MEHANIKA-IV-DINAMIKA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MEHANIKA-IV-DINAMIKA"

Transcript

1 13 MEHANIKA-IV-DINAMIKA Četo o u pilici da uočio kako je neko telo iz naše okoline naglo poenilo pavac ketanja, ubzalo ili upoilo. Ikutvo na uči da pogledo potažio uzok takvog ponašanja, u obliku piutva nekog dugog tela (np. konac koji je vezan za poatano telo i koji neko vuče pokušavajući da e našali a naa, agnet u blizini gvozdenog ekea ili bilijaka kugla koja udaa u dugu kuglu). Dugi ečia, tažio uzok poene tanja ketanja tela. Oblat ehanike koja e bavi uzocia ketanja naziva e dinaika. Onovni pojovi dinaike: ila, aa Pe Galileo Galileja (italijanki fiziča, ođen u dugoj polovini XVI veka) atalo e da je piodno tanje vih tela da iuju i da oa da potoji neki uticaj, neka vta ile koja pioava tela da e keću kontantno bzino. Ovakvo hvatanje bi oglo da e podži ledeći pieo: ako bacio np. knjigu tako da e keće po podu, pole nekog veena ona će e zautaviti i zauzeti voje piodno tanje iovanja ito kao kada bio je ao putili na pod. Ako želio da e knjiga keće po podu talno bzino tebalo bi je vezati neki konce i vući ili guati neki štapo. Galileo je hvatio (a na njegov ad e kanije nadovezao Njutn potavljajući voje zakone ketanja) da nije potebna ila da bi e telo ketalo kontantno bzino, već da e ono zautavlja zahvaljujući ili. Naie, ako bio knjigu, iz pethodnog piea, bacili po ledenoj povšini, ona bi e ketala znatno duže i na kaju zautavila, je led puža anje otpoa ketanju od poda. Ali ako bio ogli da knjigu bacio po nekoj povšini koja je bekonačno velika i idealno je glatka (ne puža otpo ketanju), onda bi e ona ketala bekonačno dugo, kontantno bzino, čak i u obično govou, kažeo po ineciji. ako o došli do poja ile (označava e lovo F) koja pedtavlja, kako o iz pethodnog piea videli, uzok poeni tanja ketanja. Očigledno, ila e javila u inteakciji dva tela (pod-knjiga, led- knjiga) i nije bila jednaka u oba lučaja. Zato ožeo eći da veličina ile pedtavlja eu inteakcije dva tela. Šta još ožeo da zaključio na onovu pethodnog piea? Dva tela u inteagovala ilo dok u bila u diektno kontaktu. Ali to nije jedini ogući način da e otvai inteakcija. Np. dovoljno je da pibližite agnet gvozdeno ekeu, ne oate ga dodinuti, da bi e eke pokenuo. o znači da tela ogu inteagovati ilaa i na daljinu, a ta e inteakcija odvija pute fizičkog polja (agnetnog polja, u naše pieu), dakle, potoa izeđu dva tela u koje e ipoljava dejtvo ila. Vatio e na pie knjige koja e keće po podu. Rečeno je da će e ona, pole izvenog veena, zautaviti zbog delovanja ile (ile tenja, o kojoj će nešto kanije biti više eči). Recio da želio da je zautavio pe nego što e zautavi aa, tako što ćeo np. tati na njen put. Zašto da ne? u ne vidio poble, kao što ne vidio poble u toe da taneo na put fudbalkoj lopti, kugli za kuglanje, čak, ili dvogodišnje detetu koje e zatči pea naa. Da li bio tali na put kaionu, pokušavajući da ga zautavio? Naavno da ne, ali zašto? Možda bi neko poilio da je azlog bzina ketanja, ali to iguno nije azlog. Naie, čak i oednji teniei eviaju tako da je bzina loptice nogo veća od bzine kaiona, a dovoljan je dobo potavljen eket da e ona zautavi ili odbije, što, vakako, niko ne bi pokušao u lučaju kaiona. Da li je veličina azlog? Siguno ožete da e etite piea nogo anjih objekata, kojia takođe ne bite tali na put (oto, čovek koji tči) i obnuto (np. papini zaj veličine odalog čoaveka). Onda, šta je azlog? Odgovo je: aa. Dakle, za izučavanje ketanja u dinaici neophodno je uveti još jednu onovnu fizičku veličinuau, čija je jedinica kiloga (kg). Maa pedtavlja eu za inetnot tela pi tanlatono

2 14 ketanju, odnono za njegovu lenjot da poeni tanje ketanja u koe e nalazilo. Što je telu veća aa teže ga je pokenuti ako je iovalo, ili ga je teže zautaviti, ako e tanlatono ketalo. Ovo je najbolja definicija poja ae koju ožeo da dao, obzio da ne znao zašto tela iaju au. Ono što iguno znao je da telo ae np. 7 kg ia tu itu au i na Zelji i na Meecu i ako e keće i ako iuje i kada na njega deluje neka ila i kada ne deluje. Da li je aa azlog zbog koga na je poteban nogo veći napo da a tla podigneo kuglu za kuglanje, nego teniku lopticu? Odgovo je - ne, azlog je gavitaciona ila, kojo, Zelja, pivlači kuglu, ali će o toe biti više eči kanije. Nakon što o definiali onovne pojove dinaike (au i ilu) uputio e u azatanje Njutnovih zakona koji u zapavo više potulati ili logička tvđenja koja e ne dokazuju, ali e njihova valjanot vakodnevno poveava. Zakoni dinaike I Njutnov zakon Ako na telo ne deluje ila, ili je ua vih ila koje na telo deluju jednaka nuli, tada to telo zadžava tanje ketanja: iuje ili e avnoeno pavolinijki keće Mateatički, I Njutnov zakon ožeo zapiati na ledeći način: n F = F = 0 v = cont i= 1 Ovaj zakon e četo naziva i zakono inecije, pa e zakon fouliše i na ledeći način: i (1) Ako je ua vih ila koje na telo deluju jednaka nuli, oguće je naći kup efeentnih itea u kojia to telo neće iati ubzanje. Kako ćeo kanije videti ti efeentni itei e nazivaju inecijalni efeentni itei, a ketanje tela u odutvu ila naziva e ketanje po ineciji. II Njutnov zakon Pe nego što definišeo II Njutnov zakon uvedio još jedan poja koji označava fizičku veličinu koja kaakteiše dinaička vojtva tela. o je ipul ili količina ketanja: p = v () Ipul je vektoka veličina, čiji je intenzitet jednak poizvodu ae tela i njegove bzine, a pavac i e u odeđeni pavce i eo bzine tela. Jedinica je, očigledno, kg. II Njutnov zakon e ože fouliati na ledeći način. Ako na telo deluje neka poljašnja ila (ezultanta više ila), onda ona izaziva poenu količine ketanja tela, tj.: F n dp = Fi = dt i=1 (3)

3 15 Odavde vidio da je jedinica za ilu, Njutn, izvedena jedinica SI itea koja e ože napiati kao: N = kg Ako u izaz (3) zaenio izaz (), dobijao: dp d dv d d F = = ( v) = + v = a + v (4) dt dt dt dt dt U klaičnoj fizici, dugi član ove jednačine je jednak nuli, je je aa kontantna, pa dobijao: = a (5) F Dakle, ila je po intenzitetu jednaka poizvodu ae i ubzanja tela, a pavac i e ile e poklapa a pavce i eo ubzanja. Gonji ikaz pedtavlja dugu foulaciju II Njutnovog zakona. Međuti, u opšte lučaju ila ne oa iati pavac ubzanja, je aa ne oa biti kontantna (vidi liku). U ulovia kada e tela keću bzinaa bliki bzini vetloti (ulovi elativitičke ehanike), aa tela veoa zavii od bzine i to na način: 0 = (6) v 1 c pa e i dugi član u izazu (4) oa uzeti u obzi. 0 III Njutnov zakon 0.6c c v III Njtnov zakon je još poznat kao zakon akcije i eakcije i on govoi o toe da e ve ile kojia tela inteaguju u piodi javljaju u paovia. Poatajo dva tela na lici dole. F AB F BA Ako telo A deluje na telo B ilo F BA ekpeientalno e ože potvditi i da će telo B delovati na telo A ilo F AB, pi čeu u te A B dve ile itog intenziteta, itog pavca i upotnog ea. Obatite pažnju na to da e ove dve ile ne ogu poništiti, je deluju na dva azličita tela što ih čini pao ila. U vakoj inteakciji dva tela uvek potoje dve ile (akcije i eakcije)od kojih vaka deluje na po jedno telo, pi čeu u te dve ile jednakog intenziteta i pavca, a upotnog ea. Mateatički, to ožeo zapiati na ledeći način: F AB = F BA, (7) ali je F AB = F BA (je ila ne ože biti negativnog intenziteta). Razotio ada piee nekih paova ila u piodi. Na lici je pikazan pa Zelja veštački atelit koji kuži oko Zelje. Jedina ila koja deluje na atelit je gavitaciono pivlačenje od tane Zelje (ila F z ). o je ila koja je odgovona za

4 16 činjenicu da atelit ia noalno (centipetalno) ubzanje na vojoj putanji. Po III Njutnovo zakonu atelit deluje na Zelju, pivalčeći je ilo itog intenziteta (ila F ZS ) koja deluje na centa Zelje. Znači li to da ateli aopštava Zelji neko ubzanje? Odgovo je potvdan. Međuti, iajući u vidu znatno veću au Zelje od ae atelita, jano je da će aopšteno ubzanje Zelji biti znatno anje od ubzanja atelita (II Njutnov zakon) i biće, zapavo, toliko alo da ga je neoguće detektovati. Ako bio ueto atelit Zelja poatali pa np. knjiga Zelja, zaključci u iti. S F SZ F ZS Z S Z K F KS F SK F KZ F ZK Razotio ledeći pie. Neka je knjiga potavljena na to. Knjiga e nalazi u tanju iovanja, što znači da je ua ila koje na nju deluju jednaka nuli (I Njutnov zakon). Zaita, na knjigu deluje Zelja (ila F KZ ) pivlačeći je, a dejtvo te ile je poništeno ilo F KS itog intenziteta i pavca, a upotnog ea, kojo to deluje na nju. Ove dve ile, ipak, ne pedtavljaju pa ila, zato što obe deluju na ito telo knjigu. Pa ili F KZ je ila F ZK - pivlačenja Zelje, od F je ila F SK kojo knjiga deluje na to. tane knjige, a koja deluje na centa Zelje. Pa ili KS Dakle, paovi ila (akcija eakcija) u: F ZK = F KZ i F SK = FKS. (8) Vte ila u piodi U onovi, ve ile u piodi ogu e vtati u dve gupe ila: gavitacione (to u ile dalekog doeta i labog intenziteta, a ogu biti iključivo pivlačnog kaaktea i elektoagnetne (ogu biti i pivlačne i odbojne). Sve ile, oi gavitacione, u vojoj biti u elektoagnetne (ila tenja, pitika,...) je e na ikokopko nivou odigava elektoagnetna inteakcija izeđu atoa, olekula. Oi gonje dve gupe ila, ožeo eći da potoje još i nukleane ile koje ogu biti: ile labe inteakcije (doet i je eda 10-1 i odgovone u za tanfoaciju eleentanih četica) i ile jake inteakcije (doet i je i deluju izeđu nukleona i dže jezgo na okupu). Sila gavitacije Neki piei ila Gavitacionoj ili ožeo da zahvalio što kada iputio olovku ona padne na pod, kada podigneo kofe oećao njegovu težinu (težina nije ito što i ila gavitacije, o čeu će više eči biti kanije), što potoji atofeki ootač Zelje, što na noge ne luže kao uka već pooću njih hodao. Da nea gavitacije ne bi potojao ugljenik, kieonik, gvožđe, ne bi potojala planeta Zelja, niti Sunčev ite, niti naša, ni uedne galakije...gavitacija je ono što dži čitav koo na okupu. Sila gavitacije je ila koja deluje izeđu bilo koja dva tela poizvoljne ae.

5 F 1 -F 1 Njutnov zakon opšte gavitacije odnoi e ao na tačkata i fena tela i on glai: Svako telo pivlači dugo telo ilo koja je azena poizvodu njihovih aa, a obnuto azena kvadatu atojanja izeđu njihovih centaa. Ona deluje duž pavca koji paja cente tih tela i uvek je pivlačnog kaaktea: 1 F g = γ 0 (9) Koeficijent azenoti, u gonje izazu, e naziva univezalna gavitaciona kontanta i iznoi: 3 11 γ = (10) kg a znak inu ukazuje na iključivo pivlačni kaakte ove ile. Inače, činjenica da e pavac delovanja gavitacione ile poklapa a pavce koji paja cente tela, vtava ovu ilu u tzv. centalne ile. Zbog značaja koji ia u naše vakodnevno životu, gavitaciona ila kojo Zelja deluje na tela (a i ona na nju III Njutnov zakon) u vojoj blizini, dobila je voj poeban naziv, ila Zeljine teže. Intenzitet ile kojo Zelja pivlači telo ae koje e nalazi na viini h iznad povšine je: M M h ( ) ( ) Fg = γ = γ (11) RZ + h RZ + h M RZ (znak je netao je ila ne ože biti negativnog intenziteta). Izaz u uglatoj zagadi ia dienzije ubzanja, pa ga zato nazivao ubzanje Zeljine teže (na viini h) i pišeo: F g = g h (1) M gde je: gh = γ. (13) h 1 R Z + Rz Ako a g označio ubzanje Zeljine teže u lučaju da e telo nalazi na aoj povšini Zelje (h=0), onda je: g g h = (14) h 1 + RZ odakle jano vidio da ubzanje koje telo ia u lobodno padu, uled pivlačenja Zelje, nije kontantno i da zavii od viine na kojoj e telo nalazi. Ako zaenio u izaz (13) vednoti za 4 au Zelje i njen polupečnik (atajući je idealno feo), M = kg i R 6 Z = , dobićeo da je ubzanje Zeljine teže na povšini (i jako ali h): g = Međuti, ni ova vednot nije ita vuda u blizini povšine Zelje. Naie, Zelja nije idealna fea, već je poljoštena na polovia (njen ekvatoijalni adiju e azlikuje od polanog adijua za čitavih 1 k). akođe, Zelja otia, što znači da delovi njene ae opiuju kužne putanje, pa ai ti iaju ubzanje ueeno ka centu Zelje. Zbog oba ova efekta g zavii od geogafke šiine i ia vednot koju o izačunali ao u oblati oko 50 0 geogafke šiine. Kako g zavii od geogafke šiine ože e videti a cteža dole.

6 g( / ) geogafka šiina tela od centa Zelje. Na kaju, upitajo e šta e dešava u lučaju da je h 0, tj. deluje li ila Zeljine teže i na tela koja bi upala u tunel ikopan ka centu Zelju? Odgovo je potvdan, ti što je ila gavitacije tada azena atojanju od centa Zelje do tog tela. Ne ulazeći u detalje objašnjenja ovoga, ecio ao da je to ezultat činjenice da telo oeća pivlačno dejtvo onog dela Zelje koji e nalazi unuta fee adijua, dok ne oeća pivlačenje dela van tog adijua. Kada bi tunel bio pokopan koz celu Zelju, telo bi e ketanje tela koz njega bi bilo poto haonijko ocilovanje ( o to ketanju ćeo učiti kanije). Na lici dole deno pedtavljeno je kako e enja gavitaciona ila koja deluje na telo jedinične ae, u zavinoti od atojanja g F/ g M ~ ~1/ g/4 g/9 Noalna ila R Z R Z 3R Z Kada telo pitika neku podlogu, tada ona na njega deluje ilo čiji e pavac poklapa a pavce noale na kontaktnu povšinu, a e je od te povšine. o je tzv. noalna ila ( N ). Razotio čeu je jednak intenzitet te ile u lučaju kada telo ae iuje: a. na hoizontalnoj podlozi, b. na toj avni U oba lučaja potavićeo ulov da ua vih ila koje na telo deluju oa biti jednaka nuli (telo iuje), uziajući a pedznako + one ile čiji e e poklapa a eo y oe, a a pedzanko - ile čiji je e upotan. y N a. F R = 0 = N + g 0 = N g N = g (15) Dakle, u lučaju kada telo iuje na hoizontalnoj podlozi, noalna ila je jednaka po intenzitetu ili teže koja deluje na telo. g

7 19 y N b. po pavcu y oe telo ne ože da e keće (ada ože da e pušta niz tu avan), pa je u to pavcu: θ g θ F R = 0 = N + g 0 = N g coθ N = g coθ (16) Noalna ila je jednaka pojekciji ile teže na y ou. Na ledeći likaa pokazano je kako noalna ila deluje u nekoliko azličitih lučajeva. N N N N 1 Sila zatezanja Ako na telo vežeo neki konac (uže) i vučeo uko, na konac će delovati ila zatezanja 1. Po III Njutnovo zakonu i konac će delovati na uku ilo itog intenziteta i pavca, a upotnog ea. S duge tane, konac deluje na telo ilo, i u kladu a III Njutnovi 1 1 zakono telo deluje na konac ilo itog intenziteta i pavca, a upotnog ea. Ako je konac neitegljiv (što ćeo uvek atati činjenico bez poebnog naglašavanja), onda vaka tačka konca ia ito ubzanje kao i telo (za ito vee vaka tačka konca i telo oaju peći iti put kećući e ubzano). akođe ćeo atati da je aa konca zanealjiva u odnou na telo. Poledica ova dva tvđenja je da ua vih ila koje deluju na bilo koju tačku konca, oa biti jednaka nuli ( = a = 0 a = 0 ), odnono, (vidi liku): F ez F ez = = 1 + = 0 1 = 1 (17) Dakle, ila zatezanja je jednaka (po intenzitetu) ili koja deluje na uku. Ona uvek ia pavac konca, a e joj je od tela. Iti zaključak e ože izveti i za lučaj tela koje vii na užetu, ili dva tela koja vie na kajevia konca koji je pebačen peko kotua zanealjive ae (konac kliza peko kotua). Ako aa kotua nije zanealjva (ili konac ne kliza peko kotua) onda kotu otia, a to je poble koji ćeo azatati kanije.

8 0 Sila tenja i otpoa edine U vi doadašnji pieia koje o azatali peko jedne činjenice o pećutno pelazili, a to je potojanje ile koja e upottavlja ketanju, ile tenja. Razišljati o vetu u koe nea ile tenja je pilično beileno. Naie, u onovi ila tenja je elektoagnetne piode i javlja e zato što e atoi (olekuli) unuta jednog tela (ili na povšini dva tela koja e dodiuju) eđuobno pivlače. o znači, da nea ove ile ne bi bilo ni atoa na okupu, olekula, odnono ne bi bilo ni čvtih tela, tečnoti, gaova. Zahvaljujući ili tenja olovka koju zakotljao po tolu pole izvenog veena tane, ali zahvaljujući itoj ili olovku ožeo džati u uci ili njoe ožeo piati. ečnot puža otpo ketanju čvtog tela koz nju (plivač avlađuje otpo vode) ali neke tečnoti (ašinka ulja) luže da anje tenje izeđu delova ašine koji u u elativno ketanju jedan u odnou na dugi. Vazduh puža otpo ketanju letilice, ali oogaćava ketanje padobanu. Da nea tenja ne bio ogli da hodao, okećeo pedale bicikla, da vozio bicikl u kug, da vezujeo čvoove, ukucavao ekee itd. Sila tenja e javlja e izeđu: čvtih tela, čvtih tela i fluida (tečnoti i gaova) lojeva fluida. Kada e dve uve, nepodazane, povšine čvtih tela klizaju jedna peko duge, intenzitet ile tenja (klizanja) je dat izazia: F N tatičko tenje (18) µ F = µn dinaičko tenje (19) gde je N intenzitet noalne ile, a µ i µ u koeficijent tatičkog i dinaičkog tenja, edo. Noalna ila i ila tenja zaklapaju uvek pav ugao, a koeficijent tenja je bezdienziona kontantna veličina koja ne zavii od elativne bzine, niti od veličine kontaktne povši izeđu dva tela. Dakle, ila tenja potoji izeđu dva tela (ili lojeva jednog tela) koji e elativno keću (ili potoji težnja da e keću) jedan u odnou na dugi. Ona deluje u pavcu tangente na dodinu povšinu i ueena je uvek u eu elativne bzine upotne povšine. Da bio bliže objanili pethodno tvđenje azotio pie na lici. F F 1 v Neka telo 1 iuje, a telo e keće u odnou na njega bzino v ( leva u deno) Uled toga na dodinoj povšini javlja e ila tenja koja deluje na telo, itog pavca, a upotnog ea od ea njegove bzine i to je ila F. Ito tako ožeo eći i da telo iuje, a da e telo 1 keće u odnou na njega bzino v ( dena u levo) što bi značilo da je ila F u eu bzine dodine povšine tela 1, ali deluje

9 1 na telo. Ako peko dlana jedne uke pevučete dlan duge uke oetićete toplotu (koja je ezultat tenja) i na jedno i na dugo dlanu, nikako ao na jedno. ako i u ovo lučaju: ako e telo 1 upottavilo ketanju tela delujući ilo F, onda (III Njutnov zakon) e i telo upottavlja ' elativno ketanju tela 1 delujući na njenga ilo F ', pi čeu je F = F (pa ila). Vidio da ' je e ile F iti kao e elativne bzine upotne povšine (tela ). Oi goe poenutog tenja klizanja potoji i tenje kotljanja koje je po vo intenzitetu anje od tenja klizanja (zato e bačena lopta kotlja, a ne kliza po podlozi). Ako e telo keće koz neki fluid (vazduh ili vodu, np.) na njega deluje ila lična tenju koja e anifetuje kao otpo ketanju tela i naziva ila otpoa čiji intenzitet zavii od bzine, pavac e poklapa a pavce bzine, a e je upotan od ea bzine: F o = cont v (0) ******************************************************************************** Sao za one koji žele da znaju više Neka telo pada koz vazduh bzino dovoljno da e iza tela potok vazduha ože atati tubulentni (ovo e ože odnoiti na golf lopticu u padu ili na padobanca, ali ne i na četice pašine koje padaju tako ali bzinaa, da, budući i da vazduh u potoiji nikada ne iuje, jedan deo pašine nikada ne padne na pod obe). pod ovi ulovia ila otpoa je : 1 F ot = CρSv (1) gde je, C bezdienzioni koeficijent otpoa edine koji zavii od oblika tela koje e keće (obično je izeđu 0.5 i 1), ρ je gutina vazduha, a S je povšina popečnog peeka tela koje pada. Kada e telo puti iz iovanja u lobodan pad, njegova bzina ate, a ai ti ate i ila otpoa ve dok ne potane jednaka njegovoj težini. U to tenutku je ua vih ila koje na telo deluju jednaka nuli, pa e telo nadalje keće kontantno bzino koju nazivao ganično bzino. Dakle, za azliku od vakuua, pi lobodno padu tela koz vazduh oguće je da e telo keće bez ubzanja. Izjednačavajući F ot a g, dobijao da je ganična bzina: g v g = () C ρ S Odavde vidio da što je povšina peeka tela anja ganična bzina je veća. Zato kijaš zauzia telo oblik ličan jajetu, da bi povećao bzinu, a padobanac želi da poveća povšinu padobana kako bi anjio ganičnu bzinu. I na kaju, kao poebnu zaniljivot, uadio ledeći zadatak: Izačunati bzinu kojo će kapljica kiše čiji je adiju R=1.5 pati na zelju iz oblaka na viini h=100, ako je gutina kg 3 kg vazduha ρ 1 = 1., gutina vode ρ 3 = 10, koeficijent otpoa vazduha C=0.6, u lučaju da 3 potoji ila otpoa vazduha i u lučaju da otpo vazduha ne potoji. Rad: Satajući da je kapljica kiše idealna fea, au joj ožeo naći iz izaza: ρ 4 3 R π = ρv =, a povšinu iz S = πr. Zaeno u izaz () dobićeo da je u lučaju da 3 potoji ila otpoa, ganična bzina (a to će biti bzina kojo će kapljica pati na tlo):

10 3 3 kg Rρ g 3 v g = = = Cρ kg U lučaju da nea otpoa edine, bzinu nalazio iz: v = gh = = 153 Kako koentaišete ezultat? Sve što ožeo da kažeo je da je dobo što potoji ila otpoa je bez nje teško da bi Šekpi napiao:...it falleth like the gentle ain fo heaven, upon the place beneath. ******************************************************************************** Elatična ila Do ada o kao poledicu delovanja ile navodili ao ketanje. Međuti, potoji još jedna oguća poledica delovanja ile na neko telo, a to je defoacija tela (poena oblika i zapeine). a defoacija ože biti elatična, kada telo pole petanka dejtva ile vaća pvobitan oblik i veličinu, ili platična, kada to nije lučaj. Potoje azličiti tipovi defoacije u zavinoti od pavca i ea dejtva ile (itezanje, abijanje, icanje...). Objašnjenje pojave ovih ila leži u atokoj, tj. olekulkoj tuktui tela. Čvta tela u atavljena od velikog boja ueđenih atoa ili olekula koji u eđuobno povezani eđuolekulki ilaa. Pioda veza izeđu četica, njihova veličina, oijentacija i ulovi pi kojia u veze otvaene dovodi do bogattva azličitih tuktua. Ove veze e ogu odelovati opugaa. Međuobni položaj četica u vezi je odeđen piodno težnjo vih fizičkih itea da iaju inialnu potencijalnu enegiju. o ulovu odgovaa atojanje izeđu četica koje e naziva avnotežno atojanje. Zato e piliko np. abijanja tela javljaju ile koje deluju odbojno a cilje da e četice vate u avnotežni položaj i zauzu avnotežno atojanje. x F e Na lici je pedtavljen tanak hoogeni štap dužine x koji je na jedno kaju učvšćen, a na njegov dugi kaj deluje ila F koja vši itezanje štapa i poenu njegove dužine za vednot x. Zbog elatičnih oobina ateijala od koga je štap napavljen u njeu e javlja ila F e koja teži da poništi dejtvo ile F i vati štap u avnotežni položaj. a ila je azena izduženju x, ia iti pavac i upotan e od ile F : = k x (3) F e x Koeficijent k azenoti e naziva koeficijent elatičnoti i on zavii od fizičkih oobina ateijala od koga je štap napavljen, kao i od njegovog F oblika i veličine. Veličina x naziva e vekto itezanja ( x = x x 0, gde je x 0 -jedinični vekto). Ekpeientalno je utvđeno da je izduženje azeno ili defoacije i početnoj dužini štapa, a obnuto azeno povšini njegovog popečnog peeka (S): F x Fe x x x = = Fe = E S (4) E S E S x

11 3 Koeficijent azenoti (E) e naziva Jungov odul elatičnoti, a veličina a izaz (4) e naziva Hukov zakon. x x elativno itezanje, Centipetalna ila Do ada o naučili da telo koje e keće po kužnoj putanji oa iati noalno ubzanje koje je poledica poene vektoa bzine po pavcu. Ovo ubzanje o nazivali još i adijalno ili centipetalno ubzanje. Uzok ovakvo ketanju oa biti ila i ona je jednaka poizvodu ae tela i centipetalnog ubzanja i naziva e centipetalna ila: v Fcp = acp = 0 = ω 0 (5) Centipetalna ila nije poeban tip ile, već bio ogli eći da je to, zapavo, uloga koju peuzia neka od anije navedenih ila. ako, na pie, Meec kuži oko Zelje zbog ile gavitacije kojo ga ona pivlači i koja, u ovo lučaju, ia ulogu centipetalne ile. Ako telo zakačeno za konac otia oko oe koja polazi koz tačku kačenja konca, onda je ila zatezanja odgovona za to što telo opiuje kužne putanje, odnono, ila zatezanja ia ulogu centipetalne ile. Elekton kuži oko jezga, pa je elektoagnetna ila ujedno i centipetalna. Autoobil u kivini otaje na kužnoj putanji zahvaljujući ili tenja izeđu točkova i puta koja ia ulogu centipetalne ile, a ako vi, kao putnik u autoobilu, pi to kliznete a edišta, to ao znači da ila tenja izeđu va i edišta nije bila dovoljnog intenziteta da obezbedi centipetalno ubzanje neophodno da otanete na putanji kužnog oblika.

Dinamika Oblast mehanike koja proučava kretanje uzimajući u obzir uzroke kretanja i osobine tela koja se kreću. Dinamika

Dinamika Oblast mehanike koja proučava kretanje uzimajući u obzir uzroke kretanja i osobine tela koja se kreću. Dinamika Oblast ehanike koja poučava ketanje uziajući u obzi uzoke ketanja i osobine tela koja se keću. Sila i asa (P 34) Njutnovi zakoni ehanike (P 35-37) Težina tela, gustina (P 38-40) specifična zapeina i gustina.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

VEŽBE Elektrostatika

VEŽBE Elektrostatika VEŽBE Elektostatika Još jedna supepozicija Pime ti azličito naelektisana tela Odedite sme sile na naelektisanje q: Odedite sme sile na naelektisanje q: Elektično polje pikazano linijama sila stvaaju dva

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Primer 3.1 Ugaona brzina i ugaono ubrzanje prenosnog elementa:

Primer 3.1 Ugaona brzina i ugaono ubrzanje prenosnog elementa: Pie 3.1 Mehnički ite, ikzn n lici, keće e u vni ctež. Ketnje enonog eleent definiše njegov ugo otcije ϕ ( t) eltivno ketnje definiše koodint ( ) t. Podci u: ϕ( t ) t, ( t) 3t t, b 1, ( t[ ], [ ], ϕ[ d

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela. 14. dio

Dinamika krutog tijela. 14. dio Dnaka kutog tjela 14. do 1 Pojov: 1. Vekto sle F (tanslacja). Moent sle (otacja) 3. Moent toost asa 4. Rad kutog tjela A 5. Knetka enegja E k 6. Moent kolna gbanja 7. u oenta kolne gbanja oenta sle M (

Διαβάστε περισσότερα

VEKTOR MOMENTA SILE ZA TAČKU. Vektor momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za. proizvoljno izabranu tačku.

VEKTOR MOMENTA SILE ZA TAČKU. Vektor momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za. proizvoljno izabranu tačku. VEKTOR OENT SILE Z TČKU Vekto momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za poizvoljno izabanu tačku pedstavlja meu obtnog dejstva sile u odnosu na tu poizvoljno izabanu tačku. Ovde je tačka momentna

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

. (2.116) v r. Prvi član s desne strane (2.119) je jednak nuli iz razloga što su vektori v = i p kolinearni: r r r. r d L0 =. (2.

. (2.116) v r. Prvi član s desne strane (2.119) je jednak nuli iz razloga što su vektori v = i p kolinearni: r r r. r d L0 =. (2. 48 DINAMIKA.9 Dinamika otacije.9. Momentna jednačina za mateijalnu tačku Posmatamo kivolinijsko ketanje mateijalne tačke, mase m, koja u datoj tački putanje ima bzinu v, vekto položaja u odnosu na efeentnu

Διαβάστε περισσότερα

KOČENJE ASINHRONOG MOTORA

KOČENJE ASINHRONOG MOTORA Potoje ti načina kočenja: KOČENJE ASINHRONOG OTORA 1. Rekupeativno;. Potivtujno na dva načina; 3. Dinamičko ili kočenje jednomenom tujom. 1. REKUPERATIVNO Pokazano je da ainhoni moto adi kao ainhoni geneato

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

2 DINAMIKA Uvod sile masu zakonima dejstva sile rezultujuće sile 2.1 Njutnovi zakoni apsolutnosti prostora apsolutnosti vremena

2 DINAMIKA Uvod sile masu zakonima dejstva sile rezultujuće sile 2.1 Njutnovi zakoni apsolutnosti prostora apsolutnosti vremena ..1 Njutnovi akoni 5 DINAMIKA Uvod U svakodnevnom životu uočavamo tela koja menjaju svoju binu-odnosno ubavaju. Pi tome smo siguno u neposednom okuženju uočili tela koja dopinose ovim pomenama. Dakle,

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA ELEKTRIČNIH STROJEVA PRIMJENOM RAČUNALA

ANALIZA ELEKTRIČNIH STROJEVA PRIMJENOM RAČUNALA S V E U Č I L I Š T E U Z A GR E U F A K U L T E T E L E K T R O T E H NI K E I R A Č U N A R S T V A Z A V O D Z A E L E K T R OST R OJ A R S T V O I A U T O M A T I Z A C I J U ANALIZA ELEKTRIČNIH STROJEVA

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Fizika za studente na Departmanu za matematiku i informatiku na PMF-u u Novom Sadu

Fizika za studente na Departmanu za matematiku i informatiku na PMF-u u Novom Sadu d Fedo Skuban Fizika za studente na Depatmanu za matematiku i infomatiku na PMF-u u Novom Sadu Depatman za fiziku, PMF Novi Sad Fizičke veličine. SI sistem jedinica 4 Osnovni pojmovi kinematike 0 Bzina

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Fizika. Mehanika Sadržaj. dr Fedor Skuban. I godina studija na Tehnološkom fakultetu u Novom Sadu. Departman za fiziku, PMF Novi Sad

Fizika. Mehanika Sadržaj. dr Fedor Skuban. I godina studija na Tehnološkom fakultetu u Novom Sadu. Departman za fiziku, PMF Novi Sad d Fedo Skuban Fizika I godina studija na Tehnološkom fakultetu u Novom Sadu Depatman za fiziku, PMF Novi Sad Elementi vektoskog ačuna 4 Fizičke veličine. SI sistem jedinica 8 Osnovni pojmovi kinematike

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

POGON SA ASINHRONIM MOTOROM

POGON SA ASINHRONIM MOTOROM OGON SA ASNHRON OTORO oučavaćemo amo ogone a tofaznim motoom. Najčešće koišćeni ogon. Ainhoni moto: - ota kontukcija; - jeftin; - efikaan. ETALN RSTEN LANRANO JEZGRO BAKARNE ŠKE KAVEZN ROTOR NAOTAJ LANRANO

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROMOTORNI POGONI SA ASINHRONIM MOTOROM

ELEKTROMOTORNI POGONI SA ASINHRONIM MOTOROM ELEKTROOTORNI POGONI SA ASINHRONI OTORO Poučavamo amo pogone a tofaznim motoom. Najčešće koišćeni moto u elektomotonim pogonima. Ainhoni moto: - jednotavna kontukcija; - mala cena; - vioka enegetka efikanot.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) n. Ukupni kapacitet od n usporedno (paralelno) spojenih kondenzatora možemo naći iz izraza

( ) ( ) n. Ukupni kapacitet od n usporedno (paralelno) spojenih kondenzatora možemo naći iz izraza Zadatak 08 (Maija ginazija) Dva uspoedno spojena kondenzatoa i seijski su spojeni s kondenzatoo kapaciteta. Koliki je ukupni kapacitet? Nactajte sheu. Rješenje 08 =? Ukupni kapacitet od n seijski spojenih

Διαβάστε περισσότερα

navedene uslove naziva se stacionarnim v r B tokom fluida. Deo fluida ograničen dvema A B

navedene uslove naziva se stacionarnim v r B tokom fluida. Deo fluida ograničen dvema A B 5. Benulijea jednačina 67 5. DINAMIKA FLUIDA Petpostaićemo da je fluid nestišlji, odn. da je gustina fluida nezaisna od ednosti pitiska u fluidu, i da je bzina fluida u datoj tački postoa ista za se čestice

Διαβάστε περισσότερα

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I . Otnik tnsti = 00, kalem induktivnsti = mh i kndenzat kaacitivnsti = 00 nf vezani su aaleln, a između njihvih kajeva je usstavljen steidični nan efektivne vednsti = 8 V, kužne učestansti = 0 5 s i četne

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Određivanje položaja i trajektorije materijalne tačke 1 KINEMATIKA

1.1 Određivanje položaja i trajektorije materijalne tačke 1 KINEMATIKA 11 deđivanje položaja i tajektoije mateijalne tačke 1 1 KINEATIKA 11 deđivanje položaja i tajektoije mateijalne tačke snovni zadatak fizike (ϕνσιξ pioda) je izučavanje osnovnih svojstava piode, a jedno

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Rad i energija. Rad i energija

Rad i energija. Rad i energija Rad (P 45-46) Snaga (P 46) Energija (P 46-5) Potencijalna energija. Kinetiča energija Zaon održanja energije (P 5-5) Da bi rad bio izvršen neohodno je otojanje ile. Sila vrši rad: ri omerenju tela jednog

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA, ENERGIJA

RAD, SNAGA, ENERGIJA RAD, SNAGA, NRGIJA Mehanički ad Fiički smisao ada se u mnogome alikuje od našeg svakodnevnog oimanja ada. Zato odmah ecimo da je ad skalani oivod sile od čijim dejstvom telo učini neki omeaj i tog omeaja:

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

λ λ ν =. Zadatak 021 (Zoki, elektrotehnička škola) Dva zvučna vala imaju intenzitete 10 i 600 mw/cm 2. Za koliko se decibela razlikuju ta dva zvuka?

λ λ ν =. Zadatak 021 (Zoki, elektrotehnička škola) Dva zvučna vala imaju intenzitete 10 i 600 mw/cm 2. Za koliko se decibela razlikuju ta dva zvuka? Zadatak (Zoki, elektrotehnička škola) Da zučna ala iaju intenzitete i 5 W/c. Za koliko e decibela razlikuju ta da zuka? Rješenje I = W/c = W/, I = 5 W/c = 5 W/, I = - W/, L L =? Tražio razliku intenziteta

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Rad sile r (5.1)

Rad sile r (5.1) ELEKTROTEHNIČKI FKULTET SRJEVO INŽENJERSK FIZIK I -- Pedavanja II dio -- 5.. RD, SNG I ENERGIJ 5... Rad sile Pomjeanje mateijalne točke po nekom pavolinijskom putu s pod djelovanjem sile F u mehanici se

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

ROTACIJA. rad. rad. 24 s. m s

ROTACIJA. rad. rad. 24 s. m s OTACJA ZAD: Na hoizotaloj ploči, koja e ože oketati oko etikale oi, iuje tijelo a udaljeoti od edišta ploče. loča e počije oketati tako da joj bzia potupo ate. oeicijet teja izeďu tijela i ploče izoi 0,.

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika. dinamika. Сила Њутнови закони кретања Тежина, трење и друге силе Основне силе у природи Статика

Mehanika. dinamika. Сила Њутнови закони кретања Тежина, трење и друге силе Основне силе у природи Статика Сила Њутнови закони кретања Тежина, трење и друге силе Основне силе у природи Статика Galileo Galilei, (1564-1642) Isaac Newton (1643 1727) Mehanika dinamika 1 14., 15. i 16. 10. 2015. Njutnova kolevka,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

2. OSNOVNE TEORIJSKE POSTAVKE

2. OSNOVNE TEORIJSKE POSTAVKE SADR AJ Uvod Onovne teoijke potavke 3 Model ainhonog otoa 3 Klakova tanfoacija 5 3 Pakova tanfoacija 6 4 Relativizacija jedna ina 5 Indiektna vektoka kontola 6 Koini ki odel pege IVKAM 5 7 Ode ivanje paaetaa

Διαβάστε περισσότερα

ρ = ρ V V = ρ m 3 Vježba 101 Koliki obujam ima komad pluta mase 2 kg? (gustoća pluta ρ = 250 kg/m 3 ) Rezultat: m 3.

ρ = ρ V V = ρ m 3 Vježba 101 Koliki obujam ima komad pluta mase 2 kg? (gustoća pluta ρ = 250 kg/m 3 ) Rezultat: m 3. Zadaak 0 (Ana Marija, ginazija) Koliki obuja ia koad plua ae kg? (guoća plua ρ 50 kg/ ) Rješenje 0 kg, ρ 50 kg/,? Guoću ρ neke vari definirao ojero ae i obuja ijela. kg ρ / 0.004. ρ ρ kg 50 jeba 0 Koliki

Διαβάστε περισσότερα

14000 ВАЉЕВО, ВУКА КАРАЏИЋА 3 ТЕЛ-ФАКС: 014/ ; ТЕЛ:014/ gimnazija.edu.rs

14000 ВАЉЕВО, ВУКА КАРАЏИЋА 3 ТЕЛ-ФАКС: 014/ ; ТЕЛ:014/ gimnazija.edu.rs 14000 ВАЉЕВО, ВУКА КАРАЏИЋА 3 ТЕЛ-ФАКС: 014/221-622; ТЕЛ:014/227-927 e-mai imvajevo@ptt. www.vajevka imnazija.edu. Peda Stojaković pofeo Vajevke imnazije FIZIKA 8 Zbika zadataka iz fizike pipema za takmičenje

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14. Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

1 MEHANIČKI PRENOSNICI SNAGE

1 MEHANIČKI PRENOSNICI SNAGE MEHANIČKI RENOSNICI SNAGE enosnik u najšiem smislu pedstavlja mašinsku gupu ili mašinu, čiji je zadatak penošenje mehaničke enegije od pogonske mašine ka adnoj mašini. Znači, uvođenje penosnika () kao

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

m m ( ) m m v v m m m

m m ( ) m m v v m m m Zadatak (Ria, ginazija) Autoobil raketni pogono započne e iz tanja iroanja ubrzaati zbog potika rakete Potiak traje 5, a ubrzanje iznoi 5 / Nakon gašenja raketnog pogona autoobil e natai gibati kontantno

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga i energija. Dinamika. 12. dio

Rad, snaga i energija. Dinamika. 12. dio Rad, snaga i energija Dinaika 1. dio Veliine u ehanici 1. Skalari. Vektori 3. Tenzori II. reda 4. Tenzori IV. reda 1. Skalari: 3 0 1 podatak + jerna jedinica (tenzori nultog reda). Vektori: 3 1 3 podatka

Διαβάστε περισσότερα

ILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Elektrostatika. Električni potencijal Električni napon. Osnove elektrotehnike I: Elektrostatika

ILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Elektrostatika. Električni potencijal Električni napon. Osnove elektrotehnike I: Elektrostatika TEHNIČKI FKULTET SVEUČILI ILIŠT U RIJECI Zavod za elektoenegetiku Studij: Peddiplomski stučni studij elektotehnike Kolegij: Osnove elektotehnike I Pedavač: v. ped. m.sc. anka Dobaš Elektostatika Elektični

Διαβάστε περισσότερα

1ZUPČASTI PRENOSNICI. Položaj osa vratila pogonskog i gonjenog zupčanika

1ZUPČASTI PRENOSNICI. Položaj osa vratila pogonskog i gonjenog zupčanika ZUPČASTI PRENOSNII Zupčasti penosnici su mehanički penosnici kod kojih se opteećenje sa jednog vatila na dugo penosi pomoću zubaca u neposednom dodiivanju. Zupčasti penosni paovi odlikuju se: tačnim penosnim

Διαβάστε περισσότερα

MOMENT INERCIJE (*) Dakle, kinetička energija rotacije krutog tela može se napisati kao:

MOMENT INERCIJE (*) Dakle, kinetička energija rotacije krutog tela može se napisati kao: 35 MOMENT INECIJE Disk koji otia ili cikulaa motoa testea koja ubzao otia svakako imaju kietičku eegiju. Izaz Ek = mv, siguo ije pimeljiv, je svaki delić ovog tela koje otia opisuje kuže putaje azličitog

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

OBJEKTI POSMATRANJA U MEHANICI

OBJEKTI POSMATRANJA U MEHANICI OJEKTI POSMTRNJ U MEHNICI Pod mateijalnim telom se podazumeva deo postoa koji je nepekidno ispunjen mateijom u čvstom agegatnom stanju. Telo sa dve dimenzije zanemaljive je štap. Ploča je telo sa jednom

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Elektromagnetizam STACIONARNO MAGNETNO POLJE ELEKTROMAGNETNA SILA I VEKTOR MAGNETNE INDUKCIJE. decembar 2013

Elektromagnetizam STACIONARNO MAGNETNO POLJE ELEKTROMAGNETNA SILA I VEKTOR MAGNETNE INDUKCIJE. decembar 2013 Elektomagnetizam STACIONARNO MAGNETNO POLJE ELEKTROMAGNETNA SILA I VEKTOR MAGNETNE INDUKCIJE decemba 2013 Elektomagnetika- oblast elektotehnike u kojoj se poučavaju jedinstvene elektomagnetne pojave. Magnetne

Διαβάστε περισσότερα

t t , 2 v v v 3 m

t t , 2 v v v 3 m Zadatak 4 (Maturantia, ginazija) Zeljin atelit giba e brzino = 9 3 /. Oobi u atelitu prođe reenki interal od jedan at. Koliki je taj reenki interal na Zelji? Kolika je razlika u reenu? ( = 3 8 /) Rješenje

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα