Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII"

Transcript

1 Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse de submulţimi printr-o funcţie. Cardinalul unei submulţimi. Evaluare: 1. Prezentarea noţiunulor importante introduse. 2. Rezolvarea problemelor finale MULŢIMI. În acest paragraf ne vom referi la câteva noţiuni de bază ale analizei matematice absolut necesare în abordarea acesteia. Vom presupune cunoscute şi nu vom defini riguros noţiuni primare ca: obiect, element, mulţime, colecţie, egalitate, proprietate. De exemplu, o mulţime poate fi dată prin: (1) A = {a, b, c, } - punând în evidenţă elementele sale, (2) B = {b: b are proprietatea P} - punând în evidenţă o proprietate caracteristică a elementelor mulţimii B. Faptul că a este un element al mulţimii A se notează prin a A, am utilizat aici semnul de apartenenţă. Contrariul acestuia este semnul de neapartenenţă, simbolizând că un element nu aparţine unei mulţimi. Dacă A este o parte (submulţime) a mulţimii B, simbolizăm aceasta prin semnul de incluziune, şi anume scriem A B. Utilizând semnele (implică) şi (echivalent) putem scrie: (3) (A B) (x A x B) Următoarele operaţii asupra mulţimilor sunt foarte des întâlnite: (4) Reuniunea: A B = {x: x A sau x B}; (5) Intersecţia: A B = {x: x A şi x B}; (6) Diferenţa: A - B = (A \ B) = {x: x A şi x B}; (7) Complementara: C B A = (A \ B) (aici am presupus că B A); (8) Produsul cartezian: A x B = {(a, b): a A, b B}; Ca de obicei semnul = indică egalitatea mulţimilor între care este pus şi vom avea: (9) (A = B) (A B şi B A); Dacă presupunem că A şi B sunt submulţimi de puncte ale planului, putem reprezenta operaţiile menţionate mai sus astfel:

2 10 Modulul 1 A A B B A B A B (10) A B A B A\B (A-B) C A B Dacă A şi B sunt submulţimi ale mulţimii (axei) numerelor reale, atunci A x B este o submultime a planului R 2. y B AxB A x Mulţimea fără nici un element o notăm cu şi se numeşte mulţimea vidă. Pentru o mulţime A familia submulţimilor acesteia formează o nouă mulţime pe care o notăm cu P(A) şi care se numeşte familia părţilor lui A. În continuare considerăm o multime totală E şi celelalte mulţimi care apar le considerăm ca fiind părţi ale lui E. Referitor la operaţiile cu mulţimi definite mai sus amintim câteva proprietăţi mai importante: (11) CA =, C A = A, CE( CE ) = A; (12) A B = B A (comutativitatea reuniunii); (13) (A B) C = A (B C) (asociativitatea reuniunii); (14) A = A, A E = E;

3 Mulţimi, Relaţii, Funcţii 11 (15) A B = B A (comutativitatea intersecţiei); (16) (A B) C = A (B C) (asociativitatea intersecţiei); (17) A =, A E = A; (18) CE( A B) = CEA CEB; (19) CE( A B) = CEA CEB. (18) si (19) sunt cunoscute sub numele de relaţiile lui De Morgan. (20) A x = ; A x B este în general diferit de B x A, adică produsul cartezian nu este comutativ. (21) (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea intersecţiei faţă de reuniune) (22) (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea reuniunii faţă de intersecţie) (23) (A B) x C = (A x C) (B x C); (A B) x C = (A x C) (B x C) (distributivitatea produsului cartezian faţă de reuniune, respectiv intersecţie). Demonstraţia egalităţilor precizate mai sus se poate face prin dublă incluziune. De exemplu, să demonstrăm egalitatea (18). Arătam mai întâi că CE( A B) CEA CEB. Fie x CE ( A B) x E şi x A B x E şi (x A) şi (x B) (x E si x A) şi (x E şi x B) x C E A şi x C E B x CEA CEB. Arătăm apoi că CEA CEB CE( A B) : Fie x CEA CEB (x E şi x A) şi (x E şi x B) x E şi (x A şi x B) x E şi x A B x CE ( A B). Din cele două incluziuni rezultă egalitatea (18). În continuare prezentăm mulţimile numerice de bază ale analizei matematice. Vom nota prin N mulţimea numerelor naturale: (24) N = { 123,,,...}; prin Z mulţimea numerelor întregi: (25) Z = {..., 3, 2, 10123,,,,,...}; si prin Q mulţimea numerelor rationale: p (26) Q = x: x =, p Z, q N. q Proprietăţile acestor mulţimi de numere le presupunem cunoscute. Probleme practice simple arată că aceste mulţimi de numere sunt insuficiente pentru a le rezolva. De exemplu, lungimea diagonalei unui pătrat având latura de lungime l (un număr raţional) nu va fi un număr raţional, deoarece este egal cu l 2, iar 2 nu poate fi scris sub forma p cu p Z, q N. De aici a apărut q

4 12 Modulul 1 necesitatea extinderii lui Q la o mulţime mai bogată, şi anume la mulţimea numerelor reale, notată cu R. Vom avea astfel: (27) N Z Q I = R, unde I este multimea numerelor iraţionale care o completează pe Q până la R. Mulţimea numerelor reale se poate defini direct punând în evidenţă elementele sale sau axiomatic, ca o mulţime de elemente ce satisface la anumite grupe de axiome. În mod direct, constructiv, R se defineşte ca fiind mulţimea numerelor de forma: r (28) 1 r2 rn x = r, r, r, r,..., r,... = r unde r i { 012 9} ( r [ x] ) n 10 2 n 10 10,,,..., iar r este un numar întreg denumit partea întreagă a lui x =. Această definiţie nu este prea comodă, deoarece în membrul drept din (28) apare o suma infinită de termeni care conduce inevitabil la o limită. Definiţia axiomatică a numerelor reale este mai comodă, şi prin axiomele ei regăsim proprietăţile submulţimilor ei considerate anterior. Prin mulţimea numerelor reale înţelegem mulţimea R care satisface următoarele grupe de axiome: (A1) Axiome de adunare: ( R,+ ) formează un grup comutativ, notăm cu 0 elemntul neutru si cu -x opusul unui element x. (A2) Axiome de înmulţire sau multiplicare: ( R \{ 0}, ) formează un grup comutativ, notăm cu 1 elementul neutru şi cu 1 x sau x 1 inversul elementului x faţă de operaţia multiplicativă. (A3) Axioma distributivităţii: xy+ z = x y+ x z, pentru orice x, y, z R, adică operaţia multiplicativă ( ) este distributivă faţă de cea aditivă şi deci ( R, +,) este un corp comutativ. Axiomele de mai sus nu-l determina pe R deoarece si multimea Q le verifică. De asemenea submulţimea { 01, } R verifică sistemul de axiome considerat anterior. (A4) Axiome de ordine: Oricare ar fi elementele x, y R se verifică cel puţin una din relaţiile x y sau y x si următoarele proprietăţi sunt satisfăcute: (A4.1.) x x, oricare ar fi x R, iar x y si y x implică x = y; (A4.2.) x y si y z implică x z; (A4.3.) x y implică x + z y + z, oricare ar fi z R; (A4.4.) 0 x, 0 y implică 0 x y.

5 Mulţimi, Relaţii, Funcţii 13 Nici sistemul de axiome enunţat până în prezent nu este suficient pentru a defini mulţimea numerelor reale, deoarece şi Q satisface la toate aceste axiome. Axioma finală pentru definirea mulţimii numerelor reale este axioma următoare, numită axioma marginii superioare. Pentru a enunţa însă această axiomă avem nevoie de câteva noţiuni pregătitoare: O mulţime nevidă A R se numeşte mărginită superior dacă există x R, astfel încât să avem a x, pentru orice a A, acest număr se numeşte margine superioară pentru mulţimea A. Numărul x R se numeşte cea mai mică margine superioară sau margine superioară strictă a mulţimii A dacă este margine superioră pentru mulţimea A şi pentru orice altă margine superioară x a lui A avem x x. Marginea superioară stricta a unei mulţimi A, dacă există, se notează prin sup A şi ea este unică. Într-adevar, dacă ar exista două margini stricte x 1 si x 2 pentru o mulţime nevidă A, atunci din x1 x2 şi x2 x1 rezultă că ele coincid. Analog se defineşte marginea inferioară strictă a unei mulţimi A şi se notează prin y = inf A. (A5) Axioma marginii superioare: Dacă A este o submulţime nevidă a mulţimii R, care este mărginită superior, atunci multimea A admite o margine superioară strictă şi aceasta este un element al lui R. Mulţimea numerelor reale poate fi pusă în corespondenţa biunivocă cu mulţimea punctelor unei drepte pe care s-a fixat o origine O, un sens si o unitate de măsură şi care de obicei este numită axa reală. Punctele de la infinit ale dreptei reale se notează cu ±. Mulţimea numerelor reale R completată cu cele două simboluri se noteaza R şi se numeşte închiderea mulţimii numerelor reale, R = R { ± }. Între aceste simboluri şi numerele reale se poate atribui sens unor operaţii, iar altora nu, de exemplu, x ± = ±, a = dacă a > 0, a = - dacă a < 0, + =, pe când 0, - sunt considerate operaţii fără sens. Daţi exemple de mulţimi. Construiţi pe baza mulţimilor date noi mulţimi, prin operaţiile prezentate. Prezentaţi câteva mulţimi numerice importante.

6 14 Modulul RELAŢII BINARE, RELAŢII DE ORDINE, RELAŢII DE ECHIVALENŢĂ Fie M o mulţime diferiţă de mulţimea vidă şi R M x M o parte a produsului cartezian a lui M cu ea însăşi. Mulţimea R se numeşte relaţie binară pe M. De exemplu, dacă M = Z putem considera: R = {(x, y): x, y Z şi x este divizibil cu y}. Faptul că (x, y) R se mai scrie x R y şi citim x se află în relaţia R cu y. Despre o relaţie binară R definită pe o mulţime M spunem că este: (1) reflexivă dacă x R x are loc pentru orice x M; (2) simetrică dacă x R y implică y R x; (3) antisimetrică dacă x R y şi y R x implică x = y; (4) tranzitivă dacă x R y şi y R z implică x R z. O relaţie binară R definită pe o mulţime nevidă M se numeşte: (5) relaţie de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă; (6) relaţie de ordine strictă dacă este tranzitivă; (7) relatie de echivalentă dacă este reflexivă, simetrică şi tranzitivă. Dacă R este o relaţie de ordine pe o mulţime M şi oricare ar fi x, y M are loc x R y sau y R x spunem că mulţimea M este total ordonată în raport cu relaţia R, în caz contrar spunem că M este parţial ordonată. Dacă R este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea M, atunci clasa de echivalenţă a unui element a M se defineşte prin a$ = { x M: xra}. Mulţimea claselor de echivalenţa ce pot fi formate din elementele mulţimii M se numeşte mulţime cât a lui M prin raport cu relaţia R şi se notează prin M / R. Dacă, de exemplu, considerăm M = R (mulţimea numerelor reale) atunci defineşte o relaţie de ordine totală pe R, < defineşte o relaţie de ordine strictă, iar x R y x - y = 0 defineşte pe R o relaţie de echivalenţă. Fie acum, M = { 1, 2,, 9 }, pe M definim relaţia binară x R y (x - 1) (x - 2)(x - 3) + (y - 1)(y - 2)(y - 3) = 0. Se constată uşor că relaţia R este simetrică şi tranzitivă dar nu este reflexivă. Definţi relaţiile binare de ordine şi relaţiile binare de echivalenţă. Construiţi exemple din relaţiile definite anterior. Construţi pentru relaţiile de echivalenţă considerate mulţimea claselor de echivalenţă.

7 Mulţimi, Relaţii, Funcţii IMAGINI DIRECTE, IMAGINI INVERSE DE SUBMULŢIMI PRINTR-O FUNCŢIE, CARDINALUL UNEI MULŢIMI Să considerăm acum două mulţimi M şi N. O relaţie binară de la M la N se defineşte ca o parte a produsului cartezian, F M N. Elementele lui M N se împart astfel în două clase, care aparţin lui F şi care nu aparţin lui F. Dacă pentru orice x M există în mod unic y N astfel ca (x, y) F atunci relaţia binară F se numeşte relaţie funcţională sau funcţie de la M la N. Se regăseşte astfel definiţia clasică a noţiunii de funcţie (aplicaţie) de la M la N prin care înţelegem o asociere la fiecare element x din M a unui element unic y din N. De fapt relaţia funcţională F M N se identifică cu graficul funcţiei M x f y N, adică F = {(x, f (x) ): x M }. Subliniem faptul că printr-o funcţie de la M la N înţelegem tripletul (M, N, f ), M se numeşte domeniul de definiţie, N se numeşte mulţime în care funcţia ia valori, iar f este corespondenţa de la M la N. Nu ne vom ocupa de cazul când unui element x M i se asociază o parte f(x) N, dar precizăm că de aceste cazuri se ocupa teoria funcţiilor multivoce sau a multifuncţiilor. Un caz particular de funcţie îl constituie şirul de elemente dintr-o mulţime M. Fie N mulţimea numerelor naturale. Se numeşte şir de elemente din M o aplicaţie f : N M. Dacă notăm an = f( n) atunci şirul realizează corespondenţa (succesiunea) n a n sau n 1 a n şi acest lucru se notează pe scurt prin { } { a n }. În esenta noţiunea de şir stabileşte o ordonare, o enumerare de termeni n N dintr-o mulţime, în corespondenţa cu mulţimea numerelor naturale sau cu o parte infinită a sa. Evident putem înlocui pe N cu N {0} sau cu N-{1, 2,, k}, k 1 enumerarea temenilor în corespondenţă cu N se păstrează. Fie o funcţie f : M N (definită pe M cu valori în N) şi A M. Mulţimea f(a) = {f(a) : a A} se numeşte imaginea submulţimii A prin funcţia f. Dacă considerăm A = M atunci f(m) se numeşte mulţimea valorilor funcţiei f. Evident f(a), f(m) sunt incluse în N. Fie acum B N. Prin 1 f ( B ) înţelegem mulţimea {x M: f(x) B} care se numeşte imaginea inversă sau contraimaginea lui B prin functia f. Imaginea directă şi imaginea inversă definite prin funcţia f : M N, considerate ca funcţii definite pe P(M) cu valori în P(N), respectiv pe P(N) cu valori în P(M), au următoarele proprietăţi ce decurg imediat din definiţie: a) f ( ) = ; b) dacă A B rezultă f (A) f (B);

8 16 Modulul 1 c) f (A B) = f (A) f (B); d) f (A B) f (A) f (B); e) f 1( ) = ; f) dacă P Q rezultă 1 f ( P) 1 f ( Q) g) f 1( P Q) f 1( P) f 1 = ( Q) ; h) 1 1 f ( P Q) f ( P) 1 = f ( Q) ; 1 1 i) f ( CA) = Cf ( A) ; unde A, B P(M) si P, Q P(N). Demonstraţia acestor proprietăţi se bazează pe definiţia egalităţii a două mulţimi, prin dublă incluziune. De asemenea extinderea la cazul reuniunii şi intersecţiei finite, respectiv numarabile, este imediată. Funcţia f pentru care f (M) = N se numeste surjectivă. Dacă pentru orice x1, x2 M şi x1 x2 implică fx ( 1) fx ( 2) atunci funcţia f se numeşte injectivă. Funcţiile f care sunt şi injective şi surjective se numesc funcţii bijective. Dacă f : M N este o functie bijectiva, atunci putem defini corespondenţa inversă (funcţia inversă) f : N M prin: dacă f (a) = b atunci 1 1 f ( b ) = a Deci clasa funcţiilor bijective coincide cu clasa funcţiilor inversabile, 1 adică a funcţiilor f : M N pentru care există f : N M, astfel ca: 1 ( )( ) 1 1 f o f a = f ( f( a) ) = f ( b) = a, a M (1) 1 1 f o f b = f f ( b) = f( a) = b, b N ( )( ) ( ) Fie acum P şi Q două mulţimi. Spunem că P şi Q sunt echipotente sau că au acelaşi cardinal dacă există o aplicaţie bijectivă f : P Q (evident atunci există şi 1 f : Q P ). Relaţia de echipotenţă este o relaţie de echivalenţă, adică P Q P şi Q sunt echipotente atrage după sine faptul că relaţia este o relaţie binară de echivalenţă. Spunem despre o mulţime M că este finită dacă ea este echipotentă cu o parte mărginită a mulţimii numerelor naturale. Dacă P este echipotentă cu {1, 2,, n} spunem că P are n elemente sau că are cardinalul n, adică card (P) = n. O mulţime P se numeşte numărabilă dacă este echipotentă cu mulţimea numerelor naturale; notăm acest fapt prin card (P) = χ 0 (prin alef zero fiind notat cardinalul numerelor naturale). O mulţime care este finită sau numărabilă se numeşte cel mult numărabilă. Dintre proprietăţile mulţimilor numărabile amintim : (2) reuniunea unui şir de mulţimi numărabile este o mulţime numărabilă; (3) produsul cartezian a doua mulţimi numărabile este numărabilă; (4) o reuniune numărabilă de mulţimi finite este cel mult numărabilă. ;

9 Mulţimi, Relaţii, Funcţii 17 În continuare ne vom referi la câteva proprietăţi ale mulţimii numerelor reale. Mulţimea numerelor reale R este nenumarabilă (nu poate fi pusă în corepondenţă biunivocă cu mulţimea numerelor naturale). Notăm card R = χ (alef) şi spunem că R are cardinalul χ sau că este de puterea continuului. De asemenea orice interval de forma (a, b) cu a < b este echipotent cu R, mulţimea Q este numărabilă iar mulţimea R - Q este nenumarabilă, aşadar putem spune că există mai puţine numere raţionale decât numere iraţionale. Dacă considerăm funcţiile : x a) f: ( 1, 1) R, f( x) = 2 1 x b) f: ( o, ) R, f( x) = lnx a x c) f: ( a, b) ( 0, ), f( x) = x b c d d) f ( a b) ( c d) f x a b d ad bc :,,, ( ) = + a d vom constata că toate sunt bijecţii şi deci mulţimile care apar mai sus sunt toate echipotente între ele şi au acelaşi cardinal cu R. Următoarea proprietate a numerelor reale este cunoscută sub numele de proprietatea lui Arhimede : Pentru orice numere reale fixate x, y R, x > 0 există n N astfel încât nx y. Aşadar se poate parcurge o distanţă oricât de mare y dar finită cu paşi oricât de mici x, căci există n 1 astfel ca x1 + 4x x y. Fie acum In [ an bn] astfel ca I0 I1 I2... In In+ 1..., şi dacă ( ) I n, adica li ( ) = b a şi lim n n n n =, n 0 un şir de intervale închise de numere reale I n n închise incluse afirma că intersecţia li n este lungimea intervalului = 0 atunci lema (proprietatea ) intervalelor I I n n 0, a acestor intervale este nevidă şi se reduce la un punct. Remarcăm că închiderea intervalelor este esenţială fiindcă dacă luam, de exemplu, In = 0, 1 n atunci celelalte condiţii de mai sus sunt îndeplinite şi totuşi I I n =. n 1 În practică mulţimea R a numerelor reale nu este suficientă pentru a exprima rezultatele obţinute. Chiar rezolvarea unei ecuaţii de gradul al doilea cu coeficienţi reali necesită introducerea numerelor complexe C = R + ir = {x + iy : x, y R, i 2 = 1}. Definiţi imaginea directă şi imaginea inversă a unei submulţimi printr-o funcţie.

10 18 Modulul 1 Definiţi funcţia injectivă, funcţia surjectivă, funcţia bijectivă şi funcţia inversabilă. Daţi exemplu de mulţimi finite şi mulţimi numărabile. Probleme finale : 1. Să se figureze în plan mulţimile: a) A = {(x, y) R 2 x y 2 0, x y > 1 } b) B = {(x, y) R 2 2x 2 + y 2 = 1, x, y 0 } 2. Fie A = {-2, -4} (-1, 0] şi B = [-2, 1) {3} [5, + ). Să se determine A B, A B, A B, A x B, (A B) (B A). 3. Să se compare mulţimile: A = {(x, y) R 2 x + y = 5 } şi B = {(x, y) R 2 2x 2 + 2y 2 25 }. 4. Fie A = {x R 2 x 5 } şi B = { x R 3 x 10}. Să se verifice egalitatea C(A B) = CA CB. 5. Fie A = {1,2,3,4} şi relaţia ρ A 2, ρ = {(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1) (2,3),(3,3),(3,2)}. Să se verifice că ρ este o relaţie binară : reflexivă, simetrică, antisimetrică şi transitivă. 6. Fie E = {1,2,3,4} şi relaţia ρ R 2, (x,y) ρ (x,y ) xy = x y. Să se arate că ρ este o relaţie binară de echivalenţă. Determinaţi clasele de echivalenţă C (1,2) şi C (2,3). 7. Fie relaţia ρ N 2 definită astfel x ρ y x y. Să se verifice că ρ este o relaţie de ordine pe N. x 8. Să se arate că funcţia f: R (-1,1), unde f(x) = este bijectivă. 1+ x 9. Să se arate că funcţia f: (0, + ) (0,1), unde f(x) = Error! este inversabilă. Determinaţi inversa sa. 10. Să se arate că mulţimea A =(-1,1) are acelaşi cardinal ca şi mulţimea numerelor reale R.

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

LOGICA PENTRU INFORMATICĂ

LOGICA PENTRU INFORMATICĂ LOGICA PENTRU INFORMATICĂ (cu mai multe detalii) Facultatea de Informatică Universitatea Al.I.Cuza Iaşi (http://www.info.uaic.ro) Realitate Realitate: obiecte şi fenomene aflate în relaţii de interdependenţă

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z. Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ M Manual pentru clasa a 1-a Cuprins ALGEBRÃ 1. Grupuri... 6 1.1. Legi de compoziþie... 6 1.. Proprietãþi ale legilor de compoziþie... 9 1.3. Grupuri... 1.4. Exemple

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Tema/Unitatea: Numere reale. Radicali. Puteri. Logaritmi. Numere complexe. Funcții și ecuații

Tema/Unitatea: Numere reale. Radicali. Puteri. Logaritmi. Numere complexe. Funcții și ecuații Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Polarizarea tranzistoarelor bipolare

Polarizarea tranzistoarelor bipolare Polarizarea tranzistoarelor bipolare 1. ntroducere Tranzistorul bipolar poate funcţiona în 4 regiuni diferite şi anume regiunea activă normala RAN, regiunea activă inversă, regiunea de blocare şi regiunea

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, 17-22 august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Problema 1. Câte numere naturale de cinci cifre trebuie să scriem pentru

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

TEORIA PROBABILITĂŢILOR UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI,

TEORIA PROBABILITĂŢILOR UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI, Ariadna Lucia Pletea Liliana Popa TEORIA PROBABILITĂŢILOR UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI, IAŞI 999 Cuprins Introducere 5 Câmp de probabilitate 7. Câmp finit de evenimente...........................

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE METODA FUNCTIILOR GENERATOARE LIVIU I. NICOLAESCU ABSTRACT. In aceasta nota vom descriem o tehnica deosebit de flexibila de abordare a multor probleme de combinatorica enumerativa. CONTENTS Introducere.

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Folosirea formelor normale conduce la eliminarea multora din problemele de redondanţe şi anomalii enunţate anterior. Fie o schemă

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα