Kompleksarvu algebraline kuju

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Kompleksarvu algebraline kuju"

Κυριακή Αγγελοπούλου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas Tallinna Tehnikaülikool

2 Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa defineerida sellest üldisemate mõistete kaudu. Hulk on mingite objektide terviklik kogum, mille objektid on omavahel eristatavad. Iga objekti korral on võimalik otsustada, kas see kuulub vaadeldavasse hulka või mitte. Neid objekte, mis moodustavad mingi hulga, nimetame edaspidi selle hulga elementideks.

3 Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa defineerida sellest üldisemate mõistete kaudu. Hulk on mingite objektide terviklik kogum, mille objektid on omavahel eristatavad. Iga objekti korral on võimalik otsustada, kas see kuulub vaadeldavasse hulka või mitte. Neid objekte, mis moodustavad mingi hulga, nimetame edaspidi selle hulga elementideks. Hulk loetakse kirjeldatuks, kui on teada omadused, mis on selle hulga kõigil elementidel ja ainult neil.

4 Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa defineerida sellest üldisemate mõistete kaudu. Hulk on mingite objektide terviklik kogum, mille objektid on omavahel eristatavad. Iga objekti korral on võimalik otsustada, kas see kuulub vaadeldavasse hulka või mitte. Neid objekte, mis moodustavad mingi hulga, nimetame edaspidi selle hulga elementideks. Hulk loetakse kirjeldatuks, kui on teada omadused, mis on selle hulga kõigil elementidel ja ainult neil. Olgu C reaalarvude järjestatud paaride hulk, s.o C = {(x,y) x R & y R}

5 Kompleksarvud p. 3/15 Kompleksarvu definitsioon Hulka C nimetatatakse kompleksarvude hulgaks, kui sellel hulgal on defineeritud elementide võrdus, liitmine ja korrutamine järgmiselt: iga kaks paari on võrdsed (x 1,y 1 ) = (x 2,y 2 ) x 1 = x 2 & y 1 = y 2 ;

6 Kompleksarvud p. 3/15 Kompleksarvu definitsioon Hulka C nimetatatakse kompleksarvude hulgaks, kui sellel hulgal on defineeritud elementide võrdus, liitmine ja korrutamine järgmiselt: iga kaks paari on võrdsed (x 1,y 1 ) = (x 2,y 2 ) x 1 = x 2 & y 1 = y 2 ; iga kahe paari summa (x 1,y 1 )+(x 2,y 2 ) = (x 1 +x 2,y 1 +y 2 );

7 Kompleksarvud p. 3/15 Kompleksarvu definitsioon Hulka C nimetatatakse kompleksarvude hulgaks, kui sellel hulgal on defineeritud elementide võrdus, liitmine ja korrutamine järgmiselt: iga kaks paari on võrdsed (x 1,y 1 ) = (x 2,y 2 ) x 1 = x 2 & y 1 = y 2 ; iga kahe paari summa iga kahe paari korrutis (x 1,y 1 )+(x 2,y 2 ) = (x 1 +x 2,y 1 +y 2 ); (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2,x 1 y 2 +x 2 y 1 ).

8 Kompleksarvud p. 3/15 Kompleksarvu definitsioon Hulka C nimetatatakse kompleksarvude hulgaks, kui sellel hulgal on defineeritud elementide võrdus, liitmine ja korrutamine järgmiselt: iga kaks paari on võrdsed (x 1,y 1 ) = (x 2,y 2 ) x 1 = x 2 & y 1 = y 2 ; iga kahe paari summa iga kahe paari korrutis (x 1,y 1 )+(x 2,y 2 ) = (x 1 +x 2,y 1 +y 2 ); (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2,x 1 y 2 +x 2 y 1 ). Hulga C elemente nimetatakse kompleksarvudeks.

9 Kompleksarvud p. 4/15 Kompleksarvu algebraline kuju Kasutades kompleksarvude liitmise ja korrutamise tehteid võime mistahes kompleksarvu z = (x, y) esitada kujul z = (x,y) = (x,0)+(y,0)(0,1).

10 Kompleksarvud p. 4/15 Kompleksarvu algebraline kuju Kasutades kompleksarvude liitmise ja korrutamise tehteid võime mistahes kompleksarvu z = (x, y) esitada kujul z = (x,y) = (x,0)+(y,0)(0,1). Arvupaarid, mille teine element on võrdne nulliga, käituvad defineeritud tehete korral sarnaselt reaalarvudega. Tõepoolest: (x 1,0)+(x 2,0) = (x 1 +x 2,0), (x 1,0) (x 2,0) = (x 1 x 2,0).

11 Kompleksarvud p. 4/15 Kompleksarvu algebraline kuju Kasutades kompleksarvude liitmise ja korrutamise tehteid võime mistahes kompleksarvu z = (x, y) esitada kujul z = (x,y) = (x,0)+(y,0)(0,1). Arvupaarid, mille teine element on võrdne nulliga, käituvad defineeritud tehete korral sarnaselt reaalarvudega. Tõepoolest: Defineerime üksühese kujutuse (x 1,0)+(x 2,0) = (x 1 +x 2,0), (x 1,0) (x 2,0) = (x 1 x 2,0). ϕ : C R (x,0) x.

12 Kompleksarvud p. 5/15 Kompleksarvu algebraline kuju z = (x,y) = (x,0)+(y,0)(0,1).

13 Kompleksarvud p. 5/15 Kompleksarvu algebraline kuju z = (x,y) = (x,0)+(y,0)(0,1). Erilise kujuga kompleksarvu, ehk paari (0, 1) nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse i = (0,1).

14 Kompleksarvud p. 5/15 Kompleksarvu algebraline kuju z = (x,y) = (x,0)+(y,0)(0,1). Erilise kujuga kompleksarvu, ehk paari (0, 1) nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse Arvutame i = (0,1). i 2 = (0,1) 2 = (0,1)(0,1) = ( 1,0) = 1.

15 Kompleksarvud p. 5/15 Kompleksarvu algebraline kuju z = (x,y) = (x,0)+(y,0)(0,1). Erilise kujuga kompleksarvu, ehk paari (0, 1) nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse Arvutame i = (0,1). i 2 = (0,1) 2 = (0,1)(0,1) = ( 1,0) = 1. Kasutades tähistusi (x,0) x ja (y,0) y ning (0,1) = i saame z = (x,y) = x+iy.

16 Kompleksarvud p. 5/15 Kompleksarvu algebraline kuju z = (x,y) = (x,0)+(y,0)(0,1). Erilise kujuga kompleksarvu, ehk paari (0, 1) nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse Arvutame i = (0,1). i 2 = (0,1) 2 = (0,1)(0,1) = ( 1,0) = 1. Kasutades tähistusi (x,0) x ja (y,0) y ning (0,1) = i saame z = (x,y) = x+iy. Viimast nimetatakse kompleksarvu algebraliseks kujuks.

17 Kompleksarvud p. 6/15 Kompleksarvu algebraline kuju Funktsioonide z = (x,y) = x+iy. Re : C R z = x+iy x = Re(z), ja Im : C R z = x+iy y = Im(z), väärtusi nimetatakse vastavalt kompleksarvu reaalosaks ja imaginaarosaks.

18 Kompleksarvud p. 7/15 Komplekstasand Tasandi igat punkti saame kirjeldada kahe koordinaadiga, s.o arvupaariga (x, y).

19 Kompleksarvud p. 7/15 Komplekstasand Tasandi igat punkti saame kirjeldada kahe koordinaadiga, s.o arvupaariga (x, y). Tasandit, mille igale punktile on vastavusse seatud kompleksarv z = (x, y), nimetatakse komplekstasandiks.

20 Kompleksarvud p. 8/15 Kaaskompleksarv Kompleksarvu z = (x, y) kaaskompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu z = (x, y) = x iy.

21 Kompleksarvud p. 8/15 Kaaskompleksarv Kompleksarvu z = (x, y) kaaskompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu z = (x, y) = x iy. Arvutame korrutise zz = (x,y)(x, y) = (x 2 +y 2,0) = x 2 +y 2,

22 Kompleksarvud p. 8/15 Kaaskompleksarv Kompleksarvu z = (x, y) kaaskompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu z = (x, y) = x iy. Arvutame korrutise zz = (x,y)(x, y) = (x 2 +y 2,0) = x 2 +y 2, millest järeldub, et see korrutis on positiivne reaalarv, s.o zz R. Viimasest võrdusest järeldub, et zz = 0 x = y = 0.

23 Kompleksarvud p. 9/15 Pöödrkompleksarv Nullist erineva kompleksarvu z = (x, y) pöördkompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu z 1 = 1 x 2 +y 2(x, y).

24 Kompleksarvud p. 9/15 Pöödrkompleksarv Nullist erineva kompleksarvu z = (x, y) pöördkompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu z 1 = 1 x 2 +y 2(x, y). Arvutame kompleksarvu z ja tema pöördarvu z 1 korrutise: zz 1 = 1 x 2 +y 2(x,y)(x, y) = 1 x 2 +y 2(x2 +y 2,0) = (1,0) = 1.

25 Kompleksarvud p. 10/15 Kompleksarvude jagamine Kompeksarvude z 1 ja z 2 0 jagatiseks nimetatakse kompleksarvu z 1 = z 1 z2 1 z. 2

26 Kompleksarvud p. 10/15 Kompleksarvude jagamine Kompeksarvude z 1 ja z 2 0 jagatiseks nimetatakse kompleksarvu z 1 = z 1 z2 1 z. 2 Olgu z 1 = (x 1,y 1 ) ja z 2 = (x 2,y 2 ) kaks kompleksarvu, siis z 1 z 2 = z 1 z 1 2 = (x 1,y 1 ) 1 x 2 2 +y2 2 (x 2, y 2 ) = = 1 x 2 2 +y2 2 (x 1,y 1 )(x 2, y 2 ) = z 1z 2 z 2 z 2.

27 Kompleksarvud p. 10/15 Kompleksarvude jagamine Kompeksarvude z 1 ja z 2 0 jagatiseks nimetatakse kompleksarvu z 1 = z 1 z2 1 z. 2 Olgu z 1 = (x 1,y 1 ) ja z 2 = (x 2,y 2 ) kaks kompleksarvu, siis z 1 z 2 = z 1 z 1 2 = (x 1,y 1 ) 1 x 2 2 +y2 2 (x 2, y 2 ) = = 1 x 2 2 +y2 2 (x 1,y 1 )(x 2, y 2 ) = z 1z 2 z 2 z 2. Siit järeldub, et kompleksarvude z 1 ja z 2 jagatise leidmiseks tuleb murdu z 1 z 2 laiendada nimetaja kaaskompleksarvuga z 2.

28 Kompleksarvud p. 11/15 Tehted algebralisel kujul antud kompleksarvudega Olgu antud algebralisel kujul kaks kompleksarvu z 1 = x 1 +iy 1 ja z 2 = x 2 +iy 2, siis: z 1 = z 2 x 1 = x 2 & y 1 = y 2 ;

29 Kompleksarvud p. 11/15 Tehted algebralisel kujul antud kompleksarvudega Olgu antud algebralisel kujul kaks kompleksarvu z 1 = x 1 +iy 1 ja z 2 = x 2 +iy 2, siis: z 1 = z 2 x 1 = x 2 & y 1 = y 2 ; z 1 +z 2 = (x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 );

30 Kompleksarvud p. 11/15 Tehted algebralisel kujul antud kompleksarvudega Olgu antud algebralisel kujul kaks kompleksarvu z 1 = x 1 +iy 1 ja z 2 = x 2 +iy 2, siis: z 1 = z 2 x 1 = x 2 & y 1 = y 2 ; z 1 +z 2 = (x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ); z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +x 2 y 1 );

31 Kompleksarvud p. 11/15 Tehted algebralisel kujul antud kompleksarvudega Olgu antud algebralisel kujul kaks kompleksarvu z 1 = x 1 +iy 1 ja z 2 = x 2 +iy 2, siis: z 1 = z 2 x 1 = x 2 & y 1 = y 2 ; z 1 +z 2 = (x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ); z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +x 2 y 1 ); z 1 z 2 = z 1z 2 z 2 z 2 = x 1x 2 +y 1 y 2 x 2 2 +y2 2 +i x 2y 1 x 1 y 2 x 2 2 +y2 2.

32 Kompleksarvud p. 12/15 Tehete omadused Liitmise kommutatiivsus: z 1 C, z 2 C korral z 1 +z 2 = z 2 +z 1.

33 Kompleksarvud p. 12/15 Tehete omadused Liitmise kommutatiivsus: z 1 C, z 2 C korral z 1 +z 2 = z 2 +z 1. Tõestus. z 1 +z 2 = (x 1,y 1 )+(x 2,y 2 ) def = (x 1 +x 2,y 1 +y 2 ) = = (x 2 +x 1,y 2 +y 1 ) def = (x 2,y 2 )+(x 1,y 1 ) = z 1 +z 2.

34 Kompleksarvud p. 13/15 Tehete omadused Korrutamise kommutatiivsus: z 1 C, z 2 C korral z 1 z 2 = z 2 z 1.

35 Kompleksarvud p. 13/15 Tehete omadused Korrutamise kommutatiivsus: z 1 C, z 2 C korral z 1 z 2 = z 2 z 1. Tõestus. z 1 z 2 = (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) def = (x 1 x 2 y 1 y 2,x 1 y 2 +x 2 y 1 ) = = (x 2 x 1 y 2 y 1,y 2 x 1 +y 1 x 2 ) def = (x 2,y 2 ) (x 1,y 1 ) = z 1 z 2.

36 Kompleksarvud p. 14/15 Tehete omadused Korrutamise assotsiatiivsus: z 1 C, z 2 C, z 3 C korral z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3

37 Kompleksarvud p. 15/15 Tehete omadused Distributiivsus: z 1 C, z 2 C, z 3 C korral z 1 (z 2 +z 3 ) = z 1 z 2 +z 1 z 3 Kaaskompleksarvude omadused: z 1 +z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 ( z1 ) = z 1 z 2 z 2

Σχετικά έγγραφα

Geomeetrilised vektorid

Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse