1. Trojuholník - definícia

Transcript

1 1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných prvkov trojuholníka A, B, C vrcholy trojuholníka úsečky AB, BC, CA strany trojuholníka uhol ABC, uhol BCA, uhol CAB vnútorné uhly trojuholníka Strany trojuholníka sa väčšinou označujú malým písmenom: - oproti vrcholu A sa nachádza strana a - oproti vrcholu B sa nachádza strana b - oproti vrcholu C sa nachádza strana c Pre vnútorné uhly trojuholníka sa zasa používa označenie pomocou písmen gréckej abecedy: - pri vrchole A sa nachádza uhol α, - pri vrchole B sa nachádza uhol β, - pri vrchole C sa nachádza uhol γ. V každom trojuholníku je grafickým súčtom všetkých jeho vnútorných uhlov priamy uhol, t.j. súčet veľkostí všetkých vnútorných uhlov každého trojuholníka sa rovná 180. α + β + γ = 180

2 3. Dôležité čiary v trojuholníku 3.1. Výška trojuholníka Kolmica zostrojená z vrcholu trojuholníka na priamku, na ktorej leží protiľahlá strana trojuholníka, sa nazýva výška trojuholníka. Výšky trojuholníka sa pretínajú v bode, ktorý nazývame priesečník výšok alebo ortocentrum (označujeme ho V). v a výška na stranu a v b výška na stranu b v c výška na stranu c V ortocentrum Poznámka: V ostrouhlom trojuholníku leží ortocentrum leží vo vnútri trojuholníka. V pravouhlom trojuholníku je ortocentrum v bode, pri ktorom leží pravý uhol. V tupouhlom trojuholníku sa nachádza ortocentrum mimo trojuholníka. Pre výšky a strany v trojuholníku platí: v a : v b : v c = 1 a : 1 b : 1 c

3 3.. Ťažnica trojuholníka Úsečka, ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany, sa nazýva ťažnica trojuholníka. Ťažnice trojuholníka sa pretínajú v bode, ktorý nazývame ťažisko trojuholníka (označujeme ho T). Vzdialenosť ťažiska od stredu strany, ku ktorej je ťažnica zostrojená, sa rovná jednej tretine dĺžky ťažnice. TS a = 1 3 AS a TS b = 1 3 BS b TS c = 1 3 CS c t a ťažnica na stranu a t b ťažnica na stranu b t c ťažnica na stranu c T ťažisko 3.3. Stredná priečka trojuholníka Stredná priečka trojuholníka je úsečka, ktorá spája vždy stredy strán. Je rovnobežná s treťou stranou trojuholníka. Dĺžka strednej priečky sa rovná jednej polovici strane, s ktorou je rovnobežná. p 1, p, p 3 stredné priečky

4 4. Členenie trojuholníkov 4.1. Podľa veľkosti jeho vnútorných uhlov názov trojuholníka ostrouhlý pravouhlý tupouhlý popis 3 uhly ostré uhly ostré + 1 uhol pravý uhly ostré + 1 uhol tupý Poznámka: Každý trojuholník má vždy najmenej uhly ostré. Tretí uhol môže byť ostrý, pravý alebo tupý. Ostrouhlý trojuholník Pravouhlý trojuholník Tupouhlý trojuholník γ = 90 a, b odvesny c prepona α tupý uhol 4.. Členenie trojuholníkov podľa dĺžky jeho strán názov trojuholníka veľkostí strán veľkostí vnútorných uhlov rôznostranný všetky strany sú rôzne všetky uhly sú rôzne rovnoramenný strany sú zhodné (ramená) uhly sú zhodné (pri základni) rovnostranný všetky strany sú zhodné α = β = γ = 60 Rôznostranný trojuholník Rovnoramenný trojuholník Rovnostranný trojuholník a, b ramená c základňa

5 5. Trojuholníková nerovnosť Trojuholníková nerovnosť sa týka vzťahu medzi dĺžkami strán v trojuholníku: súčet dvoch strán je vždy väčší ako jeho tretia strana, rozdiel dvoch strán je vždy menší ako jeho tretia strana. Poznámka: Trojuholník sa dá zostrojiť len vtedy, ak platí trojuholníková nerovnosť. b - c < a < b + c a - c < b < a + c a - b < c < a + b 6. Zhodnosť trojuholníkov Dva trojuholníky sa nazývajú zhodné trojuholníky, ak majú všetky tri strany aj uhly zhodné. Dva trojuholníky ABC a A B C sú zhodné, ak platí: AB = A B BC = B C CA = C A γ = γ α = α β = β Dva trojuholníky sú zhodné, ak platí niektorá z nasledujúcich viet o zhodnosti trojuholníka: veta SSS - trojuholníky sa zhodujú vo všetkých stranách, veta SUS - trojuholníky sa zhodujú vo dvoch stranách a uhle nimi zovretom, veta USU - trojuholníky sa zhodujú v jednej strane a v dvoch uhlov priľahlých tejto strane, veta SSU - trojuholníky sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle, ktorý sa nachádza oproti väčšej z týchto strán. SSS SUS USU SSU

6 7. Pytagorova veta V pravouhlom trojuholníku ABC, v ktorom pravý uhol je uhle γ (pri vrchole C), platí: c = a + b Druhá mocnina veľkosti prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu druhých mocnín veľkostí odvesien tohto trojuholníka. 8. Euklidove vety 8.1. Euklidova veta o odvesne Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžníka zostrojeného z prepony a úseku na prepone priľahlého k odvesne. Pre jednotlivé odvesny trojuholníka teda platí : a = c.c a b = c.c b 8.. Euklidova veta o výške Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka spustenou na preponu sa rovná obsahu pravouholníka, ktorého strany sú úsečky na prepone priľahlé k odvesnám. v = c a. c b

7 9. Kružnica a trojuholník 9.1. Kružnica opísaná trojuholníku Kružnica opísaná trojuholníku je taká kružnica, ktorej stred S je priesečníkom osí jednotlivých strán trojuholníka. Polomer kružnice r je vzdialenosť stredu kružnice (priesečníka osí strán) od ľubovoľného vrcholu trojuholníka. Poznámka: Stred kružnice opísanej ostrouhlému trojuholníku sa nachádza vo vnútri trojuholníka. Stred kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku sa nachádza v strede prepony trojuholníka. Stred kružnice opísanej tupouhlému trojuholníku sa nachádza mimo trojuholníka.

8 9.. Kružnica vpísaná do trojuholníku Kružnica vpísaná do trojuholníka je taká kružnica, ktorej stred O je priesečníkov osí vnútorných uhlov trojuholníka. Polomer kružnice r je dĺžka kolmice zostrojenej zo stredu kružnice (priesečníka osí vnútorných uhlov) na ľubovoľnú stranu trojuholníka. 10. Goniometrické funkcie ostrého uhla V pravouhlom trojuholníku sú definovaných niekoľko vzťahov pre goniometrické funkcie ostrého uhla: 1. sínus α - pomer dĺžky protiľahlej odvesny ku dĺžke prepony sin α. kosínus α - pomer dĺžky priľahlej odvesny ku dĺžke prepony cos α 3. tangens α - pomer dĺžky protiľahlej odvesny ku dĺžke priľahlej odvesny tg α 4. kotangens α - pomer dĺžky priľahlej odvesny ku dĺžke protiľahlej odvesny cotg α a protiľahlá odvesna b priľahlá odvesna c prepona

9 11. Sínusová veta a kosínusová veta Sínusová a kosínusová veta sú základnými vetami, ktoré používame pri hľadaní veľkostí strán a uhlov v ľubovoľnom trojuholníku (nemusí byť pravouhlý) Sínusová veta V trojuholníku ABC, kde jeho vnútorné uhly majú veľkosti α, β, γ a strany dĺžky a, b, c, platí: a b = = sinα sinβ c sinχ Pomer dĺžky strany a hodnoty sínusu veľkosti protiľahlého uhla je v trojuholníku konštantný. Sínusovú vetu používame na výpočet neznámych dĺžok strán a veľkostí uhlov trojuholníka v týchto dvoch prípadoch: 1) ak je daná dĺžka jednej strany a veľkosti dvoch vnútorných uhlov, ) ak sú dané dĺžky dvoch strán a veľkosť vnútorného uhla proti jednej z nich. Pomocou sínusovej vety sa dá vypočítať i dĺžka polomeru kružnice opísanej trojuholníku: a b c r = = = sinα sinβ sinχ 11.. Kosínusová veta V trojuholníku ABC s veľkosťami vnútorných uhlov α, β, γ a dĺžkou strán a, b, c, platí: 1) a ) b 3) c = b = a = a + c + c + b bccosα accosβ abcosχ Kosínusovú vetu používame u týchto dvoch prípadoch: 1. poznáme dĺžky všetkých strán trojuholníka,. poznáme dĺžky dvoch strán trojuholníka a veľkosti uhla nimi zovretého.

10 1. Obvod a obsah trojuholníka 1.1. Obvod trojuholníka (o) o = a + b + c a, b, c strany trojuholníka 1.. Obsah trojuholníka (S) Pre výpočet obsahu všeobecného trojuholníka S = a. v a = b. v b = c. v c a, b, c strany trojuholníka v a, v b, v c výšky trojuholníka Pre výpočet obsahu pravouhlého trojuholníka S = a. b a, b odvesny trojuholníka Sínusová veta pre výpočet obsahu všeobecného trojuholníka S = ½ ab sin χ = ½ ac sin β = ½ bc sin α a, b, c strany trojuholníka α, β, γ vnútorné uhly trojuholníka Heronov vzorec a b c S s s a s b s c, kde s a, b, c strany trojuholníka