ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά μέρη μπορεί να είναι ομογενείς σφαίρες ή ομογενείς ράβδοι ή ομογενείς παραλληλόγραμμες επιφάνειες. Το σύστημα μπορεί να αποτελείται από ένα ή και περισσότερα διακριτά μέρη με μάζες,,,,.... Στις περιπτώσεις αυτές: Ορίζουμε ένα βολικό σύστημα συντεταγμένων (, ). Προσδιορίζουμε τα κέντα μάζας των διακριτών μερών τα οποία ταυτίζονται με τα γεωμετρικά μέση των μερών αυτών (στη σφαίρα είναι το κέντρο της σφαίρας, στη ράβδο είναι το μέσο της ράβδου και στο παραλληλόγραμμο είναι η τομή των διαγωνίων του παραλληλογράμμου. Αναφορικά με το επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες (, ), (, ), (, ), (, ),... των αντίστοιχων κέντρων μαζών. Κάθε διακριτό μέρος i αντικαθίσταται με ένα υλικό σημείο το οποίο έχει μάζα ίση με τη μάζα i του αντίστοιχου διακριτού μέρους. Κάθε υλικό σημείο i τοποθετείται στη θέση όπου βρίσκεται το κέντρο μάζας του αντίστοιχου διακριτού μέρους. Η συνολική μάζα του συστήματος θα είναι ίση με: n i. i.... n Για να υπολογίσουμε τις συνιστώσες (, ) του διανύσματος θέσης του κέντρου μάζας του συστήματος, τότε χρησιμοποιούμε τις εξής σχέσεις: n i n i i i. i i n Στην παραπάνω μεθοδολογία στηρίζεται η λύση των ασκήσεων έως και 7. Β. Υπολογισμός της μάζας, της θέσης του κέντρο μάζας και της ροπής αδράνειας μονοδιάστατων κατασκευών. Ως βολικό σύστημα συντεταγμένων επιλέγουμε εκείνο στο οποίο η αρχή ταυτίζεται με το αριστερό άκρο της κατασκευής και ο άξονας συμπίπτει με αυτή καθεαυτή την κατασκευή. Διαιρούμε την κατασκευή σε στοιχειώδη τμήματα μήκους d και μάζας d. Για να υπολογίσουμε τη μάζα, τις συνιστώσες (, ) του διανύσματος της θέσης του κέντρου μάζας και τη ροπή αδράνειας Ι της κατασκευής, χρησιμοποιούμε τις σχέσεις: d d d n n n

2 Για τον υπολογισμό των παραπάνω ολοκληρωμάτων πρέπει να εκφράσουμε τη στοιχειώδη μάζα d συναρτήσει της διάστασης. Για να γίνει αυτό πρέπει να μας δίνεται η γραμμική πυκνότητα μάζας λ της κατασκευής, η οποία εν γένει μπορεί να είναι μια γνωστή συνάρτηση του, δηλαδή λ=λ(). Από τον ορισμό της γραμμικής πυκνότητας μάζας: d ( ) d ( ) d d οπότε τα παραπάνω ολοκληρώματα ανάγονται σε ολοκληρώματα μιας μεταβλητής: ( ) d ( ) d ( ) d Μόνο στην περίπτωση που η κατασκευή είναι ομογενής, το κέντρο μάζας της θα βρίσκεται στο μέσο αυτής. Με τη μεθοδολογία λύνεται η άσκηση 8. Γ. Υπολογισμός της μάζας, της θέσης του κέντρο μάζας και της ροπής αδράνειας δισδιάστατων κατασκευών. (α) Επιλογή συστήματος συντεταγμένων: Αν η κατασκευή περιέχει δυο κάθετες πλευρές, τότε το σύστημα συντεταγμένων που επιλέγουμε ως βολικό ταυτίζεται με τις πλευρές αυτές. Αν η κατασκευή έχει άξονα συμμετρίας, τότε ο άξονας συμμετρίας πρέπει να επιλεγεί και ως ένας άξονας συντεταγμένων. Στην περίπτωση αυτή, το κέντρο μάζας θα βρίσκεται πάνω στον άξονα συμμετρίας. Οπότε, αν ο άξονας συμμετρίας είναι ο άξονας τότε πρέπει να υπολογίσουμε μόνο τη συνιστώσα της θέσης του κέντρο μάζας. Ομοίως, αν ο άξονας συμμετρίας είναι ο άξονας, τότε πρέπει να υπολογίσουμε μόνο τη συνιστώσα της θέσης του κέντρο μάζας (Ασκήσεις και ). (β) Οι περισσότερες κατασκευές περιέχουν μια ευθύγραμμη πλευρά. Η πλευρά αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως ένας άξονας συντεταγμένων, συνήθως ως άξονας. Στη γενική περίπτωση όπου δεν υπάρχει καμιά ευθύγραμμη πλευρά, μπορούμε να διαιρέσουμε την κατασκευή σε επιμέρους τμήματα στα οποία θα υπάρχουν ευθύγραμμες πλευρές. (γ) Συνήθως δίνονται, η επιφανειακή πυκνότητα μάζας σ και η γεωμετρία της κατασκευής η οποία μπορεί να περιγραφεί από μια συνάρτηση =f(). Στην περίπτωση αυτή, αντιστρέφοντας τη συνάρτηση =f() προσδιορίζουμε τη συνάρτηση =g(): (δ) Για να υπολογίσουμε τη μάζα, τη συνιστώσα του διανύσματος της θέσης του κέντρου μάζας και τη ροπή αδράνειας Ι της κατασκευής, χρησιμοποιούμε τις εξής σχέσεις: d d Στα παραπάνω ολοκληρώματα πρέπει η στοιχειώδης μάζα να εκφραστεί συναρτήσει του. Για να γίνει αυτό διαιρούμε την επίπεδη κατασκευή σε στοιχειώδεις λωρίδες παράλληλες προς τον άξονα που έχουν πάχος d. Το στοιχειώδες εμβαδό da κάθε στοιχειώδους λωρίδας είναι ίσο με: d

3 da d da f ( d ) Από τον ορισμό της επιφανειακής πυκνότητας μάζας έχουμε: d da d f ( ) d Οπότε, τα παραπάνω ολοκληρώματα γίνονται: f ( ) d f ( ) d f ( ) d Μόνο στην περίπτωση που η κατασκευή είναι ομογενής, η επιφανειακή πυκνότητα μάζας σ έχει σταθερή τιμή και ως εκ τούτου η παράμετρος αυτή βγαίνει έξω από το ολοκλήρωμα. (ε) Για να υπολογίσουμε τη συνιστώσα του διανύσματος της θέσης του κέντρου μάζας και τη ροπή αδράνειας Ι της κατασκευής ως προς τον άξονα, χρησιμοποιούμε τις εξής σχέσεις: d d Στα παραπάνω ολοκληρώματα πρέπει η στοιχειώδης μάζα να εκφραστεί συναρτήσει του. Για να γίνει αυτό διαιρούμε την επίπεδη κατασκευή σε στοιχειώδεις λωρίδες παράλληλες προς τον άξονα που έχουν πάχος d. Το στοιχειώδες εμβαδό da κάθε στοιχειώδους λωρίδας είναι ίσο με: da d da g( ) d Από τον ορισμό της επιφανειακής πυκνότητας μάζας έχουμε: d da d g( ) d Οπότε, τα παραπάνω ολοκληρώματα γίνονται: g( ) d g( ) d Μόνο στην περίπτωση που η κατασκευή είναι ομογενής, η επιφανειακή πυκνότητα μάζας σ έχει σταθερή τιμή και ως εκ τούτου η παράμετρος αυτή βγαίνει έξω από το ολοκλήρωμα. Με τη μεθοδολογία Γ λύνονται οι όλες οι ασκήσεις που ακολουθούν εκτός της Άσκησης 8.

4 ΑΣΚΗΣΗ : Τρεις μάζες = g, = g και = g οι οποίες βρίσκονται πάνω σε μια επίπεδη οριζόντια επιφάνεια με συντεταγμένες (, ). Οι συντεταγμένες των μαζών είναι: Συντεταγμένες μαζών : (, )= (.,.) : (, )= (., 6.) : (, )= (.,.) Να υπολογίσετε: α) Τις συντεταγμένες (, ) του κέντρου μάζας του συστήματος των τριών μαζών. β) Τη ροπή αδράνειας z του συστήματος των τριών μαζών όταν αυτό περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από την αρχή του συστήματος συντεταγμένος και είναι κάθετος στο επίπεδο (, ). O άξονας περιστροφής ταυτίζεται με τον άξονα z του συστήματος συντεταγμένων. γ) Τη ροπή αδράνειας του συστήματος των τριών μαζών όταν αυτό περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. δ) Τη ροπή αδράνειας του συστήματος των τριών μαζών όταν αυτό περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. ΛΥΣΗ (α) 8 (,6, 6,) (, ) = + + = g+g+g = g i i i 6 r (, ) r r r (, ) i i i 6 8 g Σχήμα (g)(,) (g)(,) (g)(,), 6 g (g)(,) (g)(6,) (g)(,) 6, 9 (β) r r r i i r i (.) Όπου, r, r και r είναι οι αποστάσεις των μαζών, και από τον άξονα περιστροφής ο οποίος στην προκειμένη περίπτωση είναι κάθετος στο επίπεδο (, ) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Από το σχήμα της άσκησης προκύπτει ότι: r,) (,), (,) (6,) 6,,) (,), r r ( (

5 Οπότε η Σχέση (.) δίνει: r r r (g)(, ) (g)(6, ) (g)(, ) i ri i 798 g, 798kg (γ) Για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας ενός συστήματος μαζών ως προς άξονα περιστροφής πρέπει να γνωρίζουμε την απόσταση κάθε μάζας από τον συγκεκριμένο άξονα. Στην προκειμένη περίπτωση, ο άξονας περιστροφής είναι ο άξονας και οι αποστάσεις των μαζών, και από τον άξονα αυτό είναι αντίστοιχα οι τεταγμένες r =, r = και r =. Οπότε, η Σχέση (,) δίνει: i ri i r r r ( g)(,) (g)(6,) (g)(,) g,kg (δ) Στην προκειμένη περίπτωση, ο άξονας περιστροφής είναι ο άξονας και οι αποστάσεις των μαζών, και από τον άξονα αυτό είναι αντίστοιχα οι τεταγμένες r =, r = και r =. Οπότε, η Σχέση (,) δίνει: i ri i r r r ( g)(,) (g)(,) (g)(,) 7g,7kg ΑΣΚΗΣΗ : Τρεις ομογενείς μεταλλικοί ράβδοι με μήκη L =., L =. και L =.7 και με διατομή σχετικά πολύ μικρή, έχουν γραμμική πυκνότητα μάζας λ=.6 kg/ και είναι συναρμολογημένοι όπως το παρακάτω σχήμα: L L Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη συνολική μάζα της μεταλλικής κατασκευής. β) Τις συνιστώσες (, ) της θέσης του κέντρου μάζας της παραπάνω μεταλλικής κατασκευής. L ΛΥΣΗ ος Τρόπος Αν, και είναι οι μάζες των ράβδων με μήκη L, L και L, αντίστοιχα, τότε από τον ορισμό της γραμμικής πυκνότητας μάζας υπολογίζουμε τη μάζα κάθε ράβδους:

6 L,6kg / )(, ), 6kg ( L,6kg / )(,), 78kg =,8 kg ( L,6kg / )(,7), kg ( Η κάθε μια από τις τρεις ράβδους μπορεί να αντικατασταθεί με ένα υλικό σημείο το οποίο βρίσκεται στη θέση του κέντρου μάζας της και του οποίου η μάζα είναι ίση με τη μάζα της αντίστοιχης ράβδου. Επειδή οι ράβδοι είναι ομογενείς, τα κέντρα μάζας τους θα βρίσκονται στο μέσο αυτών. Για να προσδιορίσουμε τη θέση του κέντρου μάζας του συστήματος των τριών ράβδων χρειαζόμαστε ένα σύστημα συντεταγμένων. Από τα άπειρα συστήματα συντεταγμένων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη λύση του προβλήματος επιλέγουμε το πιο βολικό. Στην προκειμένη περίπτωση, ένα σύστημα συντεταγμένων θεωρείται βολικό όταν η αρχή των αξόνων του βρίσκεται στη θέση του κέντρου μάζας μιας εκ των τριών ράβδων, π.χ. της δεύτερης ράβδου (βλέπε Σχήμα α). L L L Σχήμα α Σχήμα β Οι συντεταγμένες της μάζας είναι: (, )=(,,,) Οι συντεταγμένες της μάζας είναι: (, )=(,,,) Οι συντεταγμένες της μάζας είναι: (, )=(,7,,) Οπότε: i i,8kg,8kg i (,6 kg)(,) (,78kg)(,) (, kg)(,7), i i i (,6 kg)(,) (,78kg)(,) (, kg)(,),8 ος Τρόπος Παίρνουμε ως σύστημα συντεταγμένων το σύστημα στο οποίο -άξονας εφάπτεται στη ράβδο που έχει μήκος L =,7 και ο -άξονας διέρχεται από το αριστερό άκρο της ράβδου που έχει μήκος L =, (βλέπε Σχήμα γ): Στο νέο σύστημα συντεταγμένων: Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας της μάζας είναι: (, )=(,,,) Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας της μάζας είναι: (, )=(,,,)

7 Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας της μάζας είναι: (, )=(,7,,) L L Οπότε:,8kg i,8kg i i Σχήμα γ (,6 kg)(,) (,78kg)(, ) (, kg)(,7),9 i i i = (,6 kg)(,) (,78kg)(,) (, kg)(,),78 Και με τους δύο τρόπους υπολογισμού της θέσης του κέντρου μάζας, η σχετική θέση του κέντρο μάζας σε σχέση με το σύστημα των τριών μαζών είναι η ίδια. L ΑΣΚΗΣΗ : Τρεις μεταλλικές ράβδοι με μήκη L =, L = και L = και με διατομή σχετικά πολύ μικρή, είναι ομογενείς και έχουν γραμμική πυκνότητα μάζας λ=.6 kg/ και είναι συναρμολογημένοι σε σχήμα ορθογωνίου τριγώνου. Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη συνολική μάζα της μεταλλικής κατασκευής. β) Τις συνιστώσες (, ) της θέσης του κέντρου μάζας της συγκεκριμένης μεταλλικής κατασκευής. ΛΥΣΗ (α) L (,6kg / )(,), 6kg L (,6kg / )(,), 68kg =,87 kg L (,6kg / )(,), 78kg (β) Από τις τιμές μήκους των πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζουν οι τρεις ράβδοι και από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι οι κάθετες πλευρές είναι αυτές που έχουν μήκος L =, και L =,. Το πλέον κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων είναι αυτό στο οποίο οι άξονες είναι παράλληλοι με τις κάθετες πλευρές L και L του ορθογωνίου τριγώνου και η αρχή του ταυτίζεται με την κορυφή του τριγώνου που αντιστοιχεί στην ορθή γωνία (βλέπε Σχήμα α).

8 L L L / L / L / L L / Σχήμα α Σχήμα β Η κάθε μια από τις τρεις ράβδους μπορεί να αντικατασταθεί με ένα υλικό σημείο το οποίο βρίσκεται στη θέση του κέντρου μάζας της και του οποίου η μάζα είναι ίση με τη μάζα της αντίστοιχης ράβδου. Επειδή οι ράβδοι είναι ομογενείς, τα κέντρα μάζας τους θα βρίσκονται στο μέσο αυτών. Στο σύστημα συντεταγμένων (, ): Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας της μάζας είναι: (, )=(,,,) Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας της μάζας είναι: (, )=(,,,) Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας της μάζας είναι: (, )=(,,,) Οπότε: i i i,87kg i,87kg (,6kg)(,) (,68kg)(,) (,78kg)(,), i i (,6kg)(,) (,68kg)(,) (,78kg)(,), ΑΣΚΗΣΗ : Στην παρακάτω μεταλλική κατασκευή (αλουμινοκατασκευή) οι ράβδοι ΑΒ και ΓΔ που χρησιμοποιούνται έχουν γραμμική πυκνότητα μάζας λ=, kg/ και μήκος L =,. Η ράβδος ΒΔ έχει γραμμική πυκνότητα μάζας λ=, kg/ και μήκος L =,. Οι υπόλοιποι τρεις ράβδοι έχουν γραμμική πυκνότητα μάζας λ=. kg/, μήκος L =,. Οι τέσσερις ράβδοι που έχουν μήκος L =, απέχουν μεταξύ τους απόσταση h=,. Α L α Β ζ h ε δ γ L Γ β Δ Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε:

9 α) Τη συνολική μάζα της μεταλλικής κατασκευής. β) Τις συνιστώσες (, ) της θέσης του κέντρου μάζας της συγκεκριμένης μεταλλικής κατασκευής. ΛΥΣΗ (α) L (, kg / )(, ), kg L (,kg / )(,), kg L (,kg / )(,), 6kg 6 6, kg 8 (β) Η κάθε μια από τις έξι ράβδους μπορεί να αντικατασταθεί με ένα υλικό σημείο το οποίο βρίσκεται στη θέση του κέντρου μάζας της και του οποίου η μάζα είναι ίση με τη μάζα της αντίστοιχης ράβδου. Επειδή οι ράβδοι είναι ομογενείς, τα κέντρα μάζας τους θα βρίσκονται στο μέσο αυτών. Για να προσδιορίσουμε τη θέση του κέντρου μάζας του συστήματος των έξι ράβδων χρειαζόμαστε ένα σύστημα συντεταγμένων. Από τα άπειρα συστήματα συντεταγμένων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη λύση του προβλήματος επιλέγουμε το πιο βολικό. Στην προκειμένη περίπτωση, επιλέγουμε το σύστημα εκείνο στο οποίο ό άξονας εφάπτεται με τη ράβδο β και ο άξονας υ διέρχεται από τα σημεία Γ και Α (βλέπε Σχήμα α). Α L Β L 6 h L L / 6 Γ Σχήμα α Δ L -h L -h L / Σχήμα β L -h L Οι μάζες και οι αντίστοιχες συντεταγμένες των κέντρων μάζας των έξι ράβδων είναι: Ράβδος : =, kg, (, )=(L /, L )=(,,,) Ράβδος : =, kg, (, )=(L /, )=(,,,) Ράβδος : =, kg, (, )=(L, L /)=(,,,) Ράβδος : =, kg, (, )=(L -h, L /)=(,8,,) Ράβδος : =,6 kg, (, )=(L -h, L /)=(,6,,) Ράβδος 6: 6 =,6 kg, ( 6, 6 )=(L -h, L /)=(,,,) Οπότε: 6 i i (,kg)(,) (,kg)(,) (,kg)(,) (,6kg)(,8),8kg i (,6kg)(,6) (,6)(,), 6 6

10 (,kg)(,) (,kg)(,) (,kg)(,) (,6kg)(,),8kg 6 i (,6kg)(,) (,6)(,), i i 6 6 ΑΣΚΗΣΗ : Δυο ορθογώνιες παραλληλόγραμμες αλουμινένιες πλάκες έχουν διαστάσεις L =,, L =, το ένα και L =,, L =, το άλλο. Οι αλουμινένιες αυτές πλάκες είναι ομογενείς, έχουν επιφανειακή πυκνότητα σ=8, kg/ και είναι συναρμολογημένα έτσι ώστε αυτά να σχηματίζουν ορθή γωνία, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα. L L L Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη συνολική μάζα της μεταλλικής κατασκευής. β) Τις συνιστώσες (, ) της θέσης του κέντρου μάζας της συγκεκριμένης μεταλλικής κατασκευής. L ΛΥΣΗ L +L L L +L / L L +L / L L / L L / L / L / L L / L / Σχήμα α Σχήμα β (α) Εφόσον δίνεται η επιφανειακή πυκνότητα σ=8, kg/, για να υπολογίσουμε τη μάζα κάθε πλάκας αλουμινίου πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τα αντίστοιχα εμβαδά των πλακών. Εμβαδό πλάκας με διαστάσεις (L, L ): A =L L =(,)(,) A=,8 Εμβαδό πλάκας με διαστάσεις (L, L ): A =L L =(,)(,) A=, Μάζα ης πλάκας: =σa = (8, kg/ )(,8 ) =6,8 kg

11 Μάζα ης πλάκας: =σa = (8, kg/ )(, ) Μάζα κατασκευής: =+ =, kg =, kg (β) Η κάθε μια από τις δυο αλουμινένιες πλάκες μπορεί να αντικατασταθεί με ένα υλικό σημείο το οποίο βρίσκεται στη θέση του κέντρου μάζας της και του οποίου η μάζα είναι ίση με τη μάζα της αντίστοιχης πλάκας. Επειδή οι ορθογώνιες πλάκες είναι ομογενείς, τα κέντρα μάζας τους θα βρίσκονται στο γεωμετρικό μέσο αυτών, δηλαδή στην τομή των διαγωνίων τους. Για να προσδιορίσουμε τη θέση του κέντρου μάζας του συστήματος των δυο πλακών χρειαζόμαστε ένα σύστημα συντεταγμένων. Από τα άπειρα συστήματα συντεταγμένων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη λύση του προβλήματος επιλέγουμε το πιο βολικό. Στην προκειμένη περίπτωση, επιλέγουμε το σύστημα εκείνο στο οποίο οι άξονες, εφάπτονται στις εξωτερικές πλευρές της αλουμινένιας κατασκευής (βλέπε Σχήματα α). Στο σύστημα αυτό, οι συντεταγμένες των δυο κέντρων μάζας είναι: Κέντρο μάζας ης πλάκας: (, )=(L /, L /)=(,,,) Κέντρο μάζας ης πλάκας: (, )=(L /, L +L /)=(,,,9) i,7 i,69 i i i i,kg (6,8kg)(,) (,kg)(,),kg (6,8kg)(,) (,kg)(,9) ΑΣΚΗΣΗ 6: Μια τετράγωνη και επίπεδη μεταλλική κατασκευή που έχει πλευρά α=, έχει μια κυκλική οπή ακτίνας =, της οποίας το κέντρο βρίσκεται πάνω σε μια διαγώνιο και σε απόσταση L=, από το γεωμετρικό μέσο. Η επιφανειακή πυκνότητα της μεταλλικής πλάκας που χρησιμοποιήθηκε είναι σ=, kg/. L α Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη συνολική μάζα της μεταλλικής κατασκευής. β) Τις συνιστώσες (, ) της θέσης του κέντρου μάζας της συγκεκριμένης μεταλλικής κατασκευής.

12 ΛΥΣΗ Η ολική μάζα της τετράγωνης πλάκας (χωρίς την κυκλική οπή) είναι ίση με: ( ή ό, ) ( ά ά ) ( ) (,kg / )(,),kg Κατασκευαστικά, η κυκλική οπή πάνω στην μεταλλική πλάκα δημιουργείται μηχανικά με αφαίρεση ποσότητας μάζας ίσης με: ( ή ό, ) ( ά ή ) ( ) (,kg / )(,)(,),9kg Υπολογιστικά, η συγκεκριμένη κυκλική οπή μπορεί να δημιουργηθεί, αν πάνω στη διαγώνιο της τετράγωνης πλάκας και σε απόσταση L= από το κέντρο της τοποθετήσουμε ένα υποθετικό κυκλικό δίσκο ο οποίος έχει ακτίνας και αρνητική μάζα, 9kg. Και πάλι υπολογιστικά, η τοποθέτηση του υποθετικού δίσκου ακτίνας και αρνητικής μάζας, 9kg στη συγκεκριμένη θέση θα «εξουδετερώσει» πάνω στην τετράγωνη πλάκα αντίστοιχη μάζα προκαλώντας με αυτό τον τρόπο υπολογιστικά την κυκλική οπή. Οπότε το πρόβλημα ανάγεται στον υπολογισμό της θέσης του κέντρου μάζας δυο σωμάτων: της τετράγωνης πλάκας που έχει μάζα =, kg και του υποθετικού κυκλικού δίσκου που έχει αρνητική μάζα, 9kg. (α) Η συνολική μάζα M της μεταλλικής κατασκευής είναι: M 7, 8kg (β) ος Τρόπος M,kg, 9kg Επιλέγουμε ως βολικό σύστημα συντεταγμένων αυτό που οριοθετείται από την αριστερή και την κάτω πλευρά της τετράγωνης πλάκας: α L L L α/ α/ α/ L Σχήμα 6α α α/ Σχήμα 6β L H τετράγωνη μεταλλική πλάκα και ο υποθετικός δίσκος μπορούν να αντικατασταθούν με υλικά σημεία με αντίστοιχες μάζες =, kg και, 9kg τα οποία είναι τοποθετημένα στα κέντρα μάζας της μεταλλικής πλάκας και του υποθετικού δίσκου. Επειδή η τετράγωνη πλάκα και ο υποθετικός δίσκος είναι ομογενείς, τα κέντρα μάζας τους θα βρίσκονται στο γεωμετρικό μέσο αυτών, δηλαδή στην τομή των διαγωνίων της

13 πλάκας και στο κέντρο του δίσκου, αντίστοιχα. Στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων τα κέντρα μάζας της πλάκας και του υποθετικού δίσκου είναι στις θέσεις: Κέντρο μάζας τετράγωνης πλάκας: (, )=( α/, α/)=(,,,) Κέντρο μάζας υποθετικού δίσκου: (, )= L M i,7 i i M 7,8kg, L = (,7,,7) (,kg)(,) (,9kg)(,7) M i,7 i i M 7,8kg (,kg)(,) (,9kg)(,7) Να υπολογίσετε την απόσταση του κέντρο μάζας της μεταλλικής κατασκευής από το κέντρο της τετράγωνης πλάκας ος Τρόπος Επιλέγουμε ως βολικό σύστημα συντεταγμένων αυτό που έχει ως κορυφή το κέντρο της τετράγωνης πλάκας και οι άξονές του ταυτίζονται με τις διαγώνιες της πλάκας. L Σχήμα 6γ Σχήμα 6δ Στο νέο σύστημα συντεταγμένων το κέντρο μάζας της πλάκας βρίσκεται στην αρχή των αξόνων ενώ το κέντρο μάζας του υποθετικού δίσκου βρίσκεται πάνω στον άξονα και σε απόσταση L=, : Κέντρο μάζας τετράγωνης πλάκας: (, )=(,,,) Κέντρο μάζας υποθετικού δίσκου: (, )=(L,,) = (,,,) Στις θέσεις αυτές τοποθετούμε τα υλικά σημεία που αντιστοιχούν στη μεταλλική πλάκα και στον υποθετικό δίσκο που έχει αρνητική μάζα. Οπότε:

14 M i, i i M 7,8kg (,kg)(,) (,9kg)(,) M i, i i M 7,8kg (,kg)(,) (,9kg)(,) ΑΣΚΗΣΗ 7: Μια κυκλική επίπεδη μεταλλική κατασκευή ακτίνας =, έχει μια κυκλική οπή ακτίνας =, η οποία βρίσκεται σε απόσταση L=6, από το κέντρο της κύριας κατασκευής. Η επιφανειακή πυκνότητα της μεταλλικής πλάκας που χρησιμοποιήθηκε είναι σ=, kg/. L Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη συνολική μάζα της μεταλλικής κατασκευής. β) Τις συνιστώσες (, ) της θέσης του κέντρου μάζας της συγκεκριμένης μεταλλικής κατασκευής. ΛΥΣΗ Η ολική μάζα του κυκλικού δίσκου (χωρίς την κυκλική οπή) είναι ίση με: ( ή ό, ) ( ά ύί) ( ) (,kg / )(,)(,) 97,97kg Κατασκευαστικά, η κυκλική οπή πάνω στον μεταλλικό δίσκο δημιουργείται μηχανικά με αφαίρεση ποσότητας μάζας ίσης με: ( ή ό, ) ( ά ή ) ( ) (,kg / )(,)(,),68kg Υπολογιστικά, η συγκεκριμένη κυκλική οπή μπορεί να δημιουργηθεί, αν πάνω στην οριζόντια ακτίνα του δίσκου και σε απόσταση L=6, από το κέντρο του τοποθετήσουμε ένα υποθετικό κυκλικό δίσκο ο οποίος έχει ακτίνας =, και αρνητική μάζα, 68kg. Και πάλι υπολογιστικά, η τοποθέτηση του υποθετικού δίσκου ακτίνας και

15 αρνητικής μάζας, 68kg στη συγκεκριμένη θέση θα «εξουδετερώσει» πάνω στο μεταλλικό δίσκο της κύριας κατασκευής αντίστοιχη μάζα προκαλώντας με αυτό τον τρόπο υπολογιστικά την κυκλική οπή. Οπότε το πρόβλημα ανάγεται στον υπολογισμό της θέσης του κέντρου μάζας δυο σωμάτων: του μεταλλικού δίσκου της κύριας κατασκευής που έχει μάζα =97,97 kg και του υποθετικού κυκλικού δίσκου που έχει αρνητική μάζα, 68kg. (α) Η συνολική μάζα M της μεταλλικής κατασκευής είναι: M 8, 9kg M 97,97kg, 68kg (β) Επιλέγουμε ως βολικό σύστημα συντεταγμένων αυτό που έχει ως κορυφή το κέντρο του κυκλικού δίσκου της κύριας κατασκευής: L Σχήμα 7α Σχήμα 7β Ο κυκλικός δίσκος της κύριας κατασκευής και ο υποθετικός δίσκος μπορούν να αντικατασταθούν με υλικά σημεία με αντίστοιχες μάζες =97,97 kg και, 68kg τα οποία είναι τοποθετημένα στα κέντρα μάζας της μεταλλικής πλάκας και του υποθετικού δίσκου. Επειδή ο μεταλλικός δίσκος της κύριας κατασκευής και ο υποθετικός δίσκος θεωρούνται ότι είναι ομογενείς, τα κέντρα μάζας τους θα βρίσκονται στο γεωμετρικό μέσο αυτών, δηλαδή στο κέντρο του μεταλλικού δίσκου και στο κέντρο του υποθετικού δίσκου, αντίστοιχα. Στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων τα κέντρα μάζας του μεταλλικού δίσκου και του υποθετικού δίσκου είναι στις θέσεις: Κέντρο μάζας μεταλλικού δίσκου: (, )=(,,,) Κέντρο μάζας υποθετικού δίσκου: (, )=(L,,)= (,6,,) M i, i i M 8,9kg (97,97kg)(,) (,68kg)(,6) M i, i i M 8,9kg (97,97kg)(,) (,68kg)(,)

16 ΑΣΚΗΣΗ 8: Να υπολογίσετε τη μάζα, καθώς και τη θέση του κέντρου μάζας και τη ροπή αδράνειας ως προς τον κάθετο άξονα που διέρχεται από το αριστερό άκρο μιας κυλινδρικής ράβδου σταθερής διατομής που έχει μήκος L=, και γραμμική πυκνότητα μάζας η οποία μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση ΛΥΣΗ d L Σχήμα 8 d d γ, όπου γ=, g/ -. Χωρίζουμε τη ράβδο σε τμήματα μήκους d το κάθε ένα. Από το δεδομένο: d γ d υπολογίζουμε τη στοιχειώδη μάζα του τμήματος d που βρίσκεται στη θέση : d γ d (8.) α) Υπολογισμός της μάζας της ράβδου: Θα έλεγε κανείς ότι από το άθροισμα όλων των στοιχειωδών μαζών d θα μπορούσαμε να υπολογίζουμε τη μάζα της ράβδου. Επειδή ο διαμερισμός της ράβδου σε στοιχειώδη τμήματα d το υποτιθέμενο αυτό άθροισμα είναι ισοδύναμο με το ορισμένο ολοκλήρωμα της Σχέσης 8. από την τιμή = μέχρι την τιμή =L: d L γ d γ L d γ L γl β) Υπολογισμός της θέσης του κέντρο μάζας της ράβδου: Επειδή η ράβδος έχει μια μόνο διάσταση προς την κατεύθυνση, το κέντρο μάζας θα βρίσκεται πάνω στην κατεύθυνση αυτή και θα απέχει από την αρχή της ράβδου απόσταση η οποία δίνεται από τη σχέση: L L (8.) γ γ γ L d γ d d (8.) Αντικαθιστούμε τη μάζα από τη Σχέση 8. στη Σχέση 8. οπότε έχουμε: γl L γl γ) Υπολογισμός της ροπής αδράνειας ως προς κάθετο άξονα που διέρχεται από την αρχή της ράβδου: Κάθε στοιχειώδη μάζα d που βρίσκεται στη θέση έχει στοιχειώδη ροπή αδράνειας d=r d. Θα έλεγε πάλι κανείς εδώ ότι η συνολική ροπή αδράνειας της ράβδου θα μπορούσε να είναι ίση με το άθροισμα όλων των στοιχειωδών ροπών αδράνειας d. Αυτό το άθροισμα είναι ουσιαστικά το παρακάτω ολοκλήρωμα που προκύπτει από τον ορισμό της ροπής αδράνειας: L

17 d L L L γ L γ γ d γ d (8.) ΑΣΚΗΣΗ 9: Δίνεται επίπεδη και ομογενής μεταλλική κατασκευή που έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη α=, και β=,. Να επιλέξετε ένα βολικό σύστημα συντεταγμένων (, ) και να υπολογίσετε τις συντεταγμένες (, ) της θέσης του κέντρου μάζας της μεταλλικής κατασκευής. Η επιφανειακή πυκνότητα του υλικού της μεταλλικής κατασκευής είναι σ=, kg/. ΛΥΣΗ Ως σύστημα συντεταγμένο επιλέγουμε εκείνο στο οποίο οι άξονες και ταυτίζονται με τις κάθετες πλευρές α και β της ορθογώνιας κατασκευής. β Α β Α N d Κ Λ Ο d M α Β Ο α Β Σχήμα 9α Σχήμα 9β Υπολογισμός της μάζας της κατασκευής. Επειδή το σχήμα της κατασκευής είναι ορθογώνιο τρίγωνο, το εμβαδό της θα είναι ίσο με: A. Οπότε, η μάζα της κατασκευής θα προκύπτει από τον ορισμό της επιφανειακής πυκνότητας σ: (,)(,) A (,kg / ) 6, 8kg (9.) Υπολογισμός της συνιστώσας. Διαιρούμε το τρίγωνο σε κατακόρυφες λωρίδες με στοιχειώδες πλάτος d και από αυτές τις λωρίδες επιλέγουμε μια τυχαία που βρίσκεται σε απόσταση από τον άξονα (βλέπε Σχήμα 9α). Η τυχαία αυτή λωρίδα έχει ύψος και στοιχειώδες πλάτος d και συνεπώς, το

18 στοιχειώδες εμβαδόν της θα είναι ίσο με da d. Από τον ορισμό της επιφανειακής πυκνότητας, η επιλεγμένη στοιχειώδης λωρίδα θα έχει μάζα: d da d d (9.) Πρέπει η στοιχειώδης αυτή μάζα να εκφραστεί συναρτήσει μιας μόνο μεταβλητής, της. Πρέπει δηλαδή, η μεταβλητή, που υπάρχει στη σχέση του d, να εκφραστεί συναρτήσει του. Από το γεγονός ότι τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΒΝΜ είναι όμοια, έχουμε: Από τις σχέσεις (9.) και (9.) παίρνουμε: d d (9.) (9.) Από τον ορισμό της συνιστώσας της συνιστώσας και από τη σχέσης (9.) προκύπτει το παρακάτω ολοκλήρωμα ως προς στο διάστημα από = έως =α: d d d d d d (9.) 6 6 (,kg / )(,)(,) 6(6,8kg), Υπολογισμός της συνιστώσας. Διαιρούμε το τρίγωνο σε οριζόντιες λωρίδες με στοιχειώδες ύψος d και από αυτές τις λωρίδες επιλέγουμε μια τυχαία που βρίσκεται σε απόσταση από τον άξονα (βλέπε Σχήμα 9β). Η τυχαία αυτή λωρίδα έχει μήκος και στοιχειώδες ύψος d και συνεπώς, το στοιχειώδες εμβαδόν της θα είναι ίσο με da d. Από τον ορισμό της επιφανειακής πυκνότητας, η επιλεγμένη στοιχειώδης λωρίδα θα έχει μάζα: d da d d (9.6) Πρέπει η στοιχειώδης αυτή μάζα d να εκφραστεί συναρτήσει μιας μόνο μεταβλητής, της. Πρέπει δηλαδή, η μεταβλητή, που υπάρχει στη σχέση του d, να εκφραστεί συναρτήσει του. Από το γεγονός ότι τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΑΚΛ είναι όμοια, έχουμε: Από τις σχέσεις (9.6) και (9.7) παίρνουμε: d d (9.8) (9.7) Από τον ορισμό της συνιστώσας της συνιστώσας και από τη σχέσης (9.8) προκύπτει το παρακάτω ολοκλήρωμα ως προς στο διάστημα από = έως =β: d d d b d d d

19 (9.9) 6 6 (,kg / )(,)(,), 667 6(6,8kg) ΑΣΚΗΣΗ : Το ουραίο τμήμα μιας ανεμογεννήτριας είναι κατασκευασμένο από αλουμίνιο που έχει επιφανειακή πυκνότητα μάζας σ=8. kg/ (βλέπε σχήμα). Δίνονται: L =., L =., L =, και L =.6. Το τριγωνικό τμήμα της κατασκευής είναι ορθογώνιο. L L L Να επιλέξετε τον κατάλληλο άξονα και να υπολογίσετε: α) Τη μάζα του ουραίου τμήματος της ανεμογεννήτριας. β) Τις συνιστώσες (, ) της θέσης του κέντρου μάζας της συγκεκριμένης διάταξης. L ΛΥΣΗ Η κατασκευή αποτελείται από ένα ορθογώνιο τρίγωνου που οι κάθετες πλευρές του έχουν μήκη L =, και L =,6, Επιλέγουμε ως βολικό σύστημα συντεταγμένων εκείνο στο οποίο οι άξονες (, ) ταυτίζονται με τις κάθετες πλευρές του τριγωνικού τμήματος της κατασκευής. L L L L Σχήμα α Σχήμα β (α) Εφόσον δίνεται η επιφανειακή πυκνότητα σ=8, kg/, για να υπολογίσουμε τη μάζα της κατασκευής πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το εμβαδό και τη μάζα του τριγωνικού του ορθογώνιου τμήματος αυτής. (,)(,6) Εμβαδό τριγωνικού τμήματος: A L L A, Εμβαδό ορθογώνιου τμήματος: A =L L =(,)(,) A=,

20 Μάζα τριγωνικής τμήματος: =σa = (8, kg/ )(, ) Μάζα ης πλάκας: =σa = (8, kg/ )(, ) Μάζα κατασκευής: =+ =, kg =,8 kg =, kg (β) Κάθε ένα από τα δυο τμήματα της κατασκευής μπορεί να αντικατασταθεί με ένα υλικό σημείο το οποίο βρίσκεται στη θέση του κέντρου μάζας του και του οποίου η μάζα είναι ίση με τη μάζα του αντίστοιχου τμήματος. Επειδή όλη η κατασκευή αποτελείται από ομογενές υλικός, τα κέντρα μάζας των επί μέρους τμημάτων θα βρίσκονται στο γεωμετρικό μέσο αυτών, δηλαδή στην τομή των διαμέσων του τριγώνου και στην τομή των διαγωνίων του παραλληλογράμμου. Στο σύστημα συντεταγμένων (βλέπε σχήμα άσκησης), οι συντεταγμένες των δυο κέντρων μάζας είναι: Κέντρο μάζας τριγωνικού τμήματος (, ): Αποδείξαμε στην Άσκηση 8 ότι οι συντεταγμένες αυτές δίνονται από τις σχέσεις: και 6 (, )=(,67,,) όπου σ=8, kg/, α=l =,, β=l =,6, 6 =, kg και =,8 kg. Οπότε: Κέντρο μάζας ης πλάκας: (, )=(L /, L /)=(,,,) Οπότε: i, i, i i i i,kg (,kg)(,67) (,8kg)(,),kg (,kg)(,) (,8kg)(,) ΑΣΚΗΣΗ : Μια μεταλλική κατασκευή έχει σχήμα ημιπεριφέρειας κύκλου ακτίνας =.. Για την κατασκευή αυτή χρησιμοποιήθηκε μεταλλική ράβδος με σχετικά μικρή διατομή και με γραμμική πυκνότητα μάζας λ=.6 Kg/. Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη συνολική μάζα της μεταλλικής κατασκευής. β) Τις συνιστώσες (, ) της θέσης του κέντρου μάζας της συγκεκριμένης μεταλλικής κατασκευής. ΛΥΣΗ

21 Το πιο βολικό σύστημα συντεταγμένων είναι αυτό στο οποίο ο άξονας είναι και άξονας συμμετρίας του ημικύκλιου τόξου και ο άξονας βρίσκεται πάνω στη διάμετρο του ημικύκλιου. Σχήμα θ dθ ds (α) Διαιρούμε το ημικύκλιο τόξο σε στοιχειώδη τμήματα μήκους ds το κάθε ένα από αυτά. Από τον ορισμό της γραμμικής πυκνότητας μάζας έχουμε: d d ds (.) ds Από τον ορισμό της γωνίας dθ σε ακτίνια έχουμε: ds d ds d (.) Από τις Σχέσεις (.) και (.) έχουμε: d d (.) d d, kg d d (β) Συνιστώσα του κέντρο μάζας του ημικυκλικού τόξου:,(,)(,6kg / ) d (.) Οι παράγοντες που είναι μέσα στο ολοκλήρωμα πρέπει να εκφραστούν με μια μόνο μεταβλητή, π.χ. της γωνίας θ. Ήδη, η στοιχειώδης μάζα d έχει εκφραστεί συναρτήσεις της στοιχειώδους γωνίας dθ (βλέπε Σχέση.). Η προβολή του στοιχειώδους τμήματος ds πάνω στον άξονα είναι ίση με: os (.) Οπότε, από τις Σχέσεις (.), (.) και (.) έχουμε:, d os d os d d sin sin Συνιστώσα του κέντρο μάζας του ημικυκλικού τόξου: d Η προβολή του στοιχειώδους τμήματος ds πάνω στον άξονα είναι ίση με: sin (.7) Οπότε, από τις Σχέσεις (.), (.6) και (.7) έχουμε: (.6) d, 8 sin d sin d d os (,), os os os

22 ΑΣΚΗΣΗ : Ένα ημικυκλικό μπαλκόνι έχει ακτίνα =,8, πάχος h=, και είναι κατασκευασμένο από οπλισμένο σκυρόδεμα που έχει πυκνότητα ρ=, g/. Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη συνολική μάζα το μπαλκονιού. β) Τις συνιστώσες (, ) της θέσης του κέντρου μάζας του συγκεκριμένου μπαλκονιού. Δίνονται τα ολοκληρώματα: ΛΥΣΗ d d rsin Επιλέγουμε ως βολικό σύστημα συντεταγμένων το σύστημα εκείνο στο οποίο ο άξονας ταυτίζεται με τη διάμετρο της ημικύκλιας κατασκευής και ο άξονας διέρχεται από το μέσο της διαμέτρου. / d - Σχήμα Διαιρούμε την ημικύκλια κατασκευή σε φέτες πάχους d. Επειδή η κατασκευή είναι ομογενής, τα κέντρα μάζας όλων των φετών θα βρίσκονται στο μέσο αυτών, δηλαδή πάνω στον άξονα. Το γεγονός αυτό μας υποδεικνύει ότι το κέντρο μάζας της κατασκευής θα βρίσκεται πάνω στον άξονα. Για το λόγο αυτό θα υπολογίσουμε μόνο τη συνιστώσα του κέντρου μάζας της κατασκευής. (α) ος Τρόπος Υπολογισμού της Μάζας Για να υπολογίσουμε τη μάζα της κατασκευής επιλέγουμε μια τυχαία φέτα που έχει ύψος d, μήκος και απέχει από τον άξονα απόσταση. Το πάχος κάθε φέτας είναι h=,. Επειδή το ύψος d είναι απειροστό, κάθε φέτα μπορεί να θεωρηθεί ως ένα παραλληλεπίπεδο που έχει όγκο dv: dv hd (.) Από τον ορισμό της πυκνότητας: d (.) d dv d hd (.) Από το σχήμα της άσκησης προκύπτει ότι: (.)

23 Από τις σχέσεις (.) και (.) προκύπτει ότι: d h d (.) h d h d rsin h (,)(kg / )(,) (,8) kg ος Τρόπος Υπολογισμού της Μάζας Ο όγκος V της ημικύκλιας κατασκευής είναι ίσος με: V = (εμβαδό ημικυκλίου)(πάχος ημικυκλίου) =,(,8) Μάζα ημικύκλιας κατασκευής: V h (kg / ) (,) kg ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ο ος τρόπος είναι γενικός. Ο ος τρόπος χρησιμοποιείται μόνο στις περιπτώσεις που το σχήμα της κατασκευής είναι απλό. (β) Για τον υπολογισμό της συνιστώσας του κέντρο μάζας της κατασκευής αντικαθιστούμε τη σχέση (.) στη σχέση: h h h d h d d / h (kg / )(,)(,8), 78 (kg) ΑΣΚΗΣΗ : Μια κατασκευή από λαμαρίνα έχει τη μορφή τεταρτοκυκλίου ακτίνας α=. (βλέπε σχήμα). η επιφανειακή πυκνότητα μάζας της λαμαρίνας είναι σ=. kg/ α Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη μάζα της κατασκευής. β) Τις συντεταγμένες (, ) της θέσης του κέντρο μάζας της συγκεκριμένης κατασκευή. γ) Τη ροπή αδράνειας του τεταρτοκυκλίου όταν αυτό περιστρέφεται γύρω από ένα άξονα που ταυτίζεται με μια από τις δυο ευθύγραμμες πλευρές του.

24 Δίνονται τα ολοκληρώματα: ΛΥΣΗ d d d / / rsin 8 8 rsin Επιλέγουμε ως βολικό σύστημα συντεταγμένων εκείνο στο οποίο οι άξονες και ταυτίζονται με τις δυο κάθετες ακτίνες του τεταρτοκύκλιου. α α α α d d Σχήμα α Σχήμα β Σχήμα γ (α) Υπολογισμού της Μάζας. Διαιρούμε την κατασκευή σε κατακόρυφες λωρίδες με στοιχειώδες με πλάτος d και ύψος. Από τις στοιχειώδεις αυτές λωρίδες επιλέγουμε μια τυχαία που βρίσκεται σε απόσταση από τον άξονα (βλέπε Σχήμα α). Το εμβαδό της συγκεκριμένης λωρίδας είναι ίσο με: da d d (.) όπου το προέκυψε από την εφαρμογή του Πυθαγόρειου Θεωρήματος στο ορθογώνιο τρίγωνο που έχει υποτείνουσα α και κάθετες πλευρές και. Από τον ορισμό της επιφανειακής πυκνότητας σ, η μάζα της στοιχειώδους λωρίδας είναι ίσο με: d da d d d (.) Με ολοκλήρωση της Σχέσης (.) από = μέχρι =α υπολογίζουμε τη μάζα της κατασκευής: d d d rsin,(,) (,kg / ) 6,kg Παρατηρείστε ότι στη σχέση υπολογισμού της μάζας, ο παράγοντας (πα )/ είναι ίσος με το εμβαδό του τεταρτοκύκλιου που έχει ακτίνα α. (β) Υπολογισμός της συνιστώσας Διαιρούμε την κατασκευή σε κατακόρυφες στοιχειώδεις λωρίδες με πάχος d και ύψος και από αυτές επιλέγουμε μια τυχαία που βρίσκεται σε απόσταση από τον άξονα

25 (βλέπε Σχήμα α). Η Σχέση. δίνει τη στοιχειώδη μάζα d της λωρίδας, οπότε η συνιστώσα του διανύσματος της θέσης του κέντρο μάζας στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων (, ) θα είναι ίση με: d d d / (,kg / )(,), (6,kg) (γ) Υπολογισμός της συνιστώσας Διαιρούμε την κατασκευή σε οριζόντιες στοιχειώδεις λωρίδες με πάχος d και μήκος και από αυτές επιλέγουμε μια τυχαία που βρίσκεται σε απόσταση από τον άξονα (βλέπε Σχήμα β)). Το στοιχειώδες εμβαδό da της στοιχειώδους αυτής λωρίδας είναι ίσο με: da d d όπου το προέκυψε από την εφαρμογή του Πυθαγόρειου Θεωρήματος στο ορθογώνιο τρίγωνο που έχει υποτείνουσα α και κάθετες πλευρές και. Από τον ορισμό της επιφανειακής πυκνότητας σ, η μάζα της στοιχειώδους λωρίδας είναι ίσο με: d da d d Οπότε, η συνιστώσα του διανύσματος της θέσης του κέντρο μάζας στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων (, ) θα είναι ίση με: d d d d / (,kg / )(,), (6,kg) ΑΣΚΗΣΗ : Μια μεταλλική κατασκευή έχει δημιουργηθεί από μια αλουμινένια πλάκα που έχει επιφανειακή πυκνότητα σ=8, kg/ και έχει τη μορφή που δείχνει το παρακάτω σχήμα:

26 Στο σύστημα συντεταγμένων (, ) που έχει προκαθοριστεί, το καμπύλο τμήμα της κατασκευής είναι παραβολή και αντιστοιχεί στην εξίσωση = όπου =,7 -. Το μήκος και το ύψος της κατασκευής είναι αντίστοιχα α=, και β=,, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε: (α) Τη μάζα της κατασκευής. (β) Τις συντεταγμένες της θέσης του κέντρου μάζας της κατασκευής για το προκαθορισμένο σύστημα συντεταμένων (, ). (γ) Τις ροπές αδράνειας της κατασκευής και, όταν αυτή περιστρέφεται γύρω από τους άξονες και, αντίστοιχα. ΛΥΣΗ (α) Υπολογισμός της μάζας της κατασκευής. Διαιρούμε την κατασκευή σε κατακόρυφες λωρίδες στοιχειώδους πλάτους d και ύψους και από τις λωρίδες αυτές επιλέγουμε μια που απέχει απόσταση από τον άξονα (βλέπε Σχήμα α). β β d α d α Σχήμα α Σχήμα β Το εμβαδό της συγκεκριμένης λωρίδας είναι ίσο με: da d d (.) όπου το προέκυψε από το δεδομένο ότι = όπου =,7 -. Από τον ορισμό της επιφανειακής πυκνότητας σ, η μάζα της στοιχειώδους λωρίδας είναι ίσο με: d da d d d (.) Με ολοκλήρωση της Σχέσης (.) από = μέχρι =α υπολογίζουμε τη μάζα της κατασκευής: d d d (8,kg / )(,7 )(,) 8, kg (.) (β) Υπολογισμός της συνιστώσας Χρησιμοποιούμε τις κατακόρυφες λωρίδες που χρησιμοποιήσαμε για τον υπολογισμό της μάζας της κατασκευής. Η στοιχειώδη μάζα d κάθε μιας από τις λωρίδες αυτές έχει μάζα

27 d η οποία δίνεται από τη Σχέση (.). Οπότε, από τη σχέση υπολογισμού της συνιστώσας έχουμε: d d d (8,kg / )(,7 )(,), (8,kg) (γ) Υπολογισμός της συνιστώσας Διαιρούμε την κατασκευή σε οριζόντιες στοιχειώδεις λωρίδες που έχουν πάχος d και μήκος (α ) και από αυτές επιλέγουμε μια τυχαία που βρίσκεται σε απόσταση από τον άξονα (βλέπε Σχήμα β). Το στοιχειώδες εμβαδό da της στοιχειώδους αυτής λωρίδας είναι ίσο με: da ( ) d d (.) όπου το προέκυψε από το δεδομένο ότι = ή ισοδύναμα, =(/) /. Από τον ορισμό της επιφανειακής πυκνότητας σ, η μάζα της στοιχειώδους αυτής λωρίδας είναι ίσο με: d da d d d d d d d (.) Οπότε, η συνιστώσα του διανύσματος της θέσης του κέντρο μάζας στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων (, ) θα είναι ίση με: d d d d d d d (8,kg / )(,)(,) (8,kg) (8,kg / ) (8,kg),7 (,),,8, (δ) Υπολογισμός της ροπής αδράνειας Ι ως προς τον άξονα. Για να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας της κατασκευής ως προς τον άξονα, θεωρούμε πρώτα τη διαίρεση αυτής σε λωρίδες παράλληλες με το άξονα (Σχήμα α). Από τη σχέση υπολογισμού της ροπής αδράνειας d και από τη Σχέση (.)

28 που δίνει τη στοιχειώδη μάζα d της κατακόρυφης λωρίδας που απέχει απόσταση από τον άξονα, έχουμε: d d d 9, ) )(, )(,7 / (8, kg kg (ε) Υπολογισμός της ροπής αδράνειας Ι ως προς τον άξονα. Για να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας της κατασκευής ως προς τον άξονα, θεωρούμε τη διαίρεση αυτής σε λωρίδες παράλληλες με το άξονα (Σχήμα α). Από τη σχέση υπολογισμού της ροπής αδράνειας d και από τη Σχέση (.) που δίνει τη στοιχειώδη μάζα d της οριζόντιας λωρίδας που απέχει απόσταση από τον άξονα, έχουμε: d d d d d d d b b ,6,7 7 ) )(, / (8, ) )(, )(, / (8, kg kg kg

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε.

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Μαρούσι 06-0-0 ΘΕΜΑ ο (βαθμοί ) ΟΜΑΔΑ Α Μια οριζόντια ράβδος που έχει μάζα είναι στερεωμένη σε κατακόρυφο τοίχο. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ )

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ) ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ) Η περιστροφική αδράνεια ενός σώματος είναι το μέτρο της αντίστασης του στη μεταβολής της περιστροφικής του κατάστασης, αντίστοιχο της μάζας στην περίπτωση της μεταφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ Α. ΠΡΟΣΟΧΗ!! Τα αποτελέσματα να γραφούν με 3 σημαντικά ψηφία. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Τριβή κύλισης σε οριζόντιο δρόμο: f

ΟΜΑΔΑ Α. ΠΡΟΣΟΧΗ!! Τα αποτελέσματα να γραφούν με 3 σημαντικά ψηφία. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Τριβή κύλισης σε οριζόντιο δρόμο: f ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 03 Μαρούσι 04-0-03 ΟΜΑΔΑ Α ΘΕΜΑ ο (βαθμοί 3,5) Η μέγιστη δύναμη με την οποία ένα κινητήρας ωθεί σε κίνηση ένα sport αυτοκίνητο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΜΗΧΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ ΘΕΜ Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 πολλαπλής επιλογής, αρκεί να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά απ αυτόν, μέσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα.

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ιατήρηση ορµής Ας θεωρήσοµε δυο υλικά σηµεία και µε µάζες και αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες και και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Για τους βασικούς ορισμούς σχετικά με το κέντρο βάρους θα γίνεται αναφορά στην επόμενη εικόνα, η οποία απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚ 1. Οι πλευρές ενός τριγώνου σε cm είναι = 3x 3, = 3x + 1 και = x και η περίµετρος Π του τριγώνου είναι Π = 8cm. Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του τριγώνου. Να δείξτε ότι το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 5 5 ενικές ασκήσεις. ανονικό εξάγωνο ΕΖ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ) και έστω, Λ,, Ν, Ρ, Σ τα µέσα των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι το ΛΝΡΣ είναι κανονικό εξάγωνο µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Συμπαγής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R δέχεται μια αρχική μεγάλη και στιγμιαία ώθηση προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ και μετά αφήνεται ελεύθερος. Κατά την παύση της ώθησης,

Διαβάστε περισσότερα

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αμελητέας μάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο.

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ας μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν ένα υγρό περιέχεται σε ένα ακίνητο δοχείο. Τι δυνάμεις ασκεί στο δοχείο; Τι σχέση έχουν αυτές με το βάρος του υγρού; Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

5. Τα μήκη των βάσεων ενός τραπεζίου είναι 8 cm και 12 cm και το ύψος του είναι 7. Να βρείτε το εμβαδό του.

5. Τα μήκη των βάσεων ενός τραπεζίου είναι 8 cm και 12 cm και το ύψος του είναι 7. Να βρείτε το εμβαδό του. 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει μια πλευρά ίση με 48 και το αντίστοιχο σε αυτή την πλευρά ύψος είναι 4,5 dm. Να βρείτε το εμβαδό του παραλληλογράμμου 2. Ένα παραλληλόγραμμο έχει εμβαδό 72 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

κατά την οποία το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίσο με

κατά την οποία το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίσο με ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 06/0/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 206-207 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 9/03/207 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή Αδράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Α)Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση.

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή Αδράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Α)Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση. ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή δράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜ 1 Ο : )Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση. 1. Για ένα ζεύγος δυνάμεων Η ροπή του, εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Theory Greek (Greece) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό.

Theory Greek (Greece) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό. Q1-1 Δύο προβλήματα Μηχανικής (10 Μονάδες) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό. Μέρος A. Ο Κρυμμένος Δίσκος (3.5 Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ B B1. Σωστή απάντηση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ : Μήκος κύκλου: L = Εμβαδόν κύκλου: Ε = ( όπου π = 3,14) Γνωρίζοντας ότι σε γωνία 360 0 αντιστοιχεί κύκλος με μήκος L και εμβαδόν Ε έχουμε : α) ημικύκλιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/02/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/02/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/02/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύση: Η δύναμη σε ρευματοφόρο αγωγό δίνεται από την

Λύση: Η δύναμη σε ρευματοφόρο αγωγό δίνεται από την 1) Στο παρακάτω σχήμα το τμήμα της καμπύλης ΚΛ μεταξύ x = 1 και x = 3.5 αντιστοιχεί σε ένα αγωγό που διαρρέεται από ρεύμα Ι = 1.5 Α με τη φορά που δείχνεται. Η καμπύλη είναι δευτεροβάθμια ως προς x με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01-03-2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ M-ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1

ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα τριπλά ολοκληρώματα ορίζονται με τρόπο ανάλογο με τα διπλά ολοκληρώματα. Ισχύουν ανάλογα θεωρήματα ολοκληρωσιμότητας και ανάλογες ιδιότητες. Θεωρούμε μια συνάρτηση f,,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

3.3. Δυναμική στερεού.

3.3. Δυναμική στερεού. 3.3.. 3.3.1. Ροπή και γωνιακή επιτάχυνση Μια οριζόντια τετράγωνη πλάκα ΑΒΓΔ, πλευράς 1m και μάζας 20kg μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα z που περνά από το κέντρο της. Η πλάκα αποκτά γωνιακή ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα