MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA Programą rengė D. Dobravolskaitė, P. Gudynas, V. Sičiūnienė, M. Stričkienė

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA Programą rengė D. Dobravolskaitė, P. Gudynas, V. Sičiūnienė, M. Stričkienė"

Transcript

1 MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA Prgramą rengė D. Dbravlskaitė, P. Gudynas, V. Sičiūnienė, M. Stričkienė 1. ĮVADAS Brands egzaminus laik mksleiviai, kurie mkėsi pagal Bendrąsias prgramas ir išsilavinim standartus XI XII klasėms, patvirtintus Lietuvs Respubliks švietim ir mksl ministr 00 m. rugpjūči 1 d. įsakymu Nr Ši brands egzaminų prgrama apima ir pagrindinės mkykls matematiks sąvkas bei žinias. Pasiūlymus dėl prgrams teikė matematiks mkytjų asciacija, matematiks mkytjai knsultantai ir valstybini egzamin vertinim kmisijs nariai. Atsižvelgiant į pateiktas pastabas ir brands egzaminų rezultatus sumažinti valstybini brands egzamin reikalavimai turini temms Išvestinės, Tikimybės ir Statistika. Prgramje aptariama: matematiks mkym tikslai ir brands egzamin funkcijs; egzamin metu tikrinami mksleivių žinis ir gebėjimai; egzamin turinys; egzamin matrica; egzamin struktūra, vertinimas, vykdym tvarka.. MATEMATIKOS MOKYMO TIKSLAI IR BRANDOS EGZAMINO FUNKCIJOS Matematiks, kaip mkmj dalyk, paskirtis yra dvejpa. Pirmiausia siekiama, kad visi mksleiviai būtų matematiškai raštingi. Antra, siekiama plėtti kiekvien mksleivi gabumus matematikai. Šių dviejų tendencijų atspindėjimas svarbi egzaminų funkcija. Atsižvelgiant į tai ir į matematiks mkym skirtingais lygmenimis ypatumus, mkyklinis matematiks brands egzaminas rientujamas į mksleivių matematini raštingum tikrinimą, valstybinis brands egzaminas ir į matematini raštingum, ir į mksleivių gabumų plėttės tikrinimą. Pakeista Lietuvs Respubliks švietim ir mksl ministr 005 m. lapkriči 14 d. įsakymu Nr. ISAK-84. Svarbiausi matematiks mkym mkyklje tikslai ir uždaviniai gali būti suskirstyti į tris pagrindines grupes: matematiks žinių įgijimas ir specialiųjų gebėjimų, susijusių su atskirmis matematiks sritimis, ugdymas(is); bendrųjų matematinių gebėjimų ugdymas(is); nustatų ir vertybinių rientacijų frmavimas(is). Matematiks egzaminai turi atliepti šius tikslus, tačiau dėl įvairių bjektyvių priežasčių egzaminų prgrams ir uždutys apima ne visus matematiks mkym prgrams apibrėžtus tikslus, tik kai kurius iš jų. Pavyzdžiui, atsisakma vertinti mksleivių nustatas ir vertybines rientacijas, nes tai padaryti ypač sudėtinga.. MOKSLEIVIŲ GEBĖJIMAI Įgytų žinių kiekis ir mkėjimas gerai atlikti standartines prcedūras ne visada lemia mksleivių sėkmę tliau studijujant ir dirbant. Ši tendencija ypač ryški šiandien, besikuriančije infrmacinėje visumenėje. Vis svarbesni darsi bendrieji mksleivių gebėjimai, taigi labai aktualus uždavinys yra bendrųjų gebėjimų vertinimas. Šiulaikinėje matematiks didaktikje įprasta išskirti tris svarbiausius bendrusius matematinius gebėjimus prblemų sprendim, matematini mąstym ir matematini kmunikavim. Egzaminų prgramje detaliai aprašmi mksleivių bendrųjų matematinių gebėjimų vertinim kriterijai ir reglamentujamas bendrusius gebėjimus tikrinančių uždučių svris egzamin uždutyje. Glaudžiai su bendraisiais gebėjimais susijęs mksleivių įgytų žinių integrutumas (dalykinis, tarpdalykinis bei scikultūrinis). Jis svarbus įgyvendinant hlistini ugdym principus. Egzaminų prgramje žinių integrutumui skiriama daug dėmesi. 4. DALYKINIAI BRANDOS EGZAMINO TURINIO 4.1. Vertinams veikls pbūdis Matematiks egzamin metu vertinami mksleivių pasiekimai dviejse pagrindinėse matematinės veikls srityse matematinių žinių ir prcedūrų reprdukavim bei matematiks taikym ir matematini mąstym. Gebėjim veikti (pagal tliau aprašytą tematiką) pžiūriu mksleiviams keliami tkie bendrieji reikalavimai.

2 VEIKLOS RŪŠYS VEIKLOS RŪŠYS MATEMATINIŲ ŽINIŲ IR PROCEDŪRŲ REPRODUKAVIMAS Žinių įsisavinimas Įprastų prcedūrų atlikimas Pademnstruti matematinių sąvkų ir prcedūrų žinjimą paaiškinant jas savais ždžiais arba pavaizdujant piešiniu Paprasčiausiais atvejais atsiminti arba suknstruti matematiškai ekvivalenčius bjektus (gemetrines figūras, reiškinius, lygtis ir pan.) Atsiminti ir taisyklingai vartti dažniausiai pasitaikančius matematinius simblius Atsiminti svarbiausių matematinių bjektų apibrėžimus ir savybes Naudtis frmulių rinkiniais, lentelėmis, braižym įrankiais ir skaičiukliais paprastiems uždaviniams Pademnstruti matematinių sąvkų ir prcedūrų žinjimą paaiškinant jas kitais ždžiais, pavaizdujant grafiškai, išreiškiant algebriškai ir pan. Atsiminti, parinkti arba suknstruti matematiškai ekvivalenčius bjektus (apibrėžimus, gemetrines figūras, reiškinius, lygtis, teremas ir pan.) Atsiminti ir taisyklingai vartti matematinius simblius Atsiminti bei gebėti sufrmuluti svarbesnių matematinių bjektų apibrėžimus ir savybes Atsiminti matematinius bjektus ir jų savybes, tenkinančias knkrečius reikalavimus Naudtis frmulių rinkiniais, lentelėmis, braižym įrankiais ir skaičiukliais 4 Atlikti paprastas standartines skaičiavim, reiškinių pertvarkym, grafikų braižym, lygčių sprendim ir kitas (šiame dkumente numatytas) matematines prcedūras Atlikti kai kurias sudėtingesnes įprastas matematines prcedūras (paprastais atvejais patikrinti gautą atsakymą, ištirti funkciją, sutvarkyti ir pateikti dumenis ir pan.) Atlikti standartines skaičiavim, reiškinių pertvarkym, grafikų braižym, lygčių sprendim ir kitas (šiame dkumente numatytas) matematines prcedūras Atlikti sudėtingesnes įprastas matematines prcedūras (įvertinti galimą uždavini atsakymą, patikrinti gautą atsakymą, ištirti funkciją, sutvarkyti ir pateikti dumenis ir pan.) MATEMATIKOS TAIKYMAI IR MATEMATINIS MĄSTYMAS Matematinis kmunikavimas Skaityti ir suprasti uždavinių sąlygas bei kitkius paprastus matematinius tekstus Aprašyti uždavini sprendimą Dėstyti sav mintis matematinėmis temmis Skaityti ir suprasti uždavinių sąlygas bei kitkius nesudėtingus matematinius tekstus Nusekliai aprašyti uždavini sprendimą ir paaiškinti j svarbiausius etapus Frmuluti teiginius, apibendrinimus ir išvadas

3 VEIKLOS RŪŠYS VEIKLOS RŪŠYS Matematinis mąstymas Mdeliavimas ir prblemų sprendimas Pritaikyti algritmus ir prcedūras knkretiems uždaviniams Pastebėti paprastus dėsningumus ir jais pasinaudti Pagrįsti paprastus teiginius ir veiksmus Taikyti matematinius mdelius (lygtis, nelygybes, funkcijas ir pan.) nesudėtingiems praktini turini uždaviniams Matematiškai aprašyti sąryšius, dėsningumus ir algritmus Efektyviai vartti matematinius terminus ir simblius Pritaikyti ar sukurti algritmus ir prcedūras knkretiems uždaviniams Nustatyti dėsningumus ir daryti apibendrinimus Atlikti nesudėtingus matematinius tyrimus Pagrįsti veiksmus ir įrdyti nesudėtingų teiginių teisingumą Taikyti matematinius mdelius (lygtis, nelygybes, funkcijas ir pan.) praktini ir terini turini uždaviniams Spręsti, kurių frmulutėse yra per daug arba nepakankamai infrmacijs; kurių atsakymai nevienareikšmiai; kuriems reikia sugalvti ne visai standartinį sprendim būdą Matematiks ryšiai 4.. Egzamin tematika Derinti algebrs, gemetrijs, funkcijų ir analizės metdus sprendžiant nesudėtingus Taikyti uždaviniams matematiks vidinius ryšius (tarp temų) ir matematiks ryšius su kitais mkmaisiais dalykais bei su realimis ar pseudrealimis gyvenimiškmis situacijmis Vidurinės mkykls matematiks kursas susideda iš temų, kuris egzaminų prgramje suskirstyts į keturias sritis: skaičiai, skaičiavimai, algebra; gemetrija; funkcijs ir analizės pradmenys; kmbinatrika, tikimybės ir statistika. Lentelėje pateikiami reikalavimai mksleivių žinims ir gebėjimams iš kiekviens mkyklinės matematiks srities. Kairijje skiltyje surašyti mkyklini brands egzamin reikalavimai, dešinijje valstybini. Tie mkyklini brands egzamin reikalavimai, kurie nepaminėti ir nesustiprinti dešinijje skiltyje, galija ir valstybiniam brands egzaminui (valstybini egzamin reikalavimai apima mkyklini egzamin reikalavimus). Tliau tekste vartjami tkie uždavini sunkumą nusakantys terminai. Paprasčiausiais vadinami uždaviniai, kurius sprendžiant reikia atlikti vieną standartinę peraciją ar žinti algritmą ir mkėti jį taikyti. Paprastais vadinami uždaviniai, kurius sprendžiant reikia suderinti ir atlikti dvi standartines peracijas ar algritmus. Pakeista Lietuvs Respubliks švietim ir mksl ministr 005 m. lapkriči 14 d. įsakymu Nr. ISAK

4 Nesudėtingais vadinami uždaviniai, kurius sprendžiant reikia suderinti ir atlikti ar 4 standartines peracijas ar algritmus. Panašiai reikia suprasti ir ždžių junginius paprasčiausias atvejis (standartinis atvejis, prilygstantis paprasčiausiam uždaviniui), paprasta algebrinė lygtis (lygtis, iš kuris nežinmąjį paprasta išreikšti, pvz., 8x 0,15 = 0 ), nesudėtingas reiškinys (reiškinys, kuri reikšmė gali būti apskaičiuta ar 4 veiksmais) ir kt. SKAIČIAI, SKAIČIAVIMAI, ALGEBRA Skaičių terijs elementai Dalumas Realieji skaičiai Mkėti vartti sąvkas dauginamasis, daliklis, karttinis, bendrasis daliklis, bendrasis karttinis, lyginis skaičius, nelyginis skaičius, pirminis skaičius, sudėtinis skaičius sprendžiant paprastus Žinti dalum iš, 5 ir 10 pžymius ir mkėti jus taikyti paprastiems uždaviniams Mkėti vartti sąvkas natūralieji, sveikieji, racinalieji, iracinalieji, realieji skaičiai bei paprastsis ir dešimtainės trupmens sprendžiant paprastus Nesudėtingais atvejais rasti dviejų skaičių mažiausią bendrąjį karttinį ir didžiausią bendrąjį daliklį Paaiškinti sąvką pirminis skaičius ir mkėti išskaidyti sudėtinį skaičių pirminiais dauginamaisiais Žinti dalum iš,, 5, 9 ir 10 pžymius ir mkėti jus taikyti uždaviniams Paaiškinti ir gebėti vartti sąvkas natūralieji, sveikieji, racinalieji, iracinalieji, realieji skaičiai, paprastsis trupmens, dešimtainės trupmens ir standartinis skaičiaus Skaičiavimai Veiksmai su skaičiais Suprasti sąvkas priešingas skaičiui skaičius ir atvirkštinis skaičiui skaičius Užrašyti skaičiaus standartinį pavidalą Nesudėtingais atvejais palyginti du skaičius Apvalinti skaičius Įvertinti tiesigini matavim paklaidą Atlikti veiksmus su dešimtainėmis trupmenmis Paprastais atvejais atlikti veiksmus su paprastsimis trupmenmis Apskaičiuti nesudėtingų skaitinių reiškinių reikšmes Suprasti sąvkas absliučiji paklaida ir santykinė paklaida Nesudėtingais atvejais apskaičiuti reiškinių reikšmes nurdytu tikslumu pavidalas sprendžiant Išdėstyti skaičius pagal didumą Paprastais atvejais rasti skaičių aibių sąjungą, sankirtą, skirtumą Atlikti veiksmus su dešimtainėmis ir paprastsimis trupmenmis Žinti veiksmų savybes ir mkėti jmis naudtis skaičiavimams supaprastinti Apskaičiuti skaitinių reiškinių reikšmes Atlikti apytikslius skaičiavimus nurdytu tikslumu Paprasčiausiais atvejais įvertinti skaičiavim rezultatų absliučiąją, santykinę paklaidas 7 8

5 Prcentai Algebra Algebriniai reiškiniai Žinti ir mkėti taikyti prcentų ir trupmenų ryšius Mkėti naudtis skaičiukliu skaičiujant prcentus Spręsti nesudėtingus prcentų Suprasti sąvkas kintamasis, vienanaris, daugianaris, racinalusis reiškinys Mkėti apskaičiuti nesudėtingų algebrinių reiškinių reikšmes bei dydžių reikšmes pagal nurdytą frmulę Atlikti veiksmus su nesudėtingais daugianariais ir paprastmis algebrinėmis trupmenmis Mkėti tapačiai pertvarkyti nesudėtingus reiškinius Mkėti sutrumpints daugybs frmules (a+b)(a b) = a b, (a ± b) = a ± ab+ b ir paprasčiausiais atvejais jas taikyti reiški- Taikyti prcentus praktini ir matematini turini uždaviniams Suprasti, mkėti paaiškinti ir gebėti vartti sąvkas kintamasis, vienanaris, daugianaris, racinalusis reiškinys aiškinant uždavinių sprendimus Mkėti apskaičiuti algebrinių reiškinių reikšmes bei dydžių reikšmes pagal nurdytą frmulę Atlikti veiksmus su daugianariais ir algebrinėmis trupmenmis Mkėti sutrumpints daugybs frmules (a ± b) = = a ±a b+ab ± b ir jas taikyti tapačiai pertvarkant reiškinius Lygtys Nelygybės niams pertvarkyti, skaičiavimams supaprastinti Gebėti algebriniais reiškiniais aprašyti nesudėtingas situacijas Nesudėtingas frmules išreikšti ždinėmis taisyklėmis Suprasti sąvkas lygtis, nežinmasis, lygties sprendinys, nežinmj leistinųjų reikšmių sritis, ekvivalenčis lygtys Spręsti paprastas algebrines lygtis Žinti ir mkėti taikyti kvadratinės lygties sprendinių radim frmules Spręsti paprastas f (x) g (x) =0 pavidal lygtis Suprasti sąvkas nelygybė, nelygybės sprendinys, nelygybės Taikyti sutrumpints daugybs frmules a ± b = = (a±b)(a m ab+b ) tapačiai pertvarkant reiškinius Suprasti ir gebėti vartti (aiškinant uždavinių sprendimus) sąvkas tapatybė, lygtis, nežinmasis, lygties sprendinys, nežinmj leistinųjų reikšmių sritis, ekvivalenčis lygtys Žinti ir mkėti taikyti pagrindinius lygčių pertvarkius, pakeičiančius jas ekvivalenčimis lygtimis Mkėti išskirti dvinari kvadratą Sufrmuluti, įrdyti ir taikyti Viet bei jai atvirkštinę teremas Suprasti ir gebėti naudtis (aiškinant uždavinių sprendimus) 9 10

6 sprendinių aibė, ekvivalenčis nelygybės sąvkmis nelygybė, nelygybės sprendinys, nelygybės sprendinių aibė, ekvivalenčis nelygybės Žinti pagrindinius nelygybių pertvarkius, nelygybes pakeičiančius ekvivalenčimis nelygybėmis, ir gebėti jus taikyti uždaviniams Skaičių seks Suprasti ir mkėti naudtis skaičių seks sąvka aiškinant uždavinių sprendimus Gemetrinė prgresija mentuti uždavinių sprendimus Mkėti ir taikyti gemetrinės prgresijs apibrėžimą, n-j nari ir n narių sums frmules sprendžiant nesudėtingus Gemetrinėmis prgresijmis aprašyti įvairias situacijas ir remiantis prgresijų savybėmis argumentuti uždavinių sprendimus Aritmetinė prgresija Atkurti seką, išreikštą n-j nari frmule Užrašyti paprasts seks n-j nari frmulę Mkėti ir taikyti aritmetinės prgresijs apibrėžimą, n-j nari ir n narių sums frmules sprendžiant nesudėtingus Aritmetinėmis prgresijmis aprašyti įvairias situacijas ir remiantis prgresijų savybėmis argu- Planimetrija Pagrindinės planimetrijs sąvks GEOMETRIJA Atpažinti, pavaizduti, apibūdinti ir klasifikuti paprastas ge- Taikyti begalinės nykstamsis gemetrinės prgresijs sums frmulę Išreikšti peridinę dešimtainę trupmeną paprastąja trupmena Mkėti ir taikyti sudėtinių prcentų frmulę uždaviniams Apibrėžti pagrindines gemetrines figūras Argumentuti planimetrijs uždavinių 11 1

7 Trikampiai metrines figūras Mkėti gemetrinių figūrų elementų pavadinimus ir gemetrinių figūrų pagrindines savybes Suprasti tiesių lygiagretum ir statmenum sąvkas Suprasti figūrų perimetr ir plt sąvkas bei gebėti naudtis perimetr ir plt savybėmis sprendžiant nesudėtingus Atpažinti lygius arba panašius trikampius; remiantis trikampių lygumu ir panašumu paprastus Naudtis masteliu Gebėti taikyti trikampi kraštinių ir kampų prieklausas (stačij trikampi kraštinių ir kampų ryšius, Pitagr, sinusų ir ksinusų teremas) paprastiems uždaviniams Mkėti pagrindines trikampi plt fr- sprendimus remiantis gemetrinių bjektų apibrėžimais ir pagrindinėmis savybėmis Žinti tiesių lygiagretum ir statmenum savybes ir gebėti jmis remtis sprendžiant Gebėti naudtis figūrų perimetr ir plt savybėmis sprendžiant Apibrėžti trikampių lygumą, panašumą bei taikyti trikampių lygum ir panašum pžymius uždaviniams Mkėti įrdyti trikampi kampų sums, Pitagr, sinusų ir ksinusų teremas; taikyti šias teremas ir Pitagr teremai atvirkštinę teremą sprendžiant Mkėti įrdyti trikampi plt frmules, išreiškiant jį Daugiakampiai Apskritimas ir skritulys mules ir jas taikyti nesudėtingiems uždaviniams Atpažinti iškilusius ir taisyklingusius daugiakampius Mkėti trikampi ir keturkampi kampų sums frmules ir jas taikyti uždaviniams Klasifikuti keturkampius ir naudtis jų savybėmis sprendžiant nesudėtingus Mkėti stačiakampi, lygiagretaini, trapecijs pltų frmules ir jas taikyti nesudėtingiems uždaviniams Mkėti apskritim ilgi ir skrituli plt frmules ir gebėti jas taikyti nesudėtingiems uždaviniams Naudtis frmulėmis apskaičiujant apskritim lank ilgį, skrituli išpjvs ir nup- pagrindu ir aukštine arba dviem kraštinėm ir kampu tarp jų; taikyti įvairias trikampi plt frmules uždaviniams Sufrmuluti ir įrdyti pagrindines lygiagretaini, rmb, stačiakampi, kvadrat ir trapecijs savybes Mkėti iškilj bei taisyklingj daugiakampi apibrėžimus Mkėti daugiakampi kampų sums frmulę ir ją taikyti uždaviniams Mkėti įrdyti lygiagretaini, trapecijs pltų frmules ir jas taikyti uždaviniams Sufrmuluti pagrindines apskritim liestinių, kirstinių ir stygų savybes ir mkėti jas taikyti uždavinių sprendimams argumentuti Taikyti įbrėžt į trikampį ir apibrėžt apie 1 14

8 Simetrijs Steremetrija Pagrindinės steremetrijs sąvks jvs pltą Skirti ir mkėti pavaizduti apskritim centrinius ir įbrėžtinius kampus; žinti įbrėžtini kamp teremą ir mkėti ją taikyti nesudėtingiems uždaviniams Žinti apskritim liestinių savybes ir mkėti jas taikyti paprastiems uždaviniams Paaiškinti sąvkas simetriška figūra, centrinė simetrija, ašinė simetrija Pavaizduti paprastas figūras simetriškas dutsims tiesės arba tašk atžvilgiu bei nurdyti simetriškų figūrų simetrijs centrus arba ašis Atpažinti, pavaizduti, apibūdinti ir klasifikuti paprasčiausius steremetrinius bjektus trikampį apskritim savybes uždaviniams Suprasti įbrėžt į apskritimą daugiakampi ir apibrėžt apie apskritimą daugiakampi sąvkas Žinti įbrėžt į apskritimą ir apibrėžt apie apskritimą keturkampi pagrindines savybes ir gebėti jas taikyti uždaviniams Apibrėžti ašinę ir centrinę figūrų simetrijas bei remtis šiais apibrėžimais sprendžiant Argumentuti steremetrijs uždavinių sprendimus remiantis svarbiausių gemetrinių bjektų sąvkmis ir pagrindinėmis savybėmis Gemetriniai kūnai Atpažinti, pavaizduti piešiniais ir apibūdinti paprasčiausius gemetrinius kūnus (prizmes, piramides, kūgius, ritinius, rutulius) bei jų paviršius; atpažinti taisyklingąsias piramides ir prizmes Apskaičiuti paprasčiausių gemetrinių kūnų paviršių pltus ir tūrius Apibrėžti tiesės ir plkštums lygiagretum, tiesės ir plkštums bei plkštumų statmenum, kamp tarp tiesės ir plkštums sąvkas, atstum tarp taškų, tarp tiesių, tarp lygiagrečių plkštumų sąvkas, suprasti jų savybes ir mkėti jas taikyti sprendžiant Taikyti trijų statmenų ir jai atvirkštinę teremas uždavinių sprendimams argumentuti Pavaizduti piešiniais, apibūdinti ir klasifikuti nesudėtingus gemetrinius kūnus (prizmes, piramides, kūgius, ritinius, rutulius ir paprasčiausias jų kmbinacijas) Argumentuti uždavinių sprendimus remiantis gemetrinių kūnų savybėmis Pavaizduti įvairių kūnų paprastus pjūvius 15 16

9 Vektriai Vektriai plkštumje ir erdvėje, krdinačių metdas sprendžiant nesudėtingus Apskaičiuti prizmių, piramidžių, kūgių, ritinių, rutulių ir paprasčiausių jų kmbinacijų paviršių pltus ir tūrius nusekliai argumentujant sprendimą Apibrėžti vektrių lygumą, klinearumą (lygiagretumą), statmenumą bei taikyti šius apibrėžimus Atlikti veiksmus su vektriais; mkėti nustatyti, ar du vektriai statmeni vienas kitam Apskaičiuti atstumą tarp taškų Apskaičiuti kampą tarp vektrių Apskaičiuti atkarps viduri tašk krdinates Taikyti vektrius ir krdinačių metdą nesudėtingiems uždaviniams Funkcija Funkcija ir js grafikas FUNKCIJOS IR ANALIZĖS PRADMENYS Gebėti vartti sąvkas funkcija, argumentas, funkcijs reikšmė, apibrėžim sritis, reikšmių sritis, funkcijs reikšmių didėjim ir mažėjim intervalai, lyginė funkcija, nelyginė funkcija, funkcijs minimumas, maksimumas, funkcijs ekstremum taškai, didžiausia ir mažiausia funkcijs reikšmės dutajame intervale sprendžiant paprasčiausius Skaityti ir braižyti paprastų funkcijų grafikus Gebėti apibrėžti sąvkas funkcija, funkcijs apibrėžim sritis, reikšmių sritis, funkcijs reikšmių didėjim ir mažėjim intervalai, lyginė funkcija, nelyginė funkcija, funkcijs minimumas, maksimumas, funkcijs ekstremum taškai, didžiausia ir mažiausia funkcijs reikšmės dutajame intervale ir jmis naudtis sprendžiant nesudėtingus Gebėti paprastais atvejais patikrinti, ar funkcija yra atvirkštinė dutajai funkcijai Gebėti taikyti ryšį tarp funkcijs ir jai atvirkštinės funkcijs grafikų sprendžiant paprastus Braižyti nesudėtingų funkcijų, apibrėžtų baigtiniame intervale, grafikus ir funkcijų grafikų eskizus 17 18

10 Funkcijų taikymai Laipsninės funkcijs Pagrindinės laipsninių funkcijų savybės ir jų reikšmių skaičiavimas Atskiri laipsninių funkcijų atvejai Paaiškinti aprašytas funkcijmis nesudėtingas situacijas Gebėti aprašyti paprastas situacijas naudjantis funkcijmis Taikyti pagrindines laipsninių funkcijų m f ( x) = x ( m Z) ir g ( x) = n x savybes paprastiems uždaviniams Naudjantis skaičiukliu arba lentelėmis apskaičiuti laipsninių funkcijų reikšmes Taikyti pagrindines tiesinių, kvadratinių ir a f ( x) = funkcijų x savybes nesudėtingiems uždaviniams Naudtis funkcijų grafikais ar jų eskizais sprendžiant įvairius Taikyti funkcijas įvairiems uždaviniams Taikyti pagrindines laipsninių funkcijų g ( x) = n x ir q f ( x) = x ( q Q) savybes nesudėtingų uždavinių sprendimui argumentuti Apskaičiuti laipsninių funkcijų reikšmes Taikyti tiesinių, kvadratinių ir a f ( x) = funkcijų x savybes uždavinių sprendimui argumentuti 19 0 Lygtys ir nelygybės Suprasti ir paprastais atvejais naudti tiesigini ir atvirkštini prprcingum sąvkas, mkėti prprcijas Spręsti tiesines, kvadratines, bikvadratines, paprastas racinaliąsias ir iracinaliąsias lygtis bei dviejų lygčių sistemas, kurių viena lygtis yra tiesinė Sudaryti ir tiesines, kvadratines ir paprasčiausias racinaliąsias nelygybes su vienu kintamuju Rdiklinės ir lgaritminės funkcijs Pagrindinės funkcijų savybės ir reikšmių apskaičiavimas Suprasti, kas yra skaičiaus lgaritmas Mkėti pavaizduti paprasčiausių rdiklinių ir lgaritminių funkcijų grafikų eskizus Naudjantis skaičiukliu apskaičiuti rdiklinių funkcijų reikšmes Taikyti tiesiginį ir atvirkštinį prprcingumą uždaviniams Sudaryti ir tiesines, kvadratines, bikvadratines, racinaliąsias lygtis bei nesudėtingas lygčių sistemas su dviem kintamaisiais Sudaryti ir nesudėtingas iracinaliąsias lygtis Sudaryti ir tiesines, kvadratines ir nesudėtingas racinaliąsias nelygybes bei nelygybių sistemas su vienu kintamuju Taikyti rdiklinių ir lgaritminių funkcijų savybes uždavinių sprendimui argumentuti Apskaičiuti rdiklinių ir lgaritminių funkcijų reikšmes

11 Lygtys ir nelygybės Naudjantis skaičiukliu apskaičiuti skaičiaus dešimtaini lgaritm reikšmes Spręsti paprasčiausias rdiklines ir lgaritmines lygtis Spręsti paprasčiausias rdiklines nelygybes Trignmetrinės funkcijs Radianinis Suprasti radian kamp matas sąvką Trignmetrinės funkcijs Skaičiukliu apskaičiuti kamp laipsninį matą, kai žinmas radianinis matas, ir atvirkščiai Mkėti sinus, ksinus ir tangent apibrėžimus Taikyti trignmetrinių funkcijų sinx, csx, tgx savybes ir grafikus bei jų eskizus Sudaryti ir nesudėtingas rdiklines ir lgaritmines lygtis bei dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemas, kurių viena lygtis yra rdiklinė arba lgaritminė Sudaryti ir nesudėtingas rdiklines ir lgaritmines nelygybes bei paprastas jų sistemas (su vienu kintamuju) Apskaičiuti kamp laipsninį matą, kai žinmas radianinis matas, ir atvirkščiai Taikyti trignmetrinių funkcijų sinx, csx, tgx ir ctgx savybes ir grafikus bei jų eskizus uždavinių sprendimui argumentuti paprastiems uždaviniams Naudjantis skaičiukliu arba lentelėmis apskaičiuti trignmetrinių funkcijų reikšmes Žinti t paties argument trignmetrinių funkcijų pagrindinius sąryšius ir mkėti jus taikyti paprastiems trignmetriniams reiškiniams pertvarkyti ir trignmetrinių funkcijų reikšmėms apskaičiuti Aprašyti trignmetrinėmis funkcijmis paprastas praktines situacijas Žinti 0, 0, 45, 60 ir 90 kampų trignmetrinių funkcijų reikšmes Apskaičiuti trignmetrinių funkcijų reikšmes Įrdyti t paties argument trignmetrinių funkcijų sąryšius bei gebėti jus taikyti uždaviniams Redukuti trignmetrines funkcijas Taikyti dviejų kampų sums ir skirtum sinus, ksinus ir tangent bei trignmetrinių funkcijų sums ir skirtum frmules bei jų išvadas nesudėtingiems reiškiniams pertvarkyti, trignmetrinių funkcijų reikšmėms apskaičiuti Aprašyti trignmetrinėmis funkcijmis nesudėtingas praktines ir matematines situacijas 1

12 Funkcijs, atvirkštinės trignmetrinėms funkcijms Trignmetrinės lygtys ir nelygybės Mdulis Mdulis Išvestinės Funkcijs išvestinės samprata Vartti simblius arcsin, arccs, arctg užrašant paprasčiausių trignmetrinių lygčių sprendinius Skaičiukliu apskaičiuti arksinus, arkksinus ir arktangent reikšmes Spręsti af ( kx) + b = 0 pavidal lygtis, kai f (x) yra elementariji trignmetrinė funkcija Suprasti skaičiaus mduli sąvką, gebėti apskaičiuti paprastų reiškinių su mduliais reikšmes Suprasti terminus argument pkytis, funkcijs pkytis; išvestinę suvkti kaip funkcijs reikšmių kitim greitį Mkėti arksinus, arkksinus, arktangent ir arkktangent apibrėžimus, savybes ir grafikus bei jus taikyti uždaviniams Apskaičiuti trignmetrinėms funkcijms atvirkštinių funkcijų reikšmes Spręsti nesudėtingas trignmetrines lygtis, paprastas nelygybes Mkėti skaičiaus mduli apibrėžimą bei gebėti jį taikyti pertvarkant nesudėtingus reiškinius ir braižant nesudėtingų funkcijų grafikus Spręsti paprastas lygtis ir nelygybes su mduliais Suprasti išvestinės gemetrinę prasmę ir gebėti ja remtis sprendžiant nesudėtingus Funkcijų išvestinių skaičiavimas ir taikymai Naudjantis išvestinių skaičiavim taisyklėmis mkėti apskaičiuti daugianarių išvestines Naudjantis išvestinėmis mkėti tirti daugianariais apibrėžtas funkcijas (rasti reikšmių didėjim ir mažėjim intervalus, ekstremumų taškus, ekstremumus, didžiausią ir mažiausią reikšmes dutajame intervale, nubraižyti grafiką) Taikyti išvestines paprasčiausiems realaus turini uždaviniams Suprasti išvestinę kaip funkcijs reikšmių kitim greitį ir taikyti šią sampratą nesudėtingiems uždaviniams Nesudėtingais atvejais taikyti laipsninės, rdiklinės, lgaritminės, tiesiginių trignmetrinių funkcijų išvestinių frmules ir funkcijų sums, skirtum, sandaugs, santyki, sudėtinės funkcijs išvestinių skaičiavim taisykles Užrašyti funkcijs grafik liestinės taške lygtį ir gebėti ją taikyti uždaviniams Gebėti atlikti funkcijs tyrimą ir jį argumentuti Taikyti išvestines braižant funkcijų grafikus ir sprendžiant paprastas prblemas Gebėti rasti paprasčiausių funkcijų pirmykštes funkcijas, mkėti apskaičiuti paprastus apibrėžtinius 4

13 integralus ir jus taikyti paprasčiausių kreivinių trapecijų pltams apskaičiuti paprasčiausise situacijse KOMBINATORIKA, TIKIMYBĖS IR STATISTIKA Kmbinatrika Galimybių medis Kmbinatrinės sudėties ir daugybs taisyklės Skaičiaus faktrialas Nubraižyti galimybių medžius, kurių šaks tiesigiai suskaičiujams, ir jus taikyti uždaviniams Taikyti kmbinatrinę sudėties taisyklę paprastiems uždaviniams Taikyti kmbinatrinę daugybs taisyklę paprastiems uždaviniams Taikyti galimybių medžius uždavinių sprendimams aiškinti Sufrmuluti ir paaiškinti kmbinatrinę daugybs taisyklę Spręsti, kurių sprendimuse kartu su daugybs taisykle reikia taikyti ir sudėties taisyklę arba kitus metdus Mkėti n! apibrėžimą ir apskaičiuti knkrečių skaičių faktrialus Pertvarkyti nesudėtingus algebrinius reiškinius, kuriems užrašyti naudjami skaičių faktrialai Deriniai Apibrėžti derinį iš n elementų p m elementų, užrašyti derinių Tikimybės Įvyki tikimybės klasikinis apibrėžimas Nepriklausmi įvykiai Atpažinti, kada galima taikyti klasikinį įvyki tikimybės apibrėžimą Apskaičiuti paprastų įvykių tikimybes naudjantis klasikiniu įvyki tikimybės apibrėžimu Apskaičiuti įvykiui priešing įvyki tikimybę Žinti dviejų įvykių nepriklausmum apibrėžimą ir atpažinti nepriklausmus įvykius m n skaičiaus ( C ) frmulę ir mkėti ją taikyti nesudėtingiems uždaviniams Pertvarkyti paprastus algebrinius reiškinius ir lygtis su derinių skaičiaus simbliais Mkėti klasikinį įvyki tikimybės apibrėžimą ir gebėti paaiškinti, kada jis taikmas Taikyti klasikinį įvyki tikimybės apibrėžimą uždaviniams Apibrėžti ir mkėti paaiškinti bei pritaikyti įvykiui priešingą įvykį, įvykių sąjungą ( A B), sankirtą ( A B), įvykių nesutaikmumą Dviejų atsitiktinių įvykių nepriklausmum sąvką taikyti uždaviniams 5 6

14 Apskaičiuti dviejų nepriklausmų įvykių sankirts tikimybę Apskaičiuti sugruputų dumenų vidurkį ir dispersiją Atsitiktiniai dydžiai ir jų skirstiniai Statistika Imtis, imties vaizdavimas Imties skaitinės charakteristiks Paprasčiausiais atvejais sutvarkyti dumenis ir nubraižyti imties dažnių arba santykinių dažnių diagramą Apskaičiuti imties vidurkį Palyginti imtis remiantis vidurkiais Rasti (apskaičiuti ir užrašyti lentele) nesudėtingų atsitiktinių dydžių skirstinius remiantis klasikiniu įvyki tikimybės apibrėžimu ir įvykių nepriklausmumu Apskaičiuti atsitiktini dydži (galinči įgyti tik keletą skirtingų reikšmių) matematinę viltį, dispersiją bei vidutinį kvadratinį nukrypį, medianą, kai dutas j skirstinys Taikyti matematinę viltį ir dispersiją uždaviniams Sutvarkyti dumenis suskirstant imtį į intervalus ir nubraižyti dažnių arba santykinių dažnių diagramą Apskaičiuti imties vidurkį, dispersiją, mdą, medianą 5. EGZAMINO MATRICA Taikyti imties skaitines charakteristikas paprastiems uždaviniams Valstybini ir mkyklini brands egzamin uždutys sudarms vadvaujantis turini struktūra ir struktūrinių dalių prprcijmis, nusakytmis matrica. TEMATIKOS SRITYS VEIKLOS SRITYS Skaičiai, skaičiavimai, algebra MATEMATINĖS ŽINIOS IR PROCEDŪROS MATEMATIKOS TAIKYMAI IR MATEMATINIS MĄSTYMAS Gemetrija 0 Funkcijs ir analizės pradmenys Kmbinatrika, tikimybės ir statistika % Ši lentelė rd, kad, pavyzdžiui, gemetrijs žinių prireiks sprendžiant maždaug 0 prc. uždavinių, uždaviniai, kuriais tikrinami mksleivi gebėjimai taikyti matematiks žinias ir matematiškai mąstyti, sudarys maždaug 45 prc. viss egzamin užduties. Knkrečise uždutyse galimi tam tikri nukrypimai nu šių skaičių, tačiau jie neturėtų būti didesni kaip ± 5 prc. %

15 6. MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ STRUKTŪRA, VERTINIMAI, VYKDYMO TVARKA Organizujami dviejų tipų matematiks brands egzaminai mkyklinis ir valstybinis. Mkyklinis brands egzaminas pagal mksleivi darb vertinim principus yra kriterinis. Jis turi patvirtinti mksleivi brandą. Tu tikslu mksleivi žinis ir gebėjimai lyginami su atitinkamais egzamin reikalavimais. Mkyklinis egzaminas administrujamas ir vertinamas mkyklje. Abiturientų darbai vertinami vadvaujantis vertinim instrukcijmis. Ši egzamin mksleivių darbai vertinami pažymiais 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4 arba neišlaikė. Egzamin trukmė,5 val. (150 min.) be pertrauks. Mkyklini egzamin užduties taškų suma turėtų būti ne mažesnė nei 5. Mksleivis gauna vieną uždutį, kurią sudar uždavinių, tarp jų 4 6 su pasirenkamaisiais atsakymais, 5 trump sprendim, 4 struktūruti ir 1 nestruktūrutas. Valstybini brands egzamin vertinimas yra nrminis. J paskirtis patikrinti mksleivi matematines žinias ir gebėjimus, palyginti visus mksleivius tarpusavyje, t.y. palyginti kiekvien mksleivi žinias ir gebėjimus su kitų mksleivių žinimis ir gebėjimais. Valstybinis brands egzaminas administrujamas centruse, mksleivių darbai taismi centralizutai. Egzamin trukmė val. (180 min.) be pertrauks. Valstybini brands egzamin užduties taškų suma turėtų būti ne mažesnė nei 50. Mksleivis gauna vieną uždutį, kurią sudar 18 0 uždavinių, tarp jų 6 8 su pasirenkamaisiais atsakymais, 4 trump sprendim, 5 struktūruti ir 4 nestruktūruti. Matematiks egzaminų metu leidžiama naudtis rašym priemnėmis, braižybs įrankiais bei skaičiukliais, neturinčiais tekstinės atminties. Prie kiekviens egzamin užduties pateikiamas matematinių frmulių rinkinys ir uždučiai atlikti reikalings lentelės. Mkyklini brands egzamin frmulių * rinkinys a b c Trikampis. a = b + c bc cs A, = = = R, sin A sin B sin C 1 abc S = ab sin C = p( p a)( p b)( p c) = rp = ; 4R čia a, b, c trikampi kraštinės, A, B, C prieš jas esantys kampai, p pusperimetris, r ir R įbrėžtini ir apibrėžtini apskritimų spinduliai, S pltas. πr πr Skrituli išpjva. S = α, l = α ; čia α centrini kamp didumas laipsniais, S išpjvs pltas, l išpjvs lank ilgis, R apskritim spindulys. Ritinys. V = πr H, šninis paviršius S = πrh. 1 Kūgis. V = π R H, šninis paviršius S = πr l. 1 Piramidė. V = SH ; čia S pagrind pltas, H piramidės aukštinė. 4 Rutulys. S = 4πR, V = πr. Trignmetrinės funkcijs ir lygtys tg α =, 1 + ctg α =, cs α sin α sin x = a, k x = ( 1) arcsin a + πk, čia k Z, 1 a 1; cs x = a, x = ± arccs a + πk, čia k Z, 1 a 1; tg x = = a x arctg, a + πk, čia k Z. * Egzamin uždutyje šis frmulių rinkinys gali būti papildytas. 9 0

16 Išvestinių skaičiavim taisyklės. ( cu ) = cu ; ( u ± v) = u ± v ; čia u ir v taške diferencijujams funkcijs, c knstanta. α sin α 0 1 / 1 cs α 1 1 / 0 tg α Valstybini brands egzamin frmulių * rinkinys abc Trikampis. S = p ( p a)( p b)( p c) = rp= ; 4R čia a, b, c trikampi kraštinės, p pusperimetris, r ir R įbrėžtini ir apibrėžtini apskritimų spinduliai, S trikampi pltas. π R πr Skrituli išpjva. S = α, l = α; čia α centrini kamp didumas laipsniais, S išpjvs pltas, l išpjvs lank ilgis, R apskritim spindulys. Nupjautinis kūgis. S= π( R+ r) l, V= π H ( R + Rr + r ); čia R ir r kūgi pagrindų spinduliai, S šnini paviršiaus pltas, V tūris, H aukštinė, l sudarmji. 1 Nupjautinės piramidės tūris. V = H ( S1 + S1S + S ); čia S 1, S pagrindų pltai, H aukštinė. Rutulys. S = 4πR, V = π R ; čia S rutuli paviršiaus pltas, V tūris, R spindulys. * Egzamin uždutyje šis frmulių rinkinys gali būti papildytas. 1 Rutuli nupjvs tūris. V = πh (R H) ; čia R spindulys, H nupjvs aukštinė. 1 Vektrių skaliarinė sandauga. r r r r a b = x1x + y1 y + z1z = a b cs α ; čia α kampas tarp vektrių a r { x, y z } ir { x, y z } 1 1, 1 b r,. n b (1 q ) n 1 1 Gemetrinė prgresija. b = b q, S =. n 1 n 1 q b Begalinė nykstamji gemetrinė prgresija. S = 1. 1 q 1 1 Trignmetrinės funkcijs. 1 + tg α =, 1 + ctg α =, cs α sin α sin α = 1 cs α, cs α = 1 + cs α, sin( α ± β) = sinα csβ ± csα sinβ, cs( α ± β) = csα csβ m sin α sinβ, α ± β α m β sin α ± sinβ = sin cs, α + β α β csα + csβ = cs cs, α + β α β cs csβ = sin sin α, ( α ± β) sin x = a, k x = ( 1) arcsin a + πk, čia k Z, cs x = a, x = ± arccs a + πk, čia k Z, x = = a x arctg, a + πk, čia k Z. Deriniai k n k n! Cn = Cn =. k!( n k)! tgα ± tgβ tg =. 1 m tgα tgβ 1 a 1; 1 a 1;

17 Tikimybių terija. Atsitiktini dydži X matematinė viltis yra EX = x 1 p 1 + x p x n p n, dispersija DX= ( x1 EX ) p1 + ( x EX ) p ( xn EX ) pn. Išvestinių skaičiavim taisyklės. ( cu ) = cu ; ( u ± v) = u ± v ; u u v uv ( uv ) = u v + uv ; = ; v v čia u ir v taške diferencijujams funkcijs, c knstanta. (a x ) = a x 1 lna, ( lga x) =. x ln a Sudėtinės funkcijs h(x) = g(f(x)) išvestinė h (x) = g (f (x)) f (x). Funkcijs grafik liestinės taške ( x 0, f ( x0 )) lygtis. y = f ( x0 ) + f ( x0 )( x x0 ). lgc b Lgaritm pagrind keitim frmulė. lga b =. lg a c

t. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav.

t. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav. LIETUVOS JUNŲ J Ų MTEMTIKŲ MOKYKL tema. TRIGONOMETRIJOS TIKYMI GEOMETRIJOJE (008-00) Terinę medžiagą parengė bei šeštąją uždutį sudarė Vilniaus pedaggini universitet dentas Edmundas Mazėtis Šiame darbe

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS

MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 004 m. gegužės 7 d. įsakymu Nr. ISAK-75 MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 0 m. liepos d. įsakymu Nr. V-97 (Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 04 m. gruodžio 9 d. įsakymo Nr. V- 7 redakcija) MATEMATIKOS

Διαβάστε περισσότερα

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO

Διαβάστε περισσότερα

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 4 dalis

Matematika 1 4 dalis Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios

Διαβάστε περισσότερα

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA. VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas

MATEMATIKA. VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas Vi du ri nio ug dy mo ben drų jų pro gra mų 3 prie das Matematika Redakcinė grupė: Alvyda Ambraškienė, Regina Rudalevičienė, Marytė Skakauskienė, dr. Eugenijus

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................

Διαβάστε περισσότερα

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento

Διαβάστε περισσότερα

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd

Διαβάστε περισσότερα

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas

Διαβάστε περισσότερα

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 791. I. Bendrosios nuostatos. II. Tikslas, uždaviniai, struktūra. 5 6 klasės. 7 8 klasės klasės

Matematika 791. I. Bendrosios nuostatos. II. Tikslas, uždaviniai, struktūra. 5 6 klasės. 7 8 klasės klasės I. Bendrosios nuostatos 1. Ugdymo srities paskirtis Matematika yra reikšminga pasaulio mokslo, technologijų ir žmogaus kultūros dalis. Ji yra svarbus abstrakčiojo dedukcinio ir indukcinio, empirinio-patyriminio,

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA 006 m. valstybinio brandos egzamino uþduotis Pagrindinë sesija 006 m. geguþës 17 d. Trukmë 3 val. Nacionalinis

Διαβάστε περισσότερα

3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė ir logaritminė funkcija

3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė ir logaritminė funkcija P R O J E K T A S VP--ŠMM-0-V-0-00 MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS -9 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYBĖS, REIKALINGOS

Διαβάστε περισσότερα

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI 008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA

TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA Zita SAVICKIENĖ TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA Prjekt kdas VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-047 VGTU Elektrniks fakultet I pakps studijų prgramų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 2012 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA. 1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

TERMODINAMIKA. 1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai TERMODINAMIKA 1. Pagrindinės sąvks ir apibrėžimai Įvadas Termdinamika (T) graikiškas ždisiš dviejų daliųterm (šiluma) + dinamika (jėga). Tai fundamentalus bendrsis inžinerijs mkslas apie energiją : js

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį

Διαβάστε περισσότερα

2018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ

2018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ N A C I O N A L I N I S E G Z A M I N Ų C E N T R A S 018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 018 m. birželio 9 d. įvyko matematikos valstybinis brandos egzaminas.

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorinis darbas Nr. 2

Laboratorinis darbas Nr. 2 M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių

Διαβάστε περισσότερα

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO (PUPP) IR BRANDOS EGZAMINŲ (BE) UŽDUOČIŲ RENGĖJŲ MOKYMO PRAKTINĖ METODINĖ MEDŽIAGA

MATEMATIKA PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO (PUPP) IR BRANDOS EGZAMINŲ (BE) UŽDUOČIŲ RENGĖJŲ MOKYMO PRAKTINĖ METODINĖ MEDŽIAGA MATEMATIKA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS Nacionalinis egzaminų centras Projektas Pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo ir brandos egzaminų sistemos tobulinimas (SFMIS VP1-21-ŠMM-01-V-01-002) PAGRINDINIO

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus

Διαβάστε περισσότερα

Įvadas į laboratorinius darbus

Įvadas į laboratorinius darbus M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis

Διαβάστε περισσότερα

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

CHEMIJOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA 1. ĮVADAS

CHEMIJOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA 1. ĮVADAS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2003 m. balandžio 14 d. įsakymu Nr. ISAK-496 (Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2009 m. sausio 14 d. įsakymo Nr. ISAK-85 redakcija)

Διαβάστε περισσότερα

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1 Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos .1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,

Διαβάστε περισσότερα

Matematikos brandos egzamino mokinių pasiekimų lygių aprašas su pavyzdžiais

Matematikos brandos egzamino mokinių pasiekimų lygių aprašas su pavyzdžiais Matematikos brandos egzamino mokinių pasiekimų lygių aprašas su pavyzdžiais Patenkinamas pasiekimų lygis Paprastose standartinėse situacijose atpažįsta ir teisingai vartoja (reprodukuodamas) pagrindines

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS 2013 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS 2013 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVS RESPUBLIKS ŠVIETIM IR MKSL MINISTERIJ NINLINIS EGZMINŲ ENTRS 03 METŲ MTEMTIKS VLSTYBINI BRNS EGZMIN REZULTTŲ STTISTINĖ NLIZĖ 03 m. birželio 5 d. matematikos valstbinį brandos egzaminą leista laikti

Διαβάστε περισσότερα

VERTINIMO INSTRUKCIJA 2008 m. valstybinis brandos egzaminas Pakartotinë sesija

VERTINIMO INSTRUKCIJA 2008 m. valstybinis brandos egzaminas Pakartotinë sesija PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 008 m. birželio 7 d. įsakymu (.3.)-V-37 VERTINIM INSTRUKIJA 008 m. valstybinis brandos egzaminas I dalis Kiekvienas I dalies klausimas vertinamas tašku.

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės

Διαβάστε περισσότερα

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d. Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3 Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................

Διαβάστε περισσότερα

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

KADETAS (VII ir VIII klasės)

KADETAS (VII ir VIII klasės) ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip

Διαβάστε περισσότερα

FIZIKOS PASIRENKAMŲJŲ MODULIŲ PROGRAMŲ (III IV GIMNAZIJOS) KLASĖMS ĮGYVENDINIMO MOKYKLOSE METODINES REKOMENDACIJOS SU PAVYZDŽIAIS

FIZIKOS PASIRENKAMŲJŲ MODULIŲ PROGRAMŲ (III IV GIMNAZIJOS) KLASĖMS ĮGYVENDINIMO MOKYKLOSE METODINES REKOMENDACIJOS SU PAVYZDŽIAIS P R O J E K T A S VP1-2.2-ŠMM-04-V-01-001 MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS 14-19 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDI- VIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras, MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės

Διαβάστε περισσότερα

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,

Διαβάστε περισσότερα

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad 45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos 0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε

Διαβάστε περισσότερα

11 klasei Pirmas skyrius MATEMATIKA. tempus. Bendrasis ir išplėstinis kursas

11 klasei Pirmas skyrius MATEMATIKA. tempus. Bendrasis ir išplėstinis kursas 11 klasei Pirmas skyrius MATEMATIKA tempus Bendrasis ir išplėstinis kursas MATEMATIKA tempus Bendrasis ir išplėstinis kursas 11 klasei Pirmas skyrius UDK 51(075.3) Ma615 Autoriai: VILIJA DABRIŠIENĖ, MILDA

Διαβάστε περισσότερα

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip: PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės

Διαβάστε περισσότερα

2014 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2014 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 04 m. birželio 6 d. Nr. (.)-V-69birželio 4 04 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA I dalis Kiekvieno I dalies klausimo

Διαβάστε περισσότερα

Diskrečioji matematika

Diskrečioji matematika VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės

Διαβάστε περισσότερα

06 Geometrin e optika 1

06 Geometrin e optika 1 06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco

Διαβάστε περισσότερα

1. Individualios užduotys:

1. Individualios užduotys: IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

I.4. Laisvasis kūnų kritimas

I.4. Laisvasis kūnų kritimas I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės

Διαβάστε περισσότερα

1 TIES ES IR PLOK TUMOS

1 TIES ES IR PLOK TUMOS G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu

Διαβάστε περισσότερα

Arenijaus (Arrhenius) teorija

Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl

Διαβάστε περισσότερα

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia 1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra

Διαβάστε περισσότερα

2008 m. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinë sesija. II dalis

2008 m. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinë sesija. II dalis 008 m. HEMIJS VALSTYBINI BRANDS EGZAMIN UŽDUTIES VERTINIM INSTRUKIJA I dalis Kiekvienas I dalies klausimas vertinamas tašku. Klausimo Nr. 3 4 5 6 7 8 9 0 Atsakymas D A B A D B A Klausimo Nr. 3 4 5 6 7

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu

Διαβάστε περισσότερα

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame

Διαβάστε περισσότερα

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė) EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Rungės ir Kuto metodas

1.4. Rungės ir Kuto metodas .4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D

M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS MATEMATIKOS KATEDRA Antanas Lapinskas M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D (MOKOMOJI KNYGA) AKADEMIJA 006 UDK 0049 (0754) Sudarė: doc dr Antanas

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

Taikomieji optimizavimo metodai

Taikomieji optimizavimo metodai Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARIOJI TEORIJA

ELEMENTARIOJI TEORIJA ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.

Διαβάστε περισσότερα

Praeita paskaita. Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje. Praeita paskaita. 2D Transformacijos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, 2010

Praeita paskaita. Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje. Praeita paskaita. 2D Transformacijos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, 2010 Praeita paskaita Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje Atkarpos Tiesės lgtis = mx+ b kur m krpties koeficientas, o b aukštis, kuriame tiesė kerta ašį Susikirtimo taško apskaičiavimui sulginamos

Διαβάστε περισσότερα

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...

Διαβάστε περισσότερα

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos

Διαβάστε περισσότερα

klasës (grupës) mokinio (-ës) (vardas ir pavardë) 2013 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduotis

klasës (grupës) mokinio (-ës) (vardas ir pavardë) 2013 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduotis LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS (miestas / rajonas, mokykla) klasës (grupës) mokinio (-ës) (vardas ir pavardë) 013 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

2007 m. rudens semestro matematikos istorijos kurso egzamino klausimai. matematika. paprastajai trupmenai išreikšti egiptietiškomis. 6. I.

2007 m. rudens semestro matematikos istorijos kurso egzamino klausimai. matematika. paprastajai trupmenai išreikšti egiptietiškomis. 6. I. 2007 m rudens semestro matematikos istorijos kurso egzamino klausimai 1 tema Skaičiai ir skaičiavimai 1 Iš kokiu šaltiniu mes žinome apie egiptiečiu matematika 2 Kaip trupmenas rašė senovės egiptiečiai

Διαβάστε περισσότερα

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas 4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra

Διαβάστε περισσότερα

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

8. LENKIAMŲ PLOKŠTELIŲ ELEMENTAI

8. LENKIAMŲ PLOKŠTELIŲ ELEMENTAI 8. LENKIAMŲ PLOKŠELIŲ ELEMENAI 8.1. LENKIAMŲ PLOKŠELIŲ EORIJA Įtempimai: storį: paprastai operuojama įrąžomis įtempimų atstojamosiomis per plokštelės z τ z t τ z M t = zdz, M =...., M =.. t t = τzdz, =

Διαβάστε περισσότερα

1 iš 8 RIBOTO NAUDOJIMO M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis

1 iš 8 RIBOTO NAUDOJIMO M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis iš 8 RIBT NAUDJIM PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 00 m. birželio 0 d. įsakymu 6.-S- 00 M. EMIJS VALSTYBINI BRANDS EGZAMIN UŽDUTIES VERTINIM INSTRUKIJA Pagrindinė sesija I dalis Kiekvienas

Διαβάστε περισσότερα

5 klasė. - užduotys apie varniuką.

5 klasė. - užduotys apie varniuką. 5 klasė - užduotys apie varniuką. 1. Varniukas iš plastilino lipdė raides ir iš jų sudėliojo užrašą: VARNIUKO OLIMPIADA. Vienodas raides jis lipdė iš tos pačios spalvos plastelino, o skirtingas raides

Διαβάστε περισσότερα

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos 1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos Vektoriu užrašymas MAPLE Vektorius MAPLE galime užrašyti daugeliu būdu. Juos grafiškai vaizduosime paketo Student[LinearAlgebra]

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,

Διαβάστε περισσότερα

A priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai

A priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai Priedai A priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai B priedas. Patikslintas tiesiakrumplės pavaros matematinis modelis C priedas. Patikslintas tiesiakrumplė pavaros matematinis modelis

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Rotaciniai vožtuvai HRB 3, HRB 4

Rotaciniai vožtuvai HRB 3, HRB 4 Techninis aprašymas Rotaciniai vožtuvai HRB 3, HRB 4 Aprašymas HRB rotacinius vožtuvus galima naudoti kartu su elektros pavaromis AMB 162 ir AMB 182. Savybės: Mažiausias pratekėjimas šioje klasėje Uniklalus

Διαβάστε περισσότερα

4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS

4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos

Διαβάστε περισσότερα

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVIŲ GIMTOSIOS KALBOS

LIETUVIŲ GIMTOSIOS KALBOS STANDARTIZAVIMO PROCEDŪRŲ APRAŠAS. II DALIS. 8 KLASĖS LIETUVIŲ GIMTOSIOS KALBOS (SKAITYMO, RAŠYMO) MATEMATIKOS IR ISTORIJOS STANDARTIZUOTOS PROGRAMOS IR TESTŲ PAVYZDŽIAI PROJEKTAS STANDARTIZUOTŲ MOKINIŲ

Διαβάστε περισσότερα

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009 1 Integriniai diodai Integrinių diodų pn sandūros sudaromos formuojant dvipolių integrinių grandynų tranzistorius. Dažniausiai integriniuose grandynuose kaip diodai naudojami tranzistoriniai dariniai.

Διαβάστε περισσότερα

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi

Διαβάστε περισσότερα

MATAVIMO KLAIDOS IR JŲ ĮVERTINIMAS

MATAVIMO KLAIDOS IR JŲ ĮVERTINIMAS MATAVIMO KLAIDOS IR JŲ ĮVERTINIMAS Matavimų rūšys Dirbant geodezinius darbus atliekami įvairūs matavimai. Galima matuoti: 1. Kampus. 2. Linijų ilgius. 3. Aukščius (reljefo, statinių). 4. Plotus. 5. Tūrius.

Διαβάστε περισσότερα

1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai

1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai 1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai 1.1. Branduolio nukleonų energijos diskretumo aiškinimas. Dalelė stačiakampėje potencialo duobėje Dalelės banginė funkcija tai koordinačių ir

Διαβάστε περισσότερα

Riebalų rūgščių biosintezė

Riebalų rūgščių biosintezė Riebalų rūgščių biosintezė Riebalų rūgščių (RR) biosintezė Kepenys, pieno liaukos, riebalinis audinys pagrindiniai organai, kuriuose vyksta RR sintezė RR grandinė ilginama jungiant 2C atomus turinčius

Διαβάστε περισσότερα