PREKLOPNE STRUKTURE IN SISTEMI

Transcript

1 PREKLOPNE STRUKTURE IN SISTEMI N. Zimic N. Zimic - Asistenti in lornt mg. Iztok Ler Bjec Andrej Jzec dr. Uroš Lotrič Lornt Vito Čehovin N. Zimic -

2 Študijsko grdivo Učenik: prof. J. Virnt: Logične osnove odločnj in pomnjenj v rčunlniških sistemih Predloge z predvnj in vje: (pedgoško delo) predloge z predvnj so zpisne v oliki PDF I. Ler Bjec: Zirk nlog N. Zimic - Oseg predvnj Boolov lger Preklopn funkcij Funkcijsko polni sistem Minimizcij preklopnih funkcij Ostle pomemne preklopne funkcije Strukturln preklopn vezj Sekvenčn vezj Osnove vtomtov N. Zimic -

3 BOOLOVA ALGEBRA N. Zimic - Boolov lger Boolov lger je tko kot drugi deduktivni mtemtični sistemi definirn z: množico elementov množico opertorjev množico ksiomov ozirom postultov. N. Zimic -

4 Osnovne definicije Če je S množic in st in y element potem velj zpis: S element pripd množici S y S element y ne pripd množici S Množico opišemo tko d v zvitih oklepjih nštejemo elemente množice: A = {} elementi množice A so števil in N. Zimic - Osnovne definicije (nd.) Binrni opertor ki je definirn nd množico S je prvilo ki vskemu pru elementov iz S enolično priredi element ki prv tko pripd množici S. N. Zimic -

5 Postulti - splošno Postulti so osnovne predpostvke iz kterih je možno izpeljti vse zkone teoreme in znčilnosti mtemtičneg sistem. Postulti so osnovne postvke in jih ni mogoče dokzti. N. Zimic -5 Postulti - splošno (nd.) Postulti so: Zprtost Zkon socitivnosti Zkon komuttivnosti Element enote Inverzni element Zkon distriutivnosti N. Zimic -6

6 Zprtost Zprtost. Množic S je zprt glede n inrni opertor če z vsk pr elementov iz množice S in prvil ki g definir opertor doimo element ki je prv tko element množice S Primer. Množic nrvnih števil N={ } je zprt glede n opertor seštevnj (+) ker z vsk pr nrvnih števil ostj vsot ki je prv tko element množice nrvnih števil N. Zimic -7 Zkon socitivnosti Zkon socitivnosti. Z inrni opertor * ki je definirn nd množico S velj zkon socitivnosti kdr je: ( * y) * z = * (y * z) z vse elemente y z S N. Zimic -8

7 Zkon komuttivnosti Zkon komuttivnosti. Z inrni opertor * ki je definirn nd množico S velj zkon komuttivnosti kdr je: * y = y * z vse pre elementov y S N. Zimic -9 Nevtrlni element Nevtrlni element. Množic S im nevtrlni element z inrno opercijo * kdr ostj element e S z lstnostjo: e * = * e = z vsk S N. Zimic - 5

8 Inverzni element Inverzni element. Element S im inverzni element y S kdr je: * y = y * = e kjer je e nevtrlni element v množici S z inrni opertor *. N. Zimic - Zkon distriutivnosti Če st * in inrn opertorj nd množico S potem velj zkon distriutivnosti če: * (y z) = ( * y) ( * z) N. Zimic - 6

9 Aksiomi Boolove lgere Osnove Boolove lgere je postvil g. George Bool let 85 Let 98 je g. C. E. Shnnon uvedel dvovrednostno lgero imenovno preklopn lger (switching lger) Boolov lger je lgeričn struktur definirn nd elementi množice X in nd inrnim opertorjem konjunkicje in disjunkcije pri čemer morjo iti izpolnjeni nslednji postulti. N. Zimic - Postulti Zprtost. P: P*: Nevtrlni element. P: P*: Komuttivnost. P: P*: y X ; y X ; y X y X X ; = X ; = y X ; y = y y X ; y = y N. Zimic - 7

10 Postulti (nd.) Distriutivnost. P: P*: Inverzni element. P5: P5*: Število elementov. y z X ; ( yz) = ( y)( z) y z X ; ( y z) = y z X ; = X ; = P6: Ostjt vsj dv element y X tko d y N. Zimic -5 Prvil Idempotenc:... = Asorcij: ( y) = Asocitivnost:... = y = ( y) z = ( y z) = y z ( y) z = ( y z) = y z N. Zimic -6 8

11 Prvil (nd.) De Morgnov izrek: y... z = y... z y... z = y... z Z dokz De Morgnoveg izrek je potreno prvilo socitivnosti in ortno. N. Zimic -7 Primeri dokzov Primer: = = ( ) postult * = ( )( ) 5 = = 5* = N. Zimic -8 9

12 Primeri dokzov (nd.) Primer: = = = ( ) ( ) ( ) = ( ) = = postult 5* * 5 * N. Zimic -9 Primeri dokzov (nd.) Primer: y= y = y = ( y) = (( y)) = (( y)( y y)) = (( y )( y y)) = ( y y) = ( y y) = = postult * * * 5 * 5 * N. Zimic -

13 Dulnost Postulti so sestvljeni iz dveh delov originlneg in dulneg Dulnost dosežemo z zmenjvo logičnih vrednosti ( z in ortno) ter zmenjvo opertorjev konjunkcije in disjunkcije Dulni opertor je definirn: f d (... n ) = f (... n) N. Zimic - Dulnost (nd.) Postulti in prvil ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = = ( ) y = y ( ) y = y ( ) ( y z) = ( y) z ( ) ( y z) = ( y) z ( ) ( y z) = y z ( ) y z = ( y) ( z) ( ) ( y) = y ( ) ( y) = y ( ) y = ( ) ( y) = N. Zimic -

14 PREKLOPNE FUNKCIJE IN PREKLOPNA VEZJA N. Zimic - Preklopne funkcije Preklopne spremenljivke (neodvisne spremenljivke):... n i { } i =... n Preklopne funkcij (odvisn spremenljivk) nd n spremenljivkmi: f (... n ) {} Preklopn f (... n) Primer: funkcij f ( = n ) N. Zimic -

15 Prvilnostn tel Lev strn predstvlj vhodne vektorje: w ~ i = ( w i wi... wni) kjer je w ji j-t cifr (z leve) v inrnem zpisu števil i. Primer: w ~ = (...) Desn strn predstvlj vrednost pri določenem vhodnem vektorju Vseh vhodnih vektorjev je n kjer je n število vhodnih spremenljivk... n f (... n) N. Zimic - ~w ~w ~ w n ~ w n f ( w~ ) f ( w~ ) f ( w~ ) n f ~ ) ( w n Prvilnostn tel (nd.) Lev strn predstvlj vse možne vhodne vektorje od vektorj do vektorj N desni strni so funkcijske vrednosti pri posmeznem vhodnem vektorju Primer funkcije: f ( = ) f ) ( f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = N. Zimic -

16 Prvilnostn tel (nd.) Primer prvilnostne tele z funkcije: f ( = ) f ( = f f ) ( ) = = ( ) = f f f f N. Zimic -5 Mintermi in mkstermi Če dve spremenljivki povezujemo s konjunkcijo in pri tem uporimo še negcijo doimo: y y y y Tkšne konjunkcije imenujemo mintermi. Pri n spremenljivkh immo n mintermov. Minterme oznčujemo s številkmi od do n -: m... m m n N. Zimic -6

17 Mintermi in mks.. (nd.) Splošn enč minterm je: w i wi wni n mi =... n i =... pri w = w = pri w = Podono je definirn tudi mksterem: w i wi wni n M n =... =... i n i N. Zimic -7 Mintermi in mks.. (nd.) mintermi m m m m m m 5 m 6 m 7 mkstermi M 7 M 6 M 5 M M M M M N. Zimic -8

18 Mintermi in mks.. (nd.) Lstnosti mintermov in mkstermov: mi = M n M i i = m n i i M = m n i M = i n i n n mi = & M i = i= i= m m i m j = i j M M = i j i j N. Zimic -9 PDNO in PKNO Popoln disjunktivn normln olik (PDNO): n f (.. n) =mi fi i= Popoln konjuktinvn normln olik (PKNO): n f (... ) = & ( M f n n ) i i= i f i je vrednost funkcije pri i-tem vhodnem vektorju Lsnosti: funkcij je popoln: termi (n prvem nivoju) so sestvljeni iz vseh vhodnih spremenljivk funkcij normln: sestvljen iz dveh nivojev N. Zimic - 5

19 6 N. Zimic - PDNO in PKNO (nd.) PDNO in PKNO (nd.) m m m m m m 5 m 6 m 7 7 M M 6 M 5 M M M M M mintermi mkstermi ) ( f N. Zimic - PDNO in PKNO (nd.) PDNO in PKNO (nd.) Primer zpis funkcije v PDNO ) ( m f m f m f m f m f m f m f m f f = m m m m m m m m = 7 m m m m = =

20 7 N. Zimic - PDNO in PKNO (nd.) PDNO in PKNO (nd.) Primer zpis funkcije v PKNO ) )( ) ( )( ( ) ) ( )( ) ( ( ) ( M f M f M f M f M f M f M f M f f = ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( M M M M M M M M = 7 M M M = M ) )( )( )( ( = N. Zimic - PDNO in PKNO (nd.) PDNO in PKNO (nd.) Zpis PDNO: Zpis PKNO: 7 ) ( m m m m f = = (7) 7 ) ( M M M M f = = &(7)

21 PDNO in PKNO (nd.) Pretvor med olikmi zpis f( ) = (567) f ( = m m m ) = () f ( = m m m ) = ( m m m) f ( ) = M 7 M 5 M = &(75) N. Zimic -5 Popolne normlne olike & PDNO PKNO n & f (... n) n f (... n) & n n & n n N. Zimic -6 8

22 Verižne olike Disjunktivn verižn nenormln olik DVNNO d & c & f (... n) Konjunktivn verižn nenormln olik KVNNO d c & & f (... n) N. Zimic -7 Drevesn nenormln olik Primer disjunktivne in konjunktivne drevesne nenormlne olike (DDNNO KDNNO) c d & & & f (.. n ) f (.. ) & n c & & d & N. Zimic -8 9

23 Logične funkcije Z n spremenljivk ostj n logičnih funkcij Z dve neodvisni spremenljivki ostj poleg opercij konjunkcije in disjunkcije še drugih funkcij N. Zimic -9 Logične funkcije (nd.) Z dve neodvisni spremenljivki ostj 6 funkcij: f f f f f f5 f6 f7 f8 f9 f f f f f f5 N. Zimic -

24 Logične funkcije (nd.) f = f = f = = 5 6 = f = f f = f f 7 = konstnt Piercov povezv negcij implikcije negcij negcij implikcije negcij seštevnje po modulu Shefferjev povezv N. Zimic - Logične funkcije (nd.) f = 8 9 = f f = f = = = f = f f f 5 = koniunkcij ekvivlenc spremenljivk implikcij spremenljivk implikcij disjunkcij preklopn konstnt N. Zimic -

25 Logični simoli Konjunkcij Disjunkcij f ( ) f ( ) N. Zimic - Logični simoli (nd.) Negcij Gonilnik f ) ( f ) ( N. Zimic -

26 Logični simoli (nd.) Shefferjev opertor Pirceov opertor f ( ) f ( ) N. Zimic -5 Logični simoli (nd.) Vsot po modulu Ekvivlenc f ( ) f ( ) N. Zimic -6

27 Rzlični stndrdi Ostj vrst simolov z logičn vezj stndrde z simole so postvljle rzne orgnizcije nekter podjetj so postvljl svoje stndrde ki so njpogosteje komincij stndrdov n predvnjih omo uporljli stndrd ki je uporljen v učeniku N. Zimic -7 Rzlični stndrdi (nd.) Primeri rzličnih stndrdov Konjunkcij Disjunkcij Negcij Gonilnik & N. Zimic -8

28 Rzlični stndrdi (nd.) Shefferjev op. Pircov op. Vsot po mod. Ekvivlnec & = = N. Zimic -9 Logične sheme V logičnih shemh je preklopn funkcij predstvljen n grfični nčin Logične sheme so osnov z relizcijo preklopne funkcije Logične sheme poleg logičnih simolov vseujejo še dodtne informcije ki so potrene z fizično relizcijo (številke priključkov n integrirnem vezju oznko integrirneg vezj...) N. Zimic - 5

29 Logične sheme (nd.) Primer: f ( 5 6) = (( ) ( ) ) 5 6 f ( 5 6) 5 6 N. Zimic - Relizcij preklopnih funkcij Preklopne funkcije relizirmo z elektronskimi vezji. Njpogosteje so to integrirn vezj. Pri relizciji logično in oičjno predstvimo z rzličnim nivojem eletrične npetosti. N. Zimic - 6

30 Relizcij preklopnih funkcij (nd.) Primer električnih nivojev z integrirn vezj v tehnologiji CMOS. 5.V.5V.5V.V Logičn Logičn Nedefinirn logičn vrednost N. Zimic - Relizcij preklopnih funkcij (nd.) Primer negtorj 5 V Področje vhodne npetosti z logično Izhodn npetost kot funkcij vhodne npetosti Izhodn npetost Področje vhodne npetosti z logično Vhodn npetost 5 V N. Zimic - 7

31 Integrirn vezj Logični opertorji so relizirni v integrirnih vezjih. Primer tkeg vezj je prikzn n sliki: Vcc Primer integrirneg vezj 7LS. Številke oznčujejo številko priključk. Priključke štejemo v ortni smeri urneg kzlc. Priključk št. 7 in st nmenjen z npjnje integrirneg vezj Gnd 8 N. Zimic -5 Vennovi digrmi Grfični prikz relcije med spremenljivkmi y y y y y N. Zimic -6 8

32 Vennovi digrmi Krog v Venovih digrmih omejuje spremenljivko. V prejšnjem primeru omejuje spremenljivko ozirom y. Presek krivulj in tudi zunnjost krogov tvorijo funkcije: y y y y N. Zimic -7 Veitchev digrm Veitchev digrm se uporlj z zpis funkcij Oseg n polj kjer je n število neodvisnih spremenljivk Poseno primeren je pri minimizciji logičnih funkcij Veitchev digrm izhj iz Vennovih digrmov N podoen nčin lhko zpišemo funkcijo tudi s pomočjo Krnugovih digrmov N. Zimic -8 9

33 Veitchev digrm (nd.) Področj ki jih pokriv neodvisn spremenljivk N. Zimic -9 Veitchev digrm (nd.) N. Zimic -

34 Veitchev digrm (nd.) m m m6 m m m5 m7 m5 m9 m m m m8 m m m Presečišče posmeznih spremenljivk določ funkcijo polj. Vsko polje predstvlj minterem N sliki je prikzn enjsti minterem N. Zimic - Veitchev digrm (nd.) f( ) =( ) f ( = ) V polj vpisujemo funkcijske vrednosti pri posmeznem mintermu Vpisujemo smo enice N. Zimic -

35 Veitchev digrm (nd.) Veitchev digrm z in neodvisne spremenljivke m m m m6 m7 m m m m m m m5 m m N. Zimic - Veitchev digrm (nd.) Veitchev digrm z 5 neodvisnih spremenljivk 5 5 m5 m9 m m9 m7 m m 5 m m9 m m7 m m7 m m5 m m m8 m m8 m6 m m m m8 m m6 m m6 m m m N. Zimic -

36 Ločenje Ločenje je poznno tudi kot Shnonov teorem f (.. n) = f (.. n) f (.. n) f (.. n) = ( f (.. n) )( f (.. n) ) Funkciji ki sodelujet pri ločenju imenujemo funkcijski ostnek f (.. n) = f (.. n) f (.. n) = f (.. n) N. Zimic -5 Ločenje (nd.) Postopek ločenj nd vsemi neodvisnimi spremenljivkmi privede do PDNO li PKNO. Primer z PDNO: f (.. n) = f (... n) f (... n) = ( f (... N. Zimic -6 n ) f (... ( f (... n ) f (... n ) ) =... n f(...)... n f(...) f(...) n = m f m f... m n n f n ) )

37 Ločenje (nd.) Primer z PKNO f (.. n) = ( f (... n) )( f (... n) ) = (( f (... (( f (... ) ) )( f (... )( f (... = (... n f(...)) (... n f(...)) (... f(...)) )) ) N. Zimic -7 n n n n ) = n n ) ( M n f)( M n f)... ( M f ) )) ) Dekompozicij preklopne funkcije Dekompozicij preklopne funkcije je postopek s kterim preklopno funkcijo rzdelimo n dv del. N tk nčin funkcijo relizirmo z mnjšim številom elementov in priključkov. Dekompozicij preklopne funkcije ni vedno možn. N. Zimic -8

38 Dekompozicij preklopne funkcije (nd.) Grfičn predstvitev preklopne funkcije n Preklopn funkcij f (... n) N. Zimic -9 Dekompozicij preklopne funkcije (nd.) Grfičn predstvitev dekompozicije preklopne funkcije i i is Preklopn funkcij h h( i i... is ) is+ in Preklopn funkcij g f (... n) N. Zimic -5 5

39 Dekompozicij preklopne funkcije (nd.) Funkcij im dekompozitno znčilnost če velj: f (... n ) = g( h( i... )... i i s i s+ in s n { i i... } {... } i i i + i = s s+ s n { i i... i } { i i... i } {... } = s s+ s + n n ) N. Zimic -5 Preklopn diferenc Preklopn (oolov) diferenc podj odvisnost funkcije od vhodne spremenljivke df... d ( i n ) = g funkcij ni odvisn od spremenljivke i funkcij je odvisn od spremenljivke i funkcij je odvisn od pod pogojem g i df (... d i n ) = f (... n ) f (... n ) N. Zimic -5 6

40 7 N. Zimic -5 Preklopn diferenc (nd.) Preklopn diferenc (nd.) Primer: Odvisnost lhko določimo tudi z minimizcijo preklopne funkcije. Če funkcij ni odvisn od vhodne spremenljivke o le t pri minimizciji odpdl. ) ( f = ) ( ) ( ) ( ) ( d df = = = =

41 Funkcijsko poln sistem N. Zimic - Funkcijsko poln sistem Funkcijsko poln sistem je množic funkcij s kterimi lhko relizirmo kterokoli preklopno funkcijo Funkcijsko poln sistem ki izhj iz postultov predstvljjo: konjunkcij disjunkcij negcij Funkcijsko polnost lhko ugotovimo s prevedo nor funkcij n znn funkcijsko poln sistem N. Zimic -

42 Funkcijsko poln sist.. (nd.) Primer preverjnj funkcijske polnosti sistem: nor & & ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( N. Zimic - Funkcijsko polni sist.. (nd.) Primer preverjnj funkcijske polnosti sistem: nor ( ) ( ( ) (( ) ( )) N. Zimic -

43 Zprti rzredi Množic M je podmnožic množice funkcij: M P Funkcij f (... n ) je element množice M: f (... ) n M Če s funkcijo f ne moremo relizirti noene funkcije ki ne i il vseovn v množici M je množic M zprt rzred. N. Zimic -5 Zprti rzredi (nd.) Ostj 5 osnovnih zprtih rzredov: T - rzred ohrnjnj ničle T - rzred ohrnjnj enice S - rzred seidulnih funkcij L - rzred linernih funkcij M - rzred popolnom monotonih funkcij Množic P je tudi zprt rzred ki je hkrti tudi univerzln množic N. Zimic -6

44 Znčilnost zprtih rzredov T -rzred ohrnjnj konstnte f (... n) T : f (...) = T -rzred ohrnjnj konstnte f (... n) T : f (...) = S - rzred seidulnih funkcij f (... n) S : f (... n) = f (... n) L - rzred linernih funkcij f... ) L : f (... ) =... ( n n n n N. Zimic -7 Znčilnost zprtih rzredov (nd.) M - rzred popolnom monotonih funkcij f (... n) M : w~ w~ f ( w ~ ) f ( w ~ i j i j vektorje primerjmo po itnih mestih. Če se vektor rzlikuje v več kot dveh itnih mestih in pri tem prihj do protislovj potem relcije ne moremo določiti! () < () () < () () () primerjv ni možn! ) N. Zimic -8

45 Zprti rzredi Funkcijski nor je funkcijsko poln če funkcije odpirjo zprte rzrede: F = { f f... fn} ) ) ) ) 5) f T i f T i f S i f L i f M i f F f F f F i i f F i i f F i N. Zimic -9 Zprti rzredi (nd.) Preverjnje funkcijske polnosti z nor funkcij: F = { } Rzred T = Rzred T = = = Rzred S N. Zimic - 5

46 Zprti rzredi (nd.) Rzred L = Rzred M = monoton = monoton monoton N. Zimic - Zprti rzredi (nd.) T T S L M Nor funkcij F = { } ni funkcijsko poln sistem ker ne odpir rzred T N. Zimic - 6

47 Shefferjev funkcijsko poln sistem Funkcijo lhko podmo v popolni Shefferjevi normlni oliki: n f (... ) = ( f s ) n i i i= Kjer je s i Shefferjev minterm: w i wi wni n si =... n i =... N. Zimic - Shefferjev funkcijsko poln sistem (nd.) Primer: f ( = ) f ( ) = ( ) = ( ) N. Zimic - 7

48 Shefferjev funkcijsko poln sistem (nd.) Shem vezj z prejšnji primer: f ( ) N. Zimic -5 Pierceov funkcijsko poln sistem Funkcijo lhko podmo v popolni Piercevi normlni oliki: n f(... ) = ( f P ) n i n i= i Kjer je P n --i Piercev mksterm: w i wi wni n P n =... =... i n i N. Zimic -6 8

49 Pierceov funkcijsko poln sistem (nd.) Primer: f ( ) = f ( ) = ( ) = = ( ) ( ) = ( ( )) ( ( )) N. Zimic -7 Pierceov funkcijsko poln sistem (nd.) Shem vezj z prejšnji primer (rez negcije n izhodu): f ( ) N. Zimic -8 9

50 MINIMIZACIJA PREKLOPNIH FUNKCIJ N. Zimic 5- Glvni vseovlnik Glvni vseovlnik je konjunktivni izrz ki je disjuktivno vseovn v opzovni preklopni funkciji tko d ne ostj noen krjši konjunktivni izrz. Z minimlno disjunktivno normlno oliko mormo med glvnimi vseovlniki izrti smo tiste ki so potreni. Potreni vseovlniki vseujejo vse minterme ki sestvljjo preklopno funkcijo. N. Zimic 5-

51 Sosednost Konjunkciji st sosednji če se rzlikujet smo po eni negciji in imt enko število črk Ist definicij velj tudi z minterme Primer sosednjih konjunkcij: N. Zimic 5- Sosednost (nd.) Sosednje konjunkcije lhko v preklopni funkciji opustimo n osnovi postult P5 in P5* Večin postopkov z minimizcijo preklopnih funkcij temelji n sosednosti N. Zimic 5-

52 Quinov metod minimizcije Postopek funkcijo zpišemo z mintermi poiščemo sosednje konjunkcije postopek isknj konjunkcij ponvljmo dokler le te ostjjo poiščemo potrene glvne vseovlnike iz potrenih glvnih vseovlnikov sestvimo minimlno oliko funkcije N. Zimic 5-5 Quinov metod minimizcije (nd.) Primer: f ) = (85) ( n = n = n = N osnovi sosednosti iščemo glvne vseovlnike N. Zimic 5-6

53 Quinov metod minimizcije (nd.) Isknje potrenih glvnih vseovlnikov m m m m8 m m m m5 Iz potrenih vseovlnikov sestvimo minimlno disjunktivno normlno oliko f ( = ) N. Zimic 5-7 Quinov metod minimizcije (nd.) Primer: f ) = (67895) ( n = n = n = N. Zimic 5-8

54 Quinov metod minimizcije (nd.) Isknje potrenih glvnih vseovlnikov m m m6 m7 m8 m9 m m m5 ) f ( = N. Zimic 5-9 Veitchev postopek minimizcije Sosednji mintermi v veitchevem digrmu m m m6 m m m5 m7 m5 m9 m m m m8 m m m sosednji mintermi so kr sosedi v veitchevem digrmu mintermi n rou digrm imjo sosede tudi n drugi strni N. Zimic 5-5

55 Veitchev postopek minimizcije (nd.) Sosednje konjunkcije v veitchevem digrmu m m m6 m m m5 m7 m5 m9 m m m m8 m m m N. Zimic 5- Veitchev postopek minimizcije (nd.) Sosednje konjunkcije v veitchovem digrmu 5 m5 m9 m m9 m7 m m 5 m m9 m m7 m m7 m m5 m m m8 m m8 m6 m m m m8 m m6 m m6 m m m N. Zimic 5-6

56 Veitchev postopek minimizcije (nd.) Primer: f ) = (85) ( f ( ) = = N. Zimic 5- Veitchev postopek minimizcije (nd.) Primer: f ) = (67895) ( f ( ) = = N. Zimic 5-7

57 Minimln konjukntivn normln olik Do MKNO pridemo preko MDNO: funkcijo negirmo tko doljeno funkcijo minimizirmo (MDNO) s pomočjo De Morgnoveg prvil jo pretvorimo v MKNO N. Zimic 5-5 f Minimln konjukntivn normln olik (nd.) Primer: f ( ) = (85) ( ) : f ( ) : N. Zimic 5-6 8

58 Minimln konjukntivn normln olik (nd.) Negirn funkcij v MDNO: f ( = ) S pomočjo De Morgnoveg izrek pretvorimo v MKNO: f ( ) = ( )( )( )( ) N. Zimic 5-7 f Minimln konjukntivn normln olik (nd.) Primer: f ( ) = (67895) ( ) : f ( ) : N. Zimic 5-8 9

59 Minimln konjukntivn normln olik (nd.) Negirn funkcij v MDNO: f ( = ) S pomočjo De Morgnoveg izrek pretvorimo v MKNO: f ( ) = ( ( )( )( ) ) N. Zimic 5-9 Minimizcij nepopolnih funkcij Funkcij je lhko le delno definirn Pri nekterih mintermih funkcij ni določen To nedefinirnost lhko pri mimimizciji upoštevmo kot enico li ničlo odvisno od teg kj pripelje do ugodnejše minimizcije V Veitchevem digrmu oznčimo nedefinirn polj s črko X N. Zimic 5-

60 Minimizcij nepopolnih funkcij (nd.) Funkcij: Nedefinirne vrednosti: f ) = (75) d ) = (5) ( ( X f ( = ) X X N. Zimic 5- Minimizcij nepopolnih funkcij (nd.) Ostj tudi drug popolnom enkovredn rešitev: X f ( = ) X X N. Zimic 5-

61 Ostle pomemne preklopne funkcije N. Zimic 6- Vrintnost preklopne funkcije Funkcij n neodvisnih vhodnih spremenljivk je invrintn n zmenjvo dveh spremenljivk če velj: f ( i j n ) = f ( ) j i n i j Pri zmenjvi dveh neodvisnih spremenljivk med seoj se funkcijsk vrednost ne spremeni. Zmenjvo (trnspozicijo) formlno zpišemo: ( i j) f (... n) i N. Zimic 6- j

62 Simetrične funkcije Funkcij je popolno simetričn če je invrintn z vse zmenjve: () f () f... ( n) f Če je invrintn smo pri nekterih zmenjvh je funkcij delno simetričn Funkcij je popolnom nesimetričn če ne ostj noen pr spremenljivk pri kterem i il funkcij invrintn N. Zimic 6- Simetrične funkcije (nd.) Simetričnost opzujemo tudi pri negciji vhodnih spremenljivk. Nor vhodnih spremenljivk z upoštevnjem negcije je: ~ ~ w i w i Wi X = {... w n ni } Če je funkcij simetričn pri i-tem noru tkšen nor imenujemo i-ti simetrijski nor neodvisnih spremenljivk. Vseh norov je n N. Zimic 6-

63 Simetrične funkcije (nd.) Pri ugotvljnju simetričnosti funkcije mormo preverjti invrintnost funkcije pri vseh norih spremenljivk (negcijh spremenljivk). Funkcijo pri i-tem noru spremenljivk zpišemo: w i wi f (... wni n ) N. Zimic 6-5 Popolnom simetrične funkcije Potreen in zdosten pogoj d je preklopn funkcij popolnom simetričn je d ostj množic simetrijskih števil A={...} kjer je med in n. Če im vhodnih spremenljivk vrednost potem mor iti vrednost funkcije tudi. Popolnom simetrično funkcijo zpišemo: ~ ~ w i wi wni Wi f (... ) = f (... ) = f ( X ) n A n A N. Zimic 6-6

64 Popolnom simetrične funkcije (nd.) Primer simetrične funkcije. Funkcij je po vrednosti če st nič li dve vhodni spremenljivki po vrednosti f { } ) ( = nič spremenljivk po vrednosti en dve spremenljivki po vrednosti en N. Zimic 6-7 Popolnom simetrične funkcije (nd.) { } ( ) = f Primer (nd.) = N. Zimic 6-8 f ( )

65 Popolnom simetrične funkcije (nd.) Poleg možice A ostj tudi dopolniln možic tko d velj A A' = U A A'= U = {... n} Množic U vseuje vs števil od do n kjer je n število neodvisnih vhodnih spremenljivk Pri možici U velj: ~ f U ( X ~ W i ) = N. Zimic 6-9 Negcije pri simetričnih funkcijh Negcij simetrične funkcije je tudi simetričn funkcij: B = CM ( A) = A = { U A} wi wi wni w i wi f (... ) = f ( A n... Negcij vseh vhodnih spremenljivk: wi wi wni w i wi f (... ) = f ( A B = { = n A} n B B N. Zimic w n ni w n ni ) ) 5

66 Negcije pri simetričnih funkcijh (nd.) Duln funkcij je tudi simetričn funkcij: wi wi wni w i wi f (... ) = f ( A B = { = n A} n B... w n ni ) N. Zimic 6- Negcije pri simetričnih funkcijh (nd.) Primeri: f { } ) ( = U = { } n = f { } ( ) = f{} ( ) f { } ( ) = f{} ( ) f { } ( ) = f{} ( ) N. Zimic 6-6

67 7 N. Zimic 6- Konjunkcij in disjunkcij Konjunkcij in disjunkcij simetričnih funkcij simetričnih funkcij Disjunkcij ohrnj simetričnost: Konjunkcij ohrnj simetričnost: )... ( )... ( )... ( ni i i ni i i ni i i w n w w B w n w w A w n w w C f f f = B A C = )... ( )... ( )... ( ni i i ni i i ni i i w n w w B w n w w A w n w w C f f f = B A C = N. Zimic 6- Konjunkcij in disjunkcij Konjunkcij in disjunkcij simetričnih funkcij (nd.) simetričnih funkcij (nd.) Primer: Disjunkcij ohrnj simetričnost: } { ) ( f = } { ) ( f = ) ( ) ( ) ( {} {} } { f f f = } { ) ( f =

68 8 N. Zimic 6-5 Konjunkcij in disjunkcij Konjunkcij in disjunkcij simetričnih funkcij (nd.) simetričnih funkcij (nd.) Primer: Konjunkcij ohrnj simetričnost: } { ) ( f = ) ( ) ( ) ( {} {} } { f f f = ) )( ( ) ( } { f = } { ) ( f = } { ) ( f = N. Zimic 6-6 Ločenje simetričnih funkcij Ločenje simetričnih funkcij Ločenje simetričnih funkcij ohrnj simetričnost: )... ( )... ( )... ( ni i i ni i i ni i i w n w w B i w n w w A i w n w w C f f f = } { A d d B C + = =

69 Ločenje simetričnih funkcij (nd.) Primer: f { } ) ( = = ( ) ( ) = f{} ( ) f{} ( ) N. Zimic 6-7 Testirnje funkcij n simetričnost Funkcij je simetričn če je invritn pri trnspozicijh: () f () f... ( n) f Funkcijo p je potreno testirti n simetričnost pri vseh vhodnih norih ki jih je n : w i w i wni f (... n ) Vseh testirnj je (n-) n vendr se to število lhko prepolovi ker negcij ohrnj simetričnost. N. Zimic 6-8 9

70 Testirnje funkcij n simetričnost (nd.) Funkcijo lhko testirmo tudi s pomočjo Veitcheveg digrm. Številke v posmeznih kvdrtkih pomenijo število enic n vhodu. Simetričn funkcij pokrije vse enke številke. N. Zimic 6-9 Testirnje funkcij n simetričnost (nd.) Simetričnost je potreno testirti tudi pri vseh vhodnih norih. Pri Veitchevem digrmu nrišemo štirikrt večji digrm (osnovneg prekopirmo). Vse vhodne nore doimo s premiknjem osnovneg digrm v ktereg smo vpisli funkcijo. Ker se enice funkcije pokrijejo s številkmi enic predstvlj vhodni nor pri kterem je funkcij simetričn. N. Zimic 6-

71 Testirnje funkcij n simetričnost (nd.) Primer rzširjeneg veitcheveg digrm: N. Zimic 6- Testirnje funkcij n simetričnost (nd.) Primer testirnj funkcije: f f ( ) { } ( ) { } N. Zimic 6-

72 Prgovne funkcije Funkcij je linerno ločljiv če ostj hiperrvnin v Evklidovem prostoru ki ločuje funkcijo glede n funkcijske vrednosti: hiperrvnin w + w n wn = P funkcijske vrednosti f ( w~ ) = wi + wi nw f w~ ) = w + w w i in < ( i i i n in P P N. Zimic 6- Prgovne funkcije (nd.) Z prgovni element velj: f ( w ~ i ) = ~ w~ i < P f ( w ~ ) = ~ w~ P i i n n P f (... ) n Krjši zpis prgovne funkcije: (... ; n P ) N. Zimic 6-

73 Prgovne funkcije (nd.) Primer: (; ) f ( ) f ( ) = = < f ( ) = = 5 f ( ) = = N. Zimic 6-5 Prgovne funkcije (nd.) Prgovno funkcijo zpišemo v DNO tko d poiščemo njmnjše vsote pri kterih velj: w i i P s sestvljnjem tko doljenih spremenljivk pridemo do konjukcij ki jih povežemo v disjunkcijo N. Zimic 6-6

74 N. Zimic 6-7 Prgovne Prgovne funkcije (nd.) funkcije (nd.) Primer: ) (; P w i i + = + w w + + = + + w w w + = + w w ) ( f = + = + w w

75 Strukturln preklopn vezj N. Zimic 7- Opredelitev spremenljivk Mtrik z n vrsticmi in m stolpci n A : : m A n Vodorvn združitev dveh mtrik m C : t : t + A: mb : n A B : t :( m n) = t m n N. Zimic 7-

76 Opredelitev spremenljivk (nd.) Nvpičn združitev dveh mtrik A : m :( m+ n) : t C : t = : n B : t A B m n t Trnsponirn mtrik A ; B = A ; = : n : m : m : n T : n : m i j j i N. Zimic 7- Opercije nd vektorji Vektorsk redukcij (vrstic) = */ ~ c : n = * c *...* n Vektorsk redukcij (stolpec) c = */ ~: m c = * *...* m Opercij * se izvede nd vsemi elementi vrstice ozirom stolpc N. Zimic 7-

77 Opercije nd mtrikmi Iverson in Lieig st uvedl opercije nd mtrikmi: C A B c : n : n : t : m = : t : m) i j = /( i : t : t j ) Opercijo nd mtrikmi lhko primerjmo z množenjem mtrik če opertor * zmenjmo z množenjem in opertor s seštevnjem. N. Zimic 7-5 Opercije nd mtrikmi (nd.) Primer: A = B = A & B = & N. Zimic 7-6

78 N. Zimic 7-7 Opercije nd mtrikmi Opercije nd mtrikmi (nd.) (nd.) = & B A = & & B A N. Zimic 7-8 Opercije nd mtrikmi Opercije nd mtrikmi (nd.) (nd.) = = &B A = & &B A

79 Opercije nd mtrikmi (nd.) Negcij mtrike : m m i i C n = A : : : n ; c j = j Konjunkcij mtrik : m : m m i i i C n = A n & B : : : : n ; c j = j j Disjunkcij mtrik : m : m : m i i i C : n = A: n B : n ; c j = j j Opercijo nd mtrikmi lhko izvedemo tudi z drugimi opertorij (Sheffer Pirce...) N. Zimic 7-9 Prvilnostn tel Prvilnostn tel zpisn z vektorji in mtrikmi: ~ y W f ~ Vektor neodvisnih vhodnih spremenljivk: ~ = [... n] Vektor funkcijskih vrednosti: ~ T f [ f f... f = ] n N. Zimic 7-5

80 Prvilnostn tel (nd.) Mtrik leve strni prvilnostne tele: w w W = n w w w w n w w w n n n n Funkcijsk vrednost je podn kot sklr: y = f ( ~ ) N. Zimic 7- Zpis minterm Vektor mintermov: m~ = [ m m... m n ] Enč minterm: T m ~ = ~ & W Primer z dve vhodni spremenljivki: T m = & W = [ ] & N. Zimic 7- T 6

81 Zpis minterm (nd.) Primer (nd.): [ ]& m ~ = m~ = [( ( ) & ( ) & ( )( )( ) & ( ) & ( ) )] = = m ~ = [ ] = [ m m m m] N. Zimic 7- Zpis minterm (nd.) Rzlični nčini zpis mintermov: m ~ = [ ] = [ m m m m = m ] Mintermski vektor pri konstntnem vhodu: T m ~ ( ~ ) = ~ & W Primer z dve neodvisni spremenljivki: m~ ([]) = [] N. Zimic 7-7

82 PDNO in PKNO PDNO zpišemo: ~ ~ y f ( ~ ( m ~ ( ~ T = ) = / ) & f ) = m~ ( ~ ) & f ~ y = f ( ~ ) = ( ~ & W T ) & f Zpis mksterm: ~ T M = ~ W PKNO v mtričnem zpisu: ~ ~ ~ ~ y f ( ~ M ( ~ T = ) = & / ( ) f ) = M ( ~ ) & f ~ y f ( ~ ( ~ T = ) = W ) & f N. Zimic 7-5 Funkcije z več izhodi Prvilnostn tel z več funkcij: ~ ~ y W D Vektor izhodnih funkcij: ~ y = [ y y... yk ] Kodirno mtriko sestvljjo preklopne funkcije. ~ D = f ~ ~ f... f k N. Zimic 7-6 8

83 Funkcije z več izhodi (nd.) Funkcijo z več izhodi v PDNO zpišemo: ~ y = f ( ~ ) = ( ~ & W T ) & D V PKNO oliki: ~ y = f ( ~ ) = ( ~ W T ) & D N. Zimic 7-7 Primer zpis preklopne funkcije Podn je funkcij: f ( = ) Zpis funkcije s prvilnostno telo: f ( ) N. Zimic 7-8 9

84 N. Zimic 7-9 Primer zpis preklopne Primer zpis preklopne funkcije (nd.) funkcije (nd.) Strukturlni zpis preklopne funkcije: f W f y ~ & ) ( ~ & ( ~ ) T = = = = & ]& [ ~ ) ( f y N. Zimic 7- Primer zpis preklopne Primer zpis preklopne funkcije (nd.) funkcije (nd.) ( ) = = & ] [ ~ ) ( f y ] /[ ~ ) ( f y = = ] /[ ~ ) ( f y = = ~ ) ( f y = = =

85 Kodirnik Funkcij kodirnik je kodirnje vhodnih vrednosti v izhodne vrednosti Pri kodirnikih je lhko nenkrt ktiven smo en vhod. To so tko imenovni mintermski vhodi Njolj pogosto se uporljjo BCD kodirniki (6 vhodov kodir v izhode) in 8/ kodirniki (8 vhodov in izhodi) N. Zimic 7- Kodirnik (nd.) V kodirnik vstopjo mintermski vhodi (mintermski vhodi niso mintermi): m ~ = [ m m...] Izhod kodirnik je: ~ y = [ y y...] Kodirnik vseuje kodirno mtriko preko ktere se vrši kodirnje. T mtrik je konstnt in se ne spreminj. N. Zimic 7-

86 Kodirnik (nd.) Logičn enč kodirnik je: ~ y = m~ & K Simol z kodirnik: m ~ K y~ N. Zimic 7- Kodirnik (nd.) Podron logičn shem Element kodirne mtrike m ~ m y y y~ N. Zimic 7-

87 N. Zimic 7-5 Kodirnik Kodirnik (nd.) (nd.) Prvilnostn tel kodirnik z 8 vhodi in izhodi y y y m m m m m m m m N. Zimic 7-6 Kodirnik Kodirnik (nd.) (nd.) Primer kodirnik z 8 vhodi in izhodi = K ] [ ~ y y y y = m m m m y = 7 6 m m m m y = 7 5 m m m m y = K m y & ~ ~ = ] [ ~ m m m m m m m m m =

88 Dekodirnik Funkcij dekodirnik je preslikv vhodnih vrednosti v mintermske izhode. Znčilnost mintermskih izhodov je t d je vedno ktiven njveč en izhod. Pogosto se uporljjo dekodirniki s tremo vhodi in osmimi izhodi (/8) N. Zimic 7-7 Dekodirnik (nd.) V dekodirnik vstopjo neodvisne vhodne spremenljivke ~ = [...] Izhod dekodirnik je mintermski vektor m ~ = [ m m...] Dekodirnje se vrši preko dekodirne mtrike D. Mtrik se med delovnjem dekodirnik ne spreminj. N. Zimic 7-8

89 5 N. Zimic 7-9 Dekodirnik Dekodirnik (nd.) (nd.) Logičn enč dekodirnik je: Simol z kodirnik: T ~ & ~ D m = m ~ ~ DK N. Zimic 7- Dekodirnik Dekodirnik (nd.) (nd.) Prvilnostn tel dekodirnik z vhodi m m m m m m m m

90 Dekodirnik (nd.) Primer dekodirnik s vhodi in 8 izhodi m ~ = ~ & D T ~ = [ ] m ~ = [ m m m m m m m 5 6 m7 m ( = = )( )( ) m = ( )( )( ) = m = ( )( )( = 7 ) D = N. Zimic 7- ] Multiplekser Multiplekser je grdnik ki je po svojem nčinu delovnj podoen preklopniku. V multiplekser vstop nslovni mintermski vektor ktereg nlog je izirnje vhod m ~ = [ m m...] Izhod je izrn vrednost iz vektorj ~ k = [ k k...] Izstop sklr y N. Zimic 7-6

91 Multiplekser (nd.) Logičn enč multiplekserj je ~ y = m ~ & k T Simol z multiplekser je m ~ MX k ~ m ~ k ~ y y N. Zimic 7- Multiplekser (nd.) Izhod multiplekserj rzširimo n vektor ~ y = [ y y...] Ustrezno se tudi vhodi rzširijo tko d doimo vhodno mtriko K Enč tkšneg multiplekserj je ~ y = m~ & K N. Zimic 7-7

92 Multiplekser (nd.) Oičjno pred nslovne vhode postvimo dekodirnik in s tem zmnjšmo število priključkov. Enč z sklrni izhod je y = ~ & T ( D ) ~ & k Enč z vektorski izhod je ~ T y = ( ~ & D ) & K T N. Zimic 7-5 Multiplekser (nd.) Simol z rzširjeni multiplekser je ~ k ~ k ~ DK MX ~ MX y y N. Zimic 7-6 8

93 9 N. Zimic 7-7 Multiplekser Multiplekser (nd.) (nd.) Primer multiplekserj s tremi nslovnimi vhodi in enim izhodom ] [ ~ = ] [ ~ k k k k k k k k k = T T k D y ~ & ) ~ & ( = 7 k k k y = N. Zimic 7-8 Multiplekser Multiplekser (nd.) (nd.) Prvilnostn tel z prejšnji primer k k k k k k k k y

94 Demultiplekser Demultiplekser oprvlj ortno funkcijo multiplekserj. V demultiplekser vstop vhodn spremenljivk y in nslovni mintermski vektor m ~ = [ m m...] Izhod demultiplekserj je vektor ~ k = [ k k...] N. Zimic 7-9 Demultiplekser (nd.) Enč demultiplekserj je ~ k = y & m~ Simol z demultiplekser je y m ~ DMX m ~ k ~ k ~ N. Zimic 7- y

95 Demultiplekser (nd.) Demultiplekser z vektorskim vhodom ~ y = [ y y ] Izhod tkšneg demultiplekserj im mtrično oliko K. Enč demultiplekserj je K = ~T y & m~ N. Zimic 7- Demultiplekser (nd.) Oičjno pred nslovne vhode postvimo dekodirnik in s tem zmnjšmo število priključkov. Enč z sklrni nslovni vhod je k ~ = y &( ~ & D T ) Enč z nslovni vektorski vhod je K = y ~ T T &( ~ & D ) N. Zimic 7-

96 N. Zimic 7- Demultiplekser Demultiplekser (nd.) (nd.) Primer demultiplekserj s tremi nslovnimi vhodi ) &( ~ & ~ T D y k = ] [ ~ = ] [ ~ k k k k k k k k k = = D ) )( )( ( y y k = = ) )( )( ( y y k = = 7 ) )( )( ( y y k = = N. Zimic 7- Demultiplekser Demultiplekser (nd.) (nd.) Prvilnostn tel demultiplekserj s vhodi y y y y y y y y k k k k k k k k 7 6 5

97 Seštevlnik Primer prvilnostnih tel z seštevlnik z dvem in tremi spremenljivkmi vhodne spremenljivke s c rezultt prenos s c N. Zimic 7-5 Seštevlnik (nd.) Vhodne spremenljivke ~ [ ] ~ = [ Izhodni vektor ~ y = [ s c ] Kodirn in dekodirn mtrik: = ] kodirn mtrik W je lev strn prvilnostne tele dekodirn mtrik D je desn strn prvilnostne tele N. Zimic 7-6

98 Seštevlnik (nd.) Logičn shem seštevlnik W D W D s c s c N. Zimic 7-7 Relizcij preklopnih funkcij Neodvisne vhodne spremenljivke preklopne funkcije rzdelimo n nslovni in podtkovni del: = ( i... ) i i ( d = i... ) i + + in Pri tem velj: d = { n} d = V ndljevnju omo zrdi enostvnosti uporili: = =... = n i i i n N. Zimic 7-8

99 Relizcij preklopnih funkcij (nd.) N osnovi rzčlenjevnj lhko zpišemo: w i w i wi f ( n) = f ( w i w i wi + + n) i= i-ti funkcijski ostnek funkcije je: f i( n) = f ( w i w i wi + + n) Funkcijo lhko relizirmo s pomočjo multiplekserj. N nslovne vhode pripeljemo nslovni del neodvisnih vhodnih spremenljivk n podtkovni del p ustrezne funkcijske ostnke. N. Zimic 7-9 Relizcij preklopnih funkcij (nd.) Pri relizciji preklopnih funkcij oičjno uporljmo dv primer: funkcij se rzčleni po vseh spremenljivkh. V tkem primeru funkcijski ostnki zvzmejo konstntne vrednosti li. funkcij se rzčleni po n- spremenljivkh kjer je n število neodvisnih vhodnih spremenljivk. V tem primeru lhko funkcijski ostnek zvzme eno izmed nslednjih vrednosti:. N. Zimic 7-5 5

100 Relizcij preklopnih funkcij (nd.) Primer relizcije preklopne funkcije s pomočjo multiplekserj: f ( ) = Nslovni del spremenljivk vseuje spremenljivki: = { } Funkcijski ostnki so: f ) = f () f ) = f () ( = f ( ) = f () = ( = f ( ) = f () = N. Zimic 7-5 Relizcij preklopnih funkcij (nd.) Električn shem vezj: MX f ( ) f ( ) N. Zimic 7-5 6

101 Relizcij preklopnih funkcij (nd.) Ndljevnje primer: f ( ) = Nslovni del spremenljivk vseuje spremenljivko: = { } Ustrezn funkcijsk ostnk st: f ( ) = f ( = ) ) = f ( ) f ( = N. Zimic 7-5 Relizcij preklopnih funkcij (nd.) Električn shem vezj: MX f ( ) f ( ) N. Zimic 7-5 7

102 Povezovnje multiplekserjev Z drevesno vezvo multiplekserjev doimo strukturo ki je funkcijsko enkovredn multiplekserju z večjim številom nslovnih vhodov. Z večnjem števil nivojev se hitro več tudi število potrenih grdnikov še hitreje p se več število vhodov v tkšno vezje. To pomeni d lhko relizirmo kompleksnejše funkcije. Multiplekser spd med tko imenovne univerzlne grdnike z preklopn vezj. N. Zimic 7-55 Povezovnje multiplekserjev (nd.) Slik drevesne vezve multiplekserjev k k k k MX MX MX f ( ) k k k k MX f ( ) N. Zimic

103 Brlni pomnilnik Brlni pomnilnik (ROM red only memory) je pomnilnik ki je nmenjen smo rnju. Ostjjo tudi izvedenke v ktere je možno po posenem postopku pisti in npisno tudi risti (PROM EPROM EEPROM...). Glvn znčilnost rlnih pomnilnikov je d pri izpdu električneg npjnj ne izguijo informcije ki je v njih zpisn. N. Zimic 7-57 Brlni pomnilnik (nd.) Prmetri rlneg pomnilnik: nslovni vhodi ~ = [ ] izhodi ~ y = [ y y ] dekodirn in kodirn mtrik DK K v kodirni mtriki je zpisn vsein rlneg pomnilnik N. Zimic

104 Brlni pomnilnik (nd.) Enče z rlni pomnilnik: nslvljnje T m ~ = ~ & D rnje ~ y = m~ & K celotn enč ~ y = ( ~ & D T ) & K N. Zimic 7-59 Brlni pomnilnik (nd.) Električni simol ~ ~ DK m ~ K ROM y~ y~ N. Zimic 7-6

105 N. Zimic 7-6 Brlni pomnilnik (nd.) Brlni pomnilnik (nd.) Primer rlneg pomninik: y y y y Vhodni vektor Dekodirn mtrik Izhodni vektor Kodirn mtrik

106 SEKVENČNA VEZJA N. Zimic 8- Čs v preklopnih vezjih Do sedj smo vs preklopn vezj opzovli v določenem trenutku rez upoštevnj čs Čs vnš v preklopn vezj dodtno dimenzijo Z vpeljvo čs v preklopn vezj preidemo z odločnj v pomnjenje N. Zimic 8-

107 Čs v preklopnih vezjih (nd.) Spreminjnje vhodnih spremenljivk lhko opzujemo v čsu: ( t) ( t) Logičn Čs Logičn Čs N. Zimic 8- Čs v preklopnih vezjih (nd.) Konjunkcij opzovn v čsu: f ( t) = ( t) ( t) ( t) ( t) f ( t ) Čs N. Zimic 8-

108 Čsovni opertor Čsovni opertor je definirn: D k = pri pri t = k t k Čsovni opertor D k pomeni premik vhodne spremenljivke v čsu z k čsovnih enot. k D D k N. Zimic 8-5 Čsovni opertor (nd.) Primer: D D Čs N. Zimic 8-6

109 Čsovni opertor (nd.) Če je pri čsovnem opertorju prmeter k= nm pomeni sednjost: D ( t) = ( t) Negtivni prmeter pomeni preteklost: D D ( t) = ( t ) Pozitivni prmeter prihodnost: D D ( t) = ( t + ) N. Zimic 8-7 Čsovni opertor (nd.) Če pri zpisu uporljmo čsovni opertor D k potem pri zpisu ne potreujemo čsovne spremenljivke t. Vse spremenljivke opzujemo v sednjosti čsovni odmiki p so podni s čsovnim opertorjem. Čsovni opertor je še poseej primeren pri minimizciji čsovnih preklopnih vezij. N. Zimic 8-8

110 Čsovni opertor (nd.) Lstnosti čsovneg opertorj: D = j k D ( D ) = D k + j k k k D ( = D D ) k D = D k = D k N. Zimic 8-9 Front Front je spremem nivoj spremenljivke v čsu. Prv front je spremem iz v zdnj front je spremem iz v. Prvo fronto spremenljivke oznčujemo z ` zdnjo p z `. Fronto lhko doimo: ' = ( D ) ' = ( D ) N. Zimic 8-5

111 Front (nd.) Relcij med frontmi: Primer front: ' ' ' = ( )' ' = '( ) Čs N. Zimic 8- Front (nd.) Front konjunkcije: '( ) = ' ' ' ' '( ) N. Zimic 8-6

112 7 N. Zimic 8- Front (nd.) Front (nd.) Relcije med funkcijmi in fronto: ' ' ' ' ) ( ' = ' ' ' ' )' ( = ' ' ' ' ) ( ' = ' ' ' ' )' ( = N. Zimic 8- Funkcij v čsu Funkcij v čsu N osnovi izrz: Lhko čsovno funkcijo sestvimo iz funkcij ki so postvljene v rzličn čsovn odoj: Tko doljen enč je podon zpisu funkcije v PDNO. = ) ( ) ( ) ; ( n n n f D f D t f ) ( ) ; ( n i i q i n f D t f = = ) ( ) ( n k n k k k f D D D D f =

113 Funkcij v čsu (nd.) Prv tko je precejšnj podonost med čsovnim opertorjem in mintermom. D i D i i m i = m = i i D k = pri pri t = k t k D i D j = m m = ; i j i j N. Zimic 8-5 Funkcij v čsu (nd.) Pri čsovni funkciji zpisni s čsovnimi opertorji imjo le ti vlogo oičjne preklopne spremenljivke. Tko se čsovni opertor pri minimizciji čsovnih funkcij onš kot nvdn preklopn spremenljivk. N. Zimic 8-6 8

114 Funkcij v čsu (nd.) Primer: f ( ; t) = D D ( ) D D D D N. Zimic 8-7 D Funkcij v čsu (nd.) Funkcijo v veitchevem digrmu minimizirmo kot oičjno preklopno funkcijo in pri tem čsovne opertorje jemljemo kot oičjne preklopne funkcije. Rezultt minimizcije je: f ( ; t) = D N. Zimic 8-8 9

115 Digrm prehjnj stnj Digrm prehjnj stnj služi z ponzrjnje delovnj sekvenčnih vezij v grfični oliki. Digrm je sestvljen iz krogov ki predstvljjo stnj in usmerjenih povezv (puščic) ki predstvljjo sprememo stnj. Nd puščicmi je zpisn pogoj pri kterem pride do spremem stnj N. Zimic 8-9 Digrm prehjnj stnj (nd.) Primer digrm prehjnj stnj: A c B ABC: stnj cd: pogoji z prehod C d N. Zimic 8-

116 Sekvenčn vezj Sekvenčno vezje je sestvljeno iz komintorneg del in pomnilnih celic: ~ y ~ Komintorno vezje ~ y' ~ ' D y Pomnilne celice N. Zimic 8- Splošn pomniln celic Iz zčetnih postvk izhj splošn pomniln celic g q g q D N. Zimic 8-

117 Splošn pomniln celic (nd.) Enčo splošne pomnilne celice lhko zpišemo: D q = q g q g q = D ( q g q g) q( t + ) = q( t) g g q( t) V splošno pomnilno celico vstopt funkciji g in g ki st v splošnem odvisni od neodvisnih vhodnih spremenljivk. N. Zimic 8- Enostvne pomnilne celice Pomnjenje pomeni ohrnjnje stnj. Tkšno stnje lhko dosežemo z vezvo negtorjev Vezje lhko zvzme dve stilni stnji - stnje izhod li stnje izhod. N. Zimic 8-

118 Enostvne pomnilne celice (nd.) Če prejšnje vezje rzširimo doimo pomnilno celico RS (reset set) r r s s q q q q r s D q q X D q q X N. Zimic 8-5 Enostvne pomnilne celice (nd.) Pomniln celic relizirn z Shefferjevimi opertorji q q D q D q X X q q N. Zimic 8-6

119 RS pomniln celic Poseen primer nstopi če st o vhod (set in reset) n logični enici. V tkšnem primeru preide vezje v nestilno stnje zto se tkšne komincije n vhodu izogimo ozirom je to prepovedn vhod. Enč RS pomnilne celice je: D q = r q s r s = q( t + ) = r q( t) s r s = Pogoj ki mor iti izpolnjen pri rs pomnilni celici N. Zimic 8-7 RS pomniln celic (nd.) Digrm prehjnj stnj z RS pomnilno celico: r = s = r = s = r = s = r = s = r = s = q = q = r = s = r = s = Prepovedn vhodn komincij N. Zimic 8-8

120 RS pomniln celic (nd.) Digrm prehjnj stnj z RS pomnilno celico: r s r s r s r s r s q = q = r s r s Prepovedn vhodn komincij N. Zimic 8-9 RS pomniln celic (nd.) Čsovni digrm z RS pomnilno celico: s r q Čs N. Zimic 8-5

121 RS pomniln celic (nd.) Zpis RS pomnilne celice s splošno pomnilno celico: r s g g Splošn pomniln celic q q D q = q g q g g = s g = r pogoj rs = N. Zimic 8- T pomniln celic T (trigger) pomniln celic im smo en vhod (t). Vrednost pomnilne celice se spreminj če je vhod visok. Pri nizkem vhodu se vrednost ohrnj. D q = tq tq qt ( + ) = t( t) qt ( ) tt ( ) qt ( ) D q : t q D q q q N. Zimic 8- t t q D q 6

122 T pomniln celic (nd.) Digrm prehjnj stnj z T pomnilno celico: t t t q = q = t N. Zimic 8- D pomniln celic D (dely) pomniln celic im smo en vhod (d). Vrednost pomnilne celice je zksnjen vrednost vhodne spremenljivke d. D q = d q ( t + ) = d d D q N. Zimic 8-7

123 D pomniln celic (nd.) Digrm prehjnj stnj z D pomnilno celico: d d d q = q = d N. Zimic 8-5 JK pomniln celic JK pomniln celic im dv vhod j - rezpogojno postvljnje celice in k - rezpogojno risnje celice. Če st o vhod hkrti po vrednosti se vrednost pomnilne celice negir. D q = q k q j q ( t + ) = q( t) k q( t) j j k D q q q N. Zimic 8-6 8

124 JK pomniln celic (nd.) Rzširjen prvilnostn tel in Veitchev digrm. D q k j q D q N. Zimic 8-7 j k q JK pomniln celic (nd.) Digrm prehjnj stnj z JK pomnilno celico: j k j k j k j k j k j k q = q = j k j k N. Zimic 8-8 9

125 JK pomniln celic (nd.) Logičn shem z JK pomnilno celico: k j q q N. Zimic 8-9 Sinhrone pomnilne celice Pri pomnilnih celich se pojvi vpršnje kdj nj celic spremeni svoje stnje. Prolem je predvsem pri T in JK pomnilni celici ko le ti negirt svojo vrednost. Zto v pomnilne celice uvedemo sinhronizcijo n urin impulz. V nslednjih primerih urin impulz predstvlj front (impulz ki im izredno krtko trjnje). N. Zimic 8-

126 Sinhrone pomnilne celice (nd.) Primer RS pomnilne celice sinhronizirne n urin impulz. r u s q q N. Zimic 8- Sinhrone pomnilne celice (nd.) Primer delovnj sinhrone RS celice: s r u q N. Zimic 8-

127 Sinhrone pomnilne celice (nd.) Primer JK pomnilne celice sinhronizirne n urin impulz. k u j q q N. Zimic 8- Sinhrone pomnilne celice (nd.) Primer delovnj sinhrone JK celice: j k u q N. Zimic 8-

128 Univerzln pomniln celic Univerzln pomniln celic (KRTSJ) združuje lstnosti RS T in JK pomnilnih celic: D q = s j q t q k t r q r s r q t r q j s q t r q k = Logični pogoj Logični pogoj nm odprvlj protislovj pri poljuni vhodni kominciji. N. Zimic 8-5 Relizcij JK celice z RS pomnilno celico Relizcij JK z RS pomnilno celico: j k f ( j k q ) r RS q q f ( j k q ) s N. Zimic 8-6

129 Relizcij JK celice z RS pomnilno celico (nd.) Relizcij JK z RS pomnilno celico: r s D q q X q D q r s Vhodne vrednosti v RS pomnilno celico ki jih pogojuje stnje pomnilne celice v čsu t in t+ v levi strni prvilnostne tele predstvlj logično li (krkoli) N. Zimic 8-7 Relizcij JK celice z RS pomnilno celico (nd.) Spremem stnj JK pomnilne celice pogojuje vhod v RS pomnilno celico j k q D q N. Zimic 8-8 f f

130 Relizcij JK celice z RS pomnilno celico (nd.) Relizcij funkcij ki vstopt v RS celico: f ( j k q ) : j f ( j k q ) : j k k q q j k q j q f ( j k q) = k q f ( ) = N. Zimic 8-9 Relizcij RS celice s T pomnilno celico Relizcij RS s T pomnilno celico: r s f ( r s q) t T q q N. Zimic 8-5 5

131 Relizcij RS celice s T pomnilno celico(nd.) Lstnost T pomnilne celice: t q D q q D q t Vhodne vrednosti v T pomnilno celico ki jih pogojuje stnje pomnilne celice v čsu t in t+ n levi strni prvilnostne tele N. Zimic 8-5 Relizcij RS celice s T pomnilno celico(nd.) Spremem stnj RS pomnilne celice pogojuje vhod v T pomnilno celico Nedovoljeni vhodi r s q D q N. Zimic 8-5 X X t Poljuen vhod v T pomnilno celico 6

132 Relizcij RS celice s T pomnilno celico(nd.) Relizcij funkcije ki vstop v T pomnilno celico: f ( r s q) : s r q f ( r s q) = r q s q N. Zimic 8-5 Sekvenčn relizcij preklopne funkcije Oičjno preklopno funkcijo lhko spremenimo v sekvenčno preklopno funkcijo tko d vhodno spremenljivko ndomestimo s pomnilno celico. Neodvisn vhodn spremenljivk tko postne čsovn spremenljivk ozirom rezultt pomnjenj. Tkšen poseg seved spremeni nrvo vezj. Tko spremenjeno vezje im drugčno funkcijo kot originlno vezje. N. Zimic 8-5 7

133 Sekvenčn relizcij preklopne funkcije (nd.) Primer ndomeščnj vhodne spremenljivke s pomnjenjem. Preklopno vezje Sekvenčno preklopno vezje i n f ( ~ ) i i+ n i f ( ~ ) N. Zimic 8-55 Sekvenčn relizcij preklopne funkcije (nd.) Primer relizcije sekvenčneg preklopneg vezj. Podno immo preklopno funkcijo ki ne vseuje pomnjenj: f ( = ) V preklopni funkciji omo v prvem korku ndomestili s pomnilno celico v drugem korku p še. Uporili omo T pomnilne celice. N. Zimic

134 Sekvenčn relizcij preklopne funkcije (nd.) V preklopni funkciji omo v prvem korku ndomestili s pomnilno celico : q q h( q ) t T N. Zimic 8-57 Sekvenčn relizcij preklopne funkcije (nd.) Uvedemo notrnjo spremenljivko: D q = f ( ) = f ( q ) D q = q Z T pomnilno celico velj: q D q t t vhod je po vrednosti v primeru sprememe stnj pomnilne celice N. Zimic

135 Sekvenčn relizcij preklopne funkcije (nd.) Funkcijo zpišemo v oliki Veitcheveg digrm: D : : q q t q q = q = N. Zimic 8-59 Sekvenčn relizcij preklopne funkcije (nd.) V desnem Veitchovem digrmu so enice n mestih kjer je prišlo do sprememe stnj v pomnilni celici. Tko doimo preklopno funkcijo z t vhod v pomnilno celico: t = q qq q N. Zimic 8-6

136 Sekvenčn relizcij preklopne funkcije (nd.) Spremenljivki in omo ndomestili s T pomnilnimi celicmi. Odnos pomnilnih celic do izhod je podn s konjunkcijo: f = ( ) D q D q Funkcij je tko podn: f ( q = q q q q ) N. Zimic 8-6 Sekvenčn relizcij preklopne funkcije (nd.) Shem vezj: h ( q q ) t T q D ( q q) h ( q q ) t T q N. Zimic 8-6

137 Sekvenčn relizcij preklopne funkcije (nd.) Izhjmo lhko tudi iz splošne enče pomnilne celice: t = q g q g Izhod je konjunktivn povezv dveh T pomnilnih celic: f = D ( ) D q D q q D q D q D q = ( q g q g)( q g q g ) = q q q q g g g g q q N. Zimic 8-6 q g q g g g Sekvenčn relizcij preklopne funkcije (nd.) Enčo zpišemo v oliki ki je primern z relizcijo s splošno pomnilno celico: f ( q = q q q q ) q ( q q) q q q q q q q q q = q = g g = q ; q = q g g = q g g = g g = V enčo dodmo še q ki rzmer v enči ne spremeni vendr omogoči d im sistem enč rešitev. V tem primeru lhko izeremo q. N. Zimic 8-6

138 Sekvenčn relizcij preklopne funkcije (nd.) Rešitev sistem enč je: g = q g = g = g = q Iz splošnih vhodov doimo vhode v T celici: t = q g q g = q q ) t = q g q g = q q q ( q = q q N. Zimic 8-65 Sekvenčn relizcij preklopne funkcije (nd.) Shem vezj: u t T q q D ( q q) t T q q N. Zimic 8-66

139 N. Zimic 8-67 Sekvenčn Sekvenčn relizcij relizcij preklopne funkcije (nd.) preklopne funkcije (nd.) ( ) q q D D q D q t t q q N. Zimic 8-68 Sekvenčn Sekvenčn relizcij relizcij preklopne funkcije (nd.) preklopne funkcije (nd.) Digrm prehjnj stnj z prejšnje vezje notrnj stnj so določen s stnji pomnilnih celic q in q : vhodne črke so: = = = = q q y = q y = q q q y = q y = q

140 Sekvenčn relizcij preklopne funkcije (nd.) Digrm prehjnj stnj: y y y y N. Zimic 8-69 Pomnilne celice s predpomnjenjem D pomniln celic sinhronizirn n urin impulz: u d q q d u D q q Logičn enč: D q = u d u q Vrednost D pomnilne celice se spreminj skldno z vhodom d ko je urin vhod visok in ohrnj ko je urin vhod nizek. N. Zimic 8-7 5

141 Pomnilne celice s predpomnjenjem (nd.) Čsovni digrm z D pomnilno celico sinhronizirno n urin impulz: d u q Čs N. Zimic 8-7 D pomniln celic s predpomnjenjem (nd.) S povezvo dveh pomnilnih celic doimo pomnilno celico s predpomnjenjem: d u d u D q q q l u d u D q q q N. Zimic 8-7 6

142 D pomniln celic s predpomnjenjem (nd.) Glvn znčilnost pomnilne celice s predpomnjenjem je v sinhronizciji n fronto urineg impulz: prv pomniln celic spreminj svoje stnje kdr je urin impulz visok. Ko je urin impulz nizek se izhod prve celice q l ne spreminj drug pomniln celic spreminj svoje stnje kdr je urin impulz nizek. Ker se v tem primeru prv celic ne spreminj se tudi izhod ne spreminj do sprememe pride smo pri prehodu ure iz visokeg v nizko stnje to je pri zdnji fronti N. Zimic 8-7 D pomniln celic s predpomnjenjem (nd.) Enč D pomnilne celice s predpomnjenjem: notrnj pomniln celic D q = u d u l q l izhodn pomniln celic D q = u q l u q N. Zimic 8-7 7

143 D pomniln celic s predpomnjenjem (nd.) Čsovni digrm z pomnilno celic s predpomnjenjem: d u q l q N. Zimic 8-75 D pomniln celic s predpomnjenjem (nd.) Digrm prehjnj stnj z D pomnilno celico s predpomnjenjem: notrnj stnj so določen s stnji notrnje q l in izhodne pomnilne celice q: y = ( q q) l pogoje z prehod p predstvljjo vhodi d in u. N. Zimic

144 D pomniln celic s predpomnjenjem (nd.) Digrm prehjnj stnj: d u d u d u d u u d u d u d u u d u Izhodn vrednost je Izhodn vrednost je N. Zimic 8-77 RS pomniln celic s predpomnjenjem (nd.) S povezvo dveh pomnilnih celic doimo pomnilno celico s predpomnjenjem: s u r s q u RS r q q l q l u s q u RS r q q N. Zimic

145 RS pomniln celic s predpomnjenjem (nd.) Enč RS pomnilne celice s predpomnjenjem: notrnj pomniln celic D ql = r ql s izhodn pomniln celic D q = q l N. Zimic 8-79 RS pomniln celic s predpomnjenjem (nd.) Digrm prehjnj stnj z RS pomnilno celico s predpomnjenjem: notrnj stnj so določen s stnji notrnje q l in izhodne pomnilne celice q: y = ( q q) l pogoje z prehod p predstvljt vhod r s in u. N. Zimic 8-8