Dragi polinom, kje so tvoje ničle?
|
|
- Ανάκλητος Βλαβιανός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010
2 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i R.
3 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i R. Zgledi: p(x) = a 0 p(x) = a 1 x + a 0 p(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 konstantna funkcija, premica, parabola.
4 Polinomi: 3 Polinomi so najenostavnejše nelinearne funkcije: preprosto odvajanje (odvod polinoma je polinom), preprosto integriranje (integral polinoma je polinom), preprost izračun vrednosti polinoma v neki točki Hornerjev algoritem: p(x) = (... ((a n x + a n 1 ) x + a n 2 ) x a 1 ) x + a 0.
5 Polinomi: Fundamentalni izrek algebre: Polinom stopnje n z realnimi koeficienti ima natanko n ničel v C.
6 Polinomi: Fundamentalni izrek algebre: Polinom stopnje n z realnimi koeficienti ima natanko n ničel v C. Izrek: Kompleksne ničle nastopajo v konjugiranih parih (jih je vedno sodo mnogo).
7 Polinomi: 4 Fundamentalni izrek algebre: Polinom stopnje n z realnimi koeficienti ima natanko n ničel v C. Izrek: Kompleksne ničle nastopajo v konjugiranih parih (jih je vedno sodo mnogo). Posledica: Polinom lihe stopnje ima vsaj eno realno ničlo.
8 Kje so ničle polinoma? 5 Izrek [Descartes]: Število pozitivnih ničel polinoma je enako številu menjav predznakov v zaporedju neničelnih koeficientov polinoma, ali pa je enako temu številu minus nek večkratnik števila 2.
9 Kje so ničle polinoma? 5 Izrek [Descartes]: Število pozitivnih ničel polinoma je enako številu menjav predznakov v zaporedju neničelnih koeficientov polinoma, ali pa je enako temu številu minus nek večkratnik števila 2. Primer: p(x) = x 3 + x 2 x 1 = (x + 1) 2 (x 1).
10 Kje so ničle polinoma? 6 Naj bo p polinom s samimi enostavnimi ničlami. Definirajmo polinome: p 0 (x) := p(x), p 1 (x) := p (x), p 2 (x) := rem(p 0, p 1 ),..., p n (x) := rem(p n 2, p n 1 ), 0 = rem(p n 1, p n ). Polinomi p 0, p 1,..., p n tvorijo Sturmovo zaporedje.
11 Kje so ničle polinoma? 6 Naj bo p polinom s samimi enostavnimi ničlami. Definirajmo polinome: p 0 (x) := p(x), p 1 (x) := p (x), p 2 (x) := rem(p 0, p 1 ),..., p n (x) := rem(p n 2, p n 1 ), 0 = rem(p n 1, p n ). Polinomi p 0, p 1,..., p n tvorijo Sturmovo zaporedje. Izrek [Sturm]: Naj σ(ξ) označuje število menjav predznakov v zaporedju p 0 (ξ), p 1 (ξ),..., p n (ξ). Število različnih realnih ničel polinoma p na intervalu (a, b] je enako σ(a) σ(b).
12 Kje so ničle polinoma? Primer: p(x) = x(x 1)(x 2) = x 3 3x 2 + 2x, I = (0, 2]. p 0 = x 3 3x 2 + 2x p 1 = 3x 2 6x + 2 p 2 = 2 3 x 2 3 p 3 = 1
13 Kje so ničle polinoma? Primer: p(x) = x(x 1)(x 2) = x 3 3x 2 + 2x, I = (0, 2]. p 0 = x 3 3x 2 + 2x p 1 = 3x 2 6x + 2 p 2 = 2 3 x 2 3 p 3 = 1 p 0 (0) = 0, p 1 (0) = 2, p 2 (0) = 2 3, p 3(0) = 1. p 0 (2) = 0, p 1 (2) = 2, p 2 (2) = 2 3, p 3(2) = 1. σ(0) σ(2) = 2.
14 Kje so ničle polinoma? 8 Ničle polinoma stopnje 1: a 1 x + a 0 = 0 x = a 0 a 1 ničla je realna
15 Kje so ničle polinoma? 8 Ničle polinoma stopnje 1: a 1 x + a 0 = 0 x = a 0 a 1 ničla je realna Ničle polinoma stopnje 2: a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 x 1,2 = a 1± a 2 1 4a 0a 2 2a 2 obe ničli sta realni ali pa obe kompleksni
16 Kje so ničle polinoma? Cardano 9 Ničle polinoma stopnje 3: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 substitucija: t = x + a 2 3 t 3 + pt + q = 0 vstavimo t = u + v, v = p 3u u 3 in v 3 sta ničli enačbe z 2 + qz p3 27 = 0 imamo 3 realne ničle ali 1 realno in 2 kompleksni ničli
17 Kje so ničle polinoma? Ferrari 10 Ničle polinoma stopnje 4: x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 imamo 4, 2 ali 0 realnih ničel substitucija: t = x + a 3 4 t 4 + αt 2 + βt + γ = 0 prištejemo tej enačbi enakosti (t 2 + α) 2 t 4 2αt 2 = α 2 (t 2 + α + y) 2 (t 2 + α) 2 = (α + 2y)t 2 + 2yα + y 2 αt 2
18 Kje so ničle polinoma? Ferrari Dobimo: (t 2 + α + y) 2 = (α + 2y)t 2 βt + (2yα + y 2 + α 2 γ) (1) Želimo, da je desna stran popolni kvadrat in to določa y: Dobimo kubično enačbo za y, ki jo znamo rešiti y ( α 2 αy 2 + (2α 2 3 γ)y + 2 αγ ) 2 β2 = 0. 8 Vzamemo poljubno rešitev za y in tako nam enakost (1) da dve kvadratni enačbi za t. Torej: imamo 4 rešitve za t 4 rešitve za x.
19 Kje so ničle polinoma? 12 Ničle polinoma stopnje več kot 4: Se v splošnem ne dajo izračunati z osnovnimi operacijami +,,, /,.
20 Kje so ničle polinoma? 12 Ničle polinoma stopnje več kot 4: Se v splošnem ne dajo izračunati z osnovnimi operacijami +,,, /,. V praktičnih aplikacijah smo običajno zadovoljni, če uspemo ničle poiskati dovolj natančno (poiskati dober približek).
21 Kje so ničle polinoma? 12 Ničle polinoma stopnje več kot 4: Se v splošnem ne dajo izračunati z osnovnimi operacijami +,,, /,. V praktičnih aplikacijah smo običajno zadovoljni, če uspemo ničle poiskati dovolj natančno (poiskati dober približek). Uporabljamo NUMERIČNE METODE.
22 13 Slika: Druga polovica 19. stoletja
23 Slika: Prva polovica 20. stoletja
24 15 Metode: bisekcija metoda regula falsi navadna iteracija tangentna metoda sekantna metoda Müllerjeva metoda
25 15 Metode: bisekcija metoda regula falsi navadna iteracija tangentna metoda sekantna metoda Müllerjeva metoda Te metode delujejo tudi za iskanje ničel bolj splošnih nelinearnih funkcij.
26 16 Bisekcija: Izrek: Izbrati moramo začetni interval [a, b], kjer je funkcija (polinom) v krajiščih različno predznačena. Če je f zvezna funkcija na [a, b] in velja f (a) f (b) < 0, potem obstaja ξ (a, b), tako da je f (ξ) = 0.
27 Bisekcija: Izrek: Izbrati moramo začetni interval [a, b], kjer je funkcija (polinom) v krajiščih različno predznačena. Če je f zvezna funkcija na [a, b] in velja f (a) f (b) < 0, potem obstaja ξ (a, b), tako da je f (ξ) = 0. Postopek: c := a+b 2 če je f (a)f (c) > 0, potem za novi a vzamemo a := c, sicer za novi b vzamemo b := c to ponavljamo, dokler interval [a, b] ni dovolj majhen rezultat je sredina zadnjega intervala 16
28 6 4 2 a c b
29 18 Slabosti: Metoda odpove pri ničlah sode stopnje. Na primer za funkcijo f (x) = x 2. Najde le eno ničlo na [a, b] (ne moremo vnaprej povedati katero). konvergenca je linearna (kar pomeni dokaj počasna).
30 18 Slabosti: Metoda odpove pri ničlah sode stopnje. Na primer za funkcijo f (x) = x 2. Najde le eno ničlo na [a, b] (ne moremo vnaprej povedati katero). konvergenca je linearna (kar pomeni dokaj počasna). Prednosti: Če začetni interval pravilno izberemo, potem je konvergenca zagotovljena.
31 19 Metoda Regula falsi: Ponovno moramo izbrati začetni interval [a, b], kjer je funkcija v krajiščih različno predznačena. Postopek: c := b f (b) b a f (b) f (a) če je f (a)f (c) > 0, potem za novi a vzamemo a := c, sicer za novi b vzamemo b := c to ponavljamo, dokler interval [a, b] ni dovolj majhen rezultat je sredina zadnjega intervala
32 Metoda Regula falsi: Ponovno moramo izbrati začetni interval [a, b], kjer je funkcija v krajiščih različno predznačena. Postopek: c := b f (b) b a f (b) f (a) če je f (a)f (c) > 0, potem za novi a vzamemo a := c, sicer za novi b vzamemo b := c to ponavljamo, dokler interval [a, b] ni dovolj majhen rezultat je sredina zadnjega intervala Lastnosti: podobne kot pri bisekciji. 19
33 0.5 Numerične metode: a c b
34 21 Navadna iteracija (metoda negibne točke): Namesto ničle funkcije f iščemo negibno točko iteracijske funkcije g.
35 21 Navadna iteracija (metoda negibne točke): Namesto ničle funkcije f iščemo negibno točko iteracijske funkcije g. Veljati mora: f (x) = 0 g(x) = x.
36 21 Navadna iteracija (metoda negibne točke): Namesto ničle funkcije f iščemo negibno točko iteracijske funkcije g. Veljati mora: f (x) = 0 g(x) = x. Primer: f (x) = x 3 5x, g 1 (x) = x 3 5, g 2(x) = 3 5x.
37 Kako poiščemo negibno točko funkcije g?
38 Kako poiščemo negibno točko funkcije g? Izberemo si nek x 0 (začetni približek). Izvajamo iteracijo x r+1 = g(x r ), r = 0, 1,.... Iteracijo izvajamo dokler velja x r+1 x r > ε. Zaporedje x 0, x 1,... lahko konvergira proti neki negibni točki ali pa tudi ne. Z izbiro začetnega približka lahko deloma vplivamo na to, h kateri negibni točki bo zaporedje konvergiralo. Če na nekem intervalu [a, b] (ki vsebuje negibno točko) za vsak x [a, b] velja g (x) < 1, potem naše zaporedje zagotovo skonvergira k negibni točki.
39
40 Tangentna metoda: Če za iteracijsko funkcijo vzamemo g(x) = x f (x) f (x), potem jo imenujemo tangentna metoda. Iteracija: izberemo x 0, x r+1 = x r f (x r ) f, r = 0, 1,... (x r )
41 x r 1 x r
42 26 Slabosti: Metoda ne konvergira za vsak x 0. Poznati moramo tudi odvod funkcije.
43 26 Slabosti: Metoda ne konvergira za vsak x 0. Poznati moramo tudi odvod funkcije. Prednosti: Konvergenca je v bližini ničle kvadratična (precej boljša od bisekcije in metode regula falsi).
44 Sekantna metoda: Namesto tangente v točki (x r, f (x r )) vzamemo sekanto skozi točki (x r 1, f (x r 1 )) in (x r, f (x r )). V prvem koraku moramo izbrati dva začetna približka x 0 in x 1.
45 Sekantna metoda: Namesto tangente v točki (x r, f (x r )) vzamemo sekanto skozi točki (x r 1, f (x r 1 )) in (x r, f (x r )). V prvem koraku moramo izbrati dva začetna približka x 0 in x 1. Lastnosti: Metoda ne konvergira za poljubna x 0 in x 1. Konvergenca je malce počasnejša kot pri tangentni metodi (je superlinearna). V primerjavi s tangentno metodo tukaj ne potrebujemo odvodov.
46 x r 1 x r x r 1 6
47 29 Müllerjeva metoda: Potrebujemo tri začetne približke x 0, x 1 in x 2. Skozi točke (x r 2, f (x r 2 )), (x r 1, f (x r 1 )) in (x r, f (x r )) napeljemo parabolo. Za nov približek x r+1 vzamemo tisto ničlo parabole, ki je bližje zadnjemu približku. Ker ima parabola lahko tudi kompleksne ničle, so ti približki lahko tudi kompleksni.
48 29 Müllerjeva metoda: Potrebujemo tri začetne približke x 0, x 1 in x 2. Skozi točke (x r 2, f (x r 2 )), (x r 1, f (x r 1 )) in (x r, f (x r )) napeljemo parabolo. Za nov približek x r+1 vzamemo tisto ničlo parabole, ki je bližje zadnjemu približku. Ker ima parabola lahko tudi kompleksne ničle, so ti približki lahko tudi kompleksni. Metodo uporabljamo za iskanje kompleksnih ničel.
49 x 3 x 2 x 1 x 0
50 31 Poglejmo na kratko še nekaj metod, ki so posebej prirejene za delo s polinomi Laguerrova metoda Durand-Kernerjeva metoda Aberth-Ehrlichova metoda
51 32 Laguerrova metoda: Ponavljamo postopek: S 1 = p (z r ) p(z r ) S 2 = p (z r ) 2 p(z r )p (z r ) p(z r ) 2 n z r+1 = z r S 1 ± (n 1)(nS 2 S1 2)
52 33 Lastnosti: Če ima polinom p same realne ničle, potem je zagotovljena konvergenca k najbližji ničli za poljuben začetni približek z 0. Hitrost konvergence je kubična (hitreje kot tangentna metoda). Deluje tudi za kompleksne ničle.
53 34 Durand-Kernerjeva metoda: Metoda, ki naenkrat izračuna vse ničle polinoma!
54 34 Durand-Kernerjeva metoda: Metoda, ki naenkrat izračuna vse ničle polinoma! p(z) = (z α 1 )(z α 2 ) (z α n ). Naj bodo z 1, z 2,..., z n približki za ničle α 1, α 2,..., α n. Iščemo popravke z 1, z 2,..., z n, da bodo z 1 + z 1, z 2 + z 2,..., z n + z n prave ničle. Torej: (z (z 1 + z 1 )) (z (z n + z n )) = p(z).
55 34 Durand-Kernerjeva metoda: Metoda, ki naenkrat izračuna vse ničle polinoma! p(z) = (z α 1 )(z α 2 ) (z α n ). Naj bodo z 1, z 2,..., z n približki za ničle α 1, α 2,..., α n. Iščemo popravke z 1, z 2,..., z n, da bodo z 1 + z 1, z 2 + z 2,..., z n + z n prave ničle. Torej: (z (z 1 + z 1 )) (z (z n + z n )) = p(z). Uredimo po členih z i : n n p(z) = (z z j ) z j j=1 j=1 n (z z k )+ k=1 k j n z j z k j,k=1 j k n (z z l )+... l=1 l j,k
56 35 Če zanemarimo kvadratne in višje člene, bodo z i le približni popravki. Vstavimo še z = z i : n n p(z i ) = (z i z j ) z j j=1 j=1 n n (z i z k ) = z i (z i z k ), k=1 k j k=1 k i oziroma z i = p(z i ) n k=1 (z i z k ). k i
57 35 Če zanemarimo kvadratne in višje člene, bodo z i le približni popravki. Vstavimo še z = z i : n n p(z i ) = (z i z j ) z j j=1 j=1 n n (z i z k ) = z i (z i z k ), k=1 k j k=1 k i z (r+1) i oziroma Metoda: = z (r) i n k=1 k i p(z i ) z i = n k=1 (z i z k ). k i ( p z (r) i ( z (r) i ) ), i = 1, 2,..., n, r = 0, 1,... z (r) k
58 36 Lastnosti: Konvergenca v bližini ničel je kvadratična. Metoda konvergira skoraj za vsak začetni približek z (0) (le vse komponente vektorja z (0) morajo biti različne). Za komponente vektorja z (0) izberemo kar naključnih n kompleksnih števil.
59 Aberth-Ehrlichova metoda: Durand-Kernerjevo metodo lahko izboljšamo do kubične konvergence. Označimo p(z) R i (z) = n, i = 1, 2,..., n. k=1 (z z k ) k i Uporabimo tangentno metodo na funkciji R i (z) v točki z i : Metoda: z i = z i = R i(z) R i i = 1, 2,..., n. (z), p(z i ) n k=1 k i p(z i ) i = 1, 2,..., n. 1 z i z k p (z i ), 37
60 HVALA!
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότερα3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti 1 / 20
Problem lastnih vrednosti 1 / 20 2 / 20 1 Uvod 2 Potenčna metoda 3 Inverzna iteracija 4 QR iteracija 5 Metode za simetrične matrike Sturmovo zaporedje Jacobijeva iteracija 3 / 20 Uvod Naj bo A R n n. Paru
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραLJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12
LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 2. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 POLINOMI... 1 1.1 Polinomi VAJE... 1 1.2 Operacije
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραPRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2
3 4 PRIMER UPORABE FUNKCIJ Upogibni moment 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE T (x) =F A qx M(X )=F A x qx2 2 1 2 DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE Naj bosta A in B neprazni množici. Enolična funkcija f : A
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod
Zbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod Borut Jurčič - Zlobec Andrej Perne Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Ljubljana 6 Kazalo Iterativno reševanje nelinearnih enačb 4 Navadna
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραRačunalniško vodeni procesi I
Šolski center Velenje Višja strokovna šola Velenje Trg mladosti 3, 33 Velenje Računalniško vodeni procesi I Osnove višješolske matematike Interno gradivo - druga, popravljena izdaja Robert Meolic. september
Διαβάστε περισσότεραMnožico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f
Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραProgrami v Matlabu za predmet numerične metode
Programi v Matlabu za predmet numerične metode 18. 04 2002 1 1 Reševanje nelinearnih enačb Napisali bomo program za reševanje nelinearnih enačb z uporabo posameznih metod. Rešujete nelinearne enačbe oblike
Διαβάστε περισσότερα8. Navadne diferencialne enačbe
8. Navadne diferencialne enačbe 8.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραEnočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v
Enočlenske metode J.Kozak Uvod v numerične metode - / 4 Enočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v skupino Runge-Kutta metod.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραDel 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk
Del 5 Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk POGLAVJE 1 Krivulje v R n 1. Risanje vektorskih funkcij in vektorskih zaporedij Funkcija iz R v R n je podana z dvema podatkoma: z definicijskim območjem,
Διαβάστε περισσότεραInterpolacija in aproksimacija funkcij
Poglavje 4 Interpolacija in aproksimacija funkcij Na interpolacijo naletimo, kadar moramo vrednost funkcije, ki ima vrednosti znane le v posameznih točkah (pravimo jim interpolacijske točke), izračunati
Διαβάστε περισσότεραDefinicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.
Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραVARIACIJSKE SUBDIVIZIJSKE SHEME
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Seminar za Numerično analizo VARIACIJSKE SUBDIVIZIJSKE SHEME Ljubljana, 004 Marjeta Krajnc . Uvod Subdivizija je postala v zadnjih letih zelo pomembno
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότερα1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραBézierove krivulje. Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani. MARS 2009, Koper, / 54
1 / 54 Bézierove krivulje Emil Žagar Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani MARS 2009, Koper, 18.8.2009 Slika: Prepoznate lik na sliki? 2 / 54 Slika: Kaj pa ta dva? 3 / 54 Slika: In te?
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Poglavje 6 Navadne diferencialne enačbe 6.1 Uvod Splošna rešitev navadne diferencialne enačbe n-tega reda F(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 je n-parametrična družina funkcij. Kadar želimo iz splošne rešitve
Διαβάστε περισσότεραα i y n i + h β i f n i = 0, Splošni nastavek je k
10.4 Večkoračne metode Splošni nastavek je k α i y n i + h i=0 k β i f n i = 0, kjer je f i = f(x i, y i ), privzamemo pa še α 0 = 1. Če je β 0 = 0, je metoda eksplicitna, sicer pa implicitna. i=0 Adamsove
Διαβάστε περισσότεραNumerične metode 2 (finančna matematika)
Bor Plestenjak Numerične metode 2 (finančna matematika) delovna verzija verzija:. februar 203 Kazalo Nesimetrični problem lastnih vrednosti 5. Uvod............................................ 5.2 Schurova
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότεραFunkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.
II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi
Διαβάστε περισσότεραNekaj zgledov. J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21
Nekaj zgledov J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) 2011-2012 1 / 21 V robnih problemih rešitev diferencialne enačbe zadošča dodatnim pogojem, ki niso vsi predpisani v isti točki. Že osnovna zahteva, kot
Διαβάστε περισσότεραOsnovne lastnosti odvoda
Del 2 Odvodi POGLAVJE 4 Osnovne lastnosti odvoda. Definicija odvoda Odvod funkcije f v točki x je definiran z f f(x + ) f(x) (x) =. 0 Ta definicija je smiselna samo v primeru, ko x D(f), ita na desni
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραKombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april
FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραNumerična analiza. Bor Plestenjak. Fakulteta za matematiko in fiziko. Jadranska 21, 4. nadstropje, soba 4.04
Numerična analiza Bor Plestenjak Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska 21, 4. nadstropje, soba 4.04 govorilne ure: četrtek 11-12 oz. po dogovoru bor.plestenjak@fmf.uni-lj.si http://www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/vaje/vaje.htm
Διαβάστε περισσότεραRealne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1
Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότερα