1. Konštrukčné úlohy
|
|
- Καλόγερος Διαμαντόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. Konštrukčné úlohy 1. Ôsmaci mali na domácu úlohu zostrojiť čo najviac nezhodných trojuholníkov, v ktorých jedna strana meria 3 cm, ďalšia 5 cm a jeden z vnútorných uhlov má veľkosť 30. Janka má v zošite narysované tri takéto trojuholníky, Boris si síce úlohu neurobil, ale tvrdí, že sa dajú zostrojiť štyri takéto trojuholníky. Ktorý z nich má pravdu? 2. Akú vlastnosť majú body A, B, E a F zostrojené v súlade s uvedeným zápisom? 1. AB 2. C; C AB 3. k 1 ; k1 ( A, AC ) 4. k 2 ; k2 ( B, BC ) 5. D; D k1 k2 D C 1 6. k 3 ; k3 ( C, r ), r> CD 2 7. k 4 ; k4 ( D, r ) E, F = k k 8. E, F; { } Napíšte postup konštrukcie lichobežníka za predpokladu, že poznáte dĺžky všetkých jeho strán. 4. V rovine je daný bod A. a) Čo je množinou všetkých bodov v danej rovine, ktoré sú od A vzdialené 5 cm? b) Čo je množinou stredov všetkých kružníc, ktoré majú polomer 5 cm, prechádzajú bodom A a ležia v jednej rovine? c) Čo je množinou stredov všetkých kružníc, ktoré sa dotýkajú kružnice k (A, 5 cm), majú polomer 3 cm a ležia v rovine danej kružnicou k? 5. Vlado a Mirka mali z daného bodu X zostrojiť dotyčnicu ku kružnici k(s, r), kde XS > r. Mirka priložila ku kružnici pravítko tak, ako vidíte na obrázku, a jednoducho narysovala priamku. S k X Vlado zostrojil úsečku XS a jej prienik s kružnicou k označil M. Potom zostrojil kružnicu l so stredom M a polomerom MS. Jej priesečníky s kružnicou k označil T 1, T 2, hľadané dotyčnice podľa Vlada sú priamky XT1, XT2. k S T 1 M l X Posúďte obe riešenia tejto úlohy. T 2
2 6. Jaro mal narysovať trojuholník ABC, pre ktorý platí: AB = 5 cm, AC = 3 cm, γ = 60. Navrhol takýto postup konštrukcie: 1. p; p= CM 2. CX ; M, CX = A; A CX, AC = 3 cm 4. k; k( A,5 cm) 5. B; B k p 6. ABC Čo si myslíte o tomto postupe? 7. Daná je priamka p, bod M p a úsečka AB. Vymyslite úlohu, ktorej riešenie zodpovedá nasledujúcemu zápisu konštrukcie: 1. k; k( M, AB ) 2. m 1, m 2 ; m1 m2 p d m, p = d m, p = AB m m X m k m k ( ) ( ) 3. X; ( ) ( ) Koľko riešení môže mať vaša úloha a od čoho závisí ich počet? 8. Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané: a) b = 5 cm, c = 7 cm, v a = 4 cm b) γ = 75, v a = 3 cm, v b = 2 cm 9. a) V rovine je daná úsečka XY. Zostrojte množinu všetkých bodov tejto roviny, z ktorých vidieť úsečku XY pod uhlom 30 o. b) Daná je priamka M a bod L M. Fero mal nájsť všetky body polroviny M L, z ktorých vidno úsečku M pod uhlom 130 o. Ako to mohol urobiť? Opíšte postup jeho konštrukcie. *10. Dané sú dve rôznobežné priamky a, b. Nájdite všetky body, ktorých súčet vzdialeností od priamok a, b je 5 cm. Maroš našiel štyri také body, dva na priamke a a dva na priamke b. Lenka tvrdí, že riešením tejto úlohy je viac bodov a všetky ležia na kružnici prechádzajúcej štyrmi Marošovými bodmi. Čo si myslíte o ich riešeniach? *11. a) Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané a, b, α β. b) Zostrojte lichobežník ABCD, ak poznáte dĺžky strán BC, CD, DA a veľkosť uhla ω= DAB ABC. *12. Nech V je priesečník výšok trojuholníka ABC. Dokážte, že body V 1, V 2, V 3 súmerné s bodom V podľa strán trojuholníka ležia na kružnici opísanej trojuholníku ABC. Zostrojte trojuholník ABC, ak sú dané body V 1, V 2, V 3 z úlohy a).
3 2. Analytická geometria II 1. Napíšte aspoň dve rôzne analytické vyjadrenia priamky AB, ak A[ 1;2; 1 ], [ 2; 5;4] 2. Rozhodnite, či body A, B, C, D ležia v rovine alebo na priamke: a) A [ 2; 5; 7 ], B[ 1;1;2 ], C[ 1; 3; 4 ], D[ 3;5;8] b) A[ 1; 2;3 ], B[ 1; 2;4 ], C[ 3; 1;4 ], D[ 2; 1;4] A1; 2;3, B 2;1;8, C 2;1;1, D 2; 11;9 c) [ ] [ ] [ ] [ ] B. 3. Peter a Milan majú nájsť súradnice vektora c kolmého na vektory a( 2; 1;4) b( 6;5; 2). Vedia, že c. a= 0 aj c. b= 0. Zostavili si takúto sústavu rovníc: 2x 1y+ 4z= 0, kde c( x; y; z), 6x+ 5y 2z= 0 ale nevedia ako pokračovať. (Veď sústava má len dve rovnice a tri neznáme.) Ako majú úlohu dokončiť? 4. Napíšte všeobecnú rovnicu roviny ABC, ak A[ 1;2; 1 ], B[ 2; 5;4 ], C[ 6;4;1]. Vypočítajte skalárny súčin normálového vektora n roviny ABC a vektora AB. Vyjde iný výsledok pri počítaní n. AC a n. BC? 5. Napíšte všeobecnú rovnicu roviny rovnobežnej s rovinou α: 2x y+ 2z+ 5= 0 a a) prechádzajúcej bodom A[ 3;7; 5], b) obsahujúcej priamku x= 2, y= 1+ 4 t, z= 2t t R, c) vzdialenej 4 od danej roviny α 6. Napíšte a) parametrické vyjadrenie roviny ABC, pre A[ 4;2; 1 ], B[ 2;2;3 ], C[ 5; 1;2] b) všeobecnú rovnicu roviny danej priamkami p, q, ak p: x = t, y = 1, z = 3 t, t R q: x = 2 + 3s, y = -4s, z = 12s, s R c) analytické vyjadrenie polroviny KLM s hraničnou priamkou KL, pre 2;2; 1, L 2;4;1, M 3;1;2 K[ ] [ ] [ ] 7. Určte o analytické vyjadrenia akých dvoch útvarov sa v každej úlohe jedná (sú oddelené bodkočiarkou) a určte ich vzájomnú polohu. Ak sú rovnobežné, určte ich vzdialenosť, ak sú rôznobežné, určte ich prasečník a) ; a b) ;
4 c) ; 3;2; 3, uv, Vlado vektorový súčin u v. 8. Vlado a Lucia počítajú obsah rovnobežníka daného dvoma vektormi u = ( ) v = ( 4; 1;8) Dokončite ich postupy.. Lucia si vypočítala najprv cos( )
5 3. Kombinatorika IV 1. Koľko je takých a) päťciferných b) šesťciferných čísel zapísaných len pomocou jednotiek a dvojok, v ktorých sa nevyskytujú dve dvojky vedľa seba? 2. Na cyklistických pretekoch sa zúčastnili štyria pretekári - Andrej, Braňo, Cyril a Dano. Koľko je takých poradí, v ktorých nie je Andrej prvý a Cyril je aspoň o dve miesta lepší ako Dano? 3. Koľko je a) 3-ciferných b) 10-ciferných čísel neobsahujúcich cifru 0? 4. Prirodzené číslo nazývame pestrým, ak v ňom nestoja vedľa seba dve rovnaké cifry. Koľko je pestrých a) 3-ciferných b) 5-ciferných čísel 5. Zámok kufra je ovládaný nastavením troch koliesok. Každé koliesko má 12 polôh, polohy sú označené písmenami A, B, C,..., L. Koľko nastavení musíme vyskúšať, aby sme kufor určite otvorili? 6. Na jednej opakovacej hodine matematiky v 8.C sa stihnú vyriešiť 3 úlohy na úpravy výrazov a 2 konštrukčné úlohy. V zbierke je 15 výrazov a 10 konštrukčných úloh. Koľko možností výberu príkladov zo zbierky má učiteľ, ktorý sa pripravuje na jednu opakovaciu hodinu? 7. V obchode majú 3 druhy kávy v 50 g baleniach. Koľko možností nákupu má zákazník, ktorý si chce kúpiť 200 g kávy? 8. a) Učiteľka chce rozdeliť 14 cukríkov medzi 4 deti tak, aby každé dieťa dostalo aspoň 2 cukríky. Koľkými spôsobmi to môže urobiť? b) Koľkými spôsobmi môže učiteľka rozdeliť 25 cukríkov medzi 3 deti tak, aby každé dieťa dostalo aspoň 2 cukríky? 9. Na karate chodí šesť dievčat a štyria chlapci. Tréner potrebuje pripraviť súpisku súťažiacich na najbližší turnaj. Družstvo má byť šesťčlenné a musia v ňom byť aspoň štyri dievčatá. Koľko rôznych súpisiek môže tréner vytvoriť? *10. Koľkými spôsobmi môžeme vedľa seba do radu posadiť 5 Angličanov, 5 Francúzov a 5 Turkov, ak chceme, aby vedľa seba nesedeli žiadni dvaja krajania? *11. Hovoríme, že postupnosť čísel je vzorná, ak sa v nej vedľa seba nevyskytujú 0 a 1. Koľko rôznych šesťčlenných vzorných postupností zložených z čísel 0, 1 a 2 existuje?
6 *12. Na večierku bolo 7 manželských dvojíc. Koľkými spôsobmi je ich možné rozdeliť na 7 tanečných párov, ak žiaden z manželov nemá tancovať so svojou ženou? *13. Koľko rôznych pravouholníkov je nakreslených na obrázku? (Pravouholník = obdĺžnik alebo štvorec.)
7 4. Štatistika II 1. Anežka dostala na domácu úlohu vyriešiť úlohu, kde sa spomína exponenciálne rozdelenie. Nie je jej ale jasné, či keď z celej populácie vyberie prvky, tiež pôjde o exponenciálne rozdelenie, alebo tie prvky musí vyberať tak, aby exponenciálne rozdelenie ostalo zachované. Pokúste sa vysvetliť, ako to s výberom prvkov je. 2. Alojz robil niekoľko simulácii výberu prvkov z celej populácie, tieto potom usporiadal. Najskôr vyberal 200 prvkov s nasledovným výsledkom: Potom vyberal 500 prvkov s nasledovným výsledkom: Viete určiť, aké rozdelenie má populácia? 3. Albert Zručný si kúpil krabicu klincov s deklarovanou dĺžkou 80mm. Rozhodol sa, že zistí, či sú dané klince naozaj 80mm dlhé. Začal teda klince postupne vyberať a zaznamenávať si ich dĺžky. Po desiatom klinci ho to ale prestalo baviť. Keďže nameral hodnoty (v mm): 82, 80, 82, 81, 81, 80, 81, 81, 82, 81 vyhlásil, že klince sú dlhšie ako sa píše na krabici. Má pravdu? Odpoveď zdôvodni. 4. Andrej Rýchly si chce kúpiť nové auto. Rozhoduje sa medzi dvoma typmi. Počas prieskumu u priateľov a známych prišiel k nasledovným hodnotám spotreby oboch typoch áut na 100km: Spotreba 6,8 6,9 7,0 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,9 Typ A Typ B Ktorý typ auta si má kúpiť, ak chce mať čo najnižšiu spotrebu? 5. Alfonz a Aurel spolu neustále súťažia. Aj na hodinách chémie nerobia obaja nikdy to isté. Na poslednej hodine mali analyzovať vzorky z laboratória ľubovoľnou metódou. Alfonz si zvolil polarografickú metódu a nameral hodnoty 38,2; 36,4; 37,7; 36,1; 37,9; 37,8. Aurel si zvolil titračnú metódu a nameral hodnoty 39,5; 38,7; 37,8; 38,6; 39,2; 39,1; 38,9; 39,2. Vyšli im tie isté výsledky, alebo sa zvolené metódy líšia?
8 6. Firma Všetko pre 4 nohých miláčikov si chce overiť účinnosť svojej novej reklamnej kampane v televízii. Náhodným výberom si vybrala 15 predajní, v ktorých sú dostupné ich výrobky a požiadala ich, aby si zaznamenávali mesačné tržby za ich produkty mesiac pred spustením reklamy a tesne po jej ukončení. Získali sa údaje uvedené v tabuľke. Bola reklama účinná? Zdôvodnite. Číslo predajne Tržby pred reklamou Tržby po reklame Uskutočnil sa prieskum, ktorého cieľom bolo porovnať úroveň ovládania anglického jazyka medzi študentmi slovenských a talianskych vysokých škôl. Porovnanie sa uskutočnilo na základe získaných bodov z testu (maximum 500b). Zistite, či je rozdiel v ovládaní angl. jazyka medzi študentmi vysokých škôl. slovenskí študenti talianski študenti *8. Firma, ktorá sa zaoberala výrobou výliskov z plastických hmôt, chce poznať účinok technologického procesu na kmitanie podlahy vo výrobnej hale. Ohrozenie podlahy sa hodnotí pomocou vibrácií, ktorými sa podlaha rozkmitá v dôsledku nárazov pri lisovaní. Pomocou snímačov na podlahe sme urobili 50 meraní maximálnych výchyliek a vypočítali aritmetický priemer (2,25mm) a odhad rozptylu (0,73mm 2 ). Testom sme zistili, že ide o výber z normálneho rozdelenia. Testujte na hladine významnosti α=0,05: a) Či maximálna výchylka sa rovná 2,75 (čo je povolená norma). b) Či technologický proces nespôsobuje výchylky vyššie ako povoľuje norma. c) Či sa rozptyl rovná 0,81 *9. Štatistický úrad si chce overiť, či je rozdiel medzi priemernou mzdou v podnikoch so zahraničnou kapitálovou účasťou a mzdou v čisto slovenských podnikoch. Náhodne sa vybralo 40 podnikov majúcich zahraničné investície a zistilo sa, že priemerná mzda v nich je 680,47EUR a výberová smerodajná odchýlka 92,94EUR, kým v 45 náhodne vybraných podnikoch s čisto domácim kapitálom bola priemerná mzda 614,09EUR s výberovou smerodajnou odchýlkou 116,18EUR. Existuje dôvod tvrdiť, že nie je rozdiel medzi priemernými zárobkami v podnikoch so zahraničným kapitálom a v slovenských podnikoch na hladine významnosti α = 0,05.
9 5. Finančná matematika II 1. Pán Múdry s rodinou sa rozhodli požičať si od banky EUR na rekonštrukciu bytu. Mesačne sú ochotní splácať 35 EUR. Teraz sedia za stolom a počítajú: Otec Múdry uvažuje: : 35= :12=ɺ 31,7 Tak to by sme museli ten úver splácať 32 rokov. Pani Múdra oponuje: Zistila som, že sa musí platiť úrok 5 %. Tak sa musí pripočítať 5 % z EUR. To je spolu EUR : 35= :12= 33,25 Splácali by sme ho 34 rokov. Dcéra Irenka má iný názor: Keď je úrok 5 %, musí sa pripočítať každý rok. A keby sme splácali 34 rokov, tak to je spolu za úroky EUR : 35= :12= 85,5 Splácali by sme 86 rokov, to snáď nie je možné! Syn Jožko, absolvent kurzu finančnej matematiky, to zhrnul stručne a jasne: Všetko, čo hovoríte je nesprávne. Pri mesačnej splátke 35 EUR nám aj tak žiadna banka EUR nepožičia. a) Kto z rodiny Múdrych má pravdu? b) Vypočítajte, aká by bola výška dlhu pri úvere EUR, úrokovej miere 5 % a mesačnej anuite 35 EUR na konci prvého, druhého a tretieho mesiaca? 2. Obchodná spoločnosť získala úver vo výške EUR na tri roky s úrokovou mierou 13 %. Podľa zmluvy s bankou začne spoločnosť splácať úver o rok po jeho poskytnutí ročnými anuitnými splátkami. Banka úročí raz ročne, prvýkrát po roku od poskytnutia úveru. Koľko eur bude predstavovať anuita? (výsledok zaokrúhlite na centy) 3. Pani Márnivá si chcela požičať od banky EUR. Mesačne by však bola ochotná splácať len 20 EUR. Teraz si skúša vypočítať, koľko mesiacov by pri úrokovej miere 12 % musela úver splácať (pani Márnivá ovláda stredoškolskú matematiku stále na jedničku): t Vi s= 360 n t 1 1+ i EUR 0,12 20 EUR = 12 n ,12 12
10 n 1 1,01 = 1,25 n 1,01 = 0,25 n 1,01 = 4 Keď sa pani Márnivá obrátila na banku so žiadosťou o poskytnutie úveru EUR s tým, že mesačne nemôže splácať viac ako 20 EUR, banka jej úver odmietla poskytnúť. Prečo? Pokúste sa to objasniť, 4. Pán Kutil chce získať od banky účelový spotrebný úver na nákup nábytku v hodnote EUR. Mohol by splácať mesačne maximálne 200 EUR. Banka ponúka úver s úrokovou mierou 12 %. Ako dlho by musel úver splácať? 5. Prečítajte si pozorne nasledujúci inzerát: Zaplatíte len 1/10 z ceny tovaru plus iba desať mesačných splátok po 1/10 z ceny. a) Vypočítajte, koľko eur celkom zaplatí kupujúci pri nákupe na splátky za tovar, ktorého predajná cena je 330 EUR. b) Koľko korún by zaplatil celkovo kupujúci za tovar, ak by si 90 % z predajnej ceny požičal v banke na 10 mesiacov s úrokovou mierou 15 %? Predpokladáme, že by úver splácal mesačnými anuitami? 6. Banka ponúka bezúčelový spotrebný úver vo výške 300 EUR na 48 mesiacov s mesačnou anuitou 8 EUR. Zistite s presnosťou na desatiny percenta príslušnú úrokovú mieru. 7. Mirko Usilovný kúpil byt s výmerou 35 m 2 za EUR. Čiastku EUR zložil v hotovosti, na zvyšnú čiastku získal hypotekárny úver na 10 rokov. Mesačnú anuitu mu hypotekárna banka vypočítala na 502 EUR. a) Koľko eur celkovo zaplatí Mirko banke v anuitách, ak nedôjde počas 10 rokov ku zmene výšky anuitnej splátky? b) Pri akej vysokej úrokovej miere bol hypotekárny úver Mirkovi poskytnutý? 8. Pani Anna chce kúpiť nehnuteľnosť v hodnote EUR. K dispozícii má EUR, zvyšnú čiastku získa formou úveru. Banka jej poskytne úver s úrokovou mierou 13,6 % na dobu 5 rokov. Pani Anna bude dlh splácať štvrťročnými anuitami, úrokovacie obdobie banky je štvrťrok. Prvé úročenie a následná prvá splátka sa budú realizovať prvýkrát o 3 mesiace po poskytnutí úveru. a) Vypočítajte výšku jednej splátky (banka zaokrúhľuje na eurá). b) Vypočítajte, koľko eur zaplatí celkom pani Anna banke? c) Koľko eur celkom predstavuje úrok? 9. Klient hypotekárnej banky získal hypotekárny úver na stavbu domu vo výške EUR na dobu 15 rokov. Úver bude splácať mesačnými anuitami. Predpokladajme, že počas celej doby splácania úveru bude úroková miera 7,5 %. a) Vypočítajte, koľko eur bude v takomto prípade predstavovať výška anuity. b) Koľko eur celkom splatí klient za 15 rokov hypotekárnej banke mesačnými anuitami? c) Koľko eur z anuity pripadne na úrok z úveru a koľko na úmor dlhu pri prvej, druhej a tretej splátke?
11 10. Predajná cena obývacej steny pri platení v hotovosti je 497 EUR. Túto stenu je možné kúpiť i na splátky. Akontácia je 30 % z predajnej ceny; ďalej sa zaplatí 12 mesačných splátok po 32,90 EUR, prvá na konci prvého mesiaca po realizácii predaja. c) Vypočítajte, koľko eur stojí obývacia stena pri predaji na splátky. d) Vypočítajte, koľko by sme za stenu zaplatili celkom, keby sme získali na 70 % z jej predajnej ceny spotrebný úver na 12 mesiacov s úrokovou mierou 12,5 %. e) Vypočítajte úrokovú mieru úveru na 70 % z čiastky 497 EUR s dobou splatnosti 1 rok a s mesačnými anuitami 32,90 EUR. f) Vypočítajte, koľko by nás stála obývacia stena celkom, keby sme získali spotrebný úver na 12 mesiacov s úrokovou mierou 12,5 % na celú čiastku, t.j. na 497 EUR. *11. Pán Sporivý si požičal od pani Lakomej 120 EUR (3 615,12 SKK). Dohodli sa, že pán Sporivý zaplatí na konci prvého mesiaca po poskytnutí pôžičky 3 EUR (90,38 SKK) a na konci každého ďalšieho mesiaca čiastku o 0,80 EUR (24,10 SKK) vyššiu ako na konci predchádzajúceho mesiaca. Pri poslednej splátke dá pani Lakomej naviac 6,50 EUR (195,82 SKK) ako úrok. Koľko mesiacov bude pán Sporivý splácať pôžičku? *12. Dokážte, že pri anuitných splátkach tvoria úmory geometrickú postupnosť t s koeficientom 1+ i. 360
12 6. Stereometria III 1. Daná je kocka FILOME A, X je stred hrany MA. a) Zostrojte rovinu kolmú na hranu M cez bod E. b) Zostrojte rovinu kolmú na úsečku X cez bod E. 2. Daná je kocka HERMIO A. a) Zostrojte kolmicu z bodu O na rovinu HRA. b) Určte vzdialenosť bodu O od roviny HRA. 3. Daná je kocka JOZEFI A, bod Q je stred hrany EA. Zostrojte rovinu kolmú na IQ cez bod F. 4. Určte uhol priamok KR a OA, pričom body K, R, O a A sú vrcholy kocky KOR ELIA. 5. Daná je kocka VERO IKA. Určte uhol priamky IE s rovinou KE. 6. Ferdinand, Samuel a Krištof mali zobraziť skutočnú veľkosť uhla rovín KLM a BCG. Ferdinand tvrdí, že uhol daných dvoch rovín vidí na obrázku ako uhol α a musí len zistiť jeho skutočnú veľkosť. Samuel je presvedčený, že to nemusí robiť, lebo uhol daných dvoch rovín vidí neskreslene v stene ABFE ako uhol β. Krištof nato nič nepovedal, len nakreslil nasledujúci obrázok. E Kto z nich má pravdu a prečo? 1 7. Určte uhol rovín BHA a BHI v kocke BOHUMILA.
13 8. Rozhodni, ktoré výroky sú pravdivé. Svoje tvrdenie zdôvodni (a, b sú priamky; α, β sú roviny; K je stred EH a L je stred CG v kocke ABCDEFGH). c) a b α; ( a α b α) d) α β a, b; ( a α b β a b) e) ( a= EH b= BF) a b a= KF b= BL a ( ) b
14 7. Výpočtové úlohy zo stereometrie 1. Určte vzdialenosť bodov T a S v kocke BOHUMILA s dĺžkou hrany 4 cm, keď bod S je stred úsečky OL a pre bod T platí: 4MT = MB. 2. Určte vzdialenosť bodu E od priamky AF v kocke FILOME A. 3. Určte vzdialenosť bodu O od roviny HRK v kocke HERMIO A, kde K je stred hrany MA. 4. Určte vzdialenosť protiľahlých hrán pravidelného štvorstena RIŠO s dĺžkou hrany 2 a=. 5. Určte veľkosť uhla priamok UF a IQ v kocke JOZEFI A, kde U je stred hrany OJ a Q je stred hrany A. 6. Určte veľkosť uhla priamky OL s rovinou MOP v kocke KOR ELIA, kde M je stred hrany KE a P je stred hrany IR. 7. Určte veľkosť uhla rovín VAR a VIR v kocke SVETOZAR, kde I je stred hrany OS
15 8. Číselné sústavy 1. Nájdite prislúchajúce dvojice čísel: a) MCMLXIII 1) 1944 b) MMCCXXXI 2) 2329 c) LIX 3) 178 d) CLXXCIII 4) 96 e) ICVI 5) 59 f) MCMXLIC 6) 1963 g) MMCCCXXIX 7) Demonštrujte rozdiel medzi pozičnou a nepozičnou číselnou sústavou. 3. Ľuboslavus a Jaroslavus si robili úlohu z matematiky. Obaja sú presvedčení o svojej pravde. Komu by ste uznali domácu úlohu za plný počet bodov? Ľuboslavus: CCXII + LI = CCXLIII MMCCCL CCCCL = MCM Jaroslavus: CCXII + LI = CCLXIII MMCCCL CCCCL = MMC 4. Preveďte nasledujúce čísla do dvojkovej, osmičkovej a šestnástkovej sústavy: a) 132 b) 179 c) d) 806 e) 512 f) Preveďte do desiatkovej sústavy a) b) c) 1AB3 16 d) e) f) Bez toho, aby ste previedli nasledovné čísla do 10-ovej sústavy, vykonajte príslušné aritmetické operácie: a) b) c) ABCD 16 + EFAB 16 d) e) f) ABC 16 EF Bez toho, aby ste dané čísla najskôr previedli do desiatkovej číselnej sústavy, urobte nasledovné prevody: a) =? 8 b) DADA 16 =? 2 c) ABBA 16 =? 4 d) =? 16 e) =? 9 e) =? 3 8. Zistite, či číslo 9A12 12 je deliteľné číslom 4 (bez prevodu do 10-ovej sústavy).
16 9. Dirichletov princíp 1. Máme 3 rovnaké misky a 16 rovnakých jabĺk. Na jednu misku sa zmestí najviac 7 jabĺk. a) Koľkými spôsobmi môžeme jablká rozdeliť do misiek? b) Môže sa stať, že po rozdelení všetkých jabĺk bude nejaká miska prázdna? c) Môže byť po rozdelení všetkých jabĺk v každej miske menej ako 6 jabĺk? 2. a) V súťaži o najťažšieho muža súperili traja účastníci. Spolu vážili 622 kg. Minimálne koľko vážil absolútny víťaz? b) V súťaži o najľahšiu ženu súperili tri účastníčky. Spolu vážili 122 kg. Maximálne koľko vážila najľahšia z nich? (Predpokladáme, že súťažiacich vážili s presnosťou na kg.) 3. a) Stará mama mala 7 sliepok. Jej najlepšia nosnica znesie za týždeň 5 vajec. Dokážte, že aspoň dve sliepky starej mamy znesú týždenne rovnaký počet vajec. b) Stará mama rozšírila chov teraz už má 13 sliepok. Ani teraz jej však žiadna sliepka neznesie viac ako 5 vajec týždenne. Dokážte, že aspoň 3 sliepky starej mamy znesú za týždeň rovnaký počet vajec. c) Koľko sliepok by musela stará mama chovať, aby si mohla byť istá, že aspoň 4 z jej sliepok znesú týždenne rovnaký počet vajec? (Stále platí, že žiadna sliepka neznesie viac ako 5 vajec týždenne.) 4. Monika rozlúskla 19 hrachových luskov a vylúpla z nich 161 hrachových guľôčok. Čo môžeme bez obáv tvrdiť? a) Aspoň v 1 lusku bolo (presne) 8 guľôčok. b) V niektorom z luskov muselo byť (presne) 9 guľôčok. c) V každom lusku bolo najviac 10 guľôčok. d) Vo väčšine luskov bolo 8 guľôčok. e) Aspoň v jednom lusku bolo menej ako 9 guľôčok študentov písalo zápočtovú písomku. Najúspešnejší z nich ju napísal na 19 bodov, najmenej úspešný na 11. Dokážte, že v krúžku musia byť aspoň traja študenti, ktorí napísali písomku na rovnaký počet bodov (predpokladáme, že sa udeľovali iba celé body). 6. Ukážte, že sa tabuľka 5 5 nedá vyplniť číslami 1,0 a 1 tak, aby súčet čísel v každom riadku, stĺpci a diagonále bol iný. 7. a) Vnútri rovnostranného trojuholníka so stranou dĺžky 2 cm je daných 5 rôznych bodov. Dokážte, že vzdialenosť medzi niektorými dvoma z nich je najviac 1 cm. b) Vnútri rovnostranného trojuholníka so stranou dĺžky 2 cm sú dané 4 rôzne body. Dokážte, že vzdialenosť medzi niektorými dvoma z nich je najviac 12 mm. 8. V rovine je daných 6 bodov, žiadne tri z nich neležia na jednej priamke. Každé dva dané body sú spojené modrou, alebo červenou úsečkou. Dokážte, že existuje jednofarebný trojuholník. 9. V rovine je daných 5 priamok. Žiadne dve z nich nie sú navzájom rovnobežné. Dokážte, že niektoré dve z nich zvierajú uhol menší ako 45 o.
17 10. Dokážte, že v a) Prahe b) Bratislave žijú aspoň dvaja ľudia, ktorí majú na hlave rovnaký počet vlasov. *11. Pozrite si dobre dôkaz nasledujúceho tvrdenia a zistite, v ktorom kroku bol využitý Dirichletov princíp. Každé prirodzené číslo má nenulový násobok, ktorého dekadický zápis obsahuje len cifry 0 a 9. Uvažujme čísla 10 0, 10 1,, 10 n. Aspoň dve z nich musia dávať po delení číslom n k j rovnaký zvyšok. To znamená, že n /(10 10 ) pre nejaké k, j 0 k < j n. Teda /10 j.( 10 k n j 1). Ale 10 j.( 10 k j 1) dokázané. je číslo tvaru , tvrdenie je *12. Daná je množina n+ 1 prirodzených čísel, žiadne z nich nie je väčšie ako 2n. Dokážte, že v tejto množine existujú dve také čísla, z ktorých jedno je deliteľom druhého. *13. Dokážte, že každá desaťprvková množina prirodzených čísel má neprázdnu podmnožinu, ktorej súčet prvkov je deliteľný 10. *14. V rovine je daných 17 bodov, žiadne tri z nich neležia na jednej priamke. Každé dva dané body sú spojené modrou, červenou alebo zelenou úsečkou. Dokážte, že existuje jednofarebný trojuholník. *15. Dokážte, že z každej 11-prvkovej množiny dvojciferných prirodzených čísel možno vybrať dve neprázdne disjunktné podmnožiny tak, aby tieto mali rovnaký počet i súčet prvkov.
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραStereometria Základné stereometrické pojmy Základné pojmy: Základné vzťahy: (incidencie) Veta 1: Def: Veta 2:
Stereometria 1. K úlohe č.1 v príklade vidíte sklenenú kocku, na ktorej je natiahnutý drôt. Vedľa vidíte 3 pohľady na túto kocku zhora, spredu a z pravého boku. Pre ďalšie kocky nakreslite takéto 3 pohľady.
Διαβάστε περισσότεραTest. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s.
Test Matematika Forma A Štátny pedagogický ústav, Bratislava Ò NUPSESO a.s. 1. Koľkokrát je väčší najmenší spoločný násobok čísel 84 a 16 ako ich najväčší spoločný deliteľ. A. B. 3 C. 6 D.1. Koľko záporných
Διαβάστε περισσότεραMaturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,
9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραTézy matematika. 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy. 2. Výroky a ich pravdivostné hodnoty
Tézy matematika 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy 1. Vysvetlite obsah pojmov množina, prázdna množina, disjunktné množiny, popíšte vzťahy medzi množinami (podmnožina, rovnosť množín) a operácie s množinami
Διαβάστε περισσότεραTEST Z MATEMATIKY. Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018
TEST Z MATEMATIKY Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018 Milí žiaci, máte pred sebou test z matematiky ku prijímacím skúškam. Budete ho riešiť na dvojhárok. Najprv na nalepený štítok dvojhárku napíšte
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραMocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník
1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE ŠEDIVÝ ONDREJ VALLO DUŠAN Vydané v Nitre 2009 Fakultou prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre s finančnou
Διαβάστε περισσότεραMONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky
MONITOR 9 (007) riešenia úloh testu z matematiky Autormi nasledujúcich riešení sú pracovníci spoločnosti EXAM testing Nejde teda o oficiálne riešenia, ktoré môže vydať ia Štátny pedagogický ústav (wwwstatpedusk)
Διαβάστε περισσότερα3. ročník. 1. polrok šk. roka 2016/2017
Príklady z MAT 3. ročník 1. polrok šk. roka 016/017 GONIOMETRIA 1. Načrtnite grafy daných funkcií na intervale 0, : f: y= tg x, g: y = -3.cos x, h: y = sin (x + ) -1. Určte hodnoty ostatných goniometrických
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA - úlohy z MONITOROV a MSK
MATEMATIKA - úlohy z MONITOROV a MSK P.č. Tematické celky Strana 1 1.1 - Výroky 1 1.. - Množiny 4 3.1. - Výrazy 6 4 3.1. - Teória čísel 7 5 4.1. - Rovnice 9 6 4.. - Nerovnice 11 7 4.3. - Sústavy rovníc
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραPYTAGORIÁDA Súťažné úlohy republikového kola 35. ročník, školský rok 2013/2014
Kategória P 6 1. Napíšte číslo, ktoré sa skrýva pod hviezdičkou: *. 5 = 9,55 2. Janko Hraško je 25 - krát menší ako Ďuro Truľo. Napíšte, koľko centimetrov meria Janko Hraško, ak Ďuro Truľo meria 1,75 metra.
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραRentový počet. Rentový počet. Monika Molnárová. Technická univerzita Košice.
entový počet Monika Molnárová Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 entový počet Úvod Polehotná renta s konštantnou splátkou Polehotná renta s rovnomerne rastúcou splátkou Predlehotná
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραP Y T A G O R I Á D A
30 P Y T A G O R I Á D A Súťažné úlohy a riešenia celoštátneho kola Kategórie P6 - P8 30. ročník Školský rok 2008/2009 BRATISLAVA, 2009 Súťažné úlohy celoslovenského kola. Školský rok 2008/2009. Kategória
Διαβάστε περισσότεραKonštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti
Ma-Ko-02-T List 1 Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti RNr. Marián Macko U: pomínaš si zo základnej školy na konštrukciu pravidelného šesťuholníka so stranou a dĺžky
Διαβάστε περισσότερα1. Goniometrické funkcie, rovnice a nerovnice
1. Goniometrické funkcie, rovnice a nerovnice 1. Vypočítajte: 5 4 5 11 a) sin π cos π + tg π cotg π = 4 3 3 2 b) cos225 tg300 + sin 240 + cotg330 = 2. Bez použitia kalkulačky zistite, ktoré z nasledujúcich
Διαβάστε περισσότερα2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m.
Dĺžka kružnice, obsah kruhu 1. Na obrázku je kruţnica vpísaná do štvorca so stranou 4cm a štyri kruţnicové oblúky so stredmi vo vrcholoch štvorca. ký obsah má vyfarbený útvar? 4 + π cm 16 - π cm 8π 16
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka
Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραMatematika test M-1, 2. časť
M O N I T O R 001 pilotné testovanie maturantov MONITOR 001 Matematika test M-1,. časť forma A Kód školy: Číslo žiaka A B C F H I K L M O P S Kód A B C F H I triedy: 01 0 03 04 05 06 07 08 09 10 11 1 13
Διαβάστε περισσότεραÚpravy výrazov na daný tvar
DSZŠM Úpravy výrazov na daný tvar. a) Ktoré z nasledujúcich výrazov nie sú druhou mocninou dvojčlena?, 9, 0, b) Zmeňte v nich koeficient pri lineárnom člene tak, aby sa stali druhou mocninou dvojčlena.
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. Číslo n je súčinom troch (nie nutne rôznych) prvočísel. Keď zväčšíme každé z nich
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραDESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Διαβάστε περισσότεραKód testu NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU!
Kód testu 1203 NEOTVÁRJTE, POČKJTE N POKYN! PREČÍTJTE SI NJPRV POKYNY K TESTU! MTURIT 2015 EXTERNÁ ČSŤ Časť I Vyriešte úlohy 01 až 20 a do odpoveďového hárka zapíšte vždy iba výsledok nemusíte ho zdôvodňovať
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA
ZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA 1. Afinné zobrazenia Definícia. Zobrazenie F z afinného priestoru A n do A m, ktoré zobrazuje každú trojicu nekolineárnych bodov do jedného bodu alebo do trojice bodov,
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66-uholníka priradíme jedno z čísel 1 alebo 1. Ku každej
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραŠtátny pedagogický ústav, Pluhová 8, Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
Štátny pedagogický ústav, Pluhová 8, 830 00 Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY Bratislava 2008 ÚVOD Cieľové požiadavky z matematiky sú rozdelené vo väčšine kapitol
Διαβάστε περισσότεραCIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2016 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 21. 12. 2016 pod číslom 2016-25786/49974:1-10B0
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem hranola
Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné
Διαβάστε περισσότεραZlomky sčítanie, odčítanie. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník. 1. Vypočítajte : = d) ( ) Vypočítajte : a) 5 + =
1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník Zlomky sčítanie, odčítanie 1. Vypočítajte : 6 2 5 7 2 2 2 a) + + = c) + = 7 3 21 9 3 3 9 3 5 1 1 + + 1 = d) ( ) 5 + 3,7 + 1 4 15 6 = 2. Vypočítajte : a) 1 5 5
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu
Február Mesiac Týždeň Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 8, časť Stupeň vzdelania: ISCED 2 - nižšie sekundárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραFakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Poznámka k úlohám o funkciách: Ak nie je uvedené inak, je definičným oborom funkcie množina všetkých reálnych čísel, pre ktoré výraz definujúci funkciu má zmysel. 0 Ktorá z nasledujúcich funkcií nie je
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότερα2007/ ročník MO Riešenia úloh domácej časti I. kola kategórie C
007/008 57. ročník MO Riešenia úloh domácej časti I. kola kategórie C. Určte najmenšie prirodzené číslo n, pre ktoré aj čísla n, n, 5 5n sú prirodzené. (Jaroslav Švrček) Riešenie. Vysvetlíme, prečo prvočíselný
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραMaturitné otázky z matematiky
Gmnázium Pavla Horova Michalovce Maturitné otázk z matematik školský rok 00 / 00 . VÝROKY A MNOŽINY Maturitné otázk a príklad z matematik, Gmnázium Pavla Horova, Michalovce Výrok a jeho negácia. Kvantifikované
Διαβάστε περισσότεραMaturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium
Jozef Vozár Maturitné úlohy Z Matematiky Pre gymnázium I. (Úlohy s krátkou odpoveďou) OBSAH ÚVOD... 3 1. ZÁKLADY MATEMATIKY... 3 1.1 Logika a množiny... 3 1.2 Čísla, premenné a výrazy... 7 1.3 Teória čísel...
Διαβάστε περισσότεραIndividuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVARTA 2012/2013
Individuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVARTA 2012/2013 ( Číslovanie kapitol je kvôli lepšej prehľadnosti podľa učebníc. ) Odporúčam: www.oskole.sk cez učivá, predmety a ročník navštíviť príslušné
Διαβάστε περισσότεραNajviac na koľko častí sa dá tromi priamkami rozdeliť medzikružie?
Náboj 01 Vzorové riešenia Úloha 1 J. Ak hranu kocky zväčšíme o 100%, tak o koľko percent sa zväčší jej objem? Výsledok. 700% Návod. Zväčšiť hranu a o 100% je to isté ako ju zdvojnásobiť na a. Objem pôvodnej
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραTéma c. 1. Výroková logika a logika výrokových foriem (predikátovej logiky). Množinovo-logický rozbor slovného textu
Téma c. 1 Výroková logika a logika výrokových foriem (predikátovej logiky). Množinovo-logický rozbor slovného textu A) Výrok a jeho vlastnosti. Výroky tvorené z jednoduchých výrokov pomocou logických operátorov.
Διαβάστε περισσότερα2. UHLY. Zapisovanie uhlov 1. spôsob pomocou troch bodov. Pri zápise uhla pomocou troch bodov je VRCHOL VŽDY V STREDE ZÁPISU.
2. UHLY 2.1 ZÁPIS A OZNAČOVANIE UHLOV Dve polpriamky VA, VB, ktoré majú spoločný začiatok v bode V delia rovinu na dve časti. Tieto časti nazývame uhly. UHOL je časť roviny ohraničená dvoma polpriamkami,
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραVzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015
riesky@riesky.sk Riešky matematický korešpondenčný seminár Vzorové riešenia. kola zimnej série 04/05 Príklad č. (opravovali Tete, Zuzka): Riešenie: Keďže číslo má byť deliteľné piatimi, musí končiť cifrou
Διαβάστε περισσότεραCABRI GEOMETRY TM II PLUS
CABRI GEOMETRY TM II PLUS Inovačné nástroje matematiky KURZ PRE POKROČILÝCH VITAJTE! Vitajte v kurze pre pokročilých užívateľskej príručky Cabri Geometry. V tejto časti uvádzame v troch kapitolách niektoré
Διαβάστε περισσότερα