Αριθμητική Ολοκλήρωση με τις μεθόδους Τραπεζίου/Simpson. Φίλιππος Δογάνης Δρ. Χημικός Μηχανικός ΕΜΠ

Transcript

1 Αριθμητική Ολοκλήρωση με τις μεθόδους Τραπεζίου/Smpso Φίλιππος Δογάνης Δρ. Χημικός Μηχανικός ΕΜΠ

2 Μια πρώτη προσέγγιση Ο χώρος χωρίζεται σε διαστήματα: {... } Prtto P Ορίζουµε : { } { } m m : M m : Ε λάχιστο L, P m Μ έγιστο U, P M

3 Μια πρώτη προσέγγιση Ε λάχιστο L, P m Μ έγιστο U, P M L U Εκτίµηση του ολοκληρώµατος U L Σϕάλµα

4 Παράδειγμα d Τ µ ήµατα P,,,, τέσσερα ίσα διαστήµατα 9 m, m, m, m M, M, M, M 6 6 για,,,

5 Παράδειγμα Ε λάχιστο L, P m 9 L, P Μ έγιστο U, P M 9 U, P Εκτίµηση του ολοκληρώµατος 6 6 Σ ϕάλµα <

6 Αριθμητική ολοκλήρωση Γενικά : d α Μέθοδοι Newto-Cotes Ισαπέχοντα σηµεία στην περιοχή ολοκλήρωσης Χρήση πολυωνύµων παρεµβολής Μέθοδοι Guss Μη ισαπέχοντα σηµεία στην περιοχή ολοκλήρωσης α - Ολοκλήρωση κατά τµήµατα Προσαρµοζόµενη ολοκλήρωση

7 7 Μέθοδοι Newto- Cotes Μέθοδος Τραπεζίου Πολυώνυμο πρώτης τάξης Μέθοδος Smpso Πολυώνυμο δεύτερης τάξης d d d d

8 Αριθμητική ολοκλήρωση Μέθοδοι Newto- Cotes Πολυώνυµα παρεµβολής Lgrge d L, k k k k L,, d L d P, Οπότε: µε: L P,

9 Αριθμητική ολοκλήρωση Μέθοδος Τραπεζίου Πολυώνυµο παρεµβολής Lgrge P P [ ] [ ] d d d d Οπότε: α

10 Μέθοδος Τραπεζίου Ε µβαδόν

11 Μέθοδος Τραπεζίου d I d I

12 Μέθοδος Τραπεζίου Για ένα διάστημα d I d d I

13 Μέθοδος Τραπεζίου Για πολλά διαστήματα Ε µβαδ ν ό Το διάστηµα [,] επιµερίζεται σε τµήµατα... d άθροισµα των εµβαδών των τραπεζίων

14 Μέθοδος Τραπεζίου Γενική και ειδική μορφή Αν το διάστηµα επιµερίζεται σε τµήµατα όχι απαραίτητα ίσα... d Ειδική περίπτωση ίσα διαστήµατα or ll d [ ]

15 Παράδειγμα Δίνεται πίνακας με την ταχύτητα ενός αντικειμένου. Tme s.... Velocty m/s. Εκτιμήστε την απόσταση που διανύθηκε το χρονικό διάστημα [,]. Απόσταση ολοκλήρωμα της ταχύτητας Απόσταση V t dt 5

16 Παράδειγμα Το διάστηµα επιµερίζεται σε υποδιαστήµατα Τα σηµεία είναι:,,, Μέθοδος τραπεζ ίου { } Χρόνος s.... Ταχύτητα m/s T Απόσταση 9. 6

17 Υπολογισμός του σφάλματος Μέθοδος Τραπεζίου Πόσα ίσα διαστήµατα απαιτούνται ώστε να υπολογιστεί το s d µε ακρίβεια 5ου δεκαδικού ψηφίου; π 7

18 Υπολογισμός του σφάλματος Μέθοδος Τραπεζίου Θεωρητικά Υπόθεση: '' συνεχής στο [,] ίσα διαστήµατα πλάτους Θεώρηµα: Εάν η τραπεζοειδής µέθοδος χρησιµοποιηθεί για την προσέγγιση του d τότε: '' Error ξ ό που ξ [,] Error m '' [, ] 8

19 Παράδειγμα π s d, να βρεθεί ώστε error Error m '' [, ] π; ; ' cos ; '' s π '' Error π 5 9

20 Παράδειγμα Χρησιµοποιήστε την µέθοδο τραπεζίου για να υπολογίσετε το: d T, P Ειδική περίπτωση : για κάθε, T, P

21 Παράδειγμα d

22 Αριθμητική ολοκλήρωση Μέθοδος Smpso Πολυώνυµο παρεµβολής Lgrge P P [ ] d d d d Οπότε: α

23 Μέθοδος Smpso / Προσέγγιση της συνάρτησης με παραβολή [ ] c c c c d L

24 Μέθοδος Smpso /8 Προσέγγιση της συνάρτησης με πολυώνυμο d c 8 c [ ] c c c L

25 Παράδειγμα :Μέθοδοι Smpso Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: Μέθοδοι Smpso / Μέθοδοι Smpso /8 e d [ ] I e d ε 8 e e % I e d 8 / [ ] ε.7% 56.96

26 Κανόνας Τραπεζίου με διαφορετικό αριθμό διαστημάτων Δυο διαστήματα Τρία διαστήματα Τέσσερα διαστήματα Πολλά διαστήματα

27 Μέθοδος τραπεζίου με πολλά διαστήματα d d d [ ] [ ]! [ ] [!! ]!! d

28 Μέθοδος τραπεζίου με πολλά και άνισα διαστήματα Υπολογισμός του ολοκληρώματος,,.5,.5 I e d I d d d.5 [ ] [ ] [ ].5 [.5 ].5 [ ] [ ] [ e.5 ] e e e e.5 [ ] 7 8.5e e ε.5%.5 d

29 Μέθοδος Smpso με πολλά διαστήματα

30 Μέθοδος Smpso με πολλά διαστήματα Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:, I e d I [ ] [ ] 8 e e 8. ε 57.96%, I [ ] [ e e e e ] 6 8 ε 8.7%

31 Μέθοδος Smpso με πολλά και άνισα διαστήματα Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:.5,.5 I d.5 5. I d [.5 ] e [.5 ].5 ε.76% d [.5 ] [.5 ] e e e e e

32 Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική Καθώς μελετήθηκε μια κυψέλη καυσίμου, καταστρώθηκε ένα ηλεκτροχημικό μοντέλο για το ρεύμα οξυγόνου- μεθανόλης. Μια απλοποιημένη μορφή του μηχανισμού κατανάλωσης του οξυγόνου δίνεται παρακάτω: T # & % d $.6 '. Ζητείται να υπολογιστεί ο χρόνος που απαιτείται για την κατανάλωση του 5% της αρχικής ποσότητας. 6 m με την μέθοδο Smpso σε διαστήματα.. Βρείτε το πραγματικό σφάλμα για το ερώτημα.

33 Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική T odd eve

34 Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική

35 Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική T odd 6.6 eve. 6 [..6 ] eve odd sec

36 Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική Υπολογίζοντας επακριβώς το ολοκλήρωμα έχουμε: T d 95 sec οπότε το σφάλμα είναι: E t True Vlue Appromte Vlue

37 Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική και σαν ποσοστό της ακριβούς τιμής του ολοκληρώματος είναι: Error %

38 Αριθμητική ολοκλήρωση Υπολογισμός σφαλμάτων Ποσοστιαίο σφάλµα Μεθ. Τραπεζίου Πραγµατικό σφάλµα Εκτιµούµενο σφάλµα Μεθ. Smpso Αριθµός Υποδιαστηµάτων