ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΓΑΠΗΤΟΣ Ν. ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΓΑΠΗΤΟΣ Ν. ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ"

Transcript

1 ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΓΑΠΗΤΟΣ Ν. ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2008

2 2

3 Περιεχόμενα 1 ΟΔιανυσματικόςΧώρος R ΗΓεωμετρίατουΕυκλείδιουΧώρου ΕσωτερικόκαιΔιανυσματικόΓινόμενο ΣυστήματαΣυντεταγμένων Βαθμωτά,ΔιανυσματικάκαιΤανυστικάΜεγέθη Παραγώγιση ΗΓεωμετρίατωνΠραγματικώνΣυναρτήσεων ΟριακαιΣυνέχεια Παραγώγιση ΚλίσηκαιΠαράγωγοικατάΚατεύθυνση Διανυσματικές Συναρτήσεις Καμπύλες,ΜήκοςΤόξου,ΔιανυσματικόΠεδίο ΣτροβιλισμόςκαιΑπόκλισηΔιανυσματικούΠεδίου Ολοκλήρωση ΕπικαμπύλιαΟλοκληρώματα ΕπιφανειακάΟλοκληρώματα ΤαΟλοκληρωτικάΘεωρήματατηςΔιανυσματικήςΑνάλυσης Συντηρητικάπεδία Το Κινούμενο Τρίεδρο-Οι Τύποι του F renet 49 6 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 53 7 Κωνικές Τομές 57 8 Βασικές Εννοιες ΜονάδεςΜήκους,Μάζας,ΧρόνουκαιΜολ ΑνάλυσηΔιαστάσεων ΣημαντικάΨηφία ΧώροςκαιΧρόνος ΚίνησησεμιακαιδύοΔιαστάσεις ΤαχύτητακαιΕπιτάχυνσησεμίαΔιάσταση ΟμαλάΕπιταχυνόμενηΚίνηση ΤαχύτητακαιΕπιτάχυνσησεδύοΔιαστάσεις ΣχετικήΤαχύτητακαιΕπιτάχυνσηστηΜεταφορικήΚίνηση Οι Νόμοι της Κίνησης Η ΕννοιατηςΔύναμης ΟιΝόμοιτουΝεύτωνα ΚίνησησεΕπιταχυνόμεναΣυστήματαΑναφοράς ΚίνησημετηνΠαρουσίαΔυνάμεωνπουΑντιστέκονταιστηνΚίνηση ΟιΘεμελειώδειςΔυνάμειςτηςΦύσης

4 4 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 11 Δυναμική Ενέργεια και Διατήρηση Ενέργειας Εργο Διατηρητικές(ήΣυντηρητικές)καιμηΔιατηρητικέςΔυνάμεις ΔιατήρησητηςΜηχανικήςΕνέργειας ΚεντρικέςΔυνάμεις ΜελέτηΚαμπύληςΔυναμικήςΕνέργειας Ταλαντώσεις ΟΑρμονικόςΤαλαντωτής ΟΑποσβενόμενοςΑρμονικόςΤαλαντωτής ΟΕξαναγκασμένοςΑρμονικόςΤαλαντωτής ΤοΑπλόΕκκρεμές ΤοΦυσικόΕκκρεμές Μελέτη Κίνησης σε Κεντρικό Δυναμικό Η Βαρυντική Ελξη ΟιΝόμοιτου Kepler ΤοΒαρυντικόΔυναμικό Η Μηχανική Συστήματος Σωμάτων ΚέντροΜάζας Στροφορμή,ΡοπήκαιΕνέργειαΣυστήματοςΣωμάτων ΜετασχηματισμόςτηςΣτροφορμήςκαιτηςΚινητικήςΕνέργειαςστοΚ.Μ Περιστροφή Στερεού Σώματος Γύρω από Σταθερό Άξονα ΣχέσειςΑνάμεσασεΓωνιακέςκαιΓραμμικέςΠοσότητες ΚινητικήΕνέργειαΠεριστροφής Ροπή ΣχέσηΑνάμεσαστηΡοπήκαιστηΓωνιακήΕπιτάχυνση ΤοΘεώρημα Εργου-ΕνέργειαςγιατηνΠεριστροφικήΚίνηση Κύλιση και Στροφορμή ΚύλισηΣτερεούΣώματος ΣτροφορμήΣυστήματοςΣωμάτων Μηχανική των Ρευστών Καταστάσειςτης Υλης ΜεταβολήτηςΠίεσηςΣυναρτήσειτουΒάθους ΗΆνωσηκαιηΑρχήτουΑρχιμήδη ΔυναμικήτωνΡευστών ΗΕξίσωσητου Bernoulli Σχετικότητα ΗΑρχήτηςΣχετικότητας ΣυγχρονισμόςΡολογιώνκαιΤαυτόχροναΓεγονότα ΗΣχετικότητατουΧρόνου ΗΣχετικότητατουΜήκους ΟΜετασχηματισμόςτου Lorentz ΟΜετασχηματισμόςΤαχυτήτωντου Lorentz ΗΣχετικιστικήΟρμήκαιΕνέργεια...166

5 Κατάλογος Σχημάτων 1.1 Γεωμετρικήκατασκευήτουαθροίσματοςδύοδιανυσμάτων Γεωμετρική κατασκευή του πολλαπλασιασμού διανύσματος με θετικό πραγματικό αριθμό Τοεμβαδόντουπαραλληλογράμμουμεπλευρές u, vισούταιμετομήκοςτουδιανύσματος u v Οόγκοςτουπαραλληλεππιπέδουισούταιμετοβαθμωτότριπλόγινόμενοτωνπλευρώντου Οισφαιρικέςσυντετγμένες (r,θ,φ) Οι γραμμές ροής του πρώτου διανυσματικού πεδίου είναι ομόκεντροι κύκλοι με αρχή που ταυτίζεται μετηναρχήτουσυστήματοςσυντεταγμένων Το δεύτερο διανυσματικό πεδίο έχει γραμμές ροής που παριστάνονται από μια οικογένεια υπερβολών Το τρίτο διανυσματικό πεδίο έχει γραμμές ροής που παριστάνονται από μια οικογένεια παραβολών Τογράφηματηςσυνάρτησης f(x,y) Ηκαμπύλη C = C 1 C Πόσοέργοδαπανάηποδηλάτισσαγιαναανέβειτοβουνόαυτό; Ηεπιφάνεια(4.32)παριστάνειέναελικοειδές Ηεπιφάνειαπουαποκόπτειοκώνοςαπότηνμοναδιαίασφαίρα Οκόλουροςκώνος Οκόλουροςκώνοςότανανοιχτείκατάμήκοςτηςγεννέτηράςτουστοεπίπεδο Τοδιανυσματικόπεδίοτωνκλίσεωντηςθερμοκρασίας Τοχωρίο Dείναιδακτύλιοςεσωτερικήςακτίνας 2καιεξωτερικής Ητομήτουκυλίνδρουμετοεπίπεδο Ηκατάτμήματακλάσεως C 1 καμπύλη C 1 C 2 C Τοκινούμενοτρίεδροτου Frenet Τομοναδιαίοεφαπτόμενοκαιτοπρώτοκάθετογιατονκύκλο Οκύκλος Ηέλλειψη Ηπαραβολή Ηυπερβολή Ηεστίακαιηδιευθετούσατηςπαραβολής Οιεστίεςτηςέλλειψης Οιεστίεςκαιοιασύμπτωτεςτηςυπερβολής Γραφική παράσταση θέσης- χρόνου για σώμα που κινείται στον άξονα x. Η κλίση του ευθύγραμμου τμήματος PQείναιημέσηταχύτητα vπουαντιστοιχείστοχρονικόδιάστημα t Τοβλήμαπρινκαιμετάτηνκρούσητουμετηνσανίδα Ηπαραβολικήτροχιάενόςβλήματοςπουεκτοξεύεταιμεταχύτητα v Κίνησηυλικούσημείουσεκυκλικήτροχιάαπότηνθέση Pστηθέση Q Δύο παρατηρητές περιγράφουν την κίνηση ένός σώματος που κάποια δεδομενή χρονική στιγμή βρίσκεταιστοσημείοp.τασυστήματααναφοράςs 1 καιs 2,ωςπροςταοποίαηρεμούνοιπαρατηρητές, κινούνταιμεσταθερήσχετικήταχύτητα u. Ηεπιβατικήακτίνατουσημείου P ωςπροςτο S 1 είναι r 1 ενώωςπροςτο S 2 είναι r Κίνησηβάρκαςσεποταμό Σύστημαδύομαζώνπουσυνδέονταιμενήματακαιβρίσκεταισεισορροπία

6 6 ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ 10.2 Οιδυνάμειςπουασκούνταισεσώμαπουηρεμείπάνωσετραπέζι Οι δυνάμεις που ασκούνται σε τρία σώματα διαφορετικής μάζας που βρίσκονται σε επαφή και κινούνται υπότηνεπίδρασησταθερήςδύναμηςσεοριζόντιοεπίπεδο Ηδύναμητριβήςανάμεσασεένασώμακαιμιατραχιάεπιφάνεια Δυνάμεις που ασκούνται σε σώμα που κινείται ολισθαίνοντας σε περιστρεφόμενο ημισφαίριο ακτίνας R Οιδυνάμειςπουασκούνταισεχάντραπουπεριστρέφεταιμαζίμετηνστεφάνη Οιδυνάμειςπουασκούνταισεσώμαπουκινείταισερευστόπουηρεμεί Απλή,κλειστήκαιπροσανατολισμένηκαμπύλη Οιαπλέςκαιαντίθεταπροσανατολισμένεςκαμπύλες C 1 και C 2 ενώνουντασημεία Qκαι P Καμπύλεςολοκλήρωσηςπουσυνδέουντασημεία Aκαι B Ητροχιάπουακολουθείτοβαγόνι Ητροχιάπουακολουθείτοσώμα Ηελλειπτικήτροχιάπουδιαγραφείτοκινούμενοσώμα Η καμπύλη δυναμικής ενέργειας και ενεργειακές στάθμες για τις οποίες η κίνηση του σωματίου είναι φραγμένηήμηφραγμένη Ηδυναμικήενέργειασασυνάρτησειτηςαπόστασηςγιαδιατομικόμόριο Ηαπλήαρμονικήταλάντωσησώματοςπουπροσδένεταιστοάκροοριζόντιουελατηρίου Οικαμπύλεςδυναμικήςκαικινητικήςενέργειαςγιατοναπλόαρμονικόταλαντωτή Ηενσειράκαι παράλληλη συνδεσμολογίαελατηρίωνμεσώμαμάζας m Ημετατόπισητουσώματοςσανσυνάρτησητουχρόνουότανστοσώμαασκείταιηδύναμητης αντίστασηςτουμέσου Οιδυνάμειςπουασκούνταισεσώμαπουταλαντώνεταισερευστόμεγάλουιξώδους Ηγραφικήπαράστασητηςτροχιάςτουσώματος Τοαπλόεκκρεμές Τοσύστημαεκκρεμές-ελατήριοτοοποίοταλαντώνεται Τοφυσικόεκκρεμέςπεριστρέφεταιγύρωαπότοσημείο Oπουδενταυτίζεταιμετοκέντρομάζας τουστερεούσώματος Ηέλλειψημετημιαεστίατηςκαιτηνδιευθετούσα Η κόκκινη καμπύλη αναπαριστά την τροχιά του σώματος. Από το πεδίο ορισμού της γωνίας θ αφαιρούμεταδιαστήματα ( π 4, 3π 4 )και (5π 4, 7π 4 )σταοποίατοσυνημίτονολαμβάνειαρνητικέςτιμές Υπολογισμόςτηςέντασηςτουβαρυντικούπεδίουπουοφείλεταισεομογενήράβδο Η βαρυντική δύναμη που ασκείται από ομοιόμορφη σφαιρική επιφανειακή πυκνότητα μάζας σε σημειακόσώμαμάζας m Τοκέντρομάζαςδιακριτήςκατανομήςμάζας Πειραματικόςπροσδιορισμόςτουκέντρουμάζαςστερεούσώματος Τοαδρανειακόσύστημα O ηρεμείωςπροςκέντρομάζαςτουστερεούσώματοςπουκινείταιμε σταθερήσχετικήταχύτηταωςπροςτοσύστημα Oτουεργαστηρίου Προσδιορισμός του κέντρου μάζας ορθογώνιου τριγώνου με δεδομένη επιφανειακή πυκνότητα Ομογενήςκυκλικόςκώνοςμετηνκορυφήτουστον z-άξονα Τοστερεόσώμακυκλικόςκώνος-ημισφαίριο Τοέναάκροτουσκοινιούείναισταθεράδεμένοστονκύλινδροενώτοδεύτεροελεύθερο Το σύστημα των δύο σωμάτων περιστρέφεται γύρω από τη μικρότερη μάζα και ακολούθως αφήνεται ελεύθερο Επίπεδο στερεό σώμα περιστρεφόμενο γύρω από άξονα παράλληλο προς τον άξονα που διέρχεται απότοκ.μ Στερεό σώμα περιστρεφομένο γύρω από άξονα κάτω από την επίδραση εξωτερικής δύναμης Υλικό σημείο περιστρεφομένο σε κυκλική τροχιά κάτω από την επίδραση εφαπτομενικής δύναμης Κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από τον άξονα του κάτω από την επίδραση σωμάτων που συνδέονται μενήματατυλιγμένασεαυτόν Στερόσώμαπεριστρεφομένογύρωαπόσημείοκάτωαπότηνεπίδρασηεξωτερικήςδύναμης...143

7 ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ Κύλινδροςκυλίεταισεεπίπεδηεπιφάνεια Κύλινδροςπεριστρέφεταιγύρωαπόάξοναπρινκαιμετάτηνεπαφήτουμεοριζόντιοεπίπεδο Οδίσκοςπεριστρέφεταικαθώςκινείταιπροςτακάτω Επίπεδοςδίσκοςπεριστρέφεταιγύρωαπότονσταθερό z-άξονα Ιδεατόςκύλινδροςυγρούσεδοχείομερευστόπουηρεμεί Τοσύστημακαλώδιο-σώμαβυθισμένοσεδοχείομευγρό Ηροήτουνερούαπότοστόμιοβρύσης Σωλήναςμεταβλητήςδιατομήςπουδιαρρέεταιαπόρευστό Η πλάκα ισορροπεί λόγω της δυναμικής άνωσης που δημιουργείται από ρεύμα αέρα στην πάνω της επιφάνεια Εκροήρευστούαπόοπήδοχείου Αδρανειακάσυστήματααναφοράςπουκινούνταιμεσταθερήσχετικήταχύτητα Ιδεατόπείραμαγιατηνέννοιατουταυτόχρονου Συσκευή λέϊζερ εκπέμπει ακτίνα προς τη οροφή κινούμενου οχήματος και ανακλάται από καθρέφτη. Η κόκκινη καμπύλη αναπαριστά την πορεία της ακτίνας όπως την περιγράφει παρατηρητής που ηρεμεί μετοόχημα Ηκαινούργιαπορείατηςακτίναςόπωςπεριγράφεταιαπόπαρατηρητήπουηρεμείμετοέδαφος Συστολή μόνο της ακμής του κύβου που είναι παράλληλη με την διεύθυνση της σχετικής ταχύτητας Το μήκος της ράβδου όπως αυτό μετράται σε αδρανειακά συστήματα που βρίσκονται σε σχετική κίνηση Ακτίναφωτόςπουδιέρχεταιμέσααπόστήληνερούπουκινείταιμεσταθερήσχετικήταχύτητα...166

8 8 ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ

9 Κατάλογος Πινάκων 6.1 Τα γραμμικά ανεξάρτητα σύνολα συναρτήσεων για συγκεκριμένους μη ομογενής όρους Οικωνικέςτομέςμετιςαντίστοιχεςτιμέςεκκεντρότητας ǫκαι s

10 Μέρος Ι Μαθηματικό Παράρτημα

11 Κεφάλαιο 1 ΟΔιανυσματικόςΧώρος R 3 Στη φύση υπάρχουν δύο απλές κατηγορίες μεγεθών: 1. Τα μονόμετρα τα οποία προσδιορίζονται πλήρως από την αριθμητική τους τιμή και την μονάδα μέτρησης 2. Τα διανυσματικά τα οποία χρειάζονται επιπλέον και προσανατολισμό. Παραδείγματα μονόμετρων μεγεθών αποτελούν η μάζα, η θερμοκρασία, η ενέργεια, το μήκος κύματος ενώ διανυσματικά είναι η θέση, η ορμή, η επιτάχυνση, οι δυνάμεις και η στροφορμή. Τα διανυσματικά μεγέθη δεν παραμένουν αναλλοίωτα κάτω από στροφές του συστήματος συντεταγμένων. 1.1 Η Γεωμετρία του Ευκλείδιου Χώρου ΟμαθηματικόςχώροςμελέτηςτωνφαινομένωντηςΚλασικήςΜηχανικήςείναιοδιανυσματικόςχώρος V = R 3 πάνω στο σώμα των πραγματικών αριθμών K = R. Μελετάμε τη δομή του χώρου αυτού παραθέτοντας τους ορισμούς βασικών εννοιών με στόχο την πληρέστερη κατανόηση των φυσικών μεγεθών από τον αναγνώστη. Ορισμός Σώμα είναι ένα σύνολο K εφοδιασμένο με δύο πράξεις, την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό οι οποίες ικανοποιούν τα αξιώματα σώματος 1. Αξιώματα της πρόσθεσης. (α1) Εάν α,β Kτότε (α+β) K. (α2) Ηπρόσθεσηείναιμεταθετική: α+β = β +α, α,β K. (α3) Ηπρόσθεσηείναιπροσεταιριστική: (α+β)+γ = α+(β +γ), α,β,γ K. (α4) ΤοΚπεριέχειέναστοιχείοτο0,τέτοιοώστε 0+α = α, α K. (α5) Σεκάθεστοιχείο α Kαντιστοιχείέναστοιχείο ( α) Kτέτοιοώστε α+( α) = Αξιώματα του πολλαπλασιασμού. (β1) Εάν α,β Kτότετο (α β) K. (β2) Οπολλαπλασιασμόςείναιμεταθετικός: α β = β α (β3) Οπολλαπλασιασμόςείναιπροσεταιριστικός: (α β) γ = α (β γ) (β4) ΤοΚπεριέχειέναστοιχείοτο1με 1 0τέτοιοώστε 1 α = α, α K. (β5) Σεκάθε α Kμε α 0αντιστοιχίζεταιέναστοιχείο 1 α Kτέτοιοώστε α( 1 α) = Επιμεριστικός νόμος (γ1)γιαοποιαδήποτε α,β,γ Kισχύειότι α (β +γ) = α β +α γ. Ορισμός Ενα μη κενό σύνολο V πάνω στο σώμα K θα ονομάζεται διανυσματικός ή γραμμικός χώρος και θα συμβολίζεται με V(K), εάν ικανοποιούνται τα ακόλουθα αξιώματα: 11

12 12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 1.Οποιαδήποτεδύοστοιχεία x,y V μοναδικάκαθορίζουνένατρίτοστοιχείοτο (x+y) V πουονομάζεται άθροισμα των x, y. Αυτό το στοιχείο ικανοποιεί: (α x+y = y +x(μεταθετικότητα). (β) (x+y)+z = x+(y +z)(προσεταιριστικότητα). (γ) Υπάρχειτοστοιχείο 0 V πουονομάζεταιμηδενικόστοιχείοκαιέχειτηνιδιότητα x+0 = x, x V. (δ) Γιακάθεστοιχείο x V υπάρχειτοστοιχείο ( x) V,πουονομάζεταιαρνητικόήαντίθετοτου xκαι έχειτηνιδιότητα x+( x) = 0. 2.Γιαοποιαδήποτε α K, x V μοναδικάκαθορίζεταιτοστοιχείο (α x) V τοοποίοονομάζεταιγινόμενο των ακαι x.αυτότοστοιχείοικανοποιεί: (α) α (β x) = (α β) x. (β) 1 x = x. 3. Οι πράξεις του πολλαπλασιασμού και της πρόσθεσης ικανοποιούν τους νόμους (α) (α+β) x = α x+β x. (β) α (x+y) = α x+α y. Οταντοσώμα K = Cτότεμιλάμεγιαμιγαδικόδιανυσματικόχώροτονοποίοθασυμβολίζουμεμε V(C). Παράδειγμα Η ευθεία των πραγματικών αριθμών με τις συνήθεις αριθμητικές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού είναι ένας γραμμικός χώρος. Παράδειγμα1.1.4 Ο n-διάστατοςδιανυσματικόςχώρος R n ή C n. Αποτελείταιαπότιςδιατεταγμένες n-άδες (x 1,x 2,,x n ) 1 πραγματικώνήμιγαδικώναριθμώνμετιςπράξειςτηςπρόσθεσηςκαιτουπολλαπλασιασμούνα ορίζονται από τις σχέσεις (x 1,x 2,,x n )+(y 1,y 2,,y n ) = (x 1 +y 1,x 2 +y 2,,x n +y n ) α (x 1,x 2,,x n ) = (α x 1,α x 2,,α x n ). (1.1) Παράδειγμα Το σύνολο των συνεχών πραγματικών ή μιγαδικών συναρτήσεων στο διάστημα [a, b] με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης συναρτήσεων και του πολλαπλασιασμού συναρτήσεων με αριθμούς. Ο χώρος C [a,b] είναιέναςγραμμικόςχώρος. Τα διανύσματα έχουν τρία βασικά χαρακτηριστικά: προσανατολισμό, φορέα και μήκος. Ο προσανατολισμός ενός ευθύγραμμου τμήματος καθορίζεται εάν διατάξουμε τα άκρα του, δηλαδή ορίσουμε ποια είναι η αρχή και ποιο το πέρας του. Κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα βρίσκεται πάνω σε μοναδική ευθεία που ονομάζεται φορέας του ευθύγραμμου τμήματος. Το μήκος ενός διανύσματος είναι η απόσταση του πέρατος από την αρχή του διανύσματος. Στο σύνολο B των προσανατολισμένων ευθύγραμμων τμημάτων μπορούμε να ορίσουμε μία σχέση ισοδυναμίας(ικανοποιείτηνανακλαστική(ab BA),συμμετρική(AB CD CD AB)καιμεταβατική ιδιότητα(εάν AB CDκαι CD EFτότε AB EF)σύμφωναμετηνοποία AB CDεάν (1)Τα AB,CDέχουντονίδιοφορέα. (2)Τα AB,CDέχουντηνίδιαφορά. (3)Τοίδιομήκος. Η σχέση ισοδυναμίας διαμερίζει το σύνολο B σε κλάσεις ισοδυναμίας που κάθε μία ονομάζεται διάνυσμα. Ετσι ορίζουμε σαν διάνυσμα το OA = {OB B : OA OB}. (1.2) Θεωρούμετώραέναορθογώνιοσύστημασυντεταγμένωνμεαρχήτο 0καιορθοκανονικήβάση ê 1,ê 2,ê 3. Σε κάθεστοιχείο(ήσημείοήδιάνυσμα)του R 3 μπορούμενααντιστοιχίσουμεμίακαιμόνομίαδιατεταγμένητριάδα 1 Μετονόροδιατεταγμένη n-άδαεννοούμεότιτα (x 1,x 2,,x n)και (x 2,x 1,,x n)αντιστοιχούνσεδιαφορετικάσημείατου R n όταν x 1 x 2.

13 1.2. ΕΣΩΤΕΡΙΚ ΟΚΑΙΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΓΙΝ ΟΜΕΝΟ 13 πραγματικών αριθμών (x, y, z), που ονομάζονται συντεταγμένες του σημείου, και αντίστροφα, σε κάθε τριάδα μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα και μόνο ένα σημείο του χώρου. Ηπρόσθεσηδύοστοιχείωντου R 3 ορίζεταιαπότηνσχέση (x 1,y 1,z 1 )+(x 2,y 2,z 2 ) = (x 1 +x 2,y 1 +y 2,z 1 +z 2 ). (1.3) Τοδιανυσματικόάθροισμα r 1 + r 2 γεωμετρικάκατασκευάζεταιεάνπρώταμετατοπίσουμετοπροσανατολισμένο ευθύγραμμοτμήμα r 2 παράλληλαμετοναρχικότουφορέακαιστηνσυνέχειαταυτίσουμετηναρχήτουμετοπέρας τουδιανύσματος r 1.Τοπέραςτουνέουπροσανατολισμένουευθύγραμμουτμήματοςείναιτοπέραςτουδιανύσματος r 1 + r 2.Τοβαθμωτόγινόμενομεπραγματικόαριθμόορίζεταιμέσωτης r 2 r 1 + r 2 r 2 r 1 Σχήμα 1.1: Γεωμετρική κατασκευή του αθροίσματος δύο διανυσμάτων. λ(x,y,z) = (λx,λy,λz). (1.4) Η γεωμετρική κατασκευή του βαθμωτού πολλαπλασιασμού διανυσμάτων είναι η εξής: Αν λ R τότε το διάνυσμα λ rέχειτονίδιοφορέαμετο r,μήκος λ r καιφοράτηνίδιαμετο rεάν λ > 0ήαντίθετηαν λ < 0. r λ r, λ R + Σχήμα 1.2: Γεωμετρική κατασκευή του πολλαπλασιασμού διανύσματος με θετικό πραγματικό αριθμό. Ορισμός Δύο διανύσματα θα είναι ίσα αν ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναμίας. Αλγεβρικά εκφράζουμε αυτή την συνθήκη ως r 1 = r 2 x 1 = x 2 και y 1 = y 2 και z 1 = z 2. (1.5) 1.2 Εσωτερικό και Διανυσματικό Γινόμενο Τα μονόμετρα(ή βαθμωτά) μεγέθη μπορούν να περιγραφούν αυτόνομα, συναρτήσει άλλων βαθμωτών(όπως η πυκνότητα) ή διανυσματικών μεγεθών που συνδέονται με κάποια πράξη. Στην παρούσα ενότητα θα ορίσουμε τις πράξεις αυτές όπως επίσης και το μήκος(ή νόρμα) ενός διανύσματος. Ορισμός1.2.1 Εστωογραμμικόςχώρος R 3 πάνωστοσώματωνπραγματικώναριθμών. Εναεσωτερικό γινόμενοστον R 3 είναιμίααπεικόνιση για την οποία ισχύουν (i)το < x,x >είναιαυστηράθετικό x R 3 <, >: R 3 R 3 R (1.6)

14 14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 (ii) < x,x >= 0 x = 0 (iii) < x,y >=< y,x >(συμμετρικό) (iv) < x,λ 1 y 1 +λ 2 y 2 >= λ 1 < x,y 1 > +λ 2 < x,y 2 >, λ 1,λ 2 R. Άλλοιισοδύναμοιτρόποιγραφήςτουεσωτερικούγινομένουείναι < x,y >= (x,y) = x y. Ορισμός Ενας γραμμικός χώρος εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο ονομάζεται χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Ορισμός Η απεικόνιση όπου x = < x,x >είναινόρμαστον R 3 δηλαδήικανοποιεί (i) x+y x + y (τριγωνικήανισότητα) (ii) λx = λ x (θετικάομογενής) (iii) x > 0, x R 3 {0}και x = 0 x = 0 x,y R 3, λ R. : R 3 R + (1.7) Ορισμός1.2.4 Οδιανυσματικόςχώρος R 3 με εσωτερικόγινόμενο x y = 3 i=1 x iy i καινόρμα x = 3 i=1 x2 i ονομάζεταιευκλείδιοςχώρος. Πόρισμα Για οποιαδήποτε δύο στοιχεία του Ευκλείδιου χώρου ισχύει η ανισότητα των Cauchy Schwarz x y x y. (1.8) Θεώρημα1.2.6 Εστω x, y R 3 και 0 θ πηγωνίαπουσχηματίζουνόταντοποθετηθούναρχήμεαρχήή πέρας με πέρας. Τότε x y = x y cosθ. (1.9) Παρατηρήστεότιηέκφρασηαυτήείναιανεξάρτητηαπότοσύστημασυντεταγμένων. Επίσηςόταν x y = 0τότε το xείναικάθετοήορθογώνιοτου y(μετηνπροϋπόθεσηότικανένααπόταδύοδιανύσματαδενείναιμηδέν). ( ) y y Τοεσωτερικόγινόμενομπορείναγραφείισοδύναμασαν x y = y x y όπουοόρος x y εκφράζειτην προβολήτουδιανύσματος xστηνκατεύθυνσητουμοναδιαίουδιανύσματος y y. Παράδειγμα Στη Φυσική η δύναμη και η τροχιά είναι προσανατολισμένες ποσότητες. Το έργο που παράγεται κατά την κίνηση ενός σώματος κατά μήκος της τροχιάς C και κάτω από την επίδραση εξωτερικής δύναμης Fδίνεταιαπότοεπικαμπύλιοολοκλήρωμα W = F d s. (1.10) C Εάν η δύναμη είναι κάθετη στη μετατόπιση τότε δεν παράγεται έργο. Παράδειγμα αποτελεί η δύναμη που ασκείται σε κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Παράδειγμα Η ηλεκτρική πυκνότητα ενέργειας είναι ανάλογη του εσωτερικού γινομένου της ηλεκτρικής έντασης με την ηλεκτρική μετατόπιση u = 1 8π E D. (1.11) Για να περιγράψουμε μαθηματικά τα φυσικά φαινόμενα χρειαζόμαστε ένα σύστημα συντεταγμένων(και άρα βάση) ως πρός το οποίο θα γίνουν οι υπολογισμοί. Δίνουμε την έννοια του ορθοκανονικού συστήματος.

15 1.2. ΕΣΩΤΕΡΙΚ ΟΚΑΙΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΓΙΝ ΟΜΕΝΟ 15 Ορισμός1.2.9 Ενασύνολομημηδενικώνδιανυσμάτων { e i, i I}θαλέγεταιορθοκανονικόεάν ( e i, e j ) = δ ij = { 0 για i j 1 για i = j. (1.12) Εάντα { x i, i I}αποτελούνορθογώνιοσύστηματότετα { xi x i, i I}αποτελούνορθοκανονικόσύστημα. Θεώρημα Ταδιανύσματαενόςορθοκανονικούσυστήματοςείναιγραμμικάανεξάρτητα 2. Ενα ορθογώνιο σύστημα k-διανυσμάτων θα αποτελεί ορθογώνια βάση εάν είναι πλήρης δηλαδή εάν ο μικρότερος κλειστόςυπόχωροςπουπεριέχειτοορθογώνιοσύστημαείναιόλοςοχώροςr 3 ήόταντοσύνολοτωνk-διανυσμάτων είναι ανεξάρτητο και δεν περιέχει κανένα ανεξάρτητο υποσύνολο k + 1-διανυσμάτων. Συνήθωςστον R 3 συμβολίζουμεμε i = e 1 = e x = ê x = (1,0,0), j = e 2 = e y = ê y = (0,1,0), k = e3 = e z = ê z = (0,0,1). (1.13) Μεβάσητονορισμότηςπρόσθεσηςκαιτουαριθμητικούπολλαπλασιασμούβρίσκουμεότιαν r = (x,y,z)τότε r = x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1) = x i+y j +z k. (1.14) Τα i, j, kονομάζονταιδιανύσματατηςκανονικήςβάσηςτου R 3 ήκαρτεσιανήβάσητου R 3 καιικανοποιούντις σχέσεις: i 2 = j 2 = k 2 = 1και i j = j k = k i = 0. (1.15) Ορισμός Εστω u = u 1 i+u 2 j +u 3 k, v = v1 i+v 2 j +v 3 k R 3.Ορίζουμεδιανυσματικόγινόμενοτων u, vκαιτοσυμβολίζουμεμε u vτοδιάνυσμα ή χρησιμοποιώντας τον μνημονικό κανόνα u v = u 2 u 3 v 2 v 3 i u 1 u 3 v 1 v 3 j + u 1 u 2 v 1 v 2 k = u v sinθ n (1.16) u v = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3. (1.17) Επίσηςτο n = u v u v είναιμοναδιαίοκαικάθετοστοεπίπεδοπουπαράγεταιαπότα u, v. Ηκατεύθυνσητου διανύσματος u v είναι αυτή που καθορίζεται από τον κανόνα της δεξιάς χειρός. Από τον ορισμό συμπεραίνουμε ότι το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων σε παράλληλους φορείς είναι το μηδενικό διάνυσμα u v = 0. Λήμμα Το διανυσματικό γινόμενο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες (α) u v = ( v u)(αντιμεταθετική). (β) u (λ v +µ w) = λ( u v)+µ( u+ w)(προσεταιριστική) (γ) ( u v) w u ( v w)(μηεπιμεριστική). Απόδειξη: 2 Τοσύνολοτωνδιανυσμάτων { x 1,, x k } R n ονομάζεταιγραμμικάανεξάρτητοεάνκαιμόνοεάνησχέση συνεπάγεταιότι c 1 = = c k = 0 c 1 x 1 + c k x k = 0, c i R

16 16 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 (1)Χρησιμοποιώνταςτηνπυκνότητα Levi Civita 3 έχουμε ( u v) i = = = 3 i,j,k=1 3 i,j,k=1 3 i,j,k=1 ǫ ijk u j v k ǫ ikj u j v k, λόγωαντισυμμετρικότηταςτου ǫ ijk ǫ ijk v j u k, αλλάζουμετηνονομασίατωνδεικτών = ( v u) i. (1.18) (2) Εστωδιάνυσμα uκάθετοστα v, w,δηλαδή u v = u w = 0.Τότεθαισχύειησχέση u ( v+ w) = u v+ u w. Αναλύουμε τα διανύσματα v, w σε δύο συνιστώσες μία παράλληλη και μία κάθετη στη διεύθυνση του u. Οπότε (3) Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα έχουμε και u ( v + w) = u ( v + w) + u ( v + w) [( u v) w] i = = u ( v + w), γιατίτο u ( v + w) = u v + u w, λόγωτηςαρχικήςπαρατήρησης = u v + u w (1.19) ǫ ijk ǫ ilm = δ jl δ km δ jm δ kl (1.20) = 3 j,k=1 ǫ ijk ( u v) j w k = 3 j,k=1l,m=1 3 3 j,k=1 l,m=1 3 (δ il δ km δ im δ kl )u l v m w k ǫ ijk ǫ jlm u l v m w k = v i ( u w) u i ( v w) (1.21) [ u ( v w)] i = v i ( u w) w i ( v u). (1.22) Πόρισμα Η γεωμετρική ερμηνεία της νόρμας του διανυσματικού γινομένου είναι ότι παριστάνει το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με πλευρές u, v. Απόδειξη: Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με βάση το u είναι S = u h = u v cosθ = u v (1.23) 3 Θαμπορούσαμε ναγράψουμε τιςσυνιστώσες τουδιανυσματικού γινομένουχρησιμοποιώντας τηνπυκνότητα (ήσύμβολοτων) Levi Civita, ǫ ijk,πουορίζεταιαπότην ǫ ijk = +1 εάντα i,j,kείναιάρτιαμετάθεσητων1,2,3 1 εάντα i,j,kείναιπεριττήμετάθεσητων1,2,3 0 διαφορετικά. Ετσι όπου επαναλαμβανόμενοι δείκτες αθροίζονται. ( u v) i = ǫ ijk u j v k

17 1.2. ΕΣΩΤΕΡΙΚ ΟΚΑΙΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΓΙΝ ΟΜΕΝΟ 17 v θ h u Σχήμα1.3:Τοεμβαδόντουπαραλληλογράμμουμεπλευρές u, vισούταιμετομήκοςτουδιανύσματος u v. Ταδιανύσματα i, j, kσχηματίζουνμίαδεξιόστροφηβάσηκαιικανοποιούντιςσχέσεις i i = j j = k k = 0 i j = k j k = i k i = j. (1.24) Διανύσματα που προκύπτουν από διανυσματικό γινόμενο δεν είναι πραγματικά(ή πολικά) διανύσματα. Για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτό τον ισχυρισμό θα μελετήσουμε τα είδη των μετασχηματισμών. Οι μετασχηματισμοί διακρίνονται σε δύο κατηγορίες(μαθηματικά ισοδύναμοι): (i) Παθητικοί όταν δρούν στο σύστημα συντεταγμένων και όχι στο φυσικό σύστημα(ή τα παρατηρήσιμα μεγέθη). (ii) Ενεργητικοί όταν δρούν στο φυσικό σύστημα ενώ το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται παραμένει αμετάβλητο. Παρατήρηση Δεν μετασχηματίζουμε και το σύστημα συντεταγμένων και το φυσικό σύστημα γιατί τότε δεν θα παρατηρούσαμε κάποια αλλαγή. Παράδειγμα Θεωρούμε το διάνυσμα θέσεως ενός σωματιδίου στο επίπεδο σαν το φυσικό μας σύστημα και συμβολίζουμε με A τον πίνακα μετασχηματισμού που παριστάνει στροφή ενός Καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένωνσεέναάλλοκατάγωνία θ. Τότεγράφουμε ( r) = A rεάνομετασχηματισμόςείναιπαθητικόςκαι εννοούμε ότι το διάνυσμα θέσεως παραμένει αμετάβλητο ενώ ο A δρά στο σύστημα συντεταγμένων(έστω κατά φοράαντίθετητηςκίνησηςτωνδεικτώντουρολογιού). Γιαενεργητικόμετασχηματισμόγράφουμε r = A rκαι εννοούμεότιοaδράστοδιάνυσμαθέσεως(κατάτηφοράκίνησηςτωνδεικτώντουρολογού)ενώτοσύστημα συντεταγμένων παραμένει το ίδιο. Θεωρούμε τον ενεργητικό μετασχηματισμό r i = S ijr j = δ ij r j = r i, i,j = 1,2,3 (1.25) που αντιπροσωπεύει τρισδιάστατη ανάκλαση του διανύσματος θέσεως(το φυσικό σύστημα) ως πρός την αρχή του συστήματοςσυντεταγμένων.επειδήοsέχειορίζουσα 1οαντίστοιχοςορθογώνιοςμετασχηματισμός(S = S 1 ) ονομάζεται μη κανονικός. Ολεςοισυνιστώσεςενόςπραγματικού(ήπολικού)διανύσματος r R 3 αλλάζουνπρόσημοσύμφωναμετην (1.25). Οισυνιστώσεςόμωςτουεξωτερικούγινομένουδεναλλάζουνπρόσημογιατί (S u) (S v) = u vαφού S 2 = I. Ενατέτοιομέγεθοςπουδεναντιστρέφειτηνκατεύθυνσήτουκάτωαπόμηκανονικόμετασχηματισμό ονομάζεται axial ή ψευδοδιάνυσμα. Εάν ο μετασχηματισμός ήταν παθητικός τότε θα θεωρούσαμε ανάκλαση του συστήματος συντεταγμένων ως πρός την αρχή ενώ το διάνυσμα θέσεως r θα παρέμενε αμετακίνητο. Οι συντεταγμένες του διανύσματος θέσεως ως πρός το νέο σύστημα θα άλλαζαν πάλι πρόσημο. Παρατηρήστε ότι ο μετασχηματισμός αυτός αλλάζει το αρχικό δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων σε αριστερόστροφο. Άρα το διανυσματικό γινόμενο αλλάζει κατεύθυνση στην περίπτωση αυτή. Ο διαχωρισμός μεταξύ ενός πραγματικού διανύσματος και ενός ψευδοδιανύσματος μπορεί επίσης να γίνει χρησιμοποιώντας ανάκλαση ως πρός επίπεδο. Σύμφωνα με την ενεργητική ερμηνεία του μετασχηματισμού κρατούμε τους άξονες σταθερούς και ανακλούμε το r έστω στο xy-επίπεδο οπότε r r = (x,y, z). (1.26) Θεωρούμε κλειστή καμπύλη παράλληλη με το yz-επίπεδο που διαρρέεται από ρεύμα αντίθετα της φοράς κίνησης των δεικτώντουρολογιού.ημαγνητικήροπήδίνεταιαπότην µ = I 2c r d lκαιέχειτηνθετική x-κατεύθυνση.κάτω

18 18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 απότονμετασχηματισμό(1.25)ηκλειστήκαμπύληαλλάζειπροσανατολισμόκαι µ = ( µ x,0,0).παρόμοιαεάνη καμπύληήτανπαραλληληστο xzή xy-επίπεδοθαβρίσκαμε µ = (0, µ y,0)και µ = (0,0,µ z )αντίστοιχα.οπότε γιααυθαίρετηκατεύθυνσηημαγνητικήροπήθαμετασχηματιζότανσαν µ = ( µ x, µ y,µ z ). Εναψευδοδιάνυσμα μετασχηματίζεται σύμφωνα με την P i = (deta)a ijp j, (A ij ) = (1.27) Στην φύση δεν υπάρχει διαχωρισμός μεταξύ δεξιόστροφου και αριστερόστροφου συστήματος συντεταγμένων εκτός από την ακτινοβολία βήτα. Ετσι η ισότητα διανυσμάτων θα αναφέρεται σε δύο πολικά ή δύο ψευδοδιανύσματα. Φυσικά μεγέθη που μπορούν να παρασταθούν με διανυσματικό γινόμενο είναι η στροφορμή ενός σωματιδίου ωςπροςένασημείο L = r p,ηροπήδύναμηςωςπρόςσημείο N = r F,ηδύναμη Lorentzπουασκείταισε ένασημειακόφορτίουπότηνπαρουσίαμαγμητικούπεδίου F L = q v B. Υπάρχουνεπίσηςδιανυσματικάμεγέθη που γράφονται σαν άθροισμα ενός πραγματικού διανύσματος και ενός ψευδοδιανύσματος. Παράδειγμα αποτελεί η δύναμηπουασκείταισεφορτισμένοσωματίδιοπουκινείταισεηλεκτρομαγνητικόπεδίο F = q E + F L Ορισμός Εάνδοθούντρίαδιανύσματα u, v, w R 3 οπραγματικόςαριθμός u 1 u 2 u 3 [ u, v, w] = u ( v w) = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 (1.28) ονομάζεται βαθμωτό τριπλό γινόμενο των u, v, w. Το εσωτερικό γινόμενο ενός πραγματικού διανύσματος με ένα ψευδοδιάνυσμα ονομάζεται ψευδοβαθμωτό γινόμενο γιατί αλλάζει πρόσημο κάτω από μη κανονική στροφή. Πόρισμα Η απόλυτη τιμή του τριπλού γινομένου γεωμετρικά παριστάνει τον όγκο του παραλληλεπιπέδου (πουισούταιμετοεμβαδόνβάσηςεπίτοκάθετούψος)μεπλευρές u, v, w. Απόδειξη: Ο όγκος του παραλληλεπιπέδου με βάση το παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές τα v, w δίνεται από την u π 2 θ w v Σχήμα 1.4: Ο όγκος του παραλληλεππιπέδου ισούται με το βαθμωτό τριπλό γινόμενο των πλευρών του. σχέση ( π ) V = hs = h v w = u v w sin 2 θ = u v w cos θ. (1.29) Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι τρία διανύσματα γραμμικά ανεξάρτητα είναι Λήμμα Το τριπλό βαθμωτό γινόμενο έχει τις εξής ιδιότητες: [ u, v, w] 0 (1.30)

19 1.3. ΣΥΣΤ ΗΜΑΤΑΣΥΝΤΕΤΑΓΜ ΕΝΩΝ 19 (i) Παραμένει αναλλοίωτο κάτω από κυκλική μετάθεση των διανυσμάτων u, v, w: (ii)εάντα u, v, wείναιομοεπίπεδατότε [ u, v, w] = 0. [ u, v, w] = [ w, u, v] = [ v, w, u]. (1.31) Το γινόμενο αυτό χρησιμοποιείται στον ορισμό της δυϊκής βάσης με εφαρμογές στην κρυσταλλογραφία. Εάν e a, e b, e c είναιτρίαμησυνεπίπεδαδιανύσματατου R 3,όχικατανάγκηορθοκανονικά,τότεένατυχαίοδιάνυσματου χώρου μπορεί να γραφεί σαν v = λ v ( e b e c ) e a +µ v ( e c e a ) e b +ν v ( e a e b ) e c (1.32) όπου οι συντελεστές λ, µ, ν είναι ίσοι μεταξύ τους, λόγω της ισοτροπίας του χώρου. Θέτοντας διαδοχικά στην (1.32)όπου v = e a, e b, e c βρίσκουμεότι λ = 1/ e a ( e b e c ).Ταδιανύσματα e A = e b e c e a ( e b e c ), e B = e c e a e a ( e b e c ), e C = e a e b e a ( e b e c ) (1.33) συνιστούντηνδυϊκήβάσητουσυνόλου { e a, e b, e c }.Ηδυϊκήβάσηικαναοποιείτιςσχέσεις e a e A = e b e B = e c e C = 1 e a e B = e a e C = e b e A = e b e C = e c e A = e c e B = 0. (1.34) Εάνηαρχικήβάσηέχειδιαστάσειςμήκους [L]τότεηδυϊκήβάσηέχειδιαστάσεις [L] 1. Ορισμός Εάνδοθούντρίαδιανύσματα u, v, w R 3 τότεταδιανύσματα u ( v w) = ( u w) v ( u v) w και ( u v) w = ( u w) v ( w v) u (1.35) ονομάζονται διανυσματικά τριπλά γινόμενα των u, v, w. Μπορεί να δειχθεί ότι u ( v w)+ w ( u v)+ v ( w u) = 0. (1.36) Παράδειγμα Η κεντρομόλος επιτάχυνση F κ = ω ( ω r) (1.37) όπου ω η γωνιακή ταχύτητα. 1.3 Συστήματα Συντεταγμένων Θα περιοριστούμε σε ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων γιατί προβλήματα που σχετίζονται με αυτά μπορούν να επιλυθούν αναλυτικά. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες έχουμε τρεις αμοιβαία κάθετες οικογένειες επιπέδων: x =σταθερό, y =σταθερό και z =σταθερό. Ενα γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων αποτελείται από τρεις οικογένειες επιφανειών που περιγράφονται συναρτήσει των ορθογώνιων συντεταγμένων από τις εξισώσεις ξ 1 (x,y,z) =σταθερό, ξ 2 (x,y,z) =σταθερό, ξ 3 (x,y,z) =σταθερό (1.38) και δεν είναι μεταξύ τους παράλληλες ή επίπεδες. Στις περισσότερες περιπτώσεις είναι βολικότερο να αντιστρέψουμε τις εξισώσεις(1.38) και να γράψουμε x = f(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ), y = g(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ), z = h(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) (1.39) όπου οι f, g, h είναι συνεχείς με συνεχείς μερικές παραγώγους και μονότιμες αντίστροφες(εκτός πιθανώς από πεπερασμένο αριθμό απομονωμένων σημείων ή γραμμών), έτσι ώστε να υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των συντεταγμένων ενός σημείου στο ορθογώνιο και στο γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων. Οι τρεις επιφάνειες ξ 1 (x,y,z) = c 1,ξ 2 (x,y,z) = c 2,ξ 3 (x,y,z) = c 3, όπου c 1,c 2,c 3 σταθερές, ονομάζονταιεπιφάνειες συντεταγμένων και τέμνονται ανά δύο σχηματίζοντας τρεις οικογένειες καμπύλων που ονομάζονται συντεταγμένες καμπύλες ή γραμμές.

20 20 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 Εάν οι συντεταγμένες επιφάνειες που διέρχονται από ένα σημείο τέμνονται κατά ορθή γωνία το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ορθογώνιο. Σε κάποιο σημείο του χώρου από το οποίο διέρχονται οι συντεταγμένες επιφάνειες τοποθετούμετρίαμοναδιαίαδιανύσματα { e i, i = 1,2,3}καθέναεκτωνοποίωνεφάπτεταιστηναντίστοιχησυντεταγμένη καμπύλη. Το διάνυσμα θέσεως του σημείου P στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων γράφεται Από την(1.40) έχουμε r = x i+y j +z k = f(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) i+g(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) j +h(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) k (1.40) d r = r ξ 1 dξ 1 + r ξ 2 dξ 2 + r ξ 3 dξ 3 (1.41) όπουτοδιάνυσμα r ξ k είναιεφαπτόμενοτηςξ k συντεταγμένηςκαμπύληςστοp.μπορούμεναγράψουμε r ξ k = h k e k όπου h k = r.η(1.41)γράφεται ξ k d r = 3 h k dξ k e k. (1.42) k=1 Οιποσότητες h k ονομάζονταισυντελεστέςκλίμακας.τοστοιχειώδεςμήκοςτόξουδίνεταιγιαορθογώνιοσύστημα συντεταγμένων από την σχέση ds 2 = d r d r = 3 g ij dξ i dξ j = i,j=1 3 h 2 kdξk. 2 (1.43) όπου g ij = r ξ i r ξ j = 0, i jκαιοισυντελεστές g ij είναιοισυνιστώσεςενόςσυμμετρικούτανυστήδευτέρας τάξης. Ο όγκος στην περίπτωση αυτή δίνεται από την dv = r r r ξ 1 ξ 2 ξ 3 = (h 1dξ 1 e 1 ) (h 2 dξ 2 e 2 ) (h 3 dξ 3 e 3 ) = (x,y,z) (ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) dξ 1dξ 2 dξ 3 = h 1 h 2 h 3 dξ 1 dξ 2 dξ 3. (1.44) Παρατήρηση1.3.1 Εκτόςαπόταδιανύσματα { e i = r ξ i, i = 1,2,3}πουείναιεφαπτόμεναστιςσυντεταγμένες καμπύλεςυπάρχουνκαιταδιανύσματα { ǫ i = ξ i, i = 1,2,3}πουείναικάθεταστιςσυντεταγμένεςεπιφάνειες. Οι συνιστώσες ενός διανύσματος ως πρός την πρώτη βάση ονομάζονται ανταλλοίωτες ενώ ως πρός την δεύτερη αναλλοίωτες. Σφαιρικέςσυντεταγμένες (ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) = (r,θ,φ). Το σύστημα αυτό αποτελείται από τις εξής συντεταγμένες επιφάνειες: z k=1 φ P = (r,θ,φ) x θ y Σχήμα 1.5: Οι σφαιρικές συντετγμένες (r, θ, φ). (i) Ομόκεντρεςσφαίρεςμεκέντροτηναρχήτωναξόνων: r = x 2 +y 2 +z 2 =σταθερό

21 1.3. ΣΥΣΤ ΗΜΑΤΑΣΥΝΤΕΤΑΓΜ ΕΝΩΝ 21 (ii) Κυκλικοί κώνοι με άξονα συμμετρίας τον z-άξονα και κορυφή στην αρχή των αξόνων: ( ) z φ = arccos =σταθερό x2 +y 2 +z 2 (iii)ημιεπίπεδαπουπαιρνούναπότον z-άξονα: θ = arctan ( y x) =σταθερό Οι εξισώσεις μετασχηματισμού είναι x = rsinφcosθ, y = rsinφsinθ, z = rcosφ (1.45) όπου r 0, 0 θ < 2π, 0 φ π.οισυντελεστέςκλίμακαςδίνονταιαπότις h 1 = h 2 = h 3 = ( x ) r 2 ( ) 2 ( ) 2 y z r = + + = 1 r r r r θ = rsinφ r φ = r. (1.46) Το στοιχειώδες μήκος τόξου δίνεται από την ds 2 = dr 2 +r 2 sin 2 φdθ 2 +r 2 dφ 2 (1.47) και ο στοιχειώδης όγκος από την dv = r 2 sinφdrdθdφ (1.48) Τα μοναδιαία διανύσματα είναι r (1) ê r = r r = (sinφcosθ,sinφsinθ,cosθ).τοδιάνυσμααυτόέχειακτινικήκατεύθυνσηκαιείναικάθετο r στην επιφάνεια της σφαίρας. r φ (2) ê φ = r = r(cosφcosθ,cosφsinθ, sinθ).τοδιάνυσμααυτόείναιεφαπτομενικότουκύκλουr = r 1 φ και φ = φ 1.Είναιεπίσηςπαράλληλομετοεπίπεδο xy. r (3) ê θ = θ r = ( sinθ,cosθ,0).τομοναδιαίοαυτόδιάνυσμαέχεισυνιστώσακατάμήκοςτουαρνητικού θ z-άξονα. Εάν τα μοναδιαία διανύσματα μεταβάλονται με τον χρόνο τότε ισχύουν οι σχέσεις ê r = ê r dρ r dt + ê r dθ θ dt + ê r dφ φ dt = sinφ θê θ + φê φ ê φ = φê r +cosφ θê θ ê θ = sinφ θê r cosφ θê φ. (1.49) Παράδειγμα Να εκφραστούν σε σφαιρικές συντεταγμένες η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σωματιδίου.

22 22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 Το διάνυσμα θέσης του σωματίου δίνεται από την Η ταχύτητα θα είναι ενώ η επιτάχυνση 1 r = ( ρ ρ φ 2 rsin 2 φ θ 2 d )ê r +( rsinφdt r = rê r. (1.50) v = d r dt = ṙê r +rsinφ θê θ +r φê φ (1.51) ( r 2 sin φ θ) ) ( 1 2 ê θ + r d dt (r2 φ) rsinφcosφ θ2 Εάν φ = π 2 οιεκφράσειςτηςταχύτηταςκαιτηςεπιτάχυνσηςσεπολικέςσυντεταγμένεςείναι ) e φ. (1.52) r = ṙê r +r θê θ, r = ( ρ ρ φ2 )ê r +(2ṙ θ +r θ)ê θ (1.53) Κυλινδρικές συντεταγμένες (ρ, θ, z). Το σύστημα αυτό αποτελείται από τις εξής συντεταγμένες επιφάνειες: (i) Κύλινδροιμεκοινό z-άξονα: ρ = x 2 +y 2 =σταθερό. (ii)ημιεπίπεδαπουπαιρνούναπότον z-άξονα: θ = arctan 1( y x) =σταθερό. (iii) Επίπεδα παράλληλα με το xy-επίπεδο: z = σταθερό. Οι εξισώσεις μετασχηματισμού είναι x = ρcosθ, y = ρsinθ, z = z (1.54) όπου ρ 0, 0 θ < 2π, < z <.Οισυντελεστέςκλίμακαςδίνονταιαπότις h 1 = r r = 1 h 2 = r θ = ρ h 3 = r z = 1 (1.55) Το στοιχειώδες μήκος τόξου δίνεται από την και ο στοιχειώδης όγκος από την Τα μοναδιαία διανύσματα είναι ds 2 = dρ 2 +r 2 dθ 2 +dz 2 (1.56) dv = ρdρdθdz. (1.57) r ρ (1) ê ρ = r = (cosθ,sinθ,0). Τοδιάνυσμααυτόείναιπαράλληλομετο xy-επίπεδοκαιέχειακτινική ρ κατεύθυνση μακριά από τον άξονα z. r (2) ê θ = θ r = ρ( sinθ,cosθ,0). Τοδιάνυσμααυτόείναιεφαπτομενικότουκύκλουμεκέντρο z = z 1 θ καιακτίνα ρ.είναιεπίσηςπαράλληλομετοεπίπεδο xy.

23 1.4. ΒΑΘΜΩΤ Α,ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΑΚΑΙΤΑΝΥΣΤΙΚ ΑΜΕΓ ΕΘΗ 23 r (3) ê z = z r = (0,0,1). Τομοναδιαίοαυτόδιάνυσματαυτίζεταιμετο ê z τουκαρτεσιανούσυστήματος z συντεταγμένων. Εάν τα μοναδιαία διανύσματα μεταβάλονται με τον χρόνο τότε ισχύουν οι σχέσεις dê ρ dt = ê ρ dρ ρ dt + ê ρ dθ θ dt + ê ρ dz z dt = θê θ, dê φ dt = θê ρ, dê z dt = 0 (1.58) Παράδειγμα Να εκφραστούν σε κυλινδρικές συντεταγμένες η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σωματιδίου. Το διάνυσμα θέσης του σωματίου δίνεται από την Η ταχύτητα θα είναι r = ρê ρ +zê z. (1.59) ενώ η επιτάχυνση v = d r dt = ρê ρ +ρ ê ρ +żê z +z ê z = ρê ρ +ρ θê θ +żê z (1.60) r = ( ρ ρ θ 2 )ê ρ +(ρ θ +2 ρ φ)ê θ + zê z. (1.61) 1.4 Βαθμωτά, Διανυσματικά και Τανυστικά Μεγέθη Υπενθυμίζουμε ότι βαθμωτό είναι το μέγεθος εκείνο που παραμένει αναλλοίωτο κάτω από στροφές του διανύσματος θέσεως του φυσικού συστήματος(ή κάτω από γενικευμένους μετασχηματισμούς συντεταγμένων). Διανυσματικά λέγονται τα μεγέθη που αλλάζουν προσανατολισμό κάτω από στροφές του διανύσματος θέσεως του φυσικού συστήματος. Αυτά έχουν τον ακόλουθο νόμο μετασχηματισμού(για τον Ευκλείδιο χώρο) όπου N A i = a ij A j, i = 1,,N (1.62) j=1 a ij = x i x j (1.63) καιτα a ij εκφράζουντοσυνημίτονοτηςγωνίαςμεταξύτων x i και x j. Στιςδύοδιαστάσειςδίνονταιαπότον ορθογώνιο πίνακα ( ) cosθ sinθ (a ij ) =. (1.64) sinθ cosθ ΣτονΡημάνιοχώροκάτωαπότομετασχηματισμόσυντεταγμένων x µ x µ διακρίνουμεδύοείδηδιανυσμάτων (α) Ανταλλοίωταπουμετασχηματίζονταισαν A µ = x µ x ν A ν.παράδειγμααποτελείτο dx µ = x µ x ν dx ν. (β) Συναλλοίωταπουμετασχηματίζονταισαν A µ = xν x A µ ν. Παράδειγμααποτελείτο φ βαθμωτό πεδίο. x = xν φ µ x µ x ν όπου φ Τα βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη αποτελούν ειδικές περιπτώσεις μιας μεγαλύτερης κατηγορίας μεγεθών που ονομάζονται τανυστές. Τα βαθμωτά μεγέθη είναι τανυστές μηδενικής τάξης ενώ τα διανύσματα τανυστές πρώτης τάξης.γενικάσεένα N-διάστατοχώροέναςτανυστήςτάξεως nέχει N n συνιστώσες. Κάτωαπόγενικευμένους μετασχηματισμούς συντεταγμένων ένας τανυστής δευτέρας τάξεως στον Ρημάνιο χώρο μετασχηματίζεται ανάλογα μετοεάνείναι

24 24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 (α) Ανταλλοίωτοςσαν A ij = N k,l=1 x i x k x j x l A kl (β) Μικτόςσαν A i j = N k,l=1 x i x k x l x j A k l (γ)συναλλοίωτοςσαν A ij = N k,l=1 xk x i x l x j A kl. Η τάξη ενός τανυστή ισούται με τον αριθμό των μερικών παραγώγων(ή των συνιμητόνων κατεύθυνσης). Ο αριθμός των δεικτών(η τάξη του τανυστή) είναι ανεξάρτητος από την διάσταση του χώρου. Στον Ευκλείδιο χώρο και οι τρείς τανυστές ταυτίζονται. Ο διαχωρισμός υπάρχει στον Ρημάνιο χώρο. Παράδειγμα Η ένταση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου είναι δευτέρας τάξης αντισυμμετρικός τανυστής και στις τέσσερις διαστάσεις(τρείς χωρικές και μία χρονική) δίνεται από την έκφραση όπου µ = ( x 0, )και A ν = (Φ, A)τοτετραδιάστατοδυναμικό. F µν = µ A ν ν A µ (1.65)

25 Κεφάλαιο 2 Παραγώγιση 2.1 Η Γεωμετρία των Πραγματικών Συναρτήσεων Εστω fμίασυνάρτησημεπεδίοορισμούέναυποσύνολο Aτου R n καιπεδίοτιμώνστον R m.αυτόθαδηλώνεται με καιθαεννοούμεότισεκάθε x = (x 1,,x n ) A,η fδίνειμιατιμήτην f : A R n R m (2.1) f( x) = (f 1 ( x),,f m ( x)) R m. Οισυναρτήσεις fλέγονταιδιανυσματικέςεάν m > 1καιπραγματικέςεάν m = 1. Οταν m = 1οιπραγματικές συναρτήσειςλέγονταισυναρτήσεις n-μεταβλητώναφού f( x) = f(x 1,,x n ). Ορισμός2.1.1 Εστω f : U R n R.Ορίζουμεωςγράφηματης fτουποσύνολοτου R n+1 πουαποτελείται απόόλατασημεία (x 1,,x n,f(x 1,,x n )) R n+1 με (x 1,,x n ) U.Συμβολικάθαγράφουμε Γράφηματης f = {(x 1,,x n,f(x 1,,x n )) R n+1 (x 1,,x n ) U} (2.2) Ορισμός2.1.2 Εστω f : U R n Rκαι c R. Τοσύνολοστάθμηςμετιμή cορίζεταιτοσύνολοτων σημείων x Uγιαταοποία f( x) = c.αν n = 2μιλάμεγιακαμπύληστάθμηςμετιμή cκαιαν n = 3μιλάμεγια επιφάνεια στάθμης. Συμβολικά γράφουμε Σύνολοστάθμηςμετιμή c = { x U f( x) = c} R n. (2.3) Η γνώση των συνόλων στάθμης μιάς συνάρτησης βοηθά στην καλύτερη κατανόηση της δομής της συνάρτησης. 2.2 Ορια και Συνέχεια Ορισμός2.2.1 Εστω U R n.θαλέμεότιτο Uείναιανοιχτόσύνολοεάν x 0 U r > 0 D r ( x 0 ) U (2.4) όπου D r ( x 0 ) = { x U x x 0 < r}δηλαδήτοσύνολοτωνσημείωνπουβρίσκονταιστοεσωτερικότηςσφαίρας (ήμπάλας)μεκέντρο x 0 καιακτίνα r.τασυνοριακάσημείατου Uδενανήκουνστο U. Υϊοθετούμετησύμβασηότιτοκενόσύνολοείναιανοιχτό. Επίσηςηακτίνα r > 0εξαρτάταιαπότηνθέσητου σημείου x 0 καιγενικάτείνειναμηδενιστείαντο x 0 βρίσκεταιπολύκοντάστοσύνοροτου U. Θεώρημα2.2.2 Γιακάθε x 0 R n και r > 0,οD r ( x 0 )είναιανοιχτόσύνολο. 25

26 26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ2. ΠΑΡΑΓ ΩΓΙΣΗ Ορισμός2.2.3 Εστω A R n. Ενασημείο x R n λέγεταισυνοριακόσημείοτου Aανσεκάθεπεριοχήτου x υπάρχουν τουλάχιστον ένα σημείο του A και τουλάχιστον ένα σημείο εκτός του A(ή όταν περιέχει άπειρο το πλήθος σημείων του A). Παρατήρηση2.2.4 Εάντο x Aτότετο xείναισυνοριακόσημείοτου Aεάνσεκάθεπεριοχήτου xυπάρχει τουλάχιστονένασημείοπουδενανήκειστο A.Εάντο xδενανήκειστο Aτότεθαείναισυνοριακόσημείοτου A εάνσεκάθεπεριοχήτου xυπάρχειτουλάχιστονένασημείοτου A. Ορισμός2.2.5 Ενασημείο xείναισυνοριακόσημείοενόςανοιχτούσυνόλου Aανκαιμόνοαντο xδενανήκει στο Aκαικάθεπεριοχήτου xέχειμηκενήτομήμετο A. Παρατήρηση Από τον ορισμό του ανοιχτού συνόλου κανένα σημείο του δεν μπορεί να είναι συνοριακό αφούθαπρέπει D r ( x 0 ) Aκαικατάσυνέπεια D r ( x 0 ) A c =. Ορισμός2.2.7 Εστω f : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο. Εστω x 0 σημείοτου Aήσυνοριακόσημείο του Aκαι Nπεριοχήτου b R m.θαλέμεότιη f( x)τείνειστο bόταντο xτείνειστο x 0 καιθαγράφουμε lim f( x) = b ή f( x) b όταν x x0 (2.5) x x 0 εάνυπάρχειπεριοχή Uτου x 0 τέτοιαώστε x U Aμε x x 0 ναείναι f( x) N. Ορισμός2.2.8 Εστω f : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο. Εστω x 0 σημείοτου Aήσυνοριακόσημείο του A. Τότε lim x x0 f( x) = bανκαιμόνοανγιακάθεαριθμό ǫ > 0υπάρχει δ > 0τέτοιοώστεγιακάθε x A πουικανοποιείτην 0 < x x 0 < δναέχουμε f( x) b < ǫ. Θεώρημα2.2.9 Εστω f, g : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο, x 0 σημείοτου Aήσυνοριακόσημείο του A, b, b 1, b 2 R m και c R: (i)αν lim x x0 f( x) = bτότε lim x x0 c f( x) = c b,όπουηc f : A R m ορίζεταιαπότην x c f( x). (ii)αν lim x x0 f( x) = b1 καιαν lim x x0 g( x) = b 2 τότε lim x x0 ( f + g)( x) = b 1 + b 2 όπουη( f + g) : A R m ορίζεταιαπότην x f( x)+ g( x). (iii)αν m = 1, lim x x0 f( x) = b 1 και lim x x0 g( x) = b 2 τότε lim x x0 (fg)( x) = b 1 b 2 όπουη(fg) : A R m ορίζεταιαπότην x f( x)g( x). (iv)αν m = 1, lim x x0 f( x) = b 0και f( x) 0γιακάθε x Aτότε lim x x0 1 f( x) = 1 b όπουη 1 f : A Rm ορίζεταιαπότην x 1 f( x). (v) Αν f( x) = (f 1 ( x),,f m ( x))όπου f i : A R, i = 1,,mείναιοισυνιστώσεςσυναρτήσειςτης fτότε lim x x0 f( x) = (b1,,bm )ανκαιμόνοαν lim x x0 f i ( x) = b i, i = 1,,m. Ορισμός Εστω f : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο. Εστω x 0 A. Θαλέμεότιη fείναι συνεχήςστο x 0 ανκαιμόνοαν lim x x 0 f( x) = f( x0 ) (2.6) Θαλέμεότιη f είναισυνεχήςστο Aεάνείναισυνεχήςσεκάθε x 0 A. Διαισθητικάμίασυνάρτησηθαείναι συνεχής εάν δεν έχει κοψίματα στο γράφημά της. Θεώρημα Εστω f, g : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο,και c R: (i)ανη fείναισυνεχήςστο x 0 τοίδιοισχύεικαιγιατην cfόπου (cf)( x) = c[ f( x)]. (ii)ανοι f, gείναισυνεχείςστο x 0 τοίδιοισχύεικαιγιατην f + gόπου ( f + g)( x) = f( x)+ g( x). (iii)αν m = 1,καιοι f,gείναισυνεχείςστο x 0 τοίδιοισχύεικαιγιατην fgόπου (fg)( x) = f( x)g( x).

27 2.3. ΠΑΡΑΓ ΩΓΙΣΗ 27 (iv)αν m = 1,και lim x x0 f( x) = f( x 0 ) 0με f( x) 0γιακάθε x Aτότετοπηλίκο 1 ( ) f είναισυνάρτηση 1 συνεχήςστο x 0 όπου f ( x) = 1 f( x). (v) Αν f( x) = (f 1 ( x),,f m ( x))τότεη fείναισυνεχής x 0 ανκαιμόνοανκαθεμίααπότιςπραγματικέςσυναρτήσεις f i, i = 1,,mείναισυνεχείςστο x 0. Θεώρημα Εστω f : A R n R m. Τότεη f είναισυνεχήςστο x 0 Aανκαιμόνοανγιακάθε ǫ > 0υπάρχειέναςαριθμός δ > 0τέτοιοςώστε 2.3 Παραγώγιση αν x Aκαι x x 0 < δτότε f( x) f( x 0 ) < ǫ. (2.7) Για να είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη θα πρέπει όχι μόνο να μην υπάρχουν κοψίματα στο γράφημά της αλλά και να ορίζεται το εφαπτόμενο επίπεδο σε κάθε σημείο του γραφήματός της. Αυτό σημαίνει ότι δεν θα υπάρχουν γωνίες,αιχμέςήπτυχές.μεάλλαλόγιατογράφημαθαπρέπειναείναιλείο. Ορισμός2.3.1 Εστω f : U R n f R,όπου Uανοιχτόσύνολο.Οιμερικέςπαράγωγοι x j, j = 1,,nως πρόςτην j-οστήμεταβλητήείναιπραγματικέςσυναρτήσεις n-μεταβλητώνοιοποίεςστοσημείο x = (x 1,,x n ) ορίζονται από τις f f(x 1,,x j +h,,x n ) f(x 1,,x n ) f( x+h e j ) f( x) (x 1,,x n ) = lim = lim x j h 0 h h 0 h όπου e j = (0,,1,,0)με1στην j-οστήθέση. Ορισμός2.3.2 Εστω f : R 2 R.Θαλέμαότιηfείναιπαραγωγίσιμηστο (x 0,y 0 )ανοι f x στο (x 0,y 0 )και f(x,y) f(x 0,y 0 ) (2.8) και f y υπάρχουν [ ] [ ] f x (x 0,y 0 ) (x x 0 ) f y (x 0,y 0 ) (y y 0 ) 0όταν (x,y) (x 0,y 0 ). (2.9) (x,y) (x 0 y 0 ) Οορισμόςαυτόςμπορείκαιναγενικευθείγια f : U R n R m,όπου Uανοιχτόσύνολο.Θαλέμεότιη fείναι παραγωγίσιμηστο x 0 Uανοιμερικέςπαράγωγοίτηςυπάρχουνστο x 0 και όπου f( x) lim f( x 0 ) T( x x 0 ) = 0 (2.10) x x 0 x x 0 f 1 x 1 f T = D f( x 2 0 ) = x 1.. f m x 1 f 1 x n f 2 x n. f m x n x 0. (2.11) Ορισμός2.3.3 Εστω f : R 2 Rπαραγωγίσιμηαπεικόνισηστο (x 0,y 0 ).Τοεπίπεδοστον R 3 πουορίζεταιαπό την εξίσωση [ ] [ ] f f z = f(x 0,y 0 )+ x (x 0,y 0 ) (x x 0 )+ y (x 0,y 0 ) (y y 0 ) ) = f(x 0,y 0 )+ ( f x f y (x 0,y 0) λέγεταιεφαπτόμενοεπίπεδοστογράφηματης fστοσημείο (x 0,y 0 ). (x x 0,y y 0 ) (2.12) Θεώρημα2.3.4 Εστω f : U R n R,όπου Uανοιχτόσύνολο.Ανηfείναιπαραγωγίσιμηστο x 0 Uτότε είναισυνεχήςστο x 0. Θεώρημα2.3.5 Εστωf : U R n R,όπου Uανοιχτόσύνολο.Ανυποθέσουμεότιόλεςοιμερικέςπαράγωγοι f i x j υπάρχουνκαιείναισυνεχείςσεμιαπεριοχήενόςσημείου x Uτότεηfείναιπαραγωγίσιμηστο x.

28 28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ2. ΠΑΡΑΓ ΩΓΙΣΗ 2.4 Κλίση και Παράγωγοι κατά Κατεύθυνση Ορισμός2.4.1 Εστω f : U R 3 Rπαραγωγίσιμησυνάρτηση.Ηκλίσητηςστο (x,y,z)είναιτοδιάνυσμα στοχώρο R 3 πουδίνεταιαπότην ( gradf(x,y,z) = f(x,y,z) f = x, f y, f ). (2.13) z Η εξίσωση μιάς ευθείας που διέρχεται από το σημείο x και είναι παράλληλη με την κατεύθυνση ενός διανύσματος v δίνεται παραμετρικά από την r(t) = x+t v. (2.14) Ορισμός2.4.2 Εστω f : U R 3 R. Ηκατάκατεύθυνσηπαράγωγοςτης fστο xστηνκατεύθυνσητου διανύσματος v δίνεται από την d dt f( x+t v) f( x+h v) f( x) = lim. (2.15) t=0 h 0 h Θεώρημα2.4.3 Εστω f : U R 3 Rπαραγωγίσιμησυνάρτηση.Τότεόλεςοικατάκατεύθυνσηπαράγωγοι υπάρχουν. Η κατευθυνόμενη παράγωγος της f στο x στην κατεύθυνση του διανύσματος v δίνεται από την ( ) ( ) ( ) d dt f( x+t v) = f( x) v f f f = t=0 x ( x) v 1 + y ( x) v 2 + z ( x) v 3. (2.16) Θεώρημα2.4.4 Εστω f : U R 3 Rμια C 1 απεικόνισηκαιένασημείο(x 0,y 0,z 0 )στηνεπιφάνειαστάθμης Sπουορίζεταιαπότην f(x,y,z) = k =σταθερά. Τότετο f(x 0,y 0,z 0 )είναικάθετοστηνεπιφάνειαστάθμης μετηνεξήςέννοια:αν vείναιτοεφαπτόμενοδιάνυσμαστο t = 0μιαςκαμπύλης c(t)πουπεριέχεταιστην Sμε c(0) = (x 0,y 0,z 0 )τότε d dt f( c(t)) = f v = 0. (2.17) t=0 Ορισμός2.4.5 Εστωηεπιφάνειαστάθμης Sπουορίζεταιαπότην f(x,y,z) = k =σταθερά. Τοεφαπτόμενο επίπεδοτης Sσεένασημείο (x 0,y 0,z 0 )της Sορίζεταιαπότηνεξίσωση f(x 0,y 0,z 0 ) (x x 0,y y 0,z z 0 ) = 0,εάν f(x 0,y 0,z 0 ) 0. (2.18) Συχνάαναφερόμαστεστο fμετονόροδιανυσματικόπεδίοκλίσεων.ηγεωμετρικήτουσημασίαείναιότιδίνειτην κατεύθυνση της γρηγορότερης αύξησης της f και την κατεύθυνση που είναι ορθογώνια στις επιφάνειες στάθμης της f. Παράδειγμα2.4.6 Τοηλεκτρικόπεδίο E πουγράφεταισαντηνκλίσητουβαθμωτούδυναμικού Φ(x,y,z) δηλαδή E = Φ.Άλλοπαράδειγμααποτελούνδυνάμειςπουμπορούνναγραφούνσαντηνκλίσηκάποιουδυναμικού ήδυναμικήςενέργειας F = U(x,y,z).

29 Κεφάλαιο 3 Διανυσματικές Συναρτήσεις 3.1 Καμπύλες, Μήκος Τόξου, Διανυσματικό Πεδίο Ορισμός3.1.1 Μίακαμπύληστον R n είναιμίααπεικόνιση r : [a,b] R n. Ανη rείναιπαραγωγίσιμητότε λέμεότιη rείναιμίαπαραγωγίσιμηκαμπύλη.ανη rείναιτηςκλάσεωςc 11 λέμεότιη rείναιμίαc 1 καμπύλη.τα σημεία r(a), r(b)λέγονταιάκρατηςκαμπύληςκαιηεικόνατης rτροχιάτηςκαμπύλης.εάνσυμβολίσουμεμε tτη μεταβλητήκαι rμίακαμπύληστον R 3 τότεμπορούμεναγράψουμε r(t) = (x(t),y(t),z(t))όπουοι x(t),y(t),z(t) ονομάζονται συνιστώσες της r. Ορισμός3.1.2 Εστω r : [a,b] R n όπου rμία C 1 καμπύλη.τομήκοςτηςκαμπύλης rορίζεταιαπότην l( r) = όπου r (t) = d s(t) dt = n dx i(t) i=1 dt e i και r (t) = και είναι συνεχής συνάρτηση. b a r (t) dt (3.1) n i=1 [x i (t)]2. Τοολοκλήρωμαυπάρχειαφούη r (t)υπάρχει Η γεωμετρική ερμηνεία είναι ότι το μήκος l( r) της καμπύλης λαμβάνεται σαν το όριο της ακολουθίας των πολυγώνων που είναι εγγεγραμμένα στο τόξο όταν το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς κάθε μέλους της ακολουθίας τείνει στομηδέν. Ησυνάρτησημήκουςτόξου s(t)πουεκφράζειτομήκοςτηςκαμπύληςαπόδεδομένοσημείοσεένα μεταβαλόμενο ορίζεται από την s(t) = t οπότε μπορούμε να γράψουμε για το μήκος της καμπύλης όπου s (t) = d dt από την οποία συνάγεται ότι l( r) = b a a r (τ) dτ (3.2) s (t)dt = s(b) s(a) (3.3) ( ) t a r (τ) dτ = r (t).εάνεισάγουμετομήκοςτόξουσανπαράμετροτότε l( r) = b a r (s) ds (3.4) d r(s) ds = ds = 1. (3.5) ds Δηλαδή το εφαπτόμενο διάνυσμα είναι μοναδιαίο όταν το μήκος τόξου εκλεγεί για παράμετρος. 1 Η r(t)είναικλάσεως C 1 εάνοι x(t),y(t),z(t)είναικλάσεως C 1 δηλαδήοι x t, y t, z t υπάρχουνκαιείναισυνεχείςοπότεηύπαρξη συνεχώνμερικώνπαραγώγωνεξασφαλίζειτηνπαραγωγισιμότητατης r. Η r(t)είναικατάτμήματακλάσεως C 1 εάνοι x(t),y(t),z(t) είναικατάτμήματακλάσεως C 1 δηλαδήυπάρχειδιαμέρισητου [a,b]: a = t 0 < t 1 < < t N = bτέτοιαώστεοισυνιστώσεςτης r(t) περιορισμένεςσεκάθεδιάστημα [t i,t i+1 ], 0 i N 1ναείναικλάσεως C 1. Οιπαράγωγοιυπολογίζονταιμετηχρήσηπλευρικών ορίων. 29

30 30 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ3. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΕΣΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Παράδειγμα3.1.3 Εστω rηκαμπύλη r(t) = (2t,t 2,logt)ορισμένηγια t > 0. Βρείτετομήκοςτόξουτης r ανάμεσαστασημεία (2,1,0)και (4,4,log2). ΛύσηΤασημείααντιστοιχούνστιςτιμές t = 1, t = 2αντίστοιχα.Τομήκοςτουδιανύσματος r (t)είναι r (t) = 1 t (2t2 +1) (3.6) οπότετομήκοςτηςκαμπύληςμεσύνοροταδεδομένασημείαθαείναι 2 ( l( r) = 2t+ 1 ) dt = 3+log2. (3.7) t 1 Ορισμός3.1.4 Εναδιανυσματικόπεδίοστον R n είναιμίααπεικόνιση F : A R n R n πουαντιστοιχείσε κάθεσημείο xτουπεδίουορισμούτης, A,έναδιάνυσμα F( x).μίααπεικόνιση f : A R n Rπουαντιστοιχεί σε κάθε σημείο ένα αριθμό λέγεται βαθμωτό πεδίο. Εναδιανυσματικόπεδίο Fστον R 3 γράφεταισαν F(x,y,z) = (F 1 (x,y,z),f 2 (x,y,z),f 3 (x,y,z)) (3.8) όπουοισυνιστώσες F i, i = 1,2,3είναιβαθμωτέςσυναρτήσεις. Εάνοι F i είναικλάσεως C k τότελέμεότιτο διανυσματικόπεδίο Fείναικλάσεως C k. Ορισμός3.1.5 Αν Fείναιέναδιανυσματικόπεδίο,μίαγραμμήροήςήολοκληρωτικήκαμπύλητου Fείναιμία καμπύλη r(t) τέτοια ώστε: δηλαδήτο Fκαθορίζειτοπεδίοταχυτήτωντηςκαμπύλης r(t). r (t) = F( r(t)) (3.9) Παράδειγμα Σχεδιάστε μερικές γραμμές ροής για τα διανυσματικά πεδία (1) F(x,y) = (y, x) (2) F(x,y) = (x, y) (3) F(x,y) = (x,x 2 ) ΛύσηΧρησιμοποιώνταςτηςσχέση r (t) = F( r(t))καιαπαλείφονταςτηνπαράμετρο tέχουμε (1) dx y = dy x d(x2 +y 2 ) = 0 x 2 +y 2 = c 2.Ηεξίσωσηαυτήπεριγράφειμίαοικογένειαομόκεντρωνκύκλων με κέντρο την αρχή των αξόνων και μεταβλητή ακτίνα. y x Σχήμα 3.1: Οι γραμμές ροής του πρώτου διανυσματικού πεδίου είναι ομόκεντροι κύκλοι με αρχή που ταυτίζεται με την αρχή του συστήματος συντεταγμένων. (2) dx x = dy y log(xy) = c xy = ec. Ηεξίσωσηαυτήπεριγράφειμίαοικογένειααπόυπερβολέςστοπρώτο τεταρτημόριο. (3) dx x = dy x 2 d( 1 2 x2 y) = 0 y = 1 2 x2 + c. Ηεξίσωσηαυτήπεριγράφειμίαοικογένειααπόπαραβολές μετατοπισμένες κατά c στον άξονα y.

31 3.2. ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜ ΟΣΚΑΙΑΠ ΟΚΛΙΣΗΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΥΠΕΔ ΙΟΥ 31 y x Σχήμα 3.2: Το δεύτερο διανυσματικό πεδίο έχει γραμμές ροής που παριστάνονται από μια οικογένεια υπερβολών. y x Σχήμα 3.3: Το τρίτο διανυσματικό πεδίο έχει γραμμές ροής που παριστάνονται από μια οικογένεια παραβολών. 3.2 Στροβιλισμός και Απόκλιση Διανυσματικού Πεδίου Ηπράξητουστροβιλισμούαντιστοιχείσεκάθε C 1 διανυσματικόπεδίο F R 3.Τοδιανυσματικόπεδίο curl F = Fορίζεταιαπότην όπου F = (F 1,F 2,F 3 ). Θεώρημα3.2.1 Γιακάθε C 2 συνάρτηση fέχουμε F i j k = x y z F 1 F 2 F 3 (3.10) ( f) = 0. (3.11) Απόδειξη:Για καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και χρησιμοποιώντας τον ορισμό του στροβιλισμού έχουμε f i j k ( 2 ) ( f = x y z = y z 2 f i+ 2 ) ( f z y z x 2 f j 2 ) f + x z x y 2 f k = 0 (3.12) y x f x f y f z Μίαάλληβασικήπράξηείναιηαπόκλισηπουορίζεταιαπότην Ηαπόκλισητου Fείναιβαθμωτόπεδίο. div F = F = 3 i=1 F i x i. (3.13)

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα.

Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα. Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα. Αν. Καθηγητής Γεώργιος Παύλος ( Φυσικός) - ρ.καρκάνης Αναστάσιος (Μηχανολόγος Μηχανικός) Με τι θα ασχοληθούμε στα πλαίσια του μαθήματος: Α. Μαθηματική θεωρία ιανυσματικά μεγέθη,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

10. Παραγώγιση διανυσµάτων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Β. Αναπτύγματα σε σειρές Για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα

Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Εξ ορισμού, ένας κύκλος έχει συγκεκριμένη και σταθερή καμπυλότητα σε όλα τα σημεία του ίση με 1/R όπου R η ακτίνα του.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2 ΦΥΣ 211 - Διαλ.04 1 Παραδείγματα Κίνηση ενός και μόνο σωματιδίου, χρησιμοποιώντας Καρτεσιανές συντεταγμένες και συντηρητικές δυνάμεις. Οι εξισώσεις Lagrange θα πρέπει να επιστρέφουν τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα 1. Διανύσματα Πρόσθεση Διανυσμάτων Φυσική ποσότητα που περιγράφεται μόνο από ένα αριθμό ονομάζεται βαθμωτή.

Διανύσματα 1. Διανύσματα Πρόσθεση Διανυσμάτων Φυσική ποσότητα που περιγράφεται μόνο από ένα αριθμό ονομάζεται βαθμωτή. Διανύσματα 1. Διανύσματα Πρόσθεση Διανυσμάτων Φυσική ποσότητα που περιγράφεται μόνο από ένα αριθμό ονομάζεται βαθμωτή. Η διανυσματική ποσότητα έχει διεύθυνση, φορά και μέτρο. Δύο διανυσματικές ποσότητες

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης.

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης. Αποδείξεις. Απόδειξη της σχέσης N t T N t T. Απόδειξη της σχέσης t t T T 3. Απόδειξη της σχέσης t Ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ. είναι : d F D ma D m D Η εξίσωση αυτή είναι μια Ομογενής Διαφορική

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski 1 Διαγράμματα Minkowski Σκοποί της διάλεξης 12: Να εισάγει τα διαγράμματα Minkowski. 18.1.2012 Να περιγράψει την ιδέα του ταυτοχρονισμού στην θεωρία της σχετικότητας με μεθόδους γεωμετρίας. Να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H.D. H.D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική Εκδόσεις Παπαζήση Alonso Alonso / Finn Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική Α. Φίλιππας, Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) R. A. Seway Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ)

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) 1. (α) Περιγράψτε συνοπτικά το πείραμα των Michelson και Morley (όχι απόδειξη σχέσεων). Ποιό ήταν το βασικό αποτέλεσμα του πειράματος; (β)

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1 Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια Ένα ζεύγος παράλληλων φορτισμένων μεταλλικών πλακών παράγει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε. Το έργο που παράγεται πάνω σε θετικό δοκιμαστικό φορτίο είναι: W W Fl q y q l q y Ορίζοντας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στην Κινητική

1. Εισαγωγή στην Κινητική 1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου

Διαβάστε περισσότερα