ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟI

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟI"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βασικές Έννοιες και Ορισμοί ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟI.1. Απεικόνιση της Οδού Η οδός, όπως και κάθε τεχνικό έργο, είναι έργο τρισδιάστατο (Χ, Y, Ζ). Για να μπορέσουμε να το απεικονίσουμε και να το δουλέψουμε σε δισδιάστατο χαρτί χρησιμοποιούμε τις προβολές της οδού στα 3 επί μέρους επίπεδα: ΧY, ΧΖ, και YΖ (Σχ..1.). Σχήμα.1. Απεικόνιση Οδού στα Τρία Επίπεδα 9

2 ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ Α. Προβολή στο επίπεδο ΧΥ. Αφορά την κατακόρυφη προβολή στο οριζόντιο επίπεδο και αυτό που φαίνεται είναι ότι βλέπουμε από ψηλά (π.χ. από ένα αεροπλάνο). Η προβολή αυτή, που κατά την αρχιτεκτονική λέγεται κάτοψη, στην Οδοποιΐα την ονομάζουμε Οριζοντιογραφία (Σχ...). Η οριζοντιογραφία λοιπόν είναι η προβολή της οδού στο οριζόντιο επίπεδο (επίπεδο XY). Σχήμα.. Οριζοντιογραφία Οδού Παρατηρούμε ότι ο δρόμος αποτελείται από αλληλουχία ευθύγραμμων και καμπύλων τμημάτων. Αυτό που φαίνεται κατ αρχήν είναι ο άξονας της οδού (θεωρητικός) και οι δύο οριογραμμές της ασφάλτου: η δεξιά οριογραμμή και η αριστερή οριογραμμή. Κατά τη μελέτη της οριζοντιογραφίας μιας οδού χρησιμοποιούμε τον άξονα της οδού που θεωρητικά βρίσκεται στο μέσον μεταξύ δεξιάς και αριστερής οριογραμμής. Βλέπουμε λοιπόν ότι, ενώ ο δρόμος αποτελείται από μία επιφάνεια αρκετά μεγάλου πλάτους (πλάτος της οδού), εμείς για την μελέτη μας τον εκφυλίζουμε σε μία γραμμή που λέγεται άξονας της οδού. Β. Προβολή στο επίπεδο ΧΖ. 10

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βασικές Έννοιες και Ορισμοί Αφορά την πλάγια προβολή της οδού στο κατακόρυφο επίπεδο. Επειδή, όπως είπαμε ο δρόμος έχει τρείς γραμμές (άξονας, δεξιά οριογραμμή και αριστερή οριογραμμή), η προβολή αυτή αφορά μόνο τον άξονα της οδού. Φαντασθείτε λοιπόν ότι κόβουμε το δρόμο στον άξονα του, τον τεντώνουμε (παίρνουμε το ανάπτυγμα) και τον προβάλλουμε στο κατακόρυφο επίπεδο. Η προβολή αυτή, που κατά την αρχιτεκτονική λέγεται πλάγια όψη, στην Οδοποιΐα την ονομάζουμε Κατά Μήκος Τομή ή απλά Μηκοτομή (Σχ..3.). Η μηκοτομή λοιπόν είναι η προβολή του αναπτύγματος του άξονα της οδού στο κατακόρυφο επίπεδο (επίπεδο ΧΖ). Σχήμα.3. Μηκοτομή Οδού Παρατηρούμε ότι ο δρόμος αποτελείται πάλι από αλληλουχία ευθύγραμμων και καμπύλων τμημάτων, μόνο που στην περίπτωση αυτή αφορούν ανηφόρες και κατηφόρες. Αυτό που φαίνεται λοιπόν είναι η κατά μήκος κλίση του άξονα της οδού (ανήφοροι και κατήφοροι), μεταξύ των οποίων παρεμβάλλονται κατακόρυφες καμπύλες: άλλες που στρέφουν τα κοίλα προς τα κάτω και λέγονται κυρτές κατακόρυφες καμπύλες και άλλες που στρέφουν τα κοίλα προς τα πάνω και λέγονται κοίλες κατακόρυφες καμπύλες. Γ. Προβολή στο επίπεδο YΖ. Αφορά την προβολή μιας τομής της οδού, κάθετης προς τον άξονά της, στο κατακόρυφο επίπεδο. Φαντασθείτε λοιπόν ότι κόβουμε το δρόμο κάθετα 11

4 ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ προς τον άξονα του (όπως κόβουμε ένα κέικ σε φέτες) και προβάλλουμε την τομή που προκύπτει. Η προβολή αυτή, που κατά την αρχιτεκτονική λέγεται τομή, στην Οδοποιΐα την ονομάζουμε Κατά Πλάτος Τομή ή απλά Διατομή (Σχ..4.). Η διατομή λοιπόν της οδού είναι η προβολή οποιασδήποτε τομής κάθετης προς τον άξονα της οδού στο κατακόρυφο επίπεδο (επίπεδο YΖ). Αυτό λοιπόν που φαίνεται στη διατομή της οδού είναι το πλάτος της οδού, τα πρανή της και το φυσικό έδαφος. Το πλάτος της οδού διακρίνεται στο πλάτος οδοστρώματος (που αφορά το ασφαλτοστρωμένο τμήμα της οδού) και στο πλάτος καταστρώματος που περιλαμβάνει και τα ερείσματα εκατέρωθεν της οδού. Ως έρεισμα ορίζεται το περιθώριο από το άκρο του οδοστρώματος μέχρι την άκρη του πρανούς (βλ. και Σχ..11.). Όσον αφορά τους τύπους των διατομών διακρίνουμε τρεις (3) περιπτώσεις: Σχήμα.4α Περίπτωση επιχώματος (α) Όταν η στάθμη της οδού βρίσκεται υψηλότερα από το φυσικό έδαφος, τότε για να κατασκευασθεί ο δρόμος θα πρέπει να τοποθετηθεί χώμα ώστε να φθάσουμε στην επιθυμητή στάθμη (Σχ..4α). Η τοποθέτηση αυτή του χώματος λέγεται επίχωση και το έργο που προκύπτει επίχωμα. Καθώς σηκώνεται το επίχωμα δημιουργούνται εκατέρωθεν κεκλιμένα τμήματα που λέγονται πρανή του επιχώματος. Η κλίση των πρανών του επιχώματος εξαρτάται από το γαιώδες υλικό από το οποίο κατασκευάζεται και είναι λίγο ηπιότερη από τη γωνία φυσικού πρανούς. Συνήθως κατασκευάζονται με κλίση (κατακόρυφα): 3 (οριζόντια). 1

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βασικές Έννοιες και Ορισμοί Μεταξύ του καταστρώματος της οδού και του πρανούς του ορύγματος κατασκευζεται μια τάφρος που έχει σαν σκοπό τη συλλογή και απομάκρυνση των ομβρίων υδάτων τόσο από το κατάστρωμα της οδού, αλλά κυρίως από το πρανές του ορύγματος και της ανάντι περιοχής, ώστε να αποφεύγεται η κατάκλιση του δρόμου. Σχήμα.4β Περίπτωση ορύγματος (β) Όταν η στάθμη της οδού βρίσκεται χαμηλότερα από το φυσικό έδαφος, τότε για να κατασκευασθεί ο δρόμος θα πρέπει να σκαφτεί χώμα ώστε να φθάσουμε στην επιθυμητή στάθμη (Σχ..4β). Το σκάψιμο αυτό - η εξόρυξη αυτή - του χώματος λέγεται όρυγμα. Καθώς χαμηλώνει η στάθμη του εδάφους δημιουργούνται εκατέρωθεν κεκλιμένα τμήματα που λέγονται πρανή του ορύγματος. Η κλίση των πρανών του ορύγματος εξαρτάται από το γαιώδες ή βραχώδες υλικό που εκσκάπτεται και προσδιορίζεται με γεωτεχνικές μεθόδους ώστε το πρανές να μην κινδυνεύει να κατολισθήσει (ευστάθεια πρανούς του ορύγματος). Στα συνήθη γαιώδη υλικά η κλίση που χρησιμοποιείται είναι 1 (κατακόρυφα) : 1 (οριζόντια), ενώ στα συνήθη βραχώδη υλικά η κλίση που χρησιμοποιείται είναι (κατακόρυφα) : 1 (οριζόντια). Σχήμα.4γ Περίπτωση μικτής διατομής (γ) Στην περίπτωση επικλινών εδαφών (εδάφη με σχετικά έντονη κλίση) υπάρχει περίπτωση το ένα μέρος της οδού να βρίσκεται πάνω από το έδαφος και το άλλο μέρος της οδού κάτω από το έδαφος (Σχ..4γ). Τότε λέμε ότι η διατομή είναι μικτή διατομή, δηλαδή το ένα μέρος της βρίσκεται σε όρυγμα και το άλλο σε επίχωμα. Για κάθε τμήμα - ημιδιατομή - ισχύουν τα όσα αναφέρθηκαν παραπάνω για τα επιχώματα και τα ορύγματα αντίστοιχα. 13

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Το ξεκίνημα της χάραξης μίας οδού ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΙΕΛΕΥΣΗ ΛΟΦΟΥ (Σχ ) Θέλουμε να συνδέσουμε δύο σημεία Α και Β που βρίσκονται στις εκατέρωθεν πλαγιές ενός λόφου. Το σημείο Α έχει υψόμετρο 115μ. το ίδιο και το σημείο Β 115μ. Και πάλι η ακραία περίπτωση θα ήταν να μείνουμε στο ίδιο υψόμετρο δηλαδή να κινηθούμε πάνω στην ισοϋψή 115 και να κάνουμε το γύρο του λόφου (Χάραξη Α). Αν κάνω μία τομή από το Α στο Β κατά μήκος της Χάραξης (Μηκοτομή) αυτή θα είναι μια ευθεία γραμμή στο Ζ115μ. Η λύση λοιπόν αυτή δημιουργεί μηδενική κατά μήκος κλίση, σχεδόν μηδενικά χωματουργικά (δε χρειάζεται ούτε να σκάψω ούτε να επιχώσω), αλλά έχει μεγάλο μήκος. Η άλλη ακραία περίπτωση θα ήταν να φέρουμε την ευθεία ΑΒ (Χάραξη Β). Στην περίπτωση αυτή έχουμε τη συντομότερη χάραξη (μικρότερο δυνατό μήκος). Αν δούμε όμως την τομή ΑΒ, δηλαδή τη Μηκοτομή του δρόμου, αυτή ξεκινά από το υψόμετρο του Α δηλ. 115μ., ανεβαίνει και συναντά το λόφο σε ένα υψόμετρο μεγαλύτερο από 170μ. και μετά ξανακατεβαίνει και συναντά το Β σε υψόμετρο 115μ. Επειδή ο δρόμος δεν μπορεί να έχει μεγάλη κλίση ( Smax) θα πρέπει να κατασκευασθεί όρυγμα 50-60μ. και επειδή αυτό δεν είναι οικονομικά εφικτό και περιβαλλοντικά επιτρεπτό θα πρέπει να κατασκευασθεί σήραγγα σχετικά μεγάλου μήκους. Επομένως η λύση αυτή είναι αντιοικονομική και δεν μπορεί να εφαρμοσθεί εκτός εάν συντρέχουν άλλοι λόγοι (περιβαλλοντικοί κλπ.). Μια άλλη λύση θα ήταν η διέλευση της χάραξης από τον αυχένα (Σημείο Γ) που είναι το χαμηλότερο σημείο μεταξύ των δύο κορυφών. Το σημείο Γ έχει ένα υψόμετρο γύρω στα 145μ. Άρα η χάραξη (Χάραξη Γ) θα πρέπει να ανέβει από το υψόμετρο του Α (115μ.) μέχρι το Γ (145μ.) και από εκεί να ξανακατέβει μέχρι το υψόμετρο του Β (115μ.). Εάν η προκύπτουσα κλίση είναι μικρότερη του (Smax) η λύση είναι ικανοποιητική, ειδάλλως στη θέση Γ πρέπει να δημιουργηθεί κάποιο όρυγμα ώστε να μειωθεί το υψόμετρο του Γ (π.χ. από 145μ. σε 135μ.). Εάν το δημιουργούμενο όρυγμα είναι μεγαλύτερο από 10μ. η λύση δεν είναι πλεονεκτική και πρέπει να εξετασθεί άλλη. Η βέλτιστη λύση βρίσκεται κάπου ενδιάμεσα. Αφού οι Κανονισμοί μου επιτρέπουν κάποια μέγιστη κλίση (Smax) επιλέγω ένα ενδιάμεσο σημείο Δ, ώστε να ανέβω από το Α (115μ.) στο Δ (145μ.) και από εκεί να ξανακατέβω στο Β με τη μέγιστη ή μικρότερη κλίση (Χάραξη Δ). Έτσι επιτυγχάνω μικρότερο μήκος, χωρίς να αυξάνω τα χωματουργικά αφού κατεβαίνω και ανεβαίνω πάλι ομαλά, και χωρίς μεγάλα Τεχνικά Έργα. Το ενδιάμεσο σημείο (Δ) αποτελεί ενδιάμεσο σημείο επιλογής για την οικονομικότητα της χάραξης. 47

7 ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ Σχήμα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - Διέλευση λόφου (Κλίμακα 1:5000) 48

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Το ξεκίνημα της χάραξης μίας οδού 3.4. Ισοκλινής Γραμμή Από τα προαναφερθέντα παραδείγματα γίνεται αντιληπτό ότι η χάραξη της οδού ανάγεται στην κατά τμήματα ανάβαση ή κατάβαση από ένα υψόμετρο Α σε ένα άλλο υψόμετρο Β. Για την ανάβαση αυτή δημιουργείται μια κατά μήκος κλίση (S) που ορίζεται από τη σχέση: H S όπου: S [-] η κατά μήκος κλίση ΔΗ [μ] η υψομετρική διαφορά [μ] το μήκος της οδού [3.1.] Όσο μεγαλύτερη είναι η κλίση τόσο μικρότερο είναι το μήκος. Υπάρχει όμως ο περιορισμός της μέγιστης κατά μήκος κλίσης (maxs) που δε μπορούμε να υπερβούμε. Η γραμμή που συνδέει τα σημεία Α και Β και έχει την ίδια σταθερή κλίση λέγεται ισοκλινής γραμμή. Εξ ορισμού λοιπόν ισοκλινής γραμμή είναι η γραμμή εκείνη η οποία μεταξύ δύο δοθέντων σταθερών σημείων προσαρμόζεται κατά το δυνατόν πλησιέστερα στο έδαφος και παρουσιάζει μια σταθερή κλίση (με οριακή την κλίση maxs). Εκ του ορισμού αυτού προκύπτει ότι μεταξύ δύο σημείων Α και Β υπάρχουν θεωρητικά άπειρες ισοκλινείς, με αντίστοιχες άπειρες κλίσεις. Προφανώς συντομότερη (μικρότερου μήκους) είναι αυτή με την μέγιστη κλίση (maxs) Χάραξη Ισοκλινούς Γραμμής Η κατά μήκος κλίση υπολογίζεται από την σχέση [3.1]: H S AB AB ( maxs) Όπου: S [-] ΔΗ ΑΒ Η Β Η Α [μ] Α και Β AB [μ] maxs [-] αριθμός) η κατά μήκος κλίση η υψομετρική διαφορά μεταξύ των σημείων το μήκος μεταξύ των σημείων Α και Β η μέγιστη κατά μήκος κλίση (καθαρός 49

9 ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ Εάν (δ) είναι η ισοδιάσταση μεταξύ των ισοϋψών τότε η απόσταση ( D ) της ισοκλινούς από την μία ισοϋψή στην αμέσως επόμενη είναι: D [ µ ] [ µ ] δ S [3.] Η απόσταση αυτή λέγεται βήμα της ισοκλινούς και εκφράζεται σε μέτρα. Εάν λοιπόν ορίσουμε το βήμα D στην κλίμακα του τοπογραφικού, τότε αποκόπτοντας ένα τμήμα τέτοιου μήκους μεταξύ δύο ισοϋψών αυτό θα έχει κλίση S δ/d, δηλαδή την κλίση που θέλουμε. Αυτή είναι η βασική αρχή για να χαράξουμε την ισοκλινή. Ξεκινώντας δηλαδή από την αρχή Α βρίσκουμε σε απόσταση D ένα σημείο Α 1 στην επόμενη ισοϋψή, από αυτό σε απόσταση πάλι D ένα σημείο Α στην μεθεπόμενη ισοϋψή, κ.ο.κ. Η διαδικασία αυτή γίνεται συνήθως με έναν διαβήτη ή διαστημόμετρο, που το ανοίγουμε στο σταθερό βήμα D, και πηγαίνουμε από ισοϋψή σε ισοϋψή μέχρι να φθάσουμε στο επιθυμητό τέλος (σημείο Β) της χάραξης. Η ισοκλινής λοιπόν γραμμή είναι μια τεθλασμένη γραμμή που έχει πλευρές ίσες με το βήμα D και συνεπώς έχει την ίδια σταθερή κλίση από την αρχή μέχρι το τέλος της. Παράδειγμα Ισοκλινούς 1 (Σχ ) Δίδεται τοπογραφικό διάγραμμα σε κλίμακα 1:000 και δύο σημεία Α (Η Α 100μ.) και Β (Η Β 110μ.). Ζητείται: Α. Να χαραχθεί η ισοκλινής με τη μέγιστη δυνατή κλίση. Β. Να χαραχθεί η ισοκλινής με κλίση %. Γ. Εάν max S 5% να χαραχθεί η αντίστοιχη ισοκλινής. Απαντήσεις: Α. Κατ αρχήν μετράμε την ευθύγραμμη απόσταση ΑΒευθ 7,8εκ., που στην κλίμακα 1:000 ισοδυναμεί με 156μ. (7,8εκ. x εκ. 156μ.). Επειδή η ισοκλινής δε θα είναι ευθεία, η πραγματική απόσταση βάσει της οποίας θα προσδιορίσουμε την ισοκλινή με τη μέγιστη δυνατή κλίση, θα είναι λίγο μεγαλύτερη της ευθύγραμμης. Θέτουμε κατ εκτίμηση ΑΒ 160 μ. H S AB AB ( ) % 50

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Το ξεκίνημα της χάραξης μίας οδού Το βήμα D 1 για S 6,5% είναι: D µ. ή στην κλίμακα μας 3µ. D 0, µ. Με άνοιγμα διαβήτη λοιπόν D1,6εκ. ξεκινάμε από το Α και με κατεύθυνση το Β βρίσκουμε τα επόμενα σημεία Α 1, Α, Α 3, κλπ. μέχρι να φθάσουμε στο Β. Το πιθανότερο είναι ότι με την πρώτη προσπάθεια δε θα πέσουμε ακριβώς στο Β, οπότε διορθώνουμε ελαφρώς το μήκος και επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία (βλ. Παράδειγμα Ισοκλινούς ). Προχωρώντας τη διαδικασία παρατηρούμε ότι από ένα σημείο Α υπάρχουν δύο σημεία της επόμενης ισοϋψούς που απέχουν απόσταση D 1 από αυτό. Στην επιλογή ενός εκ των δύο σημείων έχουμε κατά νου ότι σκοπός μας είναι η χάραξη ενός δρόμου και επομένως πρέπει να οδεύουμε προς το τέλος Β με όσο το δυνατόν πιο ευθυτενή (χωρίς μεγάλα σπασίματα) χάραξη. Έτσι καταλήγουμε στην τελική χάραξη της ισοκλινούς (Α, Α 1, Α, Α 3, Α 4, Β). Το συνολικό μήκος είναι: AB n* D 5*3 160µ. Όπως αρχικά το είχαμε εκτιμήσει. 51

11 ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ Σχήμα Χάραξη Ισοκλινούς (Κλίμακα 1:000) 5

12 ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ Σχεδιάζουμε την καμπύλη υπό κλίμακα ελέγχοντας συγχρόνως γραφικά τα αποτελέσματα. Σχήμα Καμπύλη Παραδείγματος 1 (Κλίμακα 1:000) Παρατηρούμε ότι λόγω της μεγάλης ακτίνας του κυκλικού τόξου δε μπορούμε να το σχεδιάσουμε με τον διαβήτη γι αυτό και χρησιμοποιούμε τα αποτελέσματα των υπολογισμών ως εξής: Μετρώντας από το Κ την απόσταση Τ βρίσκουμε τα σημεία Α και Τ, δηλ ΚΑΤ και ΚΤΤ. Το σημείο Δ βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας β και σε απόσταση ΚΔ δ από το Κ. Ενώνουμε τα σημεία Α, Δ, και Τ με ένα καμπυλόγραμμο ή προτυπωμένη καμπύλη (σεμπλόνα). Αν χρειασθεί πυκνώνουμε με ενδιάμεσα σημεία. Τη γραφαναλυτική αυτή μέθοδο είναι κάτι που πρέπει να συνηθίσουμε όταν δουλεύουμε σχέδια Οδοποιΐας Κυκλικό τόξο με συμμετρικά τόξα συναρμογής Όπως είδαμε στην περίπτωση του απλού κυκλικού τόξου αυτό εφάπτεται στην ευθυγραμμία. Για να μπορέσει να εγγραφεί ένα τόξο συναρμογής μεταξύ της ευθείας και του κυκλικού τόξου, θα πρέπει το τόξο να μετατοπισθεί προς το κέντρο κατά κάποια απόσταση. Η απόσταση αυτή κατά την οποία πρέπει να μετατοπισθεί το κυκλικό τόξο ακτίνας ώστε να μπορέσει να εγγραφεί η κλωθοειδής λέγεται εκτροπή και συμβολίζεται με Δ, καθόσον ισοδυναμεί με αύξηση της ακτίνας του κυκλικού τόξου (+Δ). Παλαιότερα την εκτροπή την συμβόλιζαν με (ε). 138

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η χάραξη σε οριζοντιογραφία Σε μία απλή κλωθοειδή έχουμε (Σχ. 4.3.): Σχήμα 4.3. Απλή Κλωθοειδής Ο ορισμός των αξόνων αναφοράς γίνεται ως εξής: Ο άξονας των Χ είναι η ευθυγραμμία πριν την αρχή της κλωθοειδούς Α με κατεύθυνση προς την κλωθοειδή Ο άξονας των Y είναι ο κάθετος προς τον Χ στην αρχή της κλωθοειδούς Α με κατεύθυνση προς το εσωτερικό της καμπύλης Οι συντεταγμένες του Α είναι Χ0, Y0. Τις συντεταγμένες του Ω τις έχουμε ήδη βρει: X [4.18] 4 Y [4.19] 139

14 140 Οι συντεταγμένες του Μ είναι (Χ Μ, +Δ). Για το Χ Μ έχουμε: [4.8] Προσεγγιστικός τύπος για την τετμημένη Χ Μ Αν αντικαταστήσουμε το ημτ από τις σχέσεις Taylor που αναφέραμε παραπάνω και λάβουμε υπόψη μόνο τους δύο πρώτους όρους του Χ και του ημτ τότε: [4.8α] Για την εκτροπή Δ έχουμε: Δ ΓΒ - ΓΔ ΓΒ (ΜΔ-ΜΓ) ΓΒ (ΜΔ ΜΩ συντ) Y (-συντ) ή [4.9] Προσεγγιστικός τύπος για την εκτροπή (Δ) Μπορούμε να βρούμε την εκτροπή ευκολότερα, με ικανοποιητική προσέγγιση, αν χρησιμοποιήσουμε την ανάπτυξη του συντ από την σειρά Taylor: Είναι άρα [4.9α] Ω ηµτ ηµτ X M AE X M ηµτ X X M (... 7! 5! 3! α α α α ηµα ) 6 * ) 40 ( 1 3 * ) 40 ( X X M τ τ ηµτ ) 40 ( X M 3 40 X M X Μ ΑΒ ΑΕ-ΒΕ ΑΕ-ΓΩ ή! 1 τ συντ, ά Y 4 * τ τ συντ 4 Y + συντ ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η χάραξη σε οριζοντιογραφία Ας ορίσουμε τώρα τη σύνθετη καμπύλη με το κυκλικό τόξο και τις δύο συμμετρικές κλωθοειδείς. Προφανώς η όλη κατασκευή είναι συμμετρική ως προς τη διχοτόμο ΚΜ, που συνδέει την Κορυφή Κ με το κέντρο του κυκλικού τόξου Μ. Επομένως η ανάλυση γίνεται για το τμήμα ΑΩΔ της καμπύλης και ισχύει και για το συμμετρικό της Α Ω Δ. Σχήμα Κυκλικό τόξο με συμμετρικά τόξα συναρμογής 141

16 ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ Έχουμε βρει ήδη τα μεγέθη Χ, Y, Χ Μ, Δ, τ,. Ας βρούμε τα υπόλοιπα. β t KB MB σφ ή ( + ) t εφ ( Μ + Β) γ γ εφ [ X ηµτ ] + [( + ) εφ ] T X + t M ΜΒ δ Κ ΚΜ Κ γ συν ( + ) δ Κ γ συν [4.30] [4.31] [4.3] Το μήκος του κυκλικού τόξου ΩΩ ή C βαίνει στην επίκεντρη γωνία α, που είναι: α+τγ, άρα γ ή α γ-τ [4.33] Επομένως: ΩΩ' a γ τ π * π ή ΩΩ' πa π( γ τ ) [4.34] Το συνολικό μήκος της καμπύλης είναι: π( γ τ ) ΑΩΩ' Α' ωω ' + * + * 00 [4.35] Σε όλα τα παραπάνω τα μήκη εκφράζονται σε μ. (με δύο δεκαδικά) και οι γωνίες σε βαθμούς (με τέσσερα δεκαδικά). Στον Πίνακα 4.6. παρουσιάζεται συνοπτικά όλο το απαιτούμενο τυπολόγιο για τον υπολογισμό μιας οριζοντιογραφικής καμπύλης με συμμετρικές κλωθοειδείς. 14

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η χάραξη σε οριζοντιογραφία ΠΙΝΑΚΑΣ 4.6 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙΔΩΝ A / δ ( + Δ ) / συν(γ/) - τ rad / ή τ grad ( / )*(00/π) t ( + Δ ) * εφ(γ/) X - 3 / / T t + X M Y / 6-4 / / α rad γ grad * π / 00 - / ή αγ-τ X M X - * ημτ ή X M / 3 / 40 ΩΩ * α rad πα grad /00 Δ Y - * (1 - συντ ) ή Δ / 4 ΑΩΩ Α + ΩΩ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Σε κορυφή πολυγωνικής μετρήθηκε η γωνία γ85grad. Επιλέχθηκαν 300μ. και Α180μ. Να υπολογισθούν όλα τα στοιχεία της οριζοντιογραφικής καμπύλης. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙΔΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΑ γ85,00grad 300μ. A180μ. ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΥΠΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗΣ β (grad) 00-γ 115,0000 (μ.) A / 108,00 τ (grad) (/)x00/π 11,459 X (μ.) - 3 /(40x )+ 5 /(3456x 4 ) 107,65 Y (μ.) /6-4 / /(440x 5 ) 6,465 X M (μ.) X - ημτ 53,94 Δ (μ.) Y + συντ - 1,618 δ (μ.) ( + Δ) / συν(γ/) - 84,07 t (μ.) ( + Δ) εφ(γ/) 37,78 T (μ.) X M + t 91,7 α (grad) γ - τ 6,0817 ΩΩ (μ.) πα/00 9,55 ΑΩΩ Α (μ.) ΩΩ + 508,55 143

18 ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ Γενικά Η ερυθρά πήρε το όνομα της από το γεγονός ότι παλαιότερα ήταν υποχρεωτικό να σχεδιάζεται με κόκκινη μελάνη και μας δίνει τα υψόμετρα της τελικής στάθμης της οδού. Τα υψόμετρα αυτά αφορούν σε τελειωμένα υψόμετρα (οδοστρώματος) στον άξονα της οδού. Σε ελάχιστες περιπτώσεις όπως για παράδειγμα σε κλάδους κόμβων η ερυθρά δίνεται κατά μήκος κάποιας οριογραμμής και όχι στον άξονα της οδού. Η ερυθρά λοιπόν είναι μια πολυγωνική σε κατακόρυφο επίπεδο η οποία δημιουργεί πλευρές και κορυφές. Οι πλευρές έχουν μια κλίση σε σχέση με το οριζόντιο επίπεδο και οι κορυφές ένα υψόμετρο. Επομένως η ερυθρά γραμμή ορίζεται από τις κορυφές της, που έχουν συντεταγμένες την χιλιομετρική θέση (οριζόντιες αποστάσεις) και το υψόμετρο (κατακόρυφες αποστάσεις). Τις θέσεις αυτές των κορυφών, δηλαδή εκεί όπου η ερυθρά έχει θλάση, τις ονομάζουμε σημαίες. Προφανώς στις κορυφές αυτές πρέπει να εγγράψουμε τόξα στρογγύλευσης ώστε να δημιουργήσουμε μια ομαλή επιφάνεια κύλισης της οδού. Τις καμπύλες αυτές τις ονομάζουμε κατακόρυφα τόξα συναρμογής και διακρίνονται σε δύο είδη: Όταν η καμπύλη στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω (καμπούρα) ονομάζεται κυρτή καμπύλη συναρμογής. Όταν η καμπύλη στρέφει τα κοίλα προς τα άνω (γούπατο - βαθούλωμα) ονομάζεται κοίλη καμπύλη συναρμογής. Σχήμα 5.1β. Στοιχεία μηκοτομής οδού 8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Η χάραξη σε μηκοτομή Η χάραξη της ερυθράς είναι πολύ σημαντική εργασία καθότι καθορίζει ποιοτικά αλλά και οικονομικά χαρακτηριστικά της οδού και απαιτεί μεγάλη εμπειρία. Πέραν όμως από την εμπειρία υπάρχουν ορισμένοι βασικοί κανόνες που πρέπει να τηρηθούν. Το πρώτο μας μέλημα είναι να εξασφαλίσουμε την λειτουργικότητα και την ασφάλεια του δρόμου και το δεύτερο να ελαχιστοποιήσουμε το κόστος. Από τα βασικά λοιπόν κριτήρια για τη χάραξη της ερυθράς είναι: 1. Μέγιστη κατά μήκος κλίση (max S). Ελάχιστη κατά μήκος κλίση (min S) 3. Ελάχιστη ακτίνα κυρτής κατακόρυφης συναρμογής (minh k ) 4. Ελάχιστη ακτίνα κοίλης κατακόρυφης συναρμογής (minh w ) 5. Ελαχιστοποίηση των χωματουργικών 6. Εξισορρόπηση των χωματουργικών Ας δούμε κάθε ένα από αυτά τα κριτήρια αναλυτικά. 9

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Μελέτη της οδού κατά την διατομή 6 ΚΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΟΔΟΥ ΤΗΝ ΔΙΑΤΟΜΗ Έχουμε ήδη μελετήσει την οδό κατά την οριζοντιογραφία (επίπεδο x,y) και κατά τη μηκοτομή (επίπεδο x, z). Όλο το δρόμο; Όχι, βέβαια! Μόνο κατά τον άξονα της οδού. Ήρθε λοιπόν η ώρα να δούμε το δρόμο και σαν μια κατασκευή που έχει πλάτος και μάλιστα σε κάποιες περιπτώσεις πολύ σημαντικό. Η θεώρηση αυτή γίνεται με τη μελέτη κατά τη διατομή της οδού (επίπεδο y,z), όπως παρουσιάσθηκε και στο Κεφάλαιο, Βασικές Έννοιες. Η διατομή της οδού προκύπτει εάν κάνουμε τομή κάθετα προς τον άξονα της οδού και προβάλλουμε το αποτέλεσμα στο κατακόρυφο επίπεδο (y,z). Προφανώς η μορφή της διατομής που θα δούμε διαφέρει από θέση σε θέση, γι αυτό και δε μιλάμε για μία διατομή, αλλά για πολλές. Σε ποιές θέσεις; Προφανώς εκεί όπου μας χρειάζονται. Αναπτύσσοντας τη χιλιομέτρηση πήραμε μία αρχική εικόνα. Πιστεύω πως φθάνοντας στο τέλος του κεφαλαίου αυτού θα έχετε μια ολοκληρωμένη εικόνα για τη χρησιμότητα των διατομών, σε ποιές θέσεις χρειάζεται να γίνουν και πως πρέπει να σχεδιάζονται Χρησιμότητα των Διατομών Μερικοί νομίζουν πως η χρησιμότητα των διατομών έγκειται μόνο στον υπολογισμό των χωματουργικών έργων. Όμως οι διατομές επιτελούν ένα ευρύτερο και σημαντικότερο ρόλο, όπως αναπτύσσεται στις επόμενες παραγράφους. 301

21 ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ Έλεγχος της Χάραξης Ο πρωταρχικός ρόλος των διατομών είναι ο έλεγχος της χάραξης που έχουμε ήδη κάνει, οριζοντιογραφικά και υψομετρικά. Η διατομή μας δίνει μια πλήρη εικόνα για το πως έχει τοποθετηθεί ο δρόμος σε σχέση με το έδαφος. Έχουμε λοιπόν την ευχέρεια με μικρές μετακινήσεις είτε οριζοντιογραφικά είτε υψομετρικά να βελτιστοποιήσουμε τη χάραξη. Ας το δούμε μέσα από κάποια παραδείγματα: Παράδειγμα 1: Ας πάρουμε για παράδειγμα το Σχ Σχήμα 6.1. Βελτιστοποίηση Χάραξης Μέσω Διατομών Παρατηρούμε ότι με την αρχική χάραξη η διατομή (Α) βρίσκεται σε αρκετά μεγάλο επίχωμα, που όχι μόνο είναι δαπανηρό αλλά πιθανόν να δημιουργεί και την ανάγκη δανείων. Εάν ταπεινώσουμε κατά λίγο (ΔΗ) την ερυθρά, βλέπουμε στη διατομή (1) ότι όχι μόνο μειώνεται το επίχωμα αλλά πετυχαίνουμε και ισοσκελισμό ορυγμάτων και επιχωμάτων. Το ίδιο σχεδόν αποτέλεσμα θα μπορούσαμε να επιτύχουμε εάν κάναμε μια 30

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Μελέτη της οδού κατά την διατομή μικρή οριζοντιογραφική μετατόπιση κατά Δx, προς τα ανάντι, οπότε θα προέκυπτε η διατομή (). Πιθανόν να προκύπτει και καταλληλότερη λύση με κάτι ενδιάμεσο, δηλαδή συνδυασμένη οριζοντιογραφική και υψομετρική μετατόπιση. Παράδειγμα : Ας δούμε και ένα παράδειγμα σε ένα έντονα επικλινές έδαφος (Σχ. 6..). Σχήμα 6.. Διατομή σε έντονα επικλινές έδαφος Όταν λέμε έντονα επικλινές έδαφος εννοούμε να παρουσιάζει κλίση μεγαλύτερη ή περίπου ίση με αυτή του τεχνητού πρανούς του επιχώματος. Η κλίση αυτή, όπως είπαμε και στο Κεφάλαιο, είναι (κατακόρυφο) : 3 (οριζόντιο) που αντιστοιχεί σε γωνία 34 g ( 30 o ). Στην περίπτωση αυτή, το τεχνητό πρανές βαίνει σχεδόν παράλληλα με το έδαφος, οπότε το πόδι του επιχώματος είτε δεν υπάρχει είτε απομακρύνεται πολύ από το δρόμο (θέση Β). Για τη συγκράτηση του πρανούς θα πρέπει να τοποθετηθεί κάποιος τοίχος αντιστήριξης, για να συγκρατήσει το επίχωμα πριν τη θέση Β, κατασκευή αρκετά δαπανηρή [Σχ. 6.(α)]. 303

23 ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ Επιδιωκόμενη Ακρίβεια για τον Υπολογισμό των Χωματουργικών Από όσα αναπτύχθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο διαπιστώνεται ότι κατά τον υπολογισμό του όγκου των χωματισμών εμπεριέχεται κάποια ανακρίβεια. Προκύπτει λοιπόν το ερώτημα: Ποιά πρέπει να είναι η ακρίβεια στον υπολογισμό των Χωματουργικών Εργασιών και σε τι μας επηρρεάζει στη διαδικασία σχεδιασμού του οδικού έργου; Η απάντηση δεν είναι απλή. Σε όλους τους υπολογισμούς των έργων του Πολιτικού Μηχανικού εμπεριέχονται λάθη. Η Στατιστική μας μαθαίνει στο πως να κάνουμε την εκτίμηση του πιθανού σφάλματος και πως να χρησιμοποιούμε τα αποτελέσματα υιοθετώντας και κάποια περιθώρια (συντελεστές) ασφαλείας, ανάλογα με την κρισιμότητα του κάθε μεγέθους. Ας δούμε όμως τι γίνεται με τα χωματουργικά μιας οδού. Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να προμετρήσουμε κάποιες ποσότητες για τα χωματουργικά ώστε να συντάξουμε τον προϋπολογισμό του έργου. Η επιδιωκόμενη ακρίβεια είναι σχετική και εξαρτάται από αρκετούς παράγοντες, που εξετάζονται παρακάτω: (α) Μορφολογία του Εδάφους Ο πρώτος και βασικότερος παράγοντας είναι το τοπογραφικό ανάγλυφο από όπου διέρχεται ο δρόμος. Όπως εξηγήσαμε και στα προηγούμενα κεφάλαια η μορφολογία του εδάφους υποδεικνύει, και μερικές φορές επιβάλλει, την ίδια την χάραξη (Βλ. Κεφάλαιο 3). Βλέποντας την μορφή της μηκοτομής μίας οδού (Σχ. 8.6) παρατηρούμε ότι για να υπολογίσω, έστω και στοιχειωδώς, τον όγκο των χωματισμών θα πρέπει να πάρω διατομές τουλάχιστον στις εξής χαρακτηριστικές θέσεις: Εκεί όπου η ερυθρά τέμνει το έδαφος (Μηδενικές διατομές) Εκεί όπου δημιουργούνται τα μέγιστα επιχώματα ή ορύγματα 558

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Χωματουργικά έργα της οδού (α) Σε έδαφος πεδινό (β) Σε έδαφος λοφώδες (γ) Σε έδαφος ορεινό Σχήμα 8.6 Επιλογή Θέσης Διατομής Ανάλογα με την Μηκοτομή της Οδού 559

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Κίνηση χωματουργικών της οδού - Μεταφορά ορυγμάτων 9 ΚΙΝΗΣΗ ΧΩΜΑΤΟΥΡΓΙΚΩΝ ΤΗΣ ΟΔΟΥ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΥΓΜΑΤΩΝ 9.1 Εισαγωγή Όπως έχουμε ήδη πει, ιδιαίτερα στο Κεφάλαιο της μηκοτομής, για να είναι δυνατή η επίτευξη της μέγιστης δυνατής οικονομίας στην κατασκευή μιας οδού από απόψεως χωματουργικών εργασιών, θα πρέπει: α. Να ελαχιστοποιηθούν κατά το δυνατόν οι όγκοι των ορυγμάτων και των επιχωμάτων. β. Να υπάρχει κατά το δυνατόν εξισορρόπηση των όγκων των ορυγμάτων και επιχωμάτων ώστε να αποφεύγονται άσκοπες αποθέσεις και λήψη δανείων, και γ. Να γίνει κατάλληλη μετακίνηση των χωμάτων τόσο κατά πλάτος όσο και κατά μήκος της οδού. Ένας λοιπόν από τους βασικούς στόχους είναι η εξισορρόπηση των χωματουργικών. Τι σημαίνει αυτό; Να φροντίσω να κάνω τέτοια χάραξη ώστε οι ποσότητες των ορυγμάτων που θα προκύψουν να είναι ίσες με αυτές των επιχωμάτων που θα κατασκευασθούν. Δηλαδή ότι σκάψω να μπαζώσω, ώστε ούτε να χρειασθεί να πετάξω χώματα, αλλά ούτε και να χρειασθεί να δανεισθώ χώματα! Μα είναι αυτό δυνατόν; Μαθηματικά φυσικά δεν είναι! Κάτι θα περισσέψει ή κάτι θα λείψει. Αλλά αν αυτό το κάτι είναι ένα μικρό ποσοστό του συνόλου, ας πούμε λιγότερο από 10%, θεωρούμε ότι πετύχαμε το σκοπό μας. Δηλαδή η δαπάνη μεταφοράς για την απόθεση των περισσευμάτων ή για την προμήθεια 615

26 ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ δανείων είναι μικρή σε σχέση με το συνολικό κόστος των χωματουργικών. Αλλά σε κάθε περίπτωση πρέπει λογαριάσω τη δαπάνη αυτή στον συνολικό προϋπολογισμό του έργου! Αφού πρέπει να λογαριάσω έστω και αυτή τη μικρή μεταφορά, τι γίνεται με τις «εσωτερικές» μεταφορές των χωμάτων; Ποιές είναι αυτές; Μα είπαμε: Εξισορρόπηση χωματισμών. Σημαίνει ότι υπάρχουν κάποιοι όγκοι χωματισμών. Περιορισμένοι μέν αφού έτσι έκανα την ερυθρά μου (Κριτήριο 5). Αλλά υπάρχουν. Και πρέπει να μεταφέρω τους όγκους αυτούς των ορυγμάτων προς τα επιχώματα! Πως θα γίνει αυτό; Η πρώτη, και πιο επιπόλαιη, απάντηση θα ήταν στην τύχη: Βλέποντας και κάνοντας, ανάλογα με τις συνθήκες του έργου, με τα μηχανήματα που έχω και άλλες δικαιολογίες! Και το λέω αυτό με πλήρη επίγνωση των συνθηκών που επικρατούν, ιδαίτερα στα Ελληνικά Εργοτάξια. Και όμως η μεταφορά των χωμάτων, που αν και σαν υλικό είναι χωρίς κόστος, είναι αρκετά δαπανηρή! Η επιστημονική απάντηση είναι μία: Με κατάλληλη μελέτη Κίνησης Γαιών, δηλαδή την μελέτη της οικονομικότερης δυνατής διακίνησης των Ορυγμάτων προς τα Επιχώματα. Το θέμα αυτό πραγματεύεται το παρόν Κεφάλαιο. 616

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Κίνηση χωματουργικών της οδού - Μεταφορά ορυγμάτων 9.. Διάγραμμα Επιφανειών 9..1 Αρχικό Διάγραμμα Επιφανειών Το διάγραμμα επιφανειών το ξανασυναντήσαμε στο προηγούμενο Κεφάλαιο (Παρ 8.4. α). Ας το ξαναμελετήσουμε τώρα πιο αναλυτικά. Αρχικά το διάγραμμα επιφανειών σχεδιάζεται με τις εμβαδομετρημένες επιφάνειες (Σχήμα 9.1.). Στον οριζόντιο άξονα αποτυπώνεται η χιλιομέτρηση της οδού και αναγράφονται και οι αποστάσεις μεταξύ των διατομών (λ i ). Στον κατακόρυφο άξονα τοποθετούνται οι εμβαδομετρημένες επιφάνειες: τα ορύγματα με θετικό πρόσημο (πάνω από τον άξονα) και τα επιχώματα με αρνητικό (κάτω από τον άξονα). Σχήμα 9.1. Διάγραμμα Επιφανειών (Αρχικό) Το διάγραμμα προκύπτει συνδέοντας τα σημεία Ο 1, Ο, Ο 3, Ο 4,... και Ο 7, Ο 8, Ο 9, Ο 10, Ο 11, κλπ οπότε προκύπτουν οι περιοχές των ορυγμάτων και τα σημεία Ε 5, Ε 6, Ε 7, Ε 8, Ε 9,.. κλπ οπότε προκύπτουν οι περιοχές των επιχωμάτων. Στο παράδειγμα μας παρατηρούμε τα εξής: Οι διατομές 1,,3,4 και 10, 11, είναι σε όρυγμα Οι διατομές 5, 6, είναι σε επίχωμα, και Οι διατομές 7,8,9 είναι μικτές. Θα πρέπει τώρα να βρούμε τα σημεία όπου μηδενίζονται τα ορύγματα ή τα επιχώματα. Το ΟΡΥΓΜΑ 1 μηδενίζεται μεταξύ των διατομών 4 και 5. Θεωρητικά εκεί που η ευθεία Ο 4 Ε 5 τέμνει το οριζόντιο άξονα. Αλλά όπως είπαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, κάνουμε την παραδοχή ότι αυτό συμβαίνει στη μέση της απόστασης 617

28 ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ λ 4. Άρα θεωρούμε ότι το ΟΡΥΓΜΑ 1 τελειώνει στη θέση 4α, και εκεί αρχίζει το ΕΠΙΧΩΜΑ 1. Με την ίδια λογική το ΟΡΥΓΜΑ αρχίζει στην διατομή 6α, και το ΕΠΙΧΩΜΑ 1 τελειώνει στην διατομή 9α Αφαίρεση Αυτοδιανομών Το επόμενο βήμα είναι να αφαιρέσουμε τις αυτοδιανομές. Η εργασία αυτή αφορά φυσικά τις μικτές διατομές. Η αφαίρεση γίνεται αριθμητικά. Για λόγους όμως οπτικής εποπτείας μπορούμε να το παρακολουθήσομε και γραφικά. Σχεδιάζουμε λοιπόν δύο κατοπτρικές καμπύλες των γραμμών ορυγμάτων και επιχωμάτων (Σχ. 9.. οι διακεκομμένες γραμμές) Σχήμα 9.. Αφαίρεση Αυτοδιανομών Η περιοχή των αυτοδιανομών ορίζεται από τη θέση της διατομής 6α μέχρι τη διατομή 9α. Η επιφάνεια των αυτοδιανομών είναι η διαγραμμισμένη περιοχή. Οι μικτές διατομές είναι οι 7, 8 και 9: Στη διατομή 7 το όρυγμα είναι 60 κ.μ. και το επίχωμα 150 κ.μ. Επομένως η αυτοδιανομή είναι 60 κ.μ. και περισσεύει επίχωμα κ.μ. Στη διατομή 8 το όρυγμα είναι 180 κ.μ. και το επίχωμα 140 κ.μ. Επομένως η αυτοδιανομή είναι 140 κ.μ. και περισσεύει όρυγμα κ.μ. Στη διατομή 9 το όρυγμα είναι 10 κ.μ. και το επίχωμα 50 κ.μ. Επομένως η αυτοδιανομή είναι 50 κ.μ. και περισσεύει όρυγμα κ.μ. Οι διαφορές διακρίνονται και στο σχήμα μεταξύ συνεχούς και διακεκομμένης γραμμής. 618

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Κίνηση χωματουργικών της οδού - Μεταφορά ορυγμάτων 9..1 Επεξεργασμένο Διάγραμμα Επιφανειών Το επεξεργασμένο διάγραμμα συντάσσεται με τις νέες τεταγμένες στις μικτές διατομές, δηλαδή στη διατομή 7 (-90), στην 8 (40) και στην 9 (160). Σχήμα 9.3. Επεξεργασμένο Διάγραμμα Επιφανειών Αυτό που απομένει είναι να βρούμε τη θέση της νέας, θεωρητικής πλέον, μηδενικής διατομής. Η διατομή αυτή θα βρίσκεται μεταξύ των διατομών 7 και 8, και ας την καλέσουμε 7α. Εάν καλέσουμε λ 7 και λ 7 από τα τρίγωνα που δημιουργούνται προκύπτει: ' 7 '' ' * 7 και 7 '' * 7 7 ' '' οπότε 7 7 Εάν υποθέσουμε ότι η απόσταση λ 7 είναι 0,00 μ. τότε: 90 7 ' * 0,00 13, '' * 0,00 6, και. 619

ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ

ΟΔΟΠΟΙΪΑ Ι - ΧΑΡΑΞΕΙΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΩΜΑΤΙΣΜΩΝ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. Περιεχόμενο της Οδοποιΐας 1 1.2. Κανονισμοί 2 1.2.1. Ιστορικό 2 1.2.2. Ισχύοντες Κανονισμοί στην Ελλάδα 5 1.2.3. Διαδικασία Εκπόνησης Μελετών Οδοποιΐας 6 1.3. Ανάπτυξη του

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΚΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΕ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΔΟΠΟΙΙΑΣ»

ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΚΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΕ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΔΟΠΟΙΙΑΣ» ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΚΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΕ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΔΟΠΟΙΙΑΣ» Ο σχεδιασμός μιας οδού είναι μια σύνθετη και επαναληπτική διαδικασία. Με τα σημερινά μέσα (υπολογιστές και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΟΔΩΝ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΟΔΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 2019 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΟΔΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 4: Υπολογισμός Μήκους Οδού και Χιλιομέτρηση Δίνεται η οριζοντιογραφία του παρακάτω σχήματος όπου ΑΚ 1=320μ.,

Διαβάστε περισσότερα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Χαρακτηριστικά Οριζοντιογραφία Στο γραφικό περιβάλλον της εφαρμογής είναι δυνατή η σχεδίαση οριζοντιογραφιών δρόμων, σιδηροδρομικών γραμμών, ανοικτών και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ ΟΔΟΠΟΙΪΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ ΟΔΟΠΟΙΪΑΣ Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής Σχολή Μηχανικών ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ ΟΔΟΠΟΙΪΑΣ 1. ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΜΑΡΙΑ ΑΛΟΓΟΜΙΑ ΠΑΠΑΖΟΓΛΟΥ 1. Οδοποιΐα: Είναι η επιστήμη η οποία μελετά τη διαμόρφωση των μερών των αυτοκινητοδρόμων, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Οδοποιία ΙI. Ενότητα 3 & 4: Χάραξη οδού. Γεώργιος Μίντσης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Οδοποιία ΙI. Ενότητα 3 & 4: Χάραξη οδού. Γεώργιος Μίντσης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οδοποιία ΙI Ενότητα 3 & 4: Χάραξη οδού Γεώργιος Μίντσης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 5. Πρόλογος

Πρόλογος 5. Πρόλογος Πρόλογος 5 Πρόλογος Το βιβλίο αυτό απευθύνεται κατά κύριο λόγο στους φοιτητές / σπουδαστές των Τμημάτων Πολιτικών Μηχανικών και Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών. Προτάσσεται δε η θεωρία με τρόπο συνοπτικό,

Διαβάστε περισσότερα

Οδοποιία II. Ενότητα 8: Εφαρμογές Οδοποιία ΙI. Γεώργιος Μίντσης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Οδοποιία II. Ενότητα 8: Εφαρμογές Οδοποιία ΙI. Γεώργιος Μίντσης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οδοποιία II Ενότητα 8: Εφαρμογές Γεώργιος Μίντσης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ Άγγελος Βασιλάς, Σπουδαστής ΕΜΠ Κωνσταντίνος Αποστολέρης, Πολιτικός Μηχανικός, MSc Σοφία Βαρδάκη, Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ Ν. Ε. Ηλιού Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Γ. Δ.

Διαβάστε περισσότερα

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι χάρτες λαμβάνουν υπόψη και το υψόμετρο του αντικειμένου σε σχέση με ένα επίπεδο αναφοράς

Άλλοι χάρτες λαμβάνουν υπόψη και το υψόμετρο του αντικειμένου σε σχέση με ένα επίπεδο αναφοράς ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Ένας χάρτης είναι ένας τρόπος αναπαράστασης της πραγματικής θέσης ενός αντικειμένου ή αντικειμένων σε μια τεχνητά δημιουργουμένη επιφάνεια δύο διαστάσεων Πολλοί χάρτες (π.χ. χάρτες

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

Οδοποιία IΙ. Ενότητες 5 & 6 : Χωματισμοί, κίνηση και διανομή γαιών Γεώργιος Μίντσης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Οδοποιία IΙ. Ενότητες 5 & 6 : Χωματισμοί, κίνηση και διανομή γαιών Γεώργιος Μίντσης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οδοποιία IΙ Ενότητες 5 & 6 : Χωματισμοί, κίνηση και διανομή γαιών Γεώργιος Μίντσης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Οδοποιία Ι. Ενότητα 8: Στοιχεία μελέτης χάραξης οδού Μηκοτομή σύμφωνα με το τεύχος Χαράξεις των ΟΜΟΕ (ΟΜΟΕ Χ)

Οδοποιία Ι. Ενότητα 8: Στοιχεία μελέτης χάραξης οδού Μηκοτομή σύμφωνα με το τεύχος Χαράξεις των ΟΜΟΕ (ΟΜΟΕ Χ) ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οδοποιία Ι Ενότητα 8: Στοιχεία μελέτης χάραξης οδού Μηκοτομή σύμφωνα με το τεύχος Χαράξεις των ΟΜΟΕ (ΟΜΟΕ Χ) Γεώργιος Μίντσης Τμήμα Αγρονόμων

Διαβάστε περισσότερα

Η οδός βρίσκεται στον νομό Κιλκίς στο γεωγραφικό διαμέρισμα της κεντρικής Μακεδονίας.

Η οδός βρίσκεται στον νομό Κιλκίς στο γεωγραφικό διαμέρισμα της κεντρικής Μακεδονίας. Η οδός βρίσκεται στον νομό Κιλκίς στο γεωγραφικό διαμέρισμα της κεντρικής Μακεδονίας. Συνδέει την κωμόπολη Αξιούπολη με το χωριό Φανός. Ο Φανός έπειτα συνδέεται με τα χωρία Σκρά και Πλαγία. Ο υφιστάμενος

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

12-13 Μαρτίου 2015 Αθήνα. Εντοπισμός δυνητικών θέσεων τροχαίων ατυχημάτων σε υφιστάμενο οδικό δίκτυο αναφορικά με τη γεωμετρία της οδού

12-13 Μαρτίου 2015 Αθήνα. Εντοπισμός δυνητικών θέσεων τροχαίων ατυχημάτων σε υφιστάμενο οδικό δίκτυο αναφορικά με τη γεωμετρία της οδού 12-13 Μαρτίου 2015 Αθήνα Εντοπισμός δυνητικών θέσεων τροχαίων ατυχημάτων σε υφιστάμενο οδικό δίκτυο αναφορικά με τη γεωμετρία της οδού Κωνσταντίνος Αποστολέρης Πολιτικός Μηχανικός, MSc Φώτης Μερτζάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα).

ΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 1. Να κατασκευάσετε έναν κύκλο και να πάρετε μια χορδή του ΑΒ. Από το κέντρο Κ του κύκλου να φέρετε κάθετη στη χορδή ΑΒ η οποία τέμνει τη χορδή στο σημείο Μ. Να διαπιστώσετε με μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο

Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο Γ. Καριώτου ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 16_10_2012 ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 2.1 Απεικόνιση του ανάγλυφου Μια εδαφική περιοχή αποτελείται από εξέχουσες και εισέχουσες εδαφικές μορφές. Τα εξέχοντα εδαφικά τμήματα βρίσκονται μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Οδοποιία Ι. Ενότητα 9: Στοιχεία μελέτης χάραξης οδού Επικλίσεις σύμφωνα με το τεύχος Χαράξεις των ΟΜΟΕ (ΟΜΟΕ Χ)

Οδοποιία Ι. Ενότητα 9: Στοιχεία μελέτης χάραξης οδού Επικλίσεις σύμφωνα με το τεύχος Χαράξεις των ΟΜΟΕ (ΟΜΟΕ Χ) ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οδοποιία Ι Ενότητα 9: Στοιχεία μελέτης χάραξης οδού Επικλίσεις σύμφωνα με το τεύχος Χαράξεις των ΟΜΟΕ (ΟΜΟΕ Χ) Γεώργιος Μίντσης Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ ΟΔΟΥ: ΣΥΝΔΕΣΗ ΧΩΡΙΩΝ, ΥΨΗΛΟΜΕΤΩΠΟ ΜΕ ΣΤΥΨΗ, ΝΟΜΟΣ ΛΕΣΒΟΥ

ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ ΟΔΟΥ: ΣΥΝΔΕΣΗ ΧΩΡΙΩΝ, ΥΨΗΛΟΜΕΤΩΠΟ ΜΕ ΣΤΥΨΗ, ΝΟΜΟΣ ΛΕΣΒΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ ΟΔΟΥ: ΣΥΝΔΕΣΗ ΧΩΡΙΩΝ, ΥΨΗΛΟΜΕΤΩΠΟ ΜΕ ΣΤΥΨΗ, ΝΟΜΟΣ ΛΕΣΒΟΥ ΑΘΑΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο)

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο) ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ - Παράρτημα Καρδίτσας ΤΜΗΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΞΥΛΟΥ ΕΠΙΠΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ ΙΙ (Μέρος πρώτο) - ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΝΟΧΕΣ - ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ ΚΟΛΛΑΤΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΟΔΟΠΟΙΙΑ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΠΑΠΑΦΛΕΣΣΑ Τ Ε Χ Ν Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε Σ Η

ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΟΔΟΠΟΙΙΑ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΠΑΠΑΦΛΕΣΣΑ Τ Ε Χ Ν Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε Σ Η 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΜΕΣΣΗΝΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΠΥΛΟΥ - ΝΕΣΤΟΡΟΣ Δ/ΝΣΗ Τ. Υ ΠΕΡΙΒΑΛΟΝΤΟΣ & ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΖΩΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΡΓΟ : ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΟΔΟΠΟΙΙΑ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΠΑΠΑΦΛΕΣΣΑ Τ Ε Χ Ν Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε Σ Η 1. ΓΕΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΟΠΟΙΙΑ 2: ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΟΔΩΝ. ωτήρης Λυκουργιώτης

ΟΔΟΠΟΙΙΑ 2: ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΟΔΩΝ. ωτήρης Λυκουργιώτης ΟΔΟΠΟΙΙΑ 2: ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΟΔΩΝ ωτήρης Λυκουργιώτης ΦΩΜΑΣΙΜΟΙ Για τον υπολογισμό των όγκων χωματισμών έχουν χρησιμοποιηθεί κατά καιρούς διάφορες μέθοδοι. Οι περισσότερες βασίζονται στη χρήση διατομών. Διατομές

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά.

Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά. 1. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ, ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ a. Αναγνώριση και ονομασία Δραστηριότητα 1 1. Ας κατασκευάσουμε όσο το δυνατόν περισσότερες γραμμές μπορούμε να σκεφτούμε. 2. Έχουμε ξανασυναντήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 2.1 Χωρονομική τοποθέτηση του έργου 2.2 Γεωμορφολογία 2.3 Γεωλογικά και εδαφοτεχνικά στοιχεία

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 2.1 Χωρονομική τοποθέτηση του έργου 2.2 Γεωμορφολογία 2.3 Γεωλογικά και εδαφοτεχνικά στοιχεία ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.1 Αντικείμενο της μελέτης 1.2 Σκοπιμότητα έργου 1.3 Βασικά στοιχεία σχεδιασμού 1.4 Περιεχόμενα μελέτης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ 2.1 Χωρονομική τοποθέτηση

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ Σύλλογος Ελλήνων Συγκοινωνιολόγων - Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Οδικής Ασφάλειας 11-12 Οκτωβρίου 2012, Βόλος ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ ΟΔΟΥ ΣΥΝΔΕΣΗ ΑΝΩ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙ ΑΡΓΥΡΑ ΝΟΜΟY ΑΧΑΪΑΣ

ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ ΟΔΟΥ ΣΥΝΔΕΣΗ ΑΝΩ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙ ΑΡΓΥΡΑ ΝΟΜΟY ΑΧΑΪΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ ΟΔΟΥ ΣΥΝΔΕΣΗ ΑΝΩ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙ ΑΡΓΥΡΑ ΝΟΜΟY ΑΧΑΪΑΣ ΜΕΛΕΤΗΤΕΣ: ΓΡΗΓΟΡΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ.

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 28/9/2008 12:48 καθ. Τεχνολογίας 28/9/2008 12:57 Προοπτικό σχέδιο με 2 Σημεία Φυγής Σημείο φυγής 1 Σημείο φυγής 2 Γωνία κτιρίου

Διαβάστε περισσότερα

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ GGCAD

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ GGCAD ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ GGCAD ΒΑΣΙΚΟ ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ (BSP) Εισαγωγή σημείων στο σχέδιο από το GGTOP ή από αρχεία ASCII Εμφάνιση της περιγραφής των σημείων (δρόμος, κτίσμα ) στην επιφάνεια του σχεδίου,

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού 9-γώνου με κανόνα και διαβήτη

Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού 9-γώνου με κανόνα και διαβήτη Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού 9-γώνου με κανόνα και διαβήτη Η επίκεντρη γωνία ενός κανονικού 9-γώνου είναι: 0 9 0 Η γωνία αυτή δεν κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη και επομένως ένα κανονικό 9-γωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defned. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Οδοποιία I. Ενότητα 11: Εφαρμογές Οδοποιία Ι. Γεώργιος Μίντσης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Οδοποιία I. Ενότητα 11: Εφαρμογές Οδοποιία Ι. Γεώργιος Μίντσης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οδοποιία I Ενότητα 11: Εφαρμογές Γεώργιος Μίντσης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Χ Ν Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε Σ Η

Τ Ε Χ Ν Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε Σ Η Τ Ε Χ Ν Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε Σ Η Η παρούσα τεχνική έκθεση αφορά στα έργα αποκατάστασης για την εξασφάλιση της λειτουργικότητάς τόσο της οδού Αγίου Δημητρίου της Δημοτικής Ενότητας Ευκαρπίας του Δήμου Παύλου Μελά,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση της ενότητας αυτής ο/η μαθητής/τρια πρέπει: 1. Να σχεδιάζει γεωμετρικές καμπύλες (ελλειψοειδή, ωοειδή, παραβολή, υπερβολή, έλικα, σπείρα) εφαρμόζοντας τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α = 90 ο, κάθετες πλευρές β, γ και οξεία γωνία ω. απέναντι κάθετη Ορίζουμε, ημω = υποτείνουσα συνω = προσκείμενη

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης 1 Σκοπός ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου Το σφάλμα αυτό αναφέρεται σε αβεβαιότητες στη μέτρηση που προκαλούνται από τις πεπερασμένες ιδιότητες του οργάνου μέτρησης και/ή από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη κόμβου. 10/11/09 Μάθημα Θέμα Οδοποιίας

Χάραξη κόμβου. 10/11/09 Μάθημα Θέμα Οδοποιίας Χάραξη κόμβου 10/11/09 Μάθημα Θέμα Οδοποιίας 1 Τύποι ισόπεδων κόμβων Με τρία σκέλη Με τέσσερα σκέλη Με πάνω από τέσσερα σκέλη 10/11/09 Μάθημα Θέμα Οδοποιίας 2 Απλή διασταύρωση τύπου Τ Προσφέρεται όταν

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕΛΕΤΗΣ : 4/2013 ΕΡΓΟ: ΤΟΠΙΚΗ ΟΔΟΠΟΙΙΑ ΚΑΣΤΡΙ ΑΜΠΕΛΟΣ

ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕΛΕΤΗΣ : 4/2013 ΕΡΓΟ: ΤΟΠΙΚΗ ΟΔΟΠΟΙΙΑ ΚΑΣΤΡΙ ΑΜΠΕΛΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΧΑΝΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΗΜΟΥ ΧΑΝΙΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕΛΕΤΗΣ : 4/2013 ΕΡΓΟ: ΤΟΠΙΚΗ ΟΔΟΠΟΙΙΑ ΚΑΣΤΡΙ ΑΜΠΕΛΟΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ : 762.600,00 ευρώ με αναθεώρηση και ΦΠΑ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ : ΟΣΑΠΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x 1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρο Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία

Α Γυμνασίου, Μέρο Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Α Γυμνασίου, Μέρο Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Περιοδική Έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Β - Κεφάλαιο 2, Β. 2.2. Άξονα συμμετρία σχήματο ονομάζεται η ευθεία που χωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου 1. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος η πλευρά ΒΓ που βρίσκεται απέναντι από την ορθή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Για την άρτια εκτέλεση του θέματος θα πρέπει να γίνουν οι παρακάτω εργασίες:

Για την άρτια εκτέλεση του θέματος θα πρέπει να γίνουν οι παρακάτω εργασίες: Το αντικείμενο του θέματος είναι η ταχυμετρική αποτύπωση σε κλίμακα 1:200 της περιοχής που ορίζεται από τo Σκαρίφημα Λιμνίου με Συντεταγμένες Σημείων το οποίο παραδόθηκε στο μάθημα και βρίσκεται στο eclass.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

Οδοποίια Θεωρία. Ενότητα: Συλλογή εντύπων κατά τις παραδόσεις. Γκούντας Ιωάννης. Τμήμα Γεωτεχνολογίας και Περιβάλλοντος

Οδοποίια Θεωρία. Ενότητα: Συλλογή εντύπων κατά τις παραδόσεις. Γκούντας Ιωάννης. Τμήμα Γεωτεχνολογίας και Περιβάλλοντος Οδοποίια Θεωρία Ενότητα: Συλλογή εντύπων κατά τις παραδόσεις Γκούντας Ιωάννης Τμήμα Γεωτεχνολογίας και Περιβάλλοντος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

2. Ιδιότητες Συναρτήσεων

2. Ιδιότητες Συναρτήσεων Ιδιότητες Συναρτήσεων Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες Συνάρτησης Πεδίο Ορισμού Το πρώτο βήμα για τη λύση μιας άσκησης που περιέει μια συνάρτηση είναι ο προσδιορισμός του πεδίου ορισμού της α) Κάθε πολυωνυμική

Διαβάστε περισσότερα

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες . Ιδιότητες φακών 2 Απριλίου 203 Λεπτοί φακοί. Βασικές έννοιες Φακός είναι ένα οπτικό σύστημα με δύο διαθλαστικές επιφάνειες. Ο απλούστερος φακός έχει δύο σφαιρικές επιφάνειες αρκετά κοντά η μία με την

Διαβάστε περισσότερα

Οδοποιία Εργαστήρια. Ενότητα: Συλλογή Ασκήσεων κατά τις παραδόσεις. Γκούντας Ιωάννης. Τμήμα Γεωτεχνολογίας και Περιβάλλοντος

Οδοποιία Εργαστήρια. Ενότητα: Συλλογή Ασκήσεων κατά τις παραδόσεις. Γκούντας Ιωάννης. Τμήμα Γεωτεχνολογίας και Περιβάλλοντος Οδοποιία Εργαστήρια Ενότητα: Συλλογή Ασκήσεων κατά τις παραδόσεις Γκούντας Ιωάννης Τμήμα Γεωτεχνολογίας και Περιβάλλοντος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές, ΘΕΜΑ Β ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια ενός υγρού με το ίδιο πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

8. ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ. 8.1 Ορισμοί:

8. ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ. 8.1 Ορισμοί: 8. ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Σχ. 8.1 Παραδείγματα δικτυωμάτων 8.1 Ορισμοί: Δικτύωμα θα λέγεται ένας σύνθετος φορέας που όλα τα μέλη του είναι ράβδοι. Παραδείγματα δικτυωμάτων δίνονται στο σχήμα παραπάνω. Πλεονέκτημα

Διαβάστε περισσότερα

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι Οι αριθμοί αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο, αλλά είναι σημαντικό να μελετήσουμε τον τρόπο που σημειώνονται οι αριθμοί που αποδίδουν στα σχέδια τις διαστάσεις του αντικειμένου. Οι γραμμές διαστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών

Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ Επιµέλεια: ηµάδη Αγόρω Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών ΙΣΟΫΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ: είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ ΟΔΟΥ ΣΥΝΔΕΣΗ ΧΩΡΙΟΥ ΞΗΡΟΝΟΜΗ ΜΕ ΚΑΤΑΦΥΓΙΟ ΣΤΟ ΟΡΟΣ ΚΟΤΡΩΝΙ ΝΟΜΟΥ ΒΟΙΩΤΙΑΣ

ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ ΟΔΟΥ ΣΥΝΔΕΣΗ ΧΩΡΙΟΥ ΞΗΡΟΝΟΜΗ ΜΕ ΚΑΤΑΦΥΓΙΟ ΣΤΟ ΟΡΟΣ ΚΟΤΡΩΝΙ ΝΟΜΟΥ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΤΕΧΝOΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ ΟΔΟΥ ΣΥΝΔΕΣΗ ΧΩΡΙΟΥ ΞΗΡΟΝΟΜΗ ΜΕ ΚΑΤΑΦΥΓΙΟ ΣΤΟ ΟΡΟΣ ΚΟΤΡΩΝΙ ΝΟΜΟΥ ΒΟΙΩΤΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Άσκηση 4: Σφάλματα φακών: Ι Σφαιρική εκτροπή Εξεταζόμενες γνώσεις: σφάλματα σφαιρικής εκτροπής. Α. Γενικά περί σφαλμάτων φακών Η βασική σχέση του Gauss 1/s +1/s = 1/f που

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις

Ευθύγραμμες Κινήσεις Οι παρακάτω σημειώσεις διανέμονται υπό την άδεια: Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές. 1 Θέση και Σύστημα αναφοράς Στην καθημερινή μας ζωή για να περιγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα