Shtrohet pyetja. A ekziston formula e përgjithshme për të caktuar numrin e n-të të thjeshtë?
|
|
- Χαράλαμπος Ζάχος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 KAPITULLI II. NUMRAT E THJESHTË Më parë pamë se p.sh. numri 7 plotpjesëtohet me 3 dhe me 9 (uptohet se çdo numër plotpjesëtohet me dhe me vetvetën). Shtrohet pyetja: me cilët numra plotpjesëtohet numri 7? Po numri 9? Pasi të analizojmë pyetjen vijmë në përfundim që eziston disa numra që nu plotpjesëtohen me asnjë numër përveç numrit dhe vetvetës. Në lidhje me ëtë japim ëtë përufizim: Përufizimi. Numri i plotë më i madhë se që nu a pjesëtues tjerë përveç numrit dhe vetvetës quhet numër i thjeshtë. Pra, numrat, 3, 5, 7,, 3, 7, 9 janë numra të thjeshtë. Si quhen numrat që nu janë të thjeshtë? Japim përufizimin vijues. Përufizimi. Numri i plotë, jo i thjeshtë dhe më i madh se quhet numër i përbërë. Po ç mund të thuhet për numrin? Numri nu është as numër i thjeshtë e as numër i përbërë. Le të përujtojmë se numrat çift mund të paraqiten në formën a = u Z urse numrat te paraqiten në formën b = + (ose b = ) u Z. Shtrohet pyetja. A eziston formula e përgjithshme për të catuar numrin e n-të të thjeshtë? Përgjigja është se deri më tani nu dihet një formulë e tillë dhe mbase me gjasë një formulë e tillë është e pamundshme. Ajo që mund të bëjmë është të gjejmë numrat e thjeshtë më të vegjël se numri i dhënë n. Për ëtë e përdorim Semën e Eratostenit (Eratosthenue 76 p.e.s 94 p.e.s). Sema e Eratostenit Sema e Eratostenit është një metodë për të catuar numrat e thjeshtë më të vegjël (ose baraz me numrin e dhënë n). Kjo ryhet due u bazuar në hapat vijues. Hapi. Shruajmë të gjithë numrat prej deri në n.
2 36 Hapi. Eliminojmë numrin (sepse nu është numër i thjeshtë). Hapi 3. Numri i parë i thjeshtë është numri. Të gjithë shumëfishët e numrit eliminohen nga lista, pra eliminohen 4, 6, 8, 0, Hapi 4. Vazhdojmë (thehemi) te numri i parë i listës i cili as nu është eliminuar e as nu është vendosur në rreth, y numër do të jetë i thjeshtë, ështu që eliminojmë të gjithë shumëfishat e atij numri. Shënim. Disa shumëfisha mbase më parë mund të jenë eliminuar. Hapi 5. Përsëritet hapi 4 gjersa çdo numër në listë të jetë i vendosur në rreth ose të jetë eliminuar. Pas ryerjes së ëtyre hapave, e numrat e thjeshtë më të vegjël ose baraz me n janë numrat e vendosur në rreth (numrat që nu janë eliminuar). Le të provojmë semën e Eratostenit në shembullin vijues: Shembulli. Të catohen të gjithë numrat e thjeshtë më të vegjël ose baraz me 00. Zgjidhja: Le të shruajmë numrat prej deri në Zbatojmë hapat 5 të semës së Eratostenit. Eliminojnë numrin. Numri është i thjeshtë. Le të i vendosim rrethin në të. I eliminojmë të gjithë shumëfishët e numrit. Vazhdojmë me 3 që është numër që nu
3 është as i vendosur në rreth e as i eliminuar. Numri 3 është i thjeshtë. E vendosim në rreth dhe eliminojmë të gjithë shumëfishët e tij. Ngjashëm veprojmë me numrat 5 dhe 7. Numri në radhë i thjeshtë është. E vendosim në rreth. Nëse provojmë të eliminojmë shumëfishët e numrit do të shohim se të gjithë tashmë janë eliminuar. E njëjta vlenë për të gjithë numrat e mbetur. Pra, numrat e thjeshtë më të vegjël se 00 janë, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 9, 97. Le të mundohemi të sqarojmë uptimin e numrit të thjeshtë. Le t i referohemi figurës së mëposhtme. 37 Pra, vërejmë se emi njësi atrore. Detyra e jonë është që nga ëto njësi atrore të ndërtojmë drejtëndësha. Me ëtë rast na paraqiten disa mundësi të ndërtimit të drejtëndëshit. Drejtëndëshat që mund të formohen janë:, 6,3 4. (Drejtëndëshat, ; 6,6,3 4,4 3, përatësisht, janë të të njëjtës formë, ështu që do të onsiderohen të njëjtë, pasi që njëri fitohet me rrotullimin e tjetrit). Nëse do të ishim 4 njësi atrore, atëherë do të mund të fitohen gjithsejtë 4 drejtëndësha: 4 = 4 = = 3 8, 4 6. Çfarë do të ndodh nëse emi 5 njësi atrore, apo 7 njësi atrore? Me fjalë të tjera, nëse emi p njësi atrore, u p është numër i thjeshtë? Sa drejtëndësha do të mund të formonim? Le të shohim problemin, ur emi 5 njësi atrore. Një drejtëndësh që mund të fitohet me ëtë rast është drejtëndëshi 5.
4 38 (Drejtëndëshat 5,5 onsiderohen të njëjtë). Mundësi të tjera të formimit të drejtëndëshit me 5 njësi atrore nu a. Nëse diush mundohet të formojë drejtëndësha të tjerë, nu do të arrijë, sepse numri i thjeshtë p nu a fatorë (pjesëtues) të tjerë përveç numrit dhe vetvetës, për dallim nga numrat e përbërë të cilët anë të patën 3 fatorë. Shtrohet pyetja: A është i fundëm apo i pafundëm numri i numrave të thjeshtë? Përgjigjen e a dhënë Eulidi, para mijëra vitesh. Teorema e Eulidit. Ezistojnë pafundësisht shumë numra të thjeshtë. Para se të vërtetojmë ëtë teoremë do të paraqesim dy pohime ndihmëse: Lema. Numri i plotë n është i përbërë, atëherë dhe vetëm atëherë nëse ezistojnë numrat e plotë ab, të tillë që n= a b, < a< n, < b< n. Vërtetim: Le të jetë n. Nëse n është numër i përbërë, atëherë esiton numri i plotë pozitiv a i tillë që a, a n dhe a n. D.m.th. n= a b, për ndonjë numër të plotë b. Meqë na, janë numra pozitiv, i till është edhe b. Pra, b. Meqë a, a n, a numër pozitiv emi < a< n. Tregojmë se < b< n. Vërtetë, siur b = atëherë a= n, gjë që nu është e mundur. Poashtu, siur b= n atëherë a =, gjë që poashtu nu është e mundur. Pra, mbetet që < b< n. Pra, n= a b, < a< n, < b< n, gjë që e ompleton pjesën e parë të vërtetimit. Anasjelltas është e qartë. Lema. Nëse n >, eziston numri i thjeshtë p i tillë që p n. Le të vërtetojmë në vijim teoremën e Eulidit. Supozojmë të undërtën, pra se bashësia e numrave të thjeshtë është e fundme. Le të jetë ajo P = { p =, p = 3, p3 = 5,..., p n }
5 Le të jetë N = p p... p n +, pra numrat e bashësisë P janë shumëzuar mes veti, dhe prodhimit të tyre i është shtuar numri. Të ujtojmë se prodhimi i tillë është i mundshëm, sepse emi të bëjmë me bashësi të fundme numrash. Në bashësinë e pafundme të numrave nu do të mund të ryenim shumëzimin në mënyrën e mësipërme. Është e qartë se numri N është më i madh se secili prej numrave p, p, p,..., p, pra N është i ndryshëm prej të gjithëve. 3 n Meqë bashësia P është bashësia e të gjithë numrave të thjeshtë, atëherë numri N nu mund të jetë i thjeshtë. Pra, mbetet që numri N të jetë numër i përbërë. D.m.th. N a fatorë të thjeshtë. Ky fator i thjeshtë duhet të jetë element i bashësisë P, pra duhet të jetë njëri nga elementet p, p,..., p n. Le të themi se p i është fatori i thjeshtë i numrit N. Është e qartë se prodhimi p p... p p p... p a fatorë të thjeshtë numrin p. i i i+ n Pra, pi N dhe pi p p... pi pi pi+... pn. D.m.th. pi N p p... pi pi pi+... pn. N p p... p p p... p Por i i i+ n = p p... p p p... p + p p... p p p... p =. i i i+ n i i i+ n D.m.th. p i e jo vlen vetëm nëse p i =, gjë që nu është e mundur sepse numri më i vogël i thjeshtë është numri. Pra, supozimi ynë se bashësia e numrave të thjeshtë është e fundme qena i gabuar. Mbetet të onludojmë se ezistojnë pambarim numra të thjeshtë. Një pyetje që ende vazhdon të ërojë përgjigje është nëse numrat p + janë ryesisht të thjeshtë ose të përbërë: P.sh. numrat 3 + = 7, 35 + = 3, =, = 3 janë numra të thjeshtë por numri = 3003 është i përbërë. Le të paraqesim edhe një vërtetim të tjetër të teoremës së Eulidit. Vërtetimi sipas Euler-it: Le të supozojmë se a numër të fundëm të numrave të thjeshtë. Le të jenë ata p, p,..., p. Shqyrtojmë prodhimin: r i 39
6 40 r X =. = p () Së pari është e qartë se prodhimi i mësipërm është mirë i përufizuar, sepse sipas përufizimit numri nu është i thjeshtë dhe sipas supozimit a numër të fundëm të numrave të thjeshtë. Shfrytëzojmë fatin se: = () p p p Për ëtë secilin fator të prodhimit () e paraqesim në trajtën () me ç rast merret. X = pr pr pr = = n n Por siç dijmë seria është seri diveregjente. D.m.th. emi arritur në n n ontradision. Pra, a pafundësisht shumë numra të thjeshtë. Më vonë gjatë ëtij ursi do të shohim vërtetimin sipas Goldbahut (Goldbach). Vërtetojmë tani pohimin vijues. Pohimi. Çdo numër i përbërë n a fator të thjeshtë p >, i cili është më i vogël ose baraz me n. Vërtetim. Numri n mund të shruhet në trajtën n= p p. Supozojmë të undërtën, pra se p > n dhe p > n. Atëherë n = p p > n n = n që është ontradision. Pra, së pau njëri nga fatorët p, p është më i vogël se n. Me fjalë të tjera nëse n nu a fator të thjesht më të vegjël ose baraz me n atëherë n është i thjeshtë. Shembulli. Tregoni se numri 3 është numër i përbër urse 0 është numër i thjeshtë.
7 Zgjidhje: Së pari njehsojmë 3 =, 09. D.m.th. duhet të ërojmë fatorët e thjeshtë, 3, 5, 7,. Shohim se 3 = 3. 4, pra 3 është numër i përbërë. Për të parë se 0 është numër i thjeshtë. Njehsojmë 0 = Pra, duhet ëruar fatorët e thjeshtë, 3, 5, 7. Lehtë provohet se asnjë nga numrat, 3, 5, 7 nu e pjesëtojmë numrin 0. Pra, 0 është numër i thjeshtë. Ne tashmë treguam se a pambarim shumë numra të thjeshtë. Shtrohet pyetja. Si janë të shpërndarë ata? Në lidhje me ëtë po japim pa vërtetim teoremën. Teorema. (Teorema e numrave të thjeshtë) Le të jetë π ( x) numri i numrave të thjeshtë më të vegjël se x. Atëherë π ( x) lim = () x x ln x Siç mund të vërejmë nga (), vlera π ( x) është afërsisht e barabartë me x raportin. Hipotezën për satësinë e relacionit () të parët e parashtruan ln x Lezhandri (Legendre) dhe Gausi (Gauss). Në vitin 85, matematiani rus π ( n)ln( n) Çebishevi (Chebyshev) vërtetoi se nëse raporti a limit ai do të n jetë. Vërtetimi i parë rigoroz i teoremës u bë në vitin 896 nga Hadamardi (J. Hadamard) dhe Vale Pose (C.J. Wallée Poussin) në mënyrë të pavarur nga njëri tjetri. Gjatë vërtetimit ata përdorën funsionin f() s =, të dhënë nga Euleri s n= n në vitin 737. Në vitin 949 Atle Selberg dhe Paul Erdös paraqiten vërtetimin elementar të teoremës. 4 Në vijim po paraqesim grafiun e funsioneve π ( x) dhe ln xx të punuar në MATEMATIKA (program i dizajnuar për njehsime matematie).
8 4 Është fare e natyrshme të shtrohet pyetja. A a ndonjë formulë me anë të së cilës mund të gjenerohen të gjithë numrat e thjeshtë. Përgjigja është negative. Ndonëse a formula që japin numra të thjeshtë për çfarëdo vlere të ndryshores n, nu eziston ndonjë formulë në të cilën për ndonjë vlerë të n it do të mund të catonim numrin e n të të thjeshtë. Fati se shpërndarja e numrave të thjeshtë është shumë e çrregulltë bëri që të dështojnë të gjitha përpjejet për të catuar një formulë të tillë. Po për çfarë shpërndarje të çrregulltë bëhet fjalë. Le të shohim ëtë me anë të shembujve vijues. Esitojnë çifte të numrave të thjeshtë të formës ( p, p+ ). Pra, a raste ur numrat e thjesht janë shumë afër njëri tjetrit. Numrat e tillë quhen numra binjaë. Hipoteza e numrave binjaë thotë se ezistojnë pambarim shumë numra binjaë. Në anën tjetër, a shumë numra të njëpasnjëshëm të përbërë. Për shembull, vargu i numrave 00! +,00! + 3,...,00! + 00 paraqet 000 numra të njëpasnjëshëm të përbërë. Shembulli 3. Të catohet numri p, nëse dihet se numrat p, p+, p+ 4 janë numra të thjeshtë. Zgjidhja. Meqë numrat p, p+, p+ janë tre numra të njëpasnjëshëm, mbetet që njëri prej tyre të plotpjesëtohet me 3. Siur p + të plotpjesëtohet me 3 atëherë p+ 4 = ( p+ ) + 3 plotpjesëtohet me 3, pra nu është numër i thjeshtë.
9 Siur p + të plotpjesëtohet me 3, atëherë ai nu do të ishte i thjeshtë. Mbetet që p të plotpjesëtohet me 3, e jo është e mundur vetëm nëse p = 3, sepse në të undërtën p do të ishte numër i përbërë. Shembulli 4. Të tregohet se numrat e thjeshtë të trajtës 3 + e anë trajtën 6n +. Zgjidhja. Është e qartë se te numri i thjeshtë i trajtës 3 + numri nu mund të jetë numër te (sepse siur = n+ atëherë 3 + = 3(n+ ) + = 6n+ 4-numër çift). Pra, =. n Atëherë 3+ = 3 n+ = 6n+. Shembulli 5. Le të jetë p numër i thjeshtë i tillë që p dhe 3p 3 të jenë atror të numrave të plotë. Të vërtetohet se 5p është atror i një numri natyror për të patën një numër të thjeshtë p. Zgjidhja. Le të jetë p = dhe 3p 3= m. Atëherë due i mbledhur anë për anë dy shprehjet e fundit merret p = + m + () 5 3 Poashtu 5p = 4(p ) (3p 3), pra 5p 4 m = () Nga () dhe () merret + m + 3= 4 m, përatësisht 3( ) = m 3( ) ( + ) = m. Dallojmë rastet: 43 3( ) = ) + = m ) 3( ) = m + = 3) 3( ) = m + = m 4) 7) 3( ) = m 3( + ) = 5) 6) + = m = m 3( + ) = m 3( + ) = m 8). = m = m 3( + ) = m = Përveç rastit të tretë, me zgjidhjen e të cilit merret = 5, m= 6 rastet tjera nu anë zgjidhje.tregoni.
10 44 Për = 5 ose m = 6 merret p = 3. Pra, përfundojmë se për p = 3, 5p është atror i një numri natyror (numrit 8). 4n 4n Shembulli 6. Shprehja x + 4y të shprehet si prodhim i dy polinomeve Pastaj të tregohet se numri është numër i përbërë. Zgjidhja. Në mënyrë që të merret ndryshimi i atrorëve shprehjes 4n 4n x + 4y i shtojmë dhe i zbresim 4x n y n. x + 4y = x + 4x y + 4y 4 x y = ( x + y ) ( x y ) 4 n 4 n 4 n n n 4 n n n n n n n = n n n n n n n n ( x y x y )( x y x y ). Tregojmë tani pjesën tjetër të detyrës: = = ( )( ) = ( )( ) që tregon se numri Detyra. Shprehja x është numër i përbërë. + 64y të shprehet si prodhim i dy polinomeve. 6n 3n Detyra. Shprehja 6 n x të shprehet si prodhim i pesë polinomeve. Shembulli 7. a) Të tregohet se 6 është numër iracional. b) Të tregohet se + 3 është numër iracional. Zgjidhja. a) Supozojmë se 6 është numër racional. D.m.th 6 mund të shruhet në trajtë të thyesës (si herës i dy numrave relativisht të thjeshtë), pra p 6 =,( pq, ) =. q Due ngritur në atror merret: p 6 = ose p = 6 q. q Nga barazia e fundit përfundojmë se p është numër çift, e me ëtë edhe p, pra p = p. Këtë e zëvendësojmë në barazinë e fundit dhe marrim: ( p ) = 6 q, përatësisht 4p = 6q prej nga p = 3 q.
11 45 Prej ëtu onludojmë se q duhet të jetë numër çift, gjë që është në undërshtim me fatin se ( pq, ) =. b) Supozojmë të undërtën, pra se + 3 është numër racional, pra se + 3 = qq,. Ngrisim në atror barazinë e fundit dhe merret = q 5+ 6 = q, prej nga q 5 6 =. Relacioni i fundit nu është i satë, sepse në bazë të rastit a) 6 q 5 është numër iracional, urse është numër racional. Detyra 3. Të vërtetohet se për çdo numër të thjeshtë p, p - është numër iracional. 6. TEOREMA FUNDAMENTALE NË ARITMETIKË Para se të vërtetojmë njërën nga teoremat më të rëndësishme në teorinë e numrave do të vërtetojmë disa pohime ndihmëse: Pohimi. Nëse a b c dhe ( ab, ) = atëherë a c. Vërtetim. Meqë ( ab, ) = atëherë në bazë të Lemës së Bezout, ezistojnë numrat e plotë s, t të tillë që: as + bt =. Le të shumëzojmë me c të dy anët e relacionit të mësipërm. c = cas + cbt = a( cs) + ( bc) t. Sipas supozimit a b c. Është e qartë se a a( cs ), ështu që a a( cs) + ( bc) t = c. D.m.th. a c. Pohimi. (Lema e Eulidit). Nëse p është numër i thjeshtë dhe p a b, atëherë p a ose p b. Vërtetim. Supozojmë se p a b. Më tutje supozojmë se p a. Le të jetë d = ( p, a). Vërejmë se d > 0, d p dhe d a. Meqë d p emi d = ose d = p.
12 46 Nëse d atëherë d = p. Por, jo do të thotë se p a gjë që është në undërshtim me supozimin se p a. Mbetet që d =. Pra ( pa, ) = dhe p a b. Kështu, sipas pohimit, emi p b. Rrjedhimi. Le të jenë a, a,..., a n numra të plotë të ndryshëm nga 0 dhe. Nëse p është numër i thjeshtë dhe p a a... an atëherë p a për ndonjë m, m n. m Rrjedhimi. Nëse p, p,..., p n janë numra të thjeshtë dhe p p p... pn atëherë p = p për ndonjë i, i n. Le t i thehemi teoremës: Teorema. (Teorema fundamentale në aritmetië). i Çdo numër i potë n >, mund të paraqitet në mënyrë të vetme në formën n= p..., p p s u s është numër i plotë dhe p, p,..., p s janë numra të thjeshtë që plotësojnë ushtin: p p... p s. Teorema e mësipërme mund të haset edhe më ëtë formulim: Çdo numër i plotë n > mund të shprehet në formën n= p..., p p s për ndonjë numër të plotë s, u pi, i {,,..., s} janë numra të thjeshtë, dhe jo paraqitje është e vetme deri në renditjen e numrave të thjeshtë. Për shembull numri 360 mund të paraqitet si vijon Fati se numri 360 mund të paraqitet edhe në format: 360 = () 360= = 533
13 e arsyeton atë që e ceëm se paraqitja është e vetme due mos pasur parasysh renditjen. Nëse i referohemi relacionit () atëherë numrin 360 mund ta paraqesim në 3 trajtën 360 = 3 5. Në përgjithësi, nëse n > numri natyror n mund të paraqitet në trajtën: a a a... s, për s, u p < p <... < ps dhe ai, i. Shprehja () mund të paraqitet në trajtën: 47 n= p p p s () s n= p Le t i thehemi vërtetimit të teoremës. Nëse n është numër i thjeshtë, paraqitja është e realizuar. i= Nëse n është numër i përbërë, ai a të patën dy pjesëtues, pra n= p p,0 < n, n < n. Nëse n është numër i thjeshtë, atë e lëmë ashtu, nëse jo vazhdojmë precedurën. Pas një numri të fundëm hapash, merret paraqitja e numrit n. Le të tregojmë se paraqitja është e vetme. Le të jetë S bashësia e numrave të plotë pozitiv, më të mëdhenjë se, të cilët mund të paraqiten si prodhim i numrave të thjeshtë në së pau dy mënyra dhe le të supozojmë se S është bashësi jo boshe. Në bazë të Asiomës të Renditjes së Plotë, bashësia S e a elementin më të vogël, të cilin po e shënojmë me n. Pra, n është numër i plotë pozitiv, më i madh se i cili mund të paraqitet si prodhim i numrave të thjeshtë, së pau në dy mënyra, dhe çdo numër i plotë m, i tillë që < m< n, mund të paraqitet si prodhim i numrave të thjeshtë vetëm në një mënyrë. Shënim. Numri n është numër i përbërë, sepse siur n të jetë numër i thjeshtë, atëherë " n= n" është e vetmja mënyrë e paraqitjes së n it si prodhim i numrave të thjeshtë, p.sh. 7=7. (Nxënësi le të arsyetojë pse numri n është i përbërë). ai i.
14 48 Pra, numri n mund të shruhet si vijon: n= p... p p n= q..., q q l u pi, qj, i {,,..., l}, j {,,..., l} janë numra të thjeshtë dhe l, janë së pau. Le të vërejmë se p = q për ndonjë j. Nëse p, = q atëherë është e qartë. j Nëse p q, atëherë meqë p, q janë numra të thjeshtë, emi ( p, q ) =. Le t i referohemi pohimit. Nëse a b c dhe ( ab, ) = atëherë a c. Le të shënojmë a = p, b= q, c= q... q l. Kemi p ( p... p) = q q... ql. a b c Kështu që p (që luan rolin e a -së në bazë të lemës) e pjesëton q... ql (që luan rolin e bc ), prandaj p q... q l. Këtë proces e përsërisim. Nëse p q,..., p ql atëherë në hapin e fundit do të marrim që p. q l Meqë p, q l janë numra të thjeshtë merret që p = q l. Numrat q i radhisim ashtu që p = q. j Zëvendësojmë n n m = =. Atëherë m= p... p = q... ql. p q Por, m>, m< n dhe m a vetëm një fatorizim sipas numrave të thjeshtë. Kjo, d.m.th. se = l dhe përveç renditjes, pi - të janë të barabarta me q j. Due marrë se edhe p = q përfundojmë se edhe n a të njëjtën paraqitje. Pohimi. Nëse zbërthimi anoni i numrit a është a= p p... p α atëherë të gjithë pjesëtuesit e numrit a janë numrat d = p p... p β u βi, i=,,..., të tillë që 0 βi αi, i=,,...,.
15 Vërtetim. Le të jetë d një pjesëtues i numrit natyror a. Le të jetë p një pjesëtues i thjeshtë i çfarëdoshëm i numrit d, pra p d. Meqë d a atëherë p a. Pra, p është pjesëtues i prodhimit p α p α... p α, u p, p,..., p janë të thjeshtë. 49 Në bazë të rrjedhimit përfundojmë se p është njëri nga numrat p, p,..., p. rrjedhimisht d = p β p β... p β u β i, i=,,..., janë numra të plotë jonegativ. Për çdo β i, i=,,..., vlen β i α i sepse siur p.sh. β > α atëherë p α p α p α β β β = ( p p... p ) q, q.... Due pjesëtuar me p α do të merrnim barazimin: p α... p α β = p α β β p... p q β α α α α α prej nga rrjedh se p p... p p p... p. Në bazë të rrjedhimit merret që p është njëri nga numrat p,..., p gjë që paraqet ontradision. Shembulli. Të catohen pjesëtuesit e numrit 7. 3 Zgjidhja. Meqë 7 = 3 atëherë në bazë të pohimit, përfundojmë se β β pjesëtuesit e numrit 7 janë numrat d = 3, u 0 β 3 dhe 0 β. Pra β = 0,,,3; β = 0,,. 0 0 Për β = 0, β = 0, d = 3 =. 0 Për β =, β = 0, d = 3 =. 0 Për β =, β = 0, d = 3 = Për β = 3, β = 0, d = 3 = 8. Ngjashëm ryhen edhe njehsimet tjera. Pra, pjesëtuesit e numrit 7 janë:,,3,4,6,8,9,,8, 4,36,7. Shembulli. Të catohen të gjithë numrat natyror n për të cilët numri n + 6n+ 646 është atror i një numri natyror. Zgjidhja. Le të n + 6n+ 646 = m. Atëherë n + 6n = m. D.m.th. m ( n+ 3) = 637, përatësisht ( m n 3) ( m+ n+ 3) = 9 7.
16 50 m n 3= 7 Merret sistemi. Pse? m + n + 3 = 9 Due mbledhur anë për anë të dy barazimet e sistemit të mësipërm merret m = 49. Pra ( n+ 3) = n= 39. Përfundojmë se n = 39 është numri i vetëm natyror për të cilin shprehja n + 6n+ 646 është atror i një numri natyror. Shembulli. Le të jetë τ ( n) numri i pjesëtuesve të numrit n (ëtu përfshihen edhe dhe n). Të catohet numri më i vogël natyror n për të cilin vlen τ ( n) =τ (004). Zgjidhja. Së pari do të paraqesim disa sqarime. Le të shqyrtojmë për shembull numrin 4. Provohet lehtë se pjesëtuesit e numrit 4 janë:,, 3, 4, 6, 8,, 4. Pra τ (4) = 8. Nëse shqyrtojmë numrin 30, atëherë pjesëtuesit e numrit 30 janë,, 3, 5, 6, 0, 5, 30. Pra τ (30) = 8. Pra, vërejmë se τ (4) =τ (30) = 8, por 4 është më i vogël se 30. D.m.th. 4 është numri më i vogël natyror n i tillë që τ ( n) = 8. Por për të përcatuar numrin e pjesëtuesve të numrave të mëdhenjë nu është detyrë e lehtë. Në vijim do të shohim një metodë për të përcatuar numrin e pjesëtuesve të numrit të dhënë. Përujtojmë se çdo numër natyror n, mund të shruhet në s mënyrë të vetme në formën n= p p... p s, u p, p,..., p s janë numra të thjeshtë të ndryshëm mes veti, urse,,..., s janë numra natyror. P.sh = 3 5 = 3 5; 360 = 3 5. Kështu nëse p është numër i thjeshtë atëherë pjesëtuesit e numrit p, janë:, p, p,..., p, p, pra gjithsejtë janë + pjesëtues të numrit p. D.m.th. τ ( p ) = +. s Atëherë meqë n= p p... p s do të emi Tani meqë n s τ ( ) = ( + ) ( + )... ( + ). 004 = 3 67 emi
17 5 τ (004) = ( + ) ( + ) ( + ) = 3 =. D.m.th. numri 004 a gjithsejtë pjesëtues. Detyra e jonë është që të catojmë numrin më të vogël natyror që a pjesëtues, pra që τ ( n) =. Meqë = = 6= 3 4= 4 3= 6 = 3= 3 = 3 atëherë numrat që anë pjesëtues janë të trajtave vijuese: p, pq, pq, pq, pqpqr,, pqr, pqr. Pse? Numrat më të vegjël të ëtyre trajtave janë: ,3, 3, 3, 3,35, 35,3 5, përatësisht 048,486,08,7,96,50,60,90. Përfundojmë se numri më i vogël natyror me pjesëtues qena numri KU GABOI FERMA? Në vitin 653 Ferma formuloi pohimin: Të gjithë numrat e trajtës n, n 0,,,3,... + = janë të thjeshtë. Ferma pohimin e tij e arsyetoi si vijon: n = 0 n = n = n = 3 n = = + = 3 + = + = 4+ = = + = 6+ = = + = 56 + = = + = = Meqë për vlerat n = 0,,, 3, 4 Ferma mori numra të thjeshtë, ai nu ngurroi ta përgjithësoi pohimin e tij edhe për n = 5, 6,... Por ai nu arriti ta vërtetoi ëtë. Madje, ai nu e vërtetoi pohimin as për n = 5, sepse me ëtë rast merret: = + = = për të cilin nu mundi të tregonte se është i thjeshtë! Piërisht, ëtu gaboi Ferma.
18 5 Këtë gabim të tij, do ta dëshmoi 00 vite më vonë, më 753, matematiani i 5 njohur Leonard Euleri i cili vërtetoi se numri + plotpjesëtohet me 64. Sot, me ndihmën e ompjuterëve janë gjetur edhe numra të tjerë të trajtës n + të cilët nu janë të thjeshtë. P.sh. numri = + është treguar se nu është i thjeshtë. Të thesojmë se për nder të Fermës, numrat e trajtës + quhen numra të Fermës. Në vijim do të shohim një vërtetim elegant të prezentuar nga matematiani 5 G.T.Berret i cili tregon që numri + plotpjesëtohet me 64 (pra, është numër i përbërë). Vërtetimi mbështetet në dy pohime ndihmëse: Pohimi. Numri 5 + plotpjesëtohet me 64 = 5 + = Vërtetë 5 + = (5 + ) = Pohimi. Numri plotpjesëtohet me 64. Vërtetë = (5 ) (5 + ) = (5 ) (5 + ) (5 + ) 7 4 = 64 (5 ) (5 + ) Tani, meqë numrat 5 + dhe plotpjesëtohen me 64 edhe ndryshimi i tyre 5 + (5 ) = + = + plotpjesëtohet me 64, gjë që duhej treguar. n
PASQYRIMET (FUNKSIONET)
PASQYRIMET (FUNKSIONET) 1. Përkufizimi i pasqyrimit (funksionit) Përkufizimi 1.1. Le të jenë S, T bashkësi të dhëna. Funksion ose pasqyrim nga S në T quhet rregulla sipas së cilës çdo elementi s S i shoqëronhet
Διαβάστε περισσότεραparaqesin relacion binar të bashkësisë A në bashkësinë B? Prandaj, meqë X A B dhe Y A B,
Përkufizimi. Le të jenë A, B dy bashkësi të çfarëdoshme. Çdo nënbashkësi e bashkësisë A B është relacion binar i bashkësisë A në bashkësinë B. Simbolikisht relacionin do ta shënojmë me. Shembulli. Le të
Διαβάστε περισσότεραPËRMBLEDHJE DETYRASH PËR PËRGATITJE PËR OLIMPIADA TË MATEMATIKËS
SHOQATA E MATEMATIKANËVE TË KOSOVËS PËRMBLEDHJE DETYRASH PËR PËRGATITJE PËR OLIMPIADA TË MATEMATIKËS Kls 9 Armend Sh Shbni Prishtinë, 009 Bshkësitë numerike Të vërtetohet se numri 004 005 006 007 + është
Διαβάστε περισσότεραCilat nga bashkësitë = {(1, ), (1, ), (2, )},
RELACIONET. RELACIONI BINAR Përkufizimi. Le të jenë A, B dy bashkësi të çfarëdoshme. Çdo nënbashkësi e bashkësisë A B është relacion binar i bashkësisë A në bashkësinë B. Simbolikisht relacionin do ta
Διαβάστε περισσότεραLigji I Ohmit Gjatë rrjedhës së rrymës nëpër përcjellës paraqitet. rezistenca. Georg Simon Ohm ka konstatuar
Rezistenca elektrike Ligji I Ohmit Gjatë rrjedhës së rrymës nëpër përcjellës paraqitet rezistenca. Georg Simon Ohm ka konstatuar varësinë e ndryshimit të potencialit U në skajët e përcjellësit metalik
Διαβάστε περισσότεραFluksi i vektorit të intenzitetit të fushës elektrike v. intenzitetin të barabartë me sipërfaqen të cilën e mberthejnë faktorët
Ligji I Gauss-it Fluksi i ektorit të intenzitetit të fushës elektrike Prodhimi ektorial është një ektor i cili e ka: drejtimin normal mbi dy faktorët e prodhimit, dhe intenzitetin të barabartë me sipërfaqen
Διαβάστε περισσότεραALGJEBËR II Q. R. GASHI
ALGJEBËR II Q. R. GASHI Shënim: Këto ligjërata janë të paredaktuara, të palekturuara dhe vetëm një verzion fillestar i (ndoshta) një teksti të mëvonshëm. Ato nuk e reflektojnë detyrimisht materien që e
Διαβάστε περισσότεραDetyra për ushtrime PJESA 4
0 Detyr për ushtrime të pvrur g lëd ANALIZA MATEMATIKE I VARGJET NUMERIKE Detyr për ushtrime PJESA 4 3 Të jehsohet lim 4 3 ( ) Të tregohet se vrgu + + uk kovergjo 3 Le të jeë,,, k umr relë joegtivë Të
Διαβάστε περισσότεραNyjet, Deget, Konturet
Nyjet, Deget, Konturet Meqenese elementet ne nje qark elektrik mund te nderlidhen ne menyra te ndryshme, nevojitet te kuptojme disa koncepte baze te topologjise se rrjetit. Per te diferencuar nje qark
Διαβάστε περισσότεραUniversiteti i Prishtinës Fakulteti i Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike. Agni H. Dika
Universiteti i Prishtinës Fakulteti i Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike Agni H. Dika Prishtinë 007 Libri të cilin e keni në dorë së pari u dedikohet studentëve të Fakultetit të Inxhinierisë Elektrike
Διαβάστε περισσότεραLibër mësuesi Matematika
Libër mësuesi Nikolla Perdhiku Libër mësuesi Matematika 7 Për klasën e 7 -të të shkollës 9-vjeçare Botime shkollore Albas 1 Libër mësuesi për tekstin Matematika 7 Botues: Latif AJRULLAI Rita PETRO Redaktore
Διαβάστε περισσότεραTregu i tët. mirave dhe kurba IS. Kurba ose grafiku IS paraqet kombinimet e normave tët interesit dhe nivelet e produktit tët.
Modeli IS LM Të ardhurat Kështu që, modeli IS LM paraqet raportin në mes pjesës reale dhe monetare të ekonomisë. Tregjet e aktiveve Tregu i mallrave Tregu monetar Tregu i obligacioneve Kërkesa agregate
Διαβάστε περισσότεραTestimi i hipotezave/kontrollimi i hipotezave Mostra e madhe
Testimi i hipotezave/kontrollimi i hipotezave Mostra e madhe Ligjërata e tetë 1 Testimi i hipotezave/mostra e madhe Qëllimet Pas orës së mësimit ju duhet ë jeni në gjendje që të: Definoni termet: hipotezë
Διαβάστε περισσότεραAnaliza e regresionit të thjeshtë linear
Analiza e regresionit të thjeshtë linear 11-1 Kapitulli 11 Analiza e regresionit të thjeshtë linear 11- Regresioni i thjeshtë linear 11-3 11.1 Modeli i regresionit të thjeshtë linear 11. Vlerësimet pikësore
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmet dhe struktura e të dhënave
Universiteti i Prishtinës Fakulteti i Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike Algoritmet dhe struktura e të dhënave Vehbi Neziri FIEK, Prishtinë 2015/2016 Java 5 vehbineziri.com 2 Algoritmet Hyrje Klasifikimi
Διαβάστε περισσότεραBAZAT E INFRASTRUKTURES NË KOMUNIKACION
MANUALI NË LËNDEN: BAZAT E INFRASTRUKTURES NË KOMUNIKACION Prishtinë,0 DETYRA : Shtrirja e trasesë së rrugës. Llogaritja e shkallës, tangjentës, dhe sekondit: 6 0 0 0.67 6 6. 0 0 0. 067 60 600 60 600 60
Διαβάστε περισσότεραKapitulli. Programimi linear i plote
Kapitulli Programimi linear i plote 1-Hyrje Për të gjetur një zgjidhje optimale brenda një bashkesie zgjidhjesh të mundshme, një algoritëm duhet të përmbajë një strategji kërkimi të zgjidhjeve dhe një
Διαβάστε περισσότεραMetodat e Analizes se Qarqeve
Metodat e Analizes se Qarqeve Der tani kemi shqyrtuar metoda për analizën e qarqeve të thjeshta, të cilat mund të përshkruhen tërësisht me anën e një ekuacioni të vetëm. Analiza e qarqeve më të përgjithshëm
Διαβάστε περισσότεραAnaliza e qarqeve duke përdorur ligjet Kirchhoff ka avantazhin e madh se ne mund të analizojme një qark pa ngacmuar konfigurimin e tij origjinal.
Analiza e qarqeve duke përdorur ligjet Kirchhoff ka avantazhin e madh se ne mund të analizojme një qark pa ngacmuar konfigurimin e tij origjinal. Disavantazh i kësaj metode është se llogaritja është e
Διαβάστε περισσότεραKSF 2018 Student, Klasa 11 12
Problema me 3 pikë # 1. Figura e e mëposhtme paraqet kalendarin e një muaji të vitit. Për fat të keq, mbi të ka rënë bojë dhe shumica e datave të tij nuk mund të shihen. Cila ditë e javës është data 27
Διαβάστε περισσότεραIII. FUSHA MAGNETIKE. FIZIKA II Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 1
III.1. Fusha magnetike e magnetit të përhershëm Nëse në afërsi të magnetit vendosim një trup prej metali, çeliku, kobalti ose nikeli, magneti do ta tërheq trupin dhe ato do të ngjiten njëra me tjetrën.
Διαβάστε περισσότεραTeste matematike 6. Teste matematike. Botimet shkollore Albas
Teste matematike 6 Botimet shkollore Albas 1 2 Teste matematike 6 Hyrje Në materiali e paraqitur janë dhënë dy lloj testesh për lëndën e Matematikës për klasën VI: 1. teste me alternativa, 2. teste të
Διαβάστε περισσότεραΑ ί τ η σ η Δ ή λ ω σ η σ υ μ μ ε τ ο χ ή ς
ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΑΥΤΟΚΕΦΑΛΟΣ ΕΚΚΛΗΣΙΑ ΑΛΒΑΝΙΑΣ ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΑΡΓΥΡΟΚΑΣΤΡΟΥ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ «Μ Ε Τ Α Μ Ο Ρ Φ Ω Σ Η» Γ Λ Υ Κ Ο Μ Ι Λ Ι Δ Ρ Ο Π Ο Λ Η Σ Α ί τ η σ η Δ ή λ ω σ η σ υ μ μ ε τ ο χ ή ς Πόλη ή Χωριό Σας
Διαβάστε περισσότεραTeste EDLIRA ÇUPI SERVETE CENALLA
Teste EDLIRA ÇUPI SERVETE CENALLA Matematika gjithmonë me ju 1 Botimet shkollore Albas 1 Test përmbledhës për kapitullin I 1. Lidh me vijë fi gurën me ngjyrën. Ngjyros. (6 pikë) E VERDHË E KUQE E KALTËR
Διαβάστε περισσότεραAISHE HAJREDINI (KARAJ), KRISTAQ LULA. Kimia Inorganike. TESTE TË ZGJIDHURA Të maturës shtetërore
AISHE HAJREDINI (KARAJ), KRISTAQ LULA Kimia Inorganike TESTE TË ZGJIDHURA Të maturës shtetërore AISHE HAJREDINI (KARAJ), KRISTAQ LULA TESTE TË MATURËS SHTETËRORE Kimia inorganike S H T Ë P I A B O T U
Διαβάστε περισσότεραREPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE PROVIMI ME ZGJEDHJE I MATURËS SHTETËRORE 2011
KUJDES! MOS DËMTO BARKODIN BARKODI REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE PROVIMI ME ZGJEDHJE I MATURËS SHTETËRORE 2011 S E S I O N I II LËNDA: KIMI VARIANTI
Διαβάστε περισσότεραREPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE PROVIMI ME ZGJEDHJE I MATURËS SHTETËRORE 2011
KUJDES! MOS DËMTO BARKODIN BARKODI REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE PROVIMI ME ZGJEDHJE I MATURËS SHTETËRORE 2011 S E S I O N I II LËNDA: KIMI VARIANTI
Διαβάστε περισσότεραTeori Grafesh. E zëmë se na është dhënë një bashkësi segmentesh mbi drejtëzën reale që po e shënojmë:
Teori Grafesh Teori grafesh bitbit.uni.cc 1.1 Koncepti i grafit dhe disa nocione shoqeruese Shpeshherë për të lehtësuar veten ne shtrimin dhe analizën e mjaft problemeve që dalin në veprimtarinë tonë,
Διαβάστε περισσότεραMinistria e Arsimit, Shkencës dhe Teknologjisë Ministarstvo Obrazovanja, Nauke i Tehnologije Ministry of Education, Science and Technology
Ministria e Arsimit, Shkencës dhe Teknologjisë Ministarstvo Obrazovanja, Nauke i Tehnologije Ministry of Education, Science and Technology Autor: Dr.sc. Qamil Haxhibeqiri, Mr.sc. Melinda Mula, Mr.sc. Ramadan
Διαβάστε περισσότεραPYETJE PRAKTIKE PËR TESTIN EKSTERN
BUJAR MAMUDI LËNDA : MATEMATIKË KLASA : VIII TEMA : I NGJASHMËRIA PYETJE PRAKTIKE PËR TESTIN EKSTERN [i] Raporti ndërmjet dy segmenteve. 1. Kush është antari i parë për raportin e dhënë 16 Zgjidhje : 16
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmika dhe Programimi i Avancuar KAPITULLI I HYRJE Algoritmat nje problem renditjeje Hyrja: a1, a2,, an> Dalja: <a 1, a 2,, a n> a 1 a 2 a n.
KAPITULLI I HYRJE Algoritmat Ne menyre informale do te perkufizonim nje algoritem si nje procedure perllogaritese cfaredo qe merr disa vlera ose nje bashkesi vlerash ne hyrje dhe prodhon disa vlera ose
Διαβάστε περισσότεραSkripta e Kursit: Algjebra Elementare, Kalkulusi dhe Matematika Financiare, dhe Statistika Përshkruese Vëll. 1: Algjebra Elementare Edicioni i 3 të
Skripta e Kursit: Algjebra Elementare, Kalkulusi dhe Matematika Financiare, dhe Statistika Përshkruese Vëll. : Algjebra Elementare Edicioni i të nga Prof. Dr. Dietrich Ohse përkthyer nga. Mas. sc. Armend
Διαβάστε περισσότεραREPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA QENDRORE E VLERËSIMIT TË ARRITJEVE TË NXËNËSVE PROVIMI I MATURËS SHTETËRORE 2008
KUJDES! MOS DËMTO BARKODIN Matematikë Sesioni I BARKODI REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA QENDRORE E VLERËSIMIT TË ARRITJEVE TË NXËNËSVE PROVIMI I MATURËS SHTETËRORE 008
Διαβάστε περισσότεραDELEGATET DHE ZBATIMI I TYRE NE KOMPONETE
DELEGATET DHE ZBATIMI I TYRE NE KOMPONETE KAPITULLI 5 Prof. Ass. Dr. Isak Shabani 1 Delegatët Delegati është tip me referencë i cili përdorë metoda si të dhëna. Përdorimi i zakonshëm i delegatëve është
Διαβάστε περισσότεραPërpjesa e kundërt e përpjesës a :b është: Mesi gjeometrik x i segmenteve m dhe n është: Për dy figura gjeometrike që kanë krejtësisht formë të njejtë, e madhësi të ndryshme ose të njëjta themi se janë
Διαβάστε περισσότεραKlasa 2 dhe 3 KENGUR 2014
Gara ndërkombëtare Kengur viti 014 Klasa dhe 3 KENGUR 014 Çdo detyrë me numër rendor nga 1 deri në 10 vlerësohet me 10 pikë Koha në disponim për zgjidhje është 1h e 15 min Për përgjigje të gabuar të një
Διαβάστε περισσότεραRikardo dhe modeli standard i tregtisë ndërkombëtare. Fakulteti Ekonomik, Universiteti i Prishtinës
Rikardo dhe modeli standard i tregtisë ndërkombëtare Fakulteti Ekonomik, Universiteti i Prishtinës Hyrje Teoritë e tregtisë ndërkombëtare; Modeli i Rikardos; Modeli standard i tregtisë ndërkombëtare. Teoritë
Διαβάστε περισσότεραKSF 2018 Cadet, Klasa 7 8 (A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 34 (E) 36
Problema me 3 pië # 1. Sa është vlera e shprehjes (20 + 18) : (20 18)? (A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 34 (E) 36 # 2. Në qoftë se shkronjat e fjalës MAMA i shkruajmë verikalisht njëra mbi tjetrën fjala ka një
Διαβάστε περισσότεραDistanca gjer te yjet, dritësia dhe madhësia absolute e tyre
Distanca gjer te yjet, dritësia dhe madhësia absolute e tyre Mr. Sahudin M. Hysenaj 24 shkurt 2009 Përmbledhje Madhësia e dukshme e yjeve (m) karakterizon ndriçimin që vjen nga yjet mbi sipërfaqen e Tokës.
Διαβάστε περισσότεραNjësitë e matjes së fushës magnetike T mund të rrjedhin për shembull nga shprehjen e forcës së Lorencit: m. C m
PYETJE n.. - PËRGJIGJE B Duke qenë burimi isotrop, për ruajtjen e energjisë, energjia është e shpërndarë në mënyrë uniforme në një sipërfaqe sferike me qendër në burim. Intensiteti i dritës që arrin në
Διαβάστε περισσότεραQ k. E = 4 πε a. Q s = C. = 4 πε a. j s. E + Qk + + k 4 πε a KAPACITETI ELEKTRIK. Kapaciteti i trupit të vetmuar j =
UNIVERSIEI I PRISHINËS KAPACIEI ELEKRIK Kapaciteti i trupit të vetmuar Kapaciteti i sferës së vetmuar + + + + Q k s 2 E = 4 πε a v 0 fusha në sipërfaqe të sferës E + Qk + + + + j = Q + s + 0 + k 4 πε a
Διαβάστε περισσότεραPropozim për strukturën e re tarifore
Propozim për strukturën e re tarifore (Tarifat e energjisë elektrike me pakicë) DEKLARATË Ky dokument është përgatitur nga ZRRE me qëllim të informimit të palëve të interesuara. Propozimet në këtë raport
Διαβάστε περισσότεραDISERTACION PËRAFRIMET STATISTIKORE ME DISA TIPE TË OPERATORËVE UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS PROGRAMI I STUDIMIT: ANALIZË DHE ALGJEBËR DISERTACION PËR MARRJEN E GRADËS DOKTOR I SHKENCAVE Me temë PËRAFRIMET STATISTIKORE
Διαβάστε περισσότεραREPUBLIKA E KOSOVËS REPUBLIKA KOSOVO REPUBLIC OF KOSOVA QEVERIA E KOSOVËS - VLADA KOSOVA - GOVERNMENT OF KOSOVA
REPUBLIK E KOSOVËS REPUBLIK KOSOVO REPUBLIC OF KOSOV QEVERI E KOSOVËS - VLD KOSOV - GOVERNMENT OF KOSOV MINISTRI E RSIMIT E MINISTRSTVO OBRZOVNJ MINISTRY OF EDUCTION SHKENCËS DHE E TEKNOLOGJISË NUKE I
Διαβάστε περισσότερα9 KARAKTERISTIKAT E MOTORIT ME DJEGIE TË BRENDSHME DEFINICIONET THEMELORE Për përdorim të rregullt të motorit me djegie të brendshme duhet të dihen
9 KARAKTERISTIKAT E MOTORIT ME DJEGIE TË BRENDSHME DEFINICIONET THEMELORE Për përdorim të rregullt të motorit me djegie të brendshme duhet të dihen ndryshimet e treguesve të tij themelor - fuqisë efektive
Διαβάστε περισσότεραNDËRTIMI DHE PËRMBAJTJA E PUNIMIT
NDËRTIMI DHE PËRMBAJTJA E PUNIMIT Punimi monografik Vështrim morfo sintaksor i parafjalëve të gjuhës së re greke në krahasim me parafjalët e gjuhës shqipe është konceptuar në shtatë kapituj, të paraprirë
Διαβάστε περισσότερα10 Probabilitet Orë të lira 20 Shuma 140
HYRJE Libri që keni në dorë është botim i Shtëpisë botuese UEGEN për t i ardhur në ndihmë mësuesve që japin lëndën e matematikës në klasat e teta. Këtu do të gjeni planin mësimor të matematikës së klasës
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITETI I GJAKOVËS FEHMI AGANI FAKULTETI I EDUKIMIT PROGRAMI PARASHKOLLOR PUNIM DIPLOME
UNIVERSITETI I GJAKOVËS FEHMI AGANI FAKULTETI I EDUKIMIT PROGRAMI PARASHKOLLOR PUNIM DIPLOME ZHVILLIMI DHE FORMIMI I NJOHURIVE FILLESTARE TEK FËMIJËT E MOSHËS PARASHKOLLORE MBI BASHKËSITË Mentori: Prof.
Διαβάστε περισσότεραIndukcioni elektromagnetik
Shufra pingul mbi ijat e fushës magnetike Indukcioni elektromagnetik Indukcioni elektromagnetik në shufrën përçuese e cila lëizë në fushën magnetike ijat e fushës magnetike homogjene Bazat e elektroteknikës
Διαβάστε περισσότεραTeste matematike. Teste matematike. Miranda Mete. Botime shkollore Albas
Teste matematike Miranda Mete 9 Botime shkollore Albas Test përmbledhës Kapitulli I - Kuptimi i numrit Mësimet: - 8 Grupi A. Shkruaj si thyesa numrat dhjetorë të mëposhtëm. ( + + pikë) a) 0,5 = ---------
Διαβάστε περισσότεραKolegji - Universiteti për Biznes dhe Teknologji Fakultetit i Shkencave Kompjuterike dhe Inxhinierisë. Lënda: Bazat Teknike të informatikës - BTI
Kolegji - Universiteti për Biznes dhe Teknologji Fakultetit i Shkencave Kompjuterike dhe Inxhinierisë Lënda: Bazat Teknike të informatikës - BTI Dispensë Ligjërues: Selman Haxhijaha Luan Gashi Viti Akademik
Διαβάστε περισσότεραKAPITULLI4. Puna dhe energjia, ligji i ruajtjes se energjise
Kapitui 4 Pua de eerjia KPIULLI4 Pua de eerjia, iji i ruajtjes se eerjise.ratori tereq e je rrue e au je tru e spejtesi 8/. Me care spejtesie do te tereqi tratori truu e je rrue te pastruar ur uqia e otorit
Διαβάστε περισσότεραLënda: Mikroekonomia I. Kostoja. Msc. Besart Hajrizi
Lënda: Mikroekonomia I Kostoja Msc. Besart Hajrizi 1 Nga funksioni i prodhimit në kurbat e kostove Shpenzimet monetare të cilat i bën firma për inputet fikse (makineritë, paisjet, ndërtesat, depot, toka
Διαβάστε περισσότεραDefinimi dhe testimi i hipotezave
(Master) Ligjerata 2 Metodologjia hulumtuese Definimi dhe testimi i hipotezave Prof.asc. Avdullah Hoti 1 1 Përmbajtja dhe literatura Përmbajtja 1. Definimi i hipotezave 2. Testimi i hipotezave përmes shembujve
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKË KONTROLLIMI EKSTERN I DIJES SË NXËNËSVE NË FUND TË CIKLIT TË TRETË TË SHKOLLËS FILLORE VITIT MËSIMOR 2012/2013 UDHËZIM
MATEMATIKË KONTROLLIMI EKSTERN I DIJES SË NXËNËSVE NË FUND TË CIKLIT TË TRETË TË SHKOLLËS FILLORE VITIT MËSIMOR 2012/2013 UDHËZIM Mjetet e punës: lapsi grafit dhe goma, lapsi kimik, veglat gjeometrike.
Διαβάστε περισσότεραTEORIA E INFORMACIONIT
TEORIA E INFORMACIONIT Literature 1. ESSENTIALS OF ERROR-CONTROL CODING, Jorge Castiñeira Moreira, Patrick Guy Farrell, 2006 John Wiley & Sons Ltd. 2. Telecommunications Demystified, Carl Nassar, by LLH
Διαβάστε περισσότεραQARQET ME DIODA 3.1 DREJTUESI I GJYSMËVALËS. 64 Myzafere Limani, Qamil Kabashi ELEKTRONIKA
64 Myzafere Limani, Qamil Kabashi ELEKTRONKA QARQET ME DODA 3.1 DREJTUES GJYSMËVALËS Analiza e diodës tani do të zgjerohet me funksione të ndryshueshme kohore siç janë forma valore sinusoidale dhe vala
Διαβάστε περισσότεραTeste matematike 7. Teste matematike. Botimet shkollore Albas
Teste matematike 7 otimet shkollore Albas 1 Kreu I Kuptimi i numrit TEST 1 (pas orës së 8) Grupi A Rretho përgjigjen e saktë. 1. Te numri 3,435 shifra 4 tregon se: a) numri ka 4 të dhjeta; b) numri ka
Διαβάστε περισσότεραELEKTROSTATIKA. Fusha elektrostatike eshte rast i vecante i fushes elektromagnetike.
ELEKTROSTATIKA Fusha elektrostatike eshte rast i vecante i fushes elektromagnetike. Ajo vihet ne dukje ne hapesiren rrethuese te nje trupi ose te nje sistemi trupash te ngarkuar elektrikisht, te palevizshem
Διαβάστε περισσότεραTreguesit e dispersionit/shpërndarjes/variacionit
Treguesit e dispersionit/shpërndarjes/variacionit Qëllimet: Në fund të orës së mësimit, ju duhet të jeni në gjendje që të : Dini rëndësinë e treguesve të dispersionit dhe pse përdoren ata. Llogaritni dhe
Διαβάστε περισσότεραQëllimet: Në fund të orës së mësimit ju duhet të jeni në gjendje që të:
Analiza statistikore Metodat e zgjedhjes së mostrës 1 Metodat e zgjedhjes së mostrës Qëllimet: Në fund të orës së mësimit ju duhet të jeni në gjendje që të: Kuptoni pse në shumicën e rasteve vrojtimi me
Διαβάστε περισσότεραGjeneza dhe nocioni i teorisë së informacionit. Literatura. Gjeneza dhe nocioni i teorisë së informacionit
Literatura 1. ESSENTIALS OF ERROR-CONTROL CODING, Jore Castiñeira Moreira, Patrick Guy Farrell, 2006 John Wiley & Sons Ltd. 2. Telecommunications Demystified, Carl Nassar, by LLH Technoloy Publishin, 2001.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA. Manuali për arsimtarët. Podgoricë, Enti i Teksteve dhe i Mjeteve Mësimore PODGORICË
Izedin Kërniq Marko Jokiq Mirjana Boshkoviq MATEMATIKA Manuali për arsimtarët Enti i Teksteve dhe i Mjeteve Mësimore PODGORICË Podgoricë, 009. Izedin Kërniq Marko Jokiq Mirjana Boshkoviq MATEMATIKA Manuali
Διαβάστε περισσότεραQarqet/ rrjetet elektrike
Qarqet/ rrjetet elektrike Qarku elektrik I thjeshtë lementet themelore të qarkut elektrik Lidhjet e linjave Linja lidhëse Pika lidhëse Kryqëzimi I linjave lidhëse pa lidhje eletrike galvanike 1 1 lementet
Διαβάστε περισσότεραR = Qarqet magnetike. INS F = Fm. m = m 0 l. l =
E T F UNIVERSIETI I PRISHTINËS F I E K QARQET ELEKTRIKE Qarqet magnetike Qarku magnetik I thjeshtë INS F = Fm m = m m r l Permeabililiteti i materialit N fluksi magnetik në berthamë të berthamës l = m
Διαβάστε περισσότεραAnaliza e Regresionit dhe Korrelacionit
1-1 Analiza e Regresionit dhe Korrelacionit Qëllimet: Në fund të orës së mësimit, ju duhet të jeni në gjendje që të : Kuptoni rolin dhe rëndësinë e analizës së regresionit dhe korrelacionit si dhe dallimet
Διαβάστε περισσότεραIII. FLUIDET. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 1
III.1. Vetitë e lëngjeve dhe gazeve, përcjellja e forcës në fluide Lëngjet dhe gazet dallohen nga trupat e ngurtë, me atë se ato mund të rrjedhin. Substancat që mund të rrjedhin quhen fluide. Lëngjet dhe
Διαβάστε περισσότερα(a) Në planin koordinativ xoy të përcaktohet bashkësia e pikave M(x,y), koordinatat e të cilave vërtetojnë mosbarazimin
PAATHËNIE Kur në vitin 975 u organizua për herë të parë në vendin tonë Olimpiada Kombëtare e Matematikës, ndonëse kishim bindjen dhe uronim që ajo të institucionalizohej si veprimtari e rëndësishme, nuk
Διαβάστε περισσότεραΓιατί η νέα γενιά Αλβανών μεταναστών στην Ελλάδα χάνει στη γλώσσα της; Νίκος Γογωνάς
Γιατί η νέα γενιά Αλβανών μεταναστών στην Ελλάδα χάνει στη γλώσσα της; Νίκος Γογωνάς Από τις αρχές της δεκαετίας του 90 και μετά, ένας μεγάλος αριθμός Αλβανών μεταναστών ήρθε στην Ελλάδα κυρίως εξαιτίας
Διαβάστε περισσότεραRepublika e Serbisë MINISTRIA E ARSIMIT, SHKENCËS DHE E ZHVILLIMIT TEKNOLOGJIK ENTI PËR VLERËSIMIN E CILËSISË SË ARSIMIT DHE TË EDUKIMIT
Republika e Serbisë MINISTRIA E ARSIMIT, SHKENCËS DHE E ZHVILLIMIT TEKNOLOGJIK ENTI PËR VLERËSIMIN E CILËSISË SË ARSIMIT DHE TË EDUKIMIT PROVIMI PËRFUNDIMTAR PROVUES Viti shkollor 2016/2017 TESTI MATEMATIKË
Διαβάστε περισσότεραSOFTWARE-T APLIKATIVE LËNDË ZGJEDHORE: FAKULTETI I INXHINIERISË MEKANIKE VITI I PARË, SEMESTRI I PARË
Dr. sc. Ahmet SHALA SOFTWARE-T APLIKATIVE LËNDË ZGJEDHORE: FAKULTETI I INXHINIERISË MEKANIKE VITI I PARË, SEMESTRI I PARË PRISHTINË, 2004-2010 Dr. sc. Ahmet SHALA PARATHËNIE Programe që mund të i shfrytëzojmë
Διαβάστε περισσότεραRepublika e Serbisë MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS ENTI PËR VLERËSIMIN E CILËSISË SË ARSIMIT DHE TË EDUKIMIT
Republika e Serbisë MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS ENTI PËR VLERËSIMIN E CILËSISË SË ARSIMIT DHE TË EDUKIMIT PROVIMI PËRFUNDIMTAR NË FUND TË ARSIMIT DHE TË EDUKIMIT FILLOR viti shkollor 2010/2011.
Διαβάστε περισσότεραQark Elektrik. Ne inxhinierine elektrike, shpesh jemi te interesuar te transferojme energji nga nje pike ne nje tjeter.
Qark Elektrik Ne inxhinierine elektrike, shpesh jemi te interesuar te transferojme energji nga nje pike ne nje tjeter. Per te bere kete kerkohet nje bashkekomunikim ( nderlidhje) ndermjet pajisjeve elektrike.
Διαβάστε περισσότεραGërmimi i dataset-ave masivë. përmbledhje informative
Gërmimi i dataset-ave masivë përmbledhje informative zgjodhi dhe përktheu Ridvan Bunjaku Mars 2017 Përmbajtja Parathënie... 3 1. Data mining... 4 2. MapReduce... 6 3. Gjetja e elementeve të ngjashme...
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Libër për mësuesin. Tony Cotton. Caroline Clissold Linda Glithro Cherri Moseley Janet Rees. Konsulentë gjuhësorë: John McMahon Liz McMahon
Matematika Libër për mësuesin Tony Cotton Caroline Clissold Linda Glithro Cherri Moseley Janet Rees Konsulentë gjuhësorë: John McMahon Liz McMahon Përmbajtje iv vii Dhjetëshe dhe njëshe A Numërojmë me
Διαβάστε περισσότερα( ) 4πε. ku ρ eshte ngarkesa specifike (ngarkesa per njesine e vellimit ρ ) dhe j eshte densiteti i rrymes
EKUACIONET E MAKSUELLIT Ne kete pjese do te studiojme elektrodinamiken klasike. Fjala klasike perdoret ne fizike, nuk ka rendesi e vjeter ose para shekullit te XX ose jo realiste (mendojne disa studente).
Διαβάστε περισσότεραsaj, pafundësinë, qartësinë dhe elegancën e prezantimit të tyre.
Pershendetje nga presidenti i shkolles Bota e Diturise, Z. Bujar Lulaj Si ne çdo fund viti ne mesuesit dhe prinderit presim dhe shperndajme dhurata per te gezuar per vitin e rradhes qe vjen. Edhe per mua
Διαβάστε περισσότεραII. MEKANIKA. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 1
II.1. Lëvizja mekanike Mekanika është pjesë e fizikës e cila i studion format më të thjeshta të lëvizjes së materies, të cilat bazohen në zhvendosjen e thjeshtë ose kalimin e trupave fizikë prej një pozite
Διαβάστε περισσότερα2. DIODA GJYSMËPËRÇUESE
28 Myzafere Limani, Qamil Kabashi ELEKTONIKA 2. IOA GJYSMËPËÇUESE 2.1 IOA IEALE ioda është komponenti më i thjeshtë gjysmëpërçues, por luan rol shumë vital në sistemet elektronike. Karakteristikat e diodës
Διαβάστε περισσότεραShpërndarjet e mostrave dhe intervalet e besueshmërisë për mesatare aritmetike dhe përpjesën. Ligjërata e shtatë
Shërdarjet e mostrave dhe itervalet e besueshmërisë ër mesatare aritmetike dhe ërjesë Ligjërata e shtatë Shërdarja e mostrave dhe itervalet e besueshmërisë ër mesatare aritmetike dhe roorcio/ërqidje Qëllimet
Διαβάστε περισσότεραMbledhja: Rregullat e mbledhjes binare pёrmblidhen nё tabelёn 1:
1. Sistemet Numerike Sistem numerik ёshtё ai sistem ku informacioni paraqitet me anё tё njё madhёsie fizike qё mund tё marrё vetёm vlera diskrete. Secila nga kёto vlera mund tё konsiderohet si njё numёr
Διαβάστε περισσότεραTeoria e kërkesës për punë
L07 (Master) Teoria e kërkesës për punë Prof.as. Avdullah Hoti 1 Literatura: Literatura 1. George Borjas (2002): Labor Economics, 2nd Ed., McGraw-Hill, 2002, Chapter 4 2. Stefan Qirici (2005): Ekonomiksi
Διαβάστε περισσότερα4 VIJAT E FUQISE TË DYTË
4 VIJAT E FUQISE TË DYTË Trjt e pergjthshme e ekucionit lgjebrik te fuqise të dytë me dy ndryshore x, y është: Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0, (*) Ku të pktën njëri prej koeficentëve A, B dhe C është i ndryshëm
Διαβάστε περισσότεραDefinimi i funksionit . Thirrja e funksionit
Definimi i funksionit Funksioni ngërthen ne vete një grup te urdhrave te cilat i ekzekuton me rastin e thirrjes se tij nga një pjese e caktuar e programit. Forma e përgjithshme e funksionit është: tipi
Διαβάστε περισσότεραREPUBLIKA E KOSOVËS REPUBLIKA KOSOVO REPUBLIC OF KOSOVA QEVERIA E KOSOVËS - VLADA KOSOVA - GOVERNMENT OF KOSOVA
REPUBLIK E KOSOVËS REPUBLIK KOSOVO REPUBLIC OF KOSOV QEVERI E KOSOVËS - VLD KOSOV - GOVERNMENT OF KOSOV MINISTRI E RSIMIT E MINISTRSTVO OBRZOVNJ MINISTRY OF EDUCTION SHKENCËS DHE E TEKNOLOGJISË NUKE I
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKË KONTROLLIMI EKSTERN I DIJES SË NXËNËSVE NË FUND TË CIKLIT TË TRETË TË SHKOLLËS FILLORE
MATEMATIKË KONTROLLIMI EKSTERN I DIJES SË NXËNËSVE NË FUND TË CIKLIT TË TRETË TË SHKOLLËS FILLORE QERSHOR, VITIT MËSIMOR 2015/2016 UDHËZIM KOHA PËR ZGJIDHJEN E TESTIT: 70 MINUTA Mjetet e punës: lapsi grafit
Διαβάστε περισσότερα5.1 CIKLI IDEAL TE MOTORI OTO KATËRKOHESH
5 CIKLE E PUNËS Dlloen ilet iele e rele të unës. e morët termie zilloen ilet e unës të ilt rqesin semën e nërrimee susesie të gjenjes të mteries unuese. Cili iel i morit rse uste iele më të ilët zilloet
Διαβάστε περισσότεραEdmond LULJA Neritan BABAMUSTA LIBËR PËR MËSUESIN BOTIME
Edmond LULJA Neritan BABAMUSTA LIBËR PËR MËSUESIN MATEMATIKA 8 BOTIME BOTIME Të gjitha të drejtat janë të rezervuara Pegi 2012 Të gjitha të drejtat lidhur me këtë botim janë ekskluzivisht të zotëruara
Διαβάστε περισσότεραYjet e ndryshueshëm dhe jo stacionar
Yjet e ndryshueshëm dhe jo stacionar Sahudin M. HYSENAJ Pjesa më e madhe e yjeve ndriçojnë pa e ndryshuar shkëlqimin e tyre. Por ka yje të cilat edhe e ndryshojnë këtë. Në një pjesë të rasteve ndryshimi
Διαβάστε περισσότεραMESAZHE NGA KLASA II. ~ Modele të mësimdhënies ndërvepruese ~ Financuar nga
MESAZHE NGA KLASA II ~ Modele të mësimdhënies ndërvepruese ~ Financuar nga Prishtinë 2007 Botues: Projekti për Aftësimin e Mësimdhënësve Kosovarë Qendra për Arsim e Kosovës Shoqata Kosovare e Leximit Ballina
Διαβάστε περισσότεραINDUTIVITETI DHE MESINDUKTIVITETI. shtjellur linearisht 1. m I 2 Për dredhën e mbyllur të njëfisht
INDUTIVITETI DHE MESINDUKTIVITETI Autoinduksioni + E Ndryshimi I fluksit të mbërthyer indukon tensionin - el = - d Ψ Fluksi I mbërthyer autoinduksionit F është N herë më i madhë për shkak të eksitimit
Διαβάστε περισσότεραKapitulli 1 Hyrje në Analizën Matematike 1
Përmbajtja Parathënie iii Kapitulli 1 Hyrje në Analizën Matematike 1 1.1. Përsëritje të njohurive nga shkolla e mesme për bashkësitë, numrat reale dhe funksionet 1 1.1.1 Bashkësitë 1 1.1.2 Simbole të logjikës
Διαβάστε περισσότεραErduan RASHICA Shkelzen BAJRAMI ELEKTROTEKNIKA. Mitrovicë, 2016.
Erduan RASHICA Shkelzen BAJRAMI ELEKTROTEKNIKA Mitrovicë, 2016. PARATHËNIE E L E K T R O T E K N I K A Elektroteknika është një lami e gjerë, në këtë material është përfshi Elektroteknika për fillestar
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITETI AAB Fakulteti i Shkencave Kompjuterike. LËNDA: Bazat e elektroteknikës Astrit Hulaj
UNIVERSITETI AAB Fakulteti i Shkencave Kompjuterike LËNDA: Bazat e elektroteknikës Prishtinë, Ligjëruesi: 2014 Astrit Hulaj 1 KAPITULLI I 1. Hyrje në Bazat e Elektroteknikës 1.1. Principet bazë të inxhinierisë
Διαβάστε περισσότερα2.1 Kontrolli i vazhdueshëm (Kv)
Aneks Nr 2 e rregullores 1 Vlerësimi i cilësisë së dijeve te studentët dhe standardet përkatëse 1 Sistemi i diferencuar i vlerësimit të cilësisë së dijeve të studentëve 1.1. Për kontrollin dhe vlerësimin
Διαβάστε περισσότεραVIZATIM Teknik Pjesa 1 MEKANIKË. Libri i teorisë
VIZATIM Teknik Pjesa 1 MEKANIKË Libri i teorisë 2 Përmbajtje Parafjalë... 5 1. Njohuri bazë... 6 1.1 Mjete vizatimi, Vija... 6 1.3 Diagramat në sistemin koordinativ... 10 2. Paraqitja e trupave... 12 2.1
Διαβάστε περισσότεραPse është i rëndësishëm izolimi
Pse është i rëndësishëm izolimi Rezymeja e raportit për qëndrueshmëri 2010 Pse është i rëndësishëm izolimi? Roli ynë Kompania Knauf Insulation gjatë dhjetë vitive të kaluara ka realizuar një rritje evidente
Διαβάστε περισσότεραFëmijët dhe media. Një sondazh i opinionit të fëmijëve dhe të rinjve për përdorimin dhe besueshmërinë e medias
Fëmijët dhe media Një sondazh i opinionit të fëmijëve dhe të rinjve për përdorimin dhe besueshmërinë e medias Albanian Media Institute Instituti Shqiptar i Medias Dhjetor 2011 1 Ky material përmbledh rezultatet
Διαβάστε περισσότεραPROVIMI ME ZGJEDHJE REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA QENDRORE E VLERËSIMIT TË ARRITJEVE TË NXËNËSVE
KUJDES! Lënda: MOS Kimi DËMTO BARKODIN BARKODI REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA QENDRORE E VLERËSIMIT TË ARRITJEVE TË NXËNËSVE I MATURËS SHTETËRORE 2009 LËNDA: KIMI VARIANTI
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada italiane kombëtare e fizikës, faza e pare Dhjetor 2017
Olimpiada italiane kombëtare e fizikës, faza e pare Dhjetor 2017 UDHËZIME: 1. Ju prezantoheni me një pyetësor i përbërë nga 40 pyetje; për secilën pyetje Sugjerohen 5 përgjigje, të shënuara me shkronjat
Διαβάστε περισσότερα