Κωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου)
|
|
- Ελπιδιος Δαμασκηνός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου) Εισαγωγή. Αυτό το φυλλάδιο έχει στόχο να δώσει ένα ανάλογο αποτέλεσµα µε αυτό του linear speedup θεωρήµατος, εάν έχουµε µία µηχανή Turing Μ που χρησιµοποιεί f(n) χώρο για να λειτουργήσει, τότε µπορούµε να κατασκευάσουµε µία άλλη µηχανή Turing M, η οποία προσοµοιώνει τη Μ και χρησιµοποιεί χώρο εf(n) + 2, όπου n είναι το µέγεθος της εισόδου. Το θεώρηµα και η απόδειξη µοιάζουν πάρα πολύ µε αυτή του linear speedup θεωρήµατος. Παρόλα αυτά, πρώτα είναι σκόπιµο να κάνουµε µια συζήτηση. k string Turing µηχανές µε είσοδο και έξοδο. Όταν υπολογίζουµε το χώρο που καταλαµβάνει µια µηχανή Turing, την κρίνουµε ποιοτικά ως προς το πόσο είναι ικανή στο να σπαταλά όσο το δυνατό λιγότερο γίνεται χώρο. Αν λοιπόν στο χώρο αυτό υπολογίσουµε το χώρο που καταλαµβάνει η ταινία εισόδου, τότε είµαστε άδικοι µε τη µηχανή αυτή, γιατί καµιά άλλη µηχανή δε µπορεί να σπαταλήσει λιγότερο χώρο, όσο καλά σχεδιασµένη και να είναι. Το ίδιο συµβαίνει και µε την έξοδο. Η έξοδος, ότι και να κάνει η µηχανή, δε µπορεί να αλλάξει, θα καταλαµβάνει τον ίδιο χώρο. Το πιο λογικό θα έπρεπε να είναι να υπολογίζουµε µόνο τον επιπρόσθετο χώρο που καταλαµβάνει η µηχανή µας. Αυτό και κάνουµε. Ορισµός. Έστω ακέραιος k > 2. Μία k string µηχανή Turing µε είσοδο και έξοδο είναι µια κανονική k string µηχανή Turing τέτοια ώστε για κάθε µετάβασή της δ, δ(q, σ 1,..., σ k ) = (p, ρ 1, D 1,, ρ k, D k ) : α) ρ 1 = σ 1 β) D k <- γ) εάν σ 1 = _, τότε D 1 = <-. Λεπτοµέρειες για τον ορισµό µπορείτε να βρείτε στο βιβλίο. Αυτό που µας ενδιαφέρει εµάς είναι ότι µία «k string µηχανή Turing µε είσοδο και έξοδο» είναι µια µηχανή µε ταινία εισόδου µόνο για ανάγνωση και µε µια ταινία εξόδου στην οποία γράφουµε µόνο το αποτέλεσµα, τις άλλες ταινίες θα τις καλούµε εσωτερικές ταινίες. Έτσι, ο χώρος που θα µετράµε τώρα θα είναι στις εσωτερικές ταινίες. Εύκολα (βλ. Βιβλίο) µπορεί κανείς να δείξει ότι οποιαδήποτε µηχανή Turing µε k ταινίες µπορεί να µετατραπεί σε µία k+2 string µε είσοδο και έξοδο. Άρα µπορούµε από εδώ και πέρα να µιλάµε για k string µηχανές Turing µε είσοδο και έξοδο και να εννοούµε οποιαδήποτε µηχανή Turing (όσο αφορά το χώρο βέβαια). Θεώρηµα: Έστω γλώσσα L ε SPACE(f(n)). Τότε, για κάθε ε > 0, η γλώσσα L ανήκει στο SPACE(2 + εf(n)). Απόδειξη: Έστω Μ = (Κ, Σ, δ, s) µία k string Turing µηχανή µε είσοδο και έξοδο η οποία αποφασίζει την L και χρησιµοποιεί χώρο f(n). Θα κατασκευάσουµε µία k string Turing µηχανή µε είσοδο και έξοδο Μ = (Κ, Σ, δ, s ) και η οποία θα χρησιµοποιεί χώρο εf(n) + 2, για ε > 0, µε σκοπό να προσοµοιώσει την Μ. Πώς το 1
2 επιτυγχάνουµε αυτό; Κωδικοποιούµε πολλά σύµβολα σε ένα. Με τη συµπίεση των συµβόλων η µηχανή σπαταλά λιγότερο χώρο. Προσοχή, δε συµπιέζουµε την ταινία εισόδου και την ταινία εξόδου. Το αλφάβητο της Μ θα µεγαλώσει και θα περιέχει και τα νέα σύµβολα κωδικούς. Εάν για την κωδικοποίηση συµπιέζουµε m σύµβολα για να πάρουµε ένα νέο σύµβολο, τότε θα έχουµε Σ = Σ U Σ m. Επειδή δε µας νοιάζει ο χρόνος µε τον οποίο θα τρέχει η µηχανή, παρά µόνο ο χώρος, µας φτάνει µόνον το να χρησιµοποιούµε κωδικοποιηµένα σύµβολα. Έτσι, θα µετατρέψουµε όλες τις µεταβάσεις της µηχανής Μ σε µεταβάσεις που να έχουν στην πρώτη και την τελευταία ταινία «παλαιά σύµβολα» και στην άλλες ταινίες νέα, κωδικοποιηµένα σύµβολα. Για κάθε παλιά µετάβαση θα πρέπει να φτιάξουµε µια νέα που να χρησιµοποιεί συµπιεσµένα σύµβολα στις εσωτερικές ταινίες. Πρέπει, εποµένως, να ξέρουµε που στο συµπιεσµένο σύµβολο της κεφαλής µιας εσωτερικής ταινίας της Μ, βρίσκεται η κεφαλή της Μ. Για αυτό εµπλουτίζουµε λίγο τις καταστάσεις. Για κάθε κατάσταση της Μ φτιάχνουµε νέες καταστάσεις Kx{1, 2,, m} k 2. Το Κ αντιστοιχεί στις παλιές καταστάσεις της Μ. Το {1, 2,, m} k-2 είναι µία k-2 άδα που αντιστοιχεί στη θέση του κέρσορα της Μ στο σύµβολο που διαβάζει ο κέρσορας της Μ. Για παράδειγµα εάν για την i οστή εσωτερική ταινία ο κέρσορας της Μ βρίσκεται l θέσεις µακριά από το >, στην i οστή θέση της k-2 άδας θα υπάρχει ο αριθµός l mod m. Οπότε, εάν έχουµε αριστερή ή δεξιά κίνηση στην ταινία θα αλλάζει κατάλληλα και η k άδα. f ( x ) Προφανώς, θα χρησιµοποιούµε στις εσωτερικές ταινίες χώρο m. Αν πάρουµε m = 1 ε, έχουµε SPACE(f( x ).- Παρατηρήσεις. Ανάλογα το µοντέλο που έχει υλοποιηθεί η µηχανή Turing και την ακρίβεια που µετράµε και εκτελούµε τις πράξεις, οι σταθεροί παράγοντες ποικίλλουν. Αλλά σε όλα τα µοντέλα, επιτυγχάνουµε επιτάχυνση στο χρόνο κατά ένα γραµµικό παράγοντα. Για παράδειγµα εγώ έβγαλα άλλους σταθερούς παράγοντες από αυτούς του Παπαδηµητρίου, αλλά αυτό δε µας πειράζει φαντάζοµαι. Τι µας λέει αυτό το θεώρηµα; Για κάθε µηχανή Turing η οποία απαιτεί χώρο f(n), τότε µπορούµε να φτιάξουµε άλλη µία τέτοια που να απαιτεί χώρο εf(n) + 2. ηλαδή εάν η µηχανή Turing θέλει 10n 2 χώρο, όπου n είναι το µήκος της εισόδου, τότε µπορούµε να κατασκευάσουµε άλλη µια Turing µηχανή τέτοια που να καταλαµβάνει χώρο ε10n Για ε = 100 > 0, παίρνουµε ότι η µηχανή µας θα 2 n χρειαστεί χώρο Παράδειγµα για το TAPE COMPRESSION theorem (δικό µου, µπορεί να έχει λάθη). Έστω µια µηχανή Turing µε είσοδο και έξοδο που υπολογίζει πόσο είναι η απόλυτη διαφορά µεταξύ των 0 και 1 σε ένα µη κενό δυαδικό αριθµό. Έχουµε Σ = {0, 1, >, _ } Κ = {s, q, p, r, t, h} k = 3, (1 ταινία εισόδου, 3 η ταινία εξόδου, 2 η εσωτερική ταινία) 2
3 m = 2 x = Μ p ε Κ σ 1 ε Σ σ 2 ε Σ σ 3 ε Σ (p, σ 1, D 1, σ 2, D 2, σ 3, D 3 ) 1 S > > > (s, >, ->, >, ->, >, ->) 2 S 0 _ _ (p, 0, ->, 0, ->, _, -) 3 S 1 _ _ (q, 1, ->, 1, ->, _, -) 4 P 0 _ _ (p, 0, ->, 0, ->, _, -) 5 Q 1 _ _ (q, 1, ->, 1, ->, _, -) 6 Q 0 _ _ (r, 0, ->, _, <-, _, -) 7 P 1 _ _ (r, 1, ->, _, <-, _, -) 8 R 0 ή 1 ή _ > _ (s, 0 ή 1 ή _, -, >, ->, _, -) 9 R 0 ή 1 ή _ 0 _ (p, 0 ή 1 ή _, -, 0, ->, _, -) 10 R 0 ή 1 ή _ 1 _ (q, 0 ή 1 ή _, -, 1, ->, _, -) 11 s ή p ή q _ _ _ (t, _, -, _, <-, _, -) 12 T _ 0 _ (t, _, -, 0, <-, 0, ->) 13 T _ 1 _ (t, _, -, 1, <-, 1, ->) 14 T _ > _ (h, _, -, >, ->, _, -) s είναι η κατάσταση «ισοπαλία». p είναι η κατάσταση «τα µηδέν είναι περισσότερα». q είναι η κατάσταση «οι άσσοι είναι περισσότεροι». r είναι η κατάσταση «πρέπει να βρω τι είναι πιο πολύ». t είναι η κατάσταση «γυρίζουµε την ταινία 2 πίσω». u είναι η κατάσταση «αντίγραψε την ταινία 2 στην ταινία3». Με λίγα λόγια αυτό που κάνει το πρόγραµµα είναι κάθε φορά που διαβάζει ένα σύµβολο να πηγαίνει είτε να το γράφει στην ταινία 2, είτε να σβήνει ένα σύµβολο από την ταινία 2, ανάλογα µε το ποιο σύµβολο κερδίζει εκείνη τη στιγµή. Οπότε, στο τέλος στην ταινία 2 υπάρχει η απόλυτη διαφορά των δύο συµβόλων. Ο νέος πίνακας µετάβασης θα γίνει. 3
4 Μ p ε Κ σ 1 ε Σ σ 2 ε Σ σ 3 ε Σ (p, σ 1, D 1, σ 2, D 2, σ 3, D 3 ) 1 (s, 0) > > > ((s, 0), >, ->, >, ->, >, ->) 2 (s, 0) 0 _ _ ((p, 1), 0, ->, σ 0 _, -, _, -) 3 (s, 0) 1 _ _ ((q, 1), 1, ->, σ 1 _, -, _, -) 4 (p, 0) 0 _ _ ((p, 1), 0, ->, σ 0 _, -, _, -) (p, 1) 0 σ 0 _ _ ((p, 0), 0, ->, σ 00, ->, _, -) 5 (q, 0) 1 _ _ ((q, 1), 1, ->, σ 1 _, -, _, -) (q, 1) 1 σ 1 _ _ ((q, 0), 1, ->, σ 11, ->, _, -) 6 (q, 0) 0 _ _ ((r, 1), 0, ->, _, <-, _, -) (q, 1) 0 σ 1 _ _ ((r, 0), 0, ->, _, -, _, -) 7 (p, 0) 1 _ _ ((r, 1), 1, ->, _, <-, _, -) (p, 1) 1 σ 0 _ _ ((r, 0), 1, ->, _, -, _, -) 8 (r, 0) 0 ή 1 ή _ > _ ((s, 0), 0 ή 1 ή _, -, >, ->, _, -) 9 (r, 0) 0 ή 1 ή _ σ 0 _ _ ((p, 1), 0 ή 1 ή _, -, σ 0 _, -, _, -) (r, 1) 0 ή 1 ή _ σ 00 _ ((p, 0), 0 ή 1 ή _, -, σ 00, ->, _, -) 10 (r, 0) 0 ή 1 ή _ σ 1 _ _ ((q, 1), 0 ή 1 ή _, -, σ 1 _, -, _, -) (r, 1) 0 ή 1 ή _ σ 11 _ ((q, 0), 0 ή 1 ή _, -, σ 11, ->, _, -) 11 (s, 0) ή (p, 0) ή (q, 0) _ _ _ ((t, 1), _, -, _, <-, _, -) (s, 1) ή (p, 1) ή (q, 1) _ σ 1 _ ή σ 0 _ _ ((t, 0), _, -, σ 1 _ ή σ 0 _, <-, _, -) 12 (t, 0) _ σ 0 _ _ ((t, 1), _, -, σ 0 _, <-, 0, ->) (t, 1) _ σ 00 _ ((t, 0), _, -, σ 00, -, 0, ->) (t, 0) _ σ 00 _ ((t, 1), _, -, σ 00, <-, 0, ->) 13 (t, 0) _ σ 1 _ _ ((t, 1), _, -, σ 1 _, <-, 1, ->) (t, 1) _ σ 11 _ ((t, 0), _, -, σ 11, -, 1, ->) (t, 0) _ σ 11 _ ((t, 1), _, -, σ 11, <-, 1, ->) 14 (t, 0) _ > _ (h, _, -, >, ->, _, -) Στους δύο πίνακες έχω βάλει µόνο τις πιθανές µεταβάσεις που µπορούµε να συναντήσουµε για κάθε είσοδο! Παρακάτω δίνεται σχηµατικά η µηχανή Turing Μ µε είσοδο και έξοδο που θα προσοµοιώνει τη Μ. Αφήνω σαν άσκηση αφού έχετε και το πρόγραµµα της Μ να τρέξετε τη µηχανή για την είσοδο x. 4
5 Μ > > > FINE 5
num(m(w 1 ;... ; w k )) = f(num(w 1 ),..., num(w k ))
Υπολογισμοί με Μ.Τ. Εστω M = (K, Σ, δ, s, {y, n}) μια Μ.Τ. Κάθε συνολική κατάσταση τερματισμού της οποίας η κατάσταση τερματισμού είναι το y, θα ονομάζεται συνολική κατάσταση αποδοχής, ενώ αν η κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΜια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L. να αναγνωρίζει (ηµιαποφασίζει) µια γλώσσα L. 1. Η TM «εκτελεί» τον απαριθµητή, E.
Οι γλώσσες των Μηχανών Turing Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L Αποδέχεται όταν (η είσοδος στην TM) w L. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 26: Καθολική Μηχανή Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που
Διαβάστε περισσότερα3 Αναδροµή και Επαγωγή
3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w w = (ab) 2m b m (ba) m, m 0 } (β) Να διατυπώσετε
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα {1010 2 10 3 10 n 1 10 n 1 n 1}. (β) Να διατυπώσετε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΣ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ
ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΣ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Παράδειγµα ίδεται το ακόλουθο δίκτυο: E Είσοδος:
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει την ακόλουθη γλώσσα. { a n b n+2 c n 2 n 2 } Λύση: H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΣε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing
Σε αυτό το µάθηµα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Παραδείγµατα Μηχανών Turing Παραλλαγές: Πολυταινιακές, Μη ντετερµινιστικές
Διαβάστε περισσότεραK είναι το σύνολο των καταστάσεων. Σ είναι το αλφάβητο των συµβόλων που χρησιµοποιούνται και το οποίο. s K είναι η αρχική κατάσταση της M.
Ισοδυναµία των Μηχανών Turing (TM) Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 11 Απριλίου 2006 1 Βασική µορφή Μηχανών Turing (BTM) Η ϐασική µορφή της Μηχανής Turing (ΒΤΜ) αποτελείται από ένα σύνολο εντολών, µία ταινία που
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα ΜΤ Τυχαίας Προσπέλασης Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 23: Μηχανές Turing Τυχαίας Προσπέλασης Επ. Καθ. Π. Κατσαρός Τμήμα Πληροφορικής Επ. Καθ.
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 23: Μηχανές Turing Τυχαίας Προσπέλασης Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν
Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα {w 1w 2 w 1 {0,1} * και w 2 = 0 k 1 m όπου k και m
Διαβάστε περισσότεραΗ NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή.
Μη ντετερµινιστικές Μηχανές Turing - NTMs (1/6) Μηχανές Turing: Μη ντετερµινισµός, Επιλύσιµα Προβλήµατα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 10 εκεµβρίου 2016
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 24: Μη Ντεντερμινιστικές Μηχανές Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 8 Λύσεις
Άσκηση 1 Θεωρήστε την πιο κάτω Μηχανή Turing. Φροντιστήριο 8 Λύσεις Σε κάθε σκέλος, να προσδιορίσετε την ακολουθία των φάσεων τις οποίες διατρέχει η μηχανή όταν δέχεται τη διδόμενη λέξη. (α) 11 (β) 1#1
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση
Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,
Διαβάστε περισσότεραΑποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο;
Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 2/12/2015 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/2015
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w
Διαβάστε περισσότερα5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.
5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { n 3 } (α) H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την επτάδα Q,
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Πιο κάτω υπάρχει ένα σχεδιάγραμμα που τοποθετεί τις κλάσεις των κανονικών, ασυμφραστικών, διαγνώσιμων και αναγνωρίσιμων γλωσσών μέσα στο σύνολο όλων των γλωσσών. Ακολουθούν
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww w {a,b}* }. (β) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή
Διαβάστε περισσότερα771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων
771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 4 ο ιδάσκων: Α. Ντελόπουλος Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο. Θετική ή αρνητική;
ράφει το σχολικό βιβλίο: Δυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο. Θετική ή αρνητική; Μια πρώτη ένσταση θα µπορούσε να διατυπωθεί, για την απουσία της δυναµικής ενέργειας από τον παραπάνω ορισµό. ιατί να µην
Διαβάστε περισσότεραΘεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων
Θεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Απόστολος Φίλιππας Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής 19 Μαΐου,
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (1) Προβλήµατα και Γλώσσες. Σε αυτό το µάθηµα. ιαδικαστικά του Μαθήµατος.
Σύνοψη Προηγούµενου Κανονικές Γλώσσες () ιαδικαστικά του Μαθήµατος. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Εισαγωγή: Υπολογισιµότητα και Πολυπλοκότητα. Βασικές
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Υπενθύµιση Τάξης ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να θυµηθείς πώς αντιµετωπίζουµε προβλήµατα της καθηµερινής µας ζωής µε τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { a 2n b n c 3n n 2 } : H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ισοδυναµία CFG και PDA. Σε αυτό το µάθηµα. Αυτόµατα Στοίβας Pushdown Automata
Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αυτόµατα Στοίβας Pushdown utomata Ισοδυναµία µε τις Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα:
Διαβάστε περισσότεραΛογικός Σχεδιασµός Σχεσιακών Σχηµάτων
Εισαγωγή Θα εξετάσουµε πότε ένα σχεσιακό σχήµα για µια βάση δεδοµένων είναι «καλό» Λογικός Σχεδιασµός Σχεσιακών Σχηµάτων Γενικές Οδηγίες Η Μέθοδος της Αποσύνθεσης Επιθυµητές Ιδιότητες της Αποσύνθεσης Συνένωση
Διαβάστε περισσότεραΓραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες
Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Ταξινόµηση Γραµµατικών εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές και NFA Αριστερά Παραγωγικές Γραµµατικές Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 0 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο - Συνδυαστική Ανάλυση Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Θεωρία. Η ϐασική αρχή της απαρίθµησης
Διαβάστε περισσότερα(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση ΙΙ και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΥΠΕΡΚΥΒΟ
ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΥΠΕΡΚΥΒΟ Αφού διαβάσαµε την Επιπεδοχώρα, φτάσαµε µε τη µέθοδο της Αναλογίας στον χώρο των τεσσάρων διαστάσεων. Το πρώτο αντικείµενο αυτού του παράξενου κόσµου ήταν ο Υπερκύβος. Τα παιδιά
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w#z w, z {a,b}* και η z είναι υπολέξη της w}. Συγκεκριμένα,
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής
Διαβάστε περισσότεραThanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ
thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y
5 Έστω Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης Ι R ανοικτό διάστηµα, : Ι R διαφορίσιµη της κλάσης a Ι : '( a) 0 Τότε από την συνέχεια της ' υπάρχει 0 ' 0 για κάθε ( a δ, a+ δ) δ > :( a δ, a δ) C και + Ι και
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 8 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 8 Λύσεις Θεωρήστε την πιο κάτω Μηχανή Turing όπου όλες οι μεταβάσεις που απουσιάζουν οδηγούν στην κατάσταση απόρριψης (q απόρριψης). Σε κάθε σκέλος, να προσδιορίσετε την ακολουθία
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο. Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο Κριτήρια διαιρετότητας Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: 1. Να µάθεις να ξεχωρίζεις ποιοι αριθµοί διαιρούνται µε το 2, το
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww rev w {a, b} * και w αποτελεί καρκινική λέξη } (α) H ζητούμενη μηχανή
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων
Διαβάστε περισσότερα3.1 εκαδικό και υαδικό
Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και εδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 3.1 εκαδικό και υαδικό εκαδικό σύστηµα 2 1 εκαδικό και υαδικό υαδικό Σύστηµα 3 3.2 Μετατροπή Για τη µετατροπή
Διαβάστε περισσότερα. Μητρόπουλος Στερεό F 1 F 2 (2) (1)
Ένα δύστροπο ποδήλατο + () () Το εικονιζόµενο ποδήλατο συγκρατείται όρθιο σε οριζόντιο δρόµο, χωρίς να εµποδίζεται η ελεύθερη κίνησή του µπρος πίσω. Χωρίς να ανέβουµε πάνω σ αυτό µπορούµε να ασκούµε µε
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ
ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.
Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση
Διαβάστε περισσότεραΔιαβάζοντας το βιβλίο του Θρασύβουλου εγώ εστιάζω στο εξής:
Φίλε Λάµπρο σε κάποια θα συµφωνήσω και σε κάποια θα διαφωνήσω. Θα συµφωνήσω ότι στις περιπτώσεις που αναφέρεις και οι τρεις κινήσεις έχουν τα χαρακτηριστικά της ευθύγραµµης οµαλά µεταβαλλόµενης κίνησης
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015
Διαβάστε περισσότερα(x) = δ(x) π(x) + υ(x)
Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς
Διαβάστε περισσότεραΑυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 6η ενότητα: Αυτόματα, τυπικές γλώσσες, γραμματικές Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/introcs
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 9 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.9: Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις. Θεµατικές Ενότητες:. Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις. Α. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Ρητή αλγεβρική παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα 2 (12 µονάδες)
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2015-2016 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Ε. Μαρκάκης, Θ. Ντούσκας Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Πρόβληµα 1 (12 µονάδες) 1) Υπολογίστε τον
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Τελικές εξετάσεις 3 Ιανουαρίου 27 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (2:-5:) ΘΕΜΑ ο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 10. Μηχανές Turing 20,23 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα Ορισμός και λειτουργία των μηχανών Turing Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 20: Μηχανές Turing: Σύνθεση και Υπολογισμοί Επ. Καθ. Π. Κατσαρός Τμήμ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 20: Μηχανές Turing: Σύνθεση και Υπολογισμοί Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 10 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 10 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {0,1} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.
Διαβάστε περισσότεραEΞΟΙΚΕΙΩΣΗ ΜΕ ΤΟ MOVIE MAKER
EΞΟΙΚΕΙΩΣΗ ΜΕ ΤΟ MOVIE MAKER 1. Ανοίξτε από ΟΛΑ ΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ, το Windows movie maker 2. Αυτή είναι η βασική επιφάνεια εργασίας του λογισµικού Το movie maker µας δίνει δύο δυνατότητες. Να κάνουµε ένα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΣΤΑΣ ΔΕΛΗΜΑΡΗΣ - ΧΡΗΣΗ ΗΥ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΡΧΕΙΩΝ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΣΤΑΣ ΔΕΛΗΜΑΡΗΣ - www.kostasdelimaris.gr ΧΡΗΣΗ ΗΥ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΡΧΕΙΩΝ Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή στους υπολογιστές... 3 Εκκίνηση του ΗΥ:... 3 Τερματισμός του ΗΥ:... 3 Διαχείριση Διεργασιών
Διαβάστε περισσότεραCondorcet winner. (1) Αν U j (x) > U j (y) τότε U i (x) > U i (y) και (2) Αν U i (y) > U i (x) τότε U j (y) > U j (x).
Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Άνοιξη 2012 Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης ηµόσια Οικονοµική ΙI Η διαδικασία της ψηφοφορίας Ως µεθόδου παροχής των δηµοσίων αγαθών (για τα ιδιωτικά αγαθά, ο µηχανισµός των τιµών).
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣτην συνέχεια και στο επόµενο παράθυρο η εφαρµογή µας ζητάει να εισάγουµε το Username και το Password το οποίο σας έχει δοθεί από τον ΕΛΚΕ.
1. Πρόσβαση Οδηγίες προγράµµατος διαχείρισης ανάλυσης χρόνου εργασίας (Time Sheet) Για να ξεκινήσετε την εφαρµογή, από την κεντρική σελίδα του ΕΛΚΕ (www.elke.aua.gr) και το µενού «ιαχείριση», Time Sheet
Διαβάστε περισσότερα(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια
Διαβάστε περισσότεραΓενική Ισορροπία-Ευηµερία. 2ο Θεµελιώδες Θεώρηµα των Οικονοµικών της ευηµερίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς.
Γενική Ισορροπία-Ευηµερία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 19 Απριλίου 2013 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία-Ευηµερία 19 Απριλίου 2013 1 / 20 Το πρώτο Θ.Θ.Ο.Ε. µας λέει ότι κάθε Βαλρασιανή
Διαβάστε περισσότεραΚριτήριο Παρεμβολής. και. άρα από το παραπάνω κριτήριο παρεµβολής το l im f ( x) (x 1) 2 f (x) 2x (x 1) 2 2x (x 1) 2 f (x) 2x + (x 1) 2
Κριτήριο Παρεμβολής Υποθέτουµε ότι κοντά στο µια συνάρτηση f εγκλωβίζεται ανάµεσα σε δύο συναρτήσεις h και g. Αν, καθώς το τείνει στο, οι g και h έχουν κοινό όριο l, τότε όπως φαίνεται και στο σχήµα, η
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΗ γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής
Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος
Διαβάστε περισσότεραΕνέργεια και Έργα. Ε συστ = ΣΤ
Ενέργεια και Έργα. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας για ένα σύστηµα, σύµφωνα µε τον John W. Jewett Jr., (τα πέντε κείµενα που µετέφρασε και δηµοσίευσε ο Σταύρος Πρωτογεράκης, µπορείτε να τα κατεβάσετε συµπιεσµένα
Διαβάστε περισσότερα( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a
7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα 2 (15 µονάδες)
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις
Διαβάστε περισσότεραBlum Complexity. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΙΙ. Παναγιώτης Γροντάς. Δεκέμβριος
Blum Complexity Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΙΙ Παναγιώτης Γροντάς µπλ Δεκέμβριος 2011 Ιστορικά Στοιχεία Manuel Blum (1938, Caracas Venezuela) Turing Award (1995) Foundations Of Computational Complexity
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ30 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ. Μάθηµα 3.2: ηµήτρης Ψούνης
ΠΛΗ30 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ Μάθηµα 3.2: Ντετερµινιστικά Πεπερασµένα Αυτόµατα ηµήτρης Ψούνης 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β. Θεωρία 1. Πεπερασµένα Αυτόµατα 1. Λειτουργία και Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 31 Μαρτίου 2016 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΑυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσ.h.m.μ.y. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές Στάθης Ζάχος Συνεργασία: Κωστής Σαγώνας Επιμέλεια:
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.
Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές
Διαβάστε περισσότεραΚώδικας σχεδίασης Λογισµικής ιαγραµµατικής Οντολογίας
Κώδικας σχεδίασης Λογισµικής ιαγραµµατικής Οντολογίας Αρχιµήδης ΙΙΙ Υποέργο 18 2013 Ενα µάγµα µπορεί να εξελιχθεί κάτω από την επίδραση τριών ειδών επιρροών. Την εξέλιξη αυτή συµβολίζουµε µε ένα απλό τόξο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2014 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 204 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /0/206 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 20/0/206
Διαβάστε περισσότεραΚλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια
1 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Κλάσµατα Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια Όπως φαίνεται όµως ο Σάκης έφαγε 1 κοµµάτι από τα 8 Το κοµµάτι
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND)
ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) Ένωση Ξένων Συνόλων (Disjoint Sets with Union) S 1,, S k : ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U δηλ., S i S j =, αν i j, και S 1 S k = U. Λειτουργίες που θέλουµε
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ
ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Συµπλήρωµα στα παραδείγµατα που υπάρχουν στο Εγχειρίδιο του Μαθήµατος ρ. Α. Μαγουλάς
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΚΑΤΑΛΟΓΟΥ ΕΤΕΡΟΑΝΑΦΟΡΩΝ
ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΚΑΤΑΛΟΓΟΥ ΕΤΕΡΟΑΝΑΦΟΡΩΝ 1. Αρχικά, θα πρέπει να έχουμε συλλέξει τα scopus ID των ερευνητών του εργαστηρίου. Και μάλιστα όλα τα scopus ID των ερευνητών, καθώς κάποιος ερευνητής μπορεί να έχει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω
Διαβάστε περισσότεραa n + 6a n a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8
Διακριτά Μαθηματικά Σχέσεις Αναδρομής Ι 1 / 17 a n + 6a n 1 + 12a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 2 / 17 a n + 6a n 1 + 12a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 1ος τρόπος: Εχουμε τη
Διαβάστε περισσότερα