ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1."

Transcript

1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει μόνο ένα διακριτό σύνολο τιμών. F(,,, +,, +r π.χ r ), r N,,,,, και F δοσμένη συνάρτηση Λύση μιας ε.δ. είναι μια ακολουθία που την επαληθεύει για,,, π.χ. η είναι λύση της + -,,,, Τάξη μιας ε.δ. λέγεται η διαφορά μεταξύ του μεγαλύτερου και του μικρότερου δείκτη των π.χ. η + - είναι ης τάξης ενώ η είναι ης τάξης

2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Αρχικές συνθήκες μιας ε.δ. (τάξης r) είναι r δοσμένες τιμές της σε r διαδοχικές διαφορετικές τιμές του π.χ., αρχικές συνθήκες της Συνοριακές συνθήκες μιας ε.δ. είναι δοσμένες τιμές της σε μη-διαδοχικές τιμές του π.χ., 5 συνοριακές συνθήκες της Εξισώσεις διαφορών συναντάμε αρκετά συχνά σε εφαρμογές. Διάφορες μέθοδοι προσεγγιστικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων περιλαμβάνουν αντικατάσταση των διαφορικών εξισώσεων με εξισώσεις διαφορών (π.χ. στη μετεωρολογία).

3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ Η γραμμική εξίσωση διαφορών πρώτης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές + -q r,,,, όπου q, r είναι δοσμένες ακολουθίες και q, έχει γενική λύση i q i + n i n+ q i r n,,, 3

4 Η γραμμική εξίσωση διαφορών πρώτης τάξης έχει γενική λύση + -q,,,, i q + n i n+ q q,,, 4

5 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ + +p + +q r, όπου p, q, r είναι δοσμένες ακολουθίες και q H γενική της λύση είναι το άθροισμα Α) της γενικής λύσης της ομογενούς γραμ. εξίσ. διαφορών και Β) μίας μερικής λύσης της μη ομογενούς γραμ. εξίσ. διαφορών o μ () () μ + c + c + 5

6 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Ε.Δ. ης ΤΑΞΗΣ Θεωρούμε τη γραμ. ε.δ. ης τάξης α + +α + +α όπου α, α, α είναι πραγματικές σταθερές και α, α, Αν λ και λ είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης α λ +α λ+α τότε η γενική λύση της ε.δ. δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις (όπου c, c είναι αυθαίρετες σταθερές και,,,...): ) αν λ, λ R και λ λ c λ + c λ ) αν λ, λ R και λ λ c λ + c λ 6

7 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Ε.Δ. ης ΤΑΞΗΣ c r cos θ + c r sin θ 3) αν λ, λ συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί δηλαδή λ,λ α±iβ r α + β cosθ α, r β θ τοξεφ α sin θ β r 7

8 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΛΥΣΕΩΝ Η γραμμική ανεξαρτησία των λύσεων ορίζουσα Casorati (), () διαπιστώνεται από την C () () + () () + Αν είναι C,,, οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες Επειδή C q q q - C για,,, όπου q,,, o έλεγχος της γραμ. ανεξαρτησίας μπορεί να γίνει με χρήση της C δηλαδή της ορίζουσας Casorati (C ) όπου 8

9 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΡΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Για να εφαρμοσθεί αυτή η μέθοδος στη γραμ. ε.δ. ης τάξης πρέπει: α + +α + +α r Α) α, α, α είναι σταθερές και α, α, Β) η r να έχει ειδική μορφή 9

10 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ i) αν r P() β κ όπου: τότε: η μερική λύση είναι η όπου: P() πολυώνυμο βαθμού m βσταθερά μ ν Q() β Q() προσδιοριστέο πολυώνυμο βαθμού m ν είναι η πολλαπλότητα της ρίζας β της χαρ. εξ. α λ +α λ+α δηλαδή v αν β δεν είναι ρίζα της χαρ. εξ. v αν β είναι απλή ρίζα της χαρ. εξ. ν αν β είναι διπλή ρίζα της χαρ. εξ.

11 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ii) αν r β κ [P ()cosγ+ P ()sinγ] όπου: P () πολυώνυμο βαθμού m P () πολυώνυμο βαθμού m β, γσταθερές τότε: η μερική λύση είναι η μ ν β [Q()cos γ + Q ()sin γ ] όπου: Q (), Q () προσδιοριστέα πολυώνυμο βαθμού mma{m,m } ν είναι η πολλαπλότητα της ρίζας β e iγ της χαρ. εξ. α λ +α λ+α β e iγ β(cosγ+i sinγ)

12 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ iii) αν όπου: (i) r είναι της μορφής (i) ή (ii) τότε: χωρίζουμε την αρχική μη-ομογενή ε.δ. α + +α + +α r στις... ( ) ( ) (n ) r r + r r α + α r > + + α+ + + α+ ( ) ( ) α + α r > (n ) α α + α r > μ μ μ n και το άθροισμα των μερικών λύσεων μ μ + μ μ n είναι μια μερική λύση της αρχικής μη-ομογενής ε.δ.

13 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Μία σταθερά c λέμε ότι είναι τιμή ισορροπίας της ε.δ. + +p όπου p, q, r είναι σταθερές και q αν η c,,,, p + +q είναι λύση της. +q r () Συνεπώς: Η τιμή cr/(+p+q), +p+q είναι τιμή ισορροπίας της () Η τιμή c είναι τιμή ισορροπίας της αντίστοιχης ομογενούς ε.δ. 3

14 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ - Η τιμή ισορροπίας είναι ευσταθής (ασυμπτωτικά) αν κάθε λύση της () τείνει στην c, όταν, δηλαδή lim c - Κάθε λύση της () τείνει στην c, όταν κάθε λύση της αντίστοιχης ομογενούς + +p όπου p, q είναι σταθερές και q τείνει στο, όταν, δηλαδή lim o o μ o [ + + c] p + +q +q () - Αυτό συμβαίνει όταν οι ρίζες λ και λ της χαρακτ. εξ. έχουν απόλυτες τιμές (ή μέτρο στην περίπτωση των μιγαδικών) <, δηλαδή λ <, λ < 4

15 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ - Κριτήριο ευστάθειας: Η τιμή ισορροπίας c της () ή c της () είναι (ασυμπτωτικά) ευσταθής p <q+< 5

16 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Έστω λ και λ οι ρίζες της χαρακτ. εξ. της () Α) αν λ, λ R και λ λ o cλ + cλ - αν λ < και λ < ευστάθεια (ασυμπτωτική) της τιμής ισορροπίας c - αν λ > ή λ > αστάθεια της τιμής ισορροπίας c - αν ( λ και λ ) ή ( λ και λ ) ευστάθεια (όχι ασυμπτωτική) της τιμής ισορροπίας c Β) αν λ, λ R και λ λ o cλ + cλ - αν λ λ < ευστάθεια (ασυμπτωτική) της τιμής ισορροπίας c - αν λ λ αστάθεια της τιμής ισορροπίας c 6

17 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Γ) αν λ, λ συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί, λ,λ α±iβ c r cos θ + c r sin θ o - αν - αν - αν λ λ λ λ α + β < λ α + β > λ α + β ευστάθεια (ασυμπτωτική) της τιμής ισορροπίας c αστάθεια της τιμής ισορροπίας c ευστάθεια (μη ασυμπτωτική) της τιμής ισορροπίας c Μη-ασυμπτωτική ευστάθεια σημαίνει ότι έχουμε ευστάθεια, με τις λύσεις που ξεκινάνε από περιοχή της τιμής ισορροπίας να παραμένουν στην περιοχή της όταν, χωρίς όμως να τείνουν στην τιμή ισορροπίας. 7

18 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΤΑΞΗΣ n 3 ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Ε.Δ. Θεωρούμε την ομογενή γραμ. ε.δ. τάξης n 3 όπου α n, α n-,, α, α είναι πραγματικές σταθερές και α n, α, Αν λ i (i,..,n) είναι οι n ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τότε οι ρίζες της ομογενούς ε.δ. είναι: λ i a n + n + an + n a + + a α n λ n + α n- λ n- + +α λ+α ) αν η ρίζα λ i R είναι απλή λ, i λ, i λ,..., i m λ i ) αν η ρίζα λ i R είναι πολλαπλότητας m n 8

19 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΤΑΞΗΣ n 3 ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Ε.Δ. 3) αν λ i & λ i α±iβ συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί 4) r r α cos θ, r sin θ + β α cosθ, r r cos θ, r sin θ, β sinθ, r r cos r θ, sin θ, θ ( π, π ]...,..., ν ν r r cos θ, sin θ αν λ i & λ i α±iβ συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί με πολλαπλότητα v<n Με αυτό τον τρόπο βρίσκουμε n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της ομογ. ε.δ. Ο γραμμικός τους συνδυασμός δίνει τη γενική λύση της ομογ. ε.δ. με σταθερούς συντελεστές 9

20 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΤΑΞΗΣ n 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΛΥΣΕΩΝ Η γραμμική ανεξαρτησία των λύσεων την ορίζουσα Casorati C( (), (),..., ( n) ) () + n (), () + n (),..., ( n) ( ) () ( n) () () ( n) ( n) + n Αν είναι C,,, οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες διαπιστώνεται από

21 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ Τα γραμμικά συστήματα εξισώσεων διαφορών ης τάξης είναι της μορφής + + a a + a + a + r +τ } > μη-ομογενές + + a a + a + a } > ομογενές όπου α ij, i,j, R

22 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ Μεθοδολογία επίλυσης: ) Αποφασίζω αν θα εργασθώ πρώτα ως προς (ή ) και θέτω κ+ αντί για κ στην αντίστοιχη εξίσωση του συστήματος, δηλαδή στην +.. (ή( στην + ) ) Μετασχηματίζω το σύστημα έτσι ώστε να προκύψει μία ε.δ., μόνο ως προς (ή ) 3) Λύνω την ε.δ. που προέκυψε ως προς (ή ) 4) Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις του αρχικού συστήματος, υπολογίζω και την άλλη μεταβλητή (ή )

23 ΠΡΩΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Μη-γραμμική ε.δ. πρώτης τάξης: n+ f( n ) () Λέμε τιμή ισορροπίας της () τις τιμές που ικανοποιούν τη σχέση f ( Οι τιμές ισορροπίας λέμε ότι είναι ευσταθείς (τοπικά ασυμπτωτικά) όταν οι λύσεις της () που ξεκινάνε από κάποια περιοχή τους, τείνουν στις τιμές ισορροπίας, όταν n + Διαφορετικά, οι τιμές ισορροπίας λέγονται ασταθείς 3

24 ΠΡΩΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Η μη-γραμμική ε.δ. πρώτης τάξης (), σε κάποια μικρή περιοχή της τιμής ισορροπίας της, προσεγγίζεται από τη γραμμική ε.δ. όπου df df ( δ n+ δ n + ( δ n δ n + δ n n 4

25 ΠΡΩΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κριτήριο ευστάθειας: Αν df ( < τότε η τιμή ισορροπίας της () είναι ευσταθής (τοπικά ασυμπτωτικά) Αν df ( > τότε η τιμή ισορροπίας της () είναι ασταθής Αν df ( τότε δεν μπορεί να βγει ασφαλές συμπέρασμα για ευστάθεια ή αστάθεια της τιμής ισορροπίας της () 5

26 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ: Διαφορική εξίσωση (δ.ε.) είναι μία εξίσωση που συνδέει την ανεξάρτητη μεταβλητή, μία άγνωστη συνάρτηση και τις παραγώγους της διαφόρων τάξεων. Αν η άγνωστη συνάρτηση εξαρτάται από μία μόνο μεταβλητή, τότε η δ.ε. λέγεται συνήθης δ.ε. αλλιώς η δ.ε. λέγεται δ.ε. με μερικές παραγώγους Τάξη μιας δ.ε. είναι η μεγαλύτερη τάξη παραγώγου που εμφανίζεται στη δ.ε. Βαθμός μιας δ.ε. (που κάθε μέλος της μπορεί να γραφεί σαν ένα πολυώνυμο της άγνωστης συνάρτησης και των παραγώγων της) είναι ο βαθμός της μεγαλύτερης τάξης παραγώγου που περιέχεται σε αυτή. 6

27 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ: Μια δ.ε. λέγεται γραμμική όταν είναι γραμμική ως προς τις παραγώγους και τη συνάρτηση, με συντελεστές συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής Λύση μιας δ.ε. είναι κάθε συνάρτηση ( ( που την επαληθεύει Μια δ.ε. δεν έχει ποτέ μία μόνο λύση. Το σύνολο των λύσεων μιας δ.ε. λέγεται γενική λύση Θέτοντας ορισμένες συνθήκες είναι δυνατόν να προσδιορίσουμε από τη γενική λύση μια συγκεκριμένη λύση που λέγεται μερική λύση. Δηλαδή, μερική λύση μιας δ.ε. είναι μια οποιαδήποτε λύση της. 7

28 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ανήκουν οι δ.ε. πρώτης τάξης: P(, ) + Q(, ) d ή d f (, ) Οι οποίες μετά από πράξεις μπορούν να πάρουν τη μορφή F ( + F ( ) d Και μετά από ολοκλήρωση οι λύσεις είναι F ( + ) F ( ) d c όπου το c είναι αυθαίρετη σταθερή 8

29 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Δ.Ε. ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Λέγονται οι δ.ε. που μπορούν να πάρουν τη μορφή: d F Οι οποίες μετά από το μετασχηματισμό ( z( ( z( d( z( + dz( Καταλήγουν στη δ.ε. χωριζομένων μεταβλητών dz F( z) z, F( z) z, 9

30 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. ΠΟΥ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΑΝΑΧΘΟΥΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Δ.Ε. ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Είναι οι δ.ε. τη μορφής: ) Αν a a d Λύνουμε ως προς, το σύστημα a F a a a β, γ ή γ β + β + γ + β + γ + β + γ + β + γ h Και θέτοντας X+h X+h,, Y+ προκύπτει η ομογενής δ.ε. dy dx F a a X X + βy + β Y 3

31 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. ΠΟΥ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΑΝΑΧΘΟΥΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Δ.Ε. ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Είναι οι δ.ε. της μορφής: ) Αν κάνουμε την αντικατάσταση οπότε και a a β ( β a ) λ d a F a + β + γ + β + γ a + β + β λz όπου λ β z a a β και καταλήγουμε στη δ.ε. χωριζομένων μεταβλητών β dz a z + γ F λz + γ 3

32 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ Δ.Ε. ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Είναι οι δ.ε. που μπορούν να πάρουν τη μορφή: d όπου P(, Q( συνεχείς συναρτήσεις + P( Q( Η γενική λύση δίνεται από τη σχέση ( ( e Q( e P P( + c 3

33 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. ΤΟΥ BERNOULLI Είναι οι δ.ε. που μπορούν να πάρουν τη μορφή: d n + P( Q( ( n, n ) όπου P(, Q( συνεχείς συναρτήσεις. Κάνουμε το μετασχηματισμό v( n ( Και αναγόμαστε στη γραμμική δ.ε. πρώτης τάξης dv + ( n) P( v ( n) Q( 33

34 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. ΤΟΥ RICCATI Είναι οι δ.ε. που μπορούν να πάρουν τη μορφή: d P( + Q( + R( ) Κάνουμε το μετασχηματισμό Όπου u( είναι γνωστή λύση της δ.ε. και αναγόμαστε στη γραμμική δ.ε. πρώτης τάξης dz ( u( + z( + ( P( u( + Q( ) z P( 34

35 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. ΤΟΥ RICCATI ) Αν κάνουμε το μετασχηματισμό ( v ( P( v( αναγόμαστε στη γραμμική δ.ε. δεύτερης τάξης P ( v + Q( v + R( P( v P( 35

36 ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Οι δ.ε πρώτης τάξης P (, ) + Q(, )d λέγονται πλήρεις δ.ε όταν υπάρχει συνάρτηση u(,) τέτοια ώστε u P(, ), u Q(, ) Οι λύσεις της δ.ε δίνονται από τη σχέση u (, ) c καθώς u u du (, ) + d P(, ) + Q(, )d 36

37 ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Κριτήριο: Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η δ.ε πλήρης, είναι να ισχύει η σχέση P Q, (, ) D πεδίο ορισμού 37

38 ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ) Από τις σχέσεις u P(, ), u Q(, ) υπολογίζουμε την u(,) Και η λύση είναι u (, ) c ) u(, ) P(t, )dt + Q( α, )d c α όπου c αυθαίρετη σταθερά και α κατάλληλη σταθερά (το πρέπει να μπορεί να πάρει την τιμή α) 38

39 ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Όταν P Q αναζητούμε μια συνάρτηση μ(,) τέτοια ώστε η παρακάτω δ.ε να είναι πλήρης μ(, )P(, ) + μ(, )Q(, )d δηλαδή μp μq 39

40 ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Μια τέτοια συνάρτηση μ(z) όπου zz(, z(,) λέγεται ολοκληρωτικός πσράγοντας μ μ(z) e f (z)dz f (z) P Q P z z Q 4

41 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ d d d + a( + β ( d + a( + β ( όπου α(, β(, f( f συνεχείς συναρτήσεις H γενική της λύση είναι το άθροισμα Α) της γενικής λύσης της ομογενούς γραμ. δ.ε και Β) μίας μερικής λύσης της μη-ομογενούς γραμ. δ.ε. f ( (μη-ομογενής) (ομογενής) o ( ( + ω ( cϕ ( + cϕ ( + ω( 4

42 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Δ.Ε. ης ΤΑΞΗΣ d d Η ομογενής γραμ. δ.ε. ης τάξης + a + β (όπου οι συντελεστές α, β είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί) όταν το ρ είναι ρίζα της χαρακτηριστικής της εξίσωσης ρ +αρ+β έχει τις εξής δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις: ϕ ( ρ e, ( ) ρ ϕ e ) αν ρ, ρ R και ρ ρ ρ ϕ ( e, ϕ( e ρ ) αν ρ, ρ R και ρ ρ ρ ϕ ( e 3) αν ρ, ρ συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί ϕ ( e λ λ cos μ sin μ δηλαδή ρ,ρ λ±iμ 4

43 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΛΥΣΕΩΝ Η γραμμική ανεξαρτησία των λύσεων ορίζουσα Wrons ϕ(, ϕ( διαπιστώνεται από την W ( ϕ (, ϕ ( ) ϕ ( ϕ ( ϕ ( ϕ ( Αν είναι W I, οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο I 43

44 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΡΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Για να εφαρμοσθεί αυτή η μέθοδος στη γραμ. δ.ε. ης τάξης πρέπει: d + α Α) α, β να είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί, Β) η f( να έχει ειδική μορφή d + β f ( 44

45 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ i) αν f((β m + β m- + + β m- + β m )e λ τότε: η μερική λύση είναι η όπου: ω( ν Q(e λ Q( προσδιοριστέο πολυώνυμο βαθμού m ν είναι η πολλαπλότητα της ρίζας λ της χαρ. εξ. ρ +αρ+β δηλαδή v αν λ δεν είναι ρίζα της χαρ. εξ. v αν λ είναι απλή ρίζα της χαρ. εξ. ν αν λ είναι διπλή ρίζα της χαρ. εξ. 45

46 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ii) αν f([p (συν+ P (ημ]e λ όπου P (, P ( πολυώνυμα βαθμών m, m αντίστοιχα τότε: η μερική λύση είναι η ω( ν [Q ( συν λ Q( ] e όπου: Q (, Q ( προσδιοριστέα πολυώνυμα βαθμού mma{m,m } ημ ν είναι η πολλαπλότητα της ρίζας λ+i της χαρ. εξ. ρ +αρ+β + 46

47 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ iii) αν όπου: τότε: f i ( f ( είναι της μορφής (i) ή (ii) χωρίζουμε την αρχική μη-ομογενή δ.ε. +α +β f( στις... f ( + f( f ( + α + β f( > ω( + α + β f ( > ( ω + α + β f ( > ω ( και το άθροισμα των μερικών λύσεων ω( ω( + ω( ω ( είναι μερική λύση της αρχικής μη-ομογενής δ.ε. 47

48 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΡΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΩΝ ΣΤΑΘΕΡΩΝ Για να εφαρμοσθεί αυτή η μέθοδος πρέπει να γνωρίζουμε δύο γραμ. ανεξ. λύσεις φ (, φ ( της ομογενούς γραμ. δ.ε. d + α d + β Βήματα: ) Λύνουμε το γραμμικό σύστημα c ( ϕ( + c ( ϕ( c ( ϕ ( + c ( ϕ ( f ( c ( c ( 48

49 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΡΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΩΝ ΣΤΑΘΕΡΩΝ Βήματα: ) Ολοκληρώνουμε τις λύσεις (θεωρώντας σταθερά ολοκλήρωσης μηδέν) c ( c ( g g ( ( c c ( ( g g ( ( 3) Μια μερική λύση της μη ομογενούς γραμ. δ.ε. είναι ω( c( ϕ( + c( ϕ( 49

50 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ n 3 ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Δ.Ε. Για να βρούμε n γραμ. ανεξ. λύσεις της ομογενούς γραμ. δ.ε. n τάξης ( n) ( n ) + n (όπου οι συντελεστές α i είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί) λύνουμε την χαρακτηριστική της εξίσωση n ρ a + a ) αν ρ R απλή ρίζα της χ.ε., αντιστοιχεί η λύση a n a ρ a ρ + a + n e ρ ) αν ρ R ρίζα της χ.ε. με πολλαπλότητα v, αντιστοιχούν οι ν γραμ. ανεξ. λύσεις e, e, ρ ρ ν 3)αν ρλ+iμ ρίζα της χ.ε. με πολλαπλότητα, σε αυτή και τη συζυγή της αντιστοιχούν οι γραμ. ανεξ. λύσεις e..., συνμ, e συνμ,..., λ e ημμ, e ημμ,..., n e ρ λ λ λ n λ e συνμ λ e ημμ 5

51 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER Οι δ.ε. της μορφής n ( n) a n ( n ) + n (όπου οι συντελεστές α i είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί) λέγονται δ.ε. του Euler Θα εργασθούμε για n3 3 Κάνουμε το μετασχηματισμό Και βρίσκουμε τις σχέσεις a + a 3 n f (, + a + a + a f (, > ( ή < > e t αν > ή -e t αν < ( ή ) < ) d d dt d d dt d dt d d d dt dt d dt Αντικαθιστώντας τις στην αρχική δ.ε. του Euler προκύπτουν γραμ. δ.ε 5

52 ΥΠΟΒΙΒΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. Όταν είναι γνωστή μια λύση ( της δ.ε. + a( + β ( πώς θα βρούμε μια δεύτερη λύση ( γραμ. ανεξ. της (? Βήματα: ) Θέτουμε ) Από την αντικατάσταση προκύπτει η δ.ε. 3) Θέτουμε και αναγόμαστε στη δ.ε. πρώτης τάξης που έχει τη γενική λύση ( v( ( με v ( v + v ( + a( ) v ( z( dz ( + [ ( + a( ( ] z z ( g(, ) όπου αυθαίρετη σταθερά 5

53 ΥΠΟΒΙΒΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. 4) Με ολοκλήρωση παίρνουμε v( g(, ) + όπου, αυθαίρετες σταθερές 5) Η δεύτερη λύση είναι ( v( ( ) 53

54 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Δ.Ε. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ Σύστημα n δ.ε. με n άγνωστες συναρτήσεις Ένα σύστημα δ.ε. το οποίο έχει μόνο παραγώγους πρώτης τάξης, όταν λυθεί (αν είναι δυνατόν) ως προς τις παραγώγους του, παίρνει την παρακάτω μορφή που λέγεται κανονική μορφή dt dt dt n f f f n ( t, ( t,... ( t,,,,,..., n,...,,..., n n ) ) ) 54

55 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Δ.Ε. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ Επίλυση για n3 Στόχος: να προκύψει γραμ. δ.ε. n τάξης ως προς τη μία άγνωστη συνάρτηση Παραγωγίζω την έτσι ώστε να προκύψουν οι και και βρίσκω τα και 3 ως προς οποία και αντικαθιστώ στην εξίσωση του Από τις τα οποία Έτσι προκύπτει γραμ.δ.ε. n τάξης από την οποία βρίσκω το Αντικαθιστώντας τις λύσεις βρίσκω και τα και 3 55

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Περιεχόμενα Γράφημα της συνάρτησης f( ), αν p < 0 F( ) = f( ), αν 0 p και F( + p) = F( ), R (δηλ της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( ), 0 p στο R ) Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να κατατάξετε τις διαφορικές εξισώσεις, δηλ να δώσετε την τάξη της, να πείτε αν είναι γραμμική ή όχι, να δώσετε την ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές εξισώσεις

Διαφορικές εξισώσεις Διαφορικές εξισώσεις Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικές εξισώσεις τεχνικές 73 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglyos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ο κλάδος των μαθηματικών που περισσότερο ίσως από κάθε άλλον οφείλει την γέννηση του στην Μηχανική, στην Αστρονομία και στη Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 7. Πρόλογος

Περιεχόμενα 7. Πρόλογος Περιεχόμενα 7 Πρόλογος Πολλά προβλήματα των Φυσικών και γενικότερα των Τεχνικών Επιστημών είναι προβλήματα συμμεταβολής διαφόρων μεγεθών. Η μελέτη αυτών των προβλημάτων αποβλέπει στον προσδιορισμό των

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-156 Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2013 lika@biology.uoc.gr Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 7 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Επανάληψη 1 ου μέρους μαθήματος: Μοντελοποίηση & Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Εισαγωγή 2 ου μέρους μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα . Σκοποί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 72 Fringe: Season 1 Episode 10 73 Επίλυση Δ.Δ.Σ. 2 ης τάξης Έστω το γενικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LYAPUNOV) O Aleksadr Lyapuv (857-98) έθεσε τις βάσεις της μαθηματικής θεωρίας της ευστάθειας που φέρει το όνομά του εμπνευσμένος από μια απλή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookark no dfind. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ. Εξισώσεις διαφορών

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ. Εξισώσεις διαφορών ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ Εξισώσεις διαφορών Εξίσωση διαφορών ονοµάζεται η εξίσωση που ικανοποιείται από τους όρους µιας ακολουθίας y, για =,,,. π.χ. η εξίσωση διαφορών (y + ) (y ) =. Μια ακολουθία α θα λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab

Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Εργαστηριακές Ασκήσεις με χρήση του λογισμικού Matlab Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΚΟΠΟΣ: Ο βασικός σκοπός της άσκησης αυτής είναι η μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Εισαγωγή Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ05-2 Μία κατασκευή λέγεται ότι εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν μετακινηθεί από τη θέση στατικής ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ T.E. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμογών: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί (Σημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapunov)

Ορισμοί (Σημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapunov) Ορισμοί (ημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapuo) Έστω ότι στη γενική περίπτωση το σύστημα περιγράφεται στο χώρο κατάστασης με το μαθηματικό πρότυπο: = f(, t), (t 0 ) = 0 () όπου είναι ένα διάστατο διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία με υλικό από το ΕΑΠ που με βοήθησε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΗΜΕΘΟΔΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

= x. = x1. math60.nb

= x. = x1. math60.nb MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από

Διαβάστε περισσότερα

Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα

Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : =

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : = . Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ++2 Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Λύση : Α) +3 +2 ++2 2 + + 2+2 Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : 2 + 2 H είναι φραγμένη καθώς.

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα