ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες, και στο τέλος της οποίας παρατηρούµε ορισµένα αποτελέσµατα. Για παράδειγµα η ρίψη ενός νοµίσµατος µε δυό όψεις, η ρίψη ενός συµµετρικού ζαριού, ο αριθµός των αεροπλάνων που φθάνουν σ ένα αεροδρόµιο µέσα σ ένα καθορισµένο χρονικό διάστηµα, το ύψος των παιδιών ενός παιδικού σταθµού ή ο αριθµός των γεννήσεων σε µια περιοχή της χώρας για ένα δοσµένο χρονικό διάστηµα µπορούν να θεωρηθούν πειράµατα. Τα πειράµατα µπορούν να χωρισθούν σε δυό µεγάλες κατηγορίες, τα καθοριστικά determstc και τα λεγόµενα πειράµατα τύχης radom. Καθοριστικά λέγονται τα πειράµατα εκείνα τα οποία έχουν ένα δυνατό απoτέλεσµα, που είναι γνωστό πως θα συµβεί, πριν ακόµα εκτελεστεί το πείραµα, και έτσι είναι φυσικό να µην παρουσιάζουν ενδιαφέρον. Παράδειγµα ενός τέτοιου πειράµατος είναι το εξής: Εάν κάποιος τοποθετήσει ένα ποτήρι µε νερό σε περιβάλλον θερµοκρασίας κάτω των 0 0 Κελσίου τότε το νερό θα γίνει πάγος αποτέλεσµα µοναδικό και γνωστό εκ των προτέρων. Πειράµατα τύχης λέγονται εκείνα τα πειράµατα τα οποία έχουν περισσότερα του ενός δυνατά αποτελέσµατα και ως εκ τούτου δεν είναι δυνατόν να είναι γνωστό το αποτέλεσµα πριν από την εκτέλεση του πειράµατος είναι βέβαια γνωστό ότι το αποτέλεσµα θα ανήκει σε ένα σύνολο δυνατών αποτελεσµάτων, σύνολο το οποίο είναι γνωστό εκ των προτέρων π.χ. όταν ρίχνουµε ένα νόµισµα µε δυό όψεις κεφαλή-γράµµατα ξέρουµε ότι το αποτέλεσµα θα είναι κεφαλή ή γράµ- µατα το ποιό όµως θα είναι το συγκεκριµµένο αποτέλεσµα, σε µια ρίψη, δεν είναι δυνατόν να είναι γνωστό πριν εκτελέσουµε το πείραµα. Με τέτοιου είδους πειράµατα ασχολείται κανείς στην Θεωρία Πιθανοτήτων.

2 Ορισµός.. Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος του πειράµατος sample space και συµβολίζεται συνήθως µε Ω, ενώ κάθε ένα από τα δυνατά αυτά αποτελέσµατα καλείται απλό γεγονός ή δειγµατοσηµείο. Υπάρχουν δυό είδη δειγµατοχώρων, εκείνοι για τους οποίους το Ω είναι πεπερασµένο ή αριθµήσιµο σύνολο και οι οποίοι ονοµάζονται διακριτοί και εκείνοι για τους οποίους το Ω είναι µη-αριθµήσιµο σύνολο και οι οποίοι ονοµάζονται συνεχείς. Παραδείγµατα.. Εάν ρίξουµε ένα νόµισµα µε δυό όψεις τότε: Ω {Κεφαλή, Γράµµατα} ή χάριν συντοµίας Ω {Κ,Γ} Εάν τώρα υποθέσουµε ότι ρίχνουµε δυό συµµετρικά ζάρια και µας ενδιαφέρει η κατανοµή των αποτελεσµάτων τελειών των δυό ζαριών, τότε ο δειγ- µατοχώρος του πειράµατος αποτελείται από τα παρακάτω 36 αποτελέσµατα: 0 ζάρι Πίνακας..3 0 ζάρι Εάν πάλι στην ρίψη δυό συµµετρικών ζαριών, ενδιαφερόµαστε για το άθροισµα των αποτελεσµάτων των δυό ζαριών, ο δειγµατοχώρος του πειράµατος είναι ίσος µε: Ω {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, } Παρατήρηση..4 Προσοχή στο πως ορίζεται ένα πείραµα τύχης. Τα δυό παραπάνω πειράµατα της ρίψης των ζαριών φαίνεται ότι είναι ίδια αλλά στην πραγµατικότητα δεν είναι. Έχουν διαφορετικούς δειγµατοχώρους. 4 Εάν µας ενδιαφέρει ο αριθµός των αεροπλάνων που φθάνουν σ ένα αεροδρόµιο µέσα σ ένα καθορισµένο χρονικό διάστηµα, τότε: Ω { 0,,,3, } όπου είναι ο µέγιστος αριθµός αεροπλάνων που µπορούν να φθάσουν στο αεροδρόµιο µέσα στο καθορισµένο χρονικό διάστηµα.

3 5 Στο πείραµα του ύψους των παιδιών ενός παιδικού σταθµού: Ω [ a, b] δηλαδή το κλειστό διάστηµα [ a, b], όπου a, b είναι το ελάχιστο και το µέγιστο ύψος των παιδιών του σταθµού, αντίστοιχα. Στα παραπάνω παραδείγµατα,,3,4, οι δειγµατοχώροι είναι διακριτοί ενώ στο 5 συνεχής. φού λοιπόν σ ένα πείραµα τύχης δεν είναι δυνατόν να προβλεφθεί εκ των προτέρων το ποιό ακριβώς αποτέλεσµα θα συµβεί αλλά πάλι είναι γνωστό ότι θα συµβεί ένα αποτέλεσµα από ένα σύνολο δυνατών αποτελεσµάτων, θα ήθελε κάποιος να ήταν σε θέση να αντιστοιχήσει σε κάθε ένα από αυτά τα δυνατά αποτελέσµατα έναν αριθµό, τον οποίο θα καλούµε πιθανότητα του απλού γεγονότος και ο οποίος θα µας φανερώνει το πόσο δυνατόν είναι να συµβεί το εν λόγω γεγονός. Ορισµός..5 Εάν ο δειγµατοχώρος ενός πειράµατος τύχης είναι ίσος µε: Ω { a a },, τότε αντιστοιχούµε σε κάθε ένα από αυτά τ αποτελέσµατα έναν αριθµό, µεταξύ 0 και, a α,,, p p,,, και τέτοιον ώστε το ο οποίος µας φανερώνει το πόσο δυνατόν είναι να συµβεί το γεγονός α,,, συµβολικά: { }, { a } p,,, και τον οποίο όπως είπαµε καλούµε πιθανότητα του απλού γεγονότος { α } probablty of the smple evet { α }. ν τώρα Ω, το καλείται γεγονός, ή ενδεχόµενο evet, και εάν A { a a, a }, τότε είναι φανερό ότι η κατάλληλη αντιστοίχηση πιθανότητα του είναι ίση µε: A p + p + + p Παρατηρήσεις..6 Στην πράξη, αν Ω, τότε το καλείται γεγονός στην περίπτωση κατά την οποία το ανήκει σε µία ιδιαίτερη κλάση I υποσυνόλων του δειγµατοχώρου Ω την οποία κλάση I ορίζουµε µε κάποιο συγκεκριµµένο τρόπο και ονοµάζουµε σ-άλγεβρa υποσυνόλων του δειγµατοχώρου 3

4 δηλαδή όταν ικανοποιεί ορισµένες ιδιότητες οι οποίες δεν εξετάζονται στις εν λόγω σηµειώσεις. Εάν ο δειγµατοχώρος ειναι διακριτός τότε σαν µια τέτοια κλάση µπορούµε να θεωρήσουµε το δυναµοσύνολο του Ω δηλαδή το σύνολο όλων των δυνατών υποσυνόλων του Ω και έτσι σ αυτή την περίπτωση κάθε υποσύνολο του Ω θεωρείται γεγονός. Οι παρακάτω ιδιότητες απορρέουν απευθείας από τον παραπάνω ορισµό της πιθανότητας ενός γεγονότος. Ω το σύνολο Ω καλείται βέβαιο γεγονός 0 A δηλαδή τα γεγονότα, είναι ξένα µε- 3 ν, Ω και ταξύ τους τότε: + Εάν Ω είναι ένα γεγονός, τότε λέµε ότι το πραγµατοποιείται σε µια εκτέλεση του πειράµατος, εάν το αποτέλεσµα του πειράµατος είναι στοιχείο του. Ορισµός..7 Η σχετική συχνότητα σαν πιθανότητα Έστω ότι ένα πείραµα τύχης επαναλαµβάνεται φορές, και έστω ότι κάθε µια από αυτές τις επαναλήψεις είναι ανεξάρτητη από όλες τις προηγούµενες της. Για ένα γεγονός, έστω f A ο αριθµός των φορών που πραγµατοποιείται το στις επαναλήψεις συχνότητα του. Η ποσότητα: f A f A καλείται σχετική συχνότητα του γεγονότος. Εάν θεωρήσουµε ότι το όριο αυτής της ποσότητας του τείνοντος στο άπειρο υπάρχει, τότε ο αριθµός αυτός καλείται στην πράξη πιθανότητα του. Η σχετική συχνότητα ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες: f f A Ω 0 3 Εάν f A f A + f Εάν προσπαθήσει να θεµελιώσει κανείς αυστηρά την Θεωρία των Πιθανοτήτων µε την βοήθεια του ορισµού..5 ή..7 τότε αντιµετωπίζει αρκετές δυσκολίες π.χ. είναι δύσκολο να δει πως µπορεί να ορισθούν οι πιθανότητες γεγονότων στην περίπτωση συνεχούς δειγµατοχώρου. Γι αυτό τον λόγο δίνουµε έναν τρίτο ορισµό της πιθανότητας ενός γεγονότος. 4

5 Ορισµός..8 ξιωµατικός ορισµός της πιθανότητας κατά Kolmogorov Γενικότερα η πιθανότητα µπορεί να θεωρηθεί σαν µια συνολοσυνάρτηση: : I [0, όπου I η κλάση σ-άλγεβρα των γεγονότων του δειγµατοχώρου Ω, και η οποία συνολοσυνάρτηση ικανοποιεί τις τρεις ιδιότητες της παρατήρησης..6 ιι, µε την 3 αναφερόµενη σε αριθµήσιµο πλήθος ανά δυό ξένων γεγονότων, δηλαδή: A A A, τότε: αν { } γεγονότα τέτοια ώστε N ] A A..9 Έτσι δεν έχει κανείς πρόβληµα στο να ορίσει πιθανότητες και στην περίπτωση των συνεχών δειγµατοχώρων. Στις εν λόγω σηµειώσεις, ασχολούµαστε µε πειράµατα τύχης των οποίων ο δειγµατοχώρος είναι συνήθως ένα πεπερασµένο σύνολο και τα δειγµατοσηµεία έχουν την ίδια δυνατότητα να συµβούν είναι ισοπίθανα ή έχουν οµοιόµορφη πιθανότητα και ως εκ τούτου, εάν πάλι: τότε: Ω { a a },, a { a },,,..0 # Ω όπου µε #Ω συµβολίζουµε τον αριθµό των στοιχείων του συνόλου Ω πληθάριθµος του Ω. Παράδειγµα.. Όταν ρίχνουµε ένα «δίκαιο» νόµισµα µε δυό όψεις τότε: Κκεφαλή, Γγράµµατα και έτσι Τώρα, εάν: Ω {Κ, Γ} { Κ} { Γ} A { a a, a }, τότε: #.. # Ω 5

6 Παράδειγµα..3 Εάν ρίξουµε ένα συµµετρικό ζάρι και είναι το γεγονός: «το αποτέλεσµα είναι άρτιος αριθµός», τότε Ω{,,3,4,5,6} και {,4,6} άρα: 3 6 Οι παρακάτω τύποι είναι εύκολο να αποδειχθούν και ισχύουν γενικά για όλα τα πειράµατα τύχης. ' όπου A' είναι το συµπλήρωµα του συνόλου, ως προς το σύνολο Ω. ν, Ω τότε + Για τρία γεγονότα,,γ ο τύπος γίνεται: Γ + + Γ Γ Γ + Γ Γενικότερα, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα: Θεώρηµα..4 ocare. Η πιθανότητα να συµβεί ένα τουλάχιστον από τα γεγονότα A, A,, δίνεται από την σχέση: A A A A A < A A + < < A A A + A A A πόδειξη Επαγωγικά ως προς. Παρατήρηση..4 O τύπος + πολλές φορές αναφέρεται και σαν προσθετικό θεώρηµα ισχύει µόνον στην περίπτωση που τα γεγονότα, είναι ξένα µεταξύ τους. ν τότε: α και β όπου: B A { x B, x A} v ' 6

7 . νεξαρτησία Μια από τις βασικές έννοιες που συναντά κανείς στη Θεωρία των Πιθανοτήτων είναι εκείνη της ανεξαρτησίας δυό γεγονότων. Έτσι: Ορισµός.. υό γεγονότα,, του ίδιου πειράµατος τύχης, ονοµάζονται στοχαστικά ανεξάρτητα αν η πραγµατοποίηση του ενός δεν µας δίνει πληροφορίες για την πραγµατοποίηση του άλλου. Π.χ. εάν ρίξουµε ένα νόµισµα δυό φορές, το αποτέλεσµα της δεύτερης ρίψης είναι ανεξάρτητο από το αποτέλεσµα της πρώτης ρίψης. Ένας δεύτερος, ισοδύναµος, ορισµός της ανεξαρτησίας δυό γεγονότων είναι ο εξής: Ορισµός.. υο γεγονότα, ονοµάζονται στοχαστικά ανεξάρτητα αν ικανοποιείται η παρακάτω σχέση:..3 Ο παραπάνω ορισµός γενικεύεται και σε περισσότερα από δυο γεγονότα. Έτσι π.χ. τρία γεγονότα,,γ ονοµάζονται ανεξάρτητα αν ισχύουν ταυτόχρονα οι παρακάτω σχέσεις:, Γ Γ, Γ Γ και Γ Γ Παρατήρηση..4 ι Πολλές φορές γίνεται σύγχυση µεταξύ ξένων και ανεξάρτητων γεγονότων. Επαναλαµβάνοντας τους ορισµούς, δυό γεγονότα, λέγονται ξένα εάν δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο, ενώ ανεξάρτητα αν η πραγµατοποίηση του ενός δεν µας δίνει πληροφορίες για την πραγµατοποίηση του άλλου. ιι Για να είναι δυό γεγονότα ανεξάρτητα θα πρέπει να ορίζονται στον ίδιο δειγµατοχώρο. Στην πραγµατικότητα, και για πειράµατα τύχης των οποίων τα δειγµατοση- µεία έχουν την ίδια πιθανότητα να συµβούν άρα θετική πιθανότητα, εάν δυό γεγονότα µη κενά είναι ξένα δεν µπορεί να είναι και ανεξάρτητα γιατί εάν είναι ξένα τότε η πραγµατοποίηση του ενός από αυτά συνεπάγεται την µη πραγ- µατοποίηση του άλλου δηλαδή η πραγµατοποίηση του ενός µας δίνει πληροφορίες για την πραγµατοποίηση του άλλου. Μαθηµατικά µιλώντας:, ξένα και διάφορα του κενού το καθένα 0 7

8 ν τα, ήσαν και ανεξάρτητα τότε: 0 0 ή 0 ή πράγµα που δεν συµβαίνει, από την υπόθεση..3 εσµευµένη Πιθανότητα ς υποθέσουµε ότι, είναι δυό γεγονότα ενός πειράµατος τύχης. Μερικές φορές, όταν εκτελούµε το εν λόγω πείραµα, η πληροφορία που παίρνουµε από την πραγµατοποίηση του γεγονότος µπορεί να µας δίνει την δυνατότητα να επαναπροσδιορίσουµε την πιθανότητα του γεγονότος. Η «νέα» αυτή πιθανότητα του γεγονότος καλείται δεσµευµένη πιθανότητα του γεγονότος δοθέντος του γεγονότος, συµβολικά: Έτσι: Ορισµός.3. Η δεσµευµένη πιθανότητα codtoal probablty του γεγονότος δοθέντος του γεγονότος ορίζεται σαν: υπό την προυπόθεση βέβαια ότι η ποσότητα του δεύτερου µέλους έχει νόηµα, δηλαδή > 0. Παρατήρηση.3. Η δεσµευµένη πιθανότητα συνδέεται στενά και µε την ανεξαρτησία. Έτσι εάν:.3.3 δηλαδή η πληροφορία ότι συνέβη το δεν αλλάζει την πιθανότητα του, τότε τα γεγονότα και θα πρέπει να είναι ανεξάρτητα. Πράγµατι: δηλαδή τα, είναι ανεξάρτητα. 8

9 Ισχύει και τι αντίστροφο, δηλαδή εάν τα, είναι ανεξάρτητα τότε ισοδύναµα. Πράγµατι: αφού τα, είναι ανεξάρτητα Έτσι ένας ισοδύναµος ορισµός της ανεξαρτησίας δυό γεγονότων είναι ο εξής: Ορισµός.3.4 υο γεγονότα, ονοµάζονται στοχαστικά ανεξάρτητα αν ικανοποιείται η παρακάτω σχέση: ισοδύναµα. ν τώρα, είναι δυο γεγονότα τότε είναι εύκολο να αποδειχθεί το παρακάτω θεώρηµα: Θεώρηµα.3.5 Πολλαπλασιαστικό Για τα γεγονότα, ισχύει: ισοδύναµα B. πόδειξη πό τον ορισµό της δεσµευµένης πιθανότητας έχουµε: που είναι το ζητούµενο. Στις δεσµευµένες πιθανότητες ισχύει επίσης το παρακάτω βασικό θεώρηµα. Θεώρηµα.3.6 Εάν, είναι δυό γεγονότα, του ίδιου δειγµατοχώρου, και τότε: 0 >.3.7 πόδειξη πό τον ορισµό της δεσµευµένης πιθανότητας και το πολλαπλασιαστικό θεώρηµα έχουµε: 9

10 Το παραπάνω θεώρηµα γενικεύεται και σε περισσότερα από δυό γεγονότα, ως εξής: ν,,...,, είναι γεγονότα ενός δειγµατοχώρου Ω, τέτοια ώστε: α Ω β,,,,,, γεγονότα που ικανοποιούν τις ιδιότητες α και β λέµε ότι αποτελούν διαµέριση του δειγµατοχώρου Ω τότε: Θεώρηµα.3.8 Ολικής Πιθανότητας ν,,...,, είναι γεγονότα ενός δειγµατοχώρου Ω, τα δε,,..., αποτελούν διαµέριση του δειγµατοχώρου Ω, τότε:.3.9 πόδειξη Είναι φανερό ότι: και τα γεγονότα είναι ανά δυο ξένα µεταξύ τους γιατί τα γεγονότα A A Ω A,,,,,,..., αποτελούν διαµέριση, οπότε: A A A A Θεώρηµα.3.0 Bayes ν,,...,, είναι γεγονότα ενός δειγµατοχώρου Ω, τα δε,,..., αποτελούν διαµέριση του δειγµατοχώρου Ω, τότε ισχύει η σχέση: πόδειξη Εύκολη και αφήνεται σαν άσκηση. 0

11 .4 σκήσεις.4. Ρίχνουµε δύο ζάρια. Ποιός ο δειγµατοχώρος του πειράµατος τύχης; Να υπολογισθούν οι παρακάτω πιθανότητες: α το άθροισµα να είναι διαιρετό διά 4. β και οι δύο αριθµοί να είναι άρτιοι γ οι αριθµοί να διαφέρουν κατά 4 δ να έχουµε δύο διαδοχικούς αριθµούς. Ο δειγµατοχώρος του πειράµατος αποτελείται από τα παρακάτω 36 αποτελέσµατα: ο ζάρι ν ορίσουµε τα γεγονότα: ο ζάρι «το άθροισµα να είναι διαιρετό διά 4», «και οι δύο αριθµοί είναι άρτιοι» Γ «οι αριθµοί διαφέρουν κατά 4» και «έχουµε δύο διαδοχικούς αριθµούς» τότε: { - 3, -, 3 -, - 6, 3-5, 4-4, 5-3, 6 -, 6-6} τότε #9 όπου # αριθµός των στοιχείων του συνόλου. { -, - 4, - 6, 4 -, 4-4, 4-6, 6 -, 6-4, 6-6} άρα #9 Γ { - 5, - 6, 5 -, 6 - } άρα #Γ4 { -, -, - 3, 3 -, 3-4, 4-3, 4-5, 5-4, 5-6, 6-5} άρα # Άρα: A, B, Γ, Ενας αριθµός επιλέγεται τύχαια από τους αριθµούς,,3,4,,50. Ποιά η πιθανότητα για τον αριθµό αυτό να διαιρείται µε το 6 ή µε το 8; Ο δειγµατοχώρος του πειράµατος είναι ίσος µε Ω {,,3,4,...,50} δειγµατοχώρος δηλαδή

12 #Ω 50 και εάν ορίσουµε το γεγονός: «ο αριθµός διαιρείται µε το 6 ή µε το 8» άρα: A. 50 { 6,8,,6,8,4,30,3,36,40,4,48} δηλαδή #.4.3 πό τους υποψήφιους των ανωτάτων σχολών ενός νοµού που εξετάστηκαν στα µαθήµατα της ης δέσµης, το 5% απέτυχε στα Μαθηµατικά, το 5% στη Φυσική και το 0% και στα δυό µαθήµατα. Επιλέγουµε τυχαία έναν από τους υποψήφιους του νοµού: α ποιά η πιθανότητα να έχει αποτύχει σ ένα τουλάχιστον µάθηµα από τα δύο; β ποιά η πιθανότητα να έχει αποτύχει στα Μαθηµατικά, αλλά όχι στη Φυσική; γ ν έχει αποτύχει στη Φυσική, ποιά η πιθανότητα να έχει αποτύχει και στα Μαθηµατικά; δ ν έχει αποτύχει στα Μαθηµατικά, ποιά η πιθανότητα να έχει απότύχει και στη Φυσική; Ορίζουµε τα γεγονότα Τότε: Μ «ο υποψήφιος έχει αποτύχει στα Μαθηµατικά» Φ «ο υποψήφιος έχει αποτύχει στη Φυσική» α Ρ Μ Φ Ρ Μ + Ρ Φ Ρ Μ Φ 0,5 + 0,5 0,0 0, 3 β Ρ Μ Φ' Ρ Μ Ρ Μ Φ 0,5 0,0 0, 5 Ρ Μ Φ γ ΡΜ Φ ΡΦ Ρ Μ Φ δ ΡΦ Μ ΡΜ 0, 0,5 0, 0, Σε έναν αγώνα παίρνουν µέρος 3 αυτοκίνητα. Το πρώτο έχει τριπλάσια πιθανότητα να κερδίσει από το δεύτερο και το δεύτερο έχει διπλάσια πιθανότητα να κερδίσει από το τρίτο. Ποιά η πιθανότητα κάθε αυτοκινήτου να κερδίσει τον αγώνα; Εάν χ πιθανότητα του 3 ου αυτοκινήτου να κερδίσει, Τότε Και χ πιθανότητα του ου αυτοκινήτου να κερδίσει 3 χ πιθανότητα του ου αυτοκινήτου να κερδίσει

13 και επειδή: χ+χ+3 χ 9χ χ Εάν 0,6, 0,5 και 0,3 α Έχουµε: α να βρεθούν οι πιθανότητες: B ' ' ' v ' ' v β είναι τα, ξένα; νεξάρτητα; ' B A B A+B A B 0,6+0,5 0,3 0,8 ' A 0,6 0,4 πό την θεωρία συνόλων ξέρουµε ότι: ' ' ' ' ' ' κανόνες του de Morga v A B ' ' A B ' A B 0,3 0,7 v ' ' A B ' A B 0,8 0, v ' B B A B0,5 0,30, Ρ 0,3 v A B 0, 6 Ρ 0,5 β εάν τα, ξένα A B 0 αλλά A B 0,3 άρα, όχι ξένα. A B 0,3 0,6 0,5 A B δηλαδή, ανεξάρτητα Εάν, και α α β Έχουµε: να βρεθούν οι πιθανότητες: B B ' v ' ' v ' ' v ' B v B είναι τα, ανεξάρτητα; 3

14 Ρ Ρ Ρ Ρ 3 Ρ Ρ A B A+B A B 8 5 Ρ ' Ρ Ρ ' Ρ ' Ρ v ' ' A B ' A B 3 v ' ' A B ' A B 7 v ' B B A B 0, v Ρ Ρ 3 Ρ β φού έχουµε: 5 Ρ Ρ άρα τα, δεν είναι ανεξάρτητα νεξαρτησία Για την ασφαλή πτήση ενός αεροπλάνου µε δύο κινητήρες, πρέπει να δουλεύει ο ένας τουλάχιστον κινητήρας. Οι κινητήρες λειτουργούν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο και έστω ότι η πιθανότητα να πάθει κάποιος βλάβη είναι 0,003. Να βρεθεί η πιθανότητα µιας ασφαλούς πτήσης. Εάν ορίσουµε τα γεγονότα: «δουλεύει ο ος κινητήρας» και «δουλεύει ο ος κινητήρας», τότε δίνεται ότι : Ρ 0,997Ρ, άρα Ρασφαλούς πτήσης Ρδουλεύει ένας τουλάχιστον κινητήρας 3 60 Ρ Ρ + Ρ Ρ λόγω ανεξαρτησίας Ρ + Ρ Ρ Ρ 4

15 0,997+0,997 0,997 0,997 0,99999 δηλαδή 99,99%..4.8 Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται στο βάρος και την υπέρταση 00 ατό- µων: Υπέρβαρα Μη Υπέρβαρα Σύνολο Υπερτασικά Μη Υπερτασικά Σύνολο Ένα άτοµο επιλέγεται τυχαία, να βρεθούν οι παρακάτω πιθανότητες: α το άτοµο είναι υπέρβαρο. β το άτοµο είναι υπερτασικό. γ δεδοµένου ότι το άτοµο είναι υπερτασικό, ποιά η πιθανότητα να µην είναι υπέρβαρο; δ το άτοµο είναι υπέρβαρο ή υπερτασικό. ε είναι τα γεγονότα «το άτοµο είναι υπερτασικό» και το «το άτοµο είναι υπέρβαρο» ανεξάρτητα; Εάν ορίσουµε τα γεγονότα: «το άτοµο είναι υπέρβαρο», «το άτοµο είναι υπερτασικό», τότε µε την βοήθεια του πίνακα των δεδοµένων : Υπέρβαρα Μη Υπέρβαρα Σύνολο Υπερτασικά Μη Υπερτασικά Σύνολο έχουµε: 50 α Ρ 0, β Ρ 0, 00 0 Ρ ' 0 γ Ρ ' 00 0, 5 Ρ δ Ρ Ρ + Ρ Ρ

16 0 Ρ 0 ε Ρ 00 0,5 0,5 Ρ Ρ άρα τα γεγονότα δεν είναι ανεξάρτητα..4.9 νεξαρτησία Έστω ότι δίνεται ο παρακάτω πίνακας: ' Σύνολο χ ψ 0 ' ζ ω 80 Σύνολο και έστω ότι τα γεγονότα, είναι ανεξάρτητα. Να βρεθούν τα χ,ψ,ζ,ω. φού τα γεγονότα, είναι ανεξάρτητα, έχουµε: χ 0 40 χ 8 Ρ Ρ Ρ χ κόµα: χ + ζ 40 ζ 3 χ + ψ 0 ψ ζ + ω 80 ω νεξαρτησία ποδείξτε ότι: εάν τα γεγονότα, είναι ανεξάρτητα τότε είναι ανεξάρτητα και τα ' και '. Ρ ' ' Ρ ' Ρ δηλαδή τα Ρ Ρ+Ρ λόγω ανεξαρτησίας Ρ Ρ+Ρ Ρ Ρ ' Ρ+Ρ Ρ Ρ ' Ρ { Ρ } Ρ ' { Ρ } Ρ ' Ρ ' ', ' είναι ανεξάρτητα. Ρ ' Ρ Ρ ' 6

17 .4. νεξαρτησία ν τα γεγονότα,,γ είναι ανεξάρτητα να εξεταστεί αν είναι επίσης ανεξάρτητα τα γεγονότα:, Γ, Γ, Γ Ρ Γ Ρ Γ Γ Ρ Γ+Ρ Γ Ρ Γ ΡΡΓ+ΡΡΓ ΡΡΡΓ ΡΓ{ Ρ+Ρ ΡΡ} ΡΓ Ρ δηλαδή τα, Γ είναι ανεξάρτητα Ρ Γ ΡΡΡΓ Ρ Ρ Γ δηλαδή τα, Γ είναι ανεξάρτητα. για νάναι τα γεγονότα, Γ ανεξάρτητα θα πρέπει: και λλά: Ρ Γ Ρ Ρ Γ Ρ Γ Ρ Γ Ρ Ρ ΡΓ Ρ Ρ Γ Ρ Ρ Ρ ΡΓ Ρ Ρ ΡΓ δηλαδή θα πρέπει: Ρ ΡΡΓ Ρ Ρ ΡΓ και υποθέτοντας ότι Ρ>0, ΡΓ>0 θα πρέπει: Ρ Ρ Ρ0 ή Ρ.4.. Πολλαπλασιαστικό θεώρηµα Ένα δοχείο περιέχει 5 κόκκινες µπάλες και 3 πράσινες. Παίρνουµε δυό µπάλες από το δοχείο χωρίς επανατοποθέτηση. Ποιά η πιθανότητα και οι δυό µπάλες νάναι κόκκινες; Εάν ορίσουµε τα γεγονότα: «η πρώτη µπάλα είναι κόκκινη», «η δεύτερη µπάλα είναι κόκκινη», τότε: Ρκαι οι δυό µπάλες είναι κόκκινες Ρ Ρ Ρ Θεώρηµα ολικής πιθανότητας Σ ένα µεταλλείο το 5% των εργατών πάσχουν από ρευµατισµούς. Το 70% των εργατών που πάσχουν από ρευµατισµούς δεν πηγαίνουν στην δουλειά µια µέρα και το 90% αυτών 7

18 που δεν πάσχουν από ρευµατισµούς πηγαίνουν στην δουλειά. α Ποιά η πιθανότητα να πάει ένας εργάτης στην δουλειά µια µέρα; β ν ένας εργάτης δεν πήγε στην δουλειά µια µέρα, ποιά η πιθανότητα να είχε ρευµατισµούς; γ Ποιά η πιθανότητα να πάει ένας εργάτης στην δουλειά µια µέρα ή να έχει ρευµατισµούς; δ είναι τα γεγονότα «ένας εργάτης δεν πάει στην δουλειά µια µέρα» και το «ένας εργάτης πάσχει από ρευµατισµούς» ανεξάρτητα; Ορίζουµε τα γεγονότα: Π«ο εργάτης πάσχει από ρευµατισµούς», «ο εργάτης δεν πάει στην δουλειά µια µέρα» Τότε: ΡΠ0,05, ΡΠ ' 0,95 και Ρ Π0,7, Ρ ' Π0,3 και Ρ ' Π ' 0,9 α Ρ ' Ρ ' Π+Ρ ' Π ' Ρ ' Π ΡΠ+Ρ ' Π ' ΡΠ ' 0,3 0,05+ 0,9 0,95 0,87 Ρ Π Ρ Π Ρ Π 0,7 0,05 β ΡΠ 0, 7 Ρ Ρ 0,3 γ Ρ ' Π Ρ '+ΡΠ Ρ ' Π Ρ '+ΡΠ Ρ ' Π ΡΠ 0,87+0,05 0,3 0,05 0,905 δ Ρ Π 0,7 0,3 Ρ Ρ ' άρα τα γεγονότα δεν είναι ανεξάρτητα. Το πρόβληµα µπορεί να λυθεί µε την βοήθεια του παρακάτω πίνακα: ' Σύνολο Π 0,035 0,05 0,05 Π' 0,095 0,855 0,95 Σύνολο 0,3 0,87 πίνακας που σχηµατίζεται µε την βοήθεια των δεδοµένων πως;. Υπόδειξη: δείτε την άσκηση

Στην Ξένια και στην Μαίρη

Στην Ξένια και στην Μαίρη Στην Ξένια και στην Μαίρη Περιεχόμενα 3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Πολλές φορές θέλουμε να μελετήσουμε φαινόμενα ή συστήματα τα οποία εξελλίσονται, κυρίως αναφορικά με τον χρόνο, και των οποίων η μελλοντική συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 26 Οκτωβρίου 2009 Η διερεύνηση, σε γενικές γραµµές, της δεσµευµένης πιθανότητας και η σύγκρισή της µε την απόλυτη πιθανότητα αποκαλύπτει

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 6 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ή δειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοωήsτου δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1 Πειραματικά Μοντέλα Μοντέλα:» Καθοριστικά» (π.χ. ο νόμος του Ohm)» Στοχαστικά ή πιθανοτικά» (π.χ. ένταση

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 19 Οκτωβρίου 2009 ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Εστω Ω δειγµατικός χώρος στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ή ϕαινοµένου).

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1 ο. Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί. Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων.

Μάθηµα 1 ο. Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί. Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων. Μάθηµα 1 ο Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων. http://compus.uom.gr/inf267/index.php 1 Εισαγωγικά Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων : 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : Είναι το πηλίκο f κ A = ν ενδεχόµενου Α σε ν το πλήθος εκτελέσεις του πειράµατος όπου κ το πλήθος των πραγµατοποιήσεων του. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται

Πιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται Πιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται το τυχαίο I do not believe that God rolls dice Μακροσκοπική

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά

Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 10/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/11/2016 1 1 Θεωρία πιθανοτήτων 5/11/2016 2 2 Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηµατικό λογισµό µιλήσαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών Τµ. Επιστήµης των Υλικών Χώρος Πιθανότητας Συµµετρικός Χώρος Πιθανότητας 1 Θεωρούµε ότι ο δειγµατοχώρος Ω είναι πεπερασµένος, Ω= {ω 1,ω 2,...,ω n }. 2 Κάθε δειγµατοσηµείο έχει τις ίδιες ευκαιρίες εµφάνισης

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στη Θεωρία Πιθανοτήτων

Σηµειώσεις στη Θεωρία Πιθανοτήτων Σηµειώσεις στη Θεωρία Πιθανοτήτων Μέρος Α. Τι είναι οι Πιθανότητες. Είναι συνηθισµένο να ορίζουµε λοιπόν µαθηµατικές διαδικασίες, τις οποίες ονοµάζουµε µοντέλα ή πρότυπα, ώστε να περιγράψουν φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Εστω (Ω,A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο (ή µια πιθανότητα) P

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα.

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 1 3.1 ΕΙΓΜΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων Ορισµός πιθανότητας Έστω Ω το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος Συµβολίζουµε µε ω τα στοιχεία του Ω Ονοµάζουµε ενδεχόµενο (evet ένα υποσύνολο του Ω Για

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 19/04/2016 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ MARTINGALES 1. ΤΥΧΑΙΟΙ ΠΕΡΙΠΑΤΟΙ 2. ΚΛΑ ΩΤΕΣ ΑΛΥΣΙ ΕΣ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ MARTINGALES 1. ΤΥΧΑΙΟΙ ΠΕΡΙΠΑΤΟΙ 2. ΚΛΑ ΩΤΕΣ ΑΛΥΣΙ ΕΣ ΑΘΗΝΑ ΠΑΛΙΕΡΑΚΗ Μεταπτυχιακή φοιτήτρια Γενικό Τµήµα Πολυτεχνείο Κρήτης ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ MARTINGALES. ΤΥΧΑΙΟΙ ΠΕΡΙΠΑΤΟΙ. ΚΛΑ ΩΤΕΣ ΑΛΥΣΙ ΕΣ ΧΑΝΙΑ ΣΕΠΤΕΜΒΡΗΣ 6 Αφιερώνεται στους γονείς µου Στέφανο και

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη Στατιστική Ι 1 η Διάλεξη 1 2 Φαινόμενα Πειράματα Αιτιοκρατικά Προσδιοριστικά Τυχαία Στοχαστικά Ένα αιτιοκρατικό πείραμα, κάθε φορά που εκτελείται, έχει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο μπορεί να προβλεφθεί

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Νίκος Λαζαρίδης Για το µάθηµα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (ΤΕΤΥ 116) Αναθεώρηση, συµπληρώσεις : Μαρία Καφεσάκη 1 Κεφάλαιο 1: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ

Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Έστω ότι έχουµε δοχεία αριθµηµένα από το ως και σφαίρες αριθµηµένες από ως. Οι σφαίρες τοποθετούνται τυχαία στα δοχεία ανά µία. Εάν µία σφαίρα και το δοχείο

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πιθανότητες και Στατιστική ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων εσμευμένη πιθανότητα Ολική πιθανότητα Κανόνας του Bayes Υποκειμενική πιθανότητα Πιθανότητες και βακτηριουρία

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα