Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII"

Transcript

1 Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse de submulţimi printr-o funcţie. Cardinalul unei submulţimi. Evaluare: 1. Prezentarea noţiunulor importante introduse. 2. Rezolvarea problemelor finale MULŢIMI. În acest paragraf ne vom referi la câteva noţiuni de bază ale analizei matematice absolut necesare în abordarea acesteia. Vom presupune cunoscute şi nu vom defini riguros noţiuni primare ca: obiect, element, mulţime, colecţie, egalitate, proprietate. De exemplu, o mulţime poate fi dată prin: (1) A = {a, b, c, } - punând în evidenţă elementele sale, (2) B = {b: b are proprietatea P} - punând în evidenţă o proprietate caracteristică a elementelor mulţimii B. Faptul că a este un element al mulţimii A se notează prin a A, am utilizat aici semnul de apartenenţă. Contrariul acestuia este semnul de neapartenenţă, simbolizând că un element nu aparţine unei mulţimi. Dacă A este o parte (submulţime) a mulţimii B, simbolizăm aceasta prin semnul de incluziune, şi anume scriem A B. Utilizând semnele (implică) şi (echivalent) putem scrie: (3) (A B) (x A x B) Următoarele operaţii asupra mulţimilor sunt foarte des întâlnite: (4) Reuniunea: A B = {x: x A sau x B}; (5) Intersecţia: A B = {x: x A şi x B}; (6) Diferenţa: A - B = (A \ B) = {x: x A şi x B}; (7) Complementara: C B A = (A \ B) (aici am presupus că B A); (8) Produsul cartezian: A x B = {(a, b): a A, b B}; Ca de obicei semnul = indică egalitatea mulţimilor între care este pus şi vom avea: (9) (A = B) (A B şi B A); Dacă presupunem că A şi B sunt submulţimi de puncte ale planului, putem reprezenta operaţiile menţionate mai sus astfel:

2 10 Modulul 1 A A B B A B A B (10) A B A B A\B (A-B) C A B Dacă A şi B sunt submulţimi ale mulţimii (axei) numerelor reale, atunci A x B este o submultime a planului R 2. y B AxB A x Mulţimea fără nici un element o notăm cu şi se numeşte mulţimea vidă. Pentru o mulţime A familia submulţimilor acesteia formează o nouă mulţime pe care o notăm cu P(A) şi care se numeşte familia părţilor lui A. În continuare considerăm o multime totală E şi celelalte mulţimi care apar le considerăm ca fiind părţi ale lui E. Referitor la operaţiile cu mulţimi definite mai sus amintim câteva proprietăţi mai importante: (11) CA =, C A = A, CE( CE ) = A; (12) A B = B A (comutativitatea reuniunii); (13) (A B) C = A (B C) (asociativitatea reuniunii); (14) A = A, A E = E;

3 Mulţimi, Relaţii, Funcţii 11 (15) A B = B A (comutativitatea intersecţiei); (16) (A B) C = A (B C) (asociativitatea intersecţiei); (17) A =, A E = A; (18) CE( A B) = CEA CEB; (19) CE( A B) = CEA CEB. (18) si (19) sunt cunoscute sub numele de relaţiile lui De Morgan. (20) A x = ; A x B este în general diferit de B x A, adică produsul cartezian nu este comutativ. (21) (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea intersecţiei faţă de reuniune) (22) (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea reuniunii faţă de intersecţie) (23) (A B) x C = (A x C) (B x C); (A B) x C = (A x C) (B x C) (distributivitatea produsului cartezian faţă de reuniune, respectiv intersecţie). Demonstraţia egalităţilor precizate mai sus se poate face prin dublă incluziune. De exemplu, să demonstrăm egalitatea (18). Arătam mai întâi că CE( A B) CEA CEB. Fie x CE ( A B) x E şi x A B x E şi (x A) şi (x B) (x E si x A) şi (x E şi x B) x C E A şi x C E B x CEA CEB. Arătăm apoi că CEA CEB CE( A B) : Fie x CEA CEB (x E şi x A) şi (x E şi x B) x E şi (x A şi x B) x E şi x A B x CE ( A B). Din cele două incluziuni rezultă egalitatea (18). În continuare prezentăm mulţimile numerice de bază ale analizei matematice. Vom nota prin N mulţimea numerelor naturale: (24) N = { 123,,,...}; prin Z mulţimea numerelor întregi: (25) Z = {..., 3, 2, 10123,,,,,...}; si prin Q mulţimea numerelor rationale: p (26) Q = x: x =, p Z, q N. q Proprietăţile acestor mulţimi de numere le presupunem cunoscute. Probleme practice simple arată că aceste mulţimi de numere sunt insuficiente pentru a le rezolva. De exemplu, lungimea diagonalei unui pătrat având latura de lungime l (un număr raţional) nu va fi un număr raţional, deoarece este egal cu l 2, iar 2 nu poate fi scris sub forma p cu p Z, q N. De aici a apărut q

4 12 Modulul 1 necesitatea extinderii lui Q la o mulţime mai bogată, şi anume la mulţimea numerelor reale, notată cu R. Vom avea astfel: (27) N Z Q I = R, unde I este multimea numerelor iraţionale care o completează pe Q până la R. Mulţimea numerelor reale se poate defini direct punând în evidenţă elementele sale sau axiomatic, ca o mulţime de elemente ce satisface la anumite grupe de axiome. În mod direct, constructiv, R se defineşte ca fiind mulţimea numerelor de forma: r (28) 1 r2 rn x = r, r, r, r,..., r,... = r unde r i { 012 9} ( r [ x] ) n 10 2 n 10 10,,,..., iar r este un numar întreg denumit partea întreagă a lui x =. Această definiţie nu este prea comodă, deoarece în membrul drept din (28) apare o suma infinită de termeni care conduce inevitabil la o limită. Definiţia axiomatică a numerelor reale este mai comodă, şi prin axiomele ei regăsim proprietăţile submulţimilor ei considerate anterior. Prin mulţimea numerelor reale înţelegem mulţimea R care satisface următoarele grupe de axiome: (A1) Axiome de adunare: ( R,+ ) formează un grup comutativ, notăm cu 0 elemntul neutru si cu -x opusul unui element x. (A2) Axiome de înmulţire sau multiplicare: ( R \{ 0}, ) formează un grup comutativ, notăm cu 1 elementul neutru şi cu 1 x sau x 1 inversul elementului x faţă de operaţia multiplicativă. (A3) Axioma distributivităţii: xy+ z = x y+ x z, pentru orice x, y, z R, adică operaţia multiplicativă ( ) este distributivă faţă de cea aditivă şi deci ( R, +,) este un corp comutativ. Axiomele de mai sus nu-l determina pe R deoarece si multimea Q le verifică. De asemenea submulţimea { 01, } R verifică sistemul de axiome considerat anterior. (A4) Axiome de ordine: Oricare ar fi elementele x, y R se verifică cel puţin una din relaţiile x y sau y x si următoarele proprietăţi sunt satisfăcute: (A4.1.) x x, oricare ar fi x R, iar x y si y x implică x = y; (A4.2.) x y si y z implică x z; (A4.3.) x y implică x + z y + z, oricare ar fi z R; (A4.4.) 0 x, 0 y implică 0 x y.

5 Mulţimi, Relaţii, Funcţii 13 Nici sistemul de axiome enunţat până în prezent nu este suficient pentru a defini mulţimea numerelor reale, deoarece şi Q satisface la toate aceste axiome. Axioma finală pentru definirea mulţimii numerelor reale este axioma următoare, numită axioma marginii superioare. Pentru a enunţa însă această axiomă avem nevoie de câteva noţiuni pregătitoare: O mulţime nevidă A R se numeşte mărginită superior dacă există x R, astfel încât să avem a x, pentru orice a A, acest număr se numeşte margine superioară pentru mulţimea A. Numărul x R se numeşte cea mai mică margine superioară sau margine superioară strictă a mulţimii A dacă este margine superioră pentru mulţimea A şi pentru orice altă margine superioară x a lui A avem x x. Marginea superioară stricta a unei mulţimi A, dacă există, se notează prin sup A şi ea este unică. Într-adevar, dacă ar exista două margini stricte x 1 si x 2 pentru o mulţime nevidă A, atunci din x1 x2 şi x2 x1 rezultă că ele coincid. Analog se defineşte marginea inferioară strictă a unei mulţimi A şi se notează prin y = inf A. (A5) Axioma marginii superioare: Dacă A este o submulţime nevidă a mulţimii R, care este mărginită superior, atunci multimea A admite o margine superioară strictă şi aceasta este un element al lui R. Mulţimea numerelor reale poate fi pusă în corespondenţa biunivocă cu mulţimea punctelor unei drepte pe care s-a fixat o origine O, un sens si o unitate de măsură şi care de obicei este numită axa reală. Punctele de la infinit ale dreptei reale se notează cu ±. Mulţimea numerelor reale R completată cu cele două simboluri se noteaza R şi se numeşte închiderea mulţimii numerelor reale, R = R { ± }. Între aceste simboluri şi numerele reale se poate atribui sens unor operaţii, iar altora nu, de exemplu, x ± = ±, a = dacă a > 0, a = - dacă a < 0, + =, pe când 0, - sunt considerate operaţii fără sens. Daţi exemple de mulţimi. Construiţi pe baza mulţimilor date noi mulţimi, prin operaţiile prezentate. Prezentaţi câteva mulţimi numerice importante.

6 14 Modulul RELAŢII BINARE, RELAŢII DE ORDINE, RELAŢII DE ECHIVALENŢĂ Fie M o mulţime diferiţă de mulţimea vidă şi R M x M o parte a produsului cartezian a lui M cu ea însăşi. Mulţimea R se numeşte relaţie binară pe M. De exemplu, dacă M = Z putem considera: R = {(x, y): x, y Z şi x este divizibil cu y}. Faptul că (x, y) R se mai scrie x R y şi citim x se află în relaţia R cu y. Despre o relaţie binară R definită pe o mulţime M spunem că este: (1) reflexivă dacă x R x are loc pentru orice x M; (2) simetrică dacă x R y implică y R x; (3) antisimetrică dacă x R y şi y R x implică x = y; (4) tranzitivă dacă x R y şi y R z implică x R z. O relaţie binară R definită pe o mulţime nevidă M se numeşte: (5) relaţie de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă; (6) relaţie de ordine strictă dacă este tranzitivă; (7) relatie de echivalentă dacă este reflexivă, simetrică şi tranzitivă. Dacă R este o relaţie de ordine pe o mulţime M şi oricare ar fi x, y M are loc x R y sau y R x spunem că mulţimea M este total ordonată în raport cu relaţia R, în caz contrar spunem că M este parţial ordonată. Dacă R este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea M, atunci clasa de echivalenţă a unui element a M se defineşte prin a$ = { x M: xra}. Mulţimea claselor de echivalenţa ce pot fi formate din elementele mulţimii M se numeşte mulţime cât a lui M prin raport cu relaţia R şi se notează prin M / R. Dacă, de exemplu, considerăm M = R (mulţimea numerelor reale) atunci defineşte o relaţie de ordine totală pe R, < defineşte o relaţie de ordine strictă, iar x R y x - y = 0 defineşte pe R o relaţie de echivalenţă. Fie acum, M = { 1, 2,, 9 }, pe M definim relaţia binară x R y (x - 1) (x - 2)(x - 3) + (y - 1)(y - 2)(y - 3) = 0. Se constată uşor că relaţia R este simetrică şi tranzitivă dar nu este reflexivă. Definţi relaţiile binare de ordine şi relaţiile binare de echivalenţă. Construiţi exemple din relaţiile definite anterior. Construţi pentru relaţiile de echivalenţă considerate mulţimea claselor de echivalenţă.

7 Mulţimi, Relaţii, Funcţii IMAGINI DIRECTE, IMAGINI INVERSE DE SUBMULŢIMI PRINTR-O FUNCŢIE, CARDINALUL UNEI MULŢIMI Să considerăm acum două mulţimi M şi N. O relaţie binară de la M la N se defineşte ca o parte a produsului cartezian, F M N. Elementele lui M N se împart astfel în două clase, care aparţin lui F şi care nu aparţin lui F. Dacă pentru orice x M există în mod unic y N astfel ca (x, y) F atunci relaţia binară F se numeşte relaţie funcţională sau funcţie de la M la N. Se regăseşte astfel definiţia clasică a noţiunii de funcţie (aplicaţie) de la M la N prin care înţelegem o asociere la fiecare element x din M a unui element unic y din N. De fapt relaţia funcţională F M N se identifică cu graficul funcţiei M x f y N, adică F = {(x, f (x) ): x M }. Subliniem faptul că printr-o funcţie de la M la N înţelegem tripletul (M, N, f ), M se numeşte domeniul de definiţie, N se numeşte mulţime în care funcţia ia valori, iar f este corespondenţa de la M la N. Nu ne vom ocupa de cazul când unui element x M i se asociază o parte f(x) N, dar precizăm că de aceste cazuri se ocupa teoria funcţiilor multivoce sau a multifuncţiilor. Un caz particular de funcţie îl constituie şirul de elemente dintr-o mulţime M. Fie N mulţimea numerelor naturale. Se numeşte şir de elemente din M o aplicaţie f : N M. Dacă notăm an = f( n) atunci şirul realizează corespondenţa (succesiunea) n a n sau n 1 a n şi acest lucru se notează pe scurt prin { } { a n }. În esenta noţiunea de şir stabileşte o ordonare, o enumerare de termeni n N dintr-o mulţime, în corespondenţa cu mulţimea numerelor naturale sau cu o parte infinită a sa. Evident putem înlocui pe N cu N {0} sau cu N-{1, 2,, k}, k 1 enumerarea temenilor în corespondenţă cu N se păstrează. Fie o funcţie f : M N (definită pe M cu valori în N) şi A M. Mulţimea f(a) = {f(a) : a A} se numeşte imaginea submulţimii A prin funcţia f. Dacă considerăm A = M atunci f(m) se numeşte mulţimea valorilor funcţiei f. Evident f(a), f(m) sunt incluse în N. Fie acum B N. Prin 1 f ( B ) înţelegem mulţimea {x M: f(x) B} care se numeşte imaginea inversă sau contraimaginea lui B prin functia f. Imaginea directă şi imaginea inversă definite prin funcţia f : M N, considerate ca funcţii definite pe P(M) cu valori în P(N), respectiv pe P(N) cu valori în P(M), au următoarele proprietăţi ce decurg imediat din definiţie: a) f ( ) = ; b) dacă A B rezultă f (A) f (B);

8 16 Modulul 1 c) f (A B) = f (A) f (B); d) f (A B) f (A) f (B); e) f 1( ) = ; f) dacă P Q rezultă 1 f ( P) 1 f ( Q) g) f 1( P Q) f 1( P) f 1 = ( Q) ; h) 1 1 f ( P Q) f ( P) 1 = f ( Q) ; 1 1 i) f ( CA) = Cf ( A) ; unde A, B P(M) si P, Q P(N). Demonstraţia acestor proprietăţi se bazează pe definiţia egalităţii a două mulţimi, prin dublă incluziune. De asemenea extinderea la cazul reuniunii şi intersecţiei finite, respectiv numarabile, este imediată. Funcţia f pentru care f (M) = N se numeste surjectivă. Dacă pentru orice x1, x2 M şi x1 x2 implică fx ( 1) fx ( 2) atunci funcţia f se numeşte injectivă. Funcţiile f care sunt şi injective şi surjective se numesc funcţii bijective. Dacă f : M N este o functie bijectiva, atunci putem defini corespondenţa inversă (funcţia inversă) f : N M prin: dacă f (a) = b atunci 1 1 f ( b ) = a Deci clasa funcţiilor bijective coincide cu clasa funcţiilor inversabile, 1 adică a funcţiilor f : M N pentru care există f : N M, astfel ca: 1 ( )( ) 1 1 f o f a = f ( f( a) ) = f ( b) = a, a M (1) 1 1 f o f b = f f ( b) = f( a) = b, b N ( )( ) ( ) Fie acum P şi Q două mulţimi. Spunem că P şi Q sunt echipotente sau că au acelaşi cardinal dacă există o aplicaţie bijectivă f : P Q (evident atunci există şi 1 f : Q P ). Relaţia de echipotenţă este o relaţie de echivalenţă, adică P Q P şi Q sunt echipotente atrage după sine faptul că relaţia este o relaţie binară de echivalenţă. Spunem despre o mulţime M că este finită dacă ea este echipotentă cu o parte mărginită a mulţimii numerelor naturale. Dacă P este echipotentă cu {1, 2,, n} spunem că P are n elemente sau că are cardinalul n, adică card (P) = n. O mulţime P se numeşte numărabilă dacă este echipotentă cu mulţimea numerelor naturale; notăm acest fapt prin card (P) = χ 0 (prin alef zero fiind notat cardinalul numerelor naturale). O mulţime care este finită sau numărabilă se numeşte cel mult numărabilă. Dintre proprietăţile mulţimilor numărabile amintim : (2) reuniunea unui şir de mulţimi numărabile este o mulţime numărabilă; (3) produsul cartezian a doua mulţimi numărabile este numărabilă; (4) o reuniune numărabilă de mulţimi finite este cel mult numărabilă. ;

9 Mulţimi, Relaţii, Funcţii 17 În continuare ne vom referi la câteva proprietăţi ale mulţimii numerelor reale. Mulţimea numerelor reale R este nenumarabilă (nu poate fi pusă în corepondenţă biunivocă cu mulţimea numerelor naturale). Notăm card R = χ (alef) şi spunem că R are cardinalul χ sau că este de puterea continuului. De asemenea orice interval de forma (a, b) cu a < b este echipotent cu R, mulţimea Q este numărabilă iar mulţimea R - Q este nenumarabilă, aşadar putem spune că există mai puţine numere raţionale decât numere iraţionale. Dacă considerăm funcţiile : x a) f: ( 1, 1) R, f( x) = 2 1 x b) f: ( o, ) R, f( x) = lnx a x c) f: ( a, b) ( 0, ), f( x) = x b c d d) f ( a b) ( c d) f x a b d ad bc :,,, ( ) = + a d vom constata că toate sunt bijecţii şi deci mulţimile care apar mai sus sunt toate echipotente între ele şi au acelaşi cardinal cu R. Următoarea proprietate a numerelor reale este cunoscută sub numele de proprietatea lui Arhimede : Pentru orice numere reale fixate x, y R, x > 0 există n N astfel încât nx y. Aşadar se poate parcurge o distanţă oricât de mare y dar finită cu paşi oricât de mici x, căci există n 1 astfel ca x1 + 4x x y. Fie acum In [ an bn] astfel ca I0 I1 I2... In In+ 1..., şi dacă ( ) I n, adica li ( ) = b a şi lim n n n n =, n 0 un şir de intervale închise de numere reale I n n închise incluse afirma că intersecţia li n este lungimea intervalului = 0 atunci lema (proprietatea ) intervalelor I I n n 0, a acestor intervale este nevidă şi se reduce la un punct. Remarcăm că închiderea intervalelor este esenţială fiindcă dacă luam, de exemplu, In = 0, 1 n atunci celelalte condiţii de mai sus sunt îndeplinite şi totuşi I I n =. n 1 În practică mulţimea R a numerelor reale nu este suficientă pentru a exprima rezultatele obţinute. Chiar rezolvarea unei ecuaţii de gradul al doilea cu coeficienţi reali necesită introducerea numerelor complexe C = R + ir = {x + iy : x, y R, i 2 = 1}. Definiţi imaginea directă şi imaginea inversă a unei submulţimi printr-o funcţie.

10 18 Modulul 1 Definiţi funcţia injectivă, funcţia surjectivă, funcţia bijectivă şi funcţia inversabilă. Daţi exemplu de mulţimi finite şi mulţimi numărabile. Probleme finale : 1. Să se figureze în plan mulţimile: a) A = {(x, y) R 2 x y 2 0, x y > 1 } b) B = {(x, y) R 2 2x 2 + y 2 = 1, x, y 0 } 2. Fie A = {-2, -4} (-1, 0] şi B = [-2, 1) {3} [5, + ). Să se determine A B, A B, A B, A x B, (A B) (B A). 3. Să se compare mulţimile: A = {(x, y) R 2 x + y = 5 } şi B = {(x, y) R 2 2x 2 + 2y 2 25 }. 4. Fie A = {x R 2 x 5 } şi B = { x R 3 x 10}. Să se verifice egalitatea C(A B) = CA CB. 5. Fie A = {1,2,3,4} şi relaţia ρ A 2, ρ = {(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1) (2,3),(3,3),(3,2)}. Să se verifice că ρ este o relaţie binară : reflexivă, simetrică, antisimetrică şi transitivă. 6. Fie E = {1,2,3,4} şi relaţia ρ R 2, (x,y) ρ (x,y ) xy = x y. Să se arate că ρ este o relaţie binară de echivalenţă. Determinaţi clasele de echivalenţă C (1,2) şi C (2,3). 7. Fie relaţia ρ N 2 definită astfel x ρ y x y. Să se verifice că ρ este o relaţie de ordine pe N. x 8. Să se arate că funcţia f: R (-1,1), unde f(x) = este bijectivă. 1+ x 9. Să se arate că funcţia f: (0, + ) (0,1), unde f(x) = Error! este inversabilă. Determinaţi inversa sa. 10. Să se arate că mulţimea A =(-1,1) are acelaşi cardinal ca şi mulţimea numerelor reale R.

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006

TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006 1 TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1 Bucureşti, 2006 2 Profesorului meu NICOLAE RADU 3 PREFAŢĂ Lucrarea se adresează studenţilor din anul I de la facultăţile de matematică şi informatică din universităţi. În

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale

Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale Calitatea unei propoziţii matematice de a fi adevărată (sau falsă) se demonstrează (numim atunci propoziţia respectivă teoremă, lemă, propoziţie, corolar, etc)

Διαβάστε περισσότερα

Matematici în Criptografie. Adrian Atanasiu

Matematici în Criptografie. Adrian Atanasiu Matematici în Criptografie Adrian Atanasiu 3 Prefaţă În era digitală cum este şi firesc criptografia este omniprezentă. Tehnicile criptografice sunt folosite pentru a securiza comunicaţiile derulate prin

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Partea a II-a. Elemente de teoria mulţimilor şi aplicaţii

Partea a II-a. Elemente de teoria mulţimilor şi aplicaţii Partea a II-a Elemente de teoria mulţimilor şi aplicaţii Cuprins I. Logică, mulţimi, axiome... 2 I.1. Mulţimi, teorie naivă. Paradoxuri şi necesitatea axiomatizării... 2 I.2. Principiile axiomaticii Zermelo-Fraenkel...

Διαβάστε περισσότερα

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a IX-a

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a IX-a Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a IX-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Str. Academiei Nr. 14, Sector 1, Cod

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Mulțimi fuzzy. G. Oltean. Sisteme cu logica nuantata, 1 /27

Mulțimi fuzzy. G. Oltean. Sisteme cu logica nuantata, 1 /27 Mulțimi fuzzy Este dificil de stabilit cu certitudine apartenenţa sau neapartenenţa unui obiect dat la o clasă sau alta de obiecte. Noţiunea de mulţime clasică reprezintă mai degrabă o idealizare a situaţiilor

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα