Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ"

Ἀελλώ Ζάχος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

2 Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ =

3 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στους τρεις αυτούς αριθμούς? 30 1,24,51,10 42,25,35 Πολλαπλασιασμός με το 30 είναι το ίδιο με τη διαίρεση με το 2 αφού 30 *2=60 ***ο τρίτος αριθμός προκύπτει από τους άλλους δύο ως γινόμενο ***

4 Υποθέτουμε λοιπόν ότι ο τρίτος αριθμός (30* 1,24,51, 10) είναι το μήκος της διαγωνίου! Και η πλάκα υποδεικνύει ότι αν το μήκος μιας ακμής του τετραγώνου είναι 30 τότε για να βρούμε το μήκος της διαγωνίου πολλαπλασιάζουμε 30 με το 1,24,51, 10. Πόσο είναι το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με ακμή a? 2 2 a a a + = 2 30*1,24,51,10

Και η πλάκα υποδεικνύει ότι αν το μήκος μιας ακμής του τετραγώνου είναι 30 τότε για

5 Συμπεράσματα: Οι Βαβυλώνιοι είχαν γνώση του Πυθαγορείου Θεωρήματος Είχαν αναπτύξει κάποια τεχνική για την εύρεση τετραγωνικών ριζών. Την τεχνική που πιστεύουμε ότι είχαν αναπτύξει την αποκαλούμε σήμερα μέθοδο των Βαβυλωνίων ή μέθοδο του Ήρωνα (150 μ.χ). (και μοιάζει ιδιαίτερα με τη μέθοδο του Νεύτωνα ( ) ).

Την τεχνική που πιστεύουμε ότι είχαν αναπτύξει την αποκαλούμε σήμερα μέθοδο

6 Μέθοδος του Ήρωνα για τη τετραγωνική ρίζα του 2 Ξεκινάμε με μία προσέγγιση στη ρίζα του 2, έστω x. Μετράμε το λάθος μας υπολογίζοντας τη ποσότητα a 2 = x 2 Συνεχίζουμεμενέοx το x-α/2x. Τότε a a ( x ) 2 = ( ) 2x 2x Αν το x είναι 1 τότε 2x καλύτερη προσέγγιση. 2 2 a ( ) Συνεχίζουμεμεαυτόντοντρόπο. 2 είναι μικρότερο από το α και έτσι έχουμε βρει μία

Μετράμε το λάθος μας υπολογίζοντας τη ποσότητα a 2 = x 2 Συνεχίζουμεμενέοx το x-α/2x.

7 τιμή των Βαβυλωνίων προσέγγιση σε 8 δεκαδικά ψηφία Έχουν υπολογιστεί 200,000,000,000 ψηφία (2006) ενδιαφέρουσες ιδιότητες το αντίστροφο της ρίζας 2 είναιίσημετομισό της ρίζας 2 μη ρητός αριθμός κ.ο.κ.

8 Πλάκα του Plimpton 1700 π.χ. (Τριάδες του Πυθαγόρα)

9 Ταμπλέτα του Plimpton, (O. Neugebauer and A. Sachs, Mathematical cuneiform texts, American Oriental Society, 1945) 45/60=3/4 75/60=5/4 (3/4)^2= τριάδα (3,4,5)

10 Πλάκα του Plimpton (φαίνεται οπτικά από την πλάκα ότι έχει σπάσει το κομμάτι που είχε μία ακόμα στήλη, αυτή που συμπληρώνουμε ως πρώτη στήλη των y ) όπου x, y δύο πλευρές ενός ορθού τριγώνου και d η διάμετρος του.

που συμπληρώνουμε ως πρώτη στήλη των y ) όπου x, y

11 Τριάδες του Πυθαγόρα και Βαβυλώνιοι. x^2+y^2=d^2 => (x/y)^2+1=(d/y)^2 u=x/y v=d/y u^2+1=v^2 v^2 u^2=1 (v u)(v+u)=1. Δηλαδή v u και v+u είναι πλευρές ενός ορθογ. παραλληλογράμου με εμβαδό 1. Έτσι αν δοθεί κάποια τιμή για το v+u, το v u μπορεί να βρεθεί από τον πίνακα των αντιστρόφων. Στη συνέχεια μπορούν να λυθούν οι δύο γραμμικές εξισώσεις ως προς v και u. Τέλος πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο y(αφού u=x/y, v=d/y) βρίσκονται οι τριάδες.

Δηλαδή v u και v+u είναι πλευρές ενός ορθογ. παραλληλογράμου με εμβαδό 1.

12 Πως γνώριζαν οι Βαβυλώνιοι ότι v^2 u^2=1 (v+u)(v u)=1 για κάθε v και u? (η αλγεβρική γραφή δεν είχε ακόμα εφευρεθεί ) Μία γεωμετρική απόδειξη προκύπτει ως εξής: Ας ξεκινήσουμε με τη σχέση στα δεξιά της συνεπαγωγής. Θεωρούμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές v+u και v-u και εμβαδόν 1. Αποσπάμε τη τελευταία κάθετη λωρίδα με μήκος u, τη στρέφουμε 90 ο και την τοποθετούμε από κάτω. Τo καινούριο σχήμα διαφέρει από το τετράγωνο με ακμή v κατά το τετραγωνάκι με εμβαδό u^2. Το ολικό εμβαδό δεν έχει αλλάξει. Άρα (v+u)(v-u)=1 1=v^2-u^2.

συνεπαγωγής. Θεωρούμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές v+u και v-u και εμβαδόν 1.

13 Ήταν τυχαίες οι τριάδες? Γνώριζαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα οι Βαβυλώνιοι? Υπάρχουν προβλήματα στις πλάκες τους που κάνουν χρήση του θεωρήματος. Για παράδειγμα, στην πλάκα ΒΜ85196 υπάρχει το παρακάτω πρόβλημα: «μίακολώναμήκους30 στηρίζεται σε έναν τοίχο. Η επάνω άκρη γλυστράει μία απόσταση 6. Πόσο μετακινήθηκε η κάτω άκρη?» Η απάντηση δίνεται ως «η τετραγωνική ρίζα του και υπολογίζεται να είναι 18.»

Για παράδειγμα, στην πλάκα ΒΜ85196 υπάρχει το παρακάτω πρόβλημα: «μίακολώναμήκους30 στηρίζεται σε

14 Λύση δευτεροβάθμιων και τριτοβάθμιων εξισώσεων Θα συζητηθούν σε επόμενο μάθημα

15 Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά 7 ο αιώνα π.χ 4 ο αιώνα μ.χ.

17 Πηγές για τα αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά Ιστορικές πηγές, όπως Ηρόδοτος (5 ος αιώνας π.χ.) και άλλοι, (αποσπασματικές πληροφορίες), Πλούταρχος (1 ος αιώνας μ.χ.) Πρόκλος (5 ο αιώνα μ.χ.) (περίληψη από βιβλίο ιστορίας του Εύδημου από τη Ρόδο (4 ο αιώνα π.χ.). ) Ο Εύδημος ήταν ο πρώτος ιστορικός των επιστημών! Βιβλία του: Άριθμητικὴ ἱστορία, Γεωμετρικὴ ἱστορία, Άστρολογικὴ ἱστορία, μαθήματα του Αριστοτέλη

Βιβλία του: Άριθμητικὴ ἱστορία, Γεωμετρικὴ ἱστορία, Άστρολογικὴ ἱστορία, μαθήματα του Αριστοτέλη

18 Θαλής ο Μιλήσιος ( π.Χ.) Anaximander of Meletus (c. 610 c. 547) Πυθαγόρας o Σάμιος ( ) Anaximenes of Miletus (fl. c. 546)) Cleostratus of Tenedos (c. 520) Anaxagoras of Clazomenae (c. 500 c. 428) Ζήνωνας ο Ελεάτης ( ) Antiphon of Rhamnos (the Sophist) (c ) Oenopides of Chios (c. 450?) Leucippus (c. 450) Ιπποκράτης o Chios (c. 450) Meton (c. 430) *SB Hippias of Elis (c. 425) Theodorus of Cyrene (c. 425) Socrates ( ) Philolaus of Croton (d. c. 390) Δημόκριτος o Αβδηρίτης (c ) Hippasus of Metapontum (or of Sybaris or Croton) (c. 400?) Archytas of Tarentum (of Taras) (c. 428 c. 347) Πλάτων ( π.χ.)

) Leucippus (c. 450) Ιπποκράτης o Chios (c. 450) Meton (c. 430) *SB Hippias of Elis (c. 425) Theodorus of Cyrene (c.

19 Θαλής ο Μιλήσιος ( π.Χ.) Ένας από τους 7 Σοφούς της Αρχαιότητας FH/FA=FT/FB

20 ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ: ΜΕ ΤΙ ΕΡΓΑΛΕΙΑ? (τι δεχόμαστε ως γνώση? Ποια είναι τα προαπαιτούμενα?) Οι αποδείξεις δεν είναι δύσκολος αν δεχτούμε ότι Άθροισμα γωνιών σε ένα τρίγωνο είναι 180 ο Τύπο για το εμβαδό ενός τριγώνου

21 Πυραμίδα του Χέωπα Ύψος: 147 μέτρα (σήμερα είναι 138 μέτρα) Όγκος: κ.μ Κλίση πλευράς: 51 μοίρες Βάρος ογκολοίθων: τόνοι 145,3 Μέτρηση του Θαλή: 145,3

22 Πυθαγόρας ( ) καιοιπυθαγόρειοι Οι αριθμοί αποτελούν τη βάση του κόσμου. «Το παν είναι αριθμός» Πυθαγόρεια Σχολή: μυστική οργάνωση στον Κρότωνα της Ιταλίας, μία θρησκευτική κίνηση μεέντονη πολιτική δραστηριότητα. Είχε κοινοβιακή μορφή για τους μυημένους. Η ιδιοκτησία και η γνώση θεωρούνταν κοινές. Πρωταρχικός ρόλος στη καθιέρωση της μαθηματικής επιστήμης ως επιστήμης βασισμένη στη λογική και απομάκρυνση από λογιστικούς υπολογισμούς. Μαθηματικά συγγενικά προς την αγάπη της σοφίας. Φιλοσοφία: αγάπη της σοφίας Μαθηματικά: αυτό που μαθαίνεται

23 Ιδιότητες των φυσικών αριθμών «ο δάσκαλος είπε» Πιστεύουμε ότι αναπαρίσταναν τους φυσικούς αριθμούς με τον αντίστοιχο αριθμό από βότσαλα. Άρτιοι και Περιττοί αριθμοί. (άρτιοι: αν τα βότσαλα χωρίζονται σε δύο ομάδες με τον ίδιο αριθμό από βότσαλα) Προτάσεις για φυσικούς αριθμούς Άθροισμα αρτίων είναι άρτιος Τετράγωνο αρτίου είναι άρτιος (και πολλαπλάσιο του τέσσερα), τετράγωνο περιττού είναι περιττός Τετραγωνικοί αριθμοί Τριγωνικοί αριθμοί

24 Το 21 είναι τριγωνικός αριθμός, Το 25 είναι τετραγωνικός αριθμός, 25= Ισχύει γενικά? Τετραγωνικός= άθροισμα περιττών? =21=μισό του 6 επί 7 Ισχύει γενικά? Πως βρίσκουμε τους τριγωνικούς αριθμούς?

25 Πλατωνικά στερεά Κανονικά Πολύεδρα και Πυθαγόρας (υπάρχουν άλλα?) Τετράεδρο {3,3} Κύβος {4,3} Οκτάεδρο {3,4} Δωδεκάεδρο {5,3} Εικοσάεδρο {3,5}

26 Πεντάγωνο πεντάγραμμα τετρακτύς a= διαγώνιος x=το μεγαλύτερο τμήμα της τομής (ο λόγοςa/x είναι η χρυσή τομή) a x = x a x 10: σύμπαν: άθροισμα όλων των δυνατών γεωμετρικών διαστάσεων ένα σημείο: γενήττωρ των διαστάσεων δύο σημεία: ευθεία: διάσταση 1 τρία σημεία: τρίγωνο: διάσταση 2 τέσσερα σημεία: τετράεδρο: διάσταση 3

27 Ασκήσεις Ξεκινώντας με τη τιμή 2 χρησιμοποιείστε τη μέθοδο του Ήρωνα για να προσεγγίσετε τη τετραγωνική ρίζα του3. Πόσες φορές θα χρειαστεί να επαναλάβετε τη διαδικασία για να έχετε με ακρίβεια τα πρώτα 4 δεκαδικά ψηφία? Βρείτε και αποδείξτε ενδιαφέρουσες ιδιότητες για τη ρίζα του 2. Θέτοντας v+u=1 4/5, δείξτε ότι μπορούμε να βρούμε τη γραμμή 15 της πλάκας του Plimpton. Θέτοντας v+u=2 1/12, δείξτε ότι μπορούμε να βρούμε τη γραμμή 15 της πλάκας του Plimpton. Να βρείτε τη τιμή που οδηγεί στις γραμμές 6 και 13.

28 Ασκήσεις, συνέχεια Να αποδείξετε τα Θεωρήματα του Θαλή δεχόμενοι την πρόταση για το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου, και τον τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου. Να αποδείξετε τα θεωρήματα του Θαλή ξεκινώντας από μηδενική βάση. (Ποια είναι τα αξιώματα που θα χρειαστείτε?) Να δείξετε ως Πυθαγόρειοι (δουλεύοντας με βότσαλα ή τελείες) ότι το γινόμενο δύο άρτιων αριθμών είναι πολλαπλάσιο του 4. Να βρείτε τη τιμή της χρυσής τομής. Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι του πενταγώνου τέμνονται δημιουργώντας χρυσές τομές. Η μπάλα του ποδοσφαίρου δεν είναι κανονικό πολύεδρο γιατί αποτελείται από πετάγωνα και εξάγωνα. Μπορείται να περιγράψετε μαθηματικά μία μπάλα ποδοσφαίρου? (πόσες έδρες έχει, πόσες έδρες συναντιούνται σε κάθε κορυφή, συμμετρίες, κλπ)

Σχετικά έγγραφα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί