ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τρισδιάστατη ανακατασκευή προσώπου από ένα ζεύγος στερεοσκοπικών φωτογραφιών D face reconstructon from a par of stereoscopc mages ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Βασιλειάδη Μανώλη mavasleads@gmal.com AEM: 5694 Επιβλέπων: Αναστάσιος Ντελόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 011

2 Πρόλογος Η διπλωματική αυτή εργασία είναι το αποτέλεσμα μιας προσπάθειας που διήρκησε από τον Μάρτιο του 010 έως τον Ιούνιο του 011, και δεν θα ήταν δυνατόν να ολοκληρωθεί χωρίς τη βοήθεια ορισμένων ανθρώπων. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Ντελόπουλο για την συμπαράσταση και πολύτιμη βοήθεια που προσέφερε με την εμπειρία και τις γνώσεις του, και φυσικά τους γονείς μου για την αμέριστη συμπαράσταση και υπομονή που επέδειξαν καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. 1

3 Περίληψη Η παρούσα εργασία παρουσιάζει ένα ημιαυτόματο αλγόριθμο για την τρισδιάστατη ανακατασκευή προσώπων, από ένα ζεύγος στερεοσκοπικών φωτογραφιών. Ξεκινώντας από ένα σετ τρισδιάστατων προσώπων-δειγμάτων, κατασκευάζεται ένα morphable face model, στο οποίο η γεωμετρία και το χρώμα των προσώπων αναπαρίστανται ως διανύσματα και τα πρόσωπα αντιστοιχίζονται σημείο προς σημείο. Η διαδικασία της τρισδιάστατης ανακατασκευής ξεκινά με τη χειροκίνητη επιλογή 15 χαρακτηριστικών σημείων του προσώπου στην φωτογραφία της δεξιάς κάμερας, συνεχίζεται με την αυτόματη εύρεση των αντίστοιχων σημείων στη φωτογραφία της αριστερής κάμερας και ολοκληρώνεται με την προσαρμογή του morphable face model στις δύο φωτογραφίες, με παράλληλη εκμετάλλευση των δεδομένων βάθους που προκύπτουν από την στερεοσκοπική ανάλυση. Παρουσιάζονται, επίσης, ορισμένα πειραματικά αποτελέσματα από την εφαρμογή του αλγορίθμου.

4 Abstract The followng thess presents a sem-automatc algorthm for 3D face reconstructon from a par of stereoscopc mages. Usng a set of 3D face models, a morphable face model s created, n whch the geometry and texture of the faces are represented n vector form and the faces are matched pont by pont. The 3D face reconstructon begns by manually selectng 15 facal feature ponts on the mage of the rght camera, contnues by automatcally fndng the correspondng ponts on the mage of the left camera and s accomplshed by fttng the morphable face model to both mages, whle usng the depth data comng from the stereoscopc analyss. Fnally, some results of the mplementaton of the algorthm are presented. 3

5 Περιεχόμενα Πρόλογος... 1 Περίληψη... Abstract... 3 Κατάλογος σχημάτων... 6 Κατάλογος πινάκων Εισαγωγή Ανάλυση προβλήματος Υπάρχουσες μέθοδοι 3D ανακατασκευής προσώπου Διάρθρωση εργασίας Μαθηματικό υπόβαθρο D Morphable face model Αναπαράσταση προσώπων ως διανύσματα Prncpal Component Analyss Sngular Value Decomposton Αντιστοίχηση προσώπων σημείο προς σημείο Procrustes Analyss Thn Plate Splne Iteratve Closest Pont Προσαρμογή του μοντέλου στην εικόνα Προοπτική προβολή Βαθμονόμηση κάμερας

6 .3.3 Στερεοσκοπική όραση Συνάρτηση κόστους και βελτιστοποίηση Μεθοδολογία αλγορίθμου Δημιουργία 3D morphable face model Εισαγωγή και επεξεργασία προσώπων-δειγμάτων Αντιστοίχηση προσώπων σημείο προς σημείο Επιλογή Prncpal Components Προσαρμογή του μοντέλου στην εικόνα Επεξεργασία του ζεύγους στερεοσκοπικών φωτογραφιών Προσαρμογή morphable face model Απευθείας προσαρμογή των φωτογραφιών στο μοντέλο Πειραματική εφαρμογή αλγορίθμου Ανάλυση 3D face dataset Περιγραφή στερεοσκοπικής κάμερας Πειραματικά αποτελέσματα Συμπεράσματα Βιβλιογραφία

7 Κατάλογος Σχημάτων 1.1 Cyberware Head & Face Color 3D Scanner Σχηματική αναπαράσταση του συστήματος Η 3D ανακατασκευή προκύπτει ως γραμμικός συνδυασμός του σχήματος και του χρώματος των προσώπων που διαθέτουμε Μοντέλο κάμερας μικρής οπής Απόκλιση του συστήματος συντεταγμένων μιας πραγματικής κάμερας, από αυτό της κανονικοποιημένης κάμερας a) Γραμμικό μοντέλο b) Pncushon с) Barrel Υπολογισμός του βάθους ενός σημείου Χ, μέσω τριγωνισμού a) Αρχική θέση προσώπων b) Θέση προσώπων μετά από Procrustes Analyss c) Θέση προσώπων μετά από TPS Πρόσωπα-δείγματα πριν και μετά την διαδικασία αντιστοίχησης Το μέσο πρόσωπο και τα δύο πρώτα prncpal components a) Χειροκίνητα επιλεγμένα χαρακτηριστικά σημεία στη φωτογραφία της δεξιάς κάμερας b) Αυτόματα επιλεγμένα χαρακτηριστικά σημεία στη φωτογραφία της αριστερής κάμερας Μεταβολή του σφάλματος Ε F Μεταβολή του μοντέλου κατά τη διαδικασία προσαρμογής ως προς το σχήμα Μεταβολή του μοντέλου κατά τη διαδικασία προσαρμογής ως προς το χρώμα

8 3.8 Ανακατασκευασμένο πρόσωπο με τη διαδικασία warpng (a) πριν και (b) μετά την αφαίρεση των λάθος χρωματισμένων πολυγώνων a) Φωτογραφία δύο όψεων b) wreframe μοντέλο с) 83 σημεία ελέγχου Bumblebee CCD Camera Ανακατασκευή προσώπων της βάσης BU. Αριστερά φαίνονται οι εικόνες εισόδου και δεξιά τα ανακατασκευασμένα μοντέλα Ανακατασκευή πραγματικών προσώπων. Αριστερά φαίνονται οι εικόνες εισόδου, πάνω τα ανακατασκευασμένα μοντέλα, κάτω τα warped πρόσωπα και δεξιά τα μοντέλα προσαρμοσμένα στις εικόνες εισόδου Ανακατασκευή πραγματικών προσώπων, συνέχεια Σύγκριση μεταξύ του πραγματικού προσώπου (μαύρο), της ανακατασκευής χωρίς τη χρήση της στερεοσκοπικής ανάλυσης (κόκκινο) και της ανακατασκευής με τη χρήση της στερεοσκοπικής ανάλυσης (μπλε)

9 Κατάλογος Πινάκων 3.1 Τιμές της εξίσωσης (3.8) για Ν Prncpal Components Τα 15 χαρακτηριστικά σημεία του προσώπου που χρησιμοποιούνται κατά την ανακατασκευή Τεχνικά χαρακτηριστικά της Bumblebee CCD Camera

10 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Ανάλυση προβλήματος Η ρεαλιστική 3-διάστατη απεικόνιση του φυσικού περιβάλλοντος, αποτελούσε ανέκαθεν ένα από τους βασικότερους και πιο φιλόδοξους στόχους της γραφικής επιστήμης. Ιδιαίτερα την τελευταία δεκαετία, με την εξέλιξη της τεχνολογίας και τη ραγδαία αύξηση της υπολογιστικής ισχύος των ηλεκτρονικών υπολογιστών, τα 3-διάστατα συνθετικά μοντέλα χρησιμοποιούνται όλο και συχνότερα σε επαγγελματικές και οικιακές εφαρμογές. Εξαιρετικό ενδιαφέρον παρουσιάζει το πρόβλημα της 3-διάστατης απεικόνισης του ανθρώπινου σώματος, και συγκεκριμένα του προσώπου, καθώς αυτό αποτελεί την «ταυτότητα» κάθε ανθρώπου. Η χρήση ενός ρεαλιστικού 3- διάστατου προσώπου δίνει την αίσθηση μιας αληθοφανούς και «ανθρώπινης» επικοινωνίας μεταξύ ανθρώπου-υπολογιστή, και για αυτό τα τελευταία χρόνια έχουν γίνει πάρα πολλές έρευνες πάνω στον τομέα της 3-διάστατης ανακατασκευής του ανθρώπινου προσώπου. Τα 3-διάστατα μοντέλα χρησιμοποιούνται σε μια πληθώρα εφαρμογών. Στα ηλεκτρονικά παιχνίδια χρησιμοποιούνται 3-διάστατα συνθετικά πρόσωπα, στα οποία οι εκφράσεις πρέπει να είναι αληθοφανείς, ενώ συχνά τα πρόσωπα αυτά ανήκουν σε πραγματικούς ανθρώπους. Στον κινηματογράφο, σε ιδιαίτερα επικίνδυνες σκηνές, συχνά χρησιμοποιούνται ψηφιακά εφφέ, οπότε είναι απαραίτητο τα 3-διάστατα πρόσωπα των εικονικών ηθοποιών να αποτελούν ρεαλιστικές απεικονίσεις των προσώπων των πραγματικών ηθοποιών. Παράλληλα, τα τελευταία χρόνια 9

11 παρατηρείται αύξηση στις εξ ολοκλήρου εικονικές ταινίες, όπου είναι απαραίτητη η χρήση ρεαλιστικών προσώπων. 3-διάστα συνθετικά πρόσωπα μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για την αναγνώριση προσώπων[1]. Συγκεκριμένα, ένα 3-διάστατο μοντέλο μπορεί δημιουργηθεί από μία τυχαία φωτογραφία ενός προσώπου και στη συνέχεια να περιστραφεί και να συγκριθεί με μία μπροστινή φωτογραφία. 1. Υπάρχουσες μέθοδοι 3D ανακατασκευής προσώπου 3D σαρωτής λέιζερ (laser scanner) Η πιο ακριβής και λεπτομερής μέθοδος για τη 3- διάστατη ανακατασκευή ενός προσώπου, είναι η χρήση ενός 3D σαρωτή λέιζερ. Ο σαρωτής κινείται κυκλικά γύρω από το αντικείμενο και χρησιμοποιώντας ένα τηλέμετρο και μία έγχρωμη κάμερα παράγει δύο σετ δεδομένων: τις κυλινδρικές συντεταγμένες κάθε σημείου και την αντίστοιχη πληροφορία χρώματος. Ωστόσο, λόγω του μεγάλου όγκου και κόστους του εξοπλισμού, η χρήση των 3D λέιζερ σαρωτών περιορίζεται μόνο σε ερευνητικές και επαγγελματικές εφαρμογές. Σχήμα 1.1: Cyberware Head & Face Color 3D Scanner Φωτογραφίες μίας ή πολλαπλών όψεων Σε αυτή τη μέθοδο, λαμβάνονται πολλαπλές φωτογραφίες από διάφορες όψεις του προσώπου, παράγοντας, έτσι, την πλήρη υφή του. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας ένα σύνολο χαρακτηριστικών σημείων του προσώπου πάνω σε κάθε φωτογραφία, παραμορφώνεται ένα morphable face model[3] και προσαρμόζεται σε αυτό η υφή, δημιουργώντας έτσι ένα 3-διάστατο συνθετικό πρόσωπο. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η ανακατασκευή από μία μόνο μπροστινή φωτογραφία[4], καθώς και η ανακατασκευή από ένα ζευγάρι ορθογώνιων φωτογραφιών (μπροστινή και προφίλ). Βασικό προτέρημα της συγκεκριμένης μεθόδου είναι πως μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε κάμερα, χωρίς να είναι απαραίτητη η διαδικασία βαθμονόμησής της. 10

12 Στερεοσκοπικές φωτογραφίες Χρησιμοποιώντας ένα ζεύγος στερεοσκοπικών φωτογραφιών, γίνεται σύνθεση του 3-διάστατου προσώπου. Υπολογίζοντας τον χάρτη ανομοιότητας των δύο φωτογραφιών, υπολογίζεται, με τριγωνισμό, το βάθος κάθε σημείου. Στη συνέχεια το 3-διάστατο μοντέλο ανακατασκευάζεται σημείο προς σημείο χρησιμοποιώντας τα δεδομένα σχήματος (στο xy επίπεδο) και χρώματος των φωτογραφιών και τα δεδομένα βάθους. Για την εφαρμογή αυτής της μεθόδου απαιτείται η αντιστοίχηση όλων των σημείων στις δύο φωτογραφίες καθώς και η βαθμονόμηση της κάμερας. Συχνά, όμως, οι φωτογραφίες δεν παρέχουν αρκετή πληροφορία για τη γεωμετρία του προσώπου, με αποτέλεσμα η ανακατασκευή να μην είναι ακριβής και ολοκληρωμένη. 1.3 Διάρθρωση της εργασίας Στην παρούσα εργασία παρουσιάζουμε ένα σύστημα που συνδυάζει τις μεθόδους 3-διάστατης ανακατασκευής με χρήση στερεοσκοπικών φωτογραφιών και φωτογραφιών πολλαπλών όψεων. Λαμβάνοντας ως είσοδο ένας ζεύγος στερεοσκοπικών φωτογραφιών, υπολογίζονται τα δεδομένα βάθους τους και στη συνέχεια με χρήση ενός morphable model παράγεται ένα 3-διάστατο συνθετικό μοντέλο του προσώπου. Το σύστημα λειτουργεί ως εξής: Εισάγεται το ζεύγος των στερεοσκοπικών φωτογραφιών του προσώπου. Επιλέγονται χειροκίνητα 15 χαρακτηριστικά σημεία του προσώπου στην φωτογραφία της δεξιάς κάμερας και βρίσκονται αυτόματα τα αντίστοιχα σημεία στη φωτογραφία της αριστερής κάμερας. Στη συνέχεια υπολογίζονται μέσω τριγωνισμού τα βάθη των σημείων αυτών. Με την εφαρμογή ενός επαναληπτικού αλγορίθμου[1], ελαχιστοποιείται η συνάρτηση κόστους και υπολογίζονται οι βέλτιστες παράμετροι για την παραμόρφωση του morphable face model. Αρχικά παράγεται το γεωμετρικό σχήμα του προσώπου και στη συνέχεια η υφή. Για την παραγωγή της υφής προσφέρονται δύο επιλογές: α. Ανακατασκευή της υφής χρησιμοποιώντας το morphable face model β. Ανακατασκευή της υφής προσαρμόζοντας την υφή από τις φωτογραφίες πάνω στο μοντέλο. 11

13 Η εργασία δομείται ως εξής: Στο κεφάλαιο γίνεται θεωρητική ανάλυση όλων των διαδικασιών που χρησιμοποιούνται στην εργασία. Στο κεφάλαιο 3 περιγράφεται η μεθοδολογία του αλγορίθμου. Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται τα δεδομένα και τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την πειραματική εφαρμογή του αλγορίθμου. Στο κεφάλαιο 5 γίνεται μια αποτίμηση της εργασίας και προτείνονται θέματα σχετικά με τη μελλοντική βελτίωση του συστήματος. Σχήμα 1.: Σχηματική αναπαράσταση του συστήματος 1

14 Κεφάλαιο Μαθηματικό υπόβαθρο.1 3D Morphable face model Το 3-διάστατο morphable face model αποτελεί την βάση της διαδικασίας ανακατασκευής. Δημιουργείται από ένα σετ τρισδιάστατων προσώπωνδειγμάτων, τα οποία εκφράζονται σε μορφή διανυσμάτων, και περιορίζει το σύνολο των πιθανών ανακατασκευασμένων προσώπων, ώστε αυτά να ανταποκρίνονται στα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του πραγματικού ανθρώπινου προσώπου. Παράλληλα, για τη συμπίεση του όγκου των δεδομένων χρησιμοποιείται PCA[5]..1.1 Αναπαράσταση προσώπων ως διανύσματα Η γεωμετρία ενός 3-διάστατου προσώπου μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα διάνυσμα σχήματος (shape vector) S, το οποίο περιέχει τις συντεταγμένες u x, y, z όλων των n σημείων του προσώπου T 3,,,...,,, S x y z x y z n n n n (.1) Ανάλογα, μπορεί να κατασκευαστεί το διάνυσμα χρώματος (texture vector), το οποίο περιλαμβάνει τις R, G, B τιμές που αντιστοιχούν σε κάθε σημείο u. T 3,,,...,,, T R G B R G B n n n n (.) 13

15 Χρησιμοποιώντας λοιπόν m πρόσωπα, όπου τα καθένα αναπαρίσταται από ένα διάνυσμα σχήματος S και ένα διάνυσμα χρώματος T, μπορούμε να δημιουργήσουμε νέα σχήματα S mod και νέα χρώματα T mod ως γραμμικό συνδυασμό των m σχημάτων και χρωμάτων. m m m m S as, T bt, a b 1 mod (.3) mod Ορίζουμε, επομένως, ως morphable face model το σετ προσώπων Smod a, Tmod b T, παραμετροποιημένο από τι συνιστώσες a a1, a,..., a m και T b b, b,..., b m. Αυθαίρετα καινούρια πρόσωπα μπορούν να κατασκευαστούν 1 μεταβάλλοντας τις συνιστώσες a και b, που ελέγχουν το σχήμα και το χρώμα αντίστοιχα..1. Prncpal Component Analyss 3m Για να μειώσουμε τη διάσταση των δεδομένων εφαρμόζουμε Prncpal Component Analyss (PCA). Η διαδικασία αυτή μετασχηματίζει, με ένα γραμμικό μετασχηματισμό, τα διανύσματα εισόδου σε μία νέα βάση μικρότερης διάστασης. Τα νέα ορθοκανονικά διανύσματα βάσης ονομάζονται «prncpal components» και ταξινομούνται ανάλογα με την τυπική τους απόκλιση. Αν έχουμε, δηλαδή, τα δεδομένα εισόδου x a1, a,..., an μετασχηματίζουμε στα y b b b όπου K N.,,..., K 1, τα t11 t1n ytx, T tk1 t KN (.4) Προσεγγίζουμε τα διανύσματα βρίσκοντας μία βάση σε ένα κατάλληλο χώρο χαμηλότερης διάστασης. Αν v1, v,..., v N είναι μια βάση στον υψηλής διάστασης χώρο, τότε x av 1 1av... anvn (.5) 14

16 Αντίστοιχα, αν u1, u,..., u K είναι μια βάση στον χαμηλότερης διάστασης χώρο, τότε το χ αναπαρίσταται σε αυτόν ως: xˆ bu 1 1 bu... bkuk (.6) Η διαδικασία αυτή όμως, έχει ως αποτέλεσμα την απώλεια πληροφορίας. Για να διατηρηθεί όσο το δυνατόν περισσότερη πληροφορία πρέπει να ελαχιστοποιηθεί το σφάλμα x xˆ. Ο καλύτερος χώρος χαμηλής διάστασης μπορεί να προσδιοριστεί από τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις μεγαλύτερες ιδιοτιμές του πίνακα συμμεταβλητότητας του χ και ονομάζονται prncpal components. Αλγόριθμος PCA: Θεωρούμε ότι x1, x,..., x M είναι τα διανύσματα εισόδου διάστασης N 1. 1 M 1. x x 1 M x x. 3. Από τον πίνακα A υπολογίζουμε τον N N συμμεταβλητότητας: 1... πίνακα C M 1 T 1 T nn AA (.7) M n1 M 4. Υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές του C : 1... και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u1, u,..., u N, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάση, αφού ο πίνακας С συμμετρικός. Επομένως, κάθε διάνυσμα χ μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των ιδιοδιανυσμάτων: x x bu b u... b u bu (.8) 1 1 N N N 1 5. Μειώνουμε τη διάσταση του χώρου κρατώντας μόνο του όρους που αντιστοιχούν στις Κ μεγαλύτερες ιδιοτιμές, για τις οποίες ισχύει 15

17 K 1 N 1 Threshold.1.3 Sngular Value Decomposton Στη γραμμική άλγεβρα η Sngular Value Decomposton (SVD) είναι μια τεχνική αποσύνθεσης πινάκων. οριστεί ως: Έστω ένας πίνακας Α διάστασης m n. Ο πίνακας αυτός μπορεί να T A U V (.9) όπου: U είναι ένας ορθογώνιος πίνακας διάστασης m m οποίου αποτελούν τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα AA T. V είναι ένας ορθογώνιος πίνακας διάστασης n n οποίου αποτελούν τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα είναι ένας διαγώνιος πίνακας διάστασης m n T A A., οι στήλες του, οι στήλες του, οι μη μηδενικές τιμές του οποίου είναι οι τετραγωνικές ρίζες των ιδιοτιμών των πινάκων και T A A. Οι τιμές αυτές ονομάζονται «sngular values». AA T. Αντιστοίχηση προσώπων σημείο προς σημείο Για τη σωστή κατασκευή και λειτουργία του morphable face model είναι απαραίτητη η αντιστοίχηση όλων των προσώπων σημείο προς σημείο. Σε διαφορετική περίπτωση είναι πιθανό να συνδυαστούν στοιχεία άσχετα μεταξύ τους (πχ. μύτη με μάτι), με αποτέλεσμα ένα μη αληθοφανές πρόσωπο με διπλά χαρακτηριστικά. Οι Seol, Chung και Cho πρότειναν ένα αλγόριθμο[1] για τη 3-διάστατη αντιστοίχηση προσώπων. Ο αλγόριθμος αυτός επιλέγει ένα πρόσωπο αναφοράς, ευθυγραμμίζει τα υπόλοιπα πρόσωπα ως προς αυτό, χρησιμοποιώντας 16

18 Procrustes Analyss και TPS και ορίζει τα αντίστοιχα σημεία χρησιμοποιώντας ICP...1 Procrustes Analyss H Procrustes Analyss αποτελεί ένα Ευκλείδειο μετασχηματισμό (rgd transformaton), που χρησιμοποιεί μετατόπιση (translaton), περιστροφή (rotaton) και κλιμάκωση (scalng) για το ταίριασμα δύο ή περισσοτέρων σχημάτων (shapes), χωρίς να μεταβάλει τις εσωτερικές σχέσεις (nternal relatonshps) μεταξύ των σημείων του κάθε σχήματος. Για τη διαδικασία αυτή, χρησιμοποιείται ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων ελέγχου (landmarks), τα οποία βρίσκονται στο περίγραμμα και την επιφάνεια κάθε σχήματος και αρκούν για να το περιγράψουν επακριβώς. Έστω Χ,Υ το σύνολο n σημείων ελέγχου δύο σχημάτων στο p-διάστατο χώρο και G Χ,G Υ οι μέσοι όροι τους. X x11 x 1p xn 1 x np y11 y 1p Y yn 1 y np Στόχος είναι η μείωση του αθροίσματος των τετραγώνων των αποστάσεων μεταξύ των αντίστοιχων σημείων: n p j j M x y 1 j1 (.10) 1. Ταίριασμα μετά από μετατόπιση Θέτουμε: x j 1 n 1 n xj yj n 1 n 1 y j έτσι ώστε οι μέσοι όροι G X και G Y να έχουν συντεταγμένες x1, x,..., xp και y1, y,..., y αντίστοιχα. Αν στην εξίσωση (.10) προσθέσουμε και αφαιρέp 17

19 σουμε τα x, y έχουμε: j j n p j j j j j j M x x y y x y 1 1 (.11) Αν πάρουμε μαζί τους δύο πρώτους όρους στην αγκύλη και n n αναπτύξουμε το τετράγωνο προσέχοντας ότι x x j j y y j j έχουμε: n p p j j j j j j M x x y y n x y 1 1 j1 (.1) Όμως τα xj xj, yj y j είναι στοιχεία των Χ,Υ μετά από mean centerng. Δηλαδή είναι οι συντεταγμένες των Χ,Υ, αν θεωρήσουμε ότι οι μέσοι όροι τους είναι η αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Έτσι: 0 p j j M M n x y j1 (.13) όπου M 0 είναι το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών μεταξύ του Χ και του Υ μετά από μετατόπιση και των δύο, έτσι ώστε οι μέσοι όροι τους να p είναι η αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Ωστόσο, x j 1 j y j είναι απλά η ευκλείδεια απόσταση μεταξύ G X και G Y. Έτσι: M M n G G 0 X Y (.14) Επομένως το καλύτερο ταίριασμα του Υ με το Χ, μετά από μετατόπιση, γίνεται όταν έχουν την ίδια μέση τιμή, οπότε έχουμε GG X Y 0 και M M 0 Ο πιο απλός τρόπος για να εξασφαλιστεί αυτό είναι να κάνουμε mean centerng των Χ,Υ.. Ταίριασμα μετά από περιστροφή Θεωρώντας ότι τα Χ,Υ έχουν ως μέσο όρο την αρχή του συστήματος συντεταγμένων, οποιαδήποτε περιστροφή του Υ ως προς το Χ μπορεί να 18

20 εκφραστεί ως ένας ορθογώνιος πίνακας Q και μετά από αυτή την περιστροφή οι συντεταγμένες του Υ γίνονται YQ. Η εξίσωση (.10) μπορεί να γραφτεί ως: M trace X Y X Y T (.15) Αν αναπτύξουμε το γινόμενο μέσα στις αγκύλες έχουμε: T T T M trace XX YY XY (.16) Αν περιστρέψουμε το Υ έχουμε: T T T T T M trace XX YQQ Y XQ Y (.17) Λαμβάνοντας υπ όψιν ότι ο Q είναι ορθογώνιος, οπότε έχουμε: T T T T M trace XX YY XQ Y T QQ I, (.18) M, πρέπει να επιλέξουμε το Q έτσι ώστε Άρα για να ελαχιστοποιηθεί το T T να μεγιστοποιηθεί το XQ Y. Τελικά το Q που υπολογίζεται είναι Q T όπου SVDXY U V. VU T 3. Ταίριασμα μετά από κλιμάκωση Αν η κλίμακα στην οποία είναι εκφρασμένα τα δύο σχήματα διαφέρει, τότε πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τις συντεταγμένες του Υ με ένα παράγοντα c. Αφού ο Υ έχει ήδη περιστραφεί, το αποτέλεσμα θα είναι cyq. Έτσι, από την (.18) έχουμε: T T T T T T T T M trace XX c YY cxq Y c trace YY ctrace XQ Y trace XX 19

21 Επομένως, το M ελαχιστοποιείται όταν: T T T c trace XQ Y traceyy (.19) Επίσης, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του προηγούμενου βήματος και τις ιδιότητες του SVD έχουμε: T T T T traceq Y X T T T trace XQ Y trace UV V U trace UV V U T trace V V U U trace T T Επομένως, το βέλτιστο c είναι: T c trace trace YY (.0) Τα τρία στάδια της διαδικασίας μπορούν να πραγματοποιηθούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, ενώ η τελική τιμή του δυνατή. M είναι η μικρότερη.. Thn Plate Splne Κατά τη διαδικασία ταιριάσματος σημείων (pont matchng), όταν η αντιστοιχία μεταξύ των σημείων είναι γνωστή, πρέπει να βρούμε το βέλτιστο χωρικό μετασχηματισμό που θα ταιριάξει τα σημεία αυτά (y a και u a ). Η δημιουργία μιας ομαλής χωρικής αντιστοιχίας μεταξύ δύο σετ σημείων είναι ένα γενικότερο πρόβλημα στη θεωρία των splnes. K f arg mn f ya f ua Lf a1 (.1) 0

22 Εφόσον δεν είναι απαραίτητο ο μετασχηματισμός να είναι Ευκλείδειος, υπάρχουν άπειροι τρόποι για να αντιστοιχηθούν τα σημεία του ενός σετ στο άλλο. Ο περιορισμός της ομαλότητας είναι απαραίτητος ώστε να αποφευχθούν αντιστοιχήσεις πολύ τυχαίες. Μπορούμε, δηλαδή, να ελέγξουμε την συμπεριφορά του μετασχηματισμού επιλέγοντας μία συγκεκριμένη παράμετρο ομαλότητας (smoothness measure), με βάση την γνώση που έχουμε για τον μετασχηματισμό Χρησιμοποιώντας ένα σετ σημείων ελέγχου wb, b 1,,..., n,μια radal bass συνάρτηση ορίζει ένα χωρικό μετασχηματισμό, ο οποίος αντιστοιχεί οποιαδήποτε θέση u σε μια νέα θέση f u : n f u c u w (.) b b b1 όπου είναι το Ευκλείδειο μέτρο στον 3-διάστατο χώρο και c a είναι οι συνιστώσες μετασχηματισμού. Η συνάρτηση πυρήνα (kernel functon) φ μπορεί να έχει διάφορες μορφές. Αν επιλέξουμε r r log r τότε οδηγούμαστε σε ένα τύπο radal bass συνάρτησης που ονομάζεται Thn Plate Splne (TPS). Μία από τις απλούστερες παραμέτρους ομαλότητας είναι το επιφανειακό ολοκλήρωμα των τετραγώνων των παραγώγων δεύτερης τάξης της συνάρτησης μετασχηματισμού. Η TPS υπολογίζει μια συνάρτηση μετασχηματισμού f u a μεταξύ των αντίστοιχων σετ σημείων, ακόλουθη συνάρτηση ενέργειας: y u, ελαχιστοποιώντας την a a f arg mn E f TPS f TPS K f f f arg mn f ETPS ya f ua dxdy a1 x xy y (.3) Για απλότητα θεωρούμε πως τα σημεία βρίσκονται στο -διάστατο χώρο (D = ). Επίσης, χρησιμοποιούμε ομογενείς συντεταγμένες, οπότε ένα σημείο y a αναπαρίσταται ως διάνυσμα 1, yax, y ay. Με μια καθορισμένη παράμετρο βάρους, υπάρχει μία μοναδική συνάρτηση f που ελαχιστοποιεί την 1

23 παραπάνω ποσότητα. Η συνάρτηση αυτή μπορεί να παραμετροποιηθεί από δύο πίνακες d και c ( a d, c ).,,, TPS TPS b b b1 K f xa f xdc xd xu c (.4) όπου d είναι ένας D 1 D 1 (affne) μετασχηματισμό και c είναι ένας K D 1 πίνακας που αναπαριστά τον συσχετισμένο πίνακας που αναπαριστά τον μη-συσχετισμένο (non-affne) μετασχηματισμό. Η συνάρτηση πυρήνα x u b είναι ένα 1 K x xu log x u. Στην TPS τα σημεία ελέγχου διάνυσμα για κάθε σημείο χ, όπου b b b w b είναι ίδια με τα σημεία u a που πρόκειται να μετασχηματιστούν, για αυτό χρησιμοποιήθηκαν τα σημεία u στη θέση των σημείων ελέγχου. γίνεται: b Αντικαθιστώντας την εξίσωση (.4) στην (.3), η συνάρτηση ενέργειας TPS T, E d c Y Vd с trace c с (.5) όπου οι Y και V είναι πίνακες με τα σημεία y a και u a αντίστοιχα, και ο Φ είναι ένας K K πίνακας που κάθε γραμμή του αποτελείται από ένα από τα αρχικά διανύσματα x u b και αποτελεί τον πυρήνα της TPS. Μία ενδιαφέρουσα ιδιότητα της TPS είναι ότι μπορεί πάντα να αποσυντεθεί σε ένα γενικό συσχετισμένο όρο και ένα τοπικό μη-συσχετισμένο όρο. Ο διαχωρισμός αυτός γίνεται μέσω της QR αποσύνθεσης (decomposton)[9]. R V Q1 Q 0 (.6) όπου Q 1 και K D 1 πίνακες και ο πίνακας R είναι άνω τριγωνικός. Q είναι αντίστοιχα και N K D 1 Μετά την QR αποσύνθεση η εξίσωση (.5) γίνεται: ορθοκανονικοί T T T T T 1 1 E, d QYQQ QYRdQQ Q Q (.7) TPS

24 όπου c Q K D1 D 1 πίνακας. Θέτοντας c Q T (που συνεπάγεται ότι V c 0 ), μας δίνεται η δυνατότητα να διαχωρίσουμε και είναι ένας εύκολα τον πρώτο όρο της (.5) σε μη-συσχετισμένο όρο και συσχετισμένο όρο (ο πρώτος και ο δεύτερος όρος της (.7) αντίστοιχα). Η συνάρτηση ενέργειας (.7) μπορεί να ελαχιστοποιηθεί αρχικά ως προς και στη συνέχεια ως προς d. H τελική λύση ως προς c και d είναι: T 1 KD1 cˆ Q Q Q I Q Y (.8) T 1 T d R Q1 Y c ˆ ˆ (.9) Η ελάχιστη τιμή της ονομάζεται «bendng energy». E TPS, που υπολογίζεται για τα βέλτιστα cd ˆ, ˆ 1 1 E trace Q Q Q I Q YY T T T bendng K D (.30)..3 Iteratve Closest Pont Ο ICP είναι ένας επαναληπτικός αλγόριθμος που έχει ως στόχο το ταίριασμα d δύο σετ σημείων[10]. Αν θεωρήσουμε δύο σετ σημείων AB,, όπου A n και B m, ενδιαφερόμαστε για μία συνάρτηση αντιστοίχησης : A B, η οποία ελαχιστοποιεί τη ρίζα της μέσης τετραγωνικής απόστασης (RMSD) μεταξύ A και B. Θέλουμε, δηλαδή, να ελαχιστοποιήσουμε την ακόλουθη ποσότητα : RMSD A B 1 (.31) n,, a aa Συμπεριλαμβάνοντας την περιστροφή και την μετατόπιση στην αντιστοίχηση, θέλουμε να βρούμε: :, d, mn Rat a A B t R SO d a A 3

25 όπου R είναι ο πίνακας περιστροφής, t είναι το διάνυσμα μετατόπισης και SO d είναι ένα ειδικό σετ ορθογώνιων πινάκων. Ο αλγόριθμος ICP προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει το RMSD, ταιριάζοντας και μετασχηματίζοντας τα σημεία εναλλάξ. Κατά το ταίριασμα, δεδομένης μιας συγκεκριμένης περιστροφής και μετατόπισης, το βέλτιστο ταίριασμα υπολογίζεται ελαχιστοποιώντας το RMSD. Κατά το μετασχηματισμό, δεδομένου ενός συγκεκριμένου ταιριάσματος, υπολογίζονται η βέλτιστη περιστροφή και μετατόπιση. Η διαδικασία ολοκληρώνεται όταν το ταίριασμα παραμένει αμετάβλητο σε συνεχόμενες επαναλήψεις. Αλγόριθμος ICP: 1. Αρχικοποίηση R I, t 0. Ταίριασμα: Δεδομένων των R και t, υπολογίζεται το βέλτιστο βρίσκοντας το mn RMSD A, B,. 3. Μετασχηματισμός: Δεδομένου του, υπολογίζονται τα βέλτιστα R και t βρίσκοντας το mn t, B, RtRMSD, RA. 4. Επιστροφή στο βήμα, εκτός αν το παραμείνει αμετάβλητο. Ταίριασμα: a A βρίσκουμε το κοντινότερο b Bμε τον ακόλουθο τρόπο: Κατασκευή διαγράμματος Vorono στο B a A εκτέλεση pont-locaton στο V or B Μετασχηματισμός: b, όπου a και t που ελαχιστοποιούν την ποσότητα: Αν θεωρήσουμε a A και b B,θέλουμε να βρούμε τα R n Ra tb (.3) 1 Οι μέσοι όροι των A και B είναι αντίστοιχα: 1 1 a a, b b A B 4

26 Ορίζουμε: a a a b b b a a a, b b b (.33) Συνεπώς, n n Ra tb R a a t b b 1 1 n Rab Ra bt 1 (.34) Για t Ra b έχουμε, n n Ra tb Ra b (.35) 1 1 γίνεται Χρησιμοποιώντας το tr για το ίχνος του πίνακα, η εξίσωση (.35) n n n n T T Ra b RR a trrab b n n n T a trrab b (.36) T n T όπου RR I. Αν θέσουμε N ab 1, για να ελαχιστοποιήσουμε την εξίσωση (.36) αρκεί να μεγιστοποιήσουμε την ακόλουθη ποσότητα: tr RN έχουμε Χρησιμοποιώντας την sngular value decomposton του πίνακα Ν 5

27 T N U V όπου U και V είναι ορθογώνιοι πίνακες και dag 1, 1,..., έτσι ώστε d 1... d 0. Μπορεί να αποδειχθεί[11] ότι η εξίσωση (.36) ελαχιστοποιείται αν ο πίνακας R οριστεί ως: R VU T.3 Προσαρμογή του μοντέλου στην εικόνα Για την ανακατασκευή του 3-διάστατου προσώπου πρέπει να υπολογίσουμε τις βέλτιστες τιμές για τις συνιστώσες σχήματος a και χρώματος b του μοντέλου, ώστε αυτό να αναπαριστά επαρκώς το πρόσωπο της φωτογραφίας και να ανταποκρίνεται στα δεδομένα βάθους που προκύπτουν από την στερεοσκοπική ανάλυση. Παράλληλα, είναι απαραίτητη η βαθμονόμηση της κάμερας, έτσι ώστε να είναι γνωστές οι εσωτερικές και εξωτερικές παράμετροί της. Σχήμα.1: Η 3D ανακατασκευή προκύπτει ως γραμμικός συνδυασμός του σχήματος και του χρώματος των προσώπων που διαθέτουμε 6

28 .3.1 Προοπτική προβολή Σχήμα.: Μοντέλο κάμερας μικρής οπής Προκειμένου να προσαρμοστεί το 3-διάστατο μοντέλο σε μία εικόνα, πρέπει να προβληθεί στο -διάστατο επίπεδο. Ο μετασχηματισμός αυτός συνήθως προσομοιώνεται από ένα μοντέλο κάμερας. Το απλούστερο μοντέλο κάμερας, είναι το μοντέλο μικρής οπής (pnhole model) (σχήμα.). Το σημείο Ο, το οποίο αντιστοιχεί στο σημείο που βρίσκεται η υποτιθέμενη «μικρή οπή», αποτελεί την αρχή στου συστήματος συντεταγμένων του 3-διάστατου χώρου, ενώ το σημείο R αποτελεί την αρχή του συστήματος συντεταγμένων της εικόνας και ονομάζεται «κύριο σημείο» (prncpal pont). Η απόσταση του Ο από το επίπεδο της εικόνας (mage plane) ονομάζεται εστιακή απόσταση (focal length) και συμβολίζεται με f. Οι συντεταγμένες X x, y, z K K K K T ενός σημείου στον 3-διάστατο χώρο, μετασχηματίζονται από το σύστημα συντεταγμένων του αντικειμένου (object centered) στο σύστημα συντεταγμένων της κάμερας[1]: T w, w, w R R R X t (.37) X, K Y, K Z, K K w όπου γ, φ και θ είναι οι γωνίες περιστροφής γύρω από τους άξονες Ζ, Υ και Χ αντίστοιχα και t w είναι η χωρική μετατόπιση. 7

29 Στη συνέχεια προβάλλονται προοπτικά στο επίπεδο της εικόνας και προκύπτουν οι -διάστατες συντεταγμένες τους w w p R f, p R f (.38) X, K Y, K X, K X Y, K Y wz, K wz, K όπου R, R είναι οι συντεταγμένες του κύριου σημείου R. X Y.3. Βαθμονόμηση κάμερας Για να μπορέσουμε να καθορίσουμε σε πραγματικές συνθήκες τη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων ενός σημείου στον 3-διάστατο χώρο και των συντεταγμένων της προβολής του στην εικόνα, πρέπει να γνωρίζουμε τις ενδογενείς παραμέτρους της κάμερας, Η διαδικασία εύρεσης των παραμέτρων αυτών ονομάζεται βαθμονόμηση της κάμερας (camera calbraton). Στόχος μας είναι να μετασχηματίσουμε τις συντεταγμένες κάθε σημείου της εικόνα, κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να πάρουμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες που θα μας έδινε μια ιδανική κανονικοποιημένη κάμερα. Το σύστημα συντεταγμένων της κανονικοποιημένης κάμερας έχει την αρχή τoυ στο κύριο σημείο της εικόνα, έχει ίσα μοναδιαία διάνυσμα στους δύο άξονες και εστιακή απόσταση ίση με ένα. Ο πίνακας βαθμονόμησης της κανονικοποιημένης κάμερας είναι: P (.39) Αντίστοιχα, για μια τυχαία κάμερα, ο πίνακας βαθμονόμησης Κ είναι: K f f tan( a) Ox px p y f 0 Oy py (.40)

30 όπου, px p y οι διαστάσεις των pxels, x y O, O,1 T οι συντεταγμένες του κύριου σημείου, α η γωνία απόκλισης των pxel από το ορθογώνιο επίπεδο (σχήμα.3) και f η εστιακή απόσταση. Σχήμα.3: Απόκλιση του συστήματος συντεταγμένων μιας πραγματικής κάμερας, από αυτό της κανονικοποιημένης κάμερας Αν θέσουμε fx f px, f y f py και s tan( a) f py, τότε ο μετασχηματισμός από το σύστημα συντεταγμένων της κάμερας στο πραγματικό 3-διάστατο σύστημα συντεταγμένων γίνεται: x px fx s Ox y p y 0 fy O y z K P0 (.41) Παράλληλα, λόγω κατασκευαστικών ατελειών, συχνά προκαλούνται μηγραμμικές παραμορφώσεις. Μία από τις πιο σημαντικές είναι η ακτινωτή παραμόρφωση (radal dstorton), η οποία μετατοπίζει ακτινικά τα σημεία σε σχέση με το γραμμικό μοντέλο (σχήμα.4). Σχήμα.4: a) Γραμμικό μοντέλο b) Pncushon с) Barrel 9

31 Αυτές οι μη γραμμικές ενδογενείς παράμετροι δεν μπορούν να συμπεριληφθούν στο γραμμικό μοντέλο της κάμερας, όπως αυτό περιγράφηκε πιο πάνω. Ωστόσο, είναι δυνατόν να υπολογιστούν οι μη-παραμορφωμένες συντεταγμένες x, y του γραμμικού μοντέλου, από τις παραμορφωμένες συντεταγμένες x y 0, 0 x 4... y 4... x x x c K r K r y y y c K r K r (.4) όπου K, K,... είναι οι παράμετροι της ακτινικής παραμόρφωσης και 1 0 x 0 r x c y c. y.3.3 Στερεοσκοπική όραση Έχοντας ένα στερεοσκοπικό ζεύγος εικόνων, μας δίνεται η δυνατότητα να υπολογίσουμε την απόσταση ενός σημείου από το επίπεδο της κάμερας. Ως στερεοσκοπικό, χαρακτηρίζεται ένα ζεύγος εικόνων το οποίο προέρχεται μόνο από μετατόπιση της κάμερας κατά μία πλευρική συνιστώσα, δηλαδή τα επίπεδα προβολής των δύο εικόνων πρέπει να είναι παράλληλα. Επίσης, για τον υπολογισμό του βάθους είναι απαραίτητη η γνώση του πίνακα βαθμονόμησης της κάμερας. Σχήμα.5: Υπολογισμός του βάθους ενός σημείου Χ, μέσω τριγωνισμού 30

32 Εφόσον βρεθούν τα αντίστοιχα σημεία στις δύο εικόνες, δημιουργείται ένας πίνακας διαφορών (dsparty map) και χρησιμοποιώντας τριγωνισμό (trangulaton) μπορούμε να υπολογίσουμε το βάθος κάθε σημείου της εικόνας. Θέτοντας dsparty x x, Z baselne f (.43) dsparty όπου, x, x οι αποστάσεις των προβολών του σημείου Χ από την αρχή των αξόνων των εικόνων Ι k και Ι l αντίστοιχα, και baselne η απόσταση μεταξύ των κέντρων των καμερών CC, (σχήμα.5)..3.4 Συνάρτηση κόστους και βελτιστοποίηση Ο αλγόριθμος προσαρμογής έχει ως στόχο τη βελτιστοποίηση των συνιστωσών σχήματος a a a a και χρώματος b b b b 1,,..., m 1,,...,, καθώς και άλλων 7 m συνιστωσών συγχωνευμένων σε ένα διάνυσμα r : των γωνιών περιστροφής φ, θ και γ, της χωρικής μεταφοράς t w και της εστιακής απόστασης f. Έχοντας μια εικόνα εισόδου,,,,,, I xy I xy I xy I xy (.44) nput r g b T βασικός στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των διαφορών σε όλα τα κανάλια χρώματος και σε όλα τα pxels, μεταξύ της εικόνας και της συνθετικής ανακατασκευής της.,, (.45) E I x y I x y I nput model xy, Αρχικά, χρησιμοποιούμε τα χαρακτηριστικά σημεία (feature ponts) της εικόνας qx, j, q y, j και τις θέσεις px, j, p y, j της προβολής των αντίστοιχων σημείων του μοντέλου, 31

33 E F qx, j px, j (.46) j qy, j py, j καθώς και τις αντίστοιχες τιμές βάθους που προκύπτουν από τη στερεοσκοπική ανάλυση F st z, j (.47) z, j j E q p Η ελαχιστοποίηση αυτών των συναρτήσεων ως προς a, b, r μπορεί να προκαλέσει overfttng[15], για αυτό χρησιμοποιούμε ένα εκτιμητή «μέγιστης εκ των υστέρων πιθανότητας» (maxmum a posteror estmator) (MAP): Έχοντας μια εικόνα εισόδου I nput, τα χαρακτηριστικά σημεία F και τις υπολογισμένες τιμές βάθους F st, στόχος είναι να βρούμε τις συνιστώσες με τη μέγιστη εκ των υστέρων πιθανότητα (maxmum posteror probablty) p abr,, I, F, F. Σύμφωνα με τον κανόνα του Bayes, nput st,, nput,, st nput,, st,,,, p abr I FF pi FF abr Pabr (.48) μέλος γίνεται: Αγνοώντας τις συσχετίσεις μεταξύ κάποιων εκ των μεταβλητών, το δεξί nput,,,,, st,, p I a b r p F a b r p F a b r P a P b P r (.49) Οι πιθανότητες P a και P b υπολογίζονται με PCA (κεφάλαιο 3.1.3). Για την P r θεωρούμε πως ακολουθεί κανονική κατανομή και χρησιμοποιούμε τις αρχικές τιμές για τη μέση τιμή r και τυχαίες τιμές για την τυπική απόκλιση R,. Για Gaussan θόρυβο στα pxels με τυπική απόκλιση I, η πιθανότητα να παρατηρήσουμε το I nput, δεδομένων των a, b, r, είναι το γινόμενο μονοδιάστατων κανονικών κατανομών, με μία κατανομή για κάθε pxel και κάθε κανάλι χρώματος. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως: 3

34 1 I EI p I a, b, r e (.50) nput Αντίστοιχα, και οι συντεταγμένες των χαρακτηριστικών σημείων μπορούν να υποβληθούν σε θόρυβο, οπότε 1 F EF p F a, b, r e (.51) 1 E Fst F st p F a, b, r e (.5) st p abr I F F μεγιστοποιείται, Επομένως, η πιθανότητα,, nput,, st ελαχιστοποιώντας την ακόλουθη ποσότητα: E log p a, b, r I, F, F nput r r a b st E I E F E Fst I F F st S, T, R, (.53) Τυχαίες τιμές δίνονται στα των EI, E F και E F st. I, F και F st για να ρυθμίσουν τα σχετικά βάρη Αν προσπαθούμε να προσαρμόσουμε το μοντέλο σε πολλαπλές εικόνες Input, j, j 1,,..., m, τότε χρησιμοποιούμε ένα κοινό σετ συνιστωσών ab, αλλά διαφορετικές παραμέτρους r j για κάθε εικόνα. Σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση κόστους Ε αντικαθίσταται από το ακόλουθο άθροισμα: m m m a b rj, r,, st, (.54) E E E E mult I j F j F j mi j1 mf j1 mf j1,,, j st S T m R, Βελτιστοποίηση συνάρτησης κόστους Για τη βελτιστοποίηση της συνάρτησης κόστους (.53) χρησιμοποιούμε μία στοχαστική έκδοση της μεθόδου Newton[1] όμοια με τη μέθοδο stochastc gradent descent. παραμέτρους Η μέθοδος Newton βελτιστοποιεί τη συνάρτηση κόστους Ε ως προς τις a j, βασιζόμενη στην κλίση 33 E και τον Hessan πίνακα Η,

35 H E, j aa j. Το βέλτιστο είναι: (.55) 1 a a H E Αν για απλοποίηση θεωρήσουμε το a ως ένα γενικότερο σετ μεταβλητών και απορρίψουμε τα b και r, τότε η εξίσωση (.53) γίνεται a a Ea E a E a E a (.56) I F Fst I F F st S, και 1 EI 1 E 1 EF F st E dag ( ) a a I a F af F a st F st S, (.57) Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Η είναι: H 1 E 1 EF 1 F st, I a F af F a st F st S, E (.58) Αγνοώντας τα μη διαγώνια στοιχεία του πίνακα Η[14] και θέτοντας 1 H dag 1 H,, από την εξίσωση (.55) το υπολογισμένο βέλτιστο είναι: a 1 EI 1 E 1 E F Fst 1 EI 1 E 1 E F Fst a a a a I a F a F a st I a a F a a F a st a S, 1 E I 1 E F 1 EF st I a F a F a st S, (.59) Σε κάθε επανάληψη της στοχαστικής μεθόδου Newton, εφαρμόζουμε μικρά βήματα a aa a, 1. 34

36 Κεφάλαιο 3 Μεθοδολογία αλγορίθμου 3.1 Δημιουργία 3D morphable face model Για τη δημιουργία του 3D morphable face model, αρχικά γίνεται εισαγωγή του σετ προσώπων-δειγμάτων στο matlab και upsamplng. Στη συνέχεια, αφού επιλεχθεί ένα πρόσωπο αναφοράς (reference face), ευθυγραμμίζουμε τα πρόσωπα χρησιμοποιώντας Procrustes analyss και TPS, και τα αντιστοιχίζουμε σημείο προς σημείο χρησιμοποιώντας ICP. Τέλος, επιλέγουμε τα prncpal ponts που θα χρησιμοποιήσουμε τελικά κατά την ανακατασκευή Εισαγωγή και επεξεργασία προσώπων-δειγματων Εισαγωγή προσώπων-δειγμάτων Για την ανάγνωση και αποθήκευση των 3-διάστατων συντεταγμένων των προσώπων, χρησιμοποιούμε ένα VRML parser (read_wrl.m), ο οποίος διαβάζει και αποθηκεύει σειριακά τα.wrl αρχεία. Επίσης, αποθηκεύουμε 83 σημεία ελέγχου για κάθε πρόσωπο (αρχεία.bnd), καθώς και τις τιμές RGB που αντιστοιχούν σε κάθε σημείο του προσώπου. Τελικά, αποθηκεύουμε τα παρακάτω δεδομένα για κάθε πρόσωπο: shape: Οι συντεταγμένες xyz για κάθε σημείο του μοντέλου color: Οι τιμές RGB για κάθε σημείο του μοντέλου coordindex: Τα πολύγωνα του μοντέλου ctr_p: 83 σημεία ελέγχου του μοντέλου 35

37 Υπερδειγματοληψία (upsamplng) Αυξάνουμε την ανάλυση των προσώπων-δειγμάτων, διαιρώντας τα πολύγωνα σε μικρότερα τρίγωνα. Σε κάθε πολύγωνο, βρίσκουμε το κέντρο του και το ενώνουμε με τις κορυφές του, δημιουργώντας έτσι νέα τρίγωνα (upsample_ponts.m) Αντιστοίχηση προσώπων σημείο προς σημείο Επιλογή προσώπου αναφοράς Ως πρόσωπο αναφοράς, επιλέγουμε το πρόσωπο με το μικρότερο πλήθος 3- διάστατων σημείων, ώστε να μπορεί να γίνει στη συνέχεια αντιστοίχηση όλων των σημείων. Ολική ευθυγράμμιση με Procrustes Analyss Για την ολική ευθυγράμμιση των προσώπων με το πρόσωπο αναφοράς χρησιμοποιούμε την συνάρτηση procrustes του matlab. Επιλέγουμε τα 83 σημεία ελέγχου κάθε προσώπου και τα ταιριάζουμε στα αντίστοιχα σημεία ελέγχου του προσώπου αναφοράς. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό σε όλα τα σημεία του προσώπου Sprocrustes bst c (3.1) όπου b η κλιμάκωση, Τ η περιστροφή και с η μετατόπιση (proc.m). Τοπική ευθυγράμμιση με Thn Plate Splne Για την τοπική ευθυγράμμιση των προσώπων με το πρόσωπο αναφοράς εφαρμόζουμε 3D TPS. Έστω Q Q1, Q,..., Q83 προσώπου και P P, P,..., P Ορίζουμε την συνάρτηση όπως ακολουθεί[16]: 1 83 τα 83 σημεία ελέγχου ενός τα αντίστοιχα σημεία του προσώπου αναφοράς. f, για την οποία ισχύει, 1,,...,83 TPS f P Q, TPS 83,, 1 3 4,,,,,,, f xyz a ax ay az wu xyz P P P (3.) TPS x y z 1 36

38 όπου, 1,, 3, 4 w a a a a διανύσματα βάρους και U r υπολογίζονται από την ακόλουθη σχέση: r. Τα βάρη w, a j K Pw Q T P 0 a 0 (3.3) όπου: K U P, P, P P, P, P,, j 1,,...,83, j x, y, z, jx, jy, jz, 1 P P P P 1 P P P 1, x 1, y 1, z 83, x 83, y 83, z w w w w w w w 1, x 1, y 1, z 83, x 83, x 83, x a a a a a a a 1, x 1, y 1, z 4, x 4, x 4, x Q Q Q Q Q Q Q 1, x 1, y 1, z 83, x 83, x 83, x Ευθυγραμμίζουμε τοπικά κάθε πρόσωπο με το πρόσωπο αναφοράς, εφαρμόζοντας την (3.) σε όλα τα σημεία του προσώπου (tps_3.m). Σχήμα 3.1: a) Αρχική θέση προσώπων b) Θέση προσώπων μετά από Procrustes Analyss c) Θέση προσώπων μετά από TPS 37

39 Εύρεση κοντινότερων αντίστοιχων σημείων με Iteratve Closest Pont Για να αντιστοιχήσουμε ένα πρόσωπο-δείγμα, σημείο προς σημείο, με το πρόσωπο αναφοράς, πρέπει αρχικά να βρούμε τα κοντινότερα σημεία του προσώπου προς κάθε σημείο του προσώπου αναφοράς. Εκτελούμε, λοιπόν, ICP χρησιμοποιώντας την συνάρτηση cp του Ajmal Saeed Man[17]. Λαμβάνοντας ως είσοδο το πρόσωπο αναφοράς και το ευθυγραμμισμένο με TPS πρόσωποδείγμα S TPS, ο ICP ταιριάζει τοπικά τα σημεία μεταξύ των δύο προσώπων, S rs t (3.4) ICP TPS όπου r η περιστροφή και t η μετατόπιση (κεφάλαιο.3.3) (cp.m). Επιλογή αντίστοιχων σημείων Ορίζουμε ως αντίστοιχα, τα σημεία του προσώπου αναφοράς και του προσώπου δείγματος με τη μικρότερη ευκλείδεια απόσταση. Απορρίπτουμε όλα τα υπόλοιπα σημεία και κάνουμε αντίστροφο TPS ώστε να επαναφέρουμε όλα τα πρόσωπα στο αρχικό τους σχήμα (corp.m). Τελικά από την διαδικασία αντιστοίχησης προκύπτουν 100 πρόσωπαδείγματα, με τον ίδιο πλήθος σημείων και πολυγώνων, απολύτως αντιστοιχισμένα μεταξύ τους. Σχήμα 3.: Πρόσωπα-δείγματα πριν και μετά την διαδικασία αντιστοίχησης 38

40 3.1.3 Επιλογή Prncpal Components Εφαρμόζουμε PCA ξεχωριστά στα διανύσματα σχήματος αγνοώντας τη συσχέτιση μεταξύ τους. S και χρώματος T, 1 Βρίσκουμε του μέσους όρους του σχήματος s 100 S 1 και του χρώματος t 100 T 1, και ορίζουμε τους αντίστοιχους πίνακες συμμεταβλητότητας: T 1 T CS XSXS, CT XTX (3.5) T όπου XS xs,1, xs,,..., xs,99 t, για xs, S s και XT xt,1, xt,,..., xt,99 για x T t. Για να βρούμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των C, C εκτελούμε Sngular Value Decomposton (κεφάλαιο.1.3) χρησιμοποιώντας την συνάρτηση svds του matlab. Τα ιδιοδιανύσματα s, t σχηματίζουν μια νέα ορθογώνια βάση S T (3.6) S s as, T t bt 1 1 ενώ ο PCA μας παρέχει τις ακόλουθες εκτίμησεις για την πυκνότητα πιθανότητας στο χώρο των προσώπων: a 1 b 1 S 1 T s( ) s, t( ) t p a v e p b v e (3.7) όπου v, v σταθεροί παράγοντες που ελέγχουν την πιθανότητα του να μοιάζουν s t τα ανακατασκευασμένα πρόσωπα σε πραγματικά πρόσωπα. Για να μειώσουμε τις διαστάσεις των ορθογώνιων βάσεων (εξίσωση 3.6), επιλέγουμε τελικά τα 50 από τα 100 prncpal components, αφού αυτά ικανοποιούν την συνθήκη (3.8) 39

41 N Shape Texture N Shape Texture Πίνακας 3.1: Τιμές της εξίσωσης (3.8) για Ν Prncpal Components Τελικά από την διαδικασία αντιστοίχισης και την Prncpal Component Analyss, κατασκευάζουμε ένα 3D morphable face model διάστασης N S s as, T t bt 1 1 όπου S το σχήμα και Τ το χρώμα του μοντέλου Σχήμα 3.3: Το μέσο πρόσωπο και τα δύο πρώτα prncpal components 40

42 3. Προσαρμογή του μοντέλου στην εικόνα Για την ανακατασκευή του προσώπου, εισάγουμε τις δύο στερεοσκοπικές φωτογραφίες στο matlab, επιλέγουμε χειροκίνητα 15 χαρακτηριστικά σημεία στην μία από αυτές, βρίσκουμε αυτόματα τα αντίστοιχα σημεία στην άλλη, υπολογίζουμε μέσω τριγωνισμού το βάθος των σημείων αυτών και εκτελούμε τον στοχαστικό αλγόριθμο Newton, προβάλλοντας το μοντέλο στο επίπεδο των δύο φωτογραφιών Επεξεργασία του ζεύγους στερεοσκοπικών φωτογραφιών Εισαγωγή στερεοσκοπικών φωτογραφιών Αρχικά εισάγουμε το ζεύγος των στερεοσκοπικών φωτογραφιών (αρχεία.ppm) Επιλογή χαρακτηριστικών σημείων Επιλέγουμε χειροκίνητα στη φωτογραφία της δεξιάς κάμερας 15 χαρακτηριστικά σημεία (πίνακας 3.) (σχήμα 3.4). 1. Αριστερό μάτι αριστερή άκρη 8. Στόμα αριστερή άκρη. Αριστερό μάτι δεξιά άκρη 9. Στόμα κάτω χείλος 3. Δεξί μάτι αριστερή άκρη 10. Στόμα δεξιά άκρη 4. Δεξί μάτι δεξιά άκρη 11. Πηγούνι 5. Μύτη αριστερό ρουθούνι 1. Μέτωπο 6. Μύτη κορυφή 13. Αριστερό μάγουλο 7. Μύτη δεξί ρουθούνι 14. Δεξί μάγουλο 15. Αριστερό φρύδι δεξιά άκρη Πίνακας 3.: Τα 15 χαρακτηριστικά σημεία του προσώπου που χρησιμοποιούνται κατά την ανακατασκευή Στη συνέχεια βρίσκουμε αυτόματα τα αντίστοιχα σημεία στη δεύτερη φωτογραφία, χρησιμοποιώντας block matchng, συγκρίνοντας δηλαδή pxel προς pxel τις RGB τιμές μέσα σε ένα «παράθυρο» γύρω από το pxel «στόχο» (corponts.m). Παράλληλα εφαρμόζουμε ένα sharpenng φίλτρο ώστε να βελτιωθεί η ευκρίνεια τους, χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις fspecal και mflter του matlab. 41

43 Σχήμα 3.4: a) Χειροκίνητα επιλεγμένα χαρακτηριστικά σημεία στη φωτογραφία της δεξιάς κάμερας b) Αυτόματα επιλεγμένα χαρακτηριστικά σημεία στη φωτογραφία της αριστερής κάμερας Στερεοσκοπική ανάλυση Έχοντας, πλέον, τις συντεταγμένες των αντίστοιχων χαρακτηριστικών σημείων στις δύο φωτογραφίες, υπολογίζουμε την απόστασή τους από την κάμερα. Από την (.43), και λαμβάνοντας υπ όψιν τα τεχνικά χαρακτηριστικά της κάμερας[0], έχουμε depth dsparty όπου depth η απόσταση σε χιλιοστά, κάθε σημείου από το επίπεδο της κάμερας. Στην ανακατασκευή δεν χρησιμοποιούμε τις απόλυτες αποστάσεις, αλλά τις σχετικές αποστάσεις μεταξύ των χαρακτηριστικών σημείων, χρησιμοποιώντας ως σημείο αναφοράς την κορυφής της μύτης. Έτσι, τελικά έχουμε model nose z depth depth scale (3.9) όπου scale ο παράγοντας κλιμάκωσης. Τέλος, η κάμερα είναι βαθμονομημένη και εκτελεί αυτόματη επανόρθωση (rectfcaton) της ακτινικής παραμόρφωσης. 4

44 3.. Προσαρμογή morphable face model Αγνοώντας τυχόν συσχετίσεις μεταξύ των συνιστωσών σχήματος a και χρώματος b, προσαρμόζουμε ξεχωριστά το μοντέλο, ως προς το σχήμα αρχικά και ως προς το χρώμα στη συνέχεια. Προσαρμογή ως προς το σχήμα Οι συναρτήσεις κόστους που βελτιστοποιούμε για την προσαρμογή του μοντέλου ως προς το σχήμα είναι οι: 13 Fz z, j z, j j1 15 q 15 1 x, j p1 x, j q x, j p x, j EF E xy, 1F E xy, F xy, j1 q1 y, j p1 y, j j1 q y, j p y, j E q p (3.10) όπου q xy, οι συντεταγμένες των χαρακτηριστικών σημείων στις δύο φωτογραφίες, p xy, οι προβολές των αντίστοιχων σημείων του 3-διαστατου μοντέλου στο επίπεδο των δύο φωτογραφιών, q οι υπολογισμένες από την (3.9) z τιμές z για 13 από τα χαρακτηριστικά σημεία (δεν χρησιμοποιούμε τα σημεία 13 και 14 του πίνακας 3.) και p οι τιμές z των αντίστοιχων σημείων στο 3- z διάστατο μοντέλο. Το υπολογιζόμενο βέλτιστο επομένως είναι a E 1 Fxy, 1 E E F 1 Fxy, 1 E z Fz a a a F a, F a xy z F a xy, F a z a a S, E 1 Fxy, 1 EF z F a xy, F a z S, (3.10) και σε κάθε επανάληψη υπολογίζουμε τα νέα a a a 0.001a a (3.11) new old old Κατά αντίστοιχο τρόπο βελτιστοποιούνται τα διανύσματα r 1,, μόνο που εκεί για κάθε διάνυσμα χρησιμοποιείται το αντίστοιχο σφάλμα E 1,. 43

45 Η διαδικασία αυτή πραγματοποιείται για επαναλήψεις. Οι πρώτες παράγωγοι υπολογίζονται αναλυτικά σε κάθε επανάληψη, ενώ οι δεύτερες παράγωγοι υπολογίζονται μέσω διηρημένων διαφορών από τις αναλυτικά υπολογισμένες πρώτες παραγώγους, στην αρχή της διαδικασίας και σε κάθε 1000 επαναλήψεις. Αρχικά χρησιμοποιούμε 10 prncpal components, τα οποία αυξάνουμε κατά 5 κάθε 1000 επαναλήψεις. Σχήμα 3.5: Μεταβολή του σφάλματος E F Μετά από 8000 επαναλήψεις, και εφόσον οι προβολές του μοντέλου στα επίπεδα των δύο φωτογραφιών είναι αρκετά ακριβείς (σχήμα 3.5) προσθέτουμε ένα ακόμη όρο στη συνάρτηση κόστους: 100 st,100 stereo, j model, j (3.1) j1 E z z Σε κάθε επανάληψη, προβάλουμε 100 τυχαία σημεία του μοντέλου στις δύο φωτογραφίες, βρίσκουμε τα αντίστοιχα dspartes, υπολογίζουμε μέσω τριγωνισμού την πραγματική τιμή z και τη συγκρίνουμε με την αντίστοιχη stereo τιμή z του μοντέλου. model Η συνολική διαδικασία προσαρμογής του morphable face model ως προς το σχήμα διαρκεί περίπου 10 λεπτά σε ένα επεξεργαστή AMD Phenom II x Ghz. 44

46 Σχήμα 3.6: Μεταβολή του μοντέλου κατά τη διαδικασία προσαρμογής ως προς το σχήμα Προσαρμογή ως προς το χρώμα Η συνάρτηση κόστους που χρησιμοποιούμε για την προσαρμογή του μοντέλου ως προς το χρώμα είναι,,,, (3.13) E E E I rgb I rgb I 1, I, I, nput, model 1 όπου 1,nput r g b τιμές για κάθε σημείο των δύο φωτογραφιών και I 1,model οι r, g, b τιμές των αντίστοιχων σημείων του μοντέλου. I οι,, Το υπολογιζόμενο βέλτιστο είναι b 1 EI 1 EI b I b I b a T, 1 EI I b T, b (3.14) και σε κάθε επανάληψη υπολογίζουμε τα νέα a b b 0.001b b (3.15) new old old Η διαδικασία αυτή πραγματοποιείται για 1500 επαναλήψεις. Οι πρώτες παράγωγοι υπολογίζονται αναλυτικά σε κάθε επανάληψη για 40 πολύγωνα σε κάθε φωτογραφία, ενώ οι δεύτερες παράγωγοι υπολογίζονται, μέσω διηρημένων διαφορών από τις αναλυτικά υπολογισμένες πρώτες παραγώγους, στην αρχή της διαδικασίας και σε κάθε 1000 επαναλήψεις για 300 πολύγωνα σε κάθε φωτογραφία. Για κάθε πολύγωνο χρησιμοποιούμε το σημείο που βρίσκεται στο κέντρο του. 45

47 Σχήμα 3.7: Μεταβολή του μοντέλου κατά τη διαδικασία προσαρμογής ως προς το χρώμα Z-Buffer Για την επιλογή των σημείων που θα χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των παραγώγων και για να ελεγθεί η ορατότητά τους από το επίπεδο προβολής κάθε φωτογραφίας, χρησιμοποιείται ένας αλγόριθμος z-buffer. Αλγόριθμος z-buffer 1. Βρίσκουμε την προβολή όλων των τριγώνων του 3-διάστατου μοντέλου καθώς και την προβολή των κέντρων τους.. Δημιουργούμε ένα πίνακα z-buffer με στοιχεία όσα και τα pxel της προβολής του 3D μοντέλου και τον αρχικοποιούμε με μηδενικά. 3. Σαρώνουμε κάθε -διάστατο τρίγωνο, ένα τη φορά. Για κάθε pxel του x, y βρίσκουμε την τιμή του βάθους z με γραμμική προβολή από τα βάθη των κορυφών του. Αν η τιμή αυτή είναι μεγαλύτερη από την τιμή z-buffer x, y, τότε αντικαθιστούμε την τιμή του z-buffer x, y με τη νέα τιμή z. Παράλληλα, αποθηκεύουμε σε ένα άλλο πίνακα τον αριθμό του τριγώνου στο οποίο ανήκει το pxel. 4. Για κάθε τρίγωνο, για το pxel που αντιστοιχεί στο κέντρο του, ψάχνουμε στον πίνακα ποιο από τα τρίγωνα που περιέχουν αυτό το pxel έχει το μεγαλύτερο z. Αν το τρίγωνο αυτό συμπίπτει με το τρίγωνο του οποίου πήραμε το κέντρο, τότε το τρίγωνο αυτό θεωρείται ορατό. Ο αλγόριθμος z-buffer εκτελείται μία φορά για κάθε φωτογραφία, πριν τη διαδικασία προσαρμογής του 3-διάστατου μοντέλου ως προς το χρώμα. Παράλληλα, υπολογίζει τα εμβαδά των προβαλλόμενων στις φωτογραφίες τριγώνων, από τα οποία εξαρτάται η πιθανότητα επιλόγης των σημείων για τον υπολογισμό των πρώτων και δεύτερων παραγώγων. 46

48 Η συνολική διαδικασία προσαρμογής του morphable face model ως προς το χρώμα διαρκεί περίπου 15 λεπτά σε ένα επεξεργαστή AMD Phenom II x Ghz Απευθείας προσαρμογή των φωτογραφιών στο μοντέλο Μία εναλλακτική μέθοδος για την ανακατασκευή της υφής του 3-διάστατου μοντέλου, είναι η απευθείας προσαρμογή (warpng) των δύο φωτογραφιών πάνω στο μοντέλο. Εκμεταλλευόμενοι το γεγονός πως οι ελαφρώς περιστραμμένες όψεις στις δύο φωτογραφίες εισόδου μας δίνουν μια σχεδόν πλήρη εικόνα της υφής του προσώπου, προβάλλουμε κάθε μία πάνω στο μοντέλο. Χρησιμοποιούμε την φωτογραφία της δεξιάς κάμερας για το αριστερό τμήμα του προσώπου και τη φωτογραφία της αριστερής κάμερας για το δεξί τμήμα του προσώπου. Η διαδικασία αυτή εφαρμόζεται μετά το τέλος της διαδικασίας προσαρμογής του 3-διάστατου μοντέλου ως προς το σχήμα, καθώς είναι απαραίτητο οι προβολές του 3-διάστατου μοντέλου στα επίπεδα των δύο φωτογραφιών, να είναι όσο το δυνατόν πιο ακριβείς. Η μέθοδος του warpng προσφέρει πιο αληθοφανή υφή στο τελικό ανακατασκευασμένο πρόσωπο, ενώ έχει και πολύ μικρό χρόνο εκτέλεσης. Ωστόσο, μπορεί να εμφανιστούν πάνω στο μοντέλο σημεία που δεν ανήκουν στο πρόσωπο αλλά στο φόντο της φωτογραφίας. Αυτό το φαινόμενο παρατηρείται συχνά στην περιοχή των αυτιών. Για να αντιμετωπίσουμε αυτό το πρόβλημα, αφαιρούμε τα λάθος χρωματισμένα πολύγωνα του μοντέλου (σχήμα 3.6). Σχήμα 3.8: Ανακατασκευασμένο πρόσωπο με τη διαδικασία warpng (a) πριν και (b) μετά την αφαίρεση των λάθος χρωματισμένων πολυγώνων 47

49 Κεφάλαιο 4 Πειραματική εφαρμογή του αλγορίθμου 4.1 Ανάλυση 3D face dataset Για την δημιουργία του 3D morphable face model χρησιμοποιήθηκε η BU 3D Facal Expresson Database[19]. H βάση αυτή δημιουργήθηκε στο τμήμα πληροφορικής του πανεπιστημίου Bnghamton της Νέας Υόρκης. Για τη 3- διάστατη μοντελοποίηση των προσώπων χρησιμοποιήθηκε ένας 3DMD Dgtzer, οποίος δίνει ως έξοδο ένα wreframe μοντέλο του προσώπου και μία φωτογραφία του προσώπου υπό γωνία 45 και -45 μοιρών (σχήμα 4.1), η οποία περιλαμβάνει τις πληροφορίες χρώματος του μοντέλου. Τα wreframe μοντέλα αποτελούνται από 4000 έως διάστατα σημεία και έως 1000 πολύγωνα, ενώ οι φωτογραφίες έχουν διαστάσεις περίπου 1400χ900 pxels. H βάση περιλαμβάνει 100 πρόσωπα (56 γυναίκες και 44 άνδρες), διαφόρων εθνικοτήτων (Λευκοί, Αφροαμερικάνοι, Λατίνοι, Ασιάτες, Ινδοί), ηλικίας 18 έως 70 ετών. Για κάθε πρόσωπο υπάρχουν 5 3-διάστατα μοντέλα που ανταποκρίνονται σε διάφορες εκφράσεις του προσώπου, καθώς και 83 συγκεκριμένα σημεία ελέγχου πάνω στο 3-διάστατο μοντέλο. Στον αλγόριθμό μας χρησιμοποιούμε μόνο τα μοντέλα που αντιστοιχούν στην ουδέτερη έκφραση, ενώ παράλληλα εκτελούμε υπερδειγματοληψία (κεφάλαιο 3.1.1), καθώς η ανάλυση των μοντέλων είναι αρκετά χαμηλή. Έτσι καταλήγουμε, το μικρότερο μοντέλο και μετά την αντιστοίχηση και όλα τα υπόλοιπα μοντέλα, να έχουν διάστατα σημεία και πολύγωνα. 48

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μετασχηματισμών

Θεωρία μετασχηματισμών Μήτρα Μετασχηματισμού Η γεωμετρία ενός αντικειμένου μπορεί να παρουσιαστεί από ένα σύνολο σημείων κατανεμημένων σε διάφορα επίπεδα. Έτσι λοιπόν ένα πλήθος δεδομένων για κάποιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διαλέξεις 5 6 Principal component analysis EM for Gaussian mixtures: μ k, Σ k, π k. Ορίζουμε το διάνυσμα z (διάσταση Κ) ώστε K p( x θ) = π ( x μ, Σ ) k = k k k Eκ των υστέρων

Διαβάστε περισσότερα

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ] 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική Μοντελοποίηση Ανθρώπινου Προσώπου με Εφαρμογές σε Αναγνώριση

Οπτική Μοντελοποίηση Ανθρώπινου Προσώπου με Εφαρμογές σε Αναγνώριση Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Σημάτων Ελέγχου και Ρομποτικής Οπτική Μοντελοποίηση Ανθρώπινου Προσώπου με Εφαρμογές σε Αναγνώριση Επιβλέπων: καθ. Πέτρος Μαραγκός Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα. Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής

Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα. Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής Βασικές λειτουργίες απεικόνισης μετατροπή του παγκόσμιου συστήματος συντεταγμένων, ενός αντικειμένου, σε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης. Γραφικά Υπολογιστών ΣΤ Εξάμηνο. Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής

Γραφικά Υπολογιστών. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης. Γραφικά Υπολογιστών ΣΤ Εξάμηνο. Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης ΣΤ Εξάμηνο Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής η Μετασχηματισμοί kdemertz@fmenr.duth.gr Μετασχηματισμοί Κατά τον σχηματισμό του εικονικού κόσμου

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική πολυ-εργασία 1 - εφαρμογή στην υπολογιστική όραση

Ενδεικτική πολυ-εργασία 1 - εφαρμογή στην υπολογιστική όραση Ενδεικτική πολυ-εργασία 1 - εφαρμογή στην υπολογιστική όραση Εντοπισμός ενός σήματος STOP σε μια εικόνα. Περιγράψτε τη διαδικασία με την οποία μπορώ να εντοπίσω απλά σε μια εικόνα την ύπαρξη του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε 2Δ συσκευές. Θέση παρατηρητή. 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης

Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε 2Δ συσκευές. Θέση παρατηρητή. 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Προβολές Προβολές Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε Δ συσκευές. Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3Δ Μαθηματικά Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)

Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations) Μετασχηματισμοί Δ Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling trnformtion) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος X X X ), όπου X ~ N (,) και όλα τα X μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε ( ) (,, ) (, )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση ΤΝΔ με ελαχιστοποίηση του τετραγωνικού σφάλματος εκπαίδευσης. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν.

Εκπαίδευση ΤΝΔ με ελαχιστοποίηση του τετραγωνικού σφάλματος εκπαίδευσης. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Εκπαίδευση ΤΝΔ με ελαχιστοποίηση του τετραγωνικού σφάλματος εκπαίδευσης Ελαχιστοποίηση συνάρτησης σφάλματος Εκπαίδευση ΤΝΔ: μπορεί να διατυπωθεί ως πρόβλημα ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης σφάλματος E(w)

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

E [ -x ^2 z] = E[x z]

E [ -x ^2 z] = E[x z] 1 1.ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτήν την διάλεξη θα πάμε στο φίλτρο με περισσότερες λεπτομέρειες, και θα παράσχουμε μια νέα παραγωγή για το φίλτρο Kalman, αυτή τη φορά βασισμένο στην ιδέα της γραμμικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ - Διατύπωση προβλημάτων - Κατηγορίες εφαρμογών - Πράξεις με πίνακες ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ (in short) Που

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering)

Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering) Υφή Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering) Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3D Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Απομάκρυνση Πίσω Επιφανειών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης Τμηματοποίηση εικόνας Τμηματοποίηση εικόνας Γενικά Διαμερισμός μιας εικόνας σε διακριτές περιοχές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Για τους βασικούς ορισμούς σχετικά με το κέντρο βάρους θα γίνεται αναφορά στην επόμενη εικόνα, η οποία απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Τι Είναι η Υφή; Η υφή είναι η χωρική διαμόρφωση των ποιοτικών χαρακτηριστικών της επιφάνειας ενός αντικειμένου,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Ορισµός του Προβλήµατος Ευθυγράµµιση : Εύρεση ενός γεωµετρικού µετασχηµατισµού που ϕέρνει κοντά δύο τρισδιάσ

Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Ορισµός του Προβλήµατος Ευθυγράµµιση : Εύρεση ενός γεωµετρικού µετασχηµατισµού που ϕέρνει κοντά δύο τρισδιάσ Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Αλγόριθµοι Ευθυγράµµισης Τρισδιάστατων Αντικειµένων Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 20 Οκτωβρίου 2005 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διαλέξεις #-# Σύνθεση Δ Μετασχηματισμών Ομογενείς Συντεταγμένες Παραδείγματα Μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Oι οπτικές επιδράσεις, που μπορεί να προκαλέσει μια εικόνα στους χρήστες, αποτελούν ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσματα των λειτουργιών γραφικών με Η/Υ. Τον όρο της οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB. Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι

21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB. Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι 21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι Τι είναι Αλγόριθμος; Οι οδηγίες που δίνουμε με λογική σειρά, ώστε να εκτελέσουμε μια διαδικασία ή να επιλύσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή

Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΜΥ 795: ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2010-11 Χειμερινό Εξάμηνο Practice final exam 1. Έστω ότι για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Τα βασικά γεωμετρικά αντικείμενα και οι μεταξύ τους σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με τρεις βασικές γεωμετρικές οντότητες: σημεία, βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΟΠΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Κουλουμέντας Παναγιώτης Σχολή Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Χανιά,Νοέμβριος 2014 Επιτροπή: Ζερβάκης Μιχάλης (επιβλέπων)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R 1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes 2.1 Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes 2.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο : Θεωρία Απόφασης του Bayes. Εισαγωγή Η θεωρία απόφασης του Bayes αποτελεί μια από τις σημαντικότερες στατιστικές προσεγγίσεις για το πρόβλημα της ταξινόμησης προτύπων. Βασίζεται στη σύγκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή

Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Βασικές λειτουργίες απεικόνισης μετατροπή των φυσικών συντεταγμένων, ενός αντικειμένου, σε συντεταγμένες της συσκευής απεικόνισης (δημιουργία μετασχηματισμού απεικόνισης) αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσµατα στο επίπεδο

Διανύσµατα στο επίπεδο Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20

Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20 Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων Ισαάκ Η Λαγαρής 1 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιον Ιωαννίνων 1 Με υλικό από το υπό προετοιμασία βιβλίο των: Βόγκλη,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος PCA -Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών

Η μέθοδος PCA -Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών Η μέθοδος PCA -Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών Γιώργος Παπαδουράκης Κώστας Μαριάς Technological Educational Institute Of Crete Department Of Applied Informatics and Multimedia Intelligent Systems Laboratory

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα