1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11"

Transcript

1

2

3 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης.... Ειαγωγή.... Απόδοη και Κίνδυνος....3 Διαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων Το Αποτελεματικό Μέτωπο Τεχνικές Προδιοριμού Αποτελεματικών Μετώπων Συμπεράματα και Κριτικός Σχολιαμός Βιβλιογραφία Πολυκριτήριες Προεγγίεις ιαχείριης Χαρτοφυλακίων Ειαγωγή Το Μεθοδολογικό Πλαίιο της Πολυκριτήριας Ανάλυης Στόχοι και γενική φιλοοφία του χώρου Σύντομη ιτορική αναδρομή Βαικές έννοιες και μεθοδολογία Κύρια θεωρητικά ρεύματα και ταξινόμηή τους Πολυκριτήρια Ανάλυη και Χρηματοοικονομική Διοίκηη Πολυκριτηρια Ανάλυη και Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικό μεθοδολογικό πλαίιο και επικοπήεις Πολυκριτήριος μαθηματικός προγραμματιμός Πολυκριτήρια θεωρία χρηιμότητας Θεωρία των χέεων υπεροχής Αναλυτική-υνθετική προέγγιη...90

4 4 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ.4.6 Συνδυαμοί πολυκριτήριων μεθόδων Συτήματα υποτήριξης αποφάεων Συμπεράματα...03 Βιβλιογραφία Η Προτεινόμενη Μεθοδολογία ιαχείριης Χαρτοφυλακίων Ειαγωγή Η Γενική Μεθοδολογική Προέγγιη Συνιτώα Ι: Επιλογή Μετοχικών Τίτλων Γενική περιγραφή Η μέθοδος ELECTRE Tr Λόγοι επιλογής της μεθόδου ELECTRE Tr Εναλλακτικές δρατηριότητες Μοντελοποίηη κριτηρίων Η μέθοδος τάθμιης των κριτηρίων Κατηγορίες και καθοριμός κατωφλίων Ανάλυη ευαιθηίας Επικύρωη αποτελεμάτων Συνιτώα ΙΙ: Βελτιτοποίηη Χαρτοφυλακίων Γενική περιγραφή Η μέθοδος ε-constrant Η μέθοδος augmented ε-constrant (AUGMECO) Μεταβλητές απόφαης Αντικειμενικές υναρτήεις Περιοριμοί Συνιτώα ΙΙΙ: Αλληλεπιδρατική Διύλιη Χαρτοφυλακίων Συνιτώα ΙV: Αξιολόγηη Χαρτοφυλακίων Γενική περιγραφή Η μέθοδος ELECTRE III Μοντελοποίηη κριτηρίων Η μέθοδος τάθμιης των κριτηρίων Καθοριμός κατωφλίων Ανάλυη ευαιθηίας Επικύρωη αποτελεμάτων Συμπεράματα...95 Βιβλιογραφία...96

5 Περιεχόμενα 5 4 Το Πληροφοριακό Σύτημα Ειαγωγή Γενικά Χαρακτηριτικά και Αρχιτεκτονική Συτήματος Υπούτημα Επιλογής Μετοχικών Τίτλων Υπούτημα Βελτιτοποίηης Χαρτοφυλακίων Υπούτημα Αλληλεπιδρατικής Διύλιης Χαρτοφυλακίων Υπούτημα Αξιολόγηης Χαρτοφυλακίων Συμπεράματα... 4 Βιβλιογραφία Εφαρμογή της Προτεινόμενης Μεθοδολογίας Ειαγωγή Tα Χαρακτηριτικά του Πεδίου Εφαρμογής Δεδομένα και Αποτελέματα Φάη η : Επιλογή μετοχικών τίτλων Φάη η : Βελτιτοποίηη χαρτοφυλακίων Φάη 3 η : Αλληλεπιδρατική διύλιη χαρτοφυλακίων Φάη 4 η : Αξιολόγηη χαρτοφυλακίων Συμπεράματα Προοπτικές... 7 Βιβλιογραφία... 7

6

7 Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης. Ειαγωγή Η παρουίαη του μεθοδολογικού πλαιίου μέου-διακύμανης αναπτύεται ε πέντε κύριους άξονες. Σε πρώτο χρόνο πραγματοποιείται η ενδελεχής ανάλυη των κριτηρίων τη βάη των οποίων θεμελιώνεται το πλαίιο. Έτι παρουιάζονται διεξοδικά οι έννοιες της απόδοης και του κινδύνου, τόο αναφορικά την περίπτωη μεμονωμένων χρεογράφων, όο και την περίπτωη χαρτοφυλακίων χρεογράφων. Η μελέτη του κινδύνου που ενωματώνεται ε ένα χαρτοφυλάκιο αναδεικνύει την αναγκαιότητα υιοθέτηης κατάλληλων τρατηγικών διαφοροποίηης, κατά την υλοποίηη μιας επενδυτικής πολιτικής. Για τον λόγο αυτό αναπτύεται τη υνέχεια η θεωρητική βάη πάνω την οποία είναι δυνατόν να τηριχθεί μια αποτελεματική τρατηγική διαφοροποίηης. Αμέως μετά παρουιάζονται οι πρωταγωνιτικές έννοιες του μεθοδολογικού πλαιίου, αυτή του αποτελεματικού χαρτοφυλακίου και αυτή του αποτελεματικού μετώπου. Η υζήτηη καλύπτει τόο την περίπτωη όπου επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις, όο και την περίπτωη που αυτές δεν επιτρέπονται. Επιπλέον, δίδεται ιδιαίτερη έμφαη την εξέταη των ιδιαίτερων χαρακτηριτικών της περίπτωης κατά την οποία το ακίνδυνο χρεόγραφο ειάγεται το φάμα επιλογών ενός επενδυτή. Κατόπιν, αναπτύονται λεπτομερώς οι κλαικές τεχνικές μαθηματικού προγραμματιμού της ύγχρονης θεωρίας χαρτοφυλακίου για τον προδιοριμό αποτελεματικών μετώπων, κάτω από διαφορετικές υποθέεις απαγόρευης ή μη των ανοικτών πωλήεων και δυνατότητας ή μη επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο.

8 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Στην τελευταία ενότητα παρουιάζεται μια ολοκληρωμένη και ενδελεχής υμπεραματολογία, με βάη την ανάλυη και τις επιμέρους διαπιτώεις κάθε παραγράφου. Απόδοη και κίνδυνος χρεογράφων. Απόδοη και Κίνδυνος Για την αναμενόμενη απόδοη (expected return) ενός χρεογράφου, αναφορικά ε μια ειρά μελλοντικών χρονικών περιόδων, κατά τις οποίες οι αποδόεις αυτού θεωρούνται ιοδύναμα πιθανές θα ιχύει: M Rj R = M j= όπου R j η j -απόδοη του χρεογράφου. Όταν οι μελλοντικές αποδόεις του χρεογράφου δεν θεωρούνται ιοδύναμα πιθανές, για την αναμενόμενη απόδοη αυτού θα ιχύει: R M = R j j j= όπου j η πιθανότητα πραγματοποίηης της j -απόδοης του χρεογράφου. Ως μέτρο του κινδύνου που ενωματώνεται ε ένα χρεόγραφο, χρηιμοποιείται η διακύμανη της απόδοης (varance of returns) αυτού. Για τη διακύμανη της απόδοης ενός χρεογράφου, αναφορικά ε μια ειρά μελλοντικών χρονικών περιόδων, κατά τις οποίες οι αποδόεις αυτού θεωρούνται ιοδύναμα πιθανές θα ιχύει: M = j= ( R ) j R όπου R j η j -απόδοη του χρεογράφου και R η αναμενόμενη απόδοη αυτού. Όταν οι μελλοντικές αποδόεις του χρεογράφου δεν θεωρούνται ι- οδύναμα πιθανές, για την αναμενόμενη απόδοη αυτού θα ιχύει: M ( ) M = j Rj R j= όπου j η πιθανότητα πραγματοποίηης της j -απόδοης του χρεογράφου και R η αναμενόμενη απόδοη αυτού.

9 Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 3 Έτω χαρτοφυλάκιο αποτελούμενο από το πλήθος χρεόγραφα. Για την j -απόδοη του χαρτοφυλακίου θα ιχύει: R = X R j j = όπου X είναι το ποοτό του κεφαλαίου που επενδύεται το χρεόγραφο και R j η j -απόδοη αυτού. Για την αναμενόμενη απόδοη του χαρτοφυλακίου θα ιχύει: R = E( R) = E XRj = E( XRj) = XR = = = όπου X είναι το ποοτό του κεφαλαίου που επενδύεται το χρεόγραφο και R η αναμενόμενη απόδοη αυτού. Αναφορικά την περίπτωη του κινδύνου, εξετάζοντας αρχικά την περίπτωη χαρτοφυλακίου αποτελούμενου από δυο χρεόγραφα θα ιχύει: = E( R R) ( ) ( ) ( ) E XRj XRj XR XR E X Rj R X R j R = + + = + = E X ( Rj R) XX( Rj R)( R j R) X ( R j R) + + = X E ( R R ) X X E ( R R )( R R ) X E ( R R ) + + = X + X X + X j j j j όπου, οι διακυμάνεις των αποδόεων των χρεογράφων και η υνδιακύμανη (covarance) μεταξύ αυτών. Αντίτοιχα, για τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου αποτελούμενου από τρία χρεόγραφα θα ιχύει: ( - ) = E R R = E XRj XR j X3R3j - ( XR XR X3R3) = E X( Rj -R) + X( Rj -R) + X3( R3j -R3) Απόδοη και κίνδυνος χαρτοφυλακίων

10 4 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ X ( - ) X ( - ) 3 ( 3-3) ( j )( j ) ( j )( j ) XX3( R j -R)( R3j -R3) E R j R R j R X R j R = XX R -R R -R + XX R -R R -R = X E ( Rj -R) X E ( Rj -R) X3 E ( R3j -R3) XXE ( Rj -R)( Rj -R) + XXE 3 ( Rj -R)( R3j -R3) + XX3E ( R j -R)( R3j R3) = X + X + X + X X + X X + X X όπου,, 3 είναι οι διακυμάνεις των αποδόεων των χρεογράφων και, 3, 3 οι υνδιακυμάνεις μεταξύ αυτών. Για τη υνδιακύμανη μεταξύ δυο χρεογράφων και k για μια ειρά M χρονικών περιόδων θα ιχύει: k M = j= ( Rj R )( Rkj Rk ) Ένα εναλλακτικό και πιο τυποποιημένο μέτρο της υνδιακύμανης των α- ποδόεων μεταξύ δυο χρεογράφων, είναι ο υντελετής υχέτιης (correlaton coeffcent). Για δυο χρεόγραφα και k με υνδιακύμανη k και τυπικές αποκλίεις και k αντίτοιχα, ο υντελετής υχέτιης ρ είναι: k ρ k M k = Γενικεύοντας, ο κίνδυνος την περίπτωη ενός χαρτοφυλακίου αποτελούμενου από το πλήθος χρεόγραφα θα δίδεται από τη χέη: ( X ) ( X X ) = + j j j k jk j= j= k= k j k

11 Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 5.3 ιαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων Η αναµενόµενη απόδοη R ενός χαρτοφυλακίου είναι µια γραµµική υνάρτηη των αποδόεων των χρεογράφων που περιέχονται ε αυτό, ταθµιµένων µε τα ποοτά υµµετοχής του κάθε χρεογράφου το χαρτοφυλάκιο. Καθώς αυτή η υνάρτηη είναι γραµµική, εύκολα εξάγεται το υµπέραµα ότι η απόδοη του χαρτοφυλακίου δεν µπορεί να υπερβαίνει την απόδοη του πλέον αποδοτικού χρεογράφου του χαρτοφυλακίου και αντίτοιχα δεν µπορεί να είναι µικρότερη της απόδοης του λιγότερου α- ποδοτικού χρεογράφου του χαρτοφυλακίου. Σε αντίθεη όμως µε την απόδοη, ο κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου είναι µη γραµµική υνάρτηη των κινδύνων των χρεογράφων που περιέχονται ε αυτό. Για τον λόγο αυτό, η υνάρτηη του κινδύνου ενός χαρτοφυλακίου μελετάται τη υνέχεια διεξοδικά. Αρχικά εξετάζεται η περίπτωη όπου οι αποδόεις των χρεογράφων είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, δηλαδή jk = 0 για κάθε ζεύγος χρεογράφων j και k. Στην περίπτωη αυτή ο κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου το οποίο αποτελείται από χρεόγραφα είναι: ( X ) = j j j= Αν υποτεθεί ότι το διαθέιμο κεφάλαιο ιοκατανέμεται μεταξύ των χρεογράφων του χαρτοφυλακίου ( X = X =... = X = ), για τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου θα ιχύει: j = j = j= j= Ο όρος εντός της παρένθεης είναι µια µέη τιμή η οποία αναπαριτά τη µέη διακύμανη j των αποδόεων των χρεογράφων του χαρτοφυλακίου. Έτι, η παραπάνω χέη γίνεται: = j Από την εξίωη αυτή προκύπτει ότι, καθώς η τιμή του αυξάνει, δηλαδή καθώς αυξάνει ο αριθμός των χρεογράφων που περιέχονται το χαρτοφυλάκιο, τότε ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου μειώνεται. Στην περίπτωη δηλαδή

12 6 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ενός καλά διαφοροποιημένου χαρτοφυλακίου, η ύνθεη του οποίου αποτελείται από χρεόγραφα με αυχέτιτες αποδόεις, ο κίνδυνος είναι δυνατόν να περιοριτεί ημαντικά. Στην πράξη βέβαια η υπόθεη περί αυχέτιτων αποδόεων μεταξύ των χρεογράφων δεν είναι ρεαλιτική. Στη υνέχεια εξετάζεται η γενική περίπτωη όπου j 0. Αν και την περίπτωη αυτή υποτεθεί ότι το διαθέιμο κεφάλαιο ιοκατανέμεται μεταξύ των χρεογράφων του χαρτοφυλακίου, για τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου θα ιχύει: j jk j= j= k= k j = + j jk = + j= j= k= ( ) k j Όπως επιημάνθηκε, ο πρώτος όρος εντός της παρένθεης αναπαριτά τη µέη διακύμανη των αποδόεων των χρεογράφων του χαρτοφυλακίου. Αντίτοιχα, και ο δεύτερος όρος εντός της παρένθεης είναι µια µέη τιμή η οποία αναπαριτά τη µέη υνδιακύµανη j των αποδόεων των χρεογράφων του χαρτοφυλακίου. Αυτό γίνεται αφές αν ληφθεί υπόψη ότι το πλήθος των όρων που εμπεριέχουν τη υνδιακύµανη είναι ( ). Συνεπαγόμενα, ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου µπορεί να εκφρατεί απλούτερα ως εξής: = j + jk = ( j jk) + jk Μέω των παραπάνω χέεων, γίνεται εμφανής η επίδραη της διαφοροποίηης (dversfcaton) τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου χρεογράφων. Όταν ο αριθμός των χρεογράφων που περιέχει ένα χαρτοφυλάκιο γίνει πολύ μεγάλος, ο κίνδυνος που προέρχεται από το κάθε χρεόγραφο ξεχωριτά ε- ξουδετερώνεται. Στην περίπτωη αυτή, η τιμή της διακύμανης του χαρτοφυλακίου ελαχιτοποιείται και γίνεται ίη με την μέη υνδιακύμανη των αποδόεων των χρεογράφων.

13 Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 7.4 Το Αποτελεματικό Μέτωπο Οι κύριες έννοιες που δεπόζουν το μεθοδολογικό πλαίιο του υποδείγματος μέου-διακύμανης είναι αυτές του αποτελεµατικού χαρτοφυλακίου (effcent portfolo ή non domnated portfolo) και του αποτελεµατικού μετώπου (effcent fronter). Ένα χαρτοφυλάκιο ονομάζεται αποτελεματικό εάν και μόνο εάν δεν υπάρχει κανένα άλλο χαρτοφυλάκιο ' τέτοιο ώτε R ' R και ', με τουλάχιτον μια από τις δυο ανιότητες να είναι αυτηρή. ηλαδή, το χαρτοφυλάκιο είναι αποτελεματικό εάν και μόνο εάν δεν υπάρχει κανένα άλλο χαρτοφυλάκιο ' το οποίο να υπερτερεί έναντι του όον αφορά την απόδοη και τον κίνδυνο. Με βάη το Σχήμα., από τον παραπάνω οριμό προκύπτει ότι τα χαρτοφυλάκια A, B και C είναι αποτελεματικά, ενώ τα χαρτοφυλάκια D, E και F είναι μη-αποτελεματικά. Επιπλέον, κανένα χαρτοφυλάκιο δεν υπερέχει του χαρτοφυλακίου A, δηλαδή του χαρτοφυλακίου ελαχίτου κινδύνου, ή του χαρτοφυλακίου C, δηλαδή του χαρτοφυλακίου μέγιτης απόδοης. Απαγόρευη ανοικτών πωλήεων Σχήμα.: Αποτελεματικά και μη-αποτελεματικά χαρτοφυλάκια E(R ) C B D A F Ε

14 8 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Το ύνολο των αποτελεματικών χαρτοφυλακίων αποτελεί το αποτελεματικό μέτωπο. Στην περίπτωη όπου δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις (short sales), το αποτελεματικό μέτωπο θα είναι μια καμπύλη η οποία ε- κτείνεται μεταξύ του χαρτοφυλακίου ελαχίτου κινδύνου ( mv ) και του MR (Σχήμα.). χαρτοφυλακίου μέγιτης απόδοης ( ) Σχήμα.: Το αποτελεματικό μέτωπο την περίπτωη που δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις E(R ) MR mv Το αποτελεματικό μέτωπο είναι, ε κάθε περίπτωη, μια κοίλη υνάρτηη (concave functon) και δεν είναι δυνατόν να περιέχει κυρτά τμήματα (Σχήμα.3α), καθώς όπως ήδη επιημάνθηκε ο υνδυαμός χρεογράφων ή χαρτοφυλακίων χρεογράφων δεν είναι δυνατόν να υνεπάγεται μεγαλύτερο κίνδυνο από τον κίνδυνο που εκφράζεται μέω του ευθύγραμμου τμήματος το οποίο υνδέει τα υγκεκριμένα χρεόγραφα ή χαρτοφυλάκια (Σχήμα.3β).

15 Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 9 Σχήμα.3: Αδύνατη μορφή αποτελεματικού μετώπου α β

16 0 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Μη απαγόρευη ανοικτών πωλήεων Όπως ήδη επιημάνθηκε, οι ανοιχτές πωλήεις αφορούν πωλήεις χρεογράφων τα οποία ο πωλητής δεν έχει την κατοχή του. Καθώς ο πωλητής δεν έχει την κατοχή του το χρεόγραφο, η χρηματιτηριακή εταιρία που αναλαμβάνει να διεκπεραιώει τη υναλλαγή, είτε δανείζεται το χρεόγραφο από κάποιον άλλον επενδυτή, είτε το δανείζει η ίδια προς τον πωλητή. Στο άμεο μέλλον ο πωλητής έχει την υποχρέωη να αγοράει το χρεόγραφο που πούληε χωρίς να κατέχει και να το επιτρέψει ε όποιον του το δάνειε. Ανοιχτές πωλήεις πραγματοποιούνται ε περιπτώεις όπου ο πωλητής ε- κτιμά ότι η τιμή του χρεογράφου θα είναι καθοδική και άρα πουλώντας το ήμερα ε υψηλότερη τιμή ε χέη με αυτή την οποία θα το επαναγοράει το μέλλον, θα έχει κέρδος από τη υναλλαγή. Στη βάη αυτής της τρατηγικής, ένας επενδυτής έχει τη δυνατότητα να πουλά ανοικτά χρεόγραφα των οποίων οι τιμές εκτιμά ότι θα κινηθούν καθοδικά και με τα κέρδη να αγοράζει χρεόγραφα των οποίων οι τιμές εκτιμά ότι θα είναι ανοδικές. Με τον τρόπο αυτό είναι επομένως δυνατόν να δημιουργηθούν χαρτοφυλάκια χωρίς πεπεραμένο άνω όριο απόδοης, την περίπτωη που οι προδοκίες του επενδυτή επαληθευτούν. Έτι, την περίπτωη όπου επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις, το αποτελεματικό μέτωπο θα είναι μια καμπύλη η οποία ξεκινώντας από το χαρτοφυλάκιο ελαχίτου κινδύνου ( mv ), θα εκτείνεται το άπειρο, καθώς δεν υ- πάρχει άνω όριο αναμενόμενης απόδοης (Σχήμα.4). Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουιάζει η μελέτη της περίπτωης κατά την οποία το ακίνδυνο χρεόγραφο (rsk-free securty) ειάγεται το φάμα επιλογών του επενδυτή. Στην περίπτωη αυτή, ο επενδυτής είτε δανείζει το επιτόκιο του ακίνδυνου χρεογράφου (rskless lendng) (π.χ. αγορά ενός εντόκου γραμματίου του δημοίου), είτε δανείζεται το επιτόκιο του ακίνδυνου χρεογράφου (rskless borrowng) (π.χ. ανοικτή πώληη ενός εντόκου γραμματίου του δημοίου). Έτω χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων A με αναμενόμενη απόδοη R A και το ακίνδυνο χρεόγραφο με απόδοη R F. Ο υνδυαμός των δυο παραπάνω επενδύεων ε ένα χαρτοφυλάκιο με ποοτά επένδυης X και X αντίτοιχα θα έχει απόδοη: R = XR + ( X) R A F

17 Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης Σχήμα.4: Το αποτελεματικό μέτωπο την περίπτωη όπου επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις Αντίτοιχα για την τυπική απόκλιη της απόδοης του χαρτοφυλακίου θα ιχύει: = X A + ( X) F + X( X) A Fρ AF / = X A = X A X = καθώς για την τυπική απόκλιη του ακίνδυνου χρεογράφου θα ιχύει F = 0. Με αντικατάταη την απόδοη του χαρτοφυλακίου προκύπτει: R = RA + ( ) RF A A RA R F R = RF + A A / Ειαγωγή του ακίνδυνου χρεογράφου

18 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Από την παραπάνω χέη προκύπτει ότι το αποτελεματικό μέτωπο την περίπτωη της ειαγωγής του ακίνδυνου χρεογράφου θα είναι μια ευθεία η οποία τέμνει τον άξονα της απόδοης το ημείο (0, R F ) και διέρχεται από το ημείο ( A, RA) (Σχήμα.5). Διαφορετικά ημεία πάνω την ευθεία του αποτελεματικού μετώπου, αντιπροωπεύουν διαφορετικούς υνδυαμούς ποοτών επένδυης κεφαλαίου το ακίνδυνο χρεόγραφο και το χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων. Το τμήμα της ευθείας αριτερά του ημείου A περιλαμβάνει υνδυαμούς του χαρτοφυλακίου A και του ακίνδυνου χρεογράφου, όταν ο επενδυτής έχει το ρόλο του δανειτή. Αντίθετα, το τμήμα της ευθείας δεξιά του ημείου A περιλαμβάνει υνδυαμούς του χαρτοφυλακίου A και του ακίνδυνου χρεογράφου, όταν ο επενδυτής έχει το ρόλο του δανειζόμενου. Σχήμα.5: Το αποτελεματικό μέτωπο την περίπτωη της ειαγωγής του ακίνδυνου χρεογράφου Έτω τώρα η γενικότερη περίπτωη κατά την οποία το ακίνδυνο χρεόγραφο είναι δυνατόν να υνδυατεί με διάφορα χαρτοφυλάκια επικίνδυνων χρεογράφων πάνω ε ένα αποτελεματικό μέτωπο. Με βάη το Σχήμα.6, οι υνδυαμοί της ευθείας RF B, υπερέχουν έναντι των υνδυαμών των ευθειών RFC και RF D, καθώς για δεδομένο επίπεδο κινδύνου προφέρουν υψηλότερη απόδοη.

19 Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 3 Σχήμα.6: Συνδυαμός του ακίνδυνου χρεογράφου με διάφορα χαρτοφυλάκια επικίνδυνων χρεογράφων Ένας επενδυτής ο οποίος αποτρέφεται τον κίνδυνο θα επιλέξει ένα χαρτοφυλάκιο πάνω το τμήμα RF B, τοποθετώντας ένα μέρος του κεφαλαίου του το ακίνδυνο χρεόγραφο και το υπόλοιπο το χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων B. Αντίθετα, ένας επενδυτής ο οποίος θα διαθέτει μεγαλύτερη ανοχή κινδύνου θα επιλέξει ένα χαρτοφυλάκιο πάνω το τμήμα RF H, δανειζόμενος το επιτόκιο του ακίνδυνου χρεογράφου και τοποθετώντας τόο το κεφάλαιο που έχει δανειτεί, όο και το αρχικό του κεφάλαιο το βέλτιτο χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων B. Σε κάθε περίπτωη όμως, όλοι οι επενδυτές, ανεξαρτήτως της ανοχής τους τον κίνδυνο, θα επιλέξουν να υνδυάουν το ακίνδυνο χρεόγραφο με το ίδιο ακριβώς χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων, δηλαδή το χαρτοφυλάκιο B. Η δυνατότητα καθοριμού του βέλτιτου χαρτοφυλακίου επικίνδυνων χρεογράφων την περίπτωη που υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο, χωρίς να απαιτείται γνώη για το προφίλ του ε- πενδυτή, εκφράζει ένα ιδιαίτερα ημαντικό θεώρημα το χώρο της χρηματοοικονομικής, το θεώρημα του διαχωριμού (separaton theorem).

20 4 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Μη απαγόρευη ανοικτών πωλήεων- Ύπαρξη ακίνδυνου χρεογράφου.5 Τεχνικές Προδιοριμού Αποτελεματικών Μετώπων Στην παράγραφο αυτή, παρουιάζονται οι τεχνικές για τον προδιοριμό των αποτελεματικών μετώπων, κατά τις περιπτώεις όπου:. Επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο.. Επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και δεν υπάρχει η δυνατότητα ε- πένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο.. Δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα ε- πένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο. v. Δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και δεν υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο. Όπως επιημάνθηκε, η ειαγωγή του ακίνδυνου χρεογράφου την ανάλυη υνεπάγεται την ύπαρξη ενός χαρτοφυλακίου επικίνδυνων χρεογράφων το οποίο θα προτιμάται έναντι όλων των άλλων. Ο προδιοριμός του αποτελεματικού μετώπου την περίπτωη όπου επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο, βαίζεται τη διαπίτωη ότι η ευθεία που υνδέει το ακίνδυνο χρεόγραφο με το βέλτιτο χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων είναι αυτή με τη μέγιτη κλίη (Σχήμα.7). Καθώς η κλίη μιας ευθείας η οποία υνδέει το ακίνδυνο χρεόγραφο με ένα χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων ιούται με τον λόγο της επιπρόθετης απόδοης (excess return) του χαρτοφυλακίου (δηλαδή της διαφοράς μεταξύ της αναμενόμενης απόδοης του χαρτοφυλακίου και της απόδοης του ακίνδυνου χρεογράφου) προς την τυπική του απόκλιη, η μαθηματική διατύπωη του προβλήματος για τον προδιοριμό του αποτελεματικού μετώπου έχει ως εξής: R RF Μεγιτοποίηη: θ = Υπό τον περιοριμό: = X =

21 Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 5 Σχήμα.7: Προδιοριμός του αποτελεματικού μετώπου την περίπτωη που επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο Το παραπάνω πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα μεγιτοποίηης υπό περιοριμούς, για την επίλυη του οποίου μπορούν να χρηιμοποιηθούν διάφορες τεχνικές, όπως η μέθοδος των πολλαπλαιατών Lagrange κλπ. Εναλλακτικά, ο περιοριμός του προβλήματος είναι δυνατόν να ενωματωθεί την αντικειμενική υνάρτηη και αυτή με τη ειρά της να μεγιτοποιηθεί ακριβώς όπως την περίπτωη ενός προβλήματος χωρίς περιοριμούς. Δεδομένου ότι: R = R = X R = X R ( ) F F F F = = η αντικειμενική υνάρτηη είναι δυνατόν να γραφεί ως εξής: θ = = ( ) X R R F X + XX jj = = j= j

22 6 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Τα ποοτά X k του κεφαλαίου που επενδύεται ε κάθε χρεόγραφο και για τα οποία μεγιτοποιείται η αντικειμενική υνάρτηη θ είναι δυνατόν να προδιοριτούν με επίλυη του υτήματος των εξιώεων που προκύπτει εάν ληφθούν όλες οι μερικές παράγωγοι θ X και τεθούν ίες με μηδέν: ( Rk R F ) X XX j + j + X( R RF ) ( R R ) θ X k = 0 = = j= = j 3 X XX j j Xkk X j + + kj = 0 = = j= j= j j k Θέτοντας: X ( R R ) + = 0 F = k F X kk X j kj j= X XX j j j + k = = j= j λ = ( ) X R R F = X + XX jj = = j= j από την τελευταία εξίωη προκύπτει: Rk RF λ Xkk + X j kj = 0 j= j k ( ) Ορίζοντας ως νέα μεταβλητή την: k F = λ kk + λ jkj j= j k R R X X Z k = λ X k k

23 Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 7 από την προηγούμενη έκφραη προκύπτει: R R = Z + Z Z Z + Z Πιο αναλυτικά: F R R = Z + Z + Z Z F 3 3 R R = Z + Z + Z Z F 3 3 R R = Z + Z + Z Z 3 F R R = Z + Z + Z Z F 3 Τα ποοτά X k του κεφαλαίου που επενδύεται ε κάθε χρεόγραφο προκύπτουν επιλύοντας το παραπάνω ύτημα για τις τιμές των Z, Z,..., Z και κάνοντας χρήη της χέης X = Z Z. k k = Στην περίπτωη όπου επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και δεν υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο, το αποτελεματικό μέτωπο προδιορίζεται και πάλι με εφαρμογή της μεθοδολογίας που παρουιάτηκε κατά την προηγούμενη περίπτωη. Για διάφορες τιμές της απόδοης του ακίνδυνου χρεογράφου, το οποίο υποθετικά θεωρείται ότι υπάρχει, υπολογίζονται τα αντίτοιχα βέλτιτα χαρτοφυλάκια, μέχρι να αρωθεί όλο ο αποτελεματικό μέτωπο (Σχήμα.8). Στην περίπτωη όπου δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο, το πρόβλημα είναι και πάλι ανάλογο με αυτό της πρώτης περίπτωης όπου επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο. Η διαφορά έγκειται το ότι ένας νέος περιοριμός ενωματώνεται το πρόβλημα, καθώς πλέον δεν είναι δυνατόν να διατηρούνται αρνητικά ποοτά επένδυης ε κάποιο χρεόγραφο. Η μαθηματική διατύπωη του προβλήματος για τον καθοριμό του αποτελεματικού μετώπου την περίπτωη αυτή έχει ως εξής: R RF Μεγιτοποίηη: θ = Υπό τους περιοριμούς: = X = και X 0 Μη απαγόρευη ανοικτών πωλή- εων- Μη ύπαρξη ακίνδυνου χρεογράφου

24 8 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Σχήμα.8: Προδιοριμός του αποτελεματικού μετώπου την περίπτωη που επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και δεν υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο E(R ) B C R F3 A R F R F Απαγόρευη ανοικτών πωλήεων-ύπαρξη ακίνδυνου χρεογράφου Το παραπάνω πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα τετραγωνικού προγραμματιμού (quadratc programmng), καθώς οι περιοριμοί είναι γραμμικοί, αλλά η αντικειμενική υνάρτηη περιέχει τους δευτεροβάθμιους όρους X και XX j. Για την επίλυη του προβλήματος αυτού γίνεται χρήη αλγορίθμων οι οποίοι βαίζονται τις υνθήκες Kuhn-Tucker (Kuhn-Tucker condtons). Η λογική χρηιμότητας των υνθηκών Kuhn-Tucker έχει να κάνει με το ότι εάν είναι δυνατόν να βρεθεί μια λύη η οποία να τις ικανοποιεί, τότε η λύη αυτή θα αντιτοιχεί το βέλτιτο χαρτοφυλάκιο. Στην αρχική περίπτωη κατά την οποία επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο, η μέγιτη τιμή της αντικειμενικής υνάρτηης θ προκύπτει αν ληφθούν οι μερικές παράγωγοι θ X και τεθούν ίες με μηδέν. Η μέγιτη τιμή της αντικειμενικής υνάρτηης θ αναπαρίταται το Σχήμα.9α με το ημείο M.

25 Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 9 Στην περίπτωη όπου δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις ( X 0), το πρόβλημα που προκύπτει έχει να κάνει με το ότι η αντικειμενική υνάρτηη θ μπορεί να λάβει τη μέγιτη τιμή της για τιμές X που δεν ανήκουν το πεδίο οριμού της (δηλαδή για X < 0 ). Όπως φαίνεται και από το Σχήμα.9β, η μέγιτη τιμή που δύναται να λάβει η αντικειμενική υνάρτηη θ, ικανοποιώντας υγχρόνως τη υνθήκη περί απαγόρευης των ανοικτών πωλήεων, αναπαρίταται από το ημείο M '. Συνεπώς, όταν η μέγιτη τιμή της αντικειμενικής υνάρτηης θ παρατηρείται για X = 0, τότε θα ιχύει θ X < 0, ενώ όταν η μέγιτη τιμή της παρατηρείται για X > 0, τότε θα ιχύει θ X = 0. Γενικεύοντας, για την περίπτωη όπου δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις, θα ιχύει: θ 0 X για X 0 Σχήμα.9: Μεγιτοποίηη της αντικειμενικής υνάρτηης θ για τις διάφορες τιμές του ποοτού Χ του κεφαλαίου που ε- πενδύεται ε κάθε χρεόγραφο

26

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 3 η 4 η. Ανάλυη Θεωρίας Χαρτοφυλακίου 1. Αναµενόµενη Χρηιµότητα και Καµπύλες Αδιαφορίας. Κινδύνος και Απόδοη Χαρτοφυλακίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 5 η 6 η. Υποδειγµα Ιορροπίας τις Κεφαλαιαγορές Υπόδειγµα Αποτίµηης Περιουιακών Στοιχείων Γραµµή Αξιογράφων Συντελετής βήτα

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συχέτιη Διγαλάκης Βαίλης Η έννοια της υχέτιης Για τυχαίες μεταβλητές ΧΥ: Συχέτιη: ΕΧ Υ Συμμεταβλητότητα: Συντελετής υχέτιης: ρ / Έτω ΧΥ Τ.Μ. με ΥΧb και ΕΧμ Χ ΕΧ-μ Χ Χ Υπολογίτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N)

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Α)Με βάη το θεώρηµα Shannon για την κωδικοποίηη αναλογικού ήµατος να χαράξετε το διάγραµµα της χέης (S/N) =(), =bit/sample για ένα ήµα µε Gaussian κατανοµή. Β) Χρηιµοποιείτε τους Πίνακες 6.

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΤΕΡΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var (

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var ( Στο γραμμικό υπόδειγμα y = β + u, =,,, ο εκτιμητής LS είναι = β = = y Οι βαικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: E ( β ) = β, αμεροληψία, Var ( β ) = = Αν έχουμε =, τότε y = β =, ο δειγματικός μέος του y

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής Στοχατική Προοµοίωη ιδιάτατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηη της Εµµονής Παρουίαη ιπλωµατικής Εργαίας 22/07/2004 Νίκος Θεοδωράτος Επιβλέπων:. Κουτογιάννης, Αν. Καθηγητής Εθνικό Μετόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΑ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΚΑΙ Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥΣ-Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ TARGET DATE FUNDS

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΑ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΚΑΙ Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥΣ-Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ TARGET DATE FUNDS ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΑ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΚΑΙ Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥΣ-Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ TARGET DATE FUNDS ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΟΓΚΑΣ ιατριβή υποβληθεία προς µερική εκπλήρωη των απαραιτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης Ακήεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίχυη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes ΚΕΑΛΑΙΟ 6 Τιμολόγηη Δικαιμάτν ε υνεχή χρόνο Το μοντέλο τν Blk nd hol 6.. Το Μοντέλο τν Blk hol ή Blk hol Mon Έτ μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [0 ] για κάποιο δεδομένο Τ. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Εργαστήριο)

Στραγγίσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιευτικό Ίρυμα Ηπείρου Στραγγίεις (Εργατήριο Ενότητα 6 : Η κίνηη του νερού το έαφος IV Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Άκηη Ένας κλειτός υπό πίεη υροφορέας έχει μεταβλητό πάχος

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αποτελεσματικό ονομάζεται το χαρτοφυλάκιο το οποίο έχει τη μεγαλύτερη απόδοση για δεδομένο επίπεδο κινδύνου ή το μικρότερο κίνδυνο για δεδομένο επίπεδο απόδοσης. Το σύνολο των αποτελεσματικών χαρτοφυλακίων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση Νευρο-ασαφούς Ταξινοµητή Προτύπων Με Τη Χρήση Τεχνικών Επιβλεπόµενης Μάθησης ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Εκπαίδευση Νευρο-ασαφούς Ταξινοµητή Προτύπων Με Τη Χρήση Τεχνικών Επιβλεπόµενης Μάθησης ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Εκπαίδευη Νευρο-ααφούς Ταξινοµητή Προτύπων Με Τη Χρήη Τεχνικών Επιβλεπόµενης

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΖΕΥΓΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΖΕΥΓΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΖΕΥΓΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ειαγωγή Υπάρχουν προβήµατα πιθανοτήτων τα οποία θα πρέπει να µεετηθούν δύο ή περιότερες τυχαίες µεταβητές από κοινού για να µπορεί να περιγραφεί επαρκώς και πήρως το αντίτοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Ασύρµατη Κατανεµηµένη Υλοποίηση Νευρο-Ασαφούς Συστήµατος Ταξινόµησης (Wireless Distributed Implementation of Fuzzy Neural Classification System)

Ασύρµατη Κατανεµηµένη Υλοποίηση Νευρο-Ασαφούς Συστήµατος Ταξινόµησης (Wireless Distributed Implementation of Fuzzy Neural Classification System) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ TΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Αύρµατη Κατανεµηµένη Υλοποίηη Νευρο-Ααφούς Συτήµατος Ταξινόµηης (Wireless

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ P-INF-003 : ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ : ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα