5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije"

Transcript

1 Glava 5 Gravitacija Orbitiranje prirodnih i veštačkih satelita oko Zemlje, planeta oko Sunca, fenomen plime i oseke, prenos toplote strujanjem fluida, visoka temperatura unutrašnjosti planeta, padanje tela koje ispustimo ka površini Zemlje,..., je prouzrokovano postojanjem sile gravitacije. Naime, naša stopala moraju da se napregnu da izdrže našu težinu - silu gravitacije kojom Zemlja deluje na naše telo. Vertikalan pad jabuke sa drveta je izazvan delovanjem iste sile. Mesec orbitira oko Zemlje pošto gravitaciona sila stvara centripetalnu silu na rastojanju od stotina miliona metara (rastojanje Zemlje i Meseca iznosi m). Ista sila održava kretanja planeta oko Sunca, zvezda u galaksiji, i galaksija u klasteru galaksija. U tom smislu je reč o univerzalnoj sili koja deluje na isti način na veoma različitim rastojanjima i opisuje ogromana broj pojava. Moderna fizika opisuje gravitaciju Ajnštajnovom opštom teorijom relativnosti, mada mnogo prostiji Njutnov zakon univerzalne gravitacije nudi, mnogo prostije ali ipak dovoljno tačno, opisivanje istih fenomena. 5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije Njutn je prvi precizno opisao gravitacionu silu i pokazao da ona može da objasni i padanje tela na Zemlju i kretanja nebeskih tela. On nije medjutim prvi koji je došao na takvu ideju. Njegov prethodnik je Galilej koji je tvrdio upravo to: da i jedna i druga vrsta kretanja imaju isti uzrok. Neki od Njutnovih savremenika, Robert Huk, Kristofer Vren i Edmund Halej, su takodje činili napore i imali odredjene rezultate u razumevanju gravitacije. Njutn je medjutim prvi koji je došao do tačnog matematičkog obrasca i iskoristio ga 127

2 128 GLAVA 5. GRAVITACIJA da pokaže da su putanje nebeskih tela oblika takozvanih konusnih preseka: kružnice, elipse, parabole i hiperbole. Ta teorijska predvidjanja predstavljaju veliki trijumf jer je već neko vreme bilo poznato da sateliti, planete i komete imaju baš takve putanje. Niko, medjutim nije znao da objasni mehanizam koji je dovodio do baš takvih putanja a ne nekih drugih. Izraz koji opisuje gravitacionu silu je relativno jednostavan. Ona je uvek privlačna i zavisi samo od masa koje deluju njome i njihovog rastojanja. Taj izraz se naziva Njutnov zakon univerzalne gravitacije i glasi izmedju svaka dva tela u vasioni postoji privlačna sila koja deluje duž prave linije koja ih spaja. Ta sila je direktno proporcionalna proizvodu njihovih masa a obrnuto proporcionalna kvadratu njihovog medjusobnog rastojanja. Za dva tela masa m i M, čiji se centri masa nalaze na Slika 5.1: Gravitaciono privlačenje duž linije koja spaja centre masa bilo koja dva tela. Intenzitet sile je ist za oba tela što je u skladu sa trećim Njutnovim zakonom medjusobnom rastojanju r (slika 5.1), ovaj izraz glasi F = γ mm r 2, (5.1) gde je F intenzitet gravitacione sile, γ je konstanta proporcionalnosti koja se naziva univerzalna gravitaciona konstanta. Ova konstanta se naziva univerzalnom jer ima istu vrednost svuda u univerzumu. Njena vrednost je odredjena eksperimentalno 1 i iznosi 1 Tekst o tome ko je i kada odredio. 11 N m2 γ = 6, kg 2

3 5.1. NJUTNOV ZAKON UNIVERZALNE GRAVITACIJE 129 u SI jedinicama (to znači da, kada mase merimo u kilogramima a rastojanje u metrima, silu ćemo obavezno dobiti u njutnima). Ukoliko je reč o delovanje dva tela čije su mase po 1,000 kg i nalaze se na rastojanju od 1, 000 m, privlačna sila će biti jednaka 6, N. Ova vrednost je izuzetno mala što je u skladu sa svakodnevnim iskustvom. Naime mi ne osećamo delovanje čak ni veoma velikih objekata, kao što su planine, na nas. Kada je reč o težini naših tela na Zemlji, treba imati u vidu da je ona posledica delovanja cele Zemlje, čija je masa znatno veća od mase najvećih planina, na nas. Prisetimo smo da smo ranije naveli da je ubrzanje Zemljine teže, na njenoj površini i blizu nje, jednako 9,80 m/s 2. Kako sada znamo izraz koji opisuje silu koja izaziva to ubrzanje, da vidimo da li na osnovu toga možemo da odredimo teorijski vrednost navedenog ubrzanja. Težina tela mg, je u stvari gravitaciona sila izmedju tela i Zemlje. Ako zamenimo mg u izraz za Njutnov zakon univerzalne gravitacije dobija se mg = γ mm r 2, gde je m masa tela a M masa Zemlje, a r rastojanje do centra Zemlje (zapravo rastojanje centara masa tela i Zemlje). Nakon skraćivanja mase tela m, dobija se jednačina koja odredjuje vrednost ubrzanja g g = γ M r 2. (5.2) Ukoliko zamenimo poznate vrednosti za masu i poluprečnik Zemlje, dobija se ( ) 11 N m2 5, kg g = 6, kg 2 (6, m) = 9, 80 2 m/s2. To je očekivana vrednost za ubrzanje Zemljine teže a veoma je važna činjenica da ono ne zavisi od mase tela koje se kreće u Zemljinom gravitacionom polju. 2 Njutnov zakon gravitacije, osim što u sebi sadrži Galilejevo tvrdjenje da sva tela padaju sa istim ubrzanjem, ide i korak dalje, objašnjavajući tu činjenicu silom koja izaziva taj pad za koju je utvrdio da je univerzalna i da deluje izmedju svih masivnih tela u vasioni. Pogrešno je misliti da je Zemlja stacionarna (ovde se ne misli na njenu rotaciju oko sopstvene ose i oko Sunca) dok se Mesec vrti oko nje. U stvari, i 2 U ovom izračunavanju g je zanemaren otpor koji vazduh pruža kretanju tela kroz njega kao i male varijacije poluprečnika Zemlje. Takodje postoje efekti koji su posledica rotacije Zemlje usled kojih je g manje na ekvatoru nego na polovima.

4 130 GLAVA 5. GRAVITACIJA Slika 5.2: Zemlja i Mesec se okrenu približno jednom za mesec dana oko njihovog centra masa Slika 5.3: Putanje centra masa sistema Zemlja-Mesec i same Zemlje oko Sunca (talasasta linija).

5 5.1. NJUTNOV ZAKON UNIVERZALNE GRAVITACIJE 131 prema Njutnovom zakonu univerzalne gravitacije i u skladu sa zakonom akcije i reakcije, jednakom silom deluje i Mesec na Zemlju i Zemlja na Mesec. Ove sile se razlikuju samo po smeru. U stvari, Mesec i Zemlja učestvuju u rotaciji oko zajedničkog centra masa kao što je to prikazano na slici 5.2. Koliki uticaj ima Mesec na kretanja Zemlje se vidi se i po tome što on svojim delovanjem deformiše eliptičnu putanju Zemlje oko Sunca čineći je talasastom Zavisnost ubrzanja Zemljine teže od visine Podsetimo se da smo ranije definisali mg kao težinu tela mase m, pri čemu je g ubrzanje Zemljine teže, odnosno ubrzanje tela koje slobodno pada u njenom gravitacionom polju (odredjeno jednačinom (5.2)). Ukoliko se, medjutim, telo nalazi na visini h iznad površine Zemlje, rastojanje od tela do centra mase Zemlje je r = R + h, tako da će intenzitet gravitacione sile prema (5.1) biti F = γ mm mm = γ r 2 (R + h). 2 Telo koje se nalazi na ovoj visini takodje pada sa nekim ubrzanjem koje se očigledno razlikuje od g odredjenog jednačinom (5.2). Ukoliko ga označimo sa g, izraz za drugi Njutnov zakon, u ovom slučaju, daje mg mm = γ (R + h), 2 što nakon skraćivanja mase tela m za ubrzanje koje tela imaju pri slobodnom padu sa visine h u polju Zemljine teže, daje g M = γ (R + h). (5.3) 2 Iz ove jednačine se vidi da ubrzanje opada sa visinom. Kako je težina tela mg, odavde sledi da će u slučaju kada visina tela h bude jako velika, težina tela biti veoma mala, pa će u nekom graničnom slučaju postati praktično jednaka nuli Plima i oseka Plima i oseka koje se javljaju na okeanima i morima su najvidljiviji rezultat delovanja gravitacione sile Meseca na Zemlju. Slika 5.4 predstavlja uprošćeni

6 132 GLAVA 5. GRAVITACIJA Visina h (km) g (m/s 2 ) , , , , , , , , , , ,13 0 Tabela 5.1: Ubrzanja Zemljine teže za neke visine iznad površine Zemlje. Slika 5.4: Plima i oseka izazvane na Zemlji gravitacionim delovanjem Meseca. prikaz pozicije Meseca u odnosu na plimu koju je izazvao na vodenim masama na Zemlji. Kako voda može da teče, plima se dogadja na strani Zemlje koja je bliža Mesecu, jer je na tom mestu gravitaciono privlačenje od strane Meseca najveće. Poznata je činjenica da se plima pojavljuje i sa druge, dalje, strane Zemlje. Zašto? Odgovor se sastoji u tome da, Mesec privlači Zemlju jače nego vodu koja se nalazi na daljoj strani Zemlje, u odnosu na Mesec, iz prostog razloga jer je Zemlja bliža Mesecu. Iz tog razloga je voda sa strane koja je bliža Mesecu, pomerenja ka njemu, kao što je i Zemlja pomerena bliže od vode koja se nalazi na drugoj, daljoj strani Zemlje. Kako Zemlja rotira oko svoje ose, plima i oseka zadržavaju svoj položaj u odnosu na Mesec. Iz tog razloga se plima i oseka poljavljuju dva puta dnevno.

7 5.1. NJUTNOV ZAKON UNIVERZALNE GRAVITACIJE 133 Slika 5.5: (a, b) Najviše i (c) najniže plime. Sunce, kao najmasivnije telo u našem planetarnom sistemu, takodje utiče na pojavu plime i oseke, ali je njegov uticaj otprilike jednak polovini uticaja Meseca. Stoga se najveće plime, nazivaju se prolećnim, pojavljuju onda kada se Zemlja, Mesec i Sunce na jednoj liniji. Najniže plime se dogadjaju onda, kada se Sunce nalazi pod pravim uglom u odnosu na lliniju koja spaja položaj Zemlje i Meseca. Plima i oseka nisu pojave koje postoje samo na Zemlji već se dešavaju i u drugim astronomskim sistemima. Najekstremnije su tamo gde je i gravitaciona sila najveća i rapidno se menja, a to je u blizini crnih rupa 3 (slika 5.6). U našoj galaksiji je registrovano nekoliko objekata koji su kandidati za crne rupe. One imaju mase veće od mase Sunca, dok im je dijametar (usled veoma jake gravitacije) tek nekoliko kilometara. Na slici 5.6 je prikazana crna rupa koja se formirala u jednom binarnom sistemu (sistem koji se sastojao od dve zvede). Plimske sile koje stvara crna rupa su tako velike da prosto čupaju materiju sa druge zvezde i usisavaju u crnu rupu. Ta materija se pri tom jako komprimuje i zagreva, i pri tom kreira svetlost i X zrake koji mogu da 3 Crna rupa je objekat čija je gravitacija toliko jaka da sa nje ne može ništa da ode, čak ni svetlost.

8 134 GLAVA 5. GRAVITACIJA se registruju sa Zemlje. Slika 5.6: Crna rupa koja usisava materiju sa bliske zvezde. 5.2 Keplerovi zakoni Danas stotine veštačkih satelita orbitira oko Zemlje zajedno sa hiljadama komada raznog otpada. Po putanjam sličnog oblika se kreću Mesec oko Zemlje, planete oko Sunca kao i prirodni sateliti ostalih planeta Sunčevog sistema. Asteroidi, meteori i komete se takodje kreću oko Sunca ali po putanjama drugačijeg oblika. Ako bacimo pogled van našeg planetarnog sistema uočićemo ogroman broj zvezda, galaksija, i drugih nebeskih objekata koji orbitiraju jedni oko drugih usled interagovanja gravitacionim silama. Svim tim kretanjima upravlja gravitaciona sila, i uzimajući je u obzir moguće je manje ili više tačno opisati ih. Naravno, kada je reč o sistemima sa više objekata, jednačine postaju komplikovane pa se moraju rešavati uz pomoć kompjutera. Medjutim, za opisivanje orbita odredjene klase sistema, nisu potrebni kompjuteri, i mi ćemo se sada pozabaviti njima. Te orbite imaju sledeće karakteristike: Telo manje mase m orbitira oko tela mnogo veće mase M. Ovo znači da možemo da smatramo telo mase M praktično stacionarnim, odnosno za njega možemo da vežemo inercijalni sistem reference. Ukoliko je orbita zatvorena kriva, telo mase m se naziva satelitom većeg tela. Sistem je izolovan od drugih masivnih tela. Ovo nam dozvoljava da zanemarimo male efekte na putanje koji potiču od tela koja se nalaze van posmatranog sistema.

9 5.2. KEPLEROVI ZAKONI 135 Slika 5.7: Elipsa je zatvorena kriva kod koje je zbir rastojanja ma koje tačke na njoj od dva fokusa (f 1 i f 2 ) konstantan. Ove uslove zadovoljavaju, sa dovoljno velikom tačnošću, svi Zemljini sateliti (uključujući i prirodni satelit Mesec), tela koja orbitiraju oko Sunca, i sateliti ostalih planeta. Istorijski gledano, prvo su proučavane orbite planeta, za koje je Kepler 4 definisao tri zakona koji u potpunosti opisuju njihovo kretanje. Štaviše ovi zakoni važe za bilo koja tela koja zadovoljavaju navedene uslove, a ne samo za planete Sunčevog sistema. Keplerovi zakoni kretanja planeta glase: Prvi Keplerov zakon. Orbita svake planete oko Sunca je elipsa u čijem jednom fokusu se nalazi Sunce (slika 5.8). 5 Drugi Keplerov zakon. Svaka planeta se kreće tako da, zamišljenja linija koja spaja Sunce i planetu, prebriše jednake površine za jednake intervale vremena (slika 5.9). Treći Keplerov zakon. Odnos kvadrata perioda obilaska ma koje dve planete oko Sunca je jednak odnosu trećih stepena njihovog srednjeg 4 Johannes Kepler ( ), nemački astronom koji je nakon pažljivog studiranja (preko 20 godina) velike količine podataka koje je sakupio danski astronom Tycho Brahe (Tiho Brahe) u vezi kretanja planeta, definisao tri zakona koji ih opisuju. 5 Putanja tela pod delovanjem gravitacione sile može u stvari da bude bilo koji takozvani konusni presek-kružnica, elipsa, parabola, hiperbola, pri čemu je telo veće mase u njegovog žiži, odnosno fokusu. Konusni preseci imaju fokuse, kod kružnice postoji jedan i nalazi se u njenom centru, dok elipsa ima dva. Većina tela u sunčevom sistemu ima eliptične orbite što znači da ne mogu da ga napuste.

10 136 GLAVA 5. GRAVITACIJA Slika 5.8: Ilustracija prvog Keplerovog zakona. Slika 5.9: Ilustracija drugog Keplerovog zakona. Osenčene oblasti imaju jednaku površinu. Planeti je potrebno jednako vreme da stigne od tačke A do B, od C do D i od E do F. Posledica toga je da se planeta brže kreće kada je bliža telu mase M.

11 5.3. BESTEŽINSKO STANJE I UTICAJ NA BIO SISTEME 137 rastojanja od Sunca. Jednačina koja izražava ovaj zakon glasi T1 2 T2 2 = r3 1, (5.4) r2 3 gde je T period (vreme obilaska orbite) a r je srednje rastojanje. Napomenimo još jednom da, iako su Keplerovi zakoni formulisani da bi objasnili kretanje planeta oko Sunca, oni važe za kretanje svih tela koja zadovoljavaju napred navedene uslove. Važno je takodje uočiti da Keplerovi zakoni govore o tome šta se dešava a ne zbog čega se to dešava. U tom smislu su Keplerovi zakoni kinematički, dok je Njutnov zakon univerzalne gravitacije, zakon koji je opisana dinamika Sunčevog sistema. 5.3 Bestežinsko stanje i uticaj na bio sisteme U poredjenju sa velikom ekonomskom i naučnom koristi koje imamo od postojanja veštačkih zemljinih satelita, boravak ljudi u kosmosu je zanemarljiv za oko četiri decenije od kako smo uspeli da savladamo zemljinu gravitaciju i otisnemo se u kosmos. Slanje ljudi u kosmos je još uvek veoma skupo a često i rizično. U jednom periodu je čak došlo do zastoja lansiranja ljudskih posada u orbitu oko Zemlje kao posledica dve velike katastrofe koje su se desile američkim šatlovima. U medjuvremenu je narastao interes za ponovno spuštanje na Mesec, a rate lagano i broj zemalja koje su spososbne da obavljaju svemirske letove, tako da se verovatno nalazimo na početku jednog novog perioda u kojem će biti puno novih izazova za čovečanstvo. U ovom trenutku se medjutim može reći da za sada postoji samo jedan vidljiv ekonomski rezon za obavljanje svemirskih letova, a to je - turizam! Naime, već postoje kompanije koje se bave prodajom vremena provedenog u kosmosu, a obavljen je i odredjen broj komercijalnih letova. Krstarenje kosmosom će, prema tome, biti izazov za dovoljno bogate, ali i hrabre. Kosmička bolest Osim što putnici u kosmos, moraju da budu bogati, hrabri, ispostavlja se da moraju da imaju i gvozdeni stomak. Boravak živih bića, koja su se evolucijom dizajnirala da žive na Zemlji gde je g = 9, 80 m/s 2, u uslovima nulte gravitacije (g = 0) je, u najmanju ruku, neugodan. U toku pripreme astronauta

12 138 GLAVA 5. GRAVITACIJA za prve kosmičke programa pažnja je bila fokusirana da oni budu u perfektnoj fizičkoj kondiciji, ali je ubrzo postalo jasno da to ne sprečava veoma neugodne osećaje u stomaku izazvane slabom gravitacijom. Naše unutrašnje uvo, preko koga inače imamo osećaj za gore i dole u ovoj situaciji ne može da uspostavi uobičajenu orijentaciju. Te kontradiktorne informacije koje dobija naše telo ga dovodi u posebno stanje koja se, po analogiji sa morskom, naziva kosmičkom bolešću. Efekti dugog boravka u kosmosu Postoji niz efekata dužeg boravka u kosmosu, pomenimo samo probleme sa krvotokom, mišićima i kostima. 6 Efekti na mišiće i kosti su slični onima koje imaju stari ljudi i ljudi koji su prinudjeni da, usled neke bolesti, budu vezani duže vreme za krevet. Dobro je poznato da mišići postaju čvršći, odnosno opušteniji, u zavisnosti od toga koliko ih koristimo onosno ne koristimo. Kada je reč o kostima, poznato je da se, stalno jedan deo njihove mase zamenjuje novim materijalom. Balans izmedju gubitka starog materijal kosti i novog materijala koji ga zamenjuje, se remeti u uslovima gravitacije različite od one na koja su naša tela navikla. Ovaj efekat je najizraženiji na kostima donjeg dela tela jer su one i najveće. Istraživanja još uvek nisu dala odgovor na pitanje da li je u uslovima male gravitacije ubrzan proces gubitka starog materijala ili je usporen proces stvaranja novog, 7 što usporava zamenu i održavanja kosti u konstantnom stanju. Takodje se vrše istraživanja i u smeru pokušaja da se ovaj efekat anulira dijetama i/lli lekovima. Druga grupa fizioloških problema se pojavljuje usled redistribucije fluida u telu. Vene i arterije u nogama su, u uslovima na Zemlji uobičajene gravitacije, napregnute na takav način da onemogućavaju gomilanje krvi u njima. Poznat je efekat, da kada sedimo na nogama duže vreme, gubimo osećaj u njima jer smo usled neuobičajenog položaja onemogućili krvne sudove da se kontrahuju na način kako to obično rade. U uslovima bestežinskog stanja, krvni sudovi koj se i dalje kontrahuju na način da sprečavaju gomilanje krvi u nogama, sada usled toga podižu krv ka gornjim delovima tela gde se ona gomila. Trenutna posledica toga je osećaj naduvenosti gornjih delova tela, ali na duže staze ovakva raspodela krvi može da izazove i značajnije zdravstvene 6 Ruski astronauti su, obzirom na mesece koje su provodili na svemirskoj stanici Mir postali specijalisti u treningu za duge boravke u kosmosu. 7 Ili je reč o interferenciji oba faktora.

13 5.3. BESTEŽINSKO STANJE I UTICAJ NA BIO SISTEME 139 probleme. Naime, uvećana količina krvi u glavi astonauta dovodi do toga da organizam ima utisak da je njena količina povećana u celom telu. Na ovakvuu informaciju, telo reaguje na taj načina što smanjuje ukupnu kollčinu krvi u organizmu a konsekvenca je povećanje koncentracije crvenih krvnih zrnaca. Na ovo pak povećanje organizam opet reaguje težeći da je svede na normalnu, ali to znači da će u ukupnom iznosu ovih zrnaca da bude manje, što nije dobro. U misijama koje su do sada izvedene, ovaj efekat nije izazivao takve probleme kao ranije opisan mišićno-skeletni, ali ga svakako treba imati u vidu u slučaju dužeg boravka u bestežinskom stanju. Reprodukcija u kosmosu Ukoliko se u budućnosti bude razmišljalo o kolonizaciji kosmosa, veoma će biti važno uzeti u obzir i pitanja vezana za razmnožavanje ljudske vrste u tim uslovima. Do sada je u kosmosu boravila jedna, već trudna, ruska astronautkinja, i nakon povratka rodila zdravo i normalno dete. Dosadašnja istraživanja su bila skoncentrisana uglavnom na reprodukciju biljnih i životinjskih vrsta u kosmosu. Zeljaste biljke, gljive, insekti, ribe i vodozemci su pokazali da u njihovom boravku i razmožavanju nije bilo problema, bar unutar jedne generacije. U mnogim slučajevima su životinjski embrioni, začeti u orbiti, počeli da se razvijaju abnormalno, ali su se u kasnijem razvoju korigovali i bili normalni. Medjutim, embrioni kokoši koji su bili oplodjeni na Zemlji manje od 24 sati pre poletanja u orbitu, nisu uspeli da prežive. Obzirom da su kokoši, od svih organizama na kojima su vršena istraživanja, najsličniji ljudima, nije sasvim sigurno da će ljudi moći da se razmnoažavaju uspešno u uslovima nulte gravitacije. Veštačka gravitacija Ukoliko bi ljudi morali da borave u kosmosu neki duži period (duže od godinu dana), zgodnije je konstruisati kosmičke stanice koje će, usled sopstvene rotacije, stvarati iluziju težine. Moguće je simulirati i uobičajenu gravitaciju na koju smo navikli na Zemlji, a za turiste bi mogla da se simulira gravitacija od 2 do 5 m/s 2. Naučna fantastika je obično fokusirana na kolonizaciju nebeskih tela koja imaju neke sličnosti sa Zemljom, kao što su to na primer Mesec, Mars, Jupiterov ledeni satelit Evropa, gde u principu nije moguće konstruisati

14 140 GLAVA 5. GRAVITACIJA rotirajuće strukture na površini koje bi stvarale utisak povećane gravitacije. Naime, gravitaciona ubrzanja na ovim nebeskim telima su izmedju 2 i 3 m/s 2, dakle na duže staze nisu pogodna za boravak ljudi. U tom smislu su realnije kolonije koje bi bile konstruisanje u medjuplanetarnom prostoru gde je moguće stvoriti veštačku gravitaciju. 5.4 Sile kod krivolinijskog kretanja Prema prvom Njutnovom zakonu, ako na telo ne deluje sila, ono je u stanju mirovanja ili uniformnog pravolinijskog kretanja. Ukoliko pak želimo da se telo kreće po kružnici, onda, kao što smo videli, mora da postoji centripetalno ubrzanje. Jasno je da to ubrzanje mora da bude izazvano nekom silom čiji se pravac i smer poklapaju sa njegovim, pa se prema tome ona naziva centripetalna. Primeri za ovakve sile su, sila zatezanja koja deluje na telo koje zakačeno za kanap rotira, gravitaciona sila Zemlje koja deluje na Mesec, sila trenja izmedju točkova automobila i kolovoza prilikom skretanja u krivini,... Prema drugom Njutnovom zakonu, centripetalna sila je jednaka proizvodu mase tela i centripetalnog ubrzanja, odnosno F c = m a c. Prema izrazu (2.25), intenzitet centripetalne sile možemo da zapišemo u dva oblika F c = m v2 r, Fc = mrω 2. (5.5) Ukoliko prvi izraz rešimo po poluprečniku kružnice r, dobijamo r = mv2 F c. Odavde se vidi da za, istu masu i linijsku brzinu, veća centripetalna sila dovodi do kretanja po kružnici manjeg poluprečnika. Centripetalna sila može biti različite prirode, u zavisnosti od toga šta prouzrokuje kretanje po kružnici. Tako, u slučaju kretanja Meseca oko Zemlje, kao što je već napomenuto, centripetalna sila je gravitaciona sila kojom Zemlja privlači Mesec, pri kretanju elektrona oko jezgra, centripetalna sila je električna privlačna sila, itd. Kada se automobil kreće u krivini, tada je centripetalna sila, sila trenja izmedju točkova i kolovoza. Ako to trenje nije

15 5.5. KOSMIČKE BRZINE 141 Slika 5.10: Za kretanje istog tela jednakom linijskom brzinom po kružnici manjeg poluprečnika, potrebna je veća centripetalna sila. dovoljno veliko (mokar asfalt, poledica, prevelika linijska brzina), automobil izleće iz krivine. Na osnovu ovoga možemo da zakljuučimo da, centripetalna sila nije nova vrsta sile, već samo poseban naziv za svaku silu koja menja pravac brzine i uzrokuje kretanje tela po kružnoj putanji. Prema trećem Njutnovom zakonu, centripetalna sila mora da ima i odgovarajuću silu reakcije. Ova sila deluje na centar oko koga se odvija kružno kretanje, istoj je intenziteta a suprotnog smera od centripetalne sile i naziva se centrifugalna sila. Centripetalna i centrifugalna sila deluju na različita tela, centripetalna na telo koje se kreće po krivini, a centrifugalna na telo koje je odgovorno za takav način kretanja. Na primer, za kretanje Meseca oko Zemlje, centripetalna sila deluje na Mesec, a centrifugalna na Zemlju. Pri rotaciji tela vezanog preko kanapa za ruku, ruka oseća dejstvo centrifugalne sile. U slučaju prekida veze (kidanje kanapa, hipotetički prestanka dejstva Zemljine gravitacije na Mesec, proklizavanje automobila u krivini,...), nestaju uslovi za postojanje centipetalne i centrifugalne sile, pa će telo produžiti pravolinijsko kretanje, po tangenti na putanju, konstantnom brzinom. 5.5 Kosmičke brzine Kosmičke brzine su karakteristične brzine u astronautici. Odnose se na dato nebesko telo, i za svako od njih su različite.

16 142 GLAVA 5. GRAVITACIJA Prva kosmička brzina Prva kosmička brzina je brzina koju treba da ima veštački satelit neke planete, čiji je poluprečnik putanje jednak ili vrlo blizak poluprečniku te planete. Sateliti koji se kreću prvom kosmičkom brzinom, se kreću neposredno iznad površine planeta. Pošto Zemlja ima atmosferu, prva kosmička brzina se računa za visinu od oko 200 km gde vlada skoro idealni vakuum i nema otpora u toku kretanja satelita. 8 Prilikom kretanja satelita mase m, po kružnoj orbiti oko Zemlje poluprečnika R, ispunjen je uslov da je gravitaciona sila izmedju satelita i Zemlje jednaka takozvanoj centrifugalnoj sili koja deluje na satelit pri njegovom kretanju prvom kosmičkom brzinom v 1, odnosno mg = mv2 1 R. Odavde je prva kosmička brzina data izrazom v 1 = gr. Primetimo da u ovom izrazu ne figuriše masa tela m. Zamenom vrednosti za ubrzanje g = 9.80 m/s 2 i za poluprečnik Zemlje R = 6, m, za vrednost prve kosmičke brzine, u odnosu na Zemlju, se dobija v 1 = 7, 91 km/s. Telo koje ima početnu brzinu jednaku prvoj kosmičkoj brzini, neće pasti na Zemlju i ostaće u njenoj sferi dejstva kao satelit, pod uslovom da na njega ne deluju druge spoljašnje sile Druga kosmička brzina Druga kosmička brzina je najmanja brzina kojom treba izbaciti telo sa neke planete da bi izašlo iz zone dejstva njenog gravitacionog polja. Ovakvo telo ulazi u zonu dejstva Sunca i postaje njegov novi satelit (kao što to već jesu planete). Kinetička energija tela mase m koje se izbacuje brzinom v 2 troši se na vršenje rada protiv gravitacione sile Zemlje. Rad se pri tome vrši na putanji 8 Ukoliko bi se telo kretalo prvom kosmičkom brzinom kroz atmosferu, toliko bi se (usled trenja) zagrejalo da bi izgorelo.

17 5.6. ZADACI 143 koja počinje na rastojanju R od centra Zemlje pa formalno do beskonačnosti, jer je na jako velikim rastojanjima od Zemlje, njeno polje praktično jednako nuli. Uslov iz koga se može dobiti tražena brzina je da kinetička energija izbačenog tela bude bar jednaka njegovoj potencijalnoj energiji u polju teže, jer jedino u tom slučaju može da je potpuno savlada. Drugim rečima, mora da važi uslov mv 2 2 = γ mm 2 R, iz koga se za traženu brzinu dobija v 2 = 2γM R. Kako je, prema formuli (5.2), ubrzanje Zemljine teže na površini Zemlje jednako γm/r, druga kosmička brzina je povezana sa prvom sledećom relacijom pa joj je vrednost v 2 = 11, 2 km/s. v 2 = 2v 1, Ostale kosmičke brzina Osim pomenute dve postoje i treća i četvrta kosmička brzina. Treća je najmanja brzina koju treba saopštiti telu da bi izašlo iz zone dejstva Sunca a četvrta da bi otišlo izvan dejstva gravitacionog polja galaksije i otišlo u vasionu. Može da se pokaže da su njihove vrednosti v 3 = 42, 2 km/s, i v km/s. 5.6 Zadaci 1. Medjunarodna svemirska stanica je konstruisana da funkcioniše na visini od 350 km iznad površine Zemlje. Kada je napravljena, njena težina na površini Zemlje je bila 4, N. Kolika je njena težina kada se nalazi na orbiti? 2. Koristeći činjenicu da je ubrzanje Zemljine teže g = 9, 80 m/s 2, odrediti prosečnu gustinu Zemlje.

18 144 GLAVA 5. GRAVITACIJA 3. Smatrajući da Mesec obidje Zemlju, u proseku za 27,3 dana i da je njegova srednja udaljenost od centra Zemlje 3, m, odrediti period veštačkog Zemljinog satelita koji treba da orbitira na visini od 1500 km iznad površine Zemlje. 5.7 Rešenja 1. Težina stanice će biti jednaka proizvodu njene mase m i ubrznanja Zemljine teže g na toj visini. Masu stanice ćemo naći deljenjem njene težine i vrednosti ubrzanja g na površini Zemlje m = 4, N 9, 80 m/s 2 = 4, kg. Primenjujući jednačinu (5.3), za ubrzanje g na udaljenosti r = R+h = ( ) km = 6730 km, se dobija ( ) g M = γ (R + h) = 11 N m2 6, kg 2 5, kg (6, m) = 8, 83 2 m/s2. Na osnovu ovoga, težina stanice je Q = 4, kg 8, 83 m/s 2 = 3, N. 2. Iz jednačine (5.2), za masu Zemlje se dobija M = gr2 γ = 5, kg. Kako je prosečna gustina Zemlje odnos njene mase i zapremine, smatrajući da je Zemlja približno lopta, dobija se ρ = M V = M 4 3 πr3 = 5, kg/m 3. Kako je ova gustina oko dva puta veća od gustine većine stena na površini Zemlje, zaključujemo da unutrašnjost Zemlje ima znatno veću gustinu od sredje vrednosti gustine.

19 5.7. REŠENJA Na osnovu trećeg Keplerovog zakona, obeležavajući indeksom 1 veličine koje se odnose na Mesec a indeksom 2 one koje se odnose na veštački satelit, za period satelita se dobija T 2 = ( ) r2 3/2 T1. r 1 U ovaj izraz treba zameniti date vrednosti ali treba imati u vidu da prosečnu udaljenost veštačkog satelita treba računati od centra Zemlje a ne njene površine, odnosno r 2 = ( ) km = 7880 km. Zamnena vrednosti sada daje T 2 = ( ) 3/ km 27, 3 dana 24, 0 h 3, km dan = 1, 93 h.

20 146 GLAVA 5. GRAVITACIJA

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

3.3. Sile koje se izučavaju u mehanici

3.3. Sile koje se izučavaju u mehanici 3.3. Sile koje se izučavaju u mehanici 3.3.1. Gravitaciona sila Prema Opštem zakonu gravitacije, dvije čestice masa m 1 i m 2 se međusobno privlače silom koja je proporcionalna proizvodu masa dvije čestice

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika. dinamika. Сила Њутнови закони кретања Тежина, трење и друге силе Основне силе у природи Статика

Mehanika. dinamika. Сила Њутнови закони кретања Тежина, трење и друге силе Основне силе у природи Статика Сила Њутнови закони кретања Тежина, трење и друге силе Основне силе у природи Статика Galileo Galilei, (1564-1642) Isaac Newton (1643 1727) Mehanika dinamika 1 14., 15. i 16. 10. 2015. Njutnova kolevka,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija, snaga. Glava Rad

Rad, energija, snaga. Glava Rad Glava 4 Rad, energija, snaga Pojam energije je jedan od najvažnijih u nauci i tehnici ali se koristi i u svakodnevnom životu. U našoj svakodnevnici taj pojam se obično odnosi na gorivo za pokretanje automobila

Διαβάστε περισσότερα

Elementi kosmologije. Glava Zvezde i galaksije

Elementi kosmologije. Glava Zvezde i galaksije Glava 14 Elementi kosmologije 14.1 Zvezde i galaksije Rane civilizacije su verovale da je Zemlja centar Univerzuma. Tek u 16. veku je primećeno da je Zemlja samo jedna mala planeta koja orbitira oko Sunca.

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Idealno gasno stanje-čisti gasovi

Idealno gasno stanje-čisti gasovi Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje

Διαβάστε περισσότερα

θ a ukupna fluks se onda dobija sabiranjem ovih elementarnih flukseva, tj. njihovim integraljenjem.

θ a ukupna fluks se onda dobija sabiranjem ovih elementarnih flukseva, tj. njihovim integraljenjem. 4. Magnetski fluks i Faradejev zakon magnetske indukcije a) Magnetski fluks Ako je magnetsko polje kroz neku konturu površine θ homogeno (kao na lici 5), tada je fluks kroz tu konturu jednak Φ = = cosθ

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje Osnovne vrste napreanja: ksijalno napreanje Smicanje Uvijanje Savijanje Ivijanje 1 SVIJNJE GREDE SI Greda je opterećena na desnom kraju silom paralelno jednoj od glavnih centralnih osa inercije (y osi).

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Zakon o količini kretanja

MEHANIKA FLUIDA. Zakon o količini kretanja MEHANIKA FLUIDA Zakon o količini kretanja zadatak Odrediti intenzitet sile kojom mlaz vode deluje na razdelnu račvu cevovoda hidroelektrane koja je učvršćena betonskim blokom (vsl) Prečnik dovodnog cevovoda

Διαβάστε περισσότερα

1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike

1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike 1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike Osnovni model koji koristimo u mehanici je materijalna tačka (ili čestica. Jednostavno rečeno, materijalna tačka je geometrijska tačka kojoj pridružujemo

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

Oscilacije. Glava Prosto harmonijsko kretanje

Oscilacije. Glava Prosto harmonijsko kretanje Glava 3 Oscilacije Veoma specifična vrsta kretanja se dešava kada na telo deluje sila proporcionalna otklonu tela od ravnotežnog položaja. Ukoliko je ta sila uvek usmerena ka ravnotežnom položaju, uspostavlja

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Elementi mehanike fluida

Elementi mehanike fluida Glava 6 Elementi mehanike fluida Slobodno se može reći da smo mi, kao i druga živa biá na Zemlji, u neprekidnom kontaktu sa raznim vrtama fluida. Mi se krećemo kroz fluid i udišemo ga (vazduh), plivamo

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f

Διαβάστε περισσότερα