ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí Óôïé åßùí (Âáèìßäùí) Åëåã üìåíá ÓõóôÞìáôá

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí Óôïé åßùí (Âáèìßäùí) Åëåã üìåíá ÓõóôÞìáôá"

Transcript

1 ÊåöÜëáéï 3 ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: Óêïðüò áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ åßíáé íá âïçèþóåé ôïõò ìáèçôýò: Ö Íá áíáãíùñßæïõí ôéò êáôçãïñßåò ôùí ñõèìéæüìåíùí óõóôçìüôùí. Ö Íá êáôáôüóóïõí ôï óýóôçìá áíüëïãá ìå ôç óõìðåñéöïñü ôïõ. Ö Íá åðéëýãïõí ôïí ôñüðï åëýã ïõ üðïõ áðáéôåßôáé. Ö Íá õðïëïãßæïõí ôá âáóéêü ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü.

2 êåöüëáéï 3 3. ÐåñéãñáöÞ ãñáììéêþí óôïé åßùí (âáèìßäùí) Óå ðñïçãïýìåíá êåöüëáéá áíáöýñáìå üôé Ýíá óýóôçìá áõôïìüôïõ åëýã ïõ áðïôåëåßôáé áðü äéüöïñåò âáèìßäåò êáé üôé ìéá áõôïìáôïðïéçìýíç åãêáôüóôáóç äéá ùñßæåôáé óå ìéêñüôåñá ôìþìáôá (âáèìßäåò). Ãíùñßæïíôáò ôç óõìðåñéöïñü êüèå âáèìßäáò îå ùñéóôü ìðïñïýìå: Á) íá êáôáíïþóïõìå êáëýôåñá ôç ëåéôïõñãßá üëçò ôçò åãêáôüóôáóçò êáé Â) íá õðïëïãßóïõìå ôéò ðáñáìýôñïõò (ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü) ôïõ åëåãêôþ, ãéá íá åðéôý ïõìå ìéá âýëôéóôç ëåéôïõñãßá ôçò åãêáôüóôáóçò. Ç óõìðåñéöïñü ôùí âáèìßäùí äéáêñßíåôáé óå óôáôéêþ êáé óå äõíáìéêþ óõìðåñéöïñü. 3.1 ÓõíáñôÞóåéò äéýãåñóçò (óþìáôá äéýãåñóçò) Ãéá ôç ìåëýôç ôçò óõìðåñéöïñüò ôùí âáèìßäùí ìåôáöïñüò ñçóéìïðïéïýíôáé óõãêåêñéìýíá óþìáôá åéóüäïõ ( ). ÔÝôïéá óþìáôá åßíáé: Á) Âçìáôéêü óþìá (ó Þìá 3.1). Ôï âçìáôéêü óþìá åßíáé Ýíá öõóéêü ìýãåèïò, ð.. ôüóç, ôï ïðïßï ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = 0 ìåôáâüëëåôáé îáöíéêü áðü ôçí ôéìþ ìçäýí óå ìéá óõãêåêñéìýíç ôéìþ ( ) (ó Þìá 3.1), ç ïðïßá ìå ôï ñüíï ðáñáìýíåé óôáèåñþ. Ó Þìá 3.1: ÂçìáôéêÞ óõíüñôçóç. ÄçëáäÞ: x = x ãéá t 0 (3.1) x = 0 ãéá t < 0 Ç âçìáôéêþ óõíüñôçóç ñçóéìïðïéåßôáé êáôü êáíüíá, ãéá íá ìåëåôþóïõìå ôç äõíáìéêþ êáé óôáôéêþ óõìðåñéöïñü ôùí âáèìßäùí. Óýìöùíá ìå ôïõò êáíïíéóìïýò, Ý åé åðéêñáôþóåé, ôá óýìâïëá ôùí âáèìßäùí íá ðáñéóôüíïõí ôçí áðüêñéóþ ôïõò ìåôü áðü ìéá âçìáôéêþ äéýãåñóç. Â) ÇìéôïíïåéäÞò óõíüñôçóç (ó Þìá 3.2). Ç çìéôïíïåéäþò óõíüñôçóç ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí èýëïõìå íá äéáðéóôþóïõìå ôá üñéá ìåôáîý åõóôüèåéáò êáé áóôüèåéáò. Ç óçìáóßá üìùò ôçò óõíüñôçóçò áõôþò èá ãßíåé áíôéëçðôþ óå åðüìåíá êåöüëáéá. 40

3 ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí Ó Þìá 3.2: ÇìéôïíïåéäÞò óõíüñôçóç = m.çìùt, ù = 2ðf = êõêëéêþ óõ íüôçôá, f = 1/T = óõ íüôçôá, T = ðåñßïäïò. Ã) ÁíùöåñéêÞ óõíüñôçóç (ó Þìá 3.3). Ç áíùöåñéêþ óõíüñôçóç ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò óôá óõóôþìáôá áõôïìüôïõ åëýã ïõ êßíçóçò ãéá ôçí ïìáëþ åêêßíçóç ôùí êéíçôþñùí (ó Þìá 3.3). Ó Þìá 3.3: ÁíùöåñéêÞ óõíüñôçóç. Óôá óõóôþìáôá êßíçóçò ç åðéèõìçôþ ôéìþ äßíåôáé ìå ôç âïþèåéá ìéáò áíùöåñéêþò óõíüñôçóçò, ç ïðïßá üìùò óôáèåñïðïéåßôáé óôçí åðéèõìçôþ ôéìþ (ó Þìá 3.4). Ó Þìá 3.4: ÂçìáôéêÞ óõíüñôçóç ìå åëåã üìåíç êëßóç áíüäïõ. 41

4 êåöüëáéï ÁñìïíéêÞ áðüêñéóç Ç âçìáôéêþ äéýãåñóç âáèìßäùí äå äßíåé ðüíôá üëåò ôéò áðáéôïýìåíåò ðëçñïöïñßåò ãéá ôç óõìðåñéöïñü åíüò ÓÁÅ. ÐïëëÝò öïñýò ìáò åíäéáöýñåé ð.. íá ãíùñßæïõìå ðüôå ï êëüäïò áñíçôéêþò áíáóýæåõîçò (êëüäïò áíüäñáóçò) ìåôáôñýðåôáé óå èåôéêþ áíáóýæåõîç. ¼ôáí ãéá äéüöïñïõò ëüãïõò ôï óþìá ôçò åëåã üìåíçò ìåôáâëçôþò áíôß íá áöáéñåèåß, ðñïóôåèåß óôçí åðéèõìçôþ ôéìþ r(t), ôüôå ôï óöüëìá áíôß íá ìåéùèåß, áõîüíåôáé êáé ôï åëåã üìåíï óýóôçìá ãßíåôáé áíåîýëåãêôï (áóôáèýò). Ãéá ôç ìåëýôç áõôþò ôçò óõìðåñéöïñüò åíüò óõóôþìáôïò êáôáöåýãïõìå óôçí áñìïíéêþ áðüêñéóç. Ç áñìïíéêþ áðüêñéóç åßíáé ï ëüãïò ôïõ óþìáôïò åîüäïõ ðñïò ôï óþìá åéóüäïõ (üôáí áõôü åêöñüæïíôáé ùò óõíüñôçóç ôçò êõêëéêþò óõ íüôçôáò ù). ÄçëáäÞ: Ó Þìá 3.5: Óýìâïëï âáèìßäáò ìå çìéôïíïåéäýò óþìá åéóüäïõ. G( ù) x(j ù) x(j ù) = (3.2) ÐáñÜäåéãìá: óôù üôé èýëïõìå íá õðïëïãßóïõìå ôçí áñìïíéêþ áðüêñéóç ìéáò âáèìßäáò, ç ïðïßá áðïôåëåßôáé áðü Ýíá áðëü êýêëùìá-rc (ó Þìá 3.6). ÅñãáóôçñéáêÜ ìðïñåß íá õðïëïãéóèåß ç áñìïíéêþ áðüêñéóç óõíäýïíôáò ôçí åßóïäï ôïõ êõêëþìáôïò ìå ìéá ãåííþôñéá óõ íïôþôùí. Êáôüðéí ìåôáâüëëïõìå ôçí êõêëéêþ óõ íüôçôá ôçò çìéôïíïåéäïýò ôüóçò ôçò óõ íïãåííþôñéáò äéáôçñþíôáò ôï ðëüôïò ôçò óôáèåñü. Ìå ôç âïþèåéá ôïõ ðáëìïãñüöïõ ðáñáôçñïýìå ôï óþìá ôçò ðáëìïãåííþôñéáò óôï êáíüëé I, åíþ óôï êáíüëé ÉÉ ðáñáôçñïýìå üôé ç ìåôáâïëþ ôïõ ðëüôïõò ôçò ôüóçò åîüäïõ ( max ) êáé ç öáóéêþ äéáöïñü åîáñôþíôáé áðü ôç óõ íüôçôá ôçò óõ íïãåííþôñéáò. Áõôü óçìáßíåé üôé ìåôáâüëëïíôáò ôç óõ íüôçôá ôçò ãåííþôñéáò ôï óþìá åîüäïõ ìðïñåß íá áëëüîåé ðïëéêüôçôá. ôóé, ôï óþìá åîüäïõ ôïõ ìåôáôñïðýá åíüò ÓÁÅ ìðïñåß íá öèüóåé óôï óõãêñéôþ ìå áíüóôñïöç ðïëéêüôçôá êáé, áíôß íá áöáéñåèåß áðü ôçí ôéìþ ôïõ äüôç åðéèõìçôþò ôéìþò, íá ðñïóôåèåß, ïðüôå ôï óýóôçìá ðýöôåé óå ìç åëåã üìåíç êáôüóôáóç (áóôüèåéá). Ç ðåñßðôùóç áõôþ åîçãåßôáé áíáëõôéêüôåñá óôï êåöüëáéï óõìðåñéöïñüò «êëåéóôþí óõóôçìüôùí áõôïìüôïõ åëýã ïõ». Ó Þìá 3.6: ÁñìïíéêÞ áðüêñéóç RC- êõêëþìáôïò. 42

5 3.3 Âáóéêïß êáíüíåò áðëïðïßçóçò äéáãñáììüôùí âáèìßäùí Óýíäåóç âáèìßäùí óå óåéñü ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí Ó Þìá 3.7: Óýíäåóç âáèìßäùí óå óåéñü. ¼ðùò áíáöýñèçêå óôç óåëßäá 22, ó Þìá 2.1, óôçí ðáñüóôáóç ôçò âáèìßäáò áíáãñüöåôáé ôï ðçëßêï (G) åîüäïõ-åéóüäïõ. ôóé ãéá ôéò âáèìßäåò ôïõ ó Þìáôïò 3.7 èá éó ýåé: x01 G1 = x01 = x G 1, x x0 êáé ãéá ôç âáèìßäá (2) G2 = x áðü ôéò ðáñáðüíù ó Ýóåéò ðñïêýðôåé: x0 = x1 G2 = x01 G2 = x G1 G 2 áöïõ x01 = x 01 ïðïôå x0 = x G1 G2 1 êáé x = = (3.3) Gïë G1 G2 x ÓõìðÝñáóìá: ¼ôáí äýï Þ ðåñéóóüôåñåò âáèìßäåò åßíáé óõíäåäåìýíåò óôç óåéñü, ôüôå ìðïñïýí íá áíôéêáôáóôáèïýí áðü ìßá âáèìßäá, ôçò ïðïßáò ç áñìïíéêþ áðüêñéóç G ïë åßíáé ßóç ìå ôï ãéíüìåíï ôùí áñìïíéêþí áðïêñßóåùí ôùí âáèìßäùí ÐáñÜëëçëç óýíäåóç âáèìßäùí Ó Þìá 3.8: ÐáñÜëëçëç óýíäåóç âáèìßäùí. 43

6 êåöüëáéï 3 Óôï êýêëùìá ôïõ ó Þìáôïò 3.8 éó ýåé: x01 = x G1 x02 = x G2 x0 = x01 + x02 x = x G + x G x = x (G + G ) = x = + + ïë (3.4) G G G 1 2 x ÓõìðÝñáóìá: ¼ôáí äýï Þ ðåñéóóüôåñåò âáèìßäåò åßíáé óõíäåäåìýíåò ðáñüëëçëá, ôüôå ìðïñïýí íá áíôéêáôáóôáèïýí áðü ìßá âáèìßäá, ôçò ïðïßáò ç áñìïíéêþ áðüêñéóç G ïë åßíáé ßóç ìå ôï Üèñïéóìá ôùí áñìïíéêþí áðïêñßóåùí ôùí âáèìßäùí Óýíäåóç âáèìßäùí ìå èåôéêþ Þ áñíçôéêþ áíáôñïöïäüôçóç Ó Þìá 3.9: Óýíäåóç âáèìßäùí: (á) ìå èåôéêþ êáé (â) ìå áñíçôéêþ áíáôñïöïäüôçóç. Áðü ôçí ðáñáôþñçóç ôïõ êõêëþìáôïò óôï ó Þìá 3.9â ðñïêýðôåé: x = (x x ) 2 G1 x = (x x G 2 ) G 1 x x G 2 2 = x = x G x G G x + x G G = x G x(1+ G G) = x G x G 1 G = x = ïë 1+ G G 1 2 éó ýåé ãéá áñíçôéêþ ôñïöïäüôçóç (3.5) Ìå ôïí ßäéï ôñüðï åñãáæüìåíïé õðïëïãßæïõìå ôçí G ïë ôïõ êõêëþìáôïò ó Þìá á: x G 1 G = x = ïë 1 G G 1 2 éó ýåé ãéá èåôéêþ áíáôñïöïäüôçóç (3.6) 44

7 3.4 Óôïé åéþäåéò âáèìßäåò / ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí ïõìå Þäç áíáöýñåé üôé Ýíá óýóôçìá áõôïìüôïõ åëýã ïõ áðïôåëåßôáé áðü âáèìßäåò. Ç óõìðåñéöïñü ôùí âáèìßäùí ìåëåôüôáé ìå âüóç ôç âçìáôéêþ ôïõò áðüêñéóç. Ï ðáñáêüôù ðßíáêáò ìáò äåß íåé ôçí ôáîéíüìçóç ôùí âáèìßäùí êáé ôùí áíôßóôïé ùí åëåã üìåíùí óõóôçìüôùí, áíüëïãá ìå ôç âçìáôéêþ ñïíéêþ ôïõò áðüêñéóç. Ðßíáêáò 1: Êáôçãïñßåò âáèìßäùí / åëåã üìåíùí óõóôçìüôùí ÁíáëïãéêÞ âáèìßäá Âáèìßäá-Ñ (Prprtnal) Ç âáèìßäá áõôþ ëýãåôáé áíáëïãéêþ, äéüôé ôï óþìá åîüäïõ åßíáé áíüëïãï ôïõ óþìáôïò åéóüäïõ, äçëáäþ ôï óþìá åîüäïõ 0 ðñïêýðôåé, áí ðïëëáðëáóéüóïõìå ôï óþìá åéóüäïõ ìå Ýíá óôáèåñü óõíôåëåóôþ (K p ). Ç åîßóùóç ôçò âáèìßäáò-ñ åßíáé: x0 = KP x (3.7) ÅÜí äéåãåßñïõìå ôç âáèìßäá ìå Ýíá âçìáôéêü óþìá, ôüôå óýìöùíá ìå ôçí åîßóùóç (3.7) èá ëüâïõìå óôçí Ýîïäï åðßóçò Ýíá âçìáôéêü óþìá, ôç âçìáôéêþ áðüêñéóç (ó Þìá 3.10). Ôï óþìá åîüäïõ ( ) áíüëïãá ìå ôçí ôéìþ ôïõ K P èá åßíáé ìéêñüôåñï, ßóï Þ ìåãáëýôåñï áðü ôï óþìá åéóüäïõ. Ï óõíôåëåóôþò K P ïíïìüæåôáé áíáëïãéêüò óõíôåëåóôþò Þ áðëþò åíßó õóç êáé ìðïñåß íá ëüâåé ôéìýò áðü ìçäýí Ýùò Üðåéñï (èåùñçôéêü). 45

8 êåöüëáéï 3 Ó Þìá 3.10: á) ÂçìáôéêÞ ñïíéêþ áðüêñéóç êáé â) Óýìâïëï ôçò âáèìßäáò -Ñ. Ï óõíôåëåóôþò K P õðïëïãßæåôáé äéáéñþíôáò ôï óþìá åîüäïõ ( ) äéá ôïõ óþìáôïò åéóüäïõ ( ): K P x x = (3.8) ÐáñÜäåéãìá 1: ÄéáéñÝôçò ôüóçò ùñßò öïñôßï Ó Þìá 3.11: ÄéáéñÝôçò ôüóçò. Ï äñïìýáò ôïõ ðïôåíóéïìýôñïõ ìåôáêéíåßôáé ðüíù-êüôù Ýôóé, þóôå ç áíôßóôáóç R 2 íá ìåôáâüëëåôáé áðü R 2 = R p èýóç äñïìýá (1) Ýùò R 2 = 0 Ù èýóç äñïìýá (2) Óôï äéáéñýôç ôüóçò éó ýåé: x u = IR 2 = IR êáé R1 1 x = I(R1 + R 2) = IRP 46

9 ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí Üñá x u R = R 2 R1 1 x IR R R = = = = x I(R + R ) R + R R P K P x = K x p R R 2 2 üðïõ Kp = = = f(r ) 2 R + R R 1 2 p ÐáñÜäåéãìá 2: ÌåéùôÞñáò óôñïöþí (á) (â) Ó Þìá 3.11á: ÌåéùôÞñáò óôñïöþí (á) êáé óýìâïëï (â). ÅÜí K 1 = 0,1 êáé n 1 = 1000mn -1 Þ n 2 = 0, = 100mn Âáèìßäá ìå áíáëïãéêþ óõìðåñéöïñü êáé êáèõóôýñçóç 1 çò ôüîçò / Éóïññïðïýíôá åëåã üìåíá óõóôþìáôá ìå êáèõóôýñçóç 1 çò ôüîçò Âáèìßäá-ÑÔ1 Ç âáèìßäá-ñô 1 åßíáé ðïëý óçìáíôéêþ, äéüôé ðïëëü åëåã üìåíá óõóôþìáôá óõìðåñéöýñïíôáé ðáñüìïéá ìå áõôþ. Ôï óþìá åîüäïõ ôçò âáèìßäáò åßíáé áíüëïãï ôïõ óþìáôïò åéóüäïõ êáé öèüíåé ôçí ôåëéêþ ôïõ ôéìþ ìåôü ôçí ðüñïäï ïñéóìýíïõ ñüíïõ. Ç êáèõóôýñçóç 1 çò ôüîçò óçìáßíåé üôé ç âáèìßäá-ñô 1 ðåñéý åé Ýíá óõóóùñåõôþ åíýñãåéáò (ð.. Ýíáí ðõêíùôþ), ï ïðïßïò åðéâñáäýíåé ôç äçìéïõñãßá ôïõ óþìáôïò åîüäïõ. ÅÜí äéåãåßñïõìå ôç âáèìßäá ìå Ýíá âçìáôéêü óþìá, ôüôå ôï óþìá åîüäïõ x (t) õðïëïãßæåôáé áðü ôçí ðáñáêüôù åîßóùóç: t T1 x(t) = K x (1 e ) (3.9) üðïõ Ê = ç åíßó õóç êáé Ô 1 = ç óôáèåñü ôïõ ñüíïõ Ç âçìáôéêþ ñïíéêþ áðüêñéóç ôçò åîßóùóçò (3.9) ìðïñåß íá ðáñáóôáèåß åýêïëá êáé öáßíåôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá (3.12). 47

10 êåöüëáéï 3 Ó Þìá 3.12: ÂçìáôéêÞ ñïíéêþ áðüêñéóç (á) êáé óýìâïëï (â) ôçò âáèìßäáò-ñô 1. ÐáñáôçñÞóåéò: 1. Ç áðüêñéóç x (t) áðïôåëåßôáé áðü äýï ôìþìáôá. Óôï ðñþôï ôìþìá ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò ôï óþìá åîüäïõ x (t) ìåôáâüëëåôáé óõíå þò êáé ìáò ðåñéãñüöåé ôç äõíáìéêþ óõìðåñéöïñü ôçò âáèìßäáò. ÄçëáäÞ ôïí ôñüðï ìåôáâïëþò ôïõ óþìáôïò x (t) óå ìéá áðüôïìç ìåôáâïëþ ôïõ x (t). Óôï äåýôåñï ôìþìá ôï óþìá x (t) óôáèåñïðïéåßôáé óå ìéá óõãêåêñéìýíç ôéìþ, ç ïðïßá åîáñôüôáé áðü ôï óþìá åéóüäïõ êáé ôçí åíßó õóç. x = óô K x (3.10) üðïõ K ÅÜí t = 0, ôüôå áðü ôçí åîßóùóç (3.9) ðñïêýðôåé: = x x óô 0 T1 T x(t) = x(0) = K x (1 e ) = 0 êáèþò 1 1 e = 0 Ôç óôéãìþ ôçò åöáñìïãþò ôïõ óþìáôïò åéóüäïõ x (t), ôï óþìá åîüäïõ x (t) åßíáé åðßóçò ìçäýí. ÅÜí t èá Ý ïõìå: T 1 T1 x(t) = x( ) = K x (1 e ) = K x êáèþò 1 e = 1 ÄçëáäÞ, üôáí ðåñüóåé áñêåôüò ñüíïò (t>>), ôüôå ôï óþìá åîüäïõ x (t) éóïññïðåß óå ìéá óôáèåñþ ôéìþ (óôáôéêþ). x (t ) = K x Ç ó Ýóç áõôþ éó ýåé, ùò ãíùóôüí, êáé ãéá ôç âáèìßäá-ñ. 0 48

11 ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí Ãñáöéêüò õðïëïãéóìüò ôçò óôáèåñüò ñüíïõ Ô 1 (ó Þìá 3.12): áñüóóïõìå ôçí åöáðôïìýíç óôï óçìåßï ìçäýí ôçò êáìðýëçò, ìý ñé íá óõíáíôþóåé ôç óôáôéêþ ôéìþ óçìåßï Á. Êáôüðéí öýñïõìå ôçí êüèåôï áðü ôï óçìåßï Á åðß ôïõ Üîïíá ôïõ ñüíïõ óçìåßï Ô 1. Ï ñüíïò Ô 1 ïíïìüæåôáé óôáèåñü ñüíïõ êáé ìáæß ìå ôçí åíßó õóç Ê áðïôåëïýí ôá ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü ôçò âáèìßäáò-ñô 1. Ç óôáèåñü ñüíïõ åßíáé ï ñüíïò ðïõ áðáéôåßôáé, ãéá íá öèüóåé ôï óþìá åîüäïõ x (t) óôï 63% ôçò óôáôéóôéêþò ôéìþò ôïõ (x ïóô ). Ó áõôü ôï ñüíï (t = T 1 ) ôï óþìá x (t) èá Ýöèáíå ôçí ôåëéêþ ôéìþ (x óô ), åüí ç âáèìßäá äåí åß å áðþëåéåò, äçë. ëåéôïõñãïýóå éäáíéêü. ÅÜí ãíùñßæïõìå ôá ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü, ìðïñïýìå íá ó åäéüóïõìå ôç âçìáôéêþ ñïíéêþ áðüêñéóç ôçò âáèìßäáò (ó Þìá 3.12). Áðü ôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÏÔ 1 Á, õðïëïãßæïõìå ôçí ôá ýôçôá ìåôáâïëþò ôïõ óþìáôïò x (t). Ç ôá ýôçôá åßíáé ìýãéóôç óôï óçìåßï t = 0 êáé éó ýåé: U max Äx AT x Ät T T 1 óô = = = (3.11) 1 1 ÐáñÜäåéãìá 1: Êýêëùìá - RC. Áíôéðñïóùðåõôéêü ðáñüäåéãìá âáèìßäáò- ÑÔ 1, ãíùóôü ìáò áðü ôçí çëåêôñïôå íßá, åßíáé ôï êýêëùìá-rc (ó Þìá 3.13). Ó Þìá 3.13: Êýêëùìá-RC óáí âáèìßäá - PT 1 Ðñüóèåôåò ðëçñïöïñßåò Ìå âüóç ôïõò íüìïõò ôïõ Krchff Ý ïõìå: u = u + u R c u = R + u c c u c = äéáöïñü äõíáìéêïý óôá Üêñá ôïõ ðõêíùôþ êáôü ôç öüñôéóç dq = dt = C du c c q = öïñôßï ðõêíùôþ óôï ñüíï Ät duc c = C dt Ó Þìá 3.13á: Êáìðýëç öüñôéóçò ðõêíùôþ. duc u = uc + RC dt Ç åðßëõóç ôçò ðáñáðüíù åîßóùóçò ìáò äßíåé ôçí ðáñáêüôù ó Ýóç, ç ïðïßá åßíáé üìïéá ìå ôç ó Ýóç (1): t T t RC u = u (1 e ) = u (1 e ) c 49

12 êåöüëáéï 3 Ç êáìðýëç öüñôéóçò ôïõ ðõêíùôþ ðáñéóôüíåôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá 3.14, óôçí ïðïßá ðáñáôçñïýìå üëá ôá áñáêôçñéóôéêü ìéáò êáìðýëçò ( ñïíéêþ áðüêñéóç) âáèìßäáò -ÑÔ 1. Ó Þìá 3.14: Êáìðýëç öüñôéóçò ôïõ ðõêíùôþ. óêçóç 1 ç : Ìéá âáèìßäá-ñô 1 äéåãåßñåôáé ìå ìéá âçìáôéêþ ôüóç 3V. Ç åíßó õóç ôçò âáèìßäáò åßíáé Ê = 2 êáé ç óôáèåñü ñüíïõ T 1 = 3sec. Íá ó åäéáóôåß ôï óþìá åîüäïõ x (t). Ó Þìá 3.15: ÂçìáôéêÞ ñïíéêþ áðüêñéóç âáèìßäáò -ÑÔ 1.. Ç óôáôéêþ ôéìþ ôïõ óþìáôïò åîüäïõ x ó ëáìâüíåé ôçí ôéìþ x ó = 2.3V = 6V êáé ç óôáèåñü ñüíïõ äßíåôáé Ô 1 = 3 sec. Ìå âüóç ôéò ôéìýò áõôýò êáôáóêåõüæåôáé ç êáìðýëç ôïõ ó Þìáôïò

13 ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí óêçóç 2 ç : Ìéá âáèìßäá-ñô 1 äéåãåßñåôáé ì Ýíá âçìáôéêü óþìá 1,5V êáé áðïêñßíåôáé óýìöùíá ìå ôï ðáñáêüôù ó Þìá. Íá õðïëïãéóèïýí ç åíßó õóç Ê, ç óôáèåñü ñüíïõ Ô 1 êáé íá äïèåß ç áñìïíéêþ áðüêñéóç G(jù). Õðïëïãéóìüò ôçò åíßó õóçò: xïóô 7, 5V K = = = 5 x 1,5 V Õðïëïãéóìüò ôçò óôáèåñüò ñüíïõ Ô 1 : 0,63. 7,5V = 4,725V, Üñá Ô 1 = 2sec Ó Þìá 3.16: ÂçìáôéêÞ ñïíéêþ áðüêñéóç âáèìßäáò -ÑÔ 1. ÐáñÜäåéãìá 2: ÊéíçôÞñáò óõíå ïýò ñåýìáôïò. Ï êéíçôþñáò óõíå ïýò ñåýìáôïò (DC-êéíçôÞñáò) áðïôåëåß êëáóéêü ðáñüäåéãìá âáèìßäáò-ñô 1. Aðïôåëåßôáé áðü ôïí ñüôïñá êáé ôïí óôüôç. Ìéá ôïìþ ôïõ êéíçôþñá ðáñéóôüíåôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá: Ó Þìá 3.17: ÔïìÞ åíüò êéíçôþñá óõíå ïýò ñåýìáôïò (á) êáé óýìâïëï (â). Ï ôñüðïò óýíäåóçò ôçò ðåñéýëéîçò äéýãåñóçò êáèïñßæåé êáé ôçí ïíïìáóßá ôïõ êéíçôþñá. 51

14 êåöüëáéï 3 á) DC-êéíçôÞñáò ìå äéýãåñóç óåéñüò. Ó Þìá 3.18: Óõíäåóìïëïãßá (á), ôñüðïò åýñåóçò ôçò öïñüò ðåñéóôñïöþò (â) êáé áêñïêéâþôéï åíüò DC-êéíçôÞñá (ã). â) DC-êéíçôÞñáò ìå ðáñüëëçëç äéýãåñóç. Ó Þìá 3.19: Óõíäåóìïëïãßá (á) êáé ôñüðïò åýñåóçò öïñüò ðåñéóôñïöþò (â) åíüò DC-êéíçôÞñá ìå ðáñüëëçëç äéýãåñóç. ã) DC-êéíçôÞñáò äéðëþò äéýãåñóçò. Ó Þìá 3.20: Óõíäåóìïëïãßá DC-êéíçôÞñá äéðëþò äéýãåñóçò. 52

15 ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí ä) DC-êéíçôÞñáò îýíçò äéýãåñóçò. Ó Þìá 3.21: Óõíäåóìïëïãßá DC-êéíçôÞñá îýíçò äéýãåñóçò. Ç áëëáãþ ôçò öïñüò ðåñéóôñïöþò ãßíåôáé ìå áëëáãþ ôçò ðïëéêüôçôáò ôçò ôüóçò ôñïöïäïóßáò. Áíôßèåôá ç ìåôáâïëþ ôùí óôñïöþí ãßíåôáé êõñßùò ìå ôç âïþèåéá çëåêôñïíéêþí éó ýïò ìåôáâüëëïíôáò ôçí ôüóç óôï ôýëéãìá ôïõ ñüôïñá Þ ôïõ óôüôç. Åêôüò áðü ôç áñáêôçñéóôéêþ óôñïöþí / ñïðþò (ó Þìá 3.23), ìéá Üëëç åðßóçò óçìáíôéêþ áñáêôçñéóôéêþ êáìðýëç ôïõ êéíçôþñá åßíáé ç âçìáôéêþ ñïíéêþ áðüêñéóç ôùí óôñïöþí (ó Þìá 3.22). Ó Þìá 3.22: ÂçìáôéêÞ ñïíéêþ áðüêñéóç óôñïöþí êéíçôþñá-dc. Åäþ äéáðéóôþíïõìå üôé ï êéíçôþñáò Ý åé áíáëïãéêþ óõìðåñéöïñü ìå êáèõóôýñçóç ðñþôçò ôüîçò. Ôá ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü ôïõ êéíçôþñá õðïëïãßæïíôáé ùò åîþò: Åíßó õóç: K = M n u üðïõ n = óôáôéêþ ôéìþ óôñïöþí êáé u = ôüóç óôï ôýëéãìá ôïõ ñüôïñá 53

16 êåöüëáéï 3 Ìç áíéêþ óôáèåñü ñüíïõ (Ô 1m ): Ç óôáèåñü ñüíïõ ôïõ êéíçôþñá õðïëïãßæåôáé ãñáöéêü êáé åßíáé ï ñüíïò ðïõ áðáéôåßôáé, ãéá íá öèüóåé ï êéíçôþñáò ôï 63% ôùí óôáôéêþí óôñïöþí ôïõ. Ç ìç áíéêþ óôáèåñü ñüíïõ åîáñôüôáé áðü ôç ìüæá ðïõ ðåñéóôñýöåé, äçëáäþ áðü ôç ñïðþ áäñüíåéáò (J) êáé áðü ôç áñáêôçñéóôéêþ ñïðþò / óôñïöþí (ó Þìá 3.23). Än ¼óï ìéêñüôåñç åßíáé ç ñïðþ áäñüíåéáò ôïõ öïñôßïõ êáé üóï ìåãáëýôåñç åßíáé ç êëßóç ÄÌ ôçò áñáêôçñéóôéêþò óôñïöþí / ñïðþò, ôüóï ìéêñüôåñç åßíáé ç ìç áíéêþ óôáèåñü ôïõ ñüíïõ (Ô 1m ). Åêôüò áðü ôç ìç áíéêþ óôáèåñü ñüíïõ, Ý ïõìå êáé ôçí çëåêôñéêþ óôáèåñü ñüíïõ (Ô 1e ). ÁõôÞ üìùò Ý åé L ìéêñþ ôéìþ, åîáñôüôáé áðü ôá çëåêôñéêü áñáêôçñéóôéêü ôçò ðåñéýëéîçò T1e = R êáé èåùñåßôáé óõíþèùò áìåëçôýá. Ó Þìá 3.23: áñáêôçñéóôéêþ êáìðýëç êéíçôþñá-dc óôñïöþí ñïðþò ãéá óôáèåñþ ôüóç ñüôïñá. óêçóç: Ç èåñìéêþ åðåîåñãáóßá äéüöïñùí õëéêþí, üðùò ìåôüëëùí, ãßíåôáé óå åéäéêýò êáìßíïõò (ó Þìá 3.24). Ç ðïéüôçôá ôùí õëéêþí åîáñôüôáé áðü ôç ñïíéêþ ìåôáâïëþ ôçò èåñìïêñáóßáò (üðùò èýñìáíóç, óôáèåñïðïßçóç ôçò èåñìïêñáóßáò, øýîç). Ó Þìá 3.24: ÄéÜôáîç åëýã ïõ èåñìïêñáóßáò óå êüìéíï äéá ìýóïõ TRIAC. 54

17 ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí Ìå ôç âïþèåéá åíüò ñõèìéæüìåíïõ çëåêôñïíéêïý äéáêüðôç (TRIAC) ñõèìßæïõìå ôçí çëåêôñéêþ éó ý ôñïöïäïóßáò ôçò áíôßóôáóçò. ÌåôÜ áðü ìéá âçìáôéêþ ìåôáâïëþ ôçò éó ýïò áðü 0 óôá 1200W, ç èåñìïêñáóßá ôçò êáìßíïõ ìåôáâëþèçêå óýìöùíá ìå ôïí ðáñáêüôù ðßíáêá. t/mn è/ ï C Æçôïýíôáé: á) Íá ó åäéáóôåß óå ìåëéìåôñý áñôß ç ñïíéêþ áðüêñéóç ôçò èåñìïêñáóßáò è(t). â) Íá õðïëïãéóôïýí ôá ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü ôïõ óõóôþìáôïò (êáìßíïõ), äçëáäþ ç åíßó õóç (K s ) êáé ç óôáèåñü ñüíïõ (Ô 1 ) Âáèìßäá-ÑÔ 2 Âáèìßäá ìå áíáëïãéêþ óõìðåñéöïñü êáé êáèõóôýñçóç 2çò ôüîçò Ç âáèìßäá-ñô 2 åßíáé åðßóçò ìéá áðü ôéò ðéï âáóéêýò âáèìßäåò ôùí ÓÁÅ. ÐïëëÜ åëåã üìåíá óõóôþìáôá, êáèþò åðßóçò êáé ïëüêëçñá óõóôþìáôá áõôïìüôïõ åëýã ïõ óõìðåñéöýñïíôáé óáí âáèìßäåò-ñô 2. Ðñüóèåôåò ðëçñïöïñßåò Ç åîßóùóç ç ïðïßá ìáò äßíåé ôï óþìá åîüäïõ x (t) ìåôü áðü ìéá âçìáôéêþ äéýãåñóç x (t) åßíáé ôçò ìïñöþò: T x (t) = K x 1 e + e T1 T2 T1 T2 t t T T T2 üðïõ Ê = åíßó õóç Ô 1, Ô 2 = óôáèåñýò ñüíïõ, ïé ïðïßåò äåí õðïëïãßæïíôáé áðü ôç ñïíéêþ áðüêñéóç ôçò âáèìßäáò x (t). ÁíÜëïãá ìå ôç ñïíéêþ ìåôáâïëþ ôïõ óþìáôïò åîüäïõ, äéáêñßíïõìå ôéò âáèìßäåò-ñô 2 : 4 Ìå éêáíüôçôá ôáëüíôùóçò êáé 4 Ìç ôáëáíôïýìåíåò (ìå áðåñéïäéêþ óõìðåñéöïñü) Ïé âáèìßäåò-ñô 2 ðåñéëáìâüíïõí äýï óõóóùñåõôýò åíýñãåéáò. ÅÜí ïé óõóóùñåõôýò åíýñãåéáò åßíáé äéáöïñåôéêïß ùò ðñïò ôïí ôñüðï óõóóþñåõóçò ôçò åíýñãåéáò, ôüôå ôï óþìá åîüäïõ x (t) åêôåëåß ìéá öèßíïõóá ôáëüíôùóç, ç ïðïßá éóïññïðåß ôåëéêü óôç óôáôéêþ ôéìþ. ÁíôéèÝôùò, åüí ïé óõóóùñåõôýò åíýñãåéáò åßíáé üìïéïé, ôüôå ôï óþìá åîüäïõ äåí ôáëáíôþíåôáé, áëëü åîåëßóóåôáé áðåñéïäéêü ìý ñé ôç óôáôéêþ êáôüóôáóç. 55

18 êåöüëáéï 3 ÅÜí äéåãåßñïõìå ìéá âáèìßäá-ñô 2 ì Ýíá âçìáôéêü óþìá, ôüôå ç ìåôáâïëþ ôïõ óþìáôïò åîüäïõ èá Ý åé ôç ìïñöþ (ó Þìá 3.25): Ó Þìá 3.25: ÂçìáôéêÞ ñïíéêþ áðüêñéóç (á) êáé óýìâïëï (â) ôçò âáèìßäáò-ñô 2. Áðü ôçí ðáñáðüíù ñïíéêþ áðüêñéóç (ó Þìá 3.25) ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ïñéóìýíá óçìáíôéêü ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü, üðùò ôçí åíßó õóç, ôï óõíôåëåóôþ áðüóâåóçò êáé ôïõò ñüíïõò áíüäïõ (t áí ). Ç åíßó õóç Ê õðïëïãßæåôáé áðü ôç óôáôéêþ ôéìþ ôïõ óþìáôïò åîüäïõ x (t) êáé áðü ôï óþìá åéóüäïõ x (t). K x(t) = x(t) (3.12) t Ï óõíôåëåóôþò áðüóâåóçò (æ) êáèïñßæåé ôçí éêáíüôçôá ôáëüíôùóçò ôïõ óþìáôïò åîüäïõ êáé ìðïñåß íá ðüñåé ôéìýò ßóåò Þ ìåãáëýôåñåò ôïõ ìçäåíüò. ÅÜí æ = 0: ôï óþìá åîüäïõ åêôåëåß ôáëáíôþóåéò áìåßùôïõ ðëüôïõò, æ = 1: æ>1: áðåñéïäéêþ åîýëéîç ôïõ óþìáôïò åîüäïõ ôï óþìá åîüäïõ äåí åêôåëåß ôáëáíôþóåéò êáé ç âáèìßäá áíáëýåôáé óå äýï âáèìßäåò-ñô 1 ìå óôáèåñýò ñüíïõ Ô 1 êáé Ô 2. 56

19 ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí Óôï ðáñáêüôù ó Þìá 3.26 öáßíåôáé Ýíá óìþíïò áñáêôçñéóôéêþí ãéá äéüöïñåò ôéìýò ôïõ óõíôåëåóôþ áðüóâåóçò. Ó Þìá 3.26: ÓìÞíïò áñáêôçñéóôéêþí âáèìßäáò-ñô 2 ãéá äéüöïñåò ôéìýò ôïõ (J). íá Üëëï ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü ôùí âáèìßäùí-pt 2 åßíáé ï ñüíïò áíüäïõ. Ï ñüíïò t áí åßíáé ï ñüíïò ðïõ ñåéüæåôáé ôï óþìá åîüäïõ, ãéá íá öèüóåé ãéá ðñþôç öïñü ôçí óôáôéêþ ôïõ ôéìþ x ï. Ðñüóèåôåò ðëçñïöïñßåò Ï óõíôåëåóôþò áðüóâåóçò (æ) õðïëïãßæåôáé ìå ôçí åîßóùóç: õ = ìýãéóôç õðåñýøùóç Ê = åíßó õóç Ô e = ðåñßïäïò ôçò áðïóâçóìýíçò ôáëüíôùóçò T = óôáèåñü ñüíïõ ôçò ôáëáíôïýìåíçò âáèìßäáò æ = ð 2 õ l n K õ + l n K 2 Ô 1,Ô 2 = óôáèåñýò ñüíïõ ôùí äýï âáèìßäùí-ñô æ T = Te 2ð 2 ( æ æ ) T = T ± 1 1, 2 57

20 êåöüëáéï 3 ÅÜí åßíáé ãíùóôü ôá ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü Ê, J êáé Ô, ôüôå ç áñìïíéêþ áðüêñéóç ôçò âáèìßäáò-ñô 2 åßíáé ôçò ìïñöþò: x Ê G(j ù) = = x 1 + jù 2æT + (jùt) 2 ÐáñÜäåéãìá: Äßíåôáé ôï ðáñáêüôù çëåêôñéêü êýêëùìá-rlc. Íá õðïëïãéóèåß ç áñìïíéêþ ôïõ áðüêñéóç. ÅðåéäÞ ôï êýêëùìá áðïôåëåßôáé áðü äýï äéáöïñåôéêïýò óõóóùñåõôýò åíýñãåéáò, Ýðåôáé üôé ôï ñåýìá I ìå êáôüëëçëåò ôéìýò ôùí R, L êáé C åêôåëåß ôáëüíôùóç, ìý ñé íá óôáèåñïðïéçèåß. Ó Þìá 3.26á: RLC-êýêëùìá. U = I R + I jùl + I 1 jùc (1) U = I 1 jùc (2) Äéáéñïýìå ôéò ó Ýóåéò (2) êáé (1) êáôü ìýëç êáé ëáìâüíïõìå: U 1 G(j ù) = = U 1 jùrc (j ù) RC üðïõ K = 1, T = RC, T 2 = LC Âáèìßäá ìå íåêñü ñüíï / åëåã üìåíï óýóôçìá ìå íåêñü ñüíï Ôç óõìðåñéöïñü åíüò óõóôþìáôïò ìå íåêñü ñüíï èá ìåëåôþóïõìå ìå ôç âïþèåéá åíüò ðáñáäåßãìáôïò. Áíôéðñïóùðåõôéêü ðáñüäåéãìá åßíáé ç ôáéíßá ìåôáöïñüò õëéêþí (ó Þìá 3.27). 58

21 ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí Ó Þìá 3.27: Åëåã üìåíï óýóôçìá ìå íåêñü ñüíï: ÌåôáöïñéêÞ ôáéíßá. Áðü ôï ðáñáðüíù ó Þìá 3.27 äéáðéóôþíïõìå üôé: ¼ôáí ç èýóç (s) ôïõ äéáöñüãìáôïò åßíáé óôáèåñþ, ôüôå êáé ç ðïóüôçôá ôïõ ìåôáöåñüìåíïõ õëéêïý (Q ) åßíáé óôáèåñþ. ÅÜí üìùò ìåôáâüëëïõìå îáöíéêü ôç èýóç (s) ôïõ äéáöñüãìáôïò, ôüôå áëëüæåé êáé ç ðïóüôçôá ôïõ ìåôáöåñüìåíïõ õëéêïý. Ç áëëáãþ áõôþ ãßíåôáé áíôéëçðôþ áðü ôï áéóèçôþñéï ìåôü ôçí ðüñïäï åíüò ñüíïõ T d. Ï ñüíïò áõôüò ïíïìüæåôáé íåêñüò ñüíïò. ÅÜí ç ôá ýôçôá ôçò ìåôáöïñéêþò ôáéíßáò åßíáé õ êáé ôï ìþêïò ôçò l, ôüôå ï íåêñüò ñüíïò õðïëïãßæåôáé áðü ôç ó Ýóç: l õ = Td = T d [õ] = m/sec [l] = m [T d ] = sec l õ (3.13) Ï íåêñüò ñüíïò T d åßíáé ï ñüíïò ðïõ ðåñíü áðü ôç óôéãìþ ôçò ìåôáâïëþò ôïõ óþìáôïò åéóüäïõ ìý ñé ôçí áíôßóôïé ç ìåôáâïëþ ôïõ óþìáôïò åîüäïõ. 59

ÌåëÝôç ôçò óõìðåñéöïñüò ôïõ óõóôþìáôïò Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ (êëåéóôïý âñü ïõ)

ÌåëÝôç ôçò óõìðåñéöïñüò ôïõ óõóôþìáôïò Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ (êëåéóôïý âñü ïõ) ÊåöÜëáéï 7 ÌåëÝôç ôçò óõìðåñéöïñüò ôïõ óõóôþìáôïò Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ (êëåéóôïý âñü ïõ) Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: Ï óêïðüò áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ åßíáé íá âïçèþóåé ôïõò ìáèçôýò: Ö Íá êáôáíïïýí êáé åîçãïýí ôçí åðßäñáóç

Διαβάστε περισσότερα

4.5 ÅëåãêôÞò-PI ÅëåãêôÞò ìå áíáëïãéêþ êáé ïëïêëçñùôéêþ óõìðåñéöïñü

4.5 ÅëåãêôÞò-PI ÅëåãêôÞò ìå áíáëïãéêþ êáé ïëïêëçñùôéêþ óõìðåñéöïñü ÅëåãêôÝò Ç åðéêñáôïýóá åîßóùóç ôïõ åëåãêôþ-d åßíáé ôçò ìïñöþò: u = D d dt êáé ç óõíüñôçóç ìåôáöïñüò: G u = s D u = = D s óõíüñôçóç ìåôáöïñüò 4.5 ÅëåãêôÞò-I ÅëåãêôÞò ìå áíáëïãéêþ êáé ïëïêëçñùôéêþ óõìðåñéöïñü

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr 2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim 3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =

Διαβάστε περισσότερα

Äéáôáñá Þ. +2% _ r=åýñïò åëýã ïõ. t áí. t åî. êáé t åî

Äéáôáñá Þ. +2% _ r=åýñïò åëýã ïõ. t áí. t åî. êáé t åî ÊåöÜëáéï 9 Áîéïëüãçóç åíüò ÓõóôÞìáôïò Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: Ï óêïðüò áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ åßíáé íá âïçèþóåé ôïõò ìáèçôýò: Ö Íá ãíùñßæïõí êáé íá êáôáíïïýí ôá ðïéïôéêü áñáêôçñéóôéêü åíüò

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) 44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò

Διαβάστε περισσότερα

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 4. ÅëåãêôÝò. Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé:

ÊåöÜëáéï 4. ÅëåãêôÝò. Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: ÊåöÜëáéï 4 ÅëåãêôÝò Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: Óêïðüò áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ åßíáé íá âïçèþóåé ôïõò ìáèçôýò: Ö Íá ãíùñßæïõí ôéò êáôçãïñßåò ôùí åëåãêôþí êáé ôçí ñçóéìüôçôü ôïõò. Ö Íá ãíùñßæïõí ôï ðþò óõìðåñéöýñïíôáé,

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ 28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ . Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...

Διαβάστε περισσότερα

r + u R Óõ íïãåííþôñéá ÅëåãêôÞò CHII u R 4 ON 1 e OFF t 1 t 2 t 3 t 4 e 2 3 e 1

r + u R Óõ íïãåííþôñéá ÅëåãêôÞò CHII u R 4 ON 1 e OFF t 1 t 2 t 3 t 4 e 2 3 e 1 ÊåöÜëáéï 8 ÓõóôÞìáôá Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ ìå Äéáêïðôéêïýò ÅëåãêôÝò Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: Ï óêïðüò áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ åßíáé íá âïçèþóåé ôïõò ìáèçôýò: Ö Íá ãíùñßæïõí ôç ëåéôïõñãßá ôïõ åëåãêôþ äýï èýóåùí. Ö

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1. ÅéóáãùãÞ. Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé:

ÊåöÜëáéï 1. ÅéóáãùãÞ. Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: ÊåöÜëáéï 1 ÅéóáãùãÞ Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: Óêïðüò áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ åßíáé íá âïçèþóåé ôïõò ìáèçôýò: Ö Íá äéáêñßíïõí ôéò âáóéêýò âáèìßäåò åíüò áíïéêôïý êáé åíüò êëåéóôïý óõóôþìáôïò áõôïìüôïõ åëýã ïõ. Ö

Διαβάστε περισσότερα

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé

Διαβάστε περισσότερα

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ. ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé

Διαβάστε περισσότερα

à ËÕÊÅÉÏÕ ÈÅÌÁÔÁ ÖÕÓÉÊÇÓ ÈÅÔÉÊÇÓ ÊÁÉ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÊÇÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÇÓ. ÈÅÌÁ 1ï

à ËÕÊÅÉÏÕ ÈÅÌÁÔÁ ÖÕÓÉÊÇÓ ÈÅÔÉÊÇÓ ÊÁÉ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÊÇÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÇÓ. ÈÅÌÁ 1ï 1 à ËÕÊÅÉÏÕ ÈÅÌÁÔÁ ÖÕÓÉÊÇÓ ÈÅÔÉÊÇÓ ÊÁÉ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÊÇÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÇÓ ÈÅÌÁ 1ï Óôéò åñùôþóåéò 1 4 íá ãñüøåôå óôï ôåôñüäéü óáò ôïí áñéèìü ôçò åñþôçóçò êáé äßðëá ôï ãñüììá ðïõ áíôéóôïé åß óôç óùóôþ áðüíôçóç. 1.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ .1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé

Διαβάστε περισσότερα

1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò

1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò 1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò óå üëç ôçí ýëç ÖõóéêÞò. à ôüîç ÊáèçãçôÞò: ¼íïìá: Âáèìüò: ÈÅÌÁ 1ï Åéê. 1 A. -2ìC ç Á êáé +2ìC ç  -1ìC ç Á êáé -1ìC ç  -9ìC ç Á êáé -9ìC ç  D. +1ìC ç Á êáé +1ìC ç  ÅðéëÝîôå ôç

Διαβάστε περισσότερα

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. 55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð

Διαβάστε περισσότερα

Chi-Square Goodness-of-Fit Test*

Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,

Διαβάστε περισσότερα

ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá

ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ

Διαβάστε περισσότερα

¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí

¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ÈåñìïóôÜôçò ÓõíôÞñçóçò REF-DF-SM ÅëÝã åé Ýíá èåñìïóôïé åßï PTC Êëßìáêá èåñìïêñáóßáò: -19? +99 C ëåã ïò áðüøõîçò - dfrst Ôñßá ñåëý: óõìðéåóôþò (30Á, 2ÇÑ),

Διαβάστε περισσότερα

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.) ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá

Διαβάστε περισσότερα

ÊÅÖÁËÁÉÏ 11 ÁÍÔÉÓÔÁÈÌÉÓÇ ÔÏÕ ÓÕÍÔÅËÅÓÔÇ ÉÓ ÕÏÓ R S T C C M 3~ C

ÊÅÖÁËÁÉÏ 11 ÁÍÔÉÓÔÁÈÌÉÓÇ ÔÏÕ ÓÕÍÔÅËÅÓÔÇ ÉÓ ÕÏÓ R S T C C M 3~ C ÊÅÖÁËÁÉÏ 11 ÁÍÔÉÓÔÁÈÌÉÓÇ ÔÏÕ ÓÕÍÔÅËÅÓÔÇ ÉÓ ÕÏÓ R S T M 3~ ÁÍÁËÕÓÇ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÊÕÊËÙÌÁÔÙÍ 11.1. ÅÐÉÐÔÙÓÅÉÓ ÁÌÇËÏÕ ÓÕÍÔÅËÅÓÔÇ ÉÓ ÕÏÓ Ï óõíôåëåóôþò éó ýïò óõí ö åßíáé ï ëüãïò ôçò ðñáãìáôéêþò éó ýïò P ðñïò

Διαβάστε περισσότερα

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò

Διαβάστε περισσότερα

Üóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò

Üóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 6 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá áíáãíùñßæïõí ôá åîáñôþìáôá

Διαβάστε περισσότερα

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.

Διαβάστε περισσότερα

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ

Διαβάστε περισσότερα

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá... ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï

Διαβάστε περισσότερα

Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:

Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Óõìðëçñþóôå ìå ôç óùóôþ Þ ôéò óùóôýò ðñïôüóåéò ôçí ðáñáêüôù öñüóç: Ç çëåêôñéêþ ðçãþ

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.

ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò 50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé

Διαβάστε περισσότερα

9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò.

9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò. 9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò. 9.1 ÃåíéêÜ. Ôá ðåñéóóüôåñá PLC äéáèýôïõí óçìáíôéêýò åõêïëßåò üóïí áöïñü óôïí ðñïãñáììáôéóìü ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí ìå ñçóéìïðïßçóç ôùí ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o

ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ 1. Εισαγωγή Σε ένα πείραμα εφελκυσμού, ένα δοκίμιο μήκους L και εγκάρσιας διατομής A υφίσταται συνεχώς αυξανόμενη μονοαξονική επιμήκυνση [συνήθως χρησιμοποιώντας σταθερή ταχύτητα v (crss-head

Διαβάστε περισσότερα

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò 4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï

Διαβάστε περισσότερα

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò

Διαβάστε περισσότερα

ATHINA COURT. ÐïëõôåëÞ Äéáìåñßóìáôá

ATHINA COURT. ÐïëõôåëÞ Äéáìåñßóìáôá ATHINA COURT ÐïëõôåëÞ Äéáìåñßóìáôá ΣΥΓΚΡΟΤΗΜΑ ΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ ΑΘΗΝΑ Το συγκρότημα διαμερισμάτων AΘΗΝΑ βρίσκεται σε μια ήσυχη περιοχή στην Έγκωμη, Γωνία Γρηγόρη Αυξεντίου & Αρχιεπισκόπου Λεοντίου και αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Estimation Theory Exercises*

Estimation Theory Exercises* Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

ÅÑÃÁÓÔÇÑÉÏ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÅÃÊÁÔÁÓÔÁÓÅÙÍ ÏÑÃÁÍÁ ÅËÅÃ ÏÕ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÊÕÊËÙÌÁÔÙÍ Ç ðñáãìáôïðïßçóç áõôþò ôçò Üóêçóçò Ý åé óáí óêïðü íá åîïéêåéùèïýí ïé ìáèçôýò

ÅÑÃÁÓÔÇÑÉÏ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÅÃÊÁÔÁÓÔÁÓÅÙÍ ÏÑÃÁÍÁ ÅËÅÃ ÏÕ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÊÕÊËÙÌÁÔÙÍ Ç ðñáãìáôïðïßçóç áõôþò ôçò Üóêçóçò Ý åé óáí óêïðü íá åîïéêåéùèïýí ïé ìáèçôýò 2 ÏÑÃÁÍÁ ÅËÅÃ ÏÕ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÊÕÊËÙÌÁÔÙÍ ÅÑÃÁÓÔÇÑÉÏ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÅÃÊÁÔÁÓÔÁÓÅÙÍ ÏÑÃÁÍÁ ÅËÅÃ ÏÕ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÊÕÊËÙÌÁÔÙÍ Ç ðñáãìáôïðïßçóç áõôþò ôçò Üóêçóçò Ý åé óáí óêïðü íá åîïéêåéùèïýí ïé ìáèçôýò ìå ôá üñãáíá

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá

Διαβάστε περισσότερα

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,

Διαβάστε περισσότερα

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò

Διαβάστε περισσότερα

10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç

10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç 0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò

Διαβάστε περισσότερα

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá

ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá 1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:

ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêüôù ðñïôüóåéò åßíáé óùóôýò êáé ðïéåò ëüèïò; a. Óôçí çëýêôñéóç ìå ôñéâþ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ. Åõèýãñáììç êßíçóç. ôçò ìåôáôüðéóþò ôïõ êáé íá âñåßôå ôçí ôéìþ ôçò. Ðüóï åßíáé ôï äéüóôçìá ðïõ äéüíõóå ôï êéíçôü óôç äéáäñïìþ áõôþ;

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ. Åõèýãñáììç êßíçóç. ôçò ìåôáôüðéóþò ôïõ êáé íá âñåßôå ôçí ôéìþ ôçò. Ðüóï åßíáé ôï äéüóôçìá ðïõ äéüíõóå ôï êéíçôü óôç äéáäñïìþ áõôþ; 63 63 ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ 1. Íá áíáöýñåôå ðïéá áðü ôá óþìáôá ðïõ öáßíïíôáé óôçí åéêüíá êéíïýíôáé A. Ùò ðñïò ôç Ãç B. Ùò ðñïò ôï áõôïêßíçôï. 5. íá êéíçôü ìåôáôïðßæåôáé áðü ôç èýóç Ì 1 óôç èýóç Ì 2. Íá ó åäéüóåôå

Διαβάστε περισσότερα

Ç áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò åíýñãåéáò

Ç áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò åíýñãåéáò ÊåöÜëáéï 4 Ç áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò åíýñãåéáò 4.1 Ôï Ýñãï óôù ìéá óôáèåñþ äýíáìç F äñü åðß åíüò óùìüôéïõ ðïõ êéíåßôáé åõèýãñáììá üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 4.1. Ôï Ýñãï ðïõ ðáñüãåé (Þ êáôáíáëþíåé) ç äýíáìç êáôü

Διαβάστε περισσότερα

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá

Διαβάστε περισσότερα

ÐïëëÝò åôáéñßåò ðñïóöýñïõí õðçñåóßåò

ÐïëëÝò åôáéñßåò ðñïóöýñïõí õðçñåóßåò Ferral Ferral Της Πηνελόπης Λεονταρά Σήμανση CE: Πως γίνεται ο έλεγχος της παραγωγικής Ï êáèïñéóìüò ôïõ åëýã ïõ ðáñáãùãþò óå Ýíá êáôáóêåõáóôéêü óýìöùíá ìå ôéò ôå íéêýò ðñïäéáãñáöýò ãéá ôá êïõöþìáôá, óôçí

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á. ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó

Διαβάστε περισσότερα

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁ 1ï. ÈÅÌÁ 2ï. ÈÅÌÁ 3ï. Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:

ÈÅÌÁ 1ï. ÈÅÌÁ 2ï. ÈÅÌÁ 3ï. Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Äýï áõôïêßíçôá Á êáé Â êéíïýíôáé ìå ìýóåò ôá ýôçôåò 60km/h êáé 90km/h êáé äéáíýïõí

Διαβάστε περισσότερα

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí

Διαβάστε περισσότερα

ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009

ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï

1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé

Διαβάστε περισσότερα

3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)

3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).

Διαβάστε περισσότερα

ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ

ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 138 Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 10 ÌÏÍÔÅËÏ ÁÐÏÔÉÌÇÓÇÓ ÔÙÍ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ 11 ÔÏÌÅÉÓ ÅÖÁÑÌÏÃÇÓ ÔÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ 139

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Κινηματική Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -

ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ÏñãÜíùóç ÐñïãñÜììáôïò

ÏñãÜíùóç ÐñïãñÜììáôïò ÊåöÜëáéï 4 ÏñãÜíùóç ÐñïãñÜììáôïò Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: ¼ôáí ïëïêëçñþóåôå ôç ìåëýôç áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ, èá åßóôå éêáíïß: é íá ðåñéãñüöåôå ôéò åíôïëýò ðïõ ñçóéìïðïéïýíôáé óôá õðïðñïãñüììáôá êáé óôï êýñéï

Διαβάστε περισσότερα

ÕÄÑÏËÇØÉÅÓ ÔÕÐÏÕ Á2 - Á4 ÌÅ ÁÍÔÉÐÁÃÅÔÉÊÇ ÐÑÏÓÔÁÓÉÁ

ÕÄÑÏËÇØÉÅÓ ÔÕÐÏÕ Á2 - Á4 ÌÅ ÁÍÔÉÐÁÃÅÔÉÊÇ ÐÑÏÓÔÁÓÉÁ ÕÄÑÏËÇØÉÅÓ ÔÕÐÏÕ Á - Á ÌÅ ÁÍÔÉÐÁÃÅÔÉÊÇ ÐÑÏÓÔÁÓÉÁ Ç ÅÕÄÏÓ ÁÂÅÅ êáôáóêåõüæåé õäñïëçøßåò Üñäåõóçò ôýðïõ SCHLUMBERGER ïé ïðïßåò áíôáðïêñßíïíôáé ðëþñùò ðñïò ôéò äéåèíåßò ðñïäéáãñáöýò, êáôáóêåõüæïíôáé ìå Þ ùñßò

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá

Διαβάστε περισσότερα

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,

Διαβάστε περισσότερα

V 1 V 2 = P 2 , V 2

V 1 V 2 = P 2 , V 2 55. 4.3 Íüìïé ôùí áåñßùí Áðáñáßôçôåò ãíþóåéò Èåùñßáò ¼ëåò ïé ïõóßåò óôçí áýñéá öõóéêþ êáôüóôáóç óõìðåñéöýñïíô áé ìå ôïí ßäéï ôñüðï êáé éäéáßôåñá üóïí áöïñü ôçí óõìðåñéöïñü ôïõò óôéò ìåôáâïëýò ôçò ðßåóçò,

Διαβάστε περισσότερα

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò

Διαβάστε περισσότερα

> ÁíáãåíÝò óôüäéï (ðïëý ìåãüëç äéüñêåéá) Ôï áíáãåíýò åßíáé ôï óôüäéï ôçò áíüðôõîçò. Ç ôñß á áñ ßæåé íá ãåííéýôáé êáé ðïëý ãñþãïñá ðáßñíåé ôçí ïëïêëçñù

> ÁíáãåíÝò óôüäéï (ðïëý ìåãüëç äéüñêåéá) Ôï áíáãåíýò åßíáé ôï óôüäéï ôçò áíüðôõîçò. Ç ôñß á áñ ßæåé íá ãåííéýôáé êáé ðïëý ãñþãïñá ðáßñíåé ôçí ïëïêëçñù ÊåöÜëáéï 5.2 ÓôÜäéá áíüðôõîçò ôçò ôñß áò Óêïðüò ôïõ êåöáëáßïõ áõôïý åßíáé ïé ìáèçôýò/ ôñéåò íá ãíùñßóïõí ôá óôüäéá áíüðôõîçò ôçò ôñß áò. > ÅéóáãùãÞ Ïé ôñß åò óå üðïéïí ôýðï ôñé þìáôïò êáé áí áíþêïõí (

Διαβάστε περισσότερα

6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí

6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Çëåêôñïëïãßáò ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 22/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. (i Õðïëïãßóôå ôçí óåéñü Fourier S f (x ôçò óõíáñôþóåùò (18 ìïí. { ; < x f(x

Διαβάστε περισσότερα