Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2"

Transcript

1 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί, Μέθοδοι πιακοποίησης τω δεδομέω Μέθοδοι γραφικής παρουσίασης τω δεδομέω Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Οι μέθοδοι παρουσίασης-περιγραφής δεδομέω και γεικότερα οι Στατιστικές μέθοδοι, δε εφαρμόζοται όλες σε όλους τους τύπους μεταβλητώ Για παράδειγμα, οι δυατότητες που έχουμε για τη περιγραφή τω δεδομέω του Πίακα- δε είαι ίδιες και για τις τέσσερις μεταβλητές (επάγγελμα πατέρα, επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα, μηιαίο εισόδημα πατέρα και αριθμός παιδιώ οικογέειας) Πίακας- Οικογέεια Επάγγελμα πατέρα Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα Μηιαίο εισόδημα πατέρα σε Αριθμός παιδιώ οικογέειας Εργάτης 4 Οδηγός 5 Εργάτης 6 4 Δημ Υπάλληλος 4 5 Δημ Υπάλληλος 6 6 Δημ Υπάλληλος 7 Δάσκαλος 8 8 Ιδιωτ Υπάλληλος 4 9 Οδηγός 4 Εργάτης Δάσκαλος 4 Δάσκαλος Δάσκαλος 6 4 Δημ Υπάλληλος Ιδιωτ Υπάλληλος 8 6 Δάσκαλος 7 Εργάτης 8 8 Δημ Υπάλληλος 9 Δάσκαλος 5 Δημ Υπάλληλος 4 6 Επίσης, συμβαίει, οι ίδιες μέθοδοι σε κάποιες περιπτώσεις α διαφοροποιούται μεταξύ διαφόρω τύπω μεταβλητώ Για παράδειγμα, η μέση τιμή της μεταβλητής κατεύθυση του ίχους της κίησης πάγω του παρακάτω πίακα, ως έοια είαι αάλογη της μέσης τιμής της μεταβλητής μηιαίο εισόδημα πατέρα του Πίακα-, όμως η μέθοδος υπολογισμού της διαφοροποιείται σηματικά Τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα είαι αριθμητικά μεγέθη τα οποία βοηθού στη περιγραφή της καταομής τω δεδομέω Πολλά από αυτά χρησιμοποιούται και στη στατιστική συμπερασματολογία Τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα για το πληθυσμό οομάζοται παράμετροι (paametes) εώ για το δείγμα οομάζοται στατιστικά (summay statstcs) = Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση, = Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, = Τριτοβάθμια Εκπαίδευση και 4=Μεταπτυχιακές Σπουδές Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 6

2 Κατεύθυση-φορά του ίχους της κίησης πάγω (σε μοίρες από το βορρά και κατά τη φορά τω δεικτώ του ωρολογίου) Περιγραφική Στατιστική Στη συέχεια, θα παρουσιάσουμε συοπτικά τις δυατότητες που μας προσφέρει η Περιγραφική Στατιστική αά τύπο μεταβλητής Έστω χ,, χ, χ οι τιμές μιας μεταβλητής στις μοάδες εός δείγματος και yk ( k ) χ, χ,, χ y, y,, οι k διαφορετικές, μεταξύ τους, τιμές από τις Έστω, επίσης, f, f,, f k οι σχετικές συχότητες,,,, k οι απόλυτες συχότητες, F, F,, Fk οι σχετικές αθροιστικές συχότητες και N, N,, N k οι αθροιστικές συχότητες τω y, y,, y Ποσοτικές Μεταβλητές k Για τις ποσοτικές μεταβλητές, η Περιγραφική Στατιστική προσφέρει, μεταξύ άλλω, τις ακόλουθες δυατότητες: Κατασκευή Πίακα Συχοτήτω Ο πίακας συχοτήτω μιας ποσοτικής μεταβλητής περιλαμβάει τις συχότητες, τις σχετικές συχότητες, τις αθροιστικές συχότητες και τις σχετικές αθροιστικές συχότητες τω τιμώ της Παράδειγμα: Ο πίακας συχοτήτω τω τιμώ της μεταβλητής αριθμός παιδιώ οικογέειας είαι: y,, 4, 6,,5 6,8, 8,9 4, Σύολα f Ο πίακας συχοτήτω τω τιμώ της μεταβλητής μηιαίο εισόδημα πατέρα, ομαδοποιημέω σε έξι κλάσεις, είαι: Κλάσεις y <9 - [9 ),5,5 [ ) 4, 5,5 [ 5) 4 6,,55 [5 7) 6 4, 5,75 [7 9) 8,5 8,9 [9 ), - Σύολα Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 7 N f F N F

3 Κατασκευή διαγραμμάτω Διάγραμμα και Πολύγωο Συχοτήτω, Σχετικώ Συχοτήτω, Αθροιστικώ Συχοτήτω και Σχετικώ Αθροιστικώ Συχοτήτω (για διακριτές) Ιστόγραμμα και Πολύγωο Συχοτήτω, Σχετικώ Συχοτήτω, Αθροιστικώ Συχοτήτω και Σχετικώ Αθροιστικώ Συχοτήτω (για συεχείς κυρίως) Φυλλογράφημα Θηκόγραμμα Το ιστόγραμμα και το πολύγωο συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω της μεταβλητής μηιαίο εισόδημα πατέρα του παραδείγματος είαι : Συχότητες ,5,,5,,5,,5 Σχετικές Συχότητες Επισημαίουμε ότι κάθε ορθογώιο του ιστογράμματος σχεδιάζεται έτσι, ώστε, το εμβαδό του α ισούται με τη συχότητα (ή τη σχετική συχότητα) της ατίστοιχης κλάσης 4 Επομέως το συολικό εμβαδό τω ορθογωίω είαι ίσο με το πλήθος τω παρατηρήσεω (ή είαι ίσο με ) Επίσης, το εμβαδό που περικλείεται μεταξύ του πολυγώου συχοτήτω ή σχετικώ συχοτήτω και του οριζότιου άξοα είαι ίσο με ή με ατίστοιχα Οποιοδήποτε τμήμα αυτού του εμβαδού μπορεί α υπολογισθεί (ακριβέστερα, α εκτιμηθεί), δίοτάς μας το ποσοστό τω παρατηρήσεω που βρίσκοται μεταξύ δύο τιμώ της μεταβλητής ή αριστερά μιας τιμής ή δεξιά μιας τιμής Α το πλάτος τω κλάσεω είαι πολύ μικρό το πολύγωο συχοτήτω παίρει μορφή λείας καμπύλης η οποία οομάζεται καμπύλη συχοτήτω Συχότητες ,5,,5,,5,,5 Σχετικές Συχότητες Είαι προφαές ότι η μορφή του ιστογράμματος επηρεάζεται δραστικά από τη επιλογή τω κλάσεω 4 Α όλες οι κλάσεις έχου ίδιο πλάτος, τότε προφαώς και τα ύψη τω ορθογωίω θα είαι ίσα με τις ατίστοιχες συχότητες ή σχετικές συχότητες Α όμως οι κλάσεις δε έχου ίδιο πλάτος τότε μόο τα εμβαδά είαι ίσα με τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετικές συχότητες και όχι τα ύψη Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 8

4 Οι καμπύλες συχοτήτω, πέρα της προφαούς χρησιμότητάς τους στο πλαίσιο της Περιγραφικής Στατιστικής, έχου μεγάλη σπουδαιότητα στη Θεωρία Πιθαοτήτω και στη Στατιστική Συμπερασματολογία 5 Οι καμπύλες συχοτήτω μπορεί α έχου διάφορες μορφές όπως: Ότα μια καμπύλη συχοτήτω είαι συμμετρική ως προς το κατακόρυφο άξοα που διέρχεται από τη κορυφή της καταομής, όπως η πρώτη από τις παραπάω, τότε η καταομή είαι συμμετρική Τα δύο άκρα της καμπύλης λέγοται ουρές της καταομής και πλησιάζου ασυμπτωτικά το άξοα τω τιμώ Προφαώς, σε μια συμμετρική καταομή, δεξιά και αριστερά του άξοα συμμετρίας βρίσκεται το ίδιο ποσοστό παρατηρήσεω (5%) Ότα η καμπύλη συχοτήτω δε είαι συμμετρική, δηλαδή, ότα δεξιά και αριστερά του κατακόρυφου άξοα που περάει από τη κορυφή δε βρίσκεται το ίδιο ποσοστό παρατηρήσεω, τότε η καταομή είαι ασύμμετρη Υπάρχου δύο ειδώ ασυμμετρίες: 5 Γιατί είαι μαθηματικά μοτέλα Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 9

5 Θετικές και αρητικές Μια καμπύλη συχοτήτω παρουσιάζει θετική ασυμμετρία ότα οι περισσότερες παρατηρήσεις βρίσκοται δεξιά της κορυφής, εώ, παρουσιάζει αρητική ασυμμετρία ότα οι περισσότερες παρατηρήσεις βρίσκοται αριστερά της κορυφής Θετική ασυμμετρία Αρητική ασυμμετρία Τέλος, οι καμπύλες συχοτήτω, αάλογα με το βαθμό συγκέτρωσης τω παρατηρήσεω στο μέσο και στα άκρα της καταομής, διακρίοται σε μεσόκυρτες, λεπτόκυρτες, και πλατύκυρτες: Μεσόκυρτη Λεπτόκυρτη Πλατύκυρτη Ότα η καμπύλη συχοτήτω μιας καταομής είαι συμμετρική και έχει κωδωοειδές σχήμα η καταομή οομάζεται καοική Η καοική καταομή είαι η πλέο χρησιμοποιούμεη καταομή στη Θεωρία Πιθαοτήτω και στη Στατιστική Συμπερασματολογία Στο επόμεο κεφάλαιο θα εξηγήσουμε γιατί συμβαίει αυτό Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos)

6 Το ιστόγραμμα και το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω της μεταβλητής μηιαίο εισόδημα πατέρα του παραδείγματος είαι: Το εμβαδό (και το ύψος) κάθε ορθογωίου είαι ίσο με τη αθροιστική σχετική συχότητα F της ατίστοιχης κλάσης (ή με τη αθροιστική συχότητα N ) Για παράδειγμα, μέχρι 5 μηιαίο εισόδημα έχου τόσοι πατεράδες όσο το εμβαδό (και το ύψος) του ορθογωίου που υψώεται στο διάστημα με δεξί άκρο τη τιμή 5 Ερώτηση: Στα δύο σχήματα που ακολουθού, φαίοται τα πολύγωα σχετικώ συχοτήτω και τα πολύγωα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω δύο καταομώ δεδομέω Σχολιάστε τη σχετική θέση τω ατίστοιχω πολυγώω στα δύο σχήματα Ποια καταομή είαι στοχαστικά μεγαλύτερη; Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos)

7 Είαι προφαές, ότι με τη ομαδοποίηση τω παρατηρήσεω, χάουμε σε πληροφορία αφού τόσο το ιστόγραμμα όσο και ο πίακας συχοτήτω δε διατηρού τις αρχικές παρατηρήσεις Αυτό το πρόβλημα μπορεί α ατιμετωπισθεί με τη κατασκευή του φυλλογραφήματος (steam-leaf plots) 6 τω παρατηρήσεω Για τη μεταβλητή μηιαίο εισόδημα πατέρα, του παραδείγματος μας, μπορούμε α κατασκευάσουμε το φυλλογράφημα: () Ως steam θεωρήσαμε τις εκατοτάδες και ως leaf τις δεκάδες Δηλαδή, η τιμή ααπαρίσταται με και η τιμή με Είαι φαερό ότι από έα φυλλογράφημα μπορεί καείς, αμέσως, α διαπιστώσει α μια συγκεκριμέη τιμή αήκει (και πόσες φορές) στο δείγμα κάτι το οποίο δε είαι δυατό α γίει από έα ιστόγραμμα Για παράδειγμα, από το παραπάω φυλλογράφημα εύκολα διαπιστώουμε ότι η τιμή δε υπάρχει στο δείγμα εώ η τιμή 6 υπάρχει και μάλιστα τέσσερις φορές Το φυλλογράφημα, επηρεάζεται δραστικά από τη επιλογή τω steams όπως και το ιστόγραμμα επηρεάζεται δραστικά από τη επιλογή τω κλάσεω Αξίζει, επίσης, α σημειώσουμε ότι η εικόα-μορφή εός φυλλογραφήματος είαι αάλογη με αυτή του ατίστοιχου ιστογράμματος (α στραφεί κατά 9 ) Σημείωση: Στη πρώτη από αριστερά στήλη του φυλλογραφήματος φαίοται οι αθροιστικές συχότητες από πάω προς τα κάτω και από κάτω προς τα πάω μέχρι το steam στο οποίο περιλαμβάεται η διάμεσος (στο παράδειγμά μας μέχρι το steam 5) Ας δούμε έα ακόμη παράδειγμα: Με steam τις μοάδες και leaf τα δέκατα, το φυλλογράφημα τω παρατηρήσεω 7,4 6,7,7 7, 7,8 8,8 6, 5, 8, 6,4 5,7 σε 5 steams είαι: () HI,7 Σημείωση: Με ΗΙ συμβολίζεται έα steam που περιλαμβάει μια «ασυήθιστα μεγάλη τιμή» 6 Είαι μια από τις μεθόδους-τεχικές της διερευητικής αάλυσης δεδομέω Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos)

8 Υπολογισμός μέτρω θέσης-κετρικής τάσης (locaton measues-cental tendency measues) Τα μέτρα θέσης-κετρικής τάσης μας δίου πληροφορίες για τη θέση της καταομής τω παρατηρήσεω Τα πλέο χρησιμοποιούμεα είαι η μέση τιμή, η διάμεσος, η κορυφή και τα ποσοστημόρια Μέση τιμή ή Αριθμητικός μέσος (mean) Η μέση τιμή εός πληθυσμού συμβολίζεται με μ και η μέση τιμή εός δείγματος με χ χ = = χ = k = y = k = f y Από το ορισμό της μέσης τιμής, είαι φαερό ότι α οι τιμές χ, χ,, χ είαι όλες μεταξύ τους ίσες, θα είαι ίσες με τη μέση τιμή τους Φαίεται, δηλαδή, ότι με τη μέση τιμή επιδιώκεται α ορισθεί έας «τυπικός εκπρόσωπος» τω παρατηρήσεω Το γεγοός, όμως, ότι στο υπολογισμό της συμμετέχει το άθροισμα όλω τω παρατηρήσεω, τη καθιστά ευαίσθητη σε ακραίες-έκτροπες (outlyng ή unusual) παρατηρήσεις 7 Κατά συέπεια, η μέση τιμή αποκρύπτει (από το αυποψίαστο) τις έκτροπες παρατηρήσεις Δηλαδή, ότα υπάρχου έκτροπες παρατηρήσεις, η μέση τιμή δίει παραπλαητική εικόα α θεωρηθεί «τυπικός εκπρόσωπος» τω παρατηρήσεω Βέβαια, α πάρουμε τις διαφορές τω παρατηρήσεω από τη μέση τιμή τους, οι ακραίες τιμές αποκαλύπτοται Παράδειγμα: Ο ιδιοκτήτης μιας μικρής επιχείρησης που απασχολεί πέτε εργαζομέους ισχυρίσθηκε σε δημοσιογράφο τοπικής εφημερίδας ότι οι εργαζόμεοι στη επιχείρησή του είαι πολύ καλά αμειβόμεοι αφού ο μέσος μισθός τους είαι Ο «υποψιασμέος» δημοσιογράφος ερεύησε λεπτομερέστερα το θέμα και βρήκε ότι οι μισθοί τω εργαζομέω ήτα 4, 4, 5, 7 και 8 ατίστοιχα! 8 Η μέση τιμή έχει, μεταξύ άλλω, τις παρακάτω εδιαφέρουσες ιδιότητες: ( χ χ ) = ( y χ ) = = k = Δηλαδή, το άθροισμα τω αποστάσεω (αποκλίσεω) τω παρατηρήσεω χ, χ,, χ από τη μέση τιμή τους χ, είαι Δηλαδή, η μέση τιμή είαι το σημείο ισορροπίας της καταομής τω δεδομέω Παράδειγμα: Για τη καταομή y Σύολο 7 Στο πλαίσιο όμως της Θεωρίας Πιθαοτήτω και της Στατιστικής Συμπερασματολογίας, αυτό είαι το μεγάλο της πλεοέκτημα! (βλ Κετρικό Οριακό Θεώρημα στο επόμεο κεφάλαιο) 8 Ο μισθός τω 8 ήτα του manage και συιδιοκτήτη! Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos)

9 προφαώς, είαι χ =,5 που σημαίει ότι, α στις θέσεις y εός άξοα τοποθετήσουμε ως βάρη τις ατίστοιχες συχότητες τότε ο άξοας θα έχει σημείο ισορροπίας τη θέση,5 Επίσης, αυτή η ιδιότητα μας λεει ότι α από τις διαφορές χ χ γωρίζουμε τις, τότε μπορούμε α υπολογίσουμε και τη -οστή Επομέως, μπορούμε α υπολογίσουμε το άθροισμα ( χ χ) α γωρίζουμε τους από τους όρους = του Στη συέχεια του μαθήματος θα επαέλθουμε στη σημασία αυτής της ιδιότητας = ( χ χ ) < = ( χ λ ), λ Δηλαδή, το άθροισμα τω τετραγώω τω αποκλίσεω τω παρατηρήσεω χ, χ,, χ από τη μέση τιμή τους χ, είαι μικρότερο από το άθροισμα τω τετραγώω τω αποκλίσεώ τους από οποιαδήποτε άλλη τιμή λ Ή αλλιώς, το άθροισμα ( χ λ) γίεται ελάχιστο α και μόο α λ = χ = = χ Α ω + β τότε ω = χ + β Δηλαδή, α στις παρατηρήσεις χ, χ,, χ προσθέσουμε μια σταθερή ποσότητα β (θετική ή αρητική), τότε ο αριθμητικός μέσος τους θα αυξηθεί (ή θα μειωθεί) κατά τη ίδια ποσότητα Α ω = α χ τότε ω = α χ Δηλαδή, α οι παρατηρήσεις χ, χ,, χ πολλαπλασιασθού με τη ίδια ποσότητα α, τότε ο αριθμητικός μέσος τους θα πολλαπλασιασθεί με τη ίδια ποσότητα Γεικά, α ω = α χ + β τότε ω = α χ + β Συοπτικά, η μέση τιμή έχει τα ακόλουθα πλεοεκτήματα και μειοεκτήματα: Πλεοεκτήματα Για το υπολογισμό της χρησιμοποιούται όλες οι τιμές Είαι μοαδική για κάθε σύολο δεδομέω Είαι εύκολα καταοητή Ο υπολογισμός της είαι σχετικά εύκολος Αξιοποιείται στη στατιστική συμπερασματολογία Μειοεκτήματα Επηρεάζεται πολύ από ακραίες τιμές Μπορεί α μη ατιστοιχεί σε δυατή τιμή της μεταβλητής Δε υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομέα Είαι δύσκολος ο υπολογισμός της σε ομαδοποιημέα δεδομέα με αοικτές τις ακραίες κλάσεις Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 4

10 Σταθμικός αριθμητικός μέσος (weghted mean) Χρησιμοποιείται στις περιπτώσεις που τα χ, χ,, χ έχου διαφορετική αξία (διαφορετικό βάρος) w, w,, w, ατίστοιχα χ = w = = w χ w Ο σταθμικός αριθμητικός μέσος διατηρεί τις ιδιότητες του αστάθμητου αριθμητικού μέσου Παράδειγμα: Έας οδηγός φορτηγού διαομής τροφίμω, αγόρασε σε μια ημέρα πετρέλαιο από τρία διαφορετικά πρατήρια Από το πρώτο αγόρασε 6 λίτρα προς,75 το λίτρο, από το δεύτερο λίτρα προς,84 το λίτρο και από το τρίτο 5 λίτρα προς,76 το λίτρο Προφαώς, για α υπολογισθεί το μέσο ποσό που πλήρωσε αά λίτρο ο οδηγός πρέπει α χρησιμοποιηθεί ο σταθμικός μέσος: χ w = = = w χ 6,75 +, = = 799 αά λίτρο w Ο αριθμητικός μέσος τω αριθμητικώ μέσω k δειγμάτω μεγέθους ατίστοιχα, είαι, χ k = = k = n χ n Ουσιαστικά πρόκειται για σταθμικό αριθμητικό μέσο, n, nk, n, Παράδειγμα: Α το μέσο ύψος φοιτητώ είαι 7 cm και το μέσο ύψος 5 φοιτητριώ είαι 6 cm τότε το μέσο ύψος φοιτητώ και φοιτητριώ είαι χ = = = n χ = = 66,7 cm 5 n Ερώτηση: Στη έκδοση της αμερικαικής κυβέρησης Scence Indcatos του 98, ααφέρεται ότι ο μέσος μισθός τω γυαικώ σε όλους τους επιστημοικούς τομείς είαι μόο το 77% του μέσου μισθού τω αδρώ επιστημόω Στη ίδια πηγή όμως, ααφέρεται ότι σε κάθε επιστημοικό τομέα ξεχωριστά, ο μέσος μισθός τω γυαικώ είαι τουλάχιστο το 9% του μέσου μισθού τω αδρώ Εξηγήστε πώς εμφαίζεται αυτή η φαιομεική διαφορά Απάτηση: Οι γυαίκες είαι συγκετρωμέες στους τομείς που αμείβοται λιγότερο Έτσι, για τις γυαίκες, ο μέσος μισθός συολικά θα είαι χαμηλότερος τω αδρώ ακόμη και α κερδίζου το ίδιο ποσό με τους άδρες σε κάθε τομέα ξεχωριστά Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 5

11 Παρατηρήσεις: Α θέλουμε α παραλείψουμε τις ακραίες τιμές από το υπολογισμό της μέσης τιμής, μπορούμε α δημιουργήσουμε έα ισοσταθμισμέο μέσο (tmmed mean) θέτοτας στο σταθμικό μέσο, βάρος για τις ακραίες τιμές που θέλουμε α παραληφθού και βάρος για όλες τις υπόλοιπες Παρότι η μέση τιμή, ως μέτρο θέσης-τάσης δε είαι πάτα το καταλληλότερο για τη περιγραφή τω δεδομέω (μάλιστα, μπορεί και α παραπλαήσει), ετούτοις, έχει μεγάλη σημασία και χρησιμοποιείται ευρέως στη Στατιστική Συμπερασματολογία Έας από τους λόγους που συμβαίει αυτό, είαι το γεγοός ότι ελαχιστοποιεί το άθροισμα ( χ λ) Αυτή η ιδιότητα της μέσης τιμής είαι = «πολύ καλή» μαθηματική ιδιότητα 9 και γι αυτό έχει επηρεάσει το ορισμό και άλλω στατιστικώ μέτρω Στη συέχεια του μαθήματος θα ααφερθούμε και σε άλλους λόγους που δικαιολογού τη μεγάλη χρησιμότητα της μέσης τιμής στη Στατιστική Συμπερασματολογία Κορυφή ή Επικρατούσα τιμή (mode) Η κορυφή του δείγματος συμβολίζεται με M Είαι η τιμή που εμφαίζεται στο δείγμα με τη μεγαλύτερη συχότητα και έχει τα ακόλουθα πλεοεκτήματα και μειοεκτήματα: Πλεοεκτήματα Υπολογίζεται εύκολα Είαι εύκολα καταοητή Υπολογίζεται και από ελλιπή δεδομέα Δε επηρεάζεται από ακραίες τιμές Υπολογίζεται και για ποιοτικά δεδομέα Μειοεκτήματα Δε χρησιμοποιούται όλες οι τιμές για το υπολογισμό της Στη στατιστική συμπερασματολογία έχει περιορισμέη σημασία Δε ορίζεται πάτα μοοσήματα Δηλαδή, μπορεί α υπάρχου περισσότερες από μία ή και καθόλου Για το υπολογισμό της σε ομαδοποιημέες παρατηρήσεις μπορεί α χρησιμοποιηθεί ο τύπος: c Δ M = L + Δ + Δ όπου, L είαι το κάτω άκρο της επικρατούσας κλάσης, c είαι το πλάτος της επικρατούσας κλάσης, Δ = η διαφορά της συχότητας της προηγούμεης κλάσης από τη συχότητα της επικρατούσας κλάσης και Δ = + η διαφορά της συχότητας της επόμεης κλάσης από τη συχότητα της επικρατούσας κλάσης Παρατήρηση: Πρέπει α επισημάουμε ότι η κορυφή είαι, βέβαια, η τιμή με τη μεγαλύτερη συχότητα, δηλαδή η πιο «δημοφιλής» τιμή, αλλά αυτό δε σημαίει ότι είαι κατ αάγκη και «πλειοψηφούσα» τιμή Μπορεί, μάλιστα, α αποτελεί έα μικρό ποσοστό τω παρατηρήσεω 9 Ικαοποιεί το κριτήριο τω ελαχίστω τετραγώω Επικρατούσα κλάση είαι η κλάση με τη μεγαλύτερη συχότητα Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 6

12 Διάμεσος (medan) Η διάμεσος του δείγματος συμβολίζεται με δ Είαι το σημείο της καταομής τω παρατηρήσεω κάτω από το οποίο βρίσκεται το 5% τω παρατηρήσεω και πάω από αυτό το υπόλοιπο 5% τω παρατηρήσεω Εκφράζει τη κετρική θέση της καταομής τω παρατηρήσεω και γι αυτό στη βιβλιογραφία συατάται και ως μέσος θέσης (poston aveage) Α το πλήθος τω παρατηρήσεω είαι αριθμός περιττός τότε δ εώ, α = χ + χ + χ + είαι άρτιος τότε δ = (Επισημαίουμε ότι ο υπολογισμός της διαμέσου γίεται αφού προηγουμέως τα χ, χ,, χ διαταχθού κατά αύξουσα σειρά) Για το υπολογισμό της διαμέσου σε ομαδοποιημέες παρατηρήσεις, χρησιμοποιείται το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω ή ο τύπος: N δ = L + c όπου, L είαι το κάτω άκρο της μεσαίας κλάσης, c είαι το πλάτος της μεσαίας κλάσης, είαι η συχότητα της μεσαίας κλάσης και N είαι η αθροιστική συχότητα της προηγούμεης από τη μεσαία κλάσης Η διάμεσος έχει, μεταξύ άλλω, και τη ακόλουθη ιδιότητα: χ δ < = = χ λ, λ Δηλαδή, το άθροισμα τω απολύτω αποκλίσεω τω παρατηρήσεω χ, χ,, χ από τη διάμεσό τους δ, είαι μικρότερο από το άθροισμα τω απολύτω αποκλίσεώ τους από οποιαδήποτε άλλη τιμή λ Ή αλλιώς, το άθροισμα χ λ γίεται ελάχιστο α και μόο α λ = δ μειοεκτήματα: = Επίσης, έχει τα ακόλουθα πλεοεκτήματα και Πλεοεκτήματα Είαι εύκολα καταοητή Δε επηρεάζεται από ακραίες τιμές Υπολογίζεται και στη περίπτωση που οι ακραίες κλάσεις είαι αοικτές Ο υπολογισμός της είαι απλός Είαι μοαδική σε κάθε σύολο δεδομέω Μειοεκτήματα Δε χρησιμοποιούται όλες οι τιμές για το υπολογισμό της Είαι δύσκολη η αξιοποίησή της στη στατιστική συμπερασματολογία Δε υπολογίζεται για κατηγορικά δεδομέα Για το υπολογισμό της μπορεί α χρειαστεί παρεμβολή Παρατήρηση: Η διάμεσος δε επηρεάζεται ιδιαιτέρως από ακραίες τιμές Έτσι, για τη περιγραφή παρατηρήσεω που εμφαίζου ακραίες τιμές προτιμάται ως μέτρο θέσης από τη μέση τιμή η οποία επηρεάζεται πολύ από ακραίες τιμές Εξηγείται, έτσι, γιατί ο ΟΗΕ διακρίει τις ααπτυσσόμεες από τις αεπτυγμέες χώρες, μεταξύ άλλω, από τη διάμεσο της ηλικίας τω κατοίκω και όχι από τη μέση τιμή της ηλικίας Δηλαδή, γιατί Μεσαία κλάση είαι η κλάση στη οποία αήκει η διάμεσος Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 7

13 ως μέτρο γήρασης του πληθυσμού χρησιμοποιεί τη διάμεσο και όχι τη μέση τιμή Έτσι, μπορούμε, επίσης, α εξηγήσουμε γιατί στις διαπραγματεύσεις τω συδικαλιστώ με τους εργοδότες για το ύψος τω αποδοχώ, συήθως, οι συδικαλιστές χρησιμοποιού τη διάμεσο τω αποδοχώ εώ οι εργοδότες τη μέση τιμή Ποσοστιαία σημεία ή Ποσοστημόρια (quantles) Τα ποσοστημόρια του δείγματος συμβολίζοται με p α Αποτελού γείκευση της διαμέσου και δίου ααλυτικότερη περιγραφή της θέσης της καταομής τω παρατηρήσεω Το ποσοστημόριο p α είαι το σημείο της καταομής για το οποίο το α% τω παρατηρήσεω είαι μικρότερες ή ίσες από αυτό και το υπόλοιπο (-α)% τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες ή ίσες από αυτό Ειδικότερα έχουμε: Εκατοστημόρια (pecentles) p, p,, p99 Δεκατημόρια (decles) α p, p,, p9 Τεταρτημόρια (quatles) p 5 = Q, p5 = Q = δ, p75 = Q Τα ποσοστημόρια σε ομαδοποιημέες παρατηρήσεις μπορού α υπολογισθού από το τύπο: a N pa = L + c όπου, L είαι το κάτω άκρο της κλάσης στη οποία αήκει η παρατήρηση με σειρά α, c είαι το πλάτος της, είαι η συχότητά της και N είαι η αθροιστική συχότητα της προηγούμεης κλάσης Παράδειγμα: Στο παρακάτω πίακα συχοτήτω δίεται η καταομή της βαθμολογίας 5 μαθητώ Λυκείου Α στο 5% τω μαθητώ με τη υψηλότερη βαθμολογία δοθεί υποτροφία, τι βαθμό πρέπει α έχει έας μαθητής για α πάρει υποτροφία; y N [ ) 5 5 [ 4) 5 [4 6) 5 5 [6 8) 7 45 [8 ) Προφαώς, ζητούμεο είαι το ποσοστημόριο 95 N p = L + c = Προσοχή: Τα ποσοστημόρια υποδιαιρού τη καταομή τω παρατηρήσεω σε «ίσα» τμήματα, όχι με όρους μοάδω μέτρησης τω παρατηρήσεω (δηλαδή, απόστασης), αλλά με όρους ποσοστώ Δηλαδή, τα τμήματα αυτά είαι «ίσα» με τη έοια ότι περιέχου ίσα Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 8

14 ποσοστά παρατηρήσεω Έτσι, ίσες αποστάσεις μπορεί α περιέχου διαφορετικά ποσοστά παρατηρήσεω και ατίστροφα, άισες αποστάσεις μπορεί α περιέχου ίδια ποσοστά παρατηρήσεω Τα ποσοστημόρια επομέως είαι μέτρα σχετικής θέσης και όχι σχετικής απόστασης Ας δούμε έα παράδειγμα: Τα παρακάτω δεδομέα ααφέροται στις ώρες απουσίας 8 εργαζομέω από τη εργασία τους το τελευταίο τρίμηο του 999 5,,,,, 9,, 7,,,, 6, 8,, 5, 9,, 4, 9,,,, 6, 7,,, 8, Εύκολα βρίσκουμε: Q =,5 Q και δ = 9 = Παρατηρείστε ότι μεταξύ τω άισω αποστάσεω 6 μέχρι 95, 95 μέχρι, μέχρι και μέχρι βρίσκοται ίδια ποσοστά παρατηρήσεω (5%) Ερώτηση: Α σε έα σύολο παρατηρήσεω η μικρότερη τιμή είαι και η μεγαλύτερη 8 γιατί η + 8 διάμεσος δε είαι, κατ αάγκη, 5 = ; Παρατηρήσεις: Τα ποσοστημόρια είαι μέτρα θέσης ιδιαιτέρως χρήσιμα στη μελέτη οικοομικώ, κοιωικώ, δημογραφικώ κα φαιομέω γιατί, μεταξύ άλλω, μας επιτρέπου α απατήσουμε σε ερωτήσεις που αφορού συγκεκριμέες παρατηρήσεις Για παράδειγμα: μια συγκεκριμέη παρατήρηση, βρίσκεται κοτά στα άκρα ή κοτά στο κέτρο της καταομής; ή πόσες παρατηρήσεις είαι μικρότερες από μια συγκεκριμέη παρατήρηση; Έτσι, α σε μια καταομή βαθμολογίας φοιτητώ, είαι p 95 = 7,5 αυτό σημαίει, εκτός τω άλλω, ότι α έας φοιτητής έχει βαθμό πχ 8 τότε αήκει σε έα ποσοστό 5% φοιτητώ που ο βαθμός τους είαι μεγαλύτερος του 7,5 Τα ποσοστημόρια μπορού α βοηθήσου και στη ατιμετώπιση πρακτικώ προβλημάτω που ατιμετωπίζου πολλές φορές οι ερευητές όπως, πχ α συμβεί α μη γωρίζου τις κατώτερες ή τις αώτερες τιμές τω παρατηρήσεω Για παράδειγμα, α έας ερευητής θέλει α υπολογίσει το χρόο ζωής μιας ομάδας πειραματόζωω, πρέπει α περιμέει α πεθάει και το τελευταίο πειραματόζωο προκειμέου α υπολογίσει το μέσο χρόο ζωής τους Για α υπολογίσει, όμως, τη διάμεσο του χρόου ζωής ή κάποιο άλλο ποσοστημόριο, δε απαιτείται α περιμέει μέχρι α πεθάου όλα και έτσι κερδίζει χρόο που μπορεί α είαι κρίσιμος στη εξέλιξη της έρευάς του Σύγκριση μέσης τιμής, κορυφής και διαμέσου Α συγκρίουμε αυτά τα τρία μέτρα θέσης με μαθηματικούς όρους, τότε, εύκολα μπορούμε α αποφαθούμε για το καλύτερο Δηλαδή, α για παράδειγμα, θέσουμε ως κριτήριο τη ελαχιστοποίηση του αθροίσματος ( χ λ) τότε το καλύτερο είαι η μέση τιμή εώ α θέσουμε ως κριτήριο τη ελαχιστοποίηση του αθροίσματος = χ λ τότε το καλύτερο είαι η διάμεσος Α, όμως, τα συγκρίουμε με όρους Περιγραφικής Στατιστικής, δηλαδή, με κριτήριο τη καταλληλότητα περιγραφής της θέσης της καταομής, τότε, φαίεται α υπερέχει η διάμεσος Όμως, κάθε μέτρο θέσης, έχει τη ιδιαίτερη αξία του για τη περιγραφή της καταομής τω παρατηρήσεω, και επομέως, πρέπει όλα α μπορούμε α τα ερμηεύουμε = Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 9

15 σωστά ώστε αφεός, α τα χρησιμοποιούμε σωστά και αφετέρου, α μη πέφτουμε θύματα πλάης επιτηδείω ή ημιμαθώ Παράδειγμα: Το ύψος της βροχής σε mm στη Αθήα για τις ημέρες από --6 έως --6 ήτα:, 8,6,,,9,5,4,8,, 8,5 Εύκολα διαπιστώεται, ακόμη και με μια πρόχειρη ματιά στις παρατηρήσεις, ότι η μέση τιμή χ =, 7 παρέχει ελάχιστη πληροφορία για τη πραγματική εικόα του ύψους της βροχής Όμως, τα ποσοστημόρια Q =, Q =, Q =, συμπληρώου τη γώση για τη καταομή και δίου τη αληθιή εικόα τω παρατηρήσεω που είαι η μεγάλη συγκέτρωση τιμώ στο Σχετική θέση μέσης τιμής, κορυφής και διαμέσου Ότα η καμπύλη συχοτήτω της καταομής είαι συμμετρική ισχύει: Q + Q χ = δ = M και δ = Ότα η καμπύλη συχοτήτω της καταομής παρουσιάζει θετική ασυμμετρία ισχύει: Q + Q χ > δ > M και δ < Ότα η καμπύλη συχοτήτω της καταομής παρουσιάζει αρητική ασυμμετρία ισχύει: < δ < M χ και δ > Q + Q Είαι φαερό ότι, ακόμη και α κάποιος μπορεί α ερμηεύσει σωστά τα μέτρα θέσης, απαιτείται αρκετή εμπειρία για α μπορεί α συοψίζει, α συδυάζει και α συμπυκώει όλες τις πληροφορίες που αυτά δίου για τη καταομή Η διερευητική αάλυση δεδομέω με μια έξυπη και πολύ απλή τεχική μας βοηθάει α παρουσιάσουμε τα κυριότερα μέτρα θέσης με τέτοιο τρόπο που α διευκολύεται πολύ η εξαγωγή συμπερασμάτω για τη καταομή Ααφερόμαστε στη κατασκευή θηκογράμματος (box plot) Το θηκόγραμμα είαι γωστό και ως το διάγραμμα τω πέτε αριθμώ Πρόκειται για έα ορθογώιο με δύο κεραίες (whskes) το οποίο κατασκευάζεται ως εξής: η κάτω βάση του ορθογωίου βρίσκεται στο Q και η πάω στο Q Η διάμεσος δ ααπαριστάεται με έα οριζότιο ευθύγραμμο τμήμα μέσα στο ορθογώιο Το μήκος τω βάσεω του ορθογωίου λαμβάεται αυθαίρετα Η πάω και η κάτω κεραία που έχου τη μορφή Τ και αεστραμμέου Τ ατίστοιχα, εκτείοται μέχρι τις οριακές τιμές που μπορεί α είαι: α) η μέγιστη και η ελάχιστη παρατήρηση Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos)

16 β) η μεγαλύτερη παρατήρηση που είαι μικρότερη ή ίση από το αώτερο εσωτερικό φράγμα Q +,5 ( Q ) και η μικρότερη παρατήρηση που είαι μεγαλύτερη ή ίση Q από το κατώτερο εσωτερικό φράγμα Q,5 ( Q Q ) γ) η μεγαλύτερη παρατήρηση που είαι μικρότερη ή ίση από το αώτερο εξωτερικό φράγμα Q + ( Q ) και η μικρότερη παρατήρηση που είαι μεγαλύτερη ή ίση Q από το κατώτερο εξωτερικό φράγμα Q ( Q ) Q Για τα δεδομέα με τις ώρες απουσίας τω 8 εργαζομέω είαι: Q = 9,5 Q = και δ = Α για το υπολογισμό τω οριακώ τιμώ χρησιμοποιήσουμε τα εσωτερικά φράγματα έχουμε: Το αώτερο εσωτερικό φράγμα είαι Q +,5 ( Q Q ) = +,5 ( 9,5) = 5, 75 άρα η πάω οριακή τιμή είαι η παρατήρηση που είαι ίση με 5 (η μεγαλύτερη παρατήρηση που είαι ίση ή μικρότερη από 5,75) Το κατώτερο εσωτερικό φράγμα είαι Q,5 ( Q Q ) = 9,5,5 ( 9,5) = 5, 75 άρα η κάτω οριακή τιμή είαι η παρατήρηση που είαι ίση με 6 (η μικρότερη παρατήρηση που είαι ίση ή μεγαλύτερη από 5,75) Ας δούμε τι πληροφορίες μας δίει το θηκόγραμμα για τη καταομή τω ωρώ απουσίας τω εργαζομέω Η καταομή παρουσιάζει μια μικρή αρητική ασυμμετρία διότι η διάμεσος βρίσκεται πιο κοτά στη πάω πλευρά του ορθογωίου Το 5% τω παρατηρήσεω βρίσκεται σε έα διάστημα ίσο με το ύψος του ορθογωίου το οποίο είαι αρκετά «συμπιεσμέο» και, επιπλέο, τοποθετείται περίπου στη μέση του εύρος τω παρατηρήσεω (εξαιρουμέω τω ακραίω) Η καταομή παρουσιάζει δυο ακραίες τιμές και μια εξαιρετικά ακραία τιμή (είαι οι τιμές 6, 7 και ) Το θηκόγραμμα του ύψους της βροχής, που φαίεται παρακάτω, είαι φαερό ότι συοψίζει με παραστατικό τρόπο τα συμπεράσματα που σχολιάσαμε στο σχετικό παράδειγμα και, επιπλέο, ααδεικύει τις ακραίες τιμές Μια τιμή χαρακτηρίζεται ακραία α βρίσκεται εκτός τω εσωτερικώ φραγμάτω Μια τιμή χαρακτηρίζεται εξαιρετικά ακραία α βρίσκεται εκτός και τω εξωτερικώ φραγμάτω Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos)

17 Διευκρίηση: Το αώτερο εσωτερικό φράγμα είαι Q +,5 ( Q Q ) =, +,5 (, ) = άρα η πάω οριακή τιμή είαι η παρατήρηση που είαι ίση με (η μεγαλύτερη παρατήρηση που είαι ίση ή μικρότερη από ) Το κατώτερο εσωτερικό φράγμα είαι Q,5 ( Q Q ) =,5 (, ) =,8 άρα η κάτω οριακή τιμή είαι η παρατήρηση που είαι ίση με (η μικρότερη παρατήρηση που είαι ίση ή μεγαλύτερη από,8) Το θηκόγραμμα προσφέρεται ιδιαιτέρως για τη αίχευση ακραίω τιμώ και για τη ααγώριση της συμμετρίας ή του είδους της ασυμμετρίας της καταομής Α το ευθύγραμμο τμήμα που ααπαριστά τη διάμεσο βρίσκεται στο μέσο του ορθογωίου, η καταομή είαι συμμετρική, α βρίσκεται προς τη κάτω πλευρά του ορθογωίου, η καταομή παρουσιάζει θετική ασυμμετρία και τέλος, α βρίσκεται προς τη πάω πλευρά του ορθογωίου, η καταομή παρουσιάζει αρητική ασυμμετρία Επίσης, τα θηκογράμματα είαι εξαιρετικά χρήσιμα για τη σύγκριση τω καταομώ δύο ή περισσοτέρω δειγμάτω (θα δούμε σχετικό παράδειγμα στη συέχεια) Υπολογισμός μέτρω διασποράς (dspeson measues) Στο παρακάτω πίακα, φαίοται οι χρόοι ααμοής σε mn, τω πελατώ μιας τράπεζας που παρατηρήθηκα σε τέσσερα διαφορετικά δείγματα πελατώ μεγέθους πέτε το καθέα Πίακας Δείγμα Ι Δείγμα ΙΙ Δείγμα ΙΙΙ Δείγμα IV Τα τέσσερα δείγματα έχου ίσες διαμέσους και ίσες μέσες τιμές ( χ = δ = ) Α, όμως, παρατηρήσουμε τα ατίστοιχα θηκογράμματα, αβίαστα προκύπτει ότι οι καταομές τους είαι διαφορετικές Πιο συγκεκριμέα, οι αποκλίσεις τω παρατηρήσεω από τη μέση τιμή ή τη διάμεσο έχου πολύ διαφορετική μεταβλητότητα στα τέσσερα δείγματα Τα μέτρα διασποράς ορίσθηκα για α περιγράφου με αριθμητικά μεγέθη αυτή τη μεταβλητότητα I II III IV Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos)

18 Τα πλέο χρησιμοποιούμεα μέτρα διασποράς είαι το εύρος, η εδοτεταρτημοριακή απόκλιση, η τυπική απόκλιση και η διασπορά 4 Εύρος (ange) και Εδοτεταρτημοριακή Απόκλιση (ntequantle devaton) Ορίζεται ως η διαφορά της μικρότερης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση ( R = χ max χ mn ) του δείγματος Είαι το πιο απλό μέτρο διασποράς και έχει τα ακόλουθα πλεοεκτήματα και μειοεκτήματα: Πλεοεκτήματα Είαι πολύ απλό στο υπολογισμό Χρησιμοποιείται αρκετά στο έλεγχο ποιότητας Μπορεί α χρησιμοποιηθεί για τη εκτίμηση της τυπικής απόκλισης Μειοεκτήματα Δε θεωρείται αξιόπιστο μέτρο διασποράς, επειδή βασίζεται μόο στη μικρότερη και στη μεγαλύτερη παρατήρηση και συεπώς είαι ευαίσθητο σε έκτροπες τιμές Δε χρησιμοποιείται για περαιτέρω στατιστική αάλυση Α χρησιμοποιήσουμε το εύρος για τη αριθμητική περιγραφή της μεταβλητότητας στα τέσσερα δείγματα του παραπάω παραδείγματος, βλέπουμε ότι εώ αιχεύει τη διαφορά στη μεταβλητότητα μεταξύ πχ τω δειγμάτω Ι και ΙΙ (το Ι έχει εύρος -8 = 4 εώ το ΙΙ έχει εύρος 6-4 = ) ετούτοις, δε αιχεύει τη διαφορά που υπάρχει στη μεταβλητότητα μεταξύ τω δειγμάτω ΙΙΙ και ΙV (και το III και το ΙV έχου εύρος 9- = 8) Δηλαδή, υπάρχου καταομές που έχου ίσες μέσες τιμές, ίσες διαμέσους και ίδιο εύρος και ετούτοις, διαφέρου σηματικά Δε αρκεί επομέως το εύρος για α αποτυπωθεί αριθμητικά η μεταβλητότητα μιας καταομής Είαι φαερό ότι αυτό οφείλεται στο ότι στο υπολογισμό του εμπλέκοται μόο δυο παρατηρήσεις Για α ατιμετωπίσουμε αυτό το πρόβλημα μπορούμε α χρησιμοποιήσουμε ως μέτρο της μεταβλητότητας τη διαφορά Q Q για το υπολογισμό της οποίας συμμετέχου σαφώς περισσότερες παρατηρήσεις (όσες συμμετέχου στο υπολογισμό τω Q και Q ) Η διαφορά αυτή οομάζεται εδοτεταρτημοριακή απόκλιση (ntequantle devaton) 5 Επειδή μεταξύ τω Q και Q βρίσκεται το 5% τω παρατηρήσεω είαι φαερό ότι όσο μικρότερη είαι η εδοτεταρτημοριακή απόκλιση τόσο μικρότερη είαι η μεταβλητότητα τω παρατηρήσεω 6 Επίσης, σε ατίθεση με τη τυπική απόκλιση και τη διασπορά, η εδοτεταρτημοριακή απόκλιση δε επηρεάζεται από ακραίες τιμές Α χρησιμοποιήσουμε τη εδοτεταρτημοριακή απόκλιση για τη αριθμητική περιγραφή της μεταβλητότητας στα τέσσερα δείγματα του παραδείγματός μας, βλέπουμε ότι πλέο αιχεύοται όλες οι υπάρχουσες διαφορές μεταξύ τω τεσσάρω δειγμάτω Επισήμαση: Αξίζει α επισημάουμε, ότι το εύρος, σε ατίθεση με τη εδοτεταρτημοριακή απόκλιση, είαι πολύ ευαίσθητο σε αλλαγές στο μέγεθος του δείγματος Δηλαδή, είαι δυατό, αύξηση του μεγέθους του δείγματος ακόμη και κατά μια μοάδα α προκαλέσει δυσαάλογη αύξηση του εύρους Α για παράδειγμα, οι παρατηρήσεις,,, 4, 4, 4 και 5 συμπληρωθού με τη παρατήρηση, το εύρος του δείγματος από 4 γίεται 9! 4 Έα ακόμη μέτρο διασποράς είαι η μέση απόκλιση (mean devaton): MD = χ χ 5 Αάλογα ορίζεται η εδοδεκατημοριακή απόκλιση p9 p 6 Η εδοτεταρτημοριακή απόκλιση αποτελεί τη «καρδιά» της καταομής = Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos)

19 Τυπική απόκλιση (standad devaton) και Διασπορά (vaance) Περιγραφική Στατιστική Η τυπική απόκλιση του πληθυσμού συμβολίζεται με σ και του δείγματος με s s = ( χ χ ) = χ χ ή = = k k s = ( y χ ) = y = = χ Εύκολα αποδεικύεται ότι η τυπική απόκλιση έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: Α οι παρατηρήσεις είαι μεταξύ τους ίσες τότε η τυπική απόκλιση τους είαι μηδέ (γιατί;) Α ω = χ + β τότε s ϖ = s Δηλαδή, α στις παρατηρήσεις χ, χ,, χ προσθέσουμε μια σταθερή ποσότητα β (θετική ή αρητική), τότε η τυπική τους απόκλιση δε μεταβάλλεται Α ω = α χ τότε sϖ = α s Δηλαδή, α οι παρατηρήσεις χ, χ,, χ πολλαπλασιασθού με τη ίδια ποσότητα α, τότε η τυπική τους απόκλιση θα πολλαπλασιασθεί με τη ποσότητα α Γεικά, α ω = α χ + β τότε sϖ = α s Είαι φαερό ότι η τυπική απόκλιση απατά στο ερώτημα: πόσο μακριά από τη μέση τιμή τους βρίσκοται οι παρατηρήσεις; Έτσι, ότα οι παρατηρήσεις δε διαφέρου πολύ από τη μέση τιμή τους, η τυπική απόκλιση είαι μικρή, εώ ατίθετα, η τυπική απόκλιση μεγαλώει, όσο περισσότερο «διασκορπίζοται» οι παρατηρήσεις γύρω από τη μέση τιμή τους Δηλαδή, η τυπική απόκλιση μας δίει έα μέτρο της μέσης απόστασης-απόκλισης τω παρατηρήσεω από τη μέση τιμή τους Συεπώς, έχει όημα α χρησιμοποιείται, μόο σε συδυασμό με τη μέση τιμή Πρακτικά, όμως, τι σημαίει «μεγάλη» ή «μικρή» τυπική απόκλιση; Ας προσπαθήσουμε α απατήσουμε μέσα από συγκεκριμέα προβλήματα ) Α για καθέα από τα τέσσερα δείγματα του Πίακα, υπολογίσουμε τη τυπική απόκλισή του, παίρουμε,,6 4,7 7, και 8, ατίστοιχα Μπορούμε α ισχυρισθούμε ότι η μεταβλητότητα, πχ του δείγματος IV είαι μεγαλύτερη από τη μεταβλητότητα του δείγματος I επειδή είαι 8,>,6; Η απάτηση είαι αι, γιατί τα δείγματα έχου τη ίδια μέση τιμή Α, όμως, επιχειρήσουμε α συγκρίουμε τις μεταβλητότητες δύο ή περισσοτέρω δειγμάτω που έχου άισες μέσες τιμές, με βάση μόο τις τυπικές αποκλίσεις τους, τότε είαι πολύ πιθαό α οδηγηθούμε σε λάθος συμπεράσματα Το ίδιο θα συμβεί α συγκρίουμε, με βάση μόο τις τυπικές αποκλίσεις τους, τις μεταβλητότητες δύο ή περισσοτέρω δειγμάτω που μετρώται σε διαφορετικές μοάδες Α, για παράδειγμα, σε δύο δείγματα είαι χ = 5, s = και χ = 5, s = ατίστοιχα, μπορούμε α ισχυρισθούμε ότι το δεύτερο δείγμα παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από το πρώτο επειδή >; Φυσικά όχι, αφού «άλλο στα 5 και άλλο στα 5» Είαι, επομέως, λογικό α ααζητήσουμε έα μέτρο το οποίο α εκφράζει τη τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω ως ποσοστό της μέσης Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 4

20 τιμής τους Δηλαδή, έα μέτρο σχετικής μεταβλητότητας Έα τέτοιο μέτρο, είαι ο συτελεστής μεταβλητότητας (coeffcent of vaaton): CV = χ s % Έτσι, α συγκρίουμε τις τυπικές αποκλίσεις τω δύο δειγμάτω, αφού προηγουμέως κάθε μια τη δούμε ως ποσοστό της μέσης τιμής με βάση τη οποία υπολογίσθηκε, δηλαδή, α υπολογίσουμε τους συτελεστές μεταβλητότητας CV, παρατηρούμε ότι: Για το πρώτο δείγμα είαι CV = % = % και για το δεύτερο δείγμα είαι 5 CV = % = 8% Δηλαδή, στο πρώτο δείγμα η τυπική απόκλιση είαι το % 5 της μέσης τιμής του εώ στο δεύτερο δείγμα η τυπική απόκλιση είαι το 8% της μέσης τιμής του Συεπώς, η μεγαλύτερη μεταβλητότητα παρουσιάζεται στο πρώτο και όχι στο δεύτερο δείγμα (μάλιστα είαι =, 5 φορές μεγαλύτερη!) 8 Από τα παραπάω, είαι φαερό, ότι ο CV μπορεί α χρησιμοποιηθεί: Ως μέτρο σύγκρισης της μεταβλητότητας δύο ή περισσοτέρω δειγμάτω που έχου διαφορετικές μέσες τιμές ή διαφορετικές μοάδες μέτρησης Ως μέτρο ομοιογέειας εός δείγματος (α σε έα δείγμα είαι CV<% τότε το δείγμα θεωρείται ομοιογεές) ) Ας δούμε έα ακόμη πρακτικό πρόβλημα Έας φοιτητής, βαθμολογήθηκε στις εξετάσεις του Ιουίου στο μάθημα της Στατιστικής με 8 Έας άλλος φοιτητής βαθμολογήθηκε στο ίδιο μάθημα στις εξετάσεις του Ιουίου με 7 Με κριτήριο το βαθμό στις εξετάσεις, ποιος από τους δύο φοιτητές είαι καλύτερος στη Στατιστική; Α δε βιαστούμε α απατήσουμε, διαπιστώουμε ότι, ουσιαστικά, μας ζητού α συγκρίουμε «αόμοια πράγματα», αφού πρέπει α συγκρίουμε δυο τιμές η κάθε μια από τις οποίες αήκει σε διαφορετική καταομή Η τιμή 8 αήκει στη καταομή βαθμολογίας τω εξετάσεω του Ιουίου εώ η τιμή 7 αήκει στη καταομή της βαθμολογίας τω εξετάσεω του Ιουίου Για α συγκριθού επομέως οι δύο τιμές, πρέπει α προσδιορισθεί πρώτα η σχετική απόσταση της κάθε μίας μέσα στη καταομή της Έτσι, α οι βαθμολογίες τω φοιτητώ το Ιούιο είχα μέση τιμή 7,5 και τυπική απόκλιση,6 και το Ιούιο του είχα μέση τιμή 5,5 και τυπική 8 7,5,5 απόκλιση, τότε είαι προφαές ότι το κλάσμα = = +, 8 εκφράζει τη,6,6 απόσταση-απόκλιση της τιμής 8 από τη μέση τιμή της καταομής της, σε μοάδες τυπικής απόκλισης Δηλαδή, δείχει «πόσες φορές χωράει η τυπική απόκλιση,6 7 5,5,5 στη απόστταση 8 7, 5» Ομοίως, το κλάσμα = = +, 4 δείχει «πόσες,, φορές χωράει η τυπική απόκλιση, στη απόσταση 7 5, 5» Είαι, πλέο, φαερό ότι ο βαθμός 7 είαι καλύτερος από το βαθμό 8 με τη έοια ότι απέχει από τη μέση τιμή της καταομής του +,4 τυπικές αποκλίσεις εώ ο βαθμός 8 απέχει από τη μέση τιμή της δικής του καταομής +,8 τυπικές αποκλίσεις Δηλαδή, ο βαθμός 7 είαι,4 τυπικές αποκλίσεις μεγαλύτερος από τη μέση τιμή της καταομής του εώ ο βαθμός 8 είαι,8 τυπικές αποκλίσεις μεγαλύτερος από τη μέση τιμή της δικής του καταομής Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 5

21 Η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω μπορεί, επομέως, α χρησιμοποιηθεί ως μοάδα μέτρησης της απόστασης τω παρατηρήσεω από τη μέση τιμή τους χ χ Α μετασχηματίσουμε κάθε τιμή χ, σε, δημιουργούμε μια έα καταομή s χ χ χ χ χ χ,, s s s χ χ Ας συμβολίσουμε τις έες τιμές με z, δηλαδή, z = Οι z -τιμές έχου τις s ακόλουθες, πολύ εδιαφέρουσες, ιδιότητες: Η z -τιμή μιας τιμής απόσταση της Α μια χ, εκφράζει, σε μοάδες τυπικής απόκλισης, τη χ από τη μέση τιμή χ z -τιμή είαι θετική αυτό σημαίει ότι η τιμή μέση τιμή εώ α είαι αρητική σημαίει ότι η τιμή χ είαι μεγαλύτερη από τη χ είαι μικρότερη από τη μέση τιμή Η μέση τιμή τω z -τιμώ είαι πάτα και η τυπική τους απόκλιση είαι πάτα Δηλαδή, z = και s z = (Η απόδειξη είαι προφαής α παρατηρήσουμε ότι ο χ χ μετασχηματισμός z = είαι της γωστής μας μορφής z = α χ + β με s χ α = και β = ) s s Ίσες αποστάσεις z -τιμώ μιας καταομής, έχου ταυτόσημο όημα Για παράδειγμα, η διαφορά μεταξύ τω z-τιμώ και,5 είαι ταυτόσημη με τη διαφορά μεταξύ τω z-τιμώ και,5 Και οι δύο διαφορές δείχου μια απόσταση μισής τυπικής απόκλισης Στις z-τιμές το έχει όημα, δηλαδή, δε ορίζεται συμβατικά-αυθαίρετα Η z-τιμή σημαίει «έλλειψη απόστασης», δηλαδή, η τιμή χ συμπίπτει με τη μέση τιμή χ Η μορφή της καταομής τω z -τιμώ είαι όμοια με τη μορφή της καταομής τω χ τιμώ (διατηρούται πχ οι ασυμμετρίες ή η συμμετρία) Έτσι, α η καταομή τω χ τιμώ έχει μορφή καοικής καταομής, τότε και η καταομή τω z -τιμώ θα έχει μορφή καοικής καταομής Οι z-τιμές μπορού α χρησιμοποιηθού για τη σύγκριση τιμώ που αήκου σε διαφορετικές καταομές Δες και τη παρατήρηση στη επόμεη σελίδα Ας δούμε έα ακόμη παράδειγμα Στη Ελλάδα, ως γωστό, η βαθμολογία τω αποφοίτω δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης δίεται σε κλίμακα από μέχρι Στις ΗΠΑ, συήθως δίεται σε μια κλίμακα από μέχρι 4 Σε πολλές άλλες χώρες δίεται σε κλίμακα από μέχρι Σε έα σχολείο τω ΗΠΑ η καταομή της βαθμολογίας τω αποφοίτω έχει μέση τιμή, και τυπική απόκλιση,, σε έα ελληικό σχολείο έχει μέση τιμή 4, και τυπική απόκλιση, και σε έα ολλαδικό έχει μέση τιμή 76 και τυπική απόκλιση 7 Πώς μπορούμε α συγκρίουμε το βαθμό,6 εός μαθητή του σχολείου τω ΗΠΑ με το βαθμό 8,4 εός μαθητή του ελληικού σχολείου και με το βαθμό 9 εός μαθητή του ολλαδικού σχολείου; Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 6

22 ,6, 8,4 4, Οι ατίστοιχες z-τιμές τω βαθμώ είαι: = +, = + και,, 9 76 = + Συεπώς, οι τρεις μαθητές πήρα τα απολυτήριά τους με βαθμούς που 7 βρίσκοται σε ίσες αποστάσεις πάω από τη μέση βαθμολογία του σχολείου τους Πώς μπορούμε α απατήσουμε στη ερώτηση: Σε ποιο ποσοστό αποφοίτω του σχολείου του βρίσκεται ο κάθε έας από τους τρεις μαθητές; Παρατήρηση: Οι z-τιμές είαι έα μέτρο σχετικής απόστασης Επομέως, ότα χρησιμοποιούται για τη σύγκριση τιμώ που αήκου σε διαφορετικές καταομές, θα πρέπει οι καταομές αυτές α έχου παραπλήσιες μορφές Διαφορετικά, η πληροφορία που θα πάρουμε από τη σύγκριση z-τιμώ θα είαι διφορούμεη-ασαφής (θυμηθείτε ότι με όρους ποσοστώ, ίσες αποστάσεις μπορεί α περιέχου πολύ διαφορετικά ποσοστά παρατηρήσεω) Ας δούμε έα παράδειγμα: Στο παρακάτω πίακα φαίοται οι τιμές που πήραμε από δύο δείγματα μεγέθους Δείγμα Ι 7,46 6,77,74 7, 7,8 8,84 6, 5,9 8,5 6,4 5,7 Δείγμα ΙΙ 9,4 8,4 8,74 8,77 9,6 8, 6,, 9, 7,6 4,74 I fequency,5,5,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5,5,5,5,5 4,5 II 5 fequency 4,5,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5,5,5,5,5 4,5 Ακόμη και με μια πρόχειρη ματιά στις τιμές, εύκολα διαπιστώουμε ότι οι δύο καταομές διαφέρου σηματικά αφού στη Ι οι τιμές καταέμοται μεταξύ 4,5 και 9,5 με μια ακραία τιμή προς τα δεξιά, εώ στη ΙΙ υπάρχει μεγάλη συγκέτρωση τιμώ μεταξύ 8,5 και 9,5 και οι υπόλοιπες κλάσεις έχου από μία μόο τιμή (εκτός από μια που έχει δύο τιμές) Παρόλα αυτά, οι δύο καταομές έχου ίσες μέσες τιμές και ίσες τυπικές αποκλίσεις ( χ = 7, 5 και s =, 9 ) Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 7

23 Η τιμή 6, αήκει και στα δύο δείγματα και επομέως θα έχει ίδια z-τιμή και στα δύο 6, 7,5 δείγματα z 6, = = 7 Δηλαδή, η τιμή 6, και στα δύο δείγματα βρίσκεται,9,7 τυπικές αποκλίσεις αριστερά της μέσης τιμής Αυτό όμως δε «εμποδίζει» καθόλου α είαι η πραγματικότητα για τη τιμή 6, πολύ διαφορετική στις δύο καταομές Α παρατηρήσουμε τα ατίστοιχα ιστογράμματα τω καταομώ βλέπουμε ότι στη καταομή Ι η τιμή 6, έχει «δεσπόζουσα θέση» (βρίσκεται στο mansteam της καταομής) εώ στη ΙΙ βρίσκεται μόη της και περιβάλλεται από κλάσεις με μια μόο τιμή! Η σύγκριση, επομέως, δύο z-τιμώ από διαφορετικές καταομές, δε αποδίδει τη πραγματική εικόα α οι καταομές έχου διαφορετική μορφή ) Μπορούμε α καθορίσουμε με βάση τη τυπική απόκλιση διαστήματα γύρω από τη μέση τιμή στα οποία α βρίσκεται συγκεκριμέο ποσοστό παρατηρήσεω 7 ; Η απάτηση είαι ότι μπορούμε Η αισότητα του Chebyshev μας βεβαιώει ότι: το ποσοστό τω παρατηρήσεω που βρίσκεται πχ στο διάστημα ( χ s, χ + s) είαι τουλάχιστο 75% Άρα, όσο πιο «στεό» είαι αυτό το διάστημα (δηλαδή όσο πιο μικρή είαι η τυπική απόκλιση), τόσο πιο κοτά στη μέση τιμή είαι οι παρατηρήσεις και κατά συέπεια τόσο πιο μικρή είαι η μεταβλητότητα τω παρατηρήσεω Γεικά, η αισότητα του Chebyshev μας λεει ότι: το ποσοστό τω παρατηρήσεω που βρίσκοται στο διάστημα ( χ ks, χ + ks) είαι τουλάχιστο για κάθε k > Ειδική περίπτωση 8 : Α η καταομή τω δεδομέω είαι καοική τότε: Στο διάστημα ( χ s, χ + s) βρίσκεται το 68% περίπου τω παρατηρήσεω Στο διάστημα ( χ s, χ + s) βρίσκεται το 95% περίπου τω παρατηρήσεω Στο διάστημα ( χ s, χ + s) βρίσκοται όλες σχεδό οι παρατηρήσεις (99,7%) k 7 Δηλαδή κάτι αάλογο με τα διαστήματα που καθορίζουμε με βάση τα ποσοστημόρια Πχ γωρίζουμε ότι στο διάστημα p9 p βρίσκεται το 8% τω παρατηρήσεω 8 Καθόλου «ειδική περίπτωση», όπως θα δούμε στο επόμεο κεφάλαιο Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 8

24 Τα παραπάω μας επιτρέπου α μπορούμε α απατήσουμε και σε ερωτήματα όπως: Μια αυτόματη μηχαή συσκευασίας τροφίμω έχει προγραμματισθεί α συσκευάζει δημητριακά σε φακελάκια τω γραμμαρίω Α σε έα δείγμα από φακελάκια διαπιστώθηκε ότι το μέσο βάρος είαι,9 γραμμάρια με τυπική απόκλιση, γραμμάρια, ποιο ποσοστό συσκευασιώ περιέχου ποσότητα δημητριακώ μεταξύ,7 και, γραμμάρια; Από τη αισότητα του Chebyshev γωρίζουμε ότι μεταξύ χ ks και χ + ks δηλαδή τω παρατηρήσεω σε έα διάστημα πλάτους ks περιέχεται τουλάχιστο το k Έχουμε,,-,7 =,4 = k,,4 = k, k = Άρα, στο διάστημα (,7,) περιέχεται τουλάχιστο το =, 75 (ή το 75%) τω παρατηρήσεω Α, επιπλέο, γωρίζαμε ότι η καταομή του βάρους είαι καοική, τότε θα γωρίζαμε, επίσης, ότι στο διάστημα αυτό περιέχεται το 95% περίπου τω παρατηρήσεω Το τετράγωο της τυπικής απόκλισης τω παρατηρήσεω οομάζεται διασπορά και συμβολίζεται με σ για το πληθυσμό και με s για το δείγμα Δηλαδή η διασπορά δίεται από το τύπο: s = ( χ χ ) = χ χ ή = = s k k = ( y χ ) = y = = χ Η διασπορά, ως μέτρο μεταβλητότητας, δε διαφέρει ουσιαστικά από τη τυπική απόκλιση Παρότι, έχει το μειοέκτημα ότι δε εκφράζεται στις ίδιες μοάδες με τη μεταβλητή της οποίας τη μεταβλητότητα μετράει, ετούτοις, χρησιμοποιείται ευρύτατα στη Στατιστική Συμπερασματολογία για τις καλές της μαθηματικές ιδιότητες Αυτός είαι και ο βασικός λόγος που επέβαλε το ορισμό της Συοπτικά, η διασπορά και η τυπική απόκλιση έχου τα ακόλουθα πλεοεκτήματα και μειοέκτηματα: Πλεοεκτήματα Για το υπολογισμό τους, λαμβάοται υπόψη όλες οι παρατηρήσεις Έχου μεγάλη εφαρμογή στη στατιστική συμπερασματολογία Με βάση τη τυπική απόκλιση και τη μέση τιμή, μπορού α ορισθού διαστήματα στα οποία βρίσκεται γωστό ποσοστό παρατηρήσεω Μειοεκτήματα Το κυριότερο μειοέκτημα της διασποράς είαι ότι δε εκφράζεται στις ίδιες μοάδες με τη μεταβλητή Το μειοέκτημα αυτό παύει α υπάρχει με τη χρησιμοποίηση της τυπικής απόκλισης Απαιτούται περισσότερες αλγεβρικές πράξεις για το υπολογισμό τους απ ότι στα άλλα μέτρα Παρατήρηση: Ίσως δημιουργεί απορίες το γεγοός, ότι στο τύπο της τυπικής απόκλισης, και κατ επέκταση και της διασποράς, διαιρούμε το άθροισμα ( χ χ) με ατί με Αυτό γίεται διότι μπορεί α αποδειχθεί ότι, ότα διαιρούμε με, η δειγματική διασπορά s είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυσμιακής διασποράς σ Δηλαδή, α πάρουμε όλα τα δυατά δείγματα μεγέθους και υπολογίσουμε τις δειγματικές = Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 9

25 διασπορές τους πληθυσμού 9!! Περιγραφική Στατιστική s τότε η μέση τιμή τους θα είαι ίση με τη διασπορά σ του Ποιοτικές Μεταβλητές Για τις ποιοτικές μεταβλητές, η Περιγραφική Στατιστική προσφέρει, μεταξύ άλλω, τις ακόλουθες δυατότητες: α) Ποιοτικές Μεταβλητές Κατηγορίας Κατασκευή Πίακα Συχοτήτω Ο πίακας συχοτήτω της ποιοτικής μεταβλητής κατηγορίας επάγγελμα πατέρα, είαι: y Δάσκαλος 6, Δημ Υπάλληλος 6, Εργάτης 4, Ιδιωτ Υπάλληλος, Οδηγός, Σύολα Σημειώουμε ότι σε ποιοτικές μεταβλητές κατηγορίας δε έχου όημα οι αθροιστικές και οι σχετικές αθροιστικές συχότητες Ραβδόγραμμα Κυκλικό Διάγραμμα Κορυφή ή Επικρατούσα τιμή Η μεταβλητή επάγγελμα πατέρα έχει δύο κορυφές: τη τιμή Δάσκαλος και τη τιμή Δημ Υπάλληλος Άλλα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα δε υπολογίζοται (δε έχει όημα) σε ποιοτικές μεταβλητές κατηγορίας β) Ποιοτικές Μεταβλητές Διάταξης Κατασκευή Πίακα Συχοτήτω Ο πίακας συχοτήτω της ποιοτικής μεταβλητής διάταξης επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα, είαι: f y f N F,, 5,5 7,5,55 8,9 4, Σύολα 9 Το «μυστικό» της απόδειξης βρίσκεται στη ιδιότητα ( χ χ) = της μέσης τιμής Αυτή η σχέση χ χ μας λεει ότι α από τις διαφορές τη -οστή Επομέως, μπορούμε α υπολογίσουμε το άθροισμα ( χ χ) = από τους όρους του Δηλαδή οι «βαθμοί ελευθερίας» που έχουμε είαι και όχι Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 4 = γωρίζουμε τις, τότε μπορούμε α υπολογίσουμε και α γωρίζουμε τους

26 Σε ποιοτικές μεταβλητές διάταξης έχου όημα οι αθροιστικές και οι σχετικές αθροιστικές συχότητες Για παράδειγμα, έχει όημα α πούμε ότι επίπεδο εκπαίδευσης μέχρι και τριτοβάθμια εκπαίδευση έχου 8 άτομα Ραβδόγραμμα Κυκλικό Διάγραμμα Κορυφή ή Επικρατούσα τιμή Η κορυφή της καταομής της μεταβλητής επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα, είαι η τιμή (τριτοβάθμια εκπαίδευση) Σε ποιοτικές μεταβλητές διάταξης μπορούμε επίσης α υπολογίσουμε και τη διάμεσο (και γεικότερα ποσοστημόρια) παρότι δε ατιστοιχεί πάτα σε τιμή της μεταβλητής Μεταβλητές Διεύθυσης και Κατεύθυσης (κυκλικά δεδομέα) Όπως ήδη έχουμε ααφέρει (σελ 9-), οι μεταβλητές που εκφράζου χαρακτηριστικά διεύθυσης ή κατεύθυσης μετρώται σε κυκλική κλίμακα Έας κύκλος διαιρείται σε 6 ίσα μέρη Ως μοάδα μέτρησης ορίζεται η μία μοίρα ( ) Οι μηδέ μοίρες ( ) ατιστοιχίζοται στο βορρά και στο βορρά, επίσης, ατιστοιχίζοται οι 6 Επομέως, στις μεταβλητές κατεύθυσης ή διεύθυσης αποδίδοται τιμές γωιώ σε μοίρες Οι γωίες μετρώται από το βορρά και κατά τη φορά τω δεικτώ του ωρολογίου Όπως δείξαμε με ατιπαραδείγματα (σελ 9-), οι μέθοδοι παρουσίασης, περιγραφής και αάλυσης κυκλικώ δεδομέω, διαφέρου από τις ατίστοιχες που εφαρμόζοται σε δεδομέα κλίμακας διαστήματος ή κλίμακας ααλογίας (παρότι, ως έοιες, είαι αάλογες) Ας δούμε, μέσω συγκεκριμέω παραδειγμάτω, ποιες μέθοδοι χρησιμοποιούται για τη γραφική ααπαράσταση κυκλικώ δεδομέω και πώς ορίζοται και υπολογίζοται τα αριθμητικά περιγραφικά της καταομής τους 8 Οι γωίες μετρώται και σε βαθμούς (adans) Έας βαθμός ορίζεται ως μια γωία που βαίει σε τόξο ίσο με τη ακτία του κύκλου Επειδή ο κύκλος έχει μήκος (περιφέρεια) π, οι 6 ατιστοιχού σε π βαθμούς και επομέως, έας βαθμός ισούται με 6 /π =8 /π, δηλαδή, περίπου με 57 Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 4

27 Γραφική παρουσίαση κυκλικώ δεδομέω Περιγραφική Στατιστική Στο πίακα που ακολουθεί δίδοται οι κατευθύσεις (dectons) τω ιχώ της κίησης τω πάγω (glacal statons) σε μια έκταση 5 Km στη ότια Φιλαδία Κατεύθυση-φορά του ίχους της κίησης πάγω (σε μοίρες από το βορρά και κατά τη φορά τω δεικτώ του ωρολογίου) Πρόκειται για δεδομέα κατεύθυσης Δηλαδή, τα δεδομέα αυτά ορίζου και διεύθυση και φορά Για παράδειγμα, οι 5 και οι ορίζου τη ίδια διεύθυση 5 - αλλά ταυτόχροα ορίζου και δύο ατίθετες κατευθύσεις: τη κατεύθυση 5 και τη κατεύθυση Η γραφική παρουσίαση τω δεδομέω μπορεί α γίει: α) Με κυκλικό διάγραμμα διασποράς β) Με ροδόγραμμα (ose dagam) Το ροδόγραμμα είαι ατίστοιχο του γραμμικού ιστογράμματος Τα δεδομέα ομαδοποιούται σε κλάσεις και ατίστοιχα ο κύκλος διαιρείται σε κυκλικούς τομείς Δηλαδή, α για παράδειγμα, ως πλάτος της κλάσης επιλεγού οι, ο κύκλος διαιρείται σε τομείς τω Η συχότητα κάθε κλάσης ααπαρίσταται είτε με τη ακτία (σχήμα Ι) είτε με το εμβαδό (σχήμα ΙΙ) του ατίστοιχου κυκλικού τομέα Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 4

28 (Ι) 5 Περιγραφική Στατιστική (ΙΙ) Επειδή η οπτική ετύπωση που δημιουργεί έας κυκλικός τομέας διαμορφώεται πρωτίστως από το εμβαδό του και δευτερευότως από τη ακτία του, το ροδόγραμμα Ι μπορεί α παρασύρει σε λάθος συμπεράσματα αφού υπερτοίζει (οπτικά) τις μεγάλες συχότητες και υποβαθμίζει τις μικρές Έτσι, μπορεί α δημιουργηθεί η ετύπωση ότι κάποια κατεύθυση «ξεχωρίζει» ιδιαίτερα έατι τω άλλω, εώ τα δεδομέα μπορεί α μη υποστηρίζου έα τέτοιο συμπέρασμα Για το λόγο αυτό, στη βιβλιογραφία προτείεται οι συχότητες (ή οι σχετικές συχότητες) τω κλάσεω α ααπαρίσταται με τα εμβαδά και όχι με τις ακτίες τω ατίστοιχω τομέω Δηλαδή, η ακτία κάθε τομέα προτείεται α είαι αάλογη με τη τετραγωική ρίζα της ατίστοιχης συχότητας και όχι με τη συχότητα (γιατί;) Είαι προφαές ότι στο ιστόγραμμα μη κυκλικώ δεδομέω δε δημιουργείται αάλογο πρόβλημα (γιατί;) Είαι, επίσης, προφαές ότι το ροδόγραμμα, όπως και το ιστόγραμμα μη κυκλικώ δεδομέω, επηρεάζεται δραστικά από το πλάτος τω κλάσεω (συγκρίετε το ροδόγραμμα ΙΙΙ που σχεδιάσθηκε σε τομείς με το ροδόγραμμα ΙΙ που σχεδιάσθηκε σε τομείς ) (ΙΙΙ) Εργαστήριο Μαθηματικώ&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauag/gpapadopoulos) 4

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε αναφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είναι, «η ανάπτυξη μεθόδων για τη συνοπτική και την αποτελεσματική παρουσίαση των δεδομένων» Για το σκοπό αυτό, έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε αναφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είναι, «η ανάπτυξη μεθόδων για τη συνοπτική και την αποτελεσματική παρουσίαση των δεδομένων» Για το σκοπό αυτό, έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική 9. Ποσοτικές μεταβλητές 9.. Κατασκευή πίακα καταομής συχοτήτω 9.. Γραφική παρουσίαση καταομής συχοτήτω 9..3 Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα 9..3. Μέτρα θέσης 9..3. Μέτρα διασποράς 9..3.3

Διαβάστε περισσότερα

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική)

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) Στατιστική Ι 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

9. Περιγραφική Στατιστική

9. Περιγραφική Στατιστική 9. Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Οι έοιες τυχαία μεταβλητή, τυχαίο δείγμα και πληθυσμός που προσεγγίσαμε και διατυπώσαμε με όρους Πιθαοτήτω στο Α Μέρος, αποτελού βασικές έοιες και της Στατιστικής.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi Στατιστική "Υπάρχου τα μικρά ψέματα, τα μεγάλα ψέματα και οι στατιστικές" Μαρκ Τουαί Σε κάθε πρόβλημα της Στατιστικής υπάρχει έας «πληθυσμός» Ω τα στοιχεία του οποίου (άτομα) εξετάζοται ως προς έα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron 6-4-206) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x) taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Περιγραφική Στατιστική τεχνικές 3 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Η Καοική Καταομή H καοική καταομή (normal dstrbuton) θεωρείται η σπουδαιότερη καταομή

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ 9 ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 3 Μαθηματικώ Ερώτημα Ο Εισαγωγή ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ. Το συγκεκριμέο ερώτημα θα μπορούσε α έχει ισοδύαμα τη μορφή: «Να προτείετε σχέδιο μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα.

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα. Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικώ ( α) µε ατιπροσωπευτικά παραδείγµατα & ατιπαραδείγµατα. Ιωάης Π. Πλατάρος, Μαθηµατικός, Καπετά Κρόµπα 37, Τ.Κ. 24 2 ΜΕΣΣΗΝΗ, ηλ./ταχ. Plataros@sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 7 Μάθημα 8ο ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8 Το διωυμικό θεώρημα μπορεί α αποτελέσει τη βάση για τη απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΕΤΟΥΣ 007 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Απογευματιή εξέταση στα μαθήματα: «. Άλγεβρα» «.5

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

Δεσμευμένη πιθανότητα και Ανεξαρτησία ενδεχομένων

Δεσμευμένη πιθανότητα και Ανεξαρτησία ενδεχομένων Δεσμευμέη πιθαότητα και Αεξαρτησία εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας 4 Ο πολλαπλασιαστικός τύπος 4 Το θεώρημα ολικής πιθαότητας 44 Το θεώρημα Bayes 45 Αεξαρτησία εδεχομέω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 327 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Σε αυτή την ενότητα, όπως και στις επόμενες, όταν θα αναφερόμαστε σε δεδομένα από έναν πληθυσμό, θα θεωρούμε ότι έχουμε στη διάθεσή μας τιμές, x, x,, x, μιας τυχαίας μεταβλητής Χ

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2014-2015 Εµπειρικές Στατιστικές

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Copyright 2009 Cengage Learning 4.1 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Δείκτες Κεντρικής Θέσης [Αριθμητικός] Μέσος, Διάμεσος, Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Κεφάλαιο Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γˊ Λυκείου Κεφάλαιο ο Στατιστική ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική είαι έα σύολο αρχώ και μεθοδολογιώ για: το σχεδιασμό της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα