Rje²enje doma e zada e 2. Inºenjerska matematika 1

Transcript

1 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehi ki fakultet Rje²eje doma e zada e Iºejerska matematika Haru iljak Decembar 009.

2 Zad. U sljede em izrazu izvr²ite sve aza ee operacije u skupu kompleksih brojeva: cis π 9 5 j p cis π 5 6 gdje je j imagiara jediica, a p, p je ukupa broj bodova koji ste ostvarili a prijemom ispitu za prijem a studij a Elektrotehi kom fakultetu Uiverziteta u Sarajevu. Rje²eje Op eito, S cis π 5 9 j p cis π 6 5 e 9π j 5 e pπ e 5π 6 j 6 j. Za slu aj cjelobroje vrijedosti p, kakva je broj bodova a prijemom ispitu, imamo: S p e 9 0 p 6 πj. Ukoliko se pak radi o racioaloj, ecjelobrojoj vrijedosti, tada moramo koristiti Moivreovu formulu za korjeovaje, ime dobijamo vi²e vrijedosti. Tako za p imamo S k e 9 0 πj cos π 6 +kπ +i si π 6 +kπ, k 0 k. Uvr²tavajem dobijamo S e 9 0 πj e 5 60πj, te drugu mogu u vrijedost S 9 0 e πj e 60 πj e 60πj 7 e 5 60πj. Zad. Dokaºite da redovi a, b, k c k kovergiraju ako je 4 si 6 π a, b +, c k k k,, k N, te izra uajte sumu reda a i dokaºite ijeicu: iako redovi b i k c k sadrºe iste sabirke, jihove sume su razli ite. Rje²eje si 4 6 π cos π, 0mod, mod. Na² polazi red je, mod ekvivaleta razlici redova p i q, pri emu su p +, + q +. Ovi redovi kovergiraju radi se o geometrijskim redovima + - jihova kovergecija se moºe pokazati i poredbeim ili korjeim kriterijem, pa i a² polazi red kovergira. Moºemo ih odmah i sumirati: p 4 4, q 4 8 4, pa je a to se reda b ti e, o kovergira po Leibizovom kriteriju i ima sumu l Dokaz: Pozato je da je lim l γ, pa kako je suma a²eg reda b lim lim / l. Red k c kovergira po Raabeovom kriteriju Dokaz: ako red k c lim γ + l γ l kovergira, tada kovergira i red k c. O ito je da su svi sumadi ovog reda d c pozitivi, pa za red vaºe kriteriji za pozitive redove.

3 lim k k dk d k+ lim k k k + 6 k >, pa red kovergira. Njegovu suma je l Dokaz: k k k k Ve smo zaklju ili da k l, pa je k c l. Dakle, k k pokazali smo da su sume ovda dva reda razli ite, jo² ostaje da pokaºemo da sadrºe iste laove. ƒlaovi reda b su recipro e vrijedosti svih prirodih brojeva, s predzakom plus u slu aju eparih, i predzakom mius u slu aju parih brojeva. Op i la c je c k k k. k je epara broj, predzak recipro e vrijedosti je plus. k je para broj koji ije djeljiv sa 4, dok je para broj djeljiv sa 4 - u oba slu aja, predzak je mius. Sa ove tri forme predstavljei su svi prirodi brojevi ta o jedom, sa odgovaraju im predzacima, pa su sabirci ova dva reda isti. Zad. Odredite prirodi dome, ispitajte ograi eost, parost/eparost, periodi ost i u slu aju periodi e fukcije odredite osovi period ukoliko postoji svake od realih fukcija f, g, h, k jede reale promjeljive zadaih formulama fx cos x, gx arccossi x, hx l si x, kx 6 six cos 4 x + si 4 x. Zatim skicirajte grake zadaih fukcija f, g, h. Rje²eje Dome fukcija f, g i k je skup R, dok fukcija h ije deiraa za x kπ, k Z jer je fukcija h kompozicija fukcija si, l i x a fukcija l ije deiraa za argumet 0 si kπ, dok fukcija x ije deiraa za argumet 0 l si k+π, k Z. Ova dva sjedijea uvjeta daju x kπ, k Z. to se ograi eosti ti e, fukcija h ije ograi ea zbog beskoa ih vrijedosti u ta kama prekida. Ostale fukcije su ograi ee fukcije cos i arccos su ograi ee same po sebi, pa su fukcije f i g ograi ee, dok je fukcija k ograi ea kao suma ograi eih trigoometrijskih fukcija. Kako vrijedi cos x cos x, te arccossi x arccossi x i arccossi x arccossi x, fukcija f je para, dok fukcija g ije i para i epara. Nadalje, kako je l si x, fukcija h je para. Fukcija k ije i l si x para i epara, po²to 6 si x+0+cos 4 x+si 4 x 6 six+0+ cos 4 x + si 4 x te 6 si x cos 4 x + si 4 x 6 six cos 4 x + si 4 x. Ostaje jo² da pokaºemo da su sve etiri fukcije periodi e. Pri tome emo koristiti ijeicu da je suma periodi ih fukcija periodi a fukcija akko su periodi sumaada samjerljivi, a osovi period takve fukcije je NZS perioda sumaada. Kako je cos x cos x, to je fukcija f periodi a, sa osovim periodom T π. Nadalje, arccossi x arccossi x + p kao rje²eje daje p kπ, pa je a²a fukcija periodi a sa periodom T π. to se fukcije h ti e, periodi a je sa periodom T π, jer je to period fukcije si x jer je si cos x x, a period fukcije cos x je π. Koa o, fukciju k zapi²imo kao kx 6 six cos 4 x + si 4 x 6 six cos x+si x si x cos x. Dalje je kx +6 six+0 si x cos 4x + 6 six + 0 4, pa imamo sumu dvije periodi e fukcije, osovih k k.

4 Slika : Fukcije f,g,h perioda π i π, pa je osovi period fukcije f T π. Graci traºeih fukcija su prikazai a slici. Zad 4. Odredite prirodi dome Dom g a za svaku od fukcija g a iz familije g a : a, 0, +, g a x log a x + 9x realih fukcija jede reale promjeljive, a zatim za fukciju fx g 0 x odredite evetuale presjeke jeog graka sa osama Ox i Oy, skup {x Dom f : fx 0},evetuale horizotale i vertikale asimptote jeog graka, grai e vrijedosti lim x 0± fx x + i sliku rag Im f, a zatim bez primjee diferecijalog ra ua skicirajte grake jegove mogu e dijelove fukcija f i f 9x. Rje²eje Dome fukcija g a za a 0,, jeste skup svih realih brojeva x za koje je 9x 0 i x + 9x > 0, ²to za i da je, iz prve ejedakosti x, a iz druge slijedi x > 0, pa je Dom g a : x 0, ]. U slu aju a, uvjeto re eo, domeu fukcije log t t x + 9x bi mogla pripadati isklju ivo ta ka t odoso ta ke x 0 i x 5. Mežutim, prema deiciji logaritma kao iverze fukcije ekspoecijaloj, log moºe biti bilo koji reali broj, pa je fukcija u toj ta ki vi²eza a pri emu uzima sve vrijedosti iz R. Ukoliko ºelimo reali logaritam posmatrati kao isklju ivo jedoza u fukciju, tad kodome moramo svesti a jedu ta ku iz skupa R. U slu aju a, jedia dva reala broja za koja bi izraz log t mogao imati smisla jesu t i t, ali tada se opet javlja beskoa a vi²eza ost, jer je log svaki epari cijeli broj, a log svaki pari cijeli broj. Mežutim, primjetimo da je t x + 9x x, pa ostaje jedio mogu e t odoso x 0, x 5. Dalje rezoovaje je aalogo slu aju za bazu jeda: da bi se postigla jedoza ost, kodome se mora svesti a jedu ta ku iz skupa parih cijelih brojeva. to se baze ti e, postoji diskreta skup A {a a p q, p Z, q N q} koji bi mogao posluºiti kao dome za koji log t t A ima smisla. Rje²avajem jedakosti po t dobijamo da su ove ta ke domea predstavljee sa x 0 p q p q + ± 0 9 p q, pri emu je pozato da je t 0, ime moºemo ograi iti p q. Mežutim, proalaºeje ta ih graica za p q se pokazuje kao prili o sloºe dio prora ua

5 Slika : Graci fukcija f i f sa podslu ajevima za pare, epare, pozitive, egative vrijedosti p, pa isti e emo ovdje avesti. Mežutim, apomeimo da se u literaturi moºe a i mi²ljeje o edeiraosti logaritama s egativom bazom, prema kom log x i log x isu deirai. to se traºeih osobia fukcije f ti e, izjeda avajem fukcije s ulom dobijamo presjek s apscisom osom u ta kama x 0 i x 5, a izjeda avaje argumeta fukcije s ulom daje presjek s ordiatom osom f0 0. Kako fukcija ema prekida a domeu, to oa ima kostata zak izmežu ta aka presjeka s apscisom osom. Pokazuje se da je u tom segmetu tj [0, 5 ] fukcija pozitiva, pa je to i traºei skup {x Dom f : fx 0}. Horizotala asimptota fukcije e postoji, po²to se radi o ograi eom domeu. Vertikala asimptota postoji a kraju domea - lim x fx. to 0 se raga fukcije ti e, o ito je da je doja meža, a da je gorja meža i maksimum fukcije eka pozitiva reala vrijedost koja fukcija dostiºe u segmetu [0, 5 ]. Rje²avajem kvadrate jeda ie otkrivamo da se maksimum fukcije x + 9x, pa samim tim i fukcije f alazi u ta ki x 0. Tada je f log 0 0. Dakle, Im f :, log 0 ]. lim x 0+ logx+ 9x x + 9x x + 9x log t t lim t t. Prema pozatoj asimptotskoj relaciji l + x x x 0, imamo lim t logx+ 9x x + 9x log 0x jedak x + 9x l 0 log 0x log x+ log x+ x + 9x 9x x + 9x l t t l 0 l 0. 9x. Dalje imamo. Za drugi limes zamo da je, dok je prvi jedak uli, prema istoj asimptotskoj relaciji. Dakle, logx+ 9x x + 9x l 0. Traºei graci su prikazai a slici. 4