Тухайн Дифференциал Тэгшитгэл ба Түүний Нийтлэг Хэрэглээ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Тухайн Дифференциал Тэгшитгэл ба Түүний Нийтлэг Хэрэглээ"

Transcript

1 Тухайн Дифференциал Тэгшитгэл ба Түүний Нийтлэг Хэрэглээ Сүхболдын Төгөлдөр 2012 оны 1р сарын 23 1

2 Өмнөх Үг Юуны өмнө энэ семинарт оролцох боломжийг олгосон Төмөр ахдаа баярлалаа. Миний бие астрофизикийн чиглэлээр суралцаж ажилладаг бөгөөд, өөрийн зарим нэг лекцийн тэмдэглэлүүдээ эмхтгээд Монгол хэлнээ хөврүүлвэл физик болон инженерийн чиглэлээр суралцаж буй Монгол оуютнуудад хэрэгтэй, сонирхолтой байх болвуу гэж бодсоны үүднээс энэхүү цуврал лекцийг бичхээр шийдлээ. Мэдээж надад энэ нь зарим нэг мартсан зүйлсээ эргүүлэн санах, зарим нэг зүйлсийг илүү сайн шингээж ойлгох гэх мэт олон талын ач тустай байна. Энэхүү цуврал лекц ерөнхийдөө тухайн дифференциал тэгшитгэлийн тухай анхан шатны ойлголтыг танд олгоно. Зарим төрлийн ТДТ-г янз янзын аргаар бодох замаар танд математик загварчлал болон шийдийг анализ хийх зарим арга барилыг мөн сургана. Хэрэглээний математик талаас асуудалд хандаж буй учир аливаа шийдийн оршихуйн тухай нарийн ширийнийг энд дурдахгүй. Гэхдээ шугаман алгебрт өргөн хэрэглэгддэг арга техникийг харуулсан зарим баталгааг хийнэ. Ерөнхийдөө Төмөрөө болон Үүеэ ах нарын нийтлэл дээрх шиг mathematical rigor гэж хэлдэг зүйл байхгүй гэсэн үг. Тооцоолон бодолтын (numerical solutions) аргуудыг энд дурьдахгүй одоогоор, гэхдээ ирээдүйд энэ цувралыг агуулга талаас нь улам өргөжүүлэхийг зорьж байна. Миний бие их сургуулийн түвшинд математик болон физикийг Монгол хэл дээр үзээгүй учираас орчуулгын болоод үг үсэгийн алдаа сэлт элбэг байх вий гэж анхааруулж байна. Үнэхээр эргэлзээтэй орчуулагдаж байгаа хэсгийн ард нь англиар бас хавсаргаж байх болно. Энд бичигдсэн материалтай холбоотой асуулт, санал, хүсэлтээ блогт сэтгэгдэл бичих журмаар үлдээнэ үү. 2

3 1.1 Товч Танилцуулга 1 Ерөнхий Ойлголт Ерөнхий Математик Тодорхойлолт - аливаа функц болон түүний тухайн уламжлалын функциональ хамаарлыг тухайн дифференциал тэгшитгэл гэнэ (үүнээс цааш ТДТ). f : R n байг (ө.х f нь n хэмжээс бүхий бодит орон зай дахь функц), тэгвэл ТДТ-ийн хамгийн ерөнхий хэлбэр нь: F (x i ; f; f 2 f ; x i x i xj ;...) = 0 Тухайн ТДТ-ийн эрэмбэ нь тэгшитгэл дахь хамгийн өндөр эрэмбийн уламжлалаар тодорхойлогдоно Хэрэв f = 0 нь дурын цэг дээр шийд байвал тэр ТДТ-г нэгэн-төрлийн ТДТ гэнэ Хэрэв F нь f болон түүний тухайн уламжлалуудын шугаман эвлүүлэгээс бүрдэж байвал түүнийг шугаман ТДТ гэнэ Аливаа ТДТ-ийн хамгийн ерөнхий илэрхийлэл нь: n F = a 0 (x 1, x 2,..., x n )f + a i (x 1, x 2,..., x n ) f + x i=1 i n a ij (x 1, x 2,..., x n ) 2 f b(x 1, x 2,..., x n ) x i x j i=1 j=1 Дараах тэгшитгэлүүдийг шугаман эсэх, нэгэн төрөлийнх эсэхийг нь эрэмбийн хамт тодорхойлно уу: f x + f y = 0 f xx + f y x = 0 3xf x + f yy = 4 f y + f x f yy = 0 (энд f x = f x, f xx = 2 f x 2 гэх мэт) 3

4 1.2 Байгаль дахь Бодит Системуудын ТДТ Байгаль нь бидний заншсанаар 3 орон зайн хэмжээс + 1 цаг хугацааны хэмжээсээр дүрслэгддэг (мэдээж физикт үүнээс олон хэмжээс бий) Байгаль дахь системуудыг дүрсэлж буй ТДТ-үүд нь ихэнх тохиолдолд энэ 4 хэмжээс эсвэл үүний дэд олонлог болох хэмжээст байна Байгаль дахь системийг ТДТ нь загварчлахыг оролдох үед 3 үндсэн шатаар дамжина: 1. Tухайн системийг загварчилж буй ТДТ-г угсрах 2. ТДТ-ийн шийдийг олох 3. Бодолтоо нягтлан шалгах (ТДТ нь зөв бол хариу нь зөв эсэх, эсвэл ТДТ нь өөрөө зөв эсэх) Энэ цуврал лекц нь (2) болон (3) дээр түлхүү анхаарах боловч (1)-ийн талаар дурьдах хэрэгтэй 2 чухал зүйл байна: Ковариант - аливаа физик процесс нь ямар тооллын систем дээр байгаагаа мэдэхгүй, тиймээс бидний олохыг зорьж буй шийд маань аливаа тооллын системээс хамааралгүй байх ёстой. Жишээ нь Лапласын тэгшитгэлийг авч үзье: 2 f = 0 -картезийн тооллын систем дээр: xx f + yy f + zz f = 0 -бөмбөлгөн тооллын систем дээр: 1 f r 2 (r2 r r ) + 1 f (sinθ r 2 sinθ θ θ ) f r 2 sin 2 θ ϕ = 0 2 f нь ямар ч тооллын систем дээр илэрхийлэгдсэн бай, тэрхүү тооллын систем дээрх 2 f = 0-ын шийд нь байх ёстой. Бид дифференциал тэгшитгэл угсарах гэж буй учир, дээрх зарчмын дагуу бидэнд тооллын системээс хамааралгүй операторууд хэрэгтэй -, 2, Тооллын системийн сонголт - тооллын системийг сайтар тунгааж сонгосноор өгөгдсөн ТДТ-д харьцангуй хялбар бодолтыг олох боломжтой. Үүнд 2 үндсэн зүйлийг анхаарах хэрэгтэй: 4

5 -хилийн нөхцөлийн хэлбэр -бодлогын тэгш хэм (ө.х бодлогын хэмжээсийг цөөрүүлэх) (Одоохондоо энэ дээр бичигдсэн зарим зүйлсийн талаар санаа зоволтгүй, дараачийн лекциэс эхлээд яг бодлого дээр тулж ажиллахаар аажимдаа өөрөө ойлгомжтой болно) 1.3 Нийтлэг Хэрэглэгддэг ТДТ-үүдийн Ерөнхий Араншин Энэ цуврал лекц нь ихэнхидээ 2р эрэмбийн шугаман ТДТ-эй зууралдах болно. Ийм ТДТ-үүд нь зөвхөн 3-хан төрлийн араншинтай байна гэдгийг баталж болох (нилээн сүүлд нэмэгдэх каноник хэлбэрийн тухай лекцэн дээр батална) бөгөөд эдгээр араншингуудыг физикт маш түгээмэл хэрэглэгддэг дараах 3 тэгшитгэл агуулна: Долгионы Тэгшитгэл Дулааны Тэгшитгэл (Диффузийн тэгшитгэл) Лапласын Тэгшитгэл (Пойссоны тэгшитгэл) Ингээд зарим тэгшитгэлүүдийн чанарууд болон тэдний дүрсэлдэг байгаль дээрх физик үзэгдлүүдийн жишээдээс сонирхоё. 1) Долгионы Тэгшитгэл 2 f t 2 = c2 2 f, энд c нь долгионы хурд. Жишээ нь нэг хэмжээст долгионы тэгшитгэл нь хүчлэг бүхий утсан дээрх шилжилтийн долгионыг илэрхийлнэ (ж.нь гитарын утас). 2 h t 2 = c2 2 h x 2 5

6 Энэ тэгшитгэл нь утсан дээрх янз бүрийн горим бүхий зогсонги долгионуудыг, мөн тархаж буй долгионыг ойлтынх нь хамт дүрсэлнэ. Өөр нэг хэмжээст долгионы жишээ гэвэл даралтын долгионууд байна - дууны долгион, сейсмик долгион гэх мэт: 2 p t = 2 p 2 c2 x 2 Хоёр хэмжээс дээрх долгионууд нь мөн төстэй шинж чанартай байна (янз бүрийн горим бүхий зогсонги долгионууд болоод даралтын долгион түүний ойлт гэх мэт). 2 h t 2 = c2 ( 2 h x h y 2 ) Жишээ гэвэл усны гадрага дээрх бага далайцтай гадрагын долгион (тогтмол усанд жижиг чулуу шидэх үед үүсэх долгион), мөн хүчлэг бүхий гадрагын чичиргээнүүд (гитар бөмбөрийн гэх мэтийн чичирхийлж буй гадрага). Мэдээж үүнээс олон хэмжээс дээрх долгионууд байх бөгөөд мөн л төстэй шинж чанартай байна. Жишээ нь одод болон гаригуудын 3 хэмжээст сейсмик долгион, цахилгаан соронзон долгион (гэрэл) гэх мэт. Олон өөр төрлийн долгионууд ийм энгийн тэгшитгэлээр дүрслэгдэхгүй. Далайн ёроол дахь хүчтэй газар хөдлөлтөөс үүдэлтэй цунами нь сул шугаман бус (weakly non-linear) долгионы сонгодог жишээ, мөн далай болон нуурын эрэг дээр задарч буй усны гадаргын долгионууд нь маш шугаман бус байх бөгөөд математикийн үүднээс одоог хүртэл сайн ойлгогдоогүй болно. 2) Диффузийн Тэгшитгэл f t = k 2 f, энд k нь диффузийн тогтмол. Долгионы тэгшитгэлээс ялгарах ганц зүйл нь цаг хугацааны уламжлал нь нэгдүгээр эрэмбийнх байгааг анзаараарай. Хамгийн нийтлэг жишээ бол дулааны диффузи (дулааны тэгшитгэл). Бидний өдөр тутмын амьдралд байнга тааралддаг үйл явц учираас энэ тэгшитгэлийн шийд нь ямархуу чанартай байх тухай бид сайн физик мэдрэмжтэй байдаг. Дараах нэг хэмжээст дулааны тэгшитгэлийг хилийн болон анхны нөхцөлийн хамт авч үзнэ үү: T t = k 2 T x 2 T (x, 0) = 0; T (0, t) = 100; T (L, t) = 0 6

7 Энэ өгөгдөлүүд нь анхандаа тэр чигтээ 0 градусын температурт байсан нэг хэмжээст L гэсэн урттай төмөр шон нэг талаа 100 градусын нөгөө талаа 0 градусын орчинтой залгаснаар шонгийн биеийн бусад хэсгийн температур хэрхэн хувьсах вэ гэсэн асуулттай ижил. Энэ бодлогын аналитик шийд болох дараах функцийг T (x, t) = 100(1 x/l) n 200 nπ cos(nπ)sin(nπx/l)e n 2 π 2 L 2 kt хүн бүр шууд хараад хэлж чадахгүй ч ерөнхий температурын хувьсалыг мэдрэмжээрээ барагцаалж чадна. Диффузийн тэгшитгэл нь мөн магадлалын тархалтын функцийн хувьсалыг тасралтгүйгээр дүрслэх нэг арга зам юм. Жишээ нь аягтай усанд чернилийн дусал хийснээр чернилийн молекулууд нь усны молекулуудтай мөргөлдөн хийх санамсаргүй алхалтын (random walk) үйл явцыг бөмбөлгөн тооллын систем дээр магадлалын тархалтаар нь M t = k r M (r r r ) гэж барагцаалан илэрхийлж болно. Энд нэг анхаaрах зүйл нь диффузийн тэгшитгэл болон шилжилтийн тэгшитгэлийн (шингэний динамикт чухал) ялгаа юм. f t = (uf), энд u нь f гэсэн зүйлийг шилжүүлж байгаа шилжилтийн хурдны орон. Эндээс шилжилтийн тэгшитгэл нь функцийг гөлгөр болгож (smooth out) байгаа бус зөвхөн хольж хутгаж байгаа гэдэг нь харагдна. Харин диффузи нь тухайн функцийг гөлгөр болгох процесийг дүрслэх бөгөөд шилжилтийн тэгшитгэл шиг цаг-хугацааны хувьд ухрааж болохгүй юм. 3) Лапласын Тэгшитгэл 2 f = 0 Энэ тэгшитгэлийг ямарваа нэгэн диффузийн үйл явцын бүтээгдэхүүн гэж харж болно, өөрөөр хэлбэл тухайн систем бүх цаг хугацааны хувьсалаа дуусгаад тогтвортой төлөвт хүрсэний дараа нь гэсэн үг: 7

8 t 0 үеийн f t = k2 2 f Тиймээс энэ тэгшитгэлийн шийдүүд нь хилийн нөхцөлүүдийг хангаж буй хамгийн боломжит гөлгөр функцууд байна. Дараах хилийн нөхцөлүүдийг хангах хоёр хэмжээс дээрх лапласын тэгшитгэлийн бодолтыг дүрсэлвэл 2 f = 2 f x + 2 f 2 y = 0 2 f(0, y) = sin(πy); f(1, y) = 0; f(x, 0) = f(x, 1) = 0 Зарим тохиолдолд лапласын тэгшитгэлийг диффузийн тэгшитгэлийн бүтээгдэхүүн гэдэг үүднээс харах нь шийдийг нь таахад мөн тусалж болно. Жишээ нь дараах хилийн нөхцөлийг хангаж байх шийдийг лапласын тэгшитгэлд хайж байлаа гэж бодоё: 1 f r 2 (r2 r r ) + 1 f (sinθ r 2 sinθ θ θ ) + 1 f(1, θ, ϕ) = 10 r 2 sin 2 θ 2 f ϕ 2 = 0 Температуураар бодох юм бол энэ нь бүх цаг хугацааны турш f = 10 гэсэн температур дээр гадрагын (r = 1) температурыг барьж буй тогтвортой 8

9 төлөвийн тэнцвэрийг бөмбөлөг дээр дүрсэлж буй лапласын тэгшитгэл, тиймээс шийд нь ердөөсөө л: f(r, θ, ϕ) = 10 9

10 2 Хувьсахуудыг Тусгаарлах Арга (тогтмол коефиценттэй шугаман тэгшитгэлүүдэд) Энэ лекц болон үүний дараачийн лекциэр бид хэрхэн шугаман 2р эрэмбийн (мөн үүнээс дээших эрэмбэд ашиглаж болно) тогмол (жаахан нэмэлт ажиллагатайгаар тогтмол бус) коефиценттэй ТДТ-г бодох талаар судлана. Энэ арга нь сүперпозицийн зарчмын үр дүн бөгөөд тэгшитгэлийн шугаман шинж чанар дээр суурилсан болно. 1) Шугаман шинж чанар ба суперпозицийн зарчим f нь мэдэгдэж байгаа ба L нь u дээр үйлчилж байгаа оператор бол ТДТ-г дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно. Жишээ нь дулааны тэгшитгэлийн хувьд: u t = k 2 u x 2 L = t k 2 x 2 f = 0 Тодорхойлолт: u 1 болон u 2 нь функциуд ба c 1 болон c 2 нь тогтмолууд бөгөөд дараах нөхцөл хангагдаж байвал оператор L нь шугаман байна: L(c 1 u 1 + c 2 u 2 ) = c 1 L(u 1 ) + c 2 L(u 2 ) Өөрөөр хэлбэл дулааны тэгшитгэлийн хувьд: L(c 1 u 1 + c 2 u 2 ) = t (c 1u 1 + c 2 u 2 ) k 2 x 2 (c 1u 1 + c 2 u 2 ) = c 1 ( u 1 t k 2 u 1 x 2 ) + c 2( u 2 t k 2 u 2 x 2 ) = c 1L(u 1 ) + c 2 L(u 2 ) Тодорхойлолт: хэрэв оператор L нь шугаман бол L(u) = f ТДТ нь шугаман байна. (хэрэв f = 0 байвал нэгэн-төрлийн байна, харин f 0 байвал нэгэнтөрлийн бус байна) Энэ шугаман шинж чанарын тодорхойлолтоос бид нэгэн-төрлийн шугаман ТДТ-уудын талаар чухал нэгэн зүйлийг харж болно. Сүперпозицийн зарчим 10

11 Хэрэв u 1 болон u 2 нь өгөгдсөн шугаман нэгэн-төрлийн ТДТ-ийн шийдүүд нь бол, аливаа тогтмол c 1 болон c 2 -ийн хувьд v = c 1 u 1 + c 2 u 2 нь мөн шийд байна. (ө.х аливаа шийдүүдийн шугаман комбинаци нь мөн шийд байна). Энэ зарчим нь хувьсахуудыг тусгаарлах аргын амин зүрх нь юм. Хилийн нөхцөлүүдийн шинж чанар Хилийн нөхцөлүүд нь x = x A дээр B A (u) = g A, ба x = x B дээр B B (u) = g B бол, B A болон B B нь шугаман үед хилийн нөхцөлүүд нь шугаман байна. Хэрэв g A = g B = 0 бол хилийн нөхцөлүүдийг нэгэн-төрлийн гэнэ. 2) Хувьсахуудыг Тусгаарлах нь (хоёр хувьсахтай тэгшитгэлийн хувьд) Дараах арга нь шугаман, нэгэн-төрлийн хилийн нөхцөл бүхий тогтмол коефицэнттэй ямар ч шугаман нэгэн-төрлийн ТДТ-үүд дээр хэрэглэгдэж болно. Дараа нь бид тусад нь нэгэн-төрлийн бус ба тогтмол бус коефицэнттэй тэгшитгэлүүдийг авч үзнэ. Эхлээд дулааны тэгшитгэлийн жишээг авч үзье: А. Математик болон Физик Асуулт u t = k 2 u x 2 Математик бодлого u(0, t) = 0 u(l, t) = 0 u(x, 0) = f(x) ( ) ( ) ( ) Энд (*) нь хилийн нөхцөлүүд бөгөөд (**) нь анхны нөхцөл болно. Энэ бодлого нь, жишээ нь, хугацаа t = 0 үед хоёр ирмэг нь T = 0 температур дээр мөн их бие нь T (x) = f(x) гэсэн температурын орчинд байх бүх ирмэгээрээ тусгаарлагдсан нэг хэмжээст дамжуулагч метал шон байж болно. Б. Хувьсахуудыг Тусгаарлах Гол санаа нь энэ ТДТ-г хангах суурь фүнкциудыг сүперпозицийн зарчмын дагуу угсран ерөнхий шийдийг олох юм. Ерөнхий шийд нь u(x, t) = A(x)B(t) гэж үзье (энд хувьсахууд нь тусгаарлагдсан байна). ТДТ-дээ энэ хэлбэрийг орлуулвал: 11

12 A(x)B(t)-р хуваавал: A(x) db dt = A kb(t)d2 dx 2 1 db B dt = k d 2 A A da 2, энд тэгшитгэлийн нэг тал нь зөвхөн цаг хугацааны фүнкц, нөгөө тал нь зөвхөн орон зайн фүнкц болсон байна. Энэ хоёр тал нь нэг тогтмолтой л тэнцэж байж энэ тэнцвэр нь бүх хугацаа t болон бүх орон зай x-ийн хувьд хангагдана. 1 db B dt = k d 2 A A da = λ 2 энэ тогтмолыг тусгаарлалын тогтмол гэнэ. Ингээд бид анхны эхэлсэн ТДТ-г зөвхөн λ тогтмолоор хослогдсон хоёр Ердийн Дифференциал Тэгшитгэл (үүнээс цааш ЕДТ) болголоо: 1 db B dt = λ k d 2 A A da = λ 2 Одоо бид нэг нэгээр нь анализ хийж болно. В. Орон Зайн Бодлогын Шийдүүд Орон зайн бодлого маань одоо хувийн утгын (eigenvalue) бодлого болсон байна: k d 2 A A da = λ 2 A(0) = 0; A(L) = 0 (бүх хугацаа t-ийн хувьд u(0, t) = u(l, t) = 0 учираас) Энд хэрхэн λ нь орон зайн бодлогын хувийн утга болж, харин A нь хувийн функц болсоныг анзаараарай. (k 2 нь A дээр үйлчилж буй оператор, λ нь x2 A-г үржиж буй хувийн утга) λ-аас хамааран 3 янзын шийд байж болно: 12

13 1. λ > 0 бол A(x) = a 1 e λ/kx + a 2 e λ/kx 2. λ = 0 бол A(x) = a 1 + a 2 x λ λ 3. λ < 0 бол A(x) = a 1 cos k x + a 2 sin k x Хилийн нөхцөлүүдээс үзвэл зөвхөн 3-р шийд нь хялбар бус (тэг-бус) шийд өгнө (өөрөө шалгаж үзнэ үү): λ λ A(x) = a 1 cos k x + a 2 sin k x λ A(0) = 0 a 1 = 0; A(L) = 0 a 2 sin k L = 0 Бид энд a 2 = 0 гэж авч болохгүй, эс бөгөөс бид хялбар шийдтэй л үлднэ. λ Тиймээс sin L = 0 гэдгээс бид хувийн утгыг тодорхойлж болно: k мэдээж n нь бүхэл тоо байна. λ n = n2 π 2 L k 2 Хязгааргүй олон хувийн утга байгааг анзаараарай. Тиймээс хувийн утга болгонд харгалзсан хувийн функц байна: λn nπx A n (x) = sin x = sin k L, n = 1, 2,.., Бид анх орон зайн бодлогын шийдийг хайж эхлээд, одоо хувийн утга бүрт орон зайн тэгшитгэлийг хангах хязгааргүй олон боломжит хувийн-горимуудыг(eigenmodes) олоод байна. Яагаад ийм үр дүнд хүрсэн нь дараа нь илэрхий болно. Аливаа хувийн утгын бодлогонд хамгийн сүүлийн шийдийг угсарах үед бүх нормализацийн тогтмолуудыг нэгтгэж болох учир одоохондоо a 2 -ийг хаясан шиг тогтмолуудыг орхиж болно. Г. Хугацааны Бодлогын Шийдүүд Бид хувийн утга бүрт харгалзах хязгааргүй олон шийдийг орон зайн бодлогонд олсон учир, хугацааны бодлогын хувьд мөн адил дараах тэгшитгэлийг хангах хязгааргүй олон шийдтэй байна: 13

14 Шийдүүд нь: 1 db n B n dt = λ n db n dt = n2 π 2 L kb 2 n B n (t) = e n2 π 2 L 2 kt Д. Сүперпозицийн Зарчим Одоогоор бид дараах хэлбэрийн хязгааргүй олон суурь тэгшитгэлүүдийг олоод байна: u n (x, t) = A(x)B(t) = b n e n2 π 2 L 2 kt sin( nπx L ), n = 1, 2,.., u n (x, t)-ийн аливаа шугаман комбинаци нь ТДТ-ийн бодолт учир u(x, t) = n b n e n2 π 2 L 2 kt sin( nπx L ),нь мөн дулааны тэгшитгэлийн маань ерөнхий шийд байна. (энд b n нь дээр хэлсэнчлэн бүх өмнөх тогтмолуудыг агуулж байгаа) Бид одоогоор ТДТ-г хилийн нөхцөлүүдийн хамт хангах ерөнхий шийдийг олоод байна. Одоо ганц үлдсэн юм нь анхны нөхцөл буюу хугацааны нөхцөл. Түүнийг ашиглан бид тогтмолын утгыг олох болно. Е. Зарим Хялбар Анхны Нөхцөлүүд Жишээ 1: Анхны нөхцөл нь дараах функцээр илэрхийлэгдсэн байг Тэгвэл t = 0 үед: u(x, 0) = 10sin( 4πx L ) 10sin( 4πx L ) = n b n sin( nπx L ) Энд шийд нь n = 4 үед b 4 = 10 байх ба бусад бүх n-ийн хувьд b n = 0 гэдэг нь илэрхий харагдаж байна. Бидний дулааны бодлогын сүүлийн шийд маань: u(x, t) = 10e 16π2 L 2 kt sin(4πx/l) 14

15 болно - далайц нь зэрэгтээр буурж буй sin функц байна. Жишээ 2: Анхны нөхцөл нь дараах функцээр илэрхийлэгдсэн бол: u(x, 0) = 2sin( πx L ) + 100sin(10πx L ) Түрүүчийн жишээний адилаар b 1 = 2, b 10 = 100 ба n 1, n 10 үед b n = 0 байна гэдэг нь илэрхий байна: u(x, t) = 2e π2 L 2 kt sin( πx L ) + 100π 2 100e L 2 kt sin( 10πx L ) Диффузийн үйл явцын нэгэн чухал физик шинж чанар нь жижиг хэмжээс (scale) нь том хэмжээснээсээ хамаагүй түрүүнд диффузлэгдэнэ. Энэ жишээний хувьд хурдтай хэлбэлзэж буй sin(10πx/l) нь 100π 2 k/l 2 гэсэн бууралтын хурдтай байхад, удаан хэлбэлзэж буй sin(πx/l) нь π 2 k/l 2 гэсэн 100 дахин бага бууралтын хурдтай байна. 15

S.PH102 Физик-2. Семинар 7. Сэдэв : Квант механикийн үндэс, Атомын физик. Тест оны намар

S.PH102 Физик-2. Семинар 7. Сэдэв : Квант механикийн үндэс, Атомын физик. Тест оны намар S.PH102 Физик-2 Семинар 7 Сэдэв : Квант механикийн үндэс, Атомын физик Тест 2015-2016 оны намар Физик -2 7.1 Устөрөгчийн атом фотон шингээсэн бол түүний электроны орбитын радиус............. А. Багасна.

Διαβάστε περισσότερα

S.PH101 ФИЗИК-1 ЛЕКЦ 12

S.PH101 ФИЗИК-1 ЛЕКЦ 12 ЛЕКЦ 12 S.PH101 ФИЗИК-1 ЦАХИЛГААН ЦЭНЭГ, КУЛОНЫ ХУУЛЬ, ЦАХИЛГААН ОРОН, ОРНЫ ХҮЧЛЭГ, СИСТЕМ ЦЭНЭГҮҮДИЙН ХАРИЛЦАН ҮЙЛЧЛЭЛ, ДИПОЛЬ, СИСТЕМ ЦЭНЭГҮҮДИЙН ОРНЫГ ХОЛ ЗАЙД ТООЦОХ, ЦАХИЛГААН СТАТИК ОРНЫ ЦИРКУЛЯЦ,

Διαβάστε περισσότερα

Бодолт: ( ) ,2

Бодолт: ( ) ,2 46. AOB = 9, Rрадиустай секторын AO, OB хэрчмүүд болон AB нумыг шүргэсэн тойрог багтсан бол тойргийн радиусыг ол. Бодолт: MO = x, OO = OK OK OO = R x, OO M = 45 = OMO OM = OM = O K = x, x + Rx R = ( )

Διαβάστε περισσότερα

11-р ангийн математикийн хөтөлбөр. 2-р хувилбар (2012/08/05)

11-р ангийн математикийн хөтөлбөр. 2-р хувилбар (2012/08/05) 11-р ангийн математикийн хөтөлбөр -р хувилбар (01/08/05) Танилцуулга 11, 1 дугаар ангийн хөтөлбөр боловсруулах ажил болон сургалтын үеэр энэхүү материалыг ашиглана. 11 дүгээр ангийн Математик Хөтөлбөрийн

Διαβάστε περισσότερα

Дамжууллын гэмтэл ба Сувгийн. багтаамж. Оюутан юу эзэмших вэ:

Дамжууллын гэмтэл ба Сувгийн. багтаамж. Оюутан юу эзэмших вэ: Дамжууллын гэмтэл ба Сувгийн Оюутан юу эзэмших вэ: багтаамж Дамжууллын гэмтэл үүсгүүр гэж юу болохыг тодорхойлох Унтралтыг тайлбарлах, тооцоолол хийх Дохионы гажуудлыг тайлбарлах Өгөгдлийн хурд буюу Найквистийн

Διαβάστε περισσότερα

НЭГДҮГЭЭР ХЭСЭГ C-н температур хэдэн кельвины температур болох вэ?. A. 281 B. 265 C. 8 D. 16 A B C. 726 D. 12

НЭГДҮГЭЭР ХЭСЭГ C-н температур хэдэн кельвины температур болох вэ?. A. 281 B. 265 C. 8 D. 16 A B C. 726 D. 12 НЭГДҮГЭЭР ХЭСЭГ 1. 8 0 C-н температур хэдэн кельвины температур болох вэ?. A. 281 B. 265 C. 8 D. 16 2. 1273 0 К температур хэдэн цельсын температур болох вэ? A. 1523 B. 20 C. 0 D. 1000 Бодлого: (3-7) 1кг

Διαβάστε περισσότερα

БИЛЭЭ СУЛ ҮГИЙН УТГА, ХЭРЭГЛЭЭ

БИЛЭЭ СУЛ ҮГИЙН УТГА, ХЭРЭГЛЭЭ Беньямин Брозиг (Benjamin Brosig). 2012. БИЛЭЭ СУЛ ҮГИЙН УТГА, ХЭРЭГЛЭЭ (The meaning and usage of the particle bilee ). Хэл зохиол судлал V (37): 10-18. The wording of the text should be as published.

Διαβάστε περισσότερα

Ерөнхий эмиттертэй транзисторт өсгөгч Унших материал

Ерөнхий эмиттертэй транзисторт өсгөгч Унших материал ажил7 Ерөнхий эмиттертэй транзисторт өсгөгч Унших материал Electronic Deices and ircuits, 4 th edition: Section 5-1, Ac amplifier Fundamentals; Section 5-3, Amplifier Analysis Usg Small-Signal Models,

Διαβάστε περισσότερα

615 АВС гурвалжны багтаасан тойргийн төв нь О. ( А>90 ) AL биссектрисийн үргэлжлэл нь багтаасан тойргийг F цэгт огтолно. OA радиус ВС талыг Е цэгээр

615 АВС гурвалжны багтаасан тойргийн төв нь О. ( А>90 ) AL биссектрисийн үргэлжлэл нь багтаасан тойргийг F цэгт огтолно. OA радиус ВС талыг Е цэгээр 615 АВС гурвалжны багтаасан тойргийн төв нь О. ( А>90 ) AL биссектрисийн үргэлжлэл нь багтаасан тойргийг F цэгт огтолно. OA радиус ВС талыг Е цэгээр огтолно. АН нь уг гурвалжны өндөр ба АН AF3 ÐAEH30 бол

Διαβάστε περισσότερα

Лекц:5 Эрсдэл, өгөөж ба түүхэн тоон мэдээлэл

Лекц:5 Эрсдэл, өгөөж ба түүхэн тоон мэдээлэл Лекц:5 Эрсдэл, өгөөж ба түүхэн тоон мэдээлэл 2017 оны 3-р сарын 9 Лекц 5: Эрсдэл, өгөөж ба түүхэн тоон мэдээлэл c Г.Гүнбилэг 2017 МУИС-БС 1 Агуулга 1 ХТ-г тодорхойлогчид 2 Өгөөжүүдийг харьцуулах нь 3 ЗГБХҮЦ

Διαβάστε περισσότερα

Хадан Дээрх Тамганы Дүрсийг Адууны Тамганы Дүрстэй Машин Сургалтын Аргуудаар Харьцуулах

Хадан Дээрх Тамганы Дүрсийг Адууны Тамганы Дүрстэй Машин Сургалтын Аргуудаар Харьцуулах Хадан Дээрх Тамганы Дүрсийг Адууны Тамганы Дүрстэй Машин Сургалтын Аргуудаар Харьцуулах Пэрэнлэйлхүндэв Гантуяа*, Батсуурь Сувдаа*, Дамдинсүрэн Цэвээндорж** *Монгол Улсын Их Сургууль, Мэдээлэл, Компьютерийн

Διαβάστε περισσότερα

БИЕ ДААЛТЫН БОДЛОГО Цалин Татвар 10.

БИЕ ДААЛТЫН БОДЛОГО Цалин Татвар 10. БИЕ ДААЛТЫН БОДЛОГО. ax bx c 0 квадрат тэгшитгэлийн бодит шийдийг олох алгоритм зохиох. Хэрэв төсвийн байгууллагын ажилтан нь доорхи хүснэгтэнд өгсөн цалинтай бол татварыг тооцох программ зохио. Цалин

Διαβάστε περισσότερα

Нягтруулга Multiplexing

Нягтруулга Multiplexing Шинжлэх Ухаан Технологийн Их Сургууль Мэдээлэл Холбооны Технологийн Сургууль Нягтруулга Multiplexing Мэдээллийн Сүлжээний баг Лекц 6 Багш Доктор (Ph.D) Л.Одончимэг Агуулга: Нягтруурлга гэж юу вэ? Нягтруулгын

Διαβάστε περισσότερα

Өгөгдөл(Data) and Дохио(signal)

Өгөгдөл(Data) and Дохио(signal) Мэдээллийн сүлжээ профессорын баг Өгөгдөл(Data) and Дохио(signal) Семинар 2 Багш (Доктор Ph.D) Л.Одончимэг Оюутан юу эзэмших вэ: Өгөгдөл гэж юу вэ? Өгөгдөл ба Дохионы ялгаа Аналог ба Тоон дохионы ялгаа

Διαβάστε περισσότερα

МИКРОКОНТРОЛЛЕРИЙН ХЯЛБАР ДАСГАЛУУД

МИКРОКОНТРОЛЛЕРИЙН ХЯЛБАР ДАСГАЛУУД 3.1. ГЭРЭЛТЭГЧ ДИОДЫГ УДИРДАХ МИКРОКОНТРОЛЛЕРИЙН ХЯЛБАР ДАСГАЛУУД Гэрэлтэгч диодуудыг төрөл бүрийн эффекттэйгээр асааж унтраах эдгээр дасгалууд нь портоор мэдээллийг хэрхэн гаргах талаар үзэх хичээл юм.

Διαβάστε περισσότερα

1. Атомын нарийн нийлмэл бүтэц 19 -р зууны эцэс. Физикийн шинжлэх ухааны нээлтүүд Атомын бүтцийн загварууд Атомын бүтцийн онолууд

1. Атомын нарийн нийлмэл бүтэц 19 -р зууны эцэс. Физикийн шинжлэх ухааны нээлтүүд Атомын бүтцийн загварууд Атомын бүтцийн онолууд CHEM101: Органик биш хими I Ëåêö ¹4 1. Атомын нарийн нийлмэл бүтэц 19 -р зууны эцэс. Физикийн шинжлэх ухааны нээлтүүд Атомын бүтцийн загварууд Атомын бүтцийн онолууд. Атомын электрон давхраат бүтэц, түүнийг

Διαβάστε περισσότερα

Бүрэн дунд боловсролын цөм хөтөлбөрийн хэрэгжилтийг дэмжих арга зүйн зөвлөмж /Суралцахуйн удирдамжийг удидлага болгоно/ Физик

Бүрэн дунд боловсролын цөм хөтөлбөрийн хэрэгжилтийг дэмжих арга зүйн зөвлөмж /Суралцахуйн удирдамжийг удидлага болгоно/ Физик Бүрэн дунд боловсролын цөм хөтөлбөрийн хэрэгжилтийг дэмжих арга зүйн зөвлөмж /Суралцахуйн удирдамжийг удидлага болгоно/ Физик Улаанбаатар хот 2016 он Гарчиг. 1. Хөтөлбөрийн агуулга: a) Багшид тулгамдаж

Διαβάστε περισσότερα

Монгол Улсын Нэгдсэн Түрүүлэгч Индикатор (НТИ, СLI) Др. Б. Эрдэнэбат

Монгол Улсын Нэгдсэн Түрүүлэгч Индикатор (НТИ, СLI) Др. Б. Эрдэнэбат Монгол Улсын Нэгдсэн Түрүүлэгч Индикатор (НТИ, СLI) Др. Б. Эрдэнэбат Сангийн Яам, Дэлхийн Банкны Олон Салбарыг Хамарсан Техник Туслалцааны Төсөл Агуулга I. Зорилго, хэрэглээ II. Бодлого боловсруулагчдын

Διαβάστε περισσότερα

ЗҮРХ СУДАСНЫ ҮНДЭСНИЙ КОНФЕРЕНЦИ Зүрх судасны өвчний хяналт ба менежментийг сайжруулахад

ЗҮРХ СУДАСНЫ ҮНДЭСНИЙ КОНФЕРЕНЦИ Зүрх судасны өвчний хяналт ба менежментийг сайжруулахад ЗҮРХ СУДАСНЫ ҮНДЭСНИЙ КОНФЕРЕНЦИ 2011 Зүрх судасны өвчний хяналт ба менежментийг сайжруулахад 1 Тохиолдолд суурилсан тахиаритмийн ялган оношлогоо Д.Зулгэрэл, PhD, дэд профессор ЭМШУИСийн зүрх судасны тэнхмийн

Διαβάστε περισσότερα

Математикийн хичээлийн даалгавар. Эрхэм шалгуулагч танд амжилт хүсье.

Математикийн хичээлийн даалгавар. Эрхэм шалгуулагч танд амжилт хүсье. Эрхэм шалгуулагч танд амжилт хүсье. Шалгалтын бодлого бодоход ашиглагдах зарим томьёонууд: 1. Конусын хажуу гадаргуу нь SS х.г = ππ RR ll байна. Үүнд ll нь байгуулагч.. log aa kk bb = 1 kk log aa bb 3.

Διαβάστε περισσότερα

ХАВДАР ЭСИЙН ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНД JSAP (JNK/STRESS- ACTIVATED PROTEIN KINASE-ASSOCIATED PROTEIN) УУРГИЙН ОРОЛЦОО

ХАВДАР ЭСИЙН ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНД JSAP (JNK/STRESS- ACTIVATED PROTEIN KINASE-ASSOCIATED PROTEIN) УУРГИЙН ОРОЛЦОО DOI: http://dx.doi.org/10.5564/pmas.v56i3.694 ХАВДАР ЭСИЙН ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНД JSAP (JNK/STRESS- ACTIVATED PROTEIN KINASE-ASSOCIATED PROTEIN) УУРГИЙН ОРОЛЦОО П.Эрдэнэбаатар 1,2, Н.Риота 2, Ё. Кацүжи 2 1 Ерөнхий

Διαβάστε περισσότερα

Монголд уул уурхайн өсөн нэмэгдэж буй үйлдвэрлэл хөдөө аж ахуйн салбарт хэрхэн нөлөөлж байгаа тухай

Монголд уул уурхайн өсөн нэмэгдэж буй үйлдвэрлэл хөдөө аж ахуйн салбарт хэрхэн нөлөөлж байгаа тухай Монголын бэлчээрийн нөхөн сэргэх чадамжийг бэхжүүлэх нь Салбар хөрвөсөн эрдэм шинжилгээний судалгааны хурлын бүтээл, Улаанбаатар хот, Монгол Улс, 2015 оны 6-р сарын 9-10 Монголд уул уурхайн өсөн нэмэгдэж

Διαβάστε περισσότερα

С.Бямбахорлоо (Доктор Ph.D, ММНБ, Аудитор, ТМЗ) СЭЗДСургуулийн ахлах багш

С.Бямбахорлоо (Доктор Ph.D, ММНБ, Аудитор, ТМЗ) СЭЗДСургуулийн ахлах багш С.Бямбахорлоо (Доктор Ph.D, ММНБ, Аудитор, ТМЗ) СЭЗДСургуулийн ахлах багш babur_26@yahoo.com ҮЙЛДВЭРЛЭЛИЙН ӨРСӨЛДӨХ ЧАДВАРЫГ ӨРТГИЙН УДИРДЛАГААР ДЭМЖИХ НЬ (Ноос боловсруулах үйлдвэрлэлийн жишээн дээр)

Διαβάστε περισσότερα

MOR2 ДАТА МЕНЕЖМЕНТ & АНАЛИЗ ХИЙХ СУРГАЛТ СЕМИНАР. 6 сарын 17-18, 2013, Гео-Экологийн Хүрээлэн, Улаанбаатар хот, Монгол Улс

MOR2 ДАТА МЕНЕЖМЕНТ & АНАЛИЗ ХИЙХ СУРГАЛТ СЕМИНАР. 6 сарын 17-18, 2013, Гео-Экологийн Хүрээлэн, Улаанбаатар хот, Монгол Улс MOR2 ДАТА МЕНЕЖМЕНТ & АНАЛИЗ ХИЙХ СУРГАЛТ СЕМИНАР 6 сарын 17-18, 2013, Гео-Экологийн Хүрээлэн, Улаанбаатар хот, Монгол Улс Хөтөлбөр Нээлтийн ажиллагаа, Удиртгал, Анхны мэдлэгийн шалгуур 1-р хэсэг, 6 сарын

Διαβάστε περισσότερα

ÄÎÒÎÎÄÛÍ ÍÝÄ ÍªËªªËªÃ Õ ÈÍ Ç ÉËÑÈÉÍ ØÈÍÆÈËÃÝÝ

ÄÎÒÎÎÄÛÍ ÍÝÄ ÍªËªªËªÃ Õ ÈÍ Ç ÉËÑÈÉÍ ØÈÍÆÈËÃÝÝ ÄÎÒÎÎÄÛÍ ÍÝÄ ÍªËªªËªÃ Õ ÈÍ Ç ÉËÑÈÉÍ ØÈÍÆÈËÃÝÝ Санхүү Эдийн Засгийн Дээд Сургууль Боловсруулсан: Багийн ахлагч Ц.Батсүх (Ph.D, Экономиксийн тэнхимийн багш) Багийн гишүүд: Д.Больтогтох (Ph.D, Санхүү удирдлагын

Διαβάστε περισσότερα

LATEX 2ε-ийн гарын авлага

LATEX 2ε-ийн гарын авлага LATEX 2ε-ийн гарын авлага буюу L A TEX 2ε-г 141 минутад Тобиас Оетикер Хьюберт Партл, Ирэн Хина, Элизабет Шлегл Хувилбар 4.26, 2008 оны 09-р сарын 25 Орчуулсан: Доржготовын Батмөнх ii Зохиогчийн эрх 1995-2005

Διαβάστε περισσότερα

Агуулга. Нүүрс ус. Моносахарид Гликозид, гликозидийн холбоо Дисахарид Полисахарид. Ангилал Нэршил

Агуулга. Нүүрс ус. Моносахарид Гликозид, гликозидийн холбоо Дисахарид Полисахарид. Ангилал Нэршил НҮҮРС УС Лекц 3 Агуулга Нүүрс ус Ангилал Нэршил Моносахарид Гликозид, гликозидийн холбоо Дисахарид Полисахарид Нүүрс ус амьд эд эсийн бүрэлдэхүүн хэсэг хоол тэжээлийн нөөц, энергийн үндсэн эх үүсвэр Түлш

Διαβάστε περισσότερα

ХЕПАТИТЫН С ВИРҮСИЙН ХАЛДВАРЫГ ЭРТ ИЛРҮҮЛЭХ, ОНОШЛОХ, ЭМЧЛЭХ УДИРДАМЖ оны 4-р сар УДИРДАМЖ

ХЕПАТИТЫН С ВИРҮСИЙН ХАЛДВАРЫГ ЭРТ ИЛРҮҮЛЭХ, ОНОШЛОХ, ЭМЧЛЭХ УДИРДАМЖ оны 4-р сар УДИРДАМЖ 1 ХЕПАТИТЫН С ВИРҮСИЙН ХАЛДВАРЫГ ЭРТ ИЛРҮҮЛЭХ, ОНОШЛОХ, ЭМЧЛЭХ УДИРДАМЖ 2014 оны 4-р сар УДИРДАМЖ 2 Дэлхийн Эрүүл Мэндийн Байгууллагаас 2014 онд "Guidelines for the Screening, Care and Treatment of persons

Διαβάστε περισσότερα

МОНГОЛ ОРНЫ ЗАРИМ ЭМИЙН МӨӨГНИЙ ХИМИЙН НАЙРЛАГЫГ СУДАЛСАН ДҮН

МОНГОЛ ОРНЫ ЗАРИМ ЭМИЙН МӨӨГНИЙ ХИМИЙН НАЙРЛАГЫГ СУДАЛСАН ДҮН DOI: http://dx.doi.org/10.5564/pmas.v54i3.646 МОНГОЛ ОРНЫ ЗАРИМ ЭМИЙН МӨӨГНИЙ ХИМИЙН НАЙРЛАГЫГ СУДАЛСАН ДҮН Ш.Наранмандах, Н.Дагийсүрэн МУИС. Шинжлэх ухааны сургуь Хураангуй Сүүлийн жилүүдэд монголчууд

Διαβάστε περισσότερα

CЭТГҮҮЛЧДЭД ЗОРИУЛСАН ГАРЫН АВЛАГА

CЭТГҮҮЛЧДЭД ЗОРИУЛСАН ГАРЫН АВЛАГА МОНГОЛБАНК CЭТГҮҮЛЧДЭД ЗОРИУЛСАН ГАРЫН АВЛАГА (Анхан шатны сургалт) Олон Нийтийн Боловсрол, Мэдээллийн Төв Монгол Улс, Улаанбаатар хот, Бага тойруу-3, 15160, CЭТГҮҮЛЧДЭД ЗОРИУЛСАН ГАРЫН АВЛАГА (Анхан шатны

Διαβάστε περισσότερα

БАЯЖУУЛАЛТЫН ТЕХНОЛОГИ

БАЯЖУУЛАЛТЫН ТЕХНОЛОГИ мби коул энд минералс техноложи гмбх БАЯЖУУЛАЛТЫН ТЕХНОЛОГИ ТУЛГУУР ЧАНАР ЗАРЧИМУУД МААНЬ ҮРГЭЛЖ ХЭВЭЭРЭЭ МБИ КОУЛ ЭНД МИНЕРАЛС ТЕХНОЛОЖИ ГМБХ Готтфрийд-Хагены гудамж 20, 51105 Кёльн хот, Герман улс Утас:

Διαβάστε περισσότερα

ФИЛОСОФИЙН НЭР ТОМЬЁОНЫ ТОВЧ ТОЛЬ

ФИЛОСОФИЙН НЭР ТОМЬЁОНЫ ТОВЧ ТОЛЬ ФИЛОСОФИЙН НЭР ТОМЬЁОНЫ ТОВЧ ТОЛЬ 1 МОНГОЛ УЛСЫН ШИНЖЛЭХ УХААНЫ АКАДЕМИЙН ФИЛОСОФИ, СОЦИОЛОГИ, ЭРХ ЗҮЙН ХҮРЭЭЛЭН М.ЗОЛЗАЯА С.СОЁЛМАА ФИЛОСОФИЙН НЭР ТОМЬЁОНЫ ТОВЧ ТОЛЬ (МОНГОЛ- АНГЛИ- ОРОС) УЛААНБААТАР

Διαβάστε περισσότερα

АКТИВЫГ АНГИЛАХ, АКТИВЫН ЭРСДЭЛИЙН САН БАЙГУУЛЖ, ЗАРЦУУЛАХ ЖУРМЫН ШИНЭЧИЛСЭН НАЙРУУЛГЫН ТӨСӨЛ

АКТИВЫГ АНГИЛАХ, АКТИВЫН ЭРСДЭЛИЙН САН БАЙГУУЛЖ, ЗАРЦУУЛАХ ЖУРМЫН ШИНЭЧИЛСЭН НАЙРУУЛГЫН ТӨСӨЛ ЖУРМЫН ТӨСӨЛ АКТИВЫГ АНГИЛАХ, АКТИВЫН ЭРСДЭЛИЙН САН БАЙГУУЛЖ, ЗАРЦУУЛАХ ЖУРМЫН ШИНЭЧИЛСЭН НАЙРУУЛГЫН ТӨСӨЛ НЭГ. НИЙТЛЭГ ҮНДЭСЛЭЛ 1.1. Энэхүү журмын зорилго нь Банк, эрх бүхий хуулийн этгээдийн мөнгөн хадгаламж,

Διαβάστε περισσότερα

Хэсэг 21 Монголын нийслэлд хэлмэгдүүлэлтийн өмнө болон шашин сэргэсний дараах бурханы шашны зан үйл, баяр ёслол

Хэсэг 21 Монголын нийслэлд хэлмэгдүүлэлтийн өмнө болон шашин сэргэсний дараах бурханы шашны зан үйл, баяр ёслол Хэсэг 21 Монголын нийслэлд хэлмэгдүүлэлтийн өмнө болон шашин сэргэсний дараах бурханы шашны зан үйл, баяр ёслол Кристина Телеки Монголын Бурханы шашны зан үйлүүд нь Бурханы шашныг түгээн дэлгэрүүлэх, хамаг

Διαβάστε περισσότερα

орон нутгийн эдийн ЗАСАг, САнхүүгИйн САлБАРын Тойм Боловсруулсан: МБСГ, СХ-ийн эдийн засагч Ë.Дөлгөөн Удирдаж зөвлөсөн: МБСГ, СХ-ийн захирал Н.

орон нутгийн эдийн ЗАСАг, САнхүүгИйн САлБАРын Тойм Боловсруулсан: МБСГ, СХ-ийн эдийн засагч Ë.Дөлгөөн Удирдаж зөвлөсөн: МБСГ, СХ-ийн захирал Н. орон нутгийн эдийн ЗАСАг, САнхүүгИйн САлБАРын Тойм Боловсруулсан: МБСГ, СХ-ийн эдийн засагч Ë.Дөлгөөн Удирдаж зөвлөсөн: МБСГ, СХ-ийн захирал Н.Амар ОРОН НУТГИЙН ЭДИЙН ЗАСАГ, САНХҮҮГИЙН САЛБАРЫН ТОЙМ Л.Дөлгөөн

Διαβάστε περισσότερα

ЗҮРХ СУДАСНЫ ҮНДЭСНИЙ КОНФЕРЕНЦИ Зүрх судасны өвчний хяналт ба менежментийг сайжруулахад

ЗҮРХ СУДАСНЫ ҮНДЭСНИЙ КОНФЕРЕНЦИ Зүрх судасны өвчний хяналт ба менежментийг сайжруулахад ЗҮРХ СУДАСНЫ ҮНДЭСНИЙ КОНФЕРЕНЦИ 2011 Зүрх судасны өвчний хяналт ба менежментийг сайжруулахад 1 2 Кардиомиопати: ангилал, оношлогоо, эмчилгээ Д. Мөнгөнчимэг, Зүрх Судасны Төв 3 Кардиомиопатийн ангилал

Διαβάστε περισσότερα

СҮРЬЕЭГИЙН АСУУЛТ, ХАРИУЛТУУД ИЛРҮҮЛЭЛТ, ЭМЧИЛГЭЭ, БА ХЯНАЛТ ХОЁРДАХЬ ХЭВЛЭЛ ДЭЛХИЙН ЭРҮҮЛ МЭНДИЙН БАЙГУУЛЛАГА ЖЕНЕВ

СҮРЬЕЭГИЙН АСУУЛТ, ХАРИУЛТУУД ИЛРҮҮЛЭЛТ, ЭМЧИЛГЭЭ, БА ХЯНАЛТ ХОЁРДАХЬ ХЭВЛЭЛ ДЭЛХИЙН ЭРҮҮЛ МЭНДИЙН БАЙГУУЛЛАГА ЖЕНЕВ СҮРЬЕЭГИЙН ИЛРҮҮЛЭЛТ, ЭМЧИЛГЭЭ, БА ХЯНАЛТ АСУУЛТ, ХАРИУЛТУУД ХОЁРДАХЬ ХЭВЛЭЛ ДЭЛХИЙН ЭРҮҮЛ МЭНДИЙН БАЙГУУЛЛАГА ЖЕНЕВ 2 Сүрьеэгийн Èлрүүлэлт, эмчилгээ, ба хяналт асуулт, хариултууд Хоёрдахь хэвлэл Хянасан

Διαβάστε περισσότερα

ЗҮРХ СУДАСНЫ ҮНДЭСНИЙ КОНФЕРЕНЦИ Зүрх судасны өвчний хяналт ба менежментийг сайжруулахад

ЗҮРХ СУДАСНЫ ҮНДЭСНИЙ КОНФЕРЕНЦИ Зүрх судасны өвчний хяналт ба менежментийг сайжруулахад ЗҮРХ СУДАСНЫ ҮНДЭСНИЙ КОНФЕРЕНЦИ 2011 Зүрх судасны өвчний хяналт ба менежментийг сайжруулахад 1 Миокардит ЭМШУИС-ийн ЗСР-ийн тэнхмийн ахлах багш Б.Бурмаа 2 Миокардит ЭМШУИС-ийн ЗСР-ийн тэнхмийн ахлах багш

Διαβάστε περισσότερα

Уран олборлолт Танзани улсад ашигтай юу?

Уран олборлолт Танзани улсад ашигтай юу? Уран олборлолт Танзани улсад ашигтай юу? Уран олборлолт, уурхайн хаягдал тэйлинг ба хожим гарах зардлын эдийн засгийн тооцоо Уран олборлолтод нөлөөлөx хүчин зүйлс, тэдгээрийн эдийн засгийн тооцоо, баримт

Διαβάστε περισσότερα

СЭЛЭНГЭ МӨРНИЙ САВ ГАЗРЫН ГОЛ МӨРНИЙ УСНЫ ЧАНАРЫН АЖИГЛАЛТ ХЭМЖИЛТИЙН НЭГДСЭН ХӨТӨЛБӨР

СЭЛЭНГЭ МӨРНИЙ САВ ГАЗРЫН ГОЛ МӨРНИЙ УСНЫ ЧАНАРЫН АЖИГЛАЛТ ХЭМЖИЛТИЙН НЭГДСЭН ХӨТӨЛБӨР Гүйцэтгэгчид: Холбооны улсын төсвийн байгууллага «Усны химийн хүрээлэн» (ХУТБ «УХХ»); Холбооны улсын төсвийн байгууллага «Бурятский ЦГМС» СЭЛЭНГЭ МӨРНИЙ САВ ГАЗРЫН ГОЛ МӨРНИЙ УСНЫ ЧАНАРЫН АЖИГЛАЛТ ХЭМЖИЛТИЙН

Διαβάστε περισσότερα

ЦАЙДАМ НУУРЫН ОРДЫН НҮҮРСНИЙ ХАЛУУНЫ БОЛОВСРУУЛАЛТ, ХАТУУ БА ШИНГЭН БҮТЭЭГДЭХҮҮНИЙ СУДАЛГАА

ЦАЙДАМ НУУРЫН ОРДЫН НҮҮРСНИЙ ХАЛУУНЫ БОЛОВСРУУЛАЛТ, ХАТУУ БА ШИНГЭН БҮТЭЭГДЭХҮҮНИЙ СУДАЛГАА DOI: http://dx.doi.org/10.5564/pmas.v54i1.659 ЦАЙДАМ НУУРЫН ОРДЫН НҮҮРСНИЙ ХАЛУУНЫ БОЛОВСРУУЛАЛТ, ХАТУУ БА ШИНГЭН БҮТЭЭГДЭХҮҮНИЙ СУДАЛГАА С.Батбилэг, Б.Пүрэвсүрэн, Я.Даваажав, Ж.Намхайноров ШУА-ийн Хими,

Διαβάστε περισσότερα

Transmission of Analog Signal

Transmission of Analog Signal Шинжлэх Ухаан Технологийн Их Сургууль Мэдээлэл Холбооны Технологийн Сургууль Мэдээллийн сүлжээний профессорын баг Transmission of Analog Signal Лекц 5 Багш (Ph.D)Л.Одончимэг Аналог дохио дамжуулал Агуулга:

Διαβάστε περισσότερα

ЛЕКЦ 13 Полисахарид Цардуул

ЛЕКЦ 13 Полисахарид Цардуул ЛЕКЦ 13 Полисахарид Нэг төрлийн буюу гомополисахарид эсвэл өөр өөр төрлийн гетерополисахарид монозын үлдэгдлээс тогтсон, байгальд фотосинтезээр үүсдэг өндөр молекулт нүүрс усыг полисахарид (буюу полиоз)

Διαβάστε περισσότερα

ҮЙЛЧИЛГЭЭНИЙ 2017 ТАНИЛЦУУЛГА Schedule of Services

ҮЙЛЧИЛГЭЭНИЙ 2017 ТАНИЛЦУУЛГА Schedule of Services ҮЙЛЧИЛГЭЭНИЙ 2017 ТАНИЛЦУУЛГА Schedule of Services Right Solutions Right Partner alsglobal.com ЗӨВ ШИЙДЭЛ ЗӨВ ХАМТРАГЧ Хайгуулын ажлын арга барилыг хөгжүүлэх Evolving exploration concepts Таны хайгуулын

Διαβάστε περισσότερα

АНДЕРРАЙТИНГИЙН ГАРЫН УЛААНБААТАР ХОТ АВЛАГА

АНДЕРРАЙТИНГИЙН ГАРЫН УЛААНБААТАР ХОТ АВЛАГА 2014 АНДЕРРАЙТИНГИЙН ГАРЫН УЛААНБААТАР ХОТ АВЛАГА ДААТГАЛЫН ТӨРӨЛ: ТЭЭВРИЙН ХЭРЭГСЛИЙН ДААТГАЛ Д.Жаргал /Монгол Даатгал ХХК/ С.Золбоо /Практикал Даатгал ХХК/ Ч.Бат-Эрдэнэ /Бодь Даатгал ХХК/ С.Нарантунгалаг

Διαβάστε περισσότερα

Хамтарсан кредит олгох механизмын хүрээнд Магадлагаа, Нотологоо хийх талаар Төсөлд оролцогч талын олж мэдсэн зарим туршлага ЕЕС ХХК

Хамтарсан кредит олгох механизмын хүрээнд Магадлагаа, Нотологоо хийх талаар Төсөлд оролцогч талын олж мэдсэн зарим туршлага ЕЕС ХХК Хамтарсан кредит олгох механизмын хүрээнд Магадлагаа, Нотологоо хийх талаар Төсөлд оролцогч талын олж мэдсэн зарим туршлага Ж. Доржпүрэв ЕЕС ХХК 04 оны -рр сарын, Улаанбаатар Дулаан хангамжийн зориулалттай,

Διαβάστε περισσότερα

ШАР ХАЛУУНЫ ГҮРЭМ-7 УЛАМЖЛАЛТ ЖОР БОЛОН ТҮҮНЭЭС БЭЛДСЭН НЭМЭЛТ-4 БЭЛДМЭЛИЙН ГЕНТАМИЦИНААР ӨДӨӨСӨН НЕФРОХОРДОЛТОНД ҮЗҮҮЛЭХ НӨЛӨӨ

ШАР ХАЛУУНЫ ГҮРЭМ-7 УЛАМЖЛАЛТ ЖОР БОЛОН ТҮҮНЭЭС БЭЛДСЭН НЭМЭЛТ-4 БЭЛДМЭЛИЙН ГЕНТАМИЦИНААР ӨДӨӨСӨН НЕФРОХОРДОЛТОНД ҮЗҮҮЛЭХ НӨЛӨӨ Proceedings of the Mongolian Academy of Sciences Vol. 54 No 03 (211) 2014 DOI: http://dx.doi.org/10.5564/pmas.v54i3.641 ШАР ХАЛУУНЫ ГҮРЭМ-7 УЛАМЖЛАЛТ ЖОР БОЛОН ТҮҮНЭЭС БЭЛДСЭН НЭМЭЛТ-4 БЭЛДМЭЛИЙН ГЕНТАМИЦИНААР

Διαβάστε περισσότερα

International expert consultation on sanitation in cold climate. Opening speech

International expert consultation on sanitation in cold climate. Opening speech International expert consultation on sanitation in cold climate Opening speech 2 "Õ éòýí óóð àìüñãàëòàé îðíóóäûí àðèóí öýâðèéí áàéãóóëàìæèéí øèéäýë îëîí óëñûí çºâëºëäºõ óóëçàëò Opening speech INTERNATIONAL

Διαβάστε περισσότερα

С. Лувсандондовын зохиосон ерөөл ба морины цолын шинээр олдсон гар бичмэлийн судалгаа 1

С. Лувсандондовын зохиосон ерөөл ба морины цолын шинээр олдсон гар бичмэлийн судалгаа 1 Ondřej Srba Прага дахь Карлын их сургууль С. Лувсандондовын зохиосон ерөөл ба морины цолын шинээр олдсон гар бичмэлийн судалгаа 1 1. Сэдбазарын Лувсандондов хийгээд түүний зохиол бүтээл Халхын алдартай

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις και τα αντίστοιχα προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών που θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Επίσης, θα δούμε ορισμένες ιδιότητες και

Διαβάστε περισσότερα

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση 1. Να λυθεί η εξίσωση: 4 1 + 3i. Λύση. Επειδή 1 + 3i e πi/3, οι λύσεις της εξίσωσης 4 1 + 3i

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Θεωρία Κελυφών Βασικές αρχές (διαφορική γεωµετρία) Καµπύλη στο χώρο Μοναδιαίο Εφαπτοµενικό ιάνυσµα

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 72 Fringe: Season 1 Episode 10 73 Επίλυση Δ.Δ.Σ. 2 ης τάξης Έστω το γενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες. ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,

Διαβάστε περισσότερα

( () () ()) () () ()

( () () ()) () () () ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ η ΕΡΓΑΣΙΑ. Προθεσµία παράδοσης 16/11/10

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ η ΕΡΓΑΣΙΑ. Προθεσµία παράδοσης 16/11/10 9// ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 3 - η ΕΡΓΑΣΙΑ Προθεσµία παράδοσης 6// Άσκηση A) Θεωρούµε x την απόσταση της µάζας m από το σηµείο ισορροπίας της και x, x3 τις αποστάσεις των µαζών m και m3 από το

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός.

Παράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Παράρτημα Αʹ Ασκησεις Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Άσκηση 1. Συμβατικά στην περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού ϕάσματος μακρινό υπέρυθρο (far infrared, FIR) έχουμε μήκος

Διαβάστε περισσότερα

( () () ()) () () ()

( () () ()) () () () ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t, ( t, z( t, t I = [ a, b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 215-16. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε το πρόβλημα συνοριακών συνθηκών u xx + u yy =, u(x, ) = u(x, π) =, u(, y) =, u(a, y) = sin 2y + 4 sin 5y, < x

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Σχήµα 6.1

Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Σχήµα 6.1 6 Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 6.1.1 Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Υποθέτουµε ότι το ελατήριο έχει αρχικό µήκος µηδέν, ιδανικό ελατήριο. F=-kx x K M x Σχήµα 6.1 ιαστάσεις µεγεθών

Διαβάστε περισσότερα

1 2 3 4 C n a k max 1 = 92% max 1 = 70% max 1 = 60% max 1 = 50% min(p) = 180 max(p) = 180 min(p) = 90 max(p) = 145 min(p) = 0 max(p) = 90 min(w) = w q min(w) = 2 w q min(w) = 3 w q 1 2 3 X L R Z δ

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών

Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Κεφάλαιο 9 Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε αναπτύγματα συναρτήσεων σε σειρές Fourier και την εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων συνοριακακών τιμών (ΠΣΤ)

Διαβάστε περισσότερα

ϕ n n n n = 1,..., N n n {X I, Y I } {X r, Y r } (x c, y c ) q r = x a y a θ X r = [x r, y r, θ r ] X I = [x I, y I, θ I ] X I = R(θ)X r R(θ) R(θ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 Ẋ I = R(θ)Ẋr y r ẏa r

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

Suggested Solution to Assignment 4

Suggested Solution to Assignment 4 MATH 40 (015-16) partia diferentia equations Suggested Soution to Assignment 4 Exercise 41 The soution to this probem satisfies the foowing PDE u t = ku xx, (0 < x

Διαβάστε περισσότερα

Λύση: Εξισώσεις βολής. Κάθετα δυο διανύσματα => εσωτερικό γινόμενο = 0. Δευτεροβάθμια ως προς t. Διακρίνουσα. Κρατάμε μόνο τον θετικό χρόνο

Λύση: Εξισώσεις βολής. Κάθετα δυο διανύσματα => εσωτερικό γινόμενο = 0. Δευτεροβάθμια ως προς t. Διακρίνουσα. Κρατάμε μόνο τον θετικό χρόνο 1) Σημειακή μάζα 0.4 kg εκτοξεύεται με ταχύτητα 17 m/s στο t = 0 από την αρχή των αξόνων με γωνία 72 0 ως προς τον άξονα x ο οποίος είναι παράλληλος με το έδαφος. Εάν στη μάζα ασκείται μόνο το βάρος της

Διαβάστε περισσότερα

X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F

X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως

Διαβάστε περισσότερα

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων.

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Αριστείδης Κοντογεώργης -Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ Πρότυπο Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης 21 Οκτωβρίου 2015 1 το τελευταίο θεώρημα του

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με τη βοήθεια των συναρτήσεων Bessel Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS 1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης λέγονται οι εξισώσεις τύπου y + p(x)y + g(x)y = f(x) (1.1) Οταν f(x) = 0 η εξίσωση y + p(x)y +

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/14 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 27) Να υπολογιστεί η βασική

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;). ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες)

ΘΕΜΑ 1. Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες) ΘΕΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες) ΕΠΙΛΥΣΗ: Ο φορέας χωρίζεται στα τμήματα Α και Β. Το τμήμα Α είναι τριαρθρωτό τόξο. Απομονώνοντας το Α και

Διαβάστε περισσότερα

/

/ 2016 2 / 4 6 7 8 10 12 14 16 18 20 22 24 25 2 3 4 5 6 ivision Shanghai Co., Ltd. 7 ʰ ʥ Ϳ ^ŽƵƚŚ ^ƚăīžƌěɛśŝƌğ ರ ರ ʰ ʥ ^ŽƵƚŚ ^ƚăīžƌěɛśŝƌğ ^^ ^ŽƵƚŚ ^ƚăīžƌěɛśŝƌğ ĂŵďƌŝĚŐĞ ϭ ϲ ರ ರ ರರ ರ ರ ʺ ʰ ʥ ϯϭ ರ ರ ರ ರರ ˑ

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6. 1 8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πρόβλημα 8.6. Το σύρμα του παρακάτω σχήματος έχει άπειρο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I. Υπολογίστε με τη βοήθεια του νόμου του Biot-Savart με ολοκλήρωση το μέτρο και την κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15. Ευστάθεια Συστημάτων (Ευστάθεια Lyapunov - Ασυμπτωτική Ευστάθεια) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία 0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής (ΜΙΣ:379416) Μέθοδος Φωκά για Ασυνεχή Προβλήματα

Θαλής (ΜΙΣ:379416) Μέθοδος Φωκά για Ασυνεχή Προβλήματα Το Πρόβλημα Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα Διονύσιος Μαντζαβίνος 1, Παπαδοπούλου Έλενα 2, Παπαδομανωλάκη Μαριάννα 2, Σαριδάκης Γιάννης 2, Σηφαλάκης Τάσος 2, Ασβεστάς Μάριος 2 1 Τμήμα Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Minion Pro Condensed A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

Minion Pro Condensed A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U Minion Pro Condensed Latin capitals A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z & Æ Ł Ø Œ Þ Ð Á Â Ä À Å Ã Ç É Ê Ë È Í Î Ï Ì İ Ñ Ó Ô Ö Ò Õ Š Ú Û Ü Ù Ý Ÿ Ž Ă Ā Ą Ć Č Ď Đ Ě Ė Ē Ę Ğ Ģ Ī Į Ķ Ĺ Ľ Ļ Ń

Διαβάστε περισσότερα