3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 . Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 8 A Oµάδας.i) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, στο ίδιο σύστηµα αξόνων: f() = ηµ, g() = 0,5.ηµ, h() = ηµ, 0 0 ηµ ,5ηµ 0 0,5 0 0,5 0 ηµ ηµ ,5-0,5 - f( ) = ηµ ( ) h ( ) = - ηµ ( ) g ( ) = 0,5 ηµ ( ).ii) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, στο ίδιο σύστηµα αξόνων: f() = συν, g() = 0,5.συν, h() = συν, 0 0 συν 0 0 0,5συν 0,5 0 0,5 0 0,5 συν 0 0 συν 0 0 0,5 - f( ) = συν( ) g ( ) = 0,5 συν ( ) h ( ) = - συν ( )

2 . Σε ένα σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f() = ηµ και στη συνέχεια τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων g() = + ηµ και h() = + ηµ g ( ) = +ηµ ( ) f( ) = ηµ ( ) O - h ( ) = -+ηµ ( ) Η γραφική αράσταση της g() = = + ηµ ροκύτει αό κατακόρυφη µεταφορά της γραφικής αράστασης της f() = ηµ ρος τα άνω κατά µονάδα. Η γραφική αράσταση της h() = = + ηµ ροκύτει αό κατακόρυφη µεταφορά της γραφικής αράστασης της f() = ηµ ρος τα κάτω κατά µονάδα.. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f() = ηµ και g() = ηµ, ηµ Είναι g( + ) = ηµ( + ) = ηµ( + ) = ηµ = g(). Άρα η συνάρτηση g() = ηµ είναι εριοδική µε ερίοδο - 6 f ( ) = ηµ ( ) g ( ) = ηµ ( ) Άλλος τρόος εύρεσης της εριόδου. Η συνάρτηση είναι της µορφής ηµω, ου έχει ερίοδο ω =

3 . Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f() = συν και g() = συν, συν 0 0 Είναι g + = συν + = συν( + ) = συν = g(). Άρα η συνάρτηση g() = συν είναι εριοδική µε ερίοδο - 6 g( ) = συν( ) f( ) = συν( ) Άλλος τρόος εύρεσης της εριόδου. Η συνάρτηση είναι της µορφής συνω, ου έχει ερίοδο ω = 5. Έστω η συνάρτηση f() = ηµ. Ποια είναι η µέγιστη και οια η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η ερίοδος της εν λόγω συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f σε διάστηµα λάτους µιας εριόδου. ηµ ηµ f() άρα η µέγιστη τιµή της συνάρτησης είναι και η ελάχιστη. f( + ) = ηµ + = ηµ + = ηµ = f() Άρα η συνάρτηση f είναι εριοδική µε ερίοδο f( ) = ηµ ( ) 0 ηµ

4 6. Έστω η συνάρτηση f() = συν. Ποια είναι η µέγιστη και οια η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η ερίοδος της εν λόγω συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f σε διάστηµα λάτους µιας εριόδου. συν συν f() άρα η µέγιστη τιµή της συνάρτησης είναι και η ελάχιστη -. f( + ) = συν + = συν + = συν = f() Άρα η συνάρτηση f είναι εριοδική µε ερίοδο 0 συν 0 0 f( ) = συν( ) - 7. Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων i) f() = εφ ii) g() = + εφ iii) h() = + εφ στο ίδιο σύστηµα αξόνων Η γραφική αράσταση της g() = = + εφ ροκύτει αό κατακόρυφη µεταφορά της γραφικής αράστασης της f() = εφ ρος τα άνω κατά µονάδα. Και Η γραφική αράσταση της h() = = + εφ ροκύτει αό κατακόρυφη µεταφορά της γραφικής αράστασης της f() = εφ ρος τα κάτω κατά µονάδα. - g ( ) = +εφ ( ) - f ( ) = εφ ( ) h ( ) = -+εφ ( )

5 5 8. Να µελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση Είναι f + = εφ + = εφ( + ) = εφ = f() Άρα η συνάρτηση f είναι εριοδική µε ερίοδο. Γράφουµε ίνακα τιµών σε διάστηµα λάτους έστω στο, εφ 0, f() = εφ. - f ( ) = εφ ( ) O 9. Να µελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() = σφ Είναι f( + ) = σφ( + ) = σφ = f() Άρα η συνάρτηση f είναι εριοδική µε ερίοδο. Γράφουµε ίνακα τιµών σε διάστηµα λάτους, έστω στο (0, ) 0 εφ 0 f ( ) = εφ ( ) = σφ

6 6 Β Oµάδας. Να βρείτε τις εξισώσεις των ηµιτονοειδών καµύλων i) α) - - β) - - γ) - - ii) α) - - β) - - γ) 0,5 - -0,5 δ) -,5 -,5 Αφού είναι ηµιτονοειδείς, θα έχουν εξίσωση της µορφής f() = ρ ηµω, µε ρ,ω > 0 Άρα θα έχουν µέγιστο ρ, ελάχιστο ρ και ερίοδο ω

7 7 i) α) ρ = και εαναλαµβάνεται κατά διαστήµατα λάτους, άρα έχει ερίοδο = ω ω =. Άρα η εξίσωσή της είναι f() = ηµ = ηµ β) ρ = και εαναλαµβάνεται κατά διαστήµατα λάτους, άρα έχει ερίοδο = ω ω =. Άρα η εξίσωσή της είναι f() = ηµ = ηµ γ) ρ = και εαναλαµβάνεται κατά διαστήµατα λάτους, άρα έχει ερίοδο = ω ω =. Άρα η εξίσωσή της είναι f() = ηµ = ηµ ii) α) Ταυτίζεται µε τη iα) β) ρ = και εαναλαµβάνεται κατά διαστήµατα λάτους, άρα έχει ερίοδο = ω ω =. Άρα η εξίσωσή της είναι f() = ηµ = ηµ γ) ρ = 0 5 και εαναλαµβάνεται κατά διαστήµατα λάτους, άρα έχει ερίοδο = ω ω =. Άρα η εξίσωσή της είναι f() = 0,5 ηµ = 0,5ηµ δ) Έστω g η αντίθετη συνάρτηση της δοσµένης f., δηλαδή f() = g(). Τότε η g είναι συµµετρική της f ως ρος τον άξονα και ηµιτονοειδής. Άρα g() = ρηµω. Είναι ρ =,5 και εαναλαµβάνεται κατά διαστήµατα λάτους, άρα έχει ερίοδο = ω ω =. Άρα η εξίσωσή της είναι g() =,5 ηµ =,5ηµ. Άρα f() = g() =,5ηµ

8 8. Η αλίρροια σε µια θαλάσσια εριοχή εριγράφεται κατά ροσέγγιση µε τη συνάρτηση = ηµ( t ), όου το ύψος της στάθµης των υδάτων σε µέτρα και 6 t ο χρόνος σε ώρες. i) Να βρείτε την υψοµετρική διαφορά ανάµεσα στην ψηλότερη ληµµυρίδα και τη χαµηλότερη άµωτη. ii) Να κάνετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης για 0 t. i) Η συνάρτηση = f(t) = ηµ( t ) είναι ηµιτονοειδής µε µέγιστο και ελάχιστο 6. Άρα η υψοµετρική διαφορά ληµµυρίδα άµωτη είναι 6m. ii) 6 9 t t f(t)

9 9. Ένα αιχνίδι κρέµεται µε ένα ελατήριο αό το ταβάνι και αέχει αό το άτωµα m. Όταν το αιχνίδι ανεβοκατεβαίνει, το ύψος του αό το άτωµα σε µέτρα είναι h = + συνt, όου t ο χρόνος σε δευτερόλετα. i) Να υολογίσετε τη διαφορά ανάµεσα στο µέγιστο και στο ελάχιστο ύψος. ii) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης. iii) Να κάνετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης για 0 t. i) συνt συνt + συνt + h(t) Το µέγιστο ύψος είναι και το ελάχιστο. Άρα η διαφορά τους είναι = ii) Η ερίοδος της ταλάντωσης είναι iii) ω = t 0 6 h(t) t

10 0. Η αόσταση του ιστονιού σε µέτρα αό το ένα άκρο του κυλίνδρου εριγράφεται µε τη συνάρτηση (t) = 0, + 0, ηµt, όου t ο χρόνος σε δευτερόλετα. i) Να υολογίσετε το λάτος της κίνησης του ιστονιού. ii) Να κάνετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης για 0 t. Ποιες στιγµές του χρονικού αυτού διαστήµατος η αόσταση είναι 0,5m; i) συνt 0, 0, συνt 0, 0, 0, 0, + 0, συνt 0, + 0, 0 (t) 0, Η µέγιστη αόσταση είναι 0, και η ελάχιστη 0 και το λάτος της κίνησης του ιστονιού είναι 0, ii) 0, t Στο διάστηµα [0,] λύνουµε την εξίσωση (t) = 0,5 0, + 0,.ηµt = 0,5 0, ( + ηµt) = 0,5 + ηµt =,5 ηµt = 0,5 t = k + ή t = k t = k + ή t = k +, k Z () 6 6 Αλλά 0 t 0 t k + 6 ή 0 k k + 6 ή 0 k k + 6 ή 0 k k 5 ή 5 k k 5 5 ή k και εειδή κ ακέραιος (k = 0,, ) ή (k = 0,, ) Αντικατάσταση του k στην () και βρίσκουµε τις στιγµές.