Funkcije proteina. Boris Mildner Osnove biokemije. Vlaknati i globularni proteini

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Funkcije proteina. Boris Mildner Osnove biokemije. Vlaknati i globularni proteini"

Transcript

1 Funkcije proteina Boris Mildner Osnove biokemije Vlaknati i globularni proteini Prema topljivosti, proteine možemo grubo podijeliti u netopljive vlaknate proteine, i globularne topljive proteine. Za razliku od globularnih proteina, vlaknati proteini nemaju standardne pravilne sekundarne strukture. Funkcija vlaknatih proteina je da daju strukturu i čvrstoću stanici i oni obično ne vežu ligande. Funkcija globularnih proteina je da provode reakcije proteina i različitih liganada (enzimi i transporteri). 1

2 Funkcija proteinskih vlakana Funkcija proteinskih vlakana je da daju čvrstoću i strukturu stanici. Proteinska vlakna (fibrilarni proteini) ne vežu ligande. Vlaknati proteini daju strukturu i čvrstoću stanicama i tkivima Specijalne vrste zavojnica nalaze se u dva vrlo zastupljena proteina: α-keratinu i kolagenu. Ovi proteini stvaraju dugačka vlakna koja daju strukturu stanici. α-keratin, koji izgrađuje vunu i kosu sadrži dvije desne standardne α-zavojnice koje su međusobno opletene tako da zajedno čine lijevu super-zavojnicu koja se često naziva i opletena zavojnica. Kolagen, najzastupljeniji protein u ljudskom tijelu, a nalazi se u koži, kostima, tetivama, hrskavici i zubima. Kolagen je izgrađen od tri zavojnice, a glicin je svaka treća aminokiselina koja se pojavljuje u svakoj zavojnici, a vrlo zastupljena aminokiselina je i prolin. 2

3 Sekundarne strukture proteinskih vlakana α-keratin od kojeg su uglavnom izgrađene vuna i kosa izgrađen je od dvije desne α- zavojnice koje zajedno čine super-zavojnicu lijevog navoja. α-keratin je član porodice proteina koji grade super-zavojnice. Proteini ove porodice grade proteine čija duljina može biti veća od 1000 Å.U središnjem dijelu molekule nalazi se segment od 300 aminokiselina koje imaju tzv. heptadičko ponavljanje. Dodatno, lanci keratina povezuju se disulfidnim mostovima. modeli super-zavojnica α-keratina Dvije desne α-zavojnice međusobno su povezane van der Waalsovim silama i grade lijevu super-zavojnicu. Ove interakcije su omogućene jer stvaranje lijeve superzavojnice mijenja strukture α-zavojnica tako da puni okreti zavojnice dolaze nakon 3,5 aminokiselinska ostatka a ne nakon 3,6 aminokiselinskih ostataka kao što je to u α- zavojnicama topljivih globularnih proteina. Zbog toga je moguće da hidrofobni bočni ogranci aminokiselina međusobno reagiraju nakon svakog sedme aminokiseline. heptadičko ponavljanje u super-zavojnici α-keratina. Svaka sedma aminokiselina zavojnice je leucin. Dvije zavojnice se međusobno povezuju van der Waalsovim silama, poglavito između leucinskih bočnih ogranaka. Struktura proteinskih vlakana: zavojnica kolagena Kolagen je najzastupljeniji protein sisavaca. To je štapićasti protein duljine 3000 Å i 15 Å u promjeru. Izgrađen je od tri polipeptidne zavojnice. U kolagenskoj sekvenci, glicin je svaka treća aminokiselina a često se pojavljuje i slijed glicin-hidroksiprolin. Aminokiselinski slijed dijela kolagenskog lanca. Svaka treća molekula je glicin, a često su zastupljeni prolin i hidroksiprolin Kolagenska zavojnica koju čine tri međusobno obavijena kolagenska lanca nema nikakve sličnosti s α zavojnicom. Kolagenski lanci su lijevog navoja, a kolagenska superuzvojnica je desnog navoja.puni okret čine 3 ak, a udaljenost između zavoja je 9 Å. Konformacija jednog lanca kolagenske trostruke zavojnice. 3

4 Kolagen kolagen Proteinska vlakna Sekvon Gly-X-Y se ponavlja X najčešće Pro (Ser i Leu) Y najčešće Hyp(Argi Ala) Primarna struktura C-kraja trostruke zavojnice kolagena Pogled na os trostruke zavojnice Proteinska vlakna kolagen Tri zavojnice kolagena omataju se jedna oko druge. Svaka zavojnica prikazana je drugom bojom. Trostruka kolagenska zavojnica često se naziva tropokolagen. Vodikove veze između zavojnica stabiliziraju trostruku super-zavojnicu. Vodikove veze nastaju između NH skupine glicina na jednom lancu i karbonilne skupine glicina u okosnici drugog lanca. Hidroksilne skupine hidroksiprolina također stvaraju vodikove veze. Kada nema dovoljno hidroksilnih skupina dobiva se skorbut. α-c atom glicina obilježen je s G. Svaki treća aminokiselina mora biti glicin jer inače ne bi bilo dovoljno prostora u unutrašnjosti zavojnice. Bočni ostaci prolina i hidroksiprolina nalaze se na vanjskoj strani zavojnice. 4

5 kolagen Sekundarna Združene molekule Elektronska mikrograf. ukriženih Struktura tropokolagena tropokolagena vlakana kolagena uz vidljivu (oko 1000 ak po lancu) periodičnost strukture Proteinska vlakna Funkcija proteinskih vlakana je da budu čvrsta. Zbog toga fibrilarni proteini kao što su α-keratin i kolagen grade ove superstrukture. Ove superstrukture su isključivo izgrađene samo od jedne vrste polipeptidnih lanaca i vlaknasti (fibrilarni) proteini obično ne vežu ligande. molekule tropokolagena međusobno su povezane u superstrukturu. Povezivanje trostruktih zavojnica je pravilno, ali dozvoljava svakom tropokolagenu određenul slobodu.. Kolagenske zavojnice su međusobno povezane neuobičajenim vezama. Ovisno o vrsti kolagena ovisi i povezivanje podjedinica pa tako i o nastanku dipeptida koji povezuje pojedine lance. 5

6 Globularni proteini Za razliku od fibrilarnih proteina, funkcija većine globularnih proteina ovisi o njihovoj interakciji s drugim proteinima i/ili ligandima. ligand = molekula koja se reverzibilno veže na protein. Funkcije globularnih proteina Funkcija većine proteina je da reverzibilno vežu druge molekule, tj. ligande. Ligand je bilo koja druga molekula, uključujući i protein. Ligand se na protein veže u vezno mjesto koje je komplementarno ligandu (po veličini, obliku, naboju, hidrofobnim ili hidrofilnim svojstvima). Interakcije proteina i liganda su specifične jer protein može između tisuću drugih spojeva odabrati željeni ligand. Ujedno, jedan protein može imati i po nekoliko odvojenih veznih mjesta za različite ligande. Interakcijom proteina i liganda, protein često mijenja konformaciju kako bi vezno mjesto postalo što komplementarnije ligandu. Ovu strukturnu promjenu nazivimo induciranom promjenom konformacije proteina (induced fit). 6

7 Interakcija proteina i liganda Reverzibilno vezanje proteina na neki ligand: [PL] k a P + L PL pa je K a = = (1) gdje su k a i k d konstante brzine, [P][L] k d a K a je konstanta vezanja koja odražava afinitet liganda prema proteinu. K a je jednaka omjeru brzine nastajanja (k a ) PL kompleksa i brzine disocijacije (k d ) tog kompleksa. Kada reakcija uključuje jednu molekulu, kao što je to disocijacija PL P + L, kažemo da je reakcija prvog reda i konstantu disocijacije izražavamo u (s -1 ). Kada reakcija uključuje dvije molekule, kao što je nastajanje kompleksa, tj. P + L PL reakcija je drugog reda i njezina konstanta brzine ima jedinicu mol s -1. [PL] Ako malo preuredimo jednadžbu (1) dobivamo: K a [L] = (2) Kada je koncentracija liganda [P] L daleko veća od broja mjesta vezanja tog liganda, vezanje liganda na protein ne mijenja Ako promatramo na koji se dio veznih mjesta vezao ligand značajno koncentraciju slobodnog, tj. nevezanog liganda, broj zauzetih veznih mjesta [PL] pa možemo smatrati da [L] ostaje konstantna, Y = = (3) što je vrlo česti slučaj u stanici. ukupni broj veznih mjesta [PL] + [P] Interakcija proteina i liganda broj zauzetih veznih mjesta [PL] Y = = (3) ukupni broj veznih mjesta [PL] + [P] ako u jednadžbu (3) supstituiramo izraze iz jedn. (2), dobivamo: K a [L][P] K a [L] [L] Y = = = (4) kako je 1/K a = K d, tj. konst. disocicijacije, možemo K a [L][P] + [P] K a [L] + 1 [L] + 1/K a pisati: [P][L] k d [P][L] [L] K d = = odnosno [PL] = pa je Y = ovo je opća jednadžba za pravokutnu hiperbolu [PL] k a K d [L] + K d kada je [L] = K d, polovica veznih mjesta liganda su zauzeta. Y kako je K a = 1/K d, konstanta vezanja, K a, liganda na kompleks će biti veća kada je brojčana vrijednost konstante disocijacije,k d, manja. Grafički prikaz vezanja liganda. Sva vezna mjesta su popunjena kada se povuče asimptota kod vrijednosti Y = 1. Kada je Y = 0,5, polovica broja raspoloživih veznih mjesta jednaka je konstanti disocijacije kompleksa (K d ). 7

8 Interakcija proteina i liganda primjer vezanja istovrsnog liganda na dva različita proteina X i Y Ako se neki ligand A veže na dva proteina, afinitet vezanja proteina X za ligand je veći (K d = 2 µmol dm -3 ) nego što je to afinitet proteina Y (K d = 6 µmol dm -3 ). Y konc. liganda A µmol dm -3 Interakcija proteina i liganda (konstante disocijacije nekih protein ligand kompleksa) primjeri konstanti disocijacija nekih proteina 8

9 Proteini koji vežu kisik Kisik je slabo topljiv u vodenim otopinama pa same molekule otopljene u krvi ne mogu doprijeti do tkiva. Isto tako, difuzija kisika u tkiva je malog dometa (svega nekoliko milimetara). Zbog toga je bilo potrebno da multicelularni organizme razviju proteine koji transportiraju i pohranjuju kisik. Kristalna struktura hemoglobina. Hemoglobin je α 2 β 2 tetramer i svaka podjedinica ima vezanu prostetsku skupinu hem. U (a) molekule vode, crvene kuglice, čvrsto se vežu za protein. Dvije α podjedinice obojene su plavo, a dvije β podjedinice označene su sivom bojom. (b) prikaz hemoglobina bez vode. Vezani hem je obojen crveno. Shematski prikaz mioglobina (a) i njegova kistalna struktura (b). Mioglobin je jedan polipeptid na koji je vezana jedna prostetska skupina hema, označena crveno. Proteini koji vežu kisik (hem) Niti jedna funkcionalna skupina aminokiselina ne može reverzibilno vezati kisik. Transport i vezanje kisika mogu obavljati tranzicijski metali kao što su Fe i Cu. Kako slobodni metali sa slobodnim kisikom stvaraju vrlo reaktivne hidroksilne radikale, u multicelularnim organizmima željezo je u kompleksu sa prostetskom skupinom, hem, koja je vezana za protein. U slobodnoj prostetskoj skupini, tj. kada hem nije vezan za protein, Fe 2+ ireverzibilno prelazi u Fe 3+ i kisik se više ne može vezati. U proteinima koji sadrže hem, ova reakcija se ne događa jer je hem skupina zakrivena u strukturi proteina. Struktura protoporfirina IX, jednog od porfirina. Fe 2+ ima šest koordinacijskih veza. Četiri veze su u ravnini i vežu se s pirolnim prstenovima, a još druge dvije koordinacijske veze Fe 2+ okomite su na ovu ravninu. 9

10 Vezanje kisika za mioglobin Mioglobin, M r = , mali je transportni protein koji veže i transportira kisik u tkiva, tj. omogućava difuziju kisika prvenstveno u mišiće. Pripada u veliku porodicu globina. Svi globini imaju vrlo slične primarne i tercijarne strukture. Mioglobin ima 8 α zavojnica koje su povezane zavojima. Oko 78% aminokiselina mioglobina su α-zavojnice. Mioglobin ima jednu prostetsku skupinu te veže jednu molekulu kisika. Promjene položaja Fe 2+ prilikom vezanja kisika u hemoglobinu Kada se kisik veže za željezo porfirinskog prstena hemoglobina, elektronska struktura željeza u hemu se mijenja pa je to razlog da je venska krv koja nema kisika tamo crvena, dok je arterijska krv, koja je bogata kisikom, svjetlo crvena. 10

11 hem i mioglobin (Mb) Bočni pogled na porfirinski prsten, te vezanje histidina i kisika na koordinacijska mjesta željeza. Ravnina porfirinskog prstena Na jedno koordinacijsko mjesto željeza koje je okomito na porfirinski prsten veže se dušik iz imidazolnog prstena histidina, a na drugo okomito koordinacijsko mjesto Fe 2+ veže se molekula kisika. α-zavojnice mioglobina označene su slovima A H. Hem je vezan u žlijeb kojeg rade E i F zavojnice, a bočni ogranci drugih zavojnica također pridonose vezanju hema. Vezanje kisika za hem mioglobina možemo računati Krivulja vezanja hipotetskog liganda na neki protein Y [L] Y = [L] + K d Vezanje kisika možemo kvantitativno pratiti istom jednadžbom vezanja liganda na protein, tj. [L] [O 2 ] Y = = [L] + K d [O 2 ]+ K d Kako za bilo koji ligand K d je jednaka [O 2 ] kada je ½ dospupnih mjesta vezanja zauzeto, odnosno K d = [O 2 ] 0,5, to možemo pisati: Y po 2 Y = po 2 + P 50 Krivulja vezanja kisika za mioglobin [O 2 ] Y = [O 2 ]+ [O 2 ] 0,5 Kako je kisik plin, lakše je mjeriti parcijalni tlak kisika (po 2 ) u plinskoj fazi nego mjeriti koncentraciju kisika u otopini. Koncentracija plina u otopini proporcionalna je parcijalnom tlaku plina. Ako definiramo parcijalni tlak kisika kada je [O 2 ] 0,5 kao P 50 po 2 Y = po 2 + P 50 11

12 Proteini koji vežu kisik Različiti kutevi vezanja O 2 i CO Distalni (udaljeniji) histidin E7 uzvojnice CO se veže za slobodni hem puta jače nego što se veže kisik. Međutim kada je hem vezan u mioglobinu, vezanje CO za hem svega je 200 puta jače nego što je vezanje kisika. Razliku u ovom vezanju možemo djelomično objasniti steričkim smetnjama. U mioglobinu distalni His E7 tvori vodikove veze s kisikom, što nije moguće s CO. Isto tako, na vezanje O 2 djeluje disanje tj. molekularno gibanje strukture proteina. Zbog gibanja proteinske strukture kisik se može vezati i otpustiti s hema. Da je struktura kruta, to ne bilo moguće. Proksimalni (bliži) histidin F8 uzvojnice koji veže željezo Proteini koji vežu kisik - hemoglobin Kisik u krvi životinja transportira hemoglobin koji je u eritrocitima. Eritociti su male bikonkavne stanice promjera 6 9 µm. Nastaju iz matičnih stanica, stanica preteča tj iz hemocitoblasta. Tijekom sazrijevanja matične stanice proizvode velike količine hemoglobina, a nakon toga izgube vlastite intracelularne organele (jezgru, mitohondrij i endoplazmatski retikul). Eritrociti se prema tome ne mogu razmnažati i njihov životni vijek iznosi oko 120 dana. U arterijskoj krvi 96% hemoglobina je zasićeno kisikom, dok je u venskoj krvi oko 64% hemoglobina zasićeno kisikom. Mioglobin, monomerni protein, kojem je krivulja vezanja kisika pravokutna hiperbola relativno je neosjetljiv na male promjene koncentracija otopljenog kisika, ali zato dobro funkcionira kao protein za skladištenje kisika u mišićima. Za razliku od mioglobina, hemoglobin je tetramerni protein i veže kisik na svakoj od podjedinica, te je prikladniji za transport kisika. 12

13 U multimernom proteinu, konformacijska promjena u jednoj podjedinici često dovodi do konformacijskih promjena u drugim podjedinicama, što nazivamo kooperativnost. Interakcija proteina i jednog liganda često je regulirana interakcijom tog proteina s jednim ili više drugih liganada. Interakcije s ovim drugim ligandima može dovesti do konformacijskih promjena na proteinu koje utječu na vezanje prvog liganda alosterička regulacija. (Kod enzima, ligande nazivimo reakcijskim supstratima, a mjesto vezanja supstrata na enzim naziva se katalitičkim ili aktivnim mjestom). Struktura hemoglobina 13

14 Strukture lanaca mioglobina i hemoglobina vrlo su slične i zadržavaju gotovo identični raspored α-uzvojnica Usporedbe tercijarnih struktura mioglobina i β-podjedinice hemoglobina. Većina globina imaju slične tercijarne strukture jednog polipeptida iako su im primarne strukture različite (24-25% podudarnosti aminokiselina između mioglobina kita i α i β podjedinica humanog hemoglobina). Hemoglobin je tetramerni protein izgrađen od dvije α i dvije β podjedinice. Svaka podjedinica veže prostetsku skupinu hem.. Kvaterna struktura deoksihemoglobina Podjedinice hemoglobina su u međusobnoj interakciji Do najjačih interakcija dolazi između nesrodnih podjedinica. Kada se veže kisik, mala je promjena konformacije između α 1 α 2 podjedinica, ali dolazi do značajne promjene u konformaciji između α 1 β 1 i α 2 β 2 uzvojnica. Prema rendgenskoj strukturnoj analizi dvije su konformacije hemoglobina. Ove se konformacije nazivaju T(eng. tense) i R (eng. relaxed) stanja hemoglobina. Kisik se može vezati na hemoglobin bez obzira u kojoj je konformaciji, ali afinitet vezanja kisika na hemoglobin je daleko veći kada je hemoglobin u R stanju (oksihemoglobin). Deoksihemoglobin (hemoglobin na kojeg nije vezan kisik) obično je u T stanju. 14

15 Ionske veze između α-uzvojnica stabiliziraju T stanje hemoglobina Prikazan je dio molekule hemoglobina koji je u T stanju. Prikazane su interakcije između His (u HC3) i Asp (u FG1) na β lancu, te interakcije između Lys (u C5) α lanca i karboksilne skupine His (HC3) β lanca. Shematski prikaz ionskih veza između ioniziranih bočnih ogranaka aminokiselina u pojedinim α-zavojnicima istovrsnih ili različitih hemoglobinskih lanaca kada je hemogolobin u T stanju (deoksihemoglobin). Vezanjem kisika mijenja se konformacija hemoglobina, tj. hemoglobin iz T stanja prelazi u R stanje Pozitivno nabijeni bočni ogranci aminokiselina prikazani su crvenom, a negativno nabijeni bočni ogranci prikazani su plavom bojom. Vezanjem kisika dolazi do promjena u rasporedu ionskih veza. Najznačajnija promjena je na karboksilnom kraju lanca (HC3 α-uzvojnica) koji se rotira u središte molekule i više ne radi ionske veze kao što je to bilo moguće u T stanju. Druga vidljiva promjena je u smanjenju pukotine između β podjedinica. Vezanjem kisika jedan αβ dimer rotira se za 15 o obzirom na drugi αβ dimer. 15

16 Usporedba krivulja vezanja kisika za mioglobin odnosno za hemoglobin Shematski prikaz strukturnih promjena u proteinu izgrađenom od dvije podjedinice kod kojeg dolazi do kooperativnog vezanja liganda Alosterički protein je protein kod kojeg vezanje liganda ili modulatora na jedno mjesto utječe na svojstva vezanja liganda na drugim veznim mjestima tog istog proteina. Konformacije alosteričkih proteina se mijenjaju vezanjem liganda ili modulatora. Interakcije proteina i liganda i modulatora su homotropne (ligand i modulator su identične molekule) ili heterotropne ako su ligand i modulator različite molekule. Kooperativne konformacijske promjene ovise o varijacijama u stabilnosti strukture različitih dijelova molekule proteina. 16

17 Kooperativno vezanje liganda možemo kvantitativno opisati Hillovi dijagrami vezanja kisika na mioglobin i hemoglobin Vezanje kisika s različitim Hillovim koeficijentima. Krivulja, gdje je n = 2,8 vjerno opisuje vezanje kisika na hemoglobin Za protein koji ima n veznih mjesta možemo pisati: [PL n ] P + nl PL n, pa je K a = [P][L] n Isto tako možemo izraziti stupanj zasićenja: [L] n Y [L] n Y = odnosno = [L] n + K n d 1 - Y K n d Ako ovaj izraz logaritmiramo dobivamo Hillovu jednadžbu: Y log ( ) = n (log[l] - log K d ) 1-Y Obzirom na ovaj izraz, n bi bio nagib pravca. Međutim, eksperimentalno određeni nagib ne odgovara broju mjesta vezanja, već n predstavlja stupanj interakcije između broja vezanih mjesta. U Hillovom dijagramu n označavamo kao n H, tj. kao Hillov koeficijent koji je mjera kooperativnosti. Ako je n H = 1, vezanje liganda nije kooperativno. Ako je n H >1, kooperativnost je pozitivna, a za n H <1, kooperativnost je negativna. Kada je n H = n, vezanje bi bilo u potpunosti kooperativno, sva vezna mjesta bi se simultano popunila i niti jedno drugo stanje osim vezanog liganda na proteinu ne bi postojalo. Kooperativnost se može objasniti s nekoliko modela Zajednički model. Sve molekule hemoglobina su ili u T ili u R stanju. Kako se veže kisik uvijek postoji ravnoteža između T i R stanja. Ravnoteža se pomiče od ravnotežnog stanja gdje je favorizirano T stanje, kada niti jedna molekula kisika nije vezana, do ravnotežnog stanja gdje je favorizirano R stanje kada je hemoglobin u potpunosti zasićen kisikom. Sekvencijski model. Vezanjem liganda na jednu podjedinicu dolazi do promjene konformacije podjedinice na koju se vezao kisik. Promjenom konformacije jedne podjedinice dolazi do promjena konformacija drugih podjedinica. Modeli predstavljaju idealizirane granične slučajeve koji se u stvarnosti mogu dogoditi, ali ta događanja su vrlo rijetka. 17

18 Vezanjem kisika mijenja se i konformacija hemoglobina Kooperativno vezanje kisika za hemoglobin Vezanje kisika uzrokuje promjene polažaja Fe 2+ obzirom na ravninu porfirinskog prstena hema kao i promjene konformacija bočnih aminokiselinskih ostataka i peptidne okosnice. Y Hemoglobin mora efikasno vezati kisik u plućima gdje je po 2 13,3 kpa (100 torr), a mora otpustiti kisik u tkivima gdje je po 2 oko 4 kpa (20 torr). Hemoglobin prelazi iz stanja gdje veže kisik slabim afinitetom (T stanje) u stanje gdje se kisik veže jakim afinitetom (R stanje). Do promjena stanja dolazi kako se što više kisika veže. Zbog toga je krivulja vezanja kisika na hemoglobin sigmoidna, a ne pravokutna hiperbola kao što je to npr. za mioglobin. Vezanjem kisika na jedan lanac mijenja se afinitet za vezanje kisika na drugim lancima (podjedinicama). Sigmoidna krivulja vezivanja prikazuje kooperativno vezivanje. 18

19 Osim što prenosi kisik, hemoglobin prenosi i H + i CO 2 Utjecaj ph na afinitet vezanja kisika. Snižavanjem ph dolazi do lakšeg otpuštanja O 2 s hemoglobina. Protoni se vežu na bočne ogranke aminokiselina i time se učvršćuju ionske veze. Ionske veze brojnije su u T stanju. CO 2 koji nastaje oksidacijama u mitohondrijima se hidratizira, a reakciju katalizira ugljikova anhidraza: CO 2 + H 2 O H 2 CO 3 H + + HCO 3 - Hemoglobin transportira oko 40% ukupne količine H + i oko 15 20% CO 2. Vezanje H + obratno je proporcionalno vezanju kisika što se događa kod relativno niskog ph i visoke CO 2 koncentracije kakve su u perifernom tkivu. Afinitet hemoglobina za kisik se smanjuje kako se H + i CO 2 vežu za hemoglobin, pa u perifernom tkivu dolazi do otpuštanja O 2 s hemoglobina. Obratno, u plućima gdje dolazi do otpuštanja CO 2 a time i do povećanja ph, kisik se bolje veže na hemoglobin pa se može ponovno transportirati u periferna tkiva. Efekt ph i koncentracije CO 2 na vezanje kisika nazivamo Bohrovim efektom. Vezanjem CO 2 na hemoglobin, afinitet vezanja kisika dodatno se smanjuje N-kraj Karbamat na N-kraju Vezanjem CO 2 nastaju negativno nabijene karbamatne skupine na N-krajevima lanaca pa to dodatno stabilizira T stanje jer dolazi do stvaranja ionskih veza. 19

20 Transport CO 2 od perifernih tkiva do pluća Većina CO 2 koji otpuštaju eritrociti transportira se do pluća kao HCO 3-. Najveći dio HCO 3- koji nastaje u eritrocitima iz eritrocita izbacuju stanični transporteri (pumpe) koji iz stanica izbacuju HCO 3-, a u eritrocite ubacuju Cl -. Ovim procesom dolazi do povećanja koncentracije HCO 3- u serumu, pa se na ovaj način većina CO 2 iz perifernih tkiva transportira do pluća. U plućima, obratan je proces: HCO 3- prelazi u CO 2 i CO 2 se izdiše. Hidratacija CO 2 u perifernim tkivima doprinosi da se snižava ph u eritrocitima što pogoduje oslobađanju kisika s hemoglobina u tim tkivima, a ujedno pretvorba CO 2 u ugljičnu kiselinu omogućava da se najveći dio CO 2 prenosi do pluća. Vezanjem 2,3-bisfosfoglicerata na hemoglobin dodatno se kontrolira (smanjuje) vezanje kisika primjer heterotropne alosteričke regulacije Koncentracija ovog aniona u zrelim eritrocitima jednaka je koncentraciji hemoglobina (~2 mol dm -3 ). 2,3-bisfosfoglicerat veže se u središnju šupljinu deoksihemoglobina gdje reagira s tri pozitivno nabijene skupine koje su na svakoj β podjedinici. U fetalnom hemoglobinu (α 2 γ 2 ), γ-lanci nemaju His143 jer su mutirani u Ser, te fetalni hemoglobin veže 2,3-bisfosfoglicerat samo pomoću dvije nabijene skupne (His2 i Lys82) koje su na svakoj podjedinici γ-lanca. 20

21 Fetalni hemoglobin ima veći afinitet za kisik nego majčin hemoglobin Fetalni hemoglobin slabije veže 2,3- bisfosfoglicerat, pa je afinitet vezanja kisika fetalnog hemoglobina veći nego što je to za majčin hemoglobin Mutacija u genu hemoglobina uzrokuje srpastu anemiju Srpasta anemija javlja se kad pojedinci nasljeđuju alele za srpasti hemoglobin od oba roditelja, tj. obje alele za β- podjedinicu hemoglobina su mutirane. Kad se srpasti hemoglobin (hemoglobin S) deoksigenira, on postaje netopljiv, za razliku od normalnog hemoglobina A. Srpasti hemoglobin nastaje zbog ugradnje aminokiseline Val umjesto Glu na poziciji 6 β podjedinice hemoglobina. Ugradnja ove hidrofobne aminokiseline razlog je da dolazi do promjene konformacija β podjedinica. 21

22 Prikaz interakcija dvije molekule deoksigeniranog srpastog hemoglobina (hemoglobin S) Interakcija između Val 6 na β podjedinici jedne molekule hemoglobina s hidrofobnim bočnim ograncima aminokiselina Phe 85 i Val 88 koje su na β podjedinici jedne druge molekule hemoglobina S dovodi do agregacije molekula. Val 6 ostaci koji su na površini druge β podjedinice sudjeluju u sličnim interakcijama. Phe 85 i Val 88 na površinu hemoglobina dolaze samo kada kod deoksi-hemoglobina (hemoglobina koji nema vezani kisik) Hidrofobnim interakcijama između hemoglobina S nastaju netopljivi agregati Netopljivi agregati hemoglobina S deformiraju oblik eritrocita. Broj srpastih eritrocita se povećava kako se krv deoksigenira. 22

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

HEMOGLOBIN FUNKCIJA I STRUKTURA

HEMOGLOBIN FUNKCIJA I STRUKTURA PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET Kemijski odsjek Studentica 3. godine Preddiplomskog sveučilišnog studija KEMIJA HEMOGLOBIN FUNKCIJA I STRUKTURA Rad je izraďen u Zavodu za opću i anorgansku kemiju Mentor

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Proteini i njihove trodimenzionalne strukture

Proteini i njihove trodimenzionalne strukture Proteini i njihove trodimenzionalne strukture Boris Mildner 1 Proteine izgrađuju dvadeset različitih aminokiselina Proteini su linearni polimeri a nastaju povezivanjem monomernih jedinica, koje nazivamo

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Sekundarne struktura proteina Fibrilni proteini

Sekundarne struktura proteina Fibrilni proteini Sekundarne struktura proteina Fibrilni proteini Nivoi strukture proteina (strukturna hijerarhija) proteina Nivoi strukture proteina Primarna struktura Sekundarna struktura Super-sekundarna struktura Tercijarnastruktura

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Osnove biokemije Enzimska kinetika. Boris Mildner. Kinetika proučava brzine reakcija

Osnove biokemije Enzimska kinetika. Boris Mildner. Kinetika proučava brzine reakcija Osnove biokemije Enzimska kinetika Boris Mildner Kinetika proučava brzine reakcija Za reakciju: A P Brzina reakcije v je: v = - d[a]/dt = d[p]/dt (1) pri čemu d označava smanjenje koncentracije supstrata,

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Rapaport-Lueberingov ciklus

Rapaport-Lueberingov ciklus HEMOGLOBIN Sinteza eritrocita Rapaport-Lueberingov ciklus 2,3 difosfoglicerat - uloga 2,3 DFG predstavlja najvažniji organski fosfat u eritrocitima. Stvara kompleks sa Hgb, i njegova koncentracija u

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Osnove biokemije Seminar 2

Osnove biokemije Seminar 2 Osnove biokemije Seminar 2 B. Mildner Rješenje zadaće 1.(zadaća od 4. 3. 2014) 1. D 11. C 2. C 12. B 3. B 13. C 4. B 14. B 5. C 15. D 6. D 16. A 7. A 17. C 8. B 18. D 9. D 19. A 10. C 20. C 1 1. Za vodu

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα