Εκπαίδευση Νευρο-ασαφούς Ταξινοµητή Προτύπων Με Τη Χρήση Τεχνικών Επιβλεπόµενης Μάθησης ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εκπαίδευση Νευρο-ασαφούς Ταξινοµητή Προτύπων Με Τη Χρήση Τεχνικών Επιβλεπόµενης Μάθησης ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Εκπαίδευη Νευρο-ααφούς Ταξινοµητή Προτύπων Με Τη Χρήη Τεχνικών Επιβλεπόµενης Μάθηης ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΡΙΣΤΕΙ ΗΣ Π. ΛΑΝΑΡΙ ΗΣ Επιβλέπων : Ανδρέας Γεώργιος Ν. Σταφυλοπάτης Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Φεβρουάριος 006

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Εκπαίδευη Νευρο-ααφούς Ταξινοµητή Προτύπων Με Τη Χρήη Τεχνικών Επιβλεπόµενης Μάθηης ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΡΙΣΤΕΙ ΗΣ Π. ΛΑΝΑΡΙ ΗΣ Επιβλέπων : Ανδρέας-Γεώργιος Σταφυλοπάτης Καθηγητής Ε.Μ.Π. Εγκρίθηκε από την τριµελή εξετατική επιτροπή την η Φεβρουαρίου Ανδρέας-Γεώργιος Σταφυλοπάτης Καθηγητής Ε.Μ.Π.... Στέφανος Κόλλιας Καθηγητής Ε.Μ.Π.... Παναγιώτης Τανάκας Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Φεβρουάριος 006

4 ... ΑΡΙΣΤΕΙ ΗΣ Π. ΛΑΝΑΡΙ ΗΣ ιπλωµατούχος Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιτών Ε.Μ.Π. Coprgt ΑΡΙΣΤΕΙ ΗΣ Π. ΛΑΝΑΡΙ ΗΣ 006 Mε επιφύλαξη παντός δικαιώµατος.all rgts rsrvd. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευη και διανοµή της παρούας εργαίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για εµπορικό κοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωη, αποθήκευη και διανοµή για κοπό µη κερδοκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύης, υπό την προϋπόθεη να αναφέρεται η πηγή προέλευης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. Ερωτήµατα που αφορούν τη χρήη της εργαίας για κερδοκοπικό κοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον υγγραφέα. Οι απόψεις και τα υµπεράµατα που περιέχονται ε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον υγγραφέα και δεν πρέπει να ερµηνευθεί ότι αντιπροωπεύουν τις επίηµες θέεις του Εθνικού Μετόβιου Πολυτεχνείου. 5

5 Περίληψη Αντικείµενο της διπλωµατικής εργαίας είναι η αύρµατη κατανεµηµένη υλοποίηη ενός νευροααφούς ταξινοµητή προτύπων και η εκπαίδευη του µε τη χρήη ενιχυτικής µάθηης. Απώτερος κοπός είναι η δηµιουργία µίας φορητής υκευής που θα λαµβάνει πληροφορίες από έναν αθενή, µέω αιθητήρων που θα φέρει πάνω του, και θα εξάγει υµπεράµατα για την κατάταη του. Συγκεκριµένα, το κεφάλαιο γίνεται ειαγωγή την ααφή λογική, τις αρχές της ααφούς υλλογιτικής και τα ααφή υτήµατα. Στο κεφάλαιο ειάγονται βαικές έννοιες των νευρωνικών δικτύων και περιγράφεται η λειτουργία ενός ταξινοµητή προτύπων. Επιπλέον, γίνεται ειαγωγή το πρόβληµα της οµαδοποιηης προτύπων και την ενιχυτική µάθηη. Στο κεφάλαιο 3 εξετάζεται µία προέγγιη το πρόβληµα της οµαδοποίηης προτύπων βαιµένη ε µία παραλλαγή του αλγορίθµου FCM. Στο κεφάλαιο 4 αναλύεται η αρχιτεκτονική του νευροααφούς µοντέλου που θα χρηιµοποιηθεί, βαιµένη το ύτηµα SupFuNIS. Στο κεφάλαιο 5 περιγράφεται η διαδικαία της µάθηης, βαιµένη ε µία προαρµογή των αλγορίθµων REINFORCE την αρχιτεκτονική του µοντέλου που χρηιµοποιήθηκε. Στο κεφάλαιο 6 περιγράφεται το γραφικό περιβάλλον και η λειτουργία του προγράµµατος. Στο κεφάλαιο 7 παρατίθενται τα πειραµατικά αποτελέµατα που προέκυψαν από τη χρήη του υτήµατος. Λέξεις Κλειδιά ααφής λογική, νευρωνικά δίκτυα, νευροααφή υτήµατα, ταξινόµηη προτύπων, ενιχυτική µάθηη, αλγόριθµοι REINFORCE, SuPFuNIS 6

6 Abstrat T purpos of t prsnt dploma tss s mplmntng a rlss dstrbutd fuzz-nural lassfaton sstm and tranng t sstm usng rnformnt larnng tnqus. T man purpos s programmng a mobl dv so as to ollt data from snsors and us t data to nfr a dagnoss rlvant to t mdal ondton of a patnt. Spfall, Captr ntrodus fuzz log and fuzz sstms. Captr s an ntroduton to nural ntors and pattrn lassfaton. Clustrng and rnformnt larnng ar also ntrodud on ts aptr. Captr 3 dsrbs a fuzz lustrng algortm basd on t FCM algortm. Captr 4 analss t arttur of t lassfaton sstm. Captr 5 dsrbs t rnformnt larnng algortm usd, basd on REINFORCE algortms. Captr 6 dsrbs t usr-ntrfa of t rsultng mplmntaton. Fnall, t rsults of t smulaton prmnts ar prsntd on Captr 7. K Words fuzz log, nural ntors, fuzz-nural sstms, pattrn lassfaton, rnformnt larnng, REINFORCE, SuPFuNIS 7

7 Ευχαριτίες Για την εκπόνηη της παρούας διπλωµατικής εργαίας θα ήθελα να ευχαριτήω κατά κύριο λόγο τον καθηγητή κ. Α. Γ. Σταφυλοπάτη, ο οποίος µε τη υµπαράταη και τις υµβουλές του υπήρξε ο κύριος καθοδηγητής µου την µελέτη αυτή. Επίης επιθυµώ να ευχαριτήω τον υποψήφιο διδάκτορα Χρ. Φερλέ για τις ώρες που διέθεε βοηθώντας να ξεπερατούν τα ηµαντικά προβλήµατα που προέκυψαν καθ όλη τη διάρκεια της διαδικαίας. 8

8 9

9 Περιεχόµενα Eιαγωγή 3. Ααφής Λογική 7. Ααφή ύνολα 7.. Ειαγωγή 7.. Βαικοί οριµοί 8..3 Οι τρείς θεµελιώδεις πράξεις των ααφών υνόλων 9..4 Συναρτήεις υµµετοχής 0. Ααφής υλλογιτική.. Γλωικές µεταβλητές, και γλωικοί διαµορφωτές.. Γενικευµένοι Κανόνες του Θέτειν και του Αναιρείν ( Modus ponns και Modus Tollns..3 Ααφείς χέεις 3.3 Ααφή υτήµατα 6.3. Αρχιτεκτονική ααφών υτηµάτων 6.3. Μονάδα ααφοποίηης Μονάδα απο-ααφοποίηης Ααφής βάη γνώης Μηχανιµός ααφούς υλλογιµού 9 Νευρωνικά δίκτυα 3. Βαικές έννοιες 3.. Ειαγωγή 3.. Το µοντέλο του τεχνητού νευρονίου 3..3 Αρχιτεκτονική νευρωνικών δικτύων Μάθηη Εφαρµογές 39. Ταξινόµηη προτύπων 39.. Το πρόβληµα της ταξινόµηης 39.. Το απλό prptron Πολυτρωµατικό prptron 4.3 Οµαδοποίηη προτύπων (Clustrng Το πρόβληµα της οµαδοποίηης προτύπων Είδη οµαδοποίηης προτύπων Ιεραρχικοί αλγόριθµοι ιαµεριτικοί αλγόριθµοι Αλγόριθµος -µέων Οµαδοποίηη QT (Qualt Trsold Οµαδοποίηη FCM (Fuzz -mans lustrng 45.4 Ενιχυτική µάθηη Το πρόβληµα της ενιχυτικής µάθηης Μοντέλο υτήµατος ενιχυτικής µάθηης Κριτήρια βέλτιτης υµπεριφοράς Συνάρτηη αξιολόγηης (Valu Funton και εξίωη Bllman Μάθηη Χρονικής ιαφοράς ( Tmporal Dffrn Μάθηη Q Εξερεύνηη και εκµετάλλευη της υπάρχουας γνώης 5 0

10 3 Οµαδοποίηη προτύπων µε τη χρήη ααφών επικαλύψεων Ειαγωγή Ααφής επικάλυψη (fuzz ovr ηµιουργία οµάδων µε τη χρήη των ααφών επικαλύψεων ηµιουργία της ααφούς επικάλυψης του κάθε δείγµατος Εύρεη του ελάχιτου αριθµού επικαλύψεων που περικλείουν το ύνολο δεδοµένων Συνένωη των ααφών επικαλύψεων ε οµάδες Καταλληλότητα του λ Υπολογιµός υνάρτηης υµµετοχής 66 4 Νευροααφές Σύτηµα Εξαγωγής Συµπεραµάτων Γενικά χαρακτηριτικά Αρχιτεκτονική και τρόπος λειτουργίας του µοντέλου Μετάδοη του ήµατος τους κόµβους ειόδου Μέτρο οµοιότητας Μετάδοη ήµατος βαιµένη την οµοιότητα Στρώµα κανόνων Στρώµα εξόδου Εξαγωγή κανόνων από εκπαιδευµένο δίκτυο 78 5 Μάθηη 8 5. Παραδοχές και υµβολιµοί 8 5. Κριτήριο επίδοης της ενιχυτικής µάθηης Αλγόριθµοι REINFORCE Ενιχυτικό Σήµα Ο αλγόριθµος -NN Υπολογιµός Ενιχυτικού Σήµατος Επιλογή του Rnformnt Basln Υπολογιµός της Caratrst Elgblt Συνάρτηη πιθανότητας κόµβων εξόδου Υπολογιµός µερικών παραγώγων Επιβλεπόµενη µάθηη 93 6 Περιγραφή λειτουργίας Srvr Παράθυρο αρχικοποίηης Παράθυρο εκπαίδευης P.D.A Παράθυρο επικοινωνίας µε τον Srvr Παράθυρο επικοινωνίας µε τους αιθητήρες Αιθητήρες Μοναδικός αιθητήρας Πολλαπλοί αιθητήρες 03 7 Πειραµατικά Αποτελέµατα Ειαγωγή Σύνολα δεδοµένων Πειραµατική µέθοδος Εκπαίδευη µε µέρος του υνόλου δεδοµένων. 07

11 7.3. Εκπαίδευη µε αλλοιωµένα πρότυπα Τερµατιµός της εκπαίδευης Παράµετροι της εκπαίδευης Ρυθµός µάθηης Σχέη µεταξύ ploraton και plotaton Γραφικές παρατάεις Πειράµατα µε µέρος του υνόλου δεδοµένων 7.6. Πειράµατα µε αλλοιωµένα πρότυπα Πίνακες αποτελεµάτων 7.8 Πειραµατικά αποτελέµατα οµαδοποίηης προτύπων Βιβλιογραφία 30

12 Ειαγωγή 3

13 Ειαγωγή Σκοπός της παρούας διπλωµατικής εργαίας είναι η δηµιουργία µίας φορητής υκευής η οποία θα λειτουργεί ως αυτο-εκπαιδεύοµενο ύτηµα διάγνωης. Η υκευή θα δέχεται δεδοµένα από αιθητήρες που θα βρίκονται πάνω το ώµα ενός αθενούς και θα επιτελεί δύο λειτουργίες. Η πρώτη είναι η διάγνωη : To ύτηµα θα πρέπει βάει των τιµών των βιοηµάτων που δέχεται από τους αιθητήρες να εξάγει υµπεράµατα για την κατάταη του αθενούς. Η δεύτερη είναι η αυτο-εκπαίδευη : To ύτηµα θα είναι ε θέη να χρηιµοποιεί τα δεδοµένα αυτά για την εκπαίδευη του, ώτε να αυξάνει µακροπρόθεµα την ακρίβεια των διαγνώεων του. Στην πράξη, τα παραπάνω θα επιτευχθούν µε τη δηµιουργία ενός νευροααφούς ταξινοµητή προτύπων και την εκπαίδευη του µε τη χρήη τεχνικών ενιχυτικής µάθηης. Η επιλογή να βαιτεί το ύτηµα ε ένα νευροααφή ταξινοµητή προτύπων έγινε για του εξής λόγους : Η διάγνωη µπορεί να θεωρηθεί ως µία ειδική περίπτωη διαδικαίας ταξινόµηης, κατά την έννοια ότι κάθε ο αθενής, βάει ενός αριθµού παραµέτρων (βιοηµάτων, κατατάεται ε έναν προκαθοριµένο αριθµό κατηγοριών (πχ. υγιής η αθενής. Κατά υνέπεια είναι εύλογη η χρήη ενός ταξινοµητή προτύπων. Το ύτηµα πρέπει να είναι ε θέη να ταξινοµεί πρότυπα τα οποία δεν έχει γνωρίει. Κατά υνέπεια είναι ενδεδειγµένη η χρήη νευρωνικών δικτύων λόγω της γενικευτικής ικανότητας τους. Η διαδικαία εµπεριέχει λεκτική περιγραφή πολλών παραµέτρων, καθώς και έναν τρόπο υλλογιµού που προεγγίζει την ανθρώπινη κέψη. Γίνεται λοιπόν χρήη της ααφούς λογικής για να αντιτοιχιτούν τα παραπάνω ε αριθµητικά µεγέθη. Το νευροααφές ύτηµα που θα χρηιµοποιηθεί θα βαιτεί το ύτηµα SupFuNIS[4]. To εν λόγω µοντέλο χρηιµοποιεί τη υνηθιµένη αρχιτεκτονική ενός νευροααφούς υτήµατος µε ένα κρυµµένο τρώµα κανόνων, παρουιάζει όµως οριµένες ιδιαιτερότητες. Κατ αρχάς, χρηιµοποιεί ένα εκπαιδευόµενο ααφοποιητή ειόδου, ο οποίος µετατρέπει τα αριθµητικά δεδοµένα ειόδου ε ααφή ύνολα. Κατά τον τρόπο αυτό, όλες οι πληροφορίες που διαδίδονται από το τρώµα ειόδου προς το τρώµα κανόνων είναι ααφείς. Ακολούθως, υπολογίζει την ενεργοποιήεις των κόµβων χρηιµοποιώντας ένα µηχανιµού ύνθεης βαιµένου ε κάποιο κριτηρίου οµοιότητας ααφών υνόλων, εν αντιθέει µε τη υνηθιµένη προέγγιη να χρηιµοποιείται ο τελετής mn για να βρεθεί η τελική ενεργοποίηη. Τέλος, για τον υπολογιµό των εξόδων δε χρηιµοποιείται η υνηθιµένη µέθοδος του κέντρου βάρους, αλλά µία παραλλαγή της, η µέθοδος της ποοτικής αποααφοποιηης. Για τη διαδικαία της εκπαίδευης, κρίθηκε αναγκαία η χρήη τεχνικών ενιχυτικής µάθηης, καθώς ο ταξινοµητής δέχεται µία ειρά από πρότυπα ειόδου προς ταξινόµηη, χωρίς να έχει καµµία ένδειξη για το ε ποια κατηγορία ανήκει το καθένα από αυτά. Ο αλγόριθµος που χρηιµοποιήθηκε για την εκπαίδευη, βαίτηκε ε µία προαρµογή των µεθόδων της οικογένειας αλγορίθµων REINFORCE[8] τα ιδιαίτερα χαρακτηριτικά του µοντέλου µας. Η επιλογή αυτή έγινε λαµβάνοντας υπ όψην δύο βαικές ιδιαιτερότητες που παρουιάζει το πρόβληµα της ταξινόµηης ε χέη µε τα υνηθιµένα προβλήµατα ενιχυτικής µάθηης. Αφ ενός είναι πρόβληµα υχετιτικό, δηλαδή το ζητούµενο είναι η 4

14 αντιτοίχηη κάθε διανύµατος ειόδου ε ένα διάνυµα εξόδου, και αφ ετέρου, είναι πρόβληµα το οποίο το ενιχυτικό ήµα καθοριζεται µόνο από την πιο πρόφατη ενέργεια του δικτύου. Οι αλγόριθµοι REINFORCE εκµεταλλεύονται τα δύο αυτά χαρακτηριτικά, παρέχοντας αυξηµένες επιδόεις. Ο τελικός τόχος της εργαίας είναι η υλοποίηη του παραπάνω νευροααφούς ταξινοµητή ε λογιµικό, και η λειτουργία και εκπαίδευη του ε ένα µικρό, φορητό υπολογιτή (Prsonal Dgtal Assstant/P.D.A.. Ο χρήτης της τελικής εφαρµογής θα υνδέεται αρχικά µε ένα εξυπηρετητή (srvr από τον οποίο θα λαµβάνει αύρµατα τα δεδοµένα του προβλήµατος. Εν υνεχεία, θα δέχεται βιοήµατα αθενών από αιθητήρες και βάει αυτών θα εκετελεί τη διάγνωη και την εκπαιδευη. Αναλυτικότερα, η διαδικαία αποτελείται από τρία υνολικά τάδια : Κατά το πρώτο, γίνεται η αρχικοποίηη του ταξινοµητή τον εξυπηρετητή. Προαιρετικά, κατά το τάδιο αυτό παρέχεται το χρήτη και η δυνατότητα να χρηιµοποιήει επιβλεπόµενη µάθηη για να εκπαιδεύει το ύτηµα για έναν οριµένο αριθµό εποχών, διευκολύνοντας έτι τη διαδικαία της ενιχυτικής µάθηης επακολουθεί. Στη υνέχεια, ο χρήτης του P.D.A., υνδέεται µε τον εξυπηρετητή και λαµβάνει αύρµατα τις τιµές των βαρών που αποτελούν το δίκτυο, καθώς και το ύνολο δεδοµένων (datast του προβλήµατος. Τέλος, το P.D.A. λαµβάνει τιµές από αιθητήρες που βρίκονται πάνω ε έναν αθενή. Βάει των τιµών αυτών εκτελεί διάγνωη, ενώ τη υνέχεια τις χρηιµοποιεί για να ανανεώει τα βάρη του δικτύου µε τη χρήη του αλγορίθµου ενιχυτικής µάθηης που χρηιµοποιείται. Η διαδικαία επαναλαµβάνεται κάθε φορά που το P.D.A λαµβάνει νέες τιµές από τους αιθητήρες. Όπως γίνεται εµφανές, το λογιµικό που αποτελεί την εφαρµογή αποτελείται απο τέερα επιµέρους τµήµατα: Το λογιµικό του εξυπηρετητή, το οποίο περιλαµβάνει τους αλγορίθµους αρχικοποιηης του δικτύου και της εκπαίδευης µε επιβλεπόµενη µάθηη. Το λογιµικό του P.D.A., το οποίο περιλαµβάνει τον αλγόριθµο ενιχυτικής µάθηης. Το λογιµικό που αφορά τη λειτουργία των αιθητήρων. Το λογιµικό που επιτελεί την αύρµατη επικοινωνία µεταξύ όλων των παραπάνω υκευών. Τέλος, ανεξάρτητα από τα παραπάνω, το πλαίιο της παρούας εργαίας εξετάζεται και ένας αλγόριθµος ααφούς οµαδοποίηης προτύπων (fuzz lustrng. O αλγόριθµος υλοποιεί µια παραλλαγή του γνωτού αλγορίθµου FCM (Fuzz-C- Mans, βαιµένη ε µία γενίκευη της έννοιας της ααφούς επικάλυψης (fuzz ovr ενός ααφούς υνόλου. Στο κείµενο που ακολουθεί αναπτύονται οι µέθοδοι που χρηιµοποιήθηκαν, περιγράφεται η λειτουργία του τελικού υτήµατος, και παρατίθενται τα αποτελέµατα που εξάγονται µε τη χρήη του. Αναλυτικά, το κεφάλαιο γίνεται ειαγωγή την ααφή λογική, τις αρχές της ααφούς υλλογιτικής και τα ααφή υτήµατα. Στο κεφάλαιο ειάγονται βαικές έννοιες των νευρωνικών δικτύων και περιγράφεται η λειτουργία ενός ταξινοµητή προτύπων. Επιπλέον, γίνεται ειαγωγή το πρόβληµα της οµαδοποιηης προτύπων και την ενιχυτική µάθηη. Στο κεφάλαιο 3 εξετάζεται µία προέγγιη το πρόβληµα της οµαδοποίηης προτύπων βαιµένη ε µία παραλλαγή του αλγορίθµου FCM. Στο κεφάλαιο 4 αναλύεται η αρχιτεκτονική του νευροααφούς µοντέλου που θα χρηιµοποιηθεί, βαιµένη το 5

15 ύτηµα SupFuNIS. Στο κεφάλαιο 5 περιγράφεται η διαδικαία της µάθηης, βαιµένη ε µία προαρµογή των αλγορίθµων REINFORCE την αρχιτεκτονική του µοντέλου που χρηιµοποιήθηκε. Στο κεφάλαιο 6 περιγράφεται το γραφικό περιβάλλον και η λειτουργία του προγράµµατος. Στο κεφάλαιο 7 παρατίθενται τα πειραµατικά αποτελέµατα που προέκυψαν από τη χρήη του υτήµατος. Τέλος, το CD που υνοδεύει το κείµενο παρατίθεται ο πλήρης κώδικας Java που υλοποιεί το ύτηµα που περιγράφηκε παραπάνω. 6

16 Κεφάλαιο Ααφής Λογική 7

17 ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ Όπως έγινε αφές από την ειαγωγή, κοπός της παρούας εργαίας είναι η δηµιουργία ενός υτήµατος που θα χρηιµεύει την ιατρική διάγνωη, της οποίας το πρόβληµα παρουιάζει δύο ιδιαιτερότητες. Η διάγνωη από τη φύη της είναι µία διαδικαία που εκτός από καθαρά αριθµητικά µεγέθη (παλµοί της καρδίας, αρτηριακή πίεη, αιµατοκρίτης κλπ., εµπεριέχει και άλλες παραµέτρους, οι οποίες δεν είναι δυνατόν να αντιτοιχιτούν µονοήµαντα ε κάποια αριθµητική τιµή (όπως το αν ο αθενής είναι νέος ε ηλικία, ή αν βρίκεται ε καλή φυική κατάταη, ή αν είναι περιότερο ή λιγότερο άρρωτος. Χρειάζεται λοιπόν ένας τρόπος για να αντιτοιχιτούν οι παράµετροι αυτές, που δίνονται µε τρόπο περιγραφικό, ε αριθµητικά µεγέθη. Επιπλέον, κατά τη διάγνωη, το ύτηµα καλείται, λαµβάνοντας υπόψην του τις παραµέτρους που δίνονται, να βγάλει υµπεράµατα προεγγίζοντας κατά το δυνατόν τη υλλογιτική που θα ακολουθούε ένας άνθρωπος. Πρέπει δηλαδή να είναι ε θέη να επεξεργατεί περιγραφικά δεδοµένα και να βγάλει υµπεράµατα από αυτά βάει της γνώης που έχει για το πρόβληµα. Τα παραπάνω καθιτούν κατάλληλο εργαλείο για την επίλυη του προβλήµατος την ααφή υλλογιτική, της οποίας οι βαικές έννοιες αναπτύονται το κεφάλαιο αυτό. Αρχικά ορίζονται τα ααφή ύνολα, τα οποία αποτελούν τη βάη της θεωρίας. Στη υνέχεια, περιγράφεται ο µηχανιµός του ααφούς υλλογιµού. Τέλος δείχνεται πώς ο µηχανιµός αυτός αξιοποιείται τη δηµιουργία ααφών υτηµάτων.. Ααφή ύνολα.. Ειαγωγή Η έννοια του υνόλου κατέχει κεντρική θέη την επιτήµη των Μαθηµατικών και αποτελεί θεµελιώδη ύλληψη πάνω την οποία δοµείται το οικοδόµηµα των Μαθηµατικών και γενικότερα όλων των θετικών επιτηµών. Όπως ακριβώς δεν µπορεί κανείς να ορίει µε αυτηρό τρόπο το τί είναι αριθµός ή ευθεία, έτι δε µπορεί να ορίει αυτηρά και το τί είναι ύνολο. Ο άνθρωπος µαθαίνει και κατανοεί τις έννοιες αυτές όχι µόνο µέω οριµών αλλά κυρίως µέω παραδειγµάτων. Έτι, χρειαζόµατε να επιτρατεύουµε την ικανότητά µας αυτή για να αντιληφθούµε την έννοια του υνόλου. Έτω λοιπόν το ύνολο Χ και τυχαίο τοιχείο. Τότε είναι προφανές ότι µόνο ένα από τα παρακάτω µπορεί να ιχύει : Το ανήκει το Χ ή το δεν ανήκει το Χ και υµβολικά : X ή X Τα µαθηµατικά τηρίζονται κατά βάη τη υνολοθεωρία και αυτή τηρίζεται εξ ολοκλήρου ε ένα αξίωµα βαιµένο τη διχοτοµία (ανήκει ή δεν ανήκει. Αµφιβητώντας τη διχοτοµία, η κλαική υνολοθεωρία καταρρέει από τα θεµέλια της και τη θέη της παίρνει µία άλλη προέγγιη, η θεωρία των ααφών υνόλων. 8

18 .. Βαικοί οριµοί Ένα ύνολο Χ περιγράφεται µε δύο τρόπους : Απαριθµώντας τα τοιχεία του (µόνο για ύνολα µε πεπεραµένο αριθµό τοιχείων : X,..., { }, n Ορίζοντας µία κοινή ιδιότητα που πρέπει να πληρούν τα τοιχεία του υνόλου. Βάει αυτού του δεύτερου τρόπου, εξετάζονται όλα τα τοιχεία που ανήκουν το υπερύνολο αναφοράς. Εκείνα που πληρούν την κοινή ιδιότητα ανήκουν το ύνολο, ενώ εκείνα που δεν την πληρούν, δεν ανήκουν. Η έννοια του ααφούς υνόλου βαίζεται την ιδέα ότι ένα τοιχείο δεν είναι απαραίτητο να καθοριτεί µονοήµαντα αν ανήκει ή όχι ε ένα ύνολο, αλλά µπορεί να ανήκει το ύνολο ε κάποιο βαθµό που προδιορίζεται από µία υνάρτηη υµµετοχής µ, η οποία παίρνει τιµές το διάτηµα [0,]. Έτι, θεωρώντας ένα υπερύνολο αναφοράς Χ, ένα ααφές ύνολο Α ορίζεται ως εξής : {(, µ ( X, ( : X [0,] } A µ Α Α Είναι φανερό ότι βάει του οριµού αυτού, ένα κλαικό ύνολο µπορεί να θεωρηθεί ως µία ειδική περίπτωη ενός ααφούς υνόλου το οποίο η υνάρτηη υµµετοχής παίρνει µόνο τις τιµές {0,}. Σχ..: Γραφική παράταη ααφούς υνόλου Α και της αντίτοιχης υνάρτηης υµµετοχής Ένα ααφές ύνολο Α υµβολίζεται : A µ n Α ( /... µ Α( n / n µ Α( / αν είναι πεπεραµένο και : µ Α X A ( / αν είναι άπειρο. 9

19 Έτω το υπερύνολο αναφοράς Χ και Α ένα ααφές υπούνολο του Χ. Τότε : Το κλαικό υπούνολο Supp(A του Χ καλείται τήριγµα (support του ααφούς υπουνόλου όταν και µόνο όταν : supp(a { X : µ ( Α 0} Το κλαικό υπούνολο L a A του Χ καλείται α-τοµή (α-ut του ααφούς υπουνόλου Α, όταν και µόνο όταν : A L a { X : µ ( a} Α Εάν A, B X,τότε : A B, όταν και µόνο όταν µ Α ( µ B( A B, όταν και µόνο όταν µ Α ( µ B( A B, όταν και µόνο όταν µ Α( µ B( και υπάρχει X µ ( < µ ( Α B τέτοιο ώτε..3 Οι τρείς θεµελιώδεις πράξεις των ααφών υνόλων Κυρίαρχο ρόλο την έννοια του ααφούς υνόλου παίζει η υνάρτηη υµµετοχής (mmbrsp funton, πάνω την οποία δοµούνται οι τρείς θεµελιώδεις πράξεις των ααφών υνόλων: Τοµή : C A B {(, µ C ( X, µ C ( mn( µ A(, µ B( } Ένωη : C A B {(, µ ( X, µ ( ma( µ (, ( } C C A µ B C Συµπλήρωµα : A {(, µ C ( X, µ C ( µ ( } A Στο χήµα. φαίνεται παράδειγµα της ένωης και της τοµής δύο ααφών υνόλων A A 0

20 Σχ..: ύο ααφή ύνολα, η τοµή τους και η ένωή τους Για τις πράξεις αυτές ιχύουν οι γνωτές από τα κλαικά ύνολα ιδιότητες : D Morgan Αντιµετάθεη Προεταιριµός Επιµεριµός..4 Συναρτήεις υµµετοχής Όπως φάνηκε από τους παραπάνω οριµούς, ένα ααφές ύνολο περιγράφεται πλήρως από τη υνάρτηη υµµετοχής του. Αν και υπάρχουν άπειρες πιθανές µορφές της υνάρτηης αυτής, τρεις είναι οι υχνότερα χρηιµοποιούµενες :. Τριγωνική υνάρτηη υµµετοχής H τριγωνική υνάρτηη υµµετοχής προδιορίζεται από τρείς παραµέτρους {a,b,}. Ορίζεται από τη χέη 0 0 ( b a b a µ b b a a <,,,,. Τραπεζοειδής υνάρτηη υµµετοχής Κατά αναλογία µε την τριγωνική, η τραπεζοειδής υνάρτηη υµµετοχής προδιορίζεται από τέερις παραµέτρους {a,b,,d}, και δίνεται από τη χέη: 0 0 ( b a b a µ d d b b a a <,,,,,. Συνάρτηη υµµετοχής Gauss Η υνάρτηη υµµετοχής Gauss είναι η υχνότερα χρηιµοποιούµενη υνάρτηη υµµετοχής. Προδιορίζεται από δύο παραµέτρους, το κέντρο και τη διαπορά και δίνεται από τη χέη : µ ( (

21 . Ααφής υλλογιτική Ααφής υλλογιτική ονοµάζεται η µεθοδολογία εξαγωγής ααφών υµπεραµάτων. Η ααφής υλλογιτική βαίζεται ε τρείς θεµελιώδεις έννοιες : Γλωικές µεταβλητές Γενικευµένος κανόνας του θέτειν και του αναιρείν Ααφείς χέεις Οι τρείς αυτές έννοιες ορίζονται παρακάτω... Γλωικές µεταβλητές και γλωικοί διαµορφωτές Γλωική µεταβλητή είναι µια µεταβλητή η οποία παίρνει τιµές που εκφράζονται µε λέξεις ε φυική γλώα, ε αντιδιατολή µε τις απλές µεταβλητές, των οποίων οι τιµές εκφράζονται µε αριθµούς. Παραδείγµατα γλωικών µεταβλητών είναι η ηλικία, το µέγεθος, η ταχύτητα, το βάρος. Παραδείγµατα αντίτοιχων τιµών είναι {µικρός, µεαίος, µεγάλος}. Οι τιµές αυτές των γλωικών µεταβλητών παριτάνονται µε τη χρήη ααφών υνόλων και γι αυτό ονοµάζονται επίης και ααφείς µεταβλητές. ηλώνονται, ως εξής : «Χ είναι Α», π.χ «η θερµοκραία είναι υψηλή» «η ταχύτητα είναι χαµηλή» Μαθηµατικά, µια γλωική µεταβλητή περιγράφεται από την πεντάδα : <, T(, U, G, M > όπου : : Tο όνοµα της µεταβλητής T( : Το ύνολο των τιµών της U : Το υπερύνολο αναφοράς πάνω το οποίο δοµείται το T( G : Ένας υντακτικός κανόνας που παράγει τα ονόµατα των τιµών της, δηλαδή τα ονόµατα των ααφών υνόλων M : Ένας ηµαιολογικός κανόνας που αποδίδει νόηµα τα ονόµατα Σχ..3: Γλωική µεταβλητή «ηλικία» και υναρτήεις υµµετοχής των τιµών της

22 Γλωικός διαµορφωτής ονοµάζεται ένας τελετής που εφαρµοζόµενος ε µία τιµή ( ααφές ύνολο µίας γλωικής µεταβλητής, µεταβάλλει το νόηµα της. Έτι, εάν Α είναι το ύνολο τιµών της γλωικής µεταβλητής, τότε εφαρµόζοντας τα τοιχεία αυτού τον γλωικό τροποποιητή m προκύπτει ένα άλλο ύνολο τιµών Β m(a. Τυπικοί γλωικοί διαµορφωτές είναι : µ πολ ύ( Α µ Α( µ χεδ όν ( Α µ Α( µ ό χι ( Α µ Α( πολύ Α : ( ( χεδόν Α : ( ( / όχι Α : (.. Γενικευµένοι Κανόνες του Θέτειν και του Αναιρείν ( Modus ponns και Modus Tollns Είναι γνωτό ότι η κλαική λογική βαίζεται εξ ολοκλήρου ε «λογικές ταυτολογίες». Οι κυριότερες από αυτές, τις οποίες ανάγονται όλες οι υπόλοιπες, είναι οι εξης : Modus Ponns : { A ( A B } B Modus Tollns : {( A B ~ B} ~ A ( Κανόνας του θέτειν ( Κανόνας του αναιρείν Συλλογιµός : {( A B ( B C } ( A C ( Αλυίδα Αντιθετοαντιτροφή : ( A B ( ~ B ~ A Οι κανόνες αυτοί αποτελούν τη βάη της κλαικής λογικής. Στην περίπτωη όµως της ααφούς λογικής, είναι δυνατόν µία υπόθεη να µην ταυτίζεται µε την υπόθεη της υνεπαγωγής αλλά να της µοιάζει αρκετά. Στην περίπτωη αυτή δε µπορεί να εφαρµατεί ο κανόνας του θέτειν (Modus Ponns. Προκύπτει λοιπόν η ανάγκη ο κανόνας να γενικευθεί, ώτε να βρίκει εφαρµογή και όταν τα Α, Β είναι ααφή ύνολα. Ο τροποποιηµένος (ααφής κανόνας που προκύπτει ονοµάζεται γενικευµένος τρόπος του θέτειν (Gnralzd Modus Ponns / GPM και έχει την ακόλουθη µορφή: Συνεπαγωγή : ΕΑΝ A, TOTE B Γεγονός : A Συµπέραµα : Β όπου Α, A, Β και Β είναι ααφή ύνολα. Ο κανόνας αυτός ονοµάζεται επίης και ααφής κανόνας του θέτειν (fuzz Modus Ponns. Ο τροποποιηµένος αυτός κανόνας µιµείται πολύ περιότερο τον ανθρώπινο τρόπο κέψης από ότι ο κλαικός, αφού λειτουργεί όχι µόνο κάτω από υνθήκες ταυτότητας, αλλά και κάτω από υνθήκες οµοιότητας. Το γεγονός αυτό έχει πολύ µεγάλη ηµαία γιατί µειώνει δρατικά τον αριθµό κανόνων που επιβάλλεται να υπάρχει τη βάη γνώης ενός ευφυούς υτήµατος απόφαης ή ελέγχου. 3

23 Μια επέκταη του GMP είναι η εξής : Συνεπαγωγή : R : ΕΑΝ είναι A ΚΑΙ... ΚΑΙ ' Γεγονός : είναι A ΚΑΙ... ΚΑΙ Συµπέραµα : είναι Β n είναι ' A n n είναι A n, ΤΟΤΕ είναι B Όπου A, ' A, B και ' B είναι ααφή ύνολα. Μερικά εµπειρικά κριτήρια εφαρµογής του GMP, δηλαδή κριτήρια που ' υνδέουν το B µε το A, είναι τα ακόλουθα : Κριτήριο Γεγονός : είναι Α Συµπέραµα : είναι Β είναι Α είναι B. είναι πολύ Α είναι πολύ B. είναι πολύ Α είναι B 3. είναι περίπου Α είναι περίπου B 3. είναι περίπου Α είναι B 4. είναι όχι Α είναι άγνωτο 4. είναι όχι Α είναι όχι B Κατ αναλογία µε τον GMP προκύπτει ο γενικευµένος κανόνας του αναιρείν (Gnralzd Modus Tollns, ο οποίος έχει τη µορφή : Συνεπαγωγή : ΕΑΝ είναι A, TOTE είναι Β Γεγονός : είναι Β Συµπέραµα : είναι Α Ο κανόνας µεταπίπτει τον αντίτοιχο κλαικό όταν Α ~Α, Β ~Β. Οδηγεί ε αντίτροφο υλλογιµό (οδηγούµενο από το τόχο υµπέραµα, ο οποίος εφαρµόζεται υνήθως ε προβλήµατα διάγνωης (έµπειρα διαγνωτικά υτήµατα. Μερικά εµπειρικά κριτήρια εφαρµογής του κανόνα : Κριτήριο Γεγονός : είναι Β Συµπέραµα : είναι Α 5 είναι όχι B είναι όχι Α 6 είναι όχι πολύ B είναι όχι πολύ Α 7 είναι περίπου B είναι περίπου Α 8. είναι B είναι άγνωτο 8. είναι B είναι Α 4

24 ..3 Ααφείς χέεις Οι ααφείς χέεις αποτελούν γενίκευη των υνήθων ( κοφτών χέεων και µας δίνουν τη δυνατότητα να χειριτούµε προβλήµατα τα οποία υπάρχει αβεβαιότητα ή αµφιβολία, όπως π.χ. «το είναι περίπου ίο µε το» ή «το είναι αρκετά όµοιο µε το». Από µαθηµατική κοπιά, οι ααφείς χέεις χρηιµοποιούνται για τη µοντελοποίηη ααφών υνεπαγωγών και τη υλλογιτική µε αυτές. Βρίκουν εφαρµογή ε όλες τις περιοχές ααφούς υλλογιτικής, όπως αναγνώριη προτύπων, λήψη αποφάεων, αυτόµατος έλεγχος κλπ.. Ααφής χέη Ετω Χ και Υ υπερύνολα αναφοράς.τότε, µε τον όρο «ααφής χέη R» εννοούµε ένα ααφές ύνολο το Καρτειανό Γινόµενο X Y {(, X, Y}, το οποίο ύνολο χαρακτηρίζεται από τη υνάρτηη υµµετοχής µ : R µ : X Y [0,] R Στην ειδική περίπτωη που Χ Υ έχουµε µία ααφή χέη επί του Χ. Η υνάρτηη υµµετοχής µ R(, παριτάνει για κάθε ζεύγος (, το βαθµό ύνδεης ανάµεα τα και.. Ααφής χειακή µήτρα Αν τα υπερύνολα αναφοράς Χ, Υ είναι πεπεραµένα, δηλαδή X {,... n } και Y {,..., n }, τότε µία ααφής χέη R το X Y παριτάνεται και χρηιµοποιείται ως µήτρα m n : R µ [, ] R( Η µήτρα αυτή ονοµάζεται ααφής χειακή µήτρα και τα τοιχεία της έχουν τιµές µεταξύ 0 και.. Πράξεις µεταξύ ααφών χέεων Οι πράξεις µεταξύ ααφών χέεων ορίζονται κατ αναλογία µε τις πράξεις των ααφών υνόλων. Έτι, για τις ααφείς χέεις R και R το X Y έχουµε : Τοµή R µ mn (,, R µ R Ένωη R µ ma (,, R µ R Συµπλήρωµα R : µ (, R : R { µ R (, } R : { (, } R µ R µ R R Έγκλειη R R : µ R (, µ R (, Οι πράξεις αυτές έχουν τις γνωτές ιδιότητες. 5

25 v. Ααφείς κανόνες Ένας ααφής κανόνας (υνεπαγωγή : A B όπου Α και Β τα ααφή ύνολα : {( ( X } A Α, µ και B {(, µ ( Y} µπορεί να παραταθεί µε µια ααφή χέη : {(,, µ (, X Y} R, R Το (, τοιχείο της χειακής µήτρας υπολογίζεται µε τη χρήη διάφορων κανόνων. Οι πιο υνηθιµένοι από αυτούς είναι : Αριθµητικός κανόνας Zad : µ ( mn{, µ (, µ ( } R B, Α Β Κανόνας Mamdan : µ ( mn( µ (, µ ( R, Α Β Κανόνας µεγίτου (Ζad : µ ( ma{ µ (,mn( µ (, µ ( } R, Α Α Β v. Κανόνας ααφούς υλλογιτικής Ma-Mn Ο κανόνας ααφούς υλλογιτικής ma-mn οφείλεται τον Zad και παρέχει έναν πολύ χρήιµο τρόπο εξαγωγής υµπεραµάτων µέα ε αβεβαιότητα. Η διατύπωή του έχει ως εξής : ίνονται τα ααφή ύνολα : {( ( X } A Α, µ και B {(, µ ( Y} και µία ααφής χέη επί του {(,, µ (, X Y} R, R B X Y, δηλαδή : Τότε µε δεδοµένα τα Α και R, το Β δίνεται από τη χέη : B Ao R όπου : ( ma{ mn( µ (, (, } ma-mn. µ B Α µ R και το o υµβολίζει τον τελετή ύνθεης Η ύνθεη ma-mn είναι ένα από τα πιο ηµαντικά αποτελέµατα της ααφούς υλλογιτικής γιατί παρέχει ένα µαθηµατικό τρόπο υλοποίηης του γενικευµένου κανόνα του θέτειν (modus ponns. 6

26 .3 Ααφή υτήµατα.3. Αρχιτεκτονική ααφών υτηµάτων Η γενική αρχιτεκτονική των ααφών υτηµάτων εικονίζεται το χήµα.4 και περιλαµβάνει τέερις µονάδες : Σχ..4: Γενική αρχιτεκτονική ααφούς υτήµατος. Mία βάη κανόνων της µορφής ΕΑΝ ΤΟΤΕ (ααφής βάη γνώης. Η βάη αυτή, περιέχει υνήθως, εκτός από τους ααφείς κανόνες, και ένα τµήµα βάης αριθµητικών δεδοµένων τα οποία απαιτούνται για τη διαδικία εξαγωγής των αποτελεµάτων. Οι κανόνες της βάης γνώης λαµβάνονται υνήθως από εµπειρογνώµονες και πολλές φορές από διαδικαίες προοµοίωης.. Μία ααφή υλλογιτική µονάδα (µηχανιµό εξαγωγής υµπεραµάτων. Η µηχανή αυτή αποτελεί τον πυρήνα του ααφούς υτήµατος και περιέχει τη λογική λήψης αποφάεων (π.χ. γενικευµένο κανόνα υναγωγής, κανόνα ύνθεης mn-ma, κ.λπ. 3. Μία µονάδα ααφοποίηης (ααφοποιητική µονάδα διεπαφής, η οποία µετατρέπει τα δεδοµένα ειόδου ε ααφή ύνολα. Η µονάδα αυτή παραλαµβάνει τις µη ααφείς τιµές ειόδου του υτήµατος, απεικονίζει τις περιοχές µεταβολής των τιµώς αυτών ε κατάλληλα υπερύνολα αναφοράς και τέλος µετατρέπει τις τιµές αυτές ε ααφή (ή γλωική µορφή. 4. Μία µονάδα απο-ααφοποίηης (απο-ααφοποιητική µονάδα διεπαφής, η οποία µετατρέπει τα ααφή υµπεράµατα/αποφάεις ε αφώς καθοριµένη µορφή. Η µονάδα αυτή απεικονίζει τις περιοχές µεταβολής των τιµών εξόδου ε κατάλληλα υπερύνολα αναφοράς και µετατρέπει τα δεδοµένα εξόδου ε ντετερµινιτική (µη ααφή µορφή, για παραπέρα χρήη από επόµενα υτήµατα ή διεργαίες απόφαης. Παρακάτω αναλύονται καθένα από αυτά τα τοιχεία. 7

27 .3. Μονάδα ααφοποίηης Ένας ααφοποιητής υλοποιεί µία απεικόνιη από το ύνολο των πραγµατικών τιµών ειόδου το ααφές ύνολο Α του υπερυνόλου αναφοράς Χ. Η απεικόνιη αυτή γίνεται µε δύο τρόπους :. Μονότιµος ααφοποιητής Στον µονότιµο ααφοποιητή (snglton fuzzfr, το ααφές ύνολο Α έχει τήριγµα, δηλαδή suppa, δηλαδή :, ' µ Α( ' 0, ' Αυτό ηµαίνει µοναδιαία υνάρτηη υµµετοχής ε αυτό.. Μη µονότιµος ααφοποιητής Σε αυτή την περίπτωη θεωρούµε ότι µ ( Α και ότι το µ (' Α µικραίνει όο το ' αποµακρύνεται από το. Παράδειγµα : T ( ' ( ' µ Α( ' p όπου είναι µία παράµετρος που καθορίζει τη µορφή του µ (' Α. Αυτό ηµαίνει ότι υπάρχει τιµή του που έχει τη µέγιτη υνάρτηη υµµετοχής (ίη µε το ααφές ύνολο Α, αλλά όο αποµακρυνόµατε από την τιµή αυτή, τόο µειώνεται η τιµή της υνάρτηης υµµετοχής το Α. Στην πράξη χρηιµοποιείται υνήθως ο µονότιµος ααφοποιητής, ενώ ο µη µονότιµος είναι καταλληλότερος όταν οι είοδοι υπόκεινται ε θόρυβο..3.3 Μονάδα απο-ααφοποίηης Απο-ααφοποίηη είναι η διαδικαία της µετατροπής ενός ααφούς υνόλου ε µία τιµή 0 η οποία είναι η έξοδος του υτήµατος. Οι κυριότερες µέθοδοι αποααφοποίηης είναι οι εξής :. Μέθοδος κέντρου βάρους Στη µέθοδο αυτή, η οποία είναι γνωτή ως µέθοδος COG (Cntr Of Gravt, η τιµή 0 δίνεται από τη χέη : 0 µ ( Β Β µ (. Μέθοδος µέης τιµής µεγίτων Στη µέθοδο αυτή το 0 δίνεται από : 8

28 0 m όπου είναι η τιµή που αντιτοιχεί το µέγιτο της υνάρτηης υµµετοχής. Η µέθοδος αυτή είναι γνωτή ως µέθοδος MOM (Man Of Mama.. Μέθοδος του ύψους Η µέθοδος αυτή υπολογίζει το 0 ως µία µέη τιµή µε βάρη αντιπροωπευτικών ηµείων του Β. 0 των Η επιλογή των αντιπροωπευτικών ηµείων εξαρτάται από το εκάτοτε πρόβληµα και τη µορφή της υνάρτηης υµµετοχής. v. Τροποποιηµένη µέθοδος κέντρου βάρους Αποτελεί παραλλαγή της µεθόδου κέντρου βάρους. Το 0 δίνεται από τη χέη: 0 [ µ Β( / δ ] µ Β( / δ όπου το δ χαρακτηρίζει το χήµα της υνάρτηης υµµετοχής..3.4 Ααφής βάη γνώης Η ααφής βάη γνώης αποτελείται από µία ειρά κανόνων ΕΑΝ - ΤΟΤΕ (IF - THEN της µορφής : R : ΕΑΝ είναι l A ΚΑΙ... ΚΑΙ n είναι A, ΤΟΤΕ είναι B l n l όπου l A και [ ] T l B είναι ααφή ύνολα επί των X R και Y R αντίτοιχα και,... n και είναι γλωικές µεταβλητές. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η παραπάνω µορφή των κανόνων εµπεριέχει τις περιπτώεις των : Κανόνων µε ελλιπείς υνθήκες Κανόνων µε Ή (OR τις υνθήκες τους ηλώεων γεγονότων (αφήνοντας το τµήµα της υνθήκης κενό Κανόνων µε ΕΚΤΟΣ ΕΑΝ (UNLESS Μη ααφών κανόνων Οι ααφείς κανόνες κατακευάζονται είτε από εµπειρογνώµονες, είτε από αλγορίθµους εκπαίδευης βαιµένους ε δεδοµένα µετρήεων. 9

29 Για τον προδιοριµό της µορφής των µέθοδοι : l A και l B, υπάρχουν οι ακόλουθες Αν οι κανόνες καθορίζονται από εµπειρογνώµονα, πρέπει αυτός να καθορίει τη µορφή τους. Αν οι κανόνες καθορίζονται µε βάη τα δεδοµένα µετρήεων, τότε χρηιµοποιούµε κάποια αυθαίρετη µορφή (υνήθως τριγωνικές, Gauss και τραπεζοειδείς. Κάθε τέτοια υνάρτηη υνοδεύεται από κάποιες παραµέτρους οι οποίες πρέπει να καθοριτούν βάει των πειραµατικών δεδοµένων..3.5 Μηχανιµός ααφούς υλλογιµού Ο κυριότερος µηχανιµός ααφούς υλλογιµού είναι η µέθοδος Mamdan, η οποία λειτουργεί ως εξής : Θεωρούµε µία ααφή βάη γνώης που αποτελείται από κανόνες και ειόδους. Κανόνας : ΕΑΝ είναι A ΚΑΙ είναι B ΤΟΤΕ z είναι C Κανόνας : ΕΑΝ είναι A ΚΑΙ είναι B ΤΟΤΕ z είναι C Όπου A, A, B, B, C καιc είναι ααφή ύνολα. Θεωρώντας ένα διάνυµα ειόδου (, 0 0, η διαδικαία υλλογιµού ακολουθεί τα εξής βήµατα : Βήµα : Υπολογίζουµε την δύναµη (προαρµοτικότητα κάθε κανόνα για το διάνυµα ειόδου : Προαρµοτικότητα κανόνα : µ µ ( 0 ( 0 A µ } B Προαρµοτικότητα κανόνα : µ mn{ ( 0 ( 0 } µ A µ B Βήµα : Εφαρµόζουµε την προαρµοτικότητα που προκύπτει από το Βήµα τα ααφή ύνολα της εξόδου κάθε κανόνα για να λάβουµε το υµπέραµα του κανόνα : µ ( 0 mn µ, µ C 0 mn µ, µ C Συµπέραµα κανόνα : { z }, z Z ' C µ ( Συµπέραµα κανόνα : { z }, z Z ' C Βήµα 3 : Συνδυάζουµε τα αποτελέµατα των κανόνων για να λάβουµε το υνολικό (τελικό αποτέλεµα. Ολικό αποτέλεµα : µ C ( z mn{ µ ' ( z, µ ' ( z } C C ( ( 30

30 Γενικεύοντας τα παραπάνω γία m ειόδους και n κανόνες, ορίζουµε την προαρµοτικότητα του κανόνα ως εξής : µ mn µ (,..., (, ( µ µ m A Am B Όπου A,... A είναι τα ααφή ύνολα ειόδου και m B m το ααφές ύνολο εξόδου του κανόνα, ενώ το τελικό υµπέραµα δίνεται από τη χέη : { µ ' ( z, µ ' ( z,..., ( z } µ ( z mn ' C µ C C C n Αντικαθιτώντας τον τελετή mn µε άλλους τελετές, προκύπτουν διαφορετικοί µηχανιµοί υλλογιµού. 3

31 Κεφάλαιο Νευρωνικά ίκτυα 3

32 ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Στο κεφάλαιο αυτό ειάγονται οι βαικές έννοιες που χετίζονται µε το αντικείµενο της εργαίας. Συγκεκριµένα γίνεται αρχικά µία ειαγωγή τα νευρωνικά δίκτυα και τις ιδιότητες που τα καθιτούν κατάλληλα για την επίλυη του προβλήµατος µας. Στη υνέχεια δίνονται οι βαικές αρχές τις οποίες βαίζεται η λειτουργία των ταξινοµητών προτύπων. Ακολουθεί µία ειαγωγή τις βαικές αρχές της οµαδοποίηης προτύπων (lustrng και της ενιχυτική µάθηης.. Βαικές έννοιες.. Ειαγωγή Τα νευρωνικά δίκτυα (Ν εκτελούν υπο-υµβολική επεξεργαία πληροφορίας, η οποία βαίζεται τη λειτουργία του ανθρώπινου εγκεφάλου και επικαλούνται την ιδέα της µοντελοποίηης του µαύρου κουτιού, χρηιµοποιώντας µοντέλα του ανθρώπινου εγκεφάλου τα οποία εµπνέονται από τη βιολογία και τη νευροφυιολογία. Για τη χρήη των µοντέλων αυτών διατίθενται µέθοδοι που υλοποιούν πολύπλοκες υναρτήεις και λειτουργίες. Για την εφαρµογή των µεθόδων αυτών δεν απαιτείται ρητή γνώη, ε αντίθεη µε ότι υµβαίνει κατά την εφαρµογή υµβολικών µεθόδων της τεχνητής νοηµούνης, οι οποίες βαίζονται τη λογική. Στα υµβολικά υτήµατα τεχνητής νοηµούνης, η γνώη παριτάνεται ρητά π.χ. µε κανόνες. Στην υπουµβολική προέγγιη δε δίνεται η υπό εξέταη χέη ρητά, αλλά κωδικοποιείται τη δοµή του νευρωνικού δικτύου. Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα, είναι υτήµατα µεγάλης κλίµακας τα οποία περιέχουν ένα µεγάλο αριθµό µη γραµµικών επεξεργατών ειδικού τύπου, οι οποίοι καλούνται νευρόνια. Κάθε νευρωνικό δίκτυο χαρακτηρίζεται από µια κατάταη, ένα ύνολο ειόδων µε βάρη που προέρχονται από άλλα νευρόνια και µία εξίωη, η οποία περιγράφει τη δυναµική λειτουργία του Ν. Τα βάρη του Ν ανανεώνονται (παίρνουν δηλαδή νέες τιµές µέω µίας διαδικαίας εκπαίδευης, η οποία πραγµατοποιείται µε την ελαχιτοποίηη κάποιας υνάρτηης κότους, ανανεώνοντας βήµα προς βήµα τα βάρη. Οι βέλτιτες τιµές των βαρών αποθηκεύονται (ως δυνάµεις των διαυνδέεων µεταξύ των νευρονίων και χρηιµοποιούνται κατά την εκτέλεη της εργαίας για την οποία προορίζεται το Ν. Τα Ν είναι κατάλληλα για προβλήµατα τα οποία ο υνήθης υπολογιµός δεν είναι αποδοτικός, π.χ. µηχανική όραη, αναγνώριη προτύπων, αναγνώριη φωνής, αυτόµατο έλεγχο κ.λπ... Το µοντέλο του τεχνητού νευρονίου Η δοµική µονάδα των τεχνητών νευρωνικών δικτύων είναι, όπως προαναφέρθηκε, το νευρόνιο. Το βαικό µοντέλο τεχνητού νευρονίου, δηµιουργήθηκε από τους MCullo Ptts και έχει τη δοµή που φαίνεται το χήµα. 33

33 Σχ..: Βαικό µοντέλο τεχνητού νευρονίου Το νευρόνιο αυτό είναι η θεµελιώδης µονάδα επεξεργαίας της πληροφορίας και αποτελείται από τα εξής βαικά τοιχεία : Ένα ύνολο κλάδων διαύνδεης Ενα κόµβο γραµµικής άθροιης Μια υνάρτηη ενεργοποίηης (µη γραµµική Σε κάθε κλάδο διαύνδεης (ύναψη, αντιτοιχεί ένα βάρος (gt. Ανάλογα µε το αν η τιµή του βάρους αυτού είναι θετική ή αρνητική, η ύναψη χαρακτηρίζεται διεγερτικού ή αναχαιτιτικού τύπου αντίτοιχα. Τα ήµατα ειόδου κάθε κλάδου πολλαπλαιαµένα µε το βάρος που αντιτοιχεί τον κλάδο αυτό, ειάγονται τον κόµβο άθροιης. Ο κόµβος άθροιης δηλαδή, λειτουργεί ως µια µονάδα γραµµικού υνδυαµού των ηµάτων ειόδου. Η τιµή της εξόδου του κόµβου άθροιης, ελαττωµένη κατά µία τιµή θ (κατώφλι εφαρµόζεται τη υνάρτηη ενεργοποίηης (squasng funton, η οποία περιορίζει το εύρος τιµών της εξόδου του νευρονίου ε ένα πεπεραµένο εύρος τιµών (υνήθως [0,] ή [-,]. Σύµφωνα µε τα παραπάνω λοιπόν, η έξοδος του νευρονίου περιγράφεται από τις παρακάτω εξιώεις : u και N f ( u θ, θ > 0 όπου (,,..., n είναι οι είοδοι κάθε κόµβου, (,,..., n τα βάρη που αντιτοιχούν ε κάθε κόµβο, u είναι η είοδος του κόµβου άθροιης, θ η τιµή κατωφλιού, f(. η υνάρτηη ενεργοποίηης και η έξοδος του νευρονίου. Προφανώς, καθοριτικό ρόλο για τη υµπεριφορά του νευρονίου έχει η υνάρτηη ενεργοποίηης, η οποία έχει υνήθως µία από τις ακόλουθες µορφές : 34

34 . Συνάρτηη κατωφλίου, u 0 f ( u 0, u < 0 Το αντίτοιχο νευρόνιο έχει τις εξιώεις : N u θ και, u 0 0, u < 0. Συνάρτηη γραµµική κατά τµήµατα 0, u / f ( u u, / < u < /,, u / Η υνάρτηη αυτή παριτάνει ένα γραµµικό ενιχυτή µε κορεµό και µεταπίπτει τη λογική κατωφλίου, αν η απoλαβή του ενιχυτή γίνει πάρα πολύ µεγάλη (θεωρητικά άπειρη. Σιγµοειδής υνάρτηη Η ιγµοειδής υνάρτηη είναι η ευρύτερα χρηιµοποιούµενη υνάρτηη ενεργοποίηης και µπορεί να οριτεί µε πολλούς τρόπους. Ένας από αυτούς είναι η λογιτική υνάρτηη : f ( u λu Για διαφορετικές τιµές του λ παίρνουµε υναρτήεις ενεργοποίηης µε διαφορετική κλίη. Οι παραπάνω µορφές της υνάρτηης ενεργοποίηης φαίνονται το χήµα. Σχ..: Συνήθεις µορφές της υνάρτηης ενεργοποίηης 35

35 ..3 Αρχιτεκτονική νευρωνικών δικτύων Το µοντέλο του τεχνητού νευρονίου που παρουιάτηκε παραπάνω αποτελεί τη δοµική µονάδα κάθε νευρωνικού δικτύου και κάθε νευρωνικό δίκτυο αποτελείται από ένα πλήθος τέτοιων νευρονίων οργανωµένων ε τρώµατα. Κατά υνέπεια το κύριο χαρακτηριτικό που διαφοροποιεί ένα νευρωνικό δίκτυο από ένα άλλο είναι η τοπολογική δοµή του, δηλαδή το πλήθος των τρωµάτων νευρονίων και ο τρόπος µε τον οποίο αυτά υνδέονται µεταξύ τους. Ανάλογα µε την τοπολογία αυτή, τα νευρωνικά δίκτυα χωρίζονται ε δύο βαικές κατηγορίες.. Νευρωνικά δίκτυα προοτροφοδότηης (fdforard Η απλούτερη περίπτωη ενός τέτοιου νευρωνικού δικτύου, του οποίου τα νευρόνια είναι οργανωµένα ε τρώµατα, είναι το δίκτυο του χήµατος.3. Το δίκτυο αυτό χαρακτηρίζεται νευρωνικό δίκτυο προοτροφοδότηης ενός τρώµατος (το τρώµα ειόδου δεν προµετράται καθώς δε γίνεται ε αυτό κανένας υπολογιµός. Ένα τέτοιο δίκτυο υχετίζει ουιατικά ένα πρότυπο ειόδου µε ένα αντίτοιχο πρότυπο εξόδου και αποθηκεύει την πληροφορία τα βάρη. Σχ..3: Μονοτρωµατικό νευρωνικό δίκτυο προοτροφοδότηης Σε µία γενικευµένη εκδοχή του παραπάνω µοντέλου, ένα νευρωνικό δίκτυο προοτροφοδότηης περιέχει, µεταξύ του τρώµατος ειόδου και του τρώµατος εξόδου, ένα ή περιότερα ενδιάµεα τρώµατα νευρονίων τα οποία χαρακτηρίζονται «κρυµµένα τρώµατα». Τα δίκτυα αυτά ονοµάζονται πολυτρωµατικά Ν προοτροφοδότηης. Οι τιµές των κόµβων ειόδου ειέρχονται το πρώτο κρυµµένο τρώµα, οι έξοδοι του πρώτου ως είοδοι το δεύτερο κ.ο.κ, έως ότου το ήµα καταλήξει τελικά το τρώµα εξόδου, το οποίο υπολογίζει τη υνολική απόκριη του δικτύου το πρότυπο ειόδου που του δόθηκε. Ανάλογα µε το αν κάθε κόµβος ενός τρώµατος του δικτύου υνδέεται µε κάθε κόµβο των γειτονικών τρωµάτων ή όχι, το δίκτυο χαρακτηρίζεται πλήρως ή µερικά διαυνδεδεµένο αντίτοιχα. Στο χήµα.4 φαίνεται ένα παράδειγµα Ν προοτροφοδότηης µε ένα τρώµα ειόδου 8 κόµβων, ένα κρυµµένο τρώµα 4 κόµβων και ένα τρώµα εξόδου µε κόµβους. 36

36 Σχ..4: Πολυτρωµατικό νευρωνικό δίκτυο προοτροφοδότηης Νευρωνικά δίκτυα ανατροφοδότηης (rurrnt Ένα Ν το οποίο περιέχει τουλάχιτον ένα βρόχο, ο οποίος ανακυκλώνει πληροφορία µέω του ίδιου ή των προηγούµενων τρωµάτων, ονοµάζεται αναδροµικό Ν ή Ν ανατροφοδότηης. Η ύπαρξη βρόχων ανατροφοδότηης έχει ως αποτέλεµα, όταν ένα πρότυπο ειόδου ειέρχεται το αναδροµικό Ν, να µην παράγεται µία έξοδος ε ένα πεπεραµένο αριθµό βηµάτων όπως υµβαίνει τα Ν προοτροφοδότηης. Αντί αυτού, δρα κατά κυκλικό τρόπο και ενεργοποιεί επαναληπτικά τα ίδια τρώµατα. Κατά τον τρόπο αυτό, αν το Ν είναι ευταθές, θα ταλαντωθεί για κάποιο πεπεραµένο χρονικό διάτηµα και θα καταλήξει ε µία τελική ταθερή κατάταη. ιαφορετικά, αν το Ν είναι αταθές, οι ταλαντώεις θα υνεχιτούν επ αόριτο. Συνεπώς, κατά την εκπαίδευη ενός τέτοιου δικτύου επιδιώκουµε να βρούµε το ύνολο των υνοπτικών βαρών που του επιτρέπουν να ταθεροποιεί τις επιθυµητές τιµές εξόδου. Στο χήµα.5 φαίνεται ένα παράδειγµα Ν ανατροφοδότηης µε ένα κρυµµένο τρώµα. Το δίκτυο αυτό είναι ένα χαρακτηριτικό παράδειγµα δικτύου τύπου Hopfld. Οι υνδέεις ανατροφοδότηης µπορούν να ξεκινούν είτε από το κρυµµένο τρώµα είτε από το τρώµα εξόδου. Η ύπαρξη των βρόχων αυτών έχει ιδιαίτερα ευεργετική επίδραη την ικανότητα µάθηης και τη υνολική υµπεριφορά του Ν. 37

37 Σχ..5: Νευρωνικό δίκτυο ανατροφοδότηης µε ένα κρυµµένο τρώµα..4 Μάθηη Η µάθηη είναι µία θεµελιακή ικανότητα των νευρωνικών δικτύων, η οποία τους επιτρέπει να µαθαίνουν από το περιβάλλον τους και να βελτιώνουν τη υµπεριφορά τους µε το πέραµα του χρόνου. Η µάθηη αναφέρεται τη διεργαία επίτευξης µίας επιθυµητής υµπεριφοράς µέω της ανανέωης των τιµών των υναπτικών βαρών. Αλγόριθµος µάθηης είναι ένα προκαθοριµένο ύνολο καλά οριµένων κανόνων επίλυης του προβλήµατος µάθηης του Ν. Ανάλογα µε το περιβάλλον το οποίο εργάζεται κάθε Ν, οι αλγόριθµοι µάθηης που χρηιµοποιούνται για την εκπαίδευή του χωρίζονται ε τρείς βαικές κατηγορίες :. Επιβλεπόµενη µάθηη Η επιβλεπόµενη µάθηη βαίζεται ε δύο κύρια υτατικά : Το δάκαλο και το ύτηµα µάθηης. Το κύριο χαρακτηριτικό της επιβλεπόµενης µάθηης είναι η ύπαρξη ενός εξωτερικού δακάλου, ο οποίος είναι ε θέη να διδάξει το Ν τις επιθυµητές εξόδους που αντιτοιχούν ε ένα ύνολο ειόδων. Όταν το Ν λαµβάνει ως είοδο ένα διάνυµα ειόδου, ο δάκαλος δίνει το Ν µία έξοδο η οποία παριτάνει τη βέλτιτη ενέργεια που πρέπει να κάνει το δίκτυο. Η διαδικαία µάθηης υνίταται το να ανανεώνει το Ν τα βάρη του κατά τέτοιο τρόπο ώτε ταδιακά η υµπεριφορά του να προεγγίζει τη υµπεριφορά του δακάλου. Για να επιτευχθεί αυτό ορίζουµε µία υνάρτηη φάλµατος : J / E( d όπου είναι η έξοδος που δίνει ως αποτέλεµα το Ν, d είναι η έξοδος που δίνει ο δάκαλος ως προτεινόµενη λύη και είναι το ύνολο των παραµέτρων του δικτύου 38

38 που ανανεώνονται κατά τη διαδικαία της µάθηης. Προφανώς, κοπός της µάθηης είναι να µειωθεί ταδιακά η τιµή της υνάρτηη αυτής. Για την εκπαίδευη ενός δικτύου βάει αυτής της υνάρτηης χρηιµοποιούνται κυρίως δύο αλγόριθµοι : Ο αλγόριθµος Ελαχίτου Μέου Τετραγώνου και ο αλγόριθµος Ανάτροφης ιάδοης.. Ενιχυτική µάθηη Κατά την ενιχυτική µάθηη, το Ν τροφοδοτείται µε πρότυπα ειόδου αλλά δεν του δίνονται και οι επιθυµητές αποκρίεις το κάθε πρότυπο. Αντί αυτού, όταν το δίκτυο παράγει µία έξοδο, του δίνεται ως απάντηη ένας δείκτης που αποτιµά την υµπεριφορά του. Η βαική ιδέα την οποία βαίζεται η ενιχυτική µάθηη είναι ότι αν µία ενέργεια του υτήµατος ακολουθείται από κάποιας µορφής επιβράβευη, η τάη του υτήµατος να παράγει αυτή την ενέργεια ενιχύεται. Αντίθετα, αν κάποια ενέργειά του ακολουθείται από κάποιας µορφής τιµωρία, η τάη του να παράγει την ενέργεια αυτή εξαθενεί. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, η ενιχυτική µάθηη λειτουργεί ως εξής : Το δίκτυο δέχεται ως ερέθιµα ένα διάνυµα ειόδου και παράγει ως αποτέλεµα µία έξοδο, όπως αυτή προκύπτει µε τις τρέχουες τιµές των βαρών. Το ύτηµα αξιολογεί την έξοδο και παράγει ως µέτρο της αξιολόγηης αυτής ένα ενιχυτικό ήµα, το οποίο τροφοδοτείται το δίκτυο. Με βάη το ενιχυτικό ήµα, το ύτηµα τείνει να αυξάνει τα βάρη εκείνα που υµβάλλουν την καλή υµεριφορά και να µειώνει εκείνα που προκαλούν κακή υµπεριφορά. Το δίκτυο αναζητά ένα ύνολο βαρών τα οποία τείνουν να αποφεύγουν να λαµβάνουν αρνητικά ενιχυτικά ήµατα. Η ενιχυτική µάθηη χωρίζεται ε υχετιτική και µη-υχετιτική. Στην πρώτη περίπτωη, το ύτηµα, εκτός από το ενιχυτικό ήµα, τροφοδοτείται και µε άλλες πληροφορίες από τις οποίες πρέπει να µάθει µια απεικόνιη µε τη µορφή αιτίου-αποτελέµατος. Αντίθετα, τη δεύτερη περίπτωη, το δίκτυο τροφοδοτείται αποκλειτικά µε το ενιχυτικό ήµα και κοπός του δικτύου είναι να µάθει αποκλειτικά µία µοναδική βέλτιη ενέργεια και όχι να υχετίει διάφορες ενέργειες µε διαφορετικά ερεθίµατα.. Μη επιβλεπόµενη µάθηη (αυτο-οργανούµενη µάθηη Σε αυτό τον τύπο µάθηης δεν χρηιµοποιείται εξωτερικός δάκαλος για να επιβλέψει την εκπαίδευη του Ν. Το δίκτυο, αντί να µάθει υγκεκριµένα ζευγάρια ειόδου εξόδου, µαθαίνει ένα µέτρο της ποιότητας της παράταης. Οι ελεύθερες παράµετροι του δικτύου, προαρµόζονται έτι ώτε να µεγιτοποιηθεί το µέτρο αυτό. Πρακτικά αυτό που υµβαίνει είναι ότι το δίκτυο υντονίζεται τις τατιτικές οµαλότητες των δεδοµένων ειόδου και δηµιουργεί εωτερικά παρατάεις για την κωδικοποίηη των ιδιοτήτων ειόδου. Βάει αυτών παράγει αυτόµατα νέες κατηγορίες. Η µη επιβλεπόµενη µάθηη µπορεί να υνδυατεί µε την επιβλεπόµενη µάθηη ε ένα πολυτρωµατικό δίκτυο προοτροφοδότηης εκπαιδευόµενο µε τον αλγόριθµο ανάτροφης διάδοης για να επιταχύνει τη διαδικαία µάθηης. 39

39 ..5 Εφαρµογές Ανάλογα µε τη δοµή και τον αλγόριθµο µάθηής του, ένα νευρωνικό δίκτυο είναι ικανό να λύει ένα πλήθος προβληµάτων όπως : Προέγγιη υναρτήεων : Θεωρoύµε µία άγνωτη µη γραµµική υνάρτηη T f (, όπου [,..., n ] το διάνυµα µεταβλητών ειόδου και Υ είναι µία βαθµωτή µεταβλητή εξόδου. ίνοντας το ύτηµα ένα ύνολο ζευγών ειόδου εξόδου, το πρόβληµα είναι να βρεθεί νευρωνικό δίκτυο το οποίο να αναπαριτά τη υνάρτηη. Το πρόβληµα αυτό µπορεί να λυθεί µε τη χρήη επιβλεπόµενης µάθηης. Πρόβληµα αντιτοίχιης : Χωρίζεται ε δύο υποκατηγορίες. Στο πρόβληµα αυτουχέτιης, το Ν αποθηκεύει ένα ύνολο διανυµάτων που του έχουν παρουιατεί. Στη υνέχεια, του δίνονται ως είοδοι ελλειπείς ή παραµορφωµένες από θόρυβο παραλλαγές των αρχικών διανυµάτων και το Ν καλείται να τις υχετίει µε τα αποθηκευµένα πρότυπα. Το πρόβληµα της ετερουχέτιης έγκειται την αντιτοίχηη ενός διανύµατος ειόδου µε ένα διάνυµα εξόδου. Τα προβλήµατα αυτά λύνονται µε ενιχυτική και επιβλεπόµενη µάθηη αντίτοιχα. Ταξινόµηη προτύπων : Εδώ ζητείται να ταξινοµηθεί ένας δεδοµένος αριθµός ειόδων ( προτύπων ε ένα ταθερό ύνολο δεδοµένων κατηγοριών. Το πρόβληµα αυτό µπορεί να λυθεί τόο µε επιβλεπόµενη όο και µε µη επιβλεπόµενη µάθηη. Στην πρώτη περίπτωη το νευρωνικό δίκτυο εκπαιδεύεται µε ένα ύνολο ζευγών «πρότυπο ειόδου - κατηγορία» και ακολούθως καλείται να ταξινοµήει πρότυπα που δεν έχει δει προηγουµένως. Μη επιβλεπόµενη µάθηη µπορεί να χρηιµοποιηθεί όταν δεν διατίθεται προγενέτερη γνώη των κατηγοριών τις οποίες πρόκειται να ταξινοµηθούν τα πρότυπα ειόδου. Πρόβληµα οµαδοποίηης προτύπων (lustrng : Το πρόβληµα της οµαδοποίηης προτύπων είναι ένα πρόβληµα µη επιβλεπόµενης ταξινόµηης προτύπων το οποίο δεν είναι διαθέιµα πρότυπα εκπαίδευης. Οι αλγόριθµοι ταξινοµούν τα πρότυπα ε οµάδες µέω της φυικής αντιτοίχιης, ύµφωνα µε οριµένα µέτρα οµοιότητας.. Ταξινόµηη προτύπων.. Το πρόβληµα της ταξινόµηης Το πρόβληµα της ταξινόµηης προτύπων αφορά την ταξινόµηη ενός διανύµατος ειόδου ε ένα ταθερό ύνολο κατηγορίων. Πρόκειται δηλαδή ουιατικά για ένα πρόβληµα απεικόνιης. Το πρόβληµα αυτό µπορεί να λυθεί ή µε επιβλεπόµενη µάθηη (µε την παρουίαη ζευγών ειόδου -εξόδου, ή µε ενιχυτική µάθηη, ή µε µη επιβλεπόµενη µάθηη (πρόβληµα οµαδοποίηης προτύπων... Το απλό PERCEPTRON Το Ν τύπου Prptron αποτελεί το απλούτερο Ν που χρηιµοποιείται για την ταξινόµηη προτύπων ειόδου ε µία κατηγορία µεταξύ n δεδοµένων κατηγοριών, µε τον περιοριµό οι κατηγορίες αυτές να είναι γραµµικά διαχωρίιµες (δύο κατηγορίες ονοµάζονται γραµµικά διαχωρίιµες όταν τα πρότυπα που ανήκουν ε αυτές µπορούν να διαχωριτούν µεταξύ τους από ένα υπερεπίπεδο. Στο χήµα.6 φαίνεται η δοµή του απλούτερου δυνατού prptron. 40

40 Σχ..6: Prptron ενός νευρονίου Η έξοδος του prptron δίνεται από τις χέεις : ( t f ( ( t και n υ υ ( t T ( t ( t όπου f ( υ ( t είναι η διπολική υνάρτηη και t [, ( t,..., ( t] n ( T t [ θ ( t, ( t,..., ( t] n ( T Ο κοπός του prptron είναι να ταξινοµήει τα πρότυπα ειόδου,..., n ε µία από τις δύο κατηγορίες Κ ή Κ. Αυτό επιτυγχάνεται εκχωρώντας ένα ηµείο [ ] T,..., n την κατηγορία Κ, αν η έξοδος είναι και την κατηγορία Κ, αν η έξοδος είναι -. Η διδακαλία του prptron γίνεται παρουιάζοντάς του καλά παραδείγµατα από κάθε κατηγορία. Η αρχή λειτουργίας του ταξινοµητή προτύπων µε δύο ειόδους φαίνεται το χήµα.7. 4

41 Σχ..7: Γραµµικός διαχωριµός δύο κατηγοριών ε χώρο δύο διατάεων Οποιοδήποτε ηµείο βρίκεται πάνω από τη διαχωριτική γραµµή αποδίδεται την κατηγορία Κ, διαφορετικά αποδίδεται την κατηγορία Κ. Ο αλγόριθµος εκπαίδευης τηρίζεται το γεγονός ότι εφόον οι κλάεις είναι γραµµικά διαχωρίιµες, υπάρχει ένα διάνυµα βαρών τέτοιο ώτε : T 0, όταν το ανήκει την Κ T < 0, όταν το ανήκει την Κ Κατά ανάλογο τρόπο, το prptron είναι ε θέη να ταξινοµήει τα πρότυπα ε περιότερες από δύο κατηγορίες. Αυτό επιτυγχάνεται µε την προθήκη περιότερων του ενός κόµβων εξόδου...3 Πολυτρωµατικό prptron Η ικανότητα ταξινόµηης προτύπων του prptron περιορίζεται ηµαντικά από το γεγονός ότι οι κατηγορίες των προτύπων πρέπει να είναι γραµµικά διαχωρίιµες. Ωτόο, υπάρχουν προβλήµατα, ακόµα και πολύ απλά, τα οποία δεν ικανοποιούν αυτό τον περιοριµό (χαρακτηριτικότερο παράδειγµα αυτής της κατηγορίας είναι το πρόβληµα XOR. Ο περιοριµός αυτός αίρεται µε την προθήκη κρυµµένων τρωµάτων. Αποδεικνύεται ότι ένα Ν µε δύο κρυµµένα τρώµατα (χήµα.8 µπορεί να ταξινοµήει περιοχές αυθαίρετου χήµατος. Πραγµατικά, το πρώτο κρυµµένο τρώµα παράγει επίπεδα ταξινόµηης τα οποία δεν υπερβαίνουν το πλήθος των κόµβων του. Τα επίπεδα αυτά υνδυάζονται από τα νευρόνια εξόδου και παράγουν κυρτές περιοχές. Προθέτοντας ένα ακόµα κρυµµένο τρώµα κόµβων, αυτό υνδυάζει τα επίπεδα που δέχεται από τους κόµβους του πρώτου κρυµµένου τρώµατος και τέλνει κυρτές περιοχές τα νευρόνια του τρώµατος εξόδου, τα οποία παράγουν περιοχές το χώρο των προτύπων οποιουδήποτε χήµατος. Η πολυπλοκότητα αυτών των περιοχών περιορίζεται µόνο από τον αριθµό κόµβων του δικτύου. Το πολυτρωµατικό prptron παρουιάζει την ικανότητα της γενίκευης, την ικανότητα δηλαδή να ταξινοµεί πρότυπα τα οποία δεν έχει γνωρίει (µε την 4

42 προϋπόθεη βέβαια ότι τα πρότυπα αυτά λαµβάνονται από τον ίδιο πληθυµό µε εκείνα που χρηιµοποιήθηκαν για την εκπαίδευή του και υνεπώς παρουιάζουν ανάλογες ιδιότητες. Η γενίκευη επιτυγχάνεται ανιχνεύοντας τις ιδιότητες αυτές του προτύπου ειόδου που είναι ηµαντικές και έχουν κωδικοποιηθεί τους εωτερικούς κόµβους. Η γενικευτική ικανότητα επιτρέπει επίης το Ν να ταξινοµεί και ελλιπή, παραµορφωµένα ή αλλοιωµένα από θόρυβο, πρότυπα. Σχ..8: Πολυτρωµατικό Prptron µε δύο κρυµµένα τρώµατα Η γενικευτική ικανότητα του δικτύου επηρεάζεται από τους ακόλουθους παράγοντες : Το µέγεθος και την καταλληλότητα του υνόλου εκπαίδευης Την αρχιτεκτονική του δικτύου Την πολυπλοκότητα του θεωρούµενου προβλήµατος Στην πράξη προπαθούµε να βελτιώουµε την ποιότητα της γενίκευης επιλέγοντας το πιο κατάλληλο ύνολο εκπαίδευης. Η καλύτερη αρχιτεκτονική του δικτύου επιλέγεται µε προεκτική µελέτη του υπό εξέταη προβλήµατος. 43

43 .3 Οµαδοποίηη προτύπων (Clustrng.3. Το πρόβληµα της οµαδοποίηης προτύπων Η οµαδοποίηη προτύπων είναι µια κοινή τεχνική της τατιτικής ανάλυης δεδοµένων, η οποία χρηιµοποιείται ε πολλούς τοµείς όπως : την µάθηη, την αναγνώριη προτύπων, την εξόρυξη δεδοµένων, την επεξεργαία εικόνας και τη βιοπληροφορική. Οµαδοποίηη προτύπων είναι η ταξινόµηη παρόµοιων αντικειµένων ε οµάδες, ώτε τα µέλη που ανήκουν ε κοινές οµάδες να µοιράζονται κάποια κοινά χαρακτηριτικά, υνήθως να είναι γειτονικά, βάει κάποιου κριτηρίου απόταης. Από τη κοπιά της µάθηης, η οµαδοποίηη προτύπων µπορεί να θεωρηθεί µία διαδικαία µη επιβλεπόµενης µάθηης..3. Είδη οµαδοποίηης προτύπων Οι αλγόριθµοι οµαδοποίηης προτύπων χωρίζονται ε ιεραρχικούς (raral και διαµεριτικούς (parttonal. Με τους ιεραρχικούς αλγορίθµους, οι επόµενες οµάδες (lustrs βρίκονται χρηιµοποιώντας τις ήδη υπάρχουες, ενώ οι διαµεριτικοί αποφαίζουν για όλες τις οµάδες ταυτόχρονα. Επιπλέον, οι ιεραρχικοί αλγόριθµοι χωρίζονται ε υωρευτικούς (agglomratv και διαιρετικούς (dvsv. Οι υωρευτικοί αλγόριθµοι ξεκινούν θεωρώντας κάθε τοιχείο ως ξεχωριτή οµάδα και υνενώνουν διαδοχικά τις αρχικές οµάδες ε µεγαλύτερες. Οι διαιρετικοί ξεκινούν θεωρώντας ολόκληρο το ύνολο δεδοµένων ως µια οµάδα και διαπούν την οµάδα αυτή ε µικρότερες..3.3 Ιεραρχικοί αλγόριθµοι Οι «ιεραρχικοί αλγόριθµοι οµαδοποίηης προτύπων» υωµατώνουν ή διαπούν µία ιεραρχία από οµάδες. Η ιεραρχία αυτή αναπαρίταται υνήθως µε ένα δένδρο του οποίου τα φύλλα αποτελούν τα µεµονωµένα τοιχεία, ενώ η ρίζα παριτάνει µία οµάδα που περιέχει όλα τα τοιχεία. Οι υωρευτικοί αλγόριθµοι ξεκινούν από τα φύλλα του δέντρου, ενώ οι διαιρετικοί από την κορυφή του. Κόβοντας το δένδρο ε υγκεκριµένο ύψος παίρνουµε µια οµαδοποίηη υγκεκριµένης ακρίβειας. Οι υωρευτικοί αλγόριθµοι λειτουργούν ως εξής : Κάθε τοιχείο του υνόλου δεδοµένων S θεωρείται αρχικά ξεχωριτή οµάδα δίνοντας ένα ύνολο οµάδων L όπου L { S, S,..., Sn} Υπολογίζεται, βάει κάποιας υνάρτηης κότους, το ζεύγος των οµάδων που έχει µικρότερο κότος υνένωης ( έτω S και S οι επιλεγόµενες οµάδες. Τα S και S αφαιρούνται από το L. Τα S και S υνενώνονται ε ένα νέο κόµβο S, ο οποίος θεωρείται πατέρας των S, S το δέντρο που προκύπτει. Επαναλαµβάνεται η διαδικαία µέχρι να µείνει µόνο ένα τοιχείο το L. Κατά ανάλογο τρόπο λειτουργούν και οι διαιρετικοί αλγόριθµοι, µόνο που ε αυτούς θεωρείται ως αρχική οµάδα µία οµάδα που περιλαµβάνει όλα τα τοιχεία και κάθε φορά αφαιρείται από αυτή το τοιχείο µε τη µεγαλύτερη τιµή κότους. 44

44 Όπως φαίνεται από την περιγραφή των παραπάνω αλγορίθµων, καθοριτική για τη υµπεριφορά των ιεραρχικών αλγορίθµων είναι η επιλογή της υνάρτηης κότους. Συνήθως, ως τέτοια χρηιµοποιείται η απόταη µεταξύ δύο οµάδων. Η απόταη αυτή µπορεί να οριτεί µε πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Οι κυριότεροι είναι : Η µέγιτη απόταη µεταξύ των τοιχείων των δύο οµάδων (omplt lnag lustrng ma{ d(, : A, B} Η ελάχιτη απόταη µεταξύ των τοιχείων των δύο οµάδων (sngl lnag lustrng mn{ d(, : A, B} Η µέη απόταη µεταξύ των τοιχείων των δύο οµάδων (avrag lnag lustrng d(, ard( A ard( B A B Το άθροιµα της υνολικής απόκλιης των τοιχείων που αποτελούν µία οµάδα (ntra-lustr varan Η αύξηη της απόκλιης για τις οµάδες που υνενώνονται (κριτήριο Ward. Κάθε υνένωη υµβαίνει µεταξύ οµάδων µε µεγαλύτερη απόταη από ότι η προηγούµενη και έτι, µπορεί κανείς να ταµατήει ή όταν οι οµάδες είναι πολύ αποµακρυµένες για να ενωθούν (κριτήριο απόταης, ή όταν ο αριθµός τους είναι επαρκώς µικρός (κριτήριο πλήθους..3.4 ιαµεριτικοί αλγόριθµοι.3.4. Αλγόριθµος -µέων Ο αλγόριθµος των -µέων αποδίδει το κάθε πρότυπο την οµάδα της οποίας το κέντρο βρίκεται πληιέτερα ε αυτό. Ως κέντρο κάθε οµάδας θεωρείται ο µέος όρος των τοιχείων που ανήκουν ε αυτή (δηλαδή οι υντεταγµένες του είναι ο αριθµητικός µέος όλων των τοιχείων της οµάδας για κάθε διάταη. Ο αλγόριθµος λειτουργεί ως εξής : Επιλέγονται µε τυχαίο τρόπο οµάδες και υπολογίζονται τα κέντρα τους (ή επιλέγονται απ ευθείας τυχαία ηµεία ως κέντρα Κάθε ηµείο του υνόλου δεδοµένων αποδίδεται την οµάδα που αντιτοιχεί το πληιέτερο κέντρο Επαναϋπολογίζονται τα νέα κέντρα Η διαδικαία επαναλαµβάνεται µέχρι τα κέντρα να ταθεροποιηθούν (ή να ικανοποιηθεί κάποιο άλλο κριτήριο ύγκλιης Το κύριο πλεονέκτηµα αυτού του αλγορίθµου είναι η απλότητα και η ταχύτητα, που κάνουν εύκολη την εφαρµογή του ε µεγάλα ύνολα δεδοµένων. Ωτόο δεν δίνει ταθερά τα ίδια αποτελέµατα µε κάθε τρέξιµο. Αντίθετα, το τελικό 45

45 αποτέλεµα επηρεάζεται ηµαντικά από την (τυχαία αρχικοποίηη. Επιπλέον, ο αλγόριθµος µεγιτοποιεί την µέη απόταη µεταξύ των οµάδων (ή ελαχιτοποιεί τη µέη απόταη µεταξύ των τοιχείων της ίδιας οµάδας, αλλά δεν εξαφαλίζει ότι η λύη που δίνεται δεν είναι απλά ένα τοπικό ελάχιτο ( ή αντίτοιχα µέγιτο Οµαδοποίηη QT (Qualt Trsold Ο αλγόριθµος QT είναι µία εναλλακτική µέθοδος οµαδοποίηης προτύπων. Είναι πολυπλοκότερος υπολογιτικά από τον αλγόριθµο -µέων, αλλά δεν απαιτεί να προδιοριτεί εκ των προτέρων ο αριθµός των οµάδων και επιτρέφει τα ίδια αποτελέµατα ε κάθε εκτέλεή του. Ο αλγόριθµος λειτουργεί ως εξής : Επιλέγεται µία µέγιτη ακτίνα για τις οµάδες ηµιουργείται µία οµάδα για κάθε τοιχείο του υνόλου δεδοµένων, το οποίο περιλαµβάνει το ίδιο το τοιχείο και όα γειτονικά του βρίκονται ε απόταη µικρότερη από αυτήν που προδιορίτηκε ως ακτίνα της οµάδας Η µεγαλύτερη ε µέγεθος οµάδα (αριθµό τοιχείων που περιλαµβάνει αποθηκεύεται ως τελική και τα τοιχεία που περιλαµβάνει αφαιρούνται από το ύνολο δεδοµένων Η διαδικαία επαναλαµβάνεται µε το νέο ύνολο δεδοµένων. Στα παραπάνω, η απόταη µεταξύ ενός ηµείου και ενός υνόλου ηµείων υπολογίζεται ως το µέγιτο της απόταης του ηµείου από όλα τα τοιχεία του υνόλου (omplt lnag dstan Οµαδοποίηη FCM (Fuzz -mans lustrng Ένα από τα προβλήµατα του αλγορίθµου -µέων είναι ότι αποδίδει το κάθε τοιχείο του υνόλου δεδοµένων ε µία ακριβώς οµάδα (ard parttonng. Ωτόο, µπορεί κανείς να θεωρήει ότι τα τοιχεία που βρίκονται τα άκρα της οµάδας ή κοντά ε άλλες οµάδες, δεν ανήκουν την οµάδα τον ίδιο βαθµό που ανήκουν εκείνα που βρίκονται κοντά το κέντρο της. Το πρόβληµα αυτό αντιµετωπίζει η ααφής οµαδοποίηη. Βάει αυτής, κάθε τοιχείο δεν ανήκει ε µία µοναδική οµάδα, αλλά ανήκει ε όλες τις οµάδες, ε κάποιο διαφορετικό βαθµό την κάθε µία (κατ αναλογία µε ότι υµβαίνει την ααφή λογική. Το τοιχείο δηλαδή, ανήκει την οµάδα ε βαθµό u (. Συνήθως ιχύει : u ( Ώτε το u ( να υποδηλώνει την πιθανότητα το να ανήκει τη υγκεκριµένη οµάδα. Με τον αλγόριθµο fuzz -mans, το κέντρο µίας οµάδας υπολογίζεται ως ο µέος όρος όλων των τοιχείων του υνόλου δεδοµένων, πολλαπλαιαµένου του καθενός µε το βαθµό τον οποίο ανήκει τη υγκεκριµένη οµάδα, δηλαδή : 46

46 κ έντρο u ( u ( O βαθµός τον οποίο ένα τοιχείο ανήκει ε µία οµάδα, υπολογίζεται ως το αντίτροφο της απόταής του από το κέντρο της : u ( d( κέντρο, Στη υνέχεια, οι υντελετές αυτοί κανονικοποιούνται και ααφοποιούνται βάει κάποιας πραγµατικής παραµέτρου m >, ώτε το άθροιµά τους να είναι u ( /( m (, (, d κέντρο d κέντρο Για µ, η παραπάνω χέη κανονικοποιεί γραµµικά τους υντελετές ώτε το άθροιµά τους να γίνει. Καθώς το m πληιάζει το, την πληιέτερη το κέντρο οµάδα αποδίδεται πολύ µεγαλύτερος υντελετής από ότι τις υπόλοιπες και η υµπεριφορά του αλγορίθµου προεγγίζει αυτή του αλγορίθµου -µέων. Ο τρόπος µε τον οποίο λειτουργεί ο αλγόριθµος µοιάζει αρκετά µε τον αλγόριθµο -µέων : Επιλέγεται ένας αριθµός οµάδων Αποδίδεται τυχαία ε κάθε τοιχείο ένα βαθµός τον οποίο ανήκει ε κάθε οµάδα Υπολογίζεται το κέντρο κάθε οµάδας βάει του προηγούµενου τύπου Για κάθε τοιχείο υπολογίζεται ο βαθµός τον οποίο ανήκει την κάθε οµάδα, βάει των νέων κέντρων Η διαδικαία επαναλαµβάνεται µέχρι ο αλγόριθµος να υγκλίνει. Ο αλγόριθµος καταφέρνει ταυτόχρονα να µεγιτοποιήει τη µέη απόταη µεταξύ των οµάδων και ταυτόχρονα να ελαχιτοποιήει τη µέη απόταη µεταξύ των τοιχείων της ίδιας οµάδας. Ωτόο, παρουιάζει τα ίδια προβλήµατα µε τον αλγόριθµο -µέων. Συγκεκριµένα, τα µέγιτα και τα ελάχιτα είναι τοπικά και τα αποτελέµατα εξαρτώνται ηµαντικά από την αρχικοποίηη που γίνεται..4 Ενιχυτική µάθηη.4. Το πρόβληµα της ενιχυτικής µάθηης Όπως φάνηκε από τα παραπάνω, τα νευρωνικά δίκτυα µπορούν να εκπαιδευθούν και να χρηιµοποιηθούν ε ένα ευρύ φάµα εφαρµογών που εκτείνονται από την βελτιτοποίηη υναρτήεων µέχρι τα προβλήµατα αυτόµατου ελέγχου. Σε πολλές 47

47 από τις παραπάνω εφαρµογές χρηιµοποιείται µε ιδιαίτερη αποτελεµατικότητα η επιβλεπόµενη µάθηη. Ωτόο, η χρήη της επιβλεπόµενης µάθηης περιορίζεται από το γεγονός ότι απαιτεί να παρουιάζονται το εκπαιδευόµενο δίκτυο ζεύγη ειόδων-εξόδων. Χρειάζεται δηλαδή να παρέχουµε το δίκτυο ένα ύνολο ερωτήεων µαζί µε τις ωτές απαντήεις. Σε ένα µεγάλο πλήθος προβληµάτων, οι απαντήεις αυτές δεν είναι εκ των προτέρων διαθέιµες. Για παράδειγµα, ε ένα ύτηµα αυτόµατου πιλότου, το ζητούµενο είναι το ύτηµα, λαµβάνοντας υπόψη του τα δεδοµένα των αιθητήρων κάθε τιγµή, να αποφαίζει για τις ενέργειές του. Σε µία τέτοια περίπτωη, δεν είναι εκ των προτέρων γνωτό ποιά είναι η ωτή ενέργεια ε κάθε κατάταη του υτήµατος, υνεπώς η επιβλεπόµενη µάθηη δε µπορεί να βοηθήει. Εξαιτίας της ανεπάρκειας της επιβλεπόµενης µάθηης ε τέτοιου είδους εφαρµογές, έχει δοθεί έµφαη τα τελευταία χρόνια ε µία διαφορετική προέγγιη, την ενιχυτική µάθηη. Ο όρος είναι δανειµένος από την ψυχολογία, αλλά χρηιµοποιείται εδώ µε αρκετά διαφορετική έννοια. Από θεωρητική άποψη, η ενιχυτική µάθηη µπορεί να θεωρηθεί ένας υνδυαµός των αρχών του δυναµικού προγραµµατιµού και της επιβλεπόµενης µάθηης. Στην πράξη, κατά την προέγγιη αυτή δίνεται το δίκτυο ένας τόχος που πρέπει να επιτύχει. Το ύτηµα µαθαίνει πώς να επιτύχει αυτό το τόχο µέω δοκιµών, αλληλεπιδρώντας µε ένα δυναµικό περιβάλλον και µαθαίνοντας από τα λάθη του..4. Μοντέλο υτήµατος ενιχυτικής µάθηης Το βαικό µοντέλο ενός υτήµατος ενιχυτικής µάθηης είναι αυτό που φαίνεται το χήµα.9 Σχ..9: Βαικό µοντέλο υτήµατος ενιχυτικής µάθηης Σε κάθε χρονική τιγµή, το ύτηµα δέχεται ως είοδο κάποια ένδειξη της κατάταης s του περιβάλλοντος. Βάει αυτής της ειόδου, το ύτηµα επιλέγει κάποια ενέργεια a, η οποία αποτελεί και την έξοδο του υτήµατος. Η ενέργεια αυτή αλλάζει την κατάταη την οποία βρίκεται το περιβάλλον. Η νέα αυτή κατάταη του περιβάλλοντος δίνεται ως είοδος το ύτηµα την επόµενη χρονική τιγµή. Επιπλέον το ύτηµα λαµβάνει και ένα ενιχυτικό ήµα r. Το ενιχυτικό ήµα είναι ένα βαθµωτό µέγεθος, η τιµή του οποίου αξιολογεί την πιο πρόφατη ενέργεια του 48

48 υτήµατος. Σκοπός του υτήµατος είναι να βρει µία υµπεριφορά τέτοια ώτε να αυξάνει το άθροιµα της τιµής των ενιχυτικών ηµάτων που λαµβάνει ε βάθος χρόνου. Με αυτηρότερη διατύπωη, το πρόβληµα αποτελείται από τα εξής τοιχεία : Ένα διακριτό ύνολο S των πιθανών κατατάεων τις οποίες µπορεί να βρεθεί το περιβάλλον Ένα διακριτό ύνολο Α των ενεργειών που µπορεί να επιλέξει το ύτηµα ε κάθε χρονική τιγµή Ένα ύνολο βαθµωτών ενιχυτικών ηµάτων που µπορεί να λάβει το ύτηµα (υνήθως το διάτηµα [0,] Σκοπός του υτήµατος είναι να βρει µία πολιτική (pol π απεικόνιης κατατάεων ε ενέργειες, τέτοια ώτε να αυξάνει τη µακροπρόθεµη τιµή του ενιχυτικού ήµατος που λαµβάνει, βάει κάποιου από τα κριτήρια που θα αναλυθούν παρακάτω. Το περιβάλλον είναι εν γένει µη ντετερµινιτικό, δηλαδή όντας το ύτηµα την ίδια κατάταη και επιλέγοντας την ίδια ενέργεια ε δύο διαφορετικές περιπτώεις, δεν λαµβάνει υποχρεωτικά το ίδιο ενιχυτικό ήµα. Ωτόο, το περιβάλλον θεωρείται τατικό, δηλαδή η πιθανότητα να λάβει το ύτηµα µία υγκεκριµένη τιµή ενιχυτικού ήµατος για µία υγκεκριµένη απεικόνιη κατάταης ενέργειας, δεν αλλάζει µε το χρόνο..4.3 Κριτήρια βέλτιτης υµπεριφοράς Όπως αναφέρθηκε, κοπός του υτήµατος είναι να µεγιτοποιήει το άθροιµα των ενιχυτικών ηµάτων που λαµβάνει ε βάθος χρόνου, βάει κάποιου κριτηρίου. Αν και το κριτήριο αυτό µπορεί να είναι µοναδικό για κάθε πρόβληµα, τρία είναι τα υχνότερα χρηιµοποιούµενα την πράξη :. Πεπεραµένου χρόνου Ξεκινώντας κάποια δεδοµένη τιγµή, το ύτηµα προπαθεί να µεγιτοποιήει την αναµενόµενη τιµή του αθροίµατος των ενιχυτικών ηµάτων που θα λάβει τις επόµενες τιγµές, δηλαδή την ποότητα : R E t 0 r t όπου r t η τιµή του ενιχυτικού ήµατος που λαµβάνει το ύτηµα τη τιγµή t.. Άπειρου χρόνου µε γεωµετρική µείωη του ενιχυτικού ήµατος Εδώ το ύτηµα προπαθεί να µεγιτοποιήει την αναµενόµενη τιµή του αθροίµατος των ενιχυτικών ηµάτων που θα λάβει µακροπρόθεµα, αλλά η βαρύτητα των µελλοντικών τιµών του ενιχυτικού ήµατος µειώνεται γεωµετρικά µε την πάροδο του χρόνου, δηλαδή µας ενδιαφέρει η ποότητα : R E γ t0 t rt 49

49 όπου 0 < γ <.. Μέης ανταµοιβής Tο ύτηµα προπαθεί να µεγιτοποιήει τη µέη τιµή του ενιχυτικού ήµατος που λαµβάνει µακροπρόθεµα, δηλαδή την ποότητα : R E rt t 0 Από τα τρία αυτά µοντέλα, το δεύτερο είναι το γενικότερο και αυτό θα χρηιµοποιηθεί τους αλγορίθµους που θα αναλυθούν παρακάτω..4.4 Συνάρτηη αξιολόγηης (Valu Funton και εξίωη Bllman Έχοντας προδιορίει το κριτήριο του οποίου την τιµή θέλουµε να µεγιτοποιήουµε, αποµένει να βρούµε την πολιτική βάει της οποίας θα επιτύχουµε αυτή τη µεγιτοποίηη. Μια ευθεία προέγγιη το πρόβληµα θα ήταν να αναζητήουµε το χώρο όλων των πιθανών πολιτικών και να επιλέξουµε εκείνη που δίνει τη µέγιτη τιµή ε αυτό το κριτήριο. Η προέγγιη αυτή ωτόο δεν είναι δυνατόν να ακολουθηθεί γιατί : Ο χώρος των δυνατών πολιτικών δεν είναι κατ ανάγκη πεπεραµένος. Ακόµη όµως και αν είναι, υνήθως το µέγεθός του είναι τέτοιο που η εξαντλητική αναζήτηή του καθίταται απαγορευτική από άποψη χρόνου Το περιβάλλον είναι γενικά τοχατικό, κάτι που επιβάλλει να ακολουθηθεί κάθε πολιτική πολλές φορές για να εκτιµηθεί η µέη ανταµοιβή που δίνει. Για τους λόγους αυτούς ακολουθείται µία διαφορετική προέγγιη, αυτή της υνάρτηης αξιολόγηης. Ορίζουµε ως κότος (valu µίας κατάταης την αναµενόµενη τιµή που θα λάβει η ποότητα R αν το ύτηµα ξεκινήει από την κατάταη s και ακολουθήει την πολιτική π. ηλαδή: { R,π} V ( s Ε s Εναλλακτικά, όταν το ύτηµα όντας την κατάταη s επιλέξει την ενέργεια a και εν υνεχεία ακολουθήει την πολιτική π, ορίζεται η ποότητα : { R s,,π} Q( s, a Ε a Είναι προφανές ότι αν βρεθεί η τιµή του Q για τη βέλτιτη πολιτική, το πρόβληµα ουιατικά λύνεται, καθώς το µόνο που αποµένει είναι να επιλέγουµε ε κάθε κατάταη την ενέργεια µε το µέγιτο κότος. Για να το επιτύχουµε αυτό µε τη χρήη της V, χρειαζόµατε ένα µοντέλο του περιβάλλοντος, µε τη µορφή πιθανοτήτων P ( s' s, a. Το µέγεθος αυτό εκφράζει την πιθανότητα να µεταβεί το ύτηµα την κατάταη s αν όταν βρεθεί την κατάταη s επιλέξει την ενέργεια a. Με δεδοµένες αυτές τις πιθανότητες, µπορούµε να υπολογίουµε το Q από τη χέη : 50

50 Q ( s, a V ( s' P( s' s, a Εναλλακτικά µπορούµε να χρηιµοποιήουµε την προέγγιη δράης κριτικής. Σύµφωνα µε αυτή, το µοντέλο χωρίζεται ε δύο µέρη. Εκείνο της δράης, το οποίο επιλέγει ε κάθε κατάταη του περιβάλλοντος την κατάλληλη ενέργεια και εκείνο της κριτικής, το οποίο υπολογίζει ε κάθε κατάταη το κότος της. Ε R Με δεδοµένη λοιπόν µία πολιτική, ο κοπός είναι ο υπολογιµός του { } (όπου R E γ t rt. Για γ0 ο υπολογιµός είναι απλός, καθώς το µόνο που t0 χρειάζεται είναι να βρεθεί ο µέος όρος των άµεων ενιχυτικών ηµάτων που λαµβάνει το ύτηµα. Η προέγγιη αυτή ωτόο δε µπορεί να γενικευθεί και για γ>0. Η λύη είναι να εκφρατεί το κότος της κατάταης αναδροµικά, βάει της χέης : E{ R st} rt γ E{ R st } Η χέη αυτή είναι γνωτή ως εξίωη Bllman. Από αυτή, ακολουθώντας το υµβολιµό που χρηιµοποιήθηκε παραπάνω, προκύπτει ότι το κότος µιας κατάταης, ξεκινώντας από αυτήν και ακολουθώντας κάποια πολιτική π, είναι : V π ( s R( s γ s' P( s' s, π V π ( s' ενώ αν ακολουθηθεί η βέλτιτη πολιτική, το κότος που προκύπτει για την κατάταη s είναι : V *( s R( s maγ P( s' s, π V *( s' a s' Αντικαθιτώντας τις αναµενόµενες τιµές του ενιχυτικού ήµατος µε τις υναρτήεις αξιολόγηης που υπολογίαµε παραπάνω και χρηιµοποιώντας κάποια παραλλαγή της µέθοδου κλίης ε υνδυαµό µε τη υνάρτηη τετραγωνικού φάλµατος ε µοντέλα δράης - κριτικής, προκύπτουν διάφοροι αλγόριθµοι εύρεης της βέλτιτης πολιτικής. ύο από τους πιο διαδεδοµένους εξετάζονται παρακάτω..4.5 Μάθηη Χρονικής ιαφοράς (Tmporal Dffrn Ο αλγόριθµος αυτός χρηιµοποιεί την προέγγιη δράης κριτικής. Κατά την προέγγιη αυτή το µοντέλο χωρίζεται ε δύο µέρη. Εκείνο της δράης, το οποίο επιλέγει ε κάθε κατάταη του περιβάλλοντος την κατάλληλη ενέργεια και εκείνο της κριτικής, το οποίο υπολογίζει ε κάθε κατάταη το κότος της. Ο κριτής χρηιµοποιεί το εξωτερικό ενιχυτικό ήµα για να απεικονίει µία κατάταη ε µία αναµενόµενη τιµή κότους, δεδοµένης της πολιτικής που χρηιµοποιεί το µοντέλο δράης. ιατηρώντας ταθερή την πολιτική που ακολουθεί το µοντέλο δράης, ο κριτής µαθαίνει τελικά τη υνάρτηη αξιολόγηης που αντιτοιχεί την πολιτική αυτή. Στη υνέχεια διατηρώντας ταθερή τη υνάρτηη αξιολόγηης που έχει βρεί ο κριτής, προπαθούµε να βρούµε µία νέα πολιτική που να µεγιτοποιεί αυτή τη υνάρτηη. Η διαδικαία αυτή υνεχίζεται εναλλάξ, µέχρι να υγκλίνει τη λύη. Το βαικό πρόβληµα λοιπόν του αλγορίθµου είναι να βρεθεί το κότος µίας 5

51 πολιτικής. Θεωρώντας ότι το δίκτυο µεταβαίνει από την κατάταη s την κατάταη s µέω της ενέργειας a και λαµβάνει για αυτή τη µετάβαη ενιχυτικό ήµα r, το κότος της κατάταης s ανανεώνεται βάει της χέης (αλγόριθµος TD(0: V ( s : V ( s a( r γ V ( s' V ( s όπου α ο ρυθµός µάθηης. Η βαική ιδέα αυτής της χέης είναι ότι η ποότητα r γv (s' είναι ενδεικτική της τιµής της V (s, αφoύ V (s' είναι το κότος της κατάταης την οποία µεταβαίνει το ύτηµα και r το ενιχυτικό ήµα που λαµβάνει για αυτή τη µετάβαη. Κατά υνέπεια, η τιµή του V (s προαρµόζεται έτι που να πληιάει την τιµή του r γv (s'. Αποδεικνύεται ότι ο αλγόριθµος αυτός υγκλίνει για κατάλληλη επιλογή του ρυθµού µάθηης. Γενίκευη του αλγορίθου TD(0 αποτελεί ο αλγόριθµος TD(λ. Βάει αυτού ανανεώνεται το κότος όχι µόνο της προηγούµενης κατάταης, αλλά και όλων των προηγούµενων, βάει µίας ποότητας (u που εκφράζει το πόο πρόφατα βρέθηκε το ύτηµα ε αυτή την κατάταη. Η ανανέωη γίνεται ύµφωνα µε τη χέη : V ( u : V ( u a( r γ V ( s' V ( s ( u Το (u ορίζεται από τη χέη : t t ( u ( λγ δ s, s όπου :, s s δ s, s 0, s s Ο αλγόριθµος TD(λ, αν και υπολογιτικά πολυπλοκότερος του TD(0, υχνά υγκλίνει ταχύτερα για µεγάλες τιµές του λ..4.6 Μάθηη Q Έτω Q *( s, a το κότος µίας κατάταης s, αν επιλεγεί η ενέργεια a και τη υνέχεια ακολουθηθεί η βέλτιτη πολιτική. Προφανώς, µε αυτό το υµβολιµό ιχύει : V *( s, a maq*( s, a a Γράφοντας τη χέη αυτή αναδροµικά έχουµε : Q* ( s, a R( s, a γ P( s' s, α maq *( s', a' s' S a όπου R ( s, a το ενιχυτικό ήµα που λαµβάνει το ύτηµα επιλέγοντας την κατάταη s την ενέργεια a. Κατά αναλογία µε τη λογική του αλγορίθµου TD(λ, ο αλγόριθµος Q ανανεώνει τις τιµές βάει της χέης : 5

52 Q( s, a : Q( s, a a( r γ maq*( s', a' Q( s, a a Και πάλι, µε κατάλληλη προαρµογή του ρυθµού µάθηης, µπορούµε να επιτύχουµε τη ύγκλιη του αλγορίθµου..4.7 Εξερεύνηη και εκµετάλλευη της υπάρχουας γνώης Όπως προαναφέρθηκε, µία θεµελιώδης διαφορά της ενιχυτικής µάθηης από την επιβλεπόµενη, είναι ότι το ύτηµα πρέπει να εξερευνήει εκτεταµένα το περιβάλλον του. Το χαρακτηριτικό αυτό επιβάλλει να βρεθεί κατά την εκπαίδευη µία ιορροπία ανάµεα την τάη του υτήµατος να εξερευνεί το περιβάλλον του (ploraton και την τάη να αξιοποιεί τη γνώη που έχει ήδη αποκτήει (plotaton. Το πρόβληµα αυτό µελετάται υνήθως µέω του προβλήµατος των n- κουλοχέρηδων. Το πρόβληµα αυτό είναι εξαιρετικά παρατατικό αλλά και ηµαντικό από ερευνητική άποψη, καθώς πολλά άλλα πολυπλοκότερα προβλήµατα ανάγονται ε αυτό. Θεωρούµε ότι έχουµε n-κουλοχέρηδες και δικαιούµατε να παίξουµε υνολικά φορές, επιλέγοντας οποιονδήποτε από τους n κάθε φορά. Παίζοντας το -οτό µηχάνηµα, αυτό αποδίδει κέρδος µε πιθανότητα p ή κερδος 0 µε πιθανότητα p. Οι πραγµατικές τιµές των πιθανοτήτων p είναι άγνωτες, όµως το ύτηµα µπορεί να κάνει µία εκτίµηη της τιµής αυτών των πιθανοτήτων. Το ερώτηµα είναι ποιά θα πρέπει να είναι η τρατηγική που θα ακολουθήει το υτήµα, βάει αυτών των εκτιµήεων, ώτε να µεγιτοποιήει το υνολικό κέρδος. εδοµένου ότι το ύτηµα διατηρεί µία εκτίµηη των πιθανοτήτων, κάθε τιγµή υπάρχει µία πιθανότητα που η τιµή της θεωρείται µέγιτη. Η προέγγιη των άπλητων αλγορίθµων είναι να επιλέγεται η αντίτοιχη µηχανή. Σε αυτή την περίπτωη, το ύτηµα εκµεταλλεύεται την υπάρχουα γνώη του περιβάλλοντος (plotaton. Στην αντίθετη περίπτωη, το ύτηµα µπορεί να επιλέξει να παίξει ε µία από τις υπόλοιπες µηχανές. Σε αυτή την περίπτωη, το ύτηµα εξερευνά το περιβάλλον του, καθώς αυτό του επιτρέπει να βελτιώει την αξιοπιτία των εκτιµήεών του για τις τιµές των πιθανοτήτων. Ο τρόπος µε τον οποίο θα εξιορροπηθούν αυτές οι δύο εναλλακτικές προεγγίεις καθορίζεται από την τιµή του. Για µικρές τιµές του, η εκµετάλλευη της υπάρχουας γνώης είναι η πιο ωτή προέγγιη. Για µεγάλες τιµές του ωτόο, η εξερεύνηη του περιβάλλοντος µπορεί να δώει καλύτερα αποτελέµατα, καθώς το ύτηµα εξερευνώντας µπορεί να ανακαλύψει ότι άλλα µηχανήµατα έχουν µεγαλύτερη πιθανότητα να αποδώουν κέρδος από ότι εκείνο που αρχικά θεωρούε βέλτιτο. Γενικά, η εξερεύνηη δίνει µικρότερο κέρδος βραχυπρόθεµα, αλλά µεγαλύτερο µακροπρόθεµα, καθώς ε βάθος χρόνου το ύτηµα εκµεταλλεύεται τη γνώη που προκύπτει από αυτή. Είναι εµφανές, ότι ε κάθε βήµα το ύτηµα πρέπει να επιλέξει ανάµεα το ploraton και το plotaton. Η επιλογή αυτή ε κάθε βήµα είναι µία ύνθετη διαδικαία που εξαρτάται από τις εκτιµήεις του υτήµατος και από το πόες δοκιµές ακόµα έχει διαθέιµες. Το ερώτηµα αυτό µεταφέρεται και ε πολυπλοκότερα προβλήµατα ενιχυτικής µάθηης και η απάντηή του δεν είναι υνήθως δυνατό να δοθεί µε αυτηρά τεκµηριωµένο τρόπο, αλλά προκύπτει εµπειρικά για κάθε πρόβληµα. 53

53 Κεφάλαιο 3 Οµαδοποίηη προτύπων µε τη χρήη ααφών επικαλύψεων 54

54 3 ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΑΣΑΦΩΝ ΕΠΙΚΑΛΥΨΕΩΝ 3. Ειαγωγή Η οµαδοποίηη προτύπων είναι µία από τις θεµελιώδεις ανθρώπινες γνωτικές δρατηριότητες και έχει χρηιµοποιηθεί εκτεταµένα την αναγνώριη προτύπων. Ανάµεα τις µεθόδους που χρηιµοποιούνται, η ααφής οµαδοποίηη προτύπων (fuzz lustrng προεγγίζει το πρόβληµα αποδίδοντας το κάθε δείγµα ε όλες τις οµάδες (lustrs, ε διαφορετικό όµως βαθµό την καθεµία, αντί να το αποδώει ε µία µόνο οµάδα. O αλγόριθµος fuzz -mans (FCM είναι µία από τις γνωτότερες προεγγίεις ααφούς οµαδοποίηης και η χρήη του για διάφορες εφαρµογές έχει µελετηθεί λεπτοµερώς. Η µέθοδος αυτή βαίζεται τη βελτιτοποίηη µίας υγκεκριµένης υνάρτηης κότους και δουλεύει καλά όταν οι οµάδες είναι ιοτροπικές. Μία άλλη προέγγιη την ααφή οµαδοποίηη είναι να επιλέγονται οι διαµερίεις του υνόλου δεδοµένων από δυαδικές ααφείς χέεις µεταξύ ζευγών δειγµάτων του υνόλου αυτού, χρηιµοποιώντας την τεχνική της µεταβατικής κλειτότητας. Σε αυτή την προέγγιη, κάθε οµάδα µπορεί να οριτεί ως ένα ααφές ύνολο του οποίου τα τοιχεία είναι παρόµοια το ένα µε το άλλο και ο βαθµός οµοιότητας µεταξύ κάθε ζεύγους τοιχείων δεν είναι µικρότερος από ένα οριµένο επίπεδο. Τα πλεονεκτήµατα αυτής της µεθόδου είναι ότι κάθε ααφής χέη ιοδυναµίας (µία χέη που είναι ανακλατική, υµµετρική και µεταβατική δηµιουργεί µία διαµέριη (partton ε κάθε a-τοµή και ο αριθµός των οµάδων δε χρειάζεται να προδιοριτεί εκ των προτέρων. Το µειονέκτηµα ωτόο, είναι ότι αυτές οι ααφείς χέεις δεν είναι εύκολο να προδιοριτούν, καθώς οι παραπάνω περιοριµοί είναι τόο δεµευτικοί που πολύ λίγες υναρτήεις τους ικανοποιούν. Η προέγγιη που περιγράφεται εδώ παρουιάζει µια τροποποίηη της έννοιας της ααφούς επικάλυψης (fuzz ovr και περιγράφει µία νέα αντιµετώπιη το πρόβληµα της οµαδοποίηης, βαιµένη ε δυαδικές ααφείς χέεις. Σε αυτή την προέγγιη, χρηιµοποιείται η έννοια της ααφούς επικάλυψης και υνάρτηης κότους για να οµαδοποιήει τα δεδοµένα τις κατάλληλες οµάδες. Ααφής επικάλυψη είναι ένα ααφές ύνολο το οποίο η ααφής χέη κάθε ηµείου που ανήκει ε αυτήν, ως προς το κεντρικό ηµείο, είναι µεγαλύτερη από έναν οριµένο βαθµό. Η δυαδική ααφής χέη την περίπτωή µας δεν περιορίζεται ε υµµετρικές, ανακλατικές και µεταβατικές χέεις ιοδυναµίας, πράγµα το οποίο µας επιτρέπει να χρηιµοποιήουµε καταλληλότερες ααφείς χέεις οµοιότητας ε διαφορετικές εφαρµογές. Ενωµατώνουµε λοιπόν τη υνάρτηη κότους για να αναζητήουµε τις βέλτιτες ααφείς επικαλύψεις που µπορούν να καλύψουν ολόκληρο το ύνολο δεδοµένων. Η υνάρτηη κότους αντανακλά τη φυική οµαδοποίηη των ααφών επικαλύψεων και κάνει τα αποτελέµατα της οµαδοποίηης πιο εύλογα. Στη υνέχεια, ο προτεινόµενος αλγόριθµος εντοπίζει εκείνες τις ααφείς επικαλύψεις που τα κέντρα τους δηµιουργούν τήριγµα για το ύνολο του υνόλου δεδοµένων. Τα κέντρα αυτά διαµορφώνουν το κελετό των τελικών οµάδων, µετά τη υνένωη των ααφών επικαλύψεων ε λογικές οµάδες. Ο αριθµός των τελικών οµάδων καθορίζεται από την ααφή χέη που έχουµε ορίει και δε χρειάζεται να προδιοριτεί εκ των προτέρων. Στη υνέχεια µελετάται το θεωρητικό πλαίιο του αλγορίθµου Fuzz Covrs Clustrng (FCC και αναλύεται η µεθοδολογία που ακολουθεί. 55

55 3. Ααφής επικάλυψη (fuzz ovr Έτω X R( λ ένα ύνολο από δείγµατα, πεπεραµένου πλήθους,, ε ένα πεδίο οριµού D. Ο Zad ορίζει µία ααφή χέη ιοδυναµίας R για κάθε δείγµα X και ένα ααφές υπούνολο που βαίζεται τη χέη και υµβολίζεται ως R R, όπου X λ 0,, το λ-lvl-st που βαίζεται τη ααφή ( (, χέη R υµβολίζεται :. Για [ ] ( {( R( } Rλ, λ (, όπου είναι το κέντρο του υπουνόλου αυτού. Στη διατύπωη αυτή, R λ ( είναι ένα υπούνολο του υνόλου R, που ονοµάζεται ααφής επικάλυψη του Έτω από τον Zad ή ααφής διαµέριη από τον Ovnnov. p αντιπροωπεύει µία ααφή επικάλυψη µε κέντρο τότε : (, R(, ( 0,, p p,,..., n,,..., n λ < λ Η οµάδα είναι το δυναµούνολο του { p }, που υµβολίζεται µε { p } ( P. Είναι φανερό ότι η οµοιοµορφία αυτής της διαµέριης, δεν καθορίζει το πεδίο αλλά µόνο µία επικάλυψη. Στον παραδοιακό οριµό της ααφούς επικάλυψης, η χέη R πρέπει να ικανοποιεί το µεταβατικό, ανακλατικό και υµµετρικό χαρακτήρα της χέης ιοδυναµίας. Εδώ γενικεύουµε τον οριµό της ααφούς επικάλυψης, το οποίο ηµαίνει ότι θα µπορούαν να χρηιµοποιηθούν περιότερες χέεις. Ο ακόλουθος οριµός αποαφηνίζει την έννοια : Οριµός : (Ααφής επικάλυψη εδοµένου ενός υπουνόλου ρ µε κέντρο το X και { r(, ( λ X } ρ, (3 όπου λ η τιµή του κατωφλιού, r είναι η ααφής χέη µεταξύ ενός ζεύγους προτύπων, είναι το κριτήριο απόταης που έχει επιλεγεί για το υγκεκριµένο ύνολο δεδοµένων (ορίζεται παρακάτω και οι τιµές και των δύο βρίκονται το, p και διάτηµα [ ] X 0. Η οικογένεια είναι το δυναµούνολο του { } U ρ, οπότε είναι ένα ύνολο από ααφείς επικαλύψεις το X. Σε αυτή την ααφή επικάλυψη, µπορεί κανείς εύκολα να επιλέξει ένα ααφές κριτήριο απόταης για ένα ύνολο δεδοµένων, όπου το δεν χρειάζεται να 56

56 ικανοποιεί τη χέη ιοδυναµίας. είχνουµε εδώ τη βαική ιδέα, χρηιµοποιώντας δύο παραδείγµατα µε διαφορετικά κριτήρια απόταης. Ένα πιθανό κριτήριο απόταης, όπως φαίνεται το χήµα 3.(a, είναι το : d( PL p, ( p p, X, ξ > 0 ξ Σχ.3.: ύο ααφείς επικαλύψεις διαφορετικού χήµατος που διαµορφώνονται από διαφορετικά κριτήρια απόταης (a Υπερεπίπεδο (b Έλλειψη όπου d(. είναι η Ευκλίδεια απόταη και ξ µία ταθερά. Το χήµα της ααφούς επικάλυψης που διαµορφώνεται βάει αυτού του κριτηρίου είναι ένα υπερεπίπεδο (prplan. Το υπερεπίπεδο PL περνάει µέα από το δείγµα p και είναι κάθετο το p op. Η διακεκοµένη γραµµή είναι το υπερεπίπεδο PL p µε το κανονικό διάνυµα op. Αν ένα δείγµα ανήκει ε αυτή την ααφή επικάλυψη, τότε πρέπει να ικανοποιεί τη χέη ( p p ( d( PL p, / ξ λ, διαφορετικά το δείγµα δεν ανήκει την εν λόγω ααφή επικάλυψη. Οι δύο υνεχείς γραµµές είναι τα όρια της ααφούς επικάλυψης ε χέη µε το κατώφλι λ και ο βαθµός της ααφούς χέης των δειγµάτων µέα ε αυτές τις γραµµές µε το κέντρο είναι µεγαλύτερος από λ. Στο χήµα 3.(b φαίνεται ένα διαφορετικό κριτήριο : d(, t d(, ( t, p, X, ξ > 0 ξ Το κριτήριο αυτό ορίζει µία έλλειψη, το όριο της οποίας έχει βαθµό ααφούς χέης ίο µε λ. 57

57 Αυτές οι δύο µορφές ααφών επικαλύψεων προκύπτουν από δύο διαφορετικά κριτήρια απόταης. Είναι φανερό ότι το πλεονέκτηµα της προτεινόµενης προέγγιης είναι ότι δεν περιορίζεται κατ ανάγκη ε χέεις ιοδυναµίας. Ακόµα καταλληλότερες χέεις µπορούν να χρηιµοποιηθούν για την κατακευή των ααφών επικαλύψεων, τις οποίες εν υνεχεία θα χρηιµοποιήουµε για την κατακευή των τελικών οµάδων. Στην ακόλουθη παράγραφο περιγράφεται ο αλγόριθµος λεπτοµερώς ηµιουργία οµάδων µε τη χρήη των ααφών επικαλύψεων Σε αυτή την παράγραφο περιγράφονται πολλές ηµαντικές ιδιότητες των ααφών επικαλύψεων, καθώς και οι διαδικαίες βελτιτοποίηης που χρηιµοποιούνται τον προτεινόµενο αλγόριθµο. Στο χήµα 3. φαίνεται η ελάχιτη φαιρική επικάλυψη που µπορεί να ενωµατώει όλα τα τοιχεία του υνόλου δεδοµένων και της οποίας το κέντρο είναι το κέντρο της οµάδας. Κατά αυτό τον τρόπο µπορούµε εύκολα να επιλέξουµε ένα εύλογο κέντρο για την οµάδα, ακόµα και αν η κατανοµή είναι αύµµετρη και το κέντρο της αντίτοιχης ααφούς επικάλυψης αποτελεί ηµείο του κελετού (oldng pont των τελικών οµάδων (η έννοια του oldng pont ορίζεται παρακάτω. Σχ.3.: Σύνολο δεδοµένων που περικλείεται ε µία µόνο οµάδα Αν ωτόο µία οµάδα δεν έχει φαιρική κατανοµή, τότε δεν υπάρχει ένα µοναδικό τέτοιο ηµείο. Σε αυτή την περίπτωη τα ηµεία που αποτελούν το κελετό της τελικής οµάδας λαµβάνονται από περιότερες της µίας ααφείς επικαλύψεις. Χαρακτηριτικό παράδειγµα των παραπάνω φαίνεται το χήµα

58 Σχ.3.3: ύο µη φαιρικού χήµατος οµάδες Είναι προφανές ότι δε µπορούµε να χρηιµοποιήουµε µία φαιρικού χήµατος ααφή επικάλυψη, π.χ. την C, για να περικλείουµε το δεξιό lustr. Πολλά δείγµατα που δεν ανήκουν ε αυτή την οµάδα περιλαµβάνονται το C. Είναι λογικό να χρηιµοποιήουµε 3 φαιρικές ααφείς επικαλύψεις ( P, P, P3 για καλύψουµε όλα τα δείγµατα. Τα κέντρα αυτών αποτελούν το κελετό της οµάδας. Σε αυτό το παράδειγµα, ο κελετός της οµάδας µπορεί να εξαχθεί από τις ααφείς επικαλύψεις. Με άλλα λόγια, αν µπορούµε να βρούµε τα δείγµατα που είναι πληιέτερα το κελετό αυτό, τότε µπορούµε να χρηιµοποιήουµε τα δείγµατα αυτά για να υµβολίουµε την ίδια την οµάδα. Τα υπόλοιπα δείγµατα θα αποδωθούν αυτόµατα τις κατάλληλες οµάδες βάει της απόταης. Κατά υνέπεια, τον προτεινόµενο αλγόριθµο οµαδοποίηης, αναζητούµε πρώτα τα δείγµατα που θα χρηιµεύουν ως κελετός της οµάδας χρηιµοποιώντας τις ααφείς επικαλύψεις. Ακολουθεί η περιγραφή των επιµέρους ταδίων της παραπάνω διαδικαίας (ε ψευδο-κώδικα και η θεωρητική τεκµηρίωη του καθενός από αυτά τα τάδια ηµιουργία της ααφούς επικάλυψης του κάθε δείγµατος Η διαδικαία που ακολουθείται ε αυτό το τάδιο είναι η ακόλουθη : Αλγόριθµος CFC ( Construt Fuzz Covrs Θεωρούµε ένα ύνολο δεδοµένων X {,,..., n} Επιλέγουµε το κριτήριο απόταης Επιλέγουµε το κατώφλι λ Για κάθε δείγµα του Χ : 59

59 Κατακευάζουµε την αντίτοιχη ααφή επικάλυψη P p },,,,n Βρίκουµε τα τοιχεία που ανήκουν ε αυτή ρ { ( λ, X } Για κάθε ααφή επικάλυψη που προκύπτει : Βρίκουµε όλες τις επικαλύψεις που περιέχουν ένα τοιχείο και δηµιουργούµε το ύνολο Α Βρίκουµε όλες τις επικαλύψεις που είναι υπούνολα άλλων και δηµιουργούµε το ύνολο Α Ορίζουµε A A A Το ύνολο A A A { P A} περιέχει τις επικαλύψεις που θα χρηιµοποιηθούν το επόµενο βήµα { Σε αυτό το πρώτο βήµα χρηιµοποιούµε το κριτήριο απόταης για να βρούµε τις ααφείς επικαλύψεις. Το κατώφλι λ καθορίζει πόα δείγµατα θα εµπεριέχονται ε κάθε µία από αυτές. Μπορούν να χρηιµοποιηθούν εναλλακτικά δύο κριτήρια απόταης. Το πρώτο είναι φαιρικού χήµατος : d ( t,,,..., n (4 d ma όπου είναι το κέντρο, ζευγών το Χ και d ma είναι η µέγιτη απόταη µεταξύ δύο οποιονδήποτε. Αυτό το φαιρικού d είναι η απόταη µεταξύ των t και χήµατος κριτήριο ικανοποιεί τη υµµετρική αλλά όχι τη µεταβατική ιδιότητα. Εναλλακτικά µπορεί να χρηιµοποιηθεί το υπερεπίπεδο : ( p, ξ,,..., n d( PL p, p η (5 όπου PL p είναι το υπερεπίπεδο που περνάει από το δείγµα διάνυµα o, PL p, p και έχει κανονικό p d ( είναι η απόταη ανάµεα το δείγµα και το υπερεπίπεδο PL p και η είναι µία ταθερά. Αυτή η χέη δεν ικανοποιεί ούτε τη υµµετρική, ούτε τη µεταβατική ιδιότητα. εδοµένου ότι τα χρηιµοποιούµενα κριτήρια δεν είναι απαραίτητο να ικανοποιούν τους 3 περιοριµούς των ααφών χέεων ιοδυναµίας, µπορούµε να επιλέξουµε διαφορετικά τέτοια κριτήρια για διαφορετικά ύνολα δεδοµένων. Εδώ, το κατώφλι λ είναι ηµαντική παράµετρος, δεδοµένου ότι αν είναι πολύ µικρό, µία µόνο οµάδα θα εµπεριέχει ολόκληρο το ύνολο δεδοµένων, ενώ αν είναι πολύ µεγάλο θα δηµιουργηθούν πολλές περιττές οµάδες. Στον παραπάνω αλγόριθµο ορίζονται τα ύνολα A και A, τα οποία θα αφαιρεθούν για να µειώουν την πολυπλοκότητα τoυ αλγορίθµου. Οι κιαµένες περιοχές του χήµατος 3.4 δείχνουν τα A και A αντίτοιχα. 60

60 Σχ.3.4: Σύνολα Α και Α του αλγορίθµου CFC (a Οµάδα ενός τοιχείου (b Οµάδα που επικαλύπτει τις υπόλοιπες Υπάρχουν πολλές άλλες χέεις ιοδυναµίας που περιγράφονται από κλαικές ααφείς χέεις. Ωτόο, οι περιότερες από αυτές έχουν πολλούς περιοριµόυς που περιορίζουν την έκταη τους. Εδώ θα χρηιµοποιήουµε µια διευρυµένη ααφή χέη ιοδυναµίας που βαίζεται τον τελετή t-norm, η οποία αποδεικνύεται ότι µπορεί να χρηιµοποιηθεί ως κριτήριο απόταης Εύρεη του ελάχιτου αριθµού επικαλύψεων που περικλείουν το ύνολο δεδοµένων H εύρεη του ελάχιτου αριθµού δειγµάτων επιτυγχάνεται µε την ακόλουθη διαδικαία : Aλγόριθµος MCS (Mnmal Covrs to nlud Sampls ' Συµβολίζουµε τις επικαλύψεις που έδωε ο προηγούµενος αλγόριθµος µε p,,,,k Ορίζουµε το διάνυµα s {0} ' Ορίζουµε p anor εκείνο µε το µεγαλύτερο πλήθος τοιχείων ' Σηµειώνουµε ότι έχουµε επικευθεί το p anor Για όο υπάρχει ύνολο Φ επικαλύψεων που δεν έχουµε επικευθεί και οι ' οποίες έχουν κοινά ηµεία µε το p anor Για κάθε τοιχείο του Φ 6

61 ' ' ' Αν p ponr Φ και το pponr p anor είναι το ελάχιτο s [ ponr] Σηµειώνουµε ότι έχουµε επικευθεί το ' ' Ορίζουµε ως νέο p anor το p ponr ' p ponr Ο κοπός της παραπάνω διαδικαίας είναι να βρεθούν τα ηµεία που χηµατίζουν το κελετό των οµάδων (oldng ponts, χρηιµοποιώντας τις ααφείς επικαλύψεις που βρήκαµε παραπάνω. εδοµένου ότι τα ηµεία αυτά βρίκονται πάντα ε πυκνές περιοχές του υνόλου δεδοµένων, ηµειώνουµε αυτές τις περιοχές και τη υνέχεια εντοπίζουµε τα ηµεία που βρίκονται κοντά τους και τα θεωρούµε ηµεία του κελετού των οµάδων. Ο οριµός του oldng pont είναι ο εξής : Οριµός : εδοµένου ενός υνόλου ααφών επικαλύψεων που περικλείουν το ύνολο δεδοµένων και ενός κατωφλίου λ, ορίζουµε τα κέντρα των επικαλύψεων ως oldng ponts των πιθανών οµάδων, αν ικανοποιούν τα εξής : Ο αριθµός των οµάδων είναι ελάχιτος Ο αριθµός των κοινών δειγµάτων µεταξύ δύο οµάδων είναι ελάχιτος Η πρώτη υνθήκη εξαφαλίζει ότι τα κέντρα βρίκονται γύρω από πυκνές περιοχές του Χ. Η δεύτερη µειώνει την οµοιότητα µεταξύ δύο οµάδων. Όπως φαίνεται από τον οριµό, τα ηµεία του κελετού των οµάδων βρίκονται πάντα ε πυκνές περιοχές του Χ. Αν µπορούµε να βρούµε ένα πεπεραµένο ύνολο επικαλύψεων που να περικλείει όλα τα τοιχεία του Χ, ορίζουµε το µέο αριθµό τοιχείων ε κάθε µία ως : n man p (6 n p όπου µεγαλύτερο man p. Μπορούµε εύκολα να βρούµε το κελετό των οµάδων µεγιτοποιώντας το man p. Η προέγγιη αυτή είναι ανάλογη µε το να βρούµε τον ελάχιτο αριθµό επικαλύψεων που περικλείουν όλα τα δείγµατα και αυτό είναι ένα κλαικό πρόβληµα vrt ovr. εδοµένου ότι αυτό είναι ένα NP-ard πρόβληµα, υπάρχουν πολλές µέθοδοι βελτιτοποίηης που µπορούν να το λύουν. Το να λυθεί το πρόβληµα vrt ovr είναι το ίδιο µε το να βρεθεί ο βέλτιτος αριθµός επικαλύψεων τον αλγόριθµό µας. Ο οριµός του vrt ovr είναι ο εξής : n p είναι ο αριθµός των επικαλύψεων. Προφανώς, µικρότερο n p ηµαίνει { } mn s As b, s 0, (7 όπου είναι ένα ύνολο κόµβων και s το χαρακτηριτικό διάνυµα. Το είναι ένα µη αρνητικό κότος που χετίζεται µε το και το οποίο είναι πάντα.0 τον αλγόριθµό µας, Α είναι ένας 0- πίνακας και b. Το πρόβληµα αναζητά το 6

62 ελάχιτο κότος για ένα ύνολο κόµβων. Η υνάρτηη κότους εύρεης βέλτιτων κόµβων γίνεται : mn s µ ρt ρl s t l ρ, ρ Σ t {0,}, As b (8 όπου ρ t και ρ l είναι δύο κόµβοι από το ύνολο. Υπάρχει ένας επιπλέον όρος τη χέη, ο οποίος δηλώνει ότι η υνάρτηη κότους θα πρέπει να περιλαµβάνει τον ελάχιτο αριθµό κοινών τοιχείων µεταξύ των κόµβων. O όρος αυτός χετίζεται µε τη δεύτερη υνθήκη του οριµού. Η παραπάνω εξίωη είναι η υνάρτηη κότους που θα χρηιµοποιηθεί για τον αλγόριθµό µας και τα τελικά κέντρα που ικανοποιούν τη υνάρτηη αποτελούν το κελετό των τελικών οµάδων. Η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου, τη χειρότερη K ' ' περίπτωη, είναι : Ο ( ρ log, όπου ρ,,,..., K Τα κέντρα των ααφών επικαλύψεων που προκύπτουν από τον παραπάνω αλγόριθµο διαµορφώνουν το κελετό των πιθανών οµάδων. Αλλά πολλές από αυτές τις πιθανές οµάδες θα υνενωθούν ε µία τελική οµάδα µε τον τρόπο που φαίνεται παρακάτω Συνένωη των ααφών επικαλύψεων ε οµάδες Αλγόριθµος SCC (Spl Covrs nto Clustrs Έτω {π} το ύνολο των τελικών οµάδων Αρχικά θέτουµε {π}{} και 0 Έτω { ρ ' },,,,m που έδωε ο αλγόριθµος MCS Κατατάουµε τα { ρ ' } ε { '' '' '' '' ρ },,,,m έτι ώτε ρ ρ... ρm '' ρ m π '' Για κάθε ρ, m- έως Αν υπάρχει ρ '' ρ '' π u διαφορετικά ' ρ π π και τα u '' ρ και '' ρ ικανοποιούν την (9 ή (0 63

63 Αποκτάµε m ααφείς επικαλύψεις ρ, ρ,..., ρm χρηιµοποιώντας τον αλγόριθµο MCS, όπου κάθε µία αντιπροωπεύει µία πιθανή τελική οµάδα. Σε αυτή την παράγραφο, υζητάµε πώς οι πιθανές οµάδες θα υνενωθούν τις τελικές οµάδες. Το κριτήριο υνένωης που θα χρηιµοποιηθεί για να αποφαίτει πόες πιθανές οµάδες θα υνενωθούν ε µία τελική, θα βαιτεί το κριτήριο απόταης που χρηιµοποιήθηκε τον αλγόριθµο CFC. Προκύπτουν δύο κριτήρια υνένωης, για τα δύο κριτήρια απόταης που µελετήθηκαν, αντίτοιχα. Για το φαιρικό κριτήριο (4, ρ και ρ είναι δύο φαιρικού χήµατος ααφείς επικαλύψεις. Για να υνενωθούν ε µία τελική οµάδα, πρέπει να έχουν κοινά τοιχεία. Επιπλέον πρέπει να ικανοποιούν και την ακόλουθη χέη: ma { ρ, ρ } ρ ρ ρ ψ mn (9 όπου ρ ρ ρ είναι µία ααφής επικάλυψη, της οποίας το κέντρο είναι ένα από τα κοινά τοιχεία των ρ και ρ. ρρ ρ είναι ο αριθµός των δειγµάτων που περικλείει το ρ ρ ρ. ψ είναι µία ταθερά της οποίας η τιµή είναι µικρότερη από τη µονάδα αλλά κοντά ε αυτήν. H χέη (9 υπολογίζει την πυκνότητα της ααφούς επικάλυψης. Αν ο αριθµός των τοιχείων του ρ ρ ρ είναι παρόµοιος µε τον αριθµό των τοιχείων των ρ και ρ, τότε είναι κοµµάτια της ίδιας οµάδας, διαφορετικά είναι ανεξάρτητα. Όλες οι φαιρικού χήµατος ααφείς επικαλύψεις που ικανοποιούν το κριτήριο (9, µπορούν να υνενωθούν ε µία τελική οµάδα. Το αντίτοιχο κριτήριο υνένωης ε περίπτωη που χρηιµοποιηθούν υπερεπίπεδα για το χήµα των ααφών επικαλύψεων, είναι : os t l ( ( ρ ρ t (0 t Όπου ( ρ l ρ ρ ρ ρ t l t ρ l είναι η γωνία µεταξύ ρ και ρ. Αν η τιµή του (0 είναι µεγαλύτερη από ένα κατώφλι t, τα ρ και ρ µπορούν να υνενωθούν. ιαφορετικά είναι ανεξάρτητα. Η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου ως προς το χρόνο είναι τη χειρότερη περίπτωη Ο ( m, όπου m είναι o αριθµός των οµάδων που δίνει ο αλγόριθµος MCS. Παρότι η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου ως προς το χρόνο εξαρτάται από το τετράγωνο του m, η εκτέλεη του αλγορίθµου δε χρειάζεται πολύ χρόνο, καθώς ο αριθµός των ααφών επικαλύψεων που αποµένουν µετά την εκτέλεη του αλγορίθµου MCS είναι πολύ µικρότερος από το µέγεθος του αρχικού υνόλου δεδοµένων ( n K >> m Μετά τη διαδικαία αυτή, παίρνουµε τις τελικές οµάδες ( ε πλήθος. Αποµένει να αποτιµήουµε την αξιοπιτία της οµαδοποίηης. 64

64 3.3.4 Καταλληλότητα του λ Όπως φάνηκε από τα παραπάνω, η απόδοη του αλγορίθµου καθορίζεται από την τιµή της παραµέτρου λ. Είναι υνεπώς αναγκαίο να καθοριτεί µία µέθοδος βάει της οποίας θα επιλεγεί η τιµή του λ για την οποία ο αλγόριθµος παρουιάζει τη βέλτιτη υµπεριφορά. Για πειράµατα που παρατίθενται το κεφάλαιο 7 χρηιµοποιήθηκαν 3 διαφορετικά τέτοια κριτήρια, τα οποία αναλύονται παρακάτω. Κριτήριο Βάει του κριτηρίου αυτού, η αποτίµηη της καταλληλότητας του λ θα γίνει µε τη χρήη της χέης : S dm v(λ Sb dm ( όπου S είναι η µέη απόταη των τοιχείων που ανήκουν την ίδια τελική οµάδα, S b είναι η µέη απόταη µεταξύ των τοιχείων που ανήκουν ε διαφορετικές οµάδες και d m είναι η µέη απόταη µεταξύ των δειγµάτων του υνόλου δεδοµένων. Κριτήριο Το κρίτηριο αυτό, όπως και το προήγουµενο, βαίζεται το λόγο της απόταης µεταξύ των τοιχείων διαφορετικών οµάδων και της απόταης µεταξύ τοιχείων της ίδιας οµάδας. Ωτόο, εδώ οι αποτάεις αυτές ορίζονται διαφορετικά. Συγκεκριµένα, θεωρώντας ότι για οριµένη τιµή του λ προκύπτουν οµάδες, η µέη απόταη µεταξύ των οµάδων ορίζεται ως : B K nr ( ( T όπου r πλήθος των τοιχείων που περιλαµβάνει η -οτή οµάδα, το κέντρο της οµάδας αυτής, και το κέντρο όλων των τοιχείων που αποτελούν το ύνολο δεδοµένων. H απόταη µεταξύ των τοιχείων της ίδιας οµάδας ορίζεται ως : W K ( ( T 65

65 όπου ένας πίνακας που περιλαµβάνει όλα τα τοιχεία της -οτής οµάδας, και ένας πίνακας ίδιων διατάεων µε τον προηγούµεο του οποίου η κάθε τήλη απεικονίζει το κέντρο της οµάδας. Η τελική εκτίµηη της καταλληλότητας του λ δίνεται από την ποότητα: tra( B ( K tra( W ( n K όπου n το πλήθος των τοιχείων που αποτελούν το ύνολο δεδοµένων. Κριτήριο 3 Ως τελευταίο κριτήριο επιλέχθηκε η καµπύλη L-urv: Για κάθε τιµή του λ, υπολογίζεται για τις οµάδες που προκύπτουν η µέη απόταη µεταξύ των τοιχείων κάθε οµάδας(ntr-lustr varan, και η µέη απόταη µεταξύ τοιχείων που ανήκουν ε διαφορετικές οµάδες (ntra-lustr varan. Στη υνέχεια, απεικονίζεται γραφικά η ntra-lustr απόταη υναρτήει της ntr-lustr απόταης. Τέλος επιλέγεται ως βέλτιτη τιµή του λ εκείνη που αντιτοιχεί το ηµείο εκείνο για το οποίο η κλίη της καµπύλης ταθεροποιείται Υπολογιµός υνάρτηης υµµετοχής Τέλος µελετάµε το βαθµό υµµετοχής του δείγµατος την οµάδα (mmbrsp όπως αυτό προκύπτει από τον αλγόριθµο FCC. Ο βαθµός υµµετοχής µ δίνεται από τη χέη : µ µ,,...,,,..., n ( (, π ma { }{ (, } ρ π όπου είναι το κέντρο του ι κ U u χρηιµοποιώντας τη (. Τα ηµεία που αποτελούν το κελετό των οµάδων το Χ είναι τα δείγµατα για τα οποία u. 0 ρ. Υπολογίζουµε το βαθµό αυτό το { } π 66

66 Κεφάλαιο 4 Νευροααφές Σύτηµα Εξαγωγής Συµπεραµάτων 67

67 4 ΝΕΥΡΟ-ΑΣΑΦΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΞΑΓΩΓΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΩΝ Όπως αναφέρθηκε από την ειαγωγή, το κύριο αντικείµενο του υτήµατος είναι η εξαγωγή υµπεραµάτων. Αυτό θα επιτευχθεί µε τη χρήη ένος νευροααφούς υτήµατος, βαιµένου το νευροααφές ύτηµα SupFuns. Στο παρόν κεφάλαιο εξετάζονται αρχικά οριµένα γενικά χαρακτηριτικά των νευροααφών υτηµάτων και ο τρόπος µε τον οποίο το υγκεκριµένο µοντέλο διαφοροποιείται από αυτά. Στη υνέχεια αναπτύεται λεπτοµερώς η αρχιτεκτονική του δικτύου και ο τρόπος εξαγωγής υµπεραµάτων. Τέλος, παρουιάζεται ένας τρόπος εξαγωγής κανόνων από το εκπαιδευµένο δίκτυο (ο τρόπος µε τον οποίο θα γίνει η εκπαίδευη του δικτύου εξετάζεται ε επόµενο κεφάλαιο. 4. Γενικά χαρακτηριτικά Η ανάπτυξη των νευροααφών υτηµάτων γενικά, τηρίζεται ε οριµένες κοινές απαιτήεις, οι κυριότερες από τις οποίες είναι: Να ενωµατωθεί η γνώη που προκύπτει από τα δεδοµένα την αρχιτεκτονική του δικτύου ώτε να επιταχύνεται η διαδικαία της µάθηης Να χεδιατεί ένας κατάλληλος µηχανιµός ύνθεης και υώρευης υµπεραµάτων ο οποίος να είναι ε θέη να χειρίζεται ταυτόχρονα αριθµητικές και γλωικές ειόδους για να εξάγει τα υµπεράµατα Να ενωµατωθεί ένας µηχανιµός ο οποίος θα ρυθµίζει τις παραµέτρους του δικτύου βάει της εκπαίδευης από αριθµητικά δεδοµένα Να εξάγει, από την γνώη που προκύπτει από την εκπαίδευη, µία βάη κανόνων Τα χαρακτηριτικά αυτά αναπτύονται εκτενέτερα παρακάτω :. Ενωµάτωη γνώης που προκύπτει από δεδοµένα Τα περιότερα υβριδικά µοντέλα ενωµατώνουν γνώη που προκύπτει από τα δεδοµένα µε τη µορφή ααφών κανόνων ΕΑΝ ΤΟΤΕ, οι οποίοι απεικονίζονται τη δοµή του δικτύου. Αυτή η ενωµάτωη της γνώης επιτυγχάνεται θεωρώντας ότι τα τοιχεία, τόο της υπόθεης όο και του υµπεράµατος, παρουιάζονται ως υναπτικά βάρη το δίκτυο. Έχει αποδειχθεί ότι τα δίκτυα που βαίζονται τη γνώη απαιτούν µικρότερο ύνολο δεδοµένων εκπαίδευης και επιτυγχάνουν καλύτερη γενίκευη. Όταν η γνώη αυτού του είδους προκύπτει από αριθµητικά δεδοµένα, υνηθίζεται να χρηιµοποιείται είτε οµαδοποίηη είτε διαµεριµός για να προκύψουν οι κανόνες. Με τη χρήη οµαδοποίηης, τα κέντρα των ααφών κανόνων αρχικοποιούνται ως διανύµα των οµάδων που προκύπτουν από το ύνολο δεδοµένων. Κατά υνέπεια, ο αλγόριθµος µάθηης πρέπει να ρυθµίζει αυτούς τους κανόνες βάει των διαθέιµων δεδοµένων εκπαίδευης που περιγράφουν το πρόβληµα. Οι τεχνικές διαµέριης διαιρούν αναδροµικά το ύνολο δεδοµένων ειόδου εξόδου ε µικρότερες περιοχές βάει κάποιου τοπικού κριτηρίου τετραγωνικού φάλµατος. Από κάθε διαµέριη προκύπτει ένας κανόνας ΕΑΝ 68

68 ΤΟΤΕ. Και τις δύο περιπτώεις, η εύρεη του βέλτιτου αριθµού κανόνων ακολουθεί µία ευριτική προέγγιη.. Σύνθεη και υώρευη αποτελεµάτων Το θέµα της ύνθεης δεδοµένων ειόδου µε βάη την ενωµατωµένη βάη κανόνων, εξαρτάται από το αν τα χαρακτηριτικά των ειόδων είναι αριθµητικά ή γλωικά. Με αριθµητικές ειόδους, η υνηθιµένη προέγγιη είναι να χρηιµοποιούνται τιµές που υπολογίζονται από τις υναρτήεις υµµετοχής των ααφών υνόλων που απεικονίζουν τα βάρη του δικτύου. Για το χειριµό ααφών ειόδων, γίνεται κβαντιµός του υνόλου αναφοράς ε προκαθοριµένα ααφή ύνολα.. Μάθηη Το θέµα αυτό αντιµετωπίζεται είτε µε τη µέθοδο κλίης και παραλλαγές της, µη επιβλεπόµενη µάθηη, ενιχυτική µάθηη και ευριτικές µεθόδους, είτε µε γενετικούς αλγορίθµους. v. Ερµηνεία κανόνων Η ερµηνεία των ααφών βαρών επιτυγχάνεται αναθέτοντας ε κάθε ένα από τα ααφή βάρη µία γλωική τιµή η οποία καθορίζεται βάει της ύγκριης της οµοιότητας µε µία προκαθοριµένη υλλογή ααφών υνόλων. Η προέγγιη αυτή βοηθάει τη δηµιουργία µιας βάης κανόνων που είναι εύκολα κατανοητή. Το νευροααφές ύτηµα που θα χρηιµοποιηθεί την εφαρµογή µας είναι αναγκαίο να έχει τα εξής χαρακτηριτικά: Να ενωµατώνει ένα µηχανιµό ο οποίος θα είναι ε θέη να χειρίζεται κατά τον ίδιο τρόπο αριθµητικές και γλωικές ειόδους Να περιορίζει κατά το δυνατόν τον αριθµό των παραµέτρων που χρειάζεται για να λύει ένα πρόβληµα Να ενωµατώνει τη γνώη που προκύπτει είτε από τα δεδοµένα, είτε από την εµπειρία, τη δηµιουργία ενός υνόλου κανόνων της µορφής ΕΑΝ- ΤΟΤΕ Να τροποποιεί τη βάη των κανόνων βάει της γνώης που προκύπτει από τα δεδοµένα Να είναι ε θέη να ερµηνεύει ένα εκπαιδευµένο νευροααφές ύτηµα Το ύτηµα που περιγράφεται παρακάτω επιτυγχάνει ε µεγάλο βαθµό αυτούς τους τόχους. Χρηιµοποιεί τη υνηθιµένη αρχιτεκτονική ενός νευροααφούς δικτύου που ενωµατώνει κανόνες µορφής ΕΑΝ ΤΟΤΕ ως κρυµµένο τρώµα. Αυτό επιτυγχάνεται αντιτοιχίζοντας τα µέλη της υπόθεης των κανόνων µε τα προυναπτικά βάρη του κρυµµένου τρώµατος και τα µέλη υµπεράµατος µε τα µεταυναπτικά βάρη. Ωτόο, παρουιάζει κάποιες ιδιαιτερότητες που το διαφοροποιούν από τα υπόλοιπα νευροααφή δίκτυα : Χρηιµοποιεί έναν εκπαιδευµένο ααφοποιητή ειόδου ο οποίος είναι υπεύθυνος για την ααφοποίηη των αριθµητικών δεδοµένων. Κάθε αριθµητική είοδος ααφοποιείται βάει µίας υνάρτηης Gauss που αντιτοιχεί ε κάθε χαρακτηριτικό του προβλήµατος. Όλες οι πληροφορίες που διαδίδονται από το τρώµα ειόδου είναι ααφείς. Κατά αυτό τον τρόπο, το µοντέλο χρηιµοποιεί ένα µηχανιµό ύνθεης βαιµένο ε κάποιο κριτήριο οµοιότητας ααφών υνόλων. Αυτό το 69

69 διαφοροποιεί από τη υνηθιµένη προέγγιη να χρηιµοποιείται ο τελετής mn για να βρεθεί η τελική ενεργοποίηη. Οι έξοδοι παράγονται µε τη µέθοδο της ποοτικής απο-ααφοποίηης (volum d-fuzzfaton, η οποία είναι παραλλαγή της υνηθιµένης µεθόδου κέντρου βάρους. Τα τέερα παραπάνω χαρακτηριτικά προδίδουν το µοντέλο ταυτόχρονα υψηλές επιδόεις και οικονοµία παραµέτρων. 4. Αρχιτεκτονική και τρόπος λειτουργίας του µοντέλου Η αρχιτεκτονική του χρηιµοποιούµενου µοντέλου φαίνεται το χήµα 4.. Σχ.4.: Αρχιτεκτονική του µοντέλου SupFuNIS Το µοντέλο εµπεριέχει ααφείς κανόνες της µορφής Αν το είναι ΧΑΜΗΛΟ και το ΥΨΗΛΟ, τότε το είναι ΜΕΣΑΙΟ όπου ΧΑΜΗΛΟ, ΜΕΣΑΙΟ, ΥΨΗΛΟ είναι ααφή ύνολα που ορίζονται το υπερύνολο αναφοράς των κόµβων ειόδου ή εξόδου αντίτοιχα. Οι κόµβοι ειόδου 70

70 αντιπροωπεύουν µεταβλητές ή χαρακτηριτικά του πεδίου οριµού και οι κόµβοι εξόδου µεταβλητές ή χαρακτηριτικά του πεδίου τιµών. Κάθε κρυµµένος κόµβος αντιπροωπεύει έναν κανόνα και οι υνάψεις µεταξύ των κόµβων ειόδου και των κόµβων κανόνων αντιπροωπεύουν τα προυναπτικά βάρη του ααφούς κανόνα. Κατά ανάλογο τρόπο, οι υνάψεις µεταξύ των κόµβων κανόνων και των κόµβων εξόδου αντιπροωπεύουν τα µεταυναπτικά βάρη του ααφούς κανόνα. Ααφή ύνολα που αντιτοιχούν ε γλωικές µεταβλητές (όπως ΧΑΜΗΛΟ, ΜΕΣΑΙΟ, ΥΨΗΛΟ, ορίζονται τα υπερύνολα αναφοράς ειόδου και εξόδου και αντιπροωπεύονται από υµµετρικές υναρτήεις υµµετοχής Gauss που χαρακτηρίζονται απο το κέντρο και τη διαπορά τους. Κατά υνέπεια τα ααφή βάρη από τους κόµβους ειόδου προς τους κόµβους κανόνων παριτάνονται απο το κέντρο και τη διαπορά και υµβολίζονται (,. Κατά ανάλογο τρόπο, τα µεταυναπτικά βάρη από τους κόµβους κανόνων προς τους κόµβους εξόδου υµβολίζονται µε v ( v, v. Η γεγονοδηγούµενη γνώη ενωµατώνεται κατά τον τρόπο αυτό απευθείας την αρχιτεκτονική του δικτύου. Το δίκτυο µπορεί να δεχτεί ταυτόχρονα ως ειόδους αριθµητικές τιµές και ααφείς ποότητες. Οι αριθµητικές τιµές ααφοποιούνται ώτε όλες οι είοδοι του δικτύου να έχουν ααφή χαρακτήρα. Καθώς και τα προυναπτικά βάρη είναι επίης ααφείς µεταβλητές, χρειάζεται να καθοριτεί ο τρόπος µετάδοης ενός ααφούς ήµατος µέω µίας ααφούς ύναψης. Στις περιότερες περιπτώεις νευρωνικών δικτύων το ήµα ειόδου πολλαπλαιάζεται απευθείας µε µία ποότητα ανάλογη του βάρους και οι τιµές που προκύπτουν αθροίζονται για να δώουν την τιµή ενεργοποίηης ενός κόµβου. Στο υγκεκριµένο δίκτυο, για το κοπό αυτό θα χρηιµοποιηθεί το µέτρο οµοιότητας. 4.. Μετάδοη του ήµατος τους κόµβους ειόδου Καθώς το διάνυµα ειόδου X (,,..., n µπορεί να περιλαµβάνει είτε αριθµητικές είτε γλωικές µεταβλητές, υπάρχουν δύο είδη κόµβων το τρώµα ειόδου. Οι γλωικοί κόµβοι δέχονται µία γλωική είοδο που αναπαριτάται από ένα ααφές ύνολο µε µία υνάρτηη υµµετοχής Gauss και µοντελοποιείται από το κέντρο και τη διαπορά. Αυτές οι υναρτήεις υµµετοχής επιλέγονται από έναν προκαθοριµένο αριθµό ααφών υνόλων, όπως φαίνεται το χήµα 4.(a, όπου τρία ααφή ύνολα εχουν οριτεί ε ένα υπερύνολο αναφοράς [-,]. Κατά αυτό τον τρόπο, η γλωική µεταβλητή αναπαριτάται από (,. Το ίδιο αυτό ήµα S ( µεταδίδεται από τον γλωικό κόµβο, εφόον οι είοδοι δεν υφίτανται καµία επεξεργαία το τρώµα ειόδου. Οι αριθµητικοί κόµβοι είναι εκπαιδευόµενοι ααφοποιητές. έχονται αριθµητικές ειόδους και τις ααφοποιούν χρηιµοποιώντας ααφή ύνολα Gauss. Η αριθµητική είοδος ααφοποιείται αντιµετωπίζοντάς την ως κέντρο µίας υνάρτηης υµµετοχής Gauss µε ρυθµιζόµενη απόκλιη. Αυτό φαίνεται το χήµα 4.(b όπου µία αριθµητική είοδος µε τιµή 0.5 έχει ααφοποιηθεί ε µία υνάρτηη υµµετοχής Gauss µε απόκλιη 0.5. Το χήµα Gauss επιλέγεται για να 7

71 ταιριάξει µε το χήµα των ααφών υνόλων, καθώς αυτό διευκολύνει τους υπολογιµούς οµοιότητας που φαίνονται το χήµα 4.3. Σχ.4.: (α Προκαθοριµένα ααφή ύνολα για ααφείς ειόδους. (b Παράδειγµα ααφοποίηης αριθµητικής ειόδου. 4.. Μέτρο οµοιότητας εδοµένου ότι και το ήµα και τα βάρη είναι ααφή ύνολα τα οποία αντιπροωπεύονται από υναρτήεις υµµετοχής Gauss, φαίνεται εύλογο να επιλεγεί ως ήµα προς µετάδοη ο βαθµός οµοιότητας των δύο ααφών υνόλων. Ο βαθµός αυτός ορίζεται παρακάτω : Έτω δύο ααφή ύνολα A και Β που περιγράφονται από υναρτήεις υµµετοχής Gauss µε κέντρα, και αποκλίεις, : α( b( (( / (( / Το πλήθος των τοιχείων του υνόλου Α ορίζεται ως εξής: (( / C( A a( d d 7

72 Σχ.4.: Τεερις περιπτώεις ως προς χετικές τιµές των,,,. Περίπτωη :, > (a,, (b. Περίπτωη : >, (, <, (d. Περίπτωη 3: >, > (, <, > (f. Περίπτωη 4: >, < (g, <, < (. Η οµοιότητα ( A, B Β είναι ία : ε ε παριτάνει το βαθµό τον οποίο δύο ααφή ύνολα Α και ( A, B βαθµ ός ( Α Β βαθµ ός ( Α ΒκαιΒ Α Και µπορεί να δοθεί από τη χέη : 73

73 ε ( A B ( A I B ( A B C( A I B ( A C( B C( A I B, C C C [0,] Aνάλογα µε τις τιµές των, και,, προκύπτουν τέερις διαφορετικές περιπτώεις για τον υπολογιµό της οµοιότητας: Περίπτωη : Περίπτωη :, Περίπτωη 3 :, > Περίπτωη 4 :, < Τα ηµεία τα οποία τέµνονται οι δύο καµπύλες είναι τα : και Για τον υπολογιµό του µέτρου οµοιότητας, θα χρηιµοποιήουµε τον οριµό της υνάρτηης φάλµατος, η οποία ορίζεται ως εξής: rf ( t (/ π 0 dt 4..3 Μετάδοη ήµατος βαιµένη την οµοιότητα Όπως φαίνεται παρατατικά το χήµα 4.4, το µοντέλο µεταδίδει το ααφές ήµα ειόδου κατά µήκος ενός επίης ααφούς προυναπτικού βάρους. Η ποότητα που µεταδίδεται τελικά µέω του βάρους αυτού το τρώµα κανόνων του δικτύου είναι το µέτρο οµοιότητας µεταξύ του βάρους και του ααφούς ήµατος ειόδου. Συµβολίζοντας το ήµα ειόδου S( (, και το αντίτοιχο προυναπτικό βάρος (, η µεταξύ τους οµοιότητα θα είναι : ε ε, ( s C C( s I ( s C( C( s I 74

74 Σχ.4.4: Μετάδοη ααφούς ήµατος. Η µορφή που παίρνει η αναλυτική έκφραη για τον υπολογιµό της οµοιότητας εξαρτάται από τη χέη µεταξύ των, και προκύπτουν 4 υνολικά περιπτώεις : Περίπτωη :. Αν < το ααφές ύνολο ήµατος καλύπτεται πλήρως από το ααφές βάρος όπως φαίνεται και το χήµα 4.3(a και το µέτρο C s I C s I δίνεται από : C ( ( (( / ( s I C( s d π [ rf ( rf ( ] π Παρόµοια C ( s C( I αν > και C ( s I π. Αν τα δύο ύνολα είναι ία όπως φαίνεται το χήµα 4.3(b. Συνοψίζοντας C ( s I C ( s C( ( s C( C π, π, π < > π, Περίπτωη :,. Στην περίπτωη αυτή υπάρχει ακριβώς ένα ηµείο τοµής, όπως φαίνεται τo 4.3( Αν < 75

75 76 ( ( ( π π rf rf d d s C / (( / (( I Αν > τότε ( ( ( π π rf rf d d s C / (( / (( I Περίπτωη 3 : <,. Σε αυτή την περίπτωη υπάρχουν δύο ηµεία τοµής και. Θεωρούµε ότι < και < οπότε έχουµε : ( ( ( ( ( π π π rf rf rf rf d d d s C / (( / (( / (( I Όµοια είναι η έκφραη και αν > Περίπτωη 4 : >,. Όπως και την περίπτωη 3 έχουµε δύο ηµεία τοµής και ( <. Θεωρώντας ότι < έχουµε ( ( ( ( ( π π π rf rf rf rf d d d s C / (( / (( / (( I

76 Oµοίως υπολογίζεται η οµοιότητα και αν > 4..4 Στρώµα κανόνων Υπολογίζοντας όλες τις τιµές οµοιότητας E ( ε,..., ε n για τον κόµβο κανόνων, αποτιµούµε την υµβατότητα του διανύµατος ειόδου S ( s,..., s n και του διανύµατος W (,..., n. Κάθε κόµβος κανόνων υωρεύει ουιατικά αυτό το διάνυµα, κατά τρόπο που η τιµή ενεργοποίηης που προκύπτει να αντικατοπτρίζει αυτή τη υµβατότητα. Με άλλα λόγια, ο βαθµός τον οποίο πυροδοτείται ο κανόνας, όπως αυτός παρουιάζεται µέα από την ενεργοποίηη του αντίτοιχου κόµβου, µετρά το βαθµό τον οποίο η είοδος S ( s,..., s n αντιτοιχεί το προυναπτικό βάρος του κανόνα. Ο τελετής mn που χρηιµοποιείται υνήθως τα ααφή υτήµατα, θα αντικαταταθεί εδώ µε τον τελετή γινοµένου, µε κοπό να αθροιτούν οι τιµές ενεργοποίηης ενός κόµβου κανόνων. Έτι, η τιµή ενεργοποίηης z του κόµβου είναι ένα γινόµενο βαιµένο την οµοιότητα. Η διαφοριιµότητα της ποότητας αυτής επιτρέπει το ύτηµα να εκπαιδευτεί µε τη χρήη της µεθόδου κλίης. Η τιµή ενεργοποίηης του -οτού κανόνα είναι το ααφές εωτερικό γινόµενο, δηλαδή : z n ε n ε ( s, [0,] Ο τελετής εωτερικού γινοµένου παρουιάζει τις εξής ιδιότητες : Παίρνει τιµές µεταξύ 0 και, είναι αύξουα υνάρτηη, είναι υνεχής και παίρνει µη µοναδιαίες τιµές. Τα χαρακτηριτικά αυτά προδίδουν βελτιωµένη υµπεριφορά το µοντέλο. Η αντικατάταη του τελετή mn από τον τελετή γινοµένου παρουιάζει το πλεονέκτηµα ότι δεν αγνοεί τη διάταη του διανύµατος ειόδου (όπως κάνει ο τελετής mn. Επιπλέον, παρέχει µία καλύτερη εκτίµηη της υνεκτικής ιχύος των ειόδων. Τέλος, παρουιάζει αυξηµένη ικανότητα να διαχωρίει τις ειόδους που µοιάζουν µε το διάνυµα βάρους από εκείνες που διαφέρουν. Η υνάρτηη ενεργοποίηης του κόµβου κανόνων είναι γραµµική, και δίνεται από τη χέη : S ( z z Συνεπώς οι τιµές µεταδίδονται χωρίς καµία µεταβολή τις µεταυναπτικές υνδέεις Στρώµα εξόδου Το ήµα κάθε κόµβου εξόδου υπολογίζεται µε την τροποποιηµένη µέθοδο αποααφοποίηης του κέντρου βάρους. Ονοµάζοντας V το χώρο των µεταυναπτικών βαρών και ξ τα βάρη που αντιτοιχούν το z, η τιµή του κ- οτού κόµβου εξόδου δίνεται από τη χέη : 77

77 q q z v z V V ξ ξ όπου q ο αριθµός των κανόνων. Τα V παριτάνουν ααφή ύνολα Gauss, υνεπώς V v π. Τα βάρη ξ έχουν θεωρηθεί µοναδιαία, οπότε η τελική έκφραη γίνεται : q q z v z v v Ο απο-ααφοποιητής αυτός υπολογίζει το κυρτό άθροιµα του υνόλου των µεταυναπτικών κέντρων. 4.3 Εξαγωγή κανόνων από εκπαιδευµένο δίκτυο Για να ερµηνεύουµε το ύνολο κανόνων, θεωρούµε ααφείς διαµερίεις (fuzz ntrprtaton sts, τέτοιες που να παρέχουν αναλυτική γλωική αναπαράταη του υνόλου αναφοράς του προβλήµατος µας. Συνήθως, οι γλωικοί διαµορφωτές αναπαρίτανται από κανονικοποιηµένες υναρτήεις υµµετοχής Gauss µε όµοιες διαπορές και ιαπέχοντα κέντρα. Ενδεικτικά δίνονται το χήµα 4.5 δύο τέτοιες ααφείς διαµερίεις, µε τρεις και µε πέντε γλωικές µεταβλητές αντίτοιχα. 78

78 Σχ.4.5 Ααφείς διαµερίεις του υνόλου αναφοράς. Για να εξαχθεί ένας γλωικός κανόνας από ένα εκπαιδευµένο δίκτυο, βάει των ααφών διαµερίεων που έχουν επιλεγεί, υπολογίζεται η ααφής τοµή ανάµεα ε κάθε προυναπτικό µέρος του κανόνα και ε κάθε ααφές ύνολο της ααφούς διαµέριης και αντίτοιχα ανάµεα ε κάθε µεταυναπτικό µέρος του κανόνα και ε κάθε ααφές ύνολο της ααφούς διαµέριης. Εν υνεχεία, το προυναπτικό ή µεταυναπτικό µέρος του κανόνα υχετίζεται µε την ααφή διαµέριη, την οποία παρουιάζεται η µέγιτη τιµή της ααφούς τοµής. Το ύνολο ενωµατωµένων κανόνων που προκύπτει, µπορεί να παραταθεί από ένα πίνακα ο οποίος θα έχει ως τήλες τις ειόδους και τις εξόδους του κανόνα και ως γραµµές τον ίδιο τον κανόνα. Αν ε αυτόν τον πίνακα παρατηρηθούν οµοιότητες ανάµεα ε γραµµές του, αυτό ηµαίνει ότι το ύτηµα µπορεί να αναπαραταθεί από µικρότερο αριθµό κανόνων. Αν παρατηρηθεί ότι υπάρχουν κανόνες που για τις ίδιες ειόδους παράγουν διαφορετικά αποτελέµατα (γλωικές τιµές, τότε απαιτείται αύξηη του πλήθους των υνόλων της ααφούς διαµέριης που χρηιµοποιήθηκαν. Ο ελάχιτος αριθµός τέτοιων ααφών διαµερίεων του υπερυνόλου αναφοράς, είναι εκείνος για τον οποίο δεν θα παρατηρούνται τέτοια φαινόµενα. Έτι, η ερµηνεία των κανόνων διευκολύνεται µε άµεο τρόπο, υιοθετώντας αφείς τοµές ε υνδυαµό µε ααφείς διαµερίεις υγκεκριµένου αριθµού γλωικών τιµών. 79

79 Κεφάλαιο 5 Μάθηη 80

80 5 ΜΑΘΗΣΗ Όπως έγινε αφές από την ειαγωγή, ο κυριότερος τόχος της παρούας εργαίας είναι να εµπλουτιτεί το νευροααφές µοντέλο Supfuns µε τη δυνατότητα να εκπαιδεύει τον εαυτό του χρηιµοποιώντας τα πρότυπα ειόδου που του δίνονται προς ταξινόµηη. εδοµένου ότι το ύτηµα δε γνωρίζει την κατηγορία την οποία ανήκουν τα πρότυπα αυτά, είναι αναγκαίο η εκπαίδευη αυτή να γίνει µε τη χρήη ενιχυτικής µάθηης. Η έννοια της ενιχυτικής µάθηης περιλαµβάνει ένα ευρύ φάµα προβληµάτων, που εκτείνονται από την προέγγιη υναρτήεων µέχρι τον αυτόµατο έλεγχο. Παρότι ε όλα αυτά τα προβλήµατα ακολουθούνται οι ίδιες βαικές αρχές, η έρευνα έχει δείξει ότι για µεγαλύτερη αποτελεµατικότητα, πρέπει κανείς να ετιάει τις ιδιαιτερότητες του εκάτοτε προβλήµατος. Στην περίπτωη του προβλήµατος της ταξινόµηης, οι κυριότερες ιδιαιτερότητες που παρουιάζονται είναι οι εξής : Το πρόβληµα είναι υχετιτικό, δηλαδή το ζητούµενο είναι η απεικόνιη ενός διανύµατος ειόδου ε ένα διάνυµα εξόδου Το ενιχυτικό ήµα καθορίζεται µόνο από την τελευταία ενέργεια (έξοδο του δικτύου Τα δύο αυτά χαρακτηριτικά, ε υνδυαµό µε το γεγονός ότι το νευροααφές ύτηµα που θα χρηιµοποιηθεί βαίζεται ε ένα υνεκτικό δίκτυο, καθιτούν του αλγορίθµους της οικογένειας REINFORCE κατάλληλους για την εκπαίδευη του δικτύου. Οι αλγόριθµοι της εν λόγω οικογένειας αξιοποιούν τα παραπάνω χαρακτηριτικά υνδυάζοντας τις βαικές αρχές της ενιχυτικής µάθηης µε τη µέθοδο κλίης. Στο κεφάλαιο αυτό παρουιάζονται µερικά βαικά χαρακτηριτικά των αλγορίθµων REINFORCE και γίνεται προαρµογή τους τις ιδιαιτερότητες του προβλήµατος της ταξινόµηης και την αρχιτεκτονική του µοντέλου που χρηιµοποιούµε. Επιπρόθετα, γίνεται αναφορά τη δυνατότητα εκπαίδευης του µοντέλου µε επιβλεπόµενη µάθηη. 5. Παραδοχές και υµβολιµοί Τα παρακάτω θεωρούµε ότι αφορούν ένα υνεκτικό δίκτυο προοτροφοδότηης, που αποτελείται από κόµβους οι οποίοι λειτουργούν τοχατικά, ενώ θα εξετάουµε και την περίπτωη που υπάρχουν το δίκτυο ντετερµινιτικοί κόµβοι. Το δίκτυο λαµβάνει ένα διάνυµα ειόδου από το περιβάλλον, διαδίδει τις τιµές ενεργοποίηης µέω των κόµβων του δικτύου και τέλνει τις τιµές που παράγονται από τους κόµβους εξόδου τον περιβάλλον για αξιολόγηη. Το κριτήριο αξιολόγηης είναι ένα βαθµωτό ενιχυτικό ήµα, το οποίο διαδίδεται εν υνεχεία ε όλους τους κόµβους του δικτύου. Στο ηµείο αυτό, ο κάθε κόµβος προαρµόζει τα βάρη του, κατά τον τρόπο που καθορίζεται από τον αλγόριθµο µάθηης και εν υνεχεία η διαδικαία επαναλαµβάνεται. Ο υµβολιµός που θα χρηιµοποιηθεί είναι ο ακόλουθος : Έτω του -οτού κόµβου του δικτύου και η έξοδος το διάνυµα ειόδου που αντιτoιχεί τον κόµβο. Το είναι ένα διάνυµα του οποίου τα τοιχεία ( προέρχονται είτε από εξόδους άλλων κόµβων του δικτύου, είτε απευθείας από το περιβάλλον. Η έξοδος του -οτού κόµβου του δικτύου προκύπτει από το διάνυµα ειόδου και τα βάρη 8

81 που υνδέουν την είοδο µε την έξοδο. Για κάθε, έτω αποτελείται από όλα τα το διάνυµα που. Έτω W το διάνυµα που αποτελείται από όλα τα βάρη του δικτύου. Κατά µία γενικότερη έννοια, το διάνυµα µπορεί να ιδωθεί ως το ύνολο των παραµέτρων που επηρεάζουν τη υµπεριφορά του -οτού κόµβου του δικτύου, ενώ το W ως το ύνολο των παραµέτρων που επηρεάζουν τη υνολική υµπεριφορά του δικτύου. Επιπλέον, για κάθε, έτω g ( ξ,, Pr{ ξ, }, δηλαδή η g είναι η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας που καθορίζει την τιµή της υναρτήει των παραµέτρων του κόµβου και της ειόδου του. εδοµένου ότι το διάνυµα περιέχει όλες τις παραµέτρους που χετίζονται µε τη υµπεριφορά του -οτού κόµβου, µπορόυµε ιοδύναµα να χρηιµοποιήουµε το υµβολιµό g ( ξ,, Pr{ ξ W, } Πρέπει να ηµειωθεί ότι οι τιµές πολλών από τα µεγέθη που αναφέρθηκαν, όπως r,, εξαρτώνται από το χρόνο, πράγµα που δεν φαίνεται αφώς το υµβολιµό χάριν υντοµίας. Πάντως, τα παρακάτω, θεωρούµε ότι όπου περιότερες από µία τέτοιες παράµετροι αναφέρονται την ίδια χέη, αναφέρονται την ίδια χρονική τιγµή t. Θεωρούµε ότι κάθε χρονική τιγµή t αρχίζει τη τιγµή που µία νέα είοδος παρουιάζεται το δίκτυο. 5. Κριτήριο επίδοης της ενιχυτικής µάθηης Προτού µελετηθεί ο κυρίως αλγόριθµος, πρέπει να οριτεί ένα µέτρο της επίδοης του υτήµατος, του οποίου η βελτιτοποίηη θα είναι ο τόχος. Για ένα οποιοδήποτε ύτηµα, υχετιτικό ή όχι, το οποίο εκείνο που ενδιαφέρει είναι η άµεη ανταµοιβή, είναι εύλογο ως τέτοιο να χρηιµοποιηθεί η αναµενόµενη τιµή του ενιχυτικού ήµατος, όπως αυτή υπολογίζεται βάει των παραµέτρων του υτήµατος. Συνεπώς, ως µέτρο επίδοης του δικτύου θα χρηιµοποιήουµε το E { r W}, όπου το Ε υποδηλώνει αναµενόµενη τιµή, το r είναι το ενιχυτικό ήµα και W ο πίνακας µε τα βάρη του δικτύου. Είναι αναγκαίο να χρηιµοποιηθεί η αναµενόµενη τιµή λόγω των εξής απροδιόριτων παραµέτρων : Του διανύµατος ειόδου το οποίο δίνει το περιβάλλον το δίκτυο Της εξόδου που το δίκτυο παράγει ως αποτέλεµα αυτού του διανύµατος ειόδου Της τιµής του ενιχυτικού ήµατος για οποιοδήποτε ζεύγος ειόδου εξόδου Πρέπει να ηµειωθεί ότι για να µελετήουµε το E { r W} ως ποότητα ανεξάρτητη του χρόνου, πρέπει ο πρώτος και τρίτος από τους παραπάνω παράγοντες να θεωρηθεί ότι καθορίζονται από τατικές κατανοµές και ότι η επιλογή του διανύµατος ειόδου που δίνει το περιβαλλον δεν εξαρτάται από το χρόνο. Αν οι προϋποθέεις αυτές δεν πληρούνται, το E { r W} δίνεται ως υνάρτηη της παρούας χρονικής τιγµής καθώς και των προηγούµενων. Ωτόο, την περίπτωη του προβλήµατος µας, οι δύο προϋποθέεις αυτές ικανοποιούνται. Πρέπει να ηµειωθεί ότι υπό αυτούς του όρους, το E { r W} είναι µία καλά οριµένη, ντετερµινιτική υνάρτηη του W, την οποία όµως το ύτηµα δεν γνωρίζει. Κατά υνέπεια, ο κοπός του υτήµατος ενιχυτικής µάθηης είναι να 8

82 αναζητήει όλο τον χώρο κατατάεων και να βρει το W εκείνο που µεγιτοποιεί την τιµή του E { r W}. 5.3 Αλγόριθµοι REINFORCE Θεωρούµε ένα δίκτυο που αντιµετωπίζει ένα υχετιτικό πρόβληµα το οποίο το ζητούµενο είναι η µεγιτοποίηη της αναµενόµενης τιµής του ενιχυτικού ήµατος. Υπενθυµίζεται ότι τα βάρη ενός τέτοιου δικτύου επαναπροαρµόζονται ε κάθε βήµα ανάλογα µε την τιµή του ενιχυτικού ήµατος. Υποθέτουµε ότι ο αλγόριθµος µάθηης είναι τέτοιος που ε κάθε βήµα κάθε ένα από τα βάρη του δικτύου αυξάνεται κατά την ποότητα : α ( r b όπου α ο ρυθµός µάθηης, b το rnformnt basln και aratrst lgblt του basln b είναι ανεξάρτητο απο το, δεδοµένων των W και µάθηης α είναι µη αρνητικός και µπορεί να εξαρτάται µόνο από τα περιότερες περιπτώεις το ln g / η. Επιπλέον, υποθέτουµε ότι το το rnformnt και ο ρυθµός και t. (Στις α θα θεωρείται ταθερό. Οι αλγόριθµοι µάθηης που θα έχουν την παραπάνω µορφή ονοµάζονται REINFORCE, από τα αρχικά των λέξεων REard Inrmnt ( Nonngatv Fator ( Offst Rnformnt ( Caratrst Elgblt Η υµπεριφορά των αλγορίθµων αυτή της κατηγορίας καθορίζεται από το παρακάτω θεώρηµα : Για κάθε αλγόριθµο τύπου REINFORCE, το εωτερικό γινόµενο των ποοτήτων E{ W W} και E { r W} είναι µη αρνητικό. Επιπλέον, αν α >0 για κάθε και, το εωτερικό γινόµενο είναι µηδενικό µόνο όταν E{ r W} 0. Επιπλέον, αν το α a για κάθε και, τότε E{ W W} α E{ r W}. Αυτό το αποτέλεµα υχετίζει την E { r W} (την παράγωγο του µέτρου απόδοης το χώρο των βαρών, µε το E{ W W}, για κάθε αλγόριθµο τύπου REINFORCE. Πιο υγκεκριµένα, λέει ότι για κάθε τέτοιο αλγόριθµο η µεταβολή των βαρών του δικτύου βρίκεται προς την κατεύθυνη προς την οποία το µέτρο επίδοης αυξάνει. Ιοδύναµα, για κάθε βάρος η ποότητα ( r b ln g / αντιπροωπεύει µία εκτίµηη της ποότητας E{ r W} /. Είναι προφανές ότι ο τρόπος µε τον οποίο υµπεριφέρονται οι παραπάνω αλγόριθµοι καθορίζεται από το ενιχυτικό ήµα που λαµβάνει το ύτηµα, την επιλογή του rnformnt basln και τον τρόπο υπολογιµού της aratrst lgblt κάθε παραµέτρου. Ο τρόπος µε τον οποίο θα υπολογιτούν κάθε µία από αυτές τις παραµέτρους το ύτηµά µας αναλύεται παρακάτω. 83

83 5.3. Ενιχυτικό Σήµα Ο υπολογιµός του ενιχυτικού ήµατος που θα λαµβάνει το δίκτυο βαίζεται τον αλγόριθµο των -πληιέτερων γειτόνων (-Narst Ngbors / -NN. Κατά υνέπεια, πρώτα περιγράφεται αυτός ο αλγόριθµος και τη υνέχεια, ο τρόπος υπολογιµού του ενιχυτικού ήµατος Ο αλγόριθµος -NN n Έτω ένα ύνολο από πρότυπα X {,,..., N } R, των οποίων η κατηγοριοποίηη είναι εκ των προτέρων γνωτή. Κατά υνέπεια κάθε ένα από τα παραπάνω πρότυπα θεωρείται ότι ανήκει ε µία ακριβώς από τις κλάεις n W {,,..., p}. Ετω D η Ευκλίδεια απόταη δύο προτύπων το R. Ο αλγόριθµος -NN κατηγοριοποιεί ένα άγνωτο πρότυπο z, λαµβάνοντας υπόψη του την κατηγορία την οποία ανήκουν οι πληιέτεροι γείτονες του (όπως αυτοί καθορίζονται µέω της D. Έτω ότι t,,,..., s είναι το πλήθος των γειτόνων (από τους γείτονες του z που p ανήκουν την κατηγορία (προφανώς ιχύει t. Τότε το άγνωτο πρότυπο αντιτοιχίζεται την κατηγορία αν ιχύει t t } ma { Η γενικότερη υµπεριφορά του αλγορίθµου καθορίζεται ε µεγάλο βαθµό από την επιλογή του. Έχει αποδειχθεί εµπειρικά ότι η βέλτιτη τιµή του είναι N, όπου Ν ο αριθµός των προτύπων που ανήκουν ε γνωτές κατηγορίες. s Υπολογιµός Ενιχυτικού Σήµατος Θεωρούµε ότι ένα άγνωτο πρότυπο ειόδου, αποδίδεται από το δίκτυο, βάει της εξόδου του, την κατηγορία. Η τιµή του ενιχυτικού ήµατος που θα λάβει το ύτηµα για αυτή την έξοδο θα είναι : tm tm r p t διατηρώντας το υµβολιµό που χρηιµοποιήθηκε παραπάνω. Είναι προφανές ότι µε τον τρόπο που ορίζεται το ενιχυτικό ήµα, η περιοχή τιµών του είναι το διάτηµα [0,]. Το γεγονός αυτό µας δίνει τη δυνατότητα να το µεταφράουµε άµεα ε πιθανότητα Επιλογή του Rnformnt Basln Το θεώρηµα που παρουιάτηκε παραπάνω ιχύει για κάθε τιµή του Rnformnt Basln και υνεπώς δεν δίνει κανένα κριτήριο για την επιλογή του. Οµοίως, η περαιτέρω θεωρητική διερεύνηη του θέµατος δεν έχει καταλήξει ε αφή υµπεράµατα. Ωτόο, η ερευνητική εµπειρία έχει δείξει ότι η επιλογή του 84

84 rnformnt basln είναι καθοριτικής ηµαίας για την απόδοη του αλγορίθµου. Ένας από τους πιο υνηθιµένους τρόπους υπολογιµού της τιµής του b µπορεί να προκύψει µε τη µέθοδο rnformnt omparson (Sutton, 984 η οποία βρίκεται ε υµφωνία µε τους REINFORCE αλγορίθµους. Σύµφωνα µε αυτή την προέγγιη, το b αντικαθίταται µε r, όποτε η χέη γίνεται : ' a ( r r, όπου r υπολογίζεται µέω της χέης : ' ' r ( t γ r( t ( γ r ( t, 0 < γ (ponntal avragng Η τιµή αυτή του rnformnt basln θα χρηιµοποιηθεί και την περίπτωή µας Υπολογιµός της Caratrst Elgblt Συνάρτηη πιθανότητας κόµβων εξόδου Στην περίπτωη του υτήµατός µας, ο κοπός του είναι η ταξινόµηη προτύπων ε κατηγορίες.θεωρούµε ότι η ταξινόµηη επιτυγχάνεται µε τη δηµιουργία ενός δικτύου το οποίο έχει αριθµό εξόδων p, ίο µε τον πλήθος των κατηγοριών. Το κάθε πρότυπο ειόδου, θεωρείται ότι αποδίδεται την κατηγορία της οποίας η αντίτοιχη έξοδος δίνει την µέγιτη τιµή (λογική nnr tas all. Στην περίπτωη αυτή µπορούµε να θεωρήουµε ότι η πιθανότητα το διάνυµα εξόδου του δικτύου να πάρει την τιµή είναι : g( p όπου ο κόµβος-νικητής που αντιτοιχεί το εν λόγω διάνυµα εξόδου. Υπολογίζοντας τις µερικές παραγώγους αυτής της πιθανότητας προς τον κάθε κόµβο εξόδου χωριτά, έχουµε : 85

85 86 a a g p p p p p ν ν,, ( ln όπου µε υµβολίζεται ο τυχαίος κόµβος και µε ο κόµβος-νικητής. Προαρµόζοντας τα όα ειπώθηκαν παραπάνω για τους αλγορίθµους REINFORCE την αρχιτεκτονική του δικτύου µας, όπως αυτή αναλύθηκε το κεφάλαιο 4 και κάνοντας τις παραδοχές ότι ο ρυθµός µάθηης και το rnformnt basln είναι κοινά για όλους τους κόµβους του δικτύου, η ανανέωη των βαρών θα γίνεται βάει των χέεων : g b r a ( ln ( : g b r a ( ln ( : v g b r a v v ( ln ( : v g b r a v v ( ln ( : g b r a ( ln ( : Έχοντας υπολογίει παραπάνω το g ( ln, µπορούµε να εκφράουµε αυτές τις χέεις µε τη χρήη του κανόνα αλυίδας, ως εξής :

86 87 g b r a ( ln ( : g b r a ( ln ( : v g b r a v v ( ln ( : v g b r a v v ( ln ( : g b r a ( ln ( : Αποµένει να γίνει ο υπολογιµός των µερικών παραγώγων Υπολογιµός µερικών παραγώγων Η µερική παράγωγος του -οτού κόµβου της εξόδου ως προς το κέντρο και την απόκλιη των µεταυναπτικών βαρών δίνεται αντίτοιχα από τις χέεις : q v z v z v και q q q v z v v z z v z v z v Αντίτοιχα, η µερική παράγωγος του -οτού κόµβου της εξόδου προς το κέντρο και την απόκλιη των προυναπτικών βαρών, δίνεται από τις χέεις : p z z ε ε και p z z ε ε

87 Τέλος, η µερική παράγωγος του -οτού κόµβου της εξόδου, ως προς την απόκλιη της ειόδου, δίνεται από τη χέη : z ε q p z ε Για τον περαιτέρω υπολογιµό των ανωτέρω παραγώγων, χρειαζόµατε τις z ε ε ε αναλυτικές εκφράεις για τις, και,, z ε Έχουµε διαδοχικά : z και v v q q q q v v v v v v v v v ( v v q q q z v z v z v z ε n ε Οι µερικές παράγωγοι ε ε ε,, δίνονται από τις χέεις : ε ε C ( s I C ( s I ( ( π ( C( s I C( s I π ( C( s I ( ( C ( s I C ( s I ( ( π ( C( s I π π ( C( s I ( ( C( s I 88

88 ε C ( s I C ( s I ( ( π ( C( s I π π ( C( s I ( ( C( s I Οπως φαίνεται από τις παραπάνω εκφράεις, για τον υπολογιµό των παραγώγων πρέπει πρώτα να υπολογιτούν οι : C( s I C, ( s I και C ( s I Για τον υπολογιµό των παραγώγων αυτών πρέπει να διακρίνουµε, κατ αντιτοιχία µε τα όα αναλύθηκαν το προηγουµενο κεφάλαιο, 4 περιπτώεις ανάλογα µε τις τιµές των,,,. Περίπτωη : Η τιµή του C( s I δεν εξαρτάται από το, υνεπώς C ( s I 0. Η παράγωγος ως προς το είναι : C ( s I π, 0, > και η παράγωγος ως προς το C ( s I 0, < π, είναι : Περίπτωη :, ιακρίνουµε δύο υποπεριπτώεις ανάλογα µε τη χέη των,. Αν >, τότε : 89

89 90 ( d d d s C / (( / (( / (( / (( I ( ( π rf d d s C / (( / (( / (( I ( ( π rf d d s C / (( / (( / (( I Αν < ( d d s C / (( / (( / (( I ( ( π rf d d s C / (( / (( / (( I

90 9 ( ( π rf d d s C / (( / (( / (( I Περίπτωη 3 : <,. ιακρίνουµε και πάλι δύο υποπεριπτώεις ανάλογα µε τη χέη των,. Αν >, τότε : ( d d d s C / (( / (( / (( / (( / (( I ( ( ( π rf rf d d d s C / (( / (( / (( / (( / (( I

91 9 ( ( ( π rf rf d d d s C / (( / (( / (( / (( / (( I Αν <, τότε : ( d d d s C / (( / (( / (( / (( / (( I Συνεπώς, ανεξάρτητα από τη χέη µεταξύ των,, καταλήγουµε τις ίδιες εκφράεις για τις µερικές παραγώγους. Περίπτωη 4 : >, Όπως και την προηγούµενη περίπτωη, διακρίνουµε δύο υποπεριπτώεις ( > και < για τις οποίες καταλήγουµε τις ίδιες εκφράεις και υγκεκριµένα : ( d d d s C / (( / (( / (( / (( / (( I ( ( ( π rf rf d d d s C / (( / (( / (( / (( / (( I

92 93 ( ( ( π rf rf d d d s C / (( / (( / (( / (( / (( I 5.4 Επιβλεπόµενη µάθηη Όπως αναφέρθηκε την ειαγωγή, της εκπαίδευης του δικτύου µε ενιχυτική µάθηη είναι δυνατό να προηγηθεί και ένα τάδιο εκπαίδευης µε επιβλεπόµενη µάθηη. Η επιβλεπόµενη µάθηη θα βαιτεί τον αλγόριθµο ανάτροφης διάδοης. Ο αλγόριθµος βαίζεται την ελαχιτοποίηη του µέου τετραγωνικού φάλµατος, δηλαδή της ποότητας : ( ( ( ( ( t S t d t p Στην παραπάνω χέη τα d και είναι διανύµατα που υµβολίζουν την επιθυµητή και την πραγµατική έξοδο του δικτύου αντίτοιχα, για τη χρονική τιγµή t. εδοµένου ότι το επιθυµητό είναι η ελαχιτοποίηη του, η ανανέωη των βαρών θα γίνει βάει των χέεων : ( ( ( ( ( t t t t t α η ( ( ( ( ( t v t v t t v t v α η ( ( ( ( ( t t t t t α η ( ( ( ( ( t v t v t t v t v α η ( ( ( ( ( t t t t t α η όπου η είναι ο ρυθµός µάθηης, α ο παράγοντας ορµής και επιπλέον : ( ( ( t t t ( ( ( t v t v t v ( ( ( t t t ( ( ( t v t v t v ( ( ( t t t

93 94 Ο υπολογιµός των µερικών παραγώγων θα γίνει από τις χέεις : v d v v ( v d v v ( p p z z d z z ( ε ε ε ε p p z z d z z ( ε ε ε ε q p q p z z d z z ( ε ε ε ε όπου ο τρόπος υπολογιµού των v, v, z z ε ε, ε ε z z και ε ε z z έχει δειχθεί την παράγραφο

94 Κεφάλαιο 6 Περιγραφή λειτουργίας 95

95 6 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ Στο κεφάλαιo αυτό περιγράφεται η λειτουργία του λογιµικού που αποτελεί την υλοποίηη των όων αναπτύχθηκαν ε προηγούµενα κεφάλαια. Όπως φάνηκε από την ειαγωγή, η υλοποίηη αυτή αποτελείται από τρία επιµέρους τοιχεία : Την εφαρµογή επιβλεπόµενης µάθηης του Srvr Την εφαρµογή ταξινόµηης και ενιχυτικής µάθηης του P.D.A. Την εφαρµογή προοµοίωης των αιθητήρων Καθένα από τα τοιχεία αυτά περιγράφεται αναλυτικά παρακάτω. 6. Srvr 6.. Παράθυρο αρχικοποίηης Το παράθυρο το οποίο γίνεται αρχικοποίηη του προβλήµατος φαίνεται το χήµα 6.: Σχ.6.: Παράθυρο αρχικοποίηης του Srvr Στο υγκεκριµένο παράθυρο ο χρήτης ειάγει τα δεδοµένα που χρειάζονται για την αρχικοποίηη του προβλήµατος και υγκεκριµένα : Datast : Το pat και το όνοµα του αρχείου το οποίο βρίκεται το ύνολο δεδοµένων του προβλήµατος Inputs : Τον αριθµό των ειόδων από τις οποίες αποτελείται κάθε πρότυπο Ruls : Τον αριθµό των κανόνων του δικτύου Outputs : Τον αριθµό των κατηγοριών Στη υνέχεια ο χρήτης πατάει ΟΚ και µεταβαίνει το παράθυρο εκπαίδευης. 96

96 6.. Παράθυρο εκπαίδευης Στο παράθυρο του χήµατος 6. λαµβάνουν χώρα δύο λειτουργίες : H εκπαίδευη του δικτύου και η αποτολή δεδοµένων το P.D.A. Σχ.6.: Παράθυρο εκπαίδευης του Srvr Η εκπαίδευη του δικτύου γίνεται µε τη χρήη επιβλεπόµενης µάθηης. Για την εκπαίδευη πρέπει να προδιοριτούν οι εξής παράµετροι : Larnng rat : Ο ρυθµός µάθηης Momntum : Ο παράγοντας αδράνειας Numbr of Epos & Aura : Το κριτήριο τερµατιµού της εκπαίδευης Η εκπαίδευη υνεχίζεται είτε µέχρι να υµπληρωθεί ο αριθµός εποχών που προδιορίζεται από το Numbr of Epos, είτε µέχρι το ύτηµα να επιτύχει το ποοτό ωτών κατηγοριοποιήεων που προδιορίζεται από το Aura. Είναι φανερό ότι µέω αυτών των δύο παραµέτρων ο χρήτης µπορεί να επιλέξει ή να παραλείψει εντελώς το τάδιο της επιβλεπόµενης µάθηης (θέτοντας οποιοδήποτε από τα παραπάνω κριτήρια ίο µε 0 ή να εκπαιδεύει το ύτηµα εξ ολοκλήρου µε τη χρήη επιβλεπόµενης µάθηης (δίνοντας τα παραπάνω κριτήρια µεγάλες τιµές. Ωτόο, το ενδιαφέρον της εφαρµογής µας ετιάζεται ε περιπτώεις που ένα δικτύο το οποίο έχει εκπαιδευτεί ε κάποιο βαθµό µε επιβλεπόµενη µάθηη εκπαιδεύεται περαιτέρω µε ενιχυτική µάθηη. Συνεπώς τις περιότερες περιπτώεις η τιµή του aura είναι κόπιµο να οριτεί µεταξύ 60 % και 80 %. Εκτός των παραµέτρων που αφορούν τη διαδικαία της εκπαίδευης, ο χρήτης πρέπει να προδιορίει το πεδίο Port τον αριθµό της θύρας που θα χρηιµοποιηθεί για την αποτολή των δεδοµένων. Στη υνέχεια πατώντας OK αρχίζει η διαδικαία της εκπαίδευης. Κατά τη διάρκεια της εκπαίδευης εµφανίζονται την οθόνη ε κάθε εποχή : 97

97 O αύξων αριθµός της εποχής Ο αριθµός ωτών κατηγοριοποιήεων που πέτυχε το ύτηµα κατά την εποχή αυτή Το τετραγωνικό φάλµα για την εποχή αυτή Η εκπαίδευη υνεχίζεται µέχρι να ικανοποιηθεί ένα από τα δύο κριτήρια τερµατιµού (Numbr of Epos / Aura. Όταν η διαδικαία της εκπαίδευης ολοκληρωθεί, ο Srvr µεταπίπτει ε µία κατάταη την οποία περιµένει από Clnts να υνδεθούν (εµφανίζεται το µήνυµα Watng for onntons. Κάθε φορά που υνδέεται το Srvr ένας πελάτης, αυτός του τέλνει τα βάρη του δικτύου και το ύνολο δεδοµένων του προβλήµατος και όταν βεβαιωθεί ότι ο πελάτης τα έλαβε, διακόπτει τη ύνδεη. Κατά τη διαδικαία αυτή, την οθόνη εµφανίζονται διαδοχικά τα µηνύµατα : Clnt Conntd Sndng Wgts Sndng Datast Compltd Ο Srvr παραµένει επ αόριτον ε αυτή την κατάταη αναµονής, επιτρέποντας ε απεριόριτο αριθµό πελατών να υνδεθούν µαζί του και να λάβουν τα δεδοµένα. 6. P.D.A. Η εφαρµογή του P.D.A. αποτελεί το κυριότερο τµήµα της υλοποίηης, καθώς οι λειτουργίες της ταξινόµηης και της εκπαίδευης, µε τη χρήη ενιχυτικής µάθηης, λαµβάνουν χώρα ε αυτό. Η εφαρµόγη αποτελείται από δύο επιµέρους τµήµατα : 6.. Παράθυρο επικοινωνίας µε τον Srvr Το παράθυρο αυτό φαίνεται το χήµα 6.3, και αποτελείται από τα εξής τοιχεία : Σχ.6.3: Παράθυρο επικοινωνίας του P.D.A. µε τον Srvr 98

98 Loadd Problms : Ο κατάλογος µε τα προβλήµατα που βρίκονται αποθηκευµένα το P.D.A. Θεωρούµε ότι ένα πρόβληµα είναι αποθηκευµένο όταν το P.D.A. έχει αποθηκεύει το όνοµά του, το ύνολο δεδοµένων που αντιτοιχεί ε αυτό και τα βάρη του (εν µέρει εκπαιδευµένου, µε επιβλεπόµενη µάθηη, δικτύου που λαµβάνει από το Srvr. Στον κατάλογο αυτό προτίθεται αυτόµατα κάθε νέο πρόβληµα που το P.D.A. λαµβάνει από κάποιον Srvr και αφαιρείται αυτόµατα από αυτόν κάθε πρόβληµα που ο χρήτης επιλέγει να διαγράψει. IP addrss : Η IP διέυθυνη του Srvr από τον οποίο το P.D.A. θα λάβει τα δεδοµένα του προβλήµατος Port : Ο αριθµός της θύρας µέω της οποίας το P.D.A. θα επικοινωνήει µε το Srvr Πεδίο µηνυµάτων : Στο χώρο αυτό εµφανίζονται διάφορα µηνύµατα προς το χρήτη κατά τη λειτουργία της εφαρµογής Rv : Πατώντας αυτό το πλήκτρο, το P.D.A. λαµβάνει ένα πρόβληµα από το Srvr. Κατά τη διάρκεια της επικοινωνίας µε το Srvr, εµφανίζονται το πεδίο µηνυµάτων τα εξής : Establsng Connton Conntd Rvng Wgts Rvng Datast Problm Rvd Dlt : Πατώντας αυτό το πλήκτρο, το P.D.A. διαγράφει το επιλεγµένο πρόβληµα από τη λίτα µε τα διαθέιµα προβλήµατα, καθώς και τα αρχεία που αντιτοιχούν το ύνολο δεδοµένων του προβλήµατος και το αποθηκευµένο δίκτυο. Κατά τη διαγραφή εµφανίζονται τα ακόλουθα µυνήµατα : Dltng Wgts Dltng Datast Problm Dltd St : Πατώντας αυτό το πλήκτρο, ο χρήτης διακόπτει την επικοινωνία µε το Srvr και µεταβαίνει το παράθυρο επικοινωνίας µε τους αιθητήρες. 6.. Παράθυρο επικοινωνίας µε τους αιθητήρες Η επικοινωνία µε τους αιθητήρες, η διάγνωη και η εκπαίδευη του δικτύου λαµβάνουν χώρα το παράθυρο που φαίνεται το παρακάτω χήµα 6.4 : Σχ.6.4: Παράθυρο επικοινωνίας του P.D.A. µε τους αιθητήρες 99

99 Το παράθυρο αυτό αποτελείται από τα εξής τοιχεία : Ένα πεδίο το οποίο επιλέγεται αν το P.D.A θα λαµβάνει τα δεδοµένα από ένα µοναδικό αιθητήρα ή από πολλαπλούς αιθητήρες. Ο χρήτης επιλέγει αντίτοιχα µεταξύ sngl και multpl. Ένα πεδίο το οποίο προδιορίζεται ο αριθµός της θύρας µέω της οποίας θα γίνει η επικοινωνία µε τον αιθητήρα (ή τους αιθητήρες. Ο αριθµός αυτός µπορεί να είναι οποιοδήποτε έγκυρος αριθµός θύρας. Στην περίπτωη που το P.D.A. λαµβάνει τα δεδοµένα από ένα µοναδικό αιθητήρα, η επικοινωνία µε αυτόν γίνεται µέω αυτής της θύρας. Στην περίπτωη που υπάρχουν πολλαπλοί αιθητήρες, ο πρώτος επικοινωνεί µε το P.D.A. µέω της θύρας αυτής και οι υπόλοιποι µέω των επόµενων, κατά αύξοντα αριθµό θυρών. Ένα πεδίο το οποίο ο χρήτης επιλέγει το πρόβληµα. Ο κατάλογος των προβληµάτων µεταξύ των οποίων καλείται να επιλέξει ο χρήτης αυξοµοιώνεται ανάλογα µε νέα προβλήµατα που λαµβάνει το P.D.A. από τον Srvr ή τα προβλήµατα που ο χρήτης επιλέγει να διαγράψει. Ένα πεδίο το οποίο εµφανίζοται µηνύµατα προς το χρήτη κατά τη λειτουργία της εφαρµογής Classfng & Tranng Savng Wgts Ένα πεδίο το οποίο εµφανίζονται µηνύµατα που αφορούν την εκπαίδευη του P.D.A. Αφού ο χρήτης προδιορίει τον αριθµό των αιθητήρων από τον οποίο θα λαµβάνει δεδοµένα, τον αριθµό της θύρας επικοινωνίας και το πρόβληµα, πατάει Start. To P.D.A. µεταπίπτει ε µία κατάταη αναµονής, κατά την οποία περιµένει να υνδεθούν οι αιθητήρες (εµφανίζει το µήνυµα Watng for snsors. Όταν οι αιθητήρες υνδεθούν, εµφανίζεται το µύνηµα Snsors onntd και αρχίζει η λειτουργία του υτήµατος. Κατά τη λειτουργία υµβαίνουν τα εξής : Το P.D.A. λαµβάνει ένα πρότυπο ειόδου από τον αιθητήρα (ή υνθέτει ένα πρότυπο ειόδου από τα δεδοµένα που λαµβάνει από τους πολλαπλούς αιθητήρες Χρηιµοποιώντας τις τρέχουες τιµές των βαρών του δικτύου, παράγει µία έξοδο για το εν λόγω πρότυπο. Βάει αυτής της εξόδου το πρότυπο κατατάεται ε κάποια κατηγορία Εµφανίζει την οθόνη έναν ακέραιο αριθµό µεταξύ και p, ο οποίος αντιτοιχεί την κατηγορία την οποία κατατάεται το πρότυπο Χρηιµοποιεί το πρότυπο για την ανανέωη των βαρών του δικτύου, βάει όων αναλύθηκαν το κεφάλαιο 5 Υπολογίζει, µε τα νέα βάρη του δικτύου, τον αριθµό ωτών κατηγοριοποιήεων και το τετραγωνικό φάλµα για το ύνολο δεδοµένων που χρηιµοποιείται ως ύνολο αναφοράς Εµφανίζει την οθόνη τις δύο αυτές τιµές (µε αυτή τη ειρά Η διαδικαία υνεχίζεται µέχρις ότου ο χρήτης να πατήει Stop το παράθυρο της εφαρµόγης (αν πατηθεί Stop ε κάποιον από τους αιθητήρες, το P.D.A. δε ταµατάει τη λειτουργία του αλλά µεταπίπτει ε κατάταη αναµονής. 00

100 Όταν πατηθεί Stop, ο χρήτης έχει διαθέιµες τις εξής επιλογές : Start : Επανεκκίνηη της διαδικαίας «Κατηγοριοποίηης / Εκπαίδευης» Sav : Αποθήκευη των νέων βαρών του δικτύου St : Μετάβαη το παράθυρο επικοινωνίας µε τον Srvr 6.3 Αιθητήρες Σε υνθήκες πραγµατικής λειτουργίας, κοπός της λειτουργίας του υτήµατος είναι να λαµβάνει δεδοµένα από αιθητήρες που θα είναι υνδεδεµένοι ε αυτό. Οι αιθητήρες αυτοί τοποθετηµένοι τον αθενή θα λαµβάνουν βιοήµατα και θα διοχετεύουν τις τιµές τους τις ειόδους του PDA. Εν υνεχεία, το PDA θα χρηιµοποιεί τις τιµές αυτές για να εξάγει υµπεράµατα χετικά µε την κατάταη της υγείας του αθενούς, αλλά και θα τις επεξεργάζεται βάει των αλγορίθµων που αναλύθηκαν το [5] για την αυτοεκπαίδευή του. Ωτόο, ο τρόπος αυτός λειτουργίας του υτήµατος παρουίαζει αυξηµένες απαιτήεις ε υλικό (ardar και ξεφεύγει από τους κοπούς της παρούας εργαίας. Για το λόγο αυτό, η λειτουργία των αιθητήρων θα εξοµοιωθεί από λογιµικό που αναπτύχθηκε για αυτό το κοπό. Το λογιµικό αυτό παρέχει το P.D.A. τη δυνατότητα να λαµβάνει τα δεδοµένα ή από ένα µοναδίκο αιθητήρα ή από πολλαπλούς αιθητήρες (ίους ε πλήθος µε τον αριθµό των ειόδων του εκάτοτε προβλήµατος. Στην πρώτη περίπτωη, ο µοναδικός αιθητήρας θα επιλέγει τυχαία ένα πρότυπο ειόδου από κάποιο ύνολο δεδοµένων που θα βρίκεται αποθηκευµένο ε αυτόν και θα το τέλνει το P.D.A. Στη δεύτερη περίπτωη, ο καθένας από τους n αιθητήρες, θα παράγει κάποια τυχαία τιµή (µέα ε κάποιο εύρος τιµών που προδιορίζει ο χρήτης και θα τη τέλνει το P.D.A. ως τιµή του. Εν υνεχεία το P.D.A. θα υνθέτει ένα πρότυπο ειόδου από τις τιµές που λαµβάνει από του n αιθητήρες και θα το χρηιµοποιεί για ταξινόµηη και εκπαίδευη. Είναι εµφανή τα πλεονεκτήµατα και τα µειονεκτήµατα που παρουιάζει κάθε µία από τις παραπάνω προεγγίεις. Στην περίπτωη του µοναδικού αιθητήρα, τα δεδοµένα ειόδου που λαµβάνονται είναι περιότερο κατάλληλα για τη λειτουργία του προβλήµατος, αφού επιλέγονται από ένα ύνολο ειδικά κατακευαµένο για το κοπό αυτό. Ωτόο, η λειτουργία µε ένα µοναδικό αιθητήρα ξεφεύγει από τις πραγµατικές υνθήκες λειτουργίας, από άποψη του τρόπου που χρηιµοποιεί το διαθέιµο υλικό. Αντίθετα, η λειτουργία µε πολλαπλούς αιθητήρες προεγγίζει περιότερο τις πραγµατικές υνθήκες λειτουργίας, από άποψη υλοποίηης. Ωτόο, παρουιάζει τον περιοριµό ότι, λόγω της αύγχρονης µετάδοης των τιµών των αιθητήρων, δεν είναι δυνατό να επιλεγούν οι τιµές αυτές από το ίδιο πρότυπο ειόδου για όλους τους αιθητήρες. Για το λόγο αυτό οι αιθητήρες είναι αναγκαµένοι να εκπέµπουν τυχαίες τιµές, ε ένα εύρος τιµών που τους προδιορίζουµε. Είναι φανερό ότι για να επιλέξει κανείς το κατάλληλο εύρος τιµών για κάθε αιθητήρα, πρέπει να έχει οπτική αντίληψη του χώρου του προβλήµατος, πράγµα που περιορίζει αυτό τον τρόπο λειτουργίας ε προβλήµατα µε τρεις το πολύ διατάεις. 0

101 6.3. Μοναδικός αιθητήρας Το παράθυρο λειτουργίας της εφαρµoγής που εξοµοιώνει τη λειτουργία του µοναδικού αιθητήρα είναι αυτό που φαίνεται το χήµα 6.5 : Σχ.6.5: Παράθυρο µοναδικού αιθητήρα Ο χρήτης καλείται να ρυθµίει τις εξής παραµέτρους : Flnam : Στο πεδίο αυτό, λοιπόν, ορίζεται το pat και το όνοµα του αρχείου που περιέχει το ύνολο δεδοµένων του προβλήµατος Inputs : Ο αριθµός των παραµέτρων που αποτελούν κάθε πρότυπο ειόδου του προβλήµατος Rat : Το χρονικό διάτηµα που µεολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών εκποµπών του αιθητήρα (ε ms IP addrss : Η IP διεύθυνη του P.D.A. το οποίο ο αιθητήρας αποτέλλει τα δεδοµένα (την περίπτωή µας η IP διέυθυνη του P.D.A. το τοπικό δίκτυο Port : Ο αριθµός της θύρας µέω της οποίας θα γίνει η αποτολή των δεδοµένων Αφού προδιορίει τις παραµέτρους αυτές, ο χρήτης πατά Start και ο αιθητήρας αρχίζει την αποτολή δεδοµένων προς το P.D.A. Η αποτολή υνεχίζεται µέχρις ότου ο χρήτης να πατήει Stop ή µέχρι το P.D.A. να τείλει ήµα τον αιθητήρα ότι δε χρειάζεται να λάβει άλλα δεδοµένα Πολλαπλοί αιθητήρες To παράθυρο της εφαρµογής που εξοµοιώνει τη λειτουργία καθενός από τους n αιθητήρες φαίνεται το χήµα 6.6 : 0

102 Σχ.6.6: Παράθυρο πολλαπλού αιθητήρα Στα πεδία ειόδου του ο χρήτης καλείται να προδιορίει τις εξής παραµέτρους : From, to : Στα δύο αυτά πεδία καθορίζεται το εύρος των τυχαίων τιµών που τέλνει ο αιθητήρας (From : ελάχιτη τιµή, To : µέγιτη τιµή Rat : Ο ρυθµός µε τον οποίο οι αιθητήρες εκπέµπουν τα δεδοµένα. Ο ρυθµός αυτός είναι δυνατό να είναι διαφορετικός για κάθε αιθητήρα, αλλά εν γένει επιλέγεται κοινός για όλους τους αιθητήρες IP addrss : Η IP διεύθυνη του P.D.A. Port : Η θύρα µέω της οποίας ο αιθητήρας τέλνει τα δεδοµένα το P.D.A. Στην περίπτωη της λειτουργίας µε πολλαπλούς αιθητήρες χρηιµοποιείται η εξής ύµβαη : Ο αιθητήρας που αντιτοιχεί το πρώτο χαρακτηριτικό του διανύµατος ειόδου µπορεί να επιλέξει αυθαίρετα τη θύρα την οποία τέλνει τα δεδοµένα. Οι υπόλοιποι αιθητήρες όµως θα πρέπει να επιλέξουν τις επόµενες, κατά αύξοντα αριθµό, θύρες για την αποτολή των δικών τους δεδοµένων. Αν δηλαδή ο πρώτος αιθητήρας εκπέµπει µέω της θύρας, ο δεύτερος πρέπει να εκπέµπει µέω της θύρας,... και ο n-οτός µέω της θύρας (n-. Εν υνεχεία ο χρήτης πατά Start και η αποτολή δεδοµένων αρχίζει, έως ότου διακοπεί ή από το πλήκτρο Stop ή µε εντολή του P.D.A.. 03

Ασύρµατη Κατανεµηµένη Υλοποίηση Νευρο-Ασαφούς Συστήµατος Ταξινόµησης (Wireless Distributed Implementation of Fuzzy Neural Classification System)

Ασύρµατη Κατανεµηµένη Υλοποίηση Νευρο-Ασαφούς Συστήµατος Ταξινόµησης (Wireless Distributed Implementation of Fuzzy Neural Classification System) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ TΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Αύρµατη Κατανεµηµένη Υλοποίηη Νευρο-Ααφούς Συτήµατος Ταξινόµηης (Wireless

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ P-INF-003 : ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ : ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης Ακήεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίχυη

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης.... Ειαγωγή.... Απόδοη και Κίνδυνος....3 Διαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων... 5.4 Το Αποτελεματικό Μέτωπο... 7.5 Τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N)

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Α)Με βάη το θεώρηµα Shannon για την κωδικοποίηη αναλογικού ήµατος να χαράξετε το διάγραµµα της χέης (S/N) =(), =bit/sample για ένα ήµα µε Gaussian κατανοµή. Β) Χρηιµοποιείτε τους Πίνακες 6.

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα ΒΕΣ 6 Προαρµοτικά Συτήµατα τις Τηλεπικοιννίες Θερία Στοχατικών Σηµάτν: Εκτίµηη φάµατος, Παραµετρικά µοντέλα Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Βιβλιογραφία Ενότητας uto []: Κεφάλαιo Widrow [985]: Chaptr 3 Hayi

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής Στοχατική Προοµοίωη ιδιάτατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηη της Εµµονής Παρουίαη ιπλωµατικής Εργαίας 22/07/2004 Νίκος Θεοδωράτος Επιβλέπων:. Κουτογιάννης, Αν. Καθηγητής Εθνικό Μετόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μελέτη εντατικοπαραµορφωιακής κατάταης ρηγµατωµένων τερεών ωµάτων µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων» ΤΣΟΥΤΣΟΥΒΑ ΜΑΡΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΙΤΗΣ ΟΜΑ ΑΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΙΤΗΣ ΟΜΑ ΑΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΙΤΗΣ ΟΜΑ ΑΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άκηη ιαθέτουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια...

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... Ένα µεγάλο Ευχαριτώ τον καθηγητή µου κ. Σαλπιτή Χρήτο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΕΤΡΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΕΡΗΧΩΝ ΠΑΤΕΡΑΚΗΣ Ε.

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 43 / ΕΚΠ 66 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Χρονικά Πιθανοτικά Μοντέλα Temporal Probabilistic Models Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιτών Πολυτεχνείο Κρήτης ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες

Διαβάστε περισσότερα

Νόµος των Wiedemann-Franz

Νόµος των Wiedemann-Franz Άκηη 7 Νόµος των Wiedemann-Franz 7.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η µέτρηη της ταθεράς Lorentz ε δύο διαφορετικά µέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ηµαντικά. Η ταθερά του Lorentz µετράται µέω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. Ειαγωγικά Στα προηγούµενα κεφάλαια, αχοληθήκαµε µε τη µελέτη πεδίων που η δηµιουργία τους οφείλονταν την παρουία ακίνητων ηλεκτρικών φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Εργαστήριο)

Στραγγίσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιευτικό Ίρυμα Ηπείρου Στραγγίεις (Εργατήριο Ενότητα 6 : Η κίνηη του νερού το έαφος IV Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Άκηη Ένας κλειτός υπό πίεη υροφορέας έχει μεταβλητό πάχος

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Δδά Διδάκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μετρήεις, Σφάλµατα και Στατιτικά Μεγέθη . Ειαγωγή Αχοληθήκαµε το προηγούµενο Κεφάλαιο µε τον οριµό µαθηµατικών εργαλείων για την περιγραφή της πιθανότητας ή της πυκνότητας πιθανότητας ώτε µία

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συχέτιη Διγαλάκης Βαίλης Η έννοια της υχέτιης Για τυχαίες μεταβλητές ΧΥ: Συχέτιη: ΕΧ Υ Συμμεταβλητότητα: Συντελετής υχέτιης: ρ / Έτω ΧΥ Τ.Μ. με ΥΧb και ΕΧμ Χ ΕΧ-μ Χ Χ Υπολογίτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευτών Εργατήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών Υπολογιτικό θέµα : «Η βέλτιτη χεδίαη πτερύγωης τροβιλοµηχανής και η δηµιουργία χετικού µεταπροτύπου»

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

G G. = - +kr. 4 as. σ α s. Για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις ισχύει: 2. Η μορφή του δυναμικού μεταξύ δύο κουάρκ που χρησιμοποιείται συνηθέστερα είναι:

G G. = - +kr. 4 as. σ α s. Για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις ισχύει: 2. Η μορφή του δυναμικού μεταξύ δύο κουάρκ που χρησιμοποιείται συνηθέστερα είναι: Για τις ιχυρές αλληλεπιδράεις ιχύει: s gs 00 s = π Η μορφή του δυναμικού μεταξύ δύο κουάρκ που χρηιμοποιείται υνηθέτερα είναι: s V s = - kr r e - e Πειραματική μαρτυρία και για τους δύο όρους. Εγκλωβιμός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα