ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς Ν(μ, ) και Ν(μ, ). Ενδιαφερόματε να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά μ - μ. Η προέγγιη που ακολουθείται για την κατακευή αυτού του διατήματος εμπιτούνης βαίζεται υνήθως ε ανεξάρτητα δείγματα, δηλαδή ε δείγματα που επιλέγονται με τρόπο ώτε οι παρατηρήεις τους ενός να είναι ανεξάρτητες των παρατηρήεων του άλλου. Πολλές φορές όμως, όπως θα δούμε την υνέχεια, προκειμένου να ελαχιτοποιήουμε την επίδραη εξωτερικών παραγόντων, επιλέγουμε τα τυχαία δείγματα με τρόπο που οι παρατηρήεις του ενός υνδέονται με τις παρατηρήεις του άλλου χηματίζοντας ζεύγη. Αυτό, για παράδειγμα, υμβαίνει την περίπτωη που έχουμε δείγματα για ειοδήματα υζύγων ή αδελφών ή τις περιπτώεις που έχουμε να υγκρίνουμε τις πωλήεις δύο υποκατατημάτων μιας αλυίδας κατατημάτων ε δύο διαφορετικές τοποθείες. Στις επόμενες τρεις ενότητες (Α, Β, Γ) εξετάζουμε την περίπτωη των ανεξαρτήτων δειγμάτων και, την υνέχεια, την ενότητα που ακολουθεί (Δ), την περίπτωη δειγμάτων που οι παρατηρήεις τους έχουν επιλεγεί κατά ζεύγη. Α. Περίπτωη Γνωτών Διακυμάνεων (Ανεξάρτητα Δείγματα) Όπως είναι γνωτό, μια ημειακή εκτιμήτρια για την διαφορά μ -μ είναι το - όπου, είναι οι δειγματικοί μέοι των δύο δειγμάτων. 34

2 Όπως γνωρίζουμε, και Επομένως, ή ιοδύναμα, Ν (μ, Ν (μ, /) /m ) - Ν μ μ ( μ μ ), + m Z N (0, 1) + m Συνεπώς,το 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για το μ - μ είναι το ± Z1 α/ + m Αυτό είναι ένα ακριβές διάτημα εμπιτούνης. Παρατήρηη: Αν οι πληθυμοί δεν είναι ακριβώς κανονικοί αλλά τα μεγέθη των δειγμάτων και m είναι αρκετά μεγάλα, το διάτημα εμπιτούνης που προαναφέρθηκε μπορεί, λόγω του κεντρικού οριακού θεωρήματος, να χρηιμοποιηθεί ως ένα κατά προέγγιη διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά μ - μ. Παράδειγμα: Προκειμένου να ελεγχθεί η ποιότητα δύο ειδών ελατικών αυτοκινήτων, έγινε ένας έλεγχος ε 100 ελατικά από κάθε είδος τυχαία επιλεγμένα (m100). Ως τοιχείο ποιότητας χρηιμοποιήθηκε ο αριθμός των χιλιομέτρων που τα ελατικά αυτά χρηιμοποιήθηκαν μέχρις ότου φθάουν ε ένα υγκεκριμένο ημείο φθοράς. Τα αποτελέματα αυτά (ε χιλιόμετρα) ήταν ως εξής: x 6400 km Από προηγούμενη πείρα είναι γνωτό ότι y 5100 km

3 Να κατακευαθεί ένα 99% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ -μ. Λύη: Το ζητούμενο διάτημα είναι x y ± Z Για το δείγμα μας έχουμε, 1300 ±.58 (184) ή (85, 1775) Επομένως, με πιθανότητα.99 η διαφορά της μέης διάρκειας ζωής μεταξύ των δύο αυτών ειδών ελατικών έχει μια τιμή το διάτημα (85, 1775). Β. Περίπτωη Αγνώτων Ίων Διακυμάνεων (Ανεξάρτητα Δείγματα) Υποθέτουμε και πάλι ότι Χ Ν (μ, και ότι Χ, Υ είναι ανεξάρτητες. Τότε, ( μ μ ) Z Ν(0, 1) + m Υποθέτουμε ότι. 36 m ) και Υ Ν (μ, Έτω, οι διαπορές των δύο δειγμάτων αντίτοιχα ( αντίτοιχες αμερόληπτες εκτιμήτριες). Λόγω της ανεξαρτηίας, θα έχουμε ότι m V + + m (Οι βαθμοί ελευθερίας της V είναι -1+m-1 +m-). Δοθέντος επίης ότι Ζ και V είναι ανεξάρτητες έχουμε Z T t +m- V ( + m ) *, ) * οι

4 Από τις προηγούμενες χέεις προκύπτει ότι, όπου δηλαδή, p ( μ μ ) T t +m- + m + m + m p p p * ( 1) + (m 1) + m m ( ) + ( ) i i 1 i 1 + m Επομένως το 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ -μ το τη περίπτωη αυτή είναι, i * ± t + m,1 α/ p + p m Παρατήρηη: Η διαπορά p ονομάζεται ταθμιμένη διαπορά (pooled variace). Χρηιμοποιείται δε γιατί έχουμε δύο ανεξάρτητες εκτιμήεις που προέρχονται από δύο διαφορετικά δείγματα για την ίδια ποότητα (το ). Είναι λοιπόν φυικό να κάνουμε χρήη και των δύο αυτών εκτιμήεων λαμβάνοντας όμως υπόψη μας (και δίνοντας την αντίτοιχη βαρύτητα) την ποιότητα της καθεμιάς από αυτές (δηλαδή το πόο ακριβής είναι η καθεμιά από αυτές με βάη το μέγεθος του δείγματος από το οποίο έχει προέλθει). Παρατήρηη: Είναι δυνατόν να αποδειχθεί, είτε μαθηματικά είτε πειραματικά, ότι η ταθμιμένη εκτιμήτρια p της κοινής διαποράς είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια του. Σημείωη: Αν αλλά, m είναι αρκετά μεγάλα, μπορούμε να αντικατατήουμε το με το /(-1) και το με το 37

5 m * /(m-1) την αρχική χέη (αντίτοιχα το με το και το * με το δηλαδή, τις αμερόληπτες εκτιμήτριες των και αντίτοιχα). Τότε ένα κατά προέγγιη 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ - μ είναι το ± Z1 α/ ( 1) + (m 1) ή ιοδύναμα, με τις αμερόληπτες εκτιμήτριες των διαπορών, * ± Z1 α/ + * m Παράδειγμα: Προκειμένου να υγκριθούν οι φοιτητές των τμημάτων Στατιτικής δύο διαφορετικών Πανεπιτημίων, επελέγηαν δύο τυχαία δείγματα από 50 και m60 φοιτητές του ιδίου έτους τους οποίους δόθηκε ένα υγκεκριμένο διαγώνιμα. Τα αποτελέματα το διαγώνιμα αυτό (ε βαθμολογία με κλίμακα 0-100) ήταν ως εξής: x 77 y Να κατακευαθεί ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ - μ της πραγματικής μέης απόδοης των φοιτητών τα δύο αυτά Πανεπιτήμια. Λύη: Υποθέτουμε ότι και ότι η απόδοη τα διαγωνίματα ακολουθεί την κανονική κατανομή. Για την ταθμιμένη διαπορά έχουμε, 50 * *100 p Το 95% διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά μ - μ είναι, ή, ιοδύναμα, 9 t ± 108,.975 (5.60, 1.40) 60 38

6 (Επειδή τους πίνακες της κατανομής t δεν δίνεται τιμή για 16 βαθμούς ελευθερίας, χρηιμοποιούμε, από τους πίνακες της κανονικής κατανομής, την τιμή Ζ Άλλωτε, για τους βαθμούς αυτούς ελευθερίας η κατανομή t προεγγίζεται χεδόν πλήρως από την τυποποιημένη κανονική κατανομή). Σημείωη 1: Μερικές φορές κάποιο από τα άκρα του διατήματος, ή και τα δύο, μπορεί να είναι αρνητικό πράγμα το οποίο αποτελεί ένδειξη ότι η μέη τιμή του δεύτερου πληθυμού υπερβαίνει την μέη τιμή του πρώτου πληθυμού. Σημείωη : Στο προηγούμενο πρόβλημα, δοθέντος ότι τα και m ήταν μεγάλα, μπορούαμε να βρούμε ένα κατά προέγγιη διάτημα εμπιτούνης για το μ - μ χωρίς να υποθέουμε ότι, χρηιμοποιώντας τον αντίτοιχο τύπο που δώαμε παραπάνω. Παρατήρηη: Η χρηιμοποίηη της μεθόδου που αναλύθηκε την περίπτωη που απαιτεί την επιβεβαίωη της υπόθεης αυτής. Όπως θα δούμε αργότερα (τους ελέγχους υποθέεων), υπάρχει τατιτική μεθοδολογία με την οποία μπορούμε να ελέγξουμε την υπόθεη αυτή. Παράδειγμα: Σε ένα εργοτάιο έχει βρεθεί ότι απαιτείται χρόνος περίπου ενός μηνός για να εκπαιδευθεί ένας καινούργιος εργαζόμενος και να φθάει τη μέγιτη δυνατή απόδοη. Στο εργοτάιο αυτό έχει προταθεί μια καινούργια μέθοδος εκπαίδευης για την ελάττωη του χρόνου αυτού. Προκειμένου να ελεγχθεί η αποτελεματικότητα της μεθόδου αυτής, επιλέγονται δύο ομάδες από 9 εργαζόμενους η καθεμία. Οι εργαζόμενοι αυτοί εκπαιδεύονται για μία περίοδο δύο εβδομάδων, την μιά βδομάδα με χρηιμοποίηη της παλιάς μεθόδου και την άλλη με χρηιμοποίηη της καινούργιας μεθόδου. Στην υνέχεια, ανατίθεται ε καθένα από τους εργαζόμενους που εκπαιδεύτηκαν η υναρμολόγηη μιας υκευής (εργαία για την οποία εκπαιδεύονται). Οι χρόνοι (ε λεπτά) που απαιτήθηκαν από τον κάθε εργαζόμενο για να υναρμολογήει το υγκεκριμένο 39

7 αντικείμενο μετά από το χρόνο της εκπαίδευης αυτής δίνονται τον πίνακα που ακολουθεί: ΧΡΟΝΟΣ ΠΟΥ ΑΠΑΙΤΗΘΗΚΕ (ε λεπτά) Συνήθης Μέθοδος Εκπαίδευης Χ Νέα Μέθοδος Εκπαίδευης Υ Να κατακευαθεί ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μεταξύ των μέων χρόνων που απαιτούνται για την υναρμολόγηη του υγκεκριμένου προϊόντος μετά από περίοδο εκπαίδευης δύο εβδομάδων για τη υνήθη και την καινούργια μέθοδο εκπαίδευης. Λύη: Ας υποθέουμε ότι μ Χ και μ είναι οι μέοι χρόνοι που απαιτούνται για τη υναρμολόγηη του προϊόντος μετά από εκπαίδευη με τη υνήθη και τη νέα μέθοδο αντίτοιχα. Ας υποθέουμε ότι η διακύμανη τους μέους χρόνους υναρμολόγηης είναι την πραγματικότητα υνάρτηη των διαφορών που οφείλονται τις προωπικότητες των εργαζομένων και ότι οι διακυμάνεις για τις μετρήεις από τους δύο πληθυμούς μπορούν να θεωρηθούν κατά προέγγιη ίες. Από τα δύο δείγματα μπορούν να υπολογιθούν τα εξής τοιχεία: x 35. y m 9 ( x i x ) ( y y ) i 1 m i 1 i

8 p Επομένως, i 1 ( x x ) + ( y y) i m i 1 + m s p i Από τους πίνακες της κατανομής t t 9+9-,.975 t 16, Αντικαθιτώντας τις τιμές τον τύπο που δίνει το διάτημα εμπιτούνης ± t + m, 1 α/ p m έχουμε, ( ) ± (.10) (4.7) / 9 ή ιοδύναμα, 3.66 ± 4.7 δηλαδή τελικά, (-1.06, 8.38) Επομένως, το εκτιμώμενο 95% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά των μέων χρόνων υναρμολόγηης είναι το (-1.06, 8.38). Λύη με τη χρήη του πακέτου Miitab Η κατακευή του διατήματος εμπιτούνης το πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο Miitab ως εξής: Στο παράθυρο Data ειάγουμε τα δεδομένα ε δυό μεταβλητές π.χ. C1, C. Από την επιλογή tat επιλέγουμε Basic tatistics. Επιλέγουμε -ample t Επιλέγουμε amples i differet colums, το First τοποθετούμε την μεταβλητή C1 και το ecod την μεταβλητή C. 331

9 Επιλέγουμε Assume equal variaces και ΟΚ. MTB > Twoample 95.0 C1 C; UBC> Alterative 0; UBC> Pooled. TWOAMPLE T FOR C1 V C N MEAN TDEV E MEAN C C PCT CI FOR MU C1 - MU C: ( -1.0, 8.4) TTET MU C1 MU C (V NE): T 1.65 P0.1 DF 16 POOLED TDEV 4.7 Στον πίνακα αποτελεμάτων, έχουμε πρώτα τα ονόματα των μεταβλητών (C1, C), μετά τον αριθμό των παρατηρήεων (Ν), τον δειγματικό μέο (Mea), την τυπική απόκλιη (tdev), το τυπικό φάλμα του μέου (E Mea) για κάθε μεταβλητή. Στην υνέχεια, έχουμε το διάτημα εμπιτούνης (95 PCT CI FOR MU C1 - MU C) και τέλος κάποια τοιχεία για τον έλεγχο υπόθεης. Σημείωη: Παρατηρούμε ότι το μήκος του διατήματος που κατακευάαμε είναι πολύ μεγάλο και δεν δίνει την πραγματικότητα πολλές πληροφορίες για ουιατικά υμπεράματα. Σε μια τέτοια περίπτωη, θα ήταν, ίως, χρήιμο να αυξηθεί το μέγεθος του δείγματος και να επαναληφθεί η διαδικαία. Παρατήρηη: Όον αφορά τις υποθέεις που κάναμε για την κατακευή διατημάτων εμπιτούνης την ενότητα αυτή, θα πρέπει να παρατηρήουμε ότι μικρές αποκλίεις από την υπόθεη ότι ο πληθυμός ακολουθεί την κανονική κατανομή δεν επηρεάζουν οβαρά τις ιδιότητες των εκτιμητριών ή τον υντελετή εμπιτούνης το αντίτοιχο διάτημα εμπιτούνης. Από το άλλο 33

10 μέρος όπως είπαμε, θα πρέπει οι δύο υπό μελέτη πληθυμοί να έχουν, κατά προέγγιη τουλάχιτον, ίες διαπορές. Όταν οι διαπορές δεν είναι ίες αλλά ούτε τα μεγέθη των δειγμάτων είναι μεγάλα, τότε δεν ακολουθείται καμμιά από τις διαδικαίες που προαναφέρθηκαν. Στην τελευταία αυτή περίπτωη, ακολουθούμε την παρακάτω διαδικαία. Γ. Περίπτωη Αγνώτων Ανίων Διακυμάνεων (Ανεξάρτητα Δείγματα) Αν έχουμε λόγους να πιτεύουμε ότι οι διακυμάνεις των δύο πληθυμών απέχουν πολύ από το να είναι ίες, θα πρέπει να γίνουν οι εξής αλλαγές τη διαδικαία που εκθέαμε μέχρι τώρα: Η ταθμιμένη εκτιμήτρια p δεν είναι πιά κατάλληλη και θα * * πρέπει να χρηιμοποιηθούν οι δειγματικές διαπορές και των και αντίτοιχα. Επομένως, το 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για το μ Χ - μ Υ τη περίπτωη αυτή είναι, * ± t v, 1 α/ + * m όπου οι βαθμοί ελευθερίας ν της κατανομής t δίνονται από τον τύπο * * ( / + /m ) * * ( / ) ( /m ) v 1 + m 1 Φυικά, το αποτέλεμα τρογγυλοποιείται τον πληιέτερο ακέραιο. Αν τα μεγέθη των δειγμάτων και m είναι μεγάλα, * * χρηιμοποιούμε τις εκτιμήτριες και (αντίτοιχα τις, ) των διαπορών και των δύο πληθυμών και αξιοποιούμε το γεγονός ότι για μεγάλα δείγματα η τατιτική υνάρτηη 333

11 (μ * / + * μ /m ) (μ μ ) /( 1) + /(m 1) ακολουθεί, ύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα, κατά προέγγιη, την κατανομή Ν(0,1). Το διάτημα εμπιτούνης, επομένως, κατακευάζεται όπως την περίπτωη Α. Συγκεκριμένα, το 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ Χ -μ Υ έχει άκρα * ± Z1 α/ / + Παράδειγμα: (Συνέχεια του προηγουμένου παραδείγματος). Αν το τελευταίο παράδειγμα δεν είματε ε θέη να υποθέουμε ιότητα των διαπορών των δύο πληθυμών, θα χρηιμοποιούαμε την τελευταία αυτή μέθοδο για την κατακευή του διατήματος εμπιτούνης οπότε ο αριθμός ν των βαθμών ελευθερίας για την κατανομή t που θα χρηιμοποιούαμε θα ήταν, * /m v Επομένως, το 95% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ Χ -μ Υ είναι, ( ) ± (.10) / / 9 ή ιοδύναμα, 3.66 ± (.10) 495. επομένως, 3.66 ± 4.71 δηλαδή τελικά, (-1.05, 8.37) Παρατηρούμε ότι το διάτημα εμπιτούνης που προέκυψε με την μέθοδο αυτή ελάχιτα διαφέρει από εκείνο που είχαμε υπολογίει προηγουμένως. 334

12 Χρηιμοποίηη του τατιτικού πακέτου TATGRAPHIC Και την περίπτωη των δύο δειγμάτων μπορούμε να χρηιμοποιήουμε το τατιτικό πακέτο TATGRAPHIC για να κάνουμε την ανάλυη που μόλις εξηγήαμε. Από το βαικό μενού επιλέγουμε το ETIMATION AND TETING. Στην υνέχεια, από αυτό επιλέγουμε τη δυνατότητα (TWO AMPLE ANALI). Μετά την ειαγωγή των τοιχείων τα πεδία AMPLE 1 και AMPLE, αντίτοιχα με το F6 παίρνουμε τον πίνακα που ακολουθεί. TWO-AMPLE ANALI REULT AMPLE 1 AMPLE POOLED AMPLE TATITIC:NUMBER OF OB AVERAGE VARIANCE TD. DEVIATION MEDIAN DIFFERENCE BETWEEN MEAN CONF. INTERVAL FOR DIFF. IN MEAN: 95 PERCENT (EQUAL VAR.) AMPLE 1-AMPLE D.F. (UNEQUAL VAR.)AMPLE 1-AMPLE D.F. RATIO OF VARIANCE CONF. INTERVAL FOR RATIO OF VARIANCE: 0 PERCENT AMPLE 1 AMPLE HPOTHEI TET FOR H0:DIFF0 COMPUTED t TATITIC V ALT: NE IG. LEVEL AT ALPHA.05 O DO NOT REJECT H0. 335

13 Στον πίνακα αυτό, έχουμε τις δειγματικές τατιτικές υναρτήεις (sample statistics) για τα δύο δείγματα (AMPLE 1, AMPLE ) και για το ταθμιμένο δείγμα (POOLED). Για κάθε μια από τις περιπτώεις αυτές, ο πίνακας μας δίνει τις τιμές του μέου (AVERAGE), της διαποράς (VARIANCE), της τυπικής απόκλιης (TD. DEVIATION) και της διαμέου (MEDIAN). Στην υνέχεια, δίνει τις διαφορές των δειγματικών μέων (DIFFERENCE BETWEEN MEAN) και το διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά των δύο μέων (CONF. INTERVAL FOR DIFF. IN MEAN) για επίπεδο που επιλέγει ο ερευνητής (την περίπτωή μας έχουμε επιλέξει το 95%). Στην υνέχεια, παρέχονται τα χετικά αποτελέματα για την περίπτωη που η υπόθεη των ίων διαπορών ιχύει (EQUAL VAR.) μαζί με τους βαθμούς ελευθερίας, όπως επίης και για την περίπτωη ανίων διαπορών (UNEQUAL VAR.) μαζί με τους βαθμούς ελευθερίας, πριν από την τρογγυλοποίηη, ύμφωνα με τον τύπο που έχουμε δώει. Έτι, για την περίπτωη των ίων διαπορών δίνει διάτημα εμπιτούνης το ( , ) που προκύπτει από 16 βαθμούς ελευθερίας ενώ για την περίπτωη ανίων διαπορών δίνει διάτημα εμπιτούνης το ( , ) με 15.8 βαθμούς ελευθερίας. Το υπόλοιπο μέρος του πίνακα αναφέρεται τον λόγο των διαπορών επίης και τον έλεγχο υποθέεων για μέες τιμές που θα υναντήουμε αργότερα. Λύη με το πακέτο P Η κατακευή του διαγράμματος ελέγχου της κανονικότητας το πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο P ως εξής: Ειάγουμε τα δεδομένα των δύο μεθόδων εκπαίδευης Χ και Υ ε μια μεταβλητή π.χ.. Ειάγουμε μια καινούργια μεταβλητή π.χ. GR τις οποίας οι τιμές είναι 1 και που υποδηλώνουν ε ποιά μέθοδο εκπαίδευης αντιτοιχεί η κάθε παρατήρηη της μεταβλητής. Από την επιλογή tatistics, επιλέγουμε Compare meas. 336

14 Επιλέγουμε Idepedet-amples T Test. Στο παράθυρο που εμφανίζεται το πεδίο Test Variables, επιλέγουμε την μεταβλητή και το πεδίο Groupig variable, επιλέγουμε την μεταβλητή GR. Επιλέγουμε Defie groups. Στο παράθυρο που εμφανίζεται, επιλέγουμε Use specified groups και το Group 1 βάζουμε την τιμή 1 που αντιτοιχεί την μέθοδο εκπαίδευης Χ και Group βάζουμε την τιμή που αντιτοιχεί την μέθοδο εκπαίδευης Υ και επιλέγουμε cotiue. Στο αρχικό παράθυρο, επιλέγουμε ΟΚ. Group tatistics GR N td. td. Error Mea Deviatio Mea Idepedet amples Test Equal variaces assumed Equal variaces ot assumed Levee's Test for Equality of Variaces F ig. t df t-test for Equality of Meas ig. Mea td. Error 95% Cofidece Iterval of the Differece (-tailed) Differece Differece Lower Upper Στoν πρώτο πίνακα αποτελεμάτων, φαίνονται τα ονόματα των μεταβλητών (ΧΥ, GR), ο αριθμός των παρατηρήεων (Ν), ο δειγματικός μέος (Mea), η τυπική απόκλιη (td. Deviatio) και το τυπικό φάλμα του μέου (td. Error Mea) για κάθε μέθοδο εκπαίδευης. Στον δεύτερο πίνακα αποτελεμάτων, έχουμε δύο ειρές αποτελεμάτων, πρώτα για την περίπτωη που έχουμε ίες διακυμάνεις (παράδειγμα ελίδα 58) και μετά για την περίπτωη που έχουμε άνιες διακυμάνεις (παράδειγμα ελίδα 60). Στην αρχή, υπάρχει ο έλεγχος του Leve (Leve s Test for Equality of Variaces) για το αν μπορούμε να δεχθούμε την υπόθεη ότι οι διακυμάνεις των 337

15 δύο μεταβλητών είναι ίδιες. Βλέπουμε ότι το p-value είναι 0.807, άρα δεχόματε την υπόθεη της ιότητας των διακυμάνεων. Στην υνέχεια, υπάρχουν κάποια τοιχεία που αφορούν τον έλεγχο τατιτικής υπόθεης (που θα δούμε αργότερα) και το διάτημα εμπιτούνης (95% Cofidece Iterval of the Differece). Λύη με τη χρήη του πακέτου Miitab Η κατακευή του διατήματος εμπιτούνης το πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο Miitab ως εξής: Στο παράθυρο Data, ειάγουμε τα δεδομένα ε δυό μεταβλητές π.χ. C1, C. Από την επιλογή tat, επιλέγουμε Basic tatistics. Επιλέγουμε -ample t Επιλέγουμε amples i differet colums, το First τοποθετούμε την μεταβλητή C1 και το ecod την μεταβλητή C και ΟΚ. MTB > Twoample 95.0 C1 C; UBC> Alterative 0. TWOAMPLE T FOR C1 V C N MEAN TDEV E MEAN C C PCT CI FOR MU C1 - MU C: ( -1.1, 8.4) TTET MU C1 MU C (V NE): T 1.65 P0.1 DF 15 Στον πίνακα αποτελεμάτων, έχουμε πρώτα τα ονόματα των μεταβλητών (C1, C), μετά τον αριθμό των παρατηρήεων (Ν), τον δειγματικό μέο (Mea), την τυπική απόκλιη (tdev), το τυπικό φάλμα του μέου (E Mea) για κάθε μεταβλητή. Στην υνέχεια, έχουμε το διάτημα εμπιτούνης (95 PCT CI FOR MU C1 - MU C) και τέλος κάποια τοιχεία για τον έλεγχο υπόθεης. 338

16 Σημείωη 1: Υπάρχει η δυνατότητα τα δεδομένα να ειαχθούν ε μια μεταβλητή και να κατακευάουμε μια δεύτερη μεταβλητή που θα δηλώνει ε ποια μέθοδο εκπαίδευης αντιτοιχεί κάθε παρατήρηη (όπως τον τρόπο ειαγωγής των δεδομένων το P). Σημείωη : Αν θέλουμε διάτημα εμπιτούνης διαφορετικό από 95%, επιλέγουμε Optios το παράθυρο Idepedet-amples T Test και την υνέχεια δηλώνουμε το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούνης και Cotiue. Σημείωη 3: Το πρόβλημα που εξετάαμε την τελευταία ενότητα, το οποίο αναφέρεται ε πληθυμούς με διαφορετικές διαπορές την βιβλιογραφία χαρακτηρίζεται ως πρόβλημα των Behres-Fisher από τα ονόματα των επιτημόνων οι οποίοι πρώτοι το αντιμετώπιαν. Δ. Παρατηρήεις Κατά Ζεύγη Στις τρεις προηγούμενες ενότητες, εξετάαμε μεθόδους κατακευής διατημάτων εμπιτούνης για την διαφορά των μέων τιμών δύο πληθυμών που είναι ανεξάρτητοι με μεθοδολογία που βαίζεται ε επιλογή ανεξαρτήτων τυχαίων δειγμάτων. Υπάρχουν όμως περιπτώεις που οι παρατηρήεις του ενός δείγματος δεν είναι ανεξάρτητες από τις παρατηρήεις το άλλο δείγμα. Η εξάρτηη μπορεί να εμφανιθεί, είτε διότι οι παρατηρήεις τα δύο δείγματα έχουν επιλεγεί κατά ζεύγη με βάη κάποιο χαρακτηριτικό, είτε διότι έχουμε επαναλαμβανόμενες παρατηρήεις πάνω τα ίδια άτομα ή τοιχεία. Και τις δύο αυτές περιπτώεις, η μεταβλητή που χρηιμοποιείται για την μελέτη του προβλήματος είναι εκείνη που αναφέρεται τη διαφορά των τιμών των παρατηρήεων και όχι ' αυτές καθαυτές τις παρατηρήεις. Ένα παράδειγμα προβλήματος που εμπίπτει την πρώτη κατηγορία είναι αυτό που αναφέρεται την μελέτη της αποτελεματικότητας ενός νέου φαρμάκου. Για παράδειγμα, έτω ότι μας ενδιαφέρει αν ένα νέο φάρμακο για την χολητερίνη ελαττώνει τον κίνδυνο καρδιακής προβολής. Όπως είναι φυικό, υπάρχουν και άλλοι παράγοντες που επηρεάζουν τον κίνδυνο καρδιακής 339

17 προβολής, όπως η ηλικία, η κληρονομικότητα, το κάπνιμα, η πίεη κ.λ.π. Αν λοιπόν ε μια τέτοια περίπτωη παίρναμε δύο ανεξάρτητα δείγματα, οι παρατηρήεις θα είχαν μεγάλες τυπικές αποκλίεις μέρος των οποίων θα οφειλόταν ε άλλους παράγοντες και όχι ' αυτούς που θα θέλαμε να εξετάουμε. Ένας τρόπος να αποφύγουμε το πρόβλημα αυτό είναι να πάρουμε ένα τυχαίο δείγμα από άτομα με τα ίδια περίπου χαρακτηριτικά και την υνέχεια να το χωρίουμε ε δύο δείγματα, έτι ώτε ε κάθε άτομο που ανήκει την ελεγχόμενη ομάδα να αντιτοιχεί ένα άτομο της ομάδας που θα υποτεί τη θεραπεία. Η αντιτοίχιη θα γίνει με βάη την ομάδα ηλικίας, το επίπεδο χολητερίνης, τις υνήθειες καπνίματος, την πίεη του αίματος και όλους τους άλλους παράγοντες που είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι επηρεάζουν το ενδεχόμενο καρδιακής προβολής. Με τον τρόπο αυτό, είναι αν να έχουμε, κατά προέγγιη, το ίδιο άτομο ταυτόχρονα και την ελεγχόμενη ομάδα και την ομάδα που θα υποτεί τη θεραπεία. Ως παράδειγμα της δεύτερης κατηγορίας, ας θεωρήουμε την περίπτωη που μας ενδιαφέρει να ελέγξουμε και να υγκρίνουμε την ποιότητα δύο διαφορετικών ειδών λαδιού αυτοκινήτου. Αν πάρουμε δύο ανεξάρτητα δείγματα και ελέγξουμε την απόδοη της καθεμιάς από τις δύο μάρκες λαδιού, ε καθένα από τα δύο δείγματα είναι αναμενόμενο να έχουμε μεγάλες αποκλίεις που να οφείλονται ε άλλους παράγοντες (π.χ. κυβιμός αυτοκινήτου, ποιότητα ελατικών κ.λ.π.) και όχι ε αυτόν που πραγματικά θέλουμε να ελέγξουμε. Σε τέτοιες περιπτώεις, παίρνουμε ένα μόνο τυχαίο δείγμα από αυτοκίνητα, τοποθετούμε το λάδι της μιας κατακευάτριας εταιρείας τα αυτοκίνητα αυτά και ελέγχουμε τα χιλιόμετρα που τα αυτοκίνητα αυτά θα διανύουν μέχρις ότου τα λάδια φθάουν ε ένα υγκεκριμένο επίπεδο φθοράς. Στην υνέχεια, χρηιμοποιούμε τα ίδια αυτοκίνητα (κατά προτίμηη με τους ίδιους οδηγούς και κάτω από τις ίδιες υνθήκες οδήγηης) και ελέγχουμε την δεύτερη μάρκα λαδιού όον αφορά τις αποτάεις που διανύονται μέχρις ότου το λάδι φθάει το ίδιο επίπεδο φθοράς όπως και προηγούμενα. Και τις δύο περιπτώεις που προαναφέραμε, θα έχουμε δύο ειρές μετρήεων Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1,Υ,...,Υ. 340

18 Δοθέντος όμως ότι τα δείγματα δεν θα είναι ανεξάρτητα, θεωρούμε ότι έχουμε ζευγάρια παρατηρήεων (Χ i,υ i ), i1,,...,. Στην υνέχεια θεωρούμε τις διαφορές των παρατηρήεων D i i - i, i1,,...,. Καταλήγουμε δηλαδή τελικά ε ένα πρόβλημα παρατηρήεων D 1, D,..., D, οπότε η ανάλυή μας θα είναι ανάλυη που αναφέρεται ουιατικά ε ένα μόνο δείγμα. Για το δείγμα των διαφορών θα έχουμε, ή, ιοδύναμα, D D i D ( D i D) i 1 ( D i D) * i 1 D 1 Ακολουθώντας πιά τη γνωτή μεθοδολογία, θα έχουμε ότι το 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά των μέων τιμών των δύο πληθυμών μ - μ θα είναι το, D D ± t 1, 1 α/ 1 ή ιοδύναμα, * D D ± t 1, 1 α/ Σημείωη: Εξυπακούεται ότι η υμπεραματολογία αυτή ιχύει με την προϋπόθεη ότι οι διαφορές των παρατηρήεων ακολουθούν την κανονική κατανομή. Παράδειγμα: Προκειμένου να γίνει ύγκριη της ποιότητας δύο ειδών λαδιού αυτοκινήτου, μια εταιρεία προταίας καταναλωτών ενδιαφέρεται να κατακευάει ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά μ D μ -μ της μέης κατανάλωης βενζίνης (μετρούμενης ε χιλιόμετρα/λίτρο) με την χρηιμοποίηη των δύο διαφορετικών i

19 ειδών λαδιού. Για τον λόγο αυτό, χρηιμοποιούνται τέερα αυτοκίνητα τα οποία δοκιμάζονται ε απόταη 1000km, την πρώτη φορά, χρηιμοποιώντας το λάδι μηχανής τύπου Α και την δεύτερη φορά, χρηιμοποιώντας το λάδι μηχανής τύπου Β. Οι μετρήεις τις οποίες η εταιρεία κατέληξε δίνονται τον πίνακα που ακολουθεί. Λάδι Α: Χ i Α υ τ ο κ ί ν η τ ο Λάδι Β: Υ ι D i i - i Από τις παρατηρήεις αυτές έχουμε: * D D Δοθέντος ότι t 0.975,3 3.18, θα έχουμε ότι το 95% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ D μ - μ θα είναι το, ± ή (-0.485, 1.775) Λύη με το πακέτο P Η κατακευή του διατήματος εμπιτούνης το πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο P ως εξής: Ειάγουμε τα δεδομένα για το λάδι Α τη μεταβλητή π.χ. Χ. Ειάγουμε τα δεδομένα για το λάδι Β τη μεταβλητή π.χ. Υ. Από την επιλογή tatistics, επιλέγουμε Compare meas. Επιλέγουμε Paired amples T-test. Στο παράθυρο που εμφανίζεται, επιλέγουμε τις μεταβλητές μας (Χ και Υ) τις τοποθετούμε το πεδίο Paired Variables και επιλέγουμε ΟΚ. 34

20 Pair 1 Paired amples tatistics td. td. Error Mea N Deviatio Mea Paired amples Correlatios Pair 1 & N Correlatio ig Paired amples Test Pair 1 - Paired Differeces 95% Cofidece Iterval of the td. td. Error Differece ig. Mea Deviatio Mea Lower Upper t df (-tailed) Στoν πρώτο πίνακα αποτελεμάτων, φαίνονται τα ονόματα των μεταβλητών (Χ, ), ο δειγματικός μέος (Mea), ο αριθμός των παρατηρήεων (Ν), η τυπική απόκλιη (td. Deviatio) και το τυπικό φάλμα του μέου (td. Error Mea) για κάθε λάδι. Στον δεύτερο πίνακα αποτελεμάτων, έχουμε την υχέτιη μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ. Στον τρίτο πίνακα, έχουμε κάποια τοιχεία που αφορούν τον έλεγχο τατιτικής υπόθεης (που θα δούμε αργότερα) και το διάτημα εμπιτούνης (95% Cofidece Iterval of the Differece). Σημείωη: Αν θέλουμε διάτημα εμπιτούνης διαφορετικό από 95%, επιλέγουμε Optios το παράθυρο Paired-samples T Test και την υνέχεια, δηλώνουμε το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούνης και Cotiue. Λύη με τη χρήη του πακέτου Miitab Η κατακευή του διατήματος εμπιτούνης το πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο Miitab ως εξής: Στο παράθυρο Data, ειάγουμε τα δεδομένα ε δυο μεταβλητές π.χ. C1,C για κάθε τύπο λαδιού. 343

21 Από την επιλογή Calc, επιλέγουμε Mathematical Expressios. Στο πεδίο Variable, τοποθετούμε τη μεταβλητή C3. Στο πεδίο expressio, γράφουμε C1-C και επιλέγουμε ΟΚ. Από την επιλογή tat, επιλέγουμε Basic tatistics. Επιλέγουμε 1-ample t Στο παράθυρο που ανοίγει, επιλέγουμε τη μεταβλητή που έχουμε περάει τη διαφορά των δεδομένων δηλαδή C3 και την τοποθετούμε το πεδίο Variables. Επιλέγουμε διάτημα εμπιτούνης (Cofidece Iterval) και το πεδίο level επιλέγουμε 95% και ΟΚ. MTB > TIterval 95.0 C3. N MEAN TDEV E MEAN 95.0 PERCENT C.I. C ( , 1.91) Στον πίνακα αποτελεμάτων, έχουμε πρώτα το όνομα της μεταβλητής (C3), μετά τον αριθμό των παρατηρήεων (Ν), τον δειγματικό μέο (Mea), την τυπική απόκλιη (tdev), το τυπικό φάλμα του μέου (E Mea) και τέλος το διάτημα εμπιτούνης (95.0% C.I.). Σημείωη: Η επιλογή Test mea χρηιμοποιείται για τον έλεγχο υποθέεων όπως θα δούμε τη υνέχεια. Παρατήρηη: Η ανάλυη του προβλήματος με παρατηρήεις κατά ζεύγη το τατιτικό πακέτο tatgraphics δίνεται με την θεώρηη των διαφορών των παρατηρήεων των δύο δειγμάτων ως παρατηρήεις που προέρχονται από ένα δείγμα και την τη υνέχεια ανάλυή τους με την μέθοδο του ενός δείγματος. Σχηματική Παρουίαη της Διαδικαίας Κατακευής Διατημάτων Εμπιτούνης για την Διαφορά Μέων Τιμών Κανονικών Πληθυμών Ο τρόπος κατακευής διατημάτων εμπιτούνης για την διαφορά μέων τιμών κανονικών πληθυμών και οι ενέργειες που πρέπει να γίνουν ανάλογα με την χέη των διακυμάνεων των δύο 344

22 αυτών πληθυμών μπορεί να παρουιαθεί με το παρακάτω διάγραμμα. Διατήματα Εμπιτούνης για την Διαφορά Μέων Τιμών Κανονικών Πληθυμών ΑΡΧΗ ανεξάρτητα δείγματα ΟΧΙ D ± t 1,1 α/ * D NAI, γνωτά ΝΑΙ ± Z 1 α/ + m OI, * * ΟΧΙ ΟΧΙ μεγάλα δείγματα ΝΑΙ ΝΑΙ * * p p ± t ν, 1 α/ + ± t ν, 1 α/ + m m ν + m - * * [ / + /m] * * ( 1)x + (m 1) ν y *4 *4 p / /m + m + 1 m 1 p ταθμιμένη διαπορά 345

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1 ιάτηµα εµπιτούνης της µ - µ δύο ανεξάρτητων τ.µ. X και X Μέες τιµές: µ και µ ιαπορές: και είγµα µεγέθους, από τον πληθυµό τηςx, X ειγµατικές µέες τιµές: και ειγµατικές διαπορές: και Θέλουµε ναεκτιµήουµε

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

Μαντζούνη, Πιπερίγκου, Χατζή. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο

Μαντζούνη, Πιπερίγκου, Χατζή. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δύο δείγματα από κανονική κατανομή Έστω Χ= ( Χ, Χ,..., Χ ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) μεγέθους n και 1 n 1 1 Y = (Y, Y,...,Y ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) 1 n 1 Χ Y ( µ µ ) S σ Τ ( Χ,Y)

Διαβάστε περισσότερα

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή Έστω Χ= ( Χ, Χ,..., Χ ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) μεγέθους n και 1 n 1 1 Y = (Y, Y,..., Y ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) 1 n 1 Χ Y ( µ µ )

Διαβάστε περισσότερα

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

ειγματοληπτικές κατανομές

ειγματοληπτικές κατανομές ειγματοληπτικές καταομές Σκοπός της τατιτικής υμπεραματολογίας: η εξαγωγή ατικειμεικώ υμπεραμάτω για έα πληθυμό από περιοριμέο αριθμό δεδομέω (δείγμα). Με τη περιγραφική τατιτική υχά μπορούμε α βγάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τον έλεγχο της υπόθεσης της ισότητα δύο μέσων τιμών με εξαρτημένα δείγματα. Εξαρτημένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Α εξάμηνο 2010-2011 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Ποιοτικές και Ποσοτικές μέθοδοι και προσεγγίσεις για την επιστημονική έρευνα users.sch.gr/abouras

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Είναι φυικό ότι ο δειγματικός υντελετής R, ως μια τατιτική υνάτηη, είναι μιά τυχαία μεταβλητή. Οπως είπαμε ήδη μποεί να χηιμοποιηθεί αν εκτιμήτια του. Για να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές,

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes ΚΕΑΛΑΙΟ 6 Τιμολόγηη Δικαιμάτν ε υνεχή χρόνο Το μοντέλο τν Blk nd hol 6.. Το Μοντέλο τν Blk hol ή Blk hol Mon Έτ μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [0 ] για κάποιο δεδομένο Τ. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 5 η 6 η. Υποδειγµα Ιορροπίας τις Κεφαλαιαγορές Υπόδειγµα Αποτίµηης Περιουιακών Στοιχείων Γραµµή Αξιογράφων Συντελετής βήτα

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 5. Στατιστική συµπερασµατολογία για ποσοτικές µεταβλητές: Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήµατα εµπιστοσύνης

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 5. Στατιστική συµπερασµατολογία για ποσοτικές µεταβλητές: Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήµατα εµπιστοσύνης ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5. Στατιστική συµπερασµατολογία για ποσοτικές µεταβλητές: Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήµατα εµπιστοσύνης ιαστήµατα εµπιστοσύνης και έλεγχοι υποθέσεων για τη µέση τιµή Για µια ποσοτική µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Άσκηση 1 η Ένας παραγωγός σταφυλιών ισχυρίζεται ότι τα κιβώτια σταφυλιών που συσκευάζει

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F Άσκηση 0, σελ. 9 από το βιβλίο «Μοντέλα Αξιοπιστίας και Επιβίωσης» της Χ. Καρώνη (i) Αρχικά, εισάγουμε τα δεδομένα στο minitab δημιουργώντας δύο μεταβλητές: τη x για τον άτυπο όγκο και την y για τον τυπικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

Δείγμα (μεγάλο) από οποιαδήποτε κατανομή

Δείγμα (μεγάλο) από οποιαδήποτε κατανομή ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 4ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δείγμα από κανονική κατανομή Έστω Χ= Χ Χ Χ τ.δ. από Ν µσ τότε ( 1,,..., n) (, ) Τ Χ Χ Ν Τ Χ σ σ Χ Τ Χ n Χ S µ S µ 1( ) = (0,1), ( ) = ( n 1)

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

PDF processed with CutePDF evaluation edition

PDF processed with CutePDF evaluation edition Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων - 0-0303 Περιεχόµενα της Ενότητας ειγµατοληψία και Κατανοµές Ενότητα η. ειγµατοληψία Πιθανοτικέςκαι και µη πιθανοτικές µέθοδοι. Εκτιµητές, ηµειακές εκτιµήεις, φάλµα δειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5 η : Επαγωγική Στατιστική ΙΙ Ανάλυση ποσοτικών δεδομένων. Δημήτριος Σταμοβλάσης Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής

Ενότητα 5 η : Επαγωγική Στατιστική ΙΙ Ανάλυση ποσοτικών δεδομένων. Δημήτριος Σταμοβλάσης Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην Ανάλυση Ερευνητικών Δεδομένων στις Κοινωνικές Επιστήμες Με χρήση των λογισμικών IBM/SPSS και LISREL Ενότητα 5 η : Επαγωγική

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα Θέλοντας να εξετάσουμε τις μέσες τιμές δύο πληθυσμών πρέπει να διακρίνουμε κατά τα γνωστά από τη θεωρία δύο περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης.... Ειαγωγή.... Απόδοη και Κίνδυνος....3 Διαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων... 5.4 Το Αποτελεματικό Μέτωπο... 7.5 Τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

1991 US Social Survey.sav

1991 US Social Survey.sav Παραδείγµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας µε ένα δείγµα Στα παραδείγµατα χρησιµοποιείται απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους 1 από το αρχείο δεδοµένων 1991 US Social Survey.sav Το δείγµα λαµβάνεται µε την διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Σημειακή εκτίμηη και εκτίμηη με διάτημα Εκτιμήτριες υαρτήεις και μέθοδοι εκτίμηης Σημειακή εκτίμηη Ιδιότητες τω εκτιμητριώ 3 Εκτίμηη με διάτημα Διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Ο πληθυμός

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ περισσότερων από δύο ανεξάρτητων δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει ενός ανεξάρτητου παράγοντα (Ανάλυση διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα ως προς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ ΤΟΥ ΑΝΘΡΑΚΑ ΣΠΑΤΑΛΟΥ ΕΛΕΑΝΑ ΑΜ: /4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 7

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συχέτιη Διγαλάκης Βαίλης Η έννοια της υχέτιης Για τυχαίες μεταβλητές ΧΥ: Συχέτιη: ΕΧ Υ Συμμεταβλητότητα: Συντελετής υχέτιης: ρ / Έτω ΧΥ Τ.Μ. με ΥΧb και ΕΧμ Χ ΕΧ-μ Χ Χ Υπολογίτε

Διαβάστε περισσότερα

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Κλωνάρης Στάθης ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με τις τεχνικές εκτίμησης παραμέτρων για ένα πληθυσμό όπως: τον Μέσο µ και το ποσοστό p Θα συνεχίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να κατανοηθεί η έννοια της εκτίµησης σηµείου και της εκτίµησης διαστήµατος. Επίσης να κατανοηθεί η έννοια της δειγµατικής κατανοµής παραµέτρου και να υπολογισθούν µε χρήση της Κεντρικού

Διαβάστε περισσότερα

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς Συµπηρωµατικές Ακήεις Στατιτικής ΙΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΑ -3 Άκ Η κατανοµή των βαρών των µαθητών ενός χοείου είναι κανονική

Διαβάστε περισσότερα