ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ 5 Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάαιο θα δούµε ότι οι ροπές µιας τυχαίας µεταβητής µπορούν να υποογιστούν µε τη βοήθεια κατάηων συναρτήσεων Αυτές οι συναρτήσεις καούνται ροπογεννήτριες Θα παρουσιάσουµε τον τρόπο µε τον οποίο αυτές οι συναρτήσεις χρησιµοποιούνται για τον υποογισµό των ροπών µιας τυχαίας µεταβητής 5 Ροπογεννήτριες Η ροπογεννήτρια είναι µία συνάρτηση που χρησιµεύει για τον υποογισµό όων των ροπών,,k µιας τυχαίας µεταβητής τάξεως µ, Ορισµός Ροπογεννήτρια Η ροπογεννήτρια mom gg fuco µιας τυχαίας µεταβητής είναι η πραγµατική συνάρτηση µε τύπο για κάθε που ανήκει σε ένα διάστηµα της µορφής δ, δ, δ > Αν η τυχαία µεταβητή είναι διακριτή µε φορέα S και συνάρτηση πιθανότητας f x, η x ροπογεννήτρια της θα δίνεται από τον τύπο f x, < δ, ενώ, αν η τυχαία µεταβητή είναι συνεχής µε συνάρτηση πυκνότητας f x, η ροπογεννήτρια της θα δίνεται από τον τύπο x f x dx, < δ Σηµειώνουµε ότι η ποσότητα x f x dx x S είναι ο µετασχηµατισµός Lplc της συνάρτησης f x Όπως φαίνεται από τον προηγούµενο ορισµό, η ροπογεννήτρια δεν υπάρχει για κάθε περιοριζόµαστε σε εκείνες τις τιµές του R για τις οποίες υπάρχει σύγκιση R αά d d Έχουµε E, όπου έχουµε υποθέσει ότι µπορούµε να εναάξουµε τη d d d θέση των και E Αυτή η ενααγή των θέσεων είναι εν γένει επιτρεπτή Έχουµε ότι E d d d d Παραγωγίζοντας δύο φορές την έχουµε E d d d 3

2 Άρα, E Στη γενική περίπτωση, η οστή παράγωγος της ροπογεννήτριας της δίνεται από τον τύπο, από τον οποίο συνεπάγεται ότι µ E Συνεπώς, η ροπή τάξεως µ της είναι ίση µε την τιµή της οστής παραγώγου της στο σηµείο Αν είναι η ροπογεννήτρια της τυχαίας µεταβητής, τότε E Η επόµενη πρόταση είναι πού! σηµαντική και παρατίθεται χωρίς απόδειξη Πρόταση 5 Η ροπογεννήτρια µιας τυχαίας µεταβητής χαρακτηρίζει µονοσήµαντα την κατανοµή της, δηαδή αν, είναι δύο τυχαίες µεταβητές µε ροπογεννήτριες,, αντίστοιχα και αν για κάποιο δ >, ισχύει ότι, για κάθε δ, δ, τότε οι τυχαίες µεταβητές και έχουν την ίδια κατανοµή Έστω µία τυχαία µεταβητή µε ροπογεννήτρια και, b δύο πραγµατικοί αριθµοί Τότε, η ροπογεννήτρια του γραµµικού συνδυασµού b + b θα δίνεται από τον τύπο: Παράδειγµα Η ροπογεννήτρια της διακριτής τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο: xp Να υποογιστεί η µέση τιµή και η διακύµανση της τυχαίας µεταβητής Λύση Είναι και + Εποµένως E, E E V x Παράδειγµα Έστω µία τυχαία µεταβητή µε συνάρτηση πιθανότητας f x c, x,, K, όπου c είναι µία πραγµατική σταθερά α Να βρεθεί η ροπογεννήτρια της β Να βρεθεί η τιµή της σταθεράς c γ Να υποογιστεί η µέση τιµή και η διακύµανση της δ Να δοθεί ο τύπος της ροπογεννήτριας της τυχαίας µεταβητής 3 + x x c Λύση α f x c, c < c x x c β Επειδή έχουµε c Εποµένως,, < l c γ Παραγωγίζοντας δύο φορές τη ροπογεννήτρια βρίσκουµε 4

3 , + 3 Εποµένως, E, E 6, V E 3 5 δ Είναι 3, για < l Παράδειγµα 3 Η ροπογεννήτρια µιας τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο: xp, R α Να βρεθεί η τιµή της σταθεράς R β Να δειχτεί ότι οι ροπές E,,, K της τυχαίας µεταβητής δίνονται από τον τύπο E, αν περιττός και E 3L, αν,,, K Λύση α Από τη συνθήκη βρίσκουµε β Λόγω της σχέσης E ο υποογισµός των ποσοτήτων E µπορεί να γίνει αν! αναπτύξουµε τη συνάρτηση σε σειρά ως προς γύρω από το µηδέν και εντοπίσουµε το συντεεστή του Έχουµε xp!! Εποµένως, για,, K, ο!!!! συντεεστής του! για είναι ίσος µε µηδέν ενώ ο συντεεστής του! L L! L L για είναι:! Η ισότητα L L αποδεικνύεται εύκοα µε επαγωγή επί του Συνεπώς, E, αν και E 3L, αν Θα µπορούσαµε να προσδιορίσουµε τις ροπές E,,, K, αν παραγωγίζουµε συνεχώς τη ροπογεννήτρια και στη συνέχεια χρησιµοποιούσαµε τον τύπο: E,,, K Στην περίπτωσή µας, η διαδικασία που χρησιµοποιήσαµε δίνει το αποτέεσµα µε ευκοότερο τρόπο Παράδειγµα 4 Έστω µία διακριτή τυχαία µεταβητή για την οποία ισχύει ότι: E 6,,, K α Να δειχτεί ότι η ροπογεννήτρια της τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο: 4+ 6, R β Να δειχτεί ότι η τυχαία µεταβητή παίρνει µόνο δύο τιµές, µε αντίστοιχες πιθανότητες 4 και 6 5

4 Λύση α Χρησιµοποιούµε τον τύπο: E + και βρίσκουµε! !, R β Έστω µία διακριτή τυχαία µεταβητή η οποία παίρνει µόνο τις τιµές και µε αντίστοιχες πιθανότητες 4 και 6, δηαδή f y P y 4, αν y και f y P y 6, αν y Τότε θα έχουµε y f y f + f 4+ 6, R Επειδή, R, οι τυχαίες y µεταβητές και θα έχουν την ίδια κατανοµή Στο ίδιο συµπέρασµα θα καταήξουµε αν γράψουµε τη ροπογεννήτρια στη µορφή x f x και παρατηρήσουµε ότι για να ισχύει η σχέση x x x f x 4+ 6 για κάθε R θα πρέπει f x 4, αν x, f x 6, αν x και f x, αού θ x Παράδειγµα 5 Για την τυχαία µεταβητή µε συνάρτηση πυκνότητας f x θ I x, όπου, x, I, x, θ > και > σταθερές παράµετροι, να υποογιστούν:, x, α Η συνάρτηση κατανοµής x P x της τυχαίας µεταβητής F και η πιθανότητα P < < + β Η ροπογεννήτρια, για <θ γ Να υποογιστεί η µέση τιµή E και η διασπορά v θ y θ x Λύση α Είναι F x P x θ dy, x x >, P < < + + f x dx + + f x dx θ θ x dx θ β x x θ θ θ dx, < θ θ + θ γ Μετά από πράξεις, έχουµε E, θ v θ E E E 6

5 5 Παραδείγµατα υποογισµών Παράδειγµα 6 ιωνυµική κατανοµή Έστω ~ B, p, όπου θετικός ακέραιος και p [, ] Τότε Είναι p + p x x x x x p p p p p + p x x x x x x Η τεευταία ισότητα είναι συνέπεια του διωνυµικού αναπτύγµατος + b b,, b R x x Στη συνέχεια θα υποογίσουµε τη µέση τιµή και τη διασπορά της τυχαίας µεταβητής Είναι p + p p και συνεπώς p Επίσης, p + p p + p + p p και εποµένως E p + p Άρα, V E E p + p p p p Παράδειγµα 7 Κατανοµή Posso Έστω ~ Posso, > Τότε Είναι x x x E P x x! x! x x x x Στη συνέχεια θα υποογίσουµε τη µέση τιµή και τη διασπορά της τυχαίας µεταβητής Είναι και συνεπώς Επίσης, + και εποµένως E + Άρα, E E V 3 Παράδειγµα 8 Έστω ότι η ροπογεννήτρια µιας τυχαίας µεταβητής είναι, R Ποια είναι η τιµή της πιθανότητας P ; Λύση Παρατηρούµε ότι η είναι η ροπογεννήτρια της Posso3 Από την Πρόταση 3 έπεται ότι 3 ~ Posso 3 Συνεπώς, P 7

6 Παράδειγµα 9 Εκθετική κατανοµή Έστω ~ Εκθετική, > Τότε, < x x x Είναι dx dx, για < Παρατηρούµε ότι η ροπογεννήτρια της Εκθετικής κατανοµής ορίζεται µόνο για εκείνες τις τιµές του που είναι µικρότερες του Στη συνέχεια θα υποογίσουµε τη µέση τιµή και τη διασπορά της τυχαίας µεταβητής µε χρήση ροπογεννητριών Είναι και 3 Για, V Άρα, E E και Παράδειγµα Τυπική κανονική κατανοµή Έστω Z ~ N, z z z xp dz π π Z z Είναι Z E dz z z xp + dz dz dy π π π y Στην προτεευταία ισότητα θέσαµε y z Επιπέον, φ Z Z Παράδειγµα Κανονική κατανοµή Έστω ~ N µ, σ µ Από την Πρόταση 3 έχουµε Z ~ N, Χρησιµοποιούµε τα αποτεέσµατα του προηγούµενου σ παραδείγµατος και έχουµε σz+ µ µ E σz µ Z σ σ µ σ xp + µ σ σz+ µ µ σz µ µ σ Επιπέον έχουµε φ E φz σ xp µ Στη συνέχεια θα υποογίσουµε τη µέση τιµή και τη διασπορά της µε τη χρήση ροπογεννητριών Είναι σ µ + σ xp + µ σ σ και µ + σ xp + µ + σ xp + µ Για, µ, E µ +σ 8

7 Εποµένως, E E + V µ σ µ σ Παράδειγµα Έστω ~ Gmm, Να βρεθεί η ροπογεννήτρια της u u du x x x u Είναι x dx x dx u du Γ Γ Γ Γ, < Στην τρίτη ισότητα θέσαµε u x Στη συνέχεια θα υποογίσουµε τη µέση τιµή και τη διασπορά της µε τη χρήση των ροπογεννητριών Είναι + + και, < + Για, + και + Άρα, V E E 53 Κατανοµή του αθροίσµατος ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών Η Πρόταση 35 µπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση των δτµ, Η µέση τιµή µιας συνάρτησης g, της δτµ, είναι E [ g, ] g x, y p x, y, αν η δτµ, είναι διακριτή µε από κοινού y x συνάρτηση πιθανότητας p x, y, ενώ E [ g, ] g x, y f x, y dxdy, αν η δτµ, είναι συνεχής µε από κοινού συνάρτηση πυκνότητας f x, y Ισχύει η ακόουθη πρόταση Πρόταση Έστω τυχαίες µεταβητές, που ορίζονται στον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο Ω, I, P Αν οι, είναι ανεξάρτητες τότε E [ g h ] E[ g ] E[ h ], όπου g και h είναι πραγµατικές συναρτήσεις Απόδειξη Θα αποδείξουµε την πρόταση στην περίπτωση κατά την οποία οι τυχαίες µεταβητές και είναι συνεχείς Η απόδειξη είναι παρόµοια στην περίπτωση κατά την οποία οι και είναι διακριτές τυχαίες µεταβητές Έστω f x, y η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας της διδιάστατης δτµ, και f, f οι συναρτήσεις πυκνότητας των, ιαδοχικά, έχουµε g x h y f x, y dxdy g x h y f x f y dxdy h y f y dy 9 g x f x E[ g h ] dx E[ h ] E[ g ]

8 Αν, είναι δύο ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές και,, + είναι οι ροπογεννήτριες των +,, +, αντίστοιχα, διαδοχικά έχουµε E + Υποθέτουµε ότι η πραγµατική µεταβητή του παραπάνω τύπου παίρνει τιµές σε ένα κατάηο διάστηµα σύγκισης των ροπογεννητριών Ο παραπάνω τύπος επεκτείνεται άµεσα µε επαγωγή µε συνέπεια η ροπογεννήτρια του αθροίσµατος πεπερασµένου πήθους ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών ισούται µε το γινόµενο των ροπογεννητριών τους Τα παραπάνω αποτεέσµατα µας βοηθούν να προσδιορίσουµε την κατανοµή του αθροίσµατος πεπερασµένου πήθους ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών Στη συνέχεια παραθέτουµε τρία σχετικά παραδείγµατα Παράδειγµα 3 Αν ~ Posso και ~ Posso, και, είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές, τότε + ~ Posso + Λύση Η ύση θα δοθεί µε δύο τρόπους, > ος τρόπος Το ενδεχόµενο { + },,, K µπορεί να γραφεί ως η τοµή των ξένων µεταξύ τους ενδεχοµένων { } και { },, K, ιαδοχικά έχουµε P [ + ] P[, ] P[ ] P[ ]!! + +! + Άρα, + ~ Posso +!!!!!! + ος τρόπος Έστω,, + οι ροπογεννήτριες των,, +, αντίστοιχα Τότε, αφού οι, είναι ανεξάρτητες, ισχύει ότι + Όµως, και Άρα, xp{ + + }, R + Άρα, προκύπτει άµεσα ότι + ~ Posso + Το αποτέεσµα του προηγούµενου παραδείγµατος µπορεί να γενικευτεί για την περίπτωση που έχουµε, K, ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τέτοιες ώστε ~ Posso,, K, Τότε +L+ ~ Posso +L + Παράδειγµα 4 Αν ~ B, p, ~ B m, p και, είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές, τότε + ~ B + m, p 3

9 Λύση Έστω, +, οι ροπογεννήτριες των,, +, αντίστοιχα Τότε, αφού οι, είναι ανεξάρτητες, ισχύει ότι + Όµως, έχουµε m p + p Άρα, p + p και + m η p + p Άρα, προκύπτει άµεσα ότι + ~ B + m, p + Το αποτέεσµα του προηγούµενου παραδείγµατος µπορεί να γενικευτεί για την περίπτωση που έχουµε, K, ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τέτοιες ώστε ~ B, p,, K, Τότε +L + ~ B +L +, p Παράδειγµα 5 Αν ~ N µ, σ, ~ N µ, σ και, είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές, τότε + b ~ N µ + bµ, σ + b, όπου, b R Λύση Έστω σ, + b, οι ροπογεννήτριες των,, + b, αντίστοιχα Αφού, ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές, διαδοχικά έχουµε + b + b b + b E b Χρησιµοποιούµε κατάηα αποτεέσµατα του Κεφααίου 3 και έχουµε σ σ b σ + b σ xp + µ xp + µ b xp + µ + b, + b µ Άρα, προκύπτει άµεσα ότι + b ~ N µ + bµ, σ + b σ R Το αποτέεσµα του προηγούµενου παραδείγµατος µπορεί να γενικευτεί για την περίπτωση που έχουµε, K, ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τέτοιες ώστε ~ N µ, σ,, K, Τότε +L + ~, N, µ σ όπου,, K R 3

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ΙΣΧΥΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 6 Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάαιο θα παρουσιάσουµε τα πιο σηµαντικά θεωρητικά αποτεέσµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων που είναι τα Οριακά Θεωρήµατα τα οποία ταξινοµούνται σε δύο κατηγορίες Στη πρώτη κατηγορία συµπεριαµβάνονται οι Νόµοι των Μεγάων Αριθµών οι οποίοι δίνουν τη θεωρητική βάση της διαισθητικής και πειραµατικής διαπίστωσης των Μαθηµατικών του 8 ου -9 ου αιώνα σύµφωνα µε την οποία, αν επαναάβουµε ένα πείραµα τύχης ποές φορές τότε ο στατιστικός ορισµός της πιθανότητας που αποδίδεται στον Vo ss είναι αηθής Επιπέον οι Νόµοι των Μεγάων Αριθµών συνιστούν ένα ισχυρό εργαείο για τη µεέτη διάφορων θεωρητικών και εφαρµοσµένων προβηµάτων Πιθανοτήτων και Στατιστικής Στη δεύτερη κατηγορία συµπεριαµβάνονται τα Κεντρικά Οριακά Θεωρήµατα σύµφωνα µε τα οποία, κάτω από αρκετά γενικές συνθήκες, η κατανοµή του αθροίσµατος ενός µεγάου αριθµού τυχαίων µεταβητών µπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από µία κανονική κατανοµή Σε αυτό το κεφάαιο θα παρουσιάσουµε τον Ισχυρό Νόµο των Μεγάων Αριθµών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα 6 Όρια ακοουθιών τυχαίων µεταβητών Στο παρόν εδάφιο παραθέτουµε κάποιους ορισµούς που θα µας βοηθήσουν να παρουσιάσουµε τον Ισχυρό Νόµο των Μεγάων Αριθµών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Θεωρούµε µία ακοουθία τυχαίων µεταβητών,,, K που ορίζονται στον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο Ω, I, P ίνουµε τους ακόουθους ορισµούς Ορισµός Λέµε ότι έχουµε µία ακοουθία ανεξάρτητων dpd τυχαίων µεταβητών,,, K αν ισχύει ότι P B, K, B P B LP B, όπου B,, K, είναι οποιαδήποτε υποσύνοα του R Ορισµός Λέµε ότι έχουµε µία ακοουθία ισόνοµων dclly dsbud τυχαίων µεταβητών,,,k αν όες οι τυχαίες µεταβητές ακοουθούν την ίδια κατανοµή Στη συνέχεια παραθέτουµε δύο έννοιες συγκίσεως µιας ακοουθίας τυχαίων µεταβητών,,, K 3

11 Ορισµός α Λέµε ότι η ακοουθία τυχαίων µεταβητών,,, K συγκίνει µε πιθανότητα ή σχεδόν βεβαίως ή σχεδόν παντού covgs wh pobbly στην τυχαία µεταβητή αν και µόνο αν P{ ω Ω ω ω} Ισοδύναµα, lm P > ε για ένα τουάχιστον µε, για κάθε ε > β Λέµε ότι η ακοουθία τυχαίων µεταβητών,,, K συγκίνει κατά κατανοµή covgs dsbuo στην τυχαία µεταβητή αν και µόνο αν lm F x F x, για κάθε σηµείο συνέχειας της συνάρτησης κατανοµής F της, όπου F είναι η συνάρτηση κατανοµής της ακοουθίας,,, K Η σχεδόν βέβαια σύγκιση συνεπάγεται ότι, σε ένα σύνοο του οποίου η πιθανότητα εµφάνισης είναι ίση µε, για κάθε δειγµατικό σηµείο ω η διαφορά ω ω γίνεται αυθαίρετα µικρή όταν το αυξάνεται απεριόριστα Αποδεικνύεται ότι, αν η ακοουθία τυχαίων µεταβητών,,, K συγκίνει σχεδόν παντού στην τυχαία µεταβητή, τότε συγκίνει και κατά κατανοµή στην τυχαία µεταβητή Παράδειγµα Έστω,, K ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβητές που ακοουθούν την Οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα, Έστω mx, K, είξτε ότι Z συγκίνει, : : καθώς, κατά κατανοµή σε µία τυχαία µεταβητή Z η οποία ακοουθεί την Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο τη µονάδα Λύση Είναι FZ z P[ z] P P < z z P z < z z P <, < z < Η τέταρτη ισότητα είναι συνέπεια της ανεξαρτησίας των z τυχαίων µεταβητών, K, Ισχύει ότι F z F z, Z Z όπου Z ~ Εκθετική, δηαδή η τυχαία µεταβητή Z συγκίνει, καθώς, κατά κατανοµή στην τυχαία µεταβητή Z 6 Ο Ισχυρός Νόµος των Μεγάων Αριθµών Ο Ισχυρός Νόµος των Μεγάων Αριθµών Th Sog Lw of Lg Numbs είναι ένα από τα πιο γνωστά αποτεέσµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων Σύµφωνα µε το παρακάτω θεώρηµα, το οποίο παρατίθεται χωρίς απόδειξη, κάτω από κατάηες υποθέσεις, ο δειγµατικός µέσος µιας ακοουθίας ανεξάρτητων τυχαίων 33

12 µεταβητών που ακοουθούν µία κοινή κατανοµή συγκίνει σχεδόν βεβαίως προς τον θεωρητικό µέσο τη µέση τιµή της κατανοµής Θεώρηµα 6 Ισχυρός Νόµος των Μεγάων Αριθµών, ΙΝΜΑ Έστω µία ακοουθία ανεξάρτητων και ισόνοµων τυχαίων µεταβητών,,, K τέτοιων ώστε να υπάρχει η µέση τιµή και η διακύµανση της τυχαίας µεταβητής δηαδή να ισχύει ότι µ E < και σ V < Τότε η τυχαία µεταβητή δηαδή η ακοουθία των δειγµατικών µέσων συγκίνει µε πιθανότητα ή σχεδόν βεβαίως ή σχεδόν παντού στη θεωρητική µέση τιµή µ, καθώς, δηαδή P lm µ Ο ΙΝΜΑ αρχικά αποδείχθηκε από τον Γάο Μαθηµατικό Bol στην ειδική περίπτωση κατά την οποία η ακοουθία,,, K είναι µία ακοουθία τυχαίων µεταβητών Boull Η γενική µορφή του ΙΝΜΑ, όπως παρουσιάζεται στο Θεώρηµα 5, αποδείχθηκε από τον Ρώσο Μαθηµατικό Kolmogoov Παράδειγµα Θεωρούµε µία ακοουθία ανεξάρτητων δοκιµών ενός τυχαίου πειράµατος Έστω A ένα συγκεκριµένο ενδεχόµενο του πειράµατος και P A η πιθανότητα να συµβεί το ενδεχόµενο A σε µία οποιαδήποτε δοκιµή Έστω η τυχαία µεταβητή τέτοια ώστε, αν το ενδεχόµενο A συµβαίνει κατά την οστή δοκιµή και, αν το ενδεχόµενο A δεν συµβαίνει κατά την οστή δοκιµή Ισχύει ότι E P + P P A Από τον ΙΝΜΑ, η τυχαία µεταβητή + L+ συγκίνει σχεδόν παντού στη E P Το αποτέεσµα του παραδείγµατος µπορεί να ερµηνευτεί ως εξής Αφού η τυχαία µεταβητή A +L+ αναπαριστά τον αριθµό των φορών κατά τις οποίες το ενδεχόµενο A συµβαίνει στις πρώτες δοκιµές του πειράµατος, η πιθανότητα P A είναι το οριακό ποσοστό των φορών κατά τις οποίες συµβαίνει το ενδεχόµενο A Παράδειγµα 3 Έστω,, K µία ακοουθία ανεξάρτητων συνεχών τυχαίων µεταβητών µε συνάρτηση πυκνότητας f x cx x, x, όπου c κατάηη πραγµατική σταθερά Να βρεθεί το όριο της ακοουθίας των δειγµατικών µέσων,,, Kµε την έννοια της σχεδόν βεβαίας σύγκισης 34

13 Λύση Από την ισότητα x dx c 6c 5 f x 4 4x+ x dx βρίσκουµε c Σύµφωνα µε τον Ισχυρό 5 6 Νόµο των Μεγάων Αριθµών, αν η µέση τιµή µ και η διακύµανση σ της ακοουθίας,, K είναι πεπερασµένες, η ακοουθία των δειγµατικών µέσων,,, K θα συγκίνει µε πιθανότητα σχεδόν 5 3 βεβαίως στη µέση τιµή µ Είναι µ E[ ] x 4 4x+ x dx < Επιπέον, E [ ] x x x dx Άρα, V [ ] E[ ] E[ ] < 7 7 Συνεπώς, P lm Παράδειγµα 4 Νόµος των Μεγάων Αριθµών του Chbyshv Έστω,, K µία ακοουθία ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών µε E µ, V σ,,, K Αν ορίσουµε, µ µ,,, K και υποθέσουµε ότι lm σ, να αποδειχθεί ότι η ακοουθία µ συγκίνει µε πιθανότητα στο µηδέν Λύση Έστω ε > Εφαρµόζουµε την ανισότητα του Chbyshv για την τυχαία µεταβητή και έχουµε P V E > ε και επειδή lmv lm lm, V σ ε θα έχουµε lm P E > ε Το ζητούµενο προκύπτει άµεσα διότι E E E µ µ 63 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Th Cl Lm Thom είναι ένα από τα πιο αξιοσηµείωτα αποτεέσµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων Σύµφωνα µε το παρακάτω θεώρηµα, το άθροισµα ενός µεγάου αριθµού ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών ακοουθεί µία κατανοµή η οποία προσεγγίζει την κανονική κατανοµή Όπως θα δούµε στα Παραδείγµατα 6 και 7, το ακόουθο θεώρηµα παρέχει, επιπέον, µία απή µέθοδο για να υποογίζουµε, κατά προσέγγιση, πιθανότητες αθροισµάτων ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών 35

14 Θεώρηµα 6 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα, ΚΟΘ Έστω µία ακοουθία ανεξάρτητων και ισόνοµων τυχαίων µεταβητών,,, K τέτοιων ώστε µ E και σ V < Τότε, η τυχαία µεταβητή Z + + σ L + µ συνάρτηση κατανοµής της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής Φ, συγκίνει κατά κατανοµή, καθώς, στη δηαδή ισχύει ότι lm P Z x Φ x d, π x για κάθε x R Εναακτικά, η τυχαία µεταβητή τυχαία µεταβητή Z µπορεί να γραφεί στη µορφή: µ Z, όπου : Η σ Z είναι ο γενικός όρος της ακοουθίας των τυποποιηµένων δειγµατικών µέσων Η πρώτη µορφή του Κεντρικού Οριακού Θεωρήµατος αποδείχθηκε από τον Dov γύρω στα 733 µχ για την ειδική περίπτωση που οι τυχαίες µεταβητές, K,, είναι δίτιµες και ακοουθούν την κατανοµή Boull µε πιθανότητα επιτυχίας p Η απόδειξη του Dov γενικεύτηκε από τον Lplc για οποιαδήποτε τιµή της πιθανότητας p Μία αυστηρή απόδειξη του ΚΟΘ, όπως αυτό διατυπώνεται στο Θεώρηµα 5, δόθηκε από τον Ρώσο Μαθηµατικό Lypuov, µαθητή του Chbyshv, την περίοδο 9-9 Στη συνέχεια παραθέτουµε κάποιες εφαρµογές του ΚΟΘ Για την απόδειξη του ΚΟΘ, παραπέµπουµε στο βιβίο του Μ Κούτρα [4], Εισαγωγή στις Πιθανότητες, Μέρος ΙΙ, σε Το ΚΟΘ µας επιτρέπει να κατανοήσουµε το όγο για τον οποίον η κανονική κατανοµή κατέχει εξέχουσα θέση στη Θεωρία Πιθανοτήτων και στη Στατιστική Τα χαρακτηριστικά πχ βάρος, ύψος των ατόµων ενός υπό εξέταση πηθυσµού περιγράφονται από κατάηες τυχαίες µεταβητές που µπορούν να θεωρηθούν ως αποτέεσµα άθροισης ποών µικρών τυχαίων παραγόντων Η συσσώρευση ποών τέτοιων µικρών τυχαίων παραγόντων οδηγεί σε µία µη αµεητέα τυχαία ποσότητα, η οποία σύµφωνα µε το ΚΟΘ, θα ακοουθεί κατά προσέγγιση την κανονική κατανοµή Παράδειγµα 5 Οι καθηµερινές διακυµάνσεις µιας µετοχής στο Χρηµατιστήριο Αθηνών ακοουθούν, αυτό το χρονικό διάστηµα, κάποια άγνωστη κατανοµή µε γνωστή µέση τιµή µ 5 και διασπορά σ 5 Αν η τιµή µιας µετοχής σήµερα είναι 3 ευρώ ποια είναι η πιθανότητα σε ένα µήνα τριάντα ηµέρες από σήµερα η τιµή της µετοχής να βρίσκεται κάπου ανάµεσα στα 7 και 35 ευρώ; 36

15 Λύση Έστω, K, 3 ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβητές που αναπαριστούν τις καθηµερινές διακυµάνσεις της µετοχής Ζητάµε την πιθανότητα p p P P 3 5 P P Από το ΚΟΘ η τυχαία µεταβητή Z : συγκίνει κατά κατανοµή στη συνάρτηση κατανοµής 5 Φ της τυπικής κανονικής κατανοµής Άρα, 3 p Φ Φ Φ Φ 3 5 Η δεύτερη ισότητα είναι συνέπεια της Πρότασης Φ +Φ Παράδειγµα 6 Έστω,, K, ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές οι οποίες είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες στο διάστηµα, Υποογίστε, κατά προσέγγιση, την πιθανότητα P > 6 Λύση Ισχύει ότι E και V Από το ΚΟΘ έχουµε P > 6 P > Φ 6 Παράδειγµα 7 Έστω ότι ρίχνουµε ένα αµερόηπτο ζάρι δέκα φορές Υποθέτουµε ότι οι ρίψεις είναι ανεξάρτητες Βρείτε κατά προσέγγιση την πιθανότητα να είναι το άθροισµα των εµφανιζόµενων αριθµών µεγαύτερο του 3 και µικρότερο ή ίσο του 4 Λύση Έστω ότι η τυχαία µεταβητή ότι 7 35 E και V Από το ΚΟΘ έχουµε αναπαριστά το αποτέεσµα του οστού ζαριού, K,, Ισχύει P < P 3 < Φ

16 Παράδειγµα 8 είξτε ότι! Λύση Έστω,,, K µία ακοουθία ανεξάρτητων και ισόνοµων τυχαίων µεταβητών που ακοουθούν την κατανοµή Posso µε παράµετρο ίση µε τη µονάδα Ισχύει ότι ~ Posso Posso, ~ όπου Από το ΚΟΘ έχουµε P P P! V E Φ, όπου Φ είναι η συνάρτηση κατανοµής της τυπικής κανονικής κατανοµής Παράδειγµα 9 Ο αριθµός των φοιτητών που διαέγουν το µάθηµα της Ψυχοογίας είναι µία τυχαία µεταβητή που ακοουθεί την κατανοµή Posso µε παράµετρο ίση µε Ο καθηγητής έχει αποφασίσει ότι, αν ο αριθµός αυτός είναι µεγαύτερος ή ίσος του, θα διαιρέσει τους φοιτητές σε δύο τµήµατα, ενώ αν είναι µικρότερος του, θα διδάξει το µάθηµα σε ένα τµήµα αποτεούµενο από όους τους φοιτητές Χρησιµοποιώντας το ΚΟΘ υποογίστε, κατά προσέγγιση, την πιθανότητα να διαιρέσει ο καθηγητής τους φοιτητές σε δύο τµήµατα Λύση Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των φοιτητών που διαέγουν το µάθηµα της Ψυχοογίας Ισχύει ότι ~ Posso Η τυχαία µεταβητή µπορεί να γραφεί ως εξής: + L +, όπου, K,, είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβητές που ακοουθούν την κατανοµή Posso µε παράµετρο ίση µε τη µονάδα Από το ΚΟΘ έχουµε P P Φ 8, όπου Φ είναι η συνάρτηση κατανοµής της τυπικής κανονικής κατανοµής Παράδειγµα ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι Ρίχνουν διαδοχικά ένα ζάρι και αν η ένδειξη είναι, 3 ή 5, ο παίκτης Α δίνει στον παίκτη Β ποσό, ή 3 ευρώ, αντίστοιχα Αν η ένδειξη είναι, 4 ή 6, ο παίκτης Β δίνει στον παίκτη Α ποσό 3, ή ευρώ, αντίστοιχα Να υποογισθεί η πιθανότητα σε 6 ρίψεις α ο παίκτης Α να κερδίσει τουάχιστον 7 ευρώ β ο παίκτης Α να κερδίσει το πού 9 ευρώ Λύση Έστω το κέρδος του παίκτη Α κατά την οστή ρίψη του ζαριού, K,,6 38

17 Έχουµε P j, j 3,,,,,3 Το συνοικό κέρδος του παίκτη Α σε 6 ρίψεις του ζαριού 6 6 θα δίνεται από την τυχαία µεταβητή S Σύµφωνα µε το ΚΟΘ η τυποποιηµένη τυχαία µεταβητή S E S Z ακοουθεί κατά προσέγγιση την τυπική κανονική κατανοµή N, V S Όµως, E jp j [ ] 6 V j E 4 j P j 3 j Εποµένως, 6 E S E, V S 6 V S 7 α Η ζητούµενη πιθανότητα είναι P S 7 P P Z Φ S 9 P 8 8 β Οµοίως, S 9 P P Z 4 Φ4 879 Παράδειγµα Μία ασφαιστική εταιρεία θέει να εκτιµήσει το µέσο ύψος µ των ετήσιων απαιτήσεων ανά ασφαισµένο σε µία συγκεκριµένη κατηγορία ασφάισης Για το όγο αυτό η εταιρεία αµβάνει ένα τυχαίο δείγµα ασφαισµένων, εξετάζει το ύψος των απαιτήσεων που έχει το κάθε άτοµο σε ένα οικονοµικό έτος και υποογίζει το µέσο όρο παρατηρήσεων Αν δεχτούµε ότι τα ύψη των απαιτήσεων είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβητές µε διακύµανση ίση µε 56 ευρώ, τι µέγεθος δείγµατος θα πρέπει να χρησιµοποιηθεί ώστε µε πιθανότητα τουάχιστον 99% η εκτιµήση της εταιρείας να µην απέχει από το θεωρητικό πραγµατικό µέσο µ περισσότερο από 3 ευρώ; Λύση Έστω το ύψος των ετήσιων απαιτήσεων του οστού ασφαισµένου Οι τυχαίες µεταβητές,, K, είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες µε E µ, V σ 6 56,,, K, Το συνοικό ύψος των ετήσιων απαιτήσεων για τους ασφαισµένους περιγράφεται από την τυχαία µεταβητή S S Θέουµε να προσδιορίσουµε την τιµή του για την οποία ισχύει P 3< µ < 3 99 αρκετά µεγάο, εφαρµόζουµε το ΚΟΘ και έχουµε Για P 3 < S 3 µ < 3 P 6 < S µ 3 < σ 6 3 P 6 < Z < Φ Φ

18 3 S µ 3 3 Φ, 6 όπου Z ~ N, Πρέπει Φ 99 Φ 995 σ 6 6 Από πίνακες της τυπικής κανονικής κατανοµής N,, έχουµε Φ , Φ Συνεπώς αν ζητήσουµε 3 να ισχύει Φ Φ58 6 εξασφαίζεται η ισχύς της προηγούµενης ανισότητας Αφού η Φ z είναι γνήσιως αύξουσα, Συνεπώς, το έαχιστο µέγεθος δείγµατος είναι ίσο µε 9 Η πού µεγάη τιµή του, δικαιοογεί, εκ των υστέρων, τη χρήση του ΚΟΘ 4

( t) ( ) ( 0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem Lindeberg Levy) τότε η τ.μ. Sn

( t) ( ) ( 0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem Lindeberg Levy) τότε η τ.μ. Sn Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Cetral Lmt Theorem Leberg Levy Εάν ~ f (, με [ ] µ, Var [ ] σ < και S τότε η τμ S ( S S µ συγκίνει ως προς κατανομή (coverges strbuto στη Var S σ ( N ( 0,, δηαδή N( 0, ή ισοδύναμα

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων . Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Α. Τυχαίες µεταβητές Τυχαία µεταβητή καείται µια µεταβητή η τιµή της οποίας καθορίζεται από το αποτέεσµα κάποιου στοχαστικού πειράµατος. Αν Ω ο δειγµατικός χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβητής (Α) Mέση τιµή Ορισµός Η µέση τιµή ή µαθηµατική επίδα µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι ο αριθµός: µ E() + xf (x) xf (x)dx διακριτή συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν Ακοουθίες στον.4. Ορισµός Έστω ( ) ακοουθία διανυσµάτων στον 9, θα έµε ότι η ακοουθία ( ) συγκίνει στο θα γράφουµε, li = ή αν η ακοουθία πραγµατικών 0 Ισοδύναµα: li ( ε) + 0 0 : 0 = για κάθε ε > 0 υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Mεγιστικές συναρτήσεις/τεεστές 2 Eισαγωγή Στο κεφάαιο αυτό ορίζουµε την έννοια του µεγιστικού τεεστή και δείχνουµε τη σπουδαιότητά του όσον αφορά την απόδειξη θεωρηµάτων που σχετίζονται µε τη

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ

ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ Α. Πεπερασµένες διαφορές Εστω δεδοµένος πραγµατικός αριθµός. Για τυχούσα συνάρτηση f = f() ορίζουµε ως διαφορά (πρώτης τάξης) της f() την συνάρτηση f µε f() =

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn) MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Εισαγωγή Στο κεφάαιο αυτό παρουσιάζονται οι έννοιες της τυχαίας µεταβητής της συνάρτησης κατανοµής της συνάρτησης πιθανότητας και της συνάρτησης πυκνότητας Μεετώνται οι σηµαντικότερες

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

6. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

6. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Αριθµητική Οοκήρωση Οπως αναφέραµε στην εισαγωγή, είναι συχνά δύσκοο να υποογιστεί ο αναυτικός τύπος, ή δεν υπάρχει αναυτικός τύπος, που δίνει το ορισµένο οοκήρωµα µιας συνεχούς

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L p (T) Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L p (T) Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L () Απόστοος Γιαννόπουος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4 Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές Στο προηγούμενο κεφάαιο εισαγάγαμε την έννοια της τυχαίας μεταβητής και είδαμε ότι σε κάθε τέτοια μεταβητή, έστω Χ, αντιστοιχεί μία κατανομή Είναι η κατανομή της

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ας θεωρήσουμε το σύστημα ανοικτού βρόχου που περιγράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης (.) και (.2): x Ax+ Bu (.)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ Σηµειώσεις Μη Γραµµικού Προγραµµατισµού Β Κούτρας ΧΙΟΣ Β Κούτρας ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κοµµάτι αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ-ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΙΙ Θεοδόσης ηµητράκος E-mal: dmtheo@aegeagr Σάµος 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ. Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1] 20 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια. Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 18 Νοεµβρίου 2009 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.16. Εστω ότι το ετήσιο εισόδηµα X ενός µισθωτού µπορεί να ϑεωρηθεί ως µία συνεχής τυχαία µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Πράξεις Γεγονότων Σχεδιάγραµµα της Υλης Βασικές Εννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b

pdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Έστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση:

Έστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση: ΜΑΘΗΜΑ : Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE. Εισαγωγή Ο µετασχηµατισµός pl και ο µετασχηµατισµός Z είναι δύο πού χρήσιµα µαθηµατικά εργαεία για την ανάυση και σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου και ιδιαίτερα ΓΧΑ Γραµµικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1] 0 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω E διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A E. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B) Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα θέµατα που ακολουθούν καλύπτουν ένα ευρύ φάσµα διαφόρων περιοχών των Μαθηµατικών. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

2( ) ( ) ψ είναι οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή. ψ x, θα πάρουµε

2( ) ( ) ψ είναι οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή. ψ x, θα πάρουµε ΟΙ Ι ΙΟΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ ΩΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΟΧΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ (COHERENT STATES) ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι στην αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 26 Οκτωβρίου 2009 Η διερεύνηση, σε γενικές γραµµές, της δεσµευµένης πιθανότητας και η σύγκρισή της µε την απόλυτη πιθανότητα αποκαλύπτει

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2005

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2005 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A στω µια συν ρτηση f, η οποία είναι ορισµ νη σε ένα κειστό δι στηµα [α, β] Αν: η f είναι συνεχής στο [α, β] και fα fβ δείξτε ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική ΙI Ενότητα 1: Δειγματοληψία και Κατανομές Δειγματοληψίας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1. ειγµατοληψία Πιθανοτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 4 Μαΐου 06 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α.

Διαβάστε περισσότερα

xp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3

xp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( ΙΙ ) Ασκηση. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο εξάεδρο

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

Δρ Χρήστου Νικολαϊδη

Δρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Δρ Χρήστου Νικοαϊδη εκέµβριος Περιεχόµενα Κεφάαιο : ΠΙΝΑΚΕΣ σε. Τι είναι ένας πίνακας. Απές πράξεις πινάκων. Ποαπασιασµός

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδρολογία

Κεφάλαιο 6 Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδρολογία Κεφάαιο 6 Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Στο κεφάαιο αυτό περιγράφουμε τις τρεις βασικές οικογένειες συναρτήσεων κατανομής που χρησιμοποιούνται στην τεχνική υδροογία. Η πρώτη περιαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή:

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή: Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-18 Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων 1 Σε ένα πρόβλημα πολλαπλής επιλογής προτείνονται n απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή Αν η σωστή απάντηση κερδίζει

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου 6.8 Συµβοή Κυµάτων Οταν δύο ή περισσότερα κύµατα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο εαστικό µέσο έµε ότι συµβάουν. Εχει διαπιστωθεί ότι για την κίνηση των σωµατιδίων του µέσου τα κύµατα ακοουθούν την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 3 η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΘΕΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. α) Έστω η συνάρτηση f ( ) = µε R και p.να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = ln. β) Έστω οι συναρτήσεις f,

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Πρόλογος Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13

Περιεχόµενα. Πρόλογος Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13 Περιεχόµενα Πρόλογος... 11 Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13 1.1 Εισαγωγή...13 1.2 ειγµατοχώρος και γεγονότα...18 1.3 Τεχνικές απαρίθµησης...20 1.4 Μεταθέσεις στοιχείων διαφορετικών ειδών

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

14. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

14. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Η µέθοδος Newn-Raphsn για µη γραµµική ανάυση Η γενική εξίσωση ισορροπίας ενός µη γραµµικού συστήµατος γράφεται: F ( ) = F q () όπου είναι οι εσωτερικές

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ω Ν ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ0 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηµατικών µε πολλά

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα