FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
|
|
- Ἀρφαξάδ Μπλέτσας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Zovšeobecnená brachystochróna 007 Milan Jurči
2 Zovšeobecnená brachystóchrona BAKALÁRSKA PRÁCA Milan JURČI UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Študijný odbor: Fyzika 4.. Vedúci bakalárskej práce: Doc. RNDr. Marián Fecko, PhD. BRATISLAVA, 007
3 Zadanie bakalárskej práce Brachystochróna je krivka v zvislej rovine, po ktorej sa zošmykne korálka medzi dvoma bodmi s rôznymi výškami za najkratší čas.v práci sa bude analyzovať zovšeobecnenie tohoto pojmu na prípad, keď namiesto euklidovskej roviny a gravitačnej sily uvažujeme krivý priestor a v ňom ľubovoľné potenciálové silové pole. Cieľom bude odvodiť príslušnú diferenciálnu rovnicu a skúsiť ju riešiť pre nejaký iný prípad, ako ten, z ktorého zovšeobecnenie vzišlo. Potrebné sú základné znalosti z teoretickej mechaniky (variačné princípy). Práca je vhodná pre záujemcov o teoretickú fyziku. 3
4 Čestné vyhlásenie Čestne vyhlasujem, že som túto bakalársku prácu vypracoval samostatne a s použitím uvedenej literatúry. Bratislava, 007 podpis 4
5 Poďakovanie Za aktívnu spoluprácu pri vedení vždy správnym smerom ďakujem svojmu školiteľovi Doc. RNDr. Mariánovi Feckovi, PhD. Ďalej ďakujem svojej priateľke Zuzke za to, že trpezlivo znášala neprítomné pohľady počas hlbokých meditačných pohrúžení do problematiky témy bakalárskej práce. A v neposlednom rade ďakujem Bohu za všetko. 5
6 Abstrakt JURčI, Milan. Zovšeobecnená brachystochróna [bakalárska práca]. Univerzita Komenského v Bratislave. Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. školiteľ: doc. RNDr. Marián Fecko, PhD. Komisia pre obhajoby: Fyzika 4... Stupeň odbornej kvalifikácie: Bakalár fyziky. Bratislava: FMFI UK, s. Študuje sa zovšeobecnenie klasickej úlohy o brachystochrone na prípad, keď sa má hmotný bod pohybovať medzi dvoma bodmi na riemannovskej variete pod vplyvom daného (všeobecného) potenciálového poľa za najkratší čas. Prezentuje sa detailné odvodenie príslušnej diferenciálnej rovnice, ktorá sa nedávno objavila v literatúre. Kľúčové slová: Brachystochrona. Variačný počet. Metrický tenzor. 6
7 Predhovor S klasickým problémom o brachystochrone sa stretne každý absolvent prednášky z teoretickej mechaniky v časti, ktorá sa venuje variačným prístupom k mechanike. Hoci je príklad zaujímavý a poučný, mohlo by trochu prekvapiť, že sa mu venuje celá bakalárska práca. Pre túto prácu je však podstatné slovo zovšeobecnená. Čo sa pod tým myslí? V nedávnych prácach vyšetrovala skupina japonských teoretikov istý optimalizačný problém v kvantovej mechanike, ktorý nazvali kvantová brachystochrona". Štartom k tejto problematike bola formulácia (a tiež výsledok) úlohy, ktorá pripomína klasickú úlohu o brachystorchrone - túto úlohu nazvali zovšeobecnená brachystochrona. Znie nasledovne: na všeobecnej riemannovskej variete sa pohybuje z bodu A do bodu B hmotný bod pod vplyvom sily danej všeobecným potenciálovým poľom tak, aby minimalizoval čas presunu z A do B. Treba určiť tvar krivky (drôtu, ktorý prinúti bod na tejto krivke zotrvať), na ktorej sa tento minimálny čas realizuje. V ich článkoch je výsledná rovnica, ale chýba jej detailné odvodenie. Cieľom tejto práce je urobiť toto detailné odvodenie a overiť správnosť uvedenej rovnice. Úvodná časť sa podrobne venuje pôvodnej klasickej úlohe, vrátane jej histórie a detailov riešenia. Jadro práce obsahuje odvodenie rovnice zovšeobecnenej brachystochrony, najprv pre ľubovoľný parameter, potom ako špeciálny prípad aj pre prirodzený parameter, v ktorom ju zapísali vyššie uvedení autori. V poslednej kapitole sú uvedené základné pojmy z variačného počtu. 7
8 Obsah Zadanie bakalárskej práce Abstrakt Predhovor úvod Historický úvod 0 Riešenie klasickej brachystochróny 5. Riešenie brachystochróny v homogénnom gravitačnom poli Riešenie s nulovou počiatočnou rýchlosťou Riešenie s nenulovou počiatočnou rýchlosťou Zovšeobecnená brachystochróna 3. Zavedenie funkcionálu Variačný problém Prirodzený parameter krivky Kanónom na vrabce Klasická brachystochróna z podkapitoly Základy variačného počtu Nutná podmienka pre extremálu Špeciálne zjednodušenia Eulerovej rovnice Prvý Eulerov integrál Druhý Eulerov integrál Záver
9 Úvod Brachystochróna je krivka, ktorá spája dva pevne zvolené body v priestore s prítomným silovým poľom tak, aby hmotný bod pohybujúci sa po nej prešiel túto vzdialenosť za najkratší čas. Vo svojej práci sa najprv pozriem na korene tejto úlohy, na hlavných predstaviteľov - velikánov matematiky, ktorí úlohu zadali a vyriešili. Opíšem detailne klasickú úlohu o brachystochróne v takom znení, v akom bola pôvodne formulovaná a jej riešenie. Ďalej pridám nejaké počiatočné podmienky a pozriem sa, ako sa zmení riešenie. V hlavnej téme zavediem zovšeobecnenia, ktoré tvoria jadro práce a pomocou metód variačného počtu ich pretavím do diferenciálnej rovnice, ktorú vo svojej práci o kvantovej brachystochróne odvodil Yosuke Okudaira a kol. Na záver pre pohodlie čitateľa uvádzam minimálny súbor poznatkov o variačnom počte, potrebný (v prípade záujmu) k pochopeniu princípu extremalizovania. 9
10 Kapitola Historický úvod Nová výzva pre matematikov 7. storočia, ktorá nakoniec viedla ku vzniku úplne novej teórie v matematickej analýze - Variačného počtu, bola ponúknutá Jánom Bernoullim ( ) uverejnená roku 696 v časopise Acta Eruditorum, ktorého vydavateľom bol G. W. Leibniz (646-76). Úlohou bolo určiť dráhu, ktorá by spájala dva body vo zvislej rovine (neležiace na spoločnej vertikále) a po ktorej by sa hmotný bod pohyboval účinkom tiaže a bez odporu tak, že by z horného bodu dorazil do spodného v najkratšom čase. Bernoulli doslova píše: Zmyslom úlohy je nájsť medzi nekonečne veľa krivkami spájajúcimi oba body takú, pozdĺž ktorej, ak by bola nahradená príslušnou tenkou zakrivenou trubicou, by vložená a voľne vypustená gulička dospela do druhého bodu za najkratší čas. Aby som však vylúčil akúkoľvek dvojznačnosť, pripomínam výslovne, že prijímam Galileovu hypotézu, o ktorej žiadny rozumný geometer nepochybuje, podľa ktorej, keď nedbáme na odpor pohybu, sa rýchlosť padajúceho telesa mení s druhou odmocninou z prekonaného výškového rozdielu. Leibniz predostretý problém sám posúdil a napísal, že ide o: "Veľmi krásnu a neslýchanú úlohu". Výzvu Jána Bernoulliho prijali jeho starší brat Jakub Bernoulli ( ), Leibniz, L Hospital (66-704), Newton (64-77) a Huygens (69-695). Každý z nich podal správne riešenie. Nejjednoduchšie riešenie však podal sám Jan Bernoulli. Vychádzal z Fermatovho princípu, ktorý poznáme z optiky. Princíp vysvetľuje lom svetla v prostredí s rôznymi optickými hustotami. Lúč svetla sa šíri a na rozhraní dvoch prostredí láme tak, aby nestratil ani nanosekundu a prišiel z bodu A do bodu v B v čo najkratšom čase. Lúč prechádza prostredím, v ktorom se šíri rýchlosťou v, a dopadá do prostredia s rýchlosťou šírenia v. 0
11 Z obrázka ľahko odvodíme rovnicu: Obrázok.: Putovanie svetelného lúča t(x) = h + x v + h + (a x) v (.) Aby sme našli minimum funkcie t(x), musíme si zaderivovať a "zanulovať": t (x) = Obrázok nás zvádza urobiť jednoduché substitúcie: sin α = x v h + x a x v h + (a x) = 0 (.) x v h + x sin(90 β) = a x v h + (a x)
12 Vzťah sinα v v, ktorý sme dostali, nápadne pripomína Snellov zákon lomu, pretože to je Snellov zákon lomu. Tu si treba všimnúť metódu, ktorá viedla (veľmi jednoducho) k riešeniu. Vyšetrovaním extrémnych bodov funkcie nám dáva možnosť riešiť mnohé praktické problémy napr. aké rozmery má mať sud na pivo, aby mal pri danom povrchu maximálny objem a krčmár mal z neho maximálnu radosť. = sin(90 β) Vráťme sa teraz k našej brachystochróne. Úloha nájsť brachystochrónu a dráhu svetelného lúča majú významné spoločné črty: obe majú jediné riešenie, ktoré by sme naozaj pozorovali, keby sme pozorovali. intuitívne cítime (a pri jednej z nich sme sa o tom presvedčili), že ide o hľadanie akýchsi extrémov. Kým doteraz sme hľadali extrém funkcie, teraz budeme hľadať akúsi extrémnu funkciu, čo zo všetkých možných funkcií spájajúcich dva pevné body má práve tú vlastnosť, že je brachystochrónou. Patrilo by sa ešte spomenúť Bernoulliho riešenie. To on si všimol analógiu s optikou a problém vyriešil takto: Kľúčová myšlienka, ktorá Barnoulliho priviedla k riešieniu spočívala v tom, že si uvedomil, že extremálne správanie má nielen celá krivka, ale každá jej časť. Na základe tohto predpokladu musí platiť: sin α v = v dx ds = v + y = konst (.3) Písmenko v označuje okamžitú rýchlosť, ktorá sa vypočíta zo zákona zachovania energie, pričom v bode [0, 0] je energia nulová, ako vidno z obrázka (.) A teda v = gy Z toho dostaneme: y( + y ) = konst, alebo tiež y( + y ) = konst (.4) Problém sa týmto zvrhol na pátranie po funkcii spĺňajúcej rovnicu (.4).
13 Obrázok.: Očakávaný tvar brachystochróny Bernulli videl v rovnici (.4) krivku - cykloidu, ktorú veľmi dobre poznal (ja by som to tam určite nenašiel ani s baterkou). Cykloida v násilnom tvare y(x) sa dá parametrizovať napr. parametrom ϕ : x = aϕ a sin ϕ y = a a cosϕ = a sin ϕ Skúsme to dosadiť do (.4). Potrebujeme ešte prvú deriváciu: y (x) = dy dϕ dx dϕ = a sin ϕ a( cosϕ) = sin ϕ cos ϕ cos ϕ + sin ϕ = sin ϕ cos ϕ sin ϕ = arctan ϕ Teraz už máme všetko. Otestujme teda Bernulliho riešenie: a sin ϕ ( + cos ϕ ) sin ϕ = a = konst. Všetko je teda v poriadku. 3
14 Ostáva ešte obrázok, ako taká brachystochróna vyzerá. Kružnica sa kotúľa po osi x a pevný bod P, ktorý na nej leží, kreslí cykloidu. Obrázok.3: Brachystochrona Na záver tejto kapitoly, ktorá nesie názov Historický úvod sa patrí spomenúť niečo zo života jedného z najväčích matematikov všetkých čias, Leonharda Eulera. Leonhard Euler sa narodil 5. apríla 707 v Bazileji (Švajčiarsko). Prvým učiteľom matematiky mu bol jeho otec Paul Euler, protestantský kňaz. Už ako 4 ročný začal študovať na Univerzite. Johann Bernoulli, jeho súkromný učiteľ, v ňom rýchlo objavil nadanie na matematiku. Stal sa magistrom filozofie a študoval aj teológiu. Získal druhé miesto vo Veľkej cene vypísanej Parížskou akadémiou za svoje riešenie problému najlepšieho umiestnenia stožiarov na lodi. 7. mája 77 prišiel do St. Petersburgu, kde bol menovaný členom matematicko-fyzikálneho oddelenia tamojšej Akadémie vied. Z finančných dôvodov slúžil ako poručík zdravotnej služby ruského námorníctva, kým sa v roku 730 nestal profesorom fyziky a riadnym členom Akadémie. Zaoberal sa kartografiou, vedeckým vzdelávaním, magnetizmom, mechanickými strojmi a stavbou lodí. V matematike teóriou čísel, diferenciálnymi rovnicami, variačným počtom a racionálnou mechanikou. V roku 740 vyhral veľkú cenu Parížskej akadémie. Politická situácia v Rusku ho donútila odísť do Berlína, kde sa stal riaditeľom oddelenia matematiky na novozaloženej Akadémii vied. Za 5 rokov tu publikoval 380 článkov. Napísal knihy o variačnom počte, o výpočtoch dráh planét, o delostrelectve a balistike, o stavbe lodí, o námornej navigácii, o pohybe Mesiaca. Po nezhodách s kráľom Friedrichom Veľkým odišiel späť do St. Petersburgu, kde však úplne stratil zrak. Polovicu svojej vedeckej práce publikoval, aj keď bol úplne slepý. Po jeho smrti v roku 783 Akadémia v St. Petersburgu ešte 50 rokov publikovala dovtedy nepublikované práce. 4
15 Kapitola Riešenie klasickej brachystochróny. Riešenie brachystochróny v homogénnom gravitačnom poli.. Riešenie s nulovou počiatočnou rýchlosťou Všeobecné riešenie Aby nebol názov pre čitateľa mätúci, upresním ho. Ide o pohyb hmotného bodu v homogénnom gravitačnom poli medzi bodmi neležiacimi na spoločnej vertikále ani horizontále s nulovou počiatočnou kinetickou energiou. Pozri obrázok (.). Nech bod A má súradnice [0, h] a bod B [x B, y B ]. Tak, ako väčšina suchozemských stavovcov z fyziky veľa neviem, ale vzľah pre okamžitú rýchlosť v = ds ds si ešte zo základnej školy pamätám. Z toho si vyjadrím čas: dt =. dt v Doba pádu hmotného bodu je t = B A ds v (.) Rýchlosť vypočítame zo zákona zachovania energie mv + mgy = mgh v = g(h y) (.) 5
16 Pytagorovu vetu tiež náhodou poznám. ds = (dx) + (dy) Po malej úprave: ( ) dy ds = + dx = + y dx dx (.3) Po dosadení (.) a (.3) do (.) dostanem konečný tvar funkcionálu t[y] = x B x A + y dx (.4) g(h y) Vidíme, že vo funkcii za integračným znakom sa explicitne nevyskytuje x. Použijem preto Druhý integrál (4.6), ktorého odvodenie sa nachádza v poslednej kapitole. y + y + y y g(h y) g(h y) = C(konst) Výraz g(h y) od y nezávisí, preto ho môžem dať na druhú stranu rovnice. y + y y + y = C g(h y) Po zderivovaní dostávame y + y + y = C g(h y) = C g(h y)( + y ) Konštanta C musí byť nutne záporná. / C g(h y) = y / / (...) (...). + y 6
17 Rovnica y = gc (h y) gc (h y) (.5) je príjemná separovateľná. Integrujme ju! gc (h y) gc (h y) dy = Ponúka sa nám tu goniometrická substitúcia gc (h y) = sin ϕ gc dy = sin ϕ cosϕdϕ dx Zámerne som zvolil sínus na druhú, aby parameter ϕ bol v čase t = 0 (y = h) nulový. x = sin ϕ sin ϕ cosϕdϕ = sin ϕdϕ = gc cos ϕ gc = ( cos ϕ)dϕ = gc 4gC(ϕ sin ϕ) + D Aby mi krivka neutekala do IV. kvadrantu, zamením parameter ϕ za ϕ. Aby sa na to lepšie pozeralo, prihodím k tomu ešte zámenu ϕ ϕ. Už ostáva len zverejniť (zatiaľ) beta verziu brachystochróny { } x = (ϕ sin ϕ) + D 4gC y = h sin ϕ = h cos ϕ gc 4gC Koeficient je konštanta s rozmerom dĺžky, nazvem si ju R nie úplne náhodne, 4gC pretože tuším, že pôjde o polomer nejakej kružnice, keďže sa vyskytuje raz pred sínusom a raz pred kosínusom. A teda { } x = R(ϕ sin ϕ) + D y = h R sin ϕ = h R( cosϕ) (.6) Vidíme, že ide o kružnicu, ktorá je posunutá v x-ovom smere o D a o Rϕ a v y-ovom smere o h R. Parameter ϕ môže byť len z intervalu < 0, π). Je to preto, aby som odstrihol periodické riešenie. 7
18 Okrajové podmienky Všeobecné riešenie by sme mali. Chýbajú ešte okrajové podmienky, ktoré mi niečo pošepkajú o konštantách R a D. Dosaďme teda bod A[0, h] 0 = R(ϕ sin ϕ) + D h = h R( cos ϕ) Z druhej rovnice vidno, že ϕ = 0. To dosadíme do prvej rovnice a vyjde mi, že D = 0. { } x = R(ϕ sin ϕ) (.7) y = h R( cos ϕ) Ale čo s R? Keď sa pokúsime dosadiť bod B[x B, y B ] do všeobecného riešenia (.7), dostaneme niečo takéhoto: ( x B = R arccos h y ) ( B h y ) B R R Deväť z desiatich psychiatrov neodporúča zisťovať z toho, čomu je rovné R! Krivka nepredá svoju kožu lacno, ale na bielu vlajku je ešte čas. Poďme sa pozrieť aspoň zhruba na jej tvar. Zderivujme parametrické rovnice a položme túto deriváciu rovnú nule. 0 = dy dy dx = dϕ = dx dϕ R sin ϕ R( cos) = sin ϕ cosϕ } ϕ = 0, π, π Týmto zistíme kde má brachystochróna minimum (je jasné, že ide o minimum). Z rovnice vypadlo R závislé na okrajových podmienkach. Možno povedať, že každá cykloida daného tvaru má vo ϕ = π svoje minimum. Prípady, keď ϕ = 0 a ϕ = π sú nezaujímavé a určite nesúvisia s minimom krivky. Položme ϕ = π do (.7). Dostaneme x min = Rπ y min = h R( cos π) = h R Ak vylúčime R-ko, zostane nám závislosť x min = π (h y min). 8
19 . Ak som si náhodou zvolil okrajové pomienky tak šikovne, že x B = π (h y B), potom viem povedať, že krivka začína vo svojom maxime v bode A a končí vo svojom minime v bode B. Viem dokonca určiť polomer: R = h y min. Niekomu sa možno viac páči, keď x B < π (h y B). V tom prípade s využitím rovníc (.7) vylezie podmienka R(ϕ sin ϕ) < π R( cosϕ) Výraz ( cosϕ) je na (0, π) určite kladné číslo. Preto možno napísať: ϕ sin ϕ cosϕ < π Chystáme sa zistiť, či ϕ < π alebo ϕ > π? Nech ϕ = π + ε. Podľa toho, či je ε kladné alebo záporné, zistím aké je ϕ. π + ε sin(π + ε) cos(π + ε) = π + ε [sin π cosε + cosπ sin ε] [cosπ cosε sin π sin ε] = π + ε + sin ε + cosε Bez ohľadu na ε platí odhad π + ε + sin ε < π + ε + sin ε + cosε < π } ε < 0 Uhol ϕ nedosiahne hodnotu π. Vskutku vieme povedať, že krivka padá zo svojho maxima v bode A do svojho minima v bode B. Polomer kružnice R > h y min 3. Rozoberme si ešte to, čo nám ostalo, a síce x B > π (h y B) R(ϕ sin ϕ) > π R( cosϕ) Výraz ( cosϕ) je na (0, π) opäť kladné číslo. Preto možno napísať: π + ε + sin ε + cos ε = ϕ sin ϕ cosϕ > π / π 9
20 ε + sin ε π + ε + sin ε π π cosε > } + {{ cos ε } ( + cosε) >0 > 0 ε > 0 Uhol ϕ počas svojho života presiahne π. Krivka spája body A a B a na svojej ceste pritom dosiahne svoje minimum, ktoré je rôzne od bodov A a B. Polomer kružnice musí byť R > h y min. Priamka x = π (h y) tvorí akúsi deliacu čiaru pre tvar krivky. Pod touto čiarou má brachystochróna tvar, nad ňou má tvar 3... Riešenie s nenulovou počiatočnou rýchlosťou Nech teraz hmotný bod padá z výšky h z bodu A[0, h] do bodu B[x B, y B ] s počiatočnou rýchlosťou v 0. Problém vyriešime lišiacky. Budeme sa tváriť, že riešime inú brachystochrónu začínajúcu v nejakom A [?,?], ktorá len tak náhodou prechádza bodom A[0, h] s sýchlosťou v 0 a ponáhľa sa do B[x B, y B ]. Rýchlosť HB v ľubovoľnom bode [x, y] vypočítam zo ZZE. mv + mgy = mv 0 + mgh v = v0 + g(h y) Pod odmocninou teraz dôjde k malej reorganizácii členov: ( ) v = g h + v 0 g y = g(h y) Zostavme funkcionál. t[y] = x B x A + y g(h y) dx Teraz to vidno. Pohyb hmotného bodu z výšky h s počiatočnou rýchlosťou v 0 je rovnaký ako pohyb toho istého hmotného bodu z väčšej výšky H s nulovou počiatočnou rýchlosťou. Jeden otáznik sme vyriešili. Máme A [?, h+ v 0 ]. Teraz sa musím spýtať, o koľko g musíme posunúť počiatočnú podmienku doľava, aby sa nič nezmenilo? V rovniciach (.6) je toto tajomstvo ukryté. 0
21 { x = R(ϕ sin ϕ) + D y = H R( cosϕ) Potrebujem vedieť, pre ktoré ϕ je y = h. Pozrime sa na druhú rovnicu z (.6). ( ) h = h + v 0 R( cosϕ) ϕ = arccos v 0 g gr Do prvej rovnice dosadíme naše dlhé ϕ a x = 0 a zistíme, čomu je rovné D. [ ( ) ( ) ] D = R arccos v 0 v0 v 0 gr gr gr Záver je taký, že brachystochróna s počiatočnou rýchlosťou v 0 z bodu A[0, h] do bodu B[x B, y B [ ] je rovnaká ako brachystochróna s nulovou počiatočnou rýchlosťou z bodu ( ) ( ) A [ R ] ] arccos v 0 v0 v 0, h + v 0 do bodu B[x gr gr gr g B, y B ]. }
22 Kapitola 3 Zovšeobecnená brachystochróna 3. Zavedenie funkcionálu Začneme ako inak najjdednoduchším prípadom a ten zovšeobecníme. Skôr, ako sa pozrieme, aké členy vystupujú vo funkcionáli t = B A ds v (3.) vynásobme čitateľ aj menovateľ (z dôvodov, ktoré sa ukážu neskôr pri postupnom zovšeobecňovaní) výrazom m t = B A mds B = mv A mds B = mv A mds T (3.). Dráhový element ds určuje metriku daného priestoru. Dá sa rozpísať takto: ds = (dx) + (dy) ale aj takto: ds = ( dx dy ) ( 0 0 ) ( dx dy ) (3.3) Tá matica v strede tej odmocniny sa nazýva metrický tenzor. Je jednotková, lebo ide o euklidovský priestor v kartézskych súradniciach. Dráhový element v polárnych súradniciach bude vyzerat kúsok inak.
23 ds = ( dr dϕ ) ( 0 0 r ) ( dr dϕ ) (3.4) Kto by rád matice 3x3, uvediem ds vo sférických súradniciach: ds = ( dr dϑ dϕ ) r r sin ϑ dr dϑ dϕ Bystré oko si všimne, že vo všeobecnosti možno ds vyjadriť ako ds = g ij dq i dq j (3.5) Zaveďme parametrizáciu nejakým všeobecným parametrom x ds = g ij q iq jdx (3.6). Predpokladáme, že silové pole je potenciálové, platí zákon zachovania energie (pre sústavu n hmotných bodov): m g ij vi v j + m g ij vi v j + m ng ij vi n vn j + U = E Tento pohyb n hmotných bodov v k-rozmernom priestore možno tiež chápať ako pohyb jediného hmotného bodu v n k rozmernom priestore. V ňom pozorujeme akési zovšeovecnené rýchlosti v i = (vi, v i,..., vn i ) a tenzor kinetickej energie T ij = (m g ij, m g ij,..., m n g ij ) vystupuje ako bloková matica. Tvar T ij, ktrorý som uviedol, nemusí byť vo všeobecnosti taký jednoduchý. Ak rátame s väzbami medzi jednotlivými bodmi, pribudnú aj nediagonálne členy! V tomto zovšeobecnenom n k-rozmernom priestore možno zákon zachovania energie formulovať v jednoduchom tvare T ijv i v j +U = E }{{} T Z toho ľahko vyjadríme bilineárnu formu T reprezentujúcu kinetickú energiu T = E U (3.7) Vzhľadom na novozavedený n k-rozmerný priestor rýchlostí treba upraviť výraz (3.6). To, čo by platilo pre jediný hmotný bod mds = mg ijq iq jdx = T ij q iq jdx 3
24 bude platiť podobne v našom zovšeobecnenom prípade mds m g ij q i q j + m g ij q i q j + dx = T ij q iq j Skonkrétnime teda funkcionál (3.). Celý výraz t = B A Tij q iq j T dx = B A T T ijq iq j dx T T ijq iq j si môžeme predstaviť ako nejaký lagranžián L. 4
25 3. Variačný problém Napíšme Eulerove rovnice d L dx q k pre náš lagranžián L = T ij q iq j bez T. L q k = 0 L q k d L dx q k L q k = T ij q iq j = q k L (T ik + T ki )q i = L T kiq i = d [ ] dx L T kiq i = L LT ki q i + T ki q L q iq j + j L T kiq i = = L LT ki q i + ( Tki + T ) kj + ( Tki T ) kj L q j q i q j q i q iq j + }{{}}{{} symetrický + L T kiq i = L LT ki q i + L = Tij q iq j = T ij q q k L q iq j k ( Tki q j + T kj q i antisymetrický ) q iq j + L T kiq i Teraz už zostáva len poukladať tieto kúsky a postaviť z nich Eulerove rovnice. L LT ki q i + ( Tki + T kj T ) ij q L q j q i q iq j + k L T kiq i = 0 (3.8) }{{} Γ kij Výraz Γ kij sa učene nazýva Christoffelov symbol prvého druhu. Prenásobme teraz rovnicu (3.8) Lagranžiánom a potom zľava inverzným tenzorom T lk. T lk Γ kij q }{{} iq j + T lk T ki q }{{} i = Γ l δ li ij L L T lk T }{{ ki } δ li q i q l + Γ l ij q iq j = L L q l (3.9) Γ l ij v rovnici (3.9) voláme Christoffelov symbol druhého druhu a L, ktoré už dlho používam je totálna derivácia lagranžiánu. 5
26 Učiňme zámeny: L L T T ij T T ij Tij TTij a zistime ako sa zmenia členy, ktoré vystupujú v rovnici (3.9) ( Γ kij T Γ kij T T T ki + T kj T 3 q j q i ( Γ l ij = T lk Γ kij Γ l ij T δ li T q j L L (L/ T) (L/ T) = L T + δ lj q i T L T Rozpíšme teraz rovnicu (3.9) podľa týchto nových výrazov: q l+γ l ijq iq T j q T q jq l + T q j T q iq l i }{{} T q T q j q l j T T T ij q k T lk T T ij q k T L = L L T T ij q iq j }{{} L T lk T T T q k ) = ) ( L L Ako vidíme, prvý a druhý člen vo veľkej okrúhlej zátvorke sú rovnaké, líšia sa len sumačným indexom. V treťom člene spoznávame lagranžián. Uvedomme si, že T T sa dá napísať ako q i ln T. člen T na pravej strane rovnice sa dá vyjadriť tiež ako T T q i q i a tiež ako q i q i ln T. T q l + Γ l ijq iq j q lq j q j ln T + L T lk q k ln T = L L q l q lq k q k ln T Index j v treťom člene je iba sumačný. Možno ho nahradiť napríklad k-čkom, aby sme mohli dať všetky členy s logaritmom energie dokopy q l + Γ l ij q iq j = ( ) q lq k L T lk qk ln T + L L q l (3.0) T )q l T q i 6
27 Energiu T v rovnici (3.0) nahraďme výrazom (3.7), ktorý sme vyťažili zo zákona zachovania energie. Dostaneme tak konečný tvar rovnice zovšeobecnenej brachystochróny vo všeobecnom parametri x. q l + Γ l ijq iq j = ( ) q lq k L T lk qk ln E U + L L q l (3.) 3.3 Prirodzený parameter krivky Konkurz na prirodzený parameter krivky určite vyhrá jej dĺžka meraná od jej zvoleného počiatku. Vyhrá hlavne preto, lebo nemá žiadnych súperov. Tento parameter (označme ho s) možno vyjadriť ako: s = x x 0 s T ij q iq j dx = }{{} ds }{{} s L 0 L Lagranžián sa v prirodzenom parametri zjednoduší na L =. Rovnica zovšeobecnenej brachystochróny v prirodzenom parametri bode vyzerať takto: q l + Γ l ij q iq j = ( ) q lq k T lk qk ln E U (3.) Posledný člen z rovnice (3.) vypadol, lebo L = 0. Nakoniec by nebolo odveci overiť našu rovnicu (3.) na jednoduchom príklade, pre ktorý je výhodnejšie použiť všeobecný parameter. 7
28 3.4 Kanónom na vrabce 3.4. Klasická brachystochróna z podkapitoly.. V euklidovej rovine s klasickou euklidovskou metrikou je metrický tenzor rovný kronekerovej delte g ij = δ ij a tenzor kinetickej { energie } T ij = mδ ij. q = x Zvoľme si súradnice tak ako sa patrí. q = y Parameter nech je x. { } q V takejto parametrizácii budú derivácie vyzerať takto: = q = y. Poďme sa pozrieť ako budú vyzerať jednotlivé členy v rovnici (3.) Christoffelov symbol druhého druhu Γ l ij bude nulový, pretože derivácie v ňom vystupujúce, pôsobiace na kroneker dávajú nuly. Rýchlosť v homogénnom gravitačnom poli sa vypočíta z rovnice (3.7). T = E U = (mgh mgy) = mg(h y) Pozrime sa na prvý člen na pravej strane rovnice (3.): q lq k q k ln mg(h y) = q l Nasleduje lagranžián L = T ij q iq j = ln mg(h y) x } {{ } 0 m δ ijq iq j = Keď už máme lagranžián, upravme ďalší člen + lnmg(h y) q ly = y y (h y) q l m q + q = m + y ( ) L T lk q k ln mg(h y) = + y ln mg(h y) q l Ostal nám už len dekoračný doplnok L L q l L L q l = d + y L dx q l = y L L y q l = y y + y q l 8
29 Dajme to všetko dokopy. Nech l =. Potom rovnica y = + y (h y) (3.3) ktorá z toho vzíde by mala predstavovať rovnicu klasickej brachystochróny. Skúsme, či parametrické rovnice brachystochróny (.7) riešia rovnicu (3.3) Najskôr vypočítajme y = dy dy dx = dϕ = sin ϕ cos ϕ a a teraz dosaďme do (3.3) dx dϕ dx dϕ y = dy dy dx = dϕ = sin ϕ (cos ϕ ) cos ϕ R(cosϕ ) 3 cosϕ R(cosϕ ) = + 3 R(cosϕ ) = (cosϕ ) + sin ϕ = 3 R(cosϕ ) 3 Zostavme rovnicu pre l = y = y (h y) + + y (h y) + y y + y ktorá sa po krátkej úprave ukáže byť totožná s rovnicou (3.3) cosϕ R(cos ϕ ) 3 Zistili sme, že klasická brachystochróna je riešením rovnice (3.) Takto sme na jednoduchom príklade overili diferenciálnu rovnicu zovšeobecnenej brachystochróny. 9
30 Kapitola 4 Základy variačného počtu 4. Nutná podmienka pre extremálu Budeme sa zaoberať varírovaním špeciálnej funkcie F(x, y, y ) Definícia Nech B je množina funkcií. Zobrazenie F[y] : B R nazývame funkcionálom na množine B. Definícia y A, y(b) = B C < a, b > y, y, y sú spojité na intervale < a, b > a y(a) = Definícia 3 Na množine C < a, b > je definovaná metrika tak, že u(x), v(x) C < a, b > platí: (u, v) = max u v + max x <a,b> x <a,b> u v Definícia 4 O ε [y(x)] := { } u(x) C < a, b >: (u(x), y(x)) < ε Definícia 5 Funkciu y(x) nazývame relatívnym maximom funkcionálu F[y] práve vtedy, keď: O ε [y] y O ε [y] : F[y] < F[y] 30
31 Definícia 6 Funkciu y(x) nazývame relatívnym minimom funkcionálu F[y] práve vtedy, keď: O ε [y] y O ε [y] : F[y] > F[y] Definícia 7 Relatívne maximum resp. minimum funkcionálu F[y] nazývame extremálou funkcionálu. Veta (Zákládná lemma variačného počtu) Nech f(x) je spojitá na intervale < a, b > Nech η(x) a η (x) sú spojité na < a, b > a η(a) = η(b) = 0 Nech η(x) C < a, b > : potom f(x) 0 x < a, b > b a f(x)η(x)dx = 0 Dôkaz Vety (Sporom) Vetu znegujeme a upravíme podľa schémy: ( (a b)) (a ( b)). Ukážeme, že negovaná veta neplatí, čiže platí pôvodná veta. Tak teda, nech f(x) nie je identicky rovná nule. Z toho vyplýva, že x 0 < a, b > také, že f(x 0 ) > 0 (so zápornou f(x) to ide tovnako dobre). Zo spojitosti vyplýva, že ξ, ξ : f(x) > 0 na < ξ, ξ > 0 pre x (a, ξ ) Definujeme funkciu: η(x) = (x ξ ) (x ξ ) pre x < ξ, ξ > η(x) je iste 0 pre x (ξ, b) spojitá na < a, b > a η(a) = η(b) = 0. Overme spojitosť jej derivácie: η (x) : 0 pre x (a, ξ ) η (x) = (x ξ )(x ξ )(x ξ ξ ) pre x < ξ, ξ > η (x) je očividne spojitá na intervale < a, ξ ) (ξ, ξ) (ξ, b > 0 pre x (ξ, b) Problémy by mohli nastať v bodoch ξ,ξ. Poďme sa teda presvedčiť aj tam je spojitá. Našou podmienkou spojitosti bude: To isté musí platiť v bode ξ. lim x ξ η (x) = lim x ξ + η (x) lim x ξ + η (x) = lim x ξ + lim x ξ η (x) = lim 0 = 0 (4.) x ξ (x ξ )(x ξ )(x ξ ξ ) = 0 (4.) 3
32 Obrázok 4.: Funkcia eta Zo (4.) a (4.) vyplýva spojitosť η (x) v bode ξ lim x ξ + η (x) = lim x ξ + lim η (x) = lim 0 = 0 (4.3) x ξ x ξ (x ξ )(x ξ )(x ξ ξ ) = 0 (4.4) Zo (4.3) a (4.4) vyplýva spojitosť η (x) v bode ξ čiže η(x),η (x) sú spojité na < a, b > η(x) by malo platiť, že Ale b a b f(x)(x ξ ) (x ξ ) dx = a f(x)η(x)dx = 0 ξ To je spor. Týmto je veta dokázaná. ξ f(x) }{{} >0 na <ξ,ξ > (x ξ ) (x ξ ) dx > 0 }{{} >0 na <ξ,ξ > } {{ } >0 na <ξ,ξ > 3
33 Veta Nutná podmienka pre extremálu funkcionálu. Nutnou podmienkou k tomu, aby funkcia y(x) C < a, b >,spĺňajúca okrajové podmienky y(a) = A, y(b) = B, bola extremálou funkcionálu J[y] = b F(x, y(x), y (x))dx a je podmienka, že y(x) musí byť riešením Eulerovej diferenciálnej rovnice: d F dx y F y = 0 Dôkaz Nutnej podnienky. Budeme predpokladať, že: F, F x, F, F, F, F F, y y x y, F, F, F sú spojité a y(x) y x y x y y y C < a, b > y je minimom funkcionálu J[y] O ε [y] y O ε [y] : J[y] J[y] Definujme si množinu prípustných funkcií y(x, α) = y(x) + α η(x) Funkcia η(x) je spojitá, má spojitú prvú deriváciu na intervale < a, b > a spĺňa okrajové podmienky: η(a) = η(b) = 0 Nech y(x, α) patrí ε-okoliu y Aké obmedzenie z toho plynie pre parameter α? (y, y + α η) = max y + α η + max x <a,b> x <a,b> y + αη y = [ ] = α max η(x) + max x <a,b> x <a,b> η (x) < ε }{{} M A teda: ε M < α < ε M Pre každú zvolenú funkciu η(x) sa dá nájsť príslušné α. Fixujme teraz η(x). V ε-okolí extremály platí: J[α] = b a F(x, y + α η, y + α η )dx Namiesto funkcionálu máme zrazu obyčajnú funkciu premennej α. Táto funkcia má zrejme v bode α = 0 lokálne minimum. Ak chcem použiť nutnú podmienku existencie lokálneho extrému funkcie, musím dokázať, že F[α] je diferencovateľná v premennej α. 33
34 Funkcia je diferencovateľná v nejakom bode práve vtedy, keď v tomto bode existuje derivácia. Poďme sa presvedčiť: dj[α] b dα = a y {}}{{}}{ df(x, y + α η, y + α η ) dx = dα y b a F y η + F dx y η V bode α = 0 je: dj[α] dα = α=0 b a F y η + F y η dx Posledný integrál určite existuje, pretože všetky funkcie za integračným znakom sú podľa predpokladov spojité. F[α] je teda diferencovateľná a má lokálne minimum v bode α = 0 dj[α] dα = 0 α=0 0 = df[α] dα = = b a b a F y = α=0 b a F x=b ηdx + y η x=a }{{} F y η + F b y η dx = 0 b ( F y d ( )) F dx y η(x)dx }{{} f(x) a a F b y ηdx + ( ) d F dx y ηdx = a F y η dx = Podľa základnej lemmy f(x) 0. Tým je dôkaz hotový. 34
35 4. Špeciálne zjednodušenia Eulerovej rovnice 4.. Prvý Eulerov integrál Aká bude podmienka extremály pre funkciu F(y, y, x), v ktorej sa nevyskytuje y? Napíšme Eulerovu rovnicu. d F(y, x) F(y, x) dx y y }{{} 0 = 0 Ak sa však derivácia niečoho rovná nule, potom to niečo je konštanta. F y = konst (4.5) Ak namiesto Eulerovej rovnice vezmeme Lagrangeovu rovnicu, výraz (4.5) predstavuje zákon zachovania zovšeobecnenej hybnosti k jednej zovšeovecnenej súradnici konfiguračného priestoru. 4.. Druhý Eulerov integrál Ak sa vo varírovaniachtivej funkcii F(y, y, x) explicitne nevyskytuje x, diferenciálna rovnica, z ktorej vylezie extremála vyzerá takto: Pokúsme sa ju odvodiť. Zderivujme funkciu F(y, y ) podľa x. y F F = konst (4.6) y df(y, y ) dx = F y y x + F y y x = F + F y y y y = = d ( ) F d F y + F dx y y dx y y y = = d ( ) ( F d F + F ) y = d ( ) F dx y y dx y y dx y }{{} y 0 Dajme derivácie na jednu stranu. 35
36 Výraz v zátvorke je určite konštanta. Náš špeciálny prípad teda vyzerá takto: ( ) d F df dx y y dx = d ( ) F F = 0 dx y y F y y F = konst Na pôde lagranžiánov nezávislých od času rovnica predstavuje zákon zachovania energie. 36
37 Záver V tejto práci sme sa venovali výpočtom súvisiacim so zovšeobecnenou brachystochrónou. Tento pojem zaviedli Okudaira a kol. v prácach, ktoré vyšetrovali istý extremalizačný problém v kvantovej mechanike. Podobne ako obyčajná brachystochróna má minimalizovať čas, za ktorý sa guľôčka zošmykne z bodu A do bodu B (v obyčajnom priestore) pod vplyvom gravitačného poľa, zovšeobecnená brachystochróna je krivka na všeobecnej n-rozmernej riemannovskej variete, ktorá minimalizuje čas prechodu z A do B pod vplyvom všeobecnej potenciálovej sily. V spomínanej práci síce možno nájsť výslednú diferenciálnu rovnicu (v prirodzenom parametri na krivke), nie je tam však jej odvodenie. Cieľom tejto práce bolo túto rovnicu odvodiť (a tým potvrdiť, že vyzerá naozaj tak, ako je v spomínaných prácach prezentovaná. To sa podarilo urobiť, v tretej kapitole podrobne opisujeme, ako sa dá táto rovnica odvodiť a tiež ukazujeme, ako by sa zmenila (skomplikovala), keby sa zapísala cez všeobecný parameter namiesto prirodzeného. Výslednú rovnicu so všeobecným parametrom spätne testujeme na pôvodnej klasickej úlohe, kde sa ako parameter berie súradnica x (či vtedy vedie na cykloidu; ukazuje sa, že vedie). Táto práca by mohla pokračovať skúšaním vyriešenia základných rovníc v nejakej novej situácii, k čome sme sa už nedostali (a nebude to zrejme veľmi jednoduché). 37
38 Literatúra [] Höschl, C.: Historie variačního počtu Ústav termomechaniky AV čr, Praha [] Okudaira, Y., Hosoya,A., Tatsuhiko,K.: Quantum brachistochrone curve [3] Fecko, M.: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov Bratislava, IRIS, 004 [4] O Connor, J.J., Robertson E.F.: Leonhard Euler bibliography history/biographies/euler.html 38
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότεραDiferenciálne rovnice. Základný jazyk fyziky
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa padajúceho v gravitačnom poli.
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότεραDiferenciálne rovnice
Diferenciálne rovnice Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_teaching.html Aktualizované
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότερα18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραSmernicový tvar rovnice priamky
VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραElektromagnetické pole
Elektromagnetické pole Elektromagnetická vlna. Maxwellove rovnice v integrálnom tvare a diferenciálnom tvare. Vlnové rovnice pre E a. Vjadrenie rýchlosti elektromagnetickej vln. Vlastnosti a znázornenie
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότεραMatematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραviacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.
Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
Διαβάστε περισσότεραDomáce úlohy k predmetu MATEMATICKÉ METÓDY TEORETICKEJ FYZIKY. Marián Fecko Letný semester 2016/2017
Domáce úlohy k predmetu MATEMATICKÉ METÓDY TEORETICKEJ FYZIKY Doktorandská prednáška Marián Fecko Letný semester 2016/2017 Úloha č.1 Priamym riešením (stacionárnej) Navierovej-Stokesovej rovnice (v jazyku
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότερα1-MAT-220 Algebra februára 2012
1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol
Διαβάστε περισσότερα