Μπάμπης Στεργίου. Μαθηματική Ομάδα Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Διαγωνισμοί της ΕΜΕ ΘΑΛΗΣ - ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ. Προσωρινό αρχείο. Βιβλίο του Μαθητή

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μπάμπης Στεργίου. Μαθηματική Ομάδα Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Διαγωνισμοί της ΕΜΕ ΘΑΛΗΣ - ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ. Προσωρινό αρχείο. Βιβλίο του Μαθητή"

Transcript

1 Μπάμπης Στεργίου Μαθηματική Ομάδα Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαγωνισμοί της ΕΜΕ ΘΑΛΗΣ - ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Προσωρινό αρχείο Βιβλίο του Μαθητή 016

2 Αντί προλόγου Φίλε μαθητή! Πρώτα από όλα σε συγχαίρουμε για την αγάπη σου προς τα μαθηματικά και για την απόφασή σου να συμμετάσχεις στο διαγωνισμό ΘΑΛΗΣ της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. Οι σημειώσεις που κρατάς δεν είναι τίποτα παραπάνω από έναν πρόχειρο οδηγό, που θα σου επιτρέψει σε πολύ σύντομο διάστημα να κάνεις μια εκτίμηση για το πνεύμα και το επίπεδο των θεμάτων. Πρέπει όμως να σου πούμε από την αρχή ότι η συμμετοχή με αξιώσεις σε έναν διαγωνισμό μαθηματικών απαιτεί συστηματική και πολύμηνη προετοιμασία. Σε κάθε χρονικό διάστημα μικρότερο των πέντε μηνών, δεν είναι παρά μόνο να γίνει μια καλή ίσως ενημέρωση, η οποία μπορεί να συνοδευτεί από μια διάκριση στο Θαλή, η συνέχεια όμως θα είναι πολύ δύσκολη κι αυτό θα το καταλάβει ο διαγωνιζόμενος στην τελευταία φάση, στον Αρχιμήδη Νέων, αν, κάτι που ευχόμαστε, διακριθεί και στον Ευκλείδη. Μια πιο οργανωμένη όμως και άρτια σχεδιασμένη συμμετοχή, μπορεί να στηριχθεί στη βαθειά μελέτη ειδικών βιβλίων που είναι γραμμένα για το σκοπό αυτό και που θα βρεις στο τέλος των σημειώσεων αυτών. Οι σημειώσεις αυτές μπορούν να είναι πιο αποτελεσματικές, όταν έχουν την καθοδήγηση ενός μαθηματικού, που θα σου υπενθυμίσει γρήγορα τη βασική θεωρία κάθε κεφαλαίου και θα σου επιλέξει κατάλληλα παραδείγματα από τα πολλά που περιέχονται εδώ. Όπως και να έχουν όμως τα πράγματα, η επιτυχία είναι αποκλειστικά δική σου υπόθεση. Ήδη η επιλογή σου να πάρεις μέρος στο διαγωνισμό είναι το πρώτο σημαντικό βήμα, οπότε από κάθε άποψη μπορείς να νοιώθεις ικανοποιημένος. Σου ευχόμαστε ολόψυχα καλή επιτυχία και καλή συνέχεια μέχρι τον Αρχιμήδη και τη Βαλκανιάδα Νέων! ***Αφιερώνεται στους συναδέλφους μαθηματικούς και τους μαθητές τους που συμμετέχουν στους μαθηματικούς διαγωνισμούς!!! Μπάμπης Στεργίου

3 Μπάμπης Στεργίου Μαθηματική Ομάδα Διαγωνισμοί της ΕΜΕ ΘΑΛΗΣ-ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βιβλίο του Μαθητή 016

4 Αφιερώνεται στους συναδέλφους και τους μαθητές τους που συμμετέχουν στους μαθηματικούς διαγωνισμούς!!! Μπάμπης

5 Σελίδα 1 από 8 Διαγωνισμοί της ΕΜΕ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΑΛΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Μπάμπης Στεργίου Α. ΑΛΓΕΒΡΑ 9.1 Στο διπλανό πολλαπλασιασμό έχουν χρησιμοποιηθεί όλα τα ψηφία από το 1 έως και το 9. Να συμπληρώσετε αυτόν τον πολλαπλασιασμό. 5 8 (Ευκλείδης 00) 9.6 Δίνονται οι παραστάσεις: A..., Β Να βρείτε τον αριθμό Α Β. (Θαλής 001) 9. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 0 Α α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: 3 1 Β : και (Θαλής 004) Γ (Ευκλείδης 010) 9.4 Να υπολογίσετε την παράσταση Α ( 1) ( 1) ( 3 ) 5 :5 0. (Ευκλείδης 00) 9.5 Όταν ένα δοχείο είναι κατά 30% άδειο, περιέχει 0 λίτρα περισσότερο από όταν είναι κατά 30% γεμάτο. Πόσα λίτρα χωράει το δοχείο αυτό, όταν είναι γεμάτο; (Θαλής 1999) 9.7 Δίνονται οι αριθμοί: α 1..., β Να υπολογίστε τον αριθμό α β, δηλαδή το μέσο όρο των αριθμών α και β. 9.8 Να γράψετε την παράσταση: 18 3 Α 3 [1 ( 1) ] (3 1)(3 11)(3 17) ως δύναμη με βάση το. 9.9 Δίνονται οι παραστάσεις: 4 3 Α 5 : 1 και 4 3 Β (5 ) : ( 1). α) Να βρείτε τις παραστάσεις Α, Β. β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: (Θαλής 000) (Ευκλείδης 004) Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

6 Σελίδα από 8 Α 0Β 9.10 α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: Α 1 : και και 3Β Α. (Θαλής 001) Β : β) Αν 4 γ 1, να βρείτε την τιμή της παράστασης α β α 1 β γ 3 Α. 4α 3β Δίνονται οι αριθμοί: Α ( ) 3 ν ν 1 Β 3, (Ευκλείδης 011) και όπου ν είναι άρτιος φυσικός αριθμός. Να συγκρίνεται τους ν αριθμούς 3Α και Β. (Θαλής 000) 9.1 Αν α, β, γ είναι φυσικοί αριθμοί, ώστε α β γ 0 και 3α β 3γ 67, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α (α β γ)(4α 3β 4γ). (Ευκλείδης 1999) 9.13 Σ' ένα σχολικό διαγωνισμό χορού συμμετέχουν μόνο ζευγάρια (αγόρια - κορίτσια). Δηλώνουν συμμετοχή ζευγάρια 8 που σχηματίστηκαν από τα 13 των αγοριών και τα 3 των κοριτσιών του σχολείου. Τι ποσοστό των μαθητών του σχολείου παίρνει μέρος στο χορό; 9.14 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: A είναι πολλαπλάσιο του Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α Να βρείτε τον αριθμό x, αν γνωρίζουμε ότι: ( 80 : 78 ) : x 1 (x 3 ) (Θαλής 1998) (Θαλής 1999) (Θαλής 1999) (Ευκλείδης 1998) Β. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 9.17 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ οι γωνίες ˆB, ˆΓ είναι ανάλογες ο με τους αριθμούς 1, 6 και έχουν άθροισμα 140. Δ α) Να βρείτε τις γωνίες του ΑΒΓ. β) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει το ύψος και η Δ διχοτόμος του ΑΒΓ που αντιστοιχούν στην πλευρά ΒΓ. (Θαλής 010) 9.18 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ ΑΓ ) με ˆΑ 36 ο. Η διχοτόμος της γωνίας ˆΒ τέμνει την παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ στο σημείο Ε και την πλευρά ΑΓ στο Δ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ, ΑΔΕ και ΑΒΕ είναι ισοσκελή Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΒΓ // ΑΔ και: i) ΑΒ ΓΔ 1 m. ii) Η περίμετρος είναι 54 m. iii) Το εμβαδόν είναι Ε 10 m. (Ευκλείδης 011) Να βρεθεί το ύψος υ του τραπεζίου. (Θαλής 001) 9.0 Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ ΑΔ και ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΜ προς το μέρος της ΓΔ. Αν Ε είναι το μέσο του ΒΜ, να υπολογίσετε τη γωνία ΒΕΓ ˆ. (Ευκλείδης 1999) 9.1 Το σημείο Μ 1 είναι μέσο του ΑΒ, το Μ είναι μέσο του ΑΜ 1, το Μ 3 είναι μέσο του ΑΜ κλπ. Αν το Μ 10 είναι μέσο του ΑΜ 9 και 11 ΑΒ 3, να βρείτε το ΑΜ 10. (Ευκλείδης 1999) 9. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ το μήκος είναι διπλάσιο από το πλάτος του. Αν αυξήσουμε το πλάτος κατά 5%, σε τι ποσοστό πρέπει να ελαττώσουμε το μήκος του, ώστε το εμβαδόν του να μείνει αμετάβλητο; (Ευκλείδης 010) Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

7 Σελίδα 3 από 8 Γ. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9.3 Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς α που είναι περιττοί, μεγαλύτεροι από 39, μικρότεροι από το 50 και διαιρούμενοι με 4 δίνουν υπόλοιπο Δίνονται οι αριθμοί: 3 5 x 3 4 : 4, 3 y (Θαλής 010) α) Να βρείτε τους αριθμούς x και y. β) Να βρείτε το μεγαλύτερο θετικό ακέραιο Α, του οποίου οι αριθμοί x, y είναι πολλαπλάσια. (Θαλής 011) 9.5 Να προσδιορίσετε τους τριψήφιους θετικούς ακεραίους A αβγ, με τις παρακάτω ιδιότητες: (i) Α Β 7, όπου Β αγβ. (ii) Ο β γ ισούται με το μικρότερο ακέραιο που είναι λύση της ανίσωσης: 3x 1 5x 1. (iii) Ο αριθμός Α διαιρείται με το 3. (Ευκλείδης 011) 9.6 Γράφουμε στη σειρά τους αριθμούς από το 1990 έως και το Να εξετάσετε αν ο αριθμός που προκύπτει είναι πρώτος. (Θαλής 1998) 9.7 Το άθροισμα των ψηφίων ενός τριψήφιου αριθμού είναι ίσο με 10. Αν εναλλάξουμε το ψηφίο των εκατοντάδων με το ψηφίο των μονάδων του, τότε προκύπτει ακέραιος αριθμός μικρότερος από τον αρχικό κατά 97. Ποιος μπορεί να είναι ο τριψήφιος αυτός αριθμός; (Ευκλείδης 010) 9.8 Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς x, y αν γνωρίζουμε ότι x (y ) (Ευκλείδης 1999) Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

8 Σελίδα 4 από 8 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Υποδείξεις Λύσεις Α. ΑΛΓΕΒΡΑ 9.1 Αφού το γινόμενο είναι 5δεζ, πρέπει α 5, οπότε α 1 ή α. Το έχει χρησιμοποιηθεί, οπότε α 1. Είναι 5δεζ 5300, αφού δ 3 (τα ψηφία 1, έχουν χρησιμοποιηθεί). Η διαίρεση 5300 : 18 δίνει πηλίκο 94, οπότε β 9. Με β 9, πρέπει: γ {3, 4, 6, 7}. β γ α 8 5 δ ε ζ β γ δ ε ζ Με απλή δοκιμή οι τιμές γ 4, γ 6 απορρίπτονται, διότι π.χ.: 8 4 3, και οι τιμές, 8 έχουν χρησιμοποιηθεί. Άρα γ 3 ή γ 7. Τελικά γ 7 (με δοκιμές) και έτσι δ 3, ε 4, ζ 6. Ο ζητούμενος πολλαπλασιασμός είναι ο: Είναι: Α α) Αν γράψουμε για ευκολία: 008 α, τότε Α (α ) (α 1)α (α )α α α α α α α β) Θα υπολογίσουμε τις παραστάσεις Β και Γ: Β Παρατηρούμε ότι: Β 1, 3 3 Επειδή 3, είναι Γ Γ , οπότε: 3 Β Γ. Σχόλιο Είναι B Γ = = = > 0, οπότε Β > Γ. 9.4 Είναι: 110 Α 1 ( 1) (16 9) Μας βοηθάει το διπλανό διάγραμμα: Όταν το δοχείο είναι κατά 30% 40% 0lit 70% γεμάτο, περιέχει 0lit περισσότερο, από ό- 30% 30% ταν είναι κατά 30% γεμάτο. Άρα το 40% του δοχείου χωράει 0lit, οπότε όλο το δοχείο χωράει: : 0 50 lit Μπορούμε βέβαια να εργαστούμε και με αναγωγή στη μονάδα: Το 1 χωράει 0: 40 λίτρα, 10 0 Το 100% χωράει lit. 40 Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

9 Σελίδα 5 από 8 Άλλος τρόπος (με εξίσωση) Αν το δοχείο χωράει x λίτρα, τότε: x x 0 x x 00 x 50 λίτρα. 9.6 Είναι: Α Β όροι 9.7 Παρατηρούμε ότι: α β όροι Άρα α β Είναι: 18 Α 3 [1 ( 1)] 6 (9 1)(7 11)(8117) (1 1) (3 1). 9.9 α) Είναι: Α 5 16 : , B (5 16) : (8 1) 9 :9 1. β) Έχουμε: Άρα 3Β Α. Α 0Β 9.10 α) Είναι: Α Α 4 4 1, 0Β Β Α Β : Άρα είναι Α Β. 8 α 1 β γ 3 β) Γ 4α 3β 1 8 α 1 β γ 3 4α 4α 3β 3β γ 1 α 4 β γ 1 1 α β Θα υπολογίσουμε την παράσταση Α. Είναι: Α ( ) Είναι επομένως: ν ν ν 3Α 3( 6) 3 6, Άρα ν ν1 ν ν ν Β (3) 3 ν 3 6. ν 3A B. 9.1 Παρατηρούμε ότι: α β γ 3α β 3γ (α β γ) α 3β 4γ 3α β 3γ (α β γ) Άρα Α Έστω x, y ο συνολικός αριθμός των αγοριών και των κοριτσιών αντίστοιχα. Στο διαγωνισμό συμμετέχουν: Τα 8 13 Τα 3 των αγοριών, δηλαδή 8x 13 αγόρια. των κοριτσιών, δηλαδή y 3 κορίτσια. Συνολικά πήραν μέρος: 8x y 4x 6y A παιδιά Επειδή στο χορό πήρε μέρος ο ίδιος αριθμός αγοριών κοριτσιών, είναι: 8x y ή 4x 6y 1x 13y 13 3 Έτσι 4x 6y 4x 4x 48x A Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

10 Σελίδα 6 από 8 316x 16x Ο συνολικός αριθμός των παιδιών του σχολείου είναι: 6y 1 5x B x y x x x διότι: 1x 4x 6y 1x 13y y. 13 Άρα το ζητούμενο ποσοστό είναι: 16x A %. B 5x Επειδή α β (α β)(α β), παίρνουμε: ( )( ) Άρα: Α ( ) ( )... ( 1) (1 1998) ( 1997)... ( ) όροι πολ1999. (α 1)(α 3)(α ) (α 6) Α α (α 3α α 3)(α ) α 6 α (α α 3)(α ) α 6 α 3 α 4α α α 3α 6 α 6 α 3 α 5α α (α 5) α 5 α α Ας υπολογίσουμε πρώτα το β μέλος. Έστω: α... 1 (1). Είναι τότε: α... (). Αφαιρούμε από τη () την (1): α α 1 α 1 Έτσι η εξίσωση γράφεται: ( : )x 1 4 (x 9) ( 1) 1 (x 5)(x 9) 1 (x 5)(x 9) 0 x 5 ή x Έστω α. Τότε: Β ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 9.17 α) Έχουμε: ο Βˆ Γˆ Βˆ Γˆ 140 ο Άρα ˆΒ 0 ο ο ο και ˆΓ Επομένως ˆΑ 40 ο. β) Αφού ˆΑ 40 ο, είναι: ˆ ˆ ο ΔΑΒ ΔΑΓ 0 ο Είναι όμως ΓΑΕ ˆ ο 30, οπότε ΔΑΕ ˆ Επειδή ˆΑ 36 ο, θα είναι: Άρα: ο ο ο ˆ ˆ ο Β Γ 7. ο ˆ ˆ 7 ο ΕΒΑ ΕΒΓ 36 ο Είναι ΔΒΑ ˆ ΔΑΒ ˆ 36, οπότε το τρίγωνο ΔΑΒ είναι ισοσκελές. ο Είναι ΔΓΒ ˆ ο 7 και ΓΒΔ ˆ 36, οπότε: ˆ ο ο ο ΒΔΓ 180 (36 7 ) ο ο ο ο Άρα ΒΔΓ ˆ ΒΓΔ ˆ 7, οπότε το Επειδή ΑΕ // ΒΓ, είναι: Δ ΒΓΔ είναι ισοσκελές. Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

11 Σελίδα 7 από 8 ˆ ˆ ο ˆ ΑΕΒ ΕΒΓ 36 ΑΒΕ, οπότε το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές. Στο τρίγωνο ΑΕΔ είναι: ˆ ˆ ο ΕΑΔ ΑΓΒ 7. ο Επίσης ΑΔΕ ˆ ΒΔΓ ˆ 7, οπότε και το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές Έστω AE υ το ύψος του τραπεζίου. Έχουμε: ΒΜ α ΒΕ α ΒΓ. Άρα το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ισοσκελές και αφού είναι: ο 180 ΕΒΓ ˆ ΒΕΓ ˆ ΒΓΕ ˆ ο ο 75. ο ˆ ο ΕΒΓ 30, 9.1 Από την υπόθεση έχουμε: ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ 54 ή 1 (ΒΓ ΑΔ) 1 54 ή ΒΓ ΑΔ 54 4 ή ΑΔ ΒΓ 30. ΑΔ ΒΓ Ε 10 ή υ 10 ή ΑΜ10 ΑΜ9 ΑΜ8 ΑΜ ΑΜ ΑΜ 8 ΑΜ ΑΒ Ας παρατηρήσουμε ότι στο τυχαίο βήμα μ ρ μ ΑΜ ρ είναι 30 υ 10 ή 15 υ 10 ή υ 10:15 ή υ 8 m. 9.0 Αφού ΑΒ ΑΔ α και το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ισόπλευρο, είναι: 9. Έστω x το πλάτος και x το μήκος του. Η νέα πλευρά είναι: 5 1 5x x x x x Έστω ότι η μείωση είναι α%. Τότε το νέο μήκος είναι: α α (100 α)x x x 1 x Το εμβαδόν δε μεταβάλλεται, οπότε: 5x (100 α)x x x 4 50 x0 x (100 α) x 100 α α α 0. Άρα το μήκος πρέπει να μειωθεί κατά 0%. Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

12 Σελίδα 8 από 8 Γ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9.3 Είναι α 4λ 1, 39 α 50, οπότε το α είναι σίγουρα περιττός. Έτσι: 39 4λ λ λ 9 λ Αλλά λ ΙΝ, οπότε λ 10 ή 11 ή 1, οπότε α 41, ή α 45 ή α α) Είναι: x 9 48: : y β) Προφανώς A MKΔ(33, 99) Έχουμε: A B 7 (100α 10β γ) (100α 10γ β) 7 9β 9γ 7 9(β γ) 7 β γ 3. 3x 1 5x 1 5x 3x x 13 x. Άρα x 7, οπότε β γ 7. Έχουμε λοιπόν ότι β γ 3, δηλαδή: β 3 γ, οπότε: β γ 7 ή 3 γ γ 7 ή γ 4 ή γ. Άρα γ και β 3 γ 3 5. Ο α έχει τη μορφή α5 και το άθροισμα των ψηφίων του είναι α 7. Επειδή ο Α διαιρείται με το 3, πρέπει ο α 7 να διαιρείται με το 3, επομένως: α (οπότε α 7 9 ) ή α 5 (οπότε α 7 1 ) ή α 8 (οπότε α Έτσι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 5, 55, Παρατηρούμε ότι στον αριθμό που προκύπτει: α το άθροισμα των ψηφίων είναι: S ( ) Όμως , που σημαίνει ότι ο 180, άρα και ο αριθμός α, διαιρείται με το 9 (και με ο 3). Άρα ο Α είναι σύνθετος. 9.7 Έστω x αβγ ο ζητούμενος αριθμός. Τότε: α β γ 10. αβγ γβα 97 (100α 10β γ) (100γ 10β α) 97 99α 99γ 97 α γ 3. Άρα: (α, γ) (3, 0), (4, 1), (5, ), (6, 3), (7, 4), (8, 5), (9, 6). Επειδή α β γ 10, είναι: (α, γ) (3, 0) ή (4, 1) ή (5, ) ή (6, 3), οπότε: 9.8 Είναι: δηλαδή: αβγ 370, 451, 53, , x (y ) 5 (5 ) (x 5 και y 5 ) (x 5 και y 5). x (y ) 5 (5 5 5 ) 5 (173 ) οπότε και y 173 ) (x 5 και y 173). (x 5 Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

13 Σελίδα 1 από 17 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΜΕ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΘΑΛΗΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Αν α 0 και α 1 να υπολογιστεί το άθροισμα: 1 α α α α α α 1 A= Ποιος από τους αριθμούς Α, Β είναι μεγαλύτερος; α) Α = ( 1995 ) 1996, Β = ( 1996) β) A = 1 ( ), B = 0, (Θαλής 1995) γ) A = , B = (Θαλής 1995) 3. Έστω οι αριθμοί α, β με 1 α +,5 β + 1,5 α - 1 β = 6. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = 114 3(α β) (α β) 5 3[5α ( β 1)] (α β) 4(3β 1) ( α 5β) (Θαλής 1996) Ν' αποδειχτεί ότι ο αριθμός Α = ακέραιος αυτός. είναι ακέραιος και να βρεθεί ο (Θαλής 1998) 5. Ν' αποδειχτεί ότι ο αριθμός Α = είναι Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

14 Σελίδα από 17 πολλαπλάσιο του (Θαλής 1998) 6. Δίνονται οι αριθμοί: A = ( ) 1000 ( 3 )500 ( 1 )998 ( ) 499 και Β = ν 3 ν+1 όπου ν-άρτιος φυσικός. 3 Να συγκριθούν οι αριθμοί 3 Α v και Β. (Θαλής 1999) 7. Δίνονται οι αριθμοί: Α = και Β = Να υπολογίσετε τον αριθμό Α Β 8. Δίνονται οι παραστάσεις Α = 5 4 : και Β = (5 4 ) : ( 3 + 1). Να βρεθούν οι Α, Β και να συγκριθούν οι αριθμοί (Θαλής 1999) Α 0Β, Β Α. (Θαλής 000) 9. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = και Β = Να βρείτε τον αριθμό Α Β. (Θαλής 000) 10. Να υπολογίσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις: Α = ( 10 : 6 ) 3 1 : ( 3 9 3) + 5 ( ), Β = 5 ( 3 1) + 8 (3 3 0) 8 (5 15). (Θαλής 001) 11. Είναι γνωστό ότι το αλεύρι αυξάνει το βάρος του κατά το ζύμωμα κατά 50%,ενώ το ζυμάρι χάνει στο ψήσιμο το 0% του βάρους του. Να βρείτε πόσα κιλά αλεύρι πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για την παραγωγή 840 κιλών ψωμιού. (Θαλής 001) 1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Κ = : ( ) 9. (Θαλής 00) 13. Δίνονται οι αριθμοί: Α = 41, Β = 8 13, Γ = 4 1 και Δ = 3 8. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

15 Σελίδα 3 από 17 α) Να βρείτε ποιος από τους αριθμούς αυτούς είναι ο μεγαλύτερος. β) Να εκφράσετε το άθροισμα Α + Β + Γ + Δ ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. 14. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (Θαλής 00) (Θαλής 003) 15. Η τιμή ενός προϊόντος αυξήθηκε το 001 (από μέχρι ) κατά 0%. Στη συνέχεια το 00 μειώθηκε κατά 10%, ενώ το 003 αναμένεται αύξηση κατά 5%. α) Να προσδιορίσετε το ποσοστό επί τοις εκατό, της μεταβολής της τιμής του προϊόντος κατά την τριετία από μέχρι β) Αν η τιμή του προϊόντος ήταν 1,60 την , ποια θα είναι η τιμή του την ; 16. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = : 4 + (3 4) (Θαλής 003) (Θαλής 004) 17. Η τιμή του πετρελαίου στη Ν. Υόρκη ένα χρόνο πριν στις ήταν 3 δολάρια το βαρέλι, ενώ σήμερα είναι 54,4 δολάρια το βαρέλι. (α) Πόσο τις εκατό έχει αυξηθεί η τιμή του βαρελιού σε σχέση με την τιμή που είχε ένα χρόνο πριν; (β) Πόσα δολάρια πρέπει να μειωθεί η τιμή του βαρελιού μέχρι την έτσι ώστε η τιμή που θα έχει τότε να είναι αυξημένη κατά 40% σε σχέση με την τιμή που είχε στις ; (Θαλής 004) 4, 3 0,1 18. Να υπολογιστεί το 3,6% του αριθμού Α = , 315 0,3 3 (Θαλής 005) 19. Ο Γιώργος πήγε στο βιβλιοπωλείο έχοντας 0. Στο μαγαζί υπάρχουν δύο είδη μολυβιών. Η εξάδα του πρώτου είδους κόστιζε 1,17 ενώ η εξάδα του δεύτερου είδους κόστιζε 1,60. Πόσες εξάδες κάθε κατηγορίας πρέπει ν αγοράσει ο Γιώργος έτσι ώστε να πάρει τα λιγότερα ρέστα; (Θαλής 005) 0. Να υπολογίσετε την παράσταση: Α = { 111 [ 64 - ( ) 5 ] : 1 } : (Θαλής 006) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

16 Σελίδα 4 από Είναι δυνατόν ένα χαρτονόμισμα των 100 να ανταλλαγεί με 18 νομίσματα των και των 10 ; (Θαλής 006).Το 6% του αριθμού α 0 είναι ίσο με το 4% του αριθμού β. Να βρείτε την τιμή του κλάσματος Κ = 9α 3β. 6α β (Θαλής 006) 3. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = : 4 + (3 3 5 ) (Θαλής 008) 4. Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης Α = ( 00 : ) + [ 00 : (8 + ) + 76] [ ( 1) 13 + ( 1) 1 + ( 1) 007 ]. (Θαλής 007) 5. Οι μαθητές ενός Γυμνασίου μπορούν να παραταχθούν σε εξάδες, σε οκτάδες και σε δεκάδες, χωρίς να περισσεύει κανείς. Τα πλήθη των μαθητών των τάξεων Α, Β και Γ είναι αριθμοί ανάλογοι προς τους αριθμούς 5, 4 και 3, αντίστοιχα. Αν το πλήθος των μαθητών του Γυμνασίου είναι αριθμός μεγαλύτερος του 300 και μικρότερος του 400, να βρεθεί το πλήθος των μαθητών κάθε τάξης. (Θαλής 007) 6.Ένας έμπορος αγόρασε 00 κιλά φράουλες με τιμή αγοράς 3 ευρώ το κιλό. Κατά τη μεταφορά είχε απώλεια 10% στα κιλά που αγόρασε. Πόσο πρέπει να πουλήσει το κιλό τις φράουλες ώστε να έχει κέρδος 0% επί της τιμής της αγοράς; (Θαλής 007) 7. Αν a = και b = , να υπολογίσετε την τιμή παράστασης: A = a : b 009 b 1 5α. (Θαλής 009) 8. Αν για το θετικό ακέραιο αριθμό α ισχύει: 1 5 < 4 α < 1 4 Α = α + 5 (4 + α) + 3(α 4) , να βρεθεί η τιμή της παράστασης (Θαλής 008) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

17 Σελίδα 5 από 17 9.Από τους μαθητές ενός Γυμνασίου, το 1 4 ασχολείται με το στίβο, το 1 ασχολείται με το 5 μπάσκετ, το 1 8 ασχολείται με το βόλεϊ και περισσεύουν και 80 μαθητές που δεν ασχολούνται με κανένα από αυτά τα αθλήματα. Δεδομένου ότι οι μαθητές του Γυμνασίου οι ασχολούμενοι με τον αθλητισμό, ασχολούνται με ένα μόνο άθλημα, εκτός από 1 μαθητές που ασχολούνται και με το μπάσκετ και με το βόλεϊ, να βρείτε: (α) Ποιος είναι ο αριθμός των μαθητών του Γυμνασίου; (β) Πόσοι είναι οι μαθητές του Γυμνασίου που ασχολούνται μόνο με το μπάσκετ; (Θαλής 009) 30. Έστω x = : και y = (α) Να βρεθούν οι αριθμοί x και y. (β) Να προσδιορίσετε το μεγαλύτερο ακέραιο Α του οποίου οι αριθμοί x και y είναι πολλαπλάσια. (Θαλής 010) 31. Ένας αγρότης καλλιέργησε δύο κτήματα με ελαιόδεντρα. Το ένα κτήμα είναι δικό του και έχει 80 ελαιόδεντρα, ενώ το άλλο το μισθώνει και έχει 10 ελαιόδεντρα. Η συνολική παραγωγή λαδιού ήταν 600 κιλά λάδι. Αν είχε συμφωνήσει να δώσει στον ιδιοκτήτη του μισθωμένου κτήματος το 10% της παραγωγής λαδιού του μισθωμένου κτήματος, πόσα κιλά λάδι θα πάρει ο ιδιοκτήτης του μισθωμένου κτήματος σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α. Καθένα από τα ελαιόδεντρα των δύο κτημάτων παράγει τα ίδια κιλά λάδι. β. Κάθε ελαιόδεντρο του μισθωμένου κτήματος έχει απόδοση σε λάδι ίση με το 150% της απόδοσης σε λάδι κάθε ελαιόδεντρου του κτήματος του αγρότη. (Θαλής 010) 3.Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 1 17 Α = 1 : (Θαλής 011) 33. Αν ο ν είναι πρώτος φυσικός αριθμός και το κλάσμα 10 ν παριστάνει φυσικό αριθμό, να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης: Β = ν ν : 1 ν 9 5. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

18 Σελίδα 6 από 17 (Θαλής 011) 34. Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι ανάλογοι με τους αριθμούς 3, 9, 11 αντίστοιχα. Αν πάρουμε τον αριθμό γ ως μειωτέο και τον αριθμό α ως αφαιρετέο, τότε προκύπτει διαφορά ίση με 56. Να βρεθούν οι αριθμοί α, β και γ. (Θαλής 011) 35. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: A 18 : (Θαλής 01) 36. Αν ο κ είναι πρώτος θετικός ακέραιος και διαιρέτης του μέγιστου κοινού διαιρέτη των ακεραίων 1, 30 κ 3 κ και 54, να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του κ και της παράστασης: B : 1 κ κ (Θαλής 01) 37. Ένας ελαιοπαραγωγός έχει παραγωγή λαδιού 800 κιλά. Για την καλλιέργεια του ελαιώνα του ξόδεψε 407 ευρώ και για τη συγκομιδή του καρπού από τις ελιές του ξόδεψε 1050 ευρώ. Η τιμή πώλησης του λαδιού είναι,5 ευρώ το κιλό και κατά την πώληση του λαδιού υπάρχουν κρατήσεις σε ποσοστό 6% πάνω στην τιμή πώλησης. (α) Να βρείτε πόσα κιλά λάδι πρέπει να πωλήσει ο παραγωγός για να καλύψει τα έξοδά του. (β) Αν επιπλέον το ελαιοτριβείο (εργοστάσιο που παράγεται το λάδι) κρατάει για την αμοιβή του το 8% του παραγόμενου λαδιού, να βρείτε πόσα κιλά λάδι θα μείνουν στον παραγωγό μετά την πώληση λαδιού για την κάλυψη των εξόδων του Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α 3 1 : : (Θαλής 01) (Θαλής 013) 39. Ένας οικογενειάρχης πήρε από την τράπεζα ένα ποσό χρημάτων. Από αυτά ξόδεψε το 0% για την αγορά ενός φορητού ηλεκτρονικού υπολογιστή. Στη συνέχεια, από τα χρήματα που του έμειναν ξόδεψε το 15% για αγορά τροφίμων της οικογένειας. Αν του έμειναν τελικά 1360 ευρώ, να βρείτε: (α) Πόσα χρήματα πήρε από την τράπεζα ο οικογενειάρχης. (β) Πόσα χρήματα στοίχισαν τα τρόφιμα. (γ) Ποιο ποσοστό των χρημάτων που πήρε από την τράπεζα ξόδεψε συνολικά. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

19 Σελίδα 7 από Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α : (Θαλής 013) (Θαλής 014) 41. Ένας έμπορος συλλεκτικών αντικειμένων αγόρασε δύο παλαιά ραδιόφωνα Α κα Β αντί 00 ευρώ και στη συνέχεια τα πούλησε με συνολικό κέρδος 40% πάνω στην τιμή της αγοράς τους. Αν το ραδιόφωνο Α πουλήθηκε με κέρδος 5% και το ραδιόφωνο Β πουλήθηκε με κέρδος 50%, πάνω στην τιμή της αγοράς τους, να βρείτε πόσο πλήρωσε ο έμπορος για να αγοράσει το καθένα από τα ραδιόφωνα Α και Β. (Θαλής 014) 4. Χωρίς την εκτέλεση των διαιρέσεων αριθμητή με παρανομαστή, να βρείτε τον μεγαλύτερο και τον μικρότερο από τους παρακάτω αριθμούς: ,,,,,,, (Θαλής 014) 43. Να υπολογίσετε την τιμή των αριθμητικών παραστάσεων: Β 11 : 3 1 και να τις συγκρίνετε Α 4 : :, 11 (Θαλής 015) 44. Ένα ορθογώνιο έχει μήκος α=6 μέτρα και πλάτος β=4 μέτρα. Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά 0% και μειώσουμε το πλάτος του κατά 5%, να βρείτε πόσο επί τοις εκατό θα μεταβληθεί: (i) η περίμετρος του ορθογωνίου, (ii) το εμβαδό του ορθογωνίου. (Θαλής 015) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

20 Σελίδα 8 από 17 Β. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 45. Να χαράξετε κύκλο (Κ,3cm). Με κέντρο το σημείο Λ του κύκλου να χαράξετε δεύτερο κύκλο (Λ,3cm). Η διάκεντρος ΚΛ τέμνει τον Κ στο Α και τον Λ στο Β, αν προεκταθεί. Να κατασκευάσετε τις ακτίνες ΚΓ, ΛΔ κάθετες στην ΚΛ και προς το αυτό μέρος της ΚΛ. α) Τι είδους είναι τα σχήματα ΚΛΔΓ, ΑΓΛ, ΑΔΒ, ΑΚΔΓ, ΑΓΔΒ; β) Να υπολογίσετε τα εμβαδά των πέντε αυτών σχημάτων. (Θαλής 1995) 46. Στην ημιευθεία Οx, θεωρούμε σημεία Α, Β, Γ ώστε (ΟΑ)=m, (OB)=6m, (OΓ)=1m. Έστω Δ, Ε, Ζ τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τα (ΔΖ), (ΕΓ). Τι παρατηρείτε; (Θαλής 1996) 47. Θεωρούμε το τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΑΒ=10cm και ΓΔ=5cm και Μ τυχαίο σημείο της βάσης ΑΒ. Να βρεθεί η σχέση του εμβαδού του τριγώνου ΓΔΜ με το μέρος του τραπεζίου που περισσεύει. (Θαλής 1997) 48. Στο σχήμα είναι Αx//Δy. Να υπολογιστεί το άθροισμα των γωνιών Α, Β, Γ, Δ. (Θαλής 1998) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

21 Σελίδα 9 από Πάνω σε μια ευθεία ε θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ. Έστω Μ είναι το μέσον του ΑΒ και Ν είναι το μέσον του ΒΓ. Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΜΝ, όταν: α) ΑΒ = 8cm, ΒΓ = 10cm, β) ΑΒ = 10cm, ΑΓ = 18cm. 50. Στο σχήμα δίνεται ότι: i) (ε 1 ) //(ε ) // (ε 3 ) ii) ΓΔ (ε 1 ) iii) ΑΕ = ΕΔ iv) ω = 30 ο, φ = 50 ο Να βρεθούν οι γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. (Θαλής 1999) 51. Του τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΔ//ΒΓ) δίνονται: (α) ΑΒ = ΓΔ = 1 μέτρα (β) Η περίμετρός του 54 μέτρα (γ) Το εμβαδό του Ε = 10 τ.μ. Να βρείτε το ύψος του υ. (Θαλής 000) 5. Στο σχήμα δίνονται: (α) (ε 1 ) // (ε ) (β) ΑΒ = ΑΓ και Β Α Γ= 0 ο (γ) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α Β Γ (δ) ΓΖ ΑΓ. Να βρείτε τις γωνίες φ =Γ Δ Ε, θ= Α Ε Δ και ω. Να εξηγήσετε γιατί οι ευθείες ΒΕ και ΓΖ δεν είναι παράλληλες. 53. Ο αγρός ΑΒΓΔΕΖ στο σχήμα αποτελείται από το τραπέζιο (Θαλής 000) ΑΒΕΖ με Α = 90 ο και το ορθογώνιο ΒΓΔΕ με ΑΒ = ΒΓ = 60m και ΑΖ = 40m. Το εμβαδό του αγρού είναι m. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

22 Σελίδα 10 από 17 Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΓΔ. (Θαλής 001) 54. Στο σχήμα το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. Το τρίγωνο ΕΒΓ είναι ισόπλευρο και τα ΑΒΕ και ΓΔΕ ισοσκελή με ΒΑ = ΒΕ και ΓΔ = ΔΕ. Να υπολογίσετε τη γωνία Β Α Δ = ω. (Θαλής 001) 55. Ένα τετράγωνο πλευράς 4 διαιρείται με τέσσερις ευθείες παράλληλες ανά δύο προς τις πλευρές του σε σχήματα, έτσι ώστε τα τέσσερα γραμμοσκιασμένα από αυτά, όπως φαίνεται στο σχήμα, είναι τετράγωνα πλευράς 1. Πόσα είναι τα τετράγωνα που υπάρχουν στο σχήμα και ποιο είναι το άθροισμα των εμβαδών τους; (Θαλής 00) 56. Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) του σχήματος δίνονται BΑ Δ = Α ΒΓ και ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ είναι ισοσκελή με ΑΒ = ΑΓ και ΑΔ = ΓΔ. α) Να αποδείξετε ότι η ΑΓ διχοτομεί τη γωνία BΑ Δ. β) Να υπολογιστεί η γωνία ω = B. (Θαλής 003) 57. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία ΜΛ είναι κάθετη προς την πλευρά ΒΓ στο μέσον της Μ. Επιπλέον δίνονται: ΜΓ = 5cm, Μ Λ Γ = 45 o Α ΒΛ = 30 o και το εμβαδόν Ε του τριγώνου ΑΒΓ ίσο με 35cm. Να βρείτε: (α) τις γωνίες Α, Β, Γ και του τριγώνου ΑΒΓ. (β) το ύψος ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ. (Θαλής 004) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

23 Σελίδα 11 από Έστω x O y μια γωνία 70 ο, ΟΑ μια ημιευθεία που είναι κάθετη επί της Οx και ΟΒ μια ημιευθεία που είναι κάθετη επί της Οy. Να υπολογιστούν τα μέτρα των γωνιών A O B, A O y και BO x. (Θαλής 005) 59. Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ = ΒΓ και η διχοτόμος Γx της γωνίας A Γ Δ ΑΒ. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. είναι παράλληλη στην (Θαλής 006) 60. Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος η μεγάλη βάση ΒΓ είναι διπλάσια της μικρής βάσης ΑΔ. Αν το εμβαδόν του τραπεζίου είναι 300 cm και το σημείο Κ είναι το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ΒΓ (δηλαδή η ΒΓ είναι μεσοκάθετος της ΑΚ), να υπολογίσετε: (α) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ και (β) το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΚΓ. 61. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία Ay είναι παράλληλη προς την πλευρά (Θαλής 007) ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ και διχοτόμος της γωνίας Γ Α x ακόμη ότι: BΑ Γ = 6 o και ΑΒ = ΑΔ. (α) Να βρείτε τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ. (β) Να εξηγήσετε γιατί η ΒΔ είναι διχοτόμος. Δίνεται της γωνίας Α ΒΓ. (Θαλής 008) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

24 Σελίδα 1 από Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Ι. Η παράλληλη από το σημείο Ι προς την πλευρά ΑΒ τέμνει την πλευρά ΒΓ στο Δ ενώ η παράλληλη από το σημείο Ι προς την πλευρά ΑΓ τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Ε. Αν είναι Ι Δ Γ α) η γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ. = 70 ο και Ι Ε Γ = 130 ο, να βρεθούν: β) oι γωνίες Β Ι Δ και Ε Ι Γ. (Θαλής 010) 63. Δίνεται ένα τρίγωνο ABΓ, του οποίου οι γωνίες Β και Γ έχουν άθροισμα 140 o και είναι ανάλογες με τους αριθμούς 1 και 6, αντίστοιχα. (α) Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου. (β) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν το ύψος και η διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχούν στην πλευρά του ΒΓ. (Θαλής 009) 64. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Προεκτείνουμε τη διχοτόμο ΑΔ κατά το ευθύγραμμο τμήμα ΔΗ έτσι ώστε ΑΔ = ΔΗ. Από το σημείο Η φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την πλευρά ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε και την πλευρά ΒΓ στο σημείο Ζ. α. Να αποδείξετε ότι : Α Δ Ε = 90 ο. β. Να βρείτε τη γωνία Ε Δ Ζ, αν γνωρίζετε ότι : Β Γ = 0 ο. (Θαλής 011) 65. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με A= 60 o και ΑΓ = 3 ΑΒ. Παίρνουμε σημείο Ε πάνω στην πλευρά ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΕ = ΑΒ. Αν η διχοτόμος της γωνίας Α τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα BΕ στο σημείο Δ, να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΔΕΓ. (Θαλής 01) 66. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο η γωνίa Β είναι διπλάσια της γωνίας Γ. Η μεσοκάθετη της πλευράς ΒΓ τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε και η ευθεία ΒΕ τέμνει την ευθεία Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

25 Σελίδα 13 από 17 (ε), που περνάει από το σημείο Α και είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ, στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι: (α) ΑΖ ΑΒ, (β) οι γωνίες ΑΕΒ=Β. (Θαλής 013) 67. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ισοσκελές με Α= 90 ο και ΑΒ=ΑΓ. Το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισόπλευρο και το σημείο Ε είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ. (α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΔΕ είναι μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. (β) Βρείτε πόσων μοιρών είναι η γωνία ΒΔΕ. (Θαλής 014) 68. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και γωνία ΒΑΓ=30 ο. Η μεσοκάθετη της πλευράς ΑΒ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Δ, την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε και την προέκταση της πλευράς ΒΓ στο σημείο Ζ. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι οι γωνίες ΒΖΔ και ΓΑΖ. (Θαλής 015) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

26 Σελίδα 14 από 17 Γ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 69. Κάποιος μαθητής έβαλε στο νου του πέντε αριθμούς διαφορετικούς μεταξύ τους ακεραίους, θετικούς και αρνητικούς, που το γινόμενό τους ήταν 0. Να βρεθούν οι διαφορετικοί αυτοί ακέραιοι. (Θαλής 1996) 70. Γράφουμε συνεχόμενα τους αριθμούς από το 1990 έως το Να εξετάσετε αν ο αριθμός που προκύπτει είναι πρώτος. (Θαλής 1997) 71. Αν παρατάξουμε τους μαθητές ενός Γυμνασίου σε τριάδες περισσεύουν. Αν τους παρατάξουμε σε τετράδες ή σε πεντάδες επίσης περισσεύουν. Να προσδιορίσετε τον αριθμό των μαθητών, αν γνωρίζουμε ότι είναι τριψήφιος με άθροισμα ψηφίων 5. (Θαλής 003) 7. Ένας τετραψήφιος αριθμός Κ έχει όλα τα ψηφία του ίσα και το άθροισμα των ψηφίων του είναι 0. (α) Να βρεθεί ο αριθμός Κ (β) Να βρεθεί δεκαδικός αριθμός α και φυσικός αριθμός ν τέτοιοι ώστε να ισχύει: Κ = a 10 ν, με 1 a 10. (Θαλής 004) 73. Για ποια ψηφία α και β διαιρείται δια του 45 ο αριθμός του οποίου η παράσταση στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι 6α1β; (Θαλής 005) 74. Έστω α θετικός ακέραιος τον οποίο διαιρούμε με 4. (i) Ποιες είναι οι δυνατές μορφές του παραπάνω θετικού ακέραιου α ; (ii) Ποιες είναι οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός α, αν είναι περιττός, μεγαλύτερος από 39 και μικρότερος από 50, και διαιρούμενος με το 4 δίνει υπόλοιπο 1. (Θαλής 009) 75. Έστω α, β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και διαιρέτη τον β δίνει πηλίκο 6. Να βρεθεί ο αριθμός α, αν επιπλέον γνωρίζετε ότι ο α είναι πολλαπλάσιο του 7, ενώ ο αριθμός β είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών 16, 3 και 48. (Θαλής 010) 76. Ο λόγος δυο φυσικών αριθμών είναι 7. Διαιρώντας τον μεγαλύτερο αριθμό με το 18, το πηλίκο της 5 διαίρεσης είναι ίσο με 8, ενώ διαιρώντας τον μικρότερο αριθμό με το 1 το πηλίκο της διαίρεσης είναι ίσο Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

27 Σελίδα 15 από 17 με 9. Αν γνωρίζετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του μεγαλύτερου αριθμού με το 18 είναι πενταπλάσιο του υπόλοιπου της διαίρεσης του μικρότερου αριθμού με το 1, να βρείτε τους δυο αριθμούς. 77. Να βρείτε τους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους x - 1, x, x + 1 που είναι μικρότεροι του 1000 και τέτοιοι ώστε ο x είναι πολλαπλάσιο του 10, ο x + 1 είναι πολλαπλάσιο του 11 και ο x - 1 είναι πολλαπλάσιο του 3. (Θαλής 015) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

28 Σελίδα 16 από 17 Δ. ΜΙΚΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 78. Έχουμε 00 αυγά τα οποία θέλουμε να τοποθετήσουμε σε καλάθια κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε καλάθι να περιέχει διαφορετικό αριθμό αυγών. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός καλαθιών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε αυτή τη διαδικασία; (Θαλής 1995) 79. Ένα τετράγωνο λέγεται "μαγικό" όταν το άθροισμα των αριθμών σε κάθε οριζόντια γραμμή είναι ίσο με το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη και επίσης ίσο με το άθροισμα των αριθμών σε κάθε μια από τις δύο διαγώνιες. Π.χ εδώ έχουμε = =... = 15. Σε κάποιο μαγικό τετράγωνο οι αριθμοί έσβησαν και έμειναν μόνο το 7 και το 13 όπως στο παρακάτω Να αποδειχτεί ότι απαραιτήτως σε κάποια θέση του μαγικού αυτού τετραγώνου υπάρχει ο αριθμός 1, ανεξάρτητα από τα ποια είναι τα υπόλοιπα νούμερά του. (Θαλής 1996) 80. Μια ποδοσφαιρική ομάδα έχει 0 ποδοσφαιριστές, από τους οποίους ο μικρότερος είναι 18 χρονών και ο μεγαλύτερος 33. Να εξετάσετε αν υπάρχουν δύο ποδοσφαιριστές με την ίδια ηλικία. (Θαλής 1997) 81. Στο σχολείο διοργανώνεται ένας διαγωνισμός χορού, στον οποίο θα συμμετέχουν μόνο ζευγάρια (αγόρι - κορίτσι). Δηλώνουν συμμετοχή ζευγάρια που σχηματίστηκαν από τα 8 13 του συνολικού αριθμού των αγοριών και τα 3 του συνολικού αριθμού των κοριτσιών. Να προσδιορίσετε το ποσοστό των μαθητών που λαμβάνουν μέρος στο χορό. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

29 Σελίδα 17 από 17 (Θαλής 1997) 8. Ένα δοχείο, όταν είναι κατά 30% άδειο, περιέχει 0 λίτρα περισσότερο από την περίπτωση που θα ήταν κατά 30% γεμάτο. Πόσα λίτρα περιέχει το δοχείο όταν είναι πλήρες; (Θαλής 1998) 83. Στις Δημοτικές εκλογές της πρώτης Κυριακής (13 Οκτωβρίου 00) σε ένα Δήμο συμμετείχαν οι συνδυασμοί Α, Β και Γ. Ονομάζουμε ν τον αριθμό των εγγεγραμμένων στους εκλογικούς καταλόγους ψηφοφόρων. Συνολικά ψήφισε το 75% του αριθμού ν και όλα τα ψηφοδέλτια ήταν έγκυρα. Ο συνδυασμός Α ψηφίστηκε από το 39% του αριθμού ν, ενώ ο συνδυασμός Β ψηφίστηκε από το 7% του αριθμού ν. Λευκά ψηφοδέλτια δεν βρέθηκαν. α) Να εξετάσετε αν ο αρχηγός του συνδυασμού Α εξελέγη Δήμαρχος από την πρώτη Κυριακή, δηλαδή αν ο συνδυασμός του έλαβε ποσοστό μεγαλύτερο του 50% ως προς τον αριθμό των εγκύρων ψηφοδελτίων. β) Να βρείτε το ποσοστό των ψήφων του συνδυασμού Δ ως προς τον αριθμό των εγκύρων ψηφοδελτίων. (Θαλής 00) 84. Ένα Γυμνάσιο συμμετέχει στην παρέλαση για την επέτειο μιας Εθνικής Εορτής με το 60% του αριθμού των αγοριών και το 80% του αριθμού των κοριτσιών του. Τα αγόρια που συμμετέχουν, αν παραταχθούν σε τριάδες, τότε δεν περισσεύει κανείς, ενώ, αν παραταχθούν σε πεντάδες ή επτάδες, τότε και στις δύο περιπτώσεις περισσεύουν από τρεις. Όλα τα αγόρια του Γυμνασίου είναι περισσότερα από 100 και λιγότερα από 00. Αν το 80% των κοριτσιών είναι αριθμός διπλάσιος από τον αριθμό που αντιστοιχεί στο 60% του αριθμού των αγοριών, να βρείτε το συνολικό αριθμό των κοριτσιών και αγοριών του Γυμνασίου. (Θαλής 008) Ευχαριστίες : Ευχαριστώ το συνάδελφο και φίλο Χρήστο Τσιφάκη για την βοήθειά του στον ηλεκτρονικό σχεδιασμό και στη δημιουργία του αρχείου των θεμάτων. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

30 Σελίδα 1 από 8 Διαγωνισμοί της ΕΜΕ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΑΛΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Μπάμπης Στεργίου Α. ΑΛΓΕΒΡΑ 9.1 Στο διπλανό πολλαπλασιασμό έχουν χρησιμοποιηθεί όλα τα ψηφία από το 1 έως και το 9. Να συμπληρώσετε αυτόν τον πολλαπλασιασμό. 5 8 (Ευκλείδης 00) 9.6 Δίνονται οι παραστάσεις: A..., Β Να βρείτε τον αριθμό Α Β. (Θαλής 001) 9. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 0 Α α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: 3 1 Β : και (Θαλής 004) Γ (Ευκλείδης 010) 9.4 Να υπολογίσετε την παράσταση Α ( 1) ( 1) ( 3 ) 5 :5 0. (Ευκλείδης 00) 9.5 Όταν ένα δοχείο είναι κατά 30% άδειο, περιέχει 0 λίτρα περισσότερο από όταν είναι κατά 30% γεμάτο. Πόσα λίτρα χωράει το δοχείο αυτό, όταν είναι γεμάτο; (Θαλής 1999) 9.7 Δίνονται οι αριθμοί: α 1..., β Να υπολογίστε τον αριθμό α β, δηλαδή το μέσο όρο των αριθμών α και β. 9.8 Να γράψετε την παράσταση: 18 3 Α 3 [1 ( 1) ] (3 1)(3 11)(3 17) ως δύναμη με βάση το. 9.9 Δίνονται οι παραστάσεις: 4 3 Α 5 : 1 και 4 3 Β (5 ) : ( 1). α) Να βρείτε τις παραστάσεις Α, Β. β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: (Θαλής 000) (Ευκλείδης 004) Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

31 Σελίδα από 8 Α 0Β 9.10 α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: Α 1 : και και 3Β Α. (Θαλής 001) Β : β) Αν 4 γ 1, να βρείτε την τιμή της παράστασης α β α 1 β γ 3 Α. 4α 3β Δίνονται οι αριθμοί: Α ( ) 3 ν ν 1 Β 3, (Ευκλείδης 011) και όπου ν είναι άρτιος φυσικός αριθμός. Να συγκρίνεται τους ν αριθμούς 3Α και Β. (Θαλής 000) 9.1 Αν α, β, γ είναι φυσικοί αριθμοί, ώστε α β γ 0 και 3α β 3γ 67, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α (α β γ)(4α 3β 4γ). (Ευκλείδης 1999) 9.13 Σ' ένα σχολικό διαγωνισμό χορού συμμετέχουν μόνο ζευγάρια (αγόρια - κορίτσια). Δηλώνουν συμμετοχή ζευγάρια 8 που σχηματίστηκαν από τα 13 των αγοριών και τα 3 των κοριτσιών του σχολείου. Τι ποσοστό των μαθητών του σχολείου παίρνει μέρος στο χορό; 9.14 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: A είναι πολλαπλάσιο του Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α Να βρείτε τον αριθμό x, αν γνωρίζουμε ότι: ( 80 : 78 ) : x 1 (x 3 ) (Θαλής 1998) (Θαλής 1999) (Θαλής 1999) (Ευκλείδης 1998) Β. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 9.17 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ οι γωνίες ˆB, ˆΓ είναι ανάλογες ο με τους αριθμούς 1, 6 και έχουν άθροισμα 140. Δ α) Να βρείτε τις γωνίες του ΑΒΓ. β) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει το ύψος και η Δ διχοτόμος του ΑΒΓ που αντιστοιχούν στην πλευρά ΒΓ. (Θαλής 010) 9.18 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ ΑΓ ) με ˆΑ 36 ο. Η διχοτόμος της γωνίας ˆΒ τέμνει την παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ στο σημείο Ε και την πλευρά ΑΓ στο Δ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ, ΑΔΕ και ΑΒΕ είναι ισοσκελή Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΒΓ // ΑΔ και: i) ΑΒ ΓΔ 1 m. ii) Η περίμετρος είναι 54 m. iii) Το εμβαδόν είναι Ε 10 m. (Ευκλείδης 011) Να βρεθεί το ύψος υ του τραπεζίου. (Θαλής 001) 9.0 Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ ΑΔ και ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΜ προς το μέρος της ΓΔ. Αν Ε είναι το μέσο του ΒΜ, να υπολογίσετε τη γωνία ΒΕΓ ˆ. (Ευκλείδης 1999) 9.1 Το σημείο Μ 1 είναι μέσο του ΑΒ, το Μ είναι μέσο του ΑΜ 1, το Μ 3 είναι μέσο του ΑΜ κλπ. Αν το Μ 10 είναι μέσο του ΑΜ 9 και 11 ΑΒ 3, να βρείτε το ΑΜ 10. (Ευκλείδης 1999) 9. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ το μήκος είναι διπλάσιο από το πλάτος του. Αν αυξήσουμε το πλάτος κατά 5%, σε τι ποσοστό πρέπει να ελαττώσουμε το μήκος του, ώστε το εμβαδόν του να μείνει αμετάβλητο; (Ευκλείδης 010) Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

32 Σελίδα 3 από 8 Γ. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9.3 Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς α που είναι περιττοί, μεγαλύτεροι από 39, μικρότεροι από το 50 και διαιρούμενοι με 4 δίνουν υπόλοιπο Δίνονται οι αριθμοί: 3 5 x 3 4 : 4, 3 y (Θαλής 010) α) Να βρείτε τους αριθμούς x και y. β) Να βρείτε το μεγαλύτερο θετικό ακέραιο Α, του οποίου οι αριθμοί x, y είναι πολλαπλάσια. (Θαλής 011) 9.5 Να προσδιορίσετε τους τριψήφιους θετικούς ακεραίους A αβγ, με τις παρακάτω ιδιότητες: (i) Α Β 7, όπου Β αγβ. (ii) Ο β γ ισούται με το μικρότερο ακέραιο που είναι λύση της ανίσωσης: 3x 1 5x 1. (iii) Ο αριθμός Α διαιρείται με το 3. (Ευκλείδης 011) 9.6 Γράφουμε στη σειρά τους αριθμούς από το 1990 έως και το Να εξετάσετε αν ο αριθμός που προκύπτει είναι πρώτος. (Θαλής 1998) 9.7 Το άθροισμα των ψηφίων ενός τριψήφιου αριθμού είναι ίσο με 10. Αν εναλλάξουμε το ψηφίο των εκατοντάδων με το ψηφίο των μονάδων του, τότε προκύπτει ακέραιος αριθμός μικρότερος από τον αρχικό κατά 97. Ποιος μπορεί να είναι ο τριψήφιος αυτός αριθμός; (Ευκλείδης 010) 9.8 Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς x, y αν γνωρίζουμε ότι x (y ) (Ευκλείδης 1999) Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

33 Σελίδα 4 από 8 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Υποδείξεις Λύσεις Α. ΑΛΓΕΒΡΑ 9.1 Αφού το γινόμενο είναι 5δεζ, πρέπει α 5, οπότε α 1 ή α. Το έχει χρησιμοποιηθεί, οπότε α 1. Είναι 5δεζ 5300, αφού δ 3 (τα ψηφία 1, έχουν χρησιμοποιηθεί). Η διαίρεση 5300 : 18 δίνει πηλίκο 94, οπότε β 9. Με β 9, πρέπει: γ {3, 4, 6, 7}. β γ α 8 5 δ ε ζ β γ δ ε ζ Με απλή δοκιμή οι τιμές γ 4, γ 6 απορρίπτονται, διότι π.χ.: 8 4 3, και οι τιμές, 8 έχουν χρησιμοποιηθεί. Άρα γ 3 ή γ 7. Τελικά γ 7 (με δοκιμές) και έτσι δ 3, ε 4, ζ 6. Ο ζητούμενος πολλαπλασιασμός είναι ο: Είναι: Α α) Αν γράψουμε για ευκολία: 008 α, τότε Α (α ) (α 1)α (α )α α α α α α α β) Θα υπολογίσουμε τις παραστάσεις Β και Γ: Β Παρατηρούμε ότι: Β 1, 3 3 Επειδή 3, είναι Γ Γ , οπότε: 3 Β Γ. Σχόλιο Είναι B Γ = = = > 0, οπότε Β > Γ. 9.4 Είναι: 110 Α 1 ( 1) (16 9) Μας βοηθάει το διπλανό διάγραμμα: Όταν το δοχείο είναι κατά 30% 40% 0lit 70% γεμάτο, περιέχει 0lit περισσότερο, από ό- 30% 30% ταν είναι κατά 30% γεμάτο. Άρα το 40% του δοχείου χωράει 0lit, οπότε όλο το δοχείο χωράει: : 0 50 lit Μπορούμε βέβαια να εργαστούμε και με αναγωγή στη μονάδα: Το 1 χωράει 0: 40 λίτρα, 10 0 Το 100% χωράει lit. 40 Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

34 Σελίδα 5 από 8 Άλλος τρόπος (με εξίσωση) Αν το δοχείο χωράει x λίτρα, τότε: x x 0 x x 00 x 50 λίτρα. 9.6 Είναι: Α Β όροι 9.7 Παρατηρούμε ότι: α β όροι Άρα α β Είναι: 18 Α 3 [1 ( 1)] 6 (9 1)(7 11)(8117) (1 1) (3 1). 9.9 α) Είναι: Α 5 16 : , B (5 16) : (8 1) 9 :9 1. β) Έχουμε: Άρα 3Β Α. Α 0Β 9.10 α) Είναι: Α Α 4 4 1, 0Β Β Α Β : Άρα είναι Α Β. 8 α 1 β γ 3 β) Γ 4α 3β 1 8 α 1 β γ 3 4α 4α 3β 3β γ 1 α 4 β γ 1 1 α β Θα υπολογίσουμε την παράσταση Α. Είναι: Α ( ) Είναι επομένως: ν ν ν 3Α 3( 6) 3 6, Άρα ν ν1 ν ν ν Β (3) 3 ν 3 6. ν 3A B. 9.1 Παρατηρούμε ότι: α β γ 3α β 3γ (α β γ) α 3β 4γ 3α β 3γ (α β γ) Άρα Α Έστω x, y ο συνολικός αριθμός των αγοριών και των κοριτσιών αντίστοιχα. Στο διαγωνισμό συμμετέχουν: Τα 8 13 Τα 3 των αγοριών, δηλαδή 8x 13 αγόρια. των κοριτσιών, δηλαδή y 3 κορίτσια. Συνολικά πήραν μέρος: 8x y 4x 6y A παιδιά Επειδή στο χορό πήρε μέρος ο ίδιος αριθμός αγοριών κοριτσιών, είναι: 8x y ή 4x 6y 1x 13y 13 3 Έτσι 4x 6y 4x 4x 48x A Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

35 Σελίδα 6 από 8 316x 16x Ο συνολικός αριθμός των παιδιών του σχολείου είναι: 6y 1 5x B x y x x x διότι: 1x 4x 6y 1x 13y y. 13 Άρα το ζητούμενο ποσοστό είναι: 16x A %. B 5x Επειδή α β (α β)(α β), παίρνουμε: ( )( ) Άρα: Α ( ) ( )... ( 1) (1 1998) ( 1997)... ( ) όροι πολ1999. (α 1)(α 3)(α ) (α 6) Α α (α 3α α 3)(α ) α 6 α (α α 3)(α ) α 6 α 3 α 4α α α 3α 6 α 6 α 3 α 5α α (α 5) α 5 α α Ας υπολογίσουμε πρώτα το β μέλος. Έστω: α... 1 (1). Είναι τότε: α... (). Αφαιρούμε από τη () την (1): α α 1 α 1 Έτσι η εξίσωση γράφεται: ( : )x 1 4 (x 9) ( 1) 1 (x 5)(x 9) 1 (x 5)(x 9) 0 x 5 ή x Έστω α. Τότε: Β ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 9.17 α) Έχουμε: ο Βˆ Γˆ Βˆ Γˆ 140 ο Άρα ˆΒ 0 ο ο ο και ˆΓ Επομένως ˆΑ 40 ο. β) Αφού ˆΑ 40 ο, είναι: ˆ ˆ ο ΔΑΒ ΔΑΓ 0 ο Είναι όμως ΓΑΕ ˆ ο 30, οπότε ΔΑΕ ˆ Επειδή ˆΑ 36 ο, θα είναι: Άρα: ο ο ο ˆ ˆ ο Β Γ 7. ο ˆ ˆ 7 ο ΕΒΑ ΕΒΓ 36 ο Είναι ΔΒΑ ˆ ΔΑΒ ˆ 36, οπότε το τρίγωνο ΔΑΒ είναι ισοσκελές. ο Είναι ΔΓΒ ˆ ο 7 και ΓΒΔ ˆ 36, οπότε: ˆ ο ο ο ΒΔΓ 180 (36 7 ) ο ο ο ο Άρα ΒΔΓ ˆ ΒΓΔ ˆ 7, οπότε το Επειδή ΑΕ // ΒΓ, είναι: Δ ΒΓΔ είναι ισοσκελές. Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

36 Σελίδα 7 από 8 ˆ ˆ ο ˆ ΑΕΒ ΕΒΓ 36 ΑΒΕ, οπότε το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές. Στο τρίγωνο ΑΕΔ είναι: ˆ ˆ ο ΕΑΔ ΑΓΒ 7. ο Επίσης ΑΔΕ ˆ ΒΔΓ ˆ 7, οπότε και το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές Έστω AE υ το ύψος του τραπεζίου. Έχουμε: ΒΜ α ΒΕ α ΒΓ. Άρα το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ισοσκελές και αφού είναι: ο 180 ΕΒΓ ˆ ΒΕΓ ˆ ΒΓΕ ˆ ο ο 75. ο ˆ ο ΕΒΓ 30, 9.1 Από την υπόθεση έχουμε: ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ 54 ή 1 (ΒΓ ΑΔ) 1 54 ή ΒΓ ΑΔ 54 4 ή ΑΔ ΒΓ 30. ΑΔ ΒΓ Ε 10 ή υ 10 ή ΑΜ10 ΑΜ9 ΑΜ8 ΑΜ ΑΜ ΑΜ 8 ΑΜ ΑΒ Ας παρατηρήσουμε ότι στο τυχαίο βήμα μ ρ μ ΑΜ ρ είναι 30 υ 10 ή 15 υ 10 ή υ 10:15 ή υ 8 m. 9.0 Αφού ΑΒ ΑΔ α και το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ισόπλευρο, είναι: 9. Έστω x το πλάτος και x το μήκος του. Η νέα πλευρά είναι: 5 1 5x x x x x Έστω ότι η μείωση είναι α%. Τότε το νέο μήκος είναι: α α (100 α)x x x 1 x Το εμβαδόν δε μεταβάλλεται, οπότε: 5x (100 α)x x x 4 50 x0 x (100 α) x 100 α α α 0. Άρα το μήκος πρέπει να μειωθεί κατά 0%. Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

37 Σελίδα 8 από 8 Γ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9.3 Είναι α 4λ 1, 39 α 50, οπότε το α είναι σίγουρα περιττός. Έτσι: 39 4λ λ λ 9 λ Αλλά λ ΙΝ, οπότε λ 10 ή 11 ή 1, οπότε α 41, ή α 45 ή α α) Είναι: x 9 48: : y β) Προφανώς A MKΔ(33, 99) Έχουμε: A B 7 (100α 10β γ) (100α 10γ β) 7 9β 9γ 7 9(β γ) 7 β γ 3. 3x 1 5x 1 5x 3x x 13 x. Άρα x 7, οπότε β γ 7. Έχουμε λοιπόν ότι β γ 3, δηλαδή: β 3 γ, οπότε: β γ 7 ή 3 γ γ 7 ή γ 4 ή γ. Άρα γ και β 3 γ 3 5. Ο α έχει τη μορφή α5 και το άθροισμα των ψηφίων του είναι α 7. Επειδή ο Α διαιρείται με το 3, πρέπει ο α 7 να διαιρείται με το 3, επομένως: α (οπότε α 7 9 ) ή α 5 (οπότε α 7 1 ) ή α 8 (οπότε α Έτσι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 5, 55, Παρατηρούμε ότι στον αριθμό που προκύπτει: α το άθροισμα των ψηφίων είναι: S ( ) Όμως , που σημαίνει ότι ο 180, άρα και ο αριθμός α, διαιρείται με το 9 (και με ο 3). Άρα ο Α είναι σύνθετος. 9.7 Έστω x αβγ ο ζητούμενος αριθμός. Τότε: α β γ 10. αβγ γβα 97 (100α 10β γ) (100γ 10β α) 97 99α 99γ 97 α γ 3. Άρα: (α, γ) (3, 0), (4, 1), (5, ), (6, 3), (7, 4), (8, 5), (9, 6). Επειδή α β γ 10, είναι: (α, γ) (3, 0) ή (4, 1) ή (5, ) ή (6, 3), οπότε: 9.8 Είναι: δηλαδή: αβγ 370, 451, 53, , x (y ) 5 (5 ) (x 5 και y 5 ) (x 5 και y 5). x (y ) 5 (5 5 5 ) 5 (173 ) οπότε και y 173 ) (x 5 και y 173). (x 5 Μπάμπης Στεργίου 06/10/016

38 Σελίδα 1 από 17 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΜΕ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΘΑΛΗΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Αν α 0 και α 1 να υπολογιστεί το άθροισμα: 1 α α α α α α 1 A= Ποιος από τους αριθμούς Α, Β είναι μεγαλύτερος; α) Α = ( 1995 ) 1996, Β = ( 1996) β) A = 1 ( ), B = 0, (Θαλής 1995) γ) A = , B = (Θαλής 1995) 3. Έστω οι αριθμοί α, β με 1 α +,5 β + 1,5 α - 1 β = 6. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = 114 3(α β) (α β) 5 3[5α ( β 1)] (α β) 4(3β 1) ( α 5β) (Θαλής 1996) Ν' αποδειχτεί ότι ο αριθμός Α = ακέραιος αυτός. είναι ακέραιος και να βρεθεί ο (Θαλής 1998) 5. Ν' αποδειχτεί ότι ο αριθμός Α = είναι Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

39 Σελίδα από 17 πολλαπλάσιο του (Θαλής 1998) 6. Δίνονται οι αριθμοί: A = ( ) 1000 ( 3 )500 ( 1 )998 ( ) 499 και Β = ν 3 ν+1 όπου ν-άρτιος φυσικός. 3 Να συγκριθούν οι αριθμοί 3 Α v και Β. (Θαλής 1999) 7. Δίνονται οι αριθμοί: Α = και Β = Να υπολογίσετε τον αριθμό Α Β 8. Δίνονται οι παραστάσεις Α = 5 4 : και Β = (5 4 ) : ( 3 + 1). Να βρεθούν οι Α, Β και να συγκριθούν οι αριθμοί (Θαλής 1999) Α 0Β, Β Α. (Θαλής 000) 9. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = και Β = Να βρείτε τον αριθμό Α Β. (Θαλής 000) 10. Να υπολογίσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις: Α = ( 10 : 6 ) 3 1 : ( 3 9 3) + 5 ( ), Β = 5 ( 3 1) + 8 (3 3 0) 8 (5 15). (Θαλής 001) 11. Είναι γνωστό ότι το αλεύρι αυξάνει το βάρος του κατά το ζύμωμα κατά 50%,ενώ το ζυμάρι χάνει στο ψήσιμο το 0% του βάρους του. Να βρείτε πόσα κιλά αλεύρι πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για την παραγωγή 840 κιλών ψωμιού. (Θαλής 001) 1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Κ = : ( ) 9. (Θαλής 00) 13. Δίνονται οι αριθμοί: Α = 41, Β = 8 13, Γ = 4 1 και Δ = 3 8. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

40 Σελίδα 3 από 17 α) Να βρείτε ποιος από τους αριθμούς αυτούς είναι ο μεγαλύτερος. β) Να εκφράσετε το άθροισμα Α + Β + Γ + Δ ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. 14. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (Θαλής 00) (Θαλής 003) 15. Η τιμή ενός προϊόντος αυξήθηκε το 001 (από μέχρι ) κατά 0%. Στη συνέχεια το 00 μειώθηκε κατά 10%, ενώ το 003 αναμένεται αύξηση κατά 5%. α) Να προσδιορίσετε το ποσοστό επί τοις εκατό, της μεταβολής της τιμής του προϊόντος κατά την τριετία από μέχρι β) Αν η τιμή του προϊόντος ήταν 1,60 την , ποια θα είναι η τιμή του την ; 16. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = : 4 + (3 4) (Θαλής 003) (Θαλής 004) 17. Η τιμή του πετρελαίου στη Ν. Υόρκη ένα χρόνο πριν στις ήταν 3 δολάρια το βαρέλι, ενώ σήμερα είναι 54,4 δολάρια το βαρέλι. (α) Πόσο τις εκατό έχει αυξηθεί η τιμή του βαρελιού σε σχέση με την τιμή που είχε ένα χρόνο πριν; (β) Πόσα δολάρια πρέπει να μειωθεί η τιμή του βαρελιού μέχρι την έτσι ώστε η τιμή που θα έχει τότε να είναι αυξημένη κατά 40% σε σχέση με την τιμή που είχε στις ; (Θαλής 004) 4, 3 0,1 18. Να υπολογιστεί το 3,6% του αριθμού Α = , 315 0,3 3 (Θαλής 005) 19. Ο Γιώργος πήγε στο βιβλιοπωλείο έχοντας 0. Στο μαγαζί υπάρχουν δύο είδη μολυβιών. Η εξάδα του πρώτου είδους κόστιζε 1,17 ενώ η εξάδα του δεύτερου είδους κόστιζε 1,60. Πόσες εξάδες κάθε κατηγορίας πρέπει ν αγοράσει ο Γιώργος έτσι ώστε να πάρει τα λιγότερα ρέστα; (Θαλής 005) 0. Να υπολογίσετε την παράσταση: Α = { 111 [ 64 - ( ) 5 ] : 1 } : (Θαλής 006) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 07/10/016

Θαλής Β' Γυμνασίου

Θαλής Β' Γυμνασίου Θαλής Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να χαράξετε κύκλο (Κ,3cm). Με κέντρο το σημείο Λ του κύκλου να χαράξετε δεύτερο κύκλο (Λ,3cm). Η διάκεντρος ΚΛ τέμνει τον Κ στο Α και τον Λ στο Β, αν προεκταθεί. Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μπάμπης Στεργίου. Μαθηματική Ομάδα Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Διαγωνισμοί της ΕΜΕ ΘΑΛΗΣ - ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ. Προσωρινό αρχείο. Βιβλίο του Μαθητή

Μπάμπης Στεργίου. Μαθηματική Ομάδα Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Διαγωνισμοί της ΕΜΕ ΘΑΛΗΣ - ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ. Προσωρινό αρχείο. Βιβλίο του Μαθητή Μπάμπης Στεργίου Μαθηματική Ομάδα Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαγωνισμοί της ΕΜΕ ΘΑΛΗΣ - ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Προσωρινό αρχείο Βιβλίο του Μαθητή 016 Αντί προλόγου Φίλε μαθητή! Πρώτα από όλα σε συγχαίρουμε για την αγάπη σου προς

Διαβάστε περισσότερα

: :

: : ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

B τάξη Γυμνασίου ( 2 2) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009

B τάξη Γυμνασίου ( 2 2) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 7 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 009 B τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα. Αν ισχύει ότι 4x 5y = 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης Η

Διαβάστε περισσότερα

222223 444441 222220+ 2. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1

222223 444441 222220+ 2. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1 Να αποδείξετε ότι ο αριθµός 222223 444441 222220+ 222216 2 222222 είναι ακέραιος. Να βρεθεί ο ακέραιος αυτός. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1 είναι πολλαπλάσιο

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 0 Οκτωβρίου 0 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 5 44 39 8 : Α= 5 5 5 6 3+

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΧΧ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΧΧ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ Α ΤΑΞΗ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2016-2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΧΧ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 3663-0367784 - Fax: 0 3640 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 66-067784 - Fax: 0 640 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2008 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2008 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Tel. 10 361653-103617784 - Fax: 10 364105 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3 Α= 4 5 + 008: 4 + (3 5 ) 49 10 4. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία A y είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τηλ. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 Tel. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 5 Αν a = 4 και b = 5 +, να υπολογίσετε την τιμή παράστασης: 5 A = a: b b. 5a ΘΕΜΑ ο Έστω α θετικός

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μέρος Α Θεωρία. 1. Με τι είναι ίσο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; 2. Ποιο τρίγωνο λέγετε οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο. 3. Ποιο τρίγωνο λέγετε

Διαβάστε περισσότερα

B τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα 1. Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης

B τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα 1. Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06 79

Διαβάστε περισσότερα

: :

: : ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB 2ο ΘΕΜΑ 2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τη ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405, Ιστοσελίδα: Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 Site: ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

x , οπότε : Α = = 2.

x , οπότε : Α = = 2. ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 7 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 009 Πρόβλημα Αν ισχύει ότι Γ τάξη Γυμνασίου a+ b=, να βρείτε την τιμή της παράστασης Α= ( 6a+

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 68 ου ΘΑΛΗΣ 24 Νοεμβρίου 2007 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 68 ου ΘΑΛΗΣ 24 Νοεμβρίου 2007 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 68 ου ΘΑΛΗΣ 4 Νοεμβρίου 007 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ( 00 :8 00) 00 : ( 8 ) 76 3 007. Α= + + + + + + ( 5 00) ( 00 :0 76) 5 ( 0 76) = + + + + + = + + = 5 + 78 = 007.. Αν ω είναι ο αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 68 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 007 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 008 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3 Α= 4 5 + 008: 4 + (3

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

β =. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3β + α α 3β αν δίνεται ότι: 3

β =. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3β + α α 3β αν δίνεται ότι: 3 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να βρείτε την τιμή της παράστασης: α αν δίνεται ότι: 3 β =. 3β + α α 3β 13 Α= 10 +, β α 3 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και Γ= ˆ Α ˆ. Το τετράπλευρο ΑΓΔΕ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,,,,,,,

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,,,,,,, Τηλ 36653-367784 - Fa: 36405 Tel 36653-367784 - Fa: 36405 Νοεμβρίου 04 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 74 3 3 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: :8 9 9 37 4 Πρόβλημα Ένας έμπορος συλλεκτικών αντικειμένων αγόρασε δύο

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

: :

: : Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 19 Οκτωβρίου 013 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 16 1 74 3 1 : 4 53 3 4 :. 9 8 9 Πρόβλημα Ένας οικογενειάρχης πήρε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών Μαθηματικά Β Γυμνασίου Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών 1. Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: a. Η διαφορά δυο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1 (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Μονάδες 2 (β) Αν ισχύει ότι: και αβγ 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Γ= + +.

Πρόβλημα 1 (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Μονάδες 2 (β) Αν ισχύει ότι: και αβγ 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Γ= + +. ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙ- ΚΑ B τάξη Γυμνασίου (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 3 3 0 3 3 1 1 1 8 3 Α= + + : και Β= : 4 +. 4 31 8 4 4 1 3 9 Μονάδες (β) Αν ισχύει ότι: 6( αβ + βγ + γα) = 11αβγ και αβγ 0, να βρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σχ.έτος:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σχ.έτος: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σχ.έτος: 2018-2019 Α ΜΕΡΟΣ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ - ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Δίνονται οι παραστάσεις 2 2 2 A = 3 4 + 2 10 (2 10 ) :5 και Β = 2 6 + : 3 2 5 1 1 3 2 α) Να κάνεις τις

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0 ΤΑΞΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ MAΘΗΜΑΤΙΚΑ 016 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Άλγεβρα 1) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = ( + 1)( 1) ( + 1)( 5 + 7) P x x x x x i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = 7x x 8 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79 - Athens

Διαβάστε περισσότερα

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πρόβλημα 1 Να υπολογίσετε την τιμή των αριθμητικών παραστάσεων: 2 24 : : 2, : και να τις συγκρίνετε.

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πρόβλημα 1 Να υπολογίσετε την τιμή των αριθμητικών παραστάσεων: 2 24 : : 2, : και να τις συγκρίνετε. Τηλ. 6165-617784 - Fa: 64105 Tel. 6165-617784 - Fa: 64105 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε την τιμή των αριθμητικών παραστάσεων: 5 5 4 : 6 5 8 8:, 11 : 1 11 7 και να τις συγκρίνετε. Ένα ορθογώνιο έχει μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 11 Νοεμβρίου 2017 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 Α=

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 11 Νοεμβρίου 2017 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 Α= Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης: 3 3 ( 0) ( 5) 3 ( 8) Α= + 3 3 ( ) +. ( 3) 4 Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΟ είναι ισοσκελή με βάση την πλευρά ΑΒ. Η προέκταση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 18 :

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 18 : ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 9 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-3684 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στη Γεωμετρία Σελίδα 1. (απ.: Ε ΕΒΓΔΗΖ = 44 cm 2 ) (απ.: ΒΗ = 8 cm, (BHΝ) = 12 cm 2 )

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στη Γεωμετρία Σελίδα 1. (απ.: Ε ΕΒΓΔΗΖ = 44 cm 2 ) (απ.: ΒΗ = 8 cm, (BHΝ) = 12 cm 2 ) Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στη Γεωμετρία Σελίδα 1 1) Στο διπλανό ορθογώνιο ΑΒΓΔ, να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου ΕΒΓΔΗΖ, όταν ΓΔ = 10 cm, ΒΓ = 6 cm, ΗΔ = 2 cm, ενώ ΗΖ

Διαβάστε περισσότερα

B τάξη Γυμνασίου : : και 4 :

B τάξη Γυμνασίου : : και 4 : Τηλ. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 Tel. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 B τάξη Γυμνασίου Να βρείτε τους αριθμούς 0 4 1 1 77 16 60 19 7 : 000 : και 4 : 4 9

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε μονώνυμο;. Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 10 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 10 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

6. Πόσα πολλαπλάσια του αριθμού 9 υπάρχουν μεταξύ των αριθμών και 22550;

6. Πόσα πολλαπλάσια του αριθμού 9 υπάρχουν μεταξύ των αριθμών και 22550; 100 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΥΙΖ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΙΚΡΟΥΣ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΟΥΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΑΞΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΦΑΝΤΑΣΙΑ (ΕΧΟΥΝ ΗΔΗ ΑΝΑΡΤΗΘΕΙ ΑΛΛΕΣ 2 ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΟΜΟΙΟΙ ΓΡΙΦΟΙ ΣΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΤΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΜΑΣ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ Β τάξη Λυκείου

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ Β τάξη Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

B τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα 1. Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης

B τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα 1. Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης Τηλ 10 361653-103617784 - Fax: 10 364105 Tel 10 361653-103617784 - Fax: 10 364105 ΣΒΒΤΟ, 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 007 B τάξη υμνασίου Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης ( 00 :8 1 100) 00 : ( 8 ) 76

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα

: :

: : ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο : Α. Τι ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α και πως συμβολίζεται; Β. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι; Γ. Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιμήδης Μικροί Θεωρούμε τους αριθμούς. A= : : και B= 2 25 : Ποιος είναι μεγαλύτερος;

Αρχιμήδης Μικροί Θεωρούμε τους αριθμούς. A= : : και B= 2 25 : Ποιος είναι μεγαλύτερος; Αρχιμήδης Μικροί 1994-1995 Θεωρούμε τους αριθμούς Ποιος είναι μεγαλύτερος; A= 2 0 8 21 :16 15 6 27 10 :81 7 63 και B= 2 25 :2 52 1 54 2. Θεωρούμε 6 διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς. Έστω α το άθροισμα των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Α={1,11,111,1111,..., 11...1 }

Α={1,11,111,1111,..., 11...1 } Θαλής Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Δύο μαθητές Α, Β χρησιμοποιούν ένα πίνακα 3x3, όπως στο σχήμα, για να παίξουν "τρίλιζα". Καθένας γράφει σ' ένα τετραγωνάκι της επιλογής του ένα σταυρό ή έναν κύκλο. (Και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 72 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 19 Νοεμβρίου 2011 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2 : 2.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 72 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 19 Νοεμβρίου 2011 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2 : 2. Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 19 Νοεμβρίου 011 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 1 17 1 1 3 7 1 : 5 1 7 14

Διαβάστε περισσότερα

1. 3 3cm 2. E( ) 24 3cm 3. E( ) 12 3cm ) 1. 8cm 2. 18cm 3. E 56 3 cm 4. E 20 3 cm. 6cm, cm, 3 6 cm, E cm )

1. 3 3cm 2. E( ) 24 3cm 3. E( ) 12 3cm ) 1. 8cm 2. 18cm 3. E 56 3 cm 4. E 20 3 cm. 6cm, cm, 3 6 cm, E cm ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( 1) 3( ) 5( 3). 4 ( 3) 6 3. 3(4 ) 5( 1) 1 3(1 ) 3( ) 4 3 4. 1 5. 4 6 3 1 1 4( ) 1 1 3 6. 1 7. 1 3 6 3 4 3 3 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 ΣΑΒΒΑΤΟ, 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 013 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα