Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 1"

Transcript

1 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Zadanie: Pivo prúdi potrubím s kruhovým prierezom o priemere 0 cm. Jeho hmotnostný prietok je 300 kg min -, Aká bude priemerná rýchlosť prúdenia piva v potrubí s kruhovým prierezom, ktorého priemer je 6.5 cm, ak sa prietok piva nezmení. Hustota piva je 030 kg m -3. Riešenie: Na obrázku je znázornená situácia v širšom (miesto ) a zúženom (miesto ) priereze potrubia. S w m S w V V Pri riešení aplikujeme zákon zachovania hmotnosti, t.j. skutočnosť, že pri ustálenom prúdení nestlačiteľnej kvapaliny v potrubí je jej objemový prietok v ľubovoľnom priereze potrubia konštantný (rovnica kontinuity) m& = m& = m& = = Sw = Sw [ = konštanta] Objemový prietok a rýchlosť prúdenia piva v potrubí s priemerom 0 cm vypočítame zo známych vzťahov = m& = = 0.9m min = m s w = S = 4 πd = π 0. = 0.68ms Keďže rovnaký objemový prietok piva je aj v zúženom priereze potrubia, pre známe rozmery dokážeme vypočítať rýchlosť prúdenia piva v tomto mieste w = S = 4 πd = π =.463m s

2 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Zadanie: Aký charakter má prúdenie kukuričného oleja, ktorý tečie cez rúrky kruhového prierezu s priemerom 5 mm. Prietok oleja je 4000 kg h -. Pri teplote 40 C je hustota oleja 906 kg m -3 a kinematická viskozita ν = m s -. Riešenie: Charakter prúdenia posudzujeme na základe hodnoty bezrozmerového Reynoldsovho kritéria. Vieme, že ak je jeho hodnota Re 300, prúdenie tekutiny je laminárne. Naopak, ak je jeho hodnota väčšia ako 0000, hovoríme o turbulentnom prúdení. Medzi týmito dvoma hodnotami je charakter prúdenia prechodný, t.j. na určitý čas sa môže vyvinúť v potrubí laminárne alebo turbulentné prúdenie. Na výpočet Reynoldsovho kritéria bola odvodená rovnica Re = dw e μ v ktorej symbol d e predstavuje ekvivalentný prierez potrubia, w je rýchlosť prúdiacej tekutiny, jej hustota a μ jej dynamická viskozita. V prípade potrubia s kruhovým prierezom je ekvivalentný priemer rovný priemeru potrubia. Rýchlosť prúdiacej tekutiny a jej dynamickú viskozitu vypočítame zo známych vzťahov w= m& S = 4m& πd μ = ν kde ν predstavuje kinematickú viskozitu prúdiacej tekutiny. Po dosadení do jednotlivých rovníc (nesmieme zabudnúť dosadiť hodnoty veličín v konzistentných jednotkách) dostaneme μ = ν = = kg m s = Pa s w= m& S = 4m& πd = (3600 π ) =.498ms Re = dw μ = = 048 < 300 e Z uvedeného vyplýva, že prúdenie kukuričného oleja v rúrke s priemerom 5 mm je laminárne.

3 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3 Zadanie: Vypočítajte maximálny objemový prietok tekutiny prúdiacej v potrubí s kruhovým prierezom d = 0 cm, aby bol charakter prúdenia laminárny. Pre vypočítaný objemový prietok zistite maximálnu dĺžku strany štvorcového potrubia, v ktorom by daná tekutina mala vyvinutý turbulentný tok. Riešte pre prípad prúdenia dusíka a vody, ktorých teplota je v oboch prípadoch 30 C a tlak je atmosférický. Riešenie: Ak má byť prúdenie tekutiny laminárne, musí platiť nerovnica Re = dw μ 300 e Súčasne, rýchlosť prúdiacej tekutiny dokážeme vyjadriť pomocou jej objemového prietoku (pre kruhový prierez rúrky) w= S = 4 π d Kombináciou uvedených rovníc a úpravou potom dostaneme podmienku pre maximálny objemový prietok tekutiny, pre ktorý je prúdenie laminárne 300π dμ 4 V druhej časti príkladu máme zistiť maximálnu veľkosť strany potrubia so štvorcovým prierezom (a), v ktorej by, pri objemovom prietoku vypočítanom v prvej časti príkladu, prúdenie tekutiny ešte bolo turbulentné, t.j. Re = dw e μ 0000 V prípade potrubia so štvorcovým prierezom ekvivalentný priemer potrubia vypočítame podľa vzťahu de = 4 S O pričom S je plocha prierezu a O dĺžka obvodu prierezu potrubia, ktoré je zmáčané prúdiacou tekutinou. Pre potrubie so štvorcovým prierezom potom platí S = a O= 4a de = 4a 4a = a Po dosadení za rýchlosť prúdenia a ekvivalentný priemer štvorcového potrubia dostaneme Re = a Sμ = aμ 0000 a 0000μ Aby sme vypočítali maximálny objemový prietok a maximálny priemer potrubia pre dusík a pre vodu, musíme poznať vlastnosti týchto tekutín (hustotu a viskozitu) za podmienok, ktoré sú uvedené v zadaní. Ostatné veličiny vystupujúce v nerovniciach súvisia s tvarom potrubia, v ktorom dusík alebo voda prúdia. Hustotu dusíka vypočítame zo stavovej rovnice. Za predpokladu ideálneho správania dusíka, môžeme na tento účel použiť stavovú rovnicu ideálneho plynu pv = nrt = m V m= nm = pm RT Molová hmotnosť dusíka (M = 8.0 kg kmol - ) je uvedená v tabuľkách na strane 9. Jeho hustota pri teplote 30 C a tlaku 0.35 kpa je = pm RT = ( ) =.6 kg m Viskozitu dusíka za uvedených podmienok nájdeme v tabuľkách. Buď ju vypočítame podľa Sutherlandovho vzťahu (tabuľky strana 30) alebo ju odčítame v nomograme v tabuľkách na stranách Sutherlandov vzťah vyjadruje závislosť viskozity plynov od teploty, berúc do úvahy viskozitu daného plynu pri teplote 0 C..5 μ 73 C T = μ + 0C T + C 73

4 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3 Hodnota parametra C v tejto rovnici súvisí s vlastnosťami plynu. Pre dusík sú v tabuľkách uvedené hodnoty: 6 μ 0C = Pa s a C = 04 K. Tieto údaje pre dusík sú platné v rozsahu teplôt 0 C až 80 C. Viskozita dusíka za podmienok uvedených v zadaní potom je μ = = Pa s Pri odčítaní viskozity plynov z nomogramu najskôr zistíme súradnice pre sledovaný plyn, ktoré sú uvedené v tabuľke na strane 89. Pre dusík nájdené súradnice sú X = 0.6 a Y = 0.0. Súradnice vynesieme do pravouhlej siete nomogramu, ktorá sa nachádza na strane 88. Potom nájdeme spojnicu tohto bodu a bodu na stupnici teploty, ktorý zodpovedá teplote plynu (30 C). Predĺženie tejto spojnice pretne pravú os nomogramu v mieste, ktoré 6 zodpovedá viskozite plynu. V tomto prípade je to približne 0.08 mpa s = 8 0 Pa s. Za uvedených podmienok je maximálny objemový prietok laminárne prúdiaceho dusíka π (4.6) m s Maximálna dĺžka strany potrubia so štvorcovým prierezom, v ktorom má uvedené množstvo dusíka prúdiť turbulentne, je 6 a ( ) a 8. 0 m Hustotu a viskozitu vody pri teplote 30 C môžeme odčítať v tabuľkách na strane 4, pričom tieto hodnoty sú μ = mpa s = Pa s a = kg m. V tom prípade, je maximálny objemový prietok laminárne prúdiacej vody π ( ) m s Maximálna dĺžka strany potrubia so štvorcovým prierezom, v ktorom má uvedené množstvo vody prúdiť turbulentne, je a ( ) a 8. 0 m

5 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 4 Zadanie: Porovnajte rýchlosť a charakter prúdenia vo valcovom potrubí s priemerom.5 cm a v potrubí so štvorcovým prierezom, ktoré má rovnakú plochu prierezu, ako spomínané valcové potrubie. Predpokladajte, že potrubím prúdi 9 L min - benzénu, ktorého teplota je 30 C. Riešenie: Rýchlosť prúdenia vo valcovom potrubí vypočítame z objemového prietoku a charakter prúdenia benzénu posúdime na základe hodnoty Reynoldsovho kritéria w= S = 4 π d Re = dw μ V prípade potrubia so štvorcovým prierezom je rýchlosť prúdenia rovnaká. Podľa zadania je totiž plocha prierezu potrubia rovnaká. Charakter prúdenia však je iný, nakoľko v rovnici na výpočet Reynoldsovho kritéria vystupuje ekvivalentný priemer potrubia. w= S Re = dw e μ d = 4S O= 4a 4a= a e a = S = π d 4 Aby sme dokázali posúdiť charakter prúdenia benzénu, musíme poznať jeho vlastnosti, hustotu a dynamickú viskozitu. Viskozitu benzénu pri teplote 30 C môžeme zistiť v tabuľkách buď výpočtom (strana 8), alebo odčítaním v nomograme (strany 90-9) V tabuľke 5a je na výpočet viskozity benzénu odporúčaná rovnica ln( μ /(mpas)) = A+ B/( T / K) + C( T / K) + D( T / K) pričom parametre A, B, C, a D sú tabelované. Rovnica je platná v rozsahu teplôt od 6 C do 88 C. Pri teplote 30 C je viskozita kvapalného benzénu 5 A+ B/( T / K) + C( T / K) + D( T / K) / μ = e = e =0.5673mPa s = Pa s Pri odčítaní viskozity kvapalín z nomogramu najskôr zistíme súradnice pre benzén, ktoré sú uvedené v tabuľke na strane 9 (X =.5 a Y = 0.9). Súradnice vynesieme do pravouhlej siete nomogramu, ktorá sa nachádza na strane 90. Potom nájdeme spojnicu tohto bodu a bodu na stupnici teploty, ktorý zodpovedá teplote benzénu (30 C). Predĺženie tejto spojnice pretne pravú os nomogramu v mieste, ktoré zodpovedá viskozite benzénu. V tomto prípade je to približne 0.57 mpa s = Pa s. Hustotu benzénu nájdeme v tabuľke 4 na strane 7, = 868kg m. Rýchlosť a charakter prúdenia benzénu v potrubí kruhového priemeru je - w= 4 πd = (60 π 0.05 ) = ms Re = dw μ = = 633 V prípade prúdenia benzénu v potrubí so štvorcovým prierezom a s rovnakou plochou prierezu ako je plocha prierezu kruhového potrubia v predošlom výpočte, je hodnota Reynoldsovho kritéria de = a= πd 4 = π = 0.06 m Re = dw μ = = 03 e

6 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 5 Zadanie: Vypočítajte straty tlaku v potrubí s celkovou dĺžkou 5 m, priemerom.5 cm a relatívnou drsnosťou 0.000, v ktorom prúdi voda so strednou teplotou 5 C. Jej objemový prietok je 60 L h - (.8 m 3 h - ). Riešenie: Na obrázku je schematicky znázornené potrubie a jeho jednotlivé rozmery a parametre z, p, w L = 5 m d =.5 cm z, p, w vzťažná rovina výška výstupkov, ε d =.5 cm Relatívna drsnosť potrubia je definovaná jako podiel výšky výstupkov na vnútornom povrchu rúrky a jej priemeru n= ε d = Našim cieľom je vypočítať množstvo disipovanej mechanickej energie (straty tlaku) pri toku tekutiny v rovnom potrubí z miesta do miesta. Na tento účel nám poslúži Bernoulliho rovnica, ktorá bilancuje špecifickú (vztiahnutú na jednotku hmotnosti) mechanickú energiu prúdiacej tekutiny w p w p zg + + = zg hst rg+ hw g α α kde z, z predstavujú geodetickú výšku miest a vzhľadom na vzťažnú rovinu, w a w rýchlosť prúdiacej tekutiny v miestach a, α a α bezrozmerová korekcia špecifickej kinetickej energie prúdiacej tekutiny (korekcia nehomogénnosti rýchlostného poľa, pre laminárne prúdenie má hodnotu α = 0.5, pre turbulentnú oblasť platí α = ) v miestach a, p a p priemerná hodnota tlaku v priereze potrubia a, je hustota prúdiacej tekutiny, h str výškový ekvivalent disipovanej mechanickej energie, h w výškový ekvivalent množstva špecifickej energie dodanej do (napr. čerpadlom) alebo získanej (napr. prostredníctvom turbíny) z prúdiacej tekutiny a g je tiažové zrýchlenie. Ak predpokladáme, že tekutina prúdi vo vodorovnom potrubí kruhového prierezu s konštantným polomerom a do systému nie je zapojené žiadne zariadenie na dodávanie (získavanie) mechanickej energie, môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar p p hstrg = + pretože platí z = z Sw = Sw = Sw h g = 0 w Množstvo disipovanej energie (straty tlaku) môžeme vypočítať podľa Darcyho rovnice Lw hstr = λ d g Keď ju skombinujeme s upravenou Bernoulliho rovnicou, platí Lw Δ p= ( p p) = λ d kde λ je súčiniteľ strát mechanickej energie v dôsledku trenia, d priemer kruhového potrubia a L dĺžka potrubia. Vo všeobecnosti hodnota súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením závisí od charakteru prúdenia (Re) a relatívnej drsnosti (n) potrubia, v ktorom tekutina prúdi λ = f (Re, n) Preto budeme musieť najskôr zistiť charakter prúdenia vody a aj jej vlastnosti.

7 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 5 Hustotu a dynamickú viskozitu vody pri teplote 5 C odčítame v tabuľkách na strane 4 μ = = 0.89 mpa s Pa s = 997.kg m a Ak je objemový prietok vody v rúrke 60 L h -, potom je rýchlosť prúdiacej vody a príslušná hodnota Reynoldsovho kritéria w= S = 4 πd = (3600 π 0.05 ) = ms Re = dw μ = = 95 < 300 Znamená to, že za týchto podmienok je prúdenie vody laminárne. V tom prípade na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť rovnicu λ = k Re Pre potrubie kruhového prierezu má parameter k hodnotu 64. Potom λ = k Re = = Disipácia mechanickej energie spôsobená trením po dĺžke zodpovedá strate tlaku Lw Δ p= ( p p) = λ = = 3.7 Pa d 0.05 Keď je objemový prietok vody.8 m 3 h -, charakter prúdenia je turbulentný w= S = 4 πd = 4.8 (3600 π 0.05 ) =.09 ms Re = dw μ = = 850 > 0000 V tom prípade potrebujeme zistiť, aký je vplyv relatívnej drsnosti na hodnotu súčiniteľa disipácie mechanickej energie. Najskôr si overíme, či drsnosť na jeho hodnotu vplýva. Vieme, že ak je splnená nasledujúca nerovnosť, potrubie môžeme považovať za hydraulicky hladké ε 5 5 n = < = d Re < Pretože je táto podmienka splnená, na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Blaziovu rovnicu, ktorej platnosť je obmedzená na prúdenie tekutín v hydraulicky hladkom potrubí, pričom hodnota Reynoldsovho kritéria je v rozsahu 300 až λ = = = Re 850 Disipácia mechanickej energie (strata tlaku) pri prietoku.8 m 3 h - je Lw 5.09 Δ p= ( p p) = λ = = 7564Pa d 0.05

8 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 6 Zadanie: Jablčná šťava má hustotu 046 kg m -3. Šťava odteká samospádom z otvorenej zásobnej nádrže do filtračného zariadenia, v ktorom je tlak 37.3 kpa. Ako vysoko, vzhľadom na ústie potrubia do filtračného zariadenia, musí byť hladina šťavy v zásobnej nádrži? Rýchlosť prúdenia šťavy v potrubí je m s -, disipácia mechanickej energie v potrubí zodpovedá h str =.5 m a prúdenie je turbulentné. Riešenie: Na nasledujúcom obrázku je schematické znázornenie zariadenia so znázornením polohy bilancovaných miest. p zásobná nádrž z z z p filtračné zariadenie Cieľom je zistiť hodnotu rozdielu geodetických výšok, ktoré zodpovedajú hladine jablčnej šťavy v zásobnej nádrži () a ústiu potrubia do filtračného zariadenia (), ako je znázornené na obrázku ( z). Pre bilancované miesta dokážeme napísať Bernoulliho rovnicu (bez člena, ktorý zodpovedá dodávaniu alebo odoberaniu energie zo systému prostredníctvom mechanických zariadení) w p w p zg + + = zg hstrg α α Predtým, ako tento problém vyriešime, si musíme uvedomiť niekoľko faktov. V porovnaní s priemerom potrubia, ktoré spája zásobnú nádrž a filtračné zariadenie, je priemer zásobnej nádrže nepomerne väčší. V tom prípade, berúc do úvahy rovnicu kontinuity, môžeme rýchlosť prúdenia v mieste hladiny jablčnej šťavy (), považovať za zanedbateľne malú v porovnaní s rýchlosťou prúdenia šťavy v ústí potrubia do filtračného zariadenia w Sw = Sw S >>> S w <<< w 0 α Na základe tohto predpokladu môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar w p p Δ z = z z = + + hstr α g g Jedinou neznámou na pravej strane tejto rovnice je tlak v mieste. V zadaní však bolo uvedené, že šťava odteká z otvorenej zásobnej nádrže, tlak v mieste jedna sa bude rovnať okolitému (atmosférickému) tlaku. Potom rozdiel medzi výškou hladiny v zásobnej nádrži a ústím potrubia do filtračného zariadenia má byť Δ z = = 6.m

9 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 7 Zadanie: Pri teplote 0 C prúdi pivo novým hydraulicky hladkým potrubím s kruhovým prierezom s vnútorným priemerom 3 cm. Hustota piva pri uvedenej teplote je 030 kg m -3 a jeho kinematická viskozita je m s -. Vypočítajte straty tlakovej energie v dôsledku trenia na dĺžke potrubia m, ak je objemový prietok piva 4 m 3 h -. Riešenie: Našim cieľom je vypočítať množstvo disipovanej mechanickej energie (straty tlaku) pri toku tekutiny v rovnom hydraulicky hladkom potrubí z miesta do miesta, ktoré sú od seba vzdialené m. Na tento účel nám poslúži Bernoulliho rovnica v tvare w p w p zg zg h g + + = str α α Pretože platí z = z Sw = Sw= Sw môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar p p = + hstrg pričom na výpočet disipácie mechanickej energie trením použijeme Darcyho rovnicu Lw hstr = λ d g Lw Δ p = ( p p) = λ d V upravenej Bermoulliho rovnici zostávajú dve neznáme, súčiniteľ strát mechanickej energie v dôsledku trenia a rýchlosť prúdenia. Vieme, že hodnota súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením závisí od charakteru prúdenia (Re) a relatívnej drsnosti (n) potrubia, v ktorom tekutina prúdi, a rýchlosť vypočítame zo známeho objemového prietoku piva a plochy prierezu potrubia. w= S = 4 πd = 4 4 (3600 π 0.03 ) =.57 ms 6 Re = dw μ = dw ν = = 9649 > 0000 Pretože nové potrubie je hydraulicky hladké, na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Blaziovu rovnicu λ = = = Re 9649 Okrem toho, môžeme hodnotu λ odčítať v tabuľkách z obrázka 5 na strane 93 pre minimálnu hodnotu relatívnej drsnosti potrubia ( 0-6 ). Z grafu odčítaná hodnota je približne Disipácia mechanickej energie (strata tlaku) na jednom metre dĺžky potrubia je Lw.57 Δ p= ( p p) = λ = = 34 Pa d 0.03

10 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 8 Zadanie: V potrubí s celkovou dĺžkou 50 m, priemerom rúrky 3 palce a drsnosťou (výškou výstupkov) 0.03 cm prúdi vodný roztok metanolu (40 hmot. %). Teplota roztoku je 0 C. Potrubie ústi do otvorenej nádrže (p atm ) nad hladinou kvapaliny, ktorá je v nádrži. V potrubí sú zaradené otvorené posúvače, dva priame ventily, otvorený uzatvárací ventil, 5 pravouhlých a dve 45 -ové kolená. Ústie potrubia leží vo výške 5 m nad jeho začiatkom. Zistite, aký má byť tlak na začiatku potrubia, aby ním mohlo prúdiť 300 L min - roztoku. Riešenie: Na nasledujúcom obrázku je znázornená schéma sledovaného zariadenia so základnými parametrami p = 0.35 kpa nádrž Δz = 5 m z p z Vzťažný bod sa nachádza v strede plochy prierezu potrubia a vzťažný bod v strede ústia potrubia do nádrže. Ak chceme zistiť, aký tlak je na začiatku sledovaného úseku potrubia, musíme opäť bilancovať mechanickú energiu prúdiacej kvapaliny w p w p zg + + = zg h α α str g Pretože rýchlosť prúdenia v oboch vzťažných bodoch je rovnaká (rovnica kontinuity), Bernoulliho rovnicu môžeme upraviť na tvar p = p + ( z z ) g+ h g str kde disipáciu mechanickej energie môžeme rozdeliť na časť, ktorá je spôsobená trením po dĺžke potrubia, a druhú časť v dôsledku miestnych strát Lw w hstr = hstr, L + hstr, m = λ + ζ d g g Ako vidno, v týchto rovniciach vystupuje niekoľko premenných, ktorých hodnotu nepoznáme. Aby sme mohli vypočítať súčiniteľ disipácie mechanickej energie trením, budeme potrebovať vypočítať Reynoldsovo kritérium a relatívnu drsnosť potrubia. Kvôli Re budeme musieť zistiť hustotu a viskozitu prúdiaceho média. Hustota a viskozita vodných roztokov metanolu je tabelovaná na strane 5. Pri teplote 0 C a obsahu metanolu 40 hmot. % platí = = = 934.5kg m μ.84mpa s.84 0 Pa s Viskozitu by sme mohli odčítať aj v nomograme na stranách Rýchlosť a charakter prúdenia roztoku v rúrkach vypočítame na základe známeho objemového prietoku a priemeru potrubia w= S = 4 πd = (60 π ) =.096 ms Re = dw μ = = 443 > 0000 Ďalej sa potrebujeme presvedčiť, či môžeme potrubie považovať za hydraulicky hladké

11 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 8 ε 5 n = < d Re n = = = = Re 443 Porovnaním ľavej a pravej strany nerovnice je vidno, že potrubie je drsné a preto musíme nájsť vhodnú rovnicu na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením. Jednou z takýchto rovníc je Roundova rovnica Re =.8log λ 0.35Re n λ = =.8log Podobný výsledok by sme dokázali odčítať aj v obrázku 5 na strane 93 tabuliek. Nakoniec musíme spočítať koeficienty miestnej disipácie mechanickej energie. Údaje sú tabelované na strane 66. Nasledujúca tabuľka sumarizuje súčet hodnôt jednotlivých miestnych odporov Armatúra ξ Počet Spolu Koleno Pravouhlé koleno Otvorený uzatvárací ventil 3 3 Posúvač Priamy ventil Spolu. Potom, potrebný tlak na začiatku potrubia je w L p = p + ( z z) g+ λ + ζ d p = = 65360Pa 0.076

12 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 Zadanie: Toluén sa prepravuje samospádom zo zásobnej nádrže do reaktora (obrázok). Jeho teplota je 0 C. V zásobnej nádrži je vtok do potrubia umiestnený 3 m pod hladinou. Pretože nádrž je dostatočne veľká, výška hladiny toluénu v nádrži sa prakticky nemení. V nádrži aj v reaktore je atmosferický tlak. Dĺžka potrubia a počet a druh armatúr zaradených v potrubí je jasný z obrázku. Vypočítajte a) rýchlosť prúdenia a objemový prietok toluénu, ak má potrubie kruhový prierez s priemerom 5 cm a priemernou výškou výstupkov ε = 0.5 mm, b) priemer potrubia s kruhovým prierezom a rýchlosť prúdenia toluénu, ak je výška výstupkov na vnútornej strane potrubia 0.5 mm a objemový prietok toluénu 500 L min -. Riešenie: Na obrázku je schematicky znázornená nádrž a reaktor spojené potrubím, v ktorom je zaradených niekoľko armatúr, spolu so základnými údajmi pre výpočet. Vzťažné body a sú umiestnené v ústiach potrubia do zásobnej nádrže a do reaktora. zásobná nádrž p = p atm h h = 3 m uzatvárací ventil p, w spätná klapka koleno 90 rotačný prietokomer h = 0 m z koleno 90 priamy ventil l = 30 m p, w z p = p atm reaktor Nakoľko vieme, že potrubím má tiecť toluén o teplote 0 C, môžeme v tabuľkách nájsť jeho viskozitu a hustotu, ktoré potrebujeme pri výpočte. Hustota toluénu je uvedená v tabuľke 4 na strane 7 a jeho dynamickú viskozitu vypočítame na základe údajov v tabuľke 5a na strane 8-9, alebo ju odčítame z nomogramu na strane 90. = 875kg m 5 A+ B/( T / K) + C( T / K) + D( T / K) / μ = e = e = mpa s = Pa s Pri riešení budeme vychádzať z Bernoulliho rovnice v tvare w p w p zg + + = zg hstrg α α Pretože priemer potrubia je v oboch vzťažných miestach rovnaký, z rovnice kontinuity vyplýva, že aj rýchlosť prúdenia toluénu (jeho špecifická kinetická energia) je v oboch miestach rovnaká. V mieste je tlak kvapaliny určený súčtom atmosférického tlaku a hydrostatického tlaku stĺpca toluénu nad vzťažným bodom p = patm + hh g Rozdiel v geodetických výškach vzťažných bodov je v obrázku označený ako h = 0 m. Špecifickú disipovanú energiu vypočítame ako množstvo mechanickej energie, ktoré disipuje v dôsledku trenia po dĺžke potrubia, a množstvo disipované v dôsledku prítomnosti armatúr zaradených v potrubí. V tom prípade môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar

13 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 p p ( z z) g+ = hstrg Lw Lekv w λw L Lekv hg + hh g = ( hstr, L + hstr, m ) g = λ + g = + d g d g d d Ekvivalentná dĺžka potrubia, na ktorej by množstvo disipovanej mechanickej energie bolo rovnaké, ako v príslušnej armatúre, je ďalší spôsob vyjadrenia miestnej disipácie energie. Hodnoty ekvivalentnej (bezrozmerovej, vztiahnutej na priemer potrubia s kruhovým prierezom) dĺžky sú spolu s hodnotami súčiniteľa miestnej disipácie mechanickej energie uvedené v tabuľke 47a na strane 66. Nasledujúca tabuľka sumarizuje súčet hodnôt jednotlivých ekvivalentných dĺžok potrubia Armatúra L ekv /d Počet Spolu Vtok do potrubia 0 0 Pravouhlé koleno Otvorený uzatvárací ventil Priamy ventil 5 5 Spätná klapka Rotačný prietokomer Spolu 75 a) Z matematického hľadiska máme za úlohu vyriešiť problém, v ktorom v jednej nezávislej rovnici vystupujú dve premenné w a λ. Tento problém nezjednodušíme ani použitím definičného vzťahu na výpočet Reynoldsovho kritéria, pretože tak okrem druhej rovnice pribudne ďalšia premenná, Re. Re = dw / μ Ďalším krokom by bolo použitie niektorej kriteriálnej rovnice na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie λ = f (Re, n) Výber vhodnej kriteriálnej rovnice je však podmienený znalosťou Re. Z uvedeného vyplýva, že priame analytické riešenie problému (výpočet rýchlosti prúdenia a objemového prietoku toluénu) neexistuje. Preto, všeobecný postup riešenia je založený na postupnom iterovaní. Na začiatku si zvolíme rozumnú hodnotu rýchlosti prúdenia. Tento údaj použijeme na výpočet Reynoldsovho kritéria a hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením. Túto hodnotu dosadíme do upraveného tvaru Bernoulliho rovnice a vypočítame opravenú hodnotu rýchlosti prúdenia tekutiny. Hodnotu porovnáme s nastreleným údajom. Iteračný výpočet opakujeme dovtedy, kým nie je splnená požiadavka na presnosť výsledku (zvyčajne má byť rozdiel hodnôt rýchlosti prúdenia, ktoré sme získali vo dvoch po sebe idúcich iteráciach, menší ako vopred stanovená presnosť). Rozumná rýchlosť v prípade prúdenia kvapalín, napr. toluénu pri teplote 0 C, je m s -.V tom prípade platí I I Re = dw μ = / = 6533 > 0000 Ďalej sa potrebujeme presvedčiť, či môžeme potrubie považovať za hydraulicky hladké ε 5 n = < d Re n = = = = Re 6533 Porovnaním ľavej a pravej strany nerovnice je vidno, že potrubie je drsné a preto musíme nájsť vhodnú rovnicu na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením. Jednou z vhodných rovníc je Roundova rovnica

14 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 I Re =.8log I I λ 0.35Re n I λ = =.8log V nasledujúcom kroku pomocou Bernoulliho rovnice vypočítame novú hodnotu rýchlosti prúdenia toluénu. Horný index (I, II, III,...) označuje iteráciu. II ( h+ hh ) g (0 + 3) 9.8 w = = =.090 ms I L Lekv (30 + 0) λ d d 0.05 Ak porovnáme vypočítanú hodnotu s pôvodným odhadom rýchlosti prúdenia, vidíme výrazný rozdiel. Preto budeme musieť v iterovaní pokračovať. Nasledujúca tabuľka sumarizuje výsledky jednotlivých iterácií Iterácia w/(m s - ) Re 5/Re Rovnica λ Presnosť I Roundova nedosiahnutá II Roundova nedosiahnutá III Roundova dosiahnutá IV.0 Vidno, že iteračný výpočet pomerne rýchlo konverguje k výsledku. Tento postup je univerzálny a vzhľadom na to, že hodnoty premenných nepotrebujeme odčítať v grafe, aj pomerne presný. Objemový prietok toluénu je 3 3 = ws = πd w 4 = π = m s Výpočet môžeme uskutočniť aj bez iterovania, ale len v prípade, ak dokážeme separovať neznáme z Bernoulliho rovnice od všetkých ostatných premenných. Aby sme to dokázali potrebujeme dosadiť za rýchlosť prúdenia z definičného vzťahu Reynoldsovho kritéria ( h+ hh ) g μre d = w= L Lekv λ + d d ( h+ hh ) g Re λ = d μ L Lekv + d d V tabuľkách (obrázok 6, strana 94) je k dispozícii graf, z ktorého pre známu hodnotu ľavej strany tejto rovnice, Re λ, a relatívnu drsnosť potrubia,n,dokážeme odčítať hodnotu λ. V našom prípade d ( h+ hh ) g (0 + 3) 9.8 Re λ = = = 6637 μ L Lekv (30 + 0) d d 0.05 Z čoho pri relatívnej drsnosti potrubia n = 0.0 vyplýva Re λ = 5.5 Re = = = 378 λ λ w= μre d = =.06 ms

15 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 b) V druhej časti príkladu je neznámou priemer potrubia a rýchlosť prúdiacej kvapaliny, pričom je známy jej objemový prietok. Riešenie je opäť iteračné. Zvolíme si rýchlosť prúdenia toluénu. Z tohto údaja pomocou známej hodnoty objemového prietoku vypočítame priemer potrubia a ďalej pokračujeme, ako v predošlom prípade. Naviac však, pri každej iterácii musíme okrem priemeru počítať aj hodnotu relatívnej drsnosti. Dobrým nástrelom prvej iterácie môže byť rýchlosť, ktorú sme vypočítali v časti a). I I d = 4 πw = π. = m I I I Re = dw μ = / = > 0000 ε 5 n = < I I d (Re ) n = = = = Re I Re = I I λ.8log 0.35Re n I λ = =.8log ( h+ hh ) g (0 + 3) 9.8 w = = =.409 ms I L Lekv (30 + 0) λ I + d d II Aj v tomto prípade je rozdiel medzi hodnotami rýchlosti prúdenia pomerne veľký a preto je potrebné pokračovať v iterovaní. Výsledky sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke Iterácia w/(m s - ) d/m Re n 5/Re Rovnica λ Presnosť I Roundova nedosiahnutá II Roundova nedosiahnutá III Roundova nedosiahnutá IV Roundova nedosiahnutá V Roundova dosiahnutá VI.359 Kvôli urýchleniu je aj v tomto prípade možné riešenie za pomoci tabelovaných hodnôt (závislosť 5 5 λ = f (Re λ ) na obrázku 7, strana 95). Opäť však musí byť splnená podmienka, že neznáme v Bernoulliho rovnice dokážeme odseparovať od ostatných premenných. V prípade, keď je miestna disipácia mechanickej energie nezanedbateľne malá (čo je aj náš prípad), táto podmienka nie je splnená a grafické riešenie nie je bez zjednodušujúcich predpokladov možné.

16 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 0 Zadanie: Pivo prúdi z tlakového zásobníka do otvorenej nádrže. Tlak v zásobníku je 5 kpa a výška hladiny v zásobníku je 5 m vzhľadom na podlahu vo výrobnej hale. V otvorenej nádrži je výška hladiny piva 3 m nad úrovňou podlahy. Pivo prúdi v novom potrubí s priemerom 0, m, v ktorom sú zaradené ventily na reguláciu prietoku, 3 pravouhlé kolená a krátka usadzovacia časť potrubia s priemerom 0,3 m (rozšírenie potrubia ξ = 0.79, zúženie potrubia ξ = 0.47). Disipácia mechanickej energie trením v hladkom potrubí je zanedbateľná vzhľadom na straty mechanickej energie spôsobené prítomnosťou miestnych odporov proti prúdeniu. Vypočítajte prietok piva, ak je jeho hustota 035 kg m -3 a dynamická viskozita μ = Pa s. Riešenie: Schéma technologického zariadenia je spolu s dôležitými údajmi znázornená na nasledujúcom obrázku. tlaková zásobník p = 5 kpa p = 0.35 kpa z = 5 m usadzovacia časť potrubia z = 3 m nádrž Našou úlohou je vypočítať objemový prietok piva z tlakového zásobníka do otvorenej nádrže, pričom poznáme len rozmery potrubia a armatúry, ktoré sú v potrubí zapojené. Opäť budeme vychádzať z Bernoulliho rovnice w p w p zg + + = zg h α α str g Treba si uvedomiť, že v porovnaní s priemerom potrubia, ktoré spája tlakový zásobník a nádrž, je priemer zásobníka a nádrže nepomerne väčší. V tom prípade môžeme rýchlosť prúdenia v miestach a považovať za zanedbateľne malú w w 0 0 α = α = Podľa zadania platí, že disipácia mechanickej energie v dôsledku trenia po dĺžke potrubia je zanedbateľne malá v porovnaní s množstvom energie, ktorá disipuje v dôsledku miestnych strát v armatúrach. Preto na vyjadrenie disipácie mechanickej energie v Bernoulliho rovnici použijeme nasledujúci vzťah Lw w w hstr = hstr, L + hstr, m = λ + ζ = ζ d g g g p p w 6 ( z z ) g S π d 4 π d p p = ( z z) g+ 8 ζ + = ζ = ζ = ζ 4 V predchádzajúcich vzťahoch vystupuje rýchlosť prúdenia piva v potrubí, ktoré spája tlakový zásobník s otvorenou nádržou. Disipáciu mechanickej energie v armatúrach spôsobuje zmena charakteru prúdenia v dôsledku zmeny rýchlostného poľa prúdiacej kvapaliny (turbulencia). Informácie o hodnote súčiniteľa miestnej disipácie mechanickej energie pre rôzne typy armatúr nájdeme v tabuľkách na strane 66. Nasledujúca tabuľka sumarizuje súčet hodnôt jednotlivých miestnych odporov

17 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 0 Armatúra ξ Počet Spolu Vtok z nádrže do potrubia Pravouhlé koleno Otvorený uzatvárací ventil 3 6 Rozšírenie potrubia Zúženie potrubia Výtok z potrubia Spolu.54 Objemový prietok piva, jeho rýchlosť a charakter prúdenia v potrubí je π = (5 3) 9.8+ = m s w = /( π 0. ) =.88ms = = 4 Re /

18 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Zadanie: Z veľkého uzavretého zásobníka, v ktorom je tlak nad hladinou kvapaliny. bar, sa cez hydraulicky hladké potrubie prečerpáva heptán do pripravenej cisterny. Celková dĺžka potrubia je 70 m, v potrubí sú zaradené 4 pravouhlé kolená, jeden priamy ventil a jeden posúvač (plne otvorené). Časť potrubia je ponorená do hĺbky.5 m pod hladinu kvapaliny v nádrži. Táto časť potrubia slúži ako nasávacie potrubie odstredivého čerpadla, ktoré heptán dopravuje do výšky 6 m nad hladinu kvapaliny v nádrži. Cisterna je otvorená voči atmosfére. Teplota prečerpávaného heptánu je 0 C. Za týchto podmienok je dynamická viskozita heptánu 0.4 cp ( cp = mpa s). Vypočítajte a) priemer potrubia, aby sme za uvedených podmienok dokázali prepraviť m 3 s - heptánu, pričom výkon čerpadla je 63 W a jeho účinnosť je η = 70 %, b) ako dlho sa bude cisterna plniť, ak je priemer potrubia 0. m a množstvo energie dodanej čerpadlom jednotkovej hmotnosti kvapaliny ako v prvom prípade. Cisterna má valcový tvar s eliptickým prierezom (hlavná poloos je dlhá.5 m a vedľajšia m) a dĺžkou 6 m. Aké množstvo energie spotrebováva čerpadlo. Riešenie: Náčrt k tejto úlohe je znázornený na obrázku. p = p atm b = m w a = 3 m l = 6 m p =. bar h d = 6 m h h =.5 m p, w z z Oproti predošlým zadaniam nastala jedna zmena. Do potrubia je zaradené čerpadlo, preto pri riešení použijeme Bernoulliho rovnicu v tvare z g w p w p z h g+ hw g + + = α g str α a) Vzťažné body sú umiestnené v ústí nasávacieho potrubia (.5 m pod hladinou kvapaliny v zásobníku, ) a na konci výtlačného potrubia, kde kvapalina vteká do otvorenej cisterny (). Pretože nasávacie aj výtlačné potrubie má rovnaký priemer, špecifická kinetická energia prúdiaceho heptánu je v oboch miestach rovnaká. Tlak prúdiacej kvapaliny v mieste je daný súčtom tlaku na hladinu v zásobníku a hydrostatického tlaku stĺpca kvapaliny nad ústím nasávacieho potrubia. Tlak na konci výtlačného potrubia sa rovná atmosférickému tlaku. Disipácia mechanickej energie v potrubí je spôsobená trením po dĺžke a tiež v dôsledku prítomnosti rôznych armatúr. Na vyjadrenie množstva disipovanej energie použijeme Darcyho rovnicu a rovnicu na výpočet miestnej disipácie mechanickej energie w w 5 = p =. 0 + hh g p = patm α α Lw w w L hstr = hstr, L + hstr, m = λ + ζ = λ + ζ d g g g d

19 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Množstvo energie, ktoré dodáva kvapaline čerpadlo vypočítame zo zadaného príkonu a účinnosti podľa vzťahu h ε P g V g w v w = = & Na základe týchto úvah môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar p p w L Pv = ( z z) g+ hstrg+ hwg = ( hd + hh) g+ λ + ζ I d Ani v tomto prípad nedokážeme separovať neznáme veličiny (w, d) od ostatných premenných a preto budeme pri riešení postupovať iteračne. Najskôr však musíme zistiť hustotu dopravovanej kvapaliny a vyjadriť súčet disipácie mechanickej energie v dôsledku prítomnosti jednotlivých armatúr. Hustota heptánu je uvedená v tabuľkách na strane 7, = 684kg m. Údaje o hodnote koeficienta miestnej disipácie mechanickej energie sú tabelované na strane 66. Nasledujúca tabuľka sumarizuje hodnoty jednotlivých miestnych odporov Armatúra ξ Počet Spolu Vtok do potrubia s ostrým okrajom Pravouhlé koleno Posúvač Priamy ventil Spolu 6.49 Výsledky pri prvej iterácii sú uvedené na nasledujúcich riadkoch, pričom odhadovaná rýchlosť je m s -. I I d = 4 πw = π = 0.56 m I I I Re = dw μ = / = 9895 > 0000 Pretože sa jedná o hydraulicky hladké potrubie, na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Nikuradzeho rovnicu (platnosť Blaziovej rovnice je obmedzená hodnotou Re < 00000) Re 9895 p p Pv ( hd + hh ) g+ V & = I L λ + ζ I d I λ = + = + = w II (6 +.5) 9.8+ II w = =.636 ms Ako vidno, iteračný postup treba zopakovať. Výsledky sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke Iterácia w/(m s - ) d/m Re Rovnica λ Presnosť I Nikuradzeho nedosiahnutá II Nikuradzeho 0.04 nedosiahnutá III Nikuradzeho nedosiahnutá IV Nikuradzeho nedosiahnutá V Nikuradzeho nedosiahnutá VI Nikuradzeho dosiahnutá VII.359 Na čerpanie benzénu zo zásobníka je potrebné potrubie s priemerom približne 3 palce.

20 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie b) Zmena priemeru potrubia spôsobí zmenu hydrodynamických podmienok pre prúdenie heptánu. Musíme preto zistiť, aká bude rýchlosť prúdenia tejto kvapaliny a jej objemový prietok. Ďalej musíme vypočítať objem cisterny, ktorá sa má plniť heptánom. Na výpočet znovu použijeme iteračný výpočet Výsledky pri prvej iterácii sú uvedené na nasledujúcich riadkoch, pričom odhadovaná rýchlosť je m s -. = πd w 4 = π 0. 4 = 0.057m s I I 3 I I I Re = dw μ = / = Pretože sa jedná o hydraulicky hladké potrubie, na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Nikuradzeho rovnicu Re 9895 p p ( hd + hh) g ε w = I L λ + ζ I d I λ = + = + = w II (6 +.5) w = =.598ms Ako vidno, iteračný postup treba zopakovať. Výsledky sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke II Iterácia w/(m s - ) V/(m 3 s - ) Re Rovnica λ Presnosť I Nikuradzeho nedosiahnutá II Nikuradzeho nedosiahnutá III Nikuradzeho nedosiahnutá IV Nikuradzeho dosiahnutá V Objem valca s eliptickou podstavou vypočítame podľa vzťah V = Sl = πabl = π.5 6 = 8.7 m Cisterna sa naplní za t = V = = 365s =.75 min Spotreba elektrickej energie je P = P η = ε η = = 755 W p v w 6 = tpp = = J =.396 MJ E 3

21 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Zadanie: Na zavlažovanie sa používa studničná voda. Pretože jej teplota je 0 C, najskôr sa prečerpáva do otvorenej zásobnej nádrže. Rozdiel výšok hladín vody v studni a v zásobnej nádrži je 4 metre. Na dopravu vody sa používa odstredivé čerpadlo s nasledujúcou charakteristikou (pri frekvencii otáčania 000 min - ) V/(dm 3 min - ) h wč /m Okrem čerpadla je v potrubí s kruhovým prierezom (priemer 5 cm, priemerná výška výstupkov 0. mm) zaradený nasávací kôš s priemerom 0 cm, 6 pravouhlých kolien, jeden priamy a jeden uzatvárací ventil. Čerpadlo je ponorené 00 cm pod hladinou vody v studni. Miestne odpory proti prúdeniu spôsobené čerpadlom sú započítané v jeho charakteristike. Celková dĺžka potrubia (t.j. dĺžka od výtlačného hrdla čerpadla po jeho ústie do zásobnej nádrže je 00 metrov. Zistite, aký je objemový prietok vody v potrubí, aký je príkon a výkon čerpadla, ak je jeho účinnosť 55 %. Aký je tlak vo výtlačnom hrdle čerpadla? Ako by sa zmenil prietok vody v potrubí, keby ste na jej čerpanie použili dve rovnaké čerpadlá (s rovnakou charakteristikou) zapojené v sérii, alebo paralelne? Riešenie: Na nasledujúcom obrázku sú schematický znázornené najdôležitejšie informácie pre riešenie tohto problému. p = p atm w z zásobná nádrž p = p atm z Δz = 4 m h = m nasávací kôš w studňa čerpadlo Polohu vzťažných bodov a môžeme určiť sami. Pri voľbe sa snažíme čo najviac zjednodušiť ďalší výpočet. Napr. pri tejto voľbe sme jednak použili informáciu zo zadania (Rozdiel výšok hladín vody v studni a v zásobnej nádrži je 4 metre). Navyše je zrejmé, že rýchlosť prúdenia v miestach a je výrazne nižšia (zanedbateľná) v porovnaní s rýchlosťou prúdenia v potrubí (v Darcyho rovnici vystupuje práve rýchlosť prúdenia tekutiny v potrubí). Vzťažný bod sme mohli zvoliť aj inakšie, do stredu prierezu studne v mieste ústia nasávacieho koša. V tom prípade by sa rozdiel geodetických výšok zmenil na Δz = 5 m. Súčasne by sa však zmenil aj tlak v mieste na hodnotu p = p atm +hg. Keby sme porovnali nasledujúce dva členy Bernoulliho rovnice pre prvú (horný index ) a druhú (horný index ) voľbu vzťažných bodov, zistíme, že ich číselné hodnoty sa rovnajú. V tomto prípade sa potenciálna energia mení na tlakovú

22 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie p p p p Δ zg= Δzg patm patm patm + hg patm 4g = 5g g 4g = 5g Na výpočet opäť použijeme Bernoulliho rovnicu, v ktorej vystupuje aj člen označujúci dodávanie energie prostredníctvom čerpadla z g w p w p z h g+ hw g + + = α g str α Berúc do úvahy spomínané umiestnenie vzťažných bodov a vyjadrenie disipácie mechanickej energie, môžeme túto rovnicu upraviť na tvar Lw w Δ zg = λ + ζ + hw g d Ako vidno, získali sme jedinú rovnicu o troch neznámych, ktorými sú súčiniteľ disipácie mechanickej energie trením, rýchlosť prúdenia a množstvo energie, ktoré prúdiacej kvapaline dodáva čerpadlo. Aj keby sme charakteristiku čerpadla vyjadrili ako závislosť h w = f(v), získali by sme nedourčený systém nelineárnych rovníc. V tomto prípade nie je vhodné použiť iteračný postup riešenia. V každom prípade však platí, že pri vyjadrení hodnoty λ budeme musieť poznať hodnotu Re a preto je potrebné zistiť vlastnosti prúdiacej kvapaliny a tiež zistiť, aká je hodnota súčtu jednotlivých koeficientov miestnej disipácie mechanickej energie. Hustotu a viskozitu vody pri teplote 0 C odčítame v tabuľkách na strane 4, μ = kg m, = Pa s. Hodnoty koeficientov miestnej disipácie mechanickej energie (tabuľky strana 66) sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke Armatúra ξ Počet Spolu Nasávací kôš 7 7 Pravouhlé koleno Uzatvárací ventil 3 3 Priamy ventil Výtok z potrubia Spolu 9.36 Ďalší postup riešenia spočíva v úprave Bernoulliho rovnice do tvaru, ktorý sa označuje ako charakteristika potrubia. Charakteristika potrubia je závislosť množstva energie, ktoré potrebujeme do systému dodať (napríklad pomocou čerpadla), aby sme dosiahli určitý objemový prietok kvapaliny (-ε w = f(v)). Lw w hw g =Δ zg+ λ + ζ d L εw =Δ zg + λ + ζ d S L 8 εw =Δ zg + λ + ζ 4 d π d ε w = A+ B A=Δzg L 8 B = λ + ζ 4 d π d

23 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Charakteristika potrubia sa podobá na kvadratickú závislosť s nulovým koeficientom pri prvej mocnine premennej (V). Treba si však uvedomiť, že hodnota súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením, ktorý vystupuje v parametri B závisí od objemového prietoku (rýchlosti prúdenia, resp. hodnoty Reynoldsovho kritéria), a preto sa hodnota parametra B v tejto kvadratickej rovnici pozvoľna mení. Požadovaný údaj, objemový prietok dopravovanej vody, zistíme tak, že vypočítame niekoľko hodnôt množstva energie, ktoré zabezpečia určité objemové prietoky dopravovanej kvapaliny. Z tejto závislosti zostrojíme charakteristiku potrubia a vynesieme ju do spoločného grafu s charakteristikou čerpadla. Priesečník týchto dvoch čiar určuje jednak prepravované množstvo kvapaliny a tiež množstvo energie, ktoré dodá čerpadlo prepravovanej kvapaline. Objemové prietoky pre výpočet charakteristiky potrubia sa obvykle volia podľa toho, aké hodnoty sú uvedené v tabuľke na zostrojenie charakteristiky čerpadla. V/(dm 3 min - ) h wč /m ε wč /(J kg - ) Aj keď potrubím netečie žiadna kvapalina, na udržanie hladiny prepravovanej kvapaliny v zásobnej nádrží musí čerpadlo dodávať kvapaline určitú energiu (inak by z potrubia samospádom vytiekla) ε w = A+ B = A+ B0 = A=Δ zg = = 39.4J kg V prípade nenulového objemového prietoku vody, je výpočet potrebného množstva energie trochu komplikovanejší. V tomto prípade platí (pre najmenšiu tabelovanú hodnotu objemového prietoku) w= 4 πd = π 0.05 = m s Re = dw μ = / = 9734 Potrebujeme zistiť, či sa jedná o hydraulicky hladké potrubie ε 5 n = < d Re 4 0 n = = = = Re 9734 Ako vidno, nerovnosť nie je splnená a, nakoľko hodnota Reynoldovho kritéria sa bude pri väčších objemových prietokoch vody ďalej zväčšovať, ani neskôr nebude splnená. V tom prípade môžeme na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením po dĺžke použiť Roundovu rovnicu Re = λ.8log 0.35Re n λ = =.8log Vtedy platí L B = λ + ζ = d π d 0.05 π 0.05 A=Δ zg = = 39.4 J kg =.9 0 J kg m s ε 6 = A+ B = (30 0 / 60) = 4. J kg w 6 6

24 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Výsledky výpočtov charakteristiky potrubia spolu s údajmi charakteristiky čerpadla sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke V/(dm 3 min - ) ε wč /(J kg - ) w/(m s - ) Re λ B/(MJ kg - m -6 s ) ε w /(J kg - ) Nasledujúci obrázok ilustruje charakteristiky čerpadla a potrubia. Ich priesečník určuje objemový prietok prepravovanej kvapaliny (.5 dm 3 min - ) a množstvo energie, ktoré čerpadlo kvapaline dodáva (8.5 J kg - ). 0 charakteristika čerpadla ε /(J kg - ) charakteristika potrubia V /(dm 3 min - ) Výkon a príkon čerpadla za uvedených podmienok je.5 0 Pv = εwčm& = εwč = = 67.0 W 60 P = P = = W p v η p = p atm z w Δz = m studňa p w 0 0 z Tlak vo výtlačnom hrdle čerpadla opäť vypočítame na základe Bernoulliho rovnice, pričom už poznáme objemový prietok prúdiacej kvapaliny. Musíme si však zvoliť iné vzťažné body, pre ktoré výpočet uskutočníme. Kvôli jednoduchosti je asi najvhodnejšie vzťažný bod ponechať ako v predchádzajúcom výpočte a nový vzťažný bod (nazvime ho 0) umiestniť do osi potrubia na výstupe z čerpadla. Táto voľba je graficky znázornená na obrázku w p w0 p0 zg + + = z0g+ + + hstrg+ hw g α α 0 V tomto prípade môžeme špecifickú kinetickú energiu v mieste zanedbať vzhľadom na prakricky nulovú rýchlosť prúdenia v priereze studne. Okrem toho môžeme zanedbať disipáciu mechanickej energie v dôsledku trenia po dĺžke, nakoľko dĺžka

25 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie potrubia od nasávacieho koša po ústie výtlačného hrdla čerpadla je veľmi malá. Podľa nákresu je zjavné, že jediným miestom, v ktorom dochádza k miestnej disipácii mechanickej energie je vtok kvapaliny do nasávacieho 0 koša ( ζ = 7 ). Hodnota súčiniteľa α 0 je, pretože pri uvedenom objemovom prietoku je charakter prúdenia vody turbulentný. Na základe týchto úvah môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar vhodný na výpočet tlaku vo výtlačnom hrdle čerpadla. p0 p w0 = + ( z z0) g hstrg hwg α0 p0 p w0 0 w = +Δzg ζ εw α0 0 8 p0 = p + Δzg + ζ ε 4 w α0 π d 8 (.5 0 ) p0 = = Pa 4 π Záverečná úloha je porovnať, ako ovplyvní množstvo prepravovanej kvapaliny použitie dvoch čerpadiel s pôvodnou charakteristikou zapojených v sérii a paralelne. V prípade sériového zapojenia dvoch rovnakých čerpadiel sa pri konštantnom objemovom prietoku zdvojnásobí množstvo energie dodanej kvapaline, t.j. pri približne rovnakom prietoku dokážeme kvapalinu dopraviť do dvojnásobnej výšky. V prípade paralelného zapojenia dvoch rovnakých čerpadiel sa zdvojnásobí prepravná kapacita (objemový prietok) prepravovanej kvapaliny, pričom kvapalinu dokážeme dopraviť do približne rovnakej výšky, ako v prípade jediného čerpadla. Potom charakteristiky takto usporiadaných čerpadiel sú Usporiadanie V/(dm 3 min - ) čerpadlo ε wč /(J kg - ) čerpadlá v sérii ε wč /(J kg - ) čerpadlá paralelne ε wč /(J kg - ) dve čerpadlá v sérii 50 ε /(J kg - ) jedno čerpadlo dve čerpadlá zapojené paralelne 50 0 charakteristika potrubia V /(dm 3 min - )

26 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3 Zadanie: Čerpadlo s charakteristikou zmeranou pri frekvencii otáčania rotora 00 min - (viď tabuľka) sa používa na prepravu benzénu zo zbernej nádoby destilátu do vzdialeného zásobníka. Čerpadlo je umiestnené metre nad hladinou benzénu v zbernej nádobe. Teplota čerpaného benzénu je 45 C. V oboch nádobách je atmosferický tlak. Najvyššie položené miesto, kam je prepravovaný benzén, sa nachádza 8 metrov nad hladinou benzénu v zbernej nádobe destilátu. Predpokladajte, že nasávacie aj výtlačné potrubie je hydraulicky hladké. Priemer nasávacieho potrubia je 3 palce, jeho celková dĺžka je 5 metrov a ekvivalentná dĺžka zodpovedajúca stratám mechanickej energie v dôsledku miestnych odporov je 5 metrov. Priemer výtlačného potrubia je 4 palce a ekvivalentná dĺžka spôsobená miestnymi odpormi je metrov. Celková dĺžka výtlačného potrubia je 35 metrov. Vypočítajte objemový prietok benzénu. Do akej maximálnej výšky možno umiestniť čerpadlo, aby v ňom nenastala kavitácia? Pre podmienky uvedené v zadaní vypočítajte frekvenciu otáčania, ak sa má čerpať o 30 % viac benzénu a špecifická energia dodaná kvapaline zahŕňa aj 5 %-nú rezervu. Pre novú frekvenciu otáčania prepočítajte charakteristiku čerpadla. V/(m 3 s - ) ε wč /(J kg - ) Riešenie: Schéma zapojenia je znázornená na nasledujúcom obrázku. p = p atm z w Δz = 8 m zásobník p = p atm z w h č = m Vzhľadom na známy rozdiel medzi polohami hladín benzénu v zbernej nádobe a zásobníku je účelné zvoliť vzťažné body na hladine benzénu v týchto nádobách. Pri riešení Bernoulliho rovnice potom môžeme zanedbať špecifickú kinetickú energiu v týchto miestach, nakoľko je nepomerne menšia v porovnaní s kinetickou energiou kvapaliny prúdiacej v nasávacom a výtlačnom potrubí. Naviac máme k dispozícii všetky údaje na výpočet špecifickej disipovanej energie v nasávacom aj výtlačnom potrubí. Okrem toho, tlaková energia v oboch vzťažných bodoch je rovnaká, takže Bernoulliho rovnicu môžeme upraviť na tvar (index N platí pre nasávaciu a index V pre výtlačnú časť potrubia, pretože obe časti potrubia s kruhovým prierezom majú rozdielny priemer) L L N ekv,n w N L L V ekv,v wv hwg = ( z z) g+ λn + + λv + dn dn dv dv L L N ekv,n 8 L L V ekv,v 8 εw =Δ zg + λn + + λ 4 V + 4 dn dn π dn dv dv π dv ε = A+ B w zberná nádoba destilátu

27 Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3 A=Δzg B= λ L + L 8 + L + L 8 ( ) λ ( ) N N ekv,n 5 V V ekv,v 5 π dn π dv Riešenie opäť spočíva v porovnaní charakteristiky potrubia a charakteristiky použitého čerpadla. Ich priesečník určuje objemový prietok prepravovanej kvapaliny a množstvo energie, ktoré jej čerpadlo dodáva. Nakoľko budeme potrebovať posúdiť charakter prúdenia, potrebujeme zistiť, aká je hustota a viskozita prepravovanej kvapaliny. Hustotu benzénu pri teplote 45 C zistíme lineárnou interpoláciou medzi známymi tabelovanými hodnotami (tabuľka 4, strana 7) 40 C 50 C 40 C = + ( t 40) = ( 45 40) = 85.5 kg m Viskozitu benzénu pri teplote 45 C vypočítame na základe údajov v tabuľke 5a na stranách A+ B/( T / K) + C( T / K) + D( T / K) / μ = e = e =0.4655mPa s = Pa s Aj keď potrubím netečie žiadna kvapalina, na udržanie hladiny prepravovanej kvapaliny v zásobníku musí čerpadlo dodávať kvapaline určitú energiu ε w = A+ B = A+ B0 = A=Δ zg = = 78.48J kg V prípade nenulového objemového prietoku vody, je výpočet potrebného množstva energie trochu komplikovanejší. V tomto prípade platí (pre najmenšiu tabelovanú hodnotu objemového prietoku) wn = 4 πdn = π = ms wv = 4 πdv = π 0.06 = ms ReN = dnwn μ = / = 9090 Re = d w μ = / = 6890 V V V Pretože sa jedná o hydraulicky hladké potrubie, na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Nikuradzeho rovnicu λn = = = ReN λv = = = Re 6890 V Vtedy platí A=Δ zg = = 78.48J kg 8 8 B= λn( LN + Lekv,N) + λ 5 V( LV + Lekv,V) 5 π dn π dv 8 8 B = ( 5 + 5) ( 35 + ) = 808 J kg m s 5 π π 0.06 ε = A+ B = (3 0 ) = 80.0 J kg w 6 Výsledky výpočtov charakteristiky potrubia spolu s údajmi charakteristiky čerpadla sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

Kvapalina s dostatočnou polohovou energiou sa dá dopravovať potrubím aj samospádom.

Kvapalina s dostatočnou polohovou energiou sa dá dopravovať potrubím aj samospádom. 4 ZARIADENIA NA DOPRAVU KVAPALÍN Zariadenia na dopravu kvapalín patria medzi najpoužívanejšie dopravné zariadenia. Používajú sa vo všetkých priemyselných odvetviach, napr. chemickom a potravinárskom priemysle,

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008) ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

KAGEDA AUTORIZOVANÝ DISTRIBÚTOR PRE SLOVENSKÚ REPUBLIKU

KAGEDA AUTORIZOVANÝ DISTRIBÚTOR PRE SLOVENSKÚ REPUBLIKU DVOJEXCENTRICKÁ KLAPKA je uzatváracia alebo regulačná armatúra pre rozvody vody, horúcej vody, plynov a pary. Všetky klapky vyhovujú smernici PED 97/ 23/EY a sú tiež vyrábané pre výbušné prostredie podľa

Διαβάστε περισσότερα

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky

Διαβάστε περισσότερα

6. V stene suda naplneného vodou je v hĺbke 1 m pod hladinou otvor veľkosti 5 cm 2. Aká veľká tlaková sila pôsobí na zátku v otvore?

6. V stene suda naplneného vodou je v hĺbke 1 m pod hladinou otvor veľkosti 5 cm 2. Aká veľká tlaková sila pôsobí na zátku v otvore? Mechanika tekutín 1. Aká je veľkosť tlakovej sily na kruhový poklop ponorky s priemerom 1 m v hĺbke 50 m? Hustota morskej vody je 1,025 g cm 3. [402 kn] 2. Obsah malého piesta hydraulického zariadenia

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ZARIADENIA NA DOPRAVU TEKUTÍN

3.2 ZARIADENIA NA DOPRAVU TEKUTÍN 3. ZARIADENIA NA DOPRAVU TEKUTÍN Zariadenia na dopravu tekutín patria medzi najpoužívanejšie zariadenia v rôznych priemyselných odvetviach, napr. chemickom a potravinárskom priemysle, v energetike a pod.

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor

Διαβάστε περισσότερα

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že

Διαβάστε περισσότερα

Príklady z entalpických bilancií (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 1

Príklady z entalpických bilancií (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 1 Príklady z entalpických bilancií (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Zadanie: Porovnajte množstvo tepelnej energie, ktoré musíte dodať jednotkovému množstvu (hmotnosti) amoniaku a vody pri ich zohriatí z teploty

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

Odťahy spalín - všeobecne

Odťahy spalín - všeobecne Poznámky - všeobecne Príslušenstvo na spaliny je súčasťou osvedčenia CE. Z tohto dôvodu môže byť použité len originálne príslušenstvo na spaliny. Povrchová teplota na potrubí spalín sa nachádza pod 85

Διαβάστε περισσότερα

Meranie a systémy merania

Meranie a systémy merania Meranie a systémy merania Metódy merania prietoku prof. Ing. Ján Terpák, CSc. Technická univerzita v Košiciach Fakulta baníctva, ekológie, riadenia a geotechnológíı Ústav riadenia a informatizácie výrobných

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

9 Mechanika kvapalín. 9.1 Tlak v kvapalinách a plynoch

9 Mechanika kvapalín. 9.1 Tlak v kvapalinách a plynoch 137 9 Mechanika kvapalín V predchádzajúcich kapitolách sme sa zaoberali mechanikou pevných telies, telies pevného skupenstva. V nasledujúcich kapitolách sa budeme zaoberať mechanikou kvapalín a plynov.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky z hydrostatiky a hydrodynamiky

Kontrolné otázky z hydrostatiky a hydrodynamiky Verzia zo dňa 28. 10. 2008. Kontrolné otázky z hydrostatiky a hydrodynamiky Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte

Διαβάστε περισσότερα

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY

STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový

Διαβάστε περισσότερα

TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre

TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:

Διαβάστε περισσότερα

M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie"

M8 Model Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie" Úlohy: 1. Zostavte matematický popis modelu M8 2. Vytvorte simulačný model v prostredí: a) Simulink zostavte blokovú schému, pomocou rozkladu

Διαβάστε περισσότερα

Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody

Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Zadanie č.1 Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Nasledujúce uvedené poznatky z oblasti riešenia elektrických obvodov pomocou metódy slučkových prúdov a uzlových napätí je potrebné využiť

Διαβάστε περισσότερα

Laboratórna úloha č. 8. Koeficient teplotnej rozpínavosti vzduchu

Laboratórna úloha č. 8. Koeficient teplotnej rozpínavosti vzduchu Laboratórna úloha č. 8 Úloha: Koeficient teplotnej rozpínavosti vzduchu Určiť koeficient teplotnej rozpínavosti vzduchu meraním teplotnej závislosti tlaku vzduchu uzavretého v banke. Teoretický úvod Závislosť

Διαβάστε περισσότερα

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies. ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,

Διαβάστε περισσότερα

Súradnicová sústava (karteziánska)

Súradnicová sústava (karteziánska) Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania 2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné

Διαβάστε περισσότερα

ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 3. ROČNÍK

ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 3. ROČNÍK Kód ITMS projektu: 26110130519 Gymnázium Pavla Jozefa Šafárika moderná škola tretieho tisícročia ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 3. ROČNÍK (zbierka úloh) Vzdelávacia oblasť: Predmet: Ročník: Vypracoval: Človek

Διαβάστε περισσότερα

DOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2

DOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2 Mechanizmy s konštantným prevodom DOMÁCE ZADANIE - PRÍKLAD č. Príklad.: Na obrázku. je zobrazená schéma prevodového mechanizmu tvoreného čelnými a kužeľovými ozubenými kolesami. Určte prevod p a uhlovú

Διαβάστε περισσότερα

8 VLASTNOSTI VZDUCHU CIEĽ LABORATÓRNEHO CVIČENIA ÚLOHY LABORATÓRNEHO CVIČENIA TEORETICKÝ ÚVOD LABORATÓRNE CVIČENIA Z VLASTNOSTÍ LÁTOK

8 VLASTNOSTI VZDUCHU CIEĽ LABORATÓRNEHO CVIČENIA ÚLOHY LABORATÓRNEHO CVIČENIA TEORETICKÝ ÚVOD LABORATÓRNE CVIČENIA Z VLASTNOSTÍ LÁTOK 8 VLASTNOSTI VZDUCHU CIEĽ LABORATÓRNEHO CVIČENIA Cieľom laboratórneho cvičenia je oboznámiť sa so základnými problémami spojenými s meraním vlhkosti vzduchu, s fyzikálnymi veličinami súvisiacimi s vlhkosťou

Διαβάστε περισσότερα

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 % Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO

Διαβάστε περισσότερα

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie, Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne

Διαβάστε περισσότερα

Úvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...

Úvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,... Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia

Διαβάστε περισσότερα

Priezvisko: Ročník: Katedra chemickej fyziky. Krúžok: Meno: Dátum cvičenia: Dvojica:

Priezvisko: Ročník: Katedra chemickej fyziky. Krúžok: Meno: Dátum cvičenia: Dvojica: Katedra chemickej fyziky Dátum cvičenia: Ročník: Krúžok: Dvojica: Priezvisko: Meno: Úloha č. 7 URČENIE HUSTOTY KVPLÍN Známka: Teória Tabuľka Výpočet Zaokrúhľovanie Záver Meranie 1. Úlohy: a) Určte hustotu

Διαβάστε περισσότερα

M6 Model Dve nádrže pod tlakom s potrubím, čerpadlom, snímačmi tlaku a prietoku

M6 Model Dve nádrže pod tlakom s potrubím, čerpadlom, snímačmi tlaku a prietoku Úlohy: M6 Model Dve nádrže pod tlakom s potrubím, čerpadlom, snímačmi tlaku a prietoku 1. Zostavte simulačný model hydraulického systému M6 v aplikačnej knižnici SimHydraulics 2. Simulujte dynamiku hydraulického

Διαβάστε περισσότερα

STANOVENIE TLAKOVEJ STRATY PRI PRÚDENÍ KVAPALINY V TRUBICI S VEĽMI VYSOKOU DRSNOSŤOU

STANOVENIE TLAKOVEJ STRATY PRI PRÚDENÍ KVAPALINY V TRUBICI S VEĽMI VYSOKOU DRSNOSŤOU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE STANOVENIE TLAKOVEJ STRATY PRI PRÚDENÍ KVAPALINY

Διαβάστε περισσότερα

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu

Διαβάστε περισσότερα

MECHANIKA TEKUTÍN. Ideálna kvapalina je dokonale tekutá a celkom nestlačiteľná, pričom zanedbávame jej vnútornú štruktúru.

MECHANIKA TEKUTÍN. Ideálna kvapalina je dokonale tekutá a celkom nestlačiteľná, pričom zanedbávame jej vnútornú štruktúru. MECHANIKA TEKUTÍN TEKUTINY (KVAPALINY A PLYNY) ich spoločnou vlastnosťou je tekutosť, ktorá sa prejavuje tým, že kvapaliny a plynné telesá ľahko menia svoj tvar a prispôsobujú sa tvaru nádoby, v ktorej

Διαβάστε περισσότερα

Riadenie zásobníkov kvapaliny

Riadenie zásobníkov kvapaliny Kapitola 9 Riadenie zásobníkov kvapaliny Cieľom cvičenia je zvládnuť návrh (syntézu) regulátorov výpočtovými (analytickými) metódami Naslinovou metódou a metódou umiestnenia pólov. Navrhnuté regulátory

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIA 3 ČASŤ

RIEŠENIA 3 ČASŤ RIEŠENIA 3 ČASŤ - 2009-10 1. PRÁCA RAKETY Raketa s hmotnosťou 1000 kg vystúpila do výšky 2000 m nad povrch Zeme. Vypočítajte prácu, ktorú vykonali raketové motory, keď predpokladáme pohyb rakety v homogénnom

Διαβάστε περισσότερα

Zadanie pre vypracovanie technickej a cenovej ponuky pre modul technológie úpravy zemného plynu

Zadanie pre vypracovanie technickej a cenovej ponuky pre modul technológie úpravy zemného plynu Kontajnerová mobilná jednotka pre testovanie ložísk zemného plynu Zadanie pre vypracovanie technickej a cenovej ponuky pre modul technológie úpravy zemného plynu 1 Obsah Úvod... 3 1. Modul sušenia plynu...

Διαβάστε περισσότερα

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

100626HTS01. 8 kw. 7 kw. 8 kw

100626HTS01. 8 kw. 7 kw. 8 kw alpha intec 100626HTS01 L 8SplitHT 8 7 44 54 8 alpha intec 100626HTS01 L 8SplitHT Souprava (tepelná čerpadla a kombivané ohřívače s tepelným čerpadlem) Sezonní energetická účinst vytápění tepelného čerpadla

Διαβάστε περισσότερα

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť

Διαβάστε περισσότερα

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Poznámky k prednáškam z Termodynamiky z Fyziky 1.

Poznámky k prednáškam z Termodynamiky z Fyziky 1. Poznámky k prednáškam z Termodynamiky z Fyziky 1. Peter Bokes, leto 2010 1 Termodynamika Doposial sme si budovali predstavu popisu látky pomocou mechanických stupňov vol nosti, ako boli súradnice hmotného

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

M7 Model Hydraulický ráz

M7 Model Hydraulický ráz Úlohy: M7 Model Hydraulický ráz 1. Zostavte simulačný model hydraulického systému M7 v aplikačnej knižnici SimHydraulics 2. Simulujte dynamiku hydraulického systému M7 na rôzne vstupy Doplňujúce úlohy:

Διαβάστε περισσότερα

Povrch a objem ihlana

Povrch a objem ihlana Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

MOSTÍKOVÁ METÓDA 1.ÚLOHA: 2.OPIS MERANÉHO PREDMETU: 3.TEORETICKÝ ROZBOR: 4.SCHÉMA ZAPOJENIA:

MOSTÍKOVÁ METÓDA 1.ÚLOHA: 2.OPIS MERANÉHO PREDMETU: 3.TEORETICKÝ ROZBOR: 4.SCHÉMA ZAPOJENIA: 1.ÚLOHA: MOSTÍKOVÁ METÓDA a, Odmerajte odpory predložených rezistorou pomocou Wheastonovho mostíka. b, Odmerajte odpory predložených rezistorou pomocou Mostíka ICOMET. c, Odmerajte odpory predložených

Διαβάστε περισσότερα

ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI

ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI 1. Zadanie: Určiť odchýlku kolmosti a priamosti meracej prizmy prípadne vzorovej súčiastky. 2. Cieľ merania: Naučiť sa merať na špecializovaných

Διαβάστε περισσότερα

Elektrický prúd v kovoch

Elektrický prúd v kovoch Elektrický prúd v kovoch 1. Aký náboj prejde prierezom vodiča za 2 h, ak ním tečie stály prúd 20 ma? [144 C] 2. Prierezom vodorovného vodiča prejde za 1 s usmerneným pohybom 1 000 elektrónov smerom doľava.

Διαβάστε περισσότερα

ENERGETICKÁ EFEKTÍVNOSŤ A VYUŽÍVANIE OZE PODĽA TECHNICKÝCH NORIEM JASNÁ

ENERGETICKÁ EFEKTÍVNOSŤ A VYUŽÍVANIE OZE PODĽA TECHNICKÝCH NORIEM JASNÁ ENERGETICKÁ EFEKTÍVNOSŤ A VYUŽÍVANIE OZE PODĽA TECHNICKÝCH NORIEM STN EN 15316-1, STN EN 15316-2-1, STN EN 15316-2-3 24 25.9.2012 2012 JASNÁ Tepelná energia potrebná na odovzdanie tepla STN EN 15316-1,

Διαβάστε περισσότερα

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru

Διαβάστε περισσότερα

Model redistribúcie krvi

Model redistribúcie krvi .xlsx/pracovný postup Cieľ: Vyhodnoťte redistribúciu krvi na začiatku cirkulačného šoku pomocou modelu založeného na analógii s elektrickým obvodom. Úlohy: 1. Simulujte redistribúciu krvi v ľudskom tele

Διαβάστε περισσότερα

Modul pružnosti betónu

Modul pružnosti betónu f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

Strana 1/5 Príloha k rozhodnutiu č. 544/2011/039/5 a k osvedčeniu o akreditácii č. K-052 zo dňa Rozsah akreditácie

Strana 1/5 Príloha k rozhodnutiu č. 544/2011/039/5 a k osvedčeniu o akreditácii č. K-052 zo dňa Rozsah akreditácie Strana 1/5 Rozsah akreditácie Názov akreditovaného subjektu: CHIRANALAB, s.r.o., Kalibračné laboratórium Nám. Dr. A. Schweitzera 194, 916 01 Stará Turá IČO: 36 331864 Kalibračné laboratórium s fixným rozsahom

Διαβάστε περισσότερα

Meranie na jednofázovom transformátore

Meranie na jednofázovom transformátore Fakulta elektrotechniky a informatiky TU v Košiciach Katedra elektrotechniky a mechatroniky Meranie na jednofázovom transformátore Návod na cvičenia z predmetu Elektrotechnika Meno a priezvisko :..........................

Διαβάστε περισσότερα

Zložené funkcie a substitúcia

Zložené funkcie a substitúcia 3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi

Διαβάστε περισσότερα