ίση χορδή, οπότε το απόστημα ΟΗ της ισούται με το απόστημα Ο της. φού τα σημεία Ο και βρίσκονται εκατέρωθεν της, η Ο τέμνει τη σε σημείο I που είναι εσωτερικό του τμήματος Ο. Τότε έχουμε ότι ΟΚ < ΟΙ < Ο = ΟΗ. ντίστροφα: Έστω ότι ΟΚ < ΟΗ. Τότε: αν = θα ήταν ΟΚ = ΟΗ (άτοπο). αν > θα ήταν ΟΚ > ΟΗ (άτοπο). Άρα <. 7 Η Ο A Κ I Κ

39 ενικές σκήσεις 4. Έχουμε =Ζ ( =, = Ζ, = ˆ ˆ ). Άρα ˆ ˆ = (). πίσης Ζ = ( =, =, ˆ ˆ Ζ = ). Άρα ˆ ˆ =. πό (), (), αφού = προκύπτει ότι Λ =. πομένως Λ=, ˆ ˆ οπότε ω=ϕ. ˆ ˆ Όμοια ˆω=θ. ˆ Άρα ω=ϕ=θ. ˆ ˆ ˆ A Κ θ Λ ω φ Ζ 5. Φέρουμε διχοτόμο. Έστω το μέσο της. Τότε = ˆ ˆ κοινή, =, = =. Άρα = ˆ ˆ < 90, οπότε ˆ > 90. Τα τρίγωνα και έχουν: κοινή, =, ˆ ˆ >. Άρα >. πομένως στο τρίγωνο είναι ˆ ˆ > ή ˆ >. ˆ 6. Έστω το μέσο της. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας. Τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η ύψος και διχοτόμος, οπότε ˆ =. Τα τρίγωνα και είναι ίσα (Π--Π), οπότε ˆ = ˆ =. ω ω ω 7. Θεωρούμε τα τρίγωνα και με =, = και =. Προεκτείνουμε τις AM, κατά τμήματα = και =. Τότε = και =, οπότε = και =. πομένως τα τρίγωνα και είναι ίσα (Π-Π-Π). Άρα =, οπότε =. Άρα = (Π-Π-Π). 8 y

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Τεύχος Α

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Τεύχος Α ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΠΙΕΙΣ, ΕΡΕΥΝΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΙΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΥΚΛΕΙΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ Τεύχος ε 3 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΕΩΝ Κ Ε ε 1 ε Ι Ο Θ Η Ζ μ α Ψ ε 4 ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΙΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ ΚΙ ΕΚΟΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ Κωδικός βιβλίου: 0--007 ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ε Κ ε Ψ Ζ Ο Ι Θ ε Η μα ε4 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ISBN 978-960-06--6

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 7.8 7.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 162 163 ρωτήσεις Κατανόησης 1. Να εξηγήσετε γιατί τα ίχνη, της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας τριγώνου είναι συζυγή αρμονικά των και. πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; ΚΕΦΛΙΟ 3ο ΤΡΙΩΝ Στοιχεία και είδη τριγώνων Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140

Γενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140 ενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 40. ίνεται τρίγωνο ορθογώνιο στο. πό τα άκρα, της υποτείνουσας φέρουµε κάθετες x και y στη και προς το ίδιο µέρος της. πό το µέσο Μ της φέρουµε κάθετη στην, που τέµνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; Οι σχετικές θέσεις δυο ευθειών ε και ε, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ Κωδικός βιβλίου: 0--007 ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ε Κ ε Ψ Ζ Ο Ι Θ ε Η μα ε4 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ISBN 978-960-06--6

Διαβάστε περισσότερα

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Απέναντι πλευρές παράλληλες

Απέναντι πλευρές παράλληλες 5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η παρούσα σύνοψη παρουσιάζει τις προτάσεις του σχολικού βιβλίου που διδάχτηκαν την φετινή χρονιά,συνοπτικά δίχως αποδείξεις και με διαφορετική σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 6 7 ενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου. ίνεται τρίγωνο (β γ) µε Â = 60 ο, τα ύψη του, και τα µέσα Μ, Ν των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = Ν. Τρ. ορθογώνιο µε Â = 60 ο M N ˆB

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα. Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα. Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα ΚΕΦΛΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα 1. Τι καλούμαι ορθή προβολή ενός σημείου πάνω σε μία ευθεία και ποια είναι η προβολή ενός ευθυγράμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 5. 5.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 04 ρωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι Ορθογώνια, ρόµβοι, i τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; (α) 5 (β) 5 (γ) (δ) (ε) (ζ) φ 5 φ 5 φ φ (η)

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 5 5 ενικές ασκήσεις. ανονικό εξάγωνο ΕΖ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ) και έστω, Λ,, Ν, Ρ, Σ τα µέσα των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι το ΛΝΡΣ είναι κανονικό εξάγωνο µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4. ίνεται παραλληλόγραµµο και έστω, Μ τα µέσα των και αντίστοιχα Οι προεκτάσεις των τµηµάτων Μ και τέµνονται στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Τα τρίγωνα Μ και ΜΖ είναι ίσα i Το τετράπλευρο

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156

7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 1 7.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 ρωτήσεις ατανόησης 1. Στα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x, ψ (α) ε 1 ε x 1 2 ε 2 ψ 6 ε 2 3 3 ε 4 ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 3 ε 2 ε 1 ε 2 4 x 1,5 ψ 3 4 ε 3 (β) (γ) ε 1

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο µε ɵ = = 45 ο. Έστω Ε, Ζ τα µέσα των και αντίστοιχα και Η. πό το Z φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Θ. Να δείξετε ότι Το τετράπλευρο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΕΦΛΙΟ 2 o Τ ΣΙΚ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Πρωταρχικές έννοιες Όπως τα αντιλαμβανόμαστε : Σημείο, Ευθεία, Επίπεδο. ξιώματα προτάσεις που τις αποδεχόμαστε χωρίς απόδειξη. αξίωμα: πό δυο διαφορετικά σημεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ λ + λ = + = + = = = λ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ λ + λ = + = + = = = λ. ΚΦΑΛΑΙΟ 11. Παραθέτουμε για εύκολη αναφορά το πινακάκι με την αντιστοιχία χορδών-αποστημάτων-τόξων που χρειάζεται σε όλες σχεδόν τις παρακάτω ασκήσεις Κανονικό εξάγωνο Πλευρά λν Χορδή λ = Απόστημα α =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες - Το ευθύγραμμο τμήμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες - Το ευθύγραμμο τμήμα ΚΕΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες - Το ευθύγραμμο τμήμα 1. Πως ξεκινά η μελέτη εωμετρίας,δηλαδή από ποιες έννοιες και από ποιες παραδοχές; Η μελέτη της εωμετρίας ξεκινά από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα