ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΓΑΠΗΤΟΣ Ν. ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΓΑΠΗΤΟΣ Ν. ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ"

Transcript

1 ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΓΑΠΗΤΟΣ Ν. ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2008

2 2

3 Περιεχόμενα 1 ΟΔιανυσματικόςΧώρος R ΗΓεωμετρίατουΕυκλείδιουΧώρου ΕσωτερικόκαιΔιανυσματικόΓινόμενο ΣυστήματαΣυντεταγμένων Βαθμωτά,ΔιανυσματικάκαιΤανυστικάΜεγέθη Παραγώγιση ΗΓεωμετρίατωνΠραγματικώνΣυναρτήσεων ΟριακαιΣυνέχεια Παραγώγιση ΚλίσηκαιΠαράγωγοικατάΚατεύθυνση Διανυσματικές Συναρτήσεις Καμπύλες,ΜήκοςΤόξου,ΔιανυσματικόΠεδίο ΣτροβιλισμόςκαιΑπόκλισηΔιανυσματικούΠεδίου Ολοκλήρωση ΕπικαμπύλιαΟλοκληρώματα ΕπιφανειακάΟλοκληρώματα ΤαΟλοκληρωτικάΘεωρήματατηςΔιανυσματικήςΑνάλυσης Συντηρητικάπεδία Το Κινούμενο Τρίεδρο-Οι Τύποι του F renet 49 6 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 53 7 Κωνικές Τομές 57 8 Βασικές Εννοιες ΜονάδεςΜήκους,Μάζας,ΧρόνουκαιΜολ ΑνάλυσηΔιαστάσεων ΣημαντικάΨηφία ΧώροςκαιΧρόνος ΚίνησησεμιακαιδύοΔιαστάσεις ΤαχύτητακαιΕπιτάχυνσησεμίαΔιάσταση ΟμαλάΕπιταχυνόμενηΚίνηση ΤαχύτητακαιΕπιτάχυνσησεδύοΔιαστάσεις ΣχετικήΤαχύτητακαιΕπιτάχυνσηστηΜεταφορικήΚίνηση Οι Νόμοι της Κίνησης Η ΕννοιατηςΔύναμης ΟιΝόμοιτουΝεύτωνα ΚίνησησεΕπιταχυνόμεναΣυστήματαΑναφοράς ΚίνησημετηνΠαρουσίαΔυνάμεωνπουΑντιστέκονταιστηνΚίνηση ΟιΘεμελειώδειςΔυνάμειςτηςΦύσης

4 4 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 11 Δυναμική Ενέργεια και Διατήρηση Ενέργειας Εργο Διατηρητικές(ήΣυντηρητικές)καιμηΔιατηρητικέςΔυνάμεις ΔιατήρησητηςΜηχανικήςΕνέργειας ΚεντρικέςΔυνάμεις ΜελέτηΚαμπύληςΔυναμικήςΕνέργειας Ταλαντώσεις ΟΑρμονικόςΤαλαντωτής ΟΑποσβενόμενοςΑρμονικόςΤαλαντωτής ΟΕξαναγκασμένοςΑρμονικόςΤαλαντωτής ΤοΑπλόΕκκρεμές ΤοΦυσικόΕκκρεμές Μελέτη Κίνησης σε Κεντρικό Δυναμικό Η Βαρυντική Ελξη ΟιΝόμοιτου Kepler ΤοΒαρυντικόΔυναμικό Η Μηχανική Συστήματος Σωμάτων ΚέντροΜάζας Στροφορμή,ΡοπήκαιΕνέργειαΣυστήματοςΣωμάτων ΜετασχηματισμόςτηςΣτροφορμήςκαιτηςΚινητικήςΕνέργειαςστοΚ.Μ Περιστροφή Στερεού Σώματος Γύρω από Σταθερό Άξονα ΣχέσειςΑνάμεσασεΓωνιακέςκαιΓραμμικέςΠοσότητες ΚινητικήΕνέργειαΠεριστροφής Ροπή ΣχέσηΑνάμεσαστηΡοπήκαιστηΓωνιακήΕπιτάχυνση ΤοΘεώρημα Εργου-ΕνέργειαςγιατηνΠεριστροφικήΚίνηση Κύλιση και Στροφορμή ΚύλισηΣτερεούΣώματος ΣτροφορμήΣυστήματοςΣωμάτων Μηχανική των Ρευστών Καταστάσειςτης Υλης ΜεταβολήτηςΠίεσηςΣυναρτήσειτουΒάθους ΗΆνωσηκαιηΑρχήτουΑρχιμήδη ΔυναμικήτωνΡευστών ΗΕξίσωσητου Bernoulli Σχετικότητα ΗΑρχήτηςΣχετικότητας ΣυγχρονισμόςΡολογιώνκαιΤαυτόχροναΓεγονότα ΗΣχετικότητατουΧρόνου ΗΣχετικότητατουΜήκους ΟΜετασχηματισμόςτου Lorentz ΟΜετασχηματισμόςΤαχυτήτωντου Lorentz ΗΣχετικιστικήΟρμήκαιΕνέργεια...166

5 Κατάλογος Σχημάτων 1.1 Γεωμετρικήκατασκευήτουαθροίσματοςδύοδιανυσμάτων Γεωμετρική κατασκευή του πολλαπλασιασμού διανύσματος με θετικό πραγματικό αριθμό Τοεμβαδόντουπαραλληλογράμμουμεπλευρές u, vισούταιμετομήκοςτουδιανύσματος u v Οόγκοςτουπαραλληλεππιπέδουισούταιμετοβαθμωτότριπλόγινόμενοτωνπλευρώντου Οισφαιρικέςσυντετγμένες (r,θ,φ) Οι γραμμές ροής του πρώτου διανυσματικού πεδίου είναι ομόκεντροι κύκλοι με αρχή που ταυτίζεται μετηναρχήτουσυστήματοςσυντεταγμένων Το δεύτερο διανυσματικό πεδίο έχει γραμμές ροής που παριστάνονται από μια οικογένεια υπερβολών Το τρίτο διανυσματικό πεδίο έχει γραμμές ροής που παριστάνονται από μια οικογένεια παραβολών Τογράφηματηςσυνάρτησης f(x,y) Ηκαμπύλη C = C 1 C Πόσοέργοδαπανάηποδηλάτισσαγιαναανέβειτοβουνόαυτό; Ηεπιφάνεια(4.32)παριστάνειέναελικοειδές Ηεπιφάνειαπουαποκόπτειοκώνοςαπότηνμοναδιαίασφαίρα Οκόλουροςκώνος Οκόλουροςκώνοςότανανοιχτείκατάμήκοςτηςγεννέτηράςτουστοεπίπεδο Τοδιανυσματικόπεδίοτωνκλίσεωντηςθερμοκρασίας Τοχωρίο Dείναιδακτύλιοςεσωτερικήςακτίνας 2καιεξωτερικής Ητομήτουκυλίνδρουμετοεπίπεδο Ηκατάτμήματακλάσεως C 1 καμπύλη C 1 C 2 C Τοκινούμενοτρίεδροτου Frenet Τομοναδιαίοεφαπτόμενοκαιτοπρώτοκάθετογιατονκύκλο Οκύκλος Ηέλλειψη Ηπαραβολή Ηυπερβολή Ηεστίακαιηδιευθετούσατηςπαραβολής Οιεστίεςτηςέλλειψης Οιεστίεςκαιοιασύμπτωτεςτηςυπερβολής Γραφική παράσταση θέσης- χρόνου για σώμα που κινείται στον άξονα x. Η κλίση του ευθύγραμμου τμήματος PQείναιημέσηταχύτητα vπουαντιστοιχείστοχρονικόδιάστημα t Τοβλήμαπρινκαιμετάτηνκρούσητουμετηνσανίδα Ηπαραβολικήτροχιάενόςβλήματοςπουεκτοξεύεταιμεταχύτητα v Κίνησηυλικούσημείουσεκυκλικήτροχιάαπότηνθέση Pστηθέση Q Δύο παρατηρητές περιγράφουν την κίνηση ένός σώματος που κάποια δεδομενή χρονική στιγμή βρίσκεταιστοσημείοp.τασυστήματααναφοράςs 1 καιs 2,ωςπροςταοποίαηρεμούνοιπαρατηρητές, κινούνταιμεσταθερήσχετικήταχύτητα u. Ηεπιβατικήακτίνατουσημείου P ωςπροςτο S 1 είναι r 1 ενώωςπροςτο S 2 είναι r Κίνησηβάρκαςσεποταμό Σύστημαδύομαζώνπουσυνδέονταιμενήματακαιβρίσκεταισεισορροπία

6 6 ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ 10.2 Οιδυνάμειςπουασκούνταισεσώμαπουηρεμείπάνωσετραπέζι Οι δυνάμεις που ασκούνται σε τρία σώματα διαφορετικής μάζας που βρίσκονται σε επαφή και κινούνται υπότηνεπίδρασησταθερήςδύναμηςσεοριζόντιοεπίπεδο Ηδύναμητριβήςανάμεσασεένασώμακαιμιατραχιάεπιφάνεια Δυνάμεις που ασκούνται σε σώμα που κινείται ολισθαίνοντας σε περιστρεφόμενο ημισφαίριο ακτίνας R Οιδυνάμειςπουασκούνταισεχάντραπουπεριστρέφεταιμαζίμετηνστεφάνη Οιδυνάμειςπουασκούνταισεσώμαπουκινείταισερευστόπουηρεμεί Απλή,κλειστήκαιπροσανατολισμένηκαμπύλη Οιαπλέςκαιαντίθεταπροσανατολισμένεςκαμπύλες C 1 και C 2 ενώνουντασημεία Qκαι P Καμπύλεςολοκλήρωσηςπουσυνδέουντασημεία Aκαι B Ητροχιάπουακολουθείτοβαγόνι Ητροχιάπουακολουθείτοσώμα Ηελλειπτικήτροχιάπουδιαγραφείτοκινούμενοσώμα Η καμπύλη δυναμικής ενέργειας και ενεργειακές στάθμες για τις οποίες η κίνηση του σωματίου είναι φραγμένηήμηφραγμένη Ηδυναμικήενέργειασασυνάρτησειτηςαπόστασηςγιαδιατομικόμόριο Ηαπλήαρμονικήταλάντωσησώματοςπουπροσδένεταιστοάκροοριζόντιουελατηρίου Οικαμπύλεςδυναμικήςκαικινητικήςενέργειαςγιατοναπλόαρμονικόταλαντωτή Ηενσειράκαι παράλληλη συνδεσμολογίαελατηρίωνμεσώμαμάζας m Ημετατόπισητουσώματοςσανσυνάρτησητουχρόνουότανστοσώμαασκείταιηδύναμητης αντίστασηςτουμέσου Οιδυνάμειςπουασκούνταισεσώμαπουταλαντώνεταισερευστόμεγάλουιξώδους Ηγραφικήπαράστασητηςτροχιάςτουσώματος Τοαπλόεκκρεμές Τοσύστημαεκκρεμές-ελατήριοτοοποίοταλαντώνεται Τοφυσικόεκκρεμέςπεριστρέφεταιγύρωαπότοσημείο Oπουδενταυτίζεταιμετοκέντρομάζας τουστερεούσώματος Ηέλλειψημετημιαεστίατηςκαιτηνδιευθετούσα Η κόκκινη καμπύλη αναπαριστά την τροχιά του σώματος. Από το πεδίο ορισμού της γωνίας θ αφαιρούμεταδιαστήματα ( π 4, 3π 4 )και (5π 4, 7π 4 )σταοποίατοσυνημίτονολαμβάνειαρνητικέςτιμές Υπολογισμόςτηςέντασηςτουβαρυντικούπεδίουπουοφείλεταισεομογενήράβδο Η βαρυντική δύναμη που ασκείται από ομοιόμορφη σφαιρική επιφανειακή πυκνότητα μάζας σε σημειακόσώμαμάζας m Τοκέντρομάζαςδιακριτήςκατανομήςμάζας Πειραματικόςπροσδιορισμόςτουκέντρουμάζαςστερεούσώματος Τοαδρανειακόσύστημα O ηρεμείωςπροςκέντρομάζαςτουστερεούσώματοςπουκινείταιμε σταθερήσχετικήταχύτηταωςπροςτοσύστημα Oτουεργαστηρίου Προσδιορισμός του κέντρου μάζας ορθογώνιου τριγώνου με δεδομένη επιφανειακή πυκνότητα Ομογενήςκυκλικόςκώνοςμετηνκορυφήτουστον z-άξονα Τοστερεόσώμακυκλικόςκώνος-ημισφαίριο Τοέναάκροτουσκοινιούείναισταθεράδεμένοστονκύλινδροενώτοδεύτεροελεύθερο Το σύστημα των δύο σωμάτων περιστρέφεται γύρω από τη μικρότερη μάζα και ακολούθως αφήνεται ελεύθερο Επίπεδο στερεό σώμα περιστρεφόμενο γύρω από άξονα παράλληλο προς τον άξονα που διέρχεται απότοκ.μ Στερεό σώμα περιστρεφομένο γύρω από άξονα κάτω από την επίδραση εξωτερικής δύναμης Υλικό σημείο περιστρεφομένο σε κυκλική τροχιά κάτω από την επίδραση εφαπτομενικής δύναμης Κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από τον άξονα του κάτω από την επίδραση σωμάτων που συνδέονται μενήματατυλιγμένασεαυτόν Στερόσώμαπεριστρεφομένογύρωαπόσημείοκάτωαπότηνεπίδρασηεξωτερικήςδύναμης...143

7 ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ Κύλινδροςκυλίεταισεεπίπεδηεπιφάνεια Κύλινδροςπεριστρέφεταιγύρωαπόάξοναπρινκαιμετάτηνεπαφήτουμεοριζόντιοεπίπεδο Οδίσκοςπεριστρέφεταικαθώςκινείταιπροςτακάτω Επίπεδοςδίσκοςπεριστρέφεταιγύρωαπότονσταθερό z-άξονα Ιδεατόςκύλινδροςυγρούσεδοχείομερευστόπουηρεμεί Τοσύστημακαλώδιο-σώμαβυθισμένοσεδοχείομευγρό Ηροήτουνερούαπότοστόμιοβρύσης Σωλήναςμεταβλητήςδιατομήςπουδιαρρέεταιαπόρευστό Η πλάκα ισορροπεί λόγω της δυναμικής άνωσης που δημιουργείται από ρεύμα αέρα στην πάνω της επιφάνεια Εκροήρευστούαπόοπήδοχείου Αδρανειακάσυστήματααναφοράςπουκινούνταιμεσταθερήσχετικήταχύτητα Ιδεατόπείραμαγιατηνέννοιατουταυτόχρονου Συσκευή λέϊζερ εκπέμπει ακτίνα προς τη οροφή κινούμενου οχήματος και ανακλάται από καθρέφτη. Η κόκκινη καμπύλη αναπαριστά την πορεία της ακτίνας όπως την περιγράφει παρατηρητής που ηρεμεί μετοόχημα Ηκαινούργιαπορείατηςακτίναςόπωςπεριγράφεταιαπόπαρατηρητήπουηρεμείμετοέδαφος Συστολή μόνο της ακμής του κύβου που είναι παράλληλη με την διεύθυνση της σχετικής ταχύτητας Το μήκος της ράβδου όπως αυτό μετράται σε αδρανειακά συστήματα που βρίσκονται σε σχετική κίνηση Ακτίναφωτόςπουδιέρχεταιμέσααπόστήληνερούπουκινείταιμεσταθερήσχετικήταχύτητα...166

8 8 ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ

9 Κατάλογος Πινάκων 6.1 Τα γραμμικά ανεξάρτητα σύνολα συναρτήσεων για συγκεκριμένους μη ομογενής όρους Οικωνικέςτομέςμετιςαντίστοιχεςτιμέςεκκεντρότητας ǫκαι s

10 Μέρος Ι Μαθηματικό Παράρτημα

11 Κεφάλαιο 1 ΟΔιανυσματικόςΧώρος R 3 Στη φύση υπάρχουν δύο απλές κατηγορίες μεγεθών: 1. Τα μονόμετρα τα οποία προσδιορίζονται πλήρως από την αριθμητική τους τιμή και την μονάδα μέτρησης 2. Τα διανυσματικά τα οποία χρειάζονται επιπλέον και προσανατολισμό. Παραδείγματα μονόμετρων μεγεθών αποτελούν η μάζα, η θερμοκρασία, η ενέργεια, το μήκος κύματος ενώ διανυσματικά είναι η θέση, η ορμή, η επιτάχυνση, οι δυνάμεις και η στροφορμή. Τα διανυσματικά μεγέθη δεν παραμένουν αναλλοίωτα κάτω από στροφές του συστήματος συντεταγμένων. 1.1 Η Γεωμετρία του Ευκλείδιου Χώρου ΟμαθηματικόςχώροςμελέτηςτωνφαινομένωντηςΚλασικήςΜηχανικήςείναιοδιανυσματικόςχώρος V = R 3 πάνω στο σώμα των πραγματικών αριθμών K = R. Μελετάμε τη δομή του χώρου αυτού παραθέτοντας τους ορισμούς βασικών εννοιών με στόχο την πληρέστερη κατανόηση των φυσικών μεγεθών από τον αναγνώστη. Ορισμός Σώμα είναι ένα σύνολο K εφοδιασμένο με δύο πράξεις, την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό οι οποίες ικανοποιούν τα αξιώματα σώματος 1. Αξιώματα της πρόσθεσης. (α1) Εάν α,β Kτότε (α+β) K. (α2) Ηπρόσθεσηείναιμεταθετική: α+β = β +α, α,β K. (α3) Ηπρόσθεσηείναιπροσεταιριστική: (α+β)+γ = α+(β +γ), α,β,γ K. (α4) ΤοΚπεριέχειέναστοιχείοτο0,τέτοιοώστε 0+α = α, α K. (α5) Σεκάθεστοιχείο α Kαντιστοιχείέναστοιχείο ( α) Kτέτοιοώστε α+( α) = Αξιώματα του πολλαπλασιασμού. (β1) Εάν α,β Kτότετο (α β) K. (β2) Οπολλαπλασιασμόςείναιμεταθετικός: α β = β α (β3) Οπολλαπλασιασμόςείναιπροσεταιριστικός: (α β) γ = α (β γ) (β4) ΤοΚπεριέχειέναστοιχείοτο1με 1 0τέτοιοώστε 1 α = α, α K. (β5) Σεκάθε α Kμε α 0αντιστοιχίζεταιέναστοιχείο 1 α Kτέτοιοώστε α( 1 α) = Επιμεριστικός νόμος (γ1)γιαοποιαδήποτε α,β,γ Kισχύειότι α (β +γ) = α β +α γ. Ορισμός Ενα μη κενό σύνολο V πάνω στο σώμα K θα ονομάζεται διανυσματικός ή γραμμικός χώρος και θα συμβολίζεται με V(K), εάν ικανοποιούνται τα ακόλουθα αξιώματα: 11

12 12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 1.Οποιαδήποτεδύοστοιχεία x,y V μοναδικάκαθορίζουνένατρίτοστοιχείοτο (x+y) V πουονομάζεται άθροισμα των x, y. Αυτό το στοιχείο ικανοποιεί: (α x+y = y +x(μεταθετικότητα). (β) (x+y)+z = x+(y +z)(προσεταιριστικότητα). (γ) Υπάρχειτοστοιχείο 0 V πουονομάζεταιμηδενικόστοιχείοκαιέχειτηνιδιότητα x+0 = x, x V. (δ) Γιακάθεστοιχείο x V υπάρχειτοστοιχείο ( x) V,πουονομάζεταιαρνητικόήαντίθετοτου xκαι έχειτηνιδιότητα x+( x) = 0. 2.Γιαοποιαδήποτε α K, x V μοναδικάκαθορίζεταιτοστοιχείο (α x) V τοοποίοονομάζεταιγινόμενο των ακαι x.αυτότοστοιχείοικανοποιεί: (α) α (β x) = (α β) x. (β) 1 x = x. 3. Οι πράξεις του πολλαπλασιασμού και της πρόσθεσης ικανοποιούν τους νόμους (α) (α+β) x = α x+β x. (β) α (x+y) = α x+α y. Οταντοσώμα K = Cτότεμιλάμεγιαμιγαδικόδιανυσματικόχώροτονοποίοθασυμβολίζουμεμε V(C). Παράδειγμα Η ευθεία των πραγματικών αριθμών με τις συνήθεις αριθμητικές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού είναι ένας γραμμικός χώρος. Παράδειγμα1.1.4 Ο n-διάστατοςδιανυσματικόςχώρος R n ή C n. Αποτελείταιαπότιςδιατεταγμένες n-άδες (x 1,x 2,,x n ) 1 πραγματικώνήμιγαδικώναριθμώνμετιςπράξειςτηςπρόσθεσηςκαιτουπολλαπλασιασμούνα ορίζονται από τις σχέσεις (x 1,x 2,,x n )+(y 1,y 2,,y n ) = (x 1 +y 1,x 2 +y 2,,x n +y n ) α (x 1,x 2,,x n ) = (α x 1,α x 2,,α x n ). (1.1) Παράδειγμα Το σύνολο των συνεχών πραγματικών ή μιγαδικών συναρτήσεων στο διάστημα [a, b] με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης συναρτήσεων και του πολλαπλασιασμού συναρτήσεων με αριθμούς. Ο χώρος C [a,b] είναιέναςγραμμικόςχώρος. Τα διανύσματα έχουν τρία βασικά χαρακτηριστικά: προσανατολισμό, φορέα και μήκος. Ο προσανατολισμός ενός ευθύγραμμου τμήματος καθορίζεται εάν διατάξουμε τα άκρα του, δηλαδή ορίσουμε ποια είναι η αρχή και ποιο το πέρας του. Κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα βρίσκεται πάνω σε μοναδική ευθεία που ονομάζεται φορέας του ευθύγραμμου τμήματος. Το μήκος ενός διανύσματος είναι η απόσταση του πέρατος από την αρχή του διανύσματος. Στο σύνολο B των προσανατολισμένων ευθύγραμμων τμημάτων μπορούμε να ορίσουμε μία σχέση ισοδυναμίας(ικανοποιείτηνανακλαστική(ab BA),συμμετρική(AB CD CD AB)καιμεταβατική ιδιότητα(εάν AB CDκαι CD EFτότε AB EF)σύμφωναμετηνοποία AB CDεάν (1)Τα AB,CDέχουντονίδιοφορέα. (2)Τα AB,CDέχουντηνίδιαφορά. (3)Τοίδιομήκος. Η σχέση ισοδυναμίας διαμερίζει το σύνολο B σε κλάσεις ισοδυναμίας που κάθε μία ονομάζεται διάνυσμα. Ετσι ορίζουμε σαν διάνυσμα το OA = {OB B : OA OB}. (1.2) Θεωρούμετώραέναορθογώνιοσύστημασυντεταγμένωνμεαρχήτο 0καιορθοκανονικήβάση ê 1,ê 2,ê 3. Σε κάθεστοιχείο(ήσημείοήδιάνυσμα)του R 3 μπορούμενααντιστοιχίσουμεμίακαιμόνομίαδιατεταγμένητριάδα 1 Μετονόροδιατεταγμένη n-άδαεννοούμεότιτα (x 1,x 2,,x n)και (x 2,x 1,,x n)αντιστοιχούνσεδιαφορετικάσημείατου R n όταν x 1 x 2.

13 1.2. ΕΣΩΤΕΡΙΚ ΟΚΑΙΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΓΙΝ ΟΜΕΝΟ 13 πραγματικών αριθμών (x, y, z), που ονομάζονται συντεταγμένες του σημείου, και αντίστροφα, σε κάθε τριάδα μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα και μόνο ένα σημείο του χώρου. Ηπρόσθεσηδύοστοιχείωντου R 3 ορίζεταιαπότηνσχέση (x 1,y 1,z 1 )+(x 2,y 2,z 2 ) = (x 1 +x 2,y 1 +y 2,z 1 +z 2 ). (1.3) Τοδιανυσματικόάθροισμα r 1 + r 2 γεωμετρικάκατασκευάζεταιεάνπρώταμετατοπίσουμετοπροσανατολισμένο ευθύγραμμοτμήμα r 2 παράλληλαμετοναρχικότουφορέακαιστηνσυνέχειαταυτίσουμετηναρχήτουμετοπέρας τουδιανύσματος r 1.Τοπέραςτουνέουπροσανατολισμένουευθύγραμμουτμήματοςείναιτοπέραςτουδιανύσματος r 1 + r 2.Τοβαθμωτόγινόμενομεπραγματικόαριθμόορίζεταιμέσωτης r 2 r 1 + r 2 r 2 r 1 Σχήμα 1.1: Γεωμετρική κατασκευή του αθροίσματος δύο διανυσμάτων. λ(x,y,z) = (λx,λy,λz). (1.4) Η γεωμετρική κατασκευή του βαθμωτού πολλαπλασιασμού διανυσμάτων είναι η εξής: Αν λ R τότε το διάνυσμα λ rέχειτονίδιοφορέαμετο r,μήκος λ r καιφοράτηνίδιαμετο rεάν λ > 0ήαντίθετηαν λ < 0. r λ r, λ R + Σχήμα 1.2: Γεωμετρική κατασκευή του πολλαπλασιασμού διανύσματος με θετικό πραγματικό αριθμό. Ορισμός Δύο διανύσματα θα είναι ίσα αν ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναμίας. Αλγεβρικά εκφράζουμε αυτή την συνθήκη ως r 1 = r 2 x 1 = x 2 και y 1 = y 2 και z 1 = z 2. (1.5) 1.2 Εσωτερικό και Διανυσματικό Γινόμενο Τα μονόμετρα(ή βαθμωτά) μεγέθη μπορούν να περιγραφούν αυτόνομα, συναρτήσει άλλων βαθμωτών(όπως η πυκνότητα) ή διανυσματικών μεγεθών που συνδέονται με κάποια πράξη. Στην παρούσα ενότητα θα ορίσουμε τις πράξεις αυτές όπως επίσης και το μήκος(ή νόρμα) ενός διανύσματος. Ορισμός1.2.1 Εστωογραμμικόςχώρος R 3 πάνωστοσώματωνπραγματικώναριθμών. Εναεσωτερικό γινόμενοστον R 3 είναιμίααπεικόνιση για την οποία ισχύουν (i)το < x,x >είναιαυστηράθετικό x R 3 <, >: R 3 R 3 R (1.6)

14 14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 (ii) < x,x >= 0 x = 0 (iii) < x,y >=< y,x >(συμμετρικό) (iv) < x,λ 1 y 1 +λ 2 y 2 >= λ 1 < x,y 1 > +λ 2 < x,y 2 >, λ 1,λ 2 R. Άλλοιισοδύναμοιτρόποιγραφήςτουεσωτερικούγινομένουείναι < x,y >= (x,y) = x y. Ορισμός Ενας γραμμικός χώρος εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο ονομάζεται χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Ορισμός Η απεικόνιση όπου x = < x,x >είναινόρμαστον R 3 δηλαδήικανοποιεί (i) x+y x + y (τριγωνικήανισότητα) (ii) λx = λ x (θετικάομογενής) (iii) x > 0, x R 3 {0}και x = 0 x = 0 x,y R 3, λ R. : R 3 R + (1.7) Ορισμός1.2.4 Οδιανυσματικόςχώρος R 3 με εσωτερικόγινόμενο x y = 3 i=1 x iy i καινόρμα x = 3 i=1 x2 i ονομάζεταιευκλείδιοςχώρος. Πόρισμα Για οποιαδήποτε δύο στοιχεία του Ευκλείδιου χώρου ισχύει η ανισότητα των Cauchy Schwarz x y x y. (1.8) Θεώρημα1.2.6 Εστω x, y R 3 και 0 θ πηγωνίαπουσχηματίζουνόταντοποθετηθούναρχήμεαρχήή πέρας με πέρας. Τότε x y = x y cosθ. (1.9) Παρατηρήστεότιηέκφρασηαυτήείναιανεξάρτητηαπότοσύστημασυντεταγμένων. Επίσηςόταν x y = 0τότε το xείναικάθετοήορθογώνιοτου y(μετηνπροϋπόθεσηότικανένααπόταδύοδιανύσματαδενείναιμηδέν). ( ) y y Τοεσωτερικόγινόμενομπορείναγραφείισοδύναμασαν x y = y x y όπουοόρος x y εκφράζειτην προβολήτουδιανύσματος xστηνκατεύθυνσητουμοναδιαίουδιανύσματος y y. Παράδειγμα Στη Φυσική η δύναμη και η τροχιά είναι προσανατολισμένες ποσότητες. Το έργο που παράγεται κατά την κίνηση ενός σώματος κατά μήκος της τροχιάς C και κάτω από την επίδραση εξωτερικής δύναμης Fδίνεταιαπότοεπικαμπύλιοολοκλήρωμα W = F d s. (1.10) C Εάν η δύναμη είναι κάθετη στη μετατόπιση τότε δεν παράγεται έργο. Παράδειγμα αποτελεί η δύναμη που ασκείται σε κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Παράδειγμα Η ηλεκτρική πυκνότητα ενέργειας είναι ανάλογη του εσωτερικού γινομένου της ηλεκτρικής έντασης με την ηλεκτρική μετατόπιση u = 1 8π E D. (1.11) Για να περιγράψουμε μαθηματικά τα φυσικά φαινόμενα χρειαζόμαστε ένα σύστημα συντεταγμένων(και άρα βάση) ως πρός το οποίο θα γίνουν οι υπολογισμοί. Δίνουμε την έννοια του ορθοκανονικού συστήματος.

15 1.2. ΕΣΩΤΕΡΙΚ ΟΚΑΙΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΓΙΝ ΟΜΕΝΟ 15 Ορισμός1.2.9 Ενασύνολομημηδενικώνδιανυσμάτων { e i, i I}θαλέγεταιορθοκανονικόεάν ( e i, e j ) = δ ij = { 0 για i j 1 για i = j. (1.12) Εάντα { x i, i I}αποτελούνορθογώνιοσύστηματότετα { xi x i, i I}αποτελούνορθοκανονικόσύστημα. Θεώρημα Ταδιανύσματαενόςορθοκανονικούσυστήματοςείναιγραμμικάανεξάρτητα 2. Ενα ορθογώνιο σύστημα k-διανυσμάτων θα αποτελεί ορθογώνια βάση εάν είναι πλήρης δηλαδή εάν ο μικρότερος κλειστόςυπόχωροςπουπεριέχειτοορθογώνιοσύστημαείναιόλοςοχώροςr 3 ήόταντοσύνολοτωνk-διανυσμάτων είναι ανεξάρτητο και δεν περιέχει κανένα ανεξάρτητο υποσύνολο k + 1-διανυσμάτων. Συνήθωςστον R 3 συμβολίζουμεμε i = e 1 = e x = ê x = (1,0,0), j = e 2 = e y = ê y = (0,1,0), k = e3 = e z = ê z = (0,0,1). (1.13) Μεβάσητονορισμότηςπρόσθεσηςκαιτουαριθμητικούπολλαπλασιασμούβρίσκουμεότιαν r = (x,y,z)τότε r = x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1) = x i+y j +z k. (1.14) Τα i, j, kονομάζονταιδιανύσματατηςκανονικήςβάσηςτου R 3 ήκαρτεσιανήβάσητου R 3 καιικανοποιούντις σχέσεις: i 2 = j 2 = k 2 = 1και i j = j k = k i = 0. (1.15) Ορισμός Εστω u = u 1 i+u 2 j +u 3 k, v = v1 i+v 2 j +v 3 k R 3.Ορίζουμεδιανυσματικόγινόμενοτων u, vκαιτοσυμβολίζουμεμε u vτοδιάνυσμα ή χρησιμοποιώντας τον μνημονικό κανόνα u v = u 2 u 3 v 2 v 3 i u 1 u 3 v 1 v 3 j + u 1 u 2 v 1 v 2 k = u v sinθ n (1.16) u v = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3. (1.17) Επίσηςτο n = u v u v είναιμοναδιαίοκαικάθετοστοεπίπεδοπουπαράγεταιαπότα u, v. Ηκατεύθυνσητου διανύσματος u v είναι αυτή που καθορίζεται από τον κανόνα της δεξιάς χειρός. Από τον ορισμό συμπεραίνουμε ότι το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων σε παράλληλους φορείς είναι το μηδενικό διάνυσμα u v = 0. Λήμμα Το διανυσματικό γινόμενο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες (α) u v = ( v u)(αντιμεταθετική). (β) u (λ v +µ w) = λ( u v)+µ( u+ w)(προσεταιριστική) (γ) ( u v) w u ( v w)(μηεπιμεριστική). Απόδειξη: 2 Τοσύνολοτωνδιανυσμάτων { x 1,, x k } R n ονομάζεταιγραμμικάανεξάρτητοεάνκαιμόνοεάνησχέση συνεπάγεταιότι c 1 = = c k = 0 c 1 x 1 + c k x k = 0, c i R

16 16 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 (1)Χρησιμοποιώνταςτηνπυκνότητα Levi Civita 3 έχουμε ( u v) i = = = 3 i,j,k=1 3 i,j,k=1 3 i,j,k=1 ǫ ijk u j v k ǫ ikj u j v k, λόγωαντισυμμετρικότηταςτου ǫ ijk ǫ ijk v j u k, αλλάζουμετηνονομασίατωνδεικτών = ( v u) i. (1.18) (2) Εστωδιάνυσμα uκάθετοστα v, w,δηλαδή u v = u w = 0.Τότεθαισχύειησχέση u ( v+ w) = u v+ u w. Αναλύουμε τα διανύσματα v, w σε δύο συνιστώσες μία παράλληλη και μία κάθετη στη διεύθυνση του u. Οπότε (3) Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα έχουμε και u ( v + w) = u ( v + w) + u ( v + w) [( u v) w] i = = u ( v + w), γιατίτο u ( v + w) = u v + u w, λόγωτηςαρχικήςπαρατήρησης = u v + u w (1.19) ǫ ijk ǫ ilm = δ jl δ km δ jm δ kl (1.20) = 3 j,k=1 ǫ ijk ( u v) j w k = 3 j,k=1l,m=1 3 3 j,k=1 l,m=1 3 (δ il δ km δ im δ kl )u l v m w k ǫ ijk ǫ jlm u l v m w k = v i ( u w) u i ( v w) (1.21) [ u ( v w)] i = v i ( u w) w i ( v u). (1.22) Πόρισμα Η γεωμετρική ερμηνεία της νόρμας του διανυσματικού γινομένου είναι ότι παριστάνει το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με πλευρές u, v. Απόδειξη: Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με βάση το u είναι S = u h = u v cosθ = u v (1.23) 3 Θαμπορούσαμε ναγράψουμε τιςσυνιστώσες τουδιανυσματικού γινομένουχρησιμοποιώντας τηνπυκνότητα (ήσύμβολοτων) Levi Civita, ǫ ijk,πουορίζεταιαπότην ǫ ijk = +1 εάντα i,j,kείναιάρτιαμετάθεσητων1,2,3 1 εάντα i,j,kείναιπεριττήμετάθεσητων1,2,3 0 διαφορετικά. Ετσι όπου επαναλαμβανόμενοι δείκτες αθροίζονται. ( u v) i = ǫ ijk u j v k

17 1.2. ΕΣΩΤΕΡΙΚ ΟΚΑΙΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΓΙΝ ΟΜΕΝΟ 17 v θ h u Σχήμα1.3:Τοεμβαδόντουπαραλληλογράμμουμεπλευρές u, vισούταιμετομήκοςτουδιανύσματος u v. Ταδιανύσματα i, j, kσχηματίζουνμίαδεξιόστροφηβάσηκαιικανοποιούντιςσχέσεις i i = j j = k k = 0 i j = k j k = i k i = j. (1.24) Διανύσματα που προκύπτουν από διανυσματικό γινόμενο δεν είναι πραγματικά(ή πολικά) διανύσματα. Για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτό τον ισχυρισμό θα μελετήσουμε τα είδη των μετασχηματισμών. Οι μετασχηματισμοί διακρίνονται σε δύο κατηγορίες(μαθηματικά ισοδύναμοι): (i) Παθητικοί όταν δρούν στο σύστημα συντεταγμένων και όχι στο φυσικό σύστημα(ή τα παρατηρήσιμα μεγέθη). (ii) Ενεργητικοί όταν δρούν στο φυσικό σύστημα ενώ το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται παραμένει αμετάβλητο. Παρατήρηση Δεν μετασχηματίζουμε και το σύστημα συντεταγμένων και το φυσικό σύστημα γιατί τότε δεν θα παρατηρούσαμε κάποια αλλαγή. Παράδειγμα Θεωρούμε το διάνυσμα θέσεως ενός σωματιδίου στο επίπεδο σαν το φυσικό μας σύστημα και συμβολίζουμε με A τον πίνακα μετασχηματισμού που παριστάνει στροφή ενός Καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένωνσεέναάλλοκατάγωνία θ. Τότεγράφουμε ( r) = A rεάνομετασχηματισμόςείναιπαθητικόςκαι εννοούμε ότι το διάνυσμα θέσεως παραμένει αμετάβλητο ενώ ο A δρά στο σύστημα συντεταγμένων(έστω κατά φοράαντίθετητηςκίνησηςτωνδεικτώντουρολογιού). Γιαενεργητικόμετασχηματισμόγράφουμε r = A rκαι εννοούμεότιοaδράστοδιάνυσμαθέσεως(κατάτηφοράκίνησηςτωνδεικτώντουρολογού)ενώτοσύστημα συντεταγμένων παραμένει το ίδιο. Θεωρούμε τον ενεργητικό μετασχηματισμό r i = S ijr j = δ ij r j = r i, i,j = 1,2,3 (1.25) που αντιπροσωπεύει τρισδιάστατη ανάκλαση του διανύσματος θέσεως(το φυσικό σύστημα) ως πρός την αρχή του συστήματοςσυντεταγμένων.επειδήοsέχειορίζουσα 1οαντίστοιχοςορθογώνιοςμετασχηματισμός(S = S 1 ) ονομάζεται μη κανονικός. Ολεςοισυνιστώσεςενόςπραγματικού(ήπολικού)διανύσματος r R 3 αλλάζουνπρόσημοσύμφωναμετην (1.25). Οισυνιστώσεςόμωςτουεξωτερικούγινομένουδεναλλάζουνπρόσημογιατί (S u) (S v) = u vαφού S 2 = I. Ενατέτοιομέγεθοςπουδεναντιστρέφειτηνκατεύθυνσήτουκάτωαπόμηκανονικόμετασχηματισμό ονομάζεται axial ή ψευδοδιάνυσμα. Εάν ο μετασχηματισμός ήταν παθητικός τότε θα θεωρούσαμε ανάκλαση του συστήματος συντεταγμένων ως πρός την αρχή ενώ το διάνυσμα θέσεως r θα παρέμενε αμετακίνητο. Οι συντεταγμένες του διανύσματος θέσεως ως πρός το νέο σύστημα θα άλλαζαν πάλι πρόσημο. Παρατηρήστε ότι ο μετασχηματισμός αυτός αλλάζει το αρχικό δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων σε αριστερόστροφο. Άρα το διανυσματικό γινόμενο αλλάζει κατεύθυνση στην περίπτωση αυτή. Ο διαχωρισμός μεταξύ ενός πραγματικού διανύσματος και ενός ψευδοδιανύσματος μπορεί επίσης να γίνει χρησιμοποιώντας ανάκλαση ως πρός επίπεδο. Σύμφωνα με την ενεργητική ερμηνεία του μετασχηματισμού κρατούμε τους άξονες σταθερούς και ανακλούμε το r έστω στο xy-επίπεδο οπότε r r = (x,y, z). (1.26) Θεωρούμε κλειστή καμπύλη παράλληλη με το yz-επίπεδο που διαρρέεται από ρεύμα αντίθετα της φοράς κίνησης των δεικτώντουρολογιού.ημαγνητικήροπήδίνεταιαπότην µ = I 2c r d lκαιέχειτηνθετική x-κατεύθυνση.κάτω

18 18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 απότονμετασχηματισμό(1.25)ηκλειστήκαμπύληαλλάζειπροσανατολισμόκαι µ = ( µ x,0,0).παρόμοιαεάνη καμπύληήτανπαραλληληστο xzή xy-επίπεδοθαβρίσκαμε µ = (0, µ y,0)και µ = (0,0,µ z )αντίστοιχα.οπότε γιααυθαίρετηκατεύθυνσηημαγνητικήροπήθαμετασχηματιζότανσαν µ = ( µ x, µ y,µ z ). Εναψευδοδιάνυσμα μετασχηματίζεται σύμφωνα με την P i = (deta)a ijp j, (A ij ) = (1.27) Στην φύση δεν υπάρχει διαχωρισμός μεταξύ δεξιόστροφου και αριστερόστροφου συστήματος συντεταγμένων εκτός από την ακτινοβολία βήτα. Ετσι η ισότητα διανυσμάτων θα αναφέρεται σε δύο πολικά ή δύο ψευδοδιανύσματα. Φυσικά μεγέθη που μπορούν να παρασταθούν με διανυσματικό γινόμενο είναι η στροφορμή ενός σωματιδίου ωςπροςένασημείο L = r p,ηροπήδύναμηςωςπρόςσημείο N = r F,ηδύναμη Lorentzπουασκείταισε ένασημειακόφορτίουπότηνπαρουσίαμαγμητικούπεδίου F L = q v B. Υπάρχουνεπίσηςδιανυσματικάμεγέθη που γράφονται σαν άθροισμα ενός πραγματικού διανύσματος και ενός ψευδοδιανύσματος. Παράδειγμα αποτελεί η δύναμηπουασκείταισεφορτισμένοσωματίδιοπουκινείταισεηλεκτρομαγνητικόπεδίο F = q E + F L Ορισμός Εάνδοθούντρίαδιανύσματα u, v, w R 3 οπραγματικόςαριθμός u 1 u 2 u 3 [ u, v, w] = u ( v w) = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 (1.28) ονομάζεται βαθμωτό τριπλό γινόμενο των u, v, w. Το εσωτερικό γινόμενο ενός πραγματικού διανύσματος με ένα ψευδοδιάνυσμα ονομάζεται ψευδοβαθμωτό γινόμενο γιατί αλλάζει πρόσημο κάτω από μη κανονική στροφή. Πόρισμα Η απόλυτη τιμή του τριπλού γινομένου γεωμετρικά παριστάνει τον όγκο του παραλληλεπιπέδου (πουισούταιμετοεμβαδόνβάσηςεπίτοκάθετούψος)μεπλευρές u, v, w. Απόδειξη: Ο όγκος του παραλληλεπιπέδου με βάση το παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές τα v, w δίνεται από την u π 2 θ w v Σχήμα 1.4: Ο όγκος του παραλληλεππιπέδου ισούται με το βαθμωτό τριπλό γινόμενο των πλευρών του. σχέση ( π ) V = hs = h v w = u v w sin 2 θ = u v w cos θ. (1.29) Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι τρία διανύσματα γραμμικά ανεξάρτητα είναι Λήμμα Το τριπλό βαθμωτό γινόμενο έχει τις εξής ιδιότητες: [ u, v, w] 0 (1.30)

19 1.3. ΣΥΣΤ ΗΜΑΤΑΣΥΝΤΕΤΑΓΜ ΕΝΩΝ 19 (i) Παραμένει αναλλοίωτο κάτω από κυκλική μετάθεση των διανυσμάτων u, v, w: (ii)εάντα u, v, wείναιομοεπίπεδατότε [ u, v, w] = 0. [ u, v, w] = [ w, u, v] = [ v, w, u]. (1.31) Το γινόμενο αυτό χρησιμοποιείται στον ορισμό της δυϊκής βάσης με εφαρμογές στην κρυσταλλογραφία. Εάν e a, e b, e c είναιτρίαμησυνεπίπεδαδιανύσματατου R 3,όχικατανάγκηορθοκανονικά,τότεένατυχαίοδιάνυσματου χώρου μπορεί να γραφεί σαν v = λ v ( e b e c ) e a +µ v ( e c e a ) e b +ν v ( e a e b ) e c (1.32) όπου οι συντελεστές λ, µ, ν είναι ίσοι μεταξύ τους, λόγω της ισοτροπίας του χώρου. Θέτοντας διαδοχικά στην (1.32)όπου v = e a, e b, e c βρίσκουμεότι λ = 1/ e a ( e b e c ).Ταδιανύσματα e A = e b e c e a ( e b e c ), e B = e c e a e a ( e b e c ), e C = e a e b e a ( e b e c ) (1.33) συνιστούντηνδυϊκήβάσητουσυνόλου { e a, e b, e c }.Ηδυϊκήβάσηικαναοποιείτιςσχέσεις e a e A = e b e B = e c e C = 1 e a e B = e a e C = e b e A = e b e C = e c e A = e c e B = 0. (1.34) Εάνηαρχικήβάσηέχειδιαστάσειςμήκους [L]τότεηδυϊκήβάσηέχειδιαστάσεις [L] 1. Ορισμός Εάνδοθούντρίαδιανύσματα u, v, w R 3 τότεταδιανύσματα u ( v w) = ( u w) v ( u v) w και ( u v) w = ( u w) v ( w v) u (1.35) ονομάζονται διανυσματικά τριπλά γινόμενα των u, v, w. Μπορεί να δειχθεί ότι u ( v w)+ w ( u v)+ v ( w u) = 0. (1.36) Παράδειγμα Η κεντρομόλος επιτάχυνση F κ = ω ( ω r) (1.37) όπου ω η γωνιακή ταχύτητα. 1.3 Συστήματα Συντεταγμένων Θα περιοριστούμε σε ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων γιατί προβλήματα που σχετίζονται με αυτά μπορούν να επιλυθούν αναλυτικά. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες έχουμε τρεις αμοιβαία κάθετες οικογένειες επιπέδων: x =σταθερό, y =σταθερό και z =σταθερό. Ενα γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων αποτελείται από τρεις οικογένειες επιφανειών που περιγράφονται συναρτήσει των ορθογώνιων συντεταγμένων από τις εξισώσεις ξ 1 (x,y,z) =σταθερό, ξ 2 (x,y,z) =σταθερό, ξ 3 (x,y,z) =σταθερό (1.38) και δεν είναι μεταξύ τους παράλληλες ή επίπεδες. Στις περισσότερες περιπτώσεις είναι βολικότερο να αντιστρέψουμε τις εξισώσεις(1.38) και να γράψουμε x = f(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ), y = g(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ), z = h(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) (1.39) όπου οι f, g, h είναι συνεχείς με συνεχείς μερικές παραγώγους και μονότιμες αντίστροφες(εκτός πιθανώς από πεπερασμένο αριθμό απομονωμένων σημείων ή γραμμών), έτσι ώστε να υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των συντεταγμένων ενός σημείου στο ορθογώνιο και στο γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων. Οι τρεις επιφάνειες ξ 1 (x,y,z) = c 1,ξ 2 (x,y,z) = c 2,ξ 3 (x,y,z) = c 3, όπου c 1,c 2,c 3 σταθερές, ονομάζονταιεπιφάνειες συντεταγμένων και τέμνονται ανά δύο σχηματίζοντας τρεις οικογένειες καμπύλων που ονομάζονται συντεταγμένες καμπύλες ή γραμμές.

20 20 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 Εάν οι συντεταγμένες επιφάνειες που διέρχονται από ένα σημείο τέμνονται κατά ορθή γωνία το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ορθογώνιο. Σε κάποιο σημείο του χώρου από το οποίο διέρχονται οι συντεταγμένες επιφάνειες τοποθετούμετρίαμοναδιαίαδιανύσματα { e i, i = 1,2,3}καθέναεκτωνοποίωνεφάπτεταιστηναντίστοιχησυντεταγμένη καμπύλη. Το διάνυσμα θέσεως του σημείου P στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων γράφεται Από την(1.40) έχουμε r = x i+y j +z k = f(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) i+g(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) j +h(ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) k (1.40) d r = r ξ 1 dξ 1 + r ξ 2 dξ 2 + r ξ 3 dξ 3 (1.41) όπουτοδιάνυσμα r ξ k είναιεφαπτόμενοτηςξ k συντεταγμένηςκαμπύληςστοp.μπορούμεναγράψουμε r ξ k = h k e k όπου h k = r.η(1.41)γράφεται ξ k d r = 3 h k dξ k e k. (1.42) k=1 Οιποσότητες h k ονομάζονταισυντελεστέςκλίμακας.τοστοιχειώδεςμήκοςτόξουδίνεταιγιαορθογώνιοσύστημα συντεταγμένων από την σχέση ds 2 = d r d r = 3 g ij dξ i dξ j = i,j=1 3 h 2 kdξk. 2 (1.43) όπου g ij = r ξ i r ξ j = 0, i jκαιοισυντελεστές g ij είναιοισυνιστώσεςενόςσυμμετρικούτανυστήδευτέρας τάξης. Ο όγκος στην περίπτωση αυτή δίνεται από την dv = r r r ξ 1 ξ 2 ξ 3 = (h 1dξ 1 e 1 ) (h 2 dξ 2 e 2 ) (h 3 dξ 3 e 3 ) = (x,y,z) (ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) dξ 1dξ 2 dξ 3 = h 1 h 2 h 3 dξ 1 dξ 2 dξ 3. (1.44) Παρατήρηση1.3.1 Εκτόςαπόταδιανύσματα { e i = r ξ i, i = 1,2,3}πουείναιεφαπτόμεναστιςσυντεταγμένες καμπύλεςυπάρχουνκαιταδιανύσματα { ǫ i = ξ i, i = 1,2,3}πουείναικάθεταστιςσυντεταγμένεςεπιφάνειες. Οι συνιστώσες ενός διανύσματος ως πρός την πρώτη βάση ονομάζονται ανταλλοίωτες ενώ ως πρός την δεύτερη αναλλοίωτες. Σφαιρικέςσυντεταγμένες (ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) = (r,θ,φ). Το σύστημα αυτό αποτελείται από τις εξής συντεταγμένες επιφάνειες: z k=1 φ P = (r,θ,φ) x θ y Σχήμα 1.5: Οι σφαιρικές συντετγμένες (r, θ, φ). (i) Ομόκεντρεςσφαίρεςμεκέντροτηναρχήτωναξόνων: r = x 2 +y 2 +z 2 =σταθερό

21 1.3. ΣΥΣΤ ΗΜΑΤΑΣΥΝΤΕΤΑΓΜ ΕΝΩΝ 21 (ii) Κυκλικοί κώνοι με άξονα συμμετρίας τον z-άξονα και κορυφή στην αρχή των αξόνων: ( ) z φ = arccos =σταθερό x2 +y 2 +z 2 (iii)ημιεπίπεδαπουπαιρνούναπότον z-άξονα: θ = arctan ( y x) =σταθερό Οι εξισώσεις μετασχηματισμού είναι x = rsinφcosθ, y = rsinφsinθ, z = rcosφ (1.45) όπου r 0, 0 θ < 2π, 0 φ π.οισυντελεστέςκλίμακαςδίνονταιαπότις h 1 = h 2 = h 3 = ( x ) r 2 ( ) 2 ( ) 2 y z r = + + = 1 r r r r θ = rsinφ r φ = r. (1.46) Το στοιχειώδες μήκος τόξου δίνεται από την ds 2 = dr 2 +r 2 sin 2 φdθ 2 +r 2 dφ 2 (1.47) και ο στοιχειώδης όγκος από την dv = r 2 sinφdrdθdφ (1.48) Τα μοναδιαία διανύσματα είναι r (1) ê r = r r = (sinφcosθ,sinφsinθ,cosθ).τοδιάνυσμααυτόέχειακτινικήκατεύθυνσηκαιείναικάθετο r στην επιφάνεια της σφαίρας. r φ (2) ê φ = r = r(cosφcosθ,cosφsinθ, sinθ).τοδιάνυσμααυτόείναιεφαπτομενικότουκύκλουr = r 1 φ και φ = φ 1.Είναιεπίσηςπαράλληλομετοεπίπεδο xy. r (3) ê θ = θ r = ( sinθ,cosθ,0).τομοναδιαίοαυτόδιάνυσμαέχεισυνιστώσακατάμήκοςτουαρνητικού θ z-άξονα. Εάν τα μοναδιαία διανύσματα μεταβάλονται με τον χρόνο τότε ισχύουν οι σχέσεις ê r = ê r dρ r dt + ê r dθ θ dt + ê r dφ φ dt = sinφ θê θ + φê φ ê φ = φê r +cosφ θê θ ê θ = sinφ θê r cosφ θê φ. (1.49) Παράδειγμα Να εκφραστούν σε σφαιρικές συντεταγμένες η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σωματιδίου.

22 22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 Το διάνυσμα θέσης του σωματίου δίνεται από την Η ταχύτητα θα είναι ενώ η επιτάχυνση 1 r = ( ρ ρ φ 2 rsin 2 φ θ 2 d )ê r +( rsinφdt r = rê r. (1.50) v = d r dt = ṙê r +rsinφ θê θ +r φê φ (1.51) ( r 2 sin φ θ) ) ( 1 2 ê θ + r d dt (r2 φ) rsinφcosφ θ2 Εάν φ = π 2 οιεκφράσειςτηςταχύτηταςκαιτηςεπιτάχυνσηςσεπολικέςσυντεταγμένεςείναι ) e φ. (1.52) r = ṙê r +r θê θ, r = ( ρ ρ φ2 )ê r +(2ṙ θ +r θ)ê θ (1.53) Κυλινδρικές συντεταγμένες (ρ, θ, z). Το σύστημα αυτό αποτελείται από τις εξής συντεταγμένες επιφάνειες: (i) Κύλινδροιμεκοινό z-άξονα: ρ = x 2 +y 2 =σταθερό. (ii)ημιεπίπεδαπουπαιρνούναπότον z-άξονα: θ = arctan 1( y x) =σταθερό. (iii) Επίπεδα παράλληλα με το xy-επίπεδο: z = σταθερό. Οι εξισώσεις μετασχηματισμού είναι x = ρcosθ, y = ρsinθ, z = z (1.54) όπου ρ 0, 0 θ < 2π, < z <.Οισυντελεστέςκλίμακαςδίνονταιαπότις h 1 = r r = 1 h 2 = r θ = ρ h 3 = r z = 1 (1.55) Το στοιχειώδες μήκος τόξου δίνεται από την και ο στοιχειώδης όγκος από την Τα μοναδιαία διανύσματα είναι ds 2 = dρ 2 +r 2 dθ 2 +dz 2 (1.56) dv = ρdρdθdz. (1.57) r ρ (1) ê ρ = r = (cosθ,sinθ,0). Τοδιάνυσμααυτόείναιπαράλληλομετο xy-επίπεδοκαιέχειακτινική ρ κατεύθυνση μακριά από τον άξονα z. r (2) ê θ = θ r = ρ( sinθ,cosθ,0). Τοδιάνυσμααυτόείναιεφαπτομενικότουκύκλουμεκέντρο z = z 1 θ καιακτίνα ρ.είναιεπίσηςπαράλληλομετοεπίπεδο xy.

23 1.4. ΒΑΘΜΩΤ Α,ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΑΚΑΙΤΑΝΥΣΤΙΚ ΑΜΕΓ ΕΘΗ 23 r (3) ê z = z r = (0,0,1). Τομοναδιαίοαυτόδιάνυσματαυτίζεταιμετο ê z τουκαρτεσιανούσυστήματος z συντεταγμένων. Εάν τα μοναδιαία διανύσματα μεταβάλονται με τον χρόνο τότε ισχύουν οι σχέσεις dê ρ dt = ê ρ dρ ρ dt + ê ρ dθ θ dt + ê ρ dz z dt = θê θ, dê φ dt = θê ρ, dê z dt = 0 (1.58) Παράδειγμα Να εκφραστούν σε κυλινδρικές συντεταγμένες η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σωματιδίου. Το διάνυσμα θέσης του σωματίου δίνεται από την Η ταχύτητα θα είναι r = ρê ρ +zê z. (1.59) ενώ η επιτάχυνση v = d r dt = ρê ρ +ρ ê ρ +żê z +z ê z = ρê ρ +ρ θê θ +żê z (1.60) r = ( ρ ρ θ 2 )ê ρ +(ρ θ +2 ρ φ)ê θ + zê z. (1.61) 1.4 Βαθμωτά, Διανυσματικά και Τανυστικά Μεγέθη Υπενθυμίζουμε ότι βαθμωτό είναι το μέγεθος εκείνο που παραμένει αναλλοίωτο κάτω από στροφές του διανύσματος θέσεως του φυσικού συστήματος(ή κάτω από γενικευμένους μετασχηματισμούς συντεταγμένων). Διανυσματικά λέγονται τα μεγέθη που αλλάζουν προσανατολισμό κάτω από στροφές του διανύσματος θέσεως του φυσικού συστήματος. Αυτά έχουν τον ακόλουθο νόμο μετασχηματισμού(για τον Ευκλείδιο χώρο) όπου N A i = a ij A j, i = 1,,N (1.62) j=1 a ij = x i x j (1.63) καιτα a ij εκφράζουντοσυνημίτονοτηςγωνίαςμεταξύτων x i και x j. Στιςδύοδιαστάσειςδίνονταιαπότον ορθογώνιο πίνακα ( ) cosθ sinθ (a ij ) =. (1.64) sinθ cosθ ΣτονΡημάνιοχώροκάτωαπότομετασχηματισμόσυντεταγμένων x µ x µ διακρίνουμεδύοείδηδιανυσμάτων (α) Ανταλλοίωταπουμετασχηματίζονταισαν A µ = x µ x ν A ν.παράδειγμααποτελείτο dx µ = x µ x ν dx ν. (β) Συναλλοίωταπουμετασχηματίζονταισαν A µ = xν x A µ ν. Παράδειγμααποτελείτο φ βαθμωτό πεδίο. x = xν φ µ x µ x ν όπου φ Τα βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη αποτελούν ειδικές περιπτώσεις μιας μεγαλύτερης κατηγορίας μεγεθών που ονομάζονται τανυστές. Τα βαθμωτά μεγέθη είναι τανυστές μηδενικής τάξης ενώ τα διανύσματα τανυστές πρώτης τάξης.γενικάσεένα N-διάστατοχώροέναςτανυστήςτάξεως nέχει N n συνιστώσες. Κάτωαπόγενικευμένους μετασχηματισμούς συντεταγμένων ένας τανυστής δευτέρας τάξεως στον Ρημάνιο χώρο μετασχηματίζεται ανάλογα μετοεάνείναι

24 24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΟΣΧ ΩΡΟΣ R 3 (α) Ανταλλοίωτοςσαν A ij = N k,l=1 x i x k x j x l A kl (β) Μικτόςσαν A i j = N k,l=1 x i x k x l x j A k l (γ)συναλλοίωτοςσαν A ij = N k,l=1 xk x i x l x j A kl. Η τάξη ενός τανυστή ισούται με τον αριθμό των μερικών παραγώγων(ή των συνιμητόνων κατεύθυνσης). Ο αριθμός των δεικτών(η τάξη του τανυστή) είναι ανεξάρτητος από την διάσταση του χώρου. Στον Ευκλείδιο χώρο και οι τρείς τανυστές ταυτίζονται. Ο διαχωρισμός υπάρχει στον Ρημάνιο χώρο. Παράδειγμα Η ένταση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου είναι δευτέρας τάξης αντισυμμετρικός τανυστής και στις τέσσερις διαστάσεις(τρείς χωρικές και μία χρονική) δίνεται από την έκφραση όπου µ = ( x 0, )και A ν = (Φ, A)τοτετραδιάστατοδυναμικό. F µν = µ A ν ν A µ (1.65)

25 Κεφάλαιο 2 Παραγώγιση 2.1 Η Γεωμετρία των Πραγματικών Συναρτήσεων Εστω fμίασυνάρτησημεπεδίοορισμούέναυποσύνολο Aτου R n καιπεδίοτιμώνστον R m.αυτόθαδηλώνεται με καιθαεννοούμεότισεκάθε x = (x 1,,x n ) A,η fδίνειμιατιμήτην f : A R n R m (2.1) f( x) = (f 1 ( x),,f m ( x)) R m. Οισυναρτήσεις fλέγονταιδιανυσματικέςεάν m > 1καιπραγματικέςεάν m = 1. Οταν m = 1οιπραγματικές συναρτήσειςλέγονταισυναρτήσεις n-μεταβλητώναφού f( x) = f(x 1,,x n ). Ορισμός2.1.1 Εστω f : U R n R.Ορίζουμεωςγράφηματης fτουποσύνολοτου R n+1 πουαποτελείται απόόλατασημεία (x 1,,x n,f(x 1,,x n )) R n+1 με (x 1,,x n ) U.Συμβολικάθαγράφουμε Γράφηματης f = {(x 1,,x n,f(x 1,,x n )) R n+1 (x 1,,x n ) U} (2.2) Ορισμός2.1.2 Εστω f : U R n Rκαι c R. Τοσύνολοστάθμηςμετιμή cορίζεταιτοσύνολοτων σημείων x Uγιαταοποία f( x) = c.αν n = 2μιλάμεγιακαμπύληστάθμηςμετιμή cκαιαν n = 3μιλάμεγια επιφάνεια στάθμης. Συμβολικά γράφουμε Σύνολοστάθμηςμετιμή c = { x U f( x) = c} R n. (2.3) Η γνώση των συνόλων στάθμης μιάς συνάρτησης βοηθά στην καλύτερη κατανόηση της δομής της συνάρτησης. 2.2 Ορια και Συνέχεια Ορισμός2.2.1 Εστω U R n.θαλέμεότιτο Uείναιανοιχτόσύνολοεάν x 0 U r > 0 D r ( x 0 ) U (2.4) όπου D r ( x 0 ) = { x U x x 0 < r}δηλαδήτοσύνολοτωνσημείωνπουβρίσκονταιστοεσωτερικότηςσφαίρας (ήμπάλας)μεκέντρο x 0 καιακτίνα r.τασυνοριακάσημείατου Uδενανήκουνστο U. Υϊοθετούμετησύμβασηότιτοκενόσύνολοείναιανοιχτό. Επίσηςηακτίνα r > 0εξαρτάταιαπότηνθέσητου σημείου x 0 καιγενικάτείνειναμηδενιστείαντο x 0 βρίσκεταιπολύκοντάστοσύνοροτου U. Θεώρημα2.2.2 Γιακάθε x 0 R n και r > 0,οD r ( x 0 )είναιανοιχτόσύνολο. 25

26 26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ2. ΠΑΡΑΓ ΩΓΙΣΗ Ορισμός2.2.3 Εστω A R n. Ενασημείο x R n λέγεταισυνοριακόσημείοτου Aανσεκάθεπεριοχήτου x υπάρχουν τουλάχιστον ένα σημείο του A και τουλάχιστον ένα σημείο εκτός του A(ή όταν περιέχει άπειρο το πλήθος σημείων του A). Παρατήρηση2.2.4 Εάντο x Aτότετο xείναισυνοριακόσημείοτου Aεάνσεκάθεπεριοχήτου xυπάρχει τουλάχιστονένασημείοπουδενανήκειστο A.Εάντο xδενανήκειστο Aτότεθαείναισυνοριακόσημείοτου A εάνσεκάθεπεριοχήτου xυπάρχειτουλάχιστονένασημείοτου A. Ορισμός2.2.5 Ενασημείο xείναισυνοριακόσημείοενόςανοιχτούσυνόλου Aανκαιμόνοαντο xδενανήκει στο Aκαικάθεπεριοχήτου xέχειμηκενήτομήμετο A. Παρατήρηση Από τον ορισμό του ανοιχτού συνόλου κανένα σημείο του δεν μπορεί να είναι συνοριακό αφούθαπρέπει D r ( x 0 ) Aκαικατάσυνέπεια D r ( x 0 ) A c =. Ορισμός2.2.7 Εστω f : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο. Εστω x 0 σημείοτου Aήσυνοριακόσημείο του Aκαι Nπεριοχήτου b R m.θαλέμεότιη f( x)τείνειστο bόταντο xτείνειστο x 0 καιθαγράφουμε lim f( x) = b ή f( x) b όταν x x0 (2.5) x x 0 εάνυπάρχειπεριοχή Uτου x 0 τέτοιαώστε x U Aμε x x 0 ναείναι f( x) N. Ορισμός2.2.8 Εστω f : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο. Εστω x 0 σημείοτου Aήσυνοριακόσημείο του A. Τότε lim x x0 f( x) = bανκαιμόνοανγιακάθεαριθμό ǫ > 0υπάρχει δ > 0τέτοιοώστεγιακάθε x A πουικανοποιείτην 0 < x x 0 < δναέχουμε f( x) b < ǫ. Θεώρημα2.2.9 Εστω f, g : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο, x 0 σημείοτου Aήσυνοριακόσημείο του A, b, b 1, b 2 R m και c R: (i)αν lim x x0 f( x) = bτότε lim x x0 c f( x) = c b,όπουηc f : A R m ορίζεταιαπότην x c f( x). (ii)αν lim x x0 f( x) = b1 καιαν lim x x0 g( x) = b 2 τότε lim x x0 ( f + g)( x) = b 1 + b 2 όπουη( f + g) : A R m ορίζεταιαπότην x f( x)+ g( x). (iii)αν m = 1, lim x x0 f( x) = b 1 και lim x x0 g( x) = b 2 τότε lim x x0 (fg)( x) = b 1 b 2 όπουη(fg) : A R m ορίζεταιαπότην x f( x)g( x). (iv)αν m = 1, lim x x0 f( x) = b 0και f( x) 0γιακάθε x Aτότε lim x x0 1 f( x) = 1 b όπουη 1 f : A Rm ορίζεταιαπότην x 1 f( x). (v) Αν f( x) = (f 1 ( x),,f m ( x))όπου f i : A R, i = 1,,mείναιοισυνιστώσεςσυναρτήσειςτης fτότε lim x x0 f( x) = (b1,,bm )ανκαιμόνοαν lim x x0 f i ( x) = b i, i = 1,,m. Ορισμός Εστω f : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο. Εστω x 0 A. Θαλέμεότιη fείναι συνεχήςστο x 0 ανκαιμόνοαν lim x x 0 f( x) = f( x0 ) (2.6) Θαλέμεότιη f είναισυνεχήςστο Aεάνείναισυνεχήςσεκάθε x 0 A. Διαισθητικάμίασυνάρτησηθαείναι συνεχής εάν δεν έχει κοψίματα στο γράφημά της. Θεώρημα Εστω f, g : A R n R m,όπου Aανοιχτόσύνολο,και c R: (i)ανη fείναισυνεχήςστο x 0 τοίδιοισχύεικαιγιατην cfόπου (cf)( x) = c[ f( x)]. (ii)ανοι f, gείναισυνεχείςστο x 0 τοίδιοισχύεικαιγιατην f + gόπου ( f + g)( x) = f( x)+ g( x). (iii)αν m = 1,καιοι f,gείναισυνεχείςστο x 0 τοίδιοισχύεικαιγιατην fgόπου (fg)( x) = f( x)g( x).

27 2.3. ΠΑΡΑΓ ΩΓΙΣΗ 27 (iv)αν m = 1,και lim x x0 f( x) = f( x 0 ) 0με f( x) 0γιακάθε x Aτότετοπηλίκο 1 ( ) f είναισυνάρτηση 1 συνεχήςστο x 0 όπου f ( x) = 1 f( x). (v) Αν f( x) = (f 1 ( x),,f m ( x))τότεη fείναισυνεχής x 0 ανκαιμόνοανκαθεμίααπότιςπραγματικέςσυναρτήσεις f i, i = 1,,mείναισυνεχείςστο x 0. Θεώρημα Εστω f : A R n R m. Τότεη f είναισυνεχήςστο x 0 Aανκαιμόνοανγιακάθε ǫ > 0υπάρχειέναςαριθμός δ > 0τέτοιοςώστε 2.3 Παραγώγιση αν x Aκαι x x 0 < δτότε f( x) f( x 0 ) < ǫ. (2.7) Για να είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη θα πρέπει όχι μόνο να μην υπάρχουν κοψίματα στο γράφημά της αλλά και να ορίζεται το εφαπτόμενο επίπεδο σε κάθε σημείο του γραφήματός της. Αυτό σημαίνει ότι δεν θα υπάρχουν γωνίες,αιχμέςήπτυχές.μεάλλαλόγιατογράφημαθαπρέπειναείναιλείο. Ορισμός2.3.1 Εστω f : U R n f R,όπου Uανοιχτόσύνολο.Οιμερικέςπαράγωγοι x j, j = 1,,nως πρόςτην j-οστήμεταβλητήείναιπραγματικέςσυναρτήσεις n-μεταβλητώνοιοποίεςστοσημείο x = (x 1,,x n ) ορίζονται από τις f f(x 1,,x j +h,,x n ) f(x 1,,x n ) f( x+h e j ) f( x) (x 1,,x n ) = lim = lim x j h 0 h h 0 h όπου e j = (0,,1,,0)με1στην j-οστήθέση. Ορισμός2.3.2 Εστω f : R 2 R.Θαλέμαότιηfείναιπαραγωγίσιμηστο (x 0,y 0 )ανοι f x στο (x 0,y 0 )και f(x,y) f(x 0,y 0 ) (2.8) και f y υπάρχουν [ ] [ ] f x (x 0,y 0 ) (x x 0 ) f y (x 0,y 0 ) (y y 0 ) 0όταν (x,y) (x 0,y 0 ). (2.9) (x,y) (x 0 y 0 ) Οορισμόςαυτόςμπορείκαιναγενικευθείγια f : U R n R m,όπου Uανοιχτόσύνολο.Θαλέμεότιη fείναι παραγωγίσιμηστο x 0 Uανοιμερικέςπαράγωγοίτηςυπάρχουνστο x 0 και όπου f( x) lim f( x 0 ) T( x x 0 ) = 0 (2.10) x x 0 x x 0 f 1 x 1 f T = D f( x 2 0 ) = x 1.. f m x 1 f 1 x n f 2 x n. f m x n x 0. (2.11) Ορισμός2.3.3 Εστω f : R 2 Rπαραγωγίσιμηαπεικόνισηστο (x 0,y 0 ).Τοεπίπεδοστον R 3 πουορίζεταιαπό την εξίσωση [ ] [ ] f f z = f(x 0,y 0 )+ x (x 0,y 0 ) (x x 0 )+ y (x 0,y 0 ) (y y 0 ) ) = f(x 0,y 0 )+ ( f x f y (x 0,y 0) λέγεταιεφαπτόμενοεπίπεδοστογράφηματης fστοσημείο (x 0,y 0 ). (x x 0,y y 0 ) (2.12) Θεώρημα2.3.4 Εστω f : U R n R,όπου Uανοιχτόσύνολο.Ανηfείναιπαραγωγίσιμηστο x 0 Uτότε είναισυνεχήςστο x 0. Θεώρημα2.3.5 Εστωf : U R n R,όπου Uανοιχτόσύνολο.Ανυποθέσουμεότιόλεςοιμερικέςπαράγωγοι f i x j υπάρχουνκαιείναισυνεχείςσεμιαπεριοχήενόςσημείου x Uτότεηfείναιπαραγωγίσιμηστο x.

28 28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ2. ΠΑΡΑΓ ΩΓΙΣΗ 2.4 Κλίση και Παράγωγοι κατά Κατεύθυνση Ορισμός2.4.1 Εστω f : U R 3 Rπαραγωγίσιμησυνάρτηση.Ηκλίσητηςστο (x,y,z)είναιτοδιάνυσμα στοχώρο R 3 πουδίνεταιαπότην ( gradf(x,y,z) = f(x,y,z) f = x, f y, f ). (2.13) z Η εξίσωση μιάς ευθείας που διέρχεται από το σημείο x και είναι παράλληλη με την κατεύθυνση ενός διανύσματος v δίνεται παραμετρικά από την r(t) = x+t v. (2.14) Ορισμός2.4.2 Εστω f : U R 3 R. Ηκατάκατεύθυνσηπαράγωγοςτης fστο xστηνκατεύθυνσητου διανύσματος v δίνεται από την d dt f( x+t v) f( x+h v) f( x) = lim. (2.15) t=0 h 0 h Θεώρημα2.4.3 Εστω f : U R 3 Rπαραγωγίσιμησυνάρτηση.Τότεόλεςοικατάκατεύθυνσηπαράγωγοι υπάρχουν. Η κατευθυνόμενη παράγωγος της f στο x στην κατεύθυνση του διανύσματος v δίνεται από την ( ) ( ) ( ) d dt f( x+t v) = f( x) v f f f = t=0 x ( x) v 1 + y ( x) v 2 + z ( x) v 3. (2.16) Θεώρημα2.4.4 Εστω f : U R 3 Rμια C 1 απεικόνισηκαιένασημείο(x 0,y 0,z 0 )στηνεπιφάνειαστάθμης Sπουορίζεταιαπότην f(x,y,z) = k =σταθερά. Τότετο f(x 0,y 0,z 0 )είναικάθετοστηνεπιφάνειαστάθμης μετηνεξήςέννοια:αν vείναιτοεφαπτόμενοδιάνυσμαστο t = 0μιαςκαμπύλης c(t)πουπεριέχεταιστην Sμε c(0) = (x 0,y 0,z 0 )τότε d dt f( c(t)) = f v = 0. (2.17) t=0 Ορισμός2.4.5 Εστωηεπιφάνειαστάθμης Sπουορίζεταιαπότην f(x,y,z) = k =σταθερά. Τοεφαπτόμενο επίπεδοτης Sσεένασημείο (x 0,y 0,z 0 )της Sορίζεταιαπότηνεξίσωση f(x 0,y 0,z 0 ) (x x 0,y y 0,z z 0 ) = 0,εάν f(x 0,y 0,z 0 ) 0. (2.18) Συχνάαναφερόμαστεστο fμετονόροδιανυσματικόπεδίοκλίσεων.ηγεωμετρικήτουσημασίαείναιότιδίνειτην κατεύθυνση της γρηγορότερης αύξησης της f και την κατεύθυνση που είναι ορθογώνια στις επιφάνειες στάθμης της f. Παράδειγμα2.4.6 Τοηλεκτρικόπεδίο E πουγράφεταισαντηνκλίσητουβαθμωτούδυναμικού Φ(x,y,z) δηλαδή E = Φ.Άλλοπαράδειγμααποτελούνδυνάμειςπουμπορούνναγραφούνσαντηνκλίσηκάποιουδυναμικού ήδυναμικήςενέργειας F = U(x,y,z).

29 Κεφάλαιο 3 Διανυσματικές Συναρτήσεις 3.1 Καμπύλες, Μήκος Τόξου, Διανυσματικό Πεδίο Ορισμός3.1.1 Μίακαμπύληστον R n είναιμίααπεικόνιση r : [a,b] R n. Ανη rείναιπαραγωγίσιμητότε λέμεότιη rείναιμίαπαραγωγίσιμηκαμπύλη.ανη rείναιτηςκλάσεωςc 11 λέμεότιη rείναιμίαc 1 καμπύλη.τα σημεία r(a), r(b)λέγονταιάκρατηςκαμπύληςκαιηεικόνατης rτροχιάτηςκαμπύλης.εάνσυμβολίσουμεμε tτη μεταβλητήκαι rμίακαμπύληστον R 3 τότεμπορούμεναγράψουμε r(t) = (x(t),y(t),z(t))όπουοι x(t),y(t),z(t) ονομάζονται συνιστώσες της r. Ορισμός3.1.2 Εστω r : [a,b] R n όπου rμία C 1 καμπύλη.τομήκοςτηςκαμπύλης rορίζεταιαπότην l( r) = όπου r (t) = d s(t) dt = n dx i(t) i=1 dt e i και r (t) = και είναι συνεχής συνάρτηση. b a r (t) dt (3.1) n i=1 [x i (t)]2. Τοολοκλήρωμαυπάρχειαφούη r (t)υπάρχει Η γεωμετρική ερμηνεία είναι ότι το μήκος l( r) της καμπύλης λαμβάνεται σαν το όριο της ακολουθίας των πολυγώνων που είναι εγγεγραμμένα στο τόξο όταν το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς κάθε μέλους της ακολουθίας τείνει στομηδέν. Ησυνάρτησημήκουςτόξου s(t)πουεκφράζειτομήκοςτηςκαμπύληςαπόδεδομένοσημείοσεένα μεταβαλόμενο ορίζεται από την s(t) = t οπότε μπορούμε να γράψουμε για το μήκος της καμπύλης όπου s (t) = d dt από την οποία συνάγεται ότι l( r) = b a a r (τ) dτ (3.2) s (t)dt = s(b) s(a) (3.3) ( ) t a r (τ) dτ = r (t).εάνεισάγουμετομήκοςτόξουσανπαράμετροτότε l( r) = b a r (s) ds (3.4) d r(s) ds = ds = 1. (3.5) ds Δηλαδή το εφαπτόμενο διάνυσμα είναι μοναδιαίο όταν το μήκος τόξου εκλεγεί για παράμετρος. 1 Η r(t)είναικλάσεως C 1 εάνοι x(t),y(t),z(t)είναικλάσεως C 1 δηλαδήοι x t, y t, z t υπάρχουνκαιείναισυνεχείςοπότεηύπαρξη συνεχώνμερικώνπαραγώγωνεξασφαλίζειτηνπαραγωγισιμότητατης r. Η r(t)είναικατάτμήματακλάσεως C 1 εάνοι x(t),y(t),z(t) είναικατάτμήματακλάσεως C 1 δηλαδήυπάρχειδιαμέρισητου [a,b]: a = t 0 < t 1 < < t N = bτέτοιαώστεοισυνιστώσεςτης r(t) περιορισμένεςσεκάθεδιάστημα [t i,t i+1 ], 0 i N 1ναείναικλάσεως C 1. Οιπαράγωγοιυπολογίζονταιμετηχρήσηπλευρικών ορίων. 29

30 30 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ3. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΕΣΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Παράδειγμα3.1.3 Εστω rηκαμπύλη r(t) = (2t,t 2,logt)ορισμένηγια t > 0. Βρείτετομήκοςτόξουτης r ανάμεσαστασημεία (2,1,0)και (4,4,log2). ΛύσηΤασημείααντιστοιχούνστιςτιμές t = 1, t = 2αντίστοιχα.Τομήκοςτουδιανύσματος r (t)είναι r (t) = 1 t (2t2 +1) (3.6) οπότετομήκοςτηςκαμπύληςμεσύνοροταδεδομένασημείαθαείναι 2 ( l( r) = 2t+ 1 ) dt = 3+log2. (3.7) t 1 Ορισμός3.1.4 Εναδιανυσματικόπεδίοστον R n είναιμίααπεικόνιση F : A R n R n πουαντιστοιχείσε κάθεσημείο xτουπεδίουορισμούτης, A,έναδιάνυσμα F( x).μίααπεικόνιση f : A R n Rπουαντιστοιχεί σε κάθε σημείο ένα αριθμό λέγεται βαθμωτό πεδίο. Εναδιανυσματικόπεδίο Fστον R 3 γράφεταισαν F(x,y,z) = (F 1 (x,y,z),f 2 (x,y,z),f 3 (x,y,z)) (3.8) όπουοισυνιστώσες F i, i = 1,2,3είναιβαθμωτέςσυναρτήσεις. Εάνοι F i είναικλάσεως C k τότελέμεότιτο διανυσματικόπεδίο Fείναικλάσεως C k. Ορισμός3.1.5 Αν Fείναιέναδιανυσματικόπεδίο,μίαγραμμήροήςήολοκληρωτικήκαμπύλητου Fείναιμία καμπύλη r(t) τέτοια ώστε: δηλαδήτο Fκαθορίζειτοπεδίοταχυτήτωντηςκαμπύλης r(t). r (t) = F( r(t)) (3.9) Παράδειγμα Σχεδιάστε μερικές γραμμές ροής για τα διανυσματικά πεδία (1) F(x,y) = (y, x) (2) F(x,y) = (x, y) (3) F(x,y) = (x,x 2 ) ΛύσηΧρησιμοποιώνταςτηςσχέση r (t) = F( r(t))καιαπαλείφονταςτηνπαράμετρο tέχουμε (1) dx y = dy x d(x2 +y 2 ) = 0 x 2 +y 2 = c 2.Ηεξίσωσηαυτήπεριγράφειμίαοικογένειαομόκεντρωνκύκλων με κέντρο την αρχή των αξόνων και μεταβλητή ακτίνα. y x Σχήμα 3.1: Οι γραμμές ροής του πρώτου διανυσματικού πεδίου είναι ομόκεντροι κύκλοι με αρχή που ταυτίζεται με την αρχή του συστήματος συντεταγμένων. (2) dx x = dy y log(xy) = c xy = ec. Ηεξίσωσηαυτήπεριγράφειμίαοικογένειααπόυπερβολέςστοπρώτο τεταρτημόριο. (3) dx x = dy x 2 d( 1 2 x2 y) = 0 y = 1 2 x2 + c. Ηεξίσωσηαυτήπεριγράφειμίαοικογένειααπόπαραβολές μετατοπισμένες κατά c στον άξονα y.

31 3.2. ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜ ΟΣΚΑΙΑΠ ΟΚΛΙΣΗΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΥΠΕΔ ΙΟΥ 31 y x Σχήμα 3.2: Το δεύτερο διανυσματικό πεδίο έχει γραμμές ροής που παριστάνονται από μια οικογένεια υπερβολών. y x Σχήμα 3.3: Το τρίτο διανυσματικό πεδίο έχει γραμμές ροής που παριστάνονται από μια οικογένεια παραβολών. 3.2 Στροβιλισμός και Απόκλιση Διανυσματικού Πεδίου Ηπράξητουστροβιλισμούαντιστοιχείσεκάθε C 1 διανυσματικόπεδίο F R 3.Τοδιανυσματικόπεδίο curl F = Fορίζεταιαπότην όπου F = (F 1,F 2,F 3 ). Θεώρημα3.2.1 Γιακάθε C 2 συνάρτηση fέχουμε F i j k = x y z F 1 F 2 F 3 (3.10) ( f) = 0. (3.11) Απόδειξη:Για καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και χρησιμοποιώντας τον ορισμό του στροβιλισμού έχουμε f i j k ( 2 ) ( f = x y z = y z 2 f i+ 2 ) ( f z y z x 2 f j 2 ) f + x z x y 2 f k = 0 (3.12) y x f x f y f z Μίαάλληβασικήπράξηείναιηαπόκλισηπουορίζεταιαπότην Ηαπόκλισητου Fείναιβαθμωτόπεδίο. div F = F = 3 i=1 F i x i. (3.13)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κεφ. 2, Δυναμική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 29 Μαΐου 2012 1. Στο υλικό σημείο A ασκούνται οι δυνάμεις F 1 και F2 των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κλασικής Μηχανικής, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 19 Απριλίου 2013 Κεφάλαιο Ι 1. Να γραφεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης υλικού σημείου σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ A u B Μέτρο Διεύθυνση Κατεύθυνση (φορά) Σημείο Εφαρμογής Διανυσματικά Μεγέθη : μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη Μονόμετρα Μεγέθη : χρόνος, μάζα, όγκος, θερμοκρασία,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,,

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες Στοιχειώδεις Όγκοι ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ)

ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ- ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ) ΤΜΗΜΑ Α.2 ΚΑΘΗΓ. ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΖΒ114 (ΡΑΓΚΟΥΣΗ-ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ) E-mail: zacharia@uniwa.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος Σχολή Μηχανικών Ορυκτών Πόρων Πολυτεχνείο Κρήτης http://minelabmredtucgr Τελευταία ενημέρωση: 28 Φεβρουαρίου 2017 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι

Διαβάστε περισσότερα

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ενότητα 1: Στοιχεία Διανυσματικού Λογισμού Σκορδύλης Εμμανουήλ Καθηγητής Σεισμολογίας,

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία.

6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία. 6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία. 6.1 Διανύσματα στον χώρο. 6.1.1 Ορισμοί Οι μαθηματικές ποσότητες μπορεί να είναι βαθμωτές, όταν είναι αριθμοί οι οποίοι ανήκουν σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Β. Αναπτύγματα σε σειρές Για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα.

Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα. Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα. Αν. Καθηγητής Γεώργιος Παύλος ( Φυσικός) - ρ.καρκάνης Αναστάσιος (Μηχανολόγος Μηχανικός) Με τι θα ασχοληθούμε στα πλαίσια του μαθήματος: Α. Μαθηματική θεωρία ιανυσματικά μεγέθη,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Για τυχόν παρατηρήσεις, απορίες ή λάθη που θα βρείτε, στείλτε μου

Διαβάστε περισσότερα

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΑΚΑΜΠΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΑΚΑΜΠΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΑΚΑΜΠΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Βασικές έννοιες: Στερεά σώματα του φυσικού κόσμου - Ευκλείδειος χώρος - Σωματίδιο - Ελεύθερο σωματίδιο - Άκαμπτο σώμα - Σχετικές θέσεις σωματιδίων - Αδρανειακό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθημα 7ου Εξαμήνου (Ακαδ. Έτος ) «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας»

Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθημα 7ου Εξαμήνου (Ακαδ. Έτος ) «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας» Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθημα 7ου Εξαμήνου (Ακαδ. Έτος 018 19 «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας» ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... ΕΞΑΜΗΝΟ... Ημερομηνία Παράδοσης : 6/11/018 ΑΣΚΗΣΗ 3 Σκοπός: Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2 ΦΥΣ 211 - Διαλ.04 1 Παραδείγματα Κίνηση ενός και μόνο σωματιδίου, χρησιμοποιώντας Καρτεσιανές συντεταγμένες και συντηρητικές δυνάμεις. Οι εξισώσεις Lagrange θα πρέπει να επιστρέφουν τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

10. Παραγώγιση διανυσµάτων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους

Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης ) Το ύψος h σε χιλιόμετρα ενός βουνού δίνεται από την σχέση h 4 == 4. α) Ένας πεζοπόρος βρίσκεται στο σημείο (,,) και κινείται προς την διεύθυνση της μεγίστης κατάβασης.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

1. Κίνηση Υλικού Σημείου 1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα

Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Εξ ορισμού, ένας κύκλος έχει συγκεκριμένη και σταθερή καμπυλότητα σε όλα τα σημεία του ίση με 1/R όπου R η ακτίνα του.

Διαβάστε περισσότερα

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ)

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Στα φυσικά φαινόμενα εμφανίζονται κάποιες ιδιότητες της ύλης. Για να περιγράψουμε αυτές τις ιδιότητες χρησιμοποιούμε τα φυσικά μεγέθη. Τέτοια είναι η μάζα, ο χρόνος, το ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις. Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα Ολοκληρώματα

Διαβάστε περισσότερα

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b) 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα