Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης"

Transcript

1 Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα: Ασκήσεις για τις ενότητες 7 8 (Πολυδιάστατη Κίνηση Αναδρομικός τύπος Kaufman- Roberts) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

2 Σελίδα 2

3 Περιεχόμενα 1. Σκοποί ενότητας Περιεχόμενα ενότητας Ασκήσεις για τις Ενότητες 7-8: (Πολυδιάστατη Κίνηση Αναδρομικός τύπος Kaufman-Roberts)... 7 Σελίδα 3

4 Σελίδα 4

5 1. Σκοποί ενότητας Ο βασικός σκοπός αυτής της ενότητας είναι η παρουσίαση ασκήσεων για την κατανόηση της ύλης των ενοτήτων 7 και 8 της θεωρίας του μαθήματος Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης. Οι ασκήσεις που παρουσιάζονται καλύπτουν όλο το φάσμα της αντίστοιχης ύλης της θεωρίας, ενώ κάθε άσκηση συνοδεύεται από λεπτομερή περιγραφή της διαδικασίας επίλυσης. 2. Περιεχόμενα ενότητας Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζονται ασκήσεις, καθώς και οι λύσεις τους, για την κατανόηση: 1) των συστημάτων απωλειών πολυδιάστατης τηλεπικοινωνιακής κίνησης, 2) των πολιτικών διάθεσης του διαθέσιμου εύρους ζώνης ενός συστήματος απωλειών και 3) του αναδρομικού τύπου των Kaufman- Roberts. Σελίδα 5

6 Σελίδα 6

7 3. Ασκήσεις για τις Ενότητες 7-8: (Πολυδιάστατη Κίνηση Αναδρομικός τύπος Kaufman-Roberts) Άσκηση 1 Θεωρείστε μια ζεύξη χωρητικότητας =5 μονάδων εύρους ζώνης (bandwidth units, b.u.) η οποία εξυπηρετεί κλήσεις Poisson δύο κατηγοριών κίνησης με b 1 = 1 b.u. και b 2 = 2 b.u., εφαρμόζοντας την πολιτική πλήρους διάθεσης. Αν οι παράμετροι κίνησης κάθε κατηγορίας είναι λ 1, μ 1, λ 2, μ 2, τότε: α) Να σχεδιάσετε το σύνολο καταστάσεων Ω. β) Βάσει του (α) να σχεδιάσετε το υποσύνολο : -b Ω2 n Ω nb 2 το οποίο έχει την εξής ιδιότητα: Μία νέα κλήση της 2 ης κατηγορίας γίνεται δεκτή στο σύστημα αν την στιγμή της άφιξης της, το σύστημα βρίσκεται σε κάποια κατάσταση nω 2. Λύση α, β) Το σύνολο καταστάσεων Ω αποτελείται από 12 καταστάσεις και παρουσιάζεται στο σχήμα 1. Κάθε κατάσταση n = (n 1, n 2 ) ικανοποιεί την σχέση n 1 2n 2 5. Το υποσύνολο Ω2 αποτελείται από 6 καταστάσεις, δηλαδή Ω 2 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1), (2,0), (3,0). n 2 0,2 λ 1 1,2 Ω 2 Ω μ 1 λ 2 2μ 2 λ 2 2μ 2 λ 1 λ 1 0,1 1,1 2,1 λ 1 3,1 μ 1 2μ 1 3μ 1 λ 2 μ 2 λ 2 μ 2 λ 2 μ 2 λ 2 μ 2 λ 1 λ 1 λ 1 0,0 1,0 2,0 3,0 λ 1 4,0 λ 1 5,0 μ 1 2μ 1 3μ 1 4μ 1 5μ 1 Σχήμα 1: Σύνολα καταστάσεων Ω, Ω2 του συστήματος πλήρους διάθεσης της άσκησης 1. n 1 Σελίδα 7

8 Άσκηση 2 Θεωρείστε την Άσκηση 1 και έστω λ 1 = λ 2 = μ 1 = μ 2 = 1. Για τις τιμές αυτές να υπολογίσετε την πιθανότητα απώλειας κλήσεως κάθε κατηγορίας κίνησης χρησιμοποιώντας: α) τις εξισώσεις σφαιρικής ισορροπίας (οι οποίες προκύπτουν μέσω του σχήματος 1), β) την λύση μορφής γινομένου του μοντέλου απωλειών πολυδιάστατης τυχαίας κίνησης και γ) τον αναδρομικό τύπο των Kaufman Roberts. Λύση α) Για κάθε μια από τις 12 καταστάσεις n ( n1, n2) του σχήματος 1, γράφουμε την αντίστοιχη εξίσωση σφαιρικής ισορροπίας υπό την μορφή rate-in state n = rate-out of state n: n = (0,0): μ 1 P(1,0) + μ 2 P(0,1) = (λ 1 + λ 2 )P(0,0) P(1,0) + P(0,1) - 2P(0,0) = 0 n = (0,1): λ 2 P(0,0) + 2μ 2 P(0,2) + μ 1 P(1,1) = (λ 1 + λ 2 + μ 2 )P(0,1) P(0,0) + 2P(0,2) + P(1,1) - 3P(0,1) = 0 n = (0,2): λ 2 P(0,1) + μ 1 P(1,2) = (λ 1 + 2μ 2 )P(0,2) P(0,1) + P(1,2) - 3P(0,2) = 0 n = (1,0): λ 1 P(0,0) + μ 2 P(1,1) + 2μ 1 P(2,0) = (λ 1 + λ 2 + μ 1 )P(1,0) P(0,0) + P(1,1) + 2P(2,0) - 3P(1,0) = 0 n = (1,1): λ 1 P(0,1) + λ 2 P(1,0) + 2μ 1 P(2,1) + 2μ 2 P(1,2) = (λ 1 + λ 2 + μ 1 + μ 2 )P(1,1) P(0,1) + P(1,0) + 2P(2,1) + 2P(1,2) - 4P(1,1) = 0 n = (1,2): λ 1 P(0,2) + λ 2 P(1,1) = (μ 1 + 2μ 2 )P(1,2) P(0,2) + P(1,1) - 3P(1,2) = 0 n = (2,0): λ 1 P(1,0) + μ 2 P(2,1) + 3μ 1 P(3,0) = (λ 1 + λ 2 + 2μ 1 )P(2,0) P(1,0) + P(2,1) + 3P(3,0) - 4P(2,0) = 0 n = (2,1): λ 1 P(1,1) + λ 2 P(2,0) + 3μ 1 P(3,1) = (λ 1 + μ 2 + 2μ 1 )P(2,1) P(1,1) + P(2,0) + 3P(3,1) - 4P(2,1) = 0 n = (3,0): λ 1 P(2,0) + μ 2 P(3,1) + 4μ 1 P(4,0) = (λ 1 + λ 2 + 3μ 1 )P(3,0) P(2,0) + P(3,1) + 4P(4,0) - 5P(3,0) = 0 n = (3,1): λ 1 P(2,1) + λ 2 P(3,0) = (μ 2 + 3μ 1 )P(3,1) P(2,1) + P(3,0) - 4P(3,1) = 0 n = (4,0): λ 1 P(3,0) + 5μ 1 P(5,0) = (λ 1 + 4μ 1 )P(4,0) P(3,0) + 5P(5,0) - 5P(4,0) = 0 n = (5,0): λ 1 P(4,0) = 5μ 1 P(5,0) P(4,0) - 5P(5,0) = 0 Σελίδα 8

9 Στο σημείο αυτό πρέπει να επιλύσουμε ένα γραμμικό σύστημα 12 εξισώσεων με 12 αγνώστους. Αντικαθιστώντας την εξίσωση της κατάστασης n = (1,1) με την εξίσωση Pn ( 1, n2) 1, η λύση του γραμμικού συστήματος είναι η εξής: P(0,0)= , P(0,1)= , P(0,2)= , P(1,0)= , P(1,1)= , P(1,2) = , P(2,0) = , P(2,1) = , P(3,0) = , P(3,1) = , P(4,0) = , P(5,0) = Βασιζόμενοι στις παραπάνω τιμές, μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες απώλειας κλήσεως των δύο κατηγοριών κίνησης. Οι κλήσεις της 1 ης κατηγορίας μπλοκάρονται και χάνονται όταν δεν υπάρχει διαθέσιμο εύρος ζώνης στην ζεύξη. ηλαδή: n P P(1,2) P(3,1) P(5,0) b1 Οι κλήσεις της 2 ης κατηγορίας μπλοκάρονται και χάνονται όταν υπάρχουν λιγότερες από δύο μονάδες εύρους ζώνης διαθέσιμες στην ζεύξη. ηλαδή: P P(0,2) P(2,1) P(4,0) P(1,2) P(3,1) P(5,0) b2 Από τα προηγούμενα είναι φανερό ότι η μέθοδος των εξισώσεων σφαιρικής ισορροπίας δεν μπορεί να εφαρμοστεί παρά μόνο σε συστήματα μικρής χωρητικότητας που εξυπηρετούν δύο ή το πολύ τρεις κατηγορίες κίνησης λόγω του μεγάλου αριθμού εξισώσεων που προκύπτουν. k β) Αν εφαρμόσουμε την λύση μορφής γινομένου, με ak 1 για k=1, 2: k Pn (, n) 1 2 n1 n2 a1 a2 n! n! n 1 2 n1 n2 a1 a2 n! n! 1 2 (1) τότε θα προκύψουν οι ίδιες τιμές (με εκείνες του ερωτήματος (α)) τόσο για τις P(n 1, n 2 ) όσο και για τις πιθανότητες απώλειας κλήσεως. Πράγματι, δεδομένου ότι ο παρονομαστής της (1) ισούται με: n n1 n a1a21 a1 a2 a1 a2 a1 a2 a1 a2 a1 a2 a1 a n! n! 0! 0! 0! 1! 0! 2! 1! 0! 5! 0! 1 2 έχουμε: 0 0 a1 a2 0! 0! 1 P(0, 0) , a1 a2 0! 1! 1 P(0,1) , Σελίδα 9

10 0 2 a1 a2 0! 2! 0.5 P(0, 2) , κτλ Η (1) είναι σαφώς πιο εύχρηστη από την μέθοδο του ερωτήματος (α). Ωστόσο λόγω των παραγοντικών αλλά και του παρονομαστή της (1) (ο υπολογισμός του οποίου συνεπάγεται την γνώση όλων των καταστάσεων του συνόλου Ω) δεν χρησιμοποιείται σε συστήματα μεγάλης χωρητικότητας που εξυπηρετούν πολλές κατηγορίες κίνησης. γ) Ο αναδρομικός τύπος των Kaufman Roberts απλοποιείται στην παρακάτω σχέση: jq( j) abq( jb) a b q( jb ) jq( j) q( j1) 2 q( j 2) Επειδή q(0) = 1, έχουμε: j 1: q(1) q(0) 0 1 q(1) 1.0 j 2: 2 q(2) q(1) 2 q(0) 3 q(2) 1.5 j 3: 3 q(3) q(2) 2 q(1) 3.5 q(3) j 4 : 4 q(4) q(3) 2 q(2) q(4) j 5: 5 q(5) q(4) 2 q(3) q(5) οπότε η σταθερά κανονικοποίησης ισούται με: G q( j) j0 Οι πιθανότητες απώλειας κλήσεως των δύο κατηγοριών δίνονται από τις σχέσεις: P b1 P b2 q( j) q(5) G G jb1 1 q( j) q(4) q(5) G G jb2 1 Όπως αναμενόταν ο αναδρομικός τύπος των Kaufman-Roberts οδηγεί στα ίδια αποτελέσματα με εκείνα των εξισώσεων σφαιρικής ισορροπίας και της λύσης μορφής γινομένου, αλλά με σαφώς πιο εύκολο τρόπο. Ο τύπος αυτός έχει πολυπλοκότητα Ο(K) και χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της πιθανότητας απώλειας κλήσεως σε συστήματα μεγάλης χωρητικότητας που εξυπηρετούν πολλές κατηγορίες κίνησης. Σελίδα 10

11 Άσκηση 3 Θεωρείστε την Άσκηση 2 και υπολογίστε τις πιθανότητες απώλειας κλήσεως των δύο κατηγοριών κίνησης χρησιμοποιώντας τον παρακάτω αλγόριθμο συνέλιξης (ο αλγόριθμος περιγράφεται για δύο κατηγορίες κίνησης) [1]: Βήμα 1: Για κάθε κατηγορία κίνησης k (k=1, 2) υπολογίστε την μη-κανονικοποιημένη πιθανότητα q ( j ), j=1,,, υποθέτοντας ότι η ζεύξη εξυπηρετεί μόνο κλήσεις της κατηγορίας k. Θεωρείστε ότι k qk (0) 1 για k=1, 2 και χρησιμοποιείστε τον αναδρομικό τύπο των Kaufman-Roberts για μια κατηγορία κίνησης. Βήμα 2: Αν θεωρήσουμε το σύμβολο (*) για την πράξη της συνέλιξης, να χρησιμοποιηθεί ο παρακάτω γενικός τύπος υπολογισμού των q(j) για δύο κατηγορίες κίνησης i, k: q( j) P( j)* P ( j) P( x) P ( j x) i k i k x0 j όπου οι τιμές των qk( j) qi( j) Pk( j), Pi( j) G G. Λύση Βήμα 1 1 η κατηγορία κίνησης (α 1 = 1 erl, b 1 = 1 b.u.) q (0) 1 1 q (1) abq (0) q (1) q (2) abq (1) q (2) q (3) abq (2) q (3) q (4) abq (3) q (4) q (5) abq (4) q (5) G q ( j) j0 1 και οι κανονικοποιημένες τιμές των q ( ) 1 j είναι οι εξής: P(0) q (0) / G P(1) q (1) / G P(2) q (2) / G P(3) q (3) / G P(4) q (4) / G P(5) q (5) / G Σελίδα 11

12 2 η κατηγορία κίνησης (α 1 = 1 erl, b 1 = 2 b.u.) q (0) 1 2 q (1) a b q ( 1) q (1) q (2) a b q (0) q (2) q (3) a b q (1) q (3) q (4) a b q (2) q (4) q (5) a b q (4) q (5) G q ( j) 2.5 j0 2 και οι κανονικοποιημένες τιμές των q ( ) 2 j είναι οι εξής: P(0) q (0) / G P(1) q (1) / G P(2) q (2)/ G P(3) q (3) / G P(4) q (4)/ G P(5) q (5) / G Βήμα 2 Εφαρμογή του τύπου q( j) P( j)* P ( j) P( x) P ( j x) για δύο κατηγορίες κίνησης: i k i k x0 j j 0 q(0) P(0)* P(0) P(0) P(0) j1 j 1 q(1) P(1) * P(1) P( x) P( jx) P(0) P(1) P(1) P(0) P(1) P(0) x0 j2 j 2 q(2) P(2)* P(2) P( x) P( jx) P(0) P(2) P(1) P(1) P(2) P(0) x0 j3 j 3 q(3) P(3)* P(3) P( x) P( jx) P(0) P(3) P(1) P(2) P(2) P(1) P(3) P(0) x0 Ομοίως q(4) = και q(5) = Η σταθερά κανονικοποίησης 5 G q( j) j0 Επομένως: q(0) q(1) P(0) , P(1) G G κτλ. Παρατηρούμε λοιπόν ότι τόσο οι τιμές των q(j) όσο και των πιθανοτήτων απώλειας κλήσεως συμπίπτουν με εκείνες της Ασκήσης 2 (εξισώσεις σφαιρικής ισορροπίας, λύση μορφής γινομένου, αναδρομικός τύπος Kaufman-Roberts). Ωστόσο πρέπει να σημειώσουμε ότι ο αλγόριθμος της Σελίδα 12

13 συνέλιξης που παρουσιάστηκε στην άσκηση αυτή μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε μοντέλα που έχουν λύση μορφής γινομένου. ιαφορετικά, ο αλγόριθμος γίνεται ιδιαίτερα πολύπλοκος. [1] V. B. Iversen, The exact evaluation of multi-service loss system with access control, Teleteknik, English ed., Vol 31, No 2, pp , Άσκηση 4 Θεωρείστε την Άσκηση 1 όπου υποθέτουμε ότι στην ζεύξη εφαρμόζεται η πολιτική δέσμευσης εύρους ζώνης, με παραμέτρους t 1 = 1, t 2 = 0. Να σχεδιάσετε το σύνολο καταστάσεων Ω και να δείξετε μεταξύ ποιων καταστάσεων παύει να ισχύει η έννοια της τοπικής ισορροπίας. Λύση Το σύνολο καταστάσεων Ω αποτελείται από 11 καταστάσεις και παρουσιάζεται στο σχήμα 2. Κάθε κατάσταση n = (n 1, n 2 ) ικανοποιεί την σχέση n 1 2n 2 bk 5 tk. Λόγω της πολιτικής δέσμευσης εύρους ζώνης η τοπική ισορροπία παύει να ισχύει μεταξύ των γειτονικών καταστάσεων: α) (0,2) και (1,2) και β) (2,1) και (3,1). Ως παράδειγμα θεωρείστε την περίπτωση όπου το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση (0,2) την στιγμή που φτάνει μια κλήση της 1 ης κατηγορίας. Εξαιτίας της πολιτικής δέσμευσης εύρους ζώνης, η κλήση μπλοκάρεται και χάνεται. Θεωρείστε τώρα ότι το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση (1,2). Στην περίπτωση αυτή, η κλήση της 1 ης κατηγορίας μπορεί να εξυπηρετηθεί και να φύγει από το σύστημα. Τότε η νέα κατάσταση του συστήματος είναι η (0,2). n 2 Καταστάσεις που χάνεται η τοπική ισορροπία 0,2 μ 1 1,2 Ω λ 2 2μ 2 λ 2 2μ 2 λ 1 λ 1 0,1 1,1 2,1 3,1 μ 1 2μ 1 3μ 1 λ 2 μ 2 λ 2 μ 2 λ 2 μ 2 λ 2 μ 2 λ 1 λ 1 λ 1 0,0 1,0 2,0 3,0 μ 1 2μ 1 3μ 1 λ 1 4μ 1 4,0 Σχήμα 2: Σύνολο καταστάσεων Ω του συστήματος δέσμευσης εύρους ζώνης της άσκησης 4. n 1 Σελίδα 13

14 Άσκηση 5 Θεωρείστε την Άσκηση 4 και έστω λ 1 = λ 2 = μ 1 = μ 2 = 1. Για τις τιμές αυτές και βασιζόμενοι στις εξισώσεις σφαιρικής ισορροπίας του σχήματος 2, να υπολογίσετε τη πιθανότητα απώλειας κλήσεως των δύο κατηγοριών κίνησης. Λύση Για κάθε μια από τις 11 καταστάσεις n ( n1, n2) του σχήματος 2, γράφουμε την αντίστοιχη εξίσωση σφαιρικής ισορροπίας υπό την μορφή rate-in state n = rate-out of state n: n = (0,0): μ 1 P(1,0) + μ 2 P(0,1) = (λ 1 + λ 2 )P(0,0) P(1,0) + P(0,1) - 2P(0,0) = 0 n = (0,1): λ 2 P(0,0) + 2μ 2 P(0,2) + μ 1 P(1,1) = (λ 1 + λ 2 + μ 2 )P(0,1) P(0,0) + 2P(0,2) + P(1,1) - 3P(0,1) = 0 n = (0,2): λ 2 P(0,1) + μ 1 P(1,2) = 2μ 2 P(0,2) P(0,1) + P(1,2) - 2P(0,2) = 0 n = (1,0): λ 1 P(0,0) + μ 2 P(1,1) + 2μ 1 P(2,0) = (λ 1 + λ 2 + μ 1 )P(1,0) P(0,0) + P(1,1) + 2P(2,0) - 3P(1,0) = 0 n = (1,1): λ 1 P(0,1) + λ 2 P(1,0) + 2μ 1 P(2,1) + 2μ 2 P(1,2) = (λ 1 + λ 2 + μ 1 + μ 2 )P(1,1) P(0,1) + P(1,0) + 2P(2,1) + 2P(1,2) - 4P(1,1) = 0 n = (1,2): λ 2 P(1,1) = (μ 1 + 2μ 2 )P(1,2) P(1,1) - 3P(1,2) = 0 n = (2,0): λ 1 P(1,0) + μ 2 P(2,1) + 3μ 1 P(3,0) = (λ 1 + λ 2 + 2μ 1 )P(2,0) P(1,0) + P(2,1) + 3P(3,0) - 4P(2,0) = 0 n = (2,1): λ 1 P(1,1) + λ 2 P(2,0) + 3μ 1 P(3,1) = (μ 2 + 2μ 1 )P(2,1) P(1,1) + P(2,0) + 3P(3,1) - 3P(2,1) = 0 n = (3,0): λ 1 P(2,0) + μ 2 P(3,1) + 4μ 1 P(4,0) = (λ 1 + λ 2 + 3μ 1 )P(3,0) P(2,0) + P(3,1) + 4P(4,0) - 5P(3,0) = 0 n = (3,1): λ 2 P(3,0) = (μ 2 + 3μ 1 )P(3,1) P(3,0) - 4P(3,1) = 0 n = (4,0): λ 1 P(3,0) = 4μ 1 P(4,0) P(3,0) - 4P(4,0) = 0 Στο σημείο αυτό πρέπει να επιλύσουμε ένα γραμμικό σύστημα 11 εξισώσεων με 11 αγνώστους. Αντικαθιστώντας την εξίσωση της κατάστασης n = (1,1) με την εξίσωση Pn ( 1, n2) 1, η λύση του γραμμικού συστήματος είναι η εξής: P(0,0)= , P(0,1)= , P(0,2)= , P(1,0)= , P(1,1)= , Σελίδα 14 n

15 P(1,2) = , P(2,0) = , P(2,1) = , P(3,0) = , P(3,1) = , P(4,0) = Βασιζόμενοι στις παραπάνω τιμές, μπορούμε να υπολογίσουμε τη πιθανότητα απώλειας κλήσεως των δύο κατηγοριών κίνησης ως εξής: P P P(0, 2) P(2,1) P(4, 0) P(1, 2) P(3,1) b1 b2 όπου P P επειδή b 1 t 1 b 2 t 2. b1 b2 Άσκηση 6 Θεωρείστε την Άσκηση 5. Αφού σχεδιάσετε την μονοδιάστατη αλυσίδα Markov του συστήματος, για j=0,,, να υπολογίσετε την πιθανότητα απώλειας κλήσεως των δύο κατηγοριών χρησιμοποιώντας τον αναδρομικό τύπο του Roberts. Λύση Η μονοδιάστατη αλυσίδα Markov του συστήματος παρουσιάζεται στο σχήμα 3. Στην κατάσταση j = 5 θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν κλήσεις της 1 ης κατηγορίας λ 2 λ 2 λ 2 λ 2 λ1 λ1 j = 0 j = 1 j = 2 j = 3 j = 4 μ1y1(1) μ1y1(2) μ1y1(3) μ1y1(4) λ1 λ1 j = 5 μ 2 y 2 (2) μ 2 y 2 (3) μ 2 y 2 (4) μ 2 y 2 (5) Σχήμα 3: Μονοδιάστατη αλυσίδα Markov (Άσκηση 6, πολιτική δέσμευσης εύρους ζώνης). Ο αναδρομικός τύπος του Roberts απλοποιείται στην παρακάτω σχέση: jq( j) a b q( j b ) a b q( j b ) Επειδή q(0) = 1, έχουμε: jq( j) q( j 1) 2 q( j 2) j 1,...,4 jq( j) 0 2 q( j 2) j 5 Σελίδα 15

16 j 1: q(1) q(0) 0 1 q(1) 1.0 j 2: 2 q(2) q(1) 2 q(0) 3 q(2) 1.5 j 3: 3 q(3) q(2) 2 q(1) 3.5 q(3) j 4 : 4 q(4) q(3) 2 q(2) q(4) j 5: 5 q(5) 0 2 q(3) q(5) Ενώ η σταθερά κανονικοποίησης ισούται με: G q( j) j0 Οι πιθανότητες απώλειας κλήσεως υπολογίζονται από τις σχέσεις: q( j) q(4) q(5) Pb G G P b2 jb1t11 q( j) q(4) q(5) G G jb2t21 όπου παρατηρούμε ότι οι τιμές αυτές είναι αρκετά κοντά στις ακριβείς τιμές ( ) της Άσκησης 5. Είναι χαρακτηριστικό ότι ο προσεγγιστικός (αλλά αναδρομικός) τύπος του Roberts απλοποιεί τον υπολογισμό των πιθανοτήτων απώλειας κλήσεως και παρέχει ικανοποιητική ακρίβεια ακόμα και στην περίπτωση μικρών συστημάτων (όπως το σύστημα της άσκησης μας). Άσκηση 7 Σε μία τηλεπικοινωνιακή ζεύξη χωρητικότητας 6 μονάδων εύρους ζώνης, φθάνουν κλήσεις δύο διαφορετικών κατηγοριών κίνησης. Το σύστημα μπορεί να εξυπηρετήσει το πολύ 3 κλήσεις της πρώτης κατηγορίας και καμία της δεύτερης ή το πολύ 2 κλήσεις της δεύτερης κατηγορίας και καμία της πρώτης. Το αρχικά προσφερόμενο φορτίο κίνησης των δύο κατηγοριών είναι α 1 = 1 και α 2 = 0.5 erl, αντίστοιχα. α) Πόσες μονάδες εύρους ζώνης απαιτούν οι κλήσεις των δύο κατηγοριών κίνησης; β) Πόσες και ποιες είναι οι δυνατές καταστάσεις (n 1, n 2 ) του συστήματος όπου n 1, n 2 είναι οι κλήσεις της 1 ης και 2 ης κατηγορίας που εξυπηρετούνται από την ζεύξη, αντίστοιχα. γ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα να είναι κατειλημμένες το πολύ 2 μονάδες εύρους ζώνης της ζεύξης. δ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα απώλειας κλήσεως κάθε κατηγορίας κίνησης. Λύση α) Από την εκφώνηση της άσκησης συμπεραίνουμε ότι b 1 = 2 μονάδες εύρους ζώνης και b 2 = 3 μονάδες εύρους ζώνης. Πράγματι, με τις τιμές αυτές το σύστημα μπορεί να εξυπηρετήσει το πολύ 3 κλήσεις της πρώτης κατηγορίας και καμία της δεύτερης ή το πολύ 2 κλήσεις της δεύτερης κατηγορίας και καμία της πρώτης. Σελίδα 16

17 β) Οι δυνατές καταστάσεις, της μορφής (n 1, n 2 ), είναι οκτώ: (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (3,0). γ) Από τον αναδρομικό τύπο των Kaufman-Roberts υπολογίζουμε αρχικά όλες τις μηκανονικοποιημένες τιμές των q(j), για j = 0,, 6. Έχουμε: q(0) = 1.0 1q(1) = α 1 b 1 q(1-b 1 ) + α 2 b 2 q(1-b 2 ) = 2q(-1) + 1.5q(-2) = 0 q(1) = 0.0 2q(2) = α 1 b 1 q(2-b 1 ) + α 2 b 2 q(2-b 2 ) = 2q(0) + 1.5q(-1) = 2 q(2) = 1.0 3q(3) = α 1 b 1 q(3-b 1 ) + α 2 b 2 q(3-b 2 ) = 2q(1) + 1.5q(0) = 1.5 q(3) = 0.5 4q(4) = α 1 b 1 q(4-b 1 ) + α 2 b 2 q(4-b 2 ) = 2q(2) + 1.5q(1) = 2 q(4) = 0.5 5q(5) = α 1 b 1 q(5-b 1 ) + α 2 b 2 q(5-b 2 ) = 2q(3) + 1.5q(2) = 2.5 q(5) = 0.5 6q(6) = α 1 b 1 q(6-b 1 ) + α 2 b 2 q(6-b 2 ) = 2q(4) + 1.5q(3) = 1.75 q(6) = G q( j) (σταθερά κανονικοποίησης) j0 Επομένως, η πιθανότητα να είναι κατειλημμένες το πολύ 2 μονάδες εύρους ζώνης της ζεύξης ισούται q(0) q(1) q(2) 2.0 με: G δ) P b1 P b2 q( j) q(5) q(6) G G jb1 1 q( j) q(4) q(5) q(6) G G jb2 1 Σελίδα 17

18 Άσκηση 8 Σε μία τηλεπικοινωνιακή ζεύξη χωρητικότητας 7 μονάδων εύρους ζώνης, φθάνουν κλήσεις δύο διαφορετικών κατηγοριών κίνησης. Οι κλήσεις της 1 ης κατηγορίας έχουν απαίτηση σε εύρος ζώνης b 1 =2 μονάδες εύρους ζώνης. Αν η παράμετρος δέσμευσης εύρους ζώνης των κλήσεων της 1 ης κατηγορίας είναι t 1 = 1 ενώ η παράμετρος δέσμευσης εύρους ζώνης των κλήσεων της 2 ης κατηγορίας είναι t 2 = 0, τότε επιτυγχάνεται εξισορρόπηση της πιθανότητας απώλειας κλήσεων μεταξύ των δύο κατηγοριών κίνησης. Το αρχικά προσφερόμενο φορτίο κίνησης των δύο κατηγοριών είναι α 1 = 1 και α 2 = 0.5 erl, αντίστοιχα. Να υπολογιστούν: α) Πόσες μονάδες εύρους ζώνης απαιτούν οι κλήσεις της δεύτερης κατηγορίας κίνησης; β) πόσες και ποιες είναι οι δυνατές καταστάσεις (n 1, n 2 ) του συστήματος όπου n 1, n 2 είναι οι κλήσεις της 1 ης και 2 ης κατηγορίας που εξυπηρετούνται από την ζεύξη, αντίστοιχα, γ) η πιθανότητα να είναι κατειλημμένες το πολύ 3 μονάδες εύρους ζώνης της ζεύξης, δ) η πιθανότητα να είναι κατειλημμένες τουλάχιστον 5 μονάδες εύρους ζώνης, ε) η κοινή πιθανότητα απώλειας κλήσεως και στ) η μέση τιμή των κατειλημμένων γραμμών της ζεύξης. Λύση α) Στη ζεύξη εφαρμόζεται η πολιτική δέσμευσης εύρους ζώνης. Προκειμένου να πετύχουμε εξισορρόπηση της πιθανότητας απώλειας κλήσεων μεταξύ των δύο κατηγοριών κίνησης θα πρέπει να ισχύει b 1 + t 1 = b 2 + t 2. Επομένως, b 2 = 3 μονάδες εύρους ζώνης. β) Οι δυνατές καταστάσεις, της μορφής (n 1, n 2 ), είναι οκτώ: (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (3,0). γ) Από τον αναδρομικό τύπο του Roberts, για την πολιτική δέσμευσης εύρους ζώνης, υπολογίζουμε αρχικά όλες τις μη-κανονικοποιημένες τιμές των q(j), για j = 0,, 7. Θεωρούμε ότι D 1 (j b 1 ) = b 1 για j = 1, 2,, t 1 j = 1, 2,, 6 ενώ για j = 7 ισχύει D 1 (j b 1 ) = D 1 (6)=0. Έχουμε: q(0) = 1.0 1q(1) = α 1 b 1 q(1-b 1 ) + α 2 b 2 q(1-b 2 ) = 2q(-1) + 1.5q(-2) = 0 q(1) = 0.0 2q(2) = α 1 b 1 q(2-b 1 ) + α 2 b 2 q(2-b 2 ) = 2q(0) + 1.5q(-1) = 2 q(2) = 1.0 3q(3) = α 1 b 1 q(3-b 1 ) + α 2 b 2 q(3-b 2 ) = 2q(1) + 1.5q(0) = 1.5 q(3) = 0.5 4q(4) = α 1 b 1 q(4-b 1 ) + α 2 b 2 q(4-b 2 ) = 2q(2) + 1.5q(1) = 2 q(4) = 0.5 5q(5) = α 1 b 1 q(5-b 1 ) + α 2 b 2 q(5-b 2 ) = 2q(3) + 1.5q(2) = 2.5 q(5) = 0.5 6q(6) = α 1 b 1 q(6-b 1 ) + α 2 b 2 q(6-b 2 ) = 2q(4) + 1.5q(3) = 1.75 q(6) = q(7) = 0 + α 2 b 2 q(7-b 2 ) = q(4) = 0.75 q(6) = G q( j) (σταθερά κανονικοποίησης) j0 Σελίδα 18

19 Επομένως, η πιθανότητα να είναι κατειλημμένες το πολύ 3 μονάδες εύρους ζώνης της ζεύξης ισούται με: q(0) q(1) q(2) q(3) G δ) H πιθανότητα να είναι κατειλημμένες τουλάχιστον 5 μονάδες εύρους ζώνης ισούται με: q(5) q(6) q(7) G ε) H κοινή πιθανότητα απώλειας κλήσεως ισούται με: P bequal q( j) q(5) q(6) q(7) Pb ,2. jb t G G 1 1 στ) Η μέση τιμή των κατειλημμένων γραμμών της ζεύξης ισούται με: q( j) q(1) 2 q(2) 3 q(3)... 7 q(7) E( j) j G G j1 Άσκηση 9 Σε μια τηλεπικοινωνιακή ζεύξη χωρητικότητας = 6 μονάδων εύρους ζώνης φθάνουν δύο κατηγορίες κλήσεων με ρυθμό λ 1 = 2.0 sec 1 και λ 2 = 0.2 sec -1 ενώ η μέση τιμή του χρόνου εξυπηρέτησης των κλήσεων είναι μ -1 = 1 sec και για τις δύο υπηρεσίες. Η απαίτηση σε εύρος ζώνης των δύο κατηγοριών είναι b 1 = x και b 2 = y μονάδες εύρους ζώνης. Στο σχήμα που ακολουθεί δίνεται το σύνολο των δυνατών καταστάσεων Ω του συστήματος (n 1, n 2 ο αριθμός των κλήσεων της υπηρεσίας 1, 2, αντιστοίχως). Σχήμα 4: Σύνολο δυνατών καταστάσεων Ω α) Βάσει του σχήματος, ποια είναι η πολιτική διάθεσης του εύρους ζώνης και ποιες οι τιμές των b 1, b 2 ; β) Να υπολογισθεί η πιθανότητα όλες οι μονάδες εύρους ζώνης της ζεύξης να είναι ελεύθερες. Σελίδα 19

20 γ) Να υπολογισθεί η πιθανότητα τουλάχιστον μία μονάδα εύρους ζώνης της ζεύξης να είναι κατειλημμένη. δ) Να υπολογισθεί η πιθανότητα απώλειας των κλήσεων της 1 ης και της 2 ης κατηγορίας. ε) Αν ο ρυθμός εξυπηρέτησης των κλήσεων μειωθεί στο μισό, να δικαιολογήσετε τι θα συμβεί στην πιθανότητα απώλειας των κλήσεων των δύο κατηγοριών, χωρίς να κάνετε πράξεις. στ) Πως μπορούμε να εξισορροπήσουμε τις απώλειες των δύο υπηρεσιών; Λύση α) Στο σύστημα εφαρμόζεται η πολιτική πλήρους διάθεσης (complete sharing policy) του εύρους ζώνης του συστήματος, ενώ οι τιμές των b 1, b 2 είναι οι εξής: b 1 = 1 και b 2 = 2. β) Από τον αναδρομικό τύπο των Kaufman-Roberts υπολογίζουμε αρχικά όλες τις μηκανονικοποιημένες τιμές των q(j), για j = 0,, 6. Γνωρίζουμε ότι: α 1 = λ 1 /μ 1 = 2.0 erl και α 2 = λ 2 /μ 2 = 0.2 erl Έχουμε: q(0) = 1.0 1q(1) = α 1 b 1 q(1-b 1 ) + α 2 b 2 q(1-b 2 ) = 2q(0) + 0.4q(-1) = 2 q(1) = 2.0 2q(2) = α 1 b 1 q(2-b 1 ) + α 2 b 2 q(2-b 2 ) = 2q(1) + 0.4q(0) = 4.4 q(2) = 2.2 3q(3) = α 1 b 1 q(3-b 1 ) + α 2 b 2 q(3-b 2 ) = 2q(2) + 0.4q(1) = 5.2 q(3) = q(4) = α 1 b 1 q(4-b 1 ) + α 2 b 2 q(4-b 2 ) = 2q(3) + 0.4q(2) = q(4) = q(5) = α 1 b 1 q(5-b 1 ) + α 2 b 2 q(5-b 2 ) = 2q(4) + 0.4q(3) = q(5) = q(6) = α 1 b 1 q(6-b 1 ) + α 2 b 2 q(6-b 2 ) = 2q(5) + 0.4q(4) = q(6) = G q( j) (σταθερά κανονικοποίησης) j0 Επομένως, η πιθανότητα όλες οι μονάδες εύρους ζώνης της ζεύξης να είναι ελεύθερες ισούται με την q(0) 1.0 πιθανότητα το σύστημα να είναι άδειο, δηλαδή: G γ) Η πιθανότητα τουλάχιστον μία μονάδα εύρους ζώνης της ζεύξης να είναι κατειλημμένη ισούται με: q(0) G Σελίδα 20

21 δ) P b1 P b2 q( j) q(6) G G jb1 1 q( j) q(5) q(6) G G jb2 1 ε) Μείωση του ρυθμού εξυπηρέτησης συνεπάγεται αύξηση του χρόνου εξυπηρέτησης των κλήσεων, άρα αύξηση του φορτίου κίνησης. Επομένως, η πιθανότητα απώλειας κλήσεων θα αυξηθεί τόσο για τις κλήσεις της 1 ης όσο και της 2 ης κατηγορίας. στ) Εξισορρόπηση των απωλειών επιτυγχάνουμε αν εφαρμόσουμε στο σύστημα την πολιτική δέσμευσης εύρους ζώνης με παραμέτρους t 1 = 1 και t 2 = 0. Σελίδα 21

22 Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού ΕκδόσεωνΈργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Σημείωμα Αναφοράς opyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Ιωάννης Μοσχολιός, Ιωάννης Μοσχολιός. «Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης, Ασκήσεις για τις ενότητες 7 8: Πολυδιάστατη Κίνηση Αναδρομικός τύπος Kaufman-Roberts». Έκδοση: 1.0. Πάτρα ιαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/ee772/. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης reative ommons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια ιανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, ιεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. ιατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

23 το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση ιατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό δεν κάνει χρήση εικόνων/σχημάτων/διαγραμμάτων/φωτογραφιών ή πινάκων από έργα τρίτων: Πηγές: [1] Μ. Λογοθέτης, Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές, 2 η έκδοση, Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Σελίδα 23

24 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστημίου Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σελίδα 24

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος Kaufman Roberts

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος Kaufman Roberts Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις : Παπασωτηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα: Ασκήσεις για τις ενότητες 9 0 ( ίκτυα απωλειών μορφής γινομένου Προσέγγιση μειωμένου φορτίου) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών

ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα: Ασκήσεις για την ενότητα 5 (Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σελίδα 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 10: Προσέγγιση μειωμένου φορτίου

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 10: Προσέγγιση μειωμένου φορτίου Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 0: Προσέγγιση μειωμένου φορτίου Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις : Παπασωτηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα: Ασκήσεις για τις ενότητες 3 4 (Μαρκοβιανά συστήματα απωλειών Εφαρμογή των τύπων Erlng και Enget) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 7: Πολυδιάστατη κίνηση

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 7: Πολυδιάστατη κίνηση Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 7: Πολυδιάστατη κίνηση Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις : Παπασωτηρίου Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 1η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkra Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upara.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μικροκύματα. Ενότητα 4: Προσαρμογή. Σταύρος Κουλουρίδης Πολυτεχνική Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Μικροκύματα. Ενότητα 4: Προσαρμογή. Σταύρος Κουλουρίδης Πολυτεχνική Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Μικροκύματα Ενότητα 4: Προσαρμογή Σταύρος Κουλουρίδης Πολυτεχνική Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Αρχές σχεδίασης προσαρμοσμένων (χωρίς ανακλάσεις) δικτύων με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 1: E-L Συστήματα Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 8: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ) για συστήματα διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 14: Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τμηματοποίηση εικόνων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Ενότητα: Εργασίες Διδάσκων: Βασίλης Κόμης, Καθηγητής komis@upatras.gr www.ecedu.upatras.gr/komis/ Τμήμα Επιστημών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 7: Universal motor Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης

Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης για τη Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Αλέξανδρος Σπυριδωνίδης Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 2 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άσκηση 2 ου εργαστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 5: Εφαρμογές Βελτιστοποίησης Βελτιστοποίηση της Απόδοσης Βιομηχανικών Διαδικασιών Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 4: Παραδείγματα Περιγραφής Δυναμικών Συστημάτων II Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 4: Το γενικευμένο πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου για συστήματα συνεχούς Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 4: Απόδοση συστημάτων AM υπό θόρυβο Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση της γενικής μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskl Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 1: Εισαγωγή Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 10: Δυναμικός προγραμματισμός Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 23: Υπολογισμοί σε Κβαντικά Κυκλώματα ΙΙ Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Υπολογισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 7: Απόδοση συστημάτων γωνίας υπό θόρυβο Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση της γενικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 11 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονική. Ενότητα 5: DC λειτουργία Πόλωση του διπολικού τρανζίστορ. Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Ηλεκτρονική. Ενότητα 5: DC λειτουργία Πόλωση του διπολικού τρανζίστορ. Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ηλεκτρονική Ενότητα 5: D λειτουργία Πόλωση του διπολικού τρανζίστορ Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιεχόμενα ενότητας Μεθοδολογία D ανάλυσης των κυκλωμάτων με διπολικά τρανζίστορ

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 2: Εισαγωγή στον βέλτιστο έλεγχο Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 11: Είδη και μετασχηματισμοί πινάκων Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Είδη και μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 4: ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΜΕ ΑΠΛΟ ΤΟΚΟ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creave Coons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 9: Δίκτυα απωλειών μορφής γινομένου

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 9: Δίκτυα απωλειών μορφής γινομένου Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 9: Δίκτυα απωλειών μορφής γινομένου Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις : Παπασωτηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 12: Αρχή ελαχίστου του Pontryagin Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 11: Ελεγκτές P,PI και PID για E-L συστήματα Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1 Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ2, Ενότητα : Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Ενότητα : Υλοποίηση Λεξικών µε

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 3. Ο ρόλος του εκπαιδευτικού: σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Αερισμός. Ενότητα 1: Αερισμός και αιμάτωση. Κωνσταντίνος Σπυρόπουλος, Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής

Αερισμός. Ενότητα 1: Αερισμός και αιμάτωση. Κωνσταντίνος Σπυρόπουλος, Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Αερισμός Ενότητα 1: Αερισμός και αιμάτωση Κωνσταντίνος Σπυρόπουλος, Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Ολικός και κυψελιδικός αερισμός Η κύρια λειτουργία του αναπνευστικού συστήματος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Ενότητα: Εργασίες Διδάσκων: Βασίλης Κόμης, Καθηγητής komis@upatras.gr www.ecedu.upatras.gr/komis/ Τμήμα Επιστημών

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνιακά Δίκτυα Ευρείας Ζώνης Ενότητα 8: MPLS και Τηλεπικοινωνιακή Κίνηση

Τηλεπικοινωνιακά Δίκτυα Ευρείας Ζώνης Ενότητα 8: MPLS και Τηλεπικοινωνιακή Κίνηση Τηλεπικοινωνιακά Δίκτυα Ευρείας Ζώνης Ενότητα 8: MPLS και Τηλεπικοινωνιακή Κίνηση Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Εισαγωγικά

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη ΙΙ. Εργαστηριακή Άσκηση 4. Μουστάκας Κωνσταντίνος. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστων

Τεχνητή Νοημοσύνη ΙΙ. Εργαστηριακή Άσκηση 4. Μουστάκας Κωνσταντίνος. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστων Τεχνητή Νοημοσύνη ΙΙ Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μουστάκας Κωνσταντίνος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστων ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΗΝΗ ΙΙ Ακαδημαϊκό Έτος 2014-2015 4 η Εργαστηριακή Άσκηση Καταλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 1: Κρίσιμα συμβάντα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Απομαγνητοφώνηση αποσπάσματος από Β Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος

Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Δυναμικής Άκαμπτου Σώματος... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 1.2 Ερώτηση 2... 4 1.3 Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρικά Κινητήρια Συστήματα

Ηλεκτρικά Κινητήρια Συστήματα Ηλεκτρικά Κινητήρια Συστήματα Ενότητα 7:Περιγραφή Κινητήρων Σ.Ρ. με χονδρικά διαγράμματα Επαμεινώνδας Μητρονίκας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 9: Παθητικότητα Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 3

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 3 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 3: Ενισχυτές στις χαμηλές συχνότητες Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. L d D F

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. L d D F Ηλεκτρονικά Ισχύος Ι 3 η Θεματική Ενότητα: Μετατροπείς Εναλλασσόμενης Τάσης σε Συνεχή Τάση Δρ. Μηχ. Εμμανουήλ Τατάκης, Καθηγητής Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Ασκήσεις Προς Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ. Ενότητα: Ηλεκτροστατική ΜΑΪΝΤΑΣ ΞΑΝΘΟΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ. Ενότητα: Ηλεκτροστατική ΜΑΪΝΤΑΣ ΞΑΝΘΟΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ Ενότητα: Ηλεκτροστατική ΜΑΪΝΤΑΣ ΞΑΝΘΟΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Σελίδα 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ... 4 Σελίδα 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ηλεκτροστατική 1. Στις κορυφές κανονικού n-πλεύρου τοποθετούνται ίδια φορτία q. Να δειχθεί ότι η

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο - CAD

Τεχνικό Σχέδιο - CAD Τεχνικό Σχέδιο - CAD Προσθήκη Διαστάσεων & Κειμένου ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Εντολές προσθήκης διαστάσεων & κειμένου Στο βασική (Home)

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 6: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα βέλτιστης Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 10 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος. Ενότητα 1η: Εισαγωγή. Δημήτριος Σκούρας Σχολή Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Οικονομικών Επιστημών

Τίτλος Μαθήματος. Ενότητα 1η: Εισαγωγή. Δημήτριος Σκούρας Σχολή Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Τίτλος Μαθήματος Ενότητα 1η: Εισαγωγή Δημήτριος Σκούρας Σχολή Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Οικονομικών Επιστημών 1 Σκοποί ενότητας Κατανόηση του πλαισίου όπου κινούνται οι φυσικοί πόροι και η διαχείριση

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 11: Μεγιστοποίηση κέρδους Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Οικονομικό κέρδος Μια

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 9: Αρχή της Βελτιστοποίησης-Θεωρία Hamilton Jacobi Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ. Θερμοδυναμική 2012 Σελίδα 292

ΠΙΝΑΚΕΣ. Θερμοδυναμική 2012 Σελίδα 292 ΠΙΝΑΚΕΣ 2012 Σελίδα 292 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες: Ιδανικά αέρια Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc.

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 6: Διαπεριφερειακές διαφορές Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα: Ασκήσεις για τις ενότητες 1 2 (Εισαγωγή Θεμελιώδεις σχέσεις) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σελίδα 2 Περιεχόμενα 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι

Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι Ενότητα: Επαναληπτικές Ασκήσεις Ενότητας 4 Όνομα Καθηγητή: Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 2: Γραμμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Η.Ε. Ενότητα 1: Ανάλυση συστήματος ηλεκτρικής ενέργειας

Ανάλυση Σ.Η.Ε. Ενότητα 1: Ανάλυση συστήματος ηλεκτρικής ενέργειας Ανάλυση Σ.Η.Ε Ενότητα 1: Ανάλυση συστήματος ηλεκτρικής ενέργειας Νικόλαος Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα