ΥΒΡΙ ΙΚΗ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ-ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΦΟΡΙΣΜΟΥ ΛΗΨΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΞΟ ΩΝ

Transcript

1 ΥΒΡΙ ΙΚΗ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ-ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΦΟΡΙΣΜΟΥ ΛΗΨΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΞΟ ΩΝ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΠΑΠΑΜΙΧΑΗΛ ΙΠΛΩΜΑΤΟΥΧΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΙΑΤΡΙΒΗΣ: 236 ΠΑΤΡΑ 2009

2

3 Αφιερώνεται στους γονείς µου και στους φίλους µου ανεξαιρέτως

4

5

6

7 Πρόλογος Η παρούσα διδακτορική διατριβή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Θεωρητικής Ηλεκτροτεχνίας και Παραγωγής B του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών του Πανεπιστηµίου Πατρών. Ένα τόσο µεγάλο εγχείρηµα όσο η εκπόνηση µίας διατριβής απαιτεί την συνεισφορά πολλών ανθρώπων και η παρούσα δεν αποτελεί εξαίρεση. Αισθάνοµαι την ανάγκη να ευχαριστήσω όλους αυτούς που συνέβαλαν, ο καθένας µε τον δικό του τρόπο, στην ολοκλήρωσή της. Πρωτίστως θα ήθελα να ευχαριστήσω τον δάσκαλό µου Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Κωνσταντίνο Σώρρα, για την ουσιαστική συµπαράσταση και πολύπλευρη βοήθεια καθ όλη την διάρκεια παραµονής µου στο Εργαστήριο. Τον ευχαριστώ θερµά τόσο για το ευχάριστο κλίµα που µοναδικά διατήρησε, όσο και για τις ουσιαστικές συνθήκες που εξασφάλισε για να µπορέσει η παρούσα εργασία να τελεσφορήσει. Από τα πιο σηµαντικά που µε δίδαξε ήταν το εξής που το αναφώνησε ένας Ιερέας Αιγύπτιος στον Έλληνα Νοµοθέτη Σόλωνα: Ὦ Ἓλληνες, ᾀεί παῖδες ἐσταί Η συνεργασία µας υπήρξε άριστη και οι συµβουλές του στην ερευνητική περιοχή καθοριστικές. Τα µαθήµατα παιδείας και ήθους που διδάχτηκα καθ όλη την διάρκεια παραµονής µου στο εργαστήριο αποτελούν αξίες ζωής. Ιδιαιτέρως θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή µου κ. Βασίλειο Μακιό για την υποτροφία που µου εξασφάλισε καθ όλη τη διάρκεια της εκπόνησης της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Σηµαντική συνεισφορά στο παρόν διδακτορικό είχαν οι γονείς µου και όλοι οι φίλοι µου ανεξαιρέτως, αφ ενός για τις πολύωρες και άκρως εποικοδοµητικές συζητήσεις πάνω στα ερευνητικά µου ενδιαφέροντα και αφετέρου για την πολύτιµη υποστήριξη που µου παρείχαν. Πάτρα, Βασίλειος Παπαµιχαήλ

8

9 Περίληψη Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, µε βάση την ηλεκτροµαγνητική θεωρία, παρουσιάζεται µία µεθοδολογία για τη µοντελοποίηση πολύθυρων κεραιών κατά την κατάσταση εκποµπής και λήψης τους, δύο στοχαστικές µεθοδολογίες για την αξιολόγησή τους κατά τη λειτουργία τους σε συστήµατα διαφορισµού λήψης και µία στοχαστική µεθοδολογία για την περίπτωση που αυτές λειτουργούν σε συστήµατα πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων. Οι πολύθυρες κεραίες µοντελοποιούνται στις καταστάσεις εκποµπής και λήψης τους χρησιµοποιώντας είτε τον πίνακα διανυσµάτων ενεργών µηκών ή τον πίνακα αποτελεσµατικών ενεργών µηκών. Ο πρώτος τρόπος είναι προσαρµοσµένος για ανάλυση µε Ζ-παραµέτρους ενώ ο δεύτερος για ανάλυση µε S-παραµέτρους. Η αξιολόγηση των πολύθυρων κεραιών κατα τη λειτουργία τους σε συστήµατα διαφορισµού επιτυγχάνεται είτε µε τη µέθοδο του πίνακα συνδιασποράς ή µε µία υβριδική στοχαστική-ηλεκτροµαγνητική µεθοδολογία. Η πρώτη µεθοδολογία έχει χρησιµοποιηθεί αρκετά στη διεθνή βιβλιογραφία, ενώ η δεύτερη προτείνεται στην παρούσα διατριβή. Και οι δύο µέθοδοι λαµβάνουν υπόψη τους τόσο τις χαρακτηριστικές ιδιότητες των κεραιών όσο και τις ιδιότητες του περιβάλλοντος διάδοσης. Η αξιολόγηση των πολύθυρων κεραιών κατα τη λειτουργία τους σε συστήµατα πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων επιτυγχάνεται χρησιµοποιώντας µία γενική µεθοδολογία που βασίζεται σε βασικές αρχές ηλεκτροµαγνητισµού και κυκλωµατικής ανάλυσης. Η συγκεκριµένη µεθοδολογία είναι προσαρµοσµένη για ανάλυση µε S- παραµέτρους αλλά µπορεί να επεκταθεί και για ανάλυση µε Ζ-παραµέτρους. Παρουσιάζεται, επιπλέον, η εφαρµογή της µεθοδολογίας σε κεραίες οι οποίες έχουν κοινό κέντρο φάσης.

10

11 Summary I n this thesis a method for modeling multi-port antenna structures at both their transmitting and receiving operational modes and methods for their performance evaluation when operating in diversity and MIMO systems is demonstrated under the perspective of electromagnetics combined with stochastic analysis. The method for modeling multi-port antenna structures at both their transmitting and receiving operational modes is achieved using either the effective length matrix or the realized effective length matrix. The former way is convenient for Z-parameter analysis while the latter for S-parameter analysis. Two stochastic methodologies for the performance evaluation of diversity systems are presented. The first one is based on the covariance matrix of the received signals and has been used by many researchers worldwide. The second one, which has been developed in this thesis, combines electromagnetic modeling of multi-port antennas the reception mode with a stochastic model. A stochastic methodology for the performance evaluation of MIMO systems is also presented. The methodology has been developed in this thesis in order to be used for S- parameter analysis. Moreover this methodology is applied to model multiport antenna systems with common phase center.

12

13 Περιεχόµενα Κατάλογος Περιεχοµένων i Κατάλογος Σχηµάτων Κατάλογος Πινάκων v vii ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγή Ασύρµατες επικοινωνίες Ο ρόλος των κεραιών ιάρθρωση και πρωτοτυπία της διατριβής...2 [Άρθρα σε διεθνή περιοδικά]...4 [Άρθρα σε διεθνή συνέδρια]...5 [Τεχνικές Εκθέσεις]...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Μοντελοποίηση του Καναλιού Ασύρµατης Επικοινωνίας ιάδοση ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων σε σύνθετους χώρους Μηχανισµοί διάδοσης Φαινόµενο πολυόδευσης Επίδραση της κίνησης Κατηγοριοποίηση των µοντέλων του ασύρµατου καναλιού Αιτιοκρατικά µοντέλα Μέθοδος των ακτινών Μέθοδος των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (FDTD) Μελέτη τρισδιάστατου εσωτερικού χώρου µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου Στοχαστικά µοντέλα Μοντέλα βασισµένα στην χωρική συσχέτιση σε ποµπό και δέκτη...16 i

14 2.4.2 Μη γεωµετρικά µοντέλα Γεωµετρικά µοντέλα...18 [Αναφορές] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μοντελοποίηση Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών Βασική θεωρία κεραιών Οι θεµελιώδεις εξισώσεις του ηλεκτροµαγνητισµού Κατάσταση ακτινοβολίας κεραίας ιαγράµµατα κέρδους ισχύος και φάσης Ανάλυση πολύθυρων κεραιών µε χρήση των παραµέτρων εµπέδησης Κυκλωµατική αναπαράσταση των καταστάσεων εκποµπής και λήψης Ηλεκτροµαγνητική ανάλυση της κατάστασης εκποµπής Κατάσταση λήψης υπό διέγερση επίπεδου κύµατος Ανάλυση πολύθυρων κεραιών µε χρήση των παραµέτρων σκέδασης ικτυακή αναπαράσταση των καταστάσεων εκποµπής και λήψης Ηλεκτροµαγνητική ανάλυση της κατάστασης εκποµπής Κατάσταση λήψης υπό διέγερση επίπεδου κύµατος...35 [Αναφορές]...37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Μοντελοποίηση και Αξιολόγηση Συστηµάτων ιαφορισµού Κεραιών Μέθοδος του πίνακα συνδιασποράς Τεχνική του µεγίστου λόγου Υπολογισµός του ενεργού κέρδους διαφορισµού Υβριδική στοχαστική-ηλεκτροµαγνητική µεθοδολογία Αξιολόγηση συστηµάτων διαφορισµού...46 [Αναφορές]...50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Μοντελοποίηση και Αξιολόγηση Συστηµάτων Πολλαπλών Εισόδων... Πολλαπλών Εξόδων Mοντελοποίηση για ανάλυση µε παραµέτρους σκέδασης και εµπέδησης Πολύθυρες κεραίες µε κοινό κέντρο φάσης Χωρητικότητα ενός συστήµατος ΜΙΜΟ...55 [Αναφορές]...56 ii

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Αποτελέσµατα Αξιολόγησης Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών Συστήµατα ιαφορισµού Γεωµετρικό µοντέλο Μέθοδος του πίνακα συνδιασποράς Υβριδική στοχαστική-ηλεκτροµαγνητική µέθοδος Συστήµατα ΜΙΜΟ Σύστηµα 2x2 διπολικών κεραιών στον ελεύθερο χώρο Χωρητικότητα καναλιού συστηµάτων τυπωµένων κεραιών Χωρητικότητα καναλιού µε επιλογή κεραιών στον δέκτη...69 [Αναφορές]...71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Συµπεράσµατα και Μελλοντικές Κατευθύνσεις...73 iii

16 iv

17 Κατάλογος Σχηµάτων Σχήµα 2.1 Σχήµα 2.2 Σχήµα 2.3 Γεωµετρία του τρισδιάστατου χώρου ο οποίος εξοµοιώθηκε...13 ιακυµάνσεις του ηλεκτρικού πεδίου ως προς τον χρόνο σε ένα τυχόν σηµείο µέσα στον χώρο...14 Πλάτη και φάσεις των συχνοτικών συνιστωσών που αποτελούν το λαµβανόµενο σήµα του Σχήµατος Σχήµα 2.4 Κανονικοποιηµένη συνάρτηση συχνοτικής αυτοσυσχέτισης Σχήµα 2.5 Κανονικοποιηµένη συνάρτηση χωρικής αυτοσυσχέτισης Σχήµα 3.1 Γενικό σύστηµα συντεταγµένων του προβλήµατος της ακτινοβολίας από µία κεραία..23 Σχήµα 3.2 ιεγερµένο δίπολο και το διάγραµµα ακτινοβολίας του Σχήµα 3.3 Σχήµα 3.4 Η ισχύς εισόδου στους τερµατικούς της αποδέκτες της κεραίας και η ακτινοβολούµενη ισχύς από την κεραία Κυκλωµατική αναπαράσταση µίας Μ-θυρης κεραίας στις καταστάσεις (α) εκποµπής και (β) λήψης Σχήµα 3.5 Πολύθυρη κεραία σε κατάσταση εκποµπής Σχήµα 3.6 Σχήµα 3.7 Σχήµα 3.8 Σχήµα 4.1 Σχήµα 5.1 Σχήµα 5.2 Σχήµα 6.1 Πολύθυρη κεραία διεγερµένη από ένα επίπεδο κύµα...30 ικτυακή αναπαράσταση µίας Μ-θυρης κεραίας στις καταστάσεις (α) εκποµπής και (β) λήψης...32 ιαγράµµατα ροής µίας Μ-θυρης κεραίας στις καταστάσεις (α) εκποµπής και (β) λήψης...32 Πολύθυρη κεραία διεγερµένη από L οµοιόµορφα επίπεδα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα τα οποία συνθέτουν ένα στιγµιότυπο του ρεαλιστικού σεναρίου διάδοσης...44 ικτυακή αναπαράσταση ενός ΜΙΜΟ τηλεπικοινωνιακού διαύλου...52 ιάγραµµα ροής ενός ΜΙΜΟ τηλεπικοινωνιακού διαύλου...52 Η γεωµετρία και οι διαστάσεις των πολύθυρων κεραιών που µελετήθησαν...60 Σχήµα 6.2 Οι ΑΣΠ των πολύθυρων κεραιών του Σχήµατος v

18 Σχήµα 6.3 Σχήµα 6.4 Σχήµα 6.5 Σχήµα 6.6 Σχήµα 6.7 Σχήµα 6.8 Οι ΑΣΠ για τις δύο πολύθυρες κεραίες µαζί µε την ΑΣΠ της κατανοµής Rayleigh και τις ΑΣΠ δύο ιδανικών συστηµάτων διαφορισµού που συνδυάζουν µε την τεχνική του µεγίστου λόγου δύο και τέσσερα ασυσχέτιστα σήµατα ίδιας ισχύος Το µέσο BER έναντι του µέσου SNR για τις δύο πολύθυρες κεραίες και για την ιδανική κεραία αναφοράς Οι ΑΣΠ των συνδυασµένων σηµάτων µε την τεχνική της γενικευµένης καλύτερης επιλογής υπολογισµένες µε την προτεινόµενη υβριδική µεθοδολογία...65 Ένα 2x2 ΜΙΜΟ σύστηµα αποτελούµενο από δύο ζευγάρια συζευγµένων διπόλων στον ελεύθερο χώρο...67 Το πλάτος των στοιχείων του πίνακα των S-παραµέτρων της ΜΙΜΟ διάδοσης µεταξύ δύο ζευγαριών από συζευγµένα δίπολα στον ελεύθερο χώρο Η φάση των στοιχείων του πίνακα των S-παραµέτρων της ΜΙΜΟ διάδοσης µεταξύ δύο ζευγαριών από συζευγµένα δίπολα στον ελεύθερο χώρο Σχήµα 6.9 Γεωµετρική µοντελοποίηση µονής ανάκλασης Σχήµα 6.10 Σχήµα 6.11 Σχήµα 6.12 Σύγκριση της χωρητικότητας σε πιθανοτικό επίπεδο 1% των µελετηθέντων συστηµάτων ΜΙΜΟ και των υποθετικών θεωρώντας ότι ο πίνακας µεταφοράς αποτελείται από στοιχεία κανονικών µιγαδικών τυχαίων µεταβλητών...70 Η ΑΣΠ της χωρητικότητας των σταθερών 2x2, 4x4, 4x2 και του αναδιαρθρώσιµου 2x2 συστηµάτων ΜΙΜΟ...71 Η ΑΣΠ της χωρητικότητας των σταθερών 2x2, 6x2 και του αναδιαρθρώσιµου 2x2 συστηµάτων ΜΙΜΟ...71 vi

19 Κατάλογος Πινάκων ΠΙΝΑΚΑΣ 2.1 Σταθερές των υλικών που χρησιµοποιήθηκαν για την εξοµοίωση ΠΙΝΑΚΑΣ 6.1 EDG, MEAG και DG των πολύθυρων κεραιών του Σχήµατος ΠΙΝΑΚΑΣ 6.2 Μέσα ενεργά κέρδη των κεραιών...64 ΠΙΝΑΚΑΣ 6.3 Συντελεστής συσχέτισης πλάτους των λαµβανοµένων τάσεων...64 ΠΙΝΑΚΑΣ 6.4 Τα ενεργά κέρδη διαφορισµού για τις δύο πολύθυρες κεραίες του Σχήµατος 6.1(α) και (γ) σύµφωνα µε την τεχνική του µεγίστου λόγου σε πιθανοτικό επίπεδο 1% ΠΙΝΑΚΑΣ 6.5 Τα ενεργά κέρδη διαφορισµού για την τετράθυρη κεραία του Σχήµατος 6.1(γ) σύµφωνα µε την τεχνική της γενικευµένης καλύτερης επιλογής σε πιθανοτικό επίπεδο 1%...65 vii

20 viii

21 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί την εισαγωγή της παρούσας διδακτορικής διατριβής και έχει ως πρωταρχικό σκοπό να παρουσιάσει µία σύντοµη ανασκόπηση της εξέλιξης των ασυρµάτων επικοινωνιών τις τελευταίες δεκαετίες και να προσδιορίσει τον ρόλο που διαδραµατίζουν οι πολύθυρες κεραίες στον τοµέα της ασύρµατης διάδοσης της πληροφορίας. Στο τέλος του παρουσιάζονται η διάρθρωση της παρούσας διατριβής και οι δηµοσιεύσεις που προέκυψαν κατά την διάρκεια αυτής. 1.1 Ασύρµατες επικοινωνίες Η ραγδαία ανάπτυξη των κινητών επικοινωνιών τις τελευταίες δεκαετίες έχει διαδραµατίσει ουσιαστικό ρόλο στον χώρο των τηλεπικοινωνιών. Αυτό οφείλεται στις ολοένα και αυξανόµενες ανάγκες για την διεκπεραίωση υπηρεσιών φωνής, εικόνας και δεδοµένων µε ταχείς ρυθµούς χρησιµοποιώντας ασύρµατες συσκευές. Αναλυτικότερα, η ραγδαία αυτή ανάπτυξη στηρίχθηκε σε επιµέρους τεχνολογικά άλµατα που πραγµατοποιήθηκαν στα πεδία της κωδικοποίησης, των ολοκληρωµένων κυκλωµάτων πολύ µεγάλης κλίµακας (VLSI) και των κεραιών. Νέες τεχνικές κωδικοποίησης αναπτύχθηκαν µε σκοπό την βελτιστοποίηση της φασµατικής απόδοσης των καναλιών, οι κυριότερες εκ των οποίων είναι οι τεχνικές πολλαπλής προσπέλασης µε διαίρεση: α) κώδικα (CDMA), β) χρόνου (TDMA) και γ) συχνότητας (FDMA). Παράλληλα, η πρόοδος των ολοκληρωµένων κυκλωµάτων πολύ µεγάλης κλίµακας άνοιξε τον δρόµο στην κατασκευή ολοκληρωµένων κυκλωµάτων υψηλής ταχύτητας τα οποία µπορούσαν πλέον να είναι εµπορικά διαθέσιµα. 1

22 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Επιπρόσθετα των ανωτέρω, η κατανόηση του τρόπου που η κεραία συµπεριφέρεται στο συγκεκριµένο κάθε φορά µέσο διάδοσης, οδήγησε στην εφαρµογή πληθώρας τεχνικών όπως οι τεχνικές διαφορισµού κεραιών (χωρική, πόλωσης, διαγράµµατος ακτινοβολίας) και στην χρήση πολύθυρων κεραιών σε ποµπό και δέκτη µε σκοπό την δηµιουργία συστηµάτων πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων (Multiple Input Multiple Output - MIMO). Σε κατάλληλα περιβάλλοντα, τα συστήµατα αυτά αυξάνουν την φασµατική απόδοση της ασύρµατης ζεύξης βελτιώνοντας σηµαντικά την χωρητικότητα των ασύρµατων καναλιών. 1.2 Ο ρόλος των κεραιών Τα τελευταία χρόνια οι απαιτήσεις για µεγαλύτερους ρυθµούς µετάδοσης και αξιοπιστίας της µεταδιδόµενης πληροφορίας οδήγησαν στην χρήση συστηµάτων πολλαπλών κεραιών, τις λεγόµενες πολύθυρες κεραίες (multiport antennas), οι οποίες βρίσκουν εφαρµογή στα συστήµατα διαφορισµού και στα συστήµατα πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων: Τα συστήµατα διαφορισµού κεραιών (antenna diversity) χρησιµοποιούν δύο ή ακόµη και περισσότερες κεραίες για την αντιµετώπιση των διαλείψεων του λαµβανοµένου σήµατος λόγω του φαινοµένου της πολυόδευσης (multipath fading), και έχουν σαν στόχο την λήψη ασυσχέτιστων σηµάτων, η σύνθεση των οποίων παρέχει ένα σήµα υψηλότερης στάθµης. Τα συστήµατα ΜΙΜΟ µε την χρήση χωρο-χρονικών κωδίκων (space-time coding) εκµεταλλεύονται το φαινόµενο της πολυόδευσης µε αποτέλεσµα την σηµαντική αύξηση της χωρητικότητας της ασύρµατης ζεύξης. Η κατανόηση του τρόπου µε τον οποίο συµπεριφέρονται οι πολύθυρες κεραίες κατά την εκποµπή και την λήψη είναι ένα αντικείµενο υπό εξέταση και αποτελεί ένα από τα βασικά αντικείµενα µελέτης της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Το δεύτερο βασικό αντικείµενο της παρούσας διατριβής είναι η αξιολόγηση της αποτελεσµατικότητας των πολύθυρων κεραιών στα αρχικά στάδια σχεδίασής τους που προηγούνται της κατασκευής του εργαστηριακού πρωτοτύπου. 1.3 ιάρθρωση και πρωτοτυπία της διατριβής Ο στόχος της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η µοντελοποίηση και η αξιολόγηση πολύθυρων κεραιών κατά την λειτουργία τους σε συστήµατα διαφορισµού και ΜΙΜΟ. Η µελέτη αυτή περιλαµβάνει, αρχικά, το στάδιο της µοντελοποίησης για την οποία χρησιµοποιούνται βασικές γνώσεις της Ηλεκτροµαγνητικής Θεωρίας και της Κυκλωµατικής 2

23 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ Ανάλυσης. Στην συνέχεια, αξιολογείται η συµπεριφορά των συστηµάτων διαφορισµού και ΜΙΜΟ µε την χρήση στοχαστικών µοντέλων τα οποία υλοποιήθηκαν κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Αναλυτικότερα, η διάρθρωση της διατριβής µαζί µε το δηµοσιευµένο έργο (διεθνή περιοδικά [Π] και συνέδρια [Σ], τεχνικές εκθέσεις [ΤΕ]) που προέκυψαν από αυτή έχει ως εξής: Στο Κεφάλαιο 2 περιγράφεται, καταρχήν, το πρόβληµα της διάδοσης των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων σε σύνθετους χώρους είτε στατικούς (απουσία κίνησης) είτε δυναµικούς (παρουσία κίνησης). Στη συνέχεια, τα διάφορα µοντέλα του καναλιού της ασύρµατης επικοινωνίας που επικρατούν σήµερα κατηγοριοποιούνται σε στοχαστικά και αιτιοκρατικά [ΤΕ1] και περιγράφονται εν συντοµία. Στα διάφορα µοντέλα που παρουσιάζονται συµπεριλαµβάνονται και αυτά των εργασιών, [Π2], [Σ1], [Σ4]-[Σ7] που προέκυψαν από την παρούσα διδακτορική διατριβή. Στο Κεφάλαιο 3 παρατίθενται, αρχικά, τα βασικά στοιχεία της θεωρίας των κεραιών ξεκινώντας µε τις εξισώσεις του Maxwell. Στην συνέχεια παρουσιάζεται το θέµα της µοντελοποίησης των πολύθυρων κεραιών σε κατάσταση εκποµπής και λήψης η οποία συµπεριλαµβάνει τα φαινόµενα της αµοιβαίας σύζευξης (mutual coupling) µεταξύ των κεραιών και της µη ιδανικής προσαρµογής (mismatch) τα οποία επηρεάζουν την απόδοσή τους. Η µέθοδος µοντελοποίησης είναι γενική και προορίζεται για ανάλυση είτε µε τις παραµέτρους εµπέδησης (Z-παραµέτρους) [Π6] ή µε τις παραµέτρους σκέδασης (S-παραµέτρους) [Π7] των πολύθυρων κεραιών. Και οι δύο αναλύσεις βασίζονται στην έννοια του πίνακα ενεργών µήκών των κεραιών, η οποία χρησιµοποιείται για πρώτη φορά στην µοντελοποίηση των δύο καταστάσεων των πολύθυρων κεραιών. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται δύο µέθοδοι αξιολόγησης των συστηµάτων διαφορισµού πολύθυρων κεραιών κατά την λήψη. Πιο συγκεκριµένα, η αξιολόγηση επιτυγχάνεται χρησιµοποιώντας το Ενεργό Κέρδος ιαφορισµού (ΕΚ ) το οποίο µπορεί να υπολογιστεί είτε χρησιµοποιώντας την µέθοδο του πίνακα συνδιασποράς (covariance matrix method) και την αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας των λαµβανοµένων σηµάτων µε την υπόθεση ότι ακολουθούν γνωστές πιθανοτικές κατανοµές [Π1], [Π3]-[Π5], [Σ2], [Σ3], [Σ6], [Σ7] ή µε µία υβριδική στοχαστικήηλεκτροµαγνητική ανάλυση για την προσέγγιση της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας (ΑΣΠ) χρησιµοποιώντας έναν αρκετά µεγάλο αριθµό στιγµιότυπων των λαµβανοµένων σηµάτων τάσης και ρεύµατος [Π6]. Κατά τη δε πρώτη ο πίνακας 3

24 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή συνδιασποράς υπολογίζεται µε αυστηρή ηλεκτροµαγνητική ανάλυση σε αντιδιαστολή µε την ήδη προϋπάρχουσα µεθοδολογία στην οποία ο πίνακας συνδιασποράς περιέχει µία αυθαίρετη µιγαδική µεταβλητή. Η δε δεύτερη παρουσιάζεται για πρώτη φορά στη διεθνή βιβλιογραφία. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται η µοντελοποίηση και η αξιολόγηση συστηµάτων πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων. Η αρχική µοντελοποίηση είναι γενική και προορίζεται για ανάλυση είτε µε τις παραµέτρους σκέδασης (S-παραµέτρους) ή µε τις παραµέτρους εµπέδησης (Z-παραµέτρους) των πολύθυρων κεραιών. Οι πίνακες των S- και Ζ- παραµέτρων οι οποίες χαρακτηρίζουν την διάδοση στον δίαυλο ΜΙΜΟ που περιλαµβάνει τις πολύθυρες κεραίες και το κανάλι πολυόδευσης υπολογίζονται µε αυστηρή ηλεκτροµαγνητική ανάλυση σε αντίθεση µε τις ήδη προϋπάρχουσες µεθοδολογίες. Στην συνέχεια, παρουσιάζεται η προσαρµογή της µοντελοποίησης συστηµάτων ΜΙΜΟ σε συστήµατα πολύθυρων κεραιών µε κοινό κέντρο φάσης [Π4], [Π5] και [Π7]. Στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζονται και αναλύονται τα αποτελέσµατα της αξιολόγησης διαφόρων συστηµάτων διαφορισµού κεραιών και ΜΙΜΟ που προέκυψαν στις εργασίες [Π4]-[Π7]. Πιο συγκεκριµένα, υπολογίζονται τα ενεργά κέρδη διαφορισµού των πολύθυρων κεραιών κατά τη λήψη µε τις δύο µεθοδολογίες του Κεφαλαίου 4. Ο υπολογισµός των ενεργών κερδών διαφορισµού πραγµατικών κεραιοσυστηµάτων σύµφωνα µε το σχήµα συνδυασµού της γενικευµένης καλύτερης επιλογής σε οποιοδήποτε περιβάλλον διάδοσης και αναδιαρθρώσιµο τερµατισµό παρουσιάζεται για πρώτη φορά στη διεθνή βιβλιογραφία (δεύτερη µεθοδολογία του Κεφαλαίου 4). Υπολογίζεται επιπλέον η χωρητικότητα των συστηµάτων ΜΙΜΟ που προκύπτουν τοποθετώντας τα µελετηθέντα κεραιοσυστήµατα στην πλευρά του ποµπού και του δέκτη µε ένα γεωµετρικό µοντέλο. Η χωρητικότητα υπολογίζεται επίσης και για συστήµατα ΜΙΜΟ µε επιλογή κεραιών στην πλευρά του δέκτη (αναδιαρθρώσιµα συστήµατα ΜΙΜΟ). Τέλος, στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζονται συνοπτικά τα συµπεράσµατα που προέκυψαν από την ολοκλήρωση της διατριβής και γίνονται προτάσεις για περαιτέρω µελέτη ερευνητικών θεµάτων που βρίσκονται ακόµη σε αρχικά στάδια. 4

25 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ [Κατάλογος ηµοσιεύσεων] [Άρθρα σε διεθνή περιοδικά] [Π.1] [Π.2] [Π.3] [Π.4] [Π.5] [Π.6] [Π.7] [Π.8] G. Tsachtsiris, M. Karaboikis, C. Soras, V. Papamichael and V. Makios, Multi element fractal rectangular curve patch antenna for indoor access points, WSEAS Transactions on Communications, Vol. 3, Issue 2, pp , April V. Papamichael, C. Soras, M. Karaboikis and V. Makios, SISO and SIMO Indoor Wireless Transmission Systems Simulations using the FDTD Method, WSEAS Transactions on Communications, Vol. 3, Issue 3, pp , July M. Karaboikis, V. Papamichael, C. Soras, and V. Makios, A Multiband Diversity Antenna System for Compact Mobile/Wireless Devices: Modelling and Performance Evaluation, International Journal of Antennas and Propagation, vol. 2008, Article ID , 7 pages, doi: /2008/ V. Papamichael, M. Karaboikis, C. Soras and V. Makios, Diversity and MIMO Performance Evaluation of Common Phase Center Multi Element Antenna Systems, (invited paper), RADIOENGINEERING, vol. 17, no. 2, pp , June M. Karaboikis, V. Papamichael, G. Tsachtsiris, C. Soras, and V. Makios, Integrating Compact Printed Antennas onto Small Diversity/MIMO Terminals, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 56, no. 7, pp , July V. Papamichael and C. Soras, Generalized Selection Combining Diversity Performance of Multi-Element Antenna Systems via a Stochastic Electromagnetic-Circuit Model, to appear in the IET Microwaves, Antennas and Propagation. V. Papamichael and C. Soras, MIMO antenna modelling using the effective length matrices, Progress In Electromagnetics Research C, Vol. 10, pp , V. Papamichael, Eigen-analysis of lossy compact multi-element antenna systems, IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, vol. 8, pp , [Άρθρα σε διεθνή συνέδρια] [Σ.1] V. Papamichael, C. Soras and V. Makios, FDTD Modelling and Characterization of the Indoor Radio Propagation Channel in the 434 MHz ISM band, 17 th International Conference on Applied Electromagnetics and Communications ICECom, pp , 1-3 October 2003, Dubrovnik, Croatia. 5

26 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή [Σ.2] [Σ.3] [Σ.4] [Σ.5] [Σ.6] [Σ.7] M. Karaboikis, C. Soras, G. Tsachtsiris, V. Papamichael and V. Makios, Multi element antenna systems for diversity and MIMO terminal devices, Progress in Electromagnetics Research Symposium, March 2004 Pisa, Italy. G. Tsachtsiris, M. Karaboikis, C. Soras, V. Papamichael and V. Makios, Multi element fractal rectangular curve patch antenna for indoor access points, 8 th WSEAS International Conference on Communications, July 12-15, 2004, Athens, Greece. V. Papamichael, C. Soras, M. Karaboikis and V. Makios, SISO and SIMO Indoor Wireless Transmission Systems Simulations using the FDTD Method, 3 rd WSEAS International Conference on Electronics, Control & Signal Processing ICECS 04, Rethymno, Greece, (24-26 October 2004). V. Papamichael, C. Soras and V. Makios, MIMO Systems Performance using a Discrete Multipath Fading Channel Model and Full Wave Antenna Analysis, Proceedings of the Mediterranean Microwave Symposium MMS 05, pp. 1-6, September 6-8, 2005, Athens, Greece. V. Papamichael, C. Soras and V. Makios, A Hybrid Electromagnetic-Discrete Multipath Model for Diversity Performance Evaluation of Multi Element Antenna Systems, Proceedings of the 5 th International Symposium Communication Systems, Networks and Digital Signal Processing CSNDSP 06, July 2006, Patras, Greece. V. Papamichael, M. Karaboikis, C. Soras and V. Makios, Diversity and MIMO Performance Evaluation of Compact Multi Element Antennas with Common Phase Center, 19 th International Conference on Applied Electromagnetics and Communications ICECom, pp , September 2007, Dubrovnik, Croatia. [Τεχνικές Εκθέσεις] [ΤΕ1] Β. Παπαµιχαήλ, Κ. Σώρρας και Β. Μακιός, Μελέτη και εξοµοίωση της διάδοσης των ραδιοκυµάτων σε ασύρµατα συστήµατα επικοινωνίας εσωτερικών χώρων, Τεχνική Έκθεση για την ΙΝΤΡΑΚΟΜ Α.Ε., ( ). 6

27 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 Μοντελοποίηση του Καναλιού Ασύρµατης Επικοινωνίας Στις ασύρµατες επικοινωνίες η πληροφορία µεταδίδεται από τον ποµπό στον δέκτη µε τη µορφή ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων. Οι διατάξεις που µετατρέπουν τις τάσεις και τα ρεύµατα σε ηλεκτροµαγνητικά κύµατα και αντίστροφα, είναι οι κεραίες. Ωστόσο, η διάδοση γίνεται διαµέσου του χώρου ο οποίος παρεµβάλλεται ανάµεσά τους ο οποίος λειτουργεί ουσιαστικά ως το µέσο σύνδεσης µεταξύ ποµπού και δέκτη και ονοµάζεται ασύρµατο κανάλι. Το ασύρµατο κανάλι µπορεί να χαρακτηριστεί είτε ως στατικό απουσία κίνησης είτε ως δυναµικό αν υπάρχουν κινούµενα σώµατα µέσα στον υπό µελέτη χώρο. Στο παρόν κεφάλαιο, αρχικά περιγράφεται το πρόβληµα της διάδοσης των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων σε σύνθετους χώρους είτε στατικούς ή δυναµικούς και έπειτα κατηγοριοποιούνται και περιγράφονται εν συντοµία τα επικρατέστερα µοντέλα για το ασύρµατο κανάλι ιάδοση ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων σε σύνθετους χώρους Οι σύνθετοι χώροι διακρίνονται για την µεγάλη τους πολυπλοκότητα. Αυτή η πολυπλοκότητα οφείλεται στον µεγάλο αριθµό αντικειµένων τα οποία βρίσκονται µέσα στο χώρο, καθώς, επίσης, και στη µεγάλη ποικιλία των υλικών από τα οποία αποτελούνται αυτά τα αντικείµενα. Είναι προφανές, λοιπόν, ότι η διάδοση των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων δεν γίνεται τόσο απλά όσο στην περίπτωση του ελεύθερου χώρου. Στη συνέχεια, περιγράφονται 7

28 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση του Καναλιού Ασύρµατης Επικοινωνίας πρώτα οι κύριοι µηχανισµοί που επικρατούν κατά την διάδοση σε στατικούς σύνθετους χώρους, έπειτα το φαινόµενο της πολυόδευσης το οποίο είναι αποτέλεσµα των µηχανισµών αυτών και, τέλος, η επίδραση της κίνησης η οποία µετατρέπει το ασύρµατο κανάλι από στατικό σε δυναµικό Μηχανισµοί διάδοσης Οι τέσσερις επικρατέστεροι µηχανισµοί οι οποίοι επηρεάζουν την διάδοση των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων στις ασύρµατες επικοινωνίες είναι η ανάκλαση, η διάδοση, η περίθλαση και η σκέδαση. Ακολουθεί σύντοµη ερµηνεία των µηχανισµών: Ανάκλαση συµβαίνει κυρίως όταν το διαδιδόµενο κύµα προσπίπτει σε αντικείµενα µε διαστάσεις µεγαλύτερες από το µήκος κύµατος που χαρακτηρίζει τη διάδοση. Η κατεύθυνση του ανακλώµενου κύµατος καθορίζεται από τον νόµο του Snell. ιάδοση συµβαίνει όταν το διαδιδόµενο κύµα προσπίπτει σε µία επιφάνεια ενός αντικειµένου και ένα µέρος του συνεχίζει τη διάδοσή του διαµέσου του αντικειµένου ενώ το άλλο υφίσταται ανάκλαση. Ο τύπος του υλικού καθορίζει την εξασθένηση που θα υποστεί το διαδιδόµενο κύµα. Περίθλαση συµβαίνει όταν µεταξύ ποµπού και δέκτη παρεµβάλλονται επιφάνειες αντικειµένων µε έντονες ασυνέχειες στα όριά τους (γωνίες). Τα κύµατα τα οποία προσπίπτουν στα όρια των επιφανειών µε αυτή την ιδιοµορφία περιθλώνται και καταλήγουν στον δέκτη ακόµα και όταν δεν υπάρχει απ ευθείας οπτική επαφή µεταξύ ποµπού και δέκτη. Σε υψηλές συχνότητες, η περίθλαση, όπως και η ανάκλαση, εξαρτάται από την γεωµετρία των αντικειµένων τα οποία τη δηµιουργούν, καθώς, επίσης, και από το πλάτος, την φάση και την πόλωση του προσπίπτοντος κύµατος. Σκέδαση συµβαίνει, σε αντίθεση µε την ανάκλαση, όταν το διαδιδόµενο κύµα προσπίπτει σε αντικείµενα µε διαστάσεις µικρές σε σχέση µε το µήκος κύµατος που χαρακτηρίζει τη διάδοση και όταν υπάρχει µεγάλη πυκνότητα αντικειµένων στον χώρο. Στην ουσία, τα σηµεία όπου παρατηρείται σκέδαση του σήµατος λειτουργούν ως δευτερεύουσες πηγές, διότι σκεδάζουν (διαχέουν) το κύµα προς όλες τις κατευθύνσεις Φαινόµενο πολυόδευσης Οι µηχανισµοί που µόλις περιγράφηκαν καθιστούν το ασύρµατο κανάλι σύνθετων χώρων αρκετά πολύπλοκο µέσο διάδοσης και, κατ επέκταση, πολύ δύσκολο στην περιγραφή του. Το σήµα το οποίο λαµβάνει ο δέκτης δεν είναι απλά ένα εξασθενηµένο αντίγραφο του σήµατος εκποµπής, όπως συµβαίνει στον ελεύθερο χώρο, αλλά, αντιθέτως, προκύπτει από το άθροισµα πολλών εξασθενηµένων αντιγράφων του αρχικού λόγω του πλήθους των 8

29 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ διαδροµών που έχουν ακολουθήσει σε έναν σύνθετο χώρο. Το γεγονός αυτό έχει ως συνέπεια τα αντίγραφα αυτά να έχουν υποστεί διαφορετικές εξασθενήσεις στο πλάτος τους και διαφορετικές µεταβολές στη φάση τους. Το ασύρµατο κανάλι αναφέρεται στη βιβλιογραφία αρκετά συχνά ως κανάλι πολυόδευσης και τα σήµατα τα οποία καταφθάνουν στο δέκτη έχοντας διανύσει διαφορετικές διαδροµές, ως συνιστώσες πολυόδευσης. Αν υπάρχει απευθείας διαδροµή µεταξύ ποµπού και δέκτη η πρώτη συνιστώσα που καταφθάνει στον δέκτη ονοµάζεται απευθείας συνιστώσα πολυόδευσης. Φυσικό επακόλουθο του φαινοµένου της πολυόδευσης είναι ότι σε κάποια σηµεία του χώρου η µέση ισχύς του σήµατος θα είναι πολύ µικρή, εξαιτίας της καταστρεπτικής συµβολής, ενώ σε άλλα πολύ µεγάλη, εξαιτίας της εποικοδοµητικής συµβολής. Είναι, λοιπόν, προφανές ότι η διάταξη των αντικειµένων στον χώρο, η θέση του ποµπού και η θέση του δέκτη είναι καθοριστικής σηµασίας για την λαµβανοµένη µέση ισχύ. Το φαινόµενο πολυόδευσης, εκτός από την µέση ισχύ του λαµβανοµένου σήµατος, επηρεάζει και την διάρκειά του. Οι διάφορες συνιστώσες πολυόδευσης καταλήγουν στον δέκτη έχοντας διανύσει διαφορετικές αποστάσεις, µε διαφορετική χρονική καθυστέρηση η καθεµία. Γίνεται, λοιπόν, αντιληπτό ότι το λαµβανόµενο σήµα «εξαπλώνεται» στον χρόνο Επίδραση της κίνησης Η κίνηση σε ένα δυναµικό ασύρµατο κανάλι είναι άµεσα συνδεδεµένη µε το φαινόµενο µετατόπισης συχνότητας Doppler (Doppler shift). Η επίδραση της µετατόπισης συχνότητας Doppler γίνεται αισθητή στην κεντρική συχνότητα του σήµατος η οποία υφίσταται µετατόπιση. Φυσικό επακόλουθο του φαινοµένου αυτού είναι ότι κάθε συνιστώσα η οποία καταλήγει στον δέκτη υπό διαφορετική γωνία θα υφίσταται και διαφορετική µετατόπιση στην κεντρική της συχνότητα, εποµένως, το λαµβανόµενο σήµα το οποίο είναι το άθροισµα όλων αυτών των συνιστωσών, θα είναι «εξαπλωµένο» στο πεδίο της συχνότητας (Doppler spread frequency spread). Η «εξάπλωση» αυτή αποτελεί µέτρο του ρυθµού µεταβολής του καναλιού στον χρόνο Κατηγοριοποίηση των µοντέλων του ασύρµατου καναλιού Στη διεθνή βιβλιογραφία έχουν παρουσιαστεί πολλές, διαφορετικές µεταξύ τους, µέθοδοι µοντελοποίησης, οι οποίες σχετίζονται σε πολύ µεγάλο βαθµό µε το πρόβληµα που καλείται να λύσει ο µηχανικός που τις χρησιµοποιεί [2.1] [2.3]. Επειδή οι εφαρµογές που εξετάζονται στην παρούσα διατριβή είναι συστήµατα διαφορισµού και πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων (Multiple Input Multiple Output - MIMO), θα παρουσιαστούν τα επικρατέστερα µοντέλα για τις συγκεκριµένες εφαρµογές. Τα µοντέλα αυτά κατατάσσονται στα αιτιοκρατικά αν τα τυχαία ενδεχόµενα δηµιουργούνται µε αιτιοκρατικό τρόπο και στα 9

30 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση του Καναλιού Ασύρµατης Επικοινωνίας στοχαστικά αν δηµιουργούνται µε στοχαστικό. Η αξιολόγηση των στοχαστικών µεθόδων θα γίνει µε βάση την χρησιµότητά τους στο πρόβληµα της σχεδίασης των κεραιών Αιτιοκρατικά µοντέλα Τα αιτιοκρατικά µοντέλα κατατάσσονται σε αυτά που βασίζονται στην επίλυση αριθµητικών µεθόδων και σε αυτά που προσεγγίζουν τις λύσεις των ηλεκτροµαγνητικών προβληµάτων µέσα στον δεδοµένο χώρο µε ασυµπτωτικές µεθόδους. Οι αριθµητικές µέθοδοι εξάγουν αποτελέσµατα τα οποία αποκλίνουν από τις ακριβείς λύσεις εξαιτίας των σφαλµάτων προσέγγισης που τις διακρίνουν. Εποµένως, ο βαθµός απόκλισης είναι κριτήριο για την επιλογή µίας αριθµητικής µεθόδου. Οι επικρατέστερες µέθοδοι, αυτή τη στιγµή, είναι η ασυµπτωτική µέθοδος των ακτίνων (Ray Tracing) και η αριθµητική µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (Finite Difference Time Domain FDTD). Τα αιτιοκρατικά µοντέλα απαιτούν όσο το δυνατόν καλύτερη περιγραφή των τοπολογικών (γεωµετρία) και δοµικών (υλικά) χαρακτηριστικών των αντικειµένων. Η ιδιότητά τους αυτή είναι που τα χαρακτηρίζει ως µοντέλα συγκεκριµένων χώρων (site-specific). Είναι, λοιπόν, προφανές ότι τα αιτιοκρατικά µοντέλα είναι τα καλύτερα για την περιγραφή τόσο στατικών όσο και δυναµικών ασύρµατων καναλιών µε σκοπό την εύρεση των κατάλληλων κεραιών που θα βελτιστοποιήσουν την ασύρµατη µετάδοση. Ωστόσο, έχουν υψηλές απαιτήσεις σε υπολογιστική ισχύ και µνήµη Μέθοδος των ακτίνων Οι µέθοδοι των ακτινών (Ray tracing) βασίζονται στην γεωµετρική οπτική (Geometrical Optics GO) και στις επεκτάσεις της, οι οποίες είναι η γεωµετρική και η οµοιόµορφη θεωρία της περίθλασης (Geometrical and Uniform Theory of Diffraction GTD/UTD) [2.4]. Στην GTD/UTD, επειδή το µήκος κύµατος της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας θεωρείται ότι είναι πολύ µικρό σε σχέση µε τις διαστάσεις των σκεδαστών, τα κύµατα θεωρούνται ως ακτίνες που οδεύουν στο χώρο και η αλληλεπίδρασή τους µε τα διάφορα αντικείµενα είναι τοπική (υποθέτει, δηλαδή, ότι οι πλευρές των αντικειµένων δεν έχουν καµπυλότητα). Τα κύµατα κατά την όδευσή τους στον χώρο υφίστανται τους µηχανισµούς της ανάκλασης (reflection), της περίθλασης (diffraction) και της διάδοσης (transmission). Το συνολικό πεδίο σε ένα δεδοµένο σηµείο του χώρου ισούται µε το διανυσµατικό άθροισµα των πεδίων που σχετίζονται µε όλες τις ακτίνες που διέρχονται από το σηµείο αυτό. Οι ακτίνες αυτές είναι η απευθείας ακτίνα, οι ανακλώµενες ακτίνες και οι περιθλώµενες ακτίνες. Από κάθε σηµείο του χώρου περνούν άπειρες τέτοιες ακτίνες και η ακρίβεια της µεθόδου αυξάνει ανάλογα µε τον αριθµό των ακτίνων οι οποίες λαµβάνονται υπόψη. 10

31 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ Η GTD/UTD χειρίζεται τα διάφορα είδη ακτίνων µε διαφορετικό τρόπο ως εξής: Για την απευθείας ακτίνα λαµβάνεται υπόψη το κέρδος της κεραίας εκποµπής, η ακτινοβολούµενη ισχύς της, το διάγραµµα ακτινοβολίας της και η απόσταση του σηµείου παρατήρησης από την κεραία εκποµπής. Για τις ανακλώµενες ακτίνες, επειδή υποτίθεται ότι τα αντικείµενα δεν έχουν καµπυλωτές επιφάνειες και, θεωρώντας ότι ο ποµπός είναι µακριά από την ανακλαστική επιφάνεια, η ανακλώµενη ακτίνα µπορεί να προσδιοριστεί µε τη βοήθεια της θεωρίας των ειδώλων χρησιµοποιώντας τους συντελεστές ανάκλασης Fresnel. Με την προϋπόθεση ότι οι ανακλαστικές επιφάνειες είναι λείες, η ανάκλαση γίνεται µόνο στην κατοπτρική διεύθυνση. Στην περίπτωση που οι επιφάνειες δεν είναι λείες, έχουµε ανάκλαση και σε άλλες διευθύνσεις. Για τις περιθλώµενες ακτίνες εφαρµόζεται ο νόµος του Keller. Ένα πολύ σηµαντικό πρόβληµα είναι ότι όταν το σηµείο παρατήρησης βρίσκεται κοντά στην ακµή, το κύµα δεν µπορεί να θεωρηθεί ως ακτίνα. Για τις ακτίνες που διαδίδονται µέσω τοίχων, ο υπολογισµός του διαδιδόµενου πεδίου γίνεται µε τη βοήθεια συντελεστών διάδοσης (transmission coefficients) µε τις εξής παραδοχές: Το υλικό του τοίχου είναι ισοτροπικό και οµοιογενές Οι επιφάνειες των τοίχων είναι επίπεδες Είναι προφανές ότι οι παραδοχές αυτές δεν ισχύουν πάντα στην πράξη. Στα πολύπλοκα περιβάλλοντα, όπως αυτά του εσωτερικού χώρου, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη πολλαπλά φαινόµενα, προκειµένου να έχουµε ακριβή εκτίµηση του πεδίου (π.χ. διπλές ανακλάσεις, διπλές περιθλάσεις, ανάκλαση - περίθλαση κλπ.). Σηµαντικό πρόβληµα προκύπτει όταν το κύµα που δηµιουργείται κοντά σε µια ακµή από περίθλαση (όχι απευθείας ακτίνα) είναι το προσπίπτον κύµα σε µια άλλη επιφάνεια. Ουσιαστικά, οι µέθοδοι Ray tracing είναι τεχνικές σχεδίασης ακτίνων τις οποίες χειρίζεται η µέθοδος GTD/UTD µε τους παραπάνω τρόπους. Η ακρίβεια των µεθόδων ακτίνων εξαρτάται από τους περιορισµούς της GTD/UTD: Το ενδογενές σφάλµα Την προσέγγιση στο χειρισµό της ανάκλασης, περίθλασης και διάδοσης στα διηλεκτρικά υλικά Την υπόθεση ότι οι επιφάνειες είναι λείες και ανακλούν µόνο κατοπτρικά Την ακρίβεια της δοµικής και τοπολογικής περιγραφής του περιβάλλοντος, τις ηλεκτρικές ιδιότητες των υλικών, την προσέγγιση των καµπύλων επιφανειών από επίπεδες και την παρουσία αντικειµένων που δεν λαµβάνονται υπόψη στο µοντέλο (π.χ. σκεδαστές συγκρίσιµοι µε το µήκος κύµατος). 11

32 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση του Καναλιού Ασύρµατης Επικοινωνίας Μέθοδος των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (FDTD) Η φιλοσοφία της µεθόδου FDTD [2.5] είναι η διακριτοποίηση του υπό µελέτη χώρου σε µικρά κύτταρα που σχηµατίζουν το χωρικό πλέγµα (grid) και η διακριτοποίηση του χρόνου µε χρονικά βήµατα t (time-steps). Σε κάθε κύτταρο και χρονικό βήµα επιλύονται οι διακριτοποιηµένες εξισώσεις του Maxwell βάσει του αλγορίθµου του Yee [2.6]. Σύµφωνα µε τον αλγόριθµο αυτό, τα πεδία Ε και Η υπολογίζονται από τις δύο εξισώσεις στροβιλισµού µε τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιούνται ενδογενώς οι δύο νόµοι του Gauss. Ένα πολύ σηµαντικό µειονέκτηµα της µεθόδου FDTD είναι οι τεράστιες απαιτήσεις της σε µνήµη και χρόνο. Παρόλα αυτά, η µέθοδος παρουσιάζει πολλά σηµαντικά προτερήµατα έναντι άλλων µεθόδων που έχουν εφαρµοστεί ευρέως έως σήµερα για την µελέτη της διάδοσης των ραδιοκυµάτων σε εσωτερικούς χώρους. Τα σηµαντικότερα από αυτά είναι τα εξής: Αποτελεί µια απευθείας επίλυση των εξισώσεων του Maxwell και όχι µια προσέγγιση υψηλών συχνοτήτων (high frequency approximation) όπως οι µέθοδοι ακτινών. Έτσι, µε την µέθοδο FDTD επιτυγχάνεται µεγαλύτερη ακρίβεια, αφού δεν υπάρχει περιορισµός στο πλήθος των ακτίνων που λαµβάνονται υπ όψιν για τον υπολογισµό του πεδίου. Σε περιβάλλοντα µε πολλά αντικείµενα, όπως είναι οι εσωτερικοί χώροι, όπου εµφανίζονται έντονα φαινόµενα σκέδασης, ανάκλασης και περίθλασης, η µέθοδος FDTD υπερτερεί υπολογιστικά των µεθόδων ακτινών, αφού δεν αυξάνουν αντίστοιχα οι απαιτήσεις της σε µνήµη και χρόνο υπολογισµού. Υπάρχει ποικιλία διεγέρσεων που µπορεί κανείς να εφαρµόσει ανάλογα µε την εφαρµογή. Για παράδειγµα, αν θέλει κανείς να υπολογίσει την απόκριση του καναλιού σε µία συγκεκριµένη ζώνη συχνοτήτων µε δεδοµένο φορέα, τότε επιλέγεται ως διέγερση ο ηµιτονικά διαµορφωµένος παλµός και, µε µια εξοµοίωση, λαµβάνεται η απόκριση του καναλιού στην επιθυµητή ζώνη συχνοτήτων. Επίσης, αν κάποιος επιθυµεί την απόκριση σε µία µόνο συχνότητα διεγείρει το πεδίο µε ένα ηµίτονο στην εν λόγω συχνότητα. Η λήψη των δεδοµένων µπορεί να είναι πολύ λεπτοµερής επειδή, µετά την εξοµοίωση, µπορούν να αποθηκευτούν οι τιµές όλων των συνιστωσών του πεδίου σε κάθε χρονικό βήµα (που συνήθως είναι της τάξης των psec) και σε κάθε κύτταρο του χώρου. Μία σηµαντική παράµετρος για την εκτίµηση της ακρίβειας της µεθόδου FDTD είναι το σφάλµα υπολογισµού της φάσης, το οποίο εξαρτάται κυρίως από την υιοθετηµένη διακριτοποίηση στον υπό µελέτη εσωτερικό χώρο. Το συγκεκριµένο σφάλµα, το οποίο 12

33 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ αποτελεί µέχρι στιγµής το µοναδικό µέτρο για την εκτίµηση της ακρίβειας της µεθόδου, αδυνατεί να αξιολογήσει την σύγκλισή της σε συγκεκριµένες εφαρµογές. Σε µία πρόσφατη δηµοσίευση [2.7] παρουσιάστηκε µία πιο περιεκτική σε πληροφορία µεθοδολογία για την αξιολόγηση της ακρίβειας της µεθόδου όταν χρησιµοποιείται για την εξοµοίωση συστηµάτων ασύρµατης διάδοσης σε εσωτερικούς χώρους. Μετά την µοντελοποίηση ακολουθεί ο χαρακτηρισµός του ασύρµατου καναλιού. Ο µεγαλύτερος αριθµός των εργασιών που έχουν δηµοσιευθεί µέχρι σήµερα χαρακτηρίζει το ασύρµατο κανάλι στις συχνότητες των 900 MHz (GSM), των 1800 MHz (DECT, GSM) και των 2.4 GHz (Wireless Local Area Networks WLAN, Bluetooth), ενώ ελάχιστες εργασίες έχουν γίνει για τη συχνότητα των 434 MHz [2.8], η οποία αναµένεται να χρησιµοποιηθεί ευρέως στο κοντινό µέλλον για τη λειτουργία δικτύων ασύρµατων αισθητήρων (Wireless Sensor Networks). Ελάχιστη έρευνα έχει γίνει, επίσης, σχετικά µε την χωρική έτεροσυσχέτιση των σηµάτων, η οποία προσφέρει την απαραίτητη πληροφορία για την υλοποίηση τεχνικών χωρικού διαφορισµού (space diversity) και χώρο-χρονικής επεξεργασίας (spacetime processing) οι οποίες θα χρησιµοποιηθούν στα συστήµατα SIMO (Single Input Multiple Output) [2.7] και ΜΙΜΟ (Multiple Input Multiple Output) [2.7, 2.9, 2.10] Μελέτη τρισδιάστατου εσωτερικού χώρου µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (FDTD) Ο εσωτερικός χώρος ο οποίος εξοµοιώθηκε αποτελείται από τρία δωµάτια και ένα διάδροµο. Μέσα σε κάθε δωµάτιο υπάρχουν: ένα γραφείο, µία καρέκλα, ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής, µία ντουλάπα και βιβλία. Οι διαστάσεις του συνολικού χώρου είναι 9.5x4.4x3.3 m 3 και η γεωµετρία του φαίνεται στο Σχήµα 2.1. Σχήµα 2.1 Γεωµετρία του τρισδιάστατου χώρου ο οποίος εξοµοιώθηκε. Η γεωµετρία του χώρου επιλέχθηκε έτσι ώστε να είναι παρόµοια µε ένα τυπικό χώρο γραφείων. Επίσης, µέσα στον χώρο τοποθετήθηκαν αρκετά µεταλλικά αντικείµενα τα οποία 13

34 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση του Καναλιού Ασύρµατης Επικοινωνίας θα συµβάλουν τα µέγιστα σε φαινόµενα σκέδασης, ανάκλασης και περίθλασης µε συνέπεια την έντονη πολυόδευση και την επιλεκτικότητα του καναλιού στη συχνότητα και στον χώρο. Στον Πίνακα 2.1 αναφέρονται οι σταθερές των υλικών τα οποία χρησιµοποιήθηκαν. Πίνακας 2.1 Σταθερές των υλικών που χρησιµοποιήθηκαν για την εξοµοίωση. ε r µ r σ(s/m) Ξύλο Γυαλί Τοίχος Χαρτί Σίδερο Αλουµίνιο Η συχνότητα η οποία µελετήθηκε είναι τα 434MHz που έχει αρχίσει πλέον να έχει πολλές χρήσιµες εφαρµογές. Η συγκεκριµένη συχνότητα είναι η πιο κατάλληλη για τη µετάδοση δεδοµένων σε µικρές αποστάσεις, λόγω της µικρής απαίτησής της σε ισχύ εκποµπής. Σχήµα 2.2 ιακυµάνσεις του ηλεκτρικού πεδίου ως προς τον χρόνο σε ένα τυχαίο σηµείο µέσα στον χώρο. Στο Σχήµα 2.2 δίνεται η γραφική παράσταση του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα σηµείο µιας περιοχής και στο Σχήµα 2.3 η απόκριση συχνότητάς του στην ζώνη συχνοτήτων 334MHz-534MHz. Η επιλεκτικότητα του καναλιού ως προς την συχνότητα είναι προφανής. Επίσης, στις συχνότητες όπου παρατηρούνται βυθίσµατα, παρατηρείται µη γραµµικότητα της 14

35 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ φάσης. Η µέση τιµή του συνεκτικού εύρους ζώνης (το εύρος ζώνης συχνοτήτων, στις οποίες η επίδραση του ασύρµατου καναλιού είναι σχεδόν ίδια) που υπολογίστηκε είναι 60MHz και η απόκλιση 25ΜHz (Σχήµα 2.4). Σχήµα 2.3 Πλάτη και φάσεις των συχνοτικών συνιστωσών που αποτελούν το λαµβανόµενο σήµα του Σχήµατος 2.2. Σχήµα 2.4 Κανονικοποιηµένη συνάρτηση συχνοτικής αυτοσυσχέτισης. Η συνεκτική απόσταση υπολογίζεται και για την περίπτωση µη οπτικής επαφής (Non Line Of Sight NLOS) από το διάγραµµα της κανονικοποιηµένης συνάρτησης χωρικής αυτοσυσχέτισης του Σχήµατος 2.5 και είναι ίση µε m. Η αντίστοιχη τιµή του συνεκτικού χρόνου, για την ταχύτητα u=5m/sec, είναι 0.058sec. Η θεωρητική τιµή του συνεκτικού χρόνου για σήµατα των οποίων τα πλάτη ακολουθούν την κατανοµή Rayleigh είναι 0.058sec, η οποία προσεγγίζεται ακριβώς από την τιµή που προκύπτει από την περιοχή NLOS, για την οποία ισχύει η κατανοµή Rayleigh. 15

36 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση του Καναλιού Ασύρµατης Επικοινωνίας Σχήµα 2.5 Κανονικοποιηµένη συνάρτηση χωρικής αυτοσυσχέτισης. [2.8], [2.11]: Συνοψίζοντας τα αποτελέσµατα, αποδείχθηκε, ότι για τη συχνότητα των 434 MHz το κανάλι είναι επίπεδης και αργής διάλειψης (flat and slow fading). Αυτό ισχύει γιατί Ε[Bc] ισούται µε 60 MHz (όπου Ε[] υποδηλώνει τη µέση τιµή και Bc είναι το συνεκτικό εύρος ζώνης) και το εύρος ζώνης του σήµατος είναι 1740 KHz. δεν παρατηρήθηκε διασυµβολική παρεµβολή. Αυτό ισχύει γιατί ο λόγος 1/Ε[σ Τ ] (όπου σ Τ είναι το RMS delay spread) ισούται µε 174 Μbps και ο ρυθµός µετάδοσης είναι 54 Kbps. είναι εφικτός ο διαφορισµός χώρου (space diversity) εφόσον η χωρική αυτοσυσχέτιση είναι µικρότερη από 0.5 για αποσταση µεταξύ των κεραιών περίπου 0.17 m όπως φαίνεται από το Σχήµα Στοχαστικά µοντέλα Σε σχέση µε τα αιτιοκρατικά, τα στοχαστικά µοντέλα είναι πολύ λιγότερο απαιτητικά σε υπολογιστικούς πόρους. Ωστόσο, δεν περιγράφουν το ίδιο καλά την φυσική πραγµατικότητα. Η γενική αρχή είναι ότι όσο περισσότερες υποθέσεις απλοποίησης του προβλήµατος εµπεριέχει ένα µοντέλο τόσο λιγότερο θα αντιπροσωπεύει την φυσική πραγµατικότητα. Σύµφωνα µε αυτή την αρχή, τα διάφορα στοχαστικά µοντέλα µπορούν να ενταχθούν σε τρεις κύριες κατηγορίες οι οποίες και παρουσιάζονται στη συνέχεια Μοντέλα βασισµένα στην χωρική συσχέτιση σε ποµπό και δέκτη Τα πιο απλά στην υλοποίηση στοχαστικά µοντέλα είναι αυτά που βασίζονται στη χωρική συσχέτιση (spatial correlation) σε ποµπό και δέκτη [2.3]. Αυτά τα µοντέλα είναι απλά και εύκολα στην υλοποίησή τους, περιγράφουν κάποια γενικά χαρακτηριστικά του ασύρµατου καναλιού χωρίς µεγάλη φυσική ακρίβεια και εφαρµόζονται σε συστήµατα ΜΙΜΟ για την ανάπτυξη και επαλήθευση αλγορίθµων. Όσον αφορά, όµως, στον σχεδιασµό και στην αξιολόγηση κεραιο-συστηµάτων δεν µπορούν να συνεισφέρουν, αφού δεν συνδυάζονται µε τα µαθηµατικά εργαλεία που περιγράφουν ηλεκτροµαγνητικά τις κεραίες. 16

37 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ Μοντέλο i.i.d. Το πιο απλό στοχαστικό µοντέλο αυτής της κατηγορίας είναι το i.i.d. (identical independently distributed), το οποίο περιγράφει ένα ασύρµατο κανάλι όπου επικρατεί µεγάλος αριθµός συνιστωσών πολυόδευσης κατανεµηµένων οµοιόµορφα σε όλες τις διευθύνσεις του ποµπού και του δέκτη [2.12]. Σύµφωνα µε αυτό το µοντέλο, η χωρική συσχέτιση σε ποµπό και δέκτη είναι µηδενική. Η χρήση του περιορίζεται σε θέµατα Θεωρίας της Πληροφορίας για συστήµατα ΜΙΜΟ. Μοντέλο Kronecker Το µοντέλο Kronecker προτάθηκε στην [2.13] στα πλαίσια του έργου SATURN για την Ευρωπαϊκή Ένωση. Αντίθετα µε το µοντέλο i.i.d., υποθέτει ότι υπάρχουν ξεχωριστές χωρικές συσχετίσεις στην πλευρά του ποµπού και του δέκτη, το οποίο επιτρέπει ανεξάρτητη βελτιστοποίηση στις δύο πλευρές. Είναι πολύ δηµοφιλές µοντέλο εξαιτίας της απλότητάς του και χρησιµοποιείται για την θεωρητική ανάλυση και εξοµοίωση των συστηµάτων ΜΙΜΟ. Μοντέλο Wiechselberger Το µοντέλο Wiechselberger προτάθηκε στην [2.14] ως εξέλιξη του µοντέλου Kronecker µε σκοπό να εισαγάγει συσχέτιση µεταξύ των χωρικών συσχετίσεων σε ποµπό και δέκτη. Με αυτόν τον τρόπο µπορεί να γίνει ενοποιηµένη µοντελοποίηση των χωρικών συσχετίσεων σε ποµπό και δέκτη και να ενσωµατωθεί το µοντέλο Kronecker ως ειδική υποπερίπτωση του µοντέλου Weichselberger. Το µοντέλο αυτό είναι εξίσου δηµοφιλές µε το Kronecker και χρησιµοποιείται, επίσης, για την θεωρητική ανάλυση και εξοµοίωση των συστηµάτων ΜΙΜΟ Μη γεωµετρικά µοντέλα Τα δεύτερα στη σειρά µε βάση την απλότητα στοχαστικά µοντέλα είναι τα µη γεωµετρικά µοντέλα τα οποία υλοποιούν την κατευθυντική έννοια τόσο στον ποµπό όσο και στον δέκτη (double directional concept) [2.15], [2.16] µε στατιστικό τρόπο χωρίς να βασίζονται στη γεωµετρία του φυσικού περιβάλλοντος. Τα µοντέλα αυτού του είδους µπορούν να χρησιµεύσουν στον σχεδιασµό και στην αξιολόγηση κεραιο-συστηµάτων, αφού µπορούν να συνδυαστούν εν δυνάµει µε τα µαθηµατικά εργαλεία που περιγράφουν ηλεκτροµαγνητικά τις κεραίες. Τα µη γεωµετρικά µοντέλα µπορούν να καταταχθούν περαιτέρω σε αυτά που συγκεντρώνουν τους µηχανισµούς που δηµιουργούν τις συνιστώσες πολυόδευσης σε οµάδες (clusters) και σε αυτά που τους θεωρούν ανεξάρτητους µεταξύ τους. Μοντέλο Saleh-Valenzuela 17

38 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση του Καναλιού Ασύρµατης Επικοινωνίας Σύµφωνα µε αυτό το µοντέλο, οι µηχανισµοί των συνιστωσών πολυόδευσης δηµιουργούνται σε οµάδες γύρω από τον ποµπό και τον δέκτη χρησιµοποιώντας τυχαίες κατανοµές για τις γωνίες αναχώρησης και άφιξης [2.17]. Μια βελτίωση αυτού του µοντέλου παρουσιάστηκε στην [2.18] σύµφωνα µε την οποία η µέση τιµή της γωνίας των οµάδων και η γωνιακή διασπορά τους προσεγγίστηκαν µέσω µετρήσεων. Μοντέλο Zwick Η δεύτερη κατηγορία µη γεωµετρικών µοντέλων είναι αυτά που δεν οµαδοποιούν τους µηχανισµούς, αλλά τους δηµιουργούν ανεξάρτητα χρησιµοποιώντας πάλι τυχαίες κατανοµές για τις γωνίες αναχώρησης και άφιξης. Το πιο αντιπροσωπευτικό παράδειγµα τέτοιου είδους µοντέλου παρουσιάστηκε στην [2.19], το οποίο πήρε και το όνοµα του ερευνητή που το εισήγαγε Γεωµετρικά µοντέλα Τα πιο πολύπλοκα στοχαστικά µοντέλα, αλλά, ταυτοχρόνως, και τα καλύτερα στην περιγραφή της φυσικής πραγµατικότητας είναι τα ονοµαζόµενα γεωµετρικά τα οποία βασίζονται στην εργασία [2.20] που παρουσιάστηκε το Σύµφωνα µε αυτού του είδους την µοντελοποίηση, οι θέσεις των µηχανισµών στον χώρο είναι αυτές που δηµιουργούνται µε τυχαίο τρόπο και όχι οι γωνίες άφιξης και αναχώρησης, σε αντιδιαστολή µε ότι γίνεται στα µη γεωµετρικά µοντέλα. Επίσης παρέχουν την ελευθερία να χρησιµοποιούνται µηχανισµοί είτε οµαδοποιηµένοι είτε µη οµαδοποιηµένοι και την επιπρόσθετη δυνατότητα να υπάρχουν πάνω από ένας µηχανισµοί σε κάθε συνιστώσα πολυόδευσης [2.21]. Αυτού του είδους τα µοντέλα µπορούν να χρησιµεύσουν κάλλιστα στον σχεδιασµό και στην αξιολόγηση κεραιοσυστηµάτων, αφού µπορούν να συνδυαστούν εν δυνάµει µε τα µαθηµατικά εργαλεία που περιγράφουν ηλεκτροµαγνητικά τις κεραίες. ύο από τα πιο αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα αυτού του είδους µοντέλων παρουσιάστηκαν στην [2.22] για συστήµατα ΜΙΜΟ και στην [2.23] για συστήµατα διαφορισµού. 18

39 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ [Αναφορές] [2.1] K. Yu, B. Ottersen, Models for MIMO propagation channels: a review, Journal of Wireless Communications and Mobile Computing, Vol. 2, No. 7, pp , [2.2] M. A. Jensen and J. W. Wallace, A review of antennas and propagation for MIMO wireless communications, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 52, No. 11, pp , November [2.3] P. Almers, E. Bonek, A. Burr, N. Czink, M. Debbah, V. Degli-Esposti, H. Hofstetter, P. Kyosti, D. Laurenson, G. Matz, A. F. Molish, C. Oestges and H. Ozcelik, Survey of channel and radio propagation models for wireless MIMO systems, EURASIP Journal on Wireless Communications and Networking, vol. 2007, Article ID 19070, 19 pages, doi: /2007/ [2.4] M. Catedra, J. Perez-Arriaga, Cell Planning for Wireless Communications, Arthect House, [2.5] A. Taflove, Computational Electrodynamics: The Finite Difference Time - Domain Method, Artech House, [2.6] K.S. Yee, Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell s equations in isotropic media, IEEE Trans. Antennas Propag. Vol. AP-14, pp , May [2.7] V. Papamichael, C. Soras, M. Karaboikis and V. Makios, SISO and SIMO indoor wireless transmission systems simulations using the FDTD method, WSEAS Transactions on Communications, vol. 3, issue 3, pp , July [2.8] V. Papamichael, C. Soras and V. Makios, FDTD Modelling and Characterization of the Indoor Radio Propagation Channel in the 434 MHz ISM band, 17th International Conference on Applied Electromagnetics and Communications ICECom pp , 1-3 October 2003, Dubrovnik, Croatia. [2.9] M. Karaboikis, C. Soras, G. Tsachtsiris, V. Papamichael and V. Makios, Multi element antenna systems for diversity and MIMO terminal devices, Progress in Electromagnetics Research Symposium, March 2004 Pisa, Italy. [2.10] G. Tsachtsiris, M. Karaboikis, C. Soras, V. Papamichael and V. Makios, Multi element fractal rectangular curve patch antenna for indoor access points, WSEAS Transactions on Communications, Vol. 3, Issue 2, pp , April [2.11] Β. Παπαµιχαήλ, Κ. Σώρρας και Β. Μακιός, Μελέτη και εξοµοίωση της διάδοσης των ραδιοκυµάτων σε ασύρµατα συστήµατα επικοινωνίας εσωτερικών χώρων, Τεχνική Έκθεση για την ΙΝΤΡΑΚΟΜ Α.Ε., ( ). [2.12] I. E. Telatar, Capacity of multi-antenna Gaussian channels, Technical Memorandum, Bell Laboratories, Lucent Technologies, October

40 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση του Καναλιού Ασύρµατης Επικοινωνίας [2.13] J. Kermoal, L. Schumacher, K. Pedersen, P Mogensen and F. Frederiksen, A stochastic MIMO radio channel model with experimental validation, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, Vol. 20, No. 6, pp , August [2.14] W. Weichselberger, M. Herdin, H. Özcelic and E. Bonek, A stochastic MIMO channel model with joint correlation of both link ends, IEEE Transactions on Wireless Communications, Vol. 5, No. 1, pp , January [2.15] M. Steinbauer, A. F. Molisch and E. Bonek, The double-directional radio channel, IEEE Antennas and Propagation Magazine, Vol. 43, No. 4, pp , August [2.16] V. Papamichael, C. Soras and V. Makios, MIMO Systems Performance using a Discrete Multipath Fading Channel Model and Full Wave Antenna Analysis, Proceedings of the Mediterranean Microwave Symposium MMS 05, pp. 1-6, September 6-8, 2005, Athens, Greece. [2.17] A. Saleh and R. Valenzuela, A statistical model for indoor multipath propagation, IEEE Transactions on Selected Areas in Communications, Vol. 5, No. 2, pp , February [2.18] C.-C. Chong, C.-M. Tan, D. I. Laurenson, S. McLaughlin, M. A. Beach, A. R. Nix, A new statistical wideband spatio-temporal channel model for 5-GHz band WLAN systems, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, Vol. 21, No. 2, pp , February [2.19] T. Zwick, C. Fischer and W. Wiesbeck, A stochastic multipath channel model including path directions for indoor environments, IEEE Transactions on Selected Areas in Communications, Vol. 20, No. 6, pp , August [2.20] W. Lee, Effects on correlations between two mobile base-station antennas, IEEE Transactions on Communications, Vol. 21, pp , [2.21] A. Burr, Capacity bounds and estimates for the finite scatterers MIMO wireless channel, IEEE Transactions on Selected Areas in Communications, Vol. 21, No. 5, pp , June [2.22] A. F. Molish, A generic model for MIMO wireless propagation channels in macro- and microcells, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 52, No. 1, pp , January [2.23] V. Papamichael, C. Soras and V. Makios, A Hybrid Electromagnetic-Discrete Multipath Model for Diversity Performance Evaluation of Multi Element Antenna Systems, Proceedings of the 5th International Symposium Communication Systems, Networks and Digital Signal Processing CSNDSP 06, pp , July 2006, Patras, Greece. 20

41 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 Μοντελοποίηση Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών Οι απαιτήσεις για µεγαλύτερους ρυθµούς µετάδοσης της πληροφορίας και για αξιοπιστία από τα συστήµατα ασύρµατης επικοινωνίας ολοένα και αυξάνονται. Πλέον, οι καινούργιες τεχνολογίες χρησιµοποιούν περισσότερες από µία κεραία στους δέκτες ή/και στους ποµπούς για την εκπλήρωση των παραπάνω απαιτήσεων.εποµένως, το θέµα της µοντελοποίησης των πολύθυρων κεραιών σε κατάσταση εκποµπής και λήψης µε τρόπο που να συµπεριλαµβάνει τα φαινόµενα της αµοιβαίας σύζευξης (mutual coupling) και της µη ιδανικής προσαρµογής (mismatch) τα οποία επηρεάζουν την απόδοσή τους κρίνεται λοιπόν µεγάλης σηµασίας. Η προκείµενη ανάλυση µπορεί να επιτευχθεί είτε χρησιµοποιώντας τις παραµέτρους εµπέδησης (Z-παραµέτρους) ή τις παραµέτρους σκέδασης (S-παραµέτρους) των πολύθυρων κεραιών, όπως παρουσιάζεται στη συνέχεια του παρόντος κεφαλαίου µετά την σύντοµη εισαγωγή στη βασική Θεωρία των Κεραιών. 3.1 Βασική Θεωρία Κεραιών Στο παρόν υποκεφάλαιο παρουσιάζονται οι εξισώσεις του Maxwell, περιγράφεται η κατάσταση ακτινοβολίας µίας κεραίας και, τέλος, ορίζονται τα διαγράµµατα κέρδους ισχύος και φάσης των κεραιών. 21

42 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών Οι θεµελιώδεις εξισώσεις του Ηλεκτροµαγνητισµού Οι θεµελιώδεις εξισώσεις της Θεωρίας του Ηλεκτροµαγνητισµού διατυπώθηκαν από τον James Clerk Maxwell το 1861 και η νεώτερη µορφή τους είναι η εξής: B( r,t) E( r,t) = t D( r,t) H ( r,t) = J ( r,t) + t id( r,t) = ρ( r,t) ib( r,t) = 0 (3.1) όπου r= xxˆ + yyˆ + zz ˆ είναι το διάνυσµα θέσης του σηµείου παρατήρησης στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, Ε D και Η Β είναι η ένταση πυκνότητα ροής του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου, αντίστοιχα, και J ρ είναι η πυκνότητα ρεύµατος φορτίου που λειτουργούν ως πηγές. Οι σχέσεις µεταξύ αυτών των ζευγών των µεγεθών είναι οι ακόλουθες: D ( r,t) =ε E ( r,t) B ( r,t) =µ H ( r,t) ρ( r, t) ij ( r,t) = t (3.2) Αν οι πηγές µεταβάλλονται στον χρόνο ηµιτονοειδώς µε γωνιακή συχνότητα ω, τότε τα ηλεκτροµαγνητικά πεδία που δηµιουργούνται ονοµάζονται χρονικώς-αρµονικώς µεταβαλλόµενα και οι (3.1) και (3.2) µπορούν να εκφραστούν µε την φασορική µορφή των µεγεθών ως εξής: E( r) = j ωb( r) H( r) = j ω D( r) + J( r) id( r) =ρ( r) ib( r) = 0 D( r) =εe( r) B( r) =µ H( r) ij( r) = j ωρ( r) (3.3) (3.4) j t όπου ( r,t) = Re { E( r)e ω } E κ.ο.κ.. Στην συνέχεια, η εξάρτηση των µεγεθών από την θέση (r) θα παραλείπεται χάριν κοµψότητας, εκτός από κάποιες περιπτώσεις που κρίνεται απαραίτητη. 22

43 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ Κατάσταση ακτινοβολίας κεραίας Η κεραία στην κατάσταση ακτινοβολίας µετατρέπει τα ρεύµατα και τις τάσεις της τροφοδοσίας της σε ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Για την µαθηµατική παρουσίαση του προβλήµατος της ακτινοβολίας των κεραιών, αρχικά πρέπει να οριστεί το γενικό σύστηµα συντεταγµένων (Σχήµα 3.1). Το σηµείο Ο θεωρείται ως η αρχή των αξόνων του γενικού καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων, ενώ το σηµείο Τ µε διάνυσµα θέσης r T δηλώνει την θέση του κέντρου φάσης της κεραίας το οποίο λειτουργεί ταυτόχρονα και ως αρχή των αξόνων ενός τοπικού σφαιρικού συστήµατος συντεταγµένων πάνω στο οποίο θα εκφραστούν οι συνιστώσες των πεδίων και των µεγεθών που σχετίζονται µε αυτά. Το σηµείο P µε διάνυσµα θέσης r P είναι ένα αυθαίρετο σηµείο µέσα στον όγκο V που καταλαµβάνει η κεραία και το σηµείο Ρ µε διάνυσµα θέσης r P είναι το σηµείο παρατήρησης των ακτινοβολούµενων πεδίων στο µακρινό πεδίο της κεραίας (δηλαδή στη περιοχή του χώρου όπου η ακτινική συνιστώσα των πεδίων είναι αµελητέα). Σχήµα 3.1 Γενικό σύστηµα συντεταγµένων του προβλήµατος της ακτινοβολίας από µία κεραία. Η µεθοδολογία εύρεσης των ακτινοβολούµενων ηλεκτροµαγνητικών πεδίων από µια διεγερµένη κεραία µε πυκνότητα ρεύµατος J αναφέρεται σε όλα τα βιβλία που αφορούν κεραίες και στην παρούσα διατριβή χρησιµοποιείται σαν δεδοµένη. Η πυκνότητα του ρεύµατος J που δηµιουργείται µέσα στον όγκο V λόγω της τροφοδοσίας της κεραίας ορίζει το διάνυσµα ακτινοβολίας F( k T) στο µακρινό πεδίο ως [3.1] ( ) F = J( r V P rt )exp jk T ( rp r T ) dv (3.5) 23

44 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών όπου k T = k Tˆ r είναι το κυµατο-διάνυσµα. Το διάνυσµα ακτινοβολίας σε οποιαδήποτε θέση του µακρινού πεδίου εκφράζεται σύµφωνα µε το τοπικό σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων Τ ως [3.1] F= F ˆ rrˆ + Fθθ + Fφφ ˆ F (3.6) Τα πεδία E ( k ), ( ) T T H k που ακτινοβολούνται στο µακρινό πεδίο εκφράζονται µέσω της T T κάθετης στην διεύθυνση µετάδοσης συνιστώσας του διανύσµατος ακτινοβολίας ακόλουθες σχέσεις [3.1] F από τις ( jk r r ) exp T P T ET = jωµ 0 4π rp rt F (3.7α) rˆ E H T T = (3.7β) η 0 όπου ω είναι η γωνιακή συχνότητα, µ 0 η µαγνητική διαπερατότητα του κενού και η 0 η χαρακτηριστική αντίσταση του κενού. Από το µέτρο του πεδίου E T σε µία σφαίρα µε κέντρο την κεραία και ακτίνα που είναι ορισµένη στο µακρινό πεδίο της υπολογίζεται το διάγραµµα ακτινοβολίας το οποίο αναπαριστά γραφικά τον τρόπο ακτινοβολίας της κεραίας. Για παράδειγµα στο Σχήµα 3.2 φαίνεται ένα δίπολο µήκους λ/2, όπου λ το µήκος κύµατος, η πυκνότητα ρεύµατος J που δηµιουργήθηκε εξαιτίας της διέγερσης και το διάγραµµα ακτινοβολίας του. (α) (β) Σχήµα 3.2 ιεγερµένο δίπολο και το διάγραµµα ακτινοβολίας του. 24

45 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ Από τα ηλεκτροµαγνητικά πεδία µπορεί περαιτέρω να υπολογιστεί η ακτινοβολούµενη ροή της ενέργειας P( k T) η οποία ορίζεται ως ο χρονικός µέσος όρος του διανύσµατος Poynting [3.1] * ωµ 2 ( ) 0k P ˆ T 1 P= Re ET HT = rr= F ˆ r 32π r P r T (3.8) Για να υπολογιστεί η ολική ισχύς που ακτινοβολείται από την κεραία είναι απαραίτητοι οι ορισµοί της πυκνότητας ισχύος και της έντασης ακτινοβολίας. Η πυκνότητα ισχύος ορίζεται ως η ισχύς dp ανά µονάδα επιφάνειας ds και ισούται µε [3.1] dp ωµ 0k = P T r = ds π r P r T 2 F rˆ (3.9) Η ένταση ακτινοβολίας U( k T) ορίζεται ως η ισχύς dp ανά µονάδα στερεάς γωνίας 2 dω= ds/ rp r T και ισούται µε [3.1] dp 2 ωµ 0kT 2 U= = rp rt Pr = F d 2 (3.10) Ω 32π Εφόσον F = Fθ + Fφ, η ένταση ακτινοβολίας µπορεί να οριστεί ξεχωριστά για τις θ και φ πολώσεις της κεραίας [3.1] U ωµ k 0 T 2 θ/ φ = F 2 θ/ φ 32π (3.11) Η ολική ισχύς ακτινοβολίας ολοκλήρωµα [3.1] P rad µπορεί τώρα να υπολογιστεί από το παρακάτω 4π Prad = UdΩ (3.12) ιαγράµµατα κέρδους ισχύος και φάσης Με το διάγραµµα ακτινοβολίας, όπως αυτό ορίστηκε στην προηγούµενη παράγραφο δεν είναι εφικτό να εκτιµηθεί πόσο αποδοτικά η κεραία µετατρέπει την ισχύ εισόδου στους τερµατικούς της αποδέκτες σε ακτινοβολούµενη ισχύ σε κάθε διεύθυνση. Για την επίτευξη αυτού του σκοπού ορίζεται το διάγραµµα κέρδους ισχύος της κεραίας G( k T) ως [3.2] 4πU G= (3.13) P in 25

46 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών όπου P in είναι η εισαγόµενη ισχύς στους τερµατικούς της αποδέκτες. Λόγω των διαφόρων απωλειών σε µία κεραία, όπως οι ωµικές και οι απώλειες διηλεκτρικού, η ολική ισχύς ακτινοβολίας, P rad, είναι πάντα µικρότερη από την ισχύ εισόδου P in (Σχήµα 3.3). Η ποσοτικοποίηση του ποσοστού της ισχύος εισόδου που ακτινοβολείται ορίζει την απόδοση ακτινοβολίας της κεραίας [3.2] P e rad rad = (3.14) Pin Εµµέσως µπορεί να υπολογιστεί και η ισχύς των απωλειών Ploss = Pin Prad. Όµοια µε την ένταση ακτινοβολίας, το διάγραµµα κέρδους ισχύος ορίζεται για τις δύο ξεχωριστές πολώσεις της κεραίας θ και φ ως [3.2] 4πUθ / φ Gθ/ φ = (3.15) Pin Σχήµα 3.3 Η ισχύς εισόδου στους τερµατικούς αποδέκτες της κεραίας και η ακτινοβολούµενη ισχύς από την κεραία. Εκτός από το διάγραµµα κέρδους ισχύος, εξίσου σηµαντικό είναι το διάγραµµα φάσης τη κεραίας που µπορεί να οριστεί µόνο για την κάθε πόλωση ξεχωριστά ( ) ψ k ως η θ/ φ T φάση της αντίστοιχης πόλωσης του διανύσµατος ακτινοβολίας F θ / φ που υπολογίζεται µε µοναδιαία διέγερση ρεύµατος [3.1]-[3.2] ( θ φ) ψ = arg F (3.16) θ/ φ / 3.2. Ανάλυση πολύθυρων κεραιών µε χρήση των παραµέτρων εµπέδησης Η ανάλυση πολύθυρων κεραιών µε χρήση των Ζ-παραµέτρων είναι ιδιαίτερα χρήσιµη, όπως θα φανεί αργότερα στο υποκεφάλαιο 4.2, για την υβριδική στοχαστικήηλεκτροµαγνητική µοντελοποίηση και για την αξιολόγηση συστηµάτων διαφορισµού κεραιών κατά τη λήψη. Για την επίτευξή της είναι απαραίτητο να συνδυαστούν βασικές 26

47 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ γνώσεις της ηλεκτροµαγνητικής θεωρίας και της κυκλωµατικής ανάλυσης, όπως αναλύεται στην συνέχεια Κυκλωµατική αναπαράσταση των καταστάσεων εκποµπής και λήψης Οι καταστάσεις εκποµπής και λήψης µίας Μ-θυρης κεραίας αναλύονται βάσει της κυκλωµατικής αναπαράστασης του Σχήµατος 3.4. Οι βαθµωτές κυκλωµατικές ποσότητες της κατάστασης εκποµπής σχετίζονται µεταξύ τους σύµφωνα µε την ακόλουθη µαθηµατική σχέση: όπου v S και πηγής αντίστοιχα, vs= ZSiT + Zi T (3.17) v T Z S είναι το Mx1 διάνυσµα τάσης και ο MxM πίνακας των Z-παραµέτρων της i T και v T είναι τα Mx1 διανύσµατα ρεύµατος και τάσης στους ακροδέκτες της πολύθυρης κεραίας και Z είναι ο MxM πίνακας των Z-παραµέτρων της πολύθυρης κεραίας. Οµοίως, στην κατάσταση λήψης, το Mx1 διάνυσµα τάσης ανοιχτού κυκλώµατος v oc δίνεται από την σχέση: όπου i L και T voc = Z il + Z L i L (3.18) v L v L είναι τα Mx1 διανύσµατα ρεύµατος και τάσης στα φορτία της πολύθυρης κεραίας, η οποία χαρακτηρίζεται από τον MxM πίνακα Z-παραµέτρων Z L, και ο δείκτης T δηλώνει την πράξη αναστροφής πινάκων. Στην εξίσωση (3.18) χρησιµοποιείται ο ανάστροφος πίνακας των Ζ-παραµέτρων της πολύθυρης κεραίας, το οποίο ισχύει για περιπτώσεις πολύθυρων κεραιών για τις οποίες δεν ισχύει η αρχή της αµοιβαιότητας για τις θύρες τους [3.3]. Σχήµα 3.4 Κυκλωµατική αναπαράσταση µίας Μ-θυρης κεραίας στις καταστάσεις (α) εκποµπής και (β) λήψης. 27

48 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών Ηλεκτροµαγνητική ανάλυση της κατάστασης εκποµπής Η διανυσµατική ηλεκτροµαγνητική ανάλυση της κατάστασης εκποµπής πολύθυρων κεραιών προϋποθέτει τον ορισµό ενός σφαιρικού συστήµατος συντεταγµένων µε αρχή το σηµείο Ο το οποίο βρίσκεται στο κέντρο φάσης της πολύθυρης κεραίας, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.5. Τα διανύσµατα θέσης r = r α ˆ r και r= rα ˆ r δείχνουν, αντίστοιχα, σε ένα αυθαίρετο σηµείο, P, µέσα στον όγκο V τον οποίο καταλαµβάνει η πολύθυρη κεραία και στο σηµείο παρατήρησης, P, το οποίο βρίσκεται στο µακρινό πεδίο της κεραίας όπου ο φάσορας του ηλεκτρικού πεδίου είναι E T. Σχήµα 3.5 Πολύθυρη κεραία σε κατάσταση εκποµπής. Οι διανυσµατικές ηλεκτροµαγνητικές ποσότητες συνδέονται µε τις βαθµωτές κυκλωµατικές µέσω του διανύσµατος ενεργού µήκους l = l em θ α m ˆ θ+ lφ αˆ m φ (m = 1 έως M), το οποίο, επεκτείνοντας τον ορισµό του [3.1], [3.2] µε σκοπό να εφαρµοστεί σε πολύθυρες κεραίες παρουσία αµοιβαίας σύζευξης, ορίζεται ως: Fθ / φ l m θ/ φ (3.19) m it m όπου ο δείκτης m δηλώνει ότι η θύρα m της πολύθυρης κεραίας είναι διεγερµένη, ενώ οι υπόλοιπες ευρίσκονται σε κατάσταση ανοιχτού κυκλώµατος. F θ / φ είναι οι θ/ φ m συνιστώσες του διανύσµατος ακτινοβολίας, το οποίο ορίζεται µέσω της πυκνότητας ρεύµατος J m της πολύθυρης κεραίας από την ακόλουθη µαθηµατική σχέση [3.1]: όπου k= k ˆ r ( ) Fm J V m ( r )exp jkr dv (3.20) α είναι το κυµατό-διάνυσµα και k ο κυµαταριθµός. Το διάνυσµα ενεργού µήκους l µπορεί να καθοριστεί επακριβώς χρησιµοποιώντας τα διαγράµµατα κέρδους ισχύος em 28

49 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ ( G m ) και φάσης ( ψ m ) της πολύθυρης κεραίας, τα οποία ορίζονται συναρτήσει του διανύσµατος ακτινοβολίας από τις ακόλουθες σχέσεις [3.1]: ωµ 0k Gθ/ φ F m θ/ φ 8πP m inm Fθ / φm ψθ/ φ arg m it m 2 (3.21) όπου ω είναι η κυκλική συχνότητα, µ 0 η µαγνητική διαπερατότητα του κενού και P η inm ισχύς εισόδου στη m-οστή θύρα της πολύθυρης κεραίας όταν αυτή είναι διεγερµένη από το ρεύµα i T, ενώ οι υπόλοιπες παραµένουν ανοιχτοκυκλωµένες [3.4]: m H { } { } Pin = Re v m T i T = Re Zmm it (3.22) 2 2 m όπου H δηλώνει τον ερµιτιανό τελεστή. Οι θ και φ συνιστώσες των διανυσµάτων ενεργού µήκους της πολύθυρης κεραίας µπορούν να προσδιοριστούν από το συνδυασµό των εξισώσεων (3.19), (3.21) και (3.22) ως εξής: { } 4πRe Zmm Gθ/ φ l m θ/ φ = exp( j ψ m θ/ φ ) (3.23) ωµ m 0k Σε αυτή την περίπτωση, το ηλεκτρικό πεδίο στη περιοχή µακρινού πεδίου της πολύθυρης κεραίας µπορεί να εκφραστεί µέσω του Το ηλεκτρικό πεδίο l θ/ φ ως εξής [3.1]-[3.2] m ( jkr) exp ET θ/ φ = jωµ m 0 l θ/ φ i m T (3.24) 4πr m E T που ακτινοβολείται όταν όλες οι θύρες της πολύθυρης κεραίας είναι διεγερµένες προσδιορίζεται µε την εφαρµογή της αρχής της υπέρθεσης χρησιµοποιώντας τα ρεύµατα στις θύρες της κεραίας ως ανεξάρτητες πηγές από την ακόλουθη σχέση: όπου ( jkr) T exp ΕT = jωµ 0 Le i T (3.25) 4πr L e είναι ο πίνακας ενεργών µηκών, ο οποίος ορίζεται ως: T lθ l 1 θ l 2 θ M L e (3.26) l φ l 1 φ l 2 φ M 29

50 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών Ο πίνακας των διανυσµάτων ενεργού µήκους συνδέει τις κυκλωµατικές µε τις ηλεκτροµαγνητικές ποσότητες της κατάστασης εκποµπής µίας πολύθυρης κεραίας µε ένα συνεπτυγµένο µαθηµατικό τρόπο. Επιπλέον, όπως θα φανεί στο υποκεφάλαιο 3.2.3, θα είναι ιδιαίτερα χρήσιµος στην ανάλυση µε χρήση των Ζ-παραµέτρων της κατάστασης λήψης αµοιβαία συζευγµένων πολύθυρων κεραιών οι οποίες είναι αυθαιρέτως τερµατισµένες Κατάσταση λήψης υπό διέγερση επίπεδου κύµατος Για την ανάλυση της κατάστασης λήψης πολύθυρων κεραιών υπό τη διέγερση ενός επίπεδου κύµατος χρειάζεται ένα σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.6. Η αρχή των αξόνων του εν λόγω συστήµατος συντεταγµένων είναι το σηµείο Ο το οποίο βρίσκεται στο κέντρο φάσης της πολύθυρης κεραίας όπου ο φάσορας του προσπίπτοντος ηλεκτρικού πεδίου είναι E R. Σχήµα 3.6 Πολύθυρη κεραία διεγερµένη από ένα επίπεδο κύµα. Ο προσδιορισµός του διανύσµατος τάσης vlστα φορτία τερµατισµού της πολύθυρης κεραίας βασίζεται στην ηλεκτροµαγνητική ανάλυση που παρουσιάστηκε στην εργασία [3.3]. Σε αυτή την εργασία αποδείχθηκε, µε χρήση της αρχής της αµοιβαιότητας, ότι οι καταστάσεις εκποµπής και λήψης πολύθυρων κεραιών συνδέονται µέσω της ακόλουθης µαθηµατικής σχέσης: όπου T T 1 4πr T vt il+ it vl = ( jωµ 0) ET E R (3.27) exp ( jkr) E R και E T είναι, αντίστοιχα, η προσπίπτουσα και η ακτινοβολούµενη ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στην ίδια διεύθυνση θ, φ. Αντικαθιστώντας την εξίσωση (3.25) στην (3.27) και λαµβάνοντας υπόψη ότι vt = Zi T, εξάγεται η ακόλουθη σχέση: ( ) it T Z T il+ vl = it T LeE R (3.28) 30

51 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ Αφού η (3.28) ισχύει για κάθε διάνυσµα ρευµάτων, µπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω ως εξής: T Z i L + v L = L e E R (3.29) Αντικαθιστώντας στην (3.29) το διάνυσµα ρευµάτων στα φορτία της πολύθυρης κεραίας i L µε 1 L L Z v και λύνοντας ως προς το διάνυσµα τάσεων στα φορτία v L, εξάγεται η ακόλουθη συνεπτυγµένη εξίσωση: T 1 ( ) 1 vl = I+ Z ZL LeE R (3.30) όπου I είναι ο MxM µοναδιαίος πίνακας. Στην ειδική περίπτωση όπου η πολύθυρη κεραία είναι ανοιχτοκυκλωµένη, το διάνυσµα τάσης ανοιχτού κυκλώµατος σύγκριση της εξίσωσης (3.29) µε την (3.18) και δίνεται από τη σχέση: v oc εξάγεται από τη voc = LeE R (3.31) η οποία είναι η γενίκευση της γνωστής σχέσης για µία κεραία v oc = l eer. Η εξίσωση (3.31) συνδέει αυστηρώς τις κυκλωµατικές ποσότητες µε τις ηλεκτροµαγνητικές οι οποίες σχετίζονται µε τη λήψη µιας πολύθυρης κεραίας και, συνεπώς, είναι χρήσιµη για ανάλυση µε χρήση των Ζ-παραµέτρων Ανάλυση πολύθυρων κεραιών µε χρήση των παραµέτρων σκέδασης Η ανάλυση πολύθυρων κεραιών µε χρήση των S-παραµέτρων είναι ιδιαίτερα χρήσιµη για την µοντελοποίηση και την αξιολόγηση συστηµάτων πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων όπως θα φανεί στο υποκεφάλαιο 5.1. Για την επίτευξή της είναι απαραίτητο να συνδυαστούν βασικές γνώσεις της ηλεκτροµαγνητικής θεωρίας και της ανάλυσης δικτύων, όπως αναλύεται στη συνέχεια ικτυακή αναπαράσταση των καταστάσεων εκποµπής και λήψης Οι καταστάσεις εκποµπής και λήψης µίας Μ-θυρης κεραίας αναλύονται βάσει της δικτυακής αναπαράστασης του Σχήµατος 3.7. Σύµφωνα µε το διάγραµµα ροής της κατάστασης εκποµπής του Σχήµατος 3.8, οι βαθµωτές δικτυακές ποσότητες συνδέονται µε τις ακόλουθες σχέσεις: at = SSbT + b S (3.32α) 31

52 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών όπου b S και b S a (3.32β) T = T T S S είναι το Mx1 διάνυσµα κύµατος της πηγής και ο MxM πίνακας των S- παραµέτρων της πηγής, αντίστοιχα, a T και b T είναι τα Mx1 διανύσµατα εισερχόµενων και εξερχόµενων κυµάτων στους ακροδέκτες της πολύθυρης κεραίας και S είναι ο MxM πίνακας των S-παραµέτρων της πολύθυρης κεραίας. Οµοίως, σύµφωνα µε το Σχήµα 3.8, για την κατάσταση λήψης ισχύει ότι: όπου a R = S R b R + b E (3.33α) br = SLa R (3.33β) b E είναι το Mx1 διάνυσµα κύµατος που δηµιουργείται όταν η πολύθυρη κεραία διεγερθεί από εισερχόµενο ηλεκτρικό πεδίο και a R και b R είναι τα Mx1 διανύσµατα εισερχόµενων και εξερχόµενων κυµάτων στα φορτία της πολύθυρης κεραίας, η οποία χαρακτηρίζεται από τον MxM πίνακα S-παραµέτρων S L. Για πολύθυρες κεραίες για τις οποίες ισχύει η αρχή της αµοιβαιότητας, SR = S T, ενώ, για περιπτώσεις πολύθυρων κεραιών για τις οποίες δεν ισχύει η αρχή της αµοιβαιότητας για τις θύρες τους, T SR = S T [3.3]. Σχήµα 3.7 ικτυακή αναπαράσταση µίας Μ-θυρης κεραίας στις καταστάσεις (α) εκποµπής και (β) λήψης. Σχήµα 3.8 ιαγράµµατα ροής µίας Μ-θυρης κεραίας στις καταστάσεις (α) εκποµπής και (β) λήψης. 32

53 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ Ηλεκτροµαγνητική ανάλυση της κατάστασης εκποµπής Η διανυσµατική ηλεκτροµαγνητική ανάλυση της κατάστασης εκποµπής πολύθυρων κεραιών προϋποθέτει τη χρήση του σφαιρικού συστήµατος συντεταγµένων του Σχήµατος 3.5. Η ανάλυση διαφέρει από την αντίστοιχη του υποκεφαλαίου ως προς τον ορισµό των διανυσµάτων ενεργού µήκους. Πιο συγκεκριµένα, για να επιτευχθεί η ανάλυση σύµφωνα µε τις S-παραµέτρους, είναι αναγκαία η χρήση του αποτελεσµατικού (realized) διανύσµατος ενεργού µήκους r = l r αˆ θ+ l r m θ φ l αˆ e m m φ (m=1 έως M) το οποίο συνδέει τις βαθµωτές δικτυακές ποσότητες µε τις διανυσµατικές ηλεκτροµαγνητικές, όπως φαίνεται από την ακόλουθη εξίσωση ορισµού του: r Fθ / φ l m (3.34) θ/ φ m + i Tm όπου ο δείκτης m δηλώνει ότι η θύρα m της πολύθυρης κεραίας είναι διεγερµένη διατηρώντας τις υπόλοιπες τερµατισµένες στην χαρακτηριστική αντίσταση των γραµµών µεταφοράς Z 0 έτσι ώστε να µην υπάρχουν ανακλάσεις στην πλευρά της πηγής (δηλαδή S S = 0 ) και a + T i = m. Όσον αφορά στον καινούργιο ορισµό του αποτελεσµατικού Tm Z 0 διανύσµατος ενεργού µήκους, είναι σηµαντικό να αναφερθούν τα εξής: α) αντί των ολικών ρευµάτων τα οποία χρησιµοποιούνται στον ορισµό του διανύσµατος ενεργού µήκους (εξίσωση (3.19)), χρησιµοποιούνται τα εισερχόµενα κύµατα ρεύµατος σε κάθε θύρα και β) δεδοµένου ότι δεν υπάρχουν ανακλάσεις στην πλευρά της πηγής ( S S = 0 ), όλα τα εισερχόµενα κύµατα ρεύµατος, εκτός αυτού στη διεγερµένη θύρα, είναι ίσα µε µηδέν. Αυτά έχουν ως συνέπεια το αποτελεσµατικό διάνυσµα ενεργού µήκους που αντιστοιχεί σε κάθε θύρα να εξαρτάται µόνο από το εισερχόµενο κύµα ρεύµατος σε αυτή, και, ως αποτέλεσµα, το ακτινοβολούµενο ηλεκτρικό πεδίο από την πολύθυρη κεραία όταν είναι διεγερµένες όλες οι θύρες της µπορεί να υπολογιστεί βάσει της αρχής της υπέρθεσης χρησιµοποιώντας τα εισερχόµενα κύµατα ρεύµατος (δικτυακές ποσότητες) ως τις ανεξάρτητες πηγές, αντί των ολικών ρευµάτων (κυκλωµατικές ποσότητες). Το αποτελεσµατικό διάνυσµα ενεργού µήκους r em l µπορεί να καθοριστεί επακριβώς χρησιµοποιώντας τα διαγράµµατα ενεργού κέρδους ισχύος ( G ) και φάσης ( ψ ) της πολύθυρης κεραίας [3.5], τα οποία ορίζονται συναρτήσει του διανύσµατος ακτινοβολίας από τις ακόλουθες σχέσεις: a m a m 33

54 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών G ωµ k a 0 θ/ φm 8πPin m F θ/ φm a Fθ / φm ψ arg θ/ φ m + i T m 2 (3.35) Η ισχύς εισόδου στην πολύθυρη κεραία P στην περίπτωση που διεγείρεται µόνο η θύρα inm m και, ταυτόχρονα, ισχύει ότι SS = 0 δίνεται από την σχέση [3.4]: M 1 2 H H Pin = ( at at bt b T) = Z m 0 1 Sm, j i (3.36) 2 2 Tm j= 1 Οι θ και φ συνιστώσες των αποτελεσµατικών διανυσµάτων ενεργού µήκους της πολύθυρης κεραίας µπορούν να προσδιοριστούν από τον συνδυασµό των εξισώσεων (3.34)-(3.36) ως εξής: M 2 a 4πZ0 1 Sm,i G θ/ φm r i= 1 a l = exp( j ψ ) (3.37) θ/ φm ωµ / 0k θ φm Σε αυτή την περίπτωση, το ηλεκτρικό πεδίο στην περιοχή µακρινού πεδίου της πολύθυρης κεραίας µπορεί να εκφραστεί ως εξής [3.2]: ( jkr) exp ET θ/ φ = jωµ m 0 Fθ / φ 4πr m (3.38) Χρησιµοποιώντας την (3.34) και την a T = m i Tm Z 0 [3.4] στην (3.38) συνεπάγεται ότι: + ET θ/ φm jωµ 0 exp = Z0 4πr ( jkr) r l a θ/ φm T (3.39) m Η αντικατάσταση των κυµάτων ρεύµατος i + T από τα εισερχόµενα κύµατα a m T m έγινε αφού η προκείµενη ανάλυση πρέπει να είναι σύµφωνη µε τις S-παραµέτρους και τα εισερχόµενα κύµατα είναι οι θεµελιώδεις ποσότητες για τέτοιου είδους αναλύσεις. Σύµφωνα µε τον ορισµό του αποτελεσµατικού διανύσµατος ενεργού µήκους, το ηλεκτρικό πεδίο E T που ακτινοβολείται όταν όλες οι θύρες της πολύθυρης κεραίας είναι διεγερµένες προσδιορίζεται µε την εφαρµογή της αρχής της υπέρθεσης χρησιµοποιώντας τα εισερχόµενα κύµατα a T m στις θύρες της κεραίας ως ανεξάρτητες πηγές από την ακόλουθη σχέση: 34

55 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ όπου ( jkr) r T jωµ 0 exp ΕT = Le a T (3.40) Z0 4πr r L e είναι ο πίνακας αποτελεσµατικών ενεργών µηκών ο οποίος ορίζεται ως εξής: r r r T l l l r θ1 θ2 θm L e r r r (3.41) l l l φ1 φ2 φ M Όπως φαίνεται από την εξίσωση (3.40), ο πίνακας r L e συνδέει τις δικτυακές µε τις ηλεκτροµαγνητικές ποσότητες της κατάστασης εκποµπής µίας πολύθυρης κεραίας µε ένα συνεπτυγµένο µαθηµατικό τρόπο και, συνεπώς, ταιριάζει για ανάλυση σύµφωνα µε τις S- παραµέτρους. Το χαρακτηριστικό αυτό του πίνακα r L e ισχύει και κατά την κατάσταση λήψης µιας πολύθυρης κεραίας, όπως θα φανεί στο επόµενο υποκεφάλαιο Κατάσταση λήψης υπό διέγερση επίπεδου κύµατος Για τη µελέτη της κατάστασης λήψης µιας πολύθυρης κεραίας υπό τη διέγερση ενός επίπεδου κύµατος, όµοια µε το υποκεφάλαιο 3.1.3, χρησιµοποιείται το σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων του Σχήµατος 3.6. Ο υπολογισµός του κυµατικού διανύσµατος b E που δηµιουργείται όταν η πολύθυρη κεραία διεγερθεί από ένα επίπεδο κύµα θα γίνει χρησιµοποιώντας τη Σχέση (3.27) η οποία εξάγεται από την αρχή της αµοιβαιότητας. Τα διανύσµατα τάσης και ρεύµατος συνδέονται µε τα διανύσµατα εισερχόµενων και εξερχόµενων κυµάτων σύµφωνα µε τις ακόλουθες σχέσεις [3.4]: ( ) vt = Z0 I+ ST a T (3.42α) 1 it = ( I ST) a T (3.42β) Z0 ( ) vr = Z0 I+ SL a R (3.43α) 1 ir = ( I SL) a R (3.43β) Z0 Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (3.40), (3.42) και (3.43) στην (3.27), µετά από τις απαραίτητες πράξεις εξάγεται η ακόλουθη σχέση: T T 1 r at be = at LeE R (3.44) 2 Z0 35

56 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών Αφού η (3.44) ισχύει για κάθε διάνυσµα εισερχοµένων κυµάτων, µπορεί περαιτέρω να απλοποιηθεί ως εξής: 1 r be = LeE R (3.45) 2 Z0 Η εξίσωση (3.45) συνδέει αυστηρώς τις δικτυακές ποσότητες µε τις ηλεκτροµαγνητικές οι οποίες σχετίζονται µε τη λήψη µιας πολύθυρης κεραίας και, συνεπώς, είναι χρήσιµη για ανάλυση µε τις S-παραµέτρους. Επιπλέον, η εξίσωση (3.45) είναι αντίστοιχη µε την εξίσωση (3.30) η οποία, όπως έχει ήδη αναφερθεί, είναι χρήσιµη στην ανάλυση µε Ζ-παραµέτρους. Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (3.33) και (3.43α) µε την υπόθεση τερµατισµού ανοιχτού κυκλώµατος (δηλαδή S L = I και vr = v oc ) προκύπτει ότι: ( T) 1 b I S v (3.46) E = 2 Z0 Αντικαθιστώντας τώρα την εξίσωση (3.46) στην (3.45) και λύνοντας για το διάνυσµα της τάσης ανοιχτού κυκλώµατος, προκύπτει: ( ) -1 r oc voc = I SR LeE R (3.47) η οποία, αν συγκριθεί µε την (3.31), καθορίζει τη µαθηµατική σχέση του πίνακα αποτελεσµατικών διανυσµάτων ενεργού µήκους µε τον πίνακα διανυσµάτων ενεργού µήκους: Από αυτή τη σχέση φαίνεται ότι ο πίνακας L e και αντιστρόφως. ( ) r L e = I S R L e (3.48) r L e είναι ένας γραµµικός µετασχηµατισµός του 36

57 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ [Αναφορές] [3.1] S. J. Orphanidis. Electromagnetic waves and antennas [Online]. Available: [3.2] C. A. Balanis, Antenna Theory: Analysis and Design, 3rd ed., New York: John Wiley, [3.3] A. T. De Hoop, The N-port receiving antenna and its equivalent electrical network, Philips Research Reports, Vol. 30, pp , [3.4] D. M. Pozar, Microwave Engineering. USA: Addison-Wesley Publishing Company, Inc., [3.5] D. F. Kelley and W. L. Stutzman, Array antenna pattern modeling methods that include mutual coupling effects, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 41, No. 12, pp , Dec

58 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών 38

59 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4 Μοντελοποίηση και Αξιολόγηση Συστηµάτων ιαφορισµού Κεραιών H διαθεσιµότητα µεθόδων εξοµοίωσης για την εκτίµηση και µετέπειτα σύγκριση της απόδοσης της τεχνικής διαφορισµού διαφορετικών υποψηφίων πολύθυρων κεραιών για ασύρµατες και κινητές συσκευές στα πρώτα στάδια της σχεδίασής τους είναι πολύ χρήσιµη για τους σχεδιαστές κεραιών. Η αξιολόγηση επιτυγχάνεται χρησιµοποιώντας το ενεργό κέρδος διαφορισµού (Effective Diversity Gain EDG) το οποίο µπορεί να υπολογιστεί χρησιµοποιώντας δύο µη γεωµετρικά µοντέλα, δηλαδή, είτε βάσει της µεθόδου του πίνακα συνδιασποράς (covariance matrix method), η οποία χρησιµοποιεί την αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας (ΑΣΠ) των λαµβανοµένων σηµάτων µε την υπόθεση ότι ακολουθούν γνωστές πιθανοτικές κατανοµές, ή µε µία υβριδική στοχαστική-ηλεκτροµαγνητική ανάλυση για την προσέγγιση της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας χρησιµοποιώντας έναν αρκετά µεγάλο αριθµό στιγµιότυπων των λαµβανοµένων σηµάτων τάσης και ρεύµατος. Στη συνέχεια του κεφαλαίου αναλύονται οι δύο αυτές µέθοδοι για την µοντελοποίηση και αξιολόγηση συστηµάτων διαφορισµού και, επιπλέον, επισηµαίνεται η αδυναµία της µεθόδου του πίνακα συνδιασποράς να εφαρµοστεί σε κάποιες εξειδικευµένες, αλλά ενδιαφέρουσες από πρακτικής απόψεως, περιπτώσεις. 39

60 Κεφάλαιο 4: Μοντελοποίηση και Αξιολόγηση Συστηµάτων ιαφορισµού Κεραιών 4.1. Μέθοδος του πίνακα συνδιασποράς Το όνοµα της µεθόδου του πίνακα συνδιασποράς προτείνεται στην παρούσα διδακτορική διατριβή για την οµαδοποίηση ενός µεγάλου αριθµού εργασιών της διεθνούς βιβλιογραφίας. Σύµφωνα µε αυτή τη µέθοδο, χρησιµοποιείται ο πίνακας συνδιασποράς των λαµβανοµένων σηµάτων στους ακροδέκτες της πολύθυρης κεραίας σε συνδυασµό µε την κλειστής µορφής ΑΣΠ του συνδυασµένου σήµατος µε σκοπό να ληφθούν υπόψη ταυτόχρονα οι ιδιότητες ακτινοβολίας της πολύθυρης κεραίας και τα χαρακτηριστικά του περιβάλλοντος λειτουργίας της µέσω του πίνακα συνδιασποράς [4.1]. Ως εκ τούτου, η µέθοδος αυτή µπορεί να εφαρµοστεί µόνο σε περιπτώσεις όπου υπάρχει τύπος σε κλειστή µορφή για την ΑΣΠ του συνδυασµένου σήµατος. Επιπλέον, για την εφαρµογή της µεθόδου απαιτείται σταθερό κύκλωµα τερµατισµού γιατί αλλιώς ο πίνακας συνδιασποράς ορίζεται πολυσήµαντα. Στη συνέχεια, αναλύεται η τεχνική διαφορισµού του µεγίστου λόγου (ΜΛ) µε σκοπό να βρεθούν τα άνω όρια της απόδοσης των συστηµάτων διαφορισµού. Η µέθοδος του πίνακα συνδιασποράς µπορεί να εφαρµοστεί και για άλλες τεχνικές συνδυασµού µε τις κατάλληλες µαθηµατικές επεµβάσεις, χρησιµοποιώντας γνωστές κατανοµές για τις ΑΣΠ των συνδυασµένων σηµάτων. µέση τιµή Τεχνική του Μεγίστου Λόγου Έστω Μ κανονικά (Normal Gaussian) κατανεµηµένες µιγαδικές τάσεις µε µηδενική VL m = 0 στις Μ θύρες µίας Μ-θυρης κεραίας της οποίας οι θύρες είναι τερµατισµένες σε αυθαίρετο κύκλωµα τερµατισµού µε µήτρα εµπέδησης για τις οποίες ισχύει Z L [4.1] VL m = xm + jym (4.1) x x x y = y y i j i j = x y i j j i (4.2) Η διασπορά των τάσεων για την περίπτωση που ισχύει έκφραση VL m = 0 δίνεται από την ακόλουθη 2 * m VL mvl m σ = (4.3) Ο πίνακας συνδιασποράς των τάσεων R ο οποίος είναι ίσος µε τον πίνακα συσχέτισης για αυτή την εξειδικευµένη περίπτωση δίνεται από τη σχέση [4.1] 40

61 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ * Rij= VL ivl j H ( e( e ) θ/ φ θ/ φ( ) θ/ φ( )) (3.30) H R = W L L C p θ p φ dω W Ω (4.4) T 1 όπου = ( + ) 1 W I Z Z και ( ) L p θ φ θ και ( ) / p θ φ φ είναι οι συναρτήσεις γωνιακής κατανοµής πυκνότητας ισχύος των προσπιπτόντων κυµάτων που ακολουθούν διάφορες κατανοµές οι οποίες προσεγγίζονται από µετρήσεις σε συγκεκριµένους εσωτερικούς ή εξωτερικούς χώρους. C θ και C φ είναι η µέση ισχύς ανά τετραγωνικό µέτρο που καταφθάνει στην οριζόντια και κάθετη πόλωση, αντίστοιχα, των οποίων ο λόγος είναι σύµφωνος µε τις µετρήσεις στους συγκεκριµένους χώρους C θ = XPR (Cross Polar Ratio) [4.2]. Για να φανεί Cφ πως από την (3.30) ορίζεται η (4.4) το ηλεκτρικό πεδίο E (, ) C p p ( θ) ( ) θ/ φ θ/ φ θ/ φ / R θ/ φ θ φ είναι ίσο µε φ. Οι υποθέσεις για τις οποίες ισχύει η (4.4) παρατίθενται στην αναφορά [4.1]. O µιγαδικός συντελεστής συσχέτισης των λαµβανοµένων σηµάτων υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση c ij Rij ρ = σσ (4.5) Χρησιµοποιώντας την τεχνική συνδυασµού µεγίστου λόγου (ΜΛ) στις τάσεις, το συνδυασµένο σήµα υπολογίζεται ως [4.3] όπου M VMRC amvl m m= 1 a i j = (4.6) m * L m V = (4.7) N είναι οι συντελεστές βαρύτητας της τεχνικής ΜΛ. Θεωρούµε ότι η ισχύς του θορύβου είναι ίδια σε όλες τις θύρες και ότι η σταθερή µέση της τιµή ισούται µε 2 N= n 0 (4.8) όπου n 0 είναι µία κανονικά κατανεµηµένη µιγαδική µεταβλητή µε µηδενική µέση τιµή και διασπορά Ν. Η συνολική µέση τιµή της ισχύος του θορύβου του συνδυασµένου σήµατος N MRC ισούται µε [4.3] 41

62 Κεφάλαιο 4: Μοντελοποίηση και Αξιολόγηση Συστηµάτων ιαφορισµού Κεραιών M 2 NMRC N am m= 1 = (4.9) Η στιγµιαίος λόγος σήµατος προς θόρυβο (Signal to Noise Ratio - SNR) δίνεται από τη σχέση [4.4] Η µέση τιµή του SNR σε κάθε θύρα m * 2 1 VL mvl m 1 VL m 2 N 2 N γ m σε κάθε θύρα γ = = (4.10) Γ m ισούται µε [4.4] Γ = γ (4.11) m Το στιγµιαίο SNR του συνδυασµένου σήµατος σύµφωνα µε την τεχνική του ΜΛ δίνεται από τον συνδυασµό των εξισώσεων (4.6), (4.7), (4.9) και (4.10) 2 M γ MRC H MRC = V m L L 2N = γ = MRC m= 1 m V QV (4.12) όπου V L είναι το διάνυσµα των λαµβανοµένων τάσεων και Q είναι ο ακόλουθος Ερµιτιανός πίνακας (Hermitian matrix) 1 Q= I (4.13) 2N όπου I είναι ο MxM µοναδιαίος πίνακας. Η χαρακτηριστική συνάρτηση του γ MRC δίνεται από την σχέση (Turin [4.5]) 1 1 Φ γ ( s) = = MRC det( I+ srq) M 1+ sλ m= 1 ( ) m (4.14) όπου s είναι η µεταβλητή του χώρου Laplace και λ m είναι οι ιδιοτιµές του πίνακα συνδιασποράς των τάσεων προς την µέση τιµή του συνδυασµένου θορύβου (Λ=RQ) ο οποίος υπολογίζεται από την (4.4) ως εξής H ( e( e ) θ/ φ θ/ φ( ) θ/ φ( )) 1 H Λ= W C p p d 2N L L θ φ Ω W = Ω 1 H ( ( ) ( ) H =Γ0W Le Le Cθ/ φpθ/ φ θ pθ/ φ( φ) ) dω W Pθ + P Ω φ (4.15) 42

63 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ Pθ + Pφ όπου Γ 0 = είναι το µέσο SNR που λαµβάνει µια υποθετική πανκατευθυντική 2N κεραία και στις δύο πολώσεις µε µοναδιαίο βαθµό απόδοσης στις δύο πολώσεις και ιδανική προσαρµογή και P θ και P φ είναι η µέση ισχύς που λαµβάνεται από την κάθετη και την οριζόντια πόλωση της υποθετικής πανκατευθυντικής κεραίας αντίστοιχα. Για να γίνει πιο κατανοητή η (4.15) παραθέτουµεε το παράδειγµα δύο κεραιών 1 H 1 ile( Le ) Cθ/ φpθ/ φ( θ) pθ/ φ( φ ) = i Pθ + Pφ 1 ref ref* ( ( ) ref ref* θ θ Cθpθ θ pθ( φ ) + φ φ Cφpφ( θ) pφ( φ) ) dω 2 l l l l Ω * * * * lθl 1 θ C 1 θpθ θ pθ φ + lφl 1 φ C 1 φpφ θ pφ φ lθl 1 θ C 2 θpθ θ pθ φ + lφl C p p 1 φ2 φ φ θ φ φ i * ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) * θ C p p C p p C p p ( ) C p ( ) l l p ( ) 2 θ1 θ θ θ θ φ + lφ l 2 φ1 φ φ θ φ φ lθ l 2 θ2 θ θ θ θ φ + lφ l 2 φ2 φ φ θ φ φ (4.16) όπου τα ref l θ και ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ref l φ υπολογίζονται στη συνέχεια από την (4.34) και το φορτίο της κεραίας αναφοράς είναι ZL = Z0 (4.36). Από την (4.36) βγαίνει και ο συντελεστής ½ στην (4.16) για ZL = Z0. Η εξίσωση (4.15) είναι πιο γενική από την Λ =Γ ρ MEG MEG [4.6] αφού για κάθε πιθανό τερµατισµό των κεραιών λήψης ij 0 cij i j χρειάζεται µόνο µία φορά να υπολογίσει κανείς τους πίνακες ενεργού µήκους σε αντίθεση µε την προηγούµενη εξίσωση για την οποία τα ρ c ij, MEG i και MEG j διαφέρουν για αλλαγή του τερµατισµού. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (ΣΠΠ) και η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας (ΑΣΠ) για την τεχνική του µεγίστου λόγου δίνονται στην αναφορά [4.4] ΣΠΠ : ( ) ( ) γ ( ) MRC ( γ λ ) M 1 exp MRC m p γ MRC = exp jγmrcs Φ s ds= M M m= 1 λm n m m= 1 n m ΑΣΠ : ( γ ) ( x λ ) M M 1 λ m exp P m MRC x = 1 M m= 1 ( λm λn) n m ( 1λ 1λ ) (4.17) (4.18) όπου λ είναι οι ιδιοτιµές του πίνακα συνδιασπορας. 43

64 Κεφάλαιο 4: Μοντελοποίηση και Αξιολόγηση Συστηµάτων ιαφορισµού Κεραιών Υπολογισµός του ενεργού κέρδους διαφορισµού Το βασικό κριτήριο για την αξιολόγηση ενός συστήµατος διαφορισµού είναι το ενεργό κέρδος διαφορισµού (Effective Diversity Gain EDG) που ορίζεται είτε ως η βελτίωση του στιγµιαίου SNR σε ένα συγκεκριµένο πιθανοτικό επίπεδο είτε ως η µείωση του µέσου SNR για την επίτευξη ενός επιθυµητού µέσου ρυθµού σφάλµατος δυαδικών ψηφίων (Bit Error Rate BER). Στη συνέχεια περιγράφεται ο τρόπος υπολογισµού των δύο αυτών µορφών του EDG. EDG σε συγκεκριµένο πιθανοτικό επίπεδο Το ενεργό κέρδος διαφορισµού όταν ορίζεται ως η βελτίωση του στιγµιαίου SNR σε ένα συγκεκριµένο πιθανοτικό επίπεδο p% εκφράζεται µαθηµατικά ως εξής όπου P( γ x) και P( x) C x EDG 1 x 2 P( γc x1) = P( γ0 x2) = p% 0 = (4.19) γ είναι οι ΑΣΠ του συνδυασµένου SNR και του SNR της κεραίας αναφοράς αντίστοιχα. Η κεραία αναφοράς είναι µια υποθετική πανκατευθυντική κεραία µε µοναδιαίο βαθµό απόδοσης στις δύο πολώσεις της οποίας το SNR ακολουθεί την κατανοµή Rayleigh [4.7] ΑΣΠ : P( γ x) = 1 e x Γ 0 (4.20) 0 ΣΠΠ : p( γ ) = e γ 0 Γ 0 (4.21) Γ 0 EDG για επίτευξη επιθυµητού µέσου BER Όταν το ενεργό κέρδος διαφορισµού ορίζεται ως η µείωση του µέσου SNR για την επίτευξη ενός επιθυµητού µέσου BER = p, εκφράζεται µαθηµατικά ως εξής Γ EDG= 1 Γ 2 Pe ( Γ C 2) = P e 0( Γ1) = p 1 0 (4.22) όπου <P e > C (Γ) και <P e > 0 (Γ) είναι οι µέσες τιµές του BER για το συνδυασµένο σήµα και για το σήµα της κεραίας αναφοράς αντίστοιχα. Γενικά, η <P e >(Γ) δίνεται από την έκφραση [4.4] Pe p p, d 0 ( Γ ) = e( γ) ( γ Γ) γ (4.23) όπου p e (γ) είναι η υπό συνθήκη πιθανότητα σφάλµατος (conditional error probability) του σχήµατος σηµατοδοσίας και p(γ,γ) η ΣΠΠ του SNR. 44

65 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ 4.2. Υβριδική στοχαστική-ηλεκτροµαγνητική µεθοδολογία Για να υπολογιστεί η απόδοση διαφορισµού µίας πολύθυρης κεραίας όταν λειτουργεί σε ένα ρεαλιστικό περιβάλλον όπου τα λαµβανόµενα σήµατα ακολουθούν την κατανοµή Rayleigh, πρέπει να υπολογιστούν οι τάσεις και τα ρεύµατα στις θύρες της για ένα µεγάλο αριθµό στιγµιότυπων (snapshots) N s. Κάθε στιγµιότυπο δηµιουργείται από την υπέρθεση L ανεξάρτητων οµοιόµορφων επιπέδων ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων [4.8] που καταφθάνουν στο κέντρο φάσης της πολύθυρης κεραίας (Σχήµα 4.1). Για κάθε στιγµιότυπο ( s = 1 έως Ns ), τα Mx1 διανύσµατα των λαµβανοµένων τάσεων και ρευµάτων για s οποιοδήποτε κύκλωµα τερµατισµού µε µήτρα της υπέρθεσης στην (3.30) s Z L υπολογίζονται εφαρµόζοντας την αρχή ( ) L 1 s T 1 s s vl = I+ Z ZL LeER l l= 1 (4.24) s 1 s s il = ZL v L (4.25) όπου ER l είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου του οστού l προσπίπτοντος επίπεδου κύµατος ( l = 1 έως L ). Σηµειώνεται ότι η µήτρα s Z L που χαρακτηρίζει το κύκλωµα τερµατισµού στις (4.24) and (4.25) µπορεί να είναι διαφορετική για κάθε στιγµιότυπο επιτρέποντας µε αυτόν τον τρόπο την εφαρµογή αναπροσαρµοζόµενων (reconfigurable) συνθηκών τερµατισµού, σε αντίθεση µε την µέθοδο του πίνακα συνδιασποράς που περιγράφηκε στο υποκεφάλαιο 4.1. Σχήµα 4.1 Πολύθυρη κεραία διεγερµένη από L οµοιόµορφα επίπεδα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα τα οποία συνθέτουν ένα στιγµιότυπο του ρεαλιστικού σεναρίου διάδοσης. 45

66 Κεφάλαιο 4: Μοντελοποίηση και Αξιολόγηση Συστηµάτων ιαφορισµού Κεραιών Σύµφωνα µε τις (4.24) και (4.25), όλο το σύνολο των τυχαίων διανυσµάτων v L και i L δηµιουργείται χρησιµοποιώντας N s στιγµιότυπα το κάθε ένα από τα οποία συντίθεται από L επίπεδα κύµατα. Πιο συγκεκριµένα, αυτό επιτυγχάνεται µε την δηµιουργία τυχαίων τιµών για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου διεύθυνσης άφιξης (DoA). E R και για τις γωνίες ανύψωσης και αζιµούθιου θ, φ της Η στοχαστική δηµιουργία των γωνιών DoA θ, φ επιτυγχάνεται χρησιµοποιώντας τις p φ θ φ ) των συναρτήσεις γωνιακής κατανοµής πυκνότητας ισχύος ( p θ ( θ, φ ) και (, ) εισερχοµένων επιπέδων κυµάτων οι οποίες περιγράφουν το εξεταζόµενο σενάριο διάδοσης [4.2], [4.9]-[4.10]. Σην περίπτωση που η συνάρτηση πυκνότητας ισχύος για τη γωνία ανύψωσης ( ) / p θ φ θ είναι ανεξάρτητη από αυτή για την αζιµουθιακή γωνία ( ) p θ / φ φ, ισχύει π pθ / φ( θ) sinθdθ= pθ / φ φ dφ= 1 0 f ( θ) 0 θ / φ 2π ( ) (4.26) όπου f θ / φ ( θ ) είναι η ΣΠΠ της γωνίας DoA θ [4.2]. Από την (4.26) προκύπτει ότι η ( ) p θ / φ φ είναι επίσης η ΣΠΠ της γωνίας DoA φ. Για να δηµιουργηθούν οι τυχαίες µεταβλητές θ, φ σύµφωνα µε τις ΣΠΠ τους, εφαρµόζεται ο θεµελιώδης νόµος µετατροπής των πιθανοτήτων [4.11], σύµφωνα µε τον οποίο οποιαδήποτε τυχαία µεταβλητή µπορεί να δηµιουργηθεί χρησιµοποιώντας µία οµοιόµορφα κατανεµηµένη τυχαία µεταβλητή. Έστω ότι v και u είναι δύο οµοιόµορφα κατανεµηµένες τυχαίες µεταβλητές στο διάστηµα [0,1] 1 1 p( v) dv= p( u) du= 1 (4.27) 0 0 όπου p(v) και p(u) είναι οι ΣΠΠ που τις χαρακτηρίζουν. Για οποιεσδήποτε f θ / φ ( θ ) και ( ) p θ / φ φ ο νόµος µετατροπής των πιθανοτήτων επιβάλλει ότι s l s l v = f ( θ ) dθ s l θ φ 0 s l 0 θ / φ θ / φ ( ) u = p φ dφ (4.28) 46

67 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ ηµιουργώντας NsL στιγµιότυπα των τυχαίων µεταβλητών u και v και λύνοντας την (4.28) ως προς τις γωνίες θ και φ αναλυτικά όποτε είναι δυνατόν, αλλιώς αριθµητικά, δηµιουργείται το επιθυµητό σύνολο των γωνιών DoA. Για την ολοκλήρωση της στοχαστικής δηµιουργίας ενός ρεαλιστικού σεναρίου διάδοσης, οι µιγαδικές τυχαίες µεταβλητές των θ- και φ- συνιστωσών πόλωσης της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου E R δηµιουργούνται σύµφωνα µε µία συγκεκριµένη τιµή του λόγου της µέσης ισχύος της κάθετης προς την οριζόντια πόλωση (XPR), ο οποίος µαθηµατικά ορίζεται ως εξής 2 { } E ERθ XPR= (4.29) E E 2 { Rφ } Προκειµένου να ικανοποιηθεί ταυτόχρονα η (4.25) και να δηµιουργηθεί ένα πολυοδευτικό περιβάλλον Rayleigh, οι θ- και φ- συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου E R εκφράζονται ως µηδενικής µέσης τιµής κανονικά κατανεµηµένες τυχαίες µιγαδικές µεταβλητές w και y s ERθl = s ERφl XPR wl = s yl s (4.30) Αναλυτικότερα, οι w και y είναι ανεξάρτητες µιγαδικές τυχαίες µεταβλητές που έχουν τα πραγµατικά και τα φανταστικά µέρη τους ανεξάρτητα και κανονικά κατανεµηµένα µε µηδενική µέση τιµή και απόκλιση σ (N (0,σ 2 )). Εν περιλήψει, ολόκληρο το σύνολο των διανυσµάτων v L και i L δηµιουργείται χρησιµοποιώντας τις (4.24) και (4.25), οι NsL τιµές της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και φ δηµιουργούνται από την (4.28) Αξιολόγηση συστηµάτων διαφορισµού N s E R δηµιουργούνται από την (4.30) και οι γωνίες DoA θ Οι πολύθυρες κεραίες (Multi Element Antennas - MEA) είναι πολύ αποδοτικές στην καταπολέµηση των απωλειών ισχύος που οφείλονται στην εξασθένηση λόγω του φαινοµένου της πολυόδευσης αφού εκµεταλλεύονται την έµφυτη ιδιότητα διαφορισµού σε επίπεδο χώρου, διαγραµµάτων ακτινοβολίας και πόλωσης. Γενικά, το ποσό αύξησης της ισχύος που λαµβάνεται από ένα σύστηµα MEA, σε σχέση µε µία δεδοµένη κεραία αναφοράς, είναι αντιστρόφως ανάλογο προς τις τιµές των συντελεστών συσχέτισης περιβάλλουσας ( ρ e ) των λαµβανοµένων τάσεων [4.3], [4.10] και προς τη λογαριθµική διαφορά µεταξύ των µέσων ενεργών κερδών (Mean Effective Gains - MEGs) [4.9] των στοιχείων του συστήµατος ΜΕΑ. 47

68 Κεφάλαιο 4: Μοντελοποίηση και Αξιολόγηση Συστηµάτων ιαφορισµού Κεραιών Ωστόσο, η ακριβής αύξηση στην λαµβανόµενη ισχύ µπορεί µόνο να ποσοτικοποιηθεί µέσω του ενεργού κέρδους διαφορισµού [4.12]. Στην συνέχεια όλα τα µέτρα αξιολόγησης της απόδοσης ενός συστήµατος διαφορισµού καθορίζονται χρησιµοποιώντας το σύνολο των στιγµιότυπων των διανυσµάτων της τάσης και του ρεύµατος που παράγονται από την υβριδική στοχαστική - ηλεκτροµαγνητική µεθοδολογία που παρουσιάστηκε στην προηγούµενη παράγραφο. Συντελεστής συσχέτισης περιβάλλουσας των λαµβανοµένων τάσεων Η συσχέτιση µεταξύ των λαµβανοµένων τάσεων στις θύρες m και n µίας πολύθυρης κεραίας ποσοτικοποιείται από τον συντελεστή συσχέτισης περιβάλλουσας, εκφράζεται µέσω του µιγαδικού συντελεστή συσχέτισης ρ e m,n, ο οποίος ρ c από τη σχέση [4.3], [4.10] m,n ( L, vl ) 2 2 cov v m n ρe ρ m,n c (4.31) m,n stdv(v L )stdv(v m L ) n Μέσο ενεργό κέρδος Το MEG της m οστής κεραίας ορίζεται ως ο λόγος της µέσης λαµβανοµένης ισχύος από τους ακροδέκτες της προς την µέση προσπίπτουσα ισχύ [4.9] { m} { } E P MEGm (4.32) E Pinc Η λαµβανόµενη ισχύς P m από την mοστή θύρα σε κάθε στιγµιότυπο s δίνεται από την σχέση * {( ) } s 1 s s Pm = Re vl i m L (4.33) 2 m Η προσπίπτουσα ισχύς P inc υπολογίζεται µέσω µίας υποθετικής κεραίας αναφοράς [4.7] µε µοναδιαία διαγράµµατα ακτινοβολίας κέρδους ισχύος και στις δύο πολώσεις και ιδανική προσαρµογή στη θύρα της κεραίας (η αντίσταση εισόδου της κεραίας, Z ref, είναι ίση µε τη χαρακτηριστική αντίσταση, Z 0, της γραµµής µεταφοράς που τροφοδοτεί τον δέκτη). Οι θ- και φ- συνιστώσες του διανύσµατος ενεργού µήκους της κεραίας αναφοράς 48

69 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ ref ref ref l e = lθ αˆ θ+ lφ αˆ φ υπολογίζονται από την (3.23) χρησιµοποιώντας Zref Z0 ref Gθ / φ = 1 και ref ψ θ / φ = 0 4πZ =, ref l 0 θ / φ = (4.34) ωµ 0k Η προσπίπτουσα ισχύς για κάθε στιγµιότυπο s είναι ίση µε την ισχύ που λαµβάνεται από αυτή την υποθετική κεραία αναφοράς [4.7] και υπολογίζεται από την ακόλουθη έκφραση όπου ref v L και * {( ) } s s 1 ref s ref s Pinc = Pref = Re vl il (4.35) 2 ref i L είναι τα σήµατα τάσεων και ρεύµατος που λαµβάνονται από την κεραία αναφοράς όταν λειτουργεί στο ίδιο περιβάλλον µε αυτό που λειτουργεί η πολύθυρη κεραία και υπολογίζονται µε βάση τις (4.24) και (4.25) από τις σχέσεις L 1 ref s Z0 ref s L = + le ERl l= 1 L v 1 Z (4.36) ref s 1 ref s il = ZL vl (4.37) EDG σε συγκεκριµένο πιθανοτικό επίπεδο για την τεχνική της γενικευµένης καλύτερης επιλογής (Generalized Selection Combining - GSC) Εάν υποτεθεί ότι η ισχύς του θορύβου είναι η ίδια σε όλες τις θύρες της πολύθυρης κεραίας και τα Ν από τα Μ σήµατα συνδυάζονται σύµφωνα µε την τεχνική GSC, δηλαδή τα επιλεγµένα ισχυρότερα Ν σήµατα συνδυάζονται σύµφωνα µε την τεχνική του µεγίστου λόγου, τότε η (4.19) µπορεί να γραφτεί στη µορφή x EDG= 1 (4.38) x 2 P( P x ) = P( P x ) = p% div 1 ref 2 όπου P( P x) είναι η ΑΣΠ του συνδυασµένου σήµατος και P( P x) div ref είναι η ΑΣΠ της ισχύος που λαµβάνεται από την κεραία αναφοράς η οποία ακολουθεί την πιθανοτική κατανοµή Rayleigh. Αυτές οι ΑΣΠ υπολογίζονται στατιστικά χρησιµοποιώντας τα σύνολα των στιγµιότυπων των τάσεων και των ρευµάτων στο εµπρόσθιο άκρο του υποκυκλώµατος των ραδιοσυχνοτήτων (RF front end) αντί για τα σήµατα στη βασική ζώνη (baseband) [4.13] στα οποία εκτελείται η τεχνική του συνδυασµού. Αυτή η υπόθεση ισχύει, δεδοµένου ότι τα σήµατα περνούν µέσω ίδιων κλάδων ραδιοσυχνότητας και ενδιάµεσης συχνότητας, οι οποίοι 49

70 Κεφάλαιο 4: Μοντελοποίηση και Αξιολόγηση Συστηµάτων ιαφορισµού Κεραιών επηρεάζουν τα σήµατα της ζώνης βάσης µε τον ίδιο τρόπο. Για την τεχνική GSC, η P div για κάθε στιγµιότυπο δίνεται από την σχέση H {( ) } s 1 GSC s GSC s Pdiv = Re vl i L (4.39) 2 όπου το σύνολο των στιγµιότυπων των Nx1 διανυσµάτων τάσεων και ρεύµατος GSC v L και GSC i L αντίστοιχα λαµβάνονται µε την επιλογή για κάθε στιγµιότυπο των Ν στοιχείων που παρέχουν το µεγαλύτερο στιγµιαίο SNR. Μια εναλλακτική έκφραση για το EDG η οποία το χωρίζει σε δύο µέρη: στο µέσο ενεργό κέρδος της συστοιχίας (Mean Effective Array Gain MEAG) και στο κέρδος διαφορισµού (Diversity Gain DG) είναι η ακόλουθη [4.14] { } Pdiv E Pdiv p% E{ Pdiv} EDG= = DG MEAG P E{ P } E{ Pref} ref ref p% (4.40) Το MEAG ποσοτικοποιεί τη δυνατότητα της πολύθυρης κεραίας να συλλαµβάνει µέση ισχύ σε σχέση µε την κεραία αναφοράς και το DG την ικανότητα της κεραίας να καταπολεµά τις διαλείψεις. 50

71 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ [Αναφορές] [4.1] W. Jakes, Microwave Mobile Communications, Wiley, [4.2] K. Kalliola, K. Sulonen, H. Laitinen, O. Kivekas, J. Krogerus and P. Vainikainen, Angular power distribution and mean effective gain of mobile antenna in different propagation environments, IEEE Trans. Veh. Technol., Vol. 51, No. 5, pp , Sep [4.3] R. Vaughan and J. B. Andersen, Channels, Propagation and Antennas for Mobile Communications, IEE, London, [4.4] W. Lee, Mobile Communications Engineering, 2nd edition New York: McGraw-Hill, [4.5] G. Turin, The characteristic function of Hermitian quadratic forms in complex normal variables, Biometrika, vol. 47, pp , June [4.6] V. Papamichael, M. Karaboikis, C. Soras and V. Makios, Diversity and MIMO performance evaluation of common phase center multi element antenna systems, (invited paper), RADIOENGINEERING, vol. 17, no. 2, pp , June [4.7] J. Takada, K. Ogawa, Concept of diversity antenna gain, Paris, France, EURO-COST 273 TD (3) 142, [4.8] H. M. Jones, R. A. Kennedy, and T. D. Abhayapala, On dimensionality of multipath fields: Spatial extent and richness, Proc. IEEE ICASSP'2002, Vol. 3, pp , May [4.9] T. Taga, Analysis for mean effective gain for mobile in land mobile radio environments, IEEE Trans. Veh. Technol., Vol. 39, No. 2, pp , May [4.10] T. Taga, Analysis of correlation characteristics of antenna diversity in land mobile radio environments, Electron. Commun. Jpn, pt. 1, vol. 74, no. 8, pp , [4.11] A. Papoulis, Probability, Random Variables and Stochastic Processes, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, [4.12] P.-S. Kildal, Definition of effective diversity gain and how to measure it in a reverberation chamber, Microwave Opt. Technol. Lett., Vol. 34, No. 1, pp , July [4.13] W. G. Jeon and H. K. Jung, Hybrid SC/MRRC technique for OFDM systems, IEICE Trans. Commun., Vol. E89-B, No. 3, pp , March [4.14] C. Kuhnert, C. Waldschmidt and W. Weisbeck, Quality measures for MIMO antenna arrays, EURO-COST 273 TD (04) 178, Duisburg, Germany, September

72 Κεφάλαιο 4: Μοντελοποίηση και Αξιολόγηση Συστηµάτων ιαφορισµού Κεραιών 52

73 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 Μέθοδος Αξιολόγησης Συστηµάτων Πολλαπλών Εισόδων Πολλαπλών Εξόδων Tα συστήµατα πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων (Multiple Input Multiple Output MIMO) έχουν προσελκύσει µεγάλη προσοχή τα τελευταία χρόνια λόγω των υψηλών απαιτήσεων για µεγαλύτερους ρυθµούς µετάδοσης. Ως εκ τούτου είναι σηµαντική η µοντελοποίηση και η αξιολόγησή τους στα αρχικά στάδια της σχεδίασής τους, αποφεύγοντας µε αυτόν τον τρόπο την ακριβή και χρονοβόρα διαδικασία της κατασκευής τους µε σκοπό τη µέτρηση της απόδοσής τους. Στην συνέχεια του κεφαλαίου αυτού περιγράφεται αναλυτικά ο τρόπος µοντελοποίησής υποσυστήµατος κεραίες εκποµπής κανάλι κεραίες λήψης των ασύρµατων συστηµάτων πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων και ο τρόπος αξιολόγησής τους µέσω της χωρητικότητας του καναλιού ΜΙΜΟ που προτείνονται στην παρούσα διατριβή Μοντελοποίηση για ανάλυση µε παραµέτρους σκέδασης και εµπέδησης Ένα σύστηµα MIMO δηµιουργείται τοποθετώντας δύο πολύθυρες κεραίες στα δύο άκρα ενός τηλεπικοινωνιακού διαύλου. Η δικτυακή αναπαράσταση ενός NxM συστήµατος MIMO µε M-θυρη κεραία εκποµπής και N-θυρη κεραία λήψης αποτυπώνεται στο Σχήµα 5.1. Από το διάγραµµα ροής του συστήµατος MIMO που φαίνεται στο Σχήµα 5.2, τα κυµατικά 53

74 Κεφάλαιο 5: Μέθοδος Αξιολόγησης Συστηµάτων Πολλαπλών Εισόδων Πολλαπλών Εξόδων διανύσµατα παραµέτρων) a T, a R, b T και S H ως εξής [5.1], [5.2] b R σχετίζονται µέσω του πίνακα σκέδασης (πίνακας των S- bt STT STR at = ar SRT SRR b R SH (5.1) όπου S RT και ο αµοιβαίος του S TR είναι οι πίνακες των S-παραµέτρων οι οποίες χαρακτηρίζουν την διάδοση στον δίαυλο ΜΙΜΟ που περιλαµβάνει τις πολύθυρες κεραίες και το κανάλι. Σχήµα 5.1 ικτυακή αναπαράσταση ενός ΜΙΜΟ τηλεπικοινωνιακού διαύλου. Σχήµα 5.2 ιάγραµµα ροής ενός ΜΙΜΟ τηλεπικοινωνιακού διαύλου. Σύµφωνα µε την (5.1), το διάνυσµα εισερχόµενων κυµάτων στο φορτίο της πολύθυρης κεραίας λήψης a R δίνεται από την σχέση ar = SRRbR + SRTa T (5.2) Συγκρίνοντας την (5.2) µε την (3.33α), η οποία ισχύει στην κατάσταση λήψης µίας πολύθυρης κεραίας, το διάνυσµα κύµατος b E που δηµιουργείται όταν η πολύθυρη κεραία διεγερθεί από εισερχόµενο ηλεκτρικό πεδίο εκφράζεται από την σχέση b = S a (5.3) E RT T Ένα ασύρµατο κανάλι µε L συνιστώσες πολυόδευσης χαρακτηρίζεται από L πίνακες αποπόλωσης οι οποίοι συµπεριλαµβάνουν τους πιθανούς µηχανισµούς ανάκλασης ή/και σκέδασης που υπάρχουν σε κάθε µία από τις διαδροµές που ακολουθεί το κύµα για να φτάσει στον δέκτη. Οι πίνακες αποπόλωσης διαστάσεων 2x2 L, οι οποίοι αλλάζουν το µέτρο, τη φάση και την πόλωση των ηλεκτρικών πεδίων [5.3], συµπεριλαµβάνουν επιπροσθέτως τις 54

75 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ απώλειες ισχύος λόγω της διανυθείσας διαδροµής από τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα και εκφράζονται µαθηµατικά ως εξής D l Dl, θθ Dl, θφ =, l = 1 L (5.4) Dl, φθ Dl, φφ Σε αντίθεση µε την ανάλυση που παρουσιάστηκε στο [5.3], οι απώλειες ισχύος λόγω της διανυθείσας διαδροµής συµπεριλαµβάνονται στον πίνακα αποπόλωσης, δεδοµένου ότι ο όρος της διάδοσης στο κενό 1 4π r µπορεί να αλλάξει από ένα µηχανισµό αποπόλωσης. Λαµβάνοντας υπόψη µόνο την διαδροµή l, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στην πολύθυρη κεραία του δέκτη που λαµβάνει εξαιτίας της ακτινοβολούσας πολύθυρης κεραίας του ποµπού, µπορεί να εκφραστεί χρησιµοποιώντας την (3.40) µε αντικατάσταση του όρου της διάδοσης στο κενό 1 4π r µε τον πίνακα αποπόλωσης D l jωµ T E 0 R, = exp D Le,Tx a Z0 r ( jkr ) ( ) T l l l (5.5) όπου r l είναι το ολικό µήκος της διαδροµής l. Το διάνυσµα κύµατος b E που δηµιουργείται όταν η πολύθυρη κεραία του δέκτη διεγερθεί από εισερχόµενο ηλεκτρικό πεδίο για αυτή την περίπτωση, δίνεται αντικαθιστώντας την (5.5) στην (3.45) και εφαρµόζοντας περαιτέρω την αρχή της υπέρθεσης L jωµ T b 0 E = exp l Le,RxDl Le,Tx a 2Z0 l= 1 r r ( jkr ) ( ) T Συγκρίνοντας την (5.6) µε την (5.3) προκύπτει ότι ο πίνακας L jωµ T S 0 RT = exp Le,RxD Le,Tx 2Z0 l= 1 Όσον αφορά στον υπολογισµό του πίνακα r r ( jkrl ) l( ) S RT S RT δίνεται από την σχέση (5.6) (5.7), µπορεί να επιτευχθεί είτε αιτιοκρατικά (µε την µέθοδο των ακτίνων ή µε αποθηκευµένες µετρήσεις [5.4]) ή στοχαστικά (µε γεωµετρικές ή µη γεωµετρικές µεθόδους [5.5]). Στην προηγηθείσα ανάλυση παρουσιάσαµε τις εξισώσεις µε τις οποίες µπορούµε να µελετήσουµε ένα σύστηµα ΜΙΜΟ µέσω των S-παραµέτρων. Σε αυτού του είδους την ανάλυση χρησιµοποιήσαµε τον πίνακα των αποτελεσµατικών διανυσµάτων ενεργού µήκους r L e. Εάν κάποιον ενδιαφέρει η ανάλυση ενός συστήµατος MIMO µε Z-παραµέτρους, τότε πρέπει να χρησιµοποιηθεί ο πίνακας των διανυσµάτων ενεργού µήκους L e. Με βάση τη 55

76 Κεφάλαιο 5: Μέθοδος Αξιολόγησης Συστηµάτων Πολλαπλών Εισόδων Πολλαπλών Εξόδων σχέση µεταξύ των r L e και τις (3.42b) και (3.46) στην (5.6) προκύπτει ότι L e που δίνεται από την (3.48) και χρησιµοποιώντας, επιπρόσθετα, L T oc = jωµ 0 exp( jkrl ) e,rx l( e,tx) T l= 1 Z v L D L i από την οποία ορίζεται ο πίνακας των Ζ-παραµέτρων της διάδοσης στον δίαυλο ΜΙΜΟ RT (5.8) L T ZRT = jωµ 0 exp( jkrl ) Le,RxDl( Le,Tx) l= 1 (5.9) Επιπλέον, χρησιµοποιώντας τις (3.48) και (5.9) στην (5.7), ο S RT εκφράζεται συναρτήσει του Z RT ως Z S RT RT = ( I SRR) ( I S TT) (5.10) 2Z Πολύθυρες κεραίες µε κοινό κέντρο φάσης Μέχρι στιγµής δεν έγινε µνεία για το κέντρο φάσης των πολύθυρων κεραιών. Στην πραγµατικότητα στην ανάλυση που παρουσιάστηκε στο προηγούµενο υποκεφάλαιο δε λάβαµε υπόψη µας ότι οι πολύθυρες κεραίες µπορεί να έχουν διαφορετικό κέντρο φάσης. Εάν λάβουµε υπόψη µας το διαφορετικό κέντρο φάσης της κάθε κεραίας τότε ο τύπος (5.7) είναι ο ακόλουθος: L k R xr,n jk( ΩTl) xt,m RT ( ) ( ) nm e,r Rl l T 2Z n e,t l (5.11) m 0 l= 1 jωµ 0 r,pa j ( Ω l) r,pa S = l Ω e D l Ω e όπου n και m δηλώνουν την n οστή Rx και m οστή Tx κεραία, L είναι ο αριθµός των πολυοδευτικών συνιστωσών, r,pa l e,t και r,pa l e,r είναι τα ρυθµισµένα ως προς τη φάση (phaseadjusted) αποτελεσµατικά διανύσµατα ενεργού µήκους των Tx και Rx κεραιών [5.6], Ω Τ και Ω R είναι οι γωνίες αναχώρησης και άφιξης αντίστοιχα (DoD και DoA), D l είναι ο 2 2 πίνακας αποπόλωσης που περιγράφει τα θθ, θφ, φθ and φφ µιγαδικά κέρδη του καναλιού, x T και x R είναι τα διανύσµατα θέσης των Tx και Rx κεραιών και k είναι το κυµατο-διάνυσµα. Στις περιπτώσεις που η πολύθυρη κεραία έχει κοινό επίπεδο γείωσης για όλα της τα στοιχεία, ( ) ( ) jk Ω l x jk Ω l x τότε οι όροι της χωρικής φάσης ( e, e R R,n T T,m ) δεν υπολογίζονται αφού δεν ορίζεται ένα µοναδικό διάνυσµα θέσης για το κάθε κεραιο-στοιχείο. Σύµφωνα µε την [5.6], 56

77 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ για αυτού του είδους τα συστήµατα πολύθυρων κεραιών χρησιµοποιείται µία ισοδύναµη και πιο απλή εξίσωση από την (5.11), η οποία είναι η ακόλουθη όπου r l e,t και S L jωµ 0 r r RT = nm l Ω e,r Rl ΩT 2Z n e,t l m 0 l= 1 ( ) D l ( ) l (5.12) r l e,r είναι τα αποτελεσµατικά διανύσµατα ενεργού µήκους των Tx και Rx κεραιών υπολογισµένα µε τη θεώρηση κοινού κέντρου φάσης για τις πολύθυρες κεραίες, τα οποία σε αντίθεση µε τα r,pa l e,t και r,pa l e,r, υπολογίζονται εύκολα από οποιοδήποτε κώδικα υπολογιστικού ηλεκτροµαγνητισµού χρησιµοποιώντας τη σχέση (3.37) Χωρητικότητα ενός συστήµατος ΜΙΜΟ Η χωρητικότητα ενός συστήµατος MIMO µε Μ κεραίες στον ποµπό και Ν στον δέκτη, χωρίς γνώση της κατάστασης του καναλιού στον ποµπό και µε την υπόθεση ότι τα µεταδιδόµενα σήµατα είναι κανονικά κατανεµηµένα µε µηδενική µέση τιµή και πίνακα συνδιασποράς Pav I M δίνεται από την σχέση [5.7] min(n,m) λip C log av = (5.13) i= 1 M ση όπου P av είναι η ολική διαθέσιµη ισχύς που είναι ισόποσα κατανεµηµένη σε κάθε θύρα της κεραίας του ποµπού, πίνακα Τ [5.7] 2 σ η η µέση ισχύς του θορύβου στον δέκτη και λ i είναι οι ιδιοτιµές του H SRTSRT για N< M T= H SRT SRT για N M (5.14) όπου Η δηλώνει τον Ερµιτιανό τελεστή και S RT ο πίνακας των S-παραµέτρων ο οποίος χαρακτηρίζει την διάδοση στον δίαυλο ΜΙΜΟ που περιλαµβάνει τις πολύθυρες κεραίες και το κανάλι. Οι ιδιοτιµές λ i και, συνεπώς, η χωρητικότητα εξαρτώνται από την απόσταση του ποµπού και του δέκτη και από τα χαρακτηριστικά ακτινοβολίας και λήψης των πολύθυρων κεραιών. Με σκοπό να υπολογίσουµε µόνο τις στατιστικές ιδιότητες των διαλείψεων του πίνακα S RT συναρτήσει του λαµβανόµενου µέσου SNR (SNR ), εφαρµόζεται η ακόλουθη κανονικοποίηση 57

78 Κεφάλαιο 5: Μέθοδος Αξιολόγησης Συστηµάτων Πολλαπλών Εισόδων Πολλαπλών Εξόδων όπου S = RT 1 E NM SRT 2 { SRT F } (5.15) i είναι η νόρµα Frobenius. Οι κανονικοποιηµένες ιδιοτιµές λ F i (οι ιδιοτιµές του Τ χρησιµοποιώντας τον S RT αντί του S RT στην εξίσωση (5.14)) υπολογίζονται από την σχέση i i MN 2 λ = E λ { SRT F } Η χωρητικότητα σε αυτήν την περίπτωση δίνεται από την ακόλουθη σχέση (5.16) min(n,m) λ isnr 2 (5.17) M i= 1 C= log 1+ όπου SNR είναι το λαµβανόµενο µέσο SNR που ισούται µε 2 { SOI F} Pav E SNR= 2 ση NM (5.18) Σηµείωση: η (5.17) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για συγκεκριµένες επιθυµητές τιµές του SNR ώστε να συγκριθούν οι στατιστικές ιδιότητες των διαλείψεων του πίνακα µε την περίπτωση όπου τα στοιχεία του S RT ακολουθούν την κατανοµή Rayleigh (το πραγµατικό και το φανταστικό τους µέρος είναι κανονικές τυχαίες µεταβλητές µε µηδενική µέση τιµή και διασπορά ½). Αλλιώς, για να γίνει σύγκριση µεταξύ διαφορετικών πραγµατικών συστηµάτων ΜΙΜΟ, επειδή ο S RT S RT εµπεριέχει τις εξαρτήσεις από τα χαρακτηριστικά ακτινοβολίας και λήψης των πολύθυρων κεραιών, θα πρέπει να χρησιµοποιείται η (5.13) µε δεδοµένο και ίδιο λόγο περιβάλλον διάδοσης. Pav 2 σ η στο ίδιο 58

79 Υβριδική Ανάλυση της Λειτουργίας των Κεραιών σε Συστήµατα ιαφορισµού Λήψης και ΜΙΜΟ [Αναφορές] [5.1] C. Waldschmidt, S. Schulteis and W. Wiesbeck, Complete RF system model for analysis of compact MIMO arrays, IEEE Transactions on Vehicular Technology, Vol. 53, No. 3, pp , May [5.2] J. W. Wallace and M. A. Jensen, Mutual coupling in MIMO Wireless Systems: A rigorous network theory analysis, IEEE Transactions on Wireless Communications, Vol. 3, No. 4, pp , July [5.3] W. L. Stutzman, Polarization in electromagnetic systems. Norwood, MA, USA: Artech house, Inc., [5.4] P. Suvikunnas, J. Villanen, K. Sulonen, C. Icheln, J. Ollikainen and P. Vainikainen, Evaluation of the performance of multiantenna terminals using an new approach, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, vol. 55, no. 5, pp , October [5.5] P. Almers, E. Bonek, A. Burr, N. Czink, M. Debbah, V. Degli-Esposti, H. Hofstetter, P. Kyosti, D. Laurenson, G. Matz, A. F. Molish, C. Oestges and H. Ozcelik, Survey of channel and radio propagation models for wireless MIMO systems, EURASIP Journal on Wireless Communications and Networking, vol. 2007, Article ID 19070, 19 pages, doi: /2007/ [5.6] D. F. Kelley and W. L. Stutzman, Array antenna pattern modeling methods that include mutual coupling effects, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 41, No. 12, pp , Dec [5.7] I. E. Telatar, Capacity of multi-antenna Gaussian channels, Technical Memorandum, Bell Laboratories, Lucent Technologies, October

80 Κεφάλαιο 5: Μέθοδος Αξιολόγησης Συστηµάτων Πολλαπλών Εισόδων Πολλαπλών Εξόδων 60

81 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 6 Αποτελέσµατα Αξιολόγησης Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιαστούν τα αποτελέσµατα της αξιολόγησης διαφόρων συστηµάτων πολύθυρων κεραιών όταν λειτουργούν είτε σε συστήµατα διαφορισµού είτε σε συστήµατα πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων. Η γεωµετρία και οι διαστάσεις των υπό µελέτη πολύθυρων κεραιών φαίνονται στο Σχήµα 6.1. Κάθε σύστηµα πολύθυρης κεραίας έχει τις τυπικές διαστάσεις µίας κάρτας PC, ενώ οι διαστάσεις του επιπέδου γείωσης είναι 45 mm επί 90 mm και αποτελείται από δύο στρώµατα χαλκού πάχους 35 µm µε τις κεραίες να τοποθετούνται στο ανώτερο στρώµα, ενώ το επίπεδο γείωσης στο κατώτερο. Τα στοιχεία κεραιών που χρησιµοποιούνται είναι το µονόπολο ανεστραµµένου F [6.1] και το µονόπολο Minkowski [6.2]. Οι κεραίες αυτές είναι τυπωµένες στο πάνω άκρο του επιπέδου γείωσης πάνω σε ένα διηλεκτρικό υπόστρωµα πάχους 8 mils µε ε r =3.38 και tanδ=0.002 και είναι καλά συντονισµένες στην µπάντα ISM στα 5.2 GHz [6.3]-[6.5]. Τα τρισδιάστατα διαγράµµατα κέρδους ισχύος και φάσης των κεραιών υπολογίστηκαν χρησιµοποιώντας το IE3D [6.6]. 61

82 Κεφάλαιο 6: Αποτελέσµατα Αξιολόγησης Συστηµάτων Πολύθυρων Κεραιών Σχήµα 6.1 Η γεωµετρία και οι διαστάσεις των πολύθυρων κεραιών που µελετήθησαν. 6.1 Συστήµατα ιαφορισµού Σε αυτό το υποκεφάλαιο θα µελετηθεί η απόδοση των πολύθυρων κεραιών του Σχήµατος 6.1 όταν αυτές λειτουργούν σε συστήµατα διαφορισµού λήψης χρησιµοποιώντας ένα γεωµετρικό µοντέλο. Στην συνέχεια θα µελετηθούν µόνο τα συστήµατα των κεραιών (α) και (γ) του Σχήµατος 6.1, τόσο µε την µέθοδο του πίνακα συνδιασποράς όσο και µε την υβριδική στοχαστική-ηλεκτροµαγνητική µεθοδολογία Γεωµετρικό µοντέλο Για την µελέτη της απόδοσης των πολύθυρων κεραιών του Σχήµατος 6.1 χρησιµοποιήθηκε ένα γεωµετρικό µοντέλο µονής ανάκλασης [6.7]. Μια πρωτοτυπία αυτής 62