Μαθηµατικός συµβολισµός και συµβολή του Galois Symbolisme mathématique et contribution de Galois. Ν. Λυγερός

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηµατικός συµβολισµός και συµβολή του Galois Symbolisme mathématique et contribution de Galois. Ν. Λυγερός"

Transcript

1 Symbolisme mathématique et contribution de Galois Ν. Λυγερός Τα µαθηµατικά δεν είναι µόνο τύποι. Στο προηγούµενο µάθηµα, έγραφα το ολοκλήρωµα:. Αυτό σας φαίνεται πολύ συµπυκνωµένο. Μέχρι το 19 ο αιώνα γράφαµε κείµενο. Αν θες, µπορούµε να διαβάσουµε χειρόγραφο κείµενο του Galois. Είναι κείµενο! Άρα το σύµβολο έχει εξελιχθεί πολύ αργά. Αυτό,, σηµαίνει Summa. Αυτό εδώ είναι εκείνης της εποχής. Το επινόησε ο Leibniz. Για να καταλάβετε πόσα λίγα ξέρουµε. Αυτό το σύµβολο,, τι είναι; Μερική παράγωγος. Αυτό το σύµβολο µερικοί Έλληνες, ντόπιοι, Ελλαδίτες, το ονοµάζουν θήτα. Αυτό όµως είναι d. Είναι το d το γαλλικό το καλλιγραφικό. Το d(x) και το είναι το ίδιο γράµµα, µόνο που η πρώτη είναι η ολική παράγωγος και η δεύτερη η µερική. Θέλω να πω ότι είναι το ίδιο γράµµα. Όταν θα κοιτάξεις τα χειρόγραφα του Galois, θα δεις ότι το d είναι κοντά στο σύµβολο της µερικής παραγώγου. Άρα το πρώτο είναι το ρωµαϊκό και το δεύτερο το καλλιγραφικό. Αυτό που θέλω να σας πω είναι ότι σε αυτό το µάθηµα θέλω να τολµάτε να κάνετε ερωτήσεις που δεν τολµήσατε να κάνετε ποτέ (όπως η ταινία του Woody Alen). Η ιδέα ποια είναι; Είναι ότι είµαστε τόσο λίγοι που µπορούµε και πρέπει να κάνουµε αυτό το πράγµα. Όπως σας είχα πει, αυτό είναι το σύµβολο του κενού. Στην ουσία, είναι στα σκανδιναβικά ο χαρακτήρας που στα γερµανικά αντιστοιχεί στο ö και στα γαλλικά στο œ. Ο André Weil ήταν µεγάλος µαθηµατικός, ιδρυτικό µέλος της οµάδας Bourbaki που βρήκε αυτό το σύµβολο γιατί ήταν στην Σκανδιναβία, είχε τη γραφοµηχανή του και ήθελε να βρει ένα σύµβολο που να είναι εύχρηστο αλλά να µη µοιάζει µε όλα τα άλλα που ήδη γνωρίζει. Και έτσι, βάζει αυτό. Και προσέξτε! Η γραµµή είναι πλάγια προς τα δεξιά. Είναι µερικοί που το βάζουν στη µέση ή προς τα αριστερά. Μα στα σκανδιναβικά υπάρχει µόνο αυτό προς τα δεξιά. εν υπάρχουν τα άλλα. Αυτό που θέλω να πω είναι ότι στο µάθηµα Θεωρία Οµάδων, θα βλέπετε µερικά γράµµατα και θα αναρωτιέστε γιατί γράφονται έτσι. ηλαδή, ένας Έλληνας γιατί γράφει η οµάδα (G, ) και όχι η οµάδα (Ο, ); Το G βγαίνει από τη λέξη groupe στα γαλλικά γιατί ήταν ο Galois ήταν Γάλλος. Εγώ θέλω αν σας συµβεί και µε τα παιδιά, να µπορείτε να απαντάτε σε τέτοιες ερωτήσεις. Για όλα αυτά, υπάρχει εξήγηση. Θυµάστε ότι κάναµε διάφορα σύµβολα: από το exist, το που είναι το all αναποδογυρίζοντας το E και το A. Το σύµβολο για το ολοκλήρωµα είναι ένα µεγάλο S για τη Summa, το άθροισµα στα λατινικά. εν έχετε ποτέ σκεφτεί γιατί χρησιµοποιεί σε αυτό και τους δύο συµβολισµούς της παραγώγου; Αν γράφω µόνο το ένα από τα δύο, δεν είναι εµφανές τι θέλω να πω; Γιατί ο Leibniz είναι εκείνος που επινόησε αυτό: και υπονοεί ότι αν το πολλαπλασιάσω µε d(x) απλοποιούνται όλα. Το ολοκλήρωµα της παραγώγου είναι η ίδια η συνάρτηση. Αν όµως χρησιµοποιείς το φορµαλισµό του Newton µε το ολοκλήρωµα του Leibniz, αρχίζεις να βγάζεις γνωστικά λάθη. Ο Leibniz το είχε κάνει για να απλοποιείται πιο εύκολα, έρχεται ο καθηγητής και σου λέει γιατί βάζετε d(x), τόνο και τελίτσες; (Η τελίτσα πάνω από το f είναι όταν παραγωγίζεις ως προς τον χρόνο). 1

2 Όταν έχετε αυτό, είναι ο συντελεστής Nabla και λέγεται και Laplacien γιατί είναι του Laplace. Ενώ αυτό εδώ, f είναι ο d Alembertien. ηλαδή, είναι: Ο Laplacien είναι το άθροισµα της µερικής παραγώγου. Όταν θα το κάνω Nabla στο τετράγωνο, θα έχουµε αυτό:. Τώρα προσέξτε, ως εδώ είµαστε σε ευκλείδειο. Τώρα αφού µπω σε Minkowski ισχύει. Άρα, ονοµάζεται Laplacien και το f d Alembertien, από τους δύο Γάλλους µαθηµατικούς και το κρατάµε ως παράγωγο. Αν σας γράψω f=0, αυτό είναι µαθηµατική σχέση, που µου λέει ότι θα κάνω την διπλή παραγώγιση σε χωροχρόνο Minkowski και θα πω ότι η συνάρτηση µηδενίζεται. Μια περίφηµη εξίσωση που θα δούµε αργότερα, θα είναι η Klein-Gordon. Αυτή θα χρησιµοποιηθεί στη θεωρία της Κβαντικής Μηχανικής. Όλα αυτά είναι µία τεράστια κουλτούρα των µαθηµατικών. Γιατί βάλαµε τετράγωνο; Γιατί έχει περισσότερες πλευρές από το τρίγωνο. Γιατί βάλαµε το τρίγωνο; Γιατί είναι το ανάποδο του ιαφορικού. ηλαδή, αυτό εδώ έχει νόηµα:. Αν θέλετε, µπορείτε να το γράψετε έτσι: για x=0. Άρα το µεγάλο όταν φθίνει, µικραίνει, βάζουµε µικρό d. Όταν θα κάνουµε συναρτήσεις, θα βάλουµε το ακόµα πιο µικρό δ, γιατί θα είναι ακόµα πιο µικρές. Τα σύµβολα έχουν µία λογική. Όπως είχαµε το σύµβολο του µεγάλου, το βάλαµε ανάποδα, όπως µε τα, που θα είναι αυτή τη φορά η παραγώγιση. Γιατί γράφεται ; Γιατί είναι η κλίση. Είµαι πάνω σε µία σκεπή και κοιτάζω πώς κατεβαίνει. Άρα το νιώθω ότι είναι µάλλον αυτό που χρειάζοµαι. Μετά, αυτό γιατί είναι τετράγωνο; Γιατί το τετράγωνο του είναι τετράγωνο. Άρα όλοι βλέπουν ότι το τετράγωνο υπονοεί ότι διαφοροποιώ δύο φορές. Όταν ο συµφοιτητής σας µας µίλησε για οµοµορφισµούς, δεν σας είπε ότι όταν χρησιµοποίησε το (G, ) έγραψε το G που είναι από το groupe και το κρατήσαµε και προς τιµήν του Γάλλου µαθηµατικού Galois. Στον κώδικα των αεροδροµίων, όταν θέλουν να πουν Τ, λένε Tango, για να είναι σίγουροι ότι ο άλλος ακούει το Τ που λες. Άρα, έχουν όλο το αλφάβητο που αντιστοιχεί µε µία λέξη το κάθε γράµµα. Σας τα λέω όλα αυτά, έτσι ώστε όταν βλέπετε καινούργια σύµβολα, να έχετε την τάση να µε ρωτάτε για ποιο λόγο είναι το κάθε σύµβολο έτσι. Πρέπει να µπείτε σε ένα φυσιολογικό κλίµα που σας επιτρέπει όταν παίρνετε ένα βιβλίο που δεν το ξέρετε καθόλου να σκεφτείτε τα σύµβολα. Για παράδειγµα, γράφει το καρτεσιανό γινόµενο. Γιατί δεν λέει πολλαπλασιασµός, αφού λέει γινόµενο; Ναι, αλλά µερικές φορές θα έχουµε γινόµενο και θα το σηµειώνουµε µε συν. Γιατί θα είναι γινόµενο στα εκθετικά. Στα εκθετικά λέω ότι το γινόµενο. 2

3 Μαθηµατικός συµβολισµός και συµβολή του Galois Ο πρώτος πίνακας του µαθήµατος Γενικά, όταν σας έλεγα στο προηγούµενο µάθηµα ότι κάποιες οµάδες τις ονοµάζουµε Abel, είναι πολύ σηµαντικό ότι στις 500 σελίδες του Abel δεν υπάρχει ούτε µία φορά γραµµένη η λέξη Abel. εν τις ονόµασε µόνος του. Είναι όλες αντιµεταθετικές οµάδες. Ας πούµε ότι έχουµε έναν κύβο. Ας πούµε ότι θα κάνω µία περιστροφή µπροστά και µία στα δεξιά. Τελικά, όµως αποφασίζω να κάνω πρώτα την περιστροφή στα δεξιά και µετά αυτήν στα δεξιά. εν ακούγονται το ίδιο; εν είναι! Αυτό που θέλω να σας πω είναι ότι αυτό που θα µας παρουσιάσει ο συµφοιτητής σας σε λίγο, είναι σε ένα χώρο µε δύο διαστάσεις. Στις δύο διαστάσεις όλα πάνε καλά, γιατί είναι όλα αβελιανά. ηλαδή, αν κάνω τη µία πράξη και µετά την άλλη ή αντίστροφα, έχουµε το ίδιο αποτέλεσµα. Αυτό είναι ένα πολύ καλό παράδειγµα που πρέπει να έχετε για τον Rubik s cube. Με τα παιδάκια, για παράδειγµα, βάζεις το ένα χρώµα επάνω και κάνετε αυτό που κάναµε πριν. Λειτουργεί; εν λειτουργεί; Με ένα τόσο απλό αντικείµενο, στις τρεις διαστάσεις έχω πρόβληµα. Ενώ στις δύο διαστάσεις είναι όλες αβελιανές. Θέλω όταν θα έχετε παιδιά, ακόµα και µε ένα τόσο απλό παράδειγµα, να µπορείτε να τους πείτε αυτό που θα κάνουµε εµείς µε το φορµαλισµό της Θεωρίας Οµάδων. Προσέξτε. Τις κινήσεις που έκανα εγώ τώρα µε έναν απλό κύβο, µπορώ να τις κάνω µε έναν υπερ-κύβο, σε τέσσερις διαστάσεις. Θέλω µετά από αυτό το µάθηµα, να είστε ικανοί όχι να είστε µαθηµατικοί, αλλά να µπορείτε να σκέφτεστε, για να απαντάτε δοµικά σε πράγµατα που σας ρωτάνε τα παιδιά και σας ξαφνιάζουν. Γιατί τα µαθηµατικά µπορεί να έχουν σχέση µε τον πυρήνα της σκέψης. Είναι το πιο θεµελιακό. Εδώ χρησιµοποιούµε τα µαθηµατικά ως εργαλείο σκέψης. Τώρα έχετε αρκετό υλικό για να µπορέσετε να κάνετε Θεωρία Οµάδων. Τώρα µπορεί ο συµφοιτητής σας να σας παρουσιάσει τον Niels Abel. 3

4 Παρουσίαση Ο Niels Abel γεννήθηκε στο µικρό χωριό Frindöe της Νορβηγίας το 1802 και πέθανε το Με την καθοδήγηση του δασκάλου του Bernt Holmboë, στα 15 του χρόνια κατάφερε να ανακαλύψει το ταλέντο του και µελέτησε τα έργα των Newton, Euler και Lagrange. - Είναι σηµαντικό να γνωρίζουµε τις ηµεροµηνίες για να καταλάβουµε ότι ο Abel σε αυτή την ηλικία γνώρισε τους γίγαντες των Μαθηµατικών. Προσέξτε τι θέλω να σας πω. Αυτό που κάνει ο δάσκαλός του είναι πολύ σηµαντικό. Ο δάσκαλός του, ο οποίος είναι ένα τίποτα, του έµαθε ποιοι είναι οι γίγαντες. Εσείς όταν, ας πόυµε, θα έχετε ένα παιδάκι µε µαθηµατικές τάσεις, όπως λέµε, τι πρότυπα θα του προβάλετε; εν έχετε. Ξέρετε ότι αν το παιδί έχει τάσεις για καλλιτεχνικά θα του µιλάτε για van Gogh, Picasso, da Vinci, αν έχει τάσεις στη µουσική για Beethoven, Bach, Mozart, ενώ για µαθηµατικά; Αυτό που θέλω να πω είναι ότι είστε ένας γνωστικός πυρήνας. Ας πούµε ότι είστε ο τροχονόµος σε µια διασταύρωση και λέτε: παιδί µου, πήγαινε από αριστερά ή πήγαινε από δεξιά. Εσείς όµως προς το παρόν, στη διασταύρωση των Μαθηµατικών είστε κουλοί. εν µπορείτε να δείξετε µε το χέρι. Εγώ απλώς θέλω, παιδαγωγικά, να µη λέτε όταν βλέπετε µια µουτζούρα ότι είναι Picasso. Για ποια περίοδο του Picasso µιλάµε; Τη ροζ, τη γαλάζια, κυβισµό; Κανονικά, θα ήθελα εδώ να έχετε µία αίθουσα, τη δική σας αίθουσα, µε µερικά πορτρέτα και κάποια πράγµατα που να ερεθίζουν το παιδί για να λέει: εγώ θέλω να προσεγγίσω αυτό. Να έχετε µέσα στην τάξη έναν κύβο του Rubik, µία σκακιέρα, ντάµες, να έχετε πρότυπα που να του προκαλούν το ενδιαφέρον. Γιατί ας πούµε στις φυσικές επιστήµες, έχουµε όλα τα εργαλεία γύρω µας. Έτσι αν σκεφτεί κάποιος ένα πράγµα, άµεσα το παίρνουµε και το χρησιµοποιούµε. Εσείς εδώ στα Μαθηµατικά, που είναι πολύ πιο αφαιρετικά, δεν έχετε τίποτα. Κάνουµε αυτό το πράγµα επειδή είσαστε στο παιδαγωγικό. εν πιστεύω ότι θα γίνετε µαθηµατικοί ίδιοι µε τον Euler τον Newton ή τον Lagrange. Απλώς είναι καλό να έχετε µια κουλτούρα για να µπορείτε να αναγνωρίσετε κάποια πράγµατα. Άρα εδώ προσπαθώ να γνωρίσετε µερικά νοητικά σχήµατα που µπορείτε να εφαρµόσετε. ηλαδή έχεις το βιωµατικό, έρχεσαι κοντά, γνωρίζεις τους ανθρώπους όσο τους γνωρίζεις, τους αγαπάς περισσότερο και µετά προσέχεις και το έργο τους. Γιατί αν δεν έχετε πρόσβαση στο έργο; Το βιβλίο που έχουµε σε αυτό το µάθηµα είναι το έργο του Βουγιουκλή. Εσείς όµως δεν ξέρετε ότι ο Βουγιουκλής είναι καλός άνθρωπος. εν ξέρετε τι σηµασία έχουν αυτά. Απλώς έρχεται µόνο κάποιος και σας λέει ότι είναι πολύ συµπαθητικός. Ότι σκέφτεται τους φοιτητές, ότι δίνει αυτό το βιβλίο δωρεάν στη σχολή. Όσο ακούτε αυτά, έχετε µια πιο θετική στάση. Αν τα µικρά παιδιά δεν αγαπούν τα βιβλία, πώς θα τα πείσεις µετά να τα διαβάσουν; Εγώ θέλω απλώς να σας αγγίζουν µερικά πράγµατα που µπορείτε και εσείς να κάνετε. Όπως κάναµε µε τον Σάκη Λιπορδέζη και τον Νίκο Φωτιάδη που γράψαµε ένα βιβλίο που λέγεται «Μαθηµατικές Προκλήσεις» και είναι για παιδιά δηµοτικού, γυµνασίου και λυκείου. Η ιδέα δεν είναι να κάνουν µαθηµατικά, αλλά να τους αγγίξει. Γι αυτό βάλαµε βιογραφικά στοιχεία για τους αρχαίους Έλληνες µαθηµατικούς. Στις αναφορές παραπάνω είδαµε τον Isaac Newton, τον Leonard Euler και τον Joseph Luis Lagrange. Ο Newton είναι από την Αγγλία, ο Euler είναι Ελβετός και ο Lagrange είναι Γάλλος. Μέσω των Μαθηµατικών, µπορείτε να δείτε συνθετικά και να µιλάτε στο παιδί και για γεωγραφία και για την Ευρώπη και για το ιστορικό πλαίσιο, 4

5 πότε γεννήθηκαν, ποια ήταν εκείνη η εποχή. Ας πούµε, το 1802, τι γίνεται στην Ευρώπη; Τι γίνεται στην Ελλάδα; συνέχεια της παρουσίασης Αργότερα ο Abel µελέτησε και τον Karl Friedrich Gauss που ήταν Γερµανός. Στα 16 του κάνει την πρώτη απόδειξη του Γενικού ιωνυµικού Θεωρήµατος. - Όπως βλέπετε, ο Abel είναι αργός σε σχέση µε τον Galois. Ο Galois στα 16 του προσπαθεί να λύσει ένα πρόβληµα που ο Abel δεν έχει καν αγγίξει προς το παρόν. Τι είναι το Γενικό ιωνυµικό Θεώρηµα; Επιπλέον, Αυτό δεν είναι κάτι που ξέρετε να το εφαρµόζετε για n=2 ; Ουσιαστικά, είναι οι συνδυασµοί που κάνει µία οµάδα. Για παράδειγµα, έχεις τρία τετράδια. Πόσες οικογένειες των τριών ατόµων µπορείς να κάνεις; Μία. Πόσες διαφορετικές οικογένειες µε ένα τετράδιο; Τρεις. Αυτά τα έχετε κάνει ήδη. Αν σας πω να κάνετε την ταυτότητα στον κύβο, ξέρετε να την αναπτύξετε; Ας πούµε ότι δεν το ξέρετε. Παίρνετε το ανάπτυγµα του τετραγώνου και το πολλαπλασιάζετε ακόµα µία φορά µε το (x+y). Είναι απλό παιδιά. Όταν µπορείτε να µου το κάνετε αυτό, µπορείτε και µε το τέσσερα. Πρέπει όλοι εδώ να αναπτύξετε την ικανότητα να είστε ηλίθιοι. Ο ηλίθιος είναι ο έξυπνος χωρίς γνώσεις. Είναι καλύτερα να προσπαθείς να κάνεις κάτι από την αρχή παρά να προσπαθείς να θυµηθείς κάτι που έχεις ξεχάσει. Εδώ είµαστε µαζί. Το παλεύουµε µαζί. εν θέλω να συγκριθούµε µε τον Abel ή τον Galois που ο καθένας πάλευε µόνος. Βοηθάµε ο καθένας τον άλλον. Εµείς τώρα, σε αυτή την αίθουσα µπορούµε να κάνουµε την απόδειξη που έκανε ο Abel. Μπορούµε, αλλά µαζί και αφού µπούµε σε ένα πλαίσιο για να καταλάβουµε τι γίνεται. Κατεβαίνουµε πιο χαµηλά, στο λεγόµενο Τρίγωνο του Pascal. (Blaise Pascal, Γάλλος, ) Εδώ έχετε µία στρατηγική, που η κάθε σειρά αντιστοιχεί µε τους συντελεστές της αντίστοιχής δύναµης στην οποία υψώνεται το (x+y). Παράδειγµα:. Είναι αντίστοιχο και στις υπόλοιπες δυνάµεις. Και όσον αφορά τις δυνάµεις των µεταβλητών, το άθροισµα των δύο πρέπει πάντα να ισούται µε την τάξη της συνάρτησης. Βλέπετε ότι έχετε µία γενική µέθοδο. Αν σας βάλω ; Η ιδέα είναι µήπως µπορούµε να βρούµε µία ερµηνεία από αυτόν τον αριθµό για να το βρούµε πιο γρήγορα. Και ακόµα, µήπως µπορώ να κάνω κάτι για να βρω το τρίτο 5

6 στοιχείο; εν θέλω να τους βρω όλους, ούτε να δω ποιος είναι όλος ο τύπος. Θέλω να βρω µόνο το τρίτο στοιχείο. Για να µην το κάνουµε όλο, θα χρησιµοποιήσουµε τον τύπο. Άρα θα βάλω k=3. Το συµβολισµό του θαυµαστικού στον τύπο τον καταλαβαίνετε; Πολλαπλασιάζεις όλους τους αριθµούς που είναι µικρότεροι από τον αριθµό επί αυτόν τον αριθµό. ηλαδή,. Άρα αυτό που κάνουµε εµείς είναι στον τύπο να αντικαταστήσουµε το n µε 17 και το k µε 3. Βέβαια δεν χρειάζεται να κάνουµε όλες τις πράξεις εφόσον στον παρονοµαστή θα πάµε µέχρι το 14. Οπότε κάνω µία απλοποίηση και µας µένει: Ένα άλλο παράδειγµα για να γίνει κατανοητή η µεθοδολογία είναι για n=3 και k=2: Βέβαια κατά την εφαρµογή του θα πρέπει να προσέξουµε ότι δεν πολλαπλασιάζουµε τους αριθµούς µεταξύ τους γιατί είναι παραγοντικά. Αυτό που απέδειξε ο Abel στα 17 του είναι ο παραπάνω τύπος. Ένα ακόµα παράδειγµα εφαρµογής του τύπου: Έχουµε τρία τετράδια και θέλουµε να δούµε πόσες οικογένειες των δύο τετραδίων µπορούµε να έχουµε. Άρα βάζουµε όπου n=3 και όπου k=2. Οπότε έχουµε: Άρα βρίσκουµε ότι υπάρχουν 3 διαφορετικές οικογένειες, µε 2 τετράδια η κάθε µία. Και βλέπουµε ότι είναι πραγµατικά 3: 1) 2) 3) Βέβαια στην εφαρµογή του τύπου µπορεί να σας βγει κάποια στιγµή 0! Το 0!=1. Αυτό µπορεί να σας φαίνεται αυθαίρετο αλλά δεν είναι. Η εξήγηση είναι ότι αν κάνουµε τη γραφική παράσταση και δούµε που πέφτει το κάθε σηµείο (για x=1, y=1, 6

7 για x=2, y=2, για x=3, y=6, για x=4, y=24 ). Tο ερώτηµα που µπορούµε να θέσουµε είναι: υπάρχει µία συνάρτηση η οποία να είναι παραγοντική, αναλυτική και να περνάει από όλα αυτά τα σηµεία; Και η απάντηση είναι «Ναι» και υπάρχει µόνο µία. Ονοµάζεται Γ και είναι του Euler. Αυτή η συνάρτηση γενικεύει το παραγοντικό στους πραγµατικούς (αλλά και στους µιγαδικούς µπορεί να το κάνει). Όπου Και όπως µπορούµε να δούµε από τη γραφική παράσταση, στο 0 περνάει από το 1. Άρα δεν είναι µία σύµβαση που κάνουµε. Θεωρούµε ότι αυτή είναι µοναδική, βλέπουµε ότι επαληθεύει όλα τα άλλα και αφού στο 0 περνάει από το 1, λέµε ότι αυτό θα το ονοµάσουµε έτσι. Γιατί αν δεν το βάλουµε, τότε δεν υπάρχει πια συνάρτηση που να περνάει από αυτό το σηµείο. Τώρα µπορούµε να προσέξουµε ότι αν είχε σηµασία η τάξη, βλέπουµε ότι δεν είναι πια ακριβώς το ίδιο. Ο αριθµός που βρίσκουµε προς το παρόν είναι πιο µικρός από τον αριθµό που µας δίνει τις τάξεις. Για παράδειγµα: (συνδυασµοί) C A (διατάξεις) 1 ab ba 2 1 abc acb bac 6 bca cab cba Αν έχω την τάξη, τότε το ab είναι διαφορετικό από το ba. Άρα το C που ξέρουµε, θα το µετράµε 1, ενώ το Α που δεν το µάθαµε ακόµα θα το µετράµε 2. Τώρα αν έχω τρία πράγµατα, a, b, c τι µπορώ να κάνω; Μπορώ να σχηµατίσω τα: abc, acb, bac, 7

8 bca, cab, cba. ηλαδή παίρνω όλες τις τοποθετήσεις. ηλαδή το n!. ηλαδή 6 (=3!). Οπότε βλέπουµε ότι ενώ το Α είναι 6, το C παραµένει 1. Ο ένας δεν µετράει τη σειρά, ενώ ο άλλος µετράει τη σειρά. Άρα η διαφορά του C µε το A είναι το παραγοντικό. ηλαδή στο Α, εξαλείφουµε το κ. Αυτά που βλέπουµε τώρα, δηλαδή το Α, λέγονται «διατάξεις». Το C που είχαµε πριν, ήταν οι συνδυασµοί. Τώρα κάτι που θα µπορούσατε να σκεφτείτε, είναι ότι εσείς γράφετε: (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Ωστόσο στην πραγµατικότητα είναι γραµµένο αυτό: (a+b) 2 =a 2 +ab+ba+b 2 Άρα αν τα a,b είναι πίνακες, εγώ δεν έχω δικαίωµα να γράψω το πρώτο. Τώρα ξαφνικά έχει σηµασία το πώς είναι η διάταξη. Τώρα θα σας βάλω να γράψετε το (a+b) n, οι οποίοι είναι πίνακες, και σας ζητάω για n=15, πόσες είναι οι διατάξεις που έχουν 3 στοιχεία. Είπαµε πως όταν είναι 2, πολλαπλασιάζουµε µε το 2. Όταν είναι 3, πολλαπλασιάζουµε µε το 6. Άρα ανακαλύψαµε ότι το πρώτο είναι 2!. Και το δεύτερο είναι 3!. Λέµε, λοιπόν, γενικά ότι τα κάνουµε µε κ!. Άρα έχουµε: Όπου σβήνουµε το κ!. Άρα θα είναι κανονικά: Η συνάρτηση του παραγοντικού έχει το γράµµα Γ από τον Euler που το επέλεξε επειδή είχε ήδη χρησιµοποιήσει το Β για µία άλλη συνάρτηση. ηλαδή βλέπετε ότι όταν έχετε έναν µαθηµατικό του επιπέδου Euler, αποφασίζει ότι αυτή η συνάρτηση θα ονοµάζεται Gamma και θα γράφετε µε Γ ελληνικό. Άρα βλέπουµε ότι το Α ήταν ήδη χρησιµοποιηµένο, το Β είναι η πρώτη συνάρτηση του Euler και αυτή είναι η δεύτερη συνάρτηση του Euler. Άρα όπως ξέρει το ελληνικό αλφάβητο, είπε: αυτή θα λέγεται Γ. Τώρα όσον αφορά στην αρχική συνάρτηση που είχαµε, τώρα που τη βλέπουµε µπορούµε να την αποδείξουµε επαγωγικά. ηλαδή λέµε ότι το (a+b) n ισχύει για n=1, µετά βάζουµε το n+1 και αποδεικνύουµε ότι ισχύει. Στην ουσία αυτό το κάναµε ήδη, δηλαδή όταν θέλαµε να βρούµε για n=3, βρήκαµε στην αρχή το 2 και το συνεχίσαµε. ηλαδή αν το δούµε στο τρίγωνο του Pascal έχουµε: n + κ κ+1 8

9 n+1 Άρα µέσα από αυτό βρίσκουµε την απόδειξη. Βέβαια το θέµα είναι ότι ξέρουµε ήδη το αποτέλεσµα. ηλαδή κάθε φορά που βρίσκεις µία απόδειξη, µπορείς να βρεις και µία επαγωγική. Τώρα για να το κοιτάξουµε λίγο πιο προσεχτικά. Έχω ένα σύνολο. Παίρνω µε 1 κοµµάτι, ή µε 2 ή µε 3... και κοιτάζω όλες τις οικογένειες µε 2, όλες τις οικογένειες µε 3... όλες. Τώρα κοιτάξετε τι γίνεται. Αν κοιτάζω µόνο τις οικογένειες, αυτό σηµαίνει ότι τα x και y έχουν γίνει 1. Άρα έχουµε άθροισµα 2. Άρα το άθροισµα όλων των οικογενειών είναι 2 n. ηλαδή αν σας δυσκολεύει όταν κάνω µια µικρή ερώτηση, όταν τα βάζουµε όλα µαζί βγαίνει 2 n. Έτσι µπορούµε να γράψουµε ότι: Ένα σύνολο µε n στοιχεία, έχει 2 n υποσύνολα. Άρα ας πούµε ότι εγώ έχω µία οµάδα τάξης n. Πόσες υποοµάδες µπορώ να φτιάξω; Θα µπορούσατε να πείτε 2 n. Ωστόσο αυτό δεν ισχύει. Γιατί όπως θα δούµε, κάθε οµάδα έχει µία πράξη. Σε κάθε υποοµάδα θα πρέπει να υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο. Άρα βλέπουµε ότι µία «υποοµάδα» που δεν το έχει, δεν είναι πια οµάδα. Άρα θα είναι πολύ λιγότερες. Θέµα: Μεταθέσεις τετραγώνου Έχουµε ένα τετράγωνο ΑΒΓ. Μπορούµε να κάνουµε ως µεταθέσεις, περιστροφές που διατηρούν τη µορφή τετραγώνου. Εάν το περιστρέψουµε προς τα αριστερά κατά π/2 γωνία (η οποία προκύπτει από το εφόσον έχουµε 4-γωνο) έχουµε: Α Β Β Γ Γ Α Οµοίως µε άλλες τρεις όµοιες περιστροφές προκύπτουν τα: Γ Α Α Β Β Α Γ Β Γ Παρατηρούµε ότι το τετράγωνο µετά από 4 περιστροφές, επανέρχεται στην αρχική του θέση. Αυτό που πρέπει να προσέξουµε είναι ότι οι µεταθέσεις θα πρέπει να διατηρούν τη µορφή του τετραγώνου. Για παράδειγµα δεν έχουµε το δικαίωµα να 9

10 «τσαλακώσω» το τετράγωνο ακόµη και αν οι κορυφές πέφτουν πάνω σε κορυφές (το οποίο είναι υποχρεωτικό): Α Β Α Γ Γ Β Έτσι θεωρούµε το τετράγωνο σαν να είναι «σκληρό». Το ανάλογο στη χηµεία για παράδειγµα είναι η στερεοχηµεία, όπου είναι σκληρές οι γωνίες. Αλλιώς αν έχουµε δικαίωµα να τσαλακώσουµε το τετράγωνο, πηγαίνουµε στη θεωρία κόµβων. Όσον αφορά στις περιστροφές, βλέπουµε ότι µία περιστροφή δεν χαρακτηρίζεται µόνο από τη γωνία της, αλλά και από τη φορά της (δεξιόστροφη ή αριστερόστροφη). Ωστόσο στο παράδειγµά µας, 1 περιστροφή προς τη µία κατεύθυνση, ισούται µε 3 περιστροφές προς την αντίθετη. Οπότε γενικότερα δεν χρειάζεται να συνυπολογίζουµε και τις δύο κατευθύνσεις εφόσον ως ισόµορφες στην κάθε µία, συµπεριλαµβάνονται και οι περιστροφές της άλλης. Το γεγονός ότι µετά από 4 περιστροφές, επιστρέφουµε στο αρχικό σχήµα, µπορεί να θεωρείται λογικό ή αυτονόητο όταν έχουµε τετράγωνο, ωστόσο αυτό νοµίζουµε πως συµβαίνει, επειδή έχουµε το σχήµα µπροστά µας. Η Θεωρία Οµάδων µάς βοηθάει να καταλάβουµε ότι το ίδιο θα ίσχυε και αν είχαµε κύβο ή ακόµα και υπερκύβο. Εάν κάναµε τις παραπάνω 4 περιστροφές µε βάση µία πλευρά ενός κύβου n-διαστάσεων, θα βλέπαµε ότι επιστρέφουµε στο αρχικό σχήµα, άσχετα σε πόσες διαστάσεις είναι το σχήµα µας. Για παράδειγµα αν έχουµε ένα 20-εδρο, το οποίο έχει για πλευρές ισόπλευρα τρίγωνα, τότε εάν κάνουµε 3 περιστροφές κατά 2π/3, θα πέσουµε πάλι στο αρχικό σχήµα. ηλαδή κοιτάµε µόνο τη πλευρά του σχήµατος. Εκτός από τις περιστροφές ως προς το κέντρο, ως µετασχηµατισµοί, υπάρχουν και οι συµµετρίες. Μπορούµε π.χ. να περιστρέψουµε το τετράγωνο ως προς τους άξονες συµµετρίας: Α Β Α Γ Β Γ 10

11 Α Β Γ Β Γ Α Α Β Γ Γ Α Β Α Β Β Α Γ Γ Βέβαια οι συµµετρίες στο επίπεδο, µπορούν να θεωρηθούν ως περιστροφές στο τρισδιάστατο χώρο. Άρα συνολικά έχουµε 8 µετασχηµατισµούς. 4 περιστροφές 4 συµµετρίες R (Rotation) S (Symmetry) Έτσι µπορούµε να γράψουµε την «παρουσίαση οµάδας µε στοιχεία (ΑΒΓ ) και γεννήτορες (S i R i )» ως εξής: Ταυτοτικός µετασχηµατισµός (αυτός που περιστρέφεται 4 φορές) Ο συνδυασµός των παραπάνω µας δίνει: S i R j 1 περιστροφή + 1 συµµετρία = 1 συµµετρία 2 συµµετρίες = 1 περιστροφή 2 περιστροφές = 1 συµµετρία Έτσι µπορούµε να αποδείξουµε ότι: ( i,j) κ/ Mi Mj=Mκ 11

12 Το οποίο σηµαίνει ότι όταν εφαρµόζουµε την πράξη της οµάδας ανάµεσα σε 2 στοιχεία της οµάδας, βρίσκουµε πάλι ένα στοιχείο της οµάδας. ( i) I/Mi I = Ι Mi = Mi Το οποίο σηµαίνει ότι στην οµάδα υπάρχει πάντα ένα στοιχείο Ι το οποίο είναι το ουδέτερο στοιχείο, δηλαδή όταν εφαρµόσουµε την πράξη ανάµεσα σε οποιοδήποτε στοιχείο Mi της οµάδας και σε αυτό, τότε παίρνουµε πάλι το ίδιο στοιχείο Mi ως αποτέλεσµα. ( i) j/mi Mj = I Το οποίο σηµαίνει ότι για κάθε στοιχείο της οµάδας, υπάρχει πάντοτε ένα άλλο, το συµµετρικό, που όταν εφαρµόσουµε την πράξη της οµάδας ανάµεσά τους, έχουµε ως αποτέλεσµα το ουδέτερο στοιχείο. Οι παραπάνω τρεις ιδιότητες είναι απαραίτητες για να έχουµε µία οµάδα: 1. η πράξη να µένει µέσα 2. ουδέτερο στοιχείο 3. συµµετρικό στοιχείο επιπλέον αν ισχύει: Mi Mκ= Mκ Mi για κάθε στοιχείο της οµάδας, δηλαδή η αντιµεταθετική ιδιότητα, τότε επιπλέον η οµάδα είναι «αβελιανή οµάδα». Το παράδειγµα µε τα τετράγωνα είναι µία περίπτωση αβελιανής οµάδας. Η οµάδα των τετραγώνων που αναλύσαµε παραπάνω είναι επίσης «διεδρική οµάδα» D n. Αυτό συµβαίνει επειδή το τετράγωνο έχει 2 έδρες (η επάνω και η κάτω θεωρούνται δύο ξεχωριστές έδρες). Η τάξη µίας διεδρικής οµάδας είναι 2n (D n =2n). Επιστρέφοντας στον Abel, βλέπουµε ότι στα 19 του, απέδειξε ότι δεν υπάρχει γενική λύση µε εξισώσεις 5 ου ή µεγαλύτερου βαθµού, κάτι το οποίο απασχολούσε τους µαθηµατικούς για περισσότερα από 1500 χρόνια. Το νεαρό της ηλικίας του πρέπει να µας διδάξει ότι ακόµα και αν κάτι τέτοιο είναι σπάνιο, ωστόσο υπάρχει. Οι περισσότεροι δάσκαλοι θεωρούν ότι όπως είναι σπάνιο, δεν θα τους συµβεί ποτέ να έχουν ένα µαθητή προικισµένο ή ακόµα χειρότερα µια µεγαλοφυΐα όπως ο Abel. Γιατί ο δάσκαλος του Abel, τον είχε µέσα στο µάθηµα... Αυτό που πρέπει να κάνουµε είναι να µην απορρίπτουµε τα παιδιά εξ αρχής, λέγοντας ότι εφόσον είναι τόσο 12

13 σπάνιο, «σιγά µην έχω εγώ ένα». Γιατί πρέπει να έχουµε υπόψη ότι ένα προικισµένο παιδί είναι 1 στα 50. Η δηµοσίευση της παραπάνω απόδειξης έγινε στο περιοδικό Crelle, µετά από µία αλληλογραφία µε τον εκδότη του περιοδικού (από τον οποίο πήρε και το όνοµά του), στο οποίο ο Abel άφησε 22 δηµοσιεύσεις. Ο Crelle είναι µία άλλη περίπτωση στα µαθηµατικά πολύ σηµαντική από παιδαγωγικής άποψης. Ο ίδιος είχε κάποιες τάσεις στα µαθηµατικά, είχε ταλέντο, και έτσι είχε την ικανότητα να δει ότι ο Abel ήταν πιο πάνω, ότι ήταν µεγαλοφυΐα. Άρα του επέτρεψε, παρότι ήταν πιο µικρός, να δηµοσιεύσει. Αυτό δείχνει ότι οι δάσκαλοι πρέπει να βλέπουν ότι στην πραγµατικότητα τα παιδιά, µπορεί µε τη βοήθειά τους να τους επιτρέψουν να πάνε πιο πέρα, και αυτοί µε τη βοήθειά τους να επιτρέψουν στα παιδιά να πάνε πολύ πιο πέρα. Στη συνέχεια ο Abel πηγαίνει στο Freidorf, όπου εκεί διαµόρφωσε το περίγραµµα ενός από τα σηµαντικότερα θεωρήµατά του, γνωστό και ως το θεώρηµα του Abel, το οποίο θα πάρει την τελική του µορφή αργότερα. Αργότερα πηγαίνει στο Παρίσι, όπου συναντάει άλλους µαθηµατικούς όπως οι Legendre, Cauchy, Hachette. Ο πρώτος είναι ο πιο σηµαντικός από τους τρεις. Ο δεύτερος είναι µια µεγάλη πουτάνα επειδή έκλεψε το χειρόγραφο του Galois το οποίο είχε δώσει για διαγωνισµό υποστηρίζοντας ότι χάθηκε και µετά από λίγα χρόνια το δηµοσίευσε µε άλλο όνοµα. Το ίδιο έκανε αργότερα και µε τον Abel. Αυτοί οι τρεις δεν έδωσαν καθόλου σηµασία στον Abel. Βλέπουµε ότι ο καθηγητής του Abel τού φέρθηκε καλύτερα από ότι αυτοί οι τρεις και αυτό επειδή ήταν µικρός, µόλις 22 χρονών. Και αυτό ενώ δηµοσίευε ήδη, είχε λύσει ένα πρόβληµα που µέχρι τότε ήταν άλυτο και το µετέπειτα έργο του ήταν πολύ µεγαλύτερο από αυτό. Επίσης στο Παρίσι ολοκληρώνει τη µελέτη του πάνω στη θεωρία των υπερβατικών συναρτήσεων. Ένα «απλό» παράδειγµα αυτών είναι το µήκος της έλλειψης. Το µήκος ενός κύκλου για παράδειγµα είναι το ολοκλήρωµα από το a ως το b (για το ηµικύκλιο συγκεκριµένα) Α Β 13

14 Αν κάνουµε το ίδιο για την έλλειψη θα µας παράγει συναρτήσεις του Abel. ιότι δεν µπορούµε να τις ολοκληρώσουµε. Είναι το ίδιο που κάνουµε και µε τον λογάριθµο. Ο λογάριθµος είναι: Αυτό συµβαίνει επειδή δεν µπορούµε να βρούµε το ολοκλήρωµα του µε τον παρακάτω τρόπο: εφόσον το n δεν µπορεί να είναι -1, οπότε εισάγουµε τον λογάριθµο. Το ίδιο έκανε και ο Abel. Ο Abel πεθαίνει στις 6 Απριλίου του 1829 από πείνα σε ηλικία 26 ετών και 8 µηνών. ύο µέρες µετά του στέλνει γράµµα ο Crelle όπου του ανακοινώνει ότι πήρε την έδρα των µαθηµατικών στο πανεπιστήµιο του Βερολίνου. Μία βδοµάδα µετά του έρχεται και η επίσηµη πρόσκληση. Για να δούµε µέσα από το µάθηµα της θεωρίας οµάδων πόσο σηµαντικός ήταν ο Abel, αρκεί να σκεφτούµε ότι υπάρχουν δύο µεγάλες κατηγορίες οµάδων: οι αβελιανές και οι µη αβελιανές. 14

15 Μαθηµατικός συµβολισµός και συµβολή του Galois Ο τελευταίος πίνακας του µαθήµατος 15

4236) Μιγαδική προσέγγιση στη Θεωρία Οµάδων Ο Evariste Galois είναι ο δηµιουργός της Θεωρίας Οµάδων. Αν είχατε παρακολουθήσει το µάθηµα Ιστορία και Φιλοσοφία των Μαθηµατικών, θα σας βοηθούσε γιατί θα γνωρίζατε

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

Générateurs et groupes cycliques

Générateurs et groupes cycliques Γεννήτορες και κυκλικές οµάδες - Générateurs et groupes cycliques N. Lygeros Νοµίζω πως τώρα είµαστε αρκετά προετοιµασµένοι για να δούµε µερικά πράγµατα από το βιβλίο. Άρα το Η θα είναι η υποοµάδα. Οπότε

Διαβάστε περισσότερα

Η οµάδα των κουατέρνιων Νίκος Λυγερός Θεώρηµα Lagrange (η τάξη της υποοµάδας Η διαιρεί την τάξη της οµάδας G) Πόρισµα 1 Έστω Λήµµα Πόρισµα 2 Έστω άρα και δεύτερον από το Πόρισµα 1 άρα Είναι ενδιαφέρον,

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορική προσέγγιση της θεωρίας του Galois. Approche historique de la théorie de Galois. Θα ασχοληθούµε µε τη Θεωρία Οµάδων. Όµως, το να ασχοληθούµε απλώς και µόνο τυπικά µε τη Θεωρία Οµάδων δεν αρκεί.

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού)

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 1 Γεια σας και πάλι! Συγχαρητήρια για την επιτυχία σας στην πρώτη ενότητα! 2 Σε αυτό το video θα θυμηθούμε τη διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης, δηλαδή όλα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007 1 / 15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού)

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Μιχάλης Λάµπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Ερωτήσεις 3 πόντων: 1) Αν όπου είναι κάποιος συγκεκριµένος αριθµός, τότε ο αριθµός αυτός

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

παραδειγματα επεισοδίων

παραδειγματα επεισοδίων παραδειγματα επεισοδίων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΟΗΜΑ Οι μαθητές ερμηνεύουν τα δρώμενα στην τάξη: ως προς το νόημα εννοιών και διαδικασιών ως προς τη φύση και την αξία αυτών στο μάθημα των μαθηματικών Καλδρυμίδου,

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Λυκείου Γενικής Μαρίνος Παπαδόπουλος Πίνακας Περιεχοµένων Τίτλος Θεµατικές Ενότητες Σελίδες Προλογικό Σηµείωµα υο λόγια προς τους µαθητές 5-6 Μάθηµα Έννοια συνάρτησης Πεδίο ορισµού 7-4 Μάθηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Συνέντευξη του Ν. Λυγερού στην εκπομπή «Καλή σας ημέρα» ΡΙΚ 1, 03/11/2014

Συνέντευξη του Ν. Λυγερού στην εκπομπή «Καλή σας ημέρα» ΡΙΚ 1, 03/11/2014 Συνέντευξη του Ν. Λυγερού στην εκπομπή «Καλή σας ημέρα» ΡΙΚ 1, 03/11/2014 Δημοσιογράφος: -Μπορούν να συνυπάρξουν η θρησκεία και η επιστήμη; Ν.Λυγερός: -Πρώτα απ όλα συνυπάρχουν εδώ και αιώνες, και κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΥΠΕΡΚΥΒΟ

ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΥΠΕΡΚΥΒΟ ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΥΠΕΡΚΥΒΟ Αφού διαβάσαµε την Επιπεδοχώρα, φτάσαµε µε τη µέθοδο της Αναλογίας στον χώρο των τεσσάρων διαστάσεων. Το πρώτο αντικείµενο αυτού του παράξενου κόσµου ήταν ο Υπερκύβος. Τα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Η παιδαγωγική διάσταση των πολλών τρόπων επίλυσης ενός προβλήµατος ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Μία χαρακτηριστική ιδιότητα των Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 17.05.12 Χ. Χαραλάμπους (1791-1858) 1858) Peacock: «Treatise on Algebra»(1830) και αργότερα μετά το 1839 την «αριθμητική άλγεβρα» και στην «συμβολική άλγεβρα». «αριθμητική άλγεβρα»:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1)

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) «Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) Πρόσωπα: Μαθητές ασκάλα Κύριος Τροχαιάκης (αστυνοµικός της τροχαίας) Παιδιά ΣΚΗΝΗ 1 (στην τάξη) Χτυπά κουδούνι και µπαίνει µέσα

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Κλάσµατα Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια Όπως φαίνεται όµως ο Σάκης έφαγε 1 κοµµάτι από τα 8 Το κοµµάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 2015 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: ΓΡΙΒΑ ΕΛΕΝΗ 5/2/2015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αυτό το portfolio φτιάχτηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτηµατολόγιο PMP , +

Ερωτηµατολόγιο PMP , + Ερωτηµατολόγιο PMP Διαβάστε προσεκτικά κάθε ένα από τα παρακάτω προβλήµατα. Για κάθε πρόβληµα υπάρχουν τέσσερις εναλλακτικές απαντήσεις από τις οποίες µόνο µία είναι η σωστή. Παρακαλώ επιλέξτε τη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Συναρτήσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων

Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων Την διετύπωσε ο Γαλιλαίος εξετάζοντας την περίπτωση της οριζόντιας βολής. «Η µετά χρόνο t θέση ενός κινητού που συµµετέχει σε δύο κινήσεις προσδιορίζονται, εάν φανταστούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. Εργασία για το σπίτι. Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. Εργασία για το σπίτι. Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Εργασία για το σπίτι Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Απαντά η Μαρίνα Βαμβακίδου Ερώτηση 1. Μπορείς να φανταστείς τη ζωή μας χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/10/2016

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Β - Γ Δημοτικού

Ερωτηματολόγιο Προγράμματος Ασφαλώς Κυκλοφορώ (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Β - Γ Δημοτικού Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Β - Γ Δημοτικού Tάξη & Τμήμα:... Σχολείο:... Ημερομηνία:.../.../200... Όνομα:... Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα