MIDTERM (A) riešenia a bodovanie
|
|
- Ἰωάννης Παχής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude mat jednotková kružnica Q v súradnicovej sústave S 2 := P, u, v, ak v S 1 má stred v začiatku súradnicovej sústavy O? Riešenie: (2b) Sústava S 2 je určená prvkami P = [0, 1], u = (1, 0), v = (0, 2) resp. maticou M 2 := ( u v P ) = (3b) Pre sústavy S 1 a S 2 platí M 1 X 1 = M 2 X 2, x x y 1 = y 2, x x 2 y 1 = y 2, čím získavame transformačné rovnice x 1 = x 2, y 1 = 2 y (1) (2b) Dosadením rovníc (1) do implicitného vyjadrenia jednotkovej kružnice so stredom v začiatku S 1 získavame jej vyjadrenie v súradnicovej sústave S 2 : x y = 0, (x 2 ) 2 + (2 y 2 + 1) 2 1 = 0, x y y 2 = (8b) Určite analytický predpis asymptot kužel osečky Q: 2x 2 4xy + y 2 2x + 6y 3 = Q =
2 Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku hyperbolického typu: = det Q = = 2 4 = 2 < 0 hyperbolický typ. (1b) Asymptoty prechádzajú stredom S kužel osečky, ktorého súradnice získame vyriešením sústavy rovníc s výsledkom S = [ 5 /2, 2]. 2 x 2 y 1 = 0, 2 x + y + 3 = 0 (1b+2b) Smerom asymptoty je asymptotický smer u = (u, v) kužel osečky. Jeho súradnice určíme vyriešením rovnice 2 u 2 4 u v + v 2 = 0. Ked že ide o hyperbolu, očakávame a aj naozaj získame dve rôzne riešenia u 1 = (u 1, v 1 ) = (2 + 2, 2) u 2 = (u 2, v 2 ) = (2 2, 2). Normálovým vektorom asymptoty sú vektory n 1 = (v 1, u 1 ) = (2, (2 + 2)), n 2 = (v 2, u 2 ) = (2, (2 2)). Dosadením súradníc stredu S = [ 5 /2, 2] do rovníc získavame predpis asymptot 3. (10b) Určite množinu stredov kužel osečky 2 x (2 + 2) y + d 1 = 0, 2 x (2 2) y + d 2 = 0 a 1 : 2 x (2 + 2) y = 0, a 2 : 2 x (2 2) y = 0. Q: x 2 xy 2y 2 + x + 13y 20 = 0. Sú medzi nimi singulárne body? Ak áno, určite ich súradnice. Kol ko reálnych komponentov má kužel osečka? Aké sú ich analytické predpisy? 1 1 /2 1/ Q 1 := 1 /2 2 13/ =: Q 2. 1/2 13/ Pre zjednodušenie výpočtov a zápisov budeme používat maticu Q 2.
3 Na základe = det Q 2 = 0, = 8 1 = 9 < 0. vidíme, že ide o singulárnu kužel osečku hyperbolického typu. (2b) Stredom kužel osečky je bod S = [1, 3], lebo jeho súradnice sú riešením sústavy rovníc 2 x y + 1 = 0, x 4 y + 13 = 0. (1b) Súradnice bodu S navyše vyhovujú i rovnici x + 13 y 40 = 0, a teda bod S je singulárnym bodom kužel osečky. (1b) Singulárna kužel osečka hyperbolického typu je tvorená dvoma reálnymi rôznobežkami. Tieto priamky sú hl adané komponenty, ich počet je teda dva. (2b) Smerový vektor každého z komponentov je asymptotickým smerom kužel osečky. Ich súradnice získame vyriešením rovnice 2 u 2 2 u v 4 v 2 = 0, u 2 u v 2 v 2 = 0, (u + v) (u 2 v) = 0, pričom vidíme, že naozaj získavame dva (jednoduché) asymptotické smery u 1 = (u 1, v 1 ) = ( 1, 1), u 2 = (u 2, v 2 ) = (2, 1). (2b) Komponenty kužel osečky sú rôznobežky, pretínajú sa v singulárnom bode (strede) a majú asymptotické smery. Ich normálové vektory sú n 1 = (v 1, u 1 ) = (1, 1), n 2 = (v 2, u 2 ) = (1, 2), ich analytické vyjadrenia sú 4. (10b) Určite predpis dotyčníc kužel osečky v jej priesečníkoch s priamkou y 1 = 0. l 1 : x + y 4 = 0, l 2 : x 2 y + 5 = 0. Q: x 2 y 2 4x + 2y + 1 = Q :=
4 Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku s reálnymi bodmi: = det Q = = 1 < 0 hyperbolický typ. (3b) Priesečníky kužel osečky s priamkou l: y 1 = 0 sú práve body [x, 1]. Jednoduchým dosadením y = 1 získavame rovnicu x 2 4 x + 2 = 0 a po jej vyriešení máme súradnice priesečníkov P 1 = [2 + 2, 1], P 2 = [2 2, 1]. (2,5b + 2,5b) Dotyčnice v bodoch P 1, P 2 sú ich poláry p 1, p 2 s predpismi 5. (10b) Určite rovnicu priemeru kužel osečky prechádzajúcu bodom A = [1, 0]. p 1 : 2 x = 0, p 2 : 2 x = 0. Q: x 2 2xy + 2y 2 + 2x + 2y + 1 = 0 S ktorým smerom v je smer tohto priemeru združený? Existujte nejaký vzt ah medzi v a polárou bodu A? Ak áno, aký a prečo? Q = Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku, jej typ (stredová, nestredová) naznačuje metódu riešenia: = det Q = = 1 0 stredová eliptického typu. (4b) Určíme rovnicu priemeru l. Máme niekol ko možností, napr. si stačí uvedomit, že každý priemer kužel osečky prechádza jej stredom S. Súradnice S = [ 3, 2] získame vyriešením sústavy x y + 1 = 0, x + 2 y + 1 = 0. Smerovým vektorom l je u = S A = ( 4, 2) (2, 1) a normálovým n = (1, 2). Jednoduchým dopočítaním získame analytické vyjadenie priemeru l: x 2 y 1 = 0.
5 (2b) Smer u = (2, 1) priemeru l je združený so smerom v = (v 1, v 2 ) práve vtedy, ak u Q v = ( ) v v 2 = v 1 = 0, čiže ak v = (0, 1). (1b) Polára bodu A = [1, 0] je zadaná rovnicou A Q X = ( ) x y = 2 x + 2 = (1b) Vidíme, že smer poláry Q(A) má súradnice (0, 2), a teda je lineárne závislý so smerom v. Táto závislost nie je náhodná (veta z prednášky). 6. (5b) Uvažujme kužel osečku Q: x 2 + 4xy y 2 + 6y = 0. Rozhodnite, či bod A = [1, 0] je vnútorným bodom Q Q = (1b) Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku: = det Q = 9 0. (2b) Bod A = [a 1, a 2 ] roviny leží vonku resp. vo vnútri kužel osečky Q zadanej kvadratickou formou q(x, y) := x 2 + 4xy y 2 + 6y práve vtedy, ak q(a 1, a 2 ) má rôzne resp. rovnaké znamienko ako, t.j. A Int(Q) sgn q(a 1, a 2 ) = sgn q(a 1, a 2 ) < 0, A Ext(Q) sgn q(a 1, a 2 ) sgn q(a 1, a 2 ) > 0. Táto podmienka je zjavne ekvivalentná s podmienkou z prednášky, kedy A Int(Q) q(a 1, a 2 ) > 0, A Ext(Q) q(a 1, a 2 ) < 0. (1b) Po dosadení A = [1, 0] vidíme, že q(1, 0) = 1 > 0. (1b) Bod A = [1, 0] nie je vnútorným bodom kužel osečky.
6 MIDTERM (B) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [1, 0], u = 2 e 1, v = e 2. Aký predpis bude mat jednotková kružnica Q v súradnicovej sústave S 2 := P, u, v, ak v S 1 má stred v začiatku súradnicovej sústavy O? Riešenie: (2b) Sústava S 2 je určená prvkami P = [1, 0], u = (2, 0), v = (0, 1) resp. maticou M 2 := ( u v P ) = (3b) Pre sústavy S 1 a S 2 platí M 1 X 1 = M 2 X 2, x x y 1 = y 2, x x 2 y 1 = y 2, čím získavame transformačné rovnice x 1 = 2 x 2 + 1, y 1 = y 2. (2) (2b) Dosadením rovníc (2) do implicitného vyjadrenia jednotkovej kružnice so stredom v začiatku S 1 získavame jej vyjadrenie v súradnicovej sústave S 2 : x y = 0, (2 x 2 + 1) 2 + (y 2 ) 2 1 = 0, 4 x x 2 + y 2 2 = (8b) Určite analytický predpis asymptot kužel osečky Q: x 2 2xy 3y 2 4x 6y + 3 = Q =
7 Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku hyperbolického typu: = det Q = = 3 1 = 4 < 0 hyperbolický typ. (1b) Asymptoty prechádzajú stredom S kužel osečky, ktorého súradnice získame vyriešením sústavy rovníc s výsledkom S = [ 3 /4, 5 /4]. x y 2 = 0, x 3 y 3 = 0 (1b+2b) Smerom asymptoty je asymptotický smer u = (u, v) kužel osečky. Jeho súradnice určíme vyriešením rovnice u 2 2 u v 3 v 2 = 0. Ked že ide o hyperbolu, očakávame a aj naozaj získame dve rôzne riešenia u 1 = (u 1, v 1 ) = (3, 1) u 2 = (u 2, v 2 ) = ( 1, 1). Normálovým vektorom asymptoty sú vektory n 1 = (v 1, u 1 ) = (1, 3), n 2 = (v 2, u 2 ) = (1, 1). Dosadením súradníc stredu S = [ 3 /4, 5 /4] do rovníc získavame predpis asymptot 3. (10b) Určite množinu stredov kužel osečky x 3 y + d 1 = 0, x + y + d 2 = 0 a 1 : x 3 y 9 /2 = 0, a 2 : x + y + 1 /2 = 0. Q: x 2 + xy 2y 2 x + 13y 20 = 0. Sú medzi nimi singulárne body? Ak áno, určite ich súradnice. Kol ko reálnych komponentov má kužel osečka? Aké sú ich analytické predpisy? 1 1/2 1 / Q 1 := 1/2 2 13/ =: Q 2. 1 /2 13/ Pre zjednodušenie výpočtov a zápisov budeme používat maticu Q 2.
8 Na základe = det Q 2 = 0, = 8 1 = 9 < 0. vidíme, že ide o singulárnu kužel osečku hyperbolického typu. (2b) Stredom kužel osečky je bod S = [ 1, 3], lebo jeho súradnice sú riešením sústavy rovníc 2 x + y 1 = 0, x 4 y + 13 = 0. (1b) Súradnice bodu S navyše vyhovujú i rovnici x + 13 y 40 = 0, a teda bod S je singulárnym bodom kužel osečky. (1b) Singulárna kužel osečka hyperbolického typu je tvorená dvoma reálnymi rôznobežkami. Tieto priamky sú hl adané komponenty, ich počet je teda dva. (2b) Smerový vektor každého z komponentov je asymptotickým smerom kužel osečky. Ich súradnice získame vyriešením rovnice 2 u u v 4 v 2 = 0, u 2 + u v 2 v 2 = 0, (u v) (u + 2 v) = 0, pričom vidíme, že naozaj získavame dva (jednoduché) asymptotické smery u 1 = (u 1, v 1 ) = (1, 1), u 2 = (u 2, v 2 ) = ( 2, 1). (2b) Komponenty kužel osečky sú rôznobežky, pretínajú sa v singulárnom bode (strede) a majú asymptotické smery. Ich normálové vektory sú n 1 = (v 1, u 1 ) = (1, 1), n 2 = (v 2, u 2 ) = (1, 2), ich analytické vyjadrenia sú 4. (10b) Určite predpis dotyčnice kužel osečky v jej priesečníkoch s priamkou y + 1 = 0. l 1 : x y + 4 = 0, l 2 : x + 2 y 5 = 0. Q: x 2 y 2 + 4x 2y + 1 = Q :=
9 Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku s reálnymi bodmi: = det Q = = 1 < 0 hyperbolický typ. (3b) Priesečníky kužel osečky s priamkou l: y+1 = 0 sú práve body [x, 1]. Jednoduchým dosadením y = 1 získavame rovnicu x x + 2 = 0 a po jej vyriešení máme súradnice priesečníkov P 1 = [ 2 + 2, 1], P 2 = [ 2 2, 1]. (2,5b + 2,5b) Dotyčnice v bodoch P 1, P 2 sú ich poláry p 1, p 2 s predpismi 5. (10b) Určite rovnicu priemeru kužel osečky prechádzajúcu bodom A = [0, 1]. p 1 : 2 x = 0, p 2 : 2 x = 0. Q: x 2 2xy + 2y 2 + 2x + 2y + 1 = 0 S ktorým smerom v je smer tohto priemeru združený? Existujte nejaký vzt ah medzi v a polárou bodu A? Ak áno, aký a prečo? Q = Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku, jej typ (stredová, nestredová) naznačuje metódu riešenia: = det Q = = 1 0 stredová eliptického typu. (4b) Určíme rovnicu priemeru l. Máme niekol ko možností, napr. si stačí uvedomit, že každý priemer kužel osečky prechádza jej stredom S. Súradnice S = [ 3, 2] získame vyriešením sústavy x y + 1 = 0, x + 2 y + 1 = 0. Smerovým vektorom l je u = S A = ( 3, 3) (1, 1) a normálovým n = (1, 1). Jednoduchým dopočítaním získame analytické vyjadenie priemeru l: x y + 1 = 0.
10 (2b) Smer u = (1, 1) priemeru l je združený so smerom v = (v 1, v 2 ) práve vtedy, ak u Q v = ( ) v v 2 = v 2 = 0, čiže ak v = (1, 0). (1b) Polára bodu A = [0, 1] je zadaná rovnicou A Q X = ( ) x y = 3 y + 2 = (1b) Vidíme, že smer poláry Q(A) má súradnice (3, 0), a teda je lineárne závislý so smerom v. Táto závislost nie je náhodná (veta z prednášky). 6. (5b) Uvažujme kužel osečku Q: x 2 + 4xy y 2 + 6y = 0. Rozhodnite, či bod A = [1, 0] je vonkajším bodom Q Q = (1b) Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku: = det Q = 9 0. (2b) Bod A = [a 1, a 2 ] roviny leží vonku resp. vo vnútri kužel osečky Q zadanej kvadratickou formou q(x, y) := x 2 + 4xy y 2 + 6y práve vtedy, ak q(a 1, a 2 ) má rôzne resp. rovnaké znamienko ako, t.j. A Int(Q) sgn q(a 1, a 2 ) = sgn q(a 1, a 2 ) < 0, A Ext(Q) sgn q(a 1, a 2 ) sgn q(a 1, a 2 ) > 0. Táto podmienka je zjavne ekvivalentná s podmienkou z prednášky, kedy A Int(Q) q(a 1, a 2 ) > 0, A Ext(Q) q(a 1, a 2 ) < 0. (1b) Po dosadení A = [1, 0] vidíme, že q(1, 0) = 1 > 0. (1b) Bod A = [1, 0] je vonkajším bodom kužel osečky.
Súradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραANULOID GEOMETRICKÉ VARIÁCIE NA TÉMU ANULOID
ANULOID ÚVOD Matematická analýza a deskriptívna (prípadne konštrukčná) geometria sú dva rôzne predmety, ktoré úzko spolu súvisia. Anuloid a guľová plocha sú plochy technickej praxe.v texte sú z geometrického
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Lineárna algebra. (ver )
Matematika 2 Lineárna algebra (ver.01.03.2011) 1 Úvod Prehľad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραAFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραDESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραMatematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότερα3. ročník. 1. polrok šk. roka 2016/2017
Príklady z MAT 3. ročník 1. polrok šk. roka 016/017 GONIOMETRIA 1. Načrtnite grafy daných funkcií na intervale 0, : f: y= tg x, g: y = -3.cos x, h: y = sin (x + ) -1. Určte hodnoty ostatných goniometrických
Διαβάστε περισσότεραSmernicový tvar rovnice priamky
VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραVektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66-uholníka priradíme jedno z čísel 1 alebo 1. Ku každej
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραdoc. Ing. František Palčák, PhD., Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, Strojnícka fakulta STU v Bratislave,
-550 Technická mechanika I 9. rednáška Kinematika bodu, translačný, rotačný a všeobecný pohyb telesa Ciele v kinematike. remiestňovanie súradnicovej sústavy po priestorovej krivke. riamočiary pohyb bodu.
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραVzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke
Vzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke 23.5.26 Príklad č. Riešte sústavu Bx = r (B r) 2 3 4 2 3 4 6 8 8 2 (B r) = 6 9 2 6 3 9 2 3 4 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραKapitola K2 Plochy 1
Kapitola K2 Plochy 1 Plocha je množina bodov v priestore, ktorá vznikne spojitým pohybom čiary u, ktorá nie je dráhou tohto pohybu, pričom tvar čiary u sa počas pohybu môže meniť. Čiara u sa nazýva tvoriaca
Διαβάστε περισσότεραVýchod a západ Slnka
Východ a západ Slnka Daniel Reitzner februára 27 Je všeobecne známe, že v našich zemepisných šírkach dĺžka dňa závisí od ročného obdobia Treba však o čosi viac pozornosti na to, aby si človek všimol, že
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc
MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc 2 Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice..................................
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKE HO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Dua lne c ı sla. Bakala rska pra ca. S tudijny odbor: Matematika
UNIVERZITA KOMENSKE HO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Dua lne c ı sla Bakala rska pra ca S tudijny odbor: Matematika Vedu ci bakala rskej pra ce: RNDr. Pavel Chalmoviansky, PhD.
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραSLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE. Chemickotechnologická fakulta. Doc. RNDr. Viliam Laurinc, CSc. a kolektív FYZIKA I
SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE Chemickotechnologická fakulta Doc. RNDr. Viliam Laurinc, CSc. a kolektív FYZIKA I Zbierka príkladov a problémov Predslov Cieľom výpočtových cvičení z fyziky
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA
ZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA 1. Afinné zobrazenia Definícia. Zobrazenie F z afinného priestoru A n do A m, ktoré zobrazuje každú trojicu nekolineárnych bodov do jedného bodu alebo do trojice bodov,
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραMaturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium
Jozef Vozár Maturitné úlohy Z Matematiky Pre gymnázium I. (Úlohy s krátkou odpoveďou) OBSAH ÚVOD... 3 1. ZÁKLADY MATEMATIKY... 3 1.1 Logika a množiny... 3 1.2 Čísla, premenné a výrazy... 7 1.3 Teória čísel...
Διαβάστε περισσότεραSTRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED GEOMETRIA V
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED GEOMETRIA V Kužeľosečk kvdrtické ploch Ondrej Šedivý Dušn Vllo Vdné v Nitre 0 Fkultou prírodných vied Univerzit Konštntín Filozof v Nitre
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραDiferenciálne rovnice
Diferenciálne rovnice Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_teaching.html Aktualizované
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA. Martin Kalina
MATEMATIKA Martin Kalina Slovenská technická univerzita v Bratislave Všetky práva vyhradené. Nijaká časť textu nesmie byť použitá na ďalšie šírenie akoukoľvek formou bez predchádzajúceho súhlasu autorov
Διαβάστε περισσότερα