ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αγαπητέ αναγνώστη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αγαπητέ αναγνώστη"

Transcript

1 Άλγεβρα Α Λυκείου Σημειώσεις ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 05-06

2 Αγαπητέ αναγνώστη ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σκοπός των σημειώσεων που ακολουθούν δεν είναι σε καμία περίπτωση να υποκαταστήσουν το σχολικό βιβλίο. Άλλωστε έχουν γραφεί με δεδομένο ότι έχει πρώτα μελετηθεί αυτό Ο στόχος τους είναι να δώσουν για μεν τους μαθητές να επιλύσουν περισσότερες ασκήσεις για την περαιτέρω κατανόηση της ύλης, και να τους εντάξουν στο ύφος των ασκήσεων που θα τους ζητηθούν στις προαγωγικές εξετάσεις. Επίσης είναι μια ευκαιρία ώστε να απαλλαγούν από σκόρπιες σημειώσεις και φυλλάδια που δίνονται από τους διδάσκοντες κατά την διάρκεια της χρονιάς και να είναι όλα αυτά συγκεντρωμένα σε ένα. Για δε το σχολείο είναι μια ευκαιρία ώστε να μειώσει το κόστος των φωτοτυπιών στις δύσκολες εποχές που περνάμε. Τέλος θα πρέπει να τονίσουμε την εξαιρετική συνεργασία μεταξύ των μαθηματικών του ου Ενιαίου Λυκείου ώστε να μπορέσουμε να φτάσουμε στο συγκεκριμένο αποτέλεσμα.

3 Το λεξιλόγιο της Λογικής ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πρόταση (ή ισχυρισμός): Πρόταση στα μαθηματικά είναι κάθε έκφραση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί αποκλειστικά ως αληθής ή ψευδής. Οι προτάσεις διακρίνονται σε απλές και σύνθετες. Απλή πρόταση: Δεν αναλύεται σε άλλες προτάσεις. (Συμβολίζεται με κάποιο γράμμα p, q κ.λ.π.) π.χ. «p»: Ο αριθμός είναι πρώτος. (Α) «q»: (Ψ) Σύνθετη πρόταση: Μπορεί να χωριστεί σε δύο ή περισσότερες απλές προτάσεις. π.χ. Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες μεταξύ τους και διχοτομούν τις γωνίες του. Σύνθετες προτάσεις: Η κατασκευή μιας σύνθετης πρότασης από απλές γίνεται με τη εισαγωγή διαφόρων συνδέσμων, όπως: και, η, αν, είτε, τότε, αν και μόνον αν, τότε και μόνον τότε, όχι, δεν, Οι πιο σημαντικές από αυτές είναι: Άρνηση ( η αντίθετη μιας πρότασης) Έστω μία πρόταση «p». Άρνηση της πρότασης «p» ονομάζουμε την πρόταση «όχι p». Οι προτάσεις «p» και «όχι p» έχουν αντίθετες τιμές αληθείας. (βλ. δίπλα πίνακα αληθείας) Παρατήρηση: Για την αντίθετη μιας πρότασης συχνά χρησιμοποιούμε τη λέξη «δεν». p Α Ψ όχι p Ψ Α Σύζευξη Έστω οι προτάσεις «p», «q». Σύζευξη της πρότασης «p» με την πρόταση «q» ονομάζουμε την πρόταση «p και q» Η πρόταση «p και q» αληθεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο προτάσεις «p», «q» είναι ταυτοχρόνως αληθείς. (βλ. δίπλα πίνακα αληθείας) p q p και q Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ομοίως ορίζεται η σύζευξη «Ρ και Ρ και... και Ρ Κ» και είναι αληθής μόνο στην περίπτωση που όλοι οι ισχυρισμοί Ρ, Ρ,..., Ρ Κ είναι αληθείς. Αν ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς Ρ, Ρ,..., Ρ Κ είναι ψευδής, τότε και η σύζευξη «Ρ και Ρ και... και Ρ Κ» είναι ψευδής. Διάζευξη Έστω οι προτάσεις «p», «q». Διάζευξη της πρότασης «p» με την πρόταση «q» ονομάζουμε την πρόταση «p ή q» Η πρόταση «p ή q» αληθεύει στην περίπτωση που μία τουλάχιστον από τις δύο προτάσεις «p», «q» είναι αληθής. (βλ. πίνακα δίπλα) p q p ή q Α Α Α Α Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Επισήμανση Ομοίως ορίζεται η διάζευξη «Ρ ή Ρ ή... ή Ρ Κ» και είναι αληθής στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς Ρ, Ρ,..., Ρ Κ είναι αληθής. Προφανώς η διάζευξη «Ρ ή Ρ ή... ή ΡΚ» είναι ψευδής μόνο όταν όλοι οι ισχυρισμοί Ρ, Ρ,..., Ρ Κ είναι ψευδείς. ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

4 Συνεπαγωγή Έστω οι προτάσεις «p», «q». Συνεπαγωγή με υπόθεση «p» και συμπέρασμα «q» ονομάζουμε την πρόταση «αν p τότε q» η οποία συμβολίζεται p q H συνεπαγωγή «p q» θεωρείται ψευδής μόνο όταν η υπόθεση p είναι αληθής και το συμπέρασμα q είναι ψευδές. Σε κάθε άλλη περίπτωση θεωρούμε ότι η συνεπαγωγή «p q» είναι αληθής. Επισήμανση: Ώστε μια συνεπαγωγή αποτελείται από δύο μέρη: την ό p και το έ q ( ά ) ( ά ό ) p q p q Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Α Αντίστροφη συνεπαγωγή Αν εναλλάξουμε την υπόθεση με το συμπέρασμα μιας συνεπαγωγής,τότε έχουμε την αντίστροφη συνεπαγωγή. Δηλαδή για την συνεπαγωγή p q η αντίστροφη συνεπαγωγή είναι qp Προσοχή!!! Το αντίστροφο μιας συνεπαγωγής (θεωρήματος-πρότασης) δεν είναι γενικά αληθής πρόταση. Ισοδυναμία Ένα θεώρημα και το αντίστροφό του αποδίδονται με τις συνεπαγωγές: p q (λέγεται και ευθύ) και q p (αντίστροφο) Στην περίπτωση που και οι δύο παραπάνω συνεπαγωγές θεωρήματα είναι αληθείς, λέμε ότι έχουμε διπλή συνεπαγωγή ή ισοδυναμία: Συμβολίζουμε : p q και διαβάζουμε: p ισοδυναμεί q H ισοδυναμία p q διαβάζεται ακόμα και ως εξής: Αν p τότε q και αντιστρόφως p αν και μόνον αν q (ή αλλιώς) p τότε και μόνον τότε q Επισήμανση: Όλοι οι ορισμοί είναι ισοδυναμίες Επισήμανση: Σύμφωνα με τον ορισμό της συνεπαγωγής, αν οι ισχυρισμοί p και q είναι ψευδείς, τότε οι ισχυρισμοί «p q» και «q p» είναι αληθείς, οπότε η ισοδυναμία «p q» θα είναι αληθής. Επομένως η ισοδυναμία «p q» είναι αληθής όταν και οι δύο ισχυρισμοί p και q είναι αληθείς ή και οι δύο είναι ψευδείς. Η αντίθετο-αντίστροφη συνεπαγωγή Έστω η συνεπαγωγή : p q Αντιστρέφοντας την συνεπαγωγή για τις αντίθετες προτάσεις παίρνουμε την : όχι q όχι p Αν η πρώτη συνεπαγωγή είναι αληθής τότε θα είναι αληθής και η αντίθετο-αντίστροφή της. Δηλαδή οι δυο εκφράσεις p q, οχι q οχι p p q οχι q οχι p Παραδείγματα: είναι ισοδύναμες:. Να γράψετε τις παρακάτω συνεπαγωγές συμβολικά και να εξετάσετε για ποιες ισχύει και η αντίστροφη. Σε όσες δεν ισχύει το αντίστροφο να προσθέστε μια συνθήκη ώστε να γίνουν ισοδυναμίες. i ) Αν x=4 τότε x =6. ιι) Aν x 0 τότε Λύση 0 x 4 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

5 i ) x 4 x 6. Δεν αληθεύει ii ) x 0 Όμως x 0 0 x 4 x 6 x 4.Όμως x 4. Δεν αληθεύει 0 x 4 x 0. 0 x 4 x 0 p q q p. Να αποδείξετε με πινάκα αληθείας ότι: Λύση p q p q ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ x 6 x 0 οχιp οχιq q p p q q p Α Α Α Ψ Ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Α Α Α Α Α. Να αποδείξετε με πινάκα αληθείας ότι: p q p ή q Λύση [ταυτολογία] p q p και q οχι(p και q) οχιp οχιq (οχιp)ή(οχιq) p q p ή q Α Α Α ψ Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Α Α Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Α Α Α Α Α Α 4. Να γράψετε με λόγια τις ισοδυναμίες «p q» και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς η ψευδείς, όταν: i) p: Το σημείο Σ ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ. q : To σημείο Σ ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ΑΒ ii) p: : Οι ευθείες, ενός επιπέδου Π είναι παράλληλες, q : Οι ευθείες, ενός επιπέδου Π δεν έχουν κοινό σημείο iii) p : Δύο τρίγωνα είναι ίσα q : Δύο τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά Λύση i) Έχουμε: p q : Ένα σημείο Σ ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ αν και μόνο αν ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ΑΒ Η ισοδυναμία είναι αληθής, αφού οι συνεπαγωγές «p q» και «q p» είναι αληθείς. ii) Έχουμε: p q: Οι ευθείες, ενός επιπέδου Π είναι παράλληλες, αν και μόνο αν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο Η ισοδυναμία είναι αληθής, αφού οι συνεπαγωγές «p q» και «q p» είναι αληθείς iii) Έχουμε: p q: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν ίσα εμβαδά. Η ισοδυναμία είναι ψευδής αφού η συνεπαγωγή «q p» είναι ψευδής.

6 Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος. Ο αριθμός 5 είναι περιττός και ο αριθμός 8 είναι άρτιος. Σωστό Λάθος.... Ο αριθμός 7 είναι άρτιος ή είναι διαιρέτης του 49. Σωστό Λάθος.... Το αξίωμα είναι μία πρόταση που την δεχόμαστε σαν αληθή Σωστό Λάθος Όλοι οι ορισμοί είναι ισοδυναμίες Σωστό Λάθος Το αντίστροφο μιας συνεπαγωγής είναι γενικά αληθής πρόταση. Σωστό Λάθος Όλα τα γνωστά μας θεωρήματα είναι συνεπαγωγές. Σωστό Λάθος... Ασκήσεις. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι απλές και ποιες σύνθετες; i) Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες. ii) Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο, δεν μπορεί να είναι ισόπλευρο. iii) Οι αριθμοί και 4 είναι διαιρέτες του Να βρείτε τις απλές προτάσεις από τις οποίες αποτελείται κάθε μία από τις επόμενες σύνθετες προτάσεις. i) Αν ο αριθμός α είναι άρρητος και ο αριθμός β είναι ρητός, τότε ο αριθμός είναι άρρητος. ii) Αν οι γωνίες ω και φ είναι κατά κορυφήν, τότε είναι ίσες και αντίστροφα. iii) Αν και τότε.. Να γράψετε τις παρακάτω συνεπαγωγές συμβολικά και να εξετάσετε για ποιες ισχύει και η αντίστροφη. Σε όσες δεν ισχύει το αντίστροφο να προσθέστε μια συνθήκη ώστε να γίνουν ii ) ισοδυναμίες. Αν 0 τότε 0. ιι) Aν τότε 4. Να αποδείξετε με πινάκα αληθείας ότι pq p [ο λογικός τύπος είναι ταυτολογία]. 5. Να αποδείξετε με πινάκα αληθείας ότι: p ή q p q ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ [ταυτολογία] 6. Να γράψετε με λόγια τις ισοδυναμίες «p q» και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς η ψευδείς, όταν: i) p: Το τραπέζιο ΑΒΓΔ έχει ΑΒ ΓΔ. q : To τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει ΑΒ ΓΔ ii) p: : Οι ευθείες, ενός επιπέδου Π τέμνονται, q : Οι ευθείες, ενός επιπέδου Π έχουν ένα μόνο κοινό σημείο iii) p : Δύο τρίγωνα είναι ίσα. q : Δύο τρίγωνα είναι όμοια.

7 5 ΣΥΝΟΛΑ Ορισμός του συνόλου: Σύνολο ονομάζουμε κάθε συλλογή αντικειμένων, τα οποία προέρχονται από την εμπειρία μας ή από την νόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται με σαφήνεια το ένα από το άλλο. (Cantor) Στοιχεία ή μέλη του συνόλου ονομάζονται τα αντικείμενα που αποτελούν το σύνολο ( ο συμβολισμός των συνόλων γίνεται με κεφαλαία γράμματα, ενώ των στοιχείων με μικρά ) Α : σημαίνει ότι το στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Α. Α : σημαίνει ότι το στοιχείο α δεν ανήκει στο σύνολο Α. Ένα σύνολο παριστάνεται με τους ακόλουθους δύο τρόπους : Mε αναγραφή των στοιχείων του: Γράφουμε δηλαδή τα στοιχεία του συνόλου ένα - ένα (και μία φορά το καθένα ) ανάμεσα σε δύο άγκιστρα και χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά, χωρίζοντάς τα με κόμμα. Με περιγραφή των στοιχείων του: Αναφέρουμε δηλαδή μια χαρακτηριστική ιδιότητα των στοιχείων, που να εξασφαλίζει όμως ότι αυτά είναι καλά καθορισμένα και διακρίνονται μεταξύ τους. Βασικά σύνολα στα Μαθηματικά : {0,,,...} : Σύνολο των φυσικών αριθμών. {...,,,0,,,...} : Σύνολο των ακεραίων. α {x / x,με α,β β, β 0} : Σύνολο των ρητών {x / x ή x άρρητος} : Σύνολο των πραγματικών * {0} ( Γενικά ο αστερίσκος σαν εκθέτης στα δεξιά του συνόλου δηλώνει ότι το σύνολο δεν περιέχει το 0 ) {0,,,,...} (Γενικά το «+» ως δείκτης δηλώνει ότι το σύνολο περιέχει μόνο τους θετικούς αριθμούς και το 0 ) Ίσα σύνολα: λέγονται δύο σύνολα Α και Β όταν αυτά έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία και γράφουμε : A=B. Πχ. τα σύνολα : A={x Z / x<0 } και Ζ-* είναι ίσα. Υποσύνολο ενός συνόλου Α λέγεται ένα σύνολο Β, όταν κάθε στοιχείο του συνόλου Β ανήκει στο Α. ( συμβολισμός : Β Α ) Πχ. Ν Ζ Q R Kενό : λέγεται το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο ( συμβολισμός : ή { } ) ( Το κενό σύνολο είναι μοναδικό και θεωρείται υποσύνολο κάθε συνόλου ) Βασικό σύνολο : λέγεται το ευρύτερο σύνολο, με τα υποσύνολα του οποίου εργαζόμαστε. Συμβολίζεται συνήθως με Ω. Τα διαγράμματα Venn είναι μια εποπτική παρουσίαση των συνόλων όπου με ένα ορθογώνιο συμβολίζεται το βασικό σύνολο, μέσα στο οποίο κάθε κλειστή καμπύλη γραμμή συμβολίζει ένα σύνολο με στοιχεία όσα στοιχεία του βασικού συνόλου περικλείονται μέσα στη κλειστή αυτή γραμμή. Πράξεις με σύνολα Ένωση δύο συνόλων Α, Β λέγεται το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία και των δύο συνόλων Α, Β. Συμβολίζεται A B Δηλ. Α Β={xΩ / xa ή xb } ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

8 Τομή δύο συνόλων Α, Β λέγεται το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων Α και Β. Συμβολίζεται Α Β Δηλ. Α Β x Ω / x A x B 6 Συμπλήρωμα ενός συνόλου Α λέγεται το σύνολο που περιέχει εκείνα τα στοιχεία του βασικού συνόλου Ω που δεν ανήκουν στο Α. Συμβολίζεται Α Δηλ. Α ={xω / xa }. Δίνονται τα σύνολα Α = { -, κ } και Β = { κ, - }. Να προσδιοριστεί ο κ έτσι ώστε: i) Να ορίζονται τα σύνολα Α και Β ii) Να ισχύει Α=Β. Να προσδιοριστεί ο λ, ώστε να ορίζονται τα σύνολα: i ) Α={, λ } i i ) Β={, λ, λ }. Να γραφούν με περιγραφή τα σύνολα: i ) Α={,,, 0,,, } ii) Β={0,, } 4. Να εξετάσετε ποια σχέση έχουν τα σύνολα : Α x : x x B x : x x 0. (i) και (ii) 6 Α x : x 0 και B x : x 0 (iii) Α x : x x 0 και B x Z : x x 5. Δίνονται τα σύνολα Α=(,] και Β =(, + ). Να βρείτε τα σύνολα Α, Β, Α Β, Α Β, Α, Β. 6. Δίνονται τα σύνολα Α=[,] και Β =(,5). Να παρασταθούν με περιγραφή τα σύνολα Α, Β, Α Β, Α Β, Α, Β. 7. Δίνονται τα σύνολα Α = { χr/ < χ < 5 }, Β = { χz/ χ < 6 } και Γ = { χr/ χ 4 ή χ > }, Να υπολογίσετε και να γράψετε με περιγραφή τα σύνολα: Α Β, Α Β, Α Γ, Α Γ, Γ Β, Γ Β, 8. Δίνονται τα σύνολα Α = { 0,,, 5,6 }, Β = {, 4, 5, 6 } και Γ = { 0,,, 4}. Να συγκριθούν τα σύνολα: (i). α) (Α Β) Γ και (Α Γ) (Β Γ) β) (Α Β) Γ και (Α Γ) (Β Γ) (ii) Ισχύον γενικά τα παραπάνω συμπεράσματα; Αιτιολογήστε την απάντησή σας (iii) Διατυπώστε έναν κανόνα για να θυμάστε τα συμπεράσματα σας. 9. Δίνονται τα σύνολα Ω = { 4,,, 7, 9, 4 }, Α = {, 7, 9 } και Β = { 4,, 7}. Να συγκριθούν τα σύνολα: (i). α) (Α Β) και Α Β β) (Α Β) και Α Β (ii) Ισχύον τα παραπάνω συμπεράσματα για οποιαδήποτε σύνολα Α και Β; Αιτιολογήστε την απάντησή σας 0. (ι) Να βρείτε όλα τα υποσύνολα των συνόλων: Α 0,, Β,, και Γ,, 5, 7 (ii) Υπάρχει σχέση μεταξύ του πλήθους των στοιχείων του συνόλου με το πλήθος των υ- ποσυνόλων του. Μπορείτε να μαντέψτε την σχέση; (iii) Αν ναι, κάντε επαλήθευση της σχέσης με ένα δικό σας παράδειγμα σε ένα σύνολο 4 στοιχείων. ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

9 7 Κεφάλαιο ο Ορισμοί Πείραμα τύχης λέγεται κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες και του οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα. Δειγματικός χώρος ενός πειράματος λέγεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων και συμβολίζεται με Ω. Παρατηρήσεις. Αν,,..., είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης τότε,,...,.. Τα στοιχεία του δειγματικού χώρου λέγονται εξαγόμενα του πειράματος. Αν Ω είναι ένας δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης τότε ονομάζουμε ενδεχόμενο του πειράματος κάθε υποσύνολο του Ω. Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι το Ω είναι ενδεχόμενο του πειράματος αφού. Το Ω ονομάζεται βέβαιο ενδεχόμενο γιατί πραγματοποιείται σε κάθε εκτέλεση του πειράματος. Το κενό σύνολο είναι ενδεχόμενο κάθε πειράματος τύχης γιατί είναι υποσύνολο του Ω. Το κενό σύνολο ονομάζεται ειδικότερα αδύνατο ενδεχόμενο γιατί δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του πειράματος. Πράξεις με ενδεχόμενα. Το ενδεχόμενο που διαβάζεται Α ένωση Β και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β.. Το ενδεχόμενο που διαβάζεται Α τομή Β και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται και το Α και το Β. Το ενδεχόμενο Α που διαβάζεται όχι Α και πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το Α Δύο ενδεχόμενα Α, Β λέγονται ασυμβίβαστα ή αμοιβαίως αποκλειόμενα ή ξένα μεταξύ τους όταν δεν έχουν κοινά στοιχεία όταν δηλαδή. Συγκεντρωτικός Πίνακας Πιθανοθεωρία Συνολοθεωρία Διάγραμμα Venn Ενδεχόμενο όταν πραγματοποιείται το σύνολο Α Ενδεχόμενο ότι πραγματοποιείται το σύνολο όχι Α ή Α Υποσύνολο του Ω Συμπλήρωμα του Α Εμφάνιση του ενδεχομένου Α ή Β Ένωση των Α και Β Εμφάνιση του ενδεχομένου Α και Β Τομή των Α και Β Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α- και Β Ξένα μεταξύ τους σύνολα ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

10 Ερωτήσεις συμπλήρωσης Στην Β Στήλη υπάρχουν γραμμοσκιασμένα διαγράμματα Venn των ενδεχομένων Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω. Συμπληρώσετε την Α Στήλη με το λεκτικό και το συμβολικό του ενδεχομένου και την Γ Στήλη με την πιθανότητά του με τον λογισμό των πιθανοτήτων 8 Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ A Ω B A A A Ω B Ω B Ω B A A A A A Ω B Ω B Ω B Ω B Ω B Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος. Δειγματικός χώρος λέγεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Σωστό Λάθος.... Το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης είναι στοιχείο του δειγματικού χώρου του πειράματος. Σωστό Λάθος.... Ένα αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης λέγεται απλό ενδεχόμενο ή γεγονός. Σωστό Λάθος... ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

11 4. Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε ονομάζουμε ενδεχόμενο του πειράματος κάθε υποσύνολο του Ω. Σωστό Λάθος Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι και αυτός ένα ενδεχόμενο Σωστό Λάθος Με Ν (Α) συμβολίζουμε όλα τα δυνατά υποσύνολα ενός ενδεχομένου Α. Σωστό Λάθος Το κενό σύνολο δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση ενός πειράματος τύχης. Σωστό Λάθος Ενδεχόμενα τα οποία περιέχουν τουλάχιστον δύο αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγονται σύνθετα. Σωστό Λάθος Δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα όταν Α Β = Α. Σωστό Λάθος Οι εκφράσεις: «πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α ή το Β» και «πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α και Β» είναι ισοδύναμες. Σωστό Λάθος.... Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω, τότε ισχύει η ισότητα Α - Β = Α Β. Σωστό Λάθος Ερωτήσεις τύπου Πολλαπλών Επιλογών. Από τις παρακάτω ισότητες σωστή είναι η Α. Α = Α. Β. Α Α = Ω. Γ. Α Β = Α Β Δ. Ω = Ω.. Ε. (Α ) = Α.. Με βάση το παρακάτω διάγραμμα Venn το σύνολο (Κ Λ ) (Κ Λ) είναι το: 6 Α 4 5 Β Ω Α: {,, } Β: {,, 4, 5} Γ: {,, 6} Δ: {, 4, 5} Ε: { 6 }. Έστω Α = {,, 5} και Β = {, 4, 6} δύο ενδεχόμενα της ρίψης ενός ζαριού μια φορά. Αν το αποτέλεσμα της ρίψης είναι ο αριθμός τότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α. Α Β. Β. Α. Γ. Β. Δ. Α Β. Ε. Β Α. 4. Αν Κ, Λ ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε: Α: Κ Λ=Ω Β: Κ Λ=Ω Γ: Κ Λ= ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

12 0 Δ: Κ Λ= Ε: Κ Λ= και Κ Λ=Ω 5. Αν Κ, Λ δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε Κ Λ = : Α: Κ Λ Β: Κ Λ Γ: Κ Λ Δ: Κ Λ Ε: κανένα από τα προηγούμενα 6. Θεωρούμε πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Ω, και δύο ενδεχόμενα Α και Β. Tο γραμμοσκιασμένο μέρος στο παρακάτω διάγραμμα Venn είναι το: Ω Α Β Α: (Α Β) (Β Α) Β: (Α Β) (Α Β) Γ: (Α Β ) (Α Β ) Δ: (Α Β) (Α Β ) Παράδειγμα Ε: (Α Β) (Α Β ). Ρίχνουμε ένα πρώτα ένα νόμισμα και μετά ένα ζάρι. i) Να γραφτεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. ii) Να παρασταθούν με αναγραφή τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: Α : «Στο νόμισμα ήρθε Κεφάλι (Κ)» Α : «Στο ζάρι ήρθε ζυγό αποτέλεσμα» Α : «Στο ζάρι ήρθε ή ή 4» iii) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα,,,,,, Λύση iv) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα v) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα,. Τι παρατηρείτε;,. Τι παρατηρείτε i) Για να προσδιορίσουμε το δειγματικό χώρο, θα χρησιμοποιήσουμε το παραπάνω δεντροδιάγραμμα Άρα, ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από διατεταγμένες δυάδες Ω Κ,Κ,Κ,Κ4,Κ5,Κ6,Γ,Γ,Γ,Γ4,Γ5,Γ6 ii) Έχοντας υπόψη το δειγματικό χώρο Ω Α Κ,Κ,Κ,Κ4,Κ5,Κ6 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

13 Α Α Κ,Κ4,Κ6,Γ,Γ4,Γ6 Κ,Κ,Κ4,Γ,Γ,Γ4 iii) Το Α περιέχει εκείνα τα στοιχεία του δειγματικού χώρου που δεν περιέχει το Α περιέχει δηλαδή τα στοιχεία στα οποία υπάρχει Γράμματα (Γ), Δηλαδή: Α Γ,Γ,Γ,Γ4,Γ5,Γ6 Το Α περιέχει εκείνα τα στοιχεία του δειγματικού χώρου που δεν περιέχει το Α περιέχει δηλαδή τα στοιχεία στα οποία υπάρχει μόνο αποτέλεσμα του ζαριού, Δηλαδή Α Κ,Κ,Κ5,Γ,Γ,Γ5 Ομοίως Α Κ,Κ5,Κ6,Γ,Γ5,Γ6 Το ενδεχόμενο Α Α περιέχει τα κοινά στοιχεία των Α και Α, δηλαδή τα στοιχεία του δειγματικού χώρου που στην ρίψη του κέρματος ήρθε Κεφάλι και στην ρίψη του Α Α Κ,Κ4,Κ6 ζαριού ζυγό αποτέλεσμα. Το ενδεχόμενο Α Α περιέχει τα κοινά στοιχεία των Α και Α, δηλαδή τα στοιχεία του δειγματικού χώρου που στην ρίψη του κέρματος ήρθε Γραμματα και στην ρίψη του Α Α Γ,Γ4,Γ6 ζαριού ζυγό αποτέλεσμα. Ομοίως Α Α Γ,Γ4,Κ,Κ4 iv) Α Α Κ,Κ,Κ,Κ4,Κ5,Κ6,Γ,Γ4,Γ6, οπότε Α Α Γ,Γ,Γ5. Παρατηρώ ότι Α Α Γ,Γ,Γ5 Α Α Α Α v) Α Α Κ,Κ4,Κ6 οπότε Α Α Κ,Κ,Κ5,Γ,Γ,Γ,Γ4,Γ5,Γ6 Παρατηρώ ότι Α Α Κ,Κ,Κ5,Γ,Γ,Γ,Γ4,Γ5,Γ6 Ασκήσεις για λύση Α Α Α Α. Έστω ένας τριψήφιος αριθμός 4 x. και ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α : «ο αριθμός διαιρείται με το» και Β : «ο αριθμός διαιρείται με το 5». Επιλέγουμε τυχαία το ψηφίο των μονάδων. Να βρεθούν τα ενδεχόμενα: (i) «ο αριθμός διαιρείται με το και με το 5» (ii) «ο αριθμός διαιρείται με το ή με το 5» (iii) «ο αριθμός διαιρείται μόνο με το» (iv) «ο αριθμός διαιρείται ή με το ή με το 5» (v) «ο αριθμός δεν διαιρείται ούτε με το ούτε με το 5» (vi) «ο αριθμός διαιρείται με έναν το πολύ από τους αριθμούς και 5».. Ρίχνουμε ένα νόμισμα και ένα ζάρι συγχρόνως και ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α : «το αποτέλεσμα του ζαριού να είναι μικρότερο του 4» και Β : «γράμματα στο νόμισμα και περιττό αποτέλεσμα στο ζάρι». Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου Ω, να υπολογιστούν τα ενδεχόμενα: α) Α β) Β γ) Α Β δ) ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

14 . Δύο φίλοι παίζουν σκάκι με την εξής συμφωνία: κερδίζει αυτός που θα πάρει πρώτος δύο νίκες ή δύο συνεχόμενες νίκες. Έστω α η περίπτωση να νικήσει ο πρώτος και β να νικήσει ο δεύτερος σε ένα σετ. (i) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. (ii) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα: Α : «να τελειώσει ο αγώνας σε δύο σετ». Β : «να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης». (iii) Πόσες το πολύ αναμετρήσεις θα είχε μια τέτοια συνάντηση; (iv) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα:, και Β. 4. Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό α από το σύνολο Α = { 0,, } και έναν αριθμό β από το σύνολο Β = {,, 5}. (i) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. (ii) Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α : «η εξίσωση αx βx 0 είναι δευτέρου βαθμού» Β : «η ευθεία αx βy είναι παράλληλη στην ευθεία y = x» Γ : «η εξίσωση x αx βx 6 0 έχει ρίζα τον αριθμό». 5. Ένας εκδοτικός οίκος ελέγχει την εκτύπωση ενός λογοτεχνικού βιβλίου. Ο έλεγχος σταματά όταν βρεθούν δύο ελαττωματικά βιβλία ή όταν έχουν ελεγχθεί 4 βιβλία. Να βρείτε: (i) Το δειγματικό χώρο Ω. (ii) Τα ενδεχόμενα: Α: Ακριβώς ελαττωματικά βιβλία, Β: τουλάχιστον ελαττωματικά βιβλία, Γ: το πολύ ελαττωματικά βιβλία. 6. Οι ομάδες πετοσφαίρισης του ου Λυκείου και του ου Λυκείου παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει σε δύο αγώνες στη σειρά ή σε δύο αγώνες ανεξαρτήτως σειράς. Να βρείτε: (i) (ii) (iii) Το δειγματικό χώρο Ω των αποτελεσμάτων των αγώνων της συνάντησης. Τα ενδεχόμενα: Α: Ακριβώς μία νίκη της ομάδας του ου Λυκείου, Β: καμία νίκη της ομάδας του ου Λυκείου, Γ: τουλάχιστον μία νίκη της ομάδας του ου Λυκείου. Πόσους αγώνες το πολύ θα είχε μία τέτοια αθλητική συνάντηση; (iv) Τι παρατηρείτε για τα ενδεχόμενα Β και Γ; 7. Σε ένα κουτί υπάρχουν: 0 λευκές σφαίρες αριθμημένες ανά 0 με τους αριθμούς, και. 40 κόκκινες σφαίρες αριθμημένες ανά 0 με τους αριθμούς,, και 4. 0 μπλε σφαίρες αριθμημένες ανά 5 με τους αριθμούς,4,6 και 8. 0 μαύρες σφαίρες αριθμημένες ανά 5 με τους αριθμούς,,,4,5 και 6. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: επιλέγουμε μια σφαίρα με άρτιο αριθμό. Β: επιλέγουμε μια σφαίρα με τον αριθμό. Γ: επιλέγουμε μια κόκκινη σφαίρα με άρτιο αριθμό. Δ: επιλέγουμε μια σφαίρα κόκκινη ή με άρτιο αριθμό. Να υπολογίσετε τα NA,NB,NΓ,ΝΔ ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

15 Έστω Η Έννοια της Πιθανότητας,,..., ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε στοιχειώδες ενδεχόμενο αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό που τον συμβολίζουμε με i έτσι ώστε να ισχύουν: 0 i i... Τον αριθμό i τον ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου i Αν ορίζουμε ως πιθανότητα του Ρ(Α) το,,..., Ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ορίζουμε το 0. Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων.... Αν τότε δύο ασυμβίβαστα τότε Για δύο αντίθετα ενδεχόμενα Α και Α έχουμε.. Αν Α, Β είναι δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα τότε. 4. Επίσης αν για τα ενδεχόμενα Α, Β έχουμε τότε.. Γενικότερα αν έχουμε,,... είναι ανά Κλασσικός Ορισμός Πιθανότητας Αν Ω είναι ένας δειγματικός χώρος με απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, τότε η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α είναι : ή ευνοικών ώ. ύ ώ ώ Παραδείγματα. Ρίχνουμε ένα πρώτα ένα νόμισμα και μετά ένα ζάρι. i) Να γραφτεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. ii) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α : «Στο νόμισμα ήρθε Κεφάλι (Κ)» Α : «Στο ζάρι ήρθε ζυγό αποτέλεσμα» Α : «Στο ζάρι ήρθε ή ή 4» iii) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων; Λύση Β : «Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α» Β : «Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α» Β : «Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α» i) Για να προσδιορίσουμε το δειγματικό χώρο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα δεντροδιάγραμμα:, μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε και πινάκα διπλής εισόδου Ζάρι Κέρμα Κ Κ Κ Κ Κ4 Κ5 Κ6 Γ Γ Γ Γ Γ4 Γ5 Γ6 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

16 4 Άρα, ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από διατεταγμένες δυαδες Ω Κ,Κ,Κ,Κ4,Κ5,Κ6,Γ,Γ,Γ,Γ4,Γ5,Γ6 ii) Έχοντας υπόψη το δειγματικό χώρο Ω βλέπουμε ότι έχει x6 απλά ενδεχόμενα Ν Ω άρα Α Α Α Κ,Κ,Κ,Κ4,Κ5,Κ6, ΝΑ 6 όποτε Κ,Κ4,Κ6,Γ,Γ4,Γ6, ΝΑ 6 όποτε Κ,Κ,Κ4,Γ,Γ,Γ4, ΝΑ 6 όποτε iii) Β Κ,Κ5, ΝΒ όποτε Β Β Γ6, ΝΒ όποτε Γ, ΝΒ όποτε ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ ΝΑ 6 Ρ Α 0,5 ή 50 Ν Ω 0 0 ΝΑ 6 Ρ Α 0,5 ή 50 Ν Ω 0 0 ΝΑ 6 Ρ Α 0,5 ή 50 Ν Ω ΝΒ Ρ Β 0,67 ή 6,7 Ν Ω 0 0 ΝΒ Ρ Β 0,08 ή 8, Ν Ω 0 0 ΝΒ Ρ Β 0,08 ή 8, Ν Ω Στο ο Λυκείου το 60% των μαθητών ασχολείται με το ποδόσφαιρο, το 40% με το μπάσκετ και το 0% με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρεθεί η πιθανότητα: i) Να μην ασχολείται με το μπάσκετ ii) Να μην ασχολείται ούτε με το ποδόσφαιρο ούτε με το μπάσκετ iii) Να ασχολείται με το μπάσκετ και να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο iv) Να ασχολείται με ένα το πολύ από τα παραπάνω αθλήματα. Λύση: Π : «ενδεχόμενο ο μαθητής να ασχολείται με το Ποδόσφαιρο» Μ : «ενδεχόμενο ο μαθητής να ασχολείται με το Μπάσκετ» 0 ΡΠΜ 0, 00 Ρ Μ Ρ Μ 0,4 0,6 ή 60 i) Ρ Π 0, Ρ Μ 0,4 00 ii) Π Μ : «ενδεχόμενο ο μαθητής να ασχολείται είτε με ποδόσφαιρο είτε με μπάσκετ» Π Μ : «ενδεχόμενο ο μαθητής να μην ασχολείται ούτε με το ποδόσφαιρο ούτε με το μπάσκετ» Ρ ΠΜ Ρ Π Ρ Μ Ρ ΠΜ 0,6 0,4 0, 0,8 ή 80. Άρα 0 0 Ρ ΠΜ Ρ ΠΜ 0,8 0, ή 0 Ρ ΜΠ Ρ Μ Ρ ΠΜ 0,4 0, 0, ή 0 Οπότε 0 0 iii) 0 0 iv) Π Μ : «ενδεχόμενο ο μαθητής να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο και το μπάσκετ συγχρόνως». Άρα Ρ ΠΜ 0 ΡΠΜ 0, 0,8 ή 80 0.

17 5 Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος. Αν για δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ισχύει, τότε. Σωστό Λάθος.... Αν για δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ισχύει ΡΑ ΡΒ, τότε ΝΑ ΝΒ ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ. Σωστό Λάθος.... Αν Α ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω, τότε Ν Α Ν Α. Σωστό Λάθος Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω,.τότε πάντα ισχύει Ν Α Β Ν Α Ν Β Σωστό Λάθος Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω και ΡΑ ΡΒ, τότε Α Β Σωστό Λάθος Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε ΡΑ ΡΑ Β. Σωστό Λάθος Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε ΡΒ ΡΑ Β. Σωστό Λάθος Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε ΡΑ ΡΒ. Σωστό Λάθος Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε ΡΑ ΡΒ. Σωστό Λάθος Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε Ρ Α Ρ Β Ρ Α Β Ρ Α Β. Σωστό Λάθος Ερωτήσεις τύπου Πολλαπλών Επιλογών. Για την πιθανότητα Ρ (Α) κάθε ενδεχομένου Α ενός πειράματος τύχης ισχύει Α. < Ρ (Α) <. Β. Ρ (Α) >. Γ. Ρ (Α) < 0. Δ. 0 Ρ (Α). Ε. κανένα από τα παραπάνω... Ο απλός προσθετικός νόμος των πιθανοτήτων για δύο ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β είναι Α. Ρ (Α) + Ρ (Β) =Ρ (Α Β). Γ. Ρ (Α) + Ρ (Β) = Ρ (Α Β). Ε. Ρ (Α) Ρ (Β) =Ρ (Α Β). Β. Ρ (Α) + Ρ (Β ) = Ρ (Α Β). Δ. Ρ (Α) Ρ (Β) = Ρ (Α Β).

18 6 Ασκήσεις για λύση. Ένα παιδί έχει νομίσματα στην τσέπη του τρία των ένα των. πέντε των 0,5. τρία των 0,0. Στην τύχη βγάζει ένα νόμισμα. Βρείτε την πιθανότητα : i) Ένα των. ή ένα των 0,0. (απαντ. ½) ii) Ένα των ή ένα των 0,5. ή ένα των 0,0. (απαντ. /). Από μία καλά ανακατεμένη τράπουλα τραβάμε ένα φύλλο στην τύχη. Βρείτε την πιθανότητα να είναι μπαστούνι ή ρήγας. (απαντ. 4/). Μία οικογένεια έχει τρία παιδιά. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Α : «Το πρώτο παιδί να είναι αγόρι» Β : «Έχει παιδιά και των δύο φύλλων» Γ : «χει ακριβώς ένα αγόρι» Δ : «Έχει τουλάχιστον ένα αγόρι» 7 Ποια η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου; (απαντ:,,, ) Σε μία έρευνα των μαθητών της Α Λυκείου διαπιστώθηκε ότι το 60% των μαθητών δεν έχει χαλασμένα δόντια, το 0% δεν είναι υπέρβαρο και το 0% δεν είναι υπέρβαρο ούτε έχει χαλασμένα δόντια. Να βρείτε την πιθανότητα ένας μαθητής της συγκεκριμένης τάξης που επιλέχθηκε τυχαία να είναι υπέρβαρος και να έχει χαλασμένα δόντια. (απαντ : 0.) 5. Τρία άλογα τρέχουν σε μία ιπποδρομία. Το α έχει διπλάσιες πιθανότητες να νικήσει από το β και το β έχει διπλάσιες πιθανότητες από το γ. Βρείτε την πιθανότητα να νικήσει το β ή το γ. 6. Έστω ο δειγματικός χώρος,,, 4 Αν ισχύουν οι σχέσεις : 4 και. Να βρείτε : i) Τα,, και ii) Τα και αν, (απαντ :,,, 4,, ) Ρίχνουμε ένα νόμισμα ν φορές ν N. i) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου «οι ενδείξεις σε δύο οποιεσδήποτε συνεχόμενες ρίψεις είναι διαφορετικές» ii) Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό ρίψεων για τον οποίο η πιθανότητα του Α είναι μικρότερη από (απαντ : α) Ρ(Α)=/ν-, β) ν=6 ) 6 8. Τα ενδεχόμενα Α και Β είναι τέτοια ώστε : ΡΑ, Ρ( Α Β ), Ρ( Α Β ). 4 5 (απαντ : α) /4, β) 7/60, γ) /0 ) Βρείτε τα α) Ρ(Α) β) Ρ(Β) γ) 9. Για δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει : ΡΑ Β ΡΑ ΡΒ. Δείξτε ότι ισχύει η σχέση : ΡΑ Β ΡΑ ΡΒ. 0. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α και Β για τα οποία υποθέτουμε Ρ(Α)=α, Ρ(Β)=β, και Ρ Α Β γ. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: «εμφανίζεται ένα ακριβώς από τα Α και Β (απάντ : α+β-γ). Σε μία σφυγμομέτρηση που έγινε τα 5 των ατόμων δήλωσαν ότι γνωρίζουν Αγγλικά, το 4 Γαλλικά και το 5 και τις δύο γλώσσες. Εκλέγουμε στην τύχη ένα άτομο. Να βρείτε την πιθανότητα : ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

19 7 i) Να μην γνωρίζει ούτε Αγγλικά, ούτε Γαλλικά ii) Να γνωρίζει μόνο Αγγλικά iii) Να γνωρίζει μόνο Αγγλικά ή μόνο Γαλλικά Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν : ΡΑ Β 5 Ρ Α Β (απαντ : Ρ(Β)=/, Ρ(Α)=8/5, Ρ(Α Β )=/5, Ρ(Α Β)=4/5 ), ΡΒ καιρα Β τότε να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(Α), ΡΑ Β,. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν 4 ΡΑ, ΡΒ, ΡΑ Β. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : 5 5 Γ : να μη πραγματοποιηθεί το Α Δ : να πραγματοποιηθούν και το Α και το Β Ε : να πραγματοποιηθεί μόνο το Β Ζ: να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β Η: να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β 7 (απαντ : ΡΓ, ΡΔ, ΡΕ, ΡΖ, ΡΗ ) Έστω Α, Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω μερα, ΡΒ 4 i) Να εξετάσετε αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. ii) Να αποδείξτε ότι : α) ΡΑ Β β) ΡΑ Β Η πιθανότητα να επιλεγεί ένας μαθητής για την ομάδα ποδοσφαίρου του σχολείου του είναι 6 ενώ για την ομάδα μπάσκετ είναι. Η πιθανότητα να εκλεγεί και στις δύο ομάδες είναι 5. Ποια η πιθανότητα των ενδεχομένων : 0 i) Α: Να επιλεγεί τουλάχιστον σε μία από τις δύο ομάδες ii) Β: Να επιλεγεί μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου iii) Γ: Να επιλεγεί μόνο σε μία από τις δύο ομάδες (απαντ : Ρ(Α)=4/5, Ρ(Β)=/5, Ρ(Γ)=/6) 6. Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και Α, Β υποσύνολα Ρ Α 0,8 Ρ Β 0,7. Να αποδείξτε ότι : του Ω. Έστω και i) ΡΑ Β,0 ΡΑ Β ii) Το ενδεχόμενο (Α B) δεν είναι το κενό. (Δ ΔΕΣΜΗ 994) Ω ω, ω, ω. 7. Έστω ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Να δείξετε ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός α 0 ώστε να ισχύουν: Ρω, Ρω α 5, Ρω α α Ω ω, ω, ω, ω. 8. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με 4 Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Α ω, ω, ω με και Β ω, ω με Ρ Α 5 4 Ρ Β. 0 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

20 8 Να βρεθούν οι πιθανότητες: Ρω, Ρω 4 (απαντ : Ρ(ω)=/4 Ρ(ω4)=/5) καιρβ 0,4. 9. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με ΡΑ 0, Να αποδείξτε ότι: 0,4 ΡΑ Β 0,7. 0. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ΡΑ 0,5 και ΡΒ 0,7. Να αποδείξτε ότι 0, ΡΑ Β 0,5. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγμ. χώρου Ω. Να δείξτε ότι: ΡΑ ΡΑ Β ΡΒ. Να αποδείξτε ότι δεν υπάρχει ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου ώστε να ισχύει :. ΡΑ Ρ Α 4. Μία αυτοκινητοβιομηχανία έκανε μία έρευνα για ένα τύπο αυτ/του που παράγει. Η έρευνα έδειξε ότι : α) Η πιθανότητα το αυτ/το να έχει πρόβλημα στα φρένα είναι 0,05 β) Η πιθανότητα να έχει πρόβλημα στο ψυγείο είναι 0,06 γ) Η πιθανότητα να έχει και στο ψυγείο και στα φρένα είναι 0,0 Να βρεθεί η πιθανότητα : i) Το αυτοκίνητο να έχει πρόβλημα στα φρένα ή στο ψυγείο. ii) Το αυτοκίνητο να έχει πρόβλημα μόνο στα φρένα ή μόνο στο ψυγείο. 4. Μετά από έρευνα που αφορούσε τους κατοίκους μιας χώρας είχαμε τα αποτελέσματα : Το 0% δεν γνωρίζει ανάγνωση το 5% δεν γνωρίζει γραφή και το 5% δεν γνωρίζει ούτε ανάγνωση ούτε γραφή. Ποια η πιθανότητα ένας κάτοικος να γνωρίζει ανάγνωση και γραφή; 5. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω ω, ω, ω ενός πειράματος τύχης : Αν, και Ρ ω λ ημθ 6 Ρ ω ημθ λ θ 0,π και τις πιθανότητες των 6. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω ω, ω, ω, ω 5 Ρ ω λ ημθ. Να βρείτε λ και ω, ω, ω (Υπ : Άθροισμα= 4 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν α, β ώστε να ισχύουν: ενός πειράματος τύχης. Ρ ω α α 4 β, Ρ ω 5 αβ, Ρ ω β α, Ρ ω αβ β 4 λ ημθ 0... ) 7. Τα δυνατά αποτελέσματα ω, ω, ω ενός πειράματος τύχης πραγματοποιούνται με σχετικές συχνότητες,,. Να βρείτε το λ ώστε οι σχετικές συχνότητες λ λ λ λ 6 αυτές να αντιπροσωπεύουν τις πιθανότητες των ενδεχομένων ω, ω, ω. 8. Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αποδείξτε ότι: Ρ Α Ρ Β Ρ Α Ρ Β Ρ Α Ρ Β 9. Έστω Α ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω και λ ώστε να ισχύει : ΡΑ ΡΑ 4λ 4. Δείξτε ότι λ 4 0. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)=α και Ρ(Β)=β όπου α+β<. Να δείξτε ότι Α,Β δεν είναι ξένα μεταξύ τους.. Για το ενδεχόμενο Α ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση: Ρ Α Ρ Α κ, κ. Δείξτε ότι Ρ(Α )=0. ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

21 9 Κεφάλαιο ο Αναλογίες Παραγοντοποίηση Απλοποιήσεις Είναι η διαδικασία με την οποία μετατρέπουμε μία αλγεβρική παράσταση από άθροισμα σε γινόμενο. Μέθοδοι Παραγοντοποίησης i) Κοινός παράγοντας Π.χ. αβ + αγ α β + α γ = α (β + γ), αβ - αγ α β - α γ = α (β - γ) ii) -α β - αβγ + β -α α β - α β γ + β β (-α - αγ + ) -β (α + αγ - ) Ομαδοποίηση (ή βγάζω κοινούς παράγοντες κατά ομάδες) Π.χ. αβ + αγ + κβ + κγ α β + α γ + κβ + κγ α (β + γ) + κ(β + γ) (β + γ)(α + κ) iii) Με τη βοήθεια Ταυτοτήτων. Διαφορά τετραγώνων α -β = (α + β)(α -β)..άθροισμα κύβων α + β = (α +β)(α - αβ +β ).Διαφορά κύβων α -β = (α -β)(α + αβ +β ) 4.Ανάπτυγμα τετραγώνου αθροίσματος 5.Ανάπτυγμα τετραγώνου διαφοράς. Να γίνουν οι πράξεις : α + αβ + β = (α + β) α - αβ + β = (α -β) x + α + β x + α β = x α x β Ασκήσεις για λύση Α) ( x yz ) (x y z ) ( xy z ) 7 6 x yz 4x y z xy. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: i) xy 4y 4x ii) x x x iii) v) viii) 7 xy Β) 7 5 Γ) xy z x x iv) xy vi) x x x 4 x 8 vii) 5 4 α α α α α ix) y ω yω x) x x xy x y βx αβ x αx 7 4 x 8x x 8 4 xi) αβ α β 4αβ x y z xiii) xii) x y αy α xiv) 75x xv) 4 α α xvi) α β xvii) 8 8 5x 0x xviii) 4x 4x xxi) x x xxii) α( α y) β( x α) x( α y). Να κάνετε τις πράξεις αφού πρώτα αναπτύξετε τις ταυτότητες μόνες τους β) x x x x α) x x x x Να γίνουν οι πράξεις : α) χψ χ ψ χψ χ ψ β) χ χ 4 χ 5. Να γίνουν γινόμενα : α) 6χ 6χ χ β) α χ χ γ) 6. Όμοια οι παραστάσεις : α) 9χ αχ 4α β) 4χ χ γ) 5χ 4 χ 5 4 χ χ 4 χ 4 7. Όμοια α)χ χ χ χ β) γ) χ χ χ χ 5 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ χ χ χ ψ δ) 6χ 8. Να γίνουν επίσης γινόμενο : α) χ χψ ψ β) 4χ 4χψ 5ψ γ) 4 χ 8χ 4 6ψ

22 0 9. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις : i) χ χ iii) α α β β iv) α β α β v) vi) α 5α α 4α ii)χψ 6χω αψ αω α β α β 0. Επίσης οι παραστάσεις : i) χ 4χ χ 4χ ii)χ 5 94χ 5 iii) χ 6 χ 4 iv) χ ψ α χψ. Αν α+β=5 και αβ=4 Να βρείτε τις παραστάσεις α) α β β) α β γ) 4 4. Να βρείτε τους αριθμούς α,β ώστε να ισχύει : α β α β α β [Κάνω απλοποίηση σε κλάσμα μόνο παραγόντων, αφού δηλαδή έχω παραγοντοποιήσει αριθμητή και παρονομαστή]. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) x 5 α α α α, ii) (β α), iii) 4β 9α x x x x x 4 iv) x 6 x xy y x y (x 6)(x x) 5α βγ, v), vi), vii) x 0x 5 x y x y (x x)(x 4x) 0αβ γ x x α xα viii), ix) 4x x α xα 8x, x) xw 8x w, xi) (x )(x 4) ( x)(x 6) x 4 Αναλογίες Κάθε ισότητα κλασμάτων ονομάζεται αναλογία. Π.χ. 4 8 ή x α β γ x α β γ Στην αναλογία α γ, τα α,δ λέγονται άκροι όροι, ενώ τα β,γ μέσοι όροι. β δ Ιδιότητες αναλογιών: (ΠΑΝΤΑ, υπό την προϋπόθεση ότι τα κλάσματα ορίζονται) i) α γ αδ β γ (τα «χιαστί» γινόμενα είναι ίσα) β δ ii) α γ α β δ γ ή β δ γ δ β α iii) α γ κ α γ,κ 0, αλλά και α γ α γ,λ 0 β δ κ β δ β δ λ β λ δ iv) α γ α β γ δ β δ β δ v) α γ α γ β δ α β γ δ vi) Αν α γ ε... χ λ β δ ζ ψ γ... ε... χ β δ ζ ψ β δ ζ... ψ Αν δίνεται ότι οι αριθμοί x,y είναι ανάλογοι προς τους α,β, τότε ισχύει: x y ή x α α β y β 4. Να βρεθούν θετικοί αριθμοί που είναι ανάλογοι με τους αριθμούς,, 4 και το άθροισμά τους είναι 6., ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

23 5. Αν α, να βρεθεί ο λόγος β 4 7α 4β. α 5β 6. Να βρεθούν οι x, y, w αν είναι ανάλογοι των, 4, 7 και επιπλέον x y w 0. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από τον β, και γράφουμε α>β, όταν πάνω στον άξονα χ χ βρίσκεται δεξιότερα από αυτόν. Τότε για την διαφορά ισχύει α-β>0 Κανόνες προσήμου στις ανισότητες ι) Αν α>0 και β>0 τότε α+β>0 ιι) Αν α<0 και β<0 τότε α+β<0 ιιι) Αν α,β ομόσημοι (δηλαδή και οι δύο θετικοί ή και οι δύο αρνητικοί ) τότε αβ >0 και α 0 β ιν) Αν α, β ετερόσημοι ( δηλαδή ένας θετικός και ένας αρνητικός) τότε αβ<0 και α 0 β ν) Επίσης α 0. Ιδιότητες Ανισοτήτων ι) Μεταβατική ιδιότητα α>β και β>γ τότε α>γ ιι) Πρόσθεση αριθμού σε ανισότητα α>β ιιι) Πολλαπλασιασμός ενός αριθμού σε μια ανισότητα α>β Αν γ>0 τότε αγ>βγ και α β γ γ Αν γ<0 τότε αγ<βγ και α β γ γ ιν) Πρόσθεση ανισοτήτων μπορεί να γίνει μόνο όταν έχουν ίδια φορά: α β τότε α+γ>β+δ γ δ ν) Πολλαπλασιασμός κατά μέλη ανισοτήτων μόνο όταν έχουν ίδια φορά και οι αριθμοί είναι θετικοί: α β 0 γ δ 0 τότε α γ β δ νι) Οι ανισότητες δεν αφαιρούνται και δεν διαιρούνται. νιι) Για θετικούς αριθμούς έχουμε α β 0 τότε α ν β ν. Παραδείγματα. Δείξτε ότι για κάθε α,β R α β 4 β ισχύει: Λύση: Μεταφέρουμε τους όρους στο ο μέλος και προσπαθούμε να δείξουμε ότι το άθροισμα είναι μη αρνητικό: [τέλειο τετράγωνο ή άθροισμα μη αρνητικό που προκύπτει από ταυτότητες και ιδιότητες των πράξεων] α β 4 β α β 4β 4 α β 4β 4 0 α β 0 Όμως α 0 β 0 σχύει η αρχική σχέση α β 4β ι- άρα α β 0 και επειδή χρησιμοποιήσαμε ισοδυναμίες ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

24 . Αν α β και y x, δείξτε ότι: α βx y αx βy Λύση: Μεταφέρουμε τους όρους στο ο μέλος και προσπαθούμε να δείξουμε ότι το γινόμενο είναι μη αρνητικό: [γινόμενο μη αρνητικό που προκύπτει είτε από ταυτότητες είτε από τα δεδομένα με ιδιότητες των πράξεων] α β x y αx βy αx αy βx βy αx βy 0 αy βx αx βy 0 xβ α yβ α 0 β αx y 0 α β β α β α 0 άρα β αx y 0 και επειδή χρησιμοποιήσαμε ισο- Όμως y x x y x y 0 δυναμίες ισχύει η αρχική σχέση α βx y αx βy. Αν α β να συγκριθούν οι αριθμοί: Α α β και Β αβ βα Λύση: Σχηματίζουμε την διαφορά Α Β και προσπαθούμε να βρούμε το πρόσημο της παράστασης Α Β α β αβ βα α β αβ βα α α β β α β Όμως α β α β α β α β α β α β α β άρα α βα β 0 οπότε Α Β α β 0 α β α β 0 0ν 8 4. Αν ν φυσικός με ν, δείξτε ότι: Α ν Λύση: Σε ένα κλάσμα με θετικούς όρους αν μικρύνουμε τον παρονομαστή γίνεται μεγαλύτερο οπότε Α ν 0ν 8 0ν 8 ν Σε ένα κλάσμα με θετικούς όρους αν μεγαλώσουμε τον αριθμητή γίνεται μεγαλύτερο οπότε 0ν 8 0ν 8ν 0ν 8 8ν 0ν 8 6 αφού ν 8ν 4 8 ν ν ν ν ν ν Όμως ν ν ν ν 0ν 8 6 Άρα λοιπόν Α και από την μεταβατική ιδιότητα Α<. ν ν Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών. Αν 0<α<β τότε: Α. α β β α Β. α β β α Γ. α β Δ. β α β α α β α. Αν 0 β, τότε Α. α β > 0 Β. α β < 0 Γ. α > 0 Δ. β > 0. Η ανίσωση (x ) > 0 αληθεύει για κάθε χ με: Α. χ> Β. 0<χ< Γ. xr Δ. χ 4. Η σχέση α +β = 0 ισχύει αν και μόνο αν: Α. α = β = 0 Β. α <0 και β < 0 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

25 Γ. α 0 ή β 0 Δ. για κάθε α,β R 5. Η σχέση α +β > 0 ισχύει αν και μόνο αν: Α. α = β = 0 Β. α <0 και β < 0 Γ. α 0 ή β 0 Δ. για κάθε α,β R 6. Το σύνολο x R / α x β είναι το διάστημα: Α. α,β Β. α,β Γ. α,β Δ. α,β 7. Το διάστημα α,β αναπαριστά το σύνολο: Α. x R / α x β Β. x R / α x β Γ. x R / α x β Δ. x R / α x β 8. Η ανίσωση x 5 συμβολίζεται με διάστημα x,5 x,5 Α. Β. Γ. x 5, Δ. x 5, 9. Οι ανισώσεις < x < 9 και < x < 0 συναληθεύουν όταν: Α. x (,0) Β. x (,9) Γ. x (,) Δ. x (9,0) 0. Αν x α,β, τότε: Α. x,α β, Β. x,α β, Γ. x,α β, Δ. x,α β,. Αν x,,, τότε το x ανήκει στο διάστημα: Α., Β., Γ., Δ.,. Για τα διαστήματα α,β, α,β ισχύει: Α. α,β α,β Β. α,β α,β Γ. α,β α,β Δ. α,β α,β α,β. Για τα διαστήματα α,β, α,β ισχύει: Α. α,β α,β α,β Β. α,β α,β α,β Γ. α,β α,β α,β Δ. α,β α,β α,β Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος. Ισχύει: x 0 x=0. Σωστό Λάθος.... Αν α β και β α τότε α=β. Σωστό Λάθος.... Για κάθε α, β ισχύει: α β 0. Σωστό Λάθος Αν α > β και γ > δ τότε α γ > β δ Σωστό Λάθος Ισχύει: α > β α > β. Σωστό Λάθος... ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

26 4 6. Αν βδ 0, τότε: α γ αδ β γ. β δ Σωστό Λάθος Αν α, τότε α>β. β Σωστό Λάθος Ισχύει η ισοδυναμία: x y 0 x y 0 Σωστό. Λάθος Αν α<0<β, τότε α β. Σωστό. Λάθος Αν α<β<0, τότε α 00 β. Σωστό. Λάθος..... Ο αριθμός α είναι εσωτερικό σημείο του α,β αφού α α,β. Σωστό. Λάθος..... Ο αριθμός α β είναι εσωτερικό σημείο του α,β. Σωστό. Λάθος.... α,β α,β.. Το ανοικτό διάστημα α,β δεν έχει άκρα αφού Σωστό. Λάθος.... α,β α α,β β. 4. Ισχύει: Σωστό. Λάθος.... α, x R / x α. 5. Ισχύει: Σωστό. Λάθος Ισχύει: R. Σωστό. Λάθος...., 7. Το σύνολο R, σαν διάστημα γράφεται Σωστό. Λάθος....,α α, α. 8. Ισχύει: Σωστό. Λάθος....,α α, R α 9. Ισχύει: Σωστό. Λάθος.... ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

27 5 0. Αν α<β, τότε,β α, α,β. Σωστό. Λάθος.... Ερωτήσεις Αντιστοίχισης Συμπλήρωσης Σε κάθε σύμβολο της στήλης Α να αντιστοιχίσετε μέσα στο το γράμμα της στήλης Γ που δίνει το αντίστοιχο διάστημα και στο... της στήλης Β να γράψετε την αντίστοιχη ανισότητα. Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ. [,0]. (,0]. (, ) 4. (, ] 5. (,+ ) 6. [,+ ). Να δείξετε ότι :. Να δείξετε ότι : α β (α β) x 4x 4. Ασκήσεις για λύση. Για χ να αποδείξετε ότι ι) χ 5 ιι) 5 χ 4. Να δείξετε ότι: i) 5. Να δείξετε ότι : i) x 4x 5 0 ii) χ 0. ιιι) x x 0 iii) x x 6 0. (α β )(x y ) (αx βy) ii) 0(x y ) (0x y) ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

28 6. Αν x και y, να δείξετε ότι: i) (x - )(y - ) < 0 ii) xy + 6 > x + y 6 7. Για ποιές τιμές των πραγματικών αριθμών α, β ισχύει: (α + 5) + (β - ) = 0 ; 8. i) Αν α > 0 τότε α.[το άθροισμα δυο θετικών αντίστροφων είναι ] α ii) Αν α < 0 τότε α.[το άθροισμα αρνητικών αντίστροφων είναι ] α 9. Αν α < < β να δείξετε ότι: i) (α - )(β - )(α -β) > 0 ii) α + β > αβ + α. 0. Να αποδείξετε ότι : ι) α 4 4α ιι) α α 0 ιιι) α 4α 0 ιν) α β 6α 9 α β γ α β γ. Αν x < και y να δείξετε ότι x y xy. ν) α. Για κάθε πραγματικό α να αποδείξετε ότι : α) α α 5 β) 4. α. i) αν α,β ετερόσημοι, τότε α β β + α και ii) αν α,β ομόσημοι, τότε α β β + α. x y x 4. Αν 0 < x < y να διατάξετε κατά σειρά μεγέθους τους αριθμούς,, y x 5. Να δείξετε ότι α β γ αβ βγ γα. 6. Αν <α < 6, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι αριθμοί: i) α - ii) α - 5 i ii) α y xy 7. Αν < x < και < y < 5, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι αριθμοί: i) x + y ii) x - y iii) x y iv) x y v) x + y vi) x - y 8. Αν < x < να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται η παράσταση: 9. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τους χ και ψ χ ψ 0 ιι) ι) 0. Αν ισχύει η σχέση. Αν ισχύει η σχέση χ ψ 4χ 6ψ 0 ιιι) x y x 4y 0, να δείξετε ότι x y.. vii) A x. x 4χ ψ 4χ ψ α 0β 6αβ β 0, να δείξετε ότι α και β. x - y. Αν α,β 0 και α β, να δείξετε ότι: i) β ii) αβ (πότε ισχύει το = ;) iii) α β. Να γράψετε σε μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων τους πραγματικούς αριθμούς οι οποίοι ικανοποιούν τις παρακάτω ανισότητες: i) x 0 ii) x 0 iii) x ή x 9 iv) x και x v) x και x vi) x και x vii) x 0 και x 5 4. Αν χ [,4] να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων βρίσκεται η παράσταση ι) Α=χ-4 ιι) Β=χ- ιιι) Γ=-4χ. 5. Αν χ και ψ 5 να βρείτε μεταξύ ποιόν ορίων περιέχεται κάθε μία από τις παρακάτω παραστάσεις : ι) χ ψ ιι) χ ψ ιιι) χ ψ ιν) χ ψ ν) χ ψ ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

29 7 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού χ που συμβολίζεται με χ ορίζεται ένας νέος α- x αν x 0 ριθμός με τον εξής τρόπο x x αν x 0 Παρατήρηση : Στον προηγούμενο τύπο η ισότητα μπορεί να εμφανιστεί σε οποιοδήποτε από τους κλάδους Παρατήρηση : Ο αριθμός -χ είναι θετικός γιατί κρύβεται και ένα (-) μέσα στο χ Επομένως η απόλυτη τιμή του χ είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός. Παρατήρηση : Γενικά το (πλην) πριν από ένα γράμμα που παριστάνει αριθμό σημαίνει ο α- ντίθετος του αριθμού που παριστάνει το γράμμα Γεωμετρικά με τον όρο απόλυτη τιμή ορίζουμε την απόσταση του αριθμού χ από το 0 (αρχή του άξονα) δηλαδή πόση απόσταση έχει ο αριθμός αυτός από το 0. Επεκτείνοντας τον παραπάνω γεωμετρικό ορισμό με τον όρο -(-) την απόσταση του α- ριθμού από το - Δηλαδή όταν έχουμε χ- εννοούμε την απόσταση του τυχαίου αριθμού χ από το. Επειδή η απόσταση ονομάζεται distance είναι λογικό η απόσταση του χ από το να συμβολίζεται και ως d(x,)= x- Ιδιότητες της απόλυτης τιμής. χ χ είναι φανερό ότι αφού οι αριθμοί χ, -χ είναι συμμετρικοί από το 0 να έχουν και την ίδια απόσταση. Με επέκταση της παραπάνω ιδιότητας και λαμβάνοντας υπόψη ότι οι αριθμοί χ- και -χ είναι αντίθετοι (παρατηρήστε ότι έχουν άθροισμα 0) έχουμε ότι χ χ δηλαδή μέσα στο απόλυτο μπορούμε να αλλάζουμε τα πρόσημα όποτε θέλουμε. χ χ και χ χ. α α Επειδή και ο αριθμός α είναι μη αρνητικός και ο να απολείψουμε το απόλυτο Επεκτείνοντας το παραπάνω α είναι μη αρνητικός μπορούμε 4. χ θ (όπου θ θετικός αριθμός ) χ θ χ θ ή χ θ. Επειδή = και - = είναι φανερό ότι ζητάμε να βρούμε όλους τους αριθμούς που να μας δίνουν απόλυτη τιμή, ε- πομένως θα είναι ο ή ο -. Γεωμετρικά οι αριθμοί αυτοί που έχουν απόσταση από το 0 θα είναι ο και ο - χ ν χ ν ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

30 8 Παρατήρηση 4 : Πρέπει να τονίσουμε ότι στην συγκεκριμένη ιδιότητα ο θ είναι μη αρνητικός γιατί αλλιώς χ στο ο μέλος έχουμε έναν μη αρνητικό και το ο έναν αρνητικό οι οποίοι πρέπει να είναι ίσοι πράγμα αδύνατο. 5. χ θ. Δηλαδή ζητάμε όλους τους αριθμούς που έχουν απόσταση από το 0 μικρότερη από το θ. Γεωμετρικά χ < σημαίνει όλοι οι αριθμοί με απόσταση από το 0 μικρότερη από. 6. χ θ χ θ ή χ θ Δηλαδή ζητάμε όλους τους αριθμούς που έχουν απόσταση από το 0 μεγαλύτερη από το θ 7. χ ψ χ ψ. Με την βοήθεια αυτής της ιδιότητας μπορούμε να δικαιολογήσουμε ότι 8. χ ψ χ χ αφού χ χ χ χ χ ψ 9. χ ψ χ ψ. Η ιδιότητα αυτή είναι η τριγωνική ανισότητα που σημαίνει ότι το άθροισμα των δύο πλευρών είναι μεγαλύτερο από τη τρίτη. Η ισότητα ισχύει όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Παρατήρηση 5: Αντικαθιστώντας το ψ με το ψ η προηγούμενη ιδιότητα γίνεται χ ψ χ ψ αφού ψ ψ Παρατήρηση 6 : Συχνά στα μαθηματικά αντί να δηλώσουμε γραπτά ότι από,,κ.τ.λ αριθμούς ο ένας τουλάχιστον δεν είναι 0 χρησιμοποιούμε την ανίσωση χ ψ ζ 0. Παρατήρηση 7 : Η εξίσωση χ ψ ζ 0 σημαίνει ότι και οι αριθμοί είναι 0. Μεθοδολογία για την λύση ασκήσεων Γενικά υπάρχουν κύριες μέθοδοι για την λύση ασκήσεων οι οποίες όμως δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν όλες πάντα για την λύση ασκήσεων. Μέθοδος του πίνακα : Είναι η μόνη μέθοδος που χρησιμοποιείται πάντα αλλά είναι αρκετά χρονοβόρα. Χρησιμοποιείται για την λύση εξισώσεων ανισώσεων αλλά και εξαγωγή απλώς ενός απολύτου από αυτό. Μηδενίζουμε κάθε απόλυτο και πάνω σε ένα πίνακα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τις ρίζες. Βρίσκουμε το πρόσημο του αριθμού που είναι μέσα στο απόλυτο για να το εξάγουμε από αυτό. Με την βοήθεια των ιδιοτήτων 4,5,6. Υψώνοντας και τα μέλη στο τετράγωνο και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα. ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

31 Παραδείγματα. Να λυθεί γεωμετρικά: (i) Η εξίσωση x (ii) Η ανίσωση x (iii) Η ανίσωση x 9 Λύση: Γνωρίζουμε ότι: αν ο πραγματικό αριθμός παριστάνεται με το σημείο Σ τότε η απόλυτη τιμή του αριθμού είναι η απόσταση του Σ από το Ο (αρχή των αξόνων). Άρα: ρ= ρ= ρ= Α Β Γ Δ Σχήμα Σχήμα Σχήμα (i) x σημαίνει ότι ο x βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα. Ο κύκλος τέμνει τον άξονα στα Α και Β οπότε x ή x. [Σχήμα ] (ii) x σημαίνει ότι ο x βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα. Ο κύκλος τέμνει τον άξονα στα Γ και Δ οπότε οι λύσεις είναι τα εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ δηλαδή x.[σχήμα ] (iii) x σημαίνει ότι ο x βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα. Ο κύκλος τέμνει τον άξονα στα Ε και Ζ οπότε οι λύσεις είναι τα εξωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ μαζί με τα Γ κα Δ δηλαδή x ή x.[σχήμα ]. Να λυθεί γεωμετρικά και αλγεβρικά: (i) Η εξίσωση x (ii) Η ανίσωση x Λύση: ρ= ρ= Α Κ Β Γ Δ Σχήμα 4 Σχήμα 5 (i) Γεωμετρικά: x σημαίνει ότι ο x απέχει, πάνω στον άξονα των πραγματικών α- ριθμών, από τον πραγματικό αριθμό απόσταση ίση με δύο μονάδες οπότε βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο Κ και ακτίνα. Ο κύκλος τέμνει τον άξονα στα Α και Β οπότε x ή x 5. [Σχήμα 4] Αλγεβρικά: x x ή x x ή x 5 (ii) x σημαίνει ότι ο x απέχει, πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, από τον πραγματικό αριθμό απόσταση μικρότερη των δύο μονάδων οπότε βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου με κέντρο Κ και ακτίνα. Ο κύκλος τέμνει τον άξονα στα Γ και Δ οπότε οι λύσεις είναι τα εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ δηλαδή x 5.[Σχήμα 5] Αλγεβρικά: x x x x 5 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

32 0. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α x x Λύση: Η παράστασή μας απλοποιείται όταν μπορέσουμε να διώξουμε τα απόλυτα. Έτσι x αν x 0 σύμφωνα με τον ορισμό: x, δηλαδή x αν x 0 x αν x x x αν x Οπότε έχουμε δύο περιπτώσεις και. Αν χ τότε: Α=x (x )+ = x x++= x 5 Αν χ< τότε: Α=x ( x+)+ = x+x += x x5 αν x Συνοψίζοντας έχουμε: Α. x αν x 4. Να απλοποιήσετε την παράσταση Δ x x x Λύση: χ+ 0 χ και χ 0 χ x x+ x Δ -4χ+7-6χ+ -χ-7 Δημιουργούνται τρείς περιοχές Αν χ< τότε χ+ = (χ+)=( χ ) και χ = (χ )=( χ+) Δ= x ( x )+( x+)= 4χ 7 Αν χ< τότε χ+ =+(χ+)=(χ+) και χ = (χ )=( χ+) Δ= x (x+)+( x+)= 6x Αν χ τότε χ+ =+(χ+)=(χ+) και χ =+(χ )=(χ ) Δ= x (x+)+(x )= x 7 Επομένως 4x 7 αν x Δ 6x αν x x 7 αν x 5. Να λυθεί η εξίσωση: x 4 + x x Λύση: Απαλλάσσουμε την εξίσωση x+4 + x x = από τα απόλυτα x+4 0 x 4, x 0 x και x 0 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

33 x x+4 -x x Εξίσωση = [αδυνατη] χ=- [δεκτή] x= [μη δεκτή] = [ταυτότητα] Αν χ< 4, τότε ( χ 4)+( χ) ( χ)= αδύνατη Αν 4 χ<0, τότε(χ+4)+( χ) ( χ)= χ+6= χ Αν 0 χ<, τότε(χ+4)+( χ) χ= χ+6= χ Αν χ, τότε(χ+4)+(χ ) χ= ταυτότητα Άρα λύσεις είναι χ= ή χ,. Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος. Ισχύει α α 0. ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ Δεκτή γιατί 4,0 απορρίπτεται γιατί 0, Σωστό Λάθος.... Ισχύει x x για κάθε x R. Σωστό Λάθος.... Αν α α, τότε είναι α<0. Σωστό Λάθος Αν α+β=0, τότε α β. Σωστό Λάθος Για κάθε πραγματικό x ισχύει x x x. Σωστό Λάθος... x,αν x 0 6. Για τον πραγματικό x ισχύει x x. x,αν x 0 Σωστό Λάθος Ισχύει: x 0 x [, ] Σωστό Λάθος Ισχύει : x + x + για κάθε x R. Σωστό Λάθος...

34 9. Ισχύει: α β α β Σωστό Λάθος Ισχύει: α β 0 α β 0 Σωστό Λάθος.... Ισχύει x x 0. Σωστό Λάθος.... Ισχύει: α β 0 α β 0 Σωστό Λάθος.... Ισχύει: α α α α 0 Σωστό Λάθος Αν x x 4, τότε x=. Σωστό Λάθος Αν x x 4, τότε ο αριθμός x, πάνω στον άξονα των πραγματικών, βρίσκεται πιο κοντά στον αριθμό. Σωστό Λάθος Αν d(x,), τότε x< ή x>. Σωστό Λάθος Αν d( x, ) d( x,5), τότε x=. Σωστό Λάθος Αν x x,., τότε Σωστό Λάθος Αν x x,,., τότε Σωστό Λάθος... x,5, τότε x. 0. Αν Σωστό Λάθος... x,5 x, 5,, τότε x. Αν, δηλαδή Σωστό Λάθος... x,5, τότε x x 5 6. Αν Σωστό Λάθος... ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

35 . Πρόταση Σ ή Λ Πρόταση Σ ή Λ a. α=- τότε α = b. α =5 τότε α=5 c. Υπάρχει α ώστε α =-α d. α >0 τότε α>0 e. α = β τότε α=β f. α=-β τότε α = β g. α 0 α 0 h. α +α<0 i. α = β α =β j. α β τότε α<β k. d(α,β)= α+β l. d(α,β)=d(β,α) Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών. Αν α β 0, τότε Α. α=0 ή β=0 Β. α=0 και β=0 Γ. α+β= Δ. α β. Αν α β 0, τότε Α. α > 0 και β > 0 Γ. ισχύει για κάθε α,β R εκτός αν α=β=0. Αν α β α β, τότε Β. ισχύει για κάθε α,β R Δ. α=β=0 Α. α=β Β. α,β ομόσημοι Γ. α,β ετερόσημοι Δ. α > β 4. Η ανίσωση χ 0 ισχύει μόνο όταν: Α. χ=0 Β. χ 0 Γ. χ 0 Δ. χ<0 Ε. κανένα από τα προηγούμενα. 5. Αν x+y =0 τότε: Α. x=y=0 Β. x=0 ή y=0 Γ. χ = 0 και y =0 Δ. x, y αντίθετοι 6. Αν x y x y τότε: Ε. κανένα από τα προηγούμενα. Α. x = y Β. x+y=0 Γ. x= 0 ή y=0 Δ. (x+y) (x y)>0 7. Ισχύει α β α β α β όταν: Ε. κανένα από τα προηγούμενα. Α. α β>0 Β. α β<0 Γ. α β=0 Δ. ποτέ. 8. Η εξίσωση χ = έχει λύσεις Α. χ= 5 ή χ= Β. χ= ή χ= Γ. χ=5 ή χ= Δ. χ= 5 ή χ= Ασκήσεις [Γεωμετρική Λύση] Ομάδα Α. [ Οι παρακάτω ασκήσεις να λυθούν με γεωμετρική προσέγγιση ]. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός x όταν: α) x 0 β) x γ) x δ) x. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός x όταν: α) x 0 β) x γ) x δ) x. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός x όταν: α) x 0 β) x γ) x δ) x ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Η συνεπαγωγή. Η Ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή. Ο σύνδεσμος «ή» Ο σύνδεσμος «και»

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Η συνεπαγωγή. Η Ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή. Ο σύνδεσμος «ή» Ο σύνδεσμος «και» Η συνεπαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι: «ο P συνεπάγεται τον Q» και γράφουμε P Q. Παράδειγμα: x=3 x 2 =9. Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Α Ψ Α Ψ viii) 9. Α Ψ ix) Α Ψ xi) Α Ψ xii) 0 0. Α Ψ xiii) Α Ψ xiv) Α Ψ xv)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Α Ψ Α Ψ viii) 9. Α Ψ ix) Α Ψ xi) Α Ψ xii) 0 0. Α Ψ xiii) Α Ψ xiv) Α Ψ xv) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ 1. Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν θεωρείτε ότι ο ισχυρισμός που διατυπώνετε είναι αληθής, ενώ αν θεωρείτε ότι είναι ψευδής να κυκλώσετε το Ψ. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΛΓΕΡ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙ 1 Tα πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0 Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10 ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων

Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παπασταυρίδης Γ.

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορίες ασκήσεων στα απόλυτα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα