РЕПУБЛИЧКИ СЕМИНАРИ 2014.

Transcript

1 ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ РЕПУБЛИЧКИ СЕМИНАРИ О НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ И РАЧУНАРСТВА У ОСНОВНИМ И СРЕДЊИМ ШКОЛАМА БЕОГРАД 2014.

2 2 ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Београд, Кнеза Михаила 35/IV Телефон Факс РЕПУБЛИЧКИ СЕМИНАРИ о настави математике и рачунарства у основним и средњим школама Организациони одбор: др Синиша Црвенковић др Александар Липковски др Зоран Каделбург др Владимир Јанковић др Војислав Андрић др Гордана Павловић Лажетић Штампа: ВЕДЕС, Београд Тираж: 600 примерака

3 3 РЕПУБЛИЧКИ СЕМИНАРИ о настави математике и рачунарства у основним и средњин школама 1. Унапређивање наставе математике у старијим разредима основне школе 2014 (бр. 325) 2. Зимски републички семинар о настави математике у средњим школама 2014 (бр. 295) 3. Унапређивање наставе рачунарства у основним и средњим школама (бр. 281) Семинари се одржавају 18. и 19. јануара године на Економском факултету Универзитета у Београду, Каменичка 6. Семинари почињу пленарним састанком у 11 часова у Амфитеатру 1 Економског факултета (приземље). Семинари су акредитовани од стране Завода за унапређивање образовања и васпитања под наведеним бројевима, у оквиру програма стручног усавршавања запослених у образовању. Сваки учесник семинара добија сертификат о савладаном програму у трајању од 16 часова који му се признаје за лиценцу и напредовање у служби. ПРАТЕЋИ ДОГАЂАЈИ У суботу за све време трајања семинара у холу Економског факултета организована је продајна изложба математичке литературе коју издају Друштво математичара Србије и други издавачи. У суботу после завршетка рада секција, од 18:00 на Економском факултету се одржава Скупштина Друштва математичара Србије. У суботу у 20:00 за заинтересоване учеснике Семинара организовано је Вече математичара у хотелу Касина, Теразије 25. Пријаве и уплате у износу од 1700 динара по особи примају се на штанду ДМС у холу Економског факултета до 12 часова. У истом хотелу је обезбеђен смештај за учеснике семинара.

4 4 ХОТЕЛ КАСИНА*** Београд, Теразије 25, телефон рецепције (011) Хотел Касина налази се у строгом центру Београда, преко пута Теразијске чесме која је саграђена за време владавине кнеза Милоша. Хотел Касина је један од најстаријих хотела у Београду, саграђен 1856, чији је први власник био Стеван Лукић. Касина је настала тако што је група грађана поднела захтев властима за оснивање клуба по угледу на енглеске и дала му име које и данас носи. Године у хотелу је на кратко време заседала Народна скупштина Србије, а до године, приређиване су представе Народног позоришта. Садашња зграда хотела саграђена је на истом месту Тада је то била највиша зграда на Теразијима. ДОБИТНИЦИ ЗАХВАЛНИЦА Захвалнице за дугогодишњу сарадњу: Машински факултет Универзитета у Београду Рачунарска гимназија Београд

5 5 ПРОГРАМ СЕМИНАРА Субота, 18. јануар, Економски факултет, Каменичка 6 ПЛЕНАРНИ ДЕО, Амфитеатар 1, приземље 11:00-11:30 Отварање семинара. Додела захвалница и повеља. Обраћање гостију 11:30-12:15 Милосав Марјановић (Београд): Рачунање EULER POINCARÉ ове карактеристике 12:15-12:45 Александар Липковски (Београд): Поглед кроз математичку призму: куд плови српски образовни брод? 12:45-13:15 Владимир Јанковић (Београд): Mатематичка такмичења ученика основних и средњих школа Пауза за ручак. После подне рад се наставља у три паралелне секције. СЕКЦИЈА ЗА ОСНОВНЕ ШКОЛЕ, Амфитеатар 1, приземље 15:00-15:45 Војислав Андрић (Ваљево), Драгана Станојевић (Београд): Завршни испит изазови и дилеме (I и II део) 15:50-16:10 Мирослав Марић, Славиша Радовић (Београд): Примена информационо комуникационих технологија у настави: платформа езбирка 16:15-16:35 Владимир Балтић (Београд): Суме разломака на такмичењима ученика основних школа 16:40-17:00 Милорад Шуковић, Зоран Ловрен (Аранђеловац): Неки примери независности 17:05-17:25 Бојан Лазић (Сомбор), Мика Ракоњац (Београд): Интегративни приступ настави математике у вишим разредима основне школе 17:30-17:50 Наталија Будински (Руски Крстур): Реалистична математика и вршњачка едукација уз оригами СЕКЦИЈА ЗА СРЕДЊЕ ШКОЛЕ, Амфитеатар 4, приземље 15:00-15:20 Ђорђе Баралић: Први Хајделбершки форум лауреата 15:25-15:45 Вера Ивковић (Београд): Примена тригонометрије 15:50-16:10 Зорица Маринковић и сарадници (Земун): Иницијални тест из математике за ученике I разреда Земунске гимназије 16:15-17:00 Јован Кнежевић, Александра Равас (Београд), Нела Спасојевић (Трстеник): Аналитичка геометрија - шта ће то мени? (I и II део) 17:05-17:25 Зевџо Хурић (Пријепоље): Инклузија и настава математике

6 6 СЕКЦИЈА ЗА НАСТАВУ РАЧУНАРСТВА и примену рачунара у настави математике, Амфитеатар 5, приземље 15:00-15:20 Синиша Ђорђевић, Лазар Васић, Миодраг Јањевић: Матурски рад као припрема учила 15:25-15:45 Синиша Ђорђевић, Стефан Димитријевић (Лесковац): Логистика за израду апликација за мобилне телефоне 15:50-16:10 Миљан Г. Јеремић (Књажевац): C# и базе података визуелне компоненте за повезивање, приказивање и модификацију база података у Windows окружењу 16:15-16:35 Бојана О. Аврамовић (Београд): SERVER (WAMPSERVER), PHP SCRIPT, ODBC, ACCESS (QUERIES) 16:40-17:00 Соња Шумоња (Ниш): Математика на Moodle-у 17:05-17:25 Милан Живановић (Бајина Башта): Геогебра и логичкоматематичке игре 17:30-17:50 Вељко Вранић (Београд): Cinderella у настави математике 18:00 Скупштина Друштва математичара Србије, Амфитеатар 1, приземље 20:00 вечера, ресторан хотела «Касина»

7 7 Недеља, 19. јануар, Економски факултет, Каменичка 6 У недељу се учесници семинара распоређују по мањим групама и раде у оквиру тема које су пријавили. Сваки учесник прати једну тему пре и једну после подне, по сопственом избору. Рад се одвија пре подне од 9:30 до 12:30 и после подне од 14:30 до 17:30 сати у салама А2, А3, А4, А5 (приземље), С21 и РЦ (II спрат). Распоред тема по салама биће објављен на Економском факултету. Од предавача ће добити штампане материјале, а на крају ће попунити анкетне листове и добити сертификате. Биће реализоване следеће теме: Пре подне (9:30-12:30) 1. Срђан Огњановић, Оливера Тодоровић: Компетенције наставника математике примери са часова 2. Раде Живаљевић: Жива математика 3. Војислав Андрић: Припрема ученика основних школа за завршни испит из математике 4. Милан Живановић: Питагорине тројке у редовној и додатној настави математике 5. Војислав Петровић: Геометријске трансформације 6. Градимир Војводић: Како да заинтересујемо ученике средњих школа за математику После подне (14:30-17:30) 7. Ђурђица Такачи: Динамичке особине програмског пакета Geogebra у настави математике 8. Синиша Црвенковић: Нестандардни математички проблеми у основним и средњим школама 9. Милосав Миленковић, Драгољуб Ђорђевић: Визуaлизација наставног процеса математике у средњим школамa 10. Ђорђе Баралић, Здравко Цветковски: Пепељуга и магични свет коника 11. Розалија Мадарас Силађи: Од елементарне математике до Хилбертових проблема 12. Ђорђе Дугошија: Скупови и логика у средњој школи

8 8 АПСТРАКТИ ПЛЕНАРНИХ ПРЕДАВАЊА академик Милосав М. Марјановић (Београд) РАЧУНАЊЕ EULER POINCARÉ ОВЕ КАРАКТЕРИСТИКЕ Из геометрије знамо за чувену Euler-ову теорему по којој, за конвексне полиедре важи формула v i + s = 2, где је v број врхова, i број ивица и s број страна тог полиедра. Постоји низ врло интересантних примена ове теореме. Сматра се да је Descartes први извео једну варијанту ове формуле (ρ = 2φ + 2α 4, где је α број врхова, φ број страна и ρ број равнинских углова конвексног полиедра). Горе наведени облик потиче од Euler-а (1752) који наводи и један не сасвим коректан доказ. Први коректан доказ потиче од Legendre-а (1794), а потом је, као и у случају других знаменитих тврђења, изведен већи број (двадесетак) различитих доказа. Појам n-димензионог симплекса као најмањег конвексног скупа који садржи n + 1 тачку у општем положају генералише појмове дужи, троугла и тростране пирамиде (који су 1, 2 одн. 3-дим. симплекси). Полиедар димензије n је унија симплекса димензије n који кад се секу, секу се по заједничкој страни. Швајцарски математичар L. Schäfli (око 1850) генералисао је Euler-ову формулу, доказујући да за конвексне n-полиедре важи релација f 0 f (-1) n-1 f n-1 = 1 (-1) n, где је f i број i-симплекса тог полиедра. Најзначајнију генерализацију направио је велики класични математичар H. Poincaré ( ) дефинишући тополошку инваријанту коју зовемо Euler-Poncaré-ова карактеристика (E-P-карактеристика) за n-димензиони полиедар М, χ(m) = β 0 β (-1) n β n, где су β i такозвани Betti-јеви бројеви (тј. рангови хомолошких група H i (M)) и доказујући једнакост χ(m) = f 0 f (-1) n f n (где f i имају значење из Schäfli-јеве формуле). Овакво излагање је формално и претпоставља познавање основа алгебарске топологије. Али наш циљ је да говоримо о E-P карактеристици на начин који ће бити разумљив и оним слушаоцима који немају никакво предзнање из топологије. Тако ћемо уз пројектовање слика тумачити интуитивно: - тополошку еквивалентност два геометријска објекта као могућност да један од њих замишљамо да се непрекидно деформише без преклапања тачака док се не доведе до подударности с другим, - тополошка својства (инваријанте) као она која су толико стабилна да се чувају при таквим непрекидним деформацијама, па ћемо затим: - рачунати E-P карактеристику индуктивно: за коначан скуп тачака његова E-P карактеристика је број тих тачака, линије ћемо разлагати на коначне скупове тачака, површи на линије, тела на површи итд, а што је начин рачунања

9 9 неупоредиво ефикаснији од оног који можда читалац зна из популарне књиге Courant-Robbins-а, «What is Mathematics», - рачунајући E-P карактеристике површи (2-дим. многострукости), видети како изгледа њихова потпуна тополошка класификација. Завирићемо у подручје тела (3-дим. многострукости) и наслутити сву сложеност њихове класификације. Напоменимо на крају да се фасцинантност E-P карактеристике веже за разне ситуације у математици у којима се неочекивано појављује и тако указује на неку тополошку суштину тих ситуација. Поменимо на пример Gauss-Bonnet-ову формулу у диференцијалној геометрији (за коју је Descartes-ова формула о збиру дефицитности просторних углова полиедра, фактички њен дискретни облик) или еквивалентност тврђења у теорији бројева као што су теорема о прим бројевима или Riemann-ова хипотеза са тврђењима о асимптотском расту E-P карактеристике. Александар Липковски (Београд) ПОГЛЕД КРОЗ МАТЕМАТИЧКУ ПРИЗМУ: КУД ПЛОВИ СРПСКИ ОБРАЗОВНИ БРОД? Сведоци смо чињенице да су математичка знања наших ученика на сваком од нивоа на којима се са њима први пут срећемо старији разреди основне школе, средња школа, факултет све оскуднија и плића. Упоредо са тиме, видимо и све веће мешање просветне администрације (Министарства и Завода) у стручне послове наставника (разноразни тестови, стандарди, правилници о усавршавању ) као и све веће администрирање унутар самог образовања. Методом малих промена, брод српског образовања скреће у воде европског 1, а у ствари англо-америчког образовног система. Најгоре је то да овај правац, под притиском званичне политике, стиче све више присталица и међу математичарима, познатим иначе по свом здравом конзервативизму. Има много разлога за деградацију математичких знања. Могли би их разврстати на спољашње и унутрашње. У спољашње спадају тзв. реформске промене општег приступа образовању, као што су политички императив масовности образовања, прагматистички императив школовања за рад, транзициони императив богаћења као главног циља појединца. Ови реформски фактори су довели до драматичног пада квалитета знања ученика и статуса наставника у друштву. Промене нису специфичне само за Србију, већ се јављају и у развијеним европским друштвима и представљају инструментализацију образовања од стране снага новог светског поретка постдемократског глобалног друштва. 1 Европски систем образовања не постоји. Земље са континенталним моделом образовања као Немачка и Француска налазе се под притиском европских глобалистичких центара да систем прилагоде острвском моделу који влада у В. Британији и САД. Први своје корене има у римокатоличком колективном систему вредности, док други почива на протестантском, индивидуалистичком : обзири према ближњем нестају, его је у центру пажње.

10 10 Поред ових спољашних треба поменути и један важан унутрашњи фактор, веома значајан у настави математике. Двадесети век је у математику донео бурне промене. Сетимо се догађаја са почетка двадесетог века, везаних за појаву и развој теорије скупова и математичке логике. Затим је уследио развој математичких дисциплина као што су топологија, вероватноћа и статистика, теорија графова, рачунарство и информатика. Све то је довело до великих промена у начину излагања и садржајима наставе математике. Те су промене рађене у доброј намери, јер сваки прави наставник као свој највећи задатак види преношење знања својим ученицима и каткад му се учини да је прелазак на модерну наставу (шта год у том тренутку то било увођење скупова као основе математике, увођење вероватноће и статистичких појмова у прве разреде основних школа, коришћење техничких и рачунарских средстава и модерних наставних метода) добар и да ће довести до добрих резултата. Али, знамо чиме је поплочан пут до пакла. Помодарство иде понекад до крајњих граница, тако да се у првом разреду основне школе појам скупа и обострано-једнозначне кореспонденције описује пре појма броја, или се математичка знања покушавају пренети ученицима само аудио-визуелно или искључиво кроз игру. Заборавља се генетско-историјски приступ развоју математичких појмова: индивидуални развој појма код појединца у већини случајева и у главним цртама прати развој тог појма у историји човечанства. У том процесу индуктивно стицање знања има предност над дедуктивним, које долази тек онда када је знање ученика утврђено кроз стотине примера и вежбања. Као што је постизање одређених спортских успеха немогуће без напорног физичког вежбања, тако је и знање и разумевање математичких појмова немогуће без напорног интелектуалног вежбања. Који су најважнији интелектуални успеси из области математике које дете у основној школи треба да постигне? Први је свакако рачунање са бројевима, аритметика, као најстарија и најдужа људска интелектуална активност. Друга је геометрија са својим извођењима у планиметрији и стереометрији. Добро разумевање појма реалног броја стиче се управо синергијом аритметике и геометрије. Треће је симболичко рачунање са изразима који садрже не само бројеве већ и променљиве - елементарна алгебра. Најзад, ту је логичко размишљање са извођењем исправних закључака (али не и формална логика), које се обично развија управо помоћу геометрије. Слободно се може рећи да дете које у основној школи не стекне ове аспекте математичког знања у задовољавајућем обиму, не зна математику и не може је ни касније пратити. Ништа му не вреди ако, како тестови за проверу разноразних стандарда траже, уме да прочита дијаграм, да бројеве замени у дату формулу и да уради друге елементарне операције. А управо то проверавају тестови типа PISA, проглашавајући таква умећа за врхунац математичког знања. С друге стране, дете које уме да алгебарски рачуна и геометријски закључује неће имати проблема да, уз мало размишљање мерено секундама или додатно упутство изречено са пар речи, савлада умеће читања дијаграма, тако цењено од стране едукациониста. Научите ђаке да баратају бројевима и логички закључују о фигурама, остало ће бити лако.

11 11 Владимир Јанковић (Београд) МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА УЧЕНИКА ОСНОВНИХ И СРЕДЊИХ ШКОЛА За школовање врхунских математичара веома је важно да се за ученике основних и средњих школа организују ваннаставне активности, које ће подстаћи најталентованије ученике да учењу математике посвете више времена и енергије него што је потребно да у оквиру редовне наставе дођу до одличне оцене. Међу разним активностима које се са тим циљем организују код нас, а и у целом свету, издвајају се математичка такмичења. Позитивни ефекти математичких такмичења су следећи: 1. учесници такмичења су у прилици да спознају колики су им стварни домети у математици, тј. колико математике знају и што је још важније, колико математике не знају, и да провере колики је ниво тежине задатака које су у стању да реше; 2. припремајући се за такмичења ученици проширују и продубљују своја математичка знања и развијају способност да се боре са тешким математичким проблемима; 3. кроз такмичења (и друге ваннаставне математичке активности) код ученика се развија љубав према математици. Друштво математичара Србије организује сваке године циклусе такмичења за ученике основних и средњих школа, који се завршавају српским математичким олимпијадама, на којима се бирају репрезентације Србије за међународна математичка такмичења: репрезентација ученика основних школа која учествује на Јуниорској балканској математичкој олимпијади и репрезентација ученика средњих школа, која учествује на Балканској математичкој олимпијади и на Међународној математичкој олимпијади. У последње две године наше Друштво је организовало учешће репрезентације Србије на Математичкој олимпијади за девојке. Поред ових "елитних" такмичења, Друштво математичара Србије организује учешће наших ђака на међународном математичком такмичењу "Кенгур без граница", које има масовни карактер. Наши ђаци су успешно наступали на овим такмичењима, што је веома важно за афирмацију наше земље, наше математике и нашег школског система. Теодор фон Бург је на претпоследњој Међународној математичкој олимпијади доспео на прво место листе Hall of Fame, на којој су рангирани по успеху учесници свих досадашњих међународних математичких олимпијада, и он се ту још увек налази. Прошле године наше девојке су биле прве у екипној конкуренцији на Математичкој олимпијади за девојке. Афирмацији наше математике допринели су и неки старији математичари бавећи се пословима везаним за међународне математичке олимпијаде. Душан Ђукић, актуелни лидер наше репрезентације на међународним математичким олимпијадама, стекао је високу међународну репутацију као креатор математичких проблема. Књига IMO Compendium, која обрађује проблеме предлагане за досадашње међународне олимпијаде, написана од групе наших математичара, доживела је два издања код реномираног издавача Springera, и заузима веома важну позицију међу књигама

12 12 које су намењене младим математичарима који се припремају за такмичења највишег ранга. Наше друго стручно друштво, Математичко друштво Архимедес, организује многобројне активности посвећене популаризацији математике, међу којима има и више математичких такмичења. То су Математички турнир, екипно такмичење основних и средњих школа, Дописна математичка олимпијада, Интернет олимпијада, масовно математичко такмичење Мислиша. Осим ових домаћих такмичења, која се одликују великом масовношћу, Архимедес организује учешће београдских ученика на веома интересантном међународном такмичењу Међународни математички турнир градова, које се завршава Летњом конференцијом математичког турнира градова, на којој учествују најуспешније градске екипе из четири круга такмичења Математичког турнира организованих током школске године. Београдска екипа је до сада била учесник свих летњих конференција од како се Београд укључио у ово такмичење. Математичка гимназија из Београда се појављује као организатор математичких такмичења и као организатор учешћа својих ђака на неким међународним математичким такмичењима. Осим ових математичких такмичења, код нас се организују и математичка такмичења ученика неких стручних школа. Када се говори о математичким такмичењима, не треба заборавити да уз њих иде једна делатност која је мање видљива, јер је мање атрактивна, али је вероватно важнија од самих такмичења. То су припреме за такмичења. На њима се код нас доста ради, али би се могло и морало радити много више.

13 13 АПСТРАКТИ КРАТКИХ САОПШТЕЊА СЕКЦИЈА ЗА ОСНОВНЕ ШКОЛЕ Војислав Андрић (Ваљево), Драгана Станојевић (Београд) ЗАВРШНИ ИСПИТ ИЗАЗОВИ И ДИЛЕМЕ Завршни испит из математике за ученике старијих разреда основне школе важан је за ученике, родитеље, наставнике, основне школе, средње школе, просветне институције и друштво у целини. Зато завршни испит сваке године побуђује прилично велико интересовање медија, просветне и јавности уопште. Међутим, за нашу математичку професију завршни испит је изазов, добра провера стручно-методичке праксе, али и предмет истраживања, преиспитивања и многобројних дилема. Циљ овог саопштења је да на основу резултата истраживања споведених у Заводу за вредновање квалитета образовања и васпитања и усмерених на завршни испит из математике, укаже на изазове и дилеме о којима треба размишљати и предложи неке конкретне наставне потезе усмерене на побољшање резултата завршних испита, али и за унапређивање настава математике у целини. Намера аутора је да се кроз саопштење осврну на нека од актуелних питања у вези са завршним испитом из математике, као што су: законски оквир и еволуција; веза образовних стандарда и завршног испита; припрема ученика (а и наставника) за завршни испит; конструкција теста; резултати завршног испита; унапређивање наставе математике као основни услов за побољшање резултата. Излагање ће бити пропраћено конкретним примерима, статистичким подацима Завода за вредновање квалитета образовања и васпитања и могућим компаративним освртима везаним за завршни испит. Мирослав Марић, Славиша Радовић (Београд) ПРИМЕНА ИНФОРМАЦИОНО КОМУНИКАЦИОНИХ ТЕХНОЛОГИЈА У НАСТАВИ: ПЛАТФОРМА езбирка Наставници математике се често сусрећу са проблемом лоше мотивације и слабе заинтересованости ученика. Детаљним планирањем е-подржаног наставног процеса може се допринeти подизању квалитета наставе. Развојем технолошких средстава наставници се суочавају са изазовима њиховог коришћења али им је често потребна помоћ при укључивању у процес е-учења.

14 14 Циљ излагања је упознавање наставника са предностима које доноси коришћење информационо-комуникационих технологија (ИКТ) за припрему и одржавање наставе. Током излагања ће бити представљена јавно доступна електронска збирка задатака из математике езбирка као и начин на који се она користи. езбирка је креирана коришћењем бесплатних технологија и алата као што су: HTML5, PHP, МySQL, MatJax и Геогебра. Платформа се може употребити као помоћно средство за извођење наставе у дигиталним кабинетима, организовање тестова и задавање домаћих задатака. Квалитет задатака, модеран дизајн и једноставност коришћења платформе езбирка требало би да допринесу да се што већи број наставника заинтересује и оспособи за коришћење ИКТ-а при планирању и одржавању наставе. Приказом могућности платформе езбирка и демонстрацијом да ИКТ олакшавају рад и повећавају ефикасност наставе требало би да се створе технички и методички предуслови за примену модерних технолошких средстава у наставном процесу и у великој мери утиче на отклањање негативних ставова према иновацијама у образовању. Владимир Балтић (Београд) СУМЕ РАЗЛОМАКА НА ТАКМИЧЕЊИМА УЧЕНИКА ОСНОВНИХ ШКОЛА Разломци су изузетно важна методичка јединица и велики број занимљивих задатака у којима се они јављају био је на такмичењима и у основној и у средњој школи. Овде ћемо изложити неколико илустративних примера у којима се јављају суме разломака, као што су: Одреди производ (1 + 5) (1 + 7) (1 + 9) L (1 + 99) ( ). 2. Докажи да је L > Упореди бројеве A= L и B= L Наћи збир S = L a 5. Нека је = n an L n b где је n b нескратив разломак. Докажите да постоји n бесконачно много природних бројева n за које важи b < n+ 1 bn Број L + 2n 1 2n приказали су у облику нескративог разломка. Докажите, ако је 3n+1 прост број, онда је бројилац добијеног разломка дељив са 3n+1. Милорад Шуковић, Зоран Ловрен (Аранђеловац) НЕКИ ПРИМЕРИ НЕЗАВИСНОСТИ У процесу решавања математичких задатака догађа се да процена решења буде погрешна иако се чини да је заснована на логичком расуђивању и исправним закључцима. Kao у случају оптичких варки, илузија, које су погрешно

15 15 перципиране појаве, величине и облици, тако, у задацима, скривени односи међу величинама имају за последицу чудан, неочекиван резултат. Изазива неверицу код ученика и онда следи практична провера путем огледа, објашњење и доказ. То је веома занимљиво и може се на погодан начин укључити у наставу јер показује лепоту математике, подстиче развој логичког мишљења и способност решавања проблема. У великој мери доприноси мисаоној активности ученика; повећава интересовање за математику. Истиче се задатак са кружницама (последице константног односа обима и пречника), затим особине пресечних тачака дијагонала правоуглих трапеза задатих основица, кружни прстен којег чине описана и уписана кружница правилног многоугла, једна поједностављена верзија изборног парадокса и низ других примера. Бојан Лазић (Сомбор), Мика Ракоњац (Београд) ИНТЕГРАТИВНИ ПРИСТУП НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ У ВИШИМ РАЗРЕДИМА ОСНОВНЕ ШКОЛЕ У оквиру Образовних стандарда за крај обавезног образовања (2009. год) од ученика се захтева да повезује различита знања, примењује их и сналази се у новим и нестандардним ситуацијама. Циљ наставе је да интегрише знања, која су диференцирана по различитим наставним предметима. Реализација повезивања наставног градива и ниво повезаности усвојених знања зависи од садржаја наставе у наставним предметима, односно од тога у којој су мери у наставном процесу заступљена научно-теоријска знања. Ниво интеграције је виши уколико је заступљеност научних знања већа. Међутим, наставни садржаји, према захтевима плана и програма, прилагођавају се развојним способностима ученика, због чега се систем наставних предмета не подудара са научним системом, чиме је отежана потпуна реализација повезивања знања. Полазећи од основног циља повезивања и интегрисања који по Ј. Милинковић (2007) представља повећање интердисциплинарности, развој холистичког приступа, кохезију и повезивање функционалног знања, у уводу рада бавимо се одређењем појма интегративне наставе. Затим се наводе основне карактеристике интегративног приступа у настави, као савремене стратегије у образовању, и указује на значај примене повезивања у настави математике. Овакав приступ математичким садржајима омогућује ученицима учење математике у реалном окружењу, односно разумевање нумеричких, функционалних и просторних односа реалног света. У централном делу рада је приказано више модела часова наставе математике у основној школи, који презентују међупредметну интергацију наставних садржаја (интеграција знања из математике, српског језика, географије, биологије, физике). У закључним разматрањима истичу се резултати емпиријског истраживања којима се евалуира вредност описаних модела.

16 16 Наталија Будински (Руски Крстур) РЕАЛИСТИЧНА МАТЕМАТИКА И ВРШЊАЧКА ЕДУКАЦИЈА УЗ ОРИГАМИ Реалистична математика подразумева да математика мора бити у вези са реалношћу и да је то хуманистичка активност. У излагању се даје пример примене реалистичне математике у настави на више нивоа, комбиновањем разних методичких приступа, као и учење математике коришћењем оригами техника. Оригами ученицима на интересантан начин приближава геометријска тела и разне појмове везане за геометрију. Укључивање оригамија у наставу математике побољшава њен квалитет и повећава мотивацију ученика СЕКЦИЈА ЗА СРЕДЊЕ ШКОЛЕ Ђорђе Баралић (Београд) ПРВИ ХАЈДЕЛБЕРШКИ ФОРУМ ЛАУРЕАТА Последње недеље септембра је у Хајделбергу одржан по први пут скуп који је скупио добитнике Абелове, Тјурингове и Филдсове медаље, највећих научних признања у области математичких и рачунарских наука. Предавачи на овом скупу су искључиво добитници награда, а слушаоци су 200 младих истраживача из целог света који су одабрани после пажљиве селекције од 1800 пријављених од којих је око 600 испунило критеријуме за детаљно разматрање. На овом импозантном, а мора се рећи и историјском скупу било је и троје Срба: Наташа Ђурђевац (Берлин), Петар Радојковић (Барселона) и Ђорђе Баралић (Београд). У овој презентацији ће бити приказан програм и активности које су се одвијале током скупа, како научне, тако и слободне, биће представљени и неки од лауреата као и младих истраживача из света и нашег региона, приближиће се публици научни позив у области математике и неке упечатљиве мисли најумнијих живих научника. Приказаћемо активности које су троје учесника (пореклом) из Србије предузимали на промоцији наше науке и земље. Осврнућемо се на финансијску, медијску и осталу логистику која стоји иза овог скупа који је по мишљењу већине учесника најбоље организовани математички догађај икада. Објаснићемо ближе процес пријаве и селекције кандидата за овај скуп о ком се више информација може наћи на званичној веб страници На крају ћемо дати пар личних рефлексија везаних за овај скуп о томе где су на светској сцени велике светске силе, најјаче регионалне силе, где је Србија и Балкан и каква је наша будућност и улога на светском нивоу.

17 17 Вера Ивковић (Београд) ПРИМЕНА ТРИГОНОМЕТРИЈЕ У недостатку правих и прецизних стандарда наставници чето лутају у захтевима према ученицима. Једна од проблематичних области је тригонометрија. Да ли је радити на почетку првог разреда због физике и стручних предмета или на крају након сличности и стеченог знања о алгебарским изразима што је логично, али за то нема времена? У другом разреду углавном нема времена за враћање на дефиниције тригонометријских функција оштрог угла правоуглог троугла, па се одмах прелази на уопштене углове. Ученици често забораве дефиниције тригонометријских функција оштрог угла правоуглог троугла, па се тешко сете да их примене у планиметријским задацима. Неколико примера задатака са канадских такмичења би требало да укажу да се тригонометрија не своди само на компликоване трансформације коришћењем формула (што је случај нарочито у гимназијама) већ да има и практичну примену. Зорица Маринковић, Марина Антић, Бојана Тијанић, Мирјана Благојевић (Земун) ИНИЦИЈАЛНИ ТЕСТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ПРВОГ РАЗРЕДА ЗЕМУНСКЕ ГИМНАЗИЈЕ Иницијални тест за ученике првог разреда Земунске гимназије организован је с циљем увида у стечено знање након завршеног обавезног образовања. Специфичан је по томе што је заснован на дефинисаним националним стандардима и одржан у години када је поништен завршни испит. Сваки задатак из теста има своју одредницу у односу на област (Бројеви и операције са њима, Алгебра и функције, Геометрија, Мерења и Обрада података), ниво (основни, средњи и напредни) и одговарајући дескриптор. Тест је радило 302 ученика у исто време и под истим условима. Осим за усклађивање наставног плана са добијеним резултатима, обзиром на велики број тестираних ученика добијени подаци су као репрезентативан узорак искоришћени за поређење са очекиваним резултатима по националним стандардима. Исти ученици су тестирани и из физике, и део статистичких података (Биљана Стојичић, професор физике) искоришћен је за поређење. Излагање обухвата опис начина састављања задатака, прављења базе задатака и формирања група, поступак тестирања, обраду резултата и добијене закључке.

18 18 Јован Кнежевић, Александра Равас (Београд), Нела Спасојевић (Трстеник) АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА ШТА ЋЕ ТО МЕНИ? Низ предавања који у својој поставци креће од општег места ученичког питања шта ће то мени које је својевремено, према легенди, доживео и Еуклид ове године се осврће на наставну тему аналитичке геометрије. Поред низа примера из стварног живота којима би професори могли обогатити своја предавања и можда бар делимично задовољити радозналост својих ђака, биће представљен и избор задатака које би било добро урадити на табли како би тема била квалитетно обрађена на часу, уз коментаре о искуствима из праксе професора гимназије и средње стручне школе. Зевџо Хурић (Пријепоље) ИНКЛУЗИЈА И НАСТАВА МАТЕМАТИКЕ Учење у инклузивној настави (у даљем тексту ИН) обухвата све видове и облике самосталног и заједничког стицања знања, умења и вештина до личног максимума. У ИН се препознају и цене различитости у потенцијалима и потребама ученика и стварају се најбоље могућности како би се задовољиле образовне потребе и максимално развио и социјализовао аутентични индивидуалитет сваког ученика. Тешкоће у учењу се не схватају као слабости, односно сваки ученик се примећује, прихвата и уважава онакав какав јесте. Подучавањем кроз ИН стимулише се активно ангажовање у индивидуалном и заједничком учењу, подели искуства и сарадњи. Чак се подржава слободно изношење свог доживљаја васпитања и образовања. Врло често мање може бити бити више (пример финског образовног система то најбоље потврђује). На тај начин ученици се стављају у равноправну позицију, а све то обезбеђују добре припреме за учење=стимуланс+поткрепљење+реакција. Ово ће бит објашњено разговором са присутнима на примеру часа математике у једном одељењу на одређеној наставној јединици подела ученика на групе и тромодални наступ чуј/види/уради). Подучавање у ИН биће педагошки ефикасно ако наставник схвати да је његова основна улога да помогне ученицима у учењу; када је проникао у потребе, интересовања и жеље својих ученика тј. када је спреман и способан да упозна своје ученике; када је процес у којем ученици делом потврђују и делом развијају своје животне снаге тј. кад је учење активан а не пасиван процес; када су ученици мотивисани за учење тј. када су свесни потребе за стицањем знања; када су ученици добро упознати са оним што треба да науче и на који начин добијају повратне информације о својим постигнућима и свом напредовању.

19 19 СЕКЦИЈА ЗА НАСТАВУ РАЧУНАРСТВА и примену рачунара у настави математике Синиша Ђорђевић, Лазар Васић, Миодраг Јањевић (Лесковац) МАТУРСКИ РАД КАО ПРИПРЕМА УЧИЛА У СРЕДЊОШКОЛСКОМ ОБРАЗОВАЊУ Софтвер Прорачун напрезања и угиба проводника Al/Č ужади у зависности од температуре рађен је као учило које ће се у овој 2013/14 школској години примењивати у средњошколкој настави као рачунарска подршка и замена за прорачуне у настави. Програм је писан на захтев предметног професора који предаје лекцију за коју је припремљен софтвер. Да напоменемо да се ради о првој софтверској подршци једне лекције у средњошколском образовању коју је направио ученик. Матурски рад из информатике који је брањен и пред информатичком експертском јавношћу ЛЕСКОВАЧКИ ИНФОРМАТИЧАРИ И ПРИЈАТЕЉИ - ФБ-група Матурски рад (Graduation project) са свим прилозима, PROGRAM SOURCE, EXE-верзија и текст Матурског рада могу се погледати на WEB адреси: На наведеној адреси налазе се и програмска решења, у функцији да покажу предности развоја програмских окружења: 1. Програм написан у текстуалном резиму, програмски језик C (Turbo C) 2. Програм написан у графичком режиму, програмски језик C (Turbo C) 3. Програм написан у визуелном програмском језику C# Програм је намењен ученицима средњих школа као учило у настави. Матурски рад Наставно средство као пројекат пријављен је и Microsoftu у оквиру Partners in Learning - worldwide community of educators who are passionate about ensuring learners are prepared to thrive in the global economy где је оцењен највећом оценом Gold level. Пројекат је на адреси: Логична последица приказаног решења је организовани приступ изради базе софтвера на интернету за све лекције у којима се нешто рачуна, са алгоритамским интерпретацијама рачунања у циљу објашњења тог рачунања. Ученици програмирања програмирају лекције са формулама, обрачунима, прерачунима које после користе наставници у својој настави тих лекција. Подразумева се и укључивање стручне јавности у оцени квалитета у образовању и развоју образовања.

20 20 Синиша Ђорђевић, Стефан Димитријевић (Лесковац) ЛОГИСТИКА ЗА ИЗРАДУ АПЛИКАЦИЈА ЗА МОБИЛНЕ ТЕЛЕФОНЕ Програмабилни мобилни телефони као наставна средства увелико улазе у наставу тако да се могу врло скоро очекивати као предмети програмирања у средњошколском образовању. На то указује све присутнија едукација наставника за развој и коришћење мобилних телефона. Савремени брзи развој програмирања заобишао је SOURCE програма у одређеном програмском језику као код потпуно независан и од преводиоца и од оперативног система. Због тога је и програмирање постало знатно сложеније али не у делу алгоритама за решавање конкретних проблема него у логистици програмирања односно у врсти, броју и начину повезивања софтверских алата који се користе за израду софтверских апликација на одређеној хардверско-софтверској подлози. То је и разлог овог семинарског рада који, користећи самоучење једног напредног ученика програмирања, омогућава да се што брже, једноставније и ефикасније почне са израдом апликација за ANDROID мобилне телефоне. Оно што потврђује овај приступ је чињеница аутоматског формирања пројекта Hello world код сваког отварања Android студија као стартне апликације. Како до првог програма на мобилном телефону који исписује Hello world? Инсталације софтверског окружења (Win): 1. Инсталирање Јаве ( jdk7-downloads html) 2. Инсталирање Android студија ( studio.html) Комплетно креирање прве апликације, са детаљним описом сваког процесног корака, може се преузети са адресе AndroidHWuput.doc. Већ постоје многобројни системи АУТОМАТСКОГ ПРОГРАМИРАЊА апликација за мобилне телефоне (генератори, креатори, девелопери, билдери апликација) који се лако налазе на интернету и чак завршавају посао на WEB-у, али ипак би требало подвући да неки наградни конкурси за апликације на мобилним телефонима инсистирају на апликацијама које су директно програмиране, нису производ аутоматског програмирања,вероватно због измена. За комбинацију Јава-Android студио треба обавезно нагласити да је за сада развијен само ограничени ниво ВИЗУЕЛНОГ програмирања који се састоји у томе да компоненте програма визуелне објекте само поставља на форме, без икаквог кода, односно без њихових функција, док се употреба компоненте уобичајено посебно програмира кодирањем, за шта такође постоје бројна упутства на интернету. Игре се могу програмирати уз помоћ самог Android SDK или уз помоћ већ интегрисане библиотеке OpenGL (односно OpenGL ES).

21 21 Миљан Г. Јеремић (Књажевац) C# И БАЗЕ ПОДАТАКА ВИЗУЕЛНЕ КОМПОНЕНТЕ ЗА ПОВЕЗИВАЊЕ, ПРИКАЗИВАЊЕ И МОДИФИКАЦИЈУ БАЗА ПОДАТАКА У WINDOWS ОКРУЖЕЊУ Од другог полугодишта школске године донет је нови план и програм за 4. разред Гимназије за рачунарство и информатику. Курс из база података се ради са 14 часова теорије и 18 часова вежби. Један од часова који се обрађује по плану је да се ради са визуелним компонентама за повезивање, приказивање и модификацију база података у Windows окружењу. Што се програмских језика тиче, овде ће бити представљени C# и Delphi у интеракцији са базом података креираном раније у Access-у. Биће представљени примери рада са поменутим програмским језицима, с обзиром да се Delphi учи у трећем разреду, док је C# је језик који је све популарнији код ученика који се по први пут срећу са програмирањем. Бојана О. Аврамовић (Београд) SERVER (WAMPSERVER), PHP SCRIPT, ODBC, ACCESS (QUERIES) WAMPSERVER (инсталација, покретање, localhost, комуникација са сервером). PHP SCRIPT (синтакса, линијски, гранање, циклуси), Поређење и превођење задатака који су урађени у III разреду (DELPHI). Испис свих чланова Фибоначијевог низа до задатог броја и са уносом вредности преко тастатуре (html код). ODBC Подешавање параметара у Administrative tools и повезивање са базом података ACCESS (прављење табела, форми, упита, извештаја, switchboardа, autoexec). Постављање упита на направљену базу преко php кода. Приказивање и модификација база података у Windows окружењу и постављање на сервер, а затим постављање упита на базу преко PHP SCRIPT, уз подешавање драјвера. Dropbox као localhost Соња Шумоња (Ниш) МАТЕМАТИКА НА MOODLE-У У нашој школи ЕТШ Никола Тесла у Нишу имамо постављену Moodle платформу већ неколико година. Изазов и за наставнике и за ученике... Прилагођавање је кратко трајало, ученицима су отворени налози, а наставницима курсеви! Учење на даљину омогућава коришћење различитих активности, а свака

22 22 од активности захтева од наставника примену другачијих облика рада. Погледајте како ми то радимо и разменимо идеје и искуства. Милан Живановић (Бајина Башта) ГЕОГЕБРА И МАТЕМАТИЧКО-ЛОГИЧКЕ ИГРЕ Игра представља основну методу у учењу предшколске деце. Учење кроз игру се у нешто мањем обиму користи и у нижим разредима основне школе, а готово никако у вишим разредима основне и у средњој школи. Неке од предности учења кроз игру су њена широка изводљивост у слободном времену, висока мотивисаност учесника у игри, могућност како индивидуалног тако и тимског ангажовања, трајност и примењивост знања до којих се кроз игру долази, задовољство самим учешћем у игри и многа друга. Програмски пакет Геогебра својим разноврсним алатима омогућава креирање игара на различитим узрасним нивоима. Могућности генерисања случајних бројева, трансформације на геометријским фигурама и њихово динамичко представљање, успостављање функционалних веза међу објектима само су неке од операција које представљају богату основу за прављење и организацију игра, како за индивидуалне тако и за дуел игре са разним математичким садржајима. Јединствена база Геогебратјуб омогућава ефикасну дистрибуцију и похрањивање радова у овом програмском пакету. У овом кратком излагању биће представљено неколико игара које се могу користити за овладавање математичких садржаја у средњој школи а и шире, а могу се наћи на адреси Вељко Вранић (Београд) CINDERELLA У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ Cinderella је софтвер из области динамичке геометрије који омогућава рад у различитим математичким областима као што су: различите врсте геометрије, анализа, линеарна алгебра, теорија графова. Коришћењем неких наредби овог програма могуће је приказати и визуелизовати одређене апстрактне појмове, на илустративан начин и уз могућност интеракције са конструкцијом, што чини Cinderella-у веома занимљивом за примену у настави математике. У предавању ће највише бити речи о графицима функција и свим могућностима овог софтвера у тој области.

23 23 АПСТРАКТИ ЧЕТВОРОЧАСОВНИХ ТЕМА Пре подне Срђан Огњановић, Оливера Тодоровић КОМПЕТЕНЦИЈА НАСТАВНИКА МАТЕМАТИКЕ ПРИМЕРИ СА ЧАСОВА У априлу Национални просветни савет усвојио је Стандарде компетенција за професију наставника и њиховог професионалног развоја. Правилником о сталном стручном усавршавању и стицању звања наставника, васпитача и стручних сарадника ("Сл. гласник РС", бр. 13/2012 и 31/2012), који је ступио на снагу у марту године, предвиђено је стручно усавршавање наставника у складу са компетенцијама које се односе на: Наставну област, предмет и методику наставе; Поучавање и учење; Подршку развоју личности ученика; Комуникацију и сарадњу. Циљ семинара је: Разумевање важности компетенција у односу на специфичност наставе математике. Сагледавање компетенција у контексту професионалног развоја наставника математике. Кроз анализу реализације наставне јединице Полиноми и Питагорина теорема, која ће бити представљена на три различита начина, дискутоваће се о компетенцијама наставника математике. Такође, биће разматрана ученичка постигнућа на тесту, који су ученици решавали у зависности од типа часа коме су претходно присуствовали. Раде Живаљевић ЖИВА МАТЕМАТИКА Циклус предавања под заједничким насловом Жива математика је наставак истраживања нових метода у настави математике које час математике могу да учине садржајнијим и занимљивијим. Предавања се у доброј мери ослањају на искуства мини пројекта Жива математика посвећеног популаризацији математике и увођењу младих у научни рад који улази у своју пету годину постојања и који делује под покровитељством Математичког института САНУ и Центра за промоцију науке. Наслови тематских целина 1. Тајна земунске пирамиде 2. Алгебра и комбинаторика полиомино поплочавање

24 24 3. Похвала троуглу 4. Математичке актуелности и занимљивости (а) Мала збирка опасних задатака (Зорица Маринковић) (б) Зашто се математичар и за сламку хвата (ц) Математика у литератури (Ian McEwan, Sweet Tooth) (д) Математика и стварност (Model Oriented Realism) Тајну земунске пирамиде овде нећемо открити (али не кријемо да су две кључне речи ромбододекаедар и оптимално 3д поплочавање ). У другој теми се показује како се дељење полинома појављује као метод за анализу тежинских (полиомино) поплочавања (једно од њих је приказано на слици). Триангулација је метод којим се свака површ добија као колонија троуглова а основно тврђење о триангулацијама је тзв. Шпернерова лема. Последња омнибус тема је позив на разговор и коментар о неким математичким занимљивостима и новостима. Детаљнији приказ тема ће бити постављен на адреси: Војислав Андрић, Драгана Станојевић ПРИПРЕМА УЧЕНИКА И НАСТАВНИКА ЗА ЗАВРШНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Завршни испит из математике за ученике старијих разреда основне школе важан је за ученике, родитеље, наставнике, основне школе, средње школе, просветне институције и друштво у целини. Зато завршни испит сваке године побуђује прилично велико интересовање медија, просветне и јавности уопште. Међутим, за нашу математичку професију завршни испит је изазов, добра провера стручно-методичке праксе, али и предмет истраживања, преиспитивања и многобројних дилема. Циљ аутора је да у оквиру четворочасовног интерактивног рада са наставницима највећи део активности усмере на припрему за завршни испит из математике, укажу на изазове и дилеме о којима треба размишљати и предложе неке конкретне наставне потезе усмерене на побољшање резултата завршних испита, али и за унапређивање настава математике у целини.

25 25 Намера аутора је да кроз интерактивни рад са наставницима - учесницима реализују следеће конкретне активности: представљање задатака са последњег завршног испита (прва варијанта) представљање задатака са последњег завршног испита (реализована варијанта) анализа, дискусија, питања и предлози корелација образовних стандарда и задатака за завршни испит (вежба 1) анализа, дискусија, питања и предлози избор стандарда за завршни испит и задатака који их репрезентују (вежба 2) анализа, дискусија, питања и предлози формулација комплетног завршног испита на основу задатака унапред дефинисаног нивоа (вежба 3) анализа, дискусија, питања и предлози завршна разматрања. У оквиру рада реализоваће се и анкета која има за циљ да пружи нове информације о погледима, идејама и предлозима наставника за даље унапређивање припрема и реализације завршног испита из математике. Милан Живановић ПИТАГОРИНЕ ТРОЈКЕ У РЕДОВНОЈ И ДОДАТНОЈ НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ Проблем Питагориних тројки је вековима привлачио пажњу математичара. Доказ томе је већи број решења општег и специјалних случајева тог проблема. Занимљивост тематике за наставу потиче из аглебарско-геометријске суштине проблема и примене комбинатарике и теорије бројева у откривању особина појединих класа правоуглих троуглова и фигура које се могу добити помоћу њих. И са методичке стране ова проблематика је такође веома захвална. У решавању проблема могу се искористити разноврсни модели учења. Пошто постоји више различитих параметарских решења одређивања општег проблема, то се и задаци из ове области могу решавати на више начина. Кроз поједине задатке могуће је ученике увести у истраживачки рад учењем путем открића и на тај начин снажно их мотивисати за додатну наставу. Могућа је и корелација са наставом рачунарства и информатике у прављењу програма за исписивање тројки које задовољавају неке посебне услове. То се касније може искористити у прављењу задатака са лепим целобројним решењима. Курс је замишљен као четворочасовни семинар, а његов садржај је предвиђен за ученике средње школе и старије разреде основне школе, тако да може бити интересантан предавачима који раде са ученицима тих узраста. Појединачне теме овог кратког курса су: 1. Разне параметризације проблема Питагориних тројки 2. Особине Питагориних тројки (редовна настава) 3. Особине Питагориних тројки (додатна настава) 4. Уопштења Питагориних тројки.

26 26 Војислав Петровић ГЕОМЕТРИЈСКЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ Биће представљене основне трансформације подударности (изометрије) и сличности и њихове примене у планиметријским доказима и конструкцијама. Градимир Војводић КАКО ДА ЗАИНТЕРЕСУЈЕМО УЧЕНИКЕ ЗА МАТЕМАТИКУ МАТЕМАТИКА ОКО НАС Како је антички научник Грк Аристарх доказао да је Сунце веће од Земље,а да није знао пречник Земље?Да ли је Ератостен морао да превали пут од Сијене до Александрије да би одредио пречник Земље? Како да одредимо географску ширину? Како су у Старом Египту оријентисали странице пирамида север-југ? Коју криву,по сунчаном дану,описује врх вертикалног штапа постављеног на хоризонталну подлогу по тој подлози? Како да направимо сунчани компас и сунчани сат? Биће дат и низ других занимљивих задатака- искри чији значај за математику далеко превазилази њихову почетну формулацују Ђурђица Такачи После подне ДИНАМИЧКЕ ОСОБИНЕ ПРОГРАМСКОГ ПАКЕТА GEOGEBRA У НАСТАВИ МAТЕМАТИКЕ Визуализација наставних садржаја из математике ће се обрађивати помоћу најновијег пакета GeoGebra, са посебним освртом на динамичке особине програма. Посебно ће се разговарати о припреми за GEOGEBRA конференцију која ће се одржати од јануара 2014 у Будимпешти: Рад ће се одвијати у оквиру радионице. Надамо се да ћемо добити рачунарску учионицу, али молимо и заинтересоване, који су у могућности, да понесу своје рачунаре да би свако радио на по једном рачунару.

27 27 Синиша Црвенковић НЕСТАНДАРДНИ МАТЕМАТИЧКИ ПРОБЛЕМИ У ОСНОВНИМ И СРЕДЊИМ ШКОЛАМА Ово је наставак прошлогодишњег излагања на тему нестандардних математичких задатака. Биће презентирани настандардни задаци који се могу постављати и у оквиру редовне наставе. Милосав Миленковић, Драгољуб Ђорђевић ВИЗУЕЛИЗАЦИЈА НАСТАВНОГ ПРОЦЕСА МАТЕМАТИКЕ У СРЕДЊОЈ ШКОЛИ Настава математике у средњој школи и поред све моћнијих, а релативно јефтиних рачунара који се могу користити у настави, се најчешће изводи на традиционалан начин, излагањем које се базира на коришћењу табле и креде. Такав вид наставе је један од разлога смањеног интересовања ученика за наставни процес. Одговарајућа употреба нове технологије може учинити наставни процес математике интересантнијим и атрактивнијим. Пре свега, ту је могућност визуелизације тог процеса. Она представља врло важан дидактички приступ и први корак да се настава математике учини интересантнијом, атрактивнијом и разумљивијом. Осавремењавањем наставе коришћењем адекватних софтвера, постиже се облик наставе који је примерен за узраст ученика. Таква настава омогућава коришћење визуелно неупоредиво прегледнијих и прецизнијих скица у односу на цртање на табли кредом. Највећи ефекат постиже се илустровањем процеса и променом положаја објеката (тачка, дуж, права, раван,... ), приказаних кроз анимацију на потпуно мултимедијалан начин. Подстицање ученика на размишљање и усвајање често апстрактних појмова, био би један од добрих покушаја у промени постојећег стања. Ђорђе Баралић, Игор Спасојевић ПЕПЕЉУГА И МАГИЧНИ СВЕТ КОНИКА Ово предавање намењено је свим љубитељима математике, а пре свега геометрије. Криве другог реда: елипсе, хиперболе и параболе се у настави математике изучавају у трећем разреду средње школе, али утисак је да је и у факултетском, а поготово гимназијском курикулуму ова богата и лепа математичка теорија сведена на пуко израчунавање и замену формула због чега постаје мрска чак и професорима математике. Зато Вас позивамо да заједно

28 28 откријемо магични свет коника и (пројективне и алгебарске) геометрије уз помоћ Пепељуге (Cinderella), специјализованог математичког софтвера за рад са кривама другог реда. На овом предавању ћемо: 1. откривати како се ради са Cinderella-ом, урадићемо пуно експеримената и оспособити се за рад у овом програму; 2. научити геометријска и механичка својства кривих другог реда, по чему су значајне жиже, како разликовати криве другог реда и многа друга својства ових кривих; 3. видети да са коникама (кривама другог реда) можемо да се осећамо једнако слободно као и са круговима, и разбити негативне предрасуде који смо према овом дивном свету створили; 4. причати о Паскаловој теореми и низу геометријских тврђења које ћемо доказати, а онда објаснити њихову везу за нама познатим теоремама које срећемо на математичким такмичењима и редовној настави током школовања; 5. и још много тога занимљивог! Охрабрујемо све наставнике како средње тако и основне школе да се придруже. Идеја за ово предавање настала је из матурског рада Игора Спасојевића, Где се састају геометрија и полиноми? из кога је настао оригиналан научни рад arxiv: Illumination of Pascal's Hectagrammum and Octagrammum Mysticum, чији су аутори предавачи. Учићемо како да упознамо магични свет коника језиком елементарне алгебарске и пројективне геометрије очима Пепељуге. Розалија Мадарас Силађи ОД ЕЛЕМЕНТАРНЕ МАТЕМАТИКЕ ДО ХИЛБЕРТОВИХ ПРОБЛЕМА Тема овог предавања је обрада наставних јединица из стереометрије у средњим школама. Циљ је да се илуструје колико су појмови као што су полиедар, правилан полиедар или запремина полиедра много суптилинији него аналогни појмови у равни. На крају предавања стижемо до Трећег Хилбертовог проблема о разложиво једнаким полиедрима, односно до негативног резултата који је доказао Макс Ден године. Тиме ћемо подупрети тезу да студије математике, које образују будуће професоре математике, нужно морају понудити курсеве у којима се теме из елементарне математике осветљавају са становишта тзв. више математике.

29 29 Ђорђе Дугошија СКУПОВИ И ЛОГИКА У СРЕДЊОЈ ШКОЛИ Скупови и логика су основ савремене математике. Увођење математичких појмова као и језик којим се математика излаже фундирани су на тим областима, па није никакво чудо да се оне обрађују одмах у почетним разредима основне и средње школе. Постоји реална опасност да се ови садржаји ипак само формално обрађују да се не спозна њихова употребна вредност, па брзо потону у заборав, јер се у даљем раду не употребљавају. Предавање има за циљ да истражи меру у којој су се скупови и логика одомаћили у нашој школи, у смислу оспособљавања ученика за њихову примену. На бројним примерима биће приказано како се садржаји из ове области могу са успехом користити за решавање разних комбинаторних, логичких и проблемских задатака.

30 30 Друштво математичара Србије Београд, Кнеза Михаила 35/IV Тел , факс ПРЕДЛОГ МИНИСТАРСТВУ ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ КАЛЕНДАР ТАКМИЧЕЊА ИЗ МАТЕМАТИКЕ И РАЧУНАРСТВА У 2013/14 ГОДИНИ Такмичења ученика основних школа из математике Школско такмичење Општинско такмичење Окружно такмичење Државно такмичење Српска математичка олимпијада Јуниорска балканска математичка олимпијада крај јуна Међународно математичко такмичење Кенгур без граница 20. март (четвртак) у часова Такмичења ученика основних школа из рачунарства Општинско такмичење Окружно такмичење Државно такмичење Српска информатичка олимпијада Јуниорска балканска информатичка олимпијада јула Такмичења ученика средњих школа из математике Општинско такмичење Окружно такмичење Државно такмичење Српска математичка олимпијада Балканска математичка олимпијада крај априла Међународна математичка олимпијада Такмичења ученика средњих школа из рачунарства Окружно такмичење Државно такмичење Српска информатичка олимпијада Балканска информатичка олимпијада јула Међународна информатичка олимпијада 2014.