ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΕΝΤΟΣ ΛΙΜΕΝΑ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΙΚΡΗΣ ΚΛΙΣΗΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Transcript

1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΕΝΤΟΣ ΛΙΜΕΝΑ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΙΚΡΗΣ ΚΛΙΣΗΣ Ζ.. Σκουλά, ιπλ. Πολ. Μηχ., D.I.C., Ph.D., Χαρ. Τρικούπη 56-58, 0680, Αθήνα K. Aναστασίου 2, ιπλ. Πολ. Μηχ., M.Sc., Ph.D., 80 Grove Avenue, London W7 3ES, U.Κ. Tηλ./Fax: , 2 Tηλ./Fax: +44 (0) , ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία παρουσιάζει αποτελέσµατα αριθµητικής επίλυσης πεπερασµένων όγκων τύπου Godunov της υπερβολικής κυµατικής Εξίσωσης Μικρής Κλίσης η οποία λαµβάνει υπόψη της. την τυχόν παρουσία ρευµάτων στο κυµατικό πεδίο. Η αριθµητική προσοµοίωση είναι δεύτερης τάξης ακριβείας, τόσο ως προς το χρόνο όσο και ως προς το χώρο και επιλύεται σε µη δοµηµένους τριγωνικούς υποχώρους του πεδίου ροής, όπου η ροή στη διεπιφάνειά τους υπολογίζεται χρησιµοποιώντας την προσέγγιση του Roe για το σχετικό πρόβληµα Riemann. Τα αποτελέσµατα που παρουσιάζονται στην παρούσα εργασία είναι ενδεικτικά των δυνατοτήτων του αλγορίθµου που αναπτύχθηκε και αποδεικνύουν ότι η αριθµητική προσοµοίωση τύπου Godunov, της οποίας η ακρίβεια είχε έως τώρα κυρίως διερευνηθεί σε ροές έντονα ασυνεχείς, είναι ένα αριθµητικό εργαλείο ακριβείας για την προσοµοίωση της κυµατικής δίαιτας εντός λιµένων. WAVE DIFFRACTION COMPUTATIONS VIA THE HYPERBOLIC MILD-SLOPE EQUATION BASED ON UNSTRUCTURED GRIDS Ζ.D. Skoula, Μ.Eng., D.I.C., Ph.D., Ch. Trikoupi 56-58, 0680, Athens, Greece K. Anastasiou 2, Μ.Eng., M.Sc., Ph.D., 80 Grove Avenue, Hanwell, London W7 3ES, U.K. Tel./Fax: , 2 Tel./Fax: +44 (0) , ABSTRACT A versatile upwind finite volume Godunov-type model of the hyperbolic Mild-Slope Equation that is capable of accommodating the presence currents in the wave field has been developed and results are presented herein. The wave fluxes at the interface between two cells are computed using Roe s approximate Riemann solver. Time integration is achieved implicitly, while the scheme is second order accurate in time discretisation. Numerical fluxes are second order spatially accurate by enhancing the polynomial approximation of the conserved variables slope within each cell, while space discretisation is achieved through boundary-conforming triangles. Results presented herein prove that Godunov-type numerical solvers whose efficiency had mostly hitherto been tested in modelling discontinuous flows is an accurate numerical tool for wave modelling.

2 . ΕΙΣΑΓΩΓΗ ιαφορετικού τύπου εξισώσεις έχουν εξαχθεί και χρησιµοποιηθεί στη βιβλιογραφία για τη µαθηµατική προσοµοίωση της κυµατικής δίαιτας στην παράκτια ζώνη µέσω της Εξίσωσης Μικρής Κλίσης (ΕΜΚ), βλέπε Berkhoff (972), Radder (979), Copeland (985). Με βάση την αρχή διατήρησης της µάζας και υποθέτοντας ότι τα κύµατα είναι γραµµικά και απλά αρµονικά, η ελλειπτική ΕΜΚ παρουσιάστηκε στην ερευνητική εργασία του Berkhoff (972). Η παρουσίαση αυτής της εξίσωσης έδωσε για πρώτη φορά τη δυνατότητα να ληφθούν υπόψην τα συνδυασµένα φαινόµενα της διαθλάσεως και περιθλάσεως παρά το γεγονός ότι η ελλειπτική φύση της εξίσωσης καθιστά την αριθµητική εφαρµογή αυτής σε πραγµατικά πεδία υπολογιστικά δαπανηρή. Μία περισσότερο υπολογιστικά οικονοµική εξίσωση δόθηκε από τον Radder (979), όπου το κυµατικό πεδίο χωρίζεται σε δύο µέρη: το προσπίπτον και το ανακλώµενο. Για να γίνει η αριθµητική επίλυση αυτής της εξίσωσης πρέπει να αγνοηθεί το ανακλώµενο κυµατικό πεδίο και να ληφθεί υπόψην µόνο το προσπίπτον. Επίσης το εισερχόµενο κυµατικό πεδίο πρέπει να είναι παράλληλο µε το βασικό άξονα του καννάβου πάνω στον οποίο γίνεται η επίλυση της εξίσωσης. Αυτή η ανικανότητα της παραβολικής µορφής της εξίσωσης να συµπεριλάβει όλα τα φαινόµενα που συµβαίνουν όταν τα κύµατα ταξιδεύουν προς τα ρηχά καθώς και η ανάγκη σύµπτωσης της κατεύθυνσης ροής µε έναν από τους βασικούς άξονες του καννάβου δεν ευνοούν την εφαρµογή της σε πολύπλοκες βυθοµετρίες µε αποτέλεσµα η µέθοδος να είναι ανεπαρκής για προσοµοίωση κυµατικής δίαιτας στην παράκτια ζώνη. Μία υπερβολικού τύπου προσέγγιση της ΕΜΚ δόθηκε από τον Copeland (985), όπου η ΕΜΚ διασπάστηκε σε δύο εξισώσεις πρώτης τάξης. Η υπερβολική αυτή προσέγγιση λαµβάνει υπόψην της τα ίδια φαινόµενα, όπως και η ελλειπτική προσέγγιση, ενώ είναι υπολογιστικά οικονοµικότερη από αυτήν. Σηµειώνεται ότι η υπερβολική προσέγγιση της ΕΜΚ είναι υπολογιστικά περισσότερο δαπανηρή από την παραβολική προσέγγισή της. Αυτή η υπερβολική προσέγγιση της ΕΜΚ επεκτάθηκε από τον Dong (987) και συµπεριέλαβε το φαινόµενο της επίδρασης στο κυµατικό πεδίο της ύπαρξης ρευµάτων. Περιορισµοί που συνδέονται µε αυτήν την προσέγγιση είναι ότι η χωρική διαφοροποίηση του ρεύµατος δεν µπορεί να είναι έντονη και ότι µόνο το αποτέλεσµα της επιδράσεως του ρεύµατος στο κυµατικό πεδίο µπορεί να ληφθεί υπόψην. Επιπλέον, η ΕΜΚ προέρχεται από τη θεωρία ιδεατού ρευστού η οποία υπονοεί αστροβιλότητα της ροής, συνθήκη η οποία παραβιάζεται µε την προσθήκη του ρεύµατος στο πεδίο ροής. Όµως, αυτός ο µαθηµατικός σχηµατισµός χρησιµοποιήθηκε από τους Dong (987) και Walker (987) σε συνδυασµό µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών και έδωσε καλά αποτελέσµατα. Έτσι στην παρούσα εργασία επιλέγεται να χρησιµοποιηθεί αυτή η υπερβολική µαθηµατική έκφραση της ΕΜΚ καθώς προσοµοιώνει σηµαντικά φαινόµενα-συνθήκες που συναντώνται σε πραγµατικά πεδία ροής αλλά δεν προσοµοιώνονται από άλλους µαθηµατικούς σχηµατισµούς. Η µεθοδολογία επίλυσης στην παρούσα εργασία είναι τύπου Godunov, βλέπε Godunov (959), όπου το πρόβληµα Riemann το οποίο είναι στενά συνδεδεµένο µε τέτοια σχήµατα λύνεται χρησιµοποιώντας τον προσεγγιστικό τρόπο επίλυσης του Roe, βλέπε Roe (98). Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε το πως λύνεται ένα σύστηµα τύπου Godunov ο αναγνώστης παραπέµπεται στα εγχειρίδια των 2

3 Hirsch (990) και Toro (997), καθώς και στις ερευνητικές εργασίες των Bokaris (2000) και Skoula (2002). Το χρησιµοποιηθέν για την παρούσα εργασία αριθµητικό σχήµα εφαρµόζεται γενικά σε παράκτιες περιοχές και είναι ικανό να προσοµοιώσει τα φαινόµενα της διαθλάσεως, περιθλάσεως, ρηχώσεως, καθώς και της θραύσεως κυµατισµών µέσω ενός µηχανισµού διάχυσης της κυµατικής ενέργειας. Έχει επίσης τη δυνατότητα προσοµοίωσης των διακυµάνσεων της µέσης στάθµης νερού λόγω του φαινοµένου της κυµατικής υπερύψωσης αλλά και προσοµοίωσης της επίδρασης στο κυµατικό πεδίο κυµατογενών ή άλλης προελεύσεως ρευµάτων. Αυτή η εργασία ξεκινά µε παρουσίαση της συντηρητικής µορφής, η οποία συµπεριλαµβάνει σταθερό όρο, της ΕΜΚ. Τα βασικά στοιχεία της µεθόδου επίλυσης παρουσιάζονται συνοπτικά και µετά η εργασία παρουσιάζει την εφαρµογή της µεθόδου σε ένα αριθµητικό πείραµα, όπου κυµατισµοί προσπίπτουν κάθετα σε είσοδο λιµένα µε άνοιγµα L (L=µήκος κύµατος). Τα αποτελέσµατα που παρουσιάζονται εδώ αποδεικνύουν ότι η χρησιµοποιηθείσα µέθοδος επίλυσης του συστήµατος των εξισώσεων είναι ικανή να απεικονίσει ρεαλιστικά το κυµατικό πεδίο σε προστατευόµενες από κυµατοθραύστη περιοχές. 2. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΙΚΡΗΣ ΚΛΙΣΗΣ Η συντηρητική µορφή, η οποία συµπεριλαµβάνει σταθερό όρο, της ΕΜΚ µπορεί να πάρει την εξής µορφή: d Ω +. ds = d Q Fn H Ω () S t Ω όπου Ω είναι η περιοχή ενδιαφέροντος, S το όριο που περικλείει την Ω, n είναι το κάθετο διάνυσµα στο S, εξωτερικό κάθε τριγωνικού υποχώρου διακριτοποίησης της εξίσωσης, Q είναι το διάνυσµα των συντηρητικών µεταβλητών, F είναι το διάνυσµα των συναρτήσεων ροής δια του ορίου S και H είναι το διάνυσµα των σταθερών όρων. Για την υπό εξέταση περίπτωση Ω Fn. = f n + g n (2) x µε n x και n y να παριστάνουν τις συνιστώσες του µε κατεύθυνση προς τα έξω µοναδιαίου κάθετου διανύσµατος n στις x και y διευθύνσεις αντίστοιχα, ενώ οι τιµές των Q, f, g και H δίνονται από την Skoula (2002): y 3

4 η Q = qx (3) q y qx + ηucx λ cc g ω η f = σ, 0 qy + ηucy λ 0 g = (4) cc g ω η σ όπου και ( qx + Ucxη) + ( qy + Ucyη) x λ y λ η c H = ( cc g ω ) fd qx (5) σ x cg η c ( cc g ω ) fd q y σ y cg σ 2 k 2 cc g λ =, ω = σ +. Uc ωσ k, 2 σ = gktanh( kd), k = k, c σ = k c g tanh( kd) d k = g k 2[cosh( kd)] tanh( kd) (6) 4

5 Στις εξισ. (3)-(6) ο όρος k είναι το διάνυσµα του αριθµού κύµατος ενώ c, c g είναι η ταχύτητα µετάδοσης του κύµατος και η ταχύτητα οµάδας κυµατισµών αντίστοιχα, όπως αυτή ορίζεται από τη θεωρία απειροστού ύψους κύµατος, η είναι η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας, σ είναι η σχετική συχνότητα και ω είναι η απόλυτη συχνότητα. Επιπλέον, η παράµετρος d παριστάνει το βάθος νερού ενώ η παράµετρος t παριστάνει τον χρόνο. Η συνάρτηση U c ορίζεται στην παρακάτω έκφραση U = U i+ U j c cx cy όπου U cx και U cy παριστάνουν τις µέσες ως προς το χρόνο και το βάθος συνιστώσες του κυµατογενούς ή άλλης προελεύσεως ρεύµατος και η συνάρτηση Q περιγράφεται µε τον παρακάτω τρόπο x y (7) Q= q i+ q j (8) µε qx= cgcuo/ g (9) qy= cgcvo/ g (0) όπου u ο και v ο παριστάνουν τις συνιστώσες της οριζόντιας ταχύτητας στη µέση στάθµη θαλάσσης, στις x, y διευθύνσεις αντίστοιχα. Σηµειώνεται ότι δεδοµένης της ύπαρξης του όρου f D (c/c g )Q στο µητρώο H, η εξίσ. () προσοµοιώνει το αποτέλεσµα του φαινοµένου της διάχυσης ενέργειας εξαιτίας της θραύσης των κυµατισµών. Αυτό γίνεται µέσω µεθόδου που προτάθηκε από τους Watanabe and Maruyama (986), όπου f D =f(q x,q y,c,c g,d,tanβ) µε tanβ τη µέση κλίση του πυθµένα στα σηµεία θραύσης των κυµατισµών. 3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ THΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Για κάθε τριγωνικό όγκο ελέγχου στον οποίο το σύστηµα των εξισώσεων έχει διακριτοποιηθεί, η εξίσ. () ολοκληρώνεται ως παρακάτω: QiΩ i = + Ω = + Ω = t Fn. d S Hi i Fi, j li, j Hi i R( Qi) () Ci j= k() i όπου Q i, H i είναι οι µέσες ποσότητες του υποχώρου i στο κέντρο αυτού, ενώ Ω i είναι το εµβαδόν του υποχώρου αυτού. Η ποσότητα C δηλώνει το όριο του υποχώρου i. Επιπλέον, k(i) είναι µία λίστα των υποχώρων που γειτνιάζουν τον υποχώρο i, ενώ F i,j και i 5

6 l j είναι η αριθµητική χωρική ροή στη διεπιφάνεια των υποχώρων i και j. και το µήκος της πλευράς i,j αντίστοιχα. Με σκοπό να υπολογίσουµε την αριθµητική ροή θεωρούµε ότι στην κάθετη διεύθυνση κάθε πλευράς κάθε τριγωνικού χώρου που το σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων έχει διακριτοποιηθεί λύνουµε ένα µονοδιάστατο πρόβληµα Riemann, βλέπε Roe (98), Hirsch (990) και Toro (997). Η τύπου Godunov προσέγγιση του Roe για αυτό το πρόβληµα έχει ως εξής: F = F + F ( Q ) ( Q ) A ( Q Q, ) I I I i, j i, j i, j i, j i j (2) + όπου A = R Λ L είναι το µητρώο του Roe και, Q i j, i, j Q είναι η ποσότητα για την οποία λύνουµε δεξιά και αριστερά αντίστοιχα από το γραµµικό όριο µεταξύ των κελιών i και j. Τα µητρώα R και L είναι το αριστερό και δεξιό µητρώο ιδιοδιανυσµάτων του µητρώου Ιακωβιανής ροής A, ενώ Λ είναι το διαγώνιο µητρώο των απόλυτων ιδιοτιµών του A, βλέπε Hirsch (990). Με σκοπό να προσδιορίσουµε τις παραµέτρους καταστάσεων του προβλήµατος Riemann αριστερά και δεξιά σε κάθε διεπιφάνεια του υπολογιστικού χώρου µία γραµµική µεταβολή του διανύσµατος των συντηρητικών µεταβλητών θεωρείται τµηµατικά µέσα σε κάθε τριγωνικό χώρο διακριτοποίησης (προσέγγιση MUSCL). Η χρονική εξέλιξη του εκάστοτε φαινοµένου που αριθµητικώς προσοµοιάζεται, υπολογίζεται µε την εξίσ. (), η οποία µπορεί να εκφραστεί ως όπου Q ( Ω) n+ ( Ω) n = α ( n+ ) ( ) ( n t i + αt i ) [ Q Q ]/ t i i R Q R Q (3) n+ i είναι το διάνυσµα των µεταβλητών για το χώρο i το χρονικό επίπεδο n+, είναι το διάνυσµα των ήδη γνωστών µεταβλητών για το χρονικό επίπεδο n, t είναι το χρονικό βήµα διακριτοποίησης, Ωi είναι το εµβαδόν του χώρου i (µη σταθερό σε σχέση µε το χρόνο για έναν µη χρονικά µεταβαλλόµενο - προσαρµοζόµενο στα χαρακτηριστικά της ροής - κάνναβο) και RQ) ( είναι το δεξιό µέρος της εξίσ. (). Όταν αt = 0, η εξίσ. (3) n i είναι το ρητό σχήµα Euler, όταν α t =, αυτή είναι το πρώτης τάξης πεπλεγµένο σχήµα Euler, και όταν α t = 0.5, η εξίσ. (3) είναι ένα τραπεζοειδές πεπλεγµένο σχήµα δεύτερης τάξης. n Q i 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ: ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΕ ΕΙΣΟ Ο ΛΙΜΕΝΑ Το φαινόµενο της περίθλασης συµβαίνει σε τµήµα του θαλάσσιου χώρου που γειτνιάζει υπάρχουσες κατασκευές µέσα σε αυτόν, όπως κυµατοθραύστες, µώλους κ.ά. Το φαινόµενο συµβαίνει λόγω της πλευρικής, κατά µήκος των κυµατοκορυφών, µεταφοράς ενέργειας και είναι πολύ σηµαντικό για το σχεδιασµό λιµένων ή άλλων κατασκευών σε παράκτιες περιοχές. 6

7 Με σκοπό να εξεταστεί η ικανότητα του οµοιώµατος να προσοµοιώνει το φαινόµενο της περίθλασης παρουσία δύο ηµιάπειρων κυµατοθραυστών ένα σχετικά µικρό κενό της τάξεως του ενός µήκους κύµατος (L) ανάµεσα στους δύο κυµατοθραύστες έχει επιλεγεί. Η επιλογή έγινε µε βάση το ενδιαφέρον που περιέχει το αριθµητικό πείραµα καθώς υπάρχει όχι µόνο το φαινόµενο της περίθλασης αλλά και η αλληλεπίδραση των περιθλώµενων κυµατισµών ανάµεσα στους δύο κυµατοθραύστες Η κυµατική δίαιτα που χρησιµοποιήθηκε για το παρόν πείραµα έχει τα εξής χαρακτηριστικά: ύψος κύµατος H=0.03 µ. και περίοδο T=0.8 δλ., ενώ ένα σταθερό βάθος νερού d= µ. έχει υποτεθεί για το σύνολο του χώρου διακριτοποίησης-επίλυσης του παρόντος µαθηµατικού οµοιώµατος (οι συνθήκες αυτές επιτρέπουν την προώθηση των κυµατισµών, χωρίς να υπεισέρχεται σε αυτούς το φαινόµενο της διάθλασης). Τα αναλυτικά αποτελέσµατα του Johnson (952) για το παρόν πείραµα, είναι πολύ κοντά µε τα αποτελέσµατα του παρόντος αριθµητικού µοντέλου, συντελεστές περίθλασης, που παρουσιάζονται στα σχήµατα και 2. Τα σχήµατα 3 και 4 απεικονίζουν τη µορφή της αρχικά επίπεδης ελεύθερης επιφάνειας του θαλάσσιου ύδατος και το σχετικό ύψος κύµατος αντίστοιχα, 5 δλ. µετά την είσοδο των κυµάτων στην προστατευόµενη περιοχή. Αυτά τεκµηριώνουν περισσότερο την οµαλότητα (όχι «θόρυβο») των παρόντων αριθµητικών αποτελεσµάτων. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται αποτελέσµατα από αριθµητική προσοµοίωση του φαινοµένου της περίθλασης λόγω της εισόδου κυµατισµών σε λιµένα προστατευόµενο από δύο ηµιάπειρους κυµατοθραύστες. Η αριθµητική προσοµοίωση γίνεται µέσω ενός οµοιώµατος τύπου Godunov της Εξίσωσης Μικρής Κλίσης. Το µοντέλο είναι δεύτερης τάξης ακριβείας, τόσο ως προς την πεπλεγµένη χρονική όσο και ως προς τη χωρική διακριτοποίηση αυτού. Οι βασικές µεταβλητές του µαθηµατικού οµοιώµατος επιλύονται ως προς το κέντρο βάρους του τριγωνικά και µη δοµηµένα διακριτοποιηµένου χώρου εφαρµογής των εξισώσεων αυτού. Η µέθοδος επίλυσης του οµοιώµατος είναι αυτή των πεπερασµένων όγκων κατά την οποία η «πληροφορία» σε συγκεκριµένο σηµείο του διακριτοποιηµένου χώρου µεταφέρεται από την ανάντη, ως προς την κατεύθυνση της ροής, περιοχή γειτνίασης του σηµείου (ανάντη µεθοδολογία). Η µεταφορά της «πληροφορίας» γίνεται κάθετα σε κάθε πλευρά τριγώνου µε κατεύθυνση προς το κέντρο του, µέσω του προσεγγιστικού τρόπου επίλυσης του προβλήµατος Riemann που έχει προτείνει ο Roe. Τα αποτελέσµατα που συνοδεύουν την παρούσα εργασία καταδεικνύουν τον χρησιµοποιηµένο εδώ τρόπο επίλυσης διαφορικών εξισώσεων ως δόκιµο για την προσοµοίωση κυµατικής δίαιτας. 6. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Αυτή η εργασία έχει χρηµατοδοτηθεί από το Βρεταννικό Ερευνητικό Συµβούλιο Μηχανικής και Φυσικών Επιστηµών µέσω του ερευνητικού προγράµµατος GR/L

8 .2 Numerical Normalised Wave Height Analytical Prediction, after Johnson (952) 0.8 H/Ho X/L Σχήµα. Σχετικό ύψος κύµατος στο εσωτερικό λιµένα µε άνοιγµα εισόδου L και ορθή γωνία πρόσπτωσης των κυµατισµών σε αυτήν: αριθµητικά και αναλυτικά αποτελέσµατα για τη θέση Y=6.5L Y/L Σχήµα 2. Αριθµητικά αποτελέσµατα για τις σχετικές ισοϋψείς κύµατος στο εσωτερικό λιµένα µε άνοιγµα εισόδου L και ορθή γωνία πρόσπτωσης των κυµατισµών σε αυτήν. X/L 8

9 Σχήµα 3. Αριθµητική µετάδοση κυµατισµών στο εσωτερικό λιµένα µε άνοιγµα εισόδου L και ορθή γωνία πρόσπτωσης των κυµατισµών σε αυτήν. Σχήµα 4. Σχετικό ύψος κύµατος στο εσωτερικό λιµένα µε άνοιγµα εισόδου L και ορθή γωνία πρόσπτωσης των κυµατισµών σε αυτήν. 9

10 7. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Berkhoff J.C.W. (972) Computation of combined refraction-diffraction, Proceedings of the 3 th International Conference on Coastal Engineering, Bokaris J. (2000) Physical and numerical modelling of irregular wave propagation in coastal waters, Ph.D. Thesis, Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London, U.K. Copeland G.J.M. (985) A practical alternative to the mild-slope wave equation, Coastal Engineering, 9, Dong P. (987) The computation of wave induced circulations with wave-current interaction and refined turbulence modelling, Ph.D. Thesis, Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London, U.K. Godunov S.K. (959) A difference method for the numerical computation of discontinuous solutions of hydrodynamic equations, Matematicheskii Sbornik, 47, (in Russian). Hirsch C. (990) Numerical computation of internal and external flows, Vol. 2: Computational methods for inviscid and viscous flows, New York: John Wiley & Sons. Johnson J.W. (952) Generalised wave diffraction, Proceedings of the 2 nd International Conference on Coastal Engineering, Radder A.C. (979) On the parabolic equation method for water-wave propagation, Journal of Fluid Mechanics, 95, Roe P.L. (98) Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes, Journal of Computational Physics, 43, Skoula Z.D. (2002) Refined localised modelling of coastal flow features using unstructured grids, Ph.D. Thesis, Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London, U.K. Toro E.F. (997) Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics: A practical introduction, Berlin: Springer-Verlag. Walker D.J. (987) Nearshore hydrodynamics and the behaviour of groynes and sandy beaches, Ph.D. Thesis, Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London, U.K. Watanabe A., Maruyama K. (986) Numerical modeling of nearshore wave field under combined refraction, diffraction and breaking, Coastal Engineering in Japan,