s s x 3s x 2s x s x x s x 2s x 3s 68% 95% 99,7% ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ( ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: Δημήτρης Β.

Transcript

1 s s 3s s s s s 3s 68% 95% 99,7% ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ( ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: Δημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ 00-0

2 50% 50% 6%=50%-34% 6%=50%-34%,5%=50% - (34%+3,5%) 0,5%=(00%-99,7%): s,35% 3,5% s s s δ 68% 95% 99,7% s 34% 34% 3,5% s,5%=50% - (34%+3,5%),35% s s 0,5%=(00%-99,7%): 34%=68%:,35%=(99,7%-95%): 3,5%=(95%-68%):

3 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.ΟΡIΣΜΟΣ... Τι οομάζουμε συάρτηση; Συάρτηση (functon) είαι μια διαδικασία με τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α (πεδίο ορισμού) ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β. Π.Χ.στο επόμεο διάγραμμα η f είαι συάρτηση αφού κάθε στοιχείο του συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο του συόλου Β. A B f.ορισμοσ... Τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής ; Πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής λέγεται μια συάρτηση της οποίας το σύολο Α, που λέγεται πεδίο ορισμού της συάρτησης, είαι υποσύολο του συόλου R τω πραγματικώ αριθμώ, εώ το Β συμπίπτει με το R. 3.ΟΡΙΣΜΟΣ...Τι λέγεται τιμή μίας συάρτησης f στο ; Έστω μια συάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Α με τη συάρτηση αυτή το A ατιστοιχίζεται στο y B, τότε γράφουμε y f() και διαβάζουμε y ίσο f του. Το f () λέγεται τιμή της f στο. ηλαδή είαι ο αριθμός y f() στο οποίο ατιστοιχίζεται το A. 4.ΟΡΙΣΜΟΣ... Έστω μια συάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Τι οομάζουμε εξαρτημέη και τι αεξάρτητη μεταβλητή της f ; Το γράμμα, που συμβολίζει οποιοδήποτε στοιχείο του Α, οομάζεται αεξάρτητη μεταβλητή, 00-0 ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

4 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY εώ το y f(), που παριστάει τη τιμή της συάρτησης στο και εξαρτάται από τη τιμή του, λέγεται εξαρτημέη μεταβλητή. Σε μια συάρτηση συήθως η τιμή της εκφράζεται με έα αλγεβρικό τύπο, για παράδειγμα f ( ). Σ αυτή τη περίπτωση λέμε: η συάρτηση f με f ( ) ή η συάρτηση f ( ) ή η συάρτηση y ή, απλούστερα, η συάρτηση. Ότα το f () εκφράζεται μόο με έα αλγεβρικό τύπο, τότε το πεδίο ορισμού της συάρτησης είαι το ευρύτερο υποσύολο του R στο οποίο το f () έχει όημα πραγματικού αριθμού. 5.ΟΡΙΣΜΟΙ... Έστω οι συαρτήσεις f, g που ορίζοται και οι δύο σε έα σύολο Α. Πως ορίζοται οι Πράξεις με Συαρτήσεις; Α δύο συαρτήσεις f, g ορίζοται και οι δύο σε έα σύολο Α, τότε ορίζοται και οι συαρτήσεις: Το άθροισμα S f g, με S() f() g(), A Η διαφορά D f g, με D() f() g(), A Το γιόμεο P f g, με P() f() g(), A και Το πηλίκο f R, με g f() R(), όπου A και g (). g() 6.ΟΡΙΣΜΟΣ... Έστω μια συάρτηση f με πεδίο ορισμού έα σύολο Α. Τι οομάζεται γραφική παράσταση ή καμπύλη της f σε έα καρτεσιαό σύστημα συτεταγμέω Oy ; Έστω μια συάρτηση f με πεδίο ορισμού έα σύολο Α. Γραφική παράσταση ή καμπύλη της f σε έα καρτεσιαό σύστημα συτεταγμέω Oy λέγεται το σύολο τω σημείω M (,(f()) για όλα τα A. 7.ΟΡΙΣΜΟΣ...Πότε έα σημείο M (,y) του επιπέδου 00-0 ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

5 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY τω αξόω αήκει στη καμπύλη της συάρτησης f ; Έα σημείο M (,y) του επιπέδου τω αξόω αήκει στη καμπύλη της f, μόο ότα y f(). 8.ΟΡΙΣΜΟΣ.. Τι οομάζεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της συάρτησης f ; Η εξίσωση y f() επαληθεύεται μόο από τα ζεύγη (, y) που είαι συτεταγμέες σημείω της γραφικής παράστασης της f και λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της f Ποιες είαι οι γραφικές παραστάσεις ορισμέω ΒΑΣΙΚΩΝ συαρτήσεω Στα παρακάτω σχήματα φαίοται οι γραφικές παραστάσεις ορισμέω ΒΑΣΙΚΏΝ συαρτήσεω. y y y= 3 O y= (α) Η καμπύλη της συάρτησης f() είαι η διχοτόμος της ης και 3ης γωίας τω αξόω. y y - - O - (γ) Η καμπύλη της συάρτησης f() είαι μια υπερβολή. Παρατηρούμε ότι στη γραφική παράσταση της f ( ) υπάρχει μια διακοπή στο σημείο 0. Αυτό οφείλεται στο γεγοός ότι το πεδίο ορισμού της f δε περιέχει το μηδέ O (β) Η καμπύλη της συάρτησης f () είαι μια παραβολή. y 3 y=e - - O (δ) Η καμπύλη της εκθετικής συάρτησης f() e είαι πάω από το άξοα, αφού e για κάθε R ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

6 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY y O - y=ln y y=συ O π π y y=ημ π O π (ε) Η καμπύλη της λογαριθμικής συάρτησης f() ln είαι δεξιά του άξοα yy, αφού ο λογάριθμος ορίζεται μόο για. (στ) Οι συαρτήσεις f() ημ και g() συ είαι περιοδικές με περίοδο π Τι γωρίζετε για τη μοοτοία της συάρτησης f() ημ, [, π] y y=ημ 0 π 3π/ π O π/ π ημ 3π π π Από τη γραφική παράσταση της συάρτησης f() ημ, [, π] προκύπτει ότι για δύο οποιαδήποτε σημεία, του διαστήματος, π με είαι ημ ημ. Αυτό το εκφράζουμε λέγοτας ότι η συάρτηση f() ημ είαι γησίως αύξουσα στο διάστημα, π. για δύο οποιαδήποτε σημεία, του διαστήματος π π, με, παρατηρούμε ότι ημ ημ. Σ αυτή τη περίπτωση λέμε ότι η συάρτηση f() ημ είαι γησίως φθίουσα στο π π διάστημα,. π Η συάρτηση f() ημ είαι γησίως αύξουσα στο διάστημα στο διάστημα, π..ορισμοσ...πότε μια συάρτηση f λέγεται γησίως αύξουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

7 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY Μια συάρτηση f λέγεται γησίως αύξουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, ότα για οποιαδήποτε σημεία, με ισχύει f( ) f( )..ΟΡΙΣΜΟΣ... Πότε μια συάρτηση f λέγεται γησίως φθίουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συάρτηση f λέγεται γησίως φθίουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, ότα για οποιαδήποτε σημεία ισχύει f( ) f( )., με 3.ΟΡΙΣΜΟΣ... Πότε μια συάρτηση f λέγεται γησίως μοότοη σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση που είαι γησίως αύξουσα στο Δ ή γησίως φθίουσα στο Δ λέγεται γησίως μοότοη στο Δ. 4.ΟΡΙΣΜΟΣ... Τι οομάζουμε περιοχή του Κάθε αοικτό διάστημα το οποίο περιέχει το οομάζεται περιοχή του 5.ΟΡΙΣΜΟΣ... Πότε μια συάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο A ; Μια συάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο A, ότα f() f() για κάθε σε μια περιοχή του. Για 4 η τιμή g ( 4 ) είαι μεγαλύτερη από τις τιμές της g σε όλα τα που αήκου σε μια περιοχή του 4. Λέμε ότι η συάρτηση g έχει στο σημείο 4 τοπικό μέγιστο. Το ίδιο συμβαίει και για. Οι τιμές g ( ) και g ( 4 ) λέγοται τοπικά μέγιστα της συάρτησης. y y=g() O 4 6.ΟΡΙΣΜΟΣ... Πότε μια συάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο A ; Μια συάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο A, ότα f() f( ) για κάθε σε μια περιοχή του ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

8 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY Από τη γραφική παράσταση της συάρτησης g του σχήματος προκύπτει ότι για η τιμή της g είαι μικρότερη από τις τιμές της g σε όλα τα που αήκου σε έα αοικτό διάστημα το οποίο περιέχει το, ή, όπως λέμε σε μια περιοχή του. Στη περίπτωση αυτή λέμε ότι η συάρτηση g έχει στο σημείο τοπικό ελάχιστο. Το ίδιο συμβαίει και για 3. Οι τιμές g ( ) και g ( 3 ) λέγοται τοπικά ελάχιστα της συάρτησης. y O 3 y=g() 7.ΟΡΙΣΜΟΣ...Τι οομάζοται ακρότατα μίας συάρτησης ; Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συάρτησης, τοπικά ή ολικά, λέγοται ακρότατα της συάρτησης. Έα τοπικό ελάχιστο μπορεί α είαι μεγαλύτερο από έα τοπικό μέγιστο. Για παράδειγμα, το τοπικό ελάχιστο g ( ) είαι μεγαλύτερο από το τοπικό μέγιστο g ). ( ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ y y=g() O 4 8.Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ.. Α οι συαρτήσεις f και g έχου στο lm g() όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή α όπου και πραγματικοί αριθμοί, τότε αποδεικύεται ότι: lm (f() g()) lm (kf()) k lm (f()g()) f() lm, 0 g() lm (f()) lm f()., f( ) 0 και 0. 9.ΟΡΙΣΜΟΣ. lm f()..πότε μια συάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συεχής ; Μια συάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συεχής, α για κάθε A ισχύει lm f () f ( ). και

9 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY 0... Ποιες γωστές συαρτήσεις είαι συεχείς στο πεδίο ορισμού τους ; Συαρτήσεις, πολυωυμικές, τριγωομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές, αλλά και όσες προκύπτου από πράξεις μεταξύ αυτώ είαι συεχείς συαρτήσεις. Έτσι ισχύει lm ημ ημ, lm συ συ και lm εφ εφ (ότα συ )..ΟΡΙΣΜΟΣ... Τι λέμε στιγμιαία ταχύτητα ; Τη οριακή τιμή της μέσης ταχύτητας τη λέμε στιγμιαία ταχύτητα του κιητού στη χροική στιγμή t. t ή απλώς ταχύτητα του κιητού στο Επομέως, η ταχύτητα υ του κιητού τη χροική στιγμή t θα είαι S(t υ lm h h) S(t h ) S lm. h h.ορισμοσ... Έστω f μια συάρτηση και Α (, f( )) έα σημείο της παράστασης C.Ποιός είαι ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της C στο Α ; f( h) f( ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ : εφω = lm h h Ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της καμπύλης που είαι η γραφική παράσταση μιας συάρτησης f στο σημείο (, f( )) θα είαι f ( ), δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της f () ως προς ότα. f ( ) 0 80 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: εφ(80-ω) = - εφω 0, (90 ) f( 0 +h) f( 0 ) Ο y ω Α φ 0 C Μ Μ Γ 0 +h ε ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

10 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY ω 0 ο 30 ο / 6 45 ο / 4 60 ο / 3 90 ο / 0 ο / 3 35 ο / εφω ε ορίζεται εφ0 = εφ(80-60) = - εφ60 = 3 εφ35 = εφ(80-45) = - εφ45 = ΟΡΙΣΜΟΣ... Τι οομάζεται παράγωγος της f στο σημείο 0 ; f( h) f( ) Α το όριο lm h h λέμε ότι η f είαι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της. Το όριο αυτό οομάζεται παράγωγος της f στο 0, συμβολίζεται με f ( ) και διαβάζεται f τοούμεο του. Έχουμε λοιπό: υπάρχει και είαι πραγματικός αριθμός, τότε f ( f( ) lm h h) f( h ) 4.ΟΡΙΣΜΟΣ... Τι οομάζεται ρυθμός μεταβολής του y f() ως προς το, ότα. Η παράγωγος της f στο εκφράζει το ρυθμό μεταβολής (rate of change) του y f() ως προς το, ότα. 5.ΟΡΙΣΜΟΣ... Τι οομάζεται παράγωγος μιας συάρτησης f με πεδίο ορισμού το Α Ορισμός πρώτης Παραγώγου Έστω μια συάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, και Β το σύολο τω οποία η f είαι παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια έα συάρτηση, με τη οποία κάθε f( h) f() f () lm. h h Η συάρτηση αυτή λέγεται (πρώτη) παράγωγος (derate) της f και συμβολίζεται με f. 6.ΟΡΙΣΜΟΣ... 8 A στα B ατιστοιχίζεται στο Η ταχύτητα εός κιητού που κιείται ευθύγραμμα και η θέση του στο άξοα κίησής του εκφράζεται από τη συάρτηση f(t) θα είαι τη χροική στιγμή t υ(t ) f (t ), δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της f (t) ως προς t ότα t t ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

11 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY 7.ΟΡΙΣΜΟΣ..3. Tαχύτητα και επιτάχυση κιητού που κιείται ευθύγραμμα. Α η τετμημέη εός κιητού που κιείται ευθυγράμμως είαι (t) τη χροική στιγμή t, τότε η ταχύτητά του θα είαι υ(t) (t). Α η συάρτηση υ είαι παραγωγίσιμη, τότε η επιτάχυση του κιητού τη χροική στιγμή t θα είαι η παράγωγος της ταχύτητας, δηλαδή θα ισχύει α(t) υ (t) ή ισοδύαμα α(t) (t). 8.ΟΡΙΣΜΟΣ..3. Τι οομάζεται δεύτερη παράγωγος μιας συάρτησης f Η παράγωγος της συάρτησης f λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f. ηλαδή f ( f ) y y=ημ 35o 45 o 35 o π 45 o Ο π y Ο π/ π π y=(ημ) ( ) ( 3 ) 3, 3..3.Oι βασικοί τύποι και καόες παραγώγισης. ( c ) 0 ( ) ρ ρ ( ) ρ ( ) ( ημ) συ ( συ) ημ ( e ) e ( n) ( cf ( )) cf ( ) ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( g( )) f ( g( )) f ( g( )) g( ) 9 ( εφ) συ 00-0 ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

12 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ C 0 c=σταθερός, 0 X, με 0 ημ συ συ ημ π εφ, kπ, συ κζ σφ, kπ ημ 0 e e ( n), 0 n, R α α nα og α nα 0 α, α 0, 0, ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ f. α f( ) α f( ), α=σταθερός (αr ) -. f g ( ) f( ) g( ) f ( ) g ( ) α α α, R ότα α Ν R ότα α Z α α α με α R Z, 0 f f f α α α α παράγωγος αθροίσματος f g ( ) f( ) g( ) f( ) g( παράγωγος διαφοράς [ f f f f f f f f 3... ] 3... fg ( ) f g f g f g παράγωγος γιομέου f f f f f f f f f f f f ) g 7. g g [ g ] με g 0 f f 8. f g f g g g με g 0 παράγωγος πηλίκου [ g] Οι παραπάω τύποι -8 ισχύου μόο για χ ή για κάποιο άλλο γράμμα που παίζει το ρόλο της αεξάρτητης μεταβλητής.οι παραπάω τύποι -8 δε ισχύου α στη θέση του χ θέσουμε 3χ ή κάτι άλλο,οπότε σε μια τέτοια περίπτωση καουμε χρήση του καόα παραγώγισης για σύθετη συάρτηση. 9. Παράγωγος σύθετης συάρτησης f g f g fg g για τα χ εκεία για τα οποία ισχύου: ι) η g παραγωγίζεται στο χ ιι) η f παραγωγίζεται στο g() 00-0 ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

13 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f f f, N 6. σφf f ημ f α α f α f f, α R f. f f, f 0 7. [ nf ], f 0 f 3. ημf συf f 4. [ συf] ημf f 5. εφf συ f f 3. θεώρημα.4. f f 8. n f, f 0 f f f 9. e e f f f 0. α α nα f, α 0 Α μια συάρτηση f είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα και ισχύει κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είαι γησίως αύξουσα στο. Α μια συάρτηση f είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα και ισχύει κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είαι γησίως φθίουσα στο. 33. θεώρημα.4. Α για μια συάρτηση f ισχύου f ( ) για (α,β), f () στο ( α, ) και f () στο (,β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα ( α,β) για μέγιστο. y O f ( 0 )= 0 f () για f () για f ( )> 0 f ( )< 0 0 Α για μια συάρτηση f ισχύου f ( ) για (α,β), f () στο ( α, ) και f () στο (,β), τότε η y f ( )< 0 f ( )> 0 f παρουσιάζει στο διάστημα ( α,β) για ελάχιστο. O 0 f ( 0 )= 0 ΣΧΟΛΙΟ: Α για τη συάρτηση f ισχύει f ( ) για (α,β) και η παράγωγός της f διατηρεί πρόσημο εκατέρωθε του (α,β), τότε η f είαι γησίως μοότοη στο διάστημα (, ) και δε παρουσιάζει ακρότατο στο διάστημα αυτό ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

14 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY ΣΧΟΛΙΟ: (σελ. 43 ) Α για μια συάρτηση f ισχύου :. f ( ) για (α,β). η παράγωγός της f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθε του (α,β) Και 3. το (α,β) είαι η μοαδική ρίζα της f, τότε το 0 ολικό ακρότατο στο διάστημα (, ) 34. ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Να βρεθού τα ακρότατα της συάρτησης f ( ) α β γ, α 0. ΛΥΣΗΈχουμε: f () (α β γ) α β. f () α β β. α f () α β α β. f ( ) είαι Επομέως, α α, τότε f () για και β f () για. α β α εώ α f () για α, τότε f () για β α. β και α β α β α f () f () 0 Άρα, η συάρτηση f( ) α β γ, α 0 για παρουσιάζει ελάχιστο α α και μέγιστο α α. Η τιμή του μεγίστου ή του ελαχίστου είαι ίση με β α f β α β α α β β γ α αγ β α α β f. δηλ. α ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

15 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY Κεφάλαιο - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 35.ΟΡΙΣΜΟΣ..0.ορισμός της Στατιστικής κατά το R.A. Fsher (890-96), Στατιστική είαι έα σύολο αρχώ και μεθοδολογιώ για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομέω τη συοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους τη αάλυση και εξαγωγή ατίστοιχω συμπερασμάτω. Στατιστική Eδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο πληθυσμό μιας χώρας. Μπορεί α προέρχεται από τη αρχαία ελληική λέξη στατίζω (τοποθετώ, ταξιομώ, συμπεραίω) Σε ποιους κλάδους χωρίζεται η Στατιστική Α) Το σχεδιασμό πειραμάτω ( epermental desgn ) : ασχολείται με τη διαδικασία συλλογής δεδομέω. Β) τη περιγραφική στατιστική ( descrpte statstcs ): ασχολείται με τη συοπτική και αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω. (και αποτελεί το ατικείμεο μελέτης μας στη συέχεια. ) Γ )Τη επαγωγική στατιστική ή στατιστική συμπερασματολογία ( nferental statstcs ) : περιλαμβάει τις μεθόδους με τις οποίες γίεται η προσέγγιση τω χαρακτηριστικώ εός μεγάλου συόλου δεδομέω, με τη μελέτη τω χαρακτηριστικώ εός μικρού υποσυόλου τω δεδομέω Ποια στάδια διακρίουμε σε μια στατιστική έρευα; Τη συλλογή του στατιστικού υλικού, τη επεξεργασία και παρουσίαση του υλικού, τη αάλυση αυτού του υλικού και τη εξαγωγή χρήσιμω συμπερασμάτω ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

16 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY 38.ΟΡΙΣΜΟΙ.. Τι οομάζοται στη στατιστική μεταβλητές ; Τι οομάζοται στη στατιστική τιμές μίας μεταβλητής ; Πως διακρίοται οι μεταβλητές ως προς τις τιμές τους ; Ποιο είαι το ατικείμεο της Δειγματοληψίας ; Μεταβλητές (arables) λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έα πληθυσμό και τις συμβολίζουμε συήθως με τα κεφαλαία γράμματα X, Y, Z, B,... Οι μεταβλητές διακρίοται σε: Ποσοτικές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές είαι αριθμοί ) Σε διακριτές μεταβλητές, που παίρου μόο μεμοωμέες τιμές. ) Σε συεχείς μεταβλητές, που μπορού α πάρου οποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος πραγματικώ αριθμώ ( α, β). Τιμές της μεταβλητής λέγοται οι δυατές τιμές που μπορεί α πάρει μια μεταβλητή Από τη διαδοχική εξέταση τω ατόμω του πληθυσμού ως προς έα χαρακτηριστικό τους προκύπτει μια σειρά από δεδομέα, που λέγοται στατιστικά δεδομέα ή παρατηρήσεις. Τα στατιστικά δεδομέα δε είαι κατ αάγκη διαφορετικά. Ποιοτικές ή Κατηγορικές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές τους δε είαι αριθμοί. Οι αρχές και οι μέθοδοι για τη συλλογή και αάλυση δεδομέω από πεπερασμέους πληθυσμούς είαι το ατικείμεο της Δειγματοληψίας (Samplng), που αποτελεί τη βάση της Στατιστικής. Γεικά, μπορούμε α πούμε ότι η οργάωση της συλλογής και επεξεργασίας τω σχετικώ δεδομέω και πληροφοριώ γίεται κατά τρόπο που για δεδομέη ακρίβεια α επιτυγχάεται το χαμηλότερο δυατό κόστος ή, ατιστρόφως, α εξασφαλίζεται η μέγιστη δυατή ακρίβεια τη οποία επιτρέπου τα μέσα που διαθέτουμε α)Τι οομάζεται στη στατιστική πληθυσμός ; Πληθυσμός λέγεται έα σύολο του οποίου εξετάζουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. β) Τι οομάζουμε άτομα του πληθυσμού στη στατιστική; 40. ΟΡΙΣΜΟΣ.. α) Τι οομάζεται στη στατιστική δείγμα ; ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

17 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY β) Τι οομάζεται στη στατιστική μέγεθος δείγματος; γ)πότε έα δείγμα οομάζεται ατιπροσωπευτικό εός πληθυσμού ; α)δείγμα οομάζεται μια μικρή ομάδα (υποσύολο ) του πληθυσμού. β) Το πλήθος τω στοιχείω (ατόμω )του δείγματος λέγεται μέγεθος του δείγματος και συμβολίζεται συήθως με. γ)έα δείγμα θεωρείται ατιπροσωπευτικό εός πληθυσμού, εά έχει επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε μοάδα του πληθυσμού α έχει τη ίδια δυατότητα α επιλεγεί Ποιες μεθόδους χρησιμοποιούμε για τη συλλογή στατιστικώ δεδομέω; Α) Μέθοδος της απογραφής Λέμε ότι κάουμε απογραφή (census) ότα για α πάρουμε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόμαστε για κάποιο πληθυσμό πρέπει α εξετάσουμε όλα τα άτομα (στοιχεία) του πληθυσμού ως προς το χαρακτηριστικό που μας εδιαφέρει. Επειδή τα άτομα του πληθυσμού είαι πάρα πολλά η απογραφή παίρει πολύ χρόο ή πρέπει α ασχοληθού πολλοί άθρωποι με αυτη με συέπεια πολλές φορές α είαι δύσκολη ή ακόμα και αδύατη Β) Μέθοδος της Δειγματοληψίας Λέμε ότι κάουμε Δειγματοληψία (Samplng),ότα εξετάζουμε έα μικρό μέρος (υποσύολο) του πληθυσμού το οποίο λέγεται δείγμα και μετά γεικεύουμε το συμπέρασμα για ολόκληρο το πληθυσμό. Το πλήθος τω στοιχείω (ατόμω )του δείγματος λέγεται μέγεθος του δείγματος και συμβολίζεται συήθως με. Δημοσκόπηση (Gallup) λέγεται η στατιστική μελέτη και έρευα κατά τη οποία το δείγμα λαμβάεται από αθρώπιο πληθυσμό. Τι λέγεται απογραφή ; Τι λέγεται δειγματοληψία ; Ποιο είαι το ατικείμεο της δειγματοληψίας ; 4... Οι πίακες διακρίοται στους: α) γεικούς πίακες, οι οποίοι περιέχου όλες τις πληροφορίες που προκύπτου από μία στατιστική έρευα (συήθως με αρκετά λεπτομερειακά στοιχεία) και αποτελού πηγές στατιστικώ πληροφοριώ στη διάθεση τω επιστημόω-ερευητώ για παραπέρα αάλυση και εξαγωγή συμπερασμάτω, β) ειδικούς πίακες, οι οποίοι είαι συοπτικοί και σαφείς. Τα στοιχεία τους συήθως έχου ληφθεί από τους γεικούς πίακες ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

18 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY Κάθε πίακας που έχει κατασκευαστεί σωστά πρέπει α περιέχει: α) το τίτλο, που γράφεται στο επάω μέρος του πίακα και δηλώει με σαφήεια και συοπτικά το περιεχόμεο του πίακα, β) τις επικεφαλίδες τω γραμμώ και στηλώ, που δείχου συοπτικά τη φύση και τις μοάδες μέτρησης τω δεδομέω, γ) το κύριο σώμα (κορμό), που περιέχει διαχωρισμέα μέσα στις γραμμές και στις στήλες τα στατιστικά δεδομέα, δ) τη πηγή, που γράφεται στο κάτω μέρος του πίακα και δείχει τη προέλευση τω στατιστικώ στοιχείω, έτσι ώστε ο ααγώστης α αατρέχει σ αυτή, ότα επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείω ή για λήψη περισσότερω πληροφοριώ. 44.OΡΙΣΜΟΣ (απόλυτη) συχότητα (frequency) 6.. Ας υποθέσουμε ότι,,..., κ είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους, κ. Στη τιμή ατιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχότητα (frequency), δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω. Το άθροισμα όλω τω συχοτήτω είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή: ΟΡΙΣΜΟΣ.. Τι λέγεται σχετική συχότητα (relate frequency) Ποιες είαι οι ιδιότητες της ; 00-0 ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ k f της τιμής και Ας υποθέσουμε ότι,,..., κ είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους, κ. Στη τιμή ατιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχότητα (frequency). Α διαιρέσουμε τη συχότητα με το μέγεθος του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχότητα (relate frequency) f της τιμής, δηλαδή f,,,..., κ. Τις σχετικές συχότητες f τις εκφράζουμε επί τοις εκατό, οπότε συμβολίζοται με f %, δηλαδή f % f. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ της σχετικής συχότητας:

19 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY. 0 f για,,..., κ. f f... f κ. 46.ΟΡΙΣΜΟΣ..Πίακας καταομής συχοτήτω Οι ποσότητες,, f για έα δείγμα συγκετρώοται σε έα συοπτικό πίακα, που οομάζεται πίακας καταομής συχοτήτω ή απλά πίακας συχοτήτω. 47.ΟΡΙΣΜΟΣ..Ποιά είαι τα είδη συχοτήτω μίας μεταβλητής και πως ορίζοται ; Συχότητες ( για όλα τα είδη μεταβλητώ ) : Α,,..., κ είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους, κ, τότε. Η (απόλυτη) συχότητα (frequency) της τιμής είαι ο φυσικός αριθμός, που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω. Η σχετική συχότητα (relate frequency) της τιμής είαι ο αριθμός f ο οποίος προκύπτει α διαιρέσουμε τη συχότητα με το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή f,,,..., κ. Η σχετική συχότητα % της τιμής είαι ο αριθμός,,...,κ. 7 f %, δηλαδή f % 00 f για Αθροιστικές συχότητες ( μόο για ποσοτικές μεταβλητές ) : Η αθροιστική συχότητα (cumulate frequence) της τιμής είαι ο αριθμός εκφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μικρότερες ή ίσες της τιμής. Α οι τιμές,,..., κ μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είαι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική συχότητα της τιμής είαι N... για,,..., κ.. Η αθροιστική σχετική συχότητα (cumulate relate frequence ) της τιμής είαι ο αριθμός F που εκφράζει το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι μικρότερες ή ίσες της τιμής. Α οι τιμές,,..., κ μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είαι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική σχετική συχότητα της τιμής είαι F f f... f, για,,...,κ. Η αθροιστική σχετική συχότητα % της τιμής είαι ο αριθμός F% f % f %... f % 00F δηλ F % 00 F Είαι 00-0 ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ F % για,,..., κ. 48.ΟΡΙΣΜΟΣ.. Τι γωρίζετε για τη καταομή συχοτήτω μιας μεταβλητής με τιμές Υπάρχου 3 είδη καταομώ συχοτήτω. Πρόκειται για :,,..., κ. N που

20 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY Το σύολο τω ζευγαριώ (, ) το σύολο τω ζευγαριώ (,f ) το σύολο τω ζευγαριώ,f %) (, και επιπλέο άλλα τρία (3) ότα η μεταβλητή είαι ποσοτική: Το σύολο τω ζευγαριώ (, N) το σύολο τω ζευγαριώ (, F ) το σύολο τω ζευγαριώ (, F %) 49.ΟΡΙΣΜΟΣ.. α)τι οομάζεται Καταομή συχοτήτω β) Τι οομάζεται Καταομή τω σχετικώ συχοτήτω. ΑΠ:α)Για μια μεταβλητή, το σύολο τω ζευγώ, ) ( λέμε ότι αποτελεί τη καταομή συχοτήτω. β)για μια μεταβλητή, το σύολο τω ζευγώ (,f ), ή τω ζευγώ (,f%), τη καταομή τω σχετικώ συχοτήτω. 50. ΟΡΙΣΜΟΣ.. Αθροιστική συχότητα (cumulate frequence ) N Α,,..., κ είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους, κ, τότε : Αθροιστική συχότητα (cumulate frequence) της τιμής είαι ο αριθμός N που εκφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μικρότερες ή ίσες της τιμής. Α οι τιμές,,..., κ μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είαι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική συχότητα της τιμής είαι N... για,,..., κ. 5. ΟΡΙΣΜΟΣ.. Αθροιστική σχετική συχότητα (cumulate relate frequences) F Α,,..., κ είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους, κ, τότε. Αθροιστική σχετική συχότητα (cumulate relate frequence ) της τιμής είαι ο αριθμός F που εκφράζει το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι μικρότερες ή ίσες της τιμής. Α οι τιμές,,..., κ μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είαι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική σχετική συχότητα της τιμής είαι F f f... f, για,,..., κ. Οι F πολλαπλασιάζοται επί 00 εκφραζόμεες έτσι επί τοις εκατό, δηλαδή F % F ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

21 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY Α,,..., κ είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους, κ, τότε. ) Με τι είαι ίσο το άθροισμα... ) Με τι είαι ίσο το άθροισμα f f... f, 3) Με τι είαι ίσο το άθροισμα f% f%... f % 4) Με τι είαι ίση η διαφορά : N N 5) Με τι είαι ίση η διαφορά : F F N 6) Με τι είαι ίσο το πηλίκο F ΑΠΑΝΤΗΣΗ: )... κ ( ΕΝΩ... N ) ) f f... f κ ( ΕΝΩ f f... f F ) 3) f% f%... f% F% 00F (ΕΝΩ f% f%... f % 00% 4) N N ( με N, N N ) 5) F F f ( με f F, f F F ) 6) N... = F (... ) f f... f Για διακριτές μεταβλητές Μαθηματική έκφραση Πλήθος Ποσοστό. Το πολύ. Ακριβώς 3. ή j 4. Τουλάχιστο 5. Από Τουλάχιστο j έως και j και το πολύ j 6. Κάτω από 7. Πάω από 8. Από έως το j 9 N % 00-0 ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ F % f f % f % % N j N N j N j F N F % F % j N % F 00 F % N F % F % Τα στατιστικά δεδομέα παρουσιάζοται πολλές φορές και υπό μορφή γραφικώ παραστάσεω ή j

22 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY διαγραμμάτω. Οι γραφικές παραστάσεις παρέχου πιο σαφή εικόα του χαρακτηριστικού σε σχέση με τους πίακες, είαι πολύ πιο εδιαφέρουσες και ελκυστικές, χωρίς βέβαια α προσφέρου περισσότερη πληροφορία από εκείη που περιέχεται στους ατίστοιχους πίακες συχοτήτω. Επί πλέο με τα διαγράμματα διευκολύεται η σύγκριση μεταξύ ομοειδώ στοιχείω για το ίδιο ή για διαφορετικά χαρακτηριστικά Τα στατιστικά διαγράμματα πρέπει α συοδεύοται από α) το τίτλο, β) τη κλίμακα με τις τιμές τω μεγεθώ που απεικοίζοται, γ) το υπόμημα που επεξηγεί συήθως τις τιμές της μεταβλητής και δ) τη πηγή τω δεδομέω Πότε χρησιμοποιείται το Ραβδόγραμμα ; Να δώσετε μια περιγραφή του. Το ραβδόγραμμα (barchart) χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτικής μεταβλητής. Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορθογώιες (συμπαγείς) στήλες που οι βάσεις τους βρίσκοται πάω στο οριζότιο ή το κατακόρυφο άξοα. Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ ατιστοιχεί μια ορθογώια στήλη της οποίας το ύψος είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα ή σχετική συχότητα. Έτσι έχουμε ατίστοιχα το ραβδόγραμμα συχοτήτω και το ραβδόγραμμα σχετικώ συχοτήτω. Τόσο η απόσταση μεταξύ τω στηλώ όσο και το μήκος τω βάσεώ τους καθορίζοται αυθαίρετα. Μερικές φορές σε έα ραβδόγραμμα συχοτήτω ο ρόλος τω δύο αξόω είαι δυατό α ατιστραφεί Πότε χρησιμοποιείται το Διάγραμμα Συχοτήτω(lne dagram). Να δώσετε μια περιγραφή του. Χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τω τιμώ μιας ποσοτικής μεταβλητής Σ αυτό υψώουμε σε κάθε (υποθέτοτας ότι... κ ) μία κάθετη γραμμή με μήκος ίσο προς τη ατίστοιχη συχότητα. Εώοτας τα σημεία (, ) έχουμε το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω. 58. Διάγραμμα σχετικώ Συχοτήτω.. Ότα έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή χρησιμοποιείται το διάγραμμα σχετικώ ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

23 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY συχοτήτω. Σ αυτό υψώουμε σε κάθε (υποθέτοτας ότι... κ ) μία κάθετη γραμμή με μήκος ίσο προς τη ατίστοιχη σχετική συχότητα. (δηλ στο κάθετο άξοα α βάζουμε τις σχετικές συχότητες f, οπότε έχουμε το διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω.) Εώοτας τα σημεία (, f ) έχουμε το λεγόμεο πολύγωο σχετικώ συχοτήτω Πότε χρησιμοποιείται το Κυκλικό Διάγραμμα. Να δώσετε μια περιγραφή του. Το κυκλικό διάγραμμα (pechart) χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο τω ποιοτικώ όσο και τω ποσοτικώ δεδομέω, ότα οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είαι σχετικά λίγες. Το κυκλικό διάγραμμα είαι έας κυκλικός δίσκος χωρισμέος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή,ισοδύαμα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετικές συχότητες f τω τιμώ της μεταβλητής. Α συμβολίσουμε με α το ατίστοιχο τόξο εός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω, τότε : ) Πότε ομαδοποιούμε τα δεδομέα σε κλάσεις ; ) Τι είαι οι κλάσεις ; 3) Τι είαι τα όρια τω κλάσεω ; 4) Τι είαι η κετρική τιμή μίας κλάσης ; 60. Σημειόγραμμα ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ o ή o 360 f για,,..., κ. Ότα έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η καταομή τους μπορεί α περιγραφεί με το σημειόγραμμα (dot dagram), στο οποίο οι τιμές παριστάοται γραφικά σα σημεία υπεράω εός οριζότιου άξοα. 6. Χροόγραμμα... Το χροόγραμμα ή χροολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόιση της διαχροικής εξέλιξης εός οικοομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους. Ο οριζότιος άξοας χρησιμοποιείται συήθως ως άξοας μέτρησης του χρόου και ο κάθετος ως άξοας μέτρησης της εξεταζόμεης μεταβλητής.

24 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY 5) Τι είαι το πλάτος μίας κλάσης ; 6) Τι είαι η συχότητα μίας κλάσης ; 7)Πως καθορίζεται το πλήθος τω κλάσεω ; 8) Τι λέγεται εύρος του δείγματος ; 9)Πως υπολογίζουμε το πλάτος τω κλάσεω ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ : )Ότα το πλήθος τω τιμώ μιας μεταβλητής είαι αρκετά μεγάλο οι πίακες συχοτήτω και κατ ααλογία τα ατίστοιχα διαγράμματα είαι δύσκολο α κατασκευαστού. Σ αυτές τις περιπτώσεις είαι απαραίτητο α ταξιομηθού (ομαδοποιηθού) τα δεδομέα σε μικρό πλήθος ομάδω. Αυτό μπορεί α συμβεί είτε στη περίπτωση μιας διακριτής μεταβλητής είτε, πολύ περισσότερο, στη περίπτωση μιας συεχούς μεταβλητής, όπου αυτή μπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα ορισμού της. )Οι κλάσεις (class nterals) είαι διαστήματα της μορφής [α, β) στα οποία ταξιομούται (ομαδοποιούται ) τα δεδομέα, έτσι ώστε κάθε τιμή α αήκει μόο σε μία κλάση. Μία παρατήρηση που συμπίπτει με το άω άκρο μιας κλάσης θα τοποθετηθεί κατά τη διαλογή στη αμέσως επόμεη κλάση. Καμία παρατήρηση δε μπορεί α μείει έξω από κάποια κλάση. 3) Τα άκρα α, β τω κλάσεω καλούται όρια τω κλάσεω (class boundares). Συήθως υιοθετούμε τη περίπτωση που μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της (κλειστή αριστερά) αλλά όχι το άω άκρο της (αοικτή δεξιά), δηλαδή που οι κλάσεις είαι της μορφής [, ). 4) Κετρική τιμή μίας κλάσης [α, β) είαι το κέτρο της. (Οι κετρικές τιμές διαφέρου μεταξύ τους όσο και το πλάτος τω κλάσεω. ) 5) Πλάτος μίας κλάσης οομάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το αώτερο όριο της κλάσης. Δηλαδή για τη κλάση [α, β) το πλάτος της είαι ο αριθμός β - α. 6) Συχότητα της κλάσης [α, β) (ή συχότητα της κετρικής τιμής,,,..., κ ) οομάζεται το πλήθος τω παρατηρήσεω που προκύπτου από τη διαλογή για τη κλάση. 7) Το πρώτο βήμα στη ομαδοποίηση τω δεδομέω είαι η εκλογή του αριθμού κ τω ομάδω ή κλάσεω. Ο αριθμός αυτός συήθως ορίζεται αυθαίρετα από το ερευητή σύμφωα με τη πείρα του. Γεικά όμως μπορεί α χρησιμοποιηθεί ως οδηγός ο παρακάτω πίακας: Μέγεθος δείγματος Αριθμός κλάσεω κ Μέγεθος δείγματος Αριθμός κλάσεω κ ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

25 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY 8) Εύρος (range) R του δείγματος, οομάζουμε τη διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συολικού δείγματος. R ma mn Το εύρος ή κύμαση (range) ( R ) είαι το απλούστερο από τα μέτρα διασποράς. Ότα έχουμε ομαδοποιημέα δεδομέα, το εύρος δίεται από τη διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το αώτερο όριο της τελευταίας κλάσης. Το εύρος είαι έα αρκετά απλό μέτρο, που υπολογίζεται εύκολα δε θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις. 9) Υπολογίζουμε το πλάτος c τω κλάσεω διαιρώτας το εύρος R διά του αριθμού τω κλάσεω κ, στρογγυλεύοτας, α χρειαστεί για λόγους διευκόλυσης, πάτα προς τα πάω Πως κατασκευάζεται ο πίακας συχοτήτω για ομαδοποιημέα δεδομέα σε κλάσεις ίσου πλάτους ; Οι πίακες συχοτήτω και κατ ααλογία τα ατίστοιχα διαγράμματα είαι δύσκολο α κατασκευαστού, ότα το πλήθος τω τιμώ μιας μεταβλητής είαι αρκετά μεγάλο. Αυτό μπορεί α συμβεί είτε στη περίπτωση μιας διακριτής μεταβλητής είτε, πολύ περισσότερο, στη περίπτωση μιας συεχούς μεταβλητής, όπου αυτή μπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα ορισμού της. Σ αυτές τις περιπτώσεις είαι απαραίτητο α ταξιομηθού (ομαδοποιηθού) τα δεδομέα σε μικρό πλήθος ομάδω, που οομάζοται και κλάσεις (class nterals), έτσι ώστε κάθε τιμή α αήκει μόο σε μία κλάση. Τα άκρα τω κλάσεω καλούται όρια τω κλάσεω (class boundares). Συήθως υιοθετούμε τη περίπτωση που μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της (κλειστή αριστερά) αλλά όχι το άω άκρο της (αοικτή δεξιά), δηλαδή που οι κλάσεις είαι της μορφής [, ). Κατά τη εξέταση ασκήσεω που ααφέροται σε ομαδοποίηση παρατηρήσεω, οι κλάσεις θα δίδοται υποχρεωτικά. Κατά τη διδασκαλία του ιστογράμματος συχοτήτω α τοιστεί ιδιαιτέρως ότι οι παρατηρήσεις στις κλάσεις καταέμοται ομοιόμορφα. Επομέως, α σε μια κλάση πλάτους c ατιστοιχού παρατηρήσεις, τότε σε έα υποδιάστημα αυτής πλάτους d ατιστοιχού d παρατηρήσεις. Έτσι για παράδειγμα στη άσκηση 5 της σελ. 03 οι πωλητές που έκαα c πωλήσεις από 5 χιλιάδες ευρώ μέχρι 6 χιλιάδες ευρώ είαι 4 7. Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούται όμοιες, οπότε μπορού α ατιπροσωπευθού από τις κετρικές τιμές, τα κέτρα δηλαδή κάθε κλάσης ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ c R

26 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY Το πρώτο βήμα στη ομαδοποίηση τω δεδομέω είαι η εκλογή του αριθμού κ τω ομάδω ή κλάσεω. Ο αριθμός αυτός συήθως ορίζεται αυθαίρετα από το ερευητή σύμφωα με τη πείρα του. Γεικά όμως μπορεί α χρησιμοποιηθεί ως οδηγός ο παρακάτω πίακας: Μέγεθος δείγματος Αριθμός κλάσεω κ Μέγεθος δείγματος Το δεύτερο βήμα είαι ο προσδιορισμός του πλάτους τω κλάσεω. Αριθμός κλάσεω κ 9 0 Πλάτος μιας κλάσης οομάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το αώτερο όριο της κλάσης. Στη ύλη μας οι κλάσεις έχου το ίδιο πλάτος. Για α κατασκευάσουμε ισοπλατείς κλάσεις, χρησιμοποιούμε το εύρος (range) R του δείγματος, δηλαδή τη διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συολικού δείγματος. Τότε υπολογίζουμε το πλάτος c τω κλάσεω διαιρώτας το εύρος R διά του αριθμού τω κλάσεω κ, στρογγυλεύοτας, α χρειαστεί για λόγους διευκόλυσης, πάτα προς τα πάω. c R / κ Το επόμεο βήμα είαι η κατασκευή τω κλάσεω. Ξεκιώτας από τη μικρότερη παρατήρηση, ή για πρακτικούς λόγους λίγο πιο κάτω από τη μικρότερη παρατήρηση, και προσθέτοτας κάθε φορά το πλάτος c δημιουργούμε τις κ κλάσεις. Αυτοόητο είαι ότι η μεγαλύτερη τιμή του δείγματος θα (πρέπει α) αήκει οπωσδήποτε στη τελευταία κλάση. Τέλος, γίεται η διαλογή τω παρατηρήσεω. Το πλήθος τω παρατηρήσεω που προκύπτου από τη διαλογή για τη κλάση καλείται συχότητα της κλάσης αυτής ή συχότητα της κετρικής τιμής,,,..., κ. Πρέπει α προσεχτεί ότι: Καμία παρατήρηση δε μπορεί α μείει έξω από κάποια κλάση. Οι κετρικές τιμές διαφέρου μεταξύ τους όσο και το πλάτος τω κλάσεω. Μία παρατήρηση που συμπίπτει με το άω άκρο μιας κλάσης θα τοποθετηθεί κατά τη διαλογή στη αμέσως επόμεη κλάση α)τι είαι το Ιστόγραμμα Συχοτήτω ; β) Πως κατασκευάζεται το Ιστόγραμμα Συχοτήτω ; γ) Τι είαι το πολύγωο συχοτήτω ; Ποια είαι η αριθμητική τιμή του ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

27 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω και το οριζότιο άξοα ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ : α)ιστόγραμμα (hstogram) συχοτήτω είαι η γραφική παράσταση εός πίακα συχοτήτω με ομαδοποιημέα δεδομέα. β)το ιστόγραμμα συχοτήτω κατασκευάζεται ως εξής : Στο οριζότιο άξοα εός συστήματος ορθογωίω αξόω σημειώουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια τω κλάσεω. Στη συέχεια, κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώια (ιστούς), από καθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης C (θεωρώτας το πλάτος c ως μοάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στο οριζότιο άξοα ) και ύψος κάθε ορθογωίου ίσο προς τη συχότητα της ατίστοιχης κλάσης, έτσι ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α ισούται με τη συχότητα της κλάσης αυτής. γ) Το πολύγωο συχοτήτω (frequency polygon) προκύπτει από έα ιστόγραμμα συχοτήτω α θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στη αρχή και στο τέλος, με συχότητα μηδέ και στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω. Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω και το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω συχοτήτω, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος.(βλέπε σχήμα ) Υψος (σε cm) Ε = Ιστόγραμμα και πολύγωο συχοτήτω α)τι είαι το Ιστόγραμμα σχετικώ Συχοτήτω ; β) Πως κατασκευάζεται το Ιστόγραμμα σχετικώ Συχοτήτω ; γ) Τι είαι το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω ; Ποια είαι η αριθμητική τιμή του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω και το οριζότιο άξοα ΑΠΑΝΤΗΣΗ : α)ιστόγραμμα (hstogram) σχετικώ συχοτήτω είαι η γραφική παράσταση εός πίακα σχετικώ συχοτήτω με ομαδοποιημέα δεδομέα. β)το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω κατασκευάζεται ως εξής : Στο οριζότιο άξοα εός συστήματος ορθογωίω αξόω σημειώουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια τω κλάσεω. Στη συέχεια, κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώια (ιστούς), από καθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης C (θεωρώτας το πλάτος c ως μοάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στο οριζότιο άξοα ) και ύψος κάθε ορθογωίου ίσο προς τη σχετική συχότητα f της ατίστοιχης κλάσης, έτσι ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α ισούται με τη σχετικη συχότητα της κλάσης αυτής. γ) Το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω (frequency relate polygon) προκύπτει από έα ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

28 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω f α θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στη αρχή και στο τέλος, με συχότητα μηδέ και στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω. Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω και το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω σχετικώ συχοτήτω, δηλαδή είαι ίσο με.(βλέπε σχήμα ). f 0,3 0,5 0, 0,5 0, Ε = 0, Ύψος (σε cm) Ιστόγραμμα και πολύγωο σχετικώ συχοτήτω Α το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω προκύψει από έα ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω f % και θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στη αρχή και στο τέλος, με συχότητα μηδέ και στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, τοτε το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο σχετικω συχοτήτω f % και το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω σχετικώ συχοτήτω, δηλαδή είαι ίσο με 00. 0,3 f % 0,5 0, 0,5 0, 0, Ε = 00 Ιστόγραμμα και πολύγωο σχετικώ συχοτήτω Ιστόγραμμα αθροιστικώ συχοτήτω και πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω (oge) Το ιστόγραμμα αθροιστικώ συχοτήτω κατασκευάζεται ως εξής : Στο οριζότιο άξοα εός συστήματος ορθογωίω αξόω σημειώουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια τω κλάσεω. Στη συέχεια, κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώια (ιστούς), από καθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης C (θεωρώτας το πλάτος c ως μοάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στο οριζότιο άξοα ) και ύψος κάθε ορθογωίου ίσο προς τη αθροιστική συχότητα N της ατίστοιχης κλάσης, έτσι ώστε το εμβαδό του 5 0 ορθογωίου α ισούται με τη αθροιστική συχότητα της κλάσης αυτής. Α εώσουμε σε έα ιστόγραμμα αθροιστικώ συχοτήτω τα δεξιά άκρα (όχι μέσα) τω άω βάσεω τω ορθογωίω με ευθύγραμμα τμήματα βρίσκουμε το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω (oge) της καταομής ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ Ν

29 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY Ιστόγραμμα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω Το ιστόγραμμα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω κατασκευάζεται ως εξής : Στο οριζότιο άξοα εός συστήματος ορθογωίω αξόω σημειώουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια τω κλάσεω. Στη συέχεια, κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώια (ιστούς), από καθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης C (θεωρώτας το πλάτος c ως μοάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στο οριζότιο άξοα ) και ύψος κάθε ορθογωίου ίσο προς τη αθροιστική σχετική συχότητα % F της ατίστοιχης κλάσης, έτσι ώστε το 0 εμβαδό του ορθογωίου α ισούται με τη σχετικη συχότητα της κλάσης αυτής. Α εώσουμε σε έα ιστόγραμμα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω τα δεξιά άκρα (όχι μέσα) τω άω βάσεω τω ορθογωίω με ευθύγραμμα τμήματα βρίσκουμε το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω της καταομής. Στο σχήμα παριστάεται το ιστόγραμμα και το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω 68. Καμπύλες Συχοτήτω.. Εά υποθέσουμε ότι ο αριθμός τω κλάσεω για μια συεχή μεταβλητή είαι αρκετά μεγάλος (τείει στο άπειρο) και ότι το πλάτος τω κλάσεω είαι αρκετά μικρό (τείει στο μηδέ), τότε η πολυγωική γραμμή συχοτήτω τείει α πάρει τη μορφή μιας ομαλής καμπύλης, η οποία οομάζεται καμπύλη συχοτήτω (frequency cure), όπως δείχει το σχήμα Η μορφή μιας καταομής συχοτήτω εξαρτάται από το πώς είαι καταεμημέες οι παρατηρήσεις σε όλη τη έκταση του εύρους τους. Μερικές χαρακτηριστικές καμπύλες συχοτήτω που συατάμε συχά στις εφαρμογές δίοται στο σχήμα 0. Η καταομή (β), με κωδωοειδή μορφή λέγεται καοική καταομή (normal dstrbuton) και παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστική. Ότα οι παρατηρήσεις καταέμοται ομοιόμορφα σε έα διάστημα [α, β], όπως στη καταομή (α), η καταομή λέγεται ομοιόμορφη. Ότα οι παρατηρήσεις δε είαι συμμετρικά καταεμημέες, η καταομή λέγεται ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία όπως στη καταομή (γ) ή αρητική ασυμμετρία όπως στη καταομή (δ). f 0,37 0,30 0, 0,5 0,07 F % ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

30 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY (α) (β) (γ) (δ) Μερικές χαρακτηριστικές καταομές συχοτήτω Πως μπορούμε α περιγράψουμε με συτομία μια καταομή συχοτήτω; Εκτός από τους στατιστικούς πίακες και τα διαγράμματα υπάρχου και αριθμητικά μέτρα με τα οποία μπορούμε α περιγράψουμε με συτομία μια καταομή συχοτήτω είδη μέτρω ) Μέτρα θέσης της καταομής (locaton measures) κάποια μέτρα (αριθμητικά μεγέθη), που α μας δίου τη θέση του κέτρου τω παρατηρήσεω στο οριζότιο άξοα ) Μέτρα διασποράς ή μέτρα μεταβλητότητας (measures of arablty) κάποια μέτρα (αριθμητικά μεγέθη), που α μας δίου τη διασπορά τω παρατηρήσεω, δηλαδή πόσο αυτές εκτείοται γύρω από το κέτρο τους. 3) Μέτρα ασυμμετρίας (measures of skewness) είαι μέτρα, που καθορίζου τη μορφή της καταομής. Κατά πόσο δηλαδή η ατίστοιχη καμπύλη συχοτήτω είαι συμμετρική ή όχι ως προς τη ευθεία, για δεδομέο σημείο του άξοα. Τα μέτρα αυτά, συήθως εκφράζοται σε συάρτηση με τα μέτρα θέσης και διασποράς, Υπολογίζοτας από έα σύολο δεδομέω κάποια από τα αωτέρω μέτρα, μπορούμε α έχουμε μια σύτομη περιγραφή της μορφής της καμπύλης συχοτήτω. ( σχήμα ) A οι καμπύλες συχοτήτω Α και Β είαι συμμετρικές με το ίδιο κέτρο 0, αλλά η Β έχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Α. Οι καμπύλες Γ και Δ είαι ασύμμετρες, με τη Γ όπως λέμε α παρουσιάζει θετική ασυμμετρία και τη Δ αρητική ασυμμετρία. Το κέτρο της Γ είαι αριστερότερα του 0, εώ της Δ είαι δεξιότερα του 0. Η Δ παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Γ. Γ B 0 Δ ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

31 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙOY.7. Μέτρα Θέσης.3.Τι γωρίζετε για τα μέτρα θέσης και ποια είαι αυτά ; Τα μέτρα θέσης είαι τα πιο συηθισμέα μέτρα που χρησιμοποιούται για τη περιγραφή της θέσης εός συόλου δεδομέω πάω στο οριζότιο άξοα o, εκφράζοτας τη κατά μέσο όρο απόστασή τους από τη αρχή τω αξόω, είαι : ) ο αριθμητικός μέσος ή μέση τιμή (arthmetc mean or aerage), ) η διάμεσος (medan) 3) η κορυφή ή επικρατούσα τιμή (mode). (εκτός ύλης ) 4)σταθμικός μέσος 5) τα Εκατοστημόρια (εκτός ύλης ).7. Μέτρα διασποράς.3. Τι γωρίζετε για τα μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας, και ποια είαι αυτά ; Tα μέτρα θέσης παρέχου κάποια πληροφορία για τη καταομή εός πληθυσμού. Αυτά όμως δε επαρκού. Παράλληλα λοιπό με τα μέτρα θέσης κρίεται απαραίτητη και η εξέταση κάποιω μέτρω διασποράς ή μεταβλητότητας, δηλαδή μέτρω που εκφράζου τις αποκλίσεις τω τιμώ μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα κετρικής τάσης. Τέτοια μέτρα λέγοται μέτρα διασποράς (measures of araton, dsperson measures). Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς είαι : ) το εύρος, ) η εδοτεταρτημοριακή απόκλιση, 3) η διακύμαση και 4) η τυπική απόκλιση ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ

32 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Πως ορίζεται η μέση τιμή ( ) μίας ποσοτικής μεταβλητής ; Η μέση τιμή εός συόλου παρατηρήσεω ορίζεται ως το άθροισμα τω παρατηρήσεω διά του πλήθους τω παρατηρήσεω. Ότα σε έα δείγμα μεγέθους οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είαι t, t,...,, τότε η μέση τιμή συμβολίζεται με και δίεται από τη σχέση: t t t... t t t () όπου το σύμβολο t παριστάει μια συτομογραφία του αθροίσματος από t... t και διαβάζεται άθροισμα τω t έως. Συχά, ότα δε υπάρχει πρόβλημα σύγχυσης, συμβολίζεται και ως t ή ακόμα πιο απλά με t. Ή ισοδύαμα από τη σχέση : 00-0 ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ 30 t ότα σε μια καταομή συχοτήτω, είαι,,..., κ οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχότητες,,..., ατίστοιχα. Η μέση τιμή επίσης εκφράζεται από τις τιμές μίας μεταβλητής και τις σχετικές τους συχότητες f μέσω της σχέσης : κ ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η μέση τιμή δε εδείκυται ως μέτρο θέσης ( κέτρο ) παρατηρήσεω με ακραίες τιμές. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούται όμοιες, οπότε μπορού α ατιπροσωπευθού από τις κετρικές τιμές, τα κέτρα δηλαδή κάθε κλάσης. Εά υπολογίσουμε τη ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ από τα μη ομαδοποιημέα δεδομέα υπάρχει εδεχόμεο α προκύψει διαφορετικό αποτέλεσμα από το αποτέλεσμα που προκύπτει χρησιμοποιώτας τους τύπους. Η διαφορά αυτή οφείλεται στη απώλεια πληροφορίας (η οποία είαι τόσο μεγαλύτερη όσο μικρότερος είαι ο αριθμός τω κλάσεω) λόγω ομαδοποίησης τω παρατηρήσεω αφού κατά τη ομαδοποίηση υποθέσαμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είαι ομοιόμορφα καταεμημέες και ότι οι τιμές της μεταβλητής σε κάθε κλάση εκπροσωπούται από τη ατίστοιχη κετρική τιμή. κ κ f κ κ κ κ κ κ ()

33 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τι οομάζουμε σταθμισμέο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο (weghted mean) τω τιμώ,,..., με συτελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w,w,...,w. Στις περιπτώσεις που δίεται διαφορετική βαρύτητα (έμφαση) στις τιμές,,..., εός συόλου δεδομέω, τότε ατί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε το σταθμισμέο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο (weghted mean). Εά σε κάθε τιμή,,..., δώσουμε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται με τους λεγόμεους συτελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w,w,...,w, τότε ο σταθμικός μέσος βρίσκεται από το τύπο: w w... w. w w... w w.75. ΟΡΙΣΜΟΣ.3. Τι οομάζεται Διάμεσος (δ) w εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί κατά αύξουσα σειρά ; Η διάμεσος(medan), είαι έα μέτρο θέσης που δε επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις η οποία ορίζεται ως εξής: Διάμεσος (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός. Η διάμεσος είαι η τιμή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σε δύο ίσα μέρη ότα οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθού με σειρά τάξης μεγέθους. Ακριβέστερα, η διάμεσος είαι η τιμή για τη οποία το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι μικρότερες από αυτή και το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ 3

34 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Πως υπολογίζουμε τη διάμεσο; Α. Η διάμεσος είαι η τιμή για τη οποία το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι μικρότερες από αυτή και το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή. Η διάμεσος είαι η τιμή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σε δύο ίσα μέρη ότα οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθού με σειρά τάξης μεγέθους. Β. Α έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή με σχετικά μικρό αριθμό παρατηρήσεω τότε: η διάμεσος (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως.η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός ή. ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός t t t Γ. Α έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή και οι ποσότητες, για το δείγμα αυτό είαι συγκετρωμέες σε πίακα καταομής συχοτήτω και οι τιμές,,...,κ της ποσοτικής μεταβλητής Χ είαι σε αύξουσα διάταξη, τότε υπολογίζουμε τη αθροιστική συχότητα της τιμής (είαι N... )και η διάμεσος (δ) του δείγματος παρατηρήσεω ορίζεται ως (κοιτάζουμε τη στήλη της N ).η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός ή. ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός t 00-0 ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ 3 t t

35 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Α έχουμε ομαδοποιημέα δεδομέα (κλάσεις) Κατασκευάζουμε το ατίστοιχο ιστόγραμμα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω με τη πολυγωική γραμμή (πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω) Η διάμεσος έχει αθροιστική σχετική συχότητα %. (Η διάμεσος, δηλαδή, ατιστοιχεί στη τιμή δ της μεταβλητής Χ (στο οριζότιο άξοα), έτσι ώστε το 50% τω παρατηρήσεω α είαι μικρότερες ή ίσες του δ. ) F % A Ε B Η Γ Δ Ζ δ Εφόσο στο κάθετο άξοα έχουμε τις αθροιστικές σχετικές συχότητες, από το σημείο Α (50% τω παρατηρήσεω) φέρουμε τη AB // 0 και στη συέχεια τη BΓ 0. Εκμεταλευόμεοι τη ομοιότητα τω τριγώω ΕΒΗ και ΕΔΖ έχουμε π.χ. EH BH δ δ δ δ δ EZ Z Τι οομάζεται εύρος ή κύμαση (range) (R) μίας καταομής ; Το απλούστερο από τα μέτρα διασποράς είαι το εύρος ή κύμαση (range) (R), που ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή: F Εύρος : R Μεγαλύτερη παρατήρηση-μικρότερη παρατήρηση R ma mn Ότα έχουμε ομαδοποιημέα δεδομέα, το εύρος δίεται από τη διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το αώτερο όριο της τελευταίας κλάσης. Το εύρος σε ομαδοποιημέα δεδομέα μπορεί α διαφέρει ελαφρώς από τα ατίστοιχα δεδομέα πρι αυτά ομαδοποιηθού. Το εύρος είαι έα αρκετά απλό μέτρο, που υπολογίζεται εύκολα δε θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ 33

36 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τι οομάζεται διακύμαση ή διασπορά ( s ) (arance) μίας καταομής ; Ως έα μέτρο διασποράς παίρουμε το μέσο όρο τω τετραγώω τω αποκλίσεω τω t από τη μέση τιμή τους. Το μέτρο αυτό καλείται διακύμαση ορίζεται από τη σχέση ή διασπορά (arance) και s (t ) () Ο τύπος αυτός αποδεικύεται ότι μπορεί α πάρει τη ισοδύαμη μορφή: s t t () η οποία διευκολύει σηματικά τους υπολογισμούς κυρίως ότα η μέση τιμή δε είαι ακέραιος αριθμός. Ότα έχουμε πίακα συχοτήτω ή ομαδοποιημέα δεδομέα, η διακύμαση ορίζεται από τη σχέση: s κ ( ) (3) ή τη ισοδύαμη μορφή: s κ κ. (4) όπου,,..., κ οι τιμές της μεταβλητής (ή τα κέτρα τω κλάσεω) με ατίστοιχες συχότητες,,..., κ. Εά υπολογίσουμε τη διακύμαση από τα μη ομαδοποιημέα δεδομέα υπάρχει εδεχόμεο α προκύψει διαφορετικό αποτέλεσμα από το αποτέλεσμα που προκύπτει χρησιμοποιώτας τους τύπους ημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ 34