x[n] = x a (nt s ) (1)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x[n] = x a (nt s ) (1)"

Transcript

1 Εισαγωγη στα Σήματα και τα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 9 Σεπτεμβρίου Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ως τώρα, τα σήματα που μελετήσατε σε προηγούμενα μαθήματα ηταν ολα συνεχούς χρόνου. Σε αυτήν την παράγραφο, ξεκινάμε τη μελέτη μας σχετικά με την επεξεργασία σημάτων διακριτού χρόνου αναπτύσσοντας πρώτα τις ιδέες του σήματος διακριτού χρόνου και του συστήματος διακριτού χρόνου. Θα επικεντρωθούμε σε προβλήματα που σχετίζονται με την αναπαράσταση σημάτων, πράξεις με σήματα, ιδιότητες σημάτων, ιδιότητες συστημάτων και ταξινόμηση αυτών. Τα σήματα διακριτού χρόνου ουσιαστικά βρίσκονται ένα βήμα πριν τα ψηφιακά σήματα. Πολλές φορές η σχετική βιβλιογραφία τιτλοφορείται Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος, αντί Επεξεργασία Σήματος Διακριτού Χρόνου. Σίγουρα έχετε ακούσει για τα πλεονεκτήματα των ψηφιακών συστημάτων. Αυτά μπορούν να συνοψισθούν στα παρακάτω: 1. Τα ψηφιακά συστήματα έχουν μεγαλύτερη ακρίβεια και σταθερότητα, ενώ είναι πιο ευέλικτα (τα χαρακτηριστικά τους μπορούν εύκολα να αλλάξουν).. Μεγαλύτερη ποικιλία συστημάτων μπορούν να πραγματοποιηθούν στον ψηφιακό χώρο. 3. Τα ψηφιακά σήματα μπορούν να αποθηκευτούν εύκολα σε ένα δίσκο χωρίς αλλοίωση της ποιότητάς τους. 4. Για την επεξεργασία ψηφιακών σημάτων έχουν αναπτυχθεί πιο εξελιγμένοι αλγόριθμοι. 5. Τα ψηφιακά συστήματα μπορούν να κατασκευαστούν με χρήση ολοκληρωμένων κυκλωμάτων, παρέχοντας χαμηλή κατανάλωση ισχύος. Ελπίζοντας να σας πείσαμε για τη χρησιμότητά τους, ας προχωρήσουμε. :-) Σήματα Διακριτού Χρόνου Ενα σήμα διακριτού χρόνου είναι μια διατεταγμένη ακολουθία πραγματικών ή μιγαδικών τιμών. Ετσι, ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι μια συνάρτηση της ακέραιας μεταβλητής n, που συμβολίζεται ως x[n]. Το σήμα διακριτού χρόνου δεν ορίζεται για μη ακέραιες τιμές του n. Ετσι, ένα πραγματικό σήμα x[n] αναπαρίσταται γραφικά οπως στο Σχημα (1). Τα σήματα διακριτού χρόνου συχνά προέρχονται από δειγματοληψία ενός σήματος συνεχούς χρόνου, όπως η φωνή. Μπορείτε να φρεσκάρετε τη δειγματοληψία διαβάζοντας το εισαγωγικό κεφάλαιο. Για παράδειγμα, ένα σήμα συνεχούς χρόνου x a (t) δειγματοληπτείται με ρυθμό ω s = rad/sec, και παράγει ένα δειγματοληπτημένο σήμα x[n], που σχετίζεται με το x a (t) ως π T s x[n] = x a (nt s ) (1) 1

2 Σχήμα 1: Σήμα Διακριτού Χρόνου Ομως, υπάρχουν και σήματα που δεν προήλθαν κατ αυτόν τον τρόπο. Κάποια σήματα θεωρούμε ότι υφίστανται εξ αρχής στο διακριτό χρόνο, όπως για παράδειγμα οι ημερίσιες τιμές των μετοχών, τα ετήσια στατιστικά πληθυσμών, το πλήθος των δρομολογίων ενός λεωφορείου ανά ημέρα, κλπ..1 Μιγαδικές Ακολουθίες Εν γένει, ένα σήμα διακριτού χρόνου μπορει να ειναι μιγαδικό, και μάλιστα υπάρχουν πολλές σημαντικές εφαρμογές, όπως οι ψηφιακές επικοινωνίες, όπου τα μιγαδικά σήματα έρχονται στο προσκήνιο πολύ εύκολα. Ενα μιγαδικό σήμα μπορει να εκφραστεί είτε ως άθροισμα του πραγματικού και του φανταστικού του μέρους είτε σε πολική μορφή, με όρους πλάτους και φάσης ως όπου j = 1. Το πλάτος δίνεται από την έκφραση ενώ η φάση από τη σχέση z[n] = a[n] + jb[n] = R{z[n]} + ji{z[n]} () z[n] = z[n] e j z[n] = z[n] e j {z[n]} (3) z[n] = R {z[n]} + I {z[n]} (4) 1 I{z[n]} z[n] = tan R{z[n]} η οποία είναι επιθυμητό να εκφράζεται στο διάστημα [ π, π]. Γνωστά πράγματα κι από το συνεχή χρόνο! :-) Αν η z[n] είναι μιγαδική ακολουθία, η συζυγής της είναι η z [n], και μπορει να υπολογιστεί απλά αλλάζοντας το πρόσημο του φανταστικού μέρους της z[n]:. Μερικές Βασικές Ακολουθίες z [n] = R{z[n]} ji{z[n]} = z[n] e j {z[n]} (6) Αν και τα περισσότερα σήματα που θα συναντήσουμε στην πράξη μοιάζουν πολύπλοκες συναρτήσεις του χρόνου, υπάρχουν τρια απλά αλλά πολύ σημαντικά σήματα διακριτού χρόνου που χρησιμοποιούνται πολύ συχνά στην περιγραφη και αναπαράσταση πιο περίπλοκων σημάτων. (5)

3 Αυτά τα σήματα είναι η διακριτή συνάρτηση Δέλτα, η διακριτή βηματική συνάρτηση, και η εκθετική συνάρτηση. 1 Η διακριτή συνάρτηση Δέλτα, που συμβολίζεται με δ[n], ορίζεται ως δ[n] = { 1, n = 0 0, αλλιώς (7) και παιζει τον ίδιο ρολο στην επεξεργασία σήματος διακριτού χρόνου με τη συνάρτηση Δέλτα δ(t) που έχουμε δει στο συνεχή χρόνο, με τη διαφορά ότι εδώ είναι σημαντικά πιο απλή στη χρήση και στον ορισμό της Η συνάρτηση αυτή φαίνεται στο Σχήμα (). Σχήμα : Η συνάρτηση Δέλτα διακριτού χρόνου. Η διακριτή βηματική συνάρτηση, που συμβολίζεται με u[n], ορίζεται ως u[n] = { 1, n 0 0, αλλιώς (10) και σχετίζεται με τη διακριτή συνάρτηση Δέλτα ως αλλά και ως u[n] = u[n] = n k=0 δ[k] (11) δ[n k] (1) Η συνάρτηση αυτή φαίνεται στο Σχήμα (3). Ομοια, η διακριτή συνάρτηση Δέλτα μπορει να γραφεί ως η διαφορά δυο βηματικών που διαφέρουν κατά ένα δείγμα: δ[n] = u[n] u[n 1] (13) Τέλος, η εκθετική συνάρτηση ορίζεται ως x[n] = a n (14) 1 Μας θυμίζουν κάτι, έτσι δεν είναι; :-) Θυμηθείτε ότι η συνάρτηση Δέλτα συνεχούς χρόνου, δ(t), είναι κατανομή - ή αλλιώς γενικευμένη συνάρτηση - και ορίζεται από τις εξής ιδιότητες: + δ(t) = 0, t 0, (8) δ(t)dt = 1 (9) 3

4 Σχήμα 3: Η βηματική συνάρτηση διακριτού χρόνου. όπου a ένας πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός. Γενικότερα, μας ενδιαφέρουν εκθετικά του τύπου με A, a μιγαδικά. Τότε, αναλύοντας τα A, a σε μέτρο-φάση, θα έχουμε και έχουμε x[n] = Aa n (15) A = A e jφ A (16) a = a n e jφan (17) x[n] = Aa n = A e jφ A a n e jφan = A a n e j(φ A+φ a) Επίσης, ιδιαίτερου ενδιαφέροντος είναι τα μιγαδικά εκθετικά σήματα της μορφής (18) a n = e jω 0n = cos(nω 0 ) + j sin(nω 0 ) (19) με ω 0 πραγματικό αριθμό. Οπως θα δούμε σύντομα, οι μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις είναι πολύ χρήσιμες στην ανάλυση Fourier των σημάτων διακριτού χρόνου όσο χρήσιμα ήταν τα αντίστοιχα συνεχή μιγαδικά εκθετικά στην Ανάλυση σημάτων συνεχούς χρόνου :-). Αν αντικαταστήσσουμε τη Σχέση (19) στη Σχέση (18), θα έχουμε x[n] = Aa n = A a n e j(ω 0n+φ A ) = A a n cos(ω 0 n + φ A ) + j A a n sin(ω 0 n + φ A ) (0) Αυτή η ακολουθία ταλαντώνεται με αυξανόμενο πλάτος αν a > 1, ή με φθίνον πλάτος αν a < 1. Για a = 1, το σήμα αποτελείται από απλά ημίτονα και συνημίτονα σταθερού πλάτους. Ακριβώς ανάλογα λοιπόν με το συνεχή χρόνο, ορίζουμε την ποσότητα ω 0 ως συχνότητα του σήματος, και την ποσότητα φ A ως φάση του σήματος..3 Περιοδικές Ακολουθίες Ενα σήμα διακριτού χρόνου μπορει να είναι ειτε περιοδικό είτε απεριοδικό. Ενα σήμα θεωρείται περιοδικό αν, για κάποιο θετικό ακέραιο N, ισχύει οτι x[n] = x[n + N] (1) για κάθε n. Η περιοδος, που συμβολίζεται ως N, ειναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος που ικανοποιεί τη σχέση (1). Αν η σχέση αυτή δεν ικανοποειίται για κανένα ακέραιο N, το σήμα λέγεται απεριοδικό. 4

5 Αν x 1 [n] είναι ένα περιοδικό σημα με περίοδο N 1 και x [n] ένα περιοδικό σήμα με περίοδο N, τότε το άθροισμα x[n] = x 1 [n] + x [n] () θα είναι πάντα περιοδικό και η περιοδός του θα είναι η N = N 1 N Μ.Κ.Δ{N 1, N } (3) όπου Μ.Κ.Δ{N 1, N } είναι ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης των N 1, N, αν αυτός υπάρχει. Εναλλακτικά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη σχέση Ομοια ισχύει και για το γινόμενο, δηλ. το σημα N = Ε.Κ.Π{N 1, N } (4) x[n] = x 1 [n]x [n] (5) θα είναι περιοδικό με (πιθανή) περίοδο N που δίνεται από τη σχέση (3), αν και η πραγματική (μικρότερη) περιοδος μπορεί να είναι μικρότερη. Δεδομένης μιας ακολουθίας x[n], ένα περιοδικό σήμα μπορει πάντα να δημιουργηθεί αντιγράφοντας το x[n] ως y[n] = x[n kn] (6) όπου N ένας θετικός ακέραιος. Σε αυτήν την περιπτωση, το y[n] είναι περιοδικό με περιοδο N..3.1 Ημίτονα Διακριτού Χρόνου Εδώ είναι καλό να αναφέρουμε ότι υπάρχει μια ιδιαιτερότητα στα περιοδικά σήματα διακριτού χρόνου, που τα ξεχωρίζει από αυτά που έχουμε δει στο συνεχή χρόνο. Θυμάστε ότι στο συνεχή χρόνο, ένα ημίτονο συχνότητας ω 0 είναι πάντα περιοδικό με περίοδο T 0 = π/ω 0. Στο διακριτό χρόνο όμως, ένα ημίτονο cos(ω 0 n) είναι περιοδικό μόνον αν η περίοδός του, N, είναι ακέραιος αριθμός. Ας κάνουμε πιο ξεκάθαρα τα πράγματα... Αν ένα ημίτονο διακριτού χρόνου cos(ω 0 n) είναι περιοδικό με περίοδο N, τότε ικανοποιεί τη σχέση cos(ω 0 n) = cos(ω 0 (n + N)) = cos(ω 0 n + ω 0 N) (7) Αυτό το αποτέλεσμα είναι σωστό μόνον αν το ω 0 N είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Δηλαδή ή αλλιώς ω 0 N = πm, m ακέραιος (8) ω 0 π = m (9) N Επειδή και το m και το N είναι ακέραιοι, η παραπάνω σχέση σημαίνει ότι το ημίτονο που συζητάμε είναι περιοδικό μόνον αν ο αριθμός ω 0 είναι ρητός (δηλ. γράφεται ως πηλίκο δυο ακεραίων). Σε αυτήν την π περίπτωση, η περίοδος δίνεται από τη σχέση N = m π ω 0 (30) 5

6 Για να βρούμε το N, πρέπει να διαλέξουμε το μικρότερο δυνατό m που θα κάνει το m π να είναι ακέραιος. ω 0 Για παράδειγμα, αν ω 0 = 4π, τότε ο μικρότερος δυνατός ακέραιος m που κάνει τον αριθμό mπ = m ω 0 ακέραιο, είναι προφανώς m =. Για m =, η περίοδος είναι N = 17 δειγματα. Η ίδια ακριβώς συζήτηση γίνεται για οποιοδήποτε πιθανώς περιοδικό σήμα, όπως για παράδειγμα το e jω 0n που είδαμε νωρίτερα, αφού αποτελείται από ένα άθροισμα πιθανώς περιοδικών σημάτων συχνότητας ω Μιγαδικά Εκθετικά Διακριτού Χρόνου Το μιγαδικό εκθετικό σήμα x d (t) = e jω 0n έχει επίσης μια ιδιαιτερότητα σε σχέση με το αντίστοιχο του συνεχούς χρόνου, x a (t) = e jω 0t. Αυτή η ιδιαιτερότητα είναι ότι το x d (t) είναι πάντα περιοδικό στο χώρο της συχνότητας με περίοδο π, γιατί αφού e j(ω 0+π)n = e jω 0n e jπn = e jω 0n (31) e jπn = 1, n Z (3) Αυτό σημαίνει ότι για να καταλάβουμε - αργότερα - πώς συμπεριφέρεται ένα μιγαδικό εκθετικό αυτής της μορφής στο χώρο της συχνότητας, αρκεί να το παρατηρήσουμε σε διάστημα μιας περιόδου π, αφού εκτός αυτής επαναλαμβάνεται. Συνήθως προτιμούμε το διάστημα ( π, π]. Φυσικά εξακολουθούν να ισχύουν οι σχέσεις του Euler και για τα μιγαδικά εκθετικά διακριτού χρόνου. 3 Αυτή η περιοδικότητα στο χώρο της συχνότητας μας λέει πρακτικά ότι οι συχνότητες ω 0 και ω 0 + πk είναι ουσιαστικά ίδιες. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με όσα ξέρατε από το συνεχή χρόνο, ότι δηλαδή όσο αυξάνουμε τη συχνότητα, τόσο πιο γρήγορα ταλαντώνεται ένα σήμα. Για παράδειγμα, το σήμα συνεχούς χρόνου x(t) = A cos(ω 0 t) (36) ταλαντώνεται όλο και πιο γρήγορα αν αυξάνουμε συνεχώς τη συχνότητα Ω 0. Για ένα ημίτονο διακριτού χρόνου x[n] = A cos(ω 0 n) (37) όσο αυξάνουμε τη συχνότητα ω 0 από το ω 0 = 0 ως το ω 0 = π, τότε πράγματι οι ταλαντώσεις του γίνονται όλο και πιο γρήγορες. Ομως, όταν αυξήσουμε το ω 0 από ω 0 = π ως ω 0 = π, τότε οι ταλαντώσεις του γίνονται όλο και πιο αργές! Το ίδιο μοτίβο επαναλαμβάνεται και μετά το ω 0 = π, ξεκινώντας από γρήγορες ταλαντώσες γύρω από το π, φτάνοντας σε πιο αργές γύρω από το 3π, και ξανά σε πιο γρήγορες γύρω από το ω 0 = 4π. Αντίστοιχα, στο διάστημα ( π, π], οι γρήγορες ταλαντώσεις γίνονται γύρω από τις συχνότητες ω 0 = ±π, ενώ οι πιο αργές (προφανώς) γύρω από τη συχνότητα ω 0 = 0. Για ένα οπτικό παράδειγμα, δείτε το Σχήμα (4). Εν γένει λοιπόν, οι συχνότητες γύρω από περιοχές κοντά στη συχνότητα ω 0 = πk, για k Z, αναφέρονται ως χαμηλές συχνότητες, ενώ οι αντίστοιχες γύρω από περιοχές της μορφής ω 0 = π + πk, για k Z, λέγονται υψηλές συχνότητες. 3 Ντροπή, αλλά τις υπενθυμίζουμε :) cos(θn) = ejθn + e jθn sin(θn) = ejθn e jθn j (33) (34) (35) 6

7 Σχήμα 4: Το σήμα cos(ω 0 n) για διάφορες τιμές του ω 0. Οσο το ω 0 αυξάνεται από το μηδέν προς το π (σχήματα (a d)), τόσο γρηγορότερα ταλαντώνεται το σήμα. Οσο το ω 0 αυξάνεται από το π προς το π (σχήματα (d a)), τόσο πιο αργές γίνονται οι ταλαντώσεις του..4 Συμμετρικές Ακολουθίες Ενα σήμα διακριτού χρόνου συχνά έχει μερικές μορφές συμμετριας που μπορούμε να εκμεταλλευτούμε. Δυο ειδών συμμετρίες μας είναι ενδιαφερουσες. Ενα πραγματικό σήμα λέγεται ότι είναι άρτιο αν, για κάθε 7

8 n, ισχύει ότι ενώ ένα σήμα λέγεται ότι είναι περιττό αν, για κάθε n, ισχύει ότι x[n] = x[ n] (38) x[n] = x[ n] (39) Κάθε σήμα x[n] μπορει να γραφει ως το άθροισμα του άρτιου μέρους του, x e [n], και του περιττού μέρους του, x o [n], ως x[n] = x e [n] + x o [n] (40) με και x e [n] = 1 (x[n] + x[ n]) (41) x o [n] = 1 (x[n] x[ n]) (4) Για μιγαδικά σήματα, οι συμμετρίες είναι ελαφρά διαφορετικές. Ενα μιγαδικό σημα λέγεται ότι είναι συζυγές συμμετρικό (ή αλλιώς ερμητιανό) αν, για κάθε n, ισχύει ότι και λέγεται συζυγές αντισυμμετρικό αν, για κάθε n, ισχύει.5 Πράξεις στην ανεξάρτητη μεταβλητή x[n] = x [ n] (43) x[n] = x [ n] (44) Συχνά, θέλουμε να τροποποιήσουμε τα σήματα μέσω του δεικτη τους, n. Δηλ. θέλουμε να κάνουμε ένα μετασχηματισμό της μορφης y[n] = x[f[n]] (45) με f[n] μια συνάρτηση του n. Οι πιο συχνοί μετασχηματισμοί περιλαμβάνουν την ολίσθηση-μετακίνηση, την αναστροφή, την χρονική κλιμάκωση 4, οι οποίες ορίζονται ως ˆ Ολίσθηση: Η ολίσθηση οριζεται ως ο μετασχηματισμός f[n] = n n 0. Αν y[n] = x[n n 0 ], το x[n] μετατοπίζεται προς τα δεξιά κατά n 0 δείγματα, αν το n 0 είναι θετικός (αναφερεται ως καθυστέρηση), ενώ μετατοπίζεται προς τα αριστερά κατά n 0 δειγματα, αν το n 0 είναι αρνητικό (αναφέρεται ως προήγηση-προπόρευση). ˆ Αναστροφή: Αυτός ο μετασχηματισμός δίνεται από τη σχέση f[n] = n, και απλά ειναι η αναστροφή του σηματος στο χρόνο, ως προς n. ˆ Κλιμάκωση στο χρόνο: Αυτός ο μετασχηματισμός ορίζεται ως f[n] = Mn ή f[n] = n/n, όπου M, N είναι θετικοί ακέραιοι. Στην πρώτη περιπτωση, η ακολουθία x[m n] σχηματίζεται παίρνοντας κάθε M-οστο δείγμα από τη x[n] (αυτή η πράξη λέγεται υποδειγματοληψία - downsampling). Με f[n] = n/n, η ακολουθία y[n] = x[f[n]] ορίζεται ως { x[n/n], n = 0, ±N, ±N, y[n] = 0, αλλιώς (46) (η πράξη αυτή ειναι γνωστη ως υπερδειγματοληψία - upsampling). Παραδείγματα ολίσθησης, αναστροφής, και κλιμάκωσης στο χρόνο φαίνονται στο Σχήμα (5). Προσέξτε, οι πράξεις αυτές εξαρτώνται από τη σειρά που θα τις εφαρμόσετε (ειναι δηλαδή order-dependent). 4 Τις οποίες γνωρίζετε ήδη από το συνεχή χρόνο! :-) 8

9 Σχήμα 5: (α) Σήμα Διακριτού Χρονου, (β) Καθυστέρηση κατά n 0 =, (γ) Αναστροφή, (δ) Υποδειγματοληψία κατά, (ε) Υπερδειγματοληψία κατά.6 Πράξεις με σήματα Πρέπει να σας ειναι προφανές ότι οι συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού μεταξύ σημάτων, και ο πολλαπλασιασμός σηματος με σταθερα, δε χρειάζονται ιδιαίτερες εξηγήσεις, οπότε δε θα επεκταθούμε. :-) Απλά τονίζεται ότι η πρόσθεση γίνεται δείγμα με δείγμα, όπως και ο πολλαπλασιασμός μεταξύ σημάτων, και ο πολλαπλασιασμός με σταθερά πολλαπλασιάζει κάθε δείγμα του σήματος με αυτή τη σταθερά..7 Ανάλυση Σήματος Η διακριτή συνάρτηση δ[n] μπορει να χρησιμοποιηθεί για να αναλύσει ένα σήμα σε ένα άθροισμα συναρτήσεων Δέλτα με κατάλληλα βαρη και μετατοπίσεις ως x[n] = + x[ 1]δ[n + 1] + x[0]δ[n] + x[1]δ[n 1] + x[]δ[n ] + (47) = x[k]δ[n k] (48) όπου κάθε όρος του αθροίσματος, x[k]δ[n k], είναι ένα σήμα που έχει πλάτος x[k] τη χρονική στιγμή n = k και ειναι μηδέν όλες τις άλλες χρονικές στιγμές. 9

10 Παράδειγμα: Εκφράστε το σήμα 1, n = 0, n = 1 x[n] = 3, n = 0, αλλού ώς ένα άρθοισμα κατάλληλα μετατοπισμένων συναρτήσεων Δέλτα. (49) Λύση: Θα πούμε ότι x[n] = δ[n] + δ[n 1] + 3δ[n ] (50) Μπορούμε να προχωρήσουμε περαιτέρω αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση δ[n] = u[n] u[n 1] (51) έχουμε που δίνει x[n] = u[n] u[n 1] + (u[n 1] u[n ]) + 3(u[n ] u[n 3]) (5) x[n] = u[n] + u[n 1] + u[n ] 3u[n 3] (53) 3 Ενέργεια και Ισχύς Σήματος Διακριτού Χρόνου Ακολουθώντας παρόμοιο σκεπτικό με αυτό που κάναμε όταν δουλεύαμε στο συνεχή χρόνο, η ενέργεια ενός σήματος διακριτού χρόνου είναι E x = n= x[n] (54) Για να έχει νόημα αυτή η μετρική, θα πρέπει, όπως φαντάζεστε, να είναι πεπερασμένη (να μην απειρίζεται δηλαδή). Μια αναγκαία συνθήκη για να ισχύει αυτό είναι ότι το πλάτος του σήματος πρέπει να φθίνει στο μηδέν όσο n ±. Φυσικά, οποιοδήποτε σήμα πεπερασμένης διάρκειας είναι σήμα ενέργειας (ικανοποιείται η παραπάνω συνθήκη). Ενα σήμα που η ενέργειά του είναι πεπερασμένη λέγεται σήμα ενέργειας. Σε περιπτώσεις όπου το πλάτος του σήματος δε φθίνει στο μηδέν όταν n ±, χρειαζόμαστε μια εναλλακτική μετρική. Αυτή δεν είναι άλλη από την ισχύ του σήματος, που ορίζεται ως 1 P x = lim N N + 1 N n= N x[n] (55) Αν η P x είναι πεπερασμένη (και μη μηδενική), τότε το σήμα λέγεται σήμα ισχύος. Οπως και στο συνεχή χρόνο, ένα σήμα διακριτού χρόνου μπορεί να είναι είτε σήμα ενέργειας είτε σήμα ισχύος, αλλά όχι και τα δυο ταυτόχρονα. Επίσης, μπορεί να μην είναι ούτε ενέργειας ούτε ισχύος (όπως π.χ. το n u[n]). Στον υπολογισμό τέτοιων αθροισμάτων μας - αλλά και γενικότερα - είναι ΠΟΛΥ χρήσιμες οι σχέσεις του Πίνακα (1). Παράδειγμα: Εστω το σήμα ( 3 ) nu[ n] x[n] = (56) 10

11 N 1 n=0 N 1 n=0 Χρήσιμα Αθροίσματα (Σειρές) a n = 1 an 1 a na n = (N 1)aN+1 Na N + a (1 a) N 1 n=0 N n = 1 N 1 N(N 1) a n = an1 an+1 1 a n=n 1 n=0 n=0 n=0 a n = 1 1 a, a < 1 na n = Πίνακας 1: Χρήσιμα Αθροίσματα. a (1 a), a < 1 n = 1 N(N 1)(N 1) 6 (αʹ) Υπολογίστε το (βʹ) Υπολογίστε την ενέργεια του x[n], A = E = n= n= x[n] x [n] Λύση: (αʹ) Θα είναι A = x[n] = Με αλλαγή μεταβλητής, k ( n), έχουμε ( 3 nu[ n] 0 ( 3 ) n = (57) ) n= n= n= 0 A = ( 3 n = ) + ( 3 k = ) + ( ) k (58) 3 n= k=0 k=0 και με χρήση του Πίνακα (1), έχουμε A = = 3 (59) (βʹ) Είναι E = x [n] = n= n= Ξανά με αλλαγή μεταβλητής, k n, έχουμε ( ) (3 ) n 0 u [ n] = n= ( 3 ) n (60) E = ξανά με χρήση του Πίνακα (1). ( 3 k = ) + ( k = 3) + ( 4 ) k 1 = k=0 k=0 k=0 = 9 5 (61) 11

12 4 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Οπως είδαμε και στο συνεχή χρόνο, ένα συστημα διακριτού χρόνου είναι, θεωρητικά, ένας μαθηματικός τελεστης ή μια αντιστοίχιση που μετασχηματίζει ένα σήμα (την είσοδο) σε ένα άλλο σήμα (την έξοδο), μέσω ενός καθορισμένου συνόλου από πράξεις. Η σημειογραφεία T [ ] χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει εν γένει ένα σύστημα. Οι ιδιότητες εισόδου-εξόδου ενός συστήματος μπορούν να καθοριστούν με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Η σχέση εισόδου-εξόδου μπορεί, για παράδειγμα, να εκφραστει ως ή y[n] = x [n] (6) y[n] = 1 y[n 1] + x[n] (63) Είναι επίσης δυνατόν να περιγραφει ένα σύστημα με αλγοριθμικούς όρους, που αποτελείται από εντολές ή πράξεις που εφαρμόζονται σε ενα σήμα εισόδου, όπως οι y 1 [n] = 1 y 1[n 1] + 1 x[n] (64) 4 y [n] = 1 4 y [n 1] + 1 x[n] (65) y 3 [n] = 4 10 y 3[n = 1] + 1 x[n] (66) y[n] = y 1 [n] + y [n] + y 3 [n] (67) Τέλος, ένα σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως ένα σήμα h k [n], που λέγεται κρουστική απόκριση, και ορίζεται ως η έξοδος του συστήματος όταν στην είσοδό του εμφανιστεί η διακριτή συνάρτηση Δέλτα, δ[n k], όμοια ακριβώς με το συνεχή χρόνο. Τα συστηματα διακριτού χρονου μπορούν να κατηγοριοποιηθούν ανάλογα με τις ιδιότητες που έχουν, όπως ακριβώς αυτά του συνεχούς χρόνου! Οι πιο συνήθεις ιδιότητες που μας ενδιαφερουν είναι η γραμμικότητα, η η χρονική αμεταβλητικότητα, η αιτιατότητα, η ευστάθεια, και η αντιστρεψιμότητα. Αυτές οι ιδιότητες, μαζι με μερικές ακόμα, περιγράφονται παρακάτω. 4.1 Κατηγορίες Συστημάτων 1. Σύστημα με Μνήμη: Η πρώτη κατηγορία αφορά το αν ένα σύστημα έχει ή όχι μνήμη. Ενα σύστημα λέμε οτι είναι χωρίς μνήμη αν η έξοδος σε μια χρονική στιγμή n = n 0 εξαρτάται μόνο από την είσοδο τη χρονική στιγμή n = n 0. Με άλλα λόγια, ένα σύστημα είναι χωρίς μνήμη αν, για κάθε n 0, μπορούμε να βρούμε την τιμή y[n 0 ] δεδομένης μόνο της τιμής x[n 0 ]. Παραδειγμα: Το σύστημα y[n] = x [n] ειναι χωρίς μνήμη γιατι το y[n 0 ] εξαρτάται μόνο από την τιμή x[n 0 ]. Αντίθετα, το συστημα y[n] = x[n] + x[n 1] είναι με μνήμη, γιατι για τον υπολογισμό του y[n 0 ] χρειαζόμαστε και την τιμή x[n 0 1], εκτος απ την x[n 0 ].. Ενα σύστημα λέγεται αθροιστικό αν ισχύει για οποιαδήποτε σήματα x 1 [n] και x [n]. T [x 1 [n] + x [n]] = T [x 1 [n]] + T [x [n]] (68) 1

13 3. Ενα σύστημα λέμε ότι είναι ομογενές αν η κλιμάκωση της εισόδου με μια σταθερά έχει ως αποτέλεσμα την κλιμάκωση της εξόδου με την ίδια σταθερά. Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι αν T [cx[n]] = ct [x[n]] (69) για οποιαδήποτε μιγαδική σταθερά c για κάθε σήμα εισόδου x[n]. Παράδεγιμα: Το σύστημα που ορίζεται ως δεν είναι αθροιστικό γιατί y[n] = x [n] x[n 1] T [x 1 [n] + x [n]] = (x 1[n] + x [n]) x 1 [n 1] + x [n 1] (70) (71) που δεν είναι το ίδιο με το T [x 1 [n]] + T [x [n]] = x 1 [n] x 1 [n 1] + x [n] x [n 1] (7) Το σύστημα, όμως, είναι ομογενές, γιατί για είσοδο cx[n], η έξοδος T [cx[n]] = (cx[n]) cx[n 1] = c x [n] x[n 1] = ct [x[n]] (73) Από την άλλη μεριά, το σύστημα που ορίζεται από τη σχέση είναι αθροιστικό (δείξτε το! :-) ) αλλά δεν είναι ομογενές, γιατι y[n] = x[n] + x [n 1] (74) T [cx[n]] = cx[n] + c x [n 1] ct [x[n]] = cx[n] + cx [n 1] (75) 4. Γραμμικότητα: Ενα συστημα λέγεται γραμμικό αν είναι αθροιστικό και ομογενές. Δηλ. ένα σύστημα είναι γραμμικό αν T [a 1 x 1 [n] + a x [n]] = a 1 T [x 1 [n]] + a T [x [n]] (76) για δυο εισόδους x 1 [n] και x [n] για δυο οποιεσδηποτε σταθερές a 1, a. Παράδεγιμα: Το σύστημα είναι γραμμικό. Γιατί: Για είσοδο x 1 [n], η έξοδος θα είναι Για είσοδο x [n], η έξοδος θα είναι y[n] = x[n 1] + x[n] (77) y 1 [n] = x 1 [n 1] + x 1 [n] (78) y [n] = x [n 1] + x [n] (79) 13

14 Τέλος, για είσοδο a 1 x 1 [n] + a x [n], η έξοδος θα είναι Παράδεγιμα: Τα συστήματα y 3 [n] = (a 1 x 1 [n 1] + a x [n 1]) + (a 1 x 1 [n] + a x [n]) (80) είναι μη γραμμικά. Επιβεβαιώστε το! :-) = a 1 x 1 [n 1] + a x [n 1] + a 1 x 1 [n] + a x [n] (81) = a 1 x 1 [n 1] + a 1 x 1 [n] + a x [n 1] + a x [n] (8) = a 1 (x 1 [n 1] + x 1 [n 1]) + a (x [n 1] + x [n]) (83) = a 1 T [x 1 [n]] + a T [x [n]] = a 1 y 1 [n] + a y [n] (84) y[n] = log 10 ( x[n] ) (85) y[n] = x [n ] (86) 1 y[n] =, x[n] 0, n (87) x[n] Η γραμμικότητα απλοποιεί πάρα πολύ την απόκριση ενός συστηματος σε μια δεδομένη είσοδο. Για παράδειγμα, η εξοδος ενός συστηματος για είσοδο όπως η Σχέση (48), είναι [ ] y[n] = T [x[n]] = T x[k]δ[n k] = T [x[k]δ[n k]] (88) Επειδή οι τιμές x[k] είναι αριθμοί, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα της ομογένειας και να έχουμε y[n] = T [x[k]δ[n k]] = x[k]t [δ[n k]] (89) Αν ορίσουμε ότι h k [n] την απόκριση του συστήματος σε μια συνάρτηση Δέλτα τη χρονική στιγμή n = k, δηλ. h k [n] = T [δ[n k]] (90) και άρα θα έχουμε το οποίο και είναι γνωστο ως υπέρθεση. y[n] = x[k]h k [n] (91) 5. Χρονική Αμεταβλητότητα: Ενα σύστημα λέμε οτι ειναι χρονικά αμετάβλητο αν μια καθυστέρηση στην είσοδο κατά n 0 δείγματα έχει ως αποτέλεσμα την καθυστέρηση της εξόδου κατά n 0 δείγματα. Πιο μαθηματικά :-), έστω y[n] η έξοδος ενός συστήματος για μια εισοδο x[n]. Το σύστημα λέμε ότι είναι χρονικά αμετάβλητο αν για κάθε καθυστέρηση n 0, η απόκριση στην είσοδο x[n n 0 ] ειναι η y[n n 0 ]. Για να ελέγξουμε αν ένα σύστημα ειναι χρονικά αμετάβλητο, πρέπει να συγκρινουμε τα σήματα y[n n 0 ] και T [x[n n 0 ]]. Αν είναι ίδια, τότε το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο. Εναλλακτικά, μπορούμε να ελέγξουμε τους συντελεστές της εισόδου x[n] στην αναπαράσταση y[n] = T {x[n]}. Αν είναι σταθεροί, τότε το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο. Αν όχι, αν δηλαδή οι συντελεστές εξαρτώνται από το χρόνο n, τότε το σύστημα είναι χρονικά μεταβλητό. 14

15 Παράδειγμα: Το σύστημα που ορίζεται ως y[n] = n x[k] (9) και λέγεται αθροιστής, είναι χρονικά αμετάβλητο. Ας το δείξουμε. Εστω η είσοδος x 1 [n] = x[n n 0 ]. Θα πρέπει να υπολογίσουμε την έξοδο y 1 [n] για την είσοδο αυτή, καθώς και το σήμα y[n n 0 ]. Εχουμε ότι Με αλλαγή μεταβλητής u k n 0, θα έχουμε y 1 [n] = Ας υπολογιίσουμε και το y[n n 0 ]. Είναι y 1 [n] = T [x 1 [n]] (93) n = x 1 [k] (94) n = y[n n 0 ] = n x[k n 0 ] = x[k n 0 ] (95) n n 0 n n 0 u= x[u] (96) x[k] (97) Προφανώς οι Σχέσεις (96),(97) είναι ισοδύναμες (τα u, k είναι μεταβλητές με τον ίδιο ρόλο και στις δυο σχέσεις). Άρα ισχύει y 1 [n] = y[n n 0 ]. Άρα το σύστημά μας είναι χρονικά αμετάβλητο. Παράδειγμα: Το σύστημα που ορίζεται ως y[n] = x [n] (98) ειναι χρονικά αμετάβλητο. Η απόκριση του συστήματος στην είσοδο x 1 [n] = x[n n 0 ], είναι y 1 [n] = [x[n n 0 ]] = x [n n 0 ]. Ομως, προφανώς ισχύει ότι y 1 [n] = y[n n 0 ], άρα το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο. Παράδειγμα: Το σύστημα y[n] = nx[n] (99) είναι χρονικά μεταβλητό. Η έξοδος του συστήματος, y 1 [n], για είσοδο x 1 [n] = x[n n 0 ] είναι y 1 [n] = nx[n n 0 ]. Ομως, η y[n n 0 ] ισούται με y[n n 0 ] = (n n 0 )x[n n 0 ], που προφανώς είναι διαφορετική από την y 1 [n]. Άρα το σύστημα δεν είναι χρονικά αμετάβλητο. Μπορεί κανείς να αποδείξει τη χρονική μεταβλητότητα με κάποιο αντιπαράδειγμα. 6. Γραμμικό και Χρονικά Αμετάβλητο Σύστημα (ΓΧΑ): Ενα σύστημα είναι και γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο, και αναφέρεται ως ΓΧΑ σύστημα, αν ισχύει ότι αν h[n] είναι η απόκριση του 15

16 συστηματος στην είσοδο δ[n], τότε η απόκριση του συστήματος για είσοδο δ[n k], είναι h[n k]. Ετσι, η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος δίνεται από τη σχέση y[n] = x[k]h[n k] = x[n] h[n] (100) όπου συμβολίζει τον τελεστη της συνέλιξης, η οποία ορίζεται ως το παραπάνω άθροισμα. Το σήμα h[n] αναφέρεται ως μοναδιαία ή κρουστική απόκριση και χαρακτηρίζει πλήρως το ΓΧΑ σύστημα. Με άλλα λόγια, μπορούμε να βρούμε την απόκριση του συστήματος για κάθε είσοδο x[n], αν γνωρίζουμε το h[n]. Η παραπάνω σχέση αποδεικνύεται αν χρησιμοποιήσουμε το συνδυασμό της γραμμικότητας και της χρονικής αμεταβλητότητας όπως τις ορίσαμε παραπάνω. Εχουμε ήδη πει ότι ένα οποιοδήποτε διακριτό σήμα μπορεί να γραφεί ως άθροισμα συναρτήσεων Δέλτα ως x[n] = Η έξοδος ενός συστήματος για την παραπάνω είσοδο θα είναι [ ] y[n] = T [x[n]] = T x[k]δ[n k] = x[k]δ[n k] (101) T [x[k]δ[n k]] (10) με την τελευταία ισότητα να ισχύει λόγω γραμμικότητας. Οπως είπαμε και νωρίτερα, επειδή οι τιμές x[k] είναι αριθμοί, έχουμε y[n] = T [x[k]δ[n k]] = x[k]t [δ[n k]] (103) Η χρονική αμεταβλητότητα υποδηλώνει ότι αν ορίσουμε ότι η απόκριση του συστήματος, h k [n], σε μια συνάρτηση Δέλτα τη χρονική στιγμή n = k, δηλ. μπορεί να γραφεί ως είναι δηλαδή μια απλή μετατόπιση της κρουστικής απόκρισης! Ετσι, h k [n] = T [δ[n k]] (104) y[n] = h k [n] = h[n k] (105) x[k]h[n k] (106) 7. Αιτιατότητα: Μια ιδιότητα ιδιαίτερα σημαντική για πραγματικές εφαρμογές είναι η αιτιατότητα, η οποία λέει ότι η απόκριση ενός συστηματος τη χρονική στιγμή n 0 εξαρταται μόνο από τις χρονικές στιγμές ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ τη χρονική στιγμή n = n 0. Για ένα αιτιατο σύστημα, οι αλλαγές στην έξοδο δεν μπορεί να προηγούνται από αλλαγές στην είσοδο. Ενα αιτιατό ΓΧΑ σύστημα έχει την ιδιότητα οτι h[n] = 0, n < 0. Παράδειγμα: Το σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση y[n] = x[n] + x[n 1] είναι αιτιατο γιατι η τιμή της εξόδου τη χρονική στιγμή n = n 0 εξαρτάται μόνο από τις τιμές εισόδου x[n] στις χρονικές στιγμές n 0 και n 0 1. Αντίθετα, το σύστημα y[n] = x[n] + x[n + 1] δεν είναι αιτιατό, γιατι η έξοδος τη χρονική στιγμή n 0 εξαρτάται από την τιμή της εισόδου τις χρονικές στιγμές n 0 και n

17 8. Ευστάθεια: Ενα σύστημα λέγεται ευσταθές, αν ισχύει ότι για φραγμένη είσοδο, x[n] < B x, η έξοδος είναι επίσης φραγμένη, y[n] < B y, με B x, B y πραγματικούς αριθμούς. Για ενα ΓΧΑ σύστημα, η ευστάθεια ισχύει αν ισχυει η σχέση n= h[n] < (107) Παράδειγμα: Ο αθροιστής προηγούμενου παραδείγματος ΔΕΝ είναι ευσταθές σύστημα, γιατί αν η είσοδος είναι φραγμένη, x[n] < B x, τότε η έξοδος είναι Αντίθετα, το σύστημα y[n] = n είναι ευσταθές, γιατί αν x[n] < B x, τότε αφού sin(θ) 1. x[k] n x[k] < n B x (108) y[n] = x [n] + sin(x[n]) (109) y[n] = x [n] + sin(x[n]) x [n] + sin(x[n]) < B x + 1 (110) 9. Αντιστρεψιμότητα: Ενα σύστημα λέγεται αντιστρεψιμο αν η είσοδος σε ένα σύστημα μπορει να οριστεί μονοσήμαντα από την έξοδο. Με άλλα λόγια, για να είναι ένα σύστημα αντιστρέψιμο, ειναι απαραίτητο διαφορετικές είσοδοι να δίνουν διαφορετικές εξόδους. Με άλλα άλλα :-) λόγια, δεδομένων δυο εισόδων x 1 [n], x [n], με x 1 [n] x [n], πρέπει να ισχύει ότι y 1 [n] y [n]. Παρ ότι θα ασχοληθούμε σχεδόν αποκλειστικά με γραμμικά, χρονικά αμετάβλητα και αιτιατά συστήματα, αυτό δε σημαίνει ότι όσα δεν πληρούν τις παραπάνω συνθήκες είναι άχρηστα. Ενα πολύ χρήσιμο στην πράξη σύστημα είναι το παρακάτω: y[n] = x [n] x[n 1]x[n + 1] (111) Το σύστημα αυτό είναι ΜΗ γραμμικό, είναι χρονικά αμετάβλητο, αλλά και ΜΗ αιτιατό, γιατί η χρονική στιγμή n της εξόδου χρειάζεται τη χρονική στιγμή n + 1 της εισόδου. Παρ ότι αυτό το σύστημα δεν είναι γραμμικό, ούτε και αιτιατό, είναι αρκετά χρήσιμο και διαδεδομένο. Η πράξη που περιγράφεται από το σύστημα αυτό λέγεται τελεστής Teager-Kaiser, και οι ιδιότητές της την καθιστούν πολύ χρήσιμη σε ΠΑΡΑ πολλές εφαρμογές (εικόνες, ήχος, βιολογικά σήματα, κλπ). 5 Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα (ΓΧΑ) Συστήματα και Ιδιότητες Οπως προείπαμε, μια πολύ σημαντική κατηγορία συστημάτων είναι αυτά που έχουν την ιδιότητα της γραμμικότητας και της χρονικής αμεταβλητότητας, τα λεγόμενα Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα. Ας μιλήσουμε λίγο περισσότερο για αυτά. Είπαμε νωρίτερα, όταν πρωτοπαρουσιάσαμε τα ΓΧΑ συστήματα, ότι γι αυτά η σχέση εισόδου-εξόδου δίνεται ως y[n] = x[k]h[n k] = x[n] h[n] (11) 17

18 πράξη την οποία ονομάσαμε συνέλιξη. Ο τελεστής για τη συνέλιξη είναι βολικός και εύκολος, αλλά θέλει προσοχή. Για παράδειγμα, θεωρήστε την έξοδο y[n n 0 ]. Από τη Σχέση (11), βλέπουμε ότι y[n n 0 ] = και με το συμβολισμό που εισάγαμε νωρίτερα, είναι Θα μπορούσε να μπει κανείς στον πειρασμό και να πει ότι x[k]h[n n 0 k] (113) y[n n 0 ] = x[n] h[n n 0 ] (114) y[n n 0 ] = x[n n 0 ] h[n n 0 ] (115) αλλά αυτό δεν είναι σωστό! 5 Αφού λοιπόν ξεκαθαρίσαμε ότι ο συμβολισμός θέλει προσοχή, ας δούμε λίγο πιο κοντά το άθροισμα της συνέλιξης. Η Σχέση (11) μας λέει ότι το δείγμα εισόδου τη χρονική στιγμή n = k, που αναπαρίσταται από ως x[k]δ[n k], μετασχηματίζεται από το σύστημα σε μια ακολουθία εξόδου x[k]h[n k], για < n < +, και για κάθε k, αυτές οι ακολουθίες προστίθενται η μια με την άλλη για να δώσουν την τελική έξοδο-ακολουθία. Ενα πολύ χρήσιμο οπτικό παράδειγμα του υπολογισμού της συνέλιξης βλέπετε στο Σχήμα (6). Στη γραμμή (a) του Σχήματος, βλέπετε αριστερά την είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος, το σήμα x[n], το οποίο είναι πεπερασμένης διάρκειας, μια και έχει μόλις τρια μη μηδενικά δείγματα. Η διάρκειά του όμως είναι N = 6 δείγματα, από το πρώτο μη μηδενικό ως το τελευταίο. Δεξιά, στην ίδια γραμμή, βλέπετε την κρουστική απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος, h[n], η οποία είναι κι αυτή πεπερασμένης διάρκειας M = 3. Θέλουμε να βρούμε το αποτέλεσμα της συνέλιξης των δυο αυτών σημάτων, ή αλλιώς, την έξοδο του ΓΧΑ συστήματος που περιγράφεται από την κρουστική απόκριση h[n] όταν στην είσοδό του εμφανίζεται το σήμα x[n]. Σύμφωνα με την ανάλυση που κάναμε νωρίτερα, το δείγμα εισόδου τη χρονική στιγμή n = k, που αναπαρίσταται από ως x[k]δ[n k], μετασχηματίζεται από το σύστημα σε μια ακολουθία εξόδου x[k]h[n k], για < n < +. Οταν μετασχηματιστούν όλα τα δείγματα της εισόδου, τότε τα επιμέρους σήματα εξόδου προστίθενται για να μας δώσουν το τελικό αποτέλεσμα. ˆ Η γραμμή (b) δείχνει αριστερά το πρώτο δείγμα του σήματος εισόδου, το οποίο συμβολίζεται ως το σήμα x [n], και δεξιά την έξοδο του συστήματος, y [n] = x[ ]h[n + ], όταν στην είσοδό του παρουσιαστεί το σήμα x [n]. Βλέπετε ότι το h[n] έχει μετατοπιστεί από το n = 0 στο n =. ˆ Στη γραμμή (c), αριστερά βλέπουμε το δεύτερο (μη μηδενικό) δείγμα του σήματος εισόδου, που συμβολίζουμε με x 0 [n] = x[0]δ[n]. Δεξιά, παρατηρήστε το αποτέλεσμα της εξόδου, y 0 [n] = x[0]h[n], όταν στην είσοδο του ΓΧΑ συστήματος παρουσιαστεί το x 0 [n]. ˆ Ομοια ακριβώς είναι τα πράγματα και στη γραμμή (d), όπου το τελευταίο δείγμα εμφανίζεται στην είσοδο του συστήματος, με αποτέλεσμα την έξοδο y 3 [n]. ˆ Το τελικό αποτέλεσμα, δηλ. η έξοδος y[n] του συστήματος όταν στην είσοδό του εμφανίζεται το σήμα x[n], δίνεται από την υπέρθεση των επιμέρους εξόδων, y [n], y 0 [n], y3[n], όπως το βλέπετε στη γραμμή (e). Περισσότερα για τη συνέλιξη και τον υπολογισμό της θα δούμε σε ακόλουθο κεφάλαιο. 5 Στην πραγματικότητα, αυτό μας δίνει y[n n 0]. 18

19 Σχήμα 6: Αναπαράσταση της εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος ως η υπέρθεση αποκρίσεων σε ξεχωριστά δείγματα εισόδου. 5.1 Ιδιότητες ΓΧΑ συστημάτων Μπορούμε να εξάγουμε κάποιες γενικές ιδιότητες των ΓΧΑ συστημάτων αν ερευνήσουμε λίγο τον ορισμό της συνέλιξης. Για παράδειγμα, ο τελεστής της συνέλιξης είναι αντιμεταθετικός: x[n] h[n] = h[n] x[n] (116) 19

20 Αποδείξτε το ως εξάσκηση! :) Άλλη μια σημαντική ιδιότητα είναι η επιμεριστικότητα ως προς την πρόσθεση: x[n] (h 1 [n] + h [n]) = x[n] h 1 [n] + x[n] h [n] (117) Επίσης, η συνέλιξη ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα: y[n] = (x[n] h 1 [n]) h [n] = x[n] (h 1 [n] h [n]) (118) η οποία, λόγω αντιμεταθετικότητας, μπορεί να γραφεί και ως y[n] = (x[n] h [n]) h 1 [n] = x[n] (h [n] h 1 [n]) (119) Οι προαναφερθείσες ιδιότητες μας οδηγούν σε δυο χρήσιμες κατηγορίες διατάξεων. Οπως και στο συνεχή χρόνο, έτσι και στο διακριτό, όταν έχουμε ΓΧΑ συστήματα σε σειρά, όπως στο Σχήμα (7)(a), η έξοδος του h 1 [n] περνάει ως είσοδος στο h [n]. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε ότι τα συστήματα αυτά αποτελούν ΕΝΑ μεγαλύτερο σύστημα, το οποίο και αποτελεί τη συνέλιξη των επιμέρους συστημάτων στο πεδίο του χρόνου, όπως στο Σχήμα (7)(b). Άλλες φορές, μας βολεύει να βάζουμε πολλά ΓΧΑ συστήματα παράλληλα μεταξύ τους, δημιουργώντας h 1 [n] h [n] (a) h 1 [n]* h [n] (b) Σχήμα 7: Συστήματα σε Σειρά στο χρόνο: (a) Δυο συστήματα σε σειρά, (b) Συνολικό σύστημα ένα μεγαλύτερο σύστημα που εκτελεί επεξεργασία στην είσοδό του. Σε αυτήν την περίπτωση, όπως στο Σχήμα (8)(a), η αρχική είσοδος περνάει και στο h 1 [n] και στο h [n]. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε ότι τα συστήματα αυτά αποτελούν ΕΝΑ μεγαλύτερο σύστημα, το οποίο και αποτελεί το άθροισμα των επιμέρους συστημάτων στο πεδίο του χρόνου, όπως στο Σχήμα (8)(b). Οταν μιλήσουμε για το χώρο της συχνότητας στα διακριτού χρόνου σήματα, θα δούμε πώς αναλύονται αυτές οι διατάξεις, αν και πρέπει ήδη να έχετε μια ιδέα για το τι πρόκειται να συμβεί. :-) Ο περιορισμός της γραμμικότητας και της χρονικής αμεταβλητότητας ορίζουν ένα σύνολο συστημάτων με πολύ ειδικές ιδιότητες. Η ευστάθεια και η αιτιατότητα προσδίδουν επιπλέον ιδιότητες, και είναι σημαντικό να γνωρίζει κανείς πότε ένα σύστημα είναι ευσταθές και πότε είναι αιτιατό. Θυμηθείτε ότι ένα σύστημα είναι ευσταθές εαν για φραγμένη είσοδο x[n] < B x παράγει πάντα φραγμένη έξοδο y[n] < B y. Τα ΓΧΑ συστήματα είναι ευσταθή αν και μόνον αν η κρουστική τους απόκριση h[n] είναι απολύτως αθροίσιμη: h[n] < (10) Αυτό αποδεικνύεται εύκολα αν φράξουμε την έξοδο y[n] σύμφωνα με τον ορισμό της συνέλιξης, δηλαδή y[n] = h[k]x[n k] 0 h[k]x[n k] (11)

21 h 1 [n] + h [n] (a) h 1 [n]+ h [n] (b) Σχήμα 8: Συστήματα σε Παραλληλία στο χρόνο: (a) Δυο συστήματα σε παραλληλία, (b) Συνολικό σύστημα κι αφού η είσοδος είναι φραγμένη, θα είναι y[n] B x + h[k] (1) η οποία είναι πεπερασμένη μόνο αν ισχύει η Σχέση (10), για την οποία δείξαμε ότι είναι ικανή για ευστάθεια. Για να δείξουμε ότι είναι και αναγκαία, πρέπει να δείξουμε ότι αν B h =, τότε μια φραγμένη είσοδο θα παράξει μη-φραγμένη έξοδο. Ας θεωρήσουμε την είσοδο x[n] = { h [ n] h[ n], h[n] 0 0, h[n] = 0 (13) Προφανώς αυτή η είσοδος είναι φραγμένη από τη μονάδα. Ας υπολογίσουμε την έξοδο y[0]. y[0] = x[ k]h[k] = h[k] h[k] = B h = (14) Οπότε το σύστημα δεν είναι ευσταθές. Άρα η Σχέση (10) είναι ικανή και αναγκαία για την ευστάθεια του συστήματος. Το σύνολο των συστημάτων που ικανοποιούν την αιτιατότητα είναι επίσης πολύ σημαντικό. Υπενθυμίζεται ότι ένα σύστημα λέγεται αιτιατό όταν η έξοδός του εξαρτάται μόνο από παρελθοντικές τιμές της εισόδου. Από τη σχέση της συνέλιξης για ένα ΓΧΑ σύστημα, εύκολα συνεπάγεται ότι ένα αιτιατό σύστημα ικανοποιεί τη σχέση h[n] = 0, n < 0 (15) Η παραπάνω σχέση μπορεί να αναφέρεται σε οποιοδήποτε σήμα (όχι απαραίτητα σύστημα), και να το χαρακτηρίζει ως αιτιατό. 1

x[n] = x a (nt s ), n Z (11.1)

x[n] = x a (nt s ), n Z (11.1) Κεφάλαιο 11 Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ως τώρα, τα σήματα που μελετήσαμε ήταν ολα συνεχούς χρόνου. Σε αυτό το κεφάλαιο, ξεκινάμε τη μελέτη μας σχετικά με την επεξεργασία σημάτων διακριτού χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6)

y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6) Ασκήσεις σε Σήματα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 9 Οκτωβρίου 015 1. Ενα αιτιατό ΓΧΑ σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

c xy [n] = x[k]y[n k] (1)

c xy [n] = x[k]y[n k] (1) Συνέλιξη Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 6 Οκτωβρίου 2015 1 Εισαγωγή Η συνέλιξη αποτελεί μια πράξη πολύ σημαντική,

Διαβάστε περισσότερα

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6)

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6) Ασκήσεις με το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 8 Οκτωβρίου 015 1. Εστω το

Διαβάστε περισσότερα

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας Ο Μετασχηματισμός Fourier Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes

Διαβάστε περισσότερα

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1)

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1) Ασκήσεις με Συστήματα στο Χώρο του Ζ Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 7 Νοεμβρίου 015 1. Υπολόγισε τον μετ. Ζ και την

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

a k y[n k] = b l x[n l] (12.1)

a k y[n k] = b l x[n l] (12.1) Κεφάλαιο 12 Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Πεδίο του Διακριτού Χρόνου 12.1 Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο, θα συζητήσουμε για το πως μπορούμε να μελετάμε γραμμικά και χρονικά αμετάβλητα ΓΧΑ) συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος

Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Εργαστήριο 3 Εισαγωγή στα Σήματα Αλέξανδρος Μανουσάκης Τι είναι σήμα; Ως σήμα ορίζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει μια ποσότητα (εξαρτημένη μεταβλητή) όταν αυτή μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Εισαγωγή Α. Παπαδάκης, Αναπλ. Καθ. ΑΣΠΑΙΤΕ Δρ. ΗΜΜΥ Μηχ. ΕΜΠ Βασικά Αντικείμενα Μαθήματος Σήματα Κατηγοριοποίηση, ψηφιοποίηση, δειγματοληψία, κβαντισμός Βασικά σήματα ήχος, εικόνα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Σήματα. Κυριακίδης Ιωάννης 2011

Εισαγωγή στα Σήματα. Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Εισαγωγή στα Σήματα Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Τελευταία ενημέρωση: 11/11/2011 Τι είναι ένα σήμα; Ως σήμα ορίζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει μια ποσότητα (εξαρτημένη μεταβλητή) όταν αυτή μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Συνέλιξη Κρουστική απόκριση

Συνέλιξη Κρουστική απόκριση Συνέλιξη Κρουστική απόκριση Το εργαστήριο αυτό ασχολείται με τα «διασημότερα συστήματα στην επεξεργασία σήματος. Αυτά δεν είναι παρά τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ) συστήματα. Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/60 Πληροφορίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/60 Πληροφορίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 /6 Σήματα- συμβολισμοί 5 5 4 4 3 3 2 2 - -4-3 -2-2 3 4 5-2 3 4 5 6 7 8-2 -2-3 -3 x()=, x(-),x(), x(),. x()={,-2,-3,-,,, 2, 3, 4, } x()={x()}={,x(-),x(), x(),.} x()={,-2,-3, -,,, 2, 3, 4, } 2/6

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος Σήματα και Συστήματα Νόκας Γιώργος Δομή του μαθήματος Βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας HMY 49: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου στο χώρο της συχνότητας Μιγαδικά εκθετικά σήματα και

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -7- Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT (discrete time Fourier transform) 3.. Εισαγωγικά. 3.. Είδη µετασχηµατισµών Fourier Με την ονοµασία Μετασχηµατισµοί Fourier

Διαβάστε περισσότερα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα 3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1 Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = e st = e (σ+j2πf)t (7.1) h(t)e st dt (7.4) H(s) = y(t) = H{e st } = H(s)e st (7.5)

x(t) = e st = e (σ+j2πf)t (7.1) h(t)e st dt (7.4) H(s) = y(t) = H{e st } = H(s)e st (7.5) Κεφάλαιο 7 Συστήματα στο χώρο του Laplace 7. Εισαγωγή Ο μετασχ. Laplace είναι ένα πολύτιμο εργαλείο για την ανάλυση συστημάτων. Η ικανότητά του να ερμηνεύει συχνοτικά πλήθος σημάτων, σημαντικά περισσότερων

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier ΗΜΥ 429 8. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Μετασχηματισμός Fourier 4 κατηγορίες: Μετασχηματισμός Fourier: σήματα απεριοδικά και συνεχούς χρόνου Σειρά Fourier: σήματα περιοδικά και συνεχούς χρόνου Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 06-7 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x t, t,

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/62 Πληροφορίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/62 Πληροφορίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 /62 Σήματα- συμβολισμοί 5 5 4 4 3 3 2 2 - -4-3 -2-2 3 4 5-2 3 4 5 6 7 8-2 -2-3 -3 x()=, x(-),x(), x(),. x()={,-2,-3,-,,, 2, 3, 4, } x()={x()}={,x(-),x(), x(),.} x()={,-2,-3, -,,, 2, 3, 4, }

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Διάλεξη 1. Εισαγωγή Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου. Τι είναι σήμα; Παραδείγματα

Εισαγωγή. Διάλεξη 1. Εισαγωγή Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου. Τι είναι σήμα; Παραδείγματα University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη Εισαγωγή Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή Τι είναι σήμα; Είναι μεταβολές ενός φυσικού μεγέθους που αναπαριστούν ή μεταφέρουν

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM 1/ 80. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT Σ.

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM 1/ 80. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT Σ. Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRASFORM / x X x X x X x 3 x DFT X 3 X x 5 X 5 x 6 X 6 x 7 X 7 / DFT - Ορισμοί αναφέρεται σε μία πεπερασμένου μήκους ακολουθία σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σήµατα και συστήµατα διακριτού χρόνου

Σήµατα και συστήµατα διακριτού χρόνου Σήµατα και συστήµατα διακριτού χρόνου Βασικές ψηφιακές πράξεις Πρόσθεση {x 1 (n)}+{x 2 (n)}={x 1 (n)+x 2 (n)} Πολλαπλασιασµός Κλιµάκωση Μετατόπιση Αναδίπλωση {x 1 (n)}.{x 2 (n)}={x 1 (n).x 2 (n)} a{x(n)}

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 009-0 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x α Ψηφιακή

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα»

Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Εξεταστική Ιανουαρίου 27 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Θέµα 1 ο (3%) Έστω δύο διακριτά σήµατα: x(n) = {1,,, -1} και h(n) = {1,, 1} µε το πρώτο δείγµα να αντιστοιχεί σε n= και για τα δύο. Υπολογίστε τα

Διαβάστε περισσότερα

13-Φεβ-2009 ΗΜΥ Γραμμικά συστήματα και Συνέλιξη

13-Φεβ-2009 ΗΜΥ Γραμμικά συστήματα και Συνέλιξη ΗΜΥ 429 6. Γραμμικά συστήματα και Συνέλιξη 1 Γραμμικά συστήματα Ένα σύστημα είναι γραμμικό αν έχει τις ιδιότητες: Ομοιογένεια Προσθετικότητα Χρονική αμεταβλητότητα (δεν είναι απαραίτητη για γραμμικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 1, Μέρος 2ο: ΠΕΡΙ ΣΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Περιγραφή Σηµάτων Διακριτού Χρόνου Η Ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

x[n]z n = ) nu[n]z n z 1) n z 1 (5) ( 1 z(2z 1 1]z n +

x[n]z n = ) nu[n]z n z 1) n z 1 (5) ( 1 z(2z 1 1]z n + ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ηµεροµηνία Ανάθεσης : //6 Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 6 Nv 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 5: Μετασχηματισμός Ζ Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Σειρές Fourier: Προσέγγιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Τρεις ισοδύναμες μορφές: () = = = = Σειρές Fourier j( 2π ) t Τ.. x () t FS a jω0t xt () = ae =

Διαβάστε περισσότερα

10-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Παραθύρωση Ψηφιακά φίλτρα

10-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Παραθύρωση Ψηφιακά φίλτρα -Μαρτ-9 ΗΜΥ 49. Παραθύρωση Ψηφιακά φίλτρα . Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Είδη παραθύρων Bartlett τριγωνικό: n, n Blacman: πn 4πn.4.5cos +.8cos, n < . Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 3 Hamming:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 5 σιμοποιούμε, δηλαδή όσο περισσότερα bits χρησιμοποιούμε για την αναπαράσταση της κάθε τιμής του πλάτους. ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τα σήματα διακριτού χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform

DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform Νοέµβριος 5 ΨΕΣ Ορισµοί O διακριτός µετασχηµατισµός Fourier DFT, αναφέρεται σε µία πεπερασµένου µήκους ακολουθία σηµείων και ορίζεται ως εξής: X(

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/17 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier 2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή

Διαβάστε περισσότερα

x[n] = x[k]δ[n k]. (13.1) x[n] = 2δ[n] 4δ[n 1] + 1 δ[n 4] (13.2) y[n] = 2x[n 1] x[n 2] + x[n 3], (13.3) h[n] = 2δ[n 3] 3δ[n 4] + 0.6δ[n 5]. (13.

x[n] = x[k]δ[n k]. (13.1) x[n] = 2δ[n] 4δ[n 1] + 1 δ[n 4] (13.2) y[n] = 2x[n 1] x[n 2] + x[n 3], (13.3) h[n] = 2δ[n 3] 3δ[n 4] + 0.6δ[n 5]. (13. Κεφάλαιο 3 Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 3. Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρονου Ενα από τα πλεονεκτήματα της αναπαράστασης σε συχνότητα των ΓΧΑ συστημάτων είναι ότι μας δίνουν

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ευστάθεια Συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 13: Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων (Ι) Περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων Έχουμε δει τις παρακάτω πλήρεις περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων: 1. Κρυστική απόκριση (impulse

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY : Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμοί Σημάτων Ενέργεια και Ισχύς Σήματος Βασικές κατηγορίες σημάτων Περιοδικά σήματα Άρτια και περιττά σήματα Εκθετικά σήματα Μετασχηματισμοί σημάτων (signal

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Διάλεξη 1: Σήματα και Συστήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μέρος 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου 2 Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Κατηγορίες Σημάτων

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz ()

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz () Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: X x x τη X O Μετασχηματισμός,, της ακολουθίας είναι μιγαδική συνάρτηση, της μιγαδικής μεταβλητής x r j Ω Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 Εισαγωγή Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια της μεθόδου Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Δισδιάστατα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχημ/μός Fourier Διακριτών Σημάτων - Διακριτός Μετασχημ/μός Fourier. Στην απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος ο μετασχηματισμός :

Μετασχημ/μός Fourier Διακριτών Σημάτων - Διακριτός Μετασχημ/μός Fourier. Στην απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος ο μετασχηματισμός : Μετασχημ/μός Fourir Διακριτών Σημάτων - Διακριτός Μετασχημ/μός Fourir Στην απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος ο μετασχηματισμός : j h(i) H( Ω ) ορίζεται ως μετασχηματισμός Fourir της ακολουθίας h(i)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Εκθετική Ορισμοί & Ιδιότητες Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ. Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου. Σχεδίαση φίλτρων

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ. Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου. Σχεδίαση φίλτρων Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου Σχεδίαση φίλτρων Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Αντίστροφος ΜΖ (inverse-zt) Προσεγγίσεις εύρεσης του αντίστροφου ΜΖ Τυπικά ο i-zt γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 206 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 25/0/206 Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Διακριτού Χρόνου (Discrete-Time Systems) Κυριακίδης Ιωάννης 2011

Συστήματα Διακριτού Χρόνου (Discrete-Time Systems) Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Συστήματα Διακριτού Χρόνου (Discrete-Time Systems) Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Τελευταία ενημέρωση: 11/11/2011 Πράξεις διακριτών σημάτων (υπενθύμιση) Πρόσθεση x(n) + y(n) Αφαίρεση x(n) y(n) Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος

Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός aplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος A R B i( ) i

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

x[n] = x[n] = e j(k+rn)ωon = cos(k 2π N n + r2πn) + jsin(k 2π N n + r2πn) = cos(k 2π N n) + jsin( 2π N x[n] e j 2π N n = e j(k r) 2π N n = (2.

x[n] = x[n] = e j(k+rn)ωon = cos(k 2π N n + r2πn) + jsin(k 2π N n + r2πn) = cos(k 2π N n) + jsin( 2π N x[n] e j 2π N n = e j(k r) 2π N n = (2. Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 22: Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 4: Σειρές Fourier σε διακριτά περιοδικά σήματα!"#!"#! "#$% Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμός Z. Κυριακίδης Ιωάννης 2011

Μετασχηματισμός Z. Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Μετασχηματισμός Z Κυριακίδης Ιωάννης 20 Τελευταία ενημέρωση: /2/20 Εισαγωγή Ο μετασχηματισμός- είναι ένα πολύ ισχυρό μαθηματικό εργαλείο για τη μελέτη διακριτών σημάτων και συστημάτων. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί:

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

(γ) (δ) x(t) = x(t + T 0 ), t (2.1)

(γ) (δ) x(t) = x(t + T 0 ), t (2.1) Κεφάλαιο Σήματα και Συστήματα. Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο, θα συζητήσουμε ορισμένα βασικά θέματα των σημάτων, με έμφαση στα σήματα συνεχούς χρόνου. Επιπλέον, θα εισάγουμε μερικές βασικές έννοιες και

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

S D. y[n] x [n] y. s D2. Microphone feedback into amplifier

S D. y[n] x [n] y. s D2. Microphone feedback into amplifier Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ : Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 3: Συστήματα διακριτού χρόνου!"#!"#! "#$% Σημειώσεις διαλέξεων

Διαβάστε περισσότερα

Δομή της παρουσίασης

Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη η Τα Σήματα στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 2: Συστήματα διακριτού χρόνου Συστήματα διακριτού χρόνου Σύστημα διακριτού χρόνου: Μετασχηματισμός Τ που μετατρέπει το σήμα εισόδου x[] στο σήμα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών Ι

Συστήματα Επικοινωνιών Ι + Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας Συστήματα Επικοινωνιών Ι Τηλεπικοινωνιακά Σήματα και Συστήματα + Περιεχόμενα 2 n Εισαγωγή n Εφαρμογές συστημάτων επικοινωνίας n Μοντέλο τηλεπικοινωνιακού συστήματος n Σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών. Σήματα. και. Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών. Σήματα. και. Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Άσκηση η Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος με κρουστική απόκριση h()=u()-u(-4) και είσοδο x()=u(-) u(-3)

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT. Σ.

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT. Σ. Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRASFORM x x x IDFT X X X x 3 x 4 DFT X 3 X 4 x 5 X 5 x 6 X 6 x 7 X 7 DFT - Ορισμοί αναφέρεται σε μία πεπερασμένου μήκους ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER x(t+kτ) = x(t) = π/ω f = / x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c. Αυτός γίνεται κατορθωτός αν

Διαβάστε περισσότερα