Structura matematicii

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Structura matematicii"

Transcript

1 Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta Motivatie Geometrie de incidenta Geometrie metrica Sistemul axiomatic al lui Birkho pentru planul euclidian Teorie deductiva. Generalitati Pentru a preciza structura matematicii, este esential conceptul de sistem deductiv sau teorie deductiva. O teorie deductiva este data de: 1. un sistem de notiuni si de relatii N R = {N a, R b } (diferentierea de termeni are caracter lingvistic); 2. un sistem de propozitii corect construite P = {P c }, exprimate (exclusiv) cu elemente din N R; 3. un sistem de reguli de constructie C = {C d }; 4. un sistem de reguli de deductie D = {D e }; 5. un sistem de propozitii adevarate A = {A f }, ce indeplineste urmatoarele conditii: (a) A P; (b) P este stabila in raport cu C, adica prin aplicarea unor reguli de constructie unor propozitii corect construite se obtin tot propozitii corect construite; (c) A este stabila in raport cu D : din propozitii adevarate, prin reguli de deductie, se obtin tot propozitii adevarate. 1

2 O subteorie T a teoriei T este formata din subsisteme N R N R, P P, C C, D D, A A ce indeplinesc conditiile (a), (b), (c). Pentru o teorie matematica deductiva T se poate separa o subteorie L numita logica teoriei T, iar elementele din T \L formeaza partea specica a teoriei T. Se numeste axiomatizare a unei teorii T o subteorie T in care ecare din sistemele constitutive N R, P, C, D, A este nit dar care genereaza intreaga teorie T. Adica: folosind regulile de constructie C, din propozitiile corect construite P se obtin toate propozitiile corect construite P; aplicand regulile de deductie D, din propozitiile adevarate A sunt generate toate propozitiile adevarate A; iterand de un numar nit de ori regulile de constructie din C, respectiv pe cele de deductie din D, se obtin toate regulile de constructie din C, repectiv toate regulile de deductie din D; pentru elementele din N R\N R se presupune a exista denitii logice in care intervin doar elementele lui N R. Elementele din N R se numesc notiuni (relatii) primare, iar cele din N R\N R se numesc notiuni (relatii) derivate. Elementele din D se numesc reguli de deductie primare. Elementele din A se numesc axiome. Elementele din A\A se numesc teoreme. O succesiune de reguli de deductie ce porneste din A si ajunge la o teorema se numeste demonstratie a teoremei respective. Prin formalizare a unei teorii se intelege ca notiunile sale sunt considerate entitati pur formale, simple simboluri. Astfel, o propozitie corect construita este o succesiune acceptabila de simboluri. O regula de constructie exprima cum putem inlantui succesiuni acceptabile de simboluri incat rezultatul sa ramana acceptabil. Modul in care se decide daca o propozitie corect construita este adevarata constituie o chestiuna interna a teoriei respective, ce nu are semnicatii exterioare teoriei. O teorie deductiva este neformalizata daca toate notiunile si relatiile ei provin din abstractizarea sau esentializarea unei realitati existente apriori. Caracterul unei propozitii de a corect construita este o chestiune predominant lingvistica, iar apartenenta ei la clasa propozitiilor adevarate admite si o interpretare in cadrul realitatii de start. Este de dorit ca, intr-o axiomatizare a unei teorii neformalizate, propozitiile ce vor incluse in clasa axiomelor sa aiba un caracter evident. Logica unei astfel de teorii este cea uzuala si este numita logica bunului simt. Un exemplu de teorie axiomatica neformalizata este cea construita de Euclid pentru geometrie. O teorie axiomatica se numeste semiformalizata daca logica ei este neformalizata, ind cea a bunului simt, dar partea specica este formalizata. 2

3 Deci notiunile si relatiile primare sunt simboluri abstracte date initial in cadrul teoriei, iar axiomele sunt propozitii adevarate date si ele de la inceput in cadrul teoriei. Rationamentele devin sucient de riguroase, de aceea majoritatea teoriilor matematice actuale, precum algebra, geometria, analiza sunt teorii axiomatice semiformalizate. Ca exemple amintim sistemul axiomatic al lui Peano pentru numerele naturale, sistemele axiomatice ale lui Hilbert si Birkho pentru geometria plana si in spatiu. Numim formalizata o teorie axiomatica in care sunt formalizate si partea specica si logica. Se obtine un maxim de rigoare dar urmarirea axiomelor, teoremelor si demonstratiilor devine extrem de dicila. Este cazul axiomatizarii formalizate a teoriei multimilor, facuta de Zermelo. Analiza unei teorii axiomatice (structura interna, proprietatile ei, relatiile cu alte teorii) poarta numele de metateorie. Va invitam sa parcurgeti materialul bibliograc pentru a aa mai multe despre metateoria sistemelor axiomatice. Se numeste structura matematica o multime prevazuta cu anumite relatii, astfel incat elementele sale si relatiile date satisfac un sistem de axiome. Considerand ca notiuni primare elementele multimii date, relatiile primare relatiile date, si drept axiome cele precizate, se obtine teoria axiomatica a structurii matematice. Notiunea de structura matematica este folosita de Bourbaki pentru clasicarea teoriilor matematice. 3

4 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 2.1 Motivatie Incepand cu clasa a VI-a, geometria euclidiana plana este introdusa pornind la la notiunile primare de punct, dreapta, plan, relatia primara de apartenenta (incidenta) a unui punct la o dreapta. Axiomele de incidenta sunt prezentate ca propozitii evidente. Toate aceste elemente ale teoriei axiomatice sunt date initial intr-un mod intuitiv. Apoi profesorul explica elevilor ca punctul, dreapta, planul vor privite ca niste concepte abstracte. Pe parcursul intregului an, cel mai dicil obiectiv al predarii geometriei va tocmai formarea conceptelor abstracte. Dupa argumentarea (pe baza axiomelor) a pozitiilor relative a doua drepte in plan, se introduce axioma riglei ce arma existenta unui sistem de coordonate pe orice dreapta. Aceasta armatie nu socheaza elevii, deoarece inca din clasa I ei au reprezentat numerele naturale pe o dreapta, au masurat apoi lungimi de segmente. Deci, intr-un mod intuitiv, neriguros, elevii au fost familiarizati cu ideea de distanta si sistem de coordonate. Dar de abea acum, in clasa a VI-a, se introduce printr-o axioma acest adevar deja familiar lor. De asemenea se deneste distanta intre doua puncte ale unei drepte. Faptul ca exista o bijectie intre multimea punctelor oricarei drepte si multimea numerelor reale, va ajuta la introducerea unei alte relatii, acum derivate, aceea de a intre pe multimea punctelor. Chiar daca elevii nu cunosc o constructie riguroasa a multimii numerelor reale, ei stiu sa compare numere rationale. Relatia de ordine pe multimea numerelor rationale, cat si cea pe multimea numerelor reale (chiar daca neriguros introdusa) ii ajuta sa simta cand un punct-abstract este situat intre alte doua puncte-abstracte. Ideea este deci de a incerca construirea unei teorii deductive axiomatice folosind proprietatile numerelor reale, deoarece elevii au lucrat deja multi ani cu conceptul abstract de numar (ce-i drept, cel mult rational). Avand acest concept deja format, treptat ei vor ajunge sa simta si punctul, dreapta, planul ca niste concepte abstracte. Facand aceasta paralela intre proprietatile numerelor si a notiunilor primare geometrice, vor invata sa demonstreze o propozitie matematica adevarata doar pe baza axiomelor si a propozitiilor adevarate deja demonstrate (teoreme). Intr-un cuvant, se vor obisnui cu demonstratiile riguroase. Deoarece modul de predare al geometriei plane in clasa a VI-a se bazeaza pe sistemul axiomatic al lui Birkho, iar acesta este un exemplu de tratare metrica a geometriei plane, vom face o incursiune, consideram utila, in aceasta metoda de constructie a unei teorii deductive. Nu vom prezenta in totalitate sistemul axiomatic al lui Birkho, dar vom puncta aspectele esentiale, apoi vom incerca o comparatie cu sistemul axiomatic al lui Hilbert. Pentru tratarea completa a celor doua sisteme axiomatice, va invitam sa parcurgeti materialele din bibliograa precizata. 4

5 2.2 Geometrie de incidenta Consideram perechea (S, L) cu S o mulµime nevida ale carei elemente le numim puncte (³i le notam A, B,...) ³i L o colecµie de submulµimi nevide ale lui S numite drepte (³i le notam a, b,...). Deniµie i) Elementele unei submulµimi de puncte P S se numesc coliniare daca l L a.î. P l. În caz contrar ele se numesc necoliniare. ii) Spunem ca A = (S, L) este o geometrie abstracta daca sunt satisfacute condiµiile: A1) orice dreapta are cel puµin doua puncte distincte: l L A, B S, A B a.î. A l ³i B l; A2) orice doua puncte distincte sunt coliniare: A, B S, A B, l L a.î. A L ³i B L. Exemple de geometrii abstracte: I. Planul euclidian E = (R 2, L E ) unde L E = {L a, L m,n / a, m, n R} este multimea dreptelor verticale : L a = {(x, y) R 2 / x = a} si neverticale: L m,n = {(x, y) R 2 / y = mx + n}. Se verica imediat ca E este o geometrie abstracta. II. Planul hiperbolic H = (H, L H ) cu H = {(x, y) R 2 / y > 0} semiplanul (euclidian) superior, L H = { a L, c L r, / a, c, r R, r > 0} multimea dreptelor hiperbolice: drepte de tipul I: a L = {(x, y) H / x = a} (semidrepte euclidiene verticale); drepte de tipul II: cl r = {(x, y) H /(x c) 2 + y 2 = r 2 } (semicercuri euclidiene cu originea pe dreapta euclidiana y = 0. Va invitam sa vericati ca H constituie o geometrie abstracta. Observam ca date doua puncte distincte P, Q H, centrul dreptei de tip II ce trece prin cele doua puncte se obtine ca intersectia dintre mediatoarea euclidiana a segmentului (P Q) si dreapta euclidiana y = 0. In ambele exemple anterioare se remarca unicitatea dreptei ce trece prin doua puncte date. E usor de vericat si ca oricare ar o dreapta a geometriei respective, exista puncte exterioare ei. III. Sfera lui Riemann R = {S 2, L R } S 2 = {(x, y, z) R 3 / x 2 +y 2 +z 2 = 1} (sfera unitate a spatiului euclidian), iar L R = {C/C cerc mare al sferei}, 5

6 C = {(x, y, z) S 2 / ax + by + cz = 0, a 2 + b 2 + c 2 > 0}. Deci dreptele acestei geometrii sunt cercurile euclidiene mari ale sferei, obtinute ca intersectia dintre sfera si planuri euclidiene prin centrul sferei. Vericati ca si R este o geometrie abstracta. Observatia ca exista puncte distincte, si anume cele diametral opuse in sfera, prin care trec o innitate de drepte. IV. Geometria celor trei puncte G 3 = (S = {A, B, C}, L = {{A, B}, {A, C}, {B, C}). Este probabil unul dintre cele mai simple exemple de geometrii abstracte nite. Deci aici spatiul este format din 3 puncte distincte, iar dreptele sunt submultimile formate din cate doua puncte distincte din cele trei date. V. Alt exemplu de geometrie nita G 1 = (S = {A, B, C}, L = {{A, B, C}}) Aceasta geometrie are doar o dreapta. Observam ca in exemplul III avem o geometrie abstracta in care ecare dreapta admite puncte exterioare dar in care exista puncte distincte prin care trec mai multe drepte (mai exact o innitate). In cazul geometriei abstracte de la V, dreapta data nu admite puncte exterioare, deci toate punctele sunt coliniare. Se simte necesitatea introducerii unei alte denitii, care sa diferentieze diversele geometrii prezentate anterior: Denitie Spunem ca o geometrie abstracta (S, L) este o geometrie de incidenµa daca in plus sunt satisfacute si axiomele: A3) dreapta l data de axioma (2) este unica; (in acest caz notam l = AB aceasta dreapta); A4) exista 3 puncte distincte necoliniare. Din cele expuse pana acum, se observa ca planul euclidian, planul hiperbolic, geometria celor trei puncte sunt exemple de geometrii de incidenta, pe cand sfera lui Riemann si geometria nita de la V nu sunt geometrii de incidenta. Geometria plana studiata in clasele VI-VII are ca model geometria de incidenta E. Credem ca recunoasteti in axiomele (A1)-(A4) axiomele de incidenta prezentate ca propozitii adevarate in clasa a VI-a. Denitie Dreptele distincte a, b L ale unei geometrii abstracte se numesc paralele (notam a b) dac a b =. Propoziµie Fie dreptele a, b intr-o geometrie de incidenµa a.î. mulµimea a b are cel puµin doua puncte distincte. Atunci a = b. Demonstraµie: Fie P, Q a b, P Q. Din (A3) avem a = P Q = b. 6

7 Corolar Într-o geometrie de incindenµa, doua drepte distincte sau sunt paralele sau se intersecteaza in exact un punct. Astfel regasim pozitiile relative cunoscute pentru geometria euclidiana plana: doua drepte pot confundate, paralele sau concurente. Observatie 1) In cazul planului euclidian, printr-un punct exterior unei drepte trece o singura paralela la acea dreapta. Vericati! In cazul planului hiperbolic, printr-un punct punct exterior unei drepte hiperbolice trec o innitate de drepte hiperbolice paralele cu dreapta data (sunt drepte de tipul II). Vericati! Pentru sfera lui Riemann, printr-un punct exterior unei drepte sferice nu trece nici o dreapta paralela cu dreapta data. (Intr-adevar, oricare doua cercuri mari ale unei sfere se intersecteaza, deci nu pot paralele). Se vede de aici necesitatea introducerii unei axiome a paralelelor. Apar astfel trei geometrii: euclidiana, hiperbolica si sferica. 2) Relatia de paralelism pe multimea dreptelor unei geometrii abstracte nu este intotdeauna tranzitiva. De exemplu: S = {A, B, C, D, E}, L = {{A, B}, {A, E}, {C, D}}. Se observa ca {A, B} {C, D}, {A, E} {C, D} si {A, B} {A, E}. 2.3 Geometrie metrica Deniµie i) Numim metrica sau distanµa pe S o funcµie d : S S R cu proprietaµile: D1. (pozitivitatea) d(a, B) 0 A, B S; d(a, B) = 0 A = B; D2. (simetria) d(a, B) = d(b, A) A, B S; Perechea (S, d) se numeste spaµiu metric. Observatie: in unele carti apare ca axioma a distantei si inegalitatea triunghiulara. Aceasta insa se poate demonstra ulterior folosind si alte axiome diferite de cele de incidenta. Denitii: i) Un spaµiu metric este marginit daca M > 0 a.î. A, B S : d(a, B) M. ii) Funcµia ϕ : (S, d) ( S, d) intre doua spaµii metrice este o izometrie daca este surjectiva si invariaza distanµa: A, B S : d(a, B) = d(ϕ(a), ϕ(b)). Observaµie Demonstrati ca orice izometrie este injectiva ³i deci orice izometrie este bijecµiva. 7

8 Exemple de distante: 1. Fie S = R ³i d : R R R, d(x, y) = y x. Se verica imediat axiomele de spaµiu metric pe care il vom nota (R, ). Observam ca (R, ) este nemarginit. 2. Exemple de distante pe planul euclidian E : (a) distanta euclidiana: A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ), d E (A, B) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 ; (1) (b) distanta taxiului : A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ), d T (A, B) = x 1 x 2 + y 1 y 2 ; (2) (c) distanta maximului: A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ), d M (A, B) = max{ x 1 x 2, y 1 y 2 }. (3) Exercitiu: Vericati ca functiile denite prin (1), (2) respectiv (3) sunt distante pe E. Reprezentati intr-un sistem de axe ortogonale multimea S 1 = {A = (x, y) R 2 / d(a, O) = 1}, unde O = (0, 0), pe rand pentru cele trei distante date. Recunoasteti ca este vorba despre cercul cu centrul in origine si raza 1. Sa retinem deci ca pot exista mai multe functii distanta pentru o aceeasi geometrie. Deniµii i) Fie (S, L, d) o geometrie de incidenµa care este spaµiu metric ³i l L. Se numeste sistem de coordonate (sau rigla) pe dreapta l orice izometrie f : (l, d l ) (R, ). Deci f : l R este bijectie (sucient sa cerem surjectie) si A, B l : d(a, B) = f(b) f(a). Numarul f(a) se numeste coordonata lui A l relativ la sistemul de coordonate f. ii) Tripletul (S, L, d) se numeste geometrie metrica daca verica axioma riglei: (AR) l L admite un sistem de coordonate. 8

9 ca Observaµie 1) O parametrizare pe l L este o functie bijectiva α : R l cu proprietatea d(α(x), α(y)) = x y, x, y R. Daca f este un sistem de coordonate pe l atunci f 1 este o parametrizare a lui l ³i reciproc, daca α este o parametrizare a lui l atunci α 1 este un sistem de coordonate pe l. Deci intr-o geometrie metrica orice dreapta admite o parametrizare. 2) Un sistem de coordonate f pe dreapta l permite o identicare din punctul de vedere al spaµiilor metrice a lui l cu dreapta reala R. Teorema (E, d E ), (E, d T ), (E, d M ) sunt geometrii metrice. Demonstratie: Stim deja ca avem trei geometrii de incidenta si ca cele trei functii sunt distante pe planul euclidian. Mai ramane sa demonstram ca pentru orice dreapta putem determina un sistem de coordonate. Pentru d E : e dreapta L m,n si f m,n : L m,n R, f m,n (x, mx + n) = 1 + m 2 x. Evident aceasta este o bijecµie. Pentru A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ) L m,n avem: d E (A, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (mx 2 + n mx 1 n) 2 = = x 2 x m 2 = 1 + m 2 x m 2 x 1 = = f m,n (B) f m,n (A), ceea ce arata ca f m,n este un sistem de coordonate pe L m,n. Pentru o dreapta verticala este si mai simplu: f a : L a R, f a (a, y) = y. Pentru d T : denim f m,n : L m,n R, f m,n (x, mx + n) = (1 + m )x. Aceasta funcµie este bijecµie. In plus d T (A, B) = x 2 x 1 + mx 2 + n mx 1 n = x 2 x 1 + mx 2 mx 1 = = (1 + m ) x 2 x 1 = (1 + m )x 2 (1 + m )x 1 = = f m,n (B) f m,n (A). Pentru dreptele verticale sistemul de coordonate se deneste ca si pentru distanta euclidiana. Exercitiu: determinati un sistem de coordonate pe dreapta L m,n pentru distanta d max. Deci pe spatiul de puncte al unei geometrii de incidenta putem construi o functie distanta astfel incat sa obtinem o geometrie metrica. Insa nu orice functie distanta pe o geometrie de incidenta verica axioma riglei. 9

10 Contraexemplul urmator sprijina cele armate: Fie spaµiul metric (S, d). Atunci { d d(a, B), d(a, B) 1 (A, B) = 1, d(a, B) > 1 este o metrica pe S ³i nu exista o geometrie de incidenµa a.î. (S, L, d ) sa e geometrie metrica. Demonstraµie Pozitivitatea ³i simetria lui d sunt evidente. Partea a doua a concluziei este consecinµa faptului ca (R, ) este spaµiu metric nemarginit, iar (S, d ) este spaµiu metric marginit M = 1. Pentru a determina o metrica pe planul hiperbolic, construim mai intai o parametrizare pentru ecare tip de dreapta, apoi obtinem sisteme de coordonate pe ecare dreapta si, in sfarsit, ajungem la o formula pentru distanta hiperbolica. Teorema Tripletul H = (R 2 +, L H, d h ), cu y2 ln y 1, daca A, B a L d h (A, B) =, x2 c+r ln y 2 x 1 c+r, daca A, B c L r y 1 formeaza o geometrie metrica: geometria hiperbolica plana (modelul semispaµiu). Demonstraµie Fie a f : al R, a f(a, y) = ln y. Observam ca aceasta funcµie este corect denita caci y > 0. Cum funcµia logaritm este bijecµie (cu inversa functia exponenµiala) rezulta ca a f este bijecµie. Avem: d h (A, B) = ln y 2 y 1 = ln y 2 ln y 1 = a f(b) a f(a), deci a f este un sistem de coordonate pe a L. Pentru partea a doua a demonstraµiei sa observam ca ( 2 ( 2 sinh t 1 cosh t) + cosh t) = 1 ³i parametrizam c L r astfel: Fie { x c = r sinh t cosh t y = r 1 cosh t, t R. cf r : c L r R, c f r (x, y) = ln x c + r. y r sinh t+r cosh t r Avem c f r (x, y) = ln = ln e t = t, deci c f r este bijecµie. In plus x2 c+r d h (A, B) = ln y 2 x 1 c+r = cf r (B) c f r (A). y 1 10

11 Observatie: Putem construi o functie distanta si pe sfera lui Rieman, dar neavand o geometrie de incidenta nu putem vorbi de o geometrie metrica. In schimb denim spatiul proiectiv real (spatiul cat S 2 /, relatia de echivalenta ind A = (x, y, z) B = (x 1, y 1, z 1 ) A = +/ B). Dreptele vor multimea claselor de echivalenta corespunzatoare punctelor cercurilor mari ale sferei. Se obtine astfel o geometrie de incidenta pe care putem deni o metrica. Cei interesati pot studia [3]. Sa facem cateva observatii utile asupra formei sistemelor de coordonate pe o geometrie metrica generala: Propoziµie Fie (S, L, d) o geometrie metrica, punctul P S ³i dreapta l prin P. Atunci r R + exista P r l a.î. d(p, P r ) = r. Demonstraµie Fie numarul real f l (P ) ± r. Cum f l este surjectiva exista P r l a.î. f l (P r ) = f l (P ) ± r f l (P r ) f l (P ) = r. Cum f l (P r ) f l (P ) = d(p, P r ) rezulta d(p, P r ) = r. Corolar Daca (S, L, d) este o geometrie metrica atunci orice dreapa l L este mulµime innita (din axioma 1 a deniµiei unei geometrii abstracte ³tim doar Card(l) 2). Corolar Pe un spaµiu metric nit sau numarabil nu putem avea o geometrie metrica. Propoziµie Fie f : l R un sistem de coordonate pe dreapta l, ε = ±1 ³i a R. Atunci funcµia h f,ε,a : l R, h f,ε,a (P ) = εf(p ) + a este sistem de coordonate pe l. Demonstraµie Fie x R oarecare ³i numarul real x a ε. Cum f este surjectiva A l a.î. f(a) = x a ε h f,ε,a (A) = x. Deci h f,ε,a este surjecµie. Fie A, B l oarecare: h f,ε,a (B) h f,ε,a (A) = εf(b) εf(a) = ε f(b) f(a) = d(a, B). Astfel, h f,ε,a este un sistem de coordonate pe l. Exemple: h f,1,0 = f, h f,1,a este translaµia de marime a, iar h f, 1,0 este simetria faµa de origine. Teorema riglei Fie dreapta l intr-o geometrie metrica ³i A, B l distincte. Atunci exista un sistem de coordonate g pe l cu g(a) = 0 ³i g(b) > 0. Demonstraµie Fie f un sistem de coordonate pe l, a = f(a) ³i h f,1, a sistemul de coordonate dat de propoziµia anterioara. Avem h f,1, a (A) = f(a) a = 0. Daca h f,1, a (B) > 0 luam g = h f,1, a, iar daca h f,1, a (B) < 0 luam 11

12 g = h f,1, a = h f, 1,a. Deniµie Sistemul de coordonate g dat de teorema riglei se nume³te sistemul de coordonate cu originea A ³i B pozitiv. Propoziµie Fie l o dreapta in geometria metrica (S, L, d) ³i f, g doua sisteme de coordonate pe l. Atunci ε { 1, +1} ³i a R a.î. g = h f,ε,a. Demonstraµie Fie P 0 l a.î. f(p 0 ) = 0 ³i e a = g(p 0 ). Avem pentru P S: f(p ) = f(p ) f(p 0 ) = d(p, P 0 ) = g(p ) g(p 0 ) = g(p ) + a, adica f(p ) = { ±(g(p ) + a). Presupunem prin reducere la absurd ca P 1, P 2 f(p1 ) = g(p S\{P 0 } 1 ) + a a.î. f(p 2 ) = g(p 2 ) a. Avem: d(p 1, P 2 ) = f(p 2 ) f(p 1 ) = g(p 2 ) a g(p 1 ) a = = g(p 1 ) + g(p 2 ) + 2a. Cazul I. g(p 2 ) g(p 1 ) = g(p 1 ) + g(p 2 ) + 2a g(p 1 ) = a = g(p 0 ) P 0 = P 1 fals. Cazul II. g(p 2 ) g(p 1 ) = g(p 1 ) g(p 2 ) 2a g(p 2 ) = a = g(p 0 ) P 0 = P 2 fals. Deci P S avem sau f(p ) = g(p )+a g = h f,1, a sau f(p ) = g(p ) a g = h f, 1, a. In momentul de fata avem construita o geometrie metrica (S, L, d) si am determinat toate tipurile de sisteme de coordonate existente pentru o astfel de geometrie xata. De asemenea am demonstrat teorema de asezare a riglei. Axiomele precizate pana acum pentru studiul unei geometrii metrice sunt: axiomele de incidenta (A1)-(A4), axioma distantei ce precizeaza existenta unei functii d : S S R cu proprietatile (D1) si (D2) cat si axioma riglei (AR). Am dat modele pentru o geometrie de incidenta metrica: planul euclidian cu cele trei metrici, planul hiperbolic cu d h. In continuare ne vom referi la planul euclidian inzestrat cu metrica euclidiana, dar precizarile pe care le vom face sunt satisfacute pentru orice geometrie de incidenta metrica. 12

13 2.4 Sistemul axiomatic al lui Birkho pentru planul euclidian Nu avem intentia de a detalia riguros intreaga constructie axiomatica a geometriei plane urmand sistemul axiomatic al lui Birkho, ci doar sa precizam principalele etape. In anul I cursul de geometrie analitica incepea cu prezentarea sistemului axiomatic al lui Hilbert pentru geometria in spatiu. Daca ne limitam doar la axiomele referitoare la geometria plana, putem compara cele doua sisteme axiomatice. Sa reamintim, pentru sistemul axiomatic al lui Birkho: Notiuni primare: punct, dreapta, plan. Relatie primara: apartenenta unui punct la o dreapta (A d). Axiomele de incidenta: (A1) orice dreapta are cel puµin doua puncte distincte: l L A, B S, A B a.î. A l ³i B l; (A2) orice doua puncte distincte sunt coliniare: A, B S, A B, l L a.î. A L ³i B L; (A3) oricare ar doua puncte A, B S, exista cel mult o dreapta care le contine; (A4) exista 3 puncte distincte necoliniare. (A5) Axioma distantei: exista pe S o funcµie d : S S R cu proprietaµile: D1. (pozitivitatea) d(a, B) 0 A, B S; d(a, B) = 0 A = B; D2. (simetria) d(a, B) = d(b, A) A, B S. (A6) Axioma riglei: Orice dreapta admite un sistem de coordonate. In acest moment introducem relatia derivata a intre: Denitie Punctul B se aa intre punctele A si C (notam A B C) daca A, B, C sunt puncte coliniare distincte si d(a, B) + d(b, C) = d(a, C). Folosind bijectia intre multimea punctelor dreptei si multimea numerelor reale, bijectie data de un sistem de coordonate, se demonstreaza urmatoarele proprietati ale relatiei a intre: Teorema 1) Daca A B C, atunci C B A. 2) Dintre oricare trei puncte distincte de pe o dreapta, unul si numai unul este situat intre celelalte doua. 13

14 3) Oricare puncte distincte de pe o dreapta pot notate intr-o ordine A, B, C, D astfel ca A B C D. 4) Daca A, B sunt doua puncte distincte oarecare, atunci exista un punct C astfel ca A B C si exista un punct D astfel ca A D B. 5) Daca A B C, atunci A, B, C sunt coliniare si diferite. In toate aceste demonstratii este esentiala proprietatea: (f(a) < f(b) < f(c)) (f(a) > f(b) > f(c) A B C. Sa facem o prima comparatie cu sistemul axiomatic al lui Hilbert. In cazul acestui sistem axiomatic, relatia a intre este o relatie primara, data prin intermediul unui set de axiome, numite axiome de ordine. Ele contin cu aproximatie proprietatile incluse in teorema de mai sus. (Revedeti cursul din anul I!!) In plus, aceasta grupa de axiome mai contine si axioma lui Pash care, vom vedea, este o teorema in cazul sistemului Birkho. In ambele sisteme axiomatice se introduc notiunile derivate de segment, semidreapta, unghi si triunghi. Datorita bijectiei dintre multimea punctelor unei drepte si R, introducerea notiunii de semidreapta este mult mai simpla in cazul sistemului Birkho. De exemplu, segmentul de capete A, B este notat cu (AB) si se deneste prin (AB) = {C / A C B}. Fie A, B l, l L. Semidreapta (AB (semidreapta de la A spre B) se deneste prin (AB = {C / C A B}, unde am notat prin C A B negatia relatiei a intre (A nu se aa intre C si B). Se introduce o noua axioma: (A7) axioma de separare a planului: Data o dreapta l intr-un plan P, multimea punctelor planului ce nu apartin dreptei l este reuniunea a doua multimi P 1, P 2 disjuncte, a.i. ecare dintre ele este convexa daca A P 1 si B P 2, atunci (AB) l. Fiecare din cele doua multimi P 1, P 2 poarta numele de semiplan marginit de dreapta l. Cu ajutorul notiunii de semiplan se denesc notiunile derivate: interiorul unui unghi, respectiv al unui triunghi. Teorema lui Pash (ce apare ca axioma de ordine a sistemului axiomatic Hilbert) poate acum demonstrata: Teorema Fie un triunghi ABC si l o dreapta din acelasi plan. Daca l contine un punct E intre A si C, atunci l intersecteaza sau pe (AB), sau pe (BC). Facem observatia ca in lucrarile lui Pash aceasta teorema apare ca o axioma, si axioma de separare a planului este o teorema demonstrata cu ajutorul axiomei lui Pash, exact ca in cazul sistemului axiomatic al lui Hilbert. 14

15 Pe baza proprietatilor de separare prezentate anterior, se mai pot demonstra numeroase probleme de incidenta, pe care va invitam sa le studiati [1]. Congruenta segmentelor apare ca o relatie derivata (pe multimea segmentelor), introdusa prin intermediul distantei: doua segmente (AB) si (CD) sunt congruete daca d(a, B) = d(c, D). Notam (AB) (CD). Daca introducem anterior acestei denitii pe aceea a lungimii unui segment (distanta intre capetele sale), este preferabil sa denim congruenta a doua segmente prin intermediul lungimii segmentelor respective. Se demonstreaza o serie de proprietati legate de relatia de congruenta a segmentelor: 1. Congruenta segmentelor este o relatie de echivalenta; 2. Teorema de constructie a unui segment: e segmentul (AB) si semidreapta (CD. Exista un unic punct E (CD astfel incat (AB) (CE). Urmariti in manualul de clasa a VI-a modul in care aceasta teorema este data ca o problema de constructie a unui segment congruent cu un segment dat. 3. Teorema de adunare a segmentelor: daca A B C, A B C a.i. (AB) (A B ) si (BC) (B C ), atunci (AC) (A C ). 4. Teorema de scadere a segmentelor: daca A B C, A B C a.i. (AB) (A B ) si (AC) (A C ), atunci (BC) (B C ). 5. Orice segment are un mijloc unic. Pentru a deni congruenta a doua unghiuri, este necesara introducerea unei functii masura a unghiurilor: (A8) Axioma functiei masura a unghiurilor: Exista o functie cu proprietatile: m : U [0, 180], U = multimea tuturor unghiurilor (Ax. de constructie a unghiurilor) Fie (AB o semidreapta ce margineste un semiplan P. Pentru orice numar real α [0, 180], exista o semidreapta unica (AC cu C P a.i. m(ĉab) = α; (Ax. adunarii unghiurilor) Daca D Int BAC atunci m( BAC) = m( BAD)+ m( DAC); (Ax. suplementului) Daca doua unghiuri sunt cu laturile in prelungire, atunci ele sunt suplementare. Folosind proprietatile masurii unghiurilor, se poate demonstra faptul ca relatia de congruenta a unghiurilor este o relatie de echivalenta, cat si o teorema de constructie a unui unghi congruent cu un unghi dat, o teorema de adunare si 15

16 una de scadere a unghiurilor. In cazul sistemului axiomatic al lui Hilbert, relatia de congruenta a segmentelor este o relatie primara, data impreuna cu relatia de congruenta a unghiurilor, ale caror proprietati sunt date in grupa axiomelor de congruenta. Aceasta contine 2 axiome legate de congruenta segmentelor (axioma de existenta a unui segment congruent cu un segment dat, axioma adunarii unghiurilor), doua axiome legate de congruenta unghiurilor (axioma existentei unghiului congruent cu un unghi dat, axioma de adunare a unghiurilor) si axioma LUL de congruenta a triunghiurilor, data evident dupa denirea relatiei derivate de triunghiuri congruente. Aparent, calea este mai directa in acest ultim set de axiome (Hilbert), dar introducerea functiei masura a unghiurilor simplica demonstratiile. Putem deni acum unghiul drept, e ca un unghi de masura 90, e ca un unghi congruent cu suplementul sau. Pentru a obtine mai multe proprietati de perpendicularitate, se deneste mai intai congruenta a doua triunghiuri apoi, introducand (A9) Axioma L.U.L. se demonstreaza toate cazurile de congruenta a triunghiurilor. Aceste cazuri sunt aplicate in teorema de existenta a perpendicularei duse dintr-un punct exterior unei drepte pe acea dreapta. Unici-tatea acestei perpendiculare necesita insa introducerea axiomei paralelelor. In cazul sistemului axiomatic al lui Hilbert, dupa introducerea celor 3 grupe de axiome (de incidenta, de ordine si de congruenta), cu toate notiunile derivate di teoremele deduse din ele, se contureaza ideea demonstrarii existentei unui sistem de coordonate pe ecare dreapta si a unei functii distanta. Legatura cu R se face aici prin axiomele de continuitate: Cantor si Arhimede. Deci, e ca tratam metric geometria plana, construind teoria deductiva (axiomatica) bazata pe geometria metrica (S, L, d) si restul de axiome, e pe cele 4 grupe de axiome (Hilbert), obtinem ceea ce se numeste geometria absoluta. Alegand acum o axioma a paralelelor, putem obtine: geometria euclidiana: (Ax. euclidiana a paralelelor): e dreapta l si punctul P / l, exista o singura dreapta l a.i. (P l ) (l l). geometria hiperbolica: (Ax. paralelelor a lui Lobacevschi): e dreapta l si punctul P / l. Atunci exista cel putin doua drepte prin P, paralele cu l. geometria sferica: (Ax. Paralelelor a lui Riemann): nu exista doua drepte in acelasi plan care sa e paralele. 16

17 Exista o serie de modele pentru ecare dintre aceste geometrii si la inceputul acestei sectiuni am construit cate unul pentru ecare. Ne oprim aici cu fuga prin cele doua sisteme axiomatice. Speram ca v-am trezit sucient interesul pentru a studia in detaliu cel putin unul dintre ele. References [1] E. Moise, Geometrie elementara dintr-un punct de vedere superior, E.D.P Bucuresti, 1980; [2] I. Vaisman, Fundamentele matematicii, E.D.P bucuresti, 1968; [3] R.S. Millman, G.D. Parker, Geometry: a metric approach with models, Springer-Verlag, 1982; [Br] D. Branzei, Metodica predarii matematicii, Ed. Paralela 45, Pitesti,

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic O adaptare didactica a unui sistem axiomatic Oana Constantinescu In acest document dorim sa prezentam o adaptare a unui sistem axiomatic semiformalizat pentru geometria in plan si in spatiu. Spunem adaptare

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr.

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr. I UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Specializarea Matematică-Informatică, linia de studiu română 29 Iunie I 1 2 3 I 4 5 MATEM 6 MATEM 7 Bibliografie I Motivaţia:

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI GEOMETRICE ALE FIGURILOR DIN PLAN ŞI SPAŢIU

CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI GEOMETRICE ALE FIGURILOR DIN PLAN ŞI SPAŢIU CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI GEOMETRICE ALE FIGURILOR DIN PLAN ŞI SPAŢIU In urma parcurgerii acestui capitol: veţi obţine informaţii generale despre transformări geometrice şi despre predarea lor, veţi reactualiza

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg

Διαβάστε περισσότερα

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VI-a

Subiecte Clasa a VI-a Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3 6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă

Διαβάστε περισσότερα

Capitole speciale de geometrie pentru profesori. Camelia Frigioiu

Capitole speciale de geometrie pentru profesori. Camelia Frigioiu apitole speciale de geometrie pentru profesori amelia Frigioiu Galaţi, 2010 2 uprins 1 Geometrie sintetică plană 1 1.1 oncurenţa liniilor importante într-un triunghi............ 1 1.1.1 oncurenţa medianelor,

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

BISECTOAREI GLISANTE

BISECTOAREI GLISANTE ÎN LEGĂTURĂ CU TEOREMA BISECTOAREI GLISANTE de ANDREI ECKSTEIN, TIMIŞOARA În aceast articol ne propunem să reunim diverse proprietăţi cunoscute, legate de teorema bisectoarei glisante şi de bogatul ei

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1 2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4.1. GENERALITĂŢI În general corpurile geometrice sunt în poziţii oarecare faţă de planele de proiecţie. Prin metodele geometriei descriptive proiecţiile acestor corpuri

Διαβάστε περισσότερα

P A + P C + P E = P B + P D + P F.

P A + P C + P E = P B + P D + P F. Fie P un punct situat în interiorul cercului C. Prin punctul P se duc trei coarde care determină în jurul punctului P şase unghiuri de 60. Notăm A, B, C, D, E, F (în ordine) capetele acestor coarde. Arătaţi

Διαβάστε περισσότερα

2. CALCULE TOPOGRAFICE

2. CALCULE TOPOGRAFICE . CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 LUNGIMI, ARII, VOLUME

Capitolul 2 LUNGIMI, ARII, VOLUME Capitolul LUNGIMI, ARII, VOLUME In urma parcurgerii acestui capitol: veţi obţine o vedere de ansamblu asupra locului în programa analitică din învăţământul secundar a noţiunilor de lungime, arie, volum,

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

CU PRIVIRE LA CONDIŢIA DE DERIVABILITATE ÎN REDUCŢIE *

CU PRIVIRE LA CONDIŢIA DE DERIVABILITATE ÎN REDUCŢIE * CU PRIVIRE LA CONDIŢIA DE DERIVABILITATE ÎN REDUCŢIE * Balzer, Moulines şi Sneed oferă într-un proiect recent 1 o discuţie extinsă a celor mai importante relaţii interteoretice globale. Printre ele, reducţia

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα