Βελτιστοποίηση συναρτήσεων

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Βελτιστοποίηση συναρτήσεων"

Κύρα Οικονόμου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Βελτιστοποίηση συναρτήσεων Παράγωγοι εκθετικών λογαριθμικών συναρτήσεων Ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής Παράγωγοι ανώτερης τάξης Εύρεση μεγίστων-ελαχίστων Οικονομικές συναρτήσεις

2 Παράγωγοι εκθετικών λογαριθμικών συναρτήσεων f(x)=e x f (x)=e x f(x)= logx ή lnx f (x)=1/x Λογιστική καμπύλη αύξηση στο χρόνο f(t)= 1/(1+γe -βt ) f (t)= -βγ e -βt /(1+γe -βt ) 2

3 Ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής Η παράγωγος εκφράζει το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της. Κάποιες φορές μας ενδιαφέρει ο ρυθμός μεταβολής σε σχέση με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο αυτό. Ο ρυθμός αυτός εκφράζεται με τη διαίρεση της παραγώγου f (x) δια την τιμή f(x), αντιστοιχεί σε ποσοστό μεταβολής και ονομάζεται ρυθμός ποσοστιαίας μεταβολής = f (x) / f(x) Μπορεί να εκφραστεί και ως παράγωγος του λογαρίθμου μιας συνάρτησης αφού log f(x)= f (x) / f(x)

4 Παράγωγοι ανώτερης τάξης Όταν βρίσκουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης, προκύπτει μια νέα συνάρτηση από το x στο f (x). Μπορούμε να ξανα-υπολογίσουμε την παράγωγο της παραγώγου και στη συνέχεια εκ νέου παράγωγο. Οι παράγωγοι που προκύπτουν λέγονται παράγωγοι ανώτερης τάξης. Χρησιμοποιούνται για τη μελέτη της αρχικής συνάρτησης.

5 Δεύτερη παράγωγος Αφού η παράγωγος f (x) συνάρτηση είναι με τη σειρά της μια συνάρτηση, μπορούμε να βρούμε ξανά την παράγωγό της. Αυτή λέγεται δεύτερη παράγωγος της αρχικής συνάρτησης ή παράγωγος δευτέρου βαθμού και συμβολίζεται με f (x). Είναι χρήσιμη, στην εύρεση των ακρότατων τιμών (μέγιστο ή ελάχιστο) της αρχικής συνάρτησης f(x).

6 ακρότατα Τοπικό μέγιστο για x = α Τοπικό ελάχιστο για x = α Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου (ΚΠΠ) Κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου (ΚΔΠ) df ( a) f ( a) 0 dx 2 df ( a) f ( a) 0 2 dx f df ( a) f ( a) 0 dx 2 df ( a) ( a) 0 2 dx Σημειώνεται ότι αν f ( a) 0 τότε χρειάζεται περαιτέρω ανάλυση.

7 Ασκήσεις 1. Να βρεθούν οι μέγιστες και ελάχιστες τιμές της συνάρτησης f(x) = 2x 3 +5x 2-4x-3 2. Να βρεθούν οι παράγωγοι ανώτερης τάξης και τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = -2x 4 +5x Να βρεθούν τα σημεία καμπής της συνάρτησης f(x) = 5x Να προσδιορισθεί το διάστημα στο οποίο η συνάρτηση f(x)=(x-2) 2 +(x-5) 2 +2x, είναι φθίνουσα.

8 Οικονομικές συναρτήσεις Συναρτήσεις που μετρούν οικονομικά μεγέθη

9 Συνάρτηση παραγωγής Η συνάρτηση παραγωγής (production function) μετασχηματίζει τους πόρους παραγωγής (εισόδουςinputs) σε παραγόμενες μονάδες( έξοδο-output). Αυτή μπορεί να είναι της μορφής Q = f (L,K,R,T,S,...) όπου οι μεταβλητές L,K,R,T,S,... παριστάνουν, την εργασία L, το φυσικό κεφάλαιο (κτήρια, μηχανές, κ.λπ.) ή το πραγματικό κεφάλαιο K, την πρώτη ύλη R, την τεχνολογία T, τη γη S, κ.λ.π. Εμείς θα υποθέσουμε ότι το Q είναι συνάρτηση ενός μόνο πόρου του x και έτσι γράφουμε Q = f (x). Από την Q = f (x) (που ονομάζεται και συνάρτηση ολικής παραγωγής) παράγονται οι συναρτήσεις που δίδονται στον παρακάτω πίνακα.

10 Eίδη συναρτήσεων παραγωγής Η f (x) παριστά την παράγωγο της συνάρτησης f (x) Όταν εξειδικεύσουμε την φύση του x, δηλαδή όταν προσδιορίσουμε τι αυτό παριστάνει τότε εξειδικεύουμε και το όνομα της συνάρτησης παραγωγής Έτσι αν Q = f (L) μιλάμε για συνάρτηση ολικού προϊόντος της εργασίας. Το MP(L) = f (L) λέγεται οριακό προϊόν της εργασίας (Marginal product of labour-μpl). Το AP(L)= f (L) /L λέγεται μέσο προϊόν της εργασίας (Average product of labour-apl). Ανάλογες διατυπώσεις έχουμε όταν το x εκφράζει άλλες μεταβλητές π.χ. Κεφάλαιο

11 συνάρτηση κόστους Η συνάρτηση κόστους (Cost function), εκφράζει το κόστος που συνεπάγεται η παραγωγή q μονάδων ενός προϊόντος και έχει την έκφραση TC = C(q) η και TC(q) = C(q) Από αυτήν παράγονται οι συναρτήσεις του πίνακα.

12 παράδειγμα Η συνάρτηση συνολικού κόστους (TC) μιας επιχείρησης δίνεται από την εξίσωση, TC = 2Q 3, όπου Q είναι η ποσότητα του αγαθού. Η συνάρτηση ζήτησης του αγαθού είναι P = 120 Q, όπου P είναι η τιμή του αγαθού και Q η ζητούμενη ποσότητα. 1. Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις. Συνολικού εσόδου (TR),οριακού εσόδου ΜR, κέρδους (Π) οριακού κέρδους ΜΠ. Οριακού κόστους της επιχείρησης. 2. Υπολογίστε για ποιες ποσότητες αγαθού (Q) τα κέρδη της επιχείρησης είναι μηδέν. 3. Να προσδιορίσετε τις παραγόμενες ποσότητες Q (ή διαστήματα ποσοτήτων) του αγαθού (Q) για τις οποίες η επιχείρηση έχει: (i) Μηδενικό κέρδος, (ii) κέρδος και (iii) ζημιά.

13 Λύση 1. Συνολικού εσόδου TR=TR(Q) = PQ = (120 Q)Q = 120Q Q 2 Οριακού εσόδου MR= ΜR(Q)= (120Q Q 2 ) = 120 2Q Kέρδους Π= Π(Q) = TR TC = (120Q Q 2 ) 2Q 3 =120Q Q 2 2Q 3 Οριακού Kέρδους MΠ=ΜΠ(Q)= (120Q Q 2 2Q 3 ) = 120 2Q 6Q 2 Οριακό κόστος MC=MC(Q)= (2Q 3 ) = 6Q 2

14 Λύση 2. Π(Q) = 0 120Q Q 2 2Q 3 = 0 Q(120 Q 2Q 2 ) = 0 Από αυτήν έχουμε Q=0 ή 120 Q 2Q 2 =0. Η λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης μας δίνει Q=7.5 και Q=-8. Η αρνητική τιμή απορρίπτεται και συνεπώς οι ποσότητες που μηδενίζουν το κέρδος είναι Q=0 και Q=7.5 1) Μηδενικό κέρδος αντιστοιχεί στις ποσότητες Q=0 και Q=7.5 2) Κέρδος προκύπτει για ποσότητες 0<Q<7.5, (λύση της ανισότητας Π(Q) >0) 3) Ζημιά προκύπτει για ποσότητες Q>7.5 (λύση της ανισότητας Π(Q) <0)

15 Άσκηση Βρείτε τη συνάρτηση κερδών, όταν η συνάρτηση κόστους είναι C= Q και η συνάρτηση ζήτησης είναι Q=40-2 P. Η συνάρτηση κερδών είναι αύξουσα ή φθίνουσα; Πότε έχει μέγιστο;

16 Ασκήσεις 1. Η συνάρτηση κόστους είναι C(q)=5q 3-6q 2 +4q+150. Να βρεθεί το οριακό κόστος και το μέσο κόστος όταν q=5. 2. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους της άσκησης Αν R(q)=-5q 2 +90q να βρείτε: α) τα οριακά έσοδα για q=2, β) τα μέσα έσοδα για q=4. 4. Η συνάρτηση κόστους είναι C(q)=0.25q 2 +2q+25. Αν η τιμή είναι p=5 μονάδες, να βρεθεί η ποσότητα στην οποία μεγιστοποιούνται τα κέρδη. 5. Η συνάρτηση μέσου κόστους είναι AC(q)= 5/q+4q+3, να βρεθεί η συνάρτηση οριακού κόστους. 6. Μια επιχείρηση έχει πάγιο κόστος 240 ευρώ το μήνα και μεταβλητό κόστος 4q 2-40q, όπου q η παραγόμενη μηνιαία ποσότητα. Να βρεθεί α) η συνάρτηση συνολικού κόστους β) η συνάρτηση μέσου κόστους και το σημείο που αυτό ελαχιστοποιείται γ) Στο σημείο ελαχιστοποίησης του μέσου κόστους, πόσο είναι το συνολικό κόστος και πόσο το μέσο κόστος;

Σχετικά έγγραφα

Παράγωγος συνάρτησης. Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου. ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις

Παράγωγος συνάρτησης. Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου. ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις Παράγωγος συνάρτησης Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις Έννοια Στην οικονομική επιστήμη μας ενδιαφέρει πολλές φορές να προσδιορίσουμε την καλύτερη επιλογή, π.χ