KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ"

Transcript

1 KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Κρυπτοσύστηµα µετατόπισης Στο συγκεκριµένο κρυπτοσύστηµα, οι χώροι P, C, K είναι ο δακτύλιος. Για κάθε κλειδί k, ορίζουµε τη συνάρτηση κρυπτογράφησης: f : : x x+ k, k και η συνάρτηση αποκρυπτογράφησης oρίζεται ως εξής: g : : x x k. k Προφανώς, για κάθε x ισχύει: ( g f )( x) = g ( x+ k) = x+ k k = x. k k k Παράδειγµα: Θεωρούµε την - αντιστοιχία: { AB,,..., Ω} : A 0, B,..., Ω 23, 24 να κρυπτογραφηθεί και να αποκρυπτογραφηθεί το κείµενο ΕΠΙΘΕΣΗ µε το κρυπτοσύστηµα µετατόπισης χρησιµοποιώντας το κλειδί k = 8. Απάντηση: Προφανώς: Eστω k = 8, τότε: ΕΠΙΘΕΣΗ {4, 5, 8, 7, 4, 7,6}. f (4) = 2, f (5) = 23, f (8) = 6, f (7) = f (4) = 2, f (7) = 25 od 24, f (6) = 4, συνεπώς ο παραλήπτης θα λάβει το µήνυµα: {2, 23, 6, 4, 2,, 3} ΝΩΡΟΝΒΞ. 5

2 Για την αποκρυπτογράφηση θα ακολουθηθεί η αντίστροφη πορεία. Μειονέκτηµα: Τo βασικό µειονέκτηµα του συγκεκριµένου κρυπτοσυστήµατος είναι ότι υπάρχουν δυνατότητες για το κλειδί τις οποίες µπορούµε να υπολογίσουµε δοκιµάζοντας όλες τις περιπτώσεις. 2 Οµοπαραλληλικό Κρυπτοσύστηµα Αποτελεί γενίκευση του κρυπτοσυστήµατος µετάθεσης. Οι χώροι P, C είναι ο δακτύλιος, ενώ ο χώρος των κλειδιών είναι το καρτεσιανό γινόµενο, συνεπώς το πλήθος των στοιχείων του χώρου Κ είναι ϕ ( ). Για κάθε κλειδί e= ( a, b) K, ορίζουµε τη συνάρτηση κρυπτογράφησης ως εξής: f :, x ax+ b e ενώ η αντίστοιχη συνάρτηση αποκρυπτογράφησης είναι η εξής: gd :, x a x a b, όπου d ( a, a b) K =. Προφανώς, για κάθε x ισχύει: ( )( ) ( ) ( ) g f x = g ax+ b = a ax+ b a b= x. d e d Παράδειγµα: Θεωρούµε την - αντιστοιχία: { AB,,..., Ω,κενο,;} : A 0, B,..., Ω 23, κενο 24, ; να κρυπτογραφηθεί και να αποκρυπτογραφηθεί το κείµενο ΘΑ ΕΡΘΕΙΣ; µε το oµοπαραλληλικό κρυπτοσύστηµα χρησιµοποιώντας το κλειδί e = (7,4). Απάντηση: Προφανώς: ΘΑ ΕΡΘΕΙΣ; {7, 0, 24, 4, 6, 7, 4, 8, 7, 25}. Eστω e = (7,4), τότε χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση κρυπτογράφησης 7 x + 4 6

3 παίρνουµε: {, 4, 6, 6, 2,, 6, 8, 9, 23} ΒΕΡΗΝΒΕΙΥΩ Για να υπολογίσουµε τη συνάρτηση αποκρυπτογράφησης πρέπει να υπολογίσουµε το 7. Έχουµε λοιπόν από τον αλγόριθµο του Ευκλείδη: συνεπώς: 7 = 5od26, δηλαδή 26 = = = 2 2 +, άρα: = = 5 2 (7-5) = = (26-3 7) = , 7 = 5, οπότε: g ( x) = g ( x) = g ( x) = 5x 8. d (5,60) (5,8) Mειονέκτηµα: Eπειδή είναι κρυπταλγόριθµος ροής, είναι ευάλωτος στη συχνότητα εµφάνισης των γραµµάτων κάθε γλώσσας. Ο κρυπταναλυτής θεωρεί τις αντιστοιχίσεις των 2 γραµµάτων µε την µεγαλύτερη συχνότητα εµφάνισης προς τα πραγµατικά γράµµατα συνήθως φωνήεντα και λύνει το σύστηµα a x+ b= c, ώσπου να βρει ένα αποδεκτό κείµενο. 3 Κρυπτοσύστηµα του Hill Έστω Α είναι ένας πίνακας µε στοιχεία από την οµάδα. Εάν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος, τότε υπάρχει πίνακας Β µε στοιχεία από το έτσι ώστε να ισχύει A B= I. Ισχύει το ακόλουθο: Α αντιστρέψιµος det Aαντιστρέψιµο στοιχείο στο. Στο κρυπτοσύστηµα Hill, οι χώροι P, C είναι ο χώρος {( x,..., x ) : x } =, i 7

4 ενώ ο χώρος των κλειδιών Κ είναι το σύνολο όλων των πινάκων µε στοιχεία από την οµάδα οι οποίοι είναι αντιστρέψιµοι. Για κάθε πίνακα κλειδί A K, ορίζουµε τη συνάρτηση κρυπτογράφησης: f : : x x A A ενώ η συνάρτηση αποκρυπτογράφησης είναι η: - g : : x x A. A Προφανώς, για κάθε x ισχύει: ( A) g f x g xa xaa xi x. A ( ) = ( ) = = =. A 2 3 Παράδειγµα: Έστω A=, να κρυπτογραφηθεί και να 7 8 αποκρυπτογραφηθεί το κείµενο ΕΠΙΘΕΣΗ µε το κρυπτοσύστηµα Ηill χρησιµοποιώντας την αντιστοιχία: { AB,,..., Ω} : A 0, B,..., Ω Aπάντηση: Eίναι εύκολο να υπολογίσουµε την ορίζουσα του πίνακα Α: det A = = 5 9od 24, και εφόσον ( 9,24) =, ισχύει ότι det A = 9 είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του 24, άρα ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος και ο αντίστροφός του δίνεται από τη σχέση: A =(deta) = 9 = 9 =, διότι: = = 5 9od24, άρα: συνέχεια κρυπτογραφούµε το µήνυµα 9 = 9. Στη ανά δυάδες, δηλαδή: ΕΠΙΘΕΣΗ {4, 5, 8, 7, 4, 7,6} 8

5 2 3 (4,5) A = (4,5) = ( , ) = (7,2), (8,7) A = (8,7) = ( , ) = (7,8), (4,7) A = (4,7) = ( , ) = (7,4) 7 8 Για να δηµιουργηθεί η τελευταία δυάδα, βάζουµε ένα σύµβολο τυχαίο π.χ το Β και υπολογίζουµε: 2 3 (6,) A = (6,) = ( , ) = (9,2) 7 8 οπότε παίρνουµε: {7, 2, 7, 8, 7, 4, 9, 2} ΣΝΣΙΘΕΥΓ Για την αποκρυπτογράφηση χωρίζουµε πάλι το παραπάνω κρυπτογράφη- µα ανά δυάδες και χρησιµοποιούµε για την αποκρυπτογράφηση τον αντίστροφο πίνακα του Α. Μειονέκτηµα: To κρυπτοσύστηµα Hill είναι ευάλωτο σε επίθεση γνωστού καθαρού κειµένου. Πράγµατι, εάν υποθέσουµε ότι ο κρυπταναλυτής έχει στη διάθεση του την τιµή του (διάσταση του Α) και διαθέτει -ζεύγη (p, c) P C, τότε εάν A είναι το κλειδί που αναζητά, το κλειδί προκύπτει από τη λύση του συστήµατος: C = P A c c p p a a =. c c p p a a Αν ο πίνακας P είναι αντιστρέψιµος, τότε: 9

6 A = P C. Eάν ο P δεν είναι αντιστρέψιµος, τότε προσπαθούµε να βρούµε άλλα ζεύγη (p, c) ώστε ο πίνακας P να γίνει αντιστρέψιµος. 4 Κρυπτοσύστηµα µεταθέσεων Οι χώροι P, C είναι ο χώρος. Ο χώρος των κλειδιών, είναι το σύνολο όλων των µεταθέσεων του συνόλου {, 2,, }. Μετάθεση συνόλου I = {,..., } καλείται κάθε - απεικόνιση σ. : I I Αφού η απεικόνιση σ είναι -, ορίζεται η αντίστροφη απεικόνιση και ισχύει σ σ = σ σ = I, όπου I είναι η ταυτοτική απεικόνιση. Το πλήθος των µεταθέσεων του συνόλου {, 2,, } είναι!. Παράδειγµα: Eστω Ι 7 = {,2,,7}, τότε οι συναρτήσεις: σ : I I, {,2,3,4,5,6,7} {3,4,2,,7,5,6} 7 7 σ : I I, {,2,3,4,5,6,7} {2,,4,6,5,7,3} σ είναι µεταθέσεις του συνόλου Ι 7. Οι αντίστροφες µεταθέσεις των παραπάνω είναι οι: σ = {4,3,,2,6,7,5} σ 2 = {2,,7,3,5,4,6}. Για κάθε µετάθεση σ K η συνάρτηση κρυπτογράφησης ορίζεται ως εξής: f : : ( x,..., x ) ( x,..., x ), σ σ() σ( ) και η συνάρτηση αποκρυπτογράφησης ορίζεται ως g : : ( x,..., x ) ( x,..., x ). σ σ () σ ( ) 20

7 Προφανώς, για κάθε ( ) x ισχύει: g f ( x ) = g ( x,..., x ) = ( x,..., x ) = ( x,..., x ) = x. σ σ() σ( ) σ σ σ ( σ()) σ ( σ( )) To συγκεκριµένο κρυπτοσύστηµα είναι ειδική περίπτωση του κρυπτογραφήµατος του Hill, διότι σε κάθε µετάθεση σ αντιστοιχεί πίνακας A 2 :, i= σ ( j) A =, i, j =,...,. 0, i σ ( j) Για τον οποίο ισχύει πάντοτε ότι det( A ) = ±, οπότε ο πίνακας είναι πάντα αντιστρέψιµος. Στα παραπάνω παραδείγµατα, έχουµε: σ Α σ = σ Α σ2 = Κρυπτοσύστηµα αντικατάστασης Eίναι παρόµοιο µε το παραπάνω. Οι χώροι P, C είναι το σύνολο Ι = {0,,, -} και ο χώρος των κλειδιών K είναι το σύνολο των µεταθέσεων του συνόλου Ι = {0,,, -} πλήθους!. Για κάθε µετάθεση σ K, η συνάρτηση κρυπτογράφησης ορίζεται ως εξής: f : I I : x σ ( x), σ ενώ η συνάρτηση αποκρυπτογράφησης ορίζεται ως εξής: g I I x x σ : : σ ( ) 2

8 Προφανώς, για κάθε x I ισχύει: ( σ ) g f ( x) = g ( ( x)) = ( ( x)) = x. σ σ σ σ σ Eάν γνωρίζουµε τουλάχιστον ζεύγη (P, C), το κρυπτοσύστηµα µπορεί να αποκρυπτογραφηθεί. 5 Κρυπτογραφία και Θεωρία πλαισίων Θεωρούµε τον ευκλείδιο χώρο: R {( x,..., x ) : xi R } = ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο του R :.., : R R R, uv, ukvk ( ) ( ). = = k Η νόρµα ενός διανύσµατος u R είναι: u = u, u = u 2 + u u. υό διανύσµατα u και v του χώρου R είναι µεταξύ τους κάθετα εάν το εσωτερικό τους γινόµενο είναι µηδέν, εάν δηλαδή uv, = 0. Ένα σύνολο διανυσµάτων { a,..., a s} καλείται ορθογώνιο σύνολο, εάν ισχύει a a i j, ( i, j =,..., s). i j Ένα σύνολο διανυσµάτων { a,..., a s} καλείται ορθοκανονικό σύνολο, εάν ισχύει (i) a a i j, ( i, j =,..., s), i j (ii) a = i=,..., s i Eνα ορθοκανονικό σύνολο Ν διανυσµάτων του χώρου ορθοκανονική βάση του χώρου R. R καλείται Έστω ένας πίνακας Α διάστασης : 22

9 A a a a a a a a a a = 2 Οι γραµµές του παραπάνω πίνακα είναι διανύσµατα της µορφής:. (,,..., ) a = a a a i i i2 i ενώ οι στήλες του πίνακα Α είναι διανύσµατα της µορφής: a T i a i a.... ai 2i = Τετραγωνικός είναι ο πίνακας που έχει τον ίδιο αριθµό γραµµών και στηλών. Μόνον τετραγωνικοί πίνακες µπορούν να: T είναι συµµετρικοί ( A = A, ο πίνακας Α ισούται µε τον ανάστροφο του), είναι αντιστρέψιµοι ( AA = I, ο πίνακας Α επί τον αντίστροφό του ισούται µε το µοναδιαίο πίνακα), Ενας τετραγωνικός πραγµατικός πίνακας A = a ij καλείται ορθογώνιος (ορθοκανονικός), εάν είναι συµµετρικός και αντιστρέψιµος (µε ορίζουσα ). Τότε, οι γραµµές (ή οι στήλες) του πίνακα Α σχηµατίζουν ένα ορθογώνιο (ορθοκανονικό) σύνολο διανυσµάτων. T Έστω Α ορθοκανονικός πίνακας και A ο ανάστροφός του, τότε: A = T A, δηλαδή, ο αντίστροφος πίνακας του Α ισούται µε τον ανάστροφό του. Η κλάση των τετραγωνικών και ορθογώνιων πινάκων µε στοιχεία ± καλείται κλάση των πινάκων Hadaard. 23

10 Πλαίσιο είναι ένα σύνολο διανυσµάτων του χώρου R τα οποία είναι ικανά να παράγουν τον R, αλλά ενδεχοµένως είναι αρκετά ώστε να είναι µεταξύ τους γραµµικώς ανεξάρτητα. Έτσι, οποιαδήποτε 3 µη 2 παράλληλα ανά δύο διανύσµατα του R, µπορούν να θεωρηθούν πλαίσιο του R 2. Ο αυστηρός ορισµός της έννοιας του πλαισίου δίνεται παρακάτω. Υπό µορφή πίνακα, ένα πλαίσιο του χώρου. κάθε πίνακας Α διάστασης, είτε 2. κάθε πίνακας Α διάστασης,. R µπορεί να θεωρηθεί: Στην η περίπτωση οι -γραµµές του πίνακα Α και στη 2 η περίπτωση οι -στήλες του πίνακα Α αποτελούν ένα πλαίσιο του χώρου R. Όταν τα a,..., a στην η περίπτωση (ή της µορφής Ν διανύσµατα της µορφής {, i, i} { i,..., i, } a a στη δεύτερη περίπτωση) είναι αµοιβαία ορθογώνια (ορθοκανονικά), τότε το πλαίσιο ονοµάζεται ορθογώνιο (ορθοκανονικό). Ορισµός 7 Θεωρούµε τον ευκλείδιο διανυσµατικό χώρο R. Μία ακολουθία διανυσµάτων {,..., x xm } ( M ) του R καλείται πλαίσιο (frae) του χώρου R, εάν υπάρχουν θετικές σταθερές 0< A B <+, έτσι ώστε για κάθε στοιχείο u R να ισχύει: M 2, =. () A u u x B u Η σταθερά Α ονοµάζεται κατώτατο όριο του πλαισίου, ενώ η σταθερά Β καλείται ανώτατο όριο του πλαισίου. Αφού το πλαίσιο είναι ακολουθία διανυσµάτων µπορεί να παρασταθεί υπό τη µορφή πίνακα Ν στηλών και Μ γραµµών, δηλαδή έναν M πίνακα. Έστω { x x } ( M ),..., M είναι ένα πλαίσιο του χώρου τον ακόλουθο τελεστή: R, ορίζουµε S: R R, u u, x x, M k = ο οποίος αποδεικνύεται ότι είναι αντιστρέψιµος, δηλαδή: 24

11 όπου η ακολουθία { x : k =,..., M} δηλαδή: M u = u, x x = u, x x, k k= k k k= k k M καλείται δυϊκή της ακολουθίας x,, = k x, x k =. 0, k Ορισµός 8 Εάν ισχύει A = B = στη σχέση (), τότε: M = ux, 2 2 = u και το πλαίσιο ονοµάζεται Parseval ή αλλιώς σφιχτό (tight). Εάν X είναι ο πίνακας διάστασης M που αντιστοιχεί στο πλαίσιο (): X x x2 x =, xm xm2 x M τότε Parseval είναι εκείνο το πλαίσιο του οποίου οι στήλες είναι κάθετες και το µέτρο τους είναι ίσο µε τη µονάδα. Προφανώς, εάν ο παραπάνω πίνακας Χ αντιστοιχεί σε ορθοκανονικό πλαίσιο, υπάρχει πάντα ένας ευκλείδειος χώρος K R, διάστασης Μ- Ν µε ορθοκανονική βάση της µορφής { y,..., ym } τέτοιος έτσι ώστε ο πίνακας X διάστασης M M που σχηµατίζεται ως εξής: X X Y = M M ( M ) να είναι ορθοκανονικός πίνακας, όπου ο πίνακας Υ ορίζεται ως εξής: Y y y2 y,( M ) =. ym ym2 y M,( M ) 25

12 ύο πλαίσια { x : =,..., M} και { y :,..., M} = του χώρου καλούνται ορθογώνια, αν και µόνο αν οι αντίστοιχοι πίνακές τους Χ και Υ ικανοποιούν την: X Y M M M M R = O. (3) Η κρυπτογραφία µε χρήση της Θεωρίας πλαισίων συγκαταλέγεται στη συµµετρική κρυπτογραφία. Ο χώρος των καθαρών µηνυµάτων είναι ο χώρος R και ο χώρος των κρυπτογραφηµένων µηνυµάτων είναι ο 2 χώρος R. Ο χώρος των κλειδιών είναι ο χώρος των πινάκων διάστασης 2 2. Η λογική του συγκεκριµένου κρυπτογραφικού αλγορίθµου έχει να κάνει, όσον αφορά τη δηµιουργία του κλειδιού, µε την κατασκευή ενός ζεύγους ορθογωνίων πλαισίων (βλέπε (3)), όπου Μ = 2Ν.,..., = R που αντιπροσωπεύει το καθαρό µήνυµα που θέλει ο ποµπός να µεταδώσει στον δέκτη, «αναµειγνύουµε» µία δεύτερη ακολουθία {,..., g = g g } R που δηµιουργείται από µια ψευδο-τυχαία συνάρτηση και αντιπροσωπεύει το θόρυβο, αλλοιώνοντας/κάνοντας πιο περίπλοκο το αποσταλµένο µήνυµα. Εναλλακτικά, ο θόρυβος αναφέρεται και σαν «σκουπίδια» (garbage) λόγω της µη ουσιαστικής χρησιµότητας και της παρασιτικής του παρουσίας κατά την αποκωδικοποίηση του µηνύµατος. Η γενική λογική συνοψίζεται στα εξής: Το µήνυµα µεταδίδεται µαζί µε το θόρυβο από τη µεριά του ποµπού και υπεισέρχεται από τη µεριά του δέκτη ο διαχωρισµός τους και η εξαγωγή της πληροφορίας. Στην ακολουθία { } Αρχικά, έστω { x :,...,2} χώρου 2 R µε πίνακα: = ένα ορθοκανονικό πλαίσιο (Parseval) του X x x2 x,2 =. x2, x2,2 x 2,2 Σχηµατίζουµε έναν 2 πίνακα Χ που αποτελείται από τις πρώτες Ν στήλες του Χ και έναν 2 πίνακα Χ 2 που αποτελείται από τις στήλες Ν+,,Ν του πίνακα Χ. Αρα: 26

13 Aν { } { } ( ) X = X X. 2,..., = R αντιπροσωπεύει το καθαρό µήνυµα και,..., g = g g R το θόρυβο, το κρυπτογράφηµα δηµιουργείται ως εξής: R R. 2 : f X, c= X+ X2g Επειδή ο πίνακας Χ είναι ορθοκανονικός, ο αντίστροφός του ταυτίζεται µε τον ανάστροφό του. Έτσι, αν Χ Τ είναι ο ανάστροφος πίνακας του Χ, θα έχουµε: X X X T X 2 X 2 T = T = = οπότε η συνάρτηση αποκρυπτογράφησης ορίζεται ως εξής: X g R R y X x. X T 2 T :, = Tότε παίρνουµε: ( g T f )( X ) = g T ( X + X g 2 ) X X ( ) = X X + X g = X X + X X g =. T T T 2 2 T Αρα το κλειδί αποκρυπτογράφησης είναι ο πίνακας X. Σ αυτό το σηµείο µπορούµε να κάνουµε τις εξής παρατηρήσεις: Το πλαίσιο µπορεί να µην είναι υποχρεωτικά ορθοκανονικό Parseval αλλά όχι υποχρεωτικά, απλά µε τα ορθοκανονικά πλαίσια δεν χρειάζεται να υπολογίσουµε τον αντίστροφο πίνακα. Το µειονέκτηµα είναι ότι τα ορθοκανονικά πλαίσια αποτελούν ένα υποσύνολο όλων των πλαισίων και άρα αυτό περιορίζει την επιλογή των κλειδιών κρυπτογράφησης. Γενικά, η επιλογή µη ορθοκανονικών πλαισίων δεν αυξάνει σε ασφάλεια την επιτυχία της µετάδοσης. 27

14 ιαδοχική κρυπτογράφηση για το ίδιο µήνυµα, έχει ως αποτέλεσµα δύο διαφορετικά κρυπτογραφήµατα λόγω του θορύβου. Εφόσον το καθαρό µήνυµα µπορεί να ανακτηθεί εφαρµόζοντας έναν γραµµικό µετασχηµατισµό, ο αλγόριθµος κρυπτογράφησης µε χρήση πλαισίων είναι ευάλωτος σε επιθέσεις γνωστού αρχικού κειµένου. ηλαδή όταν ο επιτιθέµενος γνωρίζει ένα µόνον καθαρό µήνυµα και έχει πρόσβαση στο µηχάνηµα κρυπτογράφησης, µε διαδοχικές κρυπτογραφήσεις µπορεί να υπολογίσει τον πίνακα κλειδί. 6 Κρυπτοσύστηµα Vigeere Έστω. Οι χώροι P, C, K των καθαρών µηνυµάτων, των κρυπτογραφηµένων κειµένων και των κλειδιών είναι ο χώρος. Για κάθε κλειδί k K, η συνάρτηση κρυπτογράφησης ορίζεται ως εξής: f : : ( x,..., x ) ( x + k,..., x + k ) k και η συνάρτηση αποκρυπτογράφησης ορίζεται ως εξής: g : : ( x,..., x ) ( x k,..., x k ). k Είναι κρυπταλγόριθµος τµήµατος, δηλαδή χωρίζει κείµενο µήκους σε κοµµάτια µήκους, καθένα από τα οποία κρυπτογραφείται µε την παραπάνω συνάρτηση f k. Για παράδειγµα, έστω το αλφάβητο αγγλικό όπου A 0,..., Z 26, κενό 27 οπότε = 27. Έστω = 4 και k = (4,3,0,5). Έστω ότι θέλουµε να στείλουµε το µήνυµα STRIKEATEVEIG που περιέχει 5 χαρακτήρες. Προσθέτουµε το κενό και χωρίζουµε το µήνυµα σε 4 τετράδες και θεωρούµε τις αντίστοιχες κλάσεις 27. Η κρυπτανάλυση ενός τέτοιου κρυπτογραφηµένου µυνήµατος βασίζεται: 28

15 στο κριτήριο Kasiski: 2 ίδια κοµµάτια µηνύµατος που απέχουν d θέσεις d 0od δίνουν ίδια κοµµάτια κρυπτογραφηµένου µηνύµατος. Έτσι, αναζητούµε ίδια κοµµάτια µήκους 3 και καταγράφουµε την απόσταση των θέσεων εµφάνισης του πρώτου γράµµατος τους. Αν d,..., d r τέτοιες αποστάσεις, τότε ΜΚ ( d,..., d r )/. στο κριτήριο Frieda. Αν f0,..., f 25 είναι οι συχνότητες εµφάνισης των γραµµάτων Α,,Ζ, τότε 0.027, ( ) I ( y) c I ( y) c 25 fi( fi ). ( ) i= Τέλεια ασφάλεια - Κρυπτοσύστηµα Vera Έστω P είναι o χώρος των καθαρών µηνυµάτων, C ο χώρος των κρυπτογραφηµένων µηνυµάτων, Κ ο χώρος των κλειδιών και fk : P C k K είναι η συνάρτηση κρυπτογράφησης. Θεωρούµε µία κατανοµή πιθανότητας επί του P: P( p), p P και µία κατανοµή πιθανότητας επί του Κ: P( k ), k K 2 και ορίζουµε µία κατανοµή πιθανότητας επί του P Kως εξής: P( p, k) = P( p) P( k). 2 οθέντος ζεύγους ( pk,) P K ορίζουµε το σύνολο {( λ ) λ k } K ( pk, ) = p, P K: f ( p) = f( p) και στη συνέχεια ορίζουµε µία νέα κατανοµή πιθανότητας επί του P K ως εξής: P( p, k) P ( p, k) =. P( p, λ) ( p, λ ) K ( p, k) Αν υποθέσουµε ότι fk ( p) = c C, τότε η P ( p, k) δηλώνει την πιθανότητα εµφάνισης του κρυπτογραφήµατος c µε χρήση κλειδιού k, σε σχέση µε το σύνολο των εµφανίσεων του c µε χρήση όλων των κλειδιών λ για τα οποία ισχύει fλ ( p) = c. 29

16 Ορισµός (Shao): To κρυπτογράφηµα έχει τέλεια ασφάλεια, εάν ( p, c) P C ισχύει: P( p) = P ( p, k) k K ( p, k) δηλαδή η παρατήρηση ενός κρυπτογραφηµένου µηνύµατος να µη δίνει στον κρυπταναλυτή καµιά πληροφορία σχετικά µε το κείµενο από το οποίο προέκυψε. Θεώρηµα Έστω P = C = K και P( p ) > 0 p P. Ένα κρυπτοσύστηµα έχει τέλεια ασφάλεια, αν και µόνο αν Pk ( ) = K k K και για κάθε ( p, c) P C υπάρχει ένα µόνον k K τέτοιο ώστε fk() p = c. Παράδειγµα Έστω P= {0,}, C = { a, b}. Υποθέτουµε ότι K = { AB, } και P(0) = /4, P() = 3/4, P( A) = /4, P( B) = 3/ Τότε: P(0, A) = P(0) P2( A) = /6, P(, A) = P() P2( A) = 3/6, P(0, B) P(0) P( B) 3/6 = 2 =, 2 P(, B) = P() P( B) = 9 /6. Έστω ότι f (0) = a, f () = b και f (0) = b, f () = a, τότε: A A B P(0, A) /6 P (0, A) = = = /0 P(0, A) + P(, B) /6+ 9/6, P(, A) 3/6 P (, A) = = = / 2 P(, A) + P(0, B) 3/6+ 3/6, P(0, B) 3/6 P (0, B) = = = / 2 P(0, B) + P(, A) 3/6+ 3/6, P(, B) 9 /6 P (, B) = = = 9 /0 P(, B) + P(0, A) 9/6+ /6. B 30

17 Επειδή P (0, A ) = /0 /4, P (0, B ) = / 2 / 4 κ.λ.π. δεν έχουµε τέλεια ασφάλεια. Εφαρµογή: (Κρυπτοσύστηµα Vera) Έστω P = C = K είναι ο χώρος των κλάσεων υπολοίπων 2, ορίζουµε τη συνάρτηση κρυπτογράφησης ως εξής: f :, ( x, x,..., x ) ( x + k, x + k,..., x + k ). k Τότε, η συνάρτηση αποκρυπτογράφησης συµπίπτει µε αυτή της κρυπτογράφησης. Πράγµατι ( p, c) P C έχουµε: p + k = c p= c k ( c+ k)od2 άρα υπάρχει µοναδικό k K: fk ( p) = c. Το παραπάνω καλείται κρυπτοσύστηµα του Vera. Εάν η πιθανότητα εµφάνισης k K είναι /2, τότε θεωρητικά το παραπάνω κρυπτοσύστηµα έχει τέλεια ασφάλεια. Μειονέκτηµα: Αν γνωρίζουµε ένα µόνον ζεύγος (p, c) µπορούµε άµεσα να υπολογίσουµε το κλειδί k. Για να αναιρέσουµε το παραπάνω µειονέκτηµα, για κάθε µήνυµα επιλέγεται καινούργιο κλειδί, αλλά αυτό δεν είναι πρακτικό, διότι κάθε φορά πριν την επικοινωνία θα πρέπει να ανταλλάσσεται το κλειδί. Μια λύση του παραπάνω προβλήµατος είναι η χρήση κλειδιών που προέρχονται από ακολουθίες στοιχείων του 2 που ορίζονται από λίγες παραµέτρους. Έτσι χρειάζεται να σταλούν µόνον οι παράµετροι, αλλά τότε δεν έχουµε τέλεια ασφάλεια. Το ερώτηµα είναι: πως δηµιουργούµε τέτοιες ακολουθίες; Η απάντηση δίνεται µε τα λεγόµενα γραµµικά συστήµατα καταγραφής µετατόπισης µε ανάδραση. Ένα τέτοιο σύστηµα αποτελείται από καταγραφείς R0, R,..., R µε. Έστω X () t είναι το περιεχόµενο του καταγραφέα τιµές { 0, } i και έστω i R i 3

18 ( ) x( t) = X ( t), X ( t),..., X ( t) 0 η κατάσταση του συστήµατος τη χρονική στιγµή t. Αρχικά δίνεται η κατάσταση: ( ) x(0) = X (0), X (0),..., X (0) 0 όπου όλα τα X i(0) δεν είναι µηδέν. Το σύστηµα καθορίζεται από τις εξισώσεις: Xi( t+ ) = Xi+ ( t), 0 i 2 X() t = c0x0() t + cx() t c X () t όπου ci 2. Προφανώς το σύστηµα αυτό καθορίζεται πλήρως από την κατάσταση x(0) και τους συντελεστές c0, c,..., c. Αν θεωρήσουµε την ακολουθία εξόδου ως si = X0 ( i), i= 0,,2,..., τότε: s = X ( i+ ) = X ( i+ ) =... = X ( i+ ) i+ 0 = cx() i + cx() i c X () i 0 0 oπότε: s = cs+ cs c s. i+ 0 i i+ + i Αποδεικνύεται ότι µια τέτοια ακολουθία είναι περιοδική µε περίοδο 2 και τέτοιες ακολουθίες χαρακτηρίζονται πλήρως από το χαρακτηριστικό τους πολυώνυµο: P( T) = T + ct c T + αφού αποδεικνύεται ότι: { : 0,..., } T s i= ακολουθία ανάδρασης P( T ) ανάγωγο και δεν διαιρεί το i d +, d < 2. 32

19 Έστω λοιπόν s i ακολουθία που παράγεται από -καταγραφείς και σταθερές c0, c,..., c. Έστω µήνυµα x = ( x0, x,..., xk ) που κρυπτογραφείται µε το σύστηµα Vera µε την χρήση των k πρώτων διαδοχικών όρων s0, s,..., sk, τότε: y = x + s, i= 0,,..., k. (2) i i i Έστω k 2 και τα x, y είναι γνωστά. Τότε υπολογίζουµε τους k πρώτους όρους της ακολουθίας s i από τη (2) και στη συνέχεια θεωρούµε το σύστηµα s0 s s s s2 s ( s, s,..., s2 ) ( c0, c,..., c ) + =. s s s2 2 Αποδεικνύεται ότι ο πίνακας του παραπάνω συστήµατος είναι αντιστρέψιµος οπότε λύνοντας το παραπάνω υπολογίζουµε τους άγνωστους συντελεστές ( c0, c,..., c ). Συνεπώς, το κρυπτοσύστηµα Vera είναι ευάλωτο στην προσβολή καθαρού κειµένου, έστω και µε τη χρήση γραµµικού συστήµατος καταγραφής µε ανάδραση.. Θεωρούµε την - αντιστοιχία: AΣΚΗΣΕΙΣ { AB,,..., Ω} : A 0, B,..., Ω 23, 24 να κρυπτογραφηθεί και να αποκρυπτογραφηθεί το κείµενο ΠΑΩΤΩΡΑ µε το κρυπτοσύστηµα µετατόπισης χρησιµοποιώντας το κλειδί k = Θεωρούµε την - αντιστοιχία: { AB,,..., Ω,_ } : A 0, B,..., Ω 23, _ 24, 25 να κρυπτογραφηθεί και να αποκρυπτογραφηθεί το κείµενο ΧΤΥΠΑ _ΤΩΡΑ µε το oµοπαραλληλικό κρυπτοσύστηµα χρησιµοποιώντας το κλειδί e = (9,3). 33

20 4 3. Έστω A=, να κρυπτογραφηθεί και να αποκρυπτογραφηθεί το 5 3 κείµενο ΦΥΓΕ_ΤΩΡΑ µε το κρυπτοσύστηµα Ηill χρησιµοποιώντας την αντιστοιχία: { AB,,..., Ω,_ } : A 0, B,..., Ω 23, _

KEΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΡΥΠΤΟΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

KEΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΡΥΠΤΟΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Βασικές έννοιες KEΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΡΥΠΤΟΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ένα κρυπτοσύστηµα όπου οι χώροι των καθαρών µηνυµάτων, των κρυπτογραφηµένων µυνηµάτων και των κλειδιών είναι ο m,,,... m = καλείται ψηφιακό κρυπτοσύστηµα.

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηµατικές Θεµελιώσεις Kρυπτογραφίας

Mαθηµατικές Θεµελιώσεις Kρυπτογραφίας Νικόλαος Ατρέας Mαθηµατικές Θεµελιώσεις Kρυπτογραφίας ΑΠΘ Τµήµα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη 008 Περιεχόµενα Κεφάλαιο 0: Βασικές έννοιες σελ 4 Κεφάλαιο : Χρήσιµες µαθηµατικές έννοιες σελ 7 Βασικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ

KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ 1 Το Κρυπτοσύστηµα RSA Η ιδέα της κρυπτογραφίας δηµοσίου κλειδιού παρουσιάσθηκε για πρώτη φορά το 1976 από τους Dffe και Hellman Ένα χρόνο αργότερα, οι R L Rvest, A Shamr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

a 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1

a 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1 Α44 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #12 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1 Πλεγµατα Εστω ο διανυσµατικός χώρος R d διάστασης d Ο χώρος R d έρχεται µε ένα εσωτερικό γινόµενο x, y = d i=1 x iy i και τη σχετική νόρµα x = x,

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2: http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Εργαστηριακό μάθημα 10 (Επαναληπτικές ασκήσεις)

Κρυπτογραφία. Εργαστηριακό μάθημα 10 (Επαναληπτικές ασκήσεις) Κρυπτογραφία Εργαστηριακό μάθημα 10 (Επαναληπτικές ασκήσεις) Εύρεση αντίστροφου αριθμού Mod n Έχουμε ήδη δει ότι πολύ συχνά συναντάμε την ανάγκη να βρούμε τον αντίστροφο ενός αριθμού a modulo n, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2 http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (12 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (12 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2015-2016 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Ε. Μαρκάκης, Θ. Ντούσκας Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Πρόβληµα 1 (12 µονάδες) 1) Υπολογίστε τον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ ιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα Α και Β Το σηµείο Α καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος AB, ενώ το σηµείο Β καλείται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 Πρόλογος 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 7 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 1.1 Η αριθµητική υπολοίπων.............. 10 1.2 Η πολυωνυµική αριθµητική............ 14 1.3 Θεωρία πεπερασµένων οµάδων και σωµάτων.... 17 1.4 Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y 5 Έστω Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης Ι R ανοικτό διάστηµα, : Ι R διαφορίσιµη της κλάσης a Ι : '( a) 0 Τότε από την συνέχεια της ' υπάρχει 0 ' 0 για κάθε ( a δ, a+ δ) δ > :( a δ, a δ) C και + Ι και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Κρυπτοαλγόριθμοι. Χρήστος Ξενάκης

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Κρυπτοαλγόριθμοι. Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Κρυπτοαλγόριθμοι Χρήστος Ξενάκης Θεωρία Πληροφορίας Η Θεωρία πληροφορίας (Shannon 1948 1949) σχετίζεται με τις επικοινωνίες και την ασφάλεια

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ελένη Μπακάλη Άρης Παγουρτζής

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας

Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας Νικόλαος Ατρέας Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας ΑΠΘ Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής Θεσσαλονίκη 3 Περιεχόµενα Κεφάλαιο : Πίνακες σελ 4 Γενικά Είδη πινάκων Τετραγωνικοί πίνακες 3

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Ασύμμετρη Κρυπτογραφία. Χρήστος Ξενάκης

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Ασύμμετρη Κρυπτογραφία. Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Ασύμμετρη Κρυπτογραφία Χρήστος Ξενάκης Ασύμμετρη κρυπτογραφία Μονόδρομες συναρτήσεις με μυστική πόρτα Μια συνάρτηση f είναι μονόδρομη, όταν δοθέντος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Εργαστηριακό μάθημα 2-3-4

Κρυπτογραφία. Εργαστηριακό μάθημα 2-3-4 Κρυπτογραφία Εργαστηριακό μάθημα 2-3-4 Ασκήσεις επανάληψης Αλγόριθμοι μετατόπισης Προσπαθήστε, χωρίς να γνωρίζετε το κλειδί, να αποκρυπτογραφήσετε το ακόλουθο κρυπτόγραμμα που έχει προκύψει από κάποιον

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα