(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier"

Transcript

1 Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

2 Πολυώνυµα Ένα πολυώνυµο βαθµού - στη µεταβλητή είναι µια συνάρτηση p της µορφής p, Οι παράµετροι,,..., ονοµάζονται συντελεστές του πολυωνύµου p. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

3 Πρόσθεση Πράξεις σε πολυώνυµα Αν p και q b τότε r p q c, c b Πολλαπλασιασµός Αν p και q b τότε s p q d, d b T Το διάνυσµα d λέγεται η συνέλιξη των διανυσµάτων, d,..., d,,..., και b., b,..., b Η κλασσική µέθοδος πολλαπλασιασµού δύο πολυωνύµων πολλαπλασιάζει κάθε όρο του p επί κάθε όρο του q και προσθέτει τα αποτελέσµατα. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

4 Πράξεις σε πολυώνυµα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η κλασσική µέθοδος αποτελεί άµεση υλοποίηση του πολλαπλασιασµού δύο πολυωνύµων. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-4

5 Πράξεις σε πολυώνυµα Πόσο χρόνο παίρνει; δεδοµένου ότι µονάδα µέτρησης χρόνος είναι ο αριθµός στοιχειωδών αριθµητικών πράξεων µεταξύ των συντελεστών των πολυωνύµων. πολλαπλασιασµοί και προσθέσεις πράξεις για κάθε συντελεστή του γινοµένου πολυωνύµου, δηλαδή, συνολικά Θ Θα δούµε πως να κάνουµε πολλαπλασιασµό µε Ο² πράξεις µε χρήση FFT Fst Fourier Trsform, η Ταχύ Μετασχηµατισµό Fourier. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-5

6 Παραστάσεις Πολυωνύµων Παράσταση µε συντελεστές Ένα πολυώνυµο παριστάνεται ως το διάνυσµα που περιέχει τους συντελεστές του: H T p p,,...,. Πρόσθεση πολυωνύµων γίνεται σε χρόνος Θ. Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων γίνεται σε χρόνο Θ² 3. Υπολογισµός της τιµής ενός πολυωνύµου p σε κάποιο σηµείο c γίνεται σε - προσθέσεις και - πολλαπλασιασµούς χρησιµοποιώντας τον κανόνα του Horer. p c c c... c c... ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-6

7 Παραστάσεις Πολυωνύµων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ p 7³ - ² 35 9 pc 9 c35 c- 7c Tικερδίζουµε µε τον κανόνα του Horer; O αριθµός των πολλαπλασιασµών πέφτει περίπου στο µισό από τον αριθµό των πολλαπλασιασµών που εξασφαλίζει η προφανής µέθοδος υπολογισµού του pc: ; p[]; for ; < ; c; c[][]; p pc[]; ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-7

8 Παραστάσεις πολυωνύµων Παράσταση µε τιµές σε σηµεία Το πολυώνυµο p παριστάνεται µε ένα σύνολο από ζεύγη σηµείωντιµών,,,,...,, i τέτοια ώστε όλα τα είναι διάφορα µεταξύ τους και p, Ένα πολυώνυµο µπορεί να έχει πολλές διαφορετικές παραστάσεις µε τιµές σε σηµεία αλλά µόνο µια παράσταση µε συντελεστές. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-8

9 Παραστάσεις πολυωνύµων Mε παράσταση πολυωνύµων µε τιµές σε σηµεία µπορούµε να πετύχουµε:. Πρόσθεση πολυωνύµων σε χρόνο Θ {,,,,..., {, ',,',...,, {, ',, ',...,, '} '}. Πολλαπλασιασµό πολυωνύµων σε χρόνο Θ. 3. Υπολογισµό της τιµής ενός πολυωνύµου σε ένα καινούριο σηµείο σε χρόνο Θ² µε µετατροπή σε παράσταση συντελεστών και χρήση κανόνα του Horer., } ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-9

10 Μετατρέποντας ανάµεσα στις δύο παραστάσεις Υπολογισµός παράστασης µε τιµές σε σηµεία από παράσταση µε συντελεστές ιάλεξε διαφορετικά σηµεία και υπολόγισε τις τιµές του πολυωνύµου σε αυτά µε τον κανόνα του Horer. Κόστος:Θ² Υπολογισµός παράστασης µε συντελεστές από παράσταση µε τιµές σε σηµεία Πολυωνυµική Παρεµβολή ΘΕΩΡΗΜΑ Για οποιοδήποτε σύνολο από ξεχωριστά ζεύγη σηµείων-τιµών {,,,,...,, } υπάρχει ένα µοναδικό πολυώνυµο βαθµού -, p, τέτοιο ώστε p, ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

11 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9- Μετατρέποντας ανάµεσα στις δύο παραστάσεις ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αφού έχουµε O πίνακας λέγεται πίνακας Vdermode., p ,..., V

12 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9- Μετατρέποντας ανάµεσα στις δύο παραστάσεις Μπορεί να αποδειχθεί ότι Αφού όλα τα ζεύγη είναι διαφορετικά, D, συνεπώς ο V είναι αντιστρέψιµος και υπάρχει µοναδική λύση < V D,...,,...,, V

13 Αλγόριθµοι πολυωνυµικής παρεµβολής Αλγόριθµος Προσδιόρισε τα,,..., λύνοντας το σύστηµα στο προηγούµενο θεώρηµα µε αλγόριθµους επίλυσης γραµµικών συστηµάτων, κεφάλαιο 3. Χρόνος εκτέλεσης: Θ³ Αλγόριθµος Χρησιµοποιεί τον τύπο Lgrge: p Π Π ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

14 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-4 Αλγόριθµοι πολυωνυµικής παρεµβολής ΛΗΜΜΑ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Υπολογίζουµε τους όρους του αθροίσµατος χωρίζοντάς τους σε δύο κατηγορίες: Αν l αφού ο παράγοντας δηµιουργείται στον αριθµητή όταν ο δείκτης πάρει την τιµή l., l p l l l l p Π Π Π Π Π l l l

15 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-5 Αλγόριθµοι πολυωνυµικής παρεµβολής Aν l Έτσι ΘΕΩΡΗΜΑ Ο τύπος Lgrge µπορεί να χρησιµοποιηθεί για πολυωνυµική παρεµβολή σε χρόνο Θ². l l Π Π Π Π l l l l p

16 Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier O ταχύς µετασχηµατισµός Fourier µας επιτρέπει. στην παράσταση µε συντελεστές, πολλαπλασιασµό πολυωνύµων σε χρόνο Θ lg. στην παράσταση µε τιµές σε σηµεία, πολυωνυµική παρεµβολή σε χρόνο Θ lg ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-6

17 Μιγαδικές ρίζες της µονάδας Μια µιγαδική -ιοστή ρίζα της µονάδας είναι ένας µιγαδικός αριθµός τέτοιος ώστε Υπάρχουν ακριβώς µιγαδικές -ιοστές ρίζες της µονάδας: πi e π π cos i si, Επαλήθευση: e πi e πi cos π i si π Συµβολισµός: Γράφουµε e πi ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-7

18 Μιγαδικές ρίζες της µονάδας Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών ριζών της µονάδας στο µιγαδικό επίπεδο: Im i - Re -i ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-8

19 Ιδιότητες των µιγαδικών ριζών της µονάδας. Για οποιουσδήποτε ακέραιους,, d>, ΑΠΟ ΕΙΞΗ d d πid πi d d e d e. Για οποιοδήποτε άρτιο ακέραιο >, ΑΠΟ ΕΙΞΗ / e πi e πi ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-9

20 Ιδιότητες των µιγαδικών ριζών της µονάδας 3. Ιδιότητα µοιράσµατος Για οποιοδήποτε άρτιο ακέραιο >, τα τετράγωνα των µιγαδικών -ιοστών ριζών της µονάδας είναι οι / µιγαδικές /-ιoστές ρίζες της µονάδας. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Από την ιδιότητα για οποιοδήποτε µη αρνητικό ακέραιο. / Επίσης / ηλαδή, οι µιγαδικές -ιοστές ρίζες και έχουν το ίδιο τετράγωνο που είναι η µιγαδική -ιοστή ρίζα της µονάδας. Αφού όλες οι /-ιοστές ρίζες της µονάδας είναι διάφορες µεταξύ τους, συµπεραίνουµε ότι η ιδιότητα ισχύει. / / ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

21 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9- Ιδιότητες των µιγαδικών ριζών της µονάδας 4. Για οποιοδήποτε ακέραιο, και µή-διαιρετό από το, AΠΟ ΕΙΞΗ Αφού το δεν διαιρεί το, ο παρονοµαστής ισούται µε cos π/ icosπ/ και η ιδιότητα έπεται.

22 ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Έστω πολυώνυµο p το οποίο µας δίδεται ως το διάνυσµα των συντελεστών του,,... Έστω όπου p Το διάνυσµα είναι ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier του διανύσµατος p. Συµβολικά:,,...,... p DFT. T ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

23 ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Πως µπορούµε να υπολογίσουµε το διακριτό µετασχηµατισµό του πολυωνύµου p, DFT; Υποθέτοντας ότι το είναι άρτιος, θέτουµε q r Το πολυώνυµο q περιέχει όλους τους συντελεστές του p µε άρτιους δείκτες, ενώ το πολυώνυµο r όλους τους συντελεστές µε περιττούς δείκτες. Ισχύει ότι p q² r² ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

24 ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Η πιο πάνω σχέση υπαγορεύει τον πιο κάτω αλγόριθµο για τον υπολογισµό της τιµής του πολυωνύµου p στις -ιοστές ρίζες της µονάδας:. Υπολόγισε την τιµή των πολυωνύµων q και r στα σηµεία. συνδύασε τα αποτελέσµατα σύµφωνα µε την εξίσωση p q² r² 3. Από την ιδιότητα του µοιράσµατος, τα σηµεία είναι ακριβώς τα σηµεία,, /, /,...,,...,,..., Έτσι υπολογισµός του DFT p ανάγεται στους υπολογισµούς των DFT / r και DFT / q. / / ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-4

25 DFT { } if else ; q, r, DFT DFT for ; Ο Αλγόριθµος ; ; -; [] [] []; [ /] [] []; e retur retur 3,...,,..., / / q; r; πi/ / [],[],...,[-] Αυτή η αναδροµικότητα οδηγεί στον εξής διαίρει και βασίλευε αλγόριθµο για υπολογισµό DFT ο οποίος είναι γνωστός ως ταχύς µετασχηµατισµός Fourier. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-5

26 Απόδειξη ορθότητας Mε τη µέθοδο της επαγωγής: Η βάση της αναδροµής είναι προφανώς ορθή. Από την υπόθεση της επαγωγής έχουµε ότι για / [] r Aρα για / [] q q q p / / [ ] [ ] /, [ ] r r / ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-6

27 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-7 Απόδειξη ορθότητας ενώ οι τιµές [/ ], / - δίνονται ως: όπως χρειάζεται. } { ] [ ] [ /] [ / / / / / / / / / p r q r q r q r q

28 Χρόνος Εκτέλεσης Έστω T ο χρόνος εκτέλεσης της DFT. Aφού ο χρόνος εκτέλεσης για την εκτέλεση των πράξεων µέσα στο βρόχο είναι γραµµικός Ο4, έχουµε: Τ T/. Από το θεώρηµα γενικής χρήσης παίρνουµε ότι: Τ Θ lg. Άσκηση: Να υπολογίσετε το DFT<,,3,4> ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-8

29 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-9 Πολυωνυµική παρεµβολή στις µιγαδικές ρίζες της µονάδας Σε µορφή γινοµένου πινάκων, ο ορισµός του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier, µπορεί να δοθεί ως εξής: Πίνακας Vdermode µε σηµεία τις -ιοστές µιγαδικές ρίζες του. Στη θέση, του πίνακα έχουµε την τιµή """" "! """" " ] [, V

30 Πολυωνυµική παρεµβολή στις µιγαδικές ρίζες της µονάδας Έτσι Λήµµα V [, ] V Απόδειξη είχνουµε ότι για V όπως ορίζεται στην εκφώνηση του λήµµατος ισχυεί ότι V I V ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

31 Πολυωνυµική παρεµβολή στις µιγαδικές ρίζες της µονάδας Εχουµε Αν, τότε V V V [, ' ] V [, ' ] V [,] V ' ' [, ' ] ιαφορετικά, από την ιδιότητα 4 των µιγαδικών ριζών της µονάδας έχουµε: V V [, ' ] ' Παρατηρούµε ότι οι συνθήκες της ιδιότητας εξασφαλίζονται αφού -- ' - - έτσι ώστε ο ακέραιος '- δεν είναι διαιρετός από το. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

32 Αντίστροφος DFT Από το λήµµα συµπεραίνουµε ότι Παρατηρούµε ότι Βλέπουµε ότι υπάρχει ένας δυισµός µεταξύ των διανυσµάτων p και, ως προς το διακριτό µετασχηµατισµό Fourier και τον αντίστροφό του. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

33 Αντίστροφος DFT Αυτός ο δυισµός συνεπάγεται ότι και ο αντίστροφος διακριτός µετασχηµατισµός Fourier µπορεί να υπολογισθεί σε χρόνο Θ lg : µε παραλλαγή του ταχέως µετασχηµατισµού Fourier, όπου αντικαθιστούµε το µε το - και διαιρούµε κατάλληλα µε το, όπου χρειάζεται. Γράφοντας DFT για τη διαδικασία πολυωνυµικής παρεµβολής στις µιγαδικές ρίζες της µονάδας, παίρνουµε την εξής διαδικασία για πολλαπλασιασµό δύο πολυωνύµων µε παράσταση µε συντελεστές: multiplp,q{ DFTp; bdftq; cb; retur DFT c ; } Χρονική Πολυπλοκότητα: ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-33

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 232: Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα. Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

ΕΠΛ 232: Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα. Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ 22: Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων. (α) Έστω δροµολόγηση e, e 2,, e των εργασιών, 2,,. Τότε οι χρόνοι συµπλήρωσης των εργασιών είναι e d e e 2 d e + d e 2 e d e + d

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 2-1

ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 2-1 ιαίρει και Βασίλευε Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Η Μέθοδος Σχεδιασµού Αλγορίθµων ιαίρει και Βασίλευε Επίλυση Αναδροµικών Εξισώσεων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - ιαίρει και Βασίλευε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι μιγαδικοί αριθμοί αρχικά βοήθησαν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων των οποίων η διακρίνουσα είναι αρνητική Το γενικότερο πρόβλημα βέβαια είναι ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Β Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι 1,2,3,4, Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός είναι: 0, 1, 2, 3, 4, Άρτιος αριθμός είναι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Discrete Fourier Transforms

Discrete Fourier Transforms Discrete Fourier Transforms Περίληψη Υπολογισµός πολυωνύµων Πολλαπλασιασµός Πολυωνύµων Εφαρµογές Υπολογισµός Πολυωνύµου Σχεδιάστε ένα αλγόριθµο για τον υπολογισµό του πολυωνύµου p(x) για όλες τις τιµές

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική Μάθηµα 7 Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 / 31 Γενικό πλάνο 1 Θεωρητικό Υπόβαθρο 2 Αποτελεσµατική ακριβής αριθµητική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann 3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Εισαγωγή. Υπολογιστική Αλγεβρα. Μάθηµα 7

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Εισαγωγή. Υπολογιστική Αλγεβρα. Μάθηµα 7 Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική Μάθηµα 7 Θεωρητικό Υπόβαθρο Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αποτελεσµατική ακριβής αριθµητική 3 Ταχύς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Κυκλική Συνέλιξη. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Κυκλική Συνέλιξη. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Κυκλική Συνέλιξη Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Διακριτού Χρόνου Σειρές Fourier Περιοδική Επέκταση Σήµατος Πεπερασµένης Χρονικής Διάρκειας.

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Ο Μετασχηματισμός Fast Fourier

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Ο Μετασχηματισμός Fast Fourier ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Ο Μετασχηματισμός Fast Fourier Ιάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΟΜετασχηματισμόςFast Fourier 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 2 3 4

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -7- Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT (discrete time Fourier transform) 3.. Εισαγωγικά. 3.. Είδη µετασχηµατισµών Fourier Με την ονοµασία Μετασχηµατισµοί Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Μ. Μαυρονικόλας. μπορούμε να πολλαπλασιασουμε (1,0,1,-1) με τον FFT πίνακα ή να εφαρμόζουμε τον

Μ. Μαυρονικόλας. μπορούμε να πολλαπλασιασουμε (1,0,1,-1) με τον FFT πίνακα ή να εφαρμόζουμε τον ΕΠΛ 436 Μ. Μαυρονικόλας 2 η Σειρά Ασκήσεων 1. (α) Αφού το διάνυσμα εισόδου έχει 4 στοιχεία, μπορούμε να διαλέξουμε n =4 και w=e 2iπ/4 = e iπ/2 =i. Υπάρχουν πολλοί τρόποι να υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25)

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 5) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Βραχύτερα Μονοπάτια για όλα τα Ζεύγη Λύση υναµικού Προγραµµατισµού Ο αλγόριθµος των Floyd-Warshal ΕΠΛ 3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y 5 Έστω Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης Ι R ανοικτό διάστηµα, : Ι R διαφορίσιµη της κλάσης a Ι : '( a) 0 Τότε από την συνέχεια της ' υπάρχει 0 ' 0 για κάθε ( a δ, a+ δ) δ > :( a δ, a δ) C και + Ι και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα