Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας."

Transcript

1 Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκπός Σκπός τυ κεφαλαίυ είναι η κατανόηση των βασικών στιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν θα έχετε λκληρώσει τη μελέτη αυτύ τυ κεφαλαίυ θα πρέπει να μπρείτε: Να ρίζετε τν πληθυσμό και τις μεταβλητές μιας στατιστικής έρευνας. Να διαβάζετε και να κατασκευάζετε στατιστικύς πίνακες Να κατασκευάζετε πίνακες συχντήτων, σχετικών συχντήτων και των αντιστίχων αθριστικών, όπυ αυτό είναι απαραίτητ. Να παρυσιάζετε με διάφρα διαγράμματα τα στατιστικά δεδμένα. Να βρίσκετε τα μέτρα θέσης τα μέτρα διασπράς και τν συντελεστή μεταβλής πστικών χαρακτηριστικών. Να κάνετε εκτιμήσεις σε κατανμές πυ πρσεγγίζυν την καννική κατανμή.

2 Έννιες κλειδιά. Πληθυσμός Δείγμα Μεταβλητή Κατανμή συχντήτων Κατανμή σχετικών συχντήτων Πίνακες συχντήτων και σχετικών συχντήτων Διάγραμμα συχντήτων Ιστόγραμμα Ραβδόγραμμα Σημειόγραμμα Χρνόγραμμα Κυκλικό διάγραμμα Πλύγωνα συχντήτων Καμπύλες συχντήτων Μέση τιμή Διάμεσς Διακύμανση Τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβλής ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

3 ΕΝΟΤΗΤΑ 2.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι η εξικείωση με την ρλγία της στατιστικής. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν θα έχετε λκληρώσει τη μελέτη αυτής της ενότητας, θα πρέπει: Να μπρείτε: α. Να ρίζετε τν πληθυσμό μιας στατιστικής έρευνας. β. Μα ρίζετε τις μεταβλητές τις έρευνας και να τις ξεχωρίζετε σε πιτικές και πστικές. Να γνωρίζετε τις μεθόδυς με τις πίες γίνεται μια στατιστική έρευνα. 1. Βασικές έννιες Τι νμάζυμε στατιστική; Στατιστική είναι ένα σύνλ αρχών και μεθόδων πυ αφρύν: α. Στ σχεδιασμό της διαδικασίας συλλγής δεδμένων. β. Στη συνπτική και απτελεσματική παρυσίας τυς. γ. Στην ανάλυση των δεδμένων και εξαγωγής συμπερασμάτων. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

4 Παρατήρηση: Οι κλάδι της στατιστικής πυ ασχλύνται με τυς παραπάνω στόχυς, είναι: α. Σχεδιασμύ πειραμάτων β. Περιγραφική στατιστική ή στατιστική συμπερασματλγία Τι λέγεται πληθυσμός; Πληθυσμός λέγεται ένα σύνλ, τυ πίυ τα στιχεία θέλυμε να εξετάσυμε ως πρς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Παρατήρηση: Τα στιχεία τυ πληθυσμύ, λέγνται άτμα ή μνάδες Τι λέγεται μεταβλητή; Τι λέγνται τιμές της μεταβλητής; Μεταβλητή λέγεται τ χαρακτηριστικό ως πρς τ πί εξετάζυμε τν πληθυσμό. Τιμές της μεταβλητής, λέγνται ι δυνατές τιμές πυ μπρεί να πάρει μια μεταβλητή. Πια είναι τα είδη των μεταβλητών και τι τιμές παίρνυν; Οι τιμές διακρίννται σε πιτικές και πστικές. Οι πιτικές (ή κατηγρικές) μεταβλητές παίρνυν τιμές πυ δεν είναι αριθμί. Οι πστικές μεταβλητές παίρνυν τιμές πυ είναι αριθμί. Διακρίννται σε διακριτές και συνεχείς. Διακριτές νμάζνται ι μεταβλητές πυ παίρνυν μεμνωμένες τιμές. Συνεχείς νμάζνται ι μεταβλητές πυ μπρεί να πάρυν πιαδήπτε τιμή ενός διαστήματς πραγματικών αριθμών. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

5 Να αναφέρετε και να περιγράψετε τυς τρόπυς με τυς πίυς γίνεται η συλλγή των στατιστικών δεδμένων. Η απαγραφή των στατιστικών δεδμένων γίνεται με απγραφή ή με επιλγή δείγματς (δειγματληψία). Απγραφή λέγεται η μέθδς συλλγής δεδμένων, κατά την πία για να πάρυμε τις απαραίτητες πληρφρίες πυ χρειαζόμαστε, για κάπι πληθυσμό, εξετάζυμε όλα τα άτμα τυ πληθυσμύ ως πρς τ χαρακτηριστικό πυ μας ενδιαφέρει. Όπυ η απγραφή είναι αδύνατη ή δύσκλή, γιατί είναι ικνμικά και χρνικά ασύμφρη, η συλλγή των πληρφριών γίνεται από μια μικρότερη μάδα τυ πληθυσμύ πυ λέγεται δείγμα. Η επιλγή τυ δείγματς γίνεται με πλύ αυστηρά κριτήρια ώστε τ δείγμα να είναι αντιπρσωπευτικό. Ένα δείγμα είναι αντιπρσωπευτικό αν επιλεγεί με τέτι τρόπ ώστε κάθε μνάδα τυ πληθυσμύ να έχει την ίδια δυνατότητα να επιλεγεί. Μετά την επιλγή τυ δείγματς συλλέγνται τα δεδμένα πυ μας ενδιαφέρυν και τα συμπεράσματα πυ εξάγνται, γενικεύνται για τ σύνλ τυ πληθυσμύ. Παρατηρήσεις: 1. Μια πρσεκτική επιλγή μικρότερυ δείγματς μπρεί να δώσει καλύτερα απτελέσματα από ένα μεγαλύτερ δείγμα πυ δεν έχει επιλεγεί κατάλληλα. 2. Οι αρχές και ι μέθδι για τη συλλγή και ανάλυση δεδμένων από πεπερασμένυς πληθυσμύς είναι αντικείμεν της δειγματληψίας πυ απτελεί τη βάση της στατιστικής. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

6 2.2. ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σκπός Σκπός της ενότητας αυτής είναι να παρυσιάσει σύντμα αλλά περιεκτικά τυς τρόπυς με τυς πίυς παρυσιάζνται τα στατιστικά δεδμένα. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν έχετε μελετήσει την ενότητα αυτή θα πρέπει να μπρείτε: Να εντπίζετε σε κάθε πίνακα τν τίτλ, τις επικεφαλίδες και τ κύρι σώμα. Να μελετάτε τυς πίνακες στατιστικών δεδμένων Να κατασκευάζετε πίνακες στατιστικών δεδμένων. ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Τι περιέχυν ι γενικί πίνακες στατιστικών δεδμένων και τι ι ειδικί; Οι γενικί πίνακες περιέχυν όλες τις πληρφρίες πυ πρκύπτυν από μια στατιστική έρευνα και απτελύν πηγές στατιστικών πληρφριών στη διάθεση των επιστημόνων ερευνητών για παραπέρα ανάλυση και εξαγωγή συμπερασμάτων. Οι ειδικί πίνακες περιέχυν και αυτί πληρφρίες από μια στατιστική έρευνα, αλλά είναι πι συνπτικί και σαφείς. Τα στιχεία τυς συνήθως λαμβάννται από τυς γενικύς πίνακες. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

7 Τι πρέπει να περιέχει ένας πίνακας στατιστικών δεδμένων ώστε να είναι σωστά κατασκευασμένς; Κάθε πίνακας πυ έχει κατασκευαστεί σωστά περιέχει: α. Τν τίτλ πυ γράφεται στ πάνω μέρς και δηλώνει με σαφήνεια και συνπτικά τ περιεχόμεν τυ πίνακα. β. Τις επικεφαλίδες των γραμμών και των στηλών, πυ δείχνυν συνπτικά τη φύση και τις μνάδες μέτρησης των δεδμένων. γ, Τ κύρι σώμα, πυ περιέχει διαχωρισμένα μέσα στις γραμμές και στις στήλες τα στατιστικά δεδμένα. δ. Την πηγή, πυ γράφεται στ κάτω μέρς τυ πίνακα και δείχνει την πρέλευση των στατιστικών στιχείων, έτσι ώστε αναγνώστης να ανατρέχει σ αυτήν για επαλήθευση στιχείων ή για λήψη περισσότερων πληρφριών. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Οι παρακάτω ερωτήσεις (α ως η) αφρύν ένα δείγμα μεγέθυς ν, τυ πίυ εξετάζυμε μια μεταβλητή Χ η πία παίρνει τιμές x, x,...x, κ ν. 1 2 κ α. Τι νμάζεται (απόλυτη) συχνότητα ν της τιμής Συχνότητα ν της τιμής πόσες φρές εμφανίζεται η τιμή σύνλ των παρατηρήσεων. x ( 1, 2,..., ) = κ ; x είναι ένας φυσικός αριθμός πυ δείχνει x της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στ β. Με τι ισύται τ άθρισμα όλων των συχντήτων; Τ άθρισμα όλων των συχντήτων ν, = 1,2,..., κ ισύται με τ μέγεθς τυ δείγματς. Δηλαδή: ν +ν + +ν =ν κ ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

8 Παρατήρηση: Τ άθρισμα ν 1+ν ν κ γράφεται συνπτικά: κ κ ν άρα = 1 = 1 ν =ν γ. Τι νμάζεται αθριστική συχνότητα Ν της τιμής Η αθριστική συχνότητα της τιμής παρατηρήσεων πυ είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής Παρατηρήσεις: x x είναι ίση με τ πλήθς των x. Δηλαδή: Αν x1 < x 2 <... < x κ τότε Ν =ν 1+ν ν 1. Η αθριστική συχνότητα αφρά μόν πστικές μεταβλές, διότι στις πιτικές μεταβλητές δεν υπάρχει διάταξη τιμών. 2. Ισχύυν: Ν 1 =ν1, Ν 2 =ν 1+ν 2 =Ν 1+ν 2,..., Ν =ν 1+ν ν =Ν 1+ν, = 1,2,..., κ Πρφανώς ισχύει Ν = V. Από τα παραπάνω πρκύπτει ότι: κ Ν Ν 1 =ν δ. Τι νμάζεται σχετική συχνότητα f της τιμής Σχετική συχνότητα συχνότητας ν της τιμής x; f της τιμής x x πρς τ μέγεθς τυ δείγματς. Άρα: λέγεται τ πηλίκ της f ν = ν Παρατήρηση: Συνήθως ι σχετικές συχνότητες f εκφράζνται επί τις εκατό και συμβλίζνται με f 0 0. Δηλαδή ισχύει: f 0 0 = 100 f ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

9 ε. Να δείξετε ότι:. 0 f 1 για = 1,2,..., κ. f1+ f fκ = 1 Απόδειξη:. Επειδή ν 0 και ν > 0, έχυμε: ν f = 0 ν Όμως ν ν, άρα ν f = 1 με συνέπεια: ν. 0 f 1 ν1 ν2 νκ ν 1+ν νκ ν f1+ f f ν = = = ν ν ν ν ν f + f f = ν Παρατηρήσεις: 1. Συνπτικά: κ = 1 f = 1 2. Αν ι σχετικές συχνότητες εκφράζνται επί τις εκατό, ισχύει: Συνπτικά: f + f f = κ 0 κ = 1 f = στ. Τι νμάζεται αθριστική σχετική συχνότητα F της τιμής Η αθριστική σχετική συχνότητα F της τιμής x; x, με τ πσστό των παρατηρήσεων πυ είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής x. Αν x1 < x 2 <... < x κ τότε F = f1+ f f, = 1,2,..., ν ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

10 Παρατηρήσεις: 1. Η αθριστική σχετική συχνότητα F αφρά μόν πστικές μεταβλητές. 2. Ισχύυν: F = f, F = f + f = F + f,..., F = f + f f = F + f με = 1,2,..., κ. Πρφανώς έχυμε: Fκ = 1 Από τα παραπάνω, εξάγεται ότι: F F = f Αν ι σχετικές συχνότητες εκφράζνται επί τις εκατό, ισχύυν: F = f + f f, F F = f, F = κ 0 ζ. Τι είναι πίνακας κατανμής συχντήτων μιας μεταβλητής Χ ; Οι πσότητες x, ν,f για ένα δείγμα συγκεντρώννται σ ένα συνπτικό πίνακα πυ νμάζεται πίνακας κατανμής συχντήτων ή απλά πίνακας συχντήτων. η. Τι νμάζεται κατανμή συχντήτων και τι κατανμή σχετικών συχντήτων; Κατανμή συχντήτων μιας μεταβλητής Χ, λέγεται τ σύνλ των ζευγών: x, ν, = 1, 2,..., κ ( ) Κατανμή σχετικών συχντήτων λέγεται τ σύνλ των ζευγών: ( ) 0 ( ) x,f ή x,f, = 1,2,..., κ 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

11 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Τι είναι τ ραβδόγραμμα και πότε αυτό χρησιμπιείται; Απάντησή Τ ραβδόγραμμα χρησιμπιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας πιτικής μεταβλητής. Απτελείται από ρθγώνιες στήλες πυ ι βάσεις τυς βρίσκνται πάνω στν ριζόντι ή τν κατακόρυφ άξνα. Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστιχεί μια ρθγώνια στήλη με ύψς ίσ με την αντίστιχη συχνότητα, αν πρόκειται για ραβδόγραμμα συχντήτων. Στ ραβδόγραμμα σχετικών συχντήτων τ ύψς της ρθγώνιας στήλης είναι ίσ με την αντίστιχη σχετική συχνότητα. Τι είναι τ διάγραμμα συχντήτων και πότε αυτό χρησιμπιείται; Τ διάγραμμα συχντήτων χρησιμπιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας πστικής διακριτής μεταβλητής. Στν ριζόντι άξνα τπθετύμε τις τιμές της μεταβλητής Χ σε αύξυσα σειρά ( x1 < x 2 <... < x κ ) και σε κάθε τιμή φέρνυμε μια γραμμή παράλληλη στν κατακόρυφ άξνα με ύψς ίσ με τη συχνότητα της μεταβλητής. Παρατηρήσεις: 1. Ενώνντας τα σημεία ( ) x,ν (δηλαδή τις κρυφές των κατακόρυφων γραμμών πυ φέραμε) έχυμε τ πλύγων συχντήτων 2. Ανάλγα κατασκευάζυμε διάγραμμα σχετικών συχντήτων και πλύγων σχετικών συχντήτων. Στ διάγραμμα σχετικών συχντήτων τ ύψς των γραμμών είναι ίσ με f, ενώ για να κατασκευάσυμε τ πλύγων σχετικών συχντήτων ενώνυμε τα x,f σημεία ( ) Παράδειγμα: Σε μια έρευνα, για τν αριθμό των παιδιών σε 50 ικγένειες, τα απτελέσματα ήταν τα εξής: 0 παιδιά είχαν 12 ικγένειες 1 παιδί είχαν 26 ικγένειες 2 παιδιά είχαν 10 ικγένειες 3 παιδιά είχαν 2 ικγένειες ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

12 Τι είναι τ κυκλικό διάγραμμα και πότε αυτό χρησιμπιείται; Τ κυκλικό διάγραμμα χρησιμπιείται για τη γραφική παράσταση τόσ πιτικών όσ και πστικών μεταβλών. Τ κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκς χωρισμένς σε κυκλικύς τμείς τα τόξα των πίων (άρα και τα εμβαδά) είναι ανάλγα πρς τις συχνότητες ν ή τις σχετικές συχνότητες f των τιμών x της μεταβλητής. Αν συμβλίσυμε με αντιστιχεί στην τιμή x, τότε: α την τιμή τυ τόξυ, σε μίρες, πυ 360 ν α =ν = 360 = f 360, = 1,2,..., κ V V Παράδειγμα: Από τις 50 παραβάσεις πυ κατέγραψε κλιμάκι της τρχαίας σε συγκεκριμέν σημεί ι 10 αφρύσαν σε παραβίαση ερυθρύ σηματδότη, ι 20 δεν φρύσαν ζώνη ασφαλείας, 7 δεν φρύσαν κράνς και ι υπόλιπες αφρύσαν στην υπερβλική ταχύτητα. Ο πληθυσμός είναι ι δηγί αυτκινήτων και μτσικλετών. Τ χαρακτηριστικό (μεταβλητή) πυ εξετάζυμε είναι ι παραβάσεις, επμένως είναι πιτική μεταβλητή και ι τιμές πυ παίρνει είναι: ε.σ. Ερυθρός σηματδότης 10 παραβάσεις ζ.α. Ζώνη ασφαλείας 20 παραβάσεις κρ. Κράνς 7 παραβάσεις υ.τ. Υπερβλική ταχύτητα 13 παραβάσεις ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

13 Τ ραβδόγραμμα συχντήτων φαίνεται στ σχήμα 1. Τα ύψη των ρθγωνίων είναι ίσα με τις συχνότητες των τιμών της μεταβλητής. Τ ραβδόγραμμα των σχετικών συχντήτων φαίνεται στ σχήμα 3. Τα ύψη των ρθγωνίων είναι ίσα με τα ύψη των αντίστιχων σχετικών συχντήτων. Στ σχήμα 4 φαίνεται τ κυκλικό διάγραμμα, όπυ έχυμε: 10 α1 ( εσ..) 360 = α2 ( ζα..) 360 = ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

14 7 3 ( ) 360 α κρ = 50, α4 ( υτ..) 360 = 93,6 50 Τι είναι τ σημειόγραμμα και πότε αυτό χρησιμπιείται; Τ σημειόγραμμα χρησιμπιείται όταν αριθμός των παρατηρήσεων είναι μικρός. Σ αυτό ι τιμές παριστάννται με σημεία πάνω από τν ριζόντι άξνα των τιμών της μεταβλητής. Παράδειγμα: Οι βαθμί 10 μαθητών στ μάθημα της αστρνμίας, ήταν: Τ αντίστιχ σημειόγραμμα είναι: 16, 18, 16, 15, 16, 17, 17, 18, 16, 15 Τι είναι χρνόγραμμα ή χρνλγικό διάγραμμα και πότε αυτό χρησιμπιείται; Απάντηση Τ χρνόγραμμα χρησιμπιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρνικής εξέλιξης ενός μεγέθυς (ικνμικύ, δημγραφικύ κ.α.). Συνήθως ριζόντις άξνας είναι άξνας μέτρησης τυ χρόνυ ενώ κάθετς είναι άξνας μέτρησης της τιμής τυ μεγέθυς πυ εξετάζυμε. Παράδειγμα: Η τιμή της μετχής της εταιρείας ΦΟΥΣΚΑ Α.Ε. από τ Ιανυάρι ως τν Ιύλι τυ 2007 ήταν: Ιαν. φεβ. Μαρ. Απρ. Μαϊ Ιυν. Ιυλ. τυ ,3 2,6 2,5 2, 4 1,9 2,1 2,3 σε Euro Τ αντίστιχ χρνόγραμμα πυ απεικνίζει την εξέλιξη της μετχής είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

15 ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ

Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να παρουσιάσει σύντομα αλλά περιεκτικά τους τρόπους με τους οποίους παρουσιάζονται τα στατιστικά δεδομένα.

Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να παρουσιάσει σύντομα αλλά περιεκτικά τους τρόπους με τους οποίους παρουσιάζονται τα στατιστικά δεδομένα. 2.2. ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ 8 ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σπός Σπός της ενότητας αυτής είναι να παρυσιάσει σύντμα αλλά περιετιά τυς τρόπυς με τυς πίυς παρυσιάζνται τα στατιστιά δεδμένα. Πρσδώμενα απτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι.

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΙΚΑΙΟΣ ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ . ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ. Έχετε στην διάθεση σας ( Πίνακας ) στιχεία από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ..4: Ρυθμός Μεταβλής τυ σχλικύ βιβλίυ]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 3. α) Να βρεθεί ρυθμός μεταβλής της

Διαβάστε περισσότερα

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2 1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

EC-ASE: Ευρωπαϊκό Πιστοποιητικό για τους Συμβούλους / Εκπαιδευτές Κοινωνικής Οικονομίας

EC-ASE: Ευρωπαϊκό Πιστοποιητικό για τους Συμβούλους / Εκπαιδευτές Κοινωνικής Οικονομίας ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ EC-ASE: Ευρωπαϊκό Πιστπιητικό για τυς Συμβύλυς / Εκπαιδευτές Κινωνικής Οικνμίας 2 «Ευρωπαϊκό Πιστπιητικό για τυς Συμβύλυς / Εκπαιδευτές Κινωνικής Οικνμίας» Επικεφαλής Εταίρς:

Διαβάστε περισσότερα

Τιµή και απόδοση µετοχής. Ανάλυση χαρτοφυλακίου. Απόδοση µετοχής. Μεταβλητότητα τιµών και αποδόσεων

Τιµή και απόδοση µετοχής. Ανάλυση χαρτοφυλακίου. Απόδοση µετοχής. Μεταβλητότητα τιµών και αποδόσεων Τιµή και απόδση µετχής Ανάλυση χαρτφυλακίυ Τιµές Απδόσεις και Κίνδυνς µετχών ιαφρπίηση κινδύνυ Χαρτφυλάκια µετχών Η απόδση µιας µετχής είναι ίση πρς τη πσστιαία διαφρά µεταξύ της αρχικής και της τελικής

Διαβάστε περισσότερα

(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο).

(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο). 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (η τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι... ) Παναγιώτης Λ. Θεδωρόπυλς Σχλικός Σύµβυλς κλάδυ ΠΕ03 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν µε σκπό να βηθήσυν τυς µαθητές της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β

Διαβάστε περισσότερα

2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 Ο ΜΑΘΗΜΑ 2.1.1. Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών, είναι γνωστό και με τα στιχεία τυ δυλέψαμε όλες τις πρηγύμενες τάζεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ροή ιόντων και µορίων

ροή ιόντων και µορίων ρή ιόντων και µρίων Θεωρύµε ένα διάλυµα µίας υσίας Α. Αν εξαιτίας της ύπαρξης διαφρών συγκέντρωσης ή ηλεκτρικύ πεδίυ όλες ι ντότητες (µόρια ή ιόντα) της υσίας Α κινύνται µέσα σ αυτό µε την ίδια ριακή ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Exουμε βρεί την εξίσωση κύματος: λν = υ, όπου υ = Τ /μ στη περίπτωση της χορδής. Οπότε. υ ν = = λ

Exουμε βρεί την εξίσωση κύματος: λν = υ, όπου υ = Τ /μ στη περίπτωση της χορδής. Οπότε. υ ν = = λ Kεφ. (part, pages - Σχέση διασπράς Exυμε βρεί την εξίσωση κύματς: λν = υ, όπυ υ = Τ /μ στη περίπτωση της χρδς. Οπότε υ ν = = λ ω = Τ /μ Τ /μ λ k H σχέση αυτ πυ συνδέει την γωνιακ συχνότητα ω με τν κυματαριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Ατομικάενεργειακάδιαγράμματα: Θεώρημα μεταβολών: Προσέγγιση Born- Openheimer: Θεωρία μοριακών τροχιακών:

Ατομικάενεργειακάδιαγράμματα: Θεώρημα μεταβολών: Προσέγγιση Born- Openheimer: Θεωρία μοριακών τροχιακών: τμικάενεργειακάδιαγράμματα: Χωρικές διαστάσεις ενεργειακές απστάσεις χρνική κλίμακα Καταστάσεις ydg Θεώρημα μεταβλών: Εφαρμγή σε πρόβλημα της ατμικής Πρσέγγιση on- Opnhm: Εφαρμγή στ Η Θεωρία μριακών τρχιακών:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3.

Διαβάστε περισσότερα

Εάν η εξωτερική περιοδική δύναμη είναι της μορφής F δ =F max ημω δ t, τότε η εφαρμογή του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα δίνει: dx b dt

Εάν η εξωτερική περιοδική δύναμη είναι της μορφής F δ =F max ημω δ t, τότε η εφαρμογή του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα δίνει: dx b dt Μία ιστρία στην ΕΞΝΓΚΣΜΕΝΗ ΤΛΝΤΩΣΗ Κατά την περσινή σχλική χρνιά, στα πλαίσια της Π.Δ.Σ. πρσπάησα, αντί να λύσ ασκήσεις πυ μπρεί να υπάρχυν σε πλλά ιαφρετικά εξσχλικά βιβλία, να εάν ι μαητές μυ έχυν πραγματικά

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική περίδς από 6/0/ έως 06// γραπτή εξέταση στ µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείυ Τµήµα: Βαθµός: Ονµατεπώνυµ: Καθηγητές: ΑΤΡΕΙ ΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Στις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Dimitris Balios 18/12/2012

Dimitris Balios 18/12/2012 18/12/2012 Κστλόγηση εξατμικευμένης και συνεχύς Δρ. Δημήτρης Μπάλις Συστήματα κστλόγησης ανάλγα με τη μρφή της παραγωγικής διαδικασίας Κστλόγηση συνεχύς Κστλόγηση εξατμικευμένης ή κστλόγηση κατά φάση ή

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

3.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 3. ΘΡΟΙΣΜ ΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΟΥ ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙ. Άθρισµα γωνιών τριγώνυ Σε πιδήπτε τρίγων τ άθρισµα των γωνιών τυ είναι ίσ µε 80. Ιδιότητες ισσκελύς τριγώνυ Η ευθεία της διαµέσυ πυ αντιστιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ θ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΘΕΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Καθηγητές: Δ. ΚΑΛΛΙΓΕΡΟΠΟΥΛΟΣ & Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επιστημνικός Συνεργάτης: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Σωµάτι α (πυρήνας 4 He ) µε µάζα m a και φρτί q a =e και πυρήνας ασβεστίυ 40 Ca 0 µε µάζα mπυρ = 10m a και φρτί Q = 0 e πυρ, βρίσκνται αρχικά σε πλύ µεγάλη απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 13

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 13 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 13 Διάγνωση Δυσλειτυργιών και βλαβών σύγχρνυ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίου Θαλής

Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίου Θαλής Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίυ Θαλής 1995-1996 Κ, 3cm. Με κέντρ τ σημεί Λ τυ κύκλυ να χαράξετε δεύτερ κύκλ Λ, 3cm. Η διάκεντρς ΚΛ τέμνει τν Κ στ Α και τν Λ στ Β, αν πρεκταθεί. Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Η.Μ.Κ.)

ΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Η.Μ.Κ.) ΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Η.Μ.Κ.) Ένα κύκλωµα βρίσκεται στην Ηµιτνική Μόνιµη Κατάσταση (Η.Μ.Κ.) όταν : α) Όλες ι πηγές τυ κυκλώµατς είναι ηµιτνειδείς συναρτήσεις τυ χρόνυ Α sin (ωt+φ) ή Α cs (ωt+φ) β)

Διαβάστε περισσότερα

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ Στην ενότητα αυτή, πιστεύω να καταλάβετε ότι τα Μαθηµατικά έγιναν και αναπτύχθηκαν για να αντιµετωπίζυν καθηµερινά πρβλήµατα. εν χρειάζνται όµως πλλά λόγια, ας πρχωρήσυµε σε παραδείγµατα.

Διαβάστε περισσότερα

Π.Μ.Σ Ηλεκτρονική Μάθηση

Π.Μ.Σ Ηλεκτρονική Μάθηση Πανεπιστήμι Πειραιώς Διδακτική της Τεχνλγίας και Ψηφιακών Συστημάτων Π.Μ.Σ Ηλεκτρνική Μάθηση Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία Αξιλόγηση Πργραμμάτων Δια Βίυ Εκπαίδευσης και Επιμόρφωσης Ενηλίκων από Απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλές λύσεις Δημιουργικότητα σε Προβλήματα Μαθηματικών

Πολλαπλές λύσεις Δημιουργικότητα σε Προβλήματα Μαθηματικών ΠΡΥ025: Διακτική Μαθηματικών Ι Ερασία Πλλαπλές λύσεις Δημιυρικότητα σε Πρβλήματα Μαθηματικών Διάσκων: Αθανάσις αάτσης Εκπαιευτικός: Άωνις Κυριάκυ, ΑΤ 802638 ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ 2008 2009 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 22 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ 22 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισµός της συνέχειας Πράξεις µε συνεχείς συναρτήσεις Συνέχεια συνάρτησης σε διάστηµα Θεωρία Ασκήσεις. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε σηµεί όταν f () = f ( ).

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ. Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου ΙΙ. Ασκήσεις Πράξης. . Καλλιγερόπουλος Σ. Βασιλειάδου. Χειµερινό εξάµηνο 2008/09

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ. Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου ΙΙ. Ασκήσεις Πράξης. . Καλλιγερόπουλος Σ. Βασιλειάδου. Χειµερινό εξάµηνο 2008/09 ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Αυτµατισµύ Συστήµατα Αυτµάτυ Ελέγχυ ΙΙ Ασκήσεις Πράξης. Καλλιγερόπυλς Σ. Βασιλειάδυ Χειµερινό εξάµην 8/9 Ασκήσεις Μόνιµα Σφάλµατα & Κριτήρια ευστάθειας Άσκηση.. ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΠΕΙΓΟΝ-ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΠΕΙΓΟΝ-ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ ΓΕΝ. Δ/ΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΠΕΙΓΟΝ-ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ Αθήνα, 7 Μαΐυ 2015 Α.Π:ΔΙΠΑΑΔ/ΕΠ/Φ.3/62/11867

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για διαφορετικές τιµές των Παραµέτρων του Κλασσικού Γραµµικού Υποδείγµατος.

Ελαχιστοποίηση του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για διαφορετικές τιµές των Παραµέτρων του Κλασσικού Γραµµικού Υποδείγµατος. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΚΛΑΣΣΙΚΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ. Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ. Εκτίµηση των Παραµέτρων τυ Υπδείγµατς. Στατιστικί Έλεγχι Αναλύσεις. Πρλέψεις. Ελαχιστπίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλική κίνηση. Ονομάζεται η κίνηση η οποία πραγματοποιείται σε κυκλική τροχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης. R θ S R

Κυκλική κίνηση. Ονομάζεται η κίνηση η οποία πραγματοποιείται σε κυκλική τροχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης. R θ S R Κυκλική κίνηση Ονμάζετι η κίνηση η πί πρμτπιείτι σε κυκλική τρχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης S Ως νστόν πό τη εμετρί ισχύσει : S S Η τχύτητ η πί εκφράζει τ πόσ ρήρ διράφει η επιβτική κτίν τη νί νμάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΟΣΙΑΚΑ ΜΟΥΣΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ ΑΠΟ ΟΛΟ ΤΟ ΚΟΣΜΟ. ΕΝΑ ΜΟΥΣΙΚΟ ΤΑΞΙ Ι ΣΤΙΣ 5 ΗΠΕΙΡΟΥΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΑ ΚΛΙΚ. ΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ

ΠΑΡΑ ΟΣΙΑΚΑ ΜΟΥΣΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ ΑΠΟ ΟΛΟ ΤΟ ΚΟΣΜΟ. ΕΝΑ ΜΟΥΣΙΚΟ ΤΑΞΙ Ι ΣΤΙΣ 5 ΗΠΕΙΡΟΥΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΑ ΚΛΙΚ. ΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ P αιώνα 3 Ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ-ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 695 ΠΑΡΑ ΟΣΙΑΚΑ ΜΟΥΣΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ ΑΠΟ ΟΛΟ ΤΟ ΚΟΣΜΟ. ΕΝΑ ΜΟΥΣΙΚΟ ΤΑΞΙ Ι ΣΤΙΣ 5 ΗΠΕΙΡΟΥΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΑ ΚΛΙΚ. ΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ Ανδρεάκυ Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθµό της ερώτησης και δίπα τ γράµµα, πυ αντιστιχεί στη σωστή απάντηση.. Ακτίνα πράσινυ φωτός πρερχόµενη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 8. 1.1 Πρόλογος...8. 1.2 Η έννοια και η σημασία της χρηματοοικονομικής ανάλυσης... 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 8. 1.1 Πρόλογος...8. 1.2 Η έννοια και η σημασία της χρηματοοικονομικής ανάλυσης... 9 Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 8 1.1 Πρόλγς...8 1.2 Η έννια και η σημασία της χρηματικνμικής ανάλυσης... 9 1.2.1 Ο ρόλς τυ Χρηματικνμικύ Υπεύθυνυ... 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ Ο

Διαβάστε περισσότερα

Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΧΗΜΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 04 Ιαν 2011 Επιµέλεια: Μπεντρός Χαλατζιάν

Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΧΗΜΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 04 Ιαν 2011 Επιµέλεια: Μπεντρός Χαλατζιάν Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΧΗΜΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 04 Ιαν 2011 Επιµέλεια: Μπεντρός Χαλατζιάν Θ Ε Μ Α 1 Α. Για τις ερωτήσεις A1 A3 να γράψετε στην κόλλα σας τν αριθµό της ερώτησης και δίπλα τ γράµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΉ ΕΡΓΑΣΙΑ. «Δημιουργία ολοκληρωμένων αρχείων. μετεωρολογικών δεδομένων από μετρήσεις

ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΉ ΕΡΓΑΣΙΑ. «Δημιουργία ολοκληρωμένων αρχείων. μετεωρολογικών δεδομένων από μετρήσεις ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΉ ΕΡΓΑΣΙΑ «Δημιυργία λκληρωμένων αρχείων μετεωρλγικών δεδμένων από μετρήσεις Συνπτικών Μετεωρλγικών Σταθμών στν ελληνικό χώρ με τη χρήση Τεχνητών

Διαβάστε περισσότερα

για το Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στη Βιοιατρική, του Πανεπιστημίου Στερεάς Ελλάδας ίϊρμίϊμιη

για το Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στη Βιοιατρική, του Πανεπιστημίου Στερεάς Ελλάδας ίϊρμίϊμιη Μελέτη Σκπιμότητας «Δημιυργίας βάσης δεδμένων για την παρακλύθηση της σταδιδρμίας των απφίτων τυ τμήματς και τη συνεχή χαρτγράφηση της αγράς εργασίας» για τ Τμήμα Πληρφρικής με Εφαρμγές στη Βιιατρική,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Α.Ε.Μ. 4049

ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Α.Ε.Μ. 4049 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΜΕΛΕΤΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ» «STUDY OF ACTIVE CIRCUIT FILTERS BY USING SIMULATION» ΣΤΕΦΑΝΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΟΧΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΣ. Έννοιες που πρέπει να γνωρίζετε: Α θερμοδυναμικός νόμος, ενθαλπία, θερμοχωρητικότητα

ΘΕΡΜΟΧΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΣ. Έννοιες που πρέπει να γνωρίζετε: Α θερμοδυναμικός νόμος, ενθαλπία, θερμοχωρητικότητα ΘΕΡΜΟΧΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΣ Έννιες πυ πρέπει να γνωρίζετε: Α θερμδυναμικός νόμς ενθαλπία θερμχωρητικότητα Θέμα ασκήσεως. Πρσδιρισμός θερμχωρητικότητας θερμιδμέτρυ. Πρσδιρισμός θερμότητς

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό εγχειρίδιο. Χαλύβδινος λέβητας βιομάζας σειρά BMT

Τεχνικό εγχειρίδιο. Χαλύβδινος λέβητας βιομάζας σειρά BMT THERM LEV Τεχνικό εγχειρίδι Χαλύβδινς λέβητας βιμάζας σειρά BMT ΨΣας ευχαριστύμε για την επιστσύνη πυ δείχνετε στα πριόντα μας. ΨΓια την απτελεσματική χρήση τυ λέβητα βιμάζας σειράς ΒΜΤ σας συνιστύμε να

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου 29 Απριλίου 2001

Β Λυκείου 29 Απριλίου 2001 Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πανεπιστήμι Αθηνών Εργαστήρι Φυσικών Επιστημών, Τεχνλγίας, Περιβάλλντς Θεωρητικό Μέρς ΘΕΜΑ Β Λυκείυ 9 Απριλίυ Μια αγώγιμη μεταλλική σφαίρα ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε ένα σύστημα με N βαθμούς ελευθερίας, το οποίο θα περιγράφεται από N συντεταγμένες ψ 1 (t), ψ 2 (t),..., ψ N (t).

Θεωρούμε ένα σύστημα με N βαθμούς ελευθερίας, το οποίο θα περιγράφεται από N συντεταγμένες ψ 1 (t), ψ 2 (t),..., ψ N (t). Kεφ. ΣYΣTHMATA ME ΠOΛΛOYΣ BAΘMOYΣ EΛEYΘEPIAΣ (part, pages - Θεωρύμε ένα σύστημα με N βαθμύς ελευθερίας, τ πί θα περιγράφεται από N συντεταγμένες (t, (t,..., N (t. Oι εξισώσεις κίνησης τυ συστήματς θα έχυν

Διαβάστε περισσότερα

βαθμοημέρες ψύξης και θέρμανσης για 27 πόλεις (τρείς

βαθμοημέρες ψύξης και θέρμανσης για 27 πόλεις (τρείς Πρόλγς Σκπός της συγκεκριμένης εργασίας είναι υπλγισμός των βαθμημερών ψύξης και θέρμανσης με στόχ τη δημιυργία κατάλληλης βάσης δεδμένων, έτσι ώστε να απτιμηθύν ι ενεργειακές ανάγκες των κτιρίων στν ελληνικό

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ: ΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΠΡΑΞΗ

Α ΜΕΡΟΣ: ΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΠΡΑΞΗ 7 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Πρόγραμμα Ο ΠΛAΙΣΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ (2007-2013) ΣΩΤΗΡΗΣ ΞΥΔΗΣ: Σύμβυλς μεταφράς τεχνλγίας, ΔIKTYOY ΠΡΑΞΗ Α ΜΕΡΟΣ: ΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΠΡΑΞΗ Τ Δίκτυ ΠΡΑΞΗ απτελεί μια στρατηγική συμμαχία τυ Συνδέσμυ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο 0 ΜΑΘΗΜΑ.4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.4.. Συνέχει συνάρτησης στ o Ορισμός: Μι συνάρτηση f/α νμάζετι συνεχής στ σημεί Α, ότν υπάρχει τ lim f () ι είνι: lim f() = f( ) ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ότν υπάρχει δ > 0 ώστε

Διαβάστε περισσότερα

2 ο υ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜ ΑΤΙΣΜ ΟΥ. Δυνατότητες της Τεχνολογίας και του Αυτοματισμού στην ανατολή του 21ου α ιώ να

2 ο υ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜ ΑΤΙΣΜ ΟΥ. Δυνατότητες της Τεχνολογίας και του Αυτοματισμού στην ανατολή του 21ου α ιώ να Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Α 2 υ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜ ΑΤΙΣΜ ΟΥ Δυνατότητες της Τεχνλγίας και τυ Αυτματισμύ στην ανατλή τυ 21υ α ιώ να 2 & 3 Ο Κ Τ Ω Β Ρ Ι Ο Υ 1 9 9 8 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΣΥΝΕΔΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Η Ε I.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 Ηλίας Αθανασιάδης Αναπληρωτής καθηγητής Π.Τ..Ε. Παν. Αιγαίου 1.8. Αθροιστική κα τα νο μή Σε ορισμένες κατανομές παρουσιάζει ενδιαφέρον να παρακολουθούμε πώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

P6_TA-PROV(2007)0010 Ολοκληρωμένη προσέγγιση της ισότητας γυναικών και ανδρών στο πλαίσιο των εργασιών των επιτροπών

P6_TA-PROV(2007)0010 Ολοκληρωμένη προσέγγιση της ισότητας γυναικών και ανδρών στο πλαίσιο των εργασιών των επιτροπών P6_TA-PROV(2007)0010 Ολκληρωμένη πρσέγγιση της ισότητας γυναικών και ανδρών στ πλαίσι των εργασιών των επιτρπών Ψήφισμα τυ Ευρωπαϊκύ Κινβυλίυ σχετικά με την λκληρωμένη πρσέγγιση της ισότητας γυναικών και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αγαπητί μαθητές και μαθήτριες, Τα σας πρτείνυν για άλλη μια χρνιά, ένα λκληρωμέν επαναληπτικό υλικό στη Φυσική Θετικής-Τεχνλγικής

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Λ Ε Τ Η ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΩΝ ΟΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΛΕΒΑΔΕΩΝ

Μ Ε Λ Ε Τ Η ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΩΝ ΟΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΛΕΒΑΔΕΩΝ Δ/ΝΣΗ ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑΣ ΑΡ.ΜΕΛΕΤΗΣ: 114/2015 Μ Ε Λ Ε Τ Η ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΩΝ ΟΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΛΕΒΑΔΕΩΝ ΣΥΝΟΛΙΚΟΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: 25.500,00 Ευρώ Περιεχόμενα: α)τεχνική Έκθεση β)πρϋπλγισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778.

Διαβάστε περισσότερα

ΧΗΜΕΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ

ΧΗΜΕΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ 1. Στη σελίδα 27, πίνακας 3, να μπει υπσημείωση «ι πσότητες τυ νερύ δίννται σε εκατμμύρια κυβικά χιλιόμετρα». 2. Στη σελίδα 43, χάρτης εννιών τυ «Συνψίζντας» έχει χαμηλή

Διαβάστε περισσότερα

` ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΠΑΛΛΗΝΗΣ Ιθάκης 12, 15344, Γέρακας Τηλ.: 210 6604600,Fax: 210 6612965 Οικονομική Επιτροπή Αριθ.

` ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΠΑΛΛΗΝΗΣ Ιθάκης 12, 15344, Γέρακας Τηλ.: 210 6604600,Fax: 210 6612965 Οικονομική Επιτροπή Αριθ. ` ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΠΑΛΛΗΝΗΣ Ιθάκης 12, 15344, Γέρακας Τηλ.: 210 6604600,Fax: 210 6612965 Οικνμική Επιτρπή Αριθ.Απφ 380/2015 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από τ Πρακτικό της έκτακτης συνεδρίασης της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων ισούται µε 100. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων ισούται µε 100. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α 4.3 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 161 4.3 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Συχνότητες Σχετικές συχνότητες Για να βρούμε τη σχετική συχνότητα µιας τιµής, διαιρούµε τη συχνότητα

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Καβάλας Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Τομέας Ενεργειακός. Πτυχιακή Εργασία

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Καβάλας Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Τομέας Ενεργειακός. Πτυχιακή Εργασία Τεχνλγικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Καβάλας Σχλή Τεχνλγικών Εφαρμγών Τμήμα Μηχανλγίας Τμέας Ενεργειακός Πτυχιακή Εργασία ΧΡΗΣΗ ΜΕΣΩΝ ΜΑΖΙΚΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΕΞΟΙΚΟΝΟΜΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Εφαρμγές, συγκριτικά στιχεία

Διαβάστε περισσότερα

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 23 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΟΡΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ι

ΑΓΟΡΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ι ΑΓΟΡΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ι ΑΓΟΡΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 Σ. ΘΩΜΑΔΑΚΗΣ Α. ΒΑΣΙΛΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 19 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΘΕΜΑ 1 Σε μία κεφαλαιαγρά τ επιτόκι ακίνδυνυ δανεισμύ είναι 3% σε ετήσια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ

ΤΡΙΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ 1 ΤΡΙΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Στην «Μεγάλη Πραγματεία» τυ Κμφύκιυ αναφέρεται: «Στ Yi 1 υπάρχει τ tài jí 太 極. Τ tài jí 太 極 γεννά τις 2 πρωταρχικές ενέργειες ή πλικότητες τ liang yi 兩 儀 ή αλλιώς yīn yáng» και

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Η γραφική απεικόνιση µιας κατανοµής συχνότητας µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους, µε ιστόγραµµα και µε πολυγωνική γραµµή.

Η γραφική απεικόνιση µιας κατανοµής συχνότητας µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους, µε ιστόγραµµα και µε πολυγωνική γραµµή. ΠΕΜΠΤΟ ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Χρησιµότητα των διαγραµµάτων Η παρουσίαση των στατιστικών στοιχείων µπορεί να γίνει όχι µόνο µε πίνακες, αλλά και µε διαγράµµατα ή γραφικές απεικονίσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή και παρουσίαση στατιστικών δεδομένων

Συλλογή και παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Συλλογή και παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Απογραφή Δειγματοληψία Συνεχής καταγραφή Πίνακες Διαγράμματα Στατιστικές εκθέσεις Τρόποι συλλογής δεδομένων Οι μέθοδοι συλλογής δεδομένων ποικίλουν και κυρίως

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΕΩΡΙΑ. Οµασία: Έα πλύγω µε κρυφές θα τ λέµε -γω µε εξαίρεση τ πλύγω µε τέσσερις κρυφές πυ θα τ λέµε τετράπλευρ. 2. Καικό πλύγω: Έα πλύγω λέγεται καικό ότα όλες ι πλευρές τυ είαι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Παστιάδης* ΑΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΓΡΟΤΙΚΑ ΚΕΝΤΡΑ: ΔΙΕΡΕΥΝΩΝΤΑΙ ΜΕ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΤΗ ΝΕΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΤΖΕΝΤΑ, ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

Γεώργιος Παστιάδης* ΑΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΓΡΟΤΙΚΑ ΚΕΝΤΡΑ: ΔΙΕΡΕΥΝΩΝΤΑΙ ΜΕ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΤΗ ΝΕΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΤΖΕΝΤΑ, ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Επιθεώρηση Κινωνικών Ερευνών, 131 Α', 2010, 33-70 Γεώργις Παστιάδης* ΑΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΓΡΤΙΚΑ ΚΕΝΤΡΑ: ΔΙΕΡΕΥΝΩΝΤΑΙ ΜΕ ΠΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΔΥΣ ΤΗ ΝΕΑ ΚΙΝΩΝΙΚΗ ΑΤΖΕΝΤΑ, ΥΠ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΥ ΕΠΙΠΕΔΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τ

Διαβάστε περισσότερα

Συμβολή των φυσικοχημικών μεθόδων ανάλυσης στη μελέτη 13 εικόνων του Βυζαντινού Μουσείου

Συμβολή των φυσικοχημικών μεθόδων ανάλυσης στη μελέτη 13 εικόνων του Βυζαντινού Μουσείου Συμβλή των φυσικχημικών μεθόδων ανάλυσης στη μελέτη 13 εικόνων τυ Βυζαντινύ Μυσείυ Νανώ ΧΑΤΖΔΑΚ, J. PHILLIPON, P. AUSSET, ωάννης ΧΡΥΣΥΛΑΚΣ, Αθηνά ΑΛΕΞΠΥΛΥ Δελτίν XAE 13 (1985-1986), Περίδς Δ'. Στη μνήμη

Διαβάστε περισσότερα

ΊHiJυrif(~~i' ΤΕι πε ι ΡΑιΑ ~-~

ΊHiJυrif(~~i' ΤΕι πε ι ΡΑιΑ ~-~ ι... -0.1. = ΊHiJυrif(~~i' ΤΕι πε ι ΡΑιΑ ~-~ 2 '::~~,.,./' Σχλή Τεχνλγικών Εφαρμγών ~ι.:,/~:" ~~ - ' Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρνικών 1ι~ v ί10,~. 11 11 t.ι π 111

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουμε αντικατάσταση. lim 3x 4x + 8 = 3 1 4 1 + 8 = 3+ 4 + 8 = 9

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουμε αντικατάσταση. lim 3x 4x + 8 = 3 1 4 1 + 8 = 3+ 4 + 8 = 9 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ υ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Να βρείτε τα αρακάτω όρια: α. ( 4 8) + 6 + 8 0 Αλές εριτώσεις Εφαρμόζυμε τις ιδιότητες των ρίων. Ουσιαστικά κάνυμε αντικατάσταση. α. 4 + 8 4 + 8 + 4 + 8 9 8 0 8 4 0 0 + 6

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò

ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 4 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τη σχετική θέση δύ ευθειών. Να γνωρίζει τη σχέση µεταξύ γωνιών πυ σχηµατίζνται από δύ παράλληλες

Διαβάστε περισσότερα