Περιληπτικά Στοιχεία Κβαντικής Μηχανικής 1

Transcript

1 Περιληπτικά Στοιχεία Κβαντικής Μηχανικής 1 1 Το υλικό που περιλαµβάνεται στις σελίδες που ακολουθούν δεν αποτελεί κατ ουδένα τρόπο πλήρεις σηµειώσεις του µαθήµατος, αλλά έναν οδηγό για την παρακολούθηση του µαθήµατος και την µελέτη των προτεινόµενων συγγραµµάτων.

2 1 Εισαγωγή - Ιστορική αναδροµή 1.1 Ηλεκτροµαγνητική Ακτινοβολία Φωτόνια Ακτινοβολία Μέλανος Σώµατος Ακτινοβολία σε ισορροπία µε ύλη ϑερµοκρασίας T. ρdν : ενέργεια ανά µονάδα όγκου σε συχνότητες µεταξύ ν και ν + dν. Νόµος του Kirchhoff : Η συνάρτηση ρ είναι καθολική συνάρτηση της συχνότητας και της ϑερµοκρασίας ρ(ν, T). Κλασική πρόβλεψη: Rayleigh (1900) Jeans (1905): όπου k η σταθερά Boltzmann και c η ταχύτητα του ϕωτός. ρ(ν, T) = 8πν2 kt c 3 Η ανωτέρω έκφραση, πέραν του αριθµητικού παράγοντα 8π, προκύπτει µονοσή- µαντα από τον νόµο του Kirchhoff για διαστατικούς λόγους. Είναι η µοναδική έκ- ϕραση που δίνει µέγεθος µε διαστάσεις ενέργειας ανά µονάδα όγκου και ανά µονάδα συχνότητας, από τις µεταβλητές ν και T και τις παγκόσµιες σταθερές k και c. Οι ανωτέρω διαστατικές ποσότητες είναι και οι µόνες που µπορούν να υπεισέλθουν στο ϕαινόµενο της ακτινοβολίας του µέλανος σώµατος. Η κλασική έκφραση για την συνάρτηση ρ(ν, T) είναι σε πλήρη αντίθεση µε τους άλλους δύο νόµους που διέπουν το ϕαινόµενο : Νόµος των Stefan Boltzmann: U(T) = 0 ρ(ν, T) dν T 4, και µάλιστα η σχέση Rayleigh Jeans δίνει άπειρη ολική ενέργεια (υπεριώδης καταστροφή).

3 Σχήµα 1: Προφανής ασυµφωνία του ϕάσµατος µε τις προβλέψεις της Κλασσικής Φυσικής. Νόµος του Wien : Το µέγιστο της συνάρτησης µετατοπίζεται προς το ιώδες αυξανοµένης της ϑερµοκρασίας. Οποιαδήποτε αναχώρηση από την σχέση Rayleigh Jeans προυποθέτει την εισαγωγή νέας παγκόσµιας διαστατικής σταθεράς. Planck: (1900) ρ(ν, T) = 8πh c 3 ν 3 e hν kt 1 Παραδοχή του Planck: (1900) Η ακτινοβολία του µέλανος σώµατος ταυτίζεται µε την ακτινοβολία η οποία ευρίσκεται σε ισορροπία µε µεγάλο πλήθος ϕορτισµένων αρµονικών ταλαντωτών διαφορετικών συχνοτήτων. Η ενέργεια ταλαντωτού συχνότητας ν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της ποσότητας hν. h = erg sec Σταθερά του Planck µε διαστάσεις δράσης. k = erg/k Σταθερά του Boltzmann. Φωτοηλεκτρικό Φαινόµενο Παραδοχή του Einstein: (1905) Η ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία αποτελείται από κβάντα ενέργειας E = hν hν = W mυ2, W = hν min.

4 1910 : Απόδειξη του τύπου Planck για την ακτινοβολία του µέλανος σώµατος µε ϐάση την υπόθεση Einstein (Lorentz) : Πειραµατική επιβεβαίωση της σχέσης Einstein για το ϕωτοηλεκτρικό ϕαινόµενο και µέτρηση της σταθεράς h, σε συµφωνία µε την τιµή του Planck, από την ακτινοβολία του µέλανος σώµατος. Φαινόµενο Compton ( ) λ = h (1 cosθ). m e c Το µήκος h/(m e c) = cm καλείται µήκος κύµατος Compton του ηλεκτρονίου. Ερµηνεία ως ελαστική κρούση των κβάντων ενέργειας της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας µε ηλεκτρόνια : (Φωτόνια) (Lewis)

5 Σχήµα 2: Γραµµικό ϕάσµα. 1.2 Ατοµικά ϕάσµατα Κυµατική ϕύση της ύλης E. Rutherford : Ατοµικό υπόδειγµα ϐαρέως, µικρής διάστασης, πυρήνα µε τα ηλεκτρόνια σε τροχιές. Ενα ϕορτισµένο σωµάτιο σε περιοδική τροχιά, ακτινοβολεί ϕως του οποίου η συχνότητα συµπίπτει µε αυτήν της περιφοράς. Η συχνότητα αυτή µπορεί να είναι οποιαδήποτε και επί πλέον λόγω της ακτινοβολίας το ηλεκτρόνιο χάνει ενέργεια µε αποτέλεσµα την σταδιακή πτώση του στον πυρήνα. Εχουµε δηλαδή πλήρη ασυµφωνία µε : Γραµµικά ϕάσµατα των ατόµων. Σταθερότητα των ατόµων. Bohr 1913: Τα άτοµα υπάρχουν σε ένα διακριτό πλήθος καταστάσεων µε ενέργειες E 1 < E 2 < E ηλαδή οι ενέργειες των ατόµων είναι κβαντισµένες. Εκποµπή (απορρόφηση) ακτινοβολίας έχουµε µόνον κατά την µετάπτωση από υψηλότερη (χαµηλότερη) σε χαµηλότερη (υψηλότερη) ενεργειακή στάθµη. Η συχνότητα του εκπεµποµένου (απορροφουµένου) ϕωτονίου είναι, µε ϐάση την σχέση Einstein και την διατήρηση τηε ενέργειας : ν = E m E n h Μέθοδος υπολογισµού των ενεργειών τουλάχιστον για ηλεκτρόνια σε πεδίο Coulomb. Για ηλεκτρόνιο σε κυκλική τροχιά (ας σηµειωθεί ότι η στροφορµή έχει διαστάσεις δράσης) m e υr = n, n = 1, 2,... Λόγω της κυκλικής κίνησης στο πεδίο Coulomb πυρήνα, ϕορτίου Ze έχουµε την σχέση:

6 m e υ 2 r = Ze2 r 2 και η ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι: E = m eυ 2 2 Ze2 r. Συνδυάζοντας τις ανωτέρω σχέσεις καταλήγουµε σε κβάντωση, ακτίνων, ταχυτήτων και ενεργειών ως: r n = n2 2 Zm e e 2, υ n = Ze2 n, E n = Z2 e 4 m e 2n 2 2. Κατά συνέπειαν η εκπεµπόµενη συχνότητα για µετάπτωση από την στάθµη m στην στάθµη n είναι (n < m) ν mn = E h = Z2 e 4 m e 2h 2 ( 1 n 1 ). 2 m 2 Ο υπολογισµός της σταθεράς επιτυγχάνεται µέσω της αρχής της αντιστοιχίας σύµφωνα µε την οποία το κλασικό αποτέλεσµα ανακτάται για µεγάλα n. ηλαδή για m 1 και n = m 1 η εκπεµπόµενη συχνότητα πρέπει να ισούται µε την συχνότητα περιφοράς του ηλεκτρονίου στην τροχιά του. Η αρχή αυτή δίνει = h 2π. Sommerfeld 1916: Κανόνες κβάντωσης Bohr Sommerfeld. Σε σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτωνιανή H(q, p), όπου q a οι γενικευµένες συντεταγµένες και p a οι συζυγείς ορµές οι οποίες ικανοποιούν τις εξισώσεις q a = H p a, ṗ a = H q a, εάν οι συντεταγµένες q a είναι περιοδικές συναρτήσεις του χρόνου, τότε για κάθε a p a dq a = n a h, n a ακέραιος, όπου το ολοκλήρωµα λαµβάνεται σε µία περίοδο.

7 L. de Broglie 1923: Σε κάθε σωµάτιο τετραορµής (E, p) αντιστοιχεί κύµα, κυ- µατανύσµατος (ω = E/, k = p/ ). Ως γνωστόν κύµα συχνότητας ν και κυµατικού αριθµού k περιγράφεται από την συνάρτηση ψ(t, x) = Ae iωt+i k x όπου ω = 2πν και k = 2π/λ. Το αναλλοίωτο σε µετασχηµατισµούς Lorentz επιβάλλει ότι (ω, k) είναι τετράνυσµα. Για το ϕώς ω = 2πE/h = E/, εποµένως ο κυµαταριθµός ϑα συνδέεται µε την ορµή του ϕωτονίου p = ˆnE/c = ˆnhν/c = ˆnhλ = ˆn k = k. Την υπόθεση επεξέτεινε ο de Broglie και για σωµάτια. Ενισχυτικό της υπόθεσης αυτής είναι κατ αρχήν το γεγονός ότι σε αυτού του τύπου τα κύµατα, η οµαδική ταχύτητα ισούται µε την ταχύτητα του σωµατίου. Επίσης µε την υπόθεση αυτή ο κανόνας κβάντωσης του Bohr γίνεται απλά η συνθήκη για ύπαρξη στασίµου κύµατος στην κυκλική τροχιά. Το µήκος της τροχιάς να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του µήκους κύµατος. 2πr = nλ = n2π/ k = n2π / p = m e υr = n. Πείραµα Davisson Germer 1927: Σχηµατισµός κροσσών συµβολής σε σκέδαση ηλεκτρονίων σε κρύσταλλο νικελίου

8 Άσκηση 1. Να δειχθεί η έκφραση Rayleigh Jeans για την ακτινοβολία του µέλανος σώµατος καθώς και η έκφραση Planck, χρησιµοποιώντας την υπόθεση Einstein. Το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο µπορεί να ϑεωρηθεί σε κύβο ακµής L, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, λόγω του νόµου του Kirchhoff. Αναπτύσσοντας σε σειρά Fourrier, η χωρική εξάρτηση είναι της µορφής και e i p x, p = 2π L n, n = (n 1, n 2, n 3 ), n i ακέραιοι λ = 2π p = c ν = ν = c L n Το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο συµπεριφέρεται ως πλήθος αρµονικών ταλαντωτών. πυκνότητα των αρµονικών ταλαντωτών στο διάστηµα συχνοτήτων (ν, ν + dν) είναι Η N(ν)dν = 2 4π n 2 d n = 8πL3 ν 2 dν c 3 και η πυκνότητα ενέργειας ανά µονάδα συχνοτήτων είναι ρ(ν, T)dν = Ē(T)N(ν) 1 L 3dν όπου Ē η µέση ενέργεια των αρµονικών ταλαντωτών. Για συνεχείς τιµές της ενέργειας έχουµε [ ][ ] 1 Ē = e E kt EdE e E kt de = kt 0 0 οπότε καταλήγουµε στην έκφραση Rayleigh Jeans. Για κβαντισµένες τιµές της ενέργειας (υπόθεση Einstein) Ē = [ 0 e nhν kt nhν ] [ οπότε καταλήγουµε στην έκφραση Planck. 0 e nhν kt ] 1 = hν e hν kt 1

9 Άσκηση 2. Να δειχθεί η σχέση της µετατόπισης του µήκου κύµατος για το ϕαινόµενο Compton. Θεωρώντας ελαστική κρούση ϕωτονίου µε εν ηρεµία ηλεκτρόνιο, τα τετρανύσµατα της ορµής πρό της κρούσεως είναι και µετά την κρούση (E = hν, ˆnE/c), (m e c 2, 0) (E = hν, ˆn E /c), (E e = m 2 e c4 + p 2 c 2, ˆn p) για το ϕωτόνιο και το ηλεκτρόνιο. Η διατήρηση της ενέργειας δίνει Επίσης έχουµε την διατήρηση της ορµής στην κατεύθυνση διάδοσης του αρχικού ϕωτονίου E + m e c 2 = E + E e = E 2 + E 2 2EE + 2Em e c 2 2E m e c 2 = c 2 p 2. E = E cosθ + cpcosϕ = E 2 + E 2 cos 2 θ 2EE cosθ = c 2 p 2 cos 2 ϕ, και στην κάθετη κατεύθυνση E sinθ = cpsinϕ = E 2 sin 2 θ = c 2 p 2 sin 2 ϕ, όπου οι γωνίες σκέδασης του ϕωτονίου και του ηλεκτρονίου αντίστοιχα, εκατέρωθεν της αρχικής ορµής του ϕωτονίου. Συνδυάζοντας τις ανωτέρω σχέσεις µε στόχο την απαλοιφή των στοιχείων του ηλεκτρονίου έχουµε E 2 +E 2 2EE cosθ = E 2 +E 2 2EE +2(E E )m e c 2 = EE (1 cosθ) = (E E )m e c 2 που οδηγεί στην Ϲητούµενη σχέση ( 1 ν 1 ) ν = h m e c 2(1 cosθ) = λ = λ λ = h (1 cosθ). m e c

10 2 Εξίσωση Shr οdinger Η εξίσωση η οποία διέπει την κίνηση σωµατίου µάζας m σε δυναµικό V ( r) είναι η εξίσωση Shr οdinger i 2 ψ( r, t) = t 2m 2 ψ( r, t) + V ( r)ψ( r, t) Η συνάρτηση ψ( r, t) καλείται κυµατική συνάρτηση. Η εξίσωση Shr οdinger έχει την µορφή i ψ( r, t) = Ĥψ( r, t), t δηλαδή η χρονική εξέλιξη της κυµατικής συνάρτησης δίνεται από την δράση επ αυτής ενός γραµµικού τελεστού Ĥ. Ο τελεστής της Χαµιλτωνιανής προκύπτει από την κλασική Χαµιλτωνιανή µε την αντικατάσταση των ϑέσεων και των ορµών µε τελεστές ως ακολούθως: Κλασσική Μηχανική Κβαντική Μηχανική x i ˆx i p i ˆp i Οι τελεστές της ϑέσης δρούν απλά πολλαπλασιαστικά στις κυµατικές συναρτήσεις ενώ οι τελεστές της ορµής δρούν ως παράγωγοι: ˆx i ψ( r, t) = x i ψ( r, t), ˆp i ψ( r, t) = i x i ψ( r, t). Οι ανωτέρω τελεστές είναι αυτοσυζυγείς και ικανοποιούν τις σχέσεις µετάθεσης [ˆx i, ˆp j ] = i δ ij. Ως γνωστόν οι αγκύλες Poisson στην κλασική µηχανική έχουν ιδιότητες όµοιες µε αυτές του µεταθέτη δύο τελεστών. Ειδικότερα για την ϑέση και την ορµή η αγκύλη Poisson είναι: {x i, p j } = δ ij.

11 Εποµένως ενδέχεται να υπάρχει αναλογία µεταξύ κλασικών και κβαντικών σχέσεων µε την αντικατάσταση: 2.1 Εξίσωση Συνέχειας Κλασσική Μηχανική Κβαντική Μηχανική Αγκύλη Poisson Μεταθέτης {, } i [, ] Γράφουµε την εξίσωση Shr οdinger και την µιγαδική συζυγή της i 2 ψ( r, t) = 2 ψ( r, t) + V ( r)ψ( r, t) t 2m i t ψ ( r, t) = 2 2m 2 ψ ( r, t) + V ( r)ψ ( r, t). Πολλαπλασιάζουµε την εξίσωση Shr οdinger µε ψ και την συζυγή της µε ψ και αφαιρώντας κατά µέλη έχουµε i ψ t ψ = 2 2m ψ 2 ψ + ψ V ( r)ψ i ψ t ψ = 2 2m ψ 2 ψ + ψv ( r)ψ i t (ψ ψ) = 2 2m ( ) ψ ψ ψ ψ. Καταλήγουµε δηλαδή σε µία εξίσωση συνέχειας όπου ρ t + J = 0 ρ = ψ ψ, J i ( ) = ψ ψ ψ ψ. 2m Ολοκληρώνοντας σε µία περιοχή του και εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα Gauss έχουµε V ρ t dυ = V Jdυ = d dt V ρdυ = J ds S(V ) όπου S(V ) η κλειστή επιφάνεια, σύνορο της περιοχής του χώρου V. Εάν ολοκληρώσουµε σε όλο τον χώρο και υποθέσουµε ότι το ϱεύµα J µηδενίζεται στο άπειρο, υπόθεση συµβατή µε την ύπαρξη του αριστερού ολοκληρώµατος, καταλήγουµε

12 ότι dp dt = 0, P = ρdυ. Η ϕυσική ερµηνεία της κυµατικής συνάρτησης, εάν αυτή είναι κανονικοποιηµένη, δηλαδή P = ψ ψdυ = 1 (η κανονικοποίηση πάντοτε µπορεί να γίνει στις τετραγωνικά ολοκληρώσιµες συναρτήσεις ϑεωρώντας π.χ. την ψ/ P) είναι: Η κυµατική συνάρτηση ψ( r, t) εκφράζει το πλάτος πυκνότητας πιθανότητας. Η ποσότητα ρ = ψ ψ = ψ 2 είναι πυκνότητα πιθανότητας δηλαδή dp = ψ( r, t) 2 dυ είναι η πιθανότητα το σωµάτιο να ϐρεθεί σε στοιχειώδη όγκο dυ στην περιοχή του σηµείου r την χρονική στιγµή t. Το ϱεύµα J( r, t) ονοµάζεται ϱεύµα πυκνότητας πιθανότητας. Ας σηµειωθεί ότι η χρονική σταθερότητα της ποσότητας (ψ, ψ) προκύπτει άµεσα από το αυτοσυζυγές της Χαµιλτονιανής i d dt (ψ, ψ) = i ( t ψ, ψ)+i ( t ψ, ψ) = (Ĥψ, ψ)+(ψ, Ĥψ) = (ψ, (Ĥ Ĥ )ψ) = Μέση τιµή ϕυσικού µεγέθους - Χρονική εξέλιξη µέσης τιµής Ενα ϕυσικό µέγεθος το οποίο παρίσταται στην κλασική µηχανική από µία συνάρτηση A(p i, x i, t) στην κβαντική µηχανική ϑα παρίσταται από ένα Ερµιτιανό τελεστή Â(ˆp i, ˆx i, t). Η µέση τιµή του µεγέθους σε µία κατάσταση ψ ορίζεται ως A = (ψ, Âψ). Η µέσες τιµές αυτοσυζυγών τελεστών είναι πραγµατικές. Η χρονική εξέλιξη της µέσης τιµής υπολογίζεται ως ακολούθως:

13 i d A = i d (ψ, Âψ) dt dt = ( i t ψ, Âψ) + (ψ, i ( tâ)ψ) + (ψ, Âi t ψ) = ( Ĥψ, Âψ) + i (ψ, ( tâ)ψ) + (ψ, ÂĤψ) = i (ψ, ( tâ)ψ) + (ψ, (ÂĤ ĤÂψ) = i A + [A, H] t Εποµένως για την χρονική εξέλιξη των µέσων τιµών των ϕυσικών µεγεθών ισχύει το ϑεώρηµα Ehrenfest: d A = A dt t i [A, H] Ανακαλώντας ότι στην κλασική µηχανική η χρονική εξέλιξη ϕυσικού µεγέθους A(q, p, t) δίνεται από την σχέση όπου da dt {A, H} = i = A t + {A, H} ( A H H ) A q i p i q i p i η αγκύλη Poisson του µεγέθους µε την Χαµιλτωνιανή, ϐλέπουµε ότι στην κβαντική µηχανική ισχύει ανάλογη εξίσωση για την χρονική εξέλιξη των µέσων τιµών των τελεστών µε την αντικατάσταση {A, H} i [Â, Ĥ]. 3 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής 3.1 Η Μέτρηση στην Κβαντική Μηχανική Στο ερώτηµα της σχέσης των τελεστών οι οποίοι αντιστοιχούνται στα ϕυσικά µεγέθη µε τα αποτελέσµατα µετρήσεων των µεγεθών αυτών, η απάντηση ϑα µπορούσε να είναι η µέση τιµή η οποία για αυτοσυζυγείς τελεστές είναι πραγµατικός αριθµός. Οµως εκτός από την µέση τιµή στις καταστάσεις ορίζεται και η διασπορά

14 ( A) 2 = A 2 ( A ) 2 = (A A ) 2 η οποία εκφράζει και την αβεβαιότητα στην µέτρηση της µέσης τιµής. Εποµένως εάν ϑέλουµε η κβαντική ϑεωρία να επιτρέπει την µέτρηση κάποιου µεγέθους µε όση ακρίβεια ϑέλουµε ϑα ήταν επιθυµητό το αποτέλεσµα µίας εξαιρετικά ακριβούς µέτρησης να έχει µηδενική διασπορά. Η διασπορά ενός παρατηρησίµου µηδενίζεται τότε και µόνον τότε όταν η κατάσταση είναι ιδιοκατάσταση αυτού. Πράγµατι ( A) 2 = 0 A 2 = A 2 Από την ανισότητα Cauchy Schwarz έχουµε A 2 = (ψ, Âψ) 2 (ψ, ψ)(âψ, Âψ) = ( A ) 2 (Âψ, Âψ) = (ψ, Â2 ψ), όπου έχει χρησιµοπιηθεί το αυτοσυζυγές του τελεστή και η κανονικοποίηση της κατάστασης ψ. Εποµένως ( A) 2 A 2 µε την ισότητα να ισχύει τότε και µόνον τότε όταν τα ανύσµατα ψ και Âψ είναι συγγραµµικά δηλαδή όταν το ψ είναι ιδιοάνυσµα του τελεστή Â. Το αποτέλεσµα αυτό υποδεικνύει ότι οι ιδιοτιµές των παρατηρησίµων σχετίζονται µε τα αποτελέσµατα των µετρήσεων. Ειδικά στην περίπτωση που το σύστηµα ευρίσκεται σε ιδιοκατάσταση ενός τελεστή ˆΩ ϕαίνεται να είναι λογικό να δεχθούµε ότι µέτρηση του αντίστοιχου ϕυσικού µεγέθους Ω δίνει µε ϐεβαιότητα ως αποτέλεσµα την αντίστοιχη ιδιοτιµή. Το ερώτηµα του τι συµβαίνει εάν το σύστηµα ευρίσκεται σε τυχαία κατάσταση απαντάται από τις ϑεµελιακές αρχές της κβαντικής µηχανικής. Οσον και εάν οι προηγούµενες παρατηρήσεις αποτελούν έναν οδηγό στην διατύπωση των αρχών ας επισηµανθεί για µία ακόµη ϕορά ότι οι παρατηρήσεις αυτές δεν αποτελούν απόδειξη των αρχών. Μόνον η πειραµατική επαλήθευση µπορεί να αποφασίσει εάν µία ϑεωρία, ανεξάρτητα από το εάν είναι µαθηµατικά και λογικά συνεπής, περιγράφει σωστά τα ϕυσικά ϕαινόµενα.

15 3.2 ιατύπωση των ϑεµελιακών αρχών Σε µέτρηση ϕυσικού µεγέθους Ω τα µόνα δυνατά αποτελέσµατα είναι οι ιδιοτιµές του Ερµιτιανού τελεστή ˆΩ ο οποίος αντιστοιχεί στο µέγεθος αυτό. Εφ όσον ο τελεστής ˆΩ είναι Ερµιτιανός ϑα υπάρχει ορθοκανονική ϐάση η οποία ϑα α- παρτίζεται από ιδιοανύσµατα του τελεστή και κάθε άνυσµα ϑα αναπτύσσεται σε αυτήν την ϐάση. Θα υποθέσουµε ότι το ϕάσµα του τελεστή είναι διακριτό και µη εκφυλισµένο. Για κάθε κατάσταση του συστήµατος ϑα έχουµε ψ = c 1 ψ 1 + c 2 ψ = i c i ψ i, όπου ψ i τα ορθοκανονικά ανύσµατα της ϐάσης για τα οποία ισχύει ˆΩψ i = ω 1 ψ i και c i οι συντελεστές του αναπτύγµατος, οι συνιστώσες του ανύσµατος ως προς την δοθείσα ϐάση. Εάν η κατάσταση ψ i είναι κανονικοποιηµένη ϑα ισχύει προφανώς (ψ i, ψ i ) = i c i 2 = 1. Οι συντελεστές c i είναι τα πλάτη πιθανότητας ώστε σε µέτρηση του µεγέθους Ω να ευρεθεί η τιµή ω i. Οι µη αρνητικοί αριθµοί c i 2 είναι οι αντίστοιχες πιθανότητες P(ω i ). Παρατηρήσεις 1. Εάν το ϕάσµα του τελεστή είναι εκφυλισµένο και σε µία ιδιοτιµή έστω ω_m αντιστοιχούν περισσότερα του ενός ιδιοανύσµατα, έστω ψ mi, i = 1, 2, 3,... τότε η πιθανότητα ώστε σε µέτρηση του µεγέθους Ω να ευρεθεί η τιµή ω m είναι i c mi 2, όπου c mi οι συνιστώσες του ανύσµατος ψ ως προς τα αντίστοιχα ανύσµατα ϐάσης ψ mi. 2. Εάν η κατάσταση δεν είναι κανονικοποιηµένη τότε τα c i 2 είναι οι σχετικές πιθανότητες. Η πιθανότητα δίνεται από την σχέση P ωi = c i 2 (ψ, ψ) = c i 2 j c j 2 3. Στην περίπτωση συνεχούς µέρους στο ϕάσµα του τελεστή προφανώς το αντίστοιχο c(µ) 2 ϑα είναι πυκνότητα πιθανότητος και όπου στις ανωτέρω σχέσεις υπάρχει άθροισµα ϑα αντικατασταθεί µε ολοκλήρωµα στο αντίστοιχο διάστηµα. 4. Προφανώς η ερµηνεία των συντελεστών του αναπτύγµατος ως πλάτη πιθανότητος και του

16 τετραγώνου του µέτρου τους ως πιθανότητα είναι συµβατή µε την ερµηνεία της κυµατικής συνάρτησης. Η µέση τιµή του ϕυσικού µεγέθους στην ϐάση των ιδιοανυσµάτων του αντίστοιχου τελεστή γράφεται Ω = (ψ, ˆΩψ) = i c ic j (ψ i, ˆΩψ j ) = j i ω j c ic j δ ij = j i ω i c i 2 = i ω i P(ω i ) δηλαδή ως ανεµένετο, άθροισµα των τιµών των ενδεχοµένων επι την πιθανότητα εµφάνισης εκάστου. Η ερµηνεία της µέσης τιµής τώρα είναι προφανής. Η µέση τιµή Ω ϕυσικού µεγέθους Ω είναι η µέση τιµή που προκύπτει από την µέτρηση του µεγέθους σε µεγάλο αριθµό N συστηµάτων τα οποία ευρίσκονται στην αυτή κατάσταση ψ. Παρατηρήσεις Μετά την µέτρηση του µεγέθους Ω, κατά την οποίαν ϐρέθηκε τιµή ω, το σύστηµα µεταβαίνει στην ιδιοκατάσταση του τελεστή ˆΩ (ιδιοτιµής ω). 1. Η µέτρηση επηρεάζει την κατάσταση του συστήµατος. Οι µόνες καταστάσεις οι οποίες µένουν ανεπηρέαστες από την µέτρηση ϕυσικού µεγέθους Ω είναι οι ιδιοκαταστάσεις αυτού. Εάν το σύστηµα ευρίσκεται σε ιδιοκατάσταση Ερµιτιανού τελεστή ˆΩ τότε η µέτρηση του ϕυσικού µεγέθους Ω δίνει µε ϐεβαιότητα την αντίστοιχη διοτιµή και το σύστηµα παραµένει στην ίδια κατάσταση και µετά την µέτρηση. 2. Μία µέτρηση µας δίνει πληροφορία ουσιαστικά για την κατάσταση ενός συστήµατος µετά την µέτρηση και την δυνατότητα δηµιουργίας καταστάσεων µε συγκεκριµένες ιδιότητες. Παράδειγµα Θεωρούµε ένα ϕυσικό µέγεθος Ω στο οποίο αντιστοιχεί ο Ερµιτιανός τελεστής ˆΩ. ας υπο- ϑέσουµε ότι ο τελεστής αυτός έχει τρείς διαφορετικές ιδιοτιµές ω 1, ω 2, ω 3 εκ των οποίων η πρώτη έχει διπλό εκφυλισµό ενώ οι άλλες δύο δεν είναι εκφυλισµένες. Εφ όσον ο τελεστής είναι ερµιτιανός υπάρχει ορθοκανονική ϐάση ψ 11, ψ 12, ψ 2, ψ 3 στον χώρο των καταστάσεων του συστήµατος από ιδιοανύσµατα του τελεστή. ηλαδή ˆΩψ 11 = ω 1, ψ 11, ˆΩψ12 = ω 1, ψ 12, ˆΩψ 2 = ω 2, ψ 2, ˆΩψ3 = ω 3, ψ 3,

17 και κάθε κατάσταση αναπτύσσεται σε αυτήν την ϐάση όπου ψ = c 11 ψ 11 + c 12 ψ 12 + c 2 ψ 2 + c 3 ψ 3 c 11 = (ψ 11, ψ), c 12 = (ψ 12, ψ), c 2 = (ψ 2, ψ), c 3 = (ψ 3, ψ). Σε µέτρηση του Ω µπορεί να προκύψει ως αποτέλεσµα οποιαδήποτε ιδιοτιµή και µάλιστα η ω 1 µε πιθανότητα c c 22 2 η ω 2 µε πιθανότητα c 2 2 η ω 3 µε πιθανότητα c 3 2 Στις ανωτέρω εκφράσεις η κατάσταση έχει ϑεωρηθεί κανονικοποιηµένη. Εάν αυτό δεν συµβαίνει πρέπει να γίνει διαίρεση µε c c c c 3 2. Κάθε µέτρηση δίνει µόνο ένα αποτέλεσµα. Η πιθανότητα σηµαίνει ότι εάν παραχθούν N συστήµατα στην κατάσταση ψ και µετρηθεί σε όλα το µέγεθος Ω η κάθε ιδιοτιµή ω 1, ω 2, ω 3 ϑα προκύψει ως αποτέλεσµα της µέτρησης n 1, n 2, n 3 ϕορές αντίστοιχα, όπου Η µέση τιµή του Ω είναι c c 22 2 n 1 = lim N N, c 2 2 n 2 = lim N N, c 3 2 n 3 = lim N N. και το τετράγωνο της διασποράς Ω = ω 1 ( c c 22 2 ) + ω 2 c ω 3 c 3 2 ( Ω) 2 = ω 2 1 ( c c 22 2 ) + ω 2 2 c ω 2 3 c 3 2 (ω 1 ( c c 22 2 ) + ω 2 c ω 3 c 3 2 ) 2. Μετά την µέτρηση η κατάσταση του συστήµατος ϑα έχει αλλάξει. Εάν από την µέτρηση έχει προκύψει ως αποτέλεσµα η ιδιοτιµή ω 1 η κατάσταση του συστή- µατος µετά ϑα είναι η και η αντίστοιχη κανονικοποιηµένη φ 1 = c 11ψ 11 + c 12 ψ 12 φ 1 = c 11 c c 22 2ψ 11 + c 12 c c 22 2ψ 12. Εάν από την µέτρηση έχει προκύψει ως αποτέλεσµα η ιδιοτιµή ω 2 η κατάσταση του συστή- µατος µετά ϑα είναι η φ 2 = c 2ψ 2

18 και η αντίστοιχη κανονικοποιηµένη Οµοίως και την τρίτη περίπτωση. φ 2 = c 2 c 2 2ψ 2. Είναι ϕανερό ότι όσες ϕορές και να µετρηθεί στην συνέχεια το µέγεθος Ω, το αποτέλεσµα ϑα είναι το ίδιο. Η πρώτη µέτρηση δρά ως πολωτής. 3.3 Ταυτόχρονη µέτρηση - Σχέσεις αβεβαιότητος Οι ϐασικές αρχές της κβαντικής µηχανικής έχουν ως σηµαντικό επακόλουθο ότι δεν είναι δυνατόν εν γένει να µετρηθούν ταυτόχρονα διαφορετικά ϕυσικά µεγέθη η διαφορετικά δεν υπάρχουν καταστάσεις στις οποίες να είµαστε ϐέβαιοι για την τιµή όσων ϕυσικών µεγεθών επιθυµούµε. Εστω ότι σε µία µέτρηση του µεγέθους Ω έχει ευρεθεί η τιµή ω. Εποµένως το σύστηµα ϐρίσκεται µετά την µέτρηση στην ιδιοκατάσταση χ του τελεστή ˆΩ. Ποία τιµή έχει ένα άλλο µέγεθος ˆΦ σε αυτήν την κατάσταση; Ο τελεστής ˆΦ είναι Ερµιτιανός, οπότε τα ιδιοανύσµατά του ϕ i αποτελούν ϐάση του χώρου. Εποµένως χ = i d i ϕ i. ηλαδή το µέγεθος αυτό µπορεί να έχει οιδήποτε ιδιοτιµή του µε πιθανότητα d i 2. Για να έχει µε ϐεβαιότητα µία τιµή και το µέγεθος ˆΦ ϑα πρέπει η κατάσταση χ να είναι ιδιοκατάσταση και του τελεστή ˆΦ. Είναι εποµένως ουσιαστικό να γνωρίζουµε κατά πόσον δύο τελεστές έχουν κοινά ιδιοανύσµατα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η περίπτωση κατά την οποίαν κάθε µέτρηση µας οδηγεί σε ταυτόχρονη γνώση περισσότερον του ενός µεγεθών. ηλαδή κατά πόσον όλα τα ανύσµατα ϐάσης είναι ταυτόχρονα ιδιοανύσµατα περισσοτερων τπυ ενός τελεστών. Αυτό συµβαίνει όταν οι τελεστές µετατίθενται. Στην περίπτωση αυτή η ϐάση του χώρου αποτελείται από ταυτόχρονα ιδιοανύσµατα των τελεστών. Εάν [ˆΩ, ˆΦ] = 0 τότε η ϐάση του χώρου ϑα αποτελείται από τα ανύσµατα ψ ij, όπου ˆΩψ ij = ω i ψ ij, ˆΦψij = ϕ j ψ ij.

19 Κάθε κατάσταση του χώρου ϑα αναπτύσσεται ως ψ = c ij ψ ij. i j Εάν η κατάσταση είναι κανονικοποιηµένη, η πιθανότητα P(ω i, ϕ j ) σε ταυτόχρονη µέτρηση των µεγεθών Ω και Φ να ϐρεθούν οι τιµές ω i και ϕ j αντίστοιχα είναι c ij 2. Σε µέτρηση µόνον του ενός µεγέθους, έστω του Φ, η πιθανότητανα ευρεθεί η τιµή ϕ j είναι προφανώς P(ϕ j ) = c ij 2. i Το µέγιστο πλήθος των ταυτόχρονα µετρήσιµων ποσοτήτων για ένα σύστηµα καθορίζεται από το λεγόµενο πλήρες σύνολο µετατιθέµενων τελεστών. Παράδειγµα Θεωρούµε ένα σύστηµα του οποίου ο χώρος των καταστάσεων είναι τετραδιάστατος και έχει ως πλήρες σύνολο µετατιθέµενων τελεστών τους τελεστές Â, ˆB ώστε µία ορθοκανονική ϐάση αποτελείται από τα ανύσµατα ψ 11, ψ 12, ψ 21, ψ 22 για τα οποία ισχύει και Âψ 11 = α 1 ψ 11, Âψ 12 = α 1 ψ 12, Âψ 21 = α 2 ψ 21, Âψ 22 = α 2 ψ 22 ˆBψ 11 = β 1 ψ 11, ˆBψ12 = β 2 ψ 12, ˆBψ 21 = β 1 ψ 21, ˆBψ22 = β 2 ψ 22 δηλαδή ο κάθε τελεστής έχει δύο ιδιοτιµές διπλά εκφυλισµένες. Επίσης P(α 1, β 1 ) = c 11 2, P(α 1, β 2 ) = c 12 2, P(α 2, β 1 ) = c 21 2, P(α 2, β 2 ) = c 22 2 P(α 1 ) = c c 12 2, P(α 2 ) = c c 22 2, P(β 1 ) = c c 21 2, P(β 2 ) = c c Για την π.χ. P(α 1, β 1 ) µπορούµε να κάνουµε έναν έλεγχο της συνέπειας κάνοντας διαδοχικές µετρήσεις των δύο µεγεθών µε τους δύο διαφορετικούς δυνατούς τρόπους.

20 ι. Εστω ότι µετρούµε πρώτα το µέγεθος A. Η τιµή α 1 προκύπτει µε πιθανότητα P(α 1 ) = c c Εάν ϐρούµε την τιµή α 1 τότε το σύστηµα έρχεται στην κατάσταση ψ 1 = 1 c c 12 2 (c 11ψ 11 + c 12 ψ 12 ). Εάν στην συνέχεια µετρήσουµε την πιθανότητα να ϐρούµε την τιµή β 1 για το µέγεθος B αυτή είναι P α1 (β 1 ) = c 11 2 c c 12 2, όπου τώρα P α1 (β 1 ) είναι η πιθανότητα εύρεσης της τιµής β 1 υπό την συνθήκη ότι η τιµή του A είναι α 1. Είναι γνωστό όµως ότι η πιθανότητα για την ταυτόχρονη εµφάνιση δύο ανεξάρτητων ενδεχοµένων είναι το γινόµενο των δύο ανωτέρω πιθανοτήτων P(α 1, β 1 ) = P α1 (β 1 )P(α 1 ) = c 11 2 c c 12 2( c c 12 2 ) = c ιι. Εστω τώρα ότι µετρούµε πρώτα το µέγεθος B. Η τιµή β 1 προκύπτει µε πιθανότητα P(β 1 ) = c c Εάν ϐρούµε την τιµή β 1 τότε το σύστηµα έρχεται στην κατάσταση ψ 1 = 1 c c 21 2 (c 11ψ 11 + c 21 ψ 21 ). Εάν στην συνέχεια µετρήσουµε την πιθανότητα να ϐρούµε την τιµή α 1 για το µέγεθος A αυτή είναι P β1 (α 1 ) = c 11 2 c c 21 2, όπου τώρα P β1 (α 1 ) είναι η πιθανότητα εύρεσης της τιµής α 1 υπό την συνθήκη ότι η τιµή του B είναι β 1. Η πιθανότητα εποµένως για την ταυτόχρονη εµφάνιση δύο ανεξάρτητων ενδεχοµένων είναι το γινόµενο των δύο ανωτέρω πιθανοτήτων P(α 1, β 1 ) = P β1 (α 1 )P(β 1 ) = c 11 2 c c 21 2( c c 21 2 ) = c Στο ανωτέρω παράδειγµα ϕαίνεται η συµβατότητα της µέτρησης των δύο µεγεθών. Οταν όµως οι τελεστές που αντιστοιχούν στα ϕυσικά µεγέθη δεν µετατίθενται τότε η ανωτέρω ανάλυση δεν ισχύει και η ταυτόχρονη µέτρηση δεν είναι δυνατή. Ο περιορισµός της δυνατότητας της ταυτόχρονης µέτρησης στην κβαντική µηχανική εκφράζεται από τις σχέσεις αβεβαιότητας. Ο µεταθέτης δύο αυτοσυζυγών τελεστών µπορεί πάντοτε να γραφεί ως

21 όπου Ĉ αυτοσυζυγής. Για δύο αυτοσυζυγείς τελεστές ισχύει [Â, ˆB] = i Ĉ ( A)( B) 1 2 C Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι τα παρατηρήσιµα Â και ˆB έχουν µέση τιµή µηδέν οπότε ( A) 2 = A 2 και ( B) 2 = B 2. Θεωρουµε το άνυσµα όπου λ τυχαίος πραγµατικός αριθµός. ϕ = (Â + iλ ˆB)ψ (ϕ, ϕ) 0 = ((Â + iλ ˆB)ψ, (Â + iλ ˆB)ψ) 0. Επειδή οι τελεστές Â και ˆB είναι αυτοσυζυγείς έχουµε ((Â + iλ ˆB)ψ, (Â + iλ ˆB)ψ) = (ψ, (Â iλ ˆB)(Â + iλ ˆB)ψ) = (ψ, (Â2 + λ 2 ˆB2 + iλ[â, ˆB])ψ = (ψ, ( Â 2 + λ 2 ˆB2 λĉ)ψ = λ 2 ( B) 2 λ C + ( A) 2. Για να είναι το ανωτέρω ως προς λ τριώνυµο πάντοτε µη αρνητικό ϑα πρέπει η διακρίνουσά του να είναι µη ϑετική ( C ) 2 4( A) 2 ( B) 2 0 = ( A)( B) 1 2 C. Εάν οι τελεστές δεν έχουν µηδενική µέση τιµή στην κατάσταση ψ εργαζόµαστε ως ανωτέρω µε τους τελεστές Â A και ˆB B οι οποίοι έχουν µηδενική µέση τιµή και έχουν την ίδια σχέση µετάθεσης (οι µέσες τιµές είναι αριθµοί µε αποτέλεσµα να µετατίθενται µε όλους τους τελεστές). Για να προσδιοριστεί η κατάσταση στην οποία η ανισότητα γίνεται ισότητα αρκεί να παρατηρήσουµε ότι εάν τότε το τριώνυµο έχει ϱίζα ( A)( B) 1 2 C = 0 άρα λ 0 = C 2( B) = 2( A)2 2 C

22 (Â + iλ 0 ˆB)ψ = 0. Η ανωτέρω σχέση προσδιορίζει την κατάσταση ελαχίστου γινοµένου αβεβαιότητος.

23 4 Μαθηµατικό Πλαίσιο της Κβαντικής Μηχανικής 4.1 Χώρος Hilbert Χώρος Hilbert είναι διανυσµατικός χώρος µε εσωτερικό γινόµενο ο οποίος είναι πλήρης. Εσωτερικό γινόµενο σε ένα διανυσµατικό χώρο είναι µία πράξη η οποία σε Ϲεύγος ανυσµάτων ψ, ϕ αντιστοιχεί έναν αριθµό του σώµατος του διανυσµατικού χώρου (ψ, ϕ) µε τις ακόλουθες ιδιότητες: α. (ψ, ϕ) = (ϕ, ψ), ϐ. (ψ, α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 ) = α 1 (ψ, ϕ 1 ) + α 2 (ψ, ϕ 2 ), γ. (ψ, ψ) 0, (ψ, ψ) = 0 ψ = 0. Μία σηµαντική ιδιότητα του εσωτερικού γινιµένου είναι η Ανισότης Cauchy Schwarz (ψ, ϕ) (ψ, ψ)(ϕ, ϕ), (ψ, ϕ) = (ψ, ψ)(ϕ, ϕ) ϕ = cψ. Οι λύσεις της εξίσωσης Shr οdinger, ψ( r, t) οι οποίες περιγράφουν ένα σύστηµα, έχουν την δοµή διανυσµατικού χώρου επί του σώµατος των µιγαδικών αριθµών, λόγω της γραµ- µικότητας της εξίσωσης και της οµογένειάς της. ηλαδή όλες οι δυνατές καταστάσεις ένος ϕυσικού συστήµατος είναι στοιχεία ενός µιγαδικού ανυσµατικού χώρου.επί πλέον εάν απαιτήσουµε για την ισχύ της εξίσωσης συνέχειας το ολοκλήρωµα, σε όλο τον χώρο, ψ ψdυ να είναι πεπερασµένο, ο χώρος αυτός εφοδιάζεται µε εσωτερικό γινόµενο (ψ, ϕ) = ψ ϕdυ. Ολες οι δυνατές καταστάσεις στις οποίες µπορεί να ευρεθεί ένα ϕυσικό σύστηµα είναι στοιχεία ενός χώρου Hilbert H. 4.2 Γραµµικοί τελεστές - Αυτοσυζυγείς (Ερµιτιανοί) τελεστές. Γραµµικός τελεστής Â σε ένα διανυσµατικό χώρο είναι µία απεικόνιση η οποία ικανοποιεί την σχέση

24 Â(c 1 ψ + c 2 ϕ) = c 1 Âψ + c 2 Âϕ. όπου ψ, ϕ ανύσµατα και c 1, c 2 αριθµοί. Το σύνολο των τελεστών ενός χώρου συγκροτούν µία άλγεβρα µε τις ακόλουθες πράξεις (c 1 Â 1 + c 2 Â 2 )ψ = c 1 Â 1 ψ + c 2 Â 2 ψ, [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ. Η δεύτερη πράξη ονοµάζεται ονοµάζεται µεταθέτης των δύο τελεστών και εκφράζει την εξάρτηση της διαδοχικής τους δράσης από την σειρά εφαρµογής. Το γινόµενο των δύο τελεστών είναι η διαδοχική εφαρµογή τους στα ανύσµατα (Â ˆB)ψ = Â( ˆBψ). Οι ιδιότητες του µεταθέτη είναι οι ακόλουθες: [Â, ˆB] = [ ˆB, Â] [Â, c ˆB c 2 ˆB2 ] = c 1 [Â, ˆB1 ] + c 2 [Â, ˆB2 ] [Â, ˆBĈ] = [Â, ˆB] Ĉ + ˆB[Â, Ĉ] [Â, [ ˆB, Ĉ]] + [Ĉ, [Â, ˆB]] + [ Ĉ, [ ˆB, Â]] = 0. (Ταυτότητα Jacobi) Σε χώρους µε εσωτερικό γινόµενο για κάθε τελεστή Â ορίζεται ο συζυγής τελεστής Â από την σχέση (ψ, Â g) = (g, Âψ) = (Âψ, g) Οι ιδιότητες της συζυγίας είναι οι ακόλουθες: (Â + ˆB) = Â + ˆB, (câ) = c Â, (Â ) = Â, (Â ) 1 = (Â 1 ), (Â ˆB) = ˆB Â.

25 4.3 Ιδιοτιµές - Ιδιοανύσµατα Εάν ισχύει η σχέση Âψ = λψ το άνυσµα ψ ονοµάζεται ιδιοάνυσµα του τελεστή Â το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ. Ενα άνυσµα είναι ιδιοάνυσµα ενός τελεστού όταν η δράση του τελεστού δεν αλλάζει την διεύθυνσή του, απλά το πολλαπλασιάζει µε έναν αριθµό. Ο αριθµός αυτός καλείται ιδιοτιµή. Επειδή εάν πολλαπλασιάσουµε ένα ιδιοάνυσµα µε έναν οποιδήποτε αριθµό, αυτό παραµένει ιδιάνυσµα µε την ίδια ιδιοτιµή, σε κάθε ιδιοτιµή δεν αντιστοιχεί µόνον ένα ιδιοάνυσµα αλλά τουλάχιστον µία ολόκληρη ιδιοακτίνα. Εάν όλα τα ιδιοανύσµατα τα οποία αντιστοιχούν σε µία ιδιοτιµή είναι τα ανύσµατα µίας ιδιοακτίνας, δηλαδή είναι γραµµικώς εξηρτηµένα µεταξύ τους, τότε η ιδιοτιµή καλείται µη εκφυλισµένη. Εάν υπάρχουν γραµµικώς ανεξάρτητα ανύσµατα τα οποία είναι ιδιοανύσµατα ενός τελεστή και αντιστοιχούν στην ίδια ιδιοτιµή, η ιδιοτιµή αυτή καλείται εκφυλισµένη. Στην περίπτωση αυτή στην ιδιοτιµή δεν αντιστοιχεί µόνον µία ιδιοακτίνα αλλά ένας ιδιόχωρος. [Â, Â ] = 0 και Âψ = λψ = Â ψ = λ ψ Οι ιδιοτιµές αυτοσυζυγών τελεστών είναι πραγµατικές. Ιδιοανύσµατα αυτοσυζυγούς τελεστού τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι ορθογώνια µεταξύ τους. 4.4 Φάσµα - Φασµατικό Θεώρηµα Το σύνολο των ιδιοτιµών ενός τελεστή ονοµάζεται ϕάσµα του τελεστή. Το σύνολο αυτό µπορεί να αποτελείται από διακριτές τιµές (διακριτό ϕάσµα) τιµές οι οποίες µεταβάλλονται σε συνεχές διάστηµα (συνεχές ϕάσµα) η και απο τα δύο (µεικτό ϕάσµα). Για τους αυτοσυζυγείς τελεστές ισχύουν τα ακόλουθα: Το σύνολο των γραµµικώς ανεξαρτήτων ιδιοανυσµάτων αυτοσυζυγούς τελεστού αποτελούν ϐάση του χώρου. ( Φασµατικό Θεώρηµα ) Από το σύστηµα των ιδιοανυσµάτων µπορούµε να κατασκευάσουµε ορθοκανονική ϐάση. Εστω ότι το ϕάσµα ενός τελεστή αποτελείται από διακριτές ιδιοτιµές λ i, i = 1, 2,... και συνεχείς µ, µ I, όπου I διάστηµα των πραγµατικών αριθµών.

26 Âψ i = λ i ψ i, Âχ(µ) = µχ(µ). Οι σχέσεις ορθογωνιότητος γράφονται: Οι σχέση πληρότητας γράφεται: (ψ i, ψ j ) = δ ij, (χ(µ), χ(µ )) = δ(µ µ ) ψ = i c i ψ i + I s(µ)χ(µ)dµ. Η ανωτέρω σχέση δηλώνει ότι το σύστηµα των ιδιοανυσµάτων είναι ϐάση του χώρου, δηλαδή κάθε άνυσµα του χώρου αναπτύσσεται στα ανύσµατα ϐάσης. Επειδή η ϐάση είναι ορθοκανονική οι συντελεστές δίνονται απλά από τα εσωτερικά γινόµενα του ανύσµατος µε τα ανύσµατα ϐάσης c i = (ψ i, ψ), s(µ) = (χ(µ), ψ). ύο αυτοσυζυγείς τελεστές Â, ˆB έχουν κοινό σύστηµα ιδιοανυσµάτων τότε και µόνον τότε όταν µετατίθενται ([Â, ˆB] = 0). Απόδειξη. Α. Εστω ότι υπάρχει ϐάση στον χώρο η οποία αποτελείται από ανύσµατα ψ ij τα οποία είνα ιδιοανύσµατα και των δύο τελεστών: Âψ ij = α i ψ ij, ˆBψij = β j ψ ij. Τότε σε κάθε άνυσµα ϐάσης (Â ˆB)ψ ij = Â( ˆBψ ij ) = Â(β jψ ij ) = β j Âψ ij = β j α i ψ ij ( ˆBÂ)ψ ij = ˆB(Âψ ij) = ˆB(α i ψ ij ) = α j ˆBψij = α i β j ψ ij, και επειδή οι ιδιοτιµές είναι αριθµοί και µετατίθενται (Â ˆB)ψ ij = ( ˆBÂ)ψ ij = (Â ˆB ˆBÂ)ψ ij = 0.

27 Για το τυχαίο άνυσµα ψ = ij c ijψ ij, (Â ˆB)ψ = (Â ˆB)( ij c ijψ ij ) = ij c ij[(â ˆB)ψ ij ] = ij c ij[( ˆBÂ)ψ ij] = ( ˆBÂ)( ij c ijψ ij ) = ( ˆBÂ)ψ. Εφ όσον οι δύο τελεστές δρούν µε τον ίδιο τρόπο σε όλα τα ανύσµατα του χώρου ταυτίζονται Â ˆB = ˆBÂ = [Â, ˆB] = 0. Β. Εστω τώρα ότι [Â, ˆB] = 0. Εφ όσον ο τελεστής Â είναι Ερµιτιανός υπάρχει ορθοκανονική ϐάση του χώρου αποτελούµενη από ιδιοανύσµατά του ϕ i. Âϕ i = α i ϕ i. Λόγω της µεταθετικότητας των δύο τελεστών για κάθε άνυσµα ϐάσης ϑα ισχύει Â ˆBϕ i = ˆBÂϕ i = α i ˆBϕi, δηλαδή το άνυσµα ˆBϕ i είναι ιδιοάνυσµα του Â µε την ίδια ιδιοτιµή α i. ι. Εάν η ιδιοτιµή δεν είναι εκφυλισµένη τα δύο ανύσµατα ϕ i και ˆBϕ i ϑα είναι συγγραµµικά ˆBϕ i = β j ϕ i δηλαδή το άνυσµα ϕ i είναι κοινό ιδιοάνυσµα των δύο τελεστών. ιι. Εάν η ιδιοτιµή είναι εκφυλισµένη τότε υπάρχουν περισσότερα του ενός ανύσµατα της ϐάσης έστω ϕ im τα οποία ικανοποιούν την σχέση Âϕ im = α i ϕ im και είναι ορθοκανονικά µεταξύ τους. Τα ανύσµατα αυτά παράγουν έναν υπόχωρο H i (τον ιδιόχωρο ιδιοτιµής α i ) του οποίου όλα τα ανύσµατα είναι ιδιοανύσµατα του Â ιδιοτιµής α i. Επειδή και ο τελεστής ˆB είναι Ερµιτιανός υπάρχει ορθοκανονική ϐάση του χώρου από ιδιοανύσµατά του. Κατά συνέπειαν και στον υπόχωρο H i έχουµε ορθοκανονική ϐάση από ιδιοανύσµατα του ˆB τα οποία όµως είναι και ιδιοανύσµατα του Â. Απεδείχθη εποµένως ότι εάν οι δύο τελεστές µετατίθενται υπάρχει ορθοκανονική ϐάση από κοινά τους ιδιοανύσµατα.